lineer tek serbestlik dereceli (tsd) sistemlerin tepki...

Deprem Mühendisliğine Giriş – Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK

Lineer Tek Serbestlik Dereceli (TSD)Sistemlerin Tepki Analizi


Sunum Anahat

� Tek-serbestlik-dereceli (TSD) sistemlerin tepki analizi,

� Hareket denklemi (Newton’nun 2. yasası ve D’Alembert

Prensibi)

� Gerçek deplasman, hız ve ivme tepki değerleri,

� Pseudo-tepki spektrumları ve gerçek tepki değerleri ile ilişkileri,

� Tepki spektrumlarının fiziksel yorumu,

� Bir örnek: TSD bir sistemin spektrum analizi.


TSD Sistemlerin Tepki Analizi(Hareket Denklemi)

� Hareket Denklemi (Equation of Motion): Newton’un ikinci yasası kullanılarak

( )t

i

i

F mu t=∑ &&

( ) ( ) ( )tku t cu t mu t− − =& && ( ) ( ) ( ) 0tmu t cu t ku t+ + =&& &

( ) ( )t

gu u t u t= +&& && && Yukarıda yerine konursa

( ) ( ) ( ) ( ) ( )g effmu t cu t ku t mu t p t+ + = − =&& & &&

c

Hareket yönü( )tu t

2

k

2

k

m( )u t

( )gu t

SabitReferansEkseni

( )cu t&

( )2

ku t

m

( )2

ku t

(+)

Serbest Cisim Diyagramı


TSD Sistemlerin Tepki Analizi(Hareket Denklemi) - Devam

0I D Sf f f+ + =

( )Df t

( )Sf t

(+)

( ) ( ) ( ) ( )gmu t cu t ku t mu t+ + = −&& & &&

� Hareket Denklemi (Equation of Motion): D’Alembert presibi kullanılarak hareket denklemi

bulunabilir. Bu prensip şöyledir: Sisteme hareketin tersi yönünde fiktif bir atalet kuvveti etkitilirse,

sistem her an dinamik denge altındadır (statik denge denklemlerine benzer bir şekilde).

( )If t

burada ( )t

If mu t= &&

( )( ) ( ) ( ) ( ) 0gm u t u t cu t ku t+ + + =&& && &


TSD Sistemlerin Tepki Analizi(Hareket Denklemi) - Devam

2( ) 2 ( ) ( ) ( )gu t u t u t u tξω ω+ + = −&& & &&

� Hareket denkleminin çözümü

1. Gerçek relatif deplasman tepkisi (True relative displacement response):

burada

k

mω =

2 2cr

c c c

c m kmξ

ω= = =: doğal açısal

titreşim frekansı: sönüm oranı

� Hareket denkleminin standart formu (standard form of equation of motion):

0

( ) ( ) ( )= −−∫ &&t

gu t u t h t dτ τGenel olarak konvolüsyon integrali veya titreşim alanında kullanıldığı adıyla Duhamel integrali denir (başlangıç şartları: durağan – at rest conditions)

(1)

burada

( )( )1( ) sin ( )t

D

D

h t e tξω ττ ω τω

− −− = −Birim itki (unit impulse) tepki fonsiyonu veya Dirac-Delta etki fonsiyonuna karşılık gelen serbest titreşim fonksiyonu!

21Dω ω ξ= − : sönümlü açısal titreşim frekansı

2T

πω

= : doğaltitreşim periyodu

Hatırlatma - 1


TSD Sistemlerin Tepki Analizi(İtki Tepki Fonksiyonunun Bulunması) - Devam

2 1( ) 2 ( ) ( ) ( )u t u t u t t

mξω ω δ+ + =&& & (0 ) 0 ve (0 ) 0x x− −= =&

(0 ) 0 ve (0 ) ?u u+ += =&

Lineer Momentum Değişimi = Etkiyen Dış Kuvvet!!!!

( )( )

d mut

dtδ=

&

0 0

0 0

( )( )

d mudt t dt

dtδ

− −

+ +

=∫ ∫&

1 1

(0 ) m u u um

+∆ = ∆ = =& & &

( ) ( ) ( )h pu t u t u t= + sonra yükleme olmadığı için 0+( ) 0pu t =

( ) ( )(0) (0)( ) (0)cos sinnt n

D D

D

u uu t e u t t

ξω ξωω ω

ω +

= +

&Başlangıç şartlarından

( )1( ) ( ) sin

−= = nt

D

D

h t u t e tm

ξω ωω


TSD Sistemlerin Tepki Analizi

� Pratikte Duhamel integrali nümerik quadrature yöntemi ile bulunur.

0

( , , ) ( ) ( )

t

gu t u t h t dω ξ τ τ= − −∫ && : Duhamel İntegrali

2. Gerçek rölatif hız tepkisi (True relative velocity response):

( ) ( )

20 0

( , , ) ( ) sin( ( )) ( ) cos( ( ))1

t t

t t

g D g Du t u e t d u e t dξω τ ξω τξω ξ τ ω τ τ τ ω τ τ

ξ− − − −= − − −

−∫ ∫& && &&


TSD Sistemlerin Tepki Analizi

3. Gerçek mutlak ivme tepkisi (True absolute acceleration response): (2) no’lu ifadenin

bir kez daha türevini almak mümkün ancak farklı bir yoldan sonuca daha kolay

ulaşmak mümkün,2( ) 2 ( ) ( ) 0tu t u t u tξω ω+ + =&& &

2( ) 2 ( ) ( )tu t u t u tξω ω= − −&& &

Biliniyor (1 ve 2 nolu ifadeler yerine konup düzenlenir!

( )2

( )

20

( )

0

1 2( , , ) ( ) sin( ( ))

1

2 ( ) cos( ( ))

t

t t

g D

t

t

g D

u t u e t d

u e t d

ξω τ

ξω τ

ω ξω ξ τ ω τ τ

ξ

ξω τ ω τ τ

− −

− −

−= − +

−

−

∫

∫

&& &&

&&

(3)


TSD Sistemlerin Tepki Analizi(Tepki Spektrumu Tanımları)

� Spektral Rölatif Deplasman: değerlerine sahip TSD bir sistemin deprem hareketinin

belli bir bileşenine vermiş olduğu maksimum relatif deplasman değerine denir.

ω ve ξ

0( , ) max ( )

d

dt t

S u tξ ω≤ ≤

=(1) no’lu denklem

� td : yer hareketinin süresi (güçlü yer hareketi - strong motion süresi de denir). Genellike 0.05g

değerini ilk ve son kez aştığı noktalar arasındaki zaman veya %5 < IA < %95 arasında kalan süredir.

2

0

( )

t

A gI u t dtg

π= ∫ && : Arias intensity

� Spektral Rölatif Hız: değerlerine sahip TSD bir sistemin deprem hareketinin belli bir

bileşenine vermiş olduğu maksimum relatif hız değerine denir.

ω ve ξ

0( , ) max ( )

d

vt t

S u tξ ω≤ ≤

= &

(2) no’lu denklem


TSD Sistemlerin Tepki Analizi(Tepki Spektrumu Tanımları)

� Spektral Mutlak İvme: değerlerine sahip TSD bir sistemin deprem hareketinin belli bir

bileşenine vermiş olduğu maksimum mutlak ivme değerine denir.

ω ve ξ

0( , ) max ( )

d

t

at t

S u tξ ω≤ ≤

= &&

(3) no’lu denklem


TSD Sistemlerin Tepki Analizi(Tepki Spektrumu Özellikleri)

1. TSD bir sistemin yer ivmesine göstermiş olduğu maksimum tepki değerlerini verir (Sd, Sv, Sa),

2. Bir yer hareketine maruz çok-serbestlik-dereceli sistemlerin her bir modunun maksimum tepki

değerini verir (örn: ),

3. Herhangi bir deprem yer ivmesi hareketinin sismik enerjisinin (seismic energy) frekans

dağılımını gösterir,

( , )a n nS T ξ

( , )aS T ξ

1,( )aS T ξ

2,( )aS T ξ

1T

2TT

%5ξ =

Mutlak ivme tepki spektrumu(bir deprem hareketine ait)

h1(t)( )gu t&& 1 ( )tu t&&

1,( )aS T ξh2(t)

( )gu t&& 2 ( )tu t&&2,( )aS T ξ

1, 2,( ) ( )a aS T S Tξ ξ>


TSD Sistemlerin Tepki Analizi(Pseudo- Tepki Spektrumları)

� Pseudo-hız Tepki Spektrumu: İnşaat mühendisliği yapılarında sönüm oranı değerleri, genellikle

küçüktür ( ). Bu durumda, şu kabulü yapmak mümkündür: . Ayrıca küçük periyot

değerleri için (T<= 0.8~1.0), yerine kullanılabilir. Gerçek hız ifadesini

tekrar hatırlarsak:

0.10ξ > 2 ve =0 ξ ξ

( ) ( )

20 0

( , , ) ( ) sin( ( )) ( ) cos( ( ))1

t t

t t

g D g Du t u e t d u e t dξω τ ξω τξω ξ τ ω τ τ τ ω τ τ

ξ− − − −= − − −

−∫ ∫& && &&

cos( ( ))D tω τ− sin( ( ))D tω τ−

� Yukarıdaki kabuller altında bu ifade aşağıdaki hale gelir:

( )

0

( , , ) ( ) sin( ( ))

t

t

g Du t u e t dξω τω ξ τ ω τ τ− −≅ − −∫& &&

� Yukarıdaki ifade gerçek relatif deplasman formülü denklem (1) ile karşılaştırılırsa:

( , , ) ( , , )u t u tω ξ ω ω ξ≅&

olduğu görülür, bu durumda pseudo-hız değeri aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

( , ) ( , )pv dS Sξ ω ω ξ ω≅

(4)

(5)


TSD Sistemlerin Tepki Analizi(Pseudo- Tepki Spektrumları) - Devam

� Pseudo-ivme Tepki Spektrumu: Yine aynı kabuller altında, gerçek mutlak ivme tepki spektrumu

aşağıdaki hali alır . Gerçek ivme tepkisi ifadesini hatırlarsak:0.10,ξ ≤ 2 ve =0 ξ ξ

( )2

( )

20

( )

0

1 2( , , ) ( ) sin( ( ))

1

2 ( ) cos( ( ))

t

t t

g D

t

t

g D

u t u e t d

u e t d

ξω τ

ξω τ

ω ξω ξ τ ω τ τ

ξ

ξω τ ω τ τ

− −

− −

−= − +

−

−

∫

∫

&& &&

&&

( )

0

( , , ) ( ) sin( ( ))

t

t t

g Du t u e t dξω τω ξ ω τ ω τ τ− −= −∫&& && (6)

� Denklem (6), denklem (4): pseudo-hız ifadesi ile karşılaştırılırsa aşağıdaki ilişki görülür:

( , ) ( , )pa pvS Sξ ω ω ξ ω≅

( , , ) ( , , )tu t u tω ξ ω ω ξ≅&& &

olduğu görülür, bu durumda pseudo-ivme değeri aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

(7)


TSD Sistemlerin Tepki Analizi(Pseudo- Tepki Spektrumları) - Devam

� Denklem (5) ve (7) kullanılarak pseudo-hız ve pseudo-ivme arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir:

2( , ) ( , ) ( , )pa pv dS S Sξ ω ω ξ ω ω ξ ω≅ ≅

pseudo- değerler