LOGARİTMA

I. ÜSTEL FONKSİYON

• a = 1 ve a pozitif reel sayı olmak üzere,• f: R R+

• f(x) = ax fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.

II. LOGARİTMA

• A. TANIM• a = 1 ve a > O olmak üzere,• f: R R+ , f(x) = ax

• fonksiyonu birebir ve örten olduğundan ters fonksiyonu vardır.

• f(x) = aX fonksiyonunun tersine logaritma fonksiyonu denir.• f: R ——» R+ ve f(x) = ax ise,

• f-1 : R+——>R ve f-1(x) = loga x dir.

• Logax = y x = ay

• Örnek :• Iog2 64 = x x=?• Çözüm:• 64 = 2X

• 26 =2x

• x = 6 olur.• f(x) = loga x fonksiyonunun tanımlı• olabilmesi için x > 0, a > O ve a = 1• olmalıdır.

a sayısına logaritmanın tabanı denir

• Örnek :• f(x) = logx

2 (16-x2)• fonksiyonun tanımlı yapan kaç tane x tamsayısı vardır?• Çözüm :• f(x)=logx

2 (16-x2) • fonksiyonunun tanımlı olması için, 16-x2>0 ve x2 > O (x2=1) olmalıdır. • 1) 16-x2>0 x2<16.• => - 4 < x < 4 tür• 2) x2 > O x = O• 3) x2 = 1 => x=-1, x= 1 dir.• O halde, fonksiyonun tanım aralığı• X e (-4, 4) -{-1, O, 1} dır. Bu aralıkta bulunan• tamsayılar {- 3, - 2, 2, 3] tür.

• Örnek :

• f(x) = log2(x-2)-3.log2(7-x) fonksiyonunun en geniş tanım

aralığı nedir?

• Çözüm :

• log2(x-2) in tanımlı olması için, x-2>0 x>2 olmalıdır.

• 3.log2(7-x) in tanımlı olması için, 7-x>0 x<7 olmalıdır.

• O halde,

• f(x) = Iog2 (x - 2) - 3.log2(7 - x) fonksiyonunun en geniş tanım

aralığı, 2 < x < 7 dir.

C. LOGARlTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLiKLERi

• 1) ae R+-{1} olmak üzere loga a=1 ve loga1

= 0 dır.

Örnek :

• Iog3 3 = 1, log1/21/2 = 1 , log51 = 0

 

• 2) x,y e R+ ve a e R+ - (1) olmak üzere,a) loga(x.y) = logax + logby

b) Loga(x/y) = logax – logay

ÖRNEKLoga(x.y) = 2n ve loga(x/y) = 2m ise, x nedir?

Çözüm :

Iog2 (x.y) = 2n => Iog2 x + Iog2 y = 2n

Log2(x/y) =2m => log2 x – log2 y = 2m

2.log2x = 2n + 2m

Log2x = n+m x= 2n+m

ÖRNEK:

Iog2 3 = a ise,

Ioge 27 ifadesinin a cinsinden eşiti nedir?

Log8 27 = log 23 33 = - log2 3 = log2 3 = a dır.

• 4) Iogab . logbc = logac

• Örnek:

• Iog4 5 . Iog5 6 . Iog6 7 . Iog7 8 işleminin sonucu kaçtır?

• Çözüm:

log4 5 . log5 6 . log6 7 . log7 8 = log4 8 = log22 23 =3/2

Örnek :

Iog35 = a olduğuna göre, Iog5 15 in değeri nedir?

Çözüm:

Iog5 15 = Iog5 (5.3) = Iog5 5 + Iog5 3

= 1+1/a

=a+1

a

• Örnek :• log(a + b) = log a + log b• olduğuna göre, b nin a türünden değeri nedir?

• Çözüm :• log(a + b) = log a + log b => log(a + b) = log(a.b)

a+b = a.b

a= b(a-1)

b = a

a - 1

• Örnek :•

• log x + 2.log 1/x = log 8 - 2.log x • denklemini sağlayan x kaçtır?

• Çözüm :

• log x + 2.log1/x = log 8 - 2.log x • log x - 2.log x = log 8 - 2.log x

• log x = log 8• x = 8

• Örnek :

• Iog7 (2x - 7) - Iog7 (x - 2) = O olduğuna göre, log5 x in değeri

kaçtır?

• Çözüm :

• Iog7 (2x - 7) - Iog7 (x - 2) = O

• log7(2x-7) = log7(x-2)

• 2x - 7 = x - 2• x = 5 tir.

• O halde,

• Iog5 x = Iog5 5 = 1 bulunur.

• 7) log x = log10 x

• 8) ln x = loge x

• Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna bayağı logaritma denir.

• Tabanı e (e = 2,71828...) olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma denir.

• Örnek:• log 5 = n ise,• log 2 nin n cinsinden eşiti nedir?

• Çözüm:• log 2 = log 10/5 = log 10 - log 5 • = 1 - n dir.

Örnek :ln a = p olarak verildiğinde, log a2 neye eşit olur?

Çözüm :

ln a = p => loge a = p a = ep

log a2 - 2.log a = 2.log ep = 2p.log e dir.

• 9) Taban değiştirme kuralı

• Loga b = logc b• logc a

• 10) aloga

x = x • 11) alog

bc = clog

ba

• Örnek :• loga x loga 2

2 + X =64• olduğuna göre, x kaçtır?• 2log

ax = xlog

32 olduğundan

• 2log3

x + xlog3

2 = 64 ise 2.2log3

x = 64 » ise 2log

3x = 32

» ise log3x = 5

» ise x = 35

•

D. LOGARİTMA EŞiTSiZLİKLERİ

• loga f(x) > b veya loga f(x) < b gibi eşitsizlikleri

çözmek için aşağıdaki maddelere dikkat edilmelidir.• 1. f(x) > O olmalıdır.• 2.

• a) a > 1 ise, eşitsizlik yön değiştirmez. Yani, loga f(x)

< b ise f(x) < ab dir.

• b) O < a < 1 ise, eşitsizlik yön değiştirir. Yani, loga

f(x) < b ise f(x) > ab dir.

• Örnek ;• Iog3 (x - 4) < 2• eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

• Çözüm :• Iog3 (x - 4) < 2 • 1) x -4 > O => x>4 tür,• 2) Taban 1 den (3 > 1) büyük olduğundan eşitsizlik yön değiştirmez.• Iog3 (x - 4) < 2 => x - 4 < 32 ise x< 13 tür.• O halde,• ÇK : 4< x< 13 olur.•

•

• Örnek :• Log3/5 (x - 3) > O• eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?• Çözüm :• Iog3 (x - 3) > O• 1) x-3 >0 ise x>3• 2) Logaritmanın tabanı 3/5 < 1 olduğundan eşitsizlik yön değiştirir. •

log3/5 (x - 3) > O ise (x - 3) < (3/5)0 ise x<4• O halde • x > 3 ve x < 4 ten,•

ÇK : 3<x54 olur •

•

. KAREKTERİSTİK - MANTİS

• x e R+, keZ ve O<m<1 olmak üzere,• log x = k + m olacak şekilde k ve m sayıları

bulunabilir.• k tamsayısına logaritmanın karekteristiği (tam

kısmı), m reel sayısına logaritmanın mantisi denir.

• Örnek :• log 2 = 0,30103 ifadesinde; log 2 nin karekteristiği O, mantisi 0,30103

tür.• Örnek :• log x = 5, 27064 ifadesinde; log x in karakteristiği 5, mantisi 0,27064

tür,• Örnek :• log x = - 4,3468 ise,• log x in karekteristiği kaçtır?

• Çözüm :• log x=-4,3468• log x = - 4 - 0,3468• mantis [0,1) arasında olması gerektiğinden,• log x = -4-1 +1 -0,3468• log x = - 5 + 0,6532 den,• log x in karekteristiği - 5,• mantisi de 0,6532 dir,