E1 WS14/15 1

Literatur:

W. Demtröder, Experimentalphysik 1, Springer Lehrbuch

P. A. Tipler, Physik, Spektrum Akad. Verlag

Meschede: Gerthsen Physik, Springer Verlag Bergmann, Schäfer : Lehrbuch der Experimentalphysik“R.W. Pohl „Mechanik, Akustik und Wärmelehre“

The Feynman Lectures on Physics, Vol.1, Addison WesleyWalther Levine, MIT Open Courseware

Gaub

E1 WS14/15 2

Die Physik sucht in der Vielzahl der Naturerscheinungen nach Gesetzmässigkeiten und Zusammenhängen, die sie mit

möglichst wenigen Grundprinzipien erklären kann

Die Mathematik ist die natürliche Sprache der Physik

Physik

Die Gültigkeit physikalischer Gesetze wird durch Experimente geprüft

Gaub

E1 WS14/15 3

Die Physik ist die Wissenschaft der unbelebten Welt

Physik

Gaub

Die Physik ist die Wissenschaft der Wechselwirkungen

"Daß ich erkenne, was die Welt / Im Innersten zusammenhält" (V. 382 f.)

Beobachtung

Analyse

Hypothese

Experiment

Physikalisches Gesetz

Erkenntnisgewinn:

Gaub 4E1 WS14/15

Gaub E1 WS14/15 5

Gaub E1 WS14/15 6

Eine umfangreiche Sammlung optischer Täuschungen findet sich unter http://www.michaelbach.de/ot/

E1 WS14/15 7Erkenntnis

Vorhersagen

Experiment

Theorie /Modell

"Die mathematischen Prinzipien der Naturphilosopie""

Newtonsche Mechanik :mathematischeTheorie physikalischerBeobachtungen

Galilei: gilt als der erste„Experimentator“

Beobachtungen

Gaub

E1 WS14/15 8

Forderungen an eine physikalische Messung:1. reproduzierbar (Invarianz der Naturgesetze)2. quantitativ (d.h. zahlenmäßig in Maßeinheiten)3. genau (unter Angabe eines Messfehlers)

Die menschliche Wahrnehmung ist für physikalische Messungen nur bedingt brauchbar. (siehe Demonstrationen)

Messverfahren und Normale

Messen heißt immer zwei Größen miteinander zu vergleichen. Für einen einheitlichen, zahlenmäßigen Vergleich werden Standards, sogenannte Normale festgelegt. Der Messvorgang sollte folgende Kriterien erfüllen :

Forderungen an ein Normal:

Normale müssen mit genügender Genauigkeit, reproduzierbar und mit vertretbarem technischen Aufwand mit zu messender Größen vergleichbar sein.

Gaub

E1 WS14/15 9

Eine Messung ist der Vergleich zweier Grössen miteinander

Aus Erfahrung:Je höher die Symmetrie im Aufbau, desto genauer die Messung

Scale Balance

Gaub

E1 WS14/15 10

€

1m=Erdquadrant10.000.000

€

c0 =299.792.458ms

Zeit:

€

1s=Sonnentag60⋅60⋅24

€

νCs=9.192.631.770,01s

€

1Mol=6,0221367⋅1023Teilchen

€

1Mol=6,0221367⋅1023Teilchen

Masse:

€

1kg=1dm3H2O@4oC ? Atommassen im Kern

Temperatur:

€

1oK =TripelH2O

273,16Ekin Gas

Länge:

war ist heute

Fundamentale Grundgrößen:

Stoffmenge:

Weitere Grundgrößen des SI-Systems (zweckmäßig):

Stromstärke:

€

1A=1,1180mgAgs

Kraft zwischen zwei Leitern

Die Basiseinheiten (SI-Einheiten)SI: système international d’unités

Gaub

E1 WS14/15 11

Vorsilben zur Bezeichnung von dezimalen Vielfachen und Teilen

(SI - Vorsätze)

Gaub

E1 WS14/15 12

1875 : Das Urmeter (Paris)

Seit 1983 ist die Lichtgeschwindigkeit auf c0=299 792 458 m/s festgelegt.

Einheit der Länge

=> Relative Messunsicherheit : 10-14

Heute gültige Definition : Meter [m]1 Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299 792 458 Sekunden durchläuft.

1960 Definition über die Wellenlänge des Krypton-Isotops 86

Gaub

E1 WS14/15 13

GPSTriangulation mit Radiosignalen

Gaub

E1 WS14/15 14

Logarithmische Skala

n10

Größenordnungen in der Physik

Gaub

E1 WS14/15 15Gaub

E1 WS14/15 16

Zeitenskalen1018 Alter des Universums ( 5*1017s)1015 Alter der Erde (1.6*1017s)1012 Erste Menschen (2*1013s) 109 Alter der Pyramiden (2*1010s) 106 1 Jahr = 3,15 107 s , 1 Tag 8,64 104 s103 Zeit die Licht von der Sonne zur Erde benötigt (5*102 s)1 Abstand zwischen Herzschlägen10-3 Periode einer Schallwelle10-6 Periode einer Radiowelle10-9 Licht legt 30cm zurück10-12 Periode einer Molekülschwingung10-15 Periode einer Atomschwingung10-18 Licht legt Atomdurchmesser zurück10-21 Periode einer Kernschwingung10-24 Licht legt Kerndurchmesser zurück

sec

Gaub

E1 WS14/15 17

Einheit der Zeit

=> Relative Messunsicherheit : 10-14

Heute gültige Definition : Sekunde [s]1 Sekunde ist das Zeitinterval, während dessen die Cäsiumuhr 9 192 631 770,0 Schwingungen macht.

Atomuhren gehen auf 20 Millionen Jahre 1 s falsch.

Ursprüngliche Definition:1s = 1/(60 60 24) = 1/86400 eines mittleren Sonnentages

Gaub

E1 WS14/15 18aus Demtröder, 2003Gaub

E1 WS14/15 19

Frequency Comb

Gaub

E1 WS14/15 20

http://nobelprize.org/mediaplayer/index.php?id=858

Gaub

E1 WS14/15 21

Einheit der Masse

=> Relative Messunsicherheit : 10-9

Heute gültige Definition : Kilogramm [kg]1 Kilogramm (kg) ist die Masse eines Platin-Iridium-Zylinders, der als Massennormal in Paris aufbewahrt wird.

Das Urkilogramm

Gaub

E1 WS14/15 22

Massen und Längen im Universum

Gaub

E1 WS14/15 23

1 mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensovielen Teilchen besteht, wie Atome in 0,012kg des Kohlenstoffnuklids 12C enthalten sind.

In der Atomphysik und Chemie werden auch Atommasseneinheiten benutzt.

Dem Isotop 12C wird die Atommassezahl 12 zugeordnet

Eine Atomare Masseneinheit (amu) = ( ) kgCm 2712 1066053,112

1 −⋅=

StoffmengeneinheitDefinition

Die Anzahl Teilchen in einer Stoffmenge von 1 Mol ist dieAvogadro-Konstante NA= 6,022·1023/mol

AN

Nn = N : Teilchenzahl [einheitenlos]

n : Stoffmenge [mol]

Gaub

Gaub E1 WS14/15 24

Wer misst misst Mist!

Gaub E1 WS14/15 25

Wer misst misst Mist!

xj

nj

∆xjx

Systematisch Fehler

Statistische FehlerThermische FluktuationenSchrotrauschen1/f Rauschen

KalibrierfehlerHintergrundsignale

E1 WS14/15 26

PEG

Stärke der Koordinativen Bindung zwischen Gold und dem primären Amin der Nukleinsäure Thymin

Au

C,G,A

T

F ≈ 10 nN/s.

Gaub

Gaub E1 WS14/15 27

Wer misst misst Mist!

xj

nj

∆xjx

Systematisch Fehler

Statistische Fehler

€

⇒dS

dx = 2 x − xi( )

i=1

n

∑ = 0

€

S = x − x i( )2

i=1

n

∑ = MinimumMittelwert x definiert durch

Arithmetisches Mittel

€

⇒ x =1

nxi

i=1

n

∑

Thermische FluktuationenSchrotrauschen1/f Rauschen

KalibrierfehlerHintergrundsignale

E1 WS14/15 28

€

ε =xw − x =1

nxw − x i( )

i=1

n

∑

€

=1

nei

i=1

n

∑

€

ε2 =1

n2ei

i

∑ ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

€

=1

n2e2

i

i

∑ +1

n2ei

j≠ i

∑i

∑ e j

€

≈1

n2e2

i

i

∑

€

xw = limn→∞

1

nxi

i=1

n

∑Def.: Wahrer Wert:

€

ei = xw − x iDef.: Absoluter Fehler der Messung i:

€

ε =xw − x Def.: Absoluter Fehler des Arithmetischen Mittels:

€

limn→∞

1

nei

i=1

n

∑ = xw − xw = 0–> 0

weil

€

=1

nxw − x i( )

2

i

∑

€

=xw − x i( )

2∑n€

=1

nxw − x i( )

2

i=1

n

∑€

σm = ε 2 =1

n2ei

2∑Def.: Mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels:

€

σ = e2Def.: Standardabweichung:

Fehler

€

e2 =1

nei

2∑Def.: Arithmetisches Mittel der quadatischen Abweichungen der Einzelmessung:

€

σm =σ

n=>

Zufällige Fehler lassen sich durch wiederholte Messungen "ausgleichen"

Gaub

E1 WS14/15 29

Problem:

Da bei endlicher Zahl der Messungen i der wahre Wert xw nicht bekannt ist und somit auch ei und s, bzw sm nicht bestimmbar sind, Übergang zur Grössen relativ zum Mittelwert

€

v i = x − x i

€

=ei −ε

€

s2 =1

nv i

2

i

∑

€

=1

nei −ε( )

2

i

∑

€

=1

nei

2

i

∑ −2ε

nei

i

∑ ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟+ ε 2

€

s2 =1

nei

2

i

∑ −ε 2

€

=σ 2 −σ m2

€

= n −1( )σ m2

€

=n −1

nσ 2

Streuungsmasse

Def.: Mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert:

Def.: Abweichung vom Mittelwert:

weil ==>

€

ε =1

nei

i=1

n

∑

€

=1

nx − xi( )

2

i

∑

€

s2 =1

nvi

2

i

∑

€

σm =σ

n

Vergleich

€

s2 = xw − xi( )2

− xw − x ( )2

Alternative Schreibweise

€

=xw − x i − xw − x ( )

Gaub

E1 WS14/15 30

=> Standardabweichung der Einzelmessungen:

€

σ =x − xi( )

2∑n −1

€

σ m =x − xi( )

2∑n n −1( )

Mittlerer Fehler des Arithmetischen Mittels: (Standardabweichung des Mittelwerts)

Gaub

E1 WS14/15 31

f(x)dx gibt die Wahrscheinlichkeit, den Messwert bei x im Interwall dx zu finden

€

mit Δni

i=1

k

∑ = n

€

f x( ) = 1 n( ) lim Δni Δxi( )

€

= 1 n( ) ⋅dn dx

Verteilungsfunktion

Übergang zu normierten Verteilungen der Messwerte

xj

nj/n

∆xjx

F = ∆ni/n

Übergang zu infinitessimalen Intervallen, k–>oo

€

x =1

nΔni

i=1

k

∑ ⋅ x i

für ∆xi 0 geht ∆ni 0, aber ni = ∆ni/∆xi bleibt endlich!

Verteilungsfunktion

f(x)

Gaub

E1 WS14/15 32

€

weil Δxini

i=1

k

∑ = n

€

f x( )dx∫ = lim 1 n( ) niΔx i∑[ ] =1

€

σ 2 = e2

€

= xw − x( )2

−∞

+∞

∫ f x( )dx

Eigenschaften der Verteilungsfunktion

Varianz

Die Verteilungsfunktion ist normiert:

Wenn nur statistische Fehler auftreten

€

f x( ) =1

2πσ 2e− x−xw( )

2 2σ 2

Normalverteilung(Gausssche Glockenkurve)

Gaub

E1 WS14/15 33

€

f x( ) =1

2πσ 2e− x−xw( )

2 2σ 2

€

P xw − x i ≤ σ( ) = f x( )dxxw −σ

xw +σ

∫

€

P ei ≤ σ( ) = 0,683 (68% Vertrauensbereich )

€

P ei ≤ 2σ( ) = 0,954 (95% Vertrauensbereich )

€

P ei ≤ 3σ( ) = 0,997 (99% Vertrauensbereich )

Normalverteilung

s = 1/4

s = 1/2

f(x)

s =1

x - xw1-1 0

Hat man aus n Messungen sbestimmt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein weiterer Messwert innerhalb der Standartabweichung liegt

Einsetzen und Integrieren ergibt:

€

f x( ) =x x

x!e−x x = ganzzahlig

Anmerkung : Bei gequantelten statistischen Vorgängen z.B. Photonenzählen geht die Gauss- in die Poissonverteilung über

Gaub

E1 WS14/15 34

€

dy =df x( )

dxdx

€

σ x =x − xi( )

2∑n −1

€

σ y =y − yi( )

2∑n −1

€

=( x − x( )df x( ) /dx)2∑

n −1

FehlerfortpflanzungZu bestimmende Grösse y sein Funktion der Messgrösse x =>

n-malige Messung liefert Standardabweichung

€

σ y =df x( )

dx

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟x

⋅σ x

„Fortgepflanzte“ Standardabweichung

€

y

€

y

€

f x( )

€

x

€

x

€

x + dx

€

dy

Vorsicht Fehler im Demtröder

Gaub

E1 WS14/15 35

€

x ± σ x = x ±v i

2∑n −1

€

mit v i = x i − x

€

y ± σ y = y ±uk

2∑m −1

€

mit uk = yk − y

FehlerfortpflanzungZu bestimmende Grösse sei Funktion zweier Messgrössen f(x,y) , die jeweils unabhängig voneinander fehlerbehaftet seien

Mittelwert aus n Messungen

Mittelwert aus m Messungen

€

fik=fxi,yk ()=fx +vi,y +uk ()

Taylorentwicklungvon um

€

x ,y

€

fx,y ()

€

= f x , y ( ) + vi

∂f x, y( )∂x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟x

+uk

∂f x, y( )∂y

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟y

+...

Lineare NäherungGaub

E1 WS14/15 36

€

f =1

n ⋅mfik

k

∑i

∑ =1

n ⋅mf x , y ( ) + vi

∂f

dxx , y ( ) +uk

∂f

dyx , y ( )

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

k=1

m

∑i=1

n

∑

€

=1

n ⋅mn ⋅m ⋅ f x , y ( ) + m v i

∂f

∂x+ n uk

∂f

∂yk

∑i

∑ ⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

f = f x , y ( )

€

σ f = σ x2 ∂f

∂x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2

+ σ y2 ∂f

∂y

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

€

fw x,y( ) = f x ,y ( ) ± σ x2 ∂f

∂x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2

+ σ y2 ∂f

∂y

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

€

Δf = fw − f x ,y ( ) ≤ σ x

∂f

∂x+ σ y

∂f

∂y

Mittelwertbildung:

Das arithmetische Mittel der Funktionswerte ist gleich dem Funktionswert der arithmetischen Mittelwerte der Messgrössen

€

∂f

dxx , y ( )

Da

= constant

€

vi∑ = uk∑ = 0

und

Herleitung der Standardabweichungen mühsam siehe Bergmann Schäfer o ä.

€

a2 + b2 ≤ a + b

Wegen

Gaub

E1 WS14/15 37

a und b entsprechen mit 68% Zuverlässigkeitdem wahren Wert

AusgleichsrechnungSei die Messgenauigkeit einer Grösse viel höher als die der anderen, hier z.B. ∆x << ∆y

€

x

€

y

€

y = ax + bGesucht: Ausgleichgerade

€

a ⋅ x i

i

∑ + b ⋅n = y i

i

∑

€

a ⋅ x i2

i

∑ + b ⋅ x i

i

∑ = x iy i

i

∑

€

∂S

∂a= −2 x i y i − ax i − b( )

i=1

n

∑ = 0

€

∂S

∂b= −2 y i − ax i − b( )

i=1

n

∑ = 0

€

b = 1 n( ) yi∑ − a n( ) xi∑

€

a =n x iy i∑( ) − x i∑( ) y i∑( )

d

€

d = n ⋅ x i2∑( ) − x j∑( )

2mit

€

b =xi

2∑( ) yi∑( ) − xi∑( ) xiyi∑( )

d

€

S = yi − axi −b( )2∑

Minimierung der Summe der Abweichungsquadrate

Weiterführend:- Maximum likelihood estimator - Bayesian inference

Gaub

E1 WS14/15 38

Beispiel: Herzschlagfrequenzen ruhender Fledermäuse aufgezeichnet in Panama (Quelle: Uni Konstanz)

Gaub

E1 WS14/15 39

Nicht die Zeitmessung unterliegt hier statistischen Schwankungen sondern eine Grösse von der die Frequenz exponentiell abhängt!

ln (heart rate)

Gaub