lineer tek serbestlik dereceli (tsd) sistemlerin tepki tek-serbestlik-dereceli (tsd) sistemlerin...

Download Lineer Tek Serbestlik Dereceli (TSD) Sistemlerin Tepki Tek-serbestlik-dereceli (TSD) sistemlerin tepki

If you can't read please download the document

Post on 07-Jun-2020

4 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Deprem Mühendisliğine Giriş – Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

    Lineer Tek Serbestlik Dereceli (TSD) Sistemlerin Tepki Analizi

  • Deprem Mühendisliğine Giriş – Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

    Sunum Anahat

    � Tek-serbestlik-dereceli (TSD) sistemlerin tepki analizi,

    � Hareket denklemi (Newton’nun 2. yasası ve D’Alembert

    Prensibi)

    � Gerçek deplasman, hız ve ivme tepki değerleri,

    � Pseudo-tepki spektrumları ve gerçek tepki değerleri ile ilişkileri,

    � Tepki spektrumlarının fiziksel yorumu,

    � Bir örnek: TSD bir sistemin spektrum analizi.

  • Deprem Mühendisliğine Giriş – Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

    TSD Sistemlerin Tepki Analizi (Hareket Denklemi)

    � Hareket Denklemi (Equation of Motion): Newton’un ikinci yasası kullanılarak

    ( )ti i

    F mu t=∑ &&

    ( ) ( ) ( )tku t cu t mu t− − =& && ( ) ( ) ( ) 0 tmu t cu t ku t+ + =&& &

    ( ) ( )t gu u t u t= +&& && && Yukarıda yerine konursa

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g effmu t cu t ku t mu t p t+ + = − =&& & &&

    c

    Hareket yönü ( )tu t

    2

    k

    2

    k

    m ( )u t

    ( )gu t

    Sabit Referans Ekseni

    ( )cu t&

    ( ) 2

    k u t

    m

    ( ) 2

    k u t

    (+)

    Serbest Cisim Diyagramı

  • Deprem Mühendisliğine Giriş – Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

    TSD Sistemlerin Tepki Analizi (Hareket Denklemi) - Devam

    0I D Sf f f+ + =

    ( )Df t

    ( )Sf t

    (+)

    ( ) ( ) ( ) ( )gmu t cu t ku t mu t+ + = −&& & &&

    � Hareket Denklemi (Equation of Motion): D’Alembert presibi kullanılarak hareket denklemi

    bulunabilir. Bu prensip şöyledir: Sisteme hareketin tersi yönünde fiktif bir atalet kuvveti etkitilirse,

    sistem her an dinamik denge altındadır (statik denge denklemlerine benzer bir şekilde).

    ( )If t

    burada ( )tIf mu t= &&

    ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0gm u t u t cu t ku t+ + + =&& && &

  • Deprem Mühendisliğine Giriş – Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

    TSD Sistemlerin Tepki Analizi (Hareket Denklemi) - Devam

    2( ) 2 ( ) ( ) ( )gu t u t u t u tξω ω+ + = −&& & &&

    � Hareket denkleminin çözümü

    1. Gerçek relatif deplasman tepkisi (True relative displacement response):

    burada

    k

    m ω =

    2 2cr

    c c c

    c m km ξ

    ω = = =: doğal açısal

    titreşim frekansı : sönüm oranı

    � Hareket denkleminin standart formu (standard form of equation of motion):

    0

    ( ) ( ) ( )= −−∫ && t

    gu t u t h t dτ τ Genel olarak konvolüsyon integrali veya titreşim alanında kullanıldığı adıyla Duhamel integrali denir (başlangıç şartları: durağan – at rest conditions)

    (1)

    burada

    ( )( )1( ) sin ( )t D D

    h t e tξω ττ ω τ ω

    − −− = − Birim itki (unit impulse) tepki fonsiyonu veya Dirac-Delta etki fonsiyonuna karşılık gelen serbest titreşim fonksiyonu!

    21Dω ω ξ= − : sönümlü açısal titreşim frekansı

    2 T

    π ω

    = : doğal titreşim periyodu

    Hatırlatma - 1

  • Deprem Mühendisliğine Giriş – Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

    TSD Sistemlerin Tepki Analizi (İtki Tepki Fonksiyonunun Bulunması) - Devam

    2 1( ) 2 ( ) ( ) ( )u t u t u t t m

    ξω ω δ+ + =&& & (0 ) 0 ve (0 ) 0x x− −= =&

    (0 ) 0 ve (0 ) ?u u+ += =&

    Lineer Momentum Değişimi = Etkiyen Dış Kuvvet!!!!

    ( ) ( )

    d mu t

    dt δ=

    &

    0 0

    0 0

    ( ) ( )

    d mu dt t dt

    dt δ

    − −

    + +

    =∫ ∫ &

    1 1

    (0 ) m u u u m

    +∆ = ∆ = =& & &

    ( ) ( ) ( )h pu t u t u t= + sonra yükleme olmadığı için 0 +

    ( ) 0pu t =

    ( ) ( )(0) (0)( ) (0)cos sinnt nD D D

    u u u t e u t t

    ξω ξωω ω ω

     + = + 

     

    & Başlangıç şartlarından

    ( )1( ) ( ) sin−= = nt D D

    h t u t e t m

    ξω ω ω

  • Deprem Mühendisliğine Giriş – Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

    TSD Sistemlerin Tepki Analizi

    � Pratikte Duhamel integrali nümerik quadrature yöntemi ile bulunur.

    0

    ( , , ) ( ) ( )

    t

    g u t u t h t dω ξ τ τ= − −∫ && : Duhamel İntegrali

    2. Gerçek rölatif hız tepkisi (True relative velocity response):

    ( ) ( )

    2 0 0

    ( , , ) ( ) sin( ( )) ( ) cos( ( )) 1

    t t

    t t

    g D g Du t u e t d u e t d ξω τ ξω τξω ξ τ ω τ τ τ ω τ τ

    ξ − − − −= − − −

    − ∫ ∫& && &&

  • Deprem Mühendisliğine Giriş – Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

    TSD Sistemlerin Tepki Analizi

    3. Gerçek mutlak ivme tepkisi (True absolute acceleration response): (2) no’lu ifadenin

    bir kez daha türevini almak mümkün ancak farklı bir yoldan sonuca daha kolay

    ulaşmak mümkün, 2( ) 2 ( ) ( ) 0tu t u t u tξω ω+ + =&& &

    2( ) 2 ( ) ( )tu t u t u tξω ω= − −&& &

    Biliniyor (1 ve 2 nolu ifadeler yerine konup düzenlenir!

    ( )2 ( )

    2 0

    ( )

    0

    1 2 ( , , ) ( ) sin( ( ))

    1

    2 ( ) cos( ( ))

    t

    t t

    g D

    t

    t

    g D

    u t u e t d

    u e t d

    ξω τ

    ξω τ

    ω ξ ω ξ τ ω τ τ

    ξ

    ξω τ ω τ τ

    − −

    − −

    − = − +

    && &&

    &&

    (3)

  • Deprem Mühendisliğine Giriş – Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

    TSD Sistemlerin Tepki Analizi (Tepki Spektrumu Tanımları)

    � Spektral Rölatif Deplasman: değerlerine sahip TSD bir sistemin deprem hareketinin

    belli bir bileşenine vermiş olduğu maksimum relatif deplasman değerine denir.

    ω ve ξ

    0 ( , ) max ( )

    d

    d t t

    S u tξ ω ≤ ≤

    = (1) no’lu denklem

    � td : yer hareketinin süresi (güçlü yer hareketi - strong motion süresi de denir). Genellike 0.05g

    değerini ilk ve son kez aştığı noktalar arasındaki zaman veya %5 < IA < %95 arasında kalan süredir.

    2

    0

    ( )

    t

    A gI u t dt g

    π = ∫ && : Arias intensity

    � Spektral Rölatif Hız: değerlerine sahip TSD bir sistemin deprem hareketinin belli bir

    bileşenine vermiş olduğu maksimum relatif hız değerine denir.

    ω ve ξ

    0 ( , ) max ( )

    d

    v t t

    S u tξ ω ≤ ≤

    = & (2) no’lu denklem

  • Deprem Mühendisliğine Giriş – Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

    TSD Sistemlerin Tepki Analizi (Tepki Spektrumu Tanımları)

    � Spektral Mutlak İvme: değerlerine sahip TSD bir sistemin deprem hareketinin belli bir

    bileşenine vermiş olduğu maksimum mutlak ivme değerine denir.

    ω ve ξ

    0 ( , ) max ( )

    d

    t

    a t t

    S u tξ ω ≤ ≤

    = && (3) no’lu denklem

  • Deprem Mühendisliğine Giriş – Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

    TSD Sistemlerin Tepki Analizi (Tepki Spektrumu Özellikleri)

    1. TSD bir sistemin yer ivmesine göstermiş olduğu maksimum tepki değerlerini verir (Sd, Sv, Sa),

    2. Bir yer hareketine maruz çok-serbestlik-dereceli sistemlerin her bir modunun maksimum tepki

    değerini verir (örn: ),

    3. Herhangi bir deprem yer ivmesi hareketinin sismik enerjisinin (seismic energy) frekans

    dağılımını gösterir,

    ( , )a n nS T ξ

    ( , )aS T ξ

    1,( )aS T ξ

    2,( )aS T ξ

    1 T

    2T T

    %5ξ =

    Mutlak ivme tepki spektrumu (bir deprem hareketine ait)

    h1(t) ( )gu t&& 1 ( )

    tu t&& 1,( )aS T ξ

    h2(t) ( )gu t&& 2

    ( )tu t&& 2,( )aS T ξ

    1, 2,( ) ( )a aS T S Tξ ξ>

  • Deprem Mühendisliğine Giriş – Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

    TSD Sistemlerin Tepki Analizi (Pseudo- Tepki Spektrumları)

    � Pseudo-hız Tepki Spektrumu: İnşaat mühendisliği yapılarında sönüm oranı değerleri, genellikle

    küçüktür ( ). Bu durumda, şu kabulü yapmak mümkündür: . Ayrıca küçük periyot

    değerleri için (T 2 ve =0 ξ ξ

    ( ) ( )

    2 0 0

    ( , , ) ( ) sin( ( )) ( ) cos( ( )) 1

    t t

    t t

    g D g Du t u e t d u e t d ξω τ ξω τξω ξ τ ω τ τ τ ω τ τ

    ξ − − − −= − − −

    − ∫ ∫& && &&

    cos( ( ))D tω τ− sin( ( ))D tω τ−

    � Yukarıdaki kabuller altında bu ifade aşağıdaki hale gelir:

    ( )

    0

    ( , , ) ( ) sin( ( ))

    t

    t

    g Du t u e t d ξω τω ξ τ ω τ τ− −≅ − −∫& &&

    � Yukarıdaki ifade gerçek relatif deplasman formülü denklem (1) ile karşılaştırılırsa:

Recommended

View more >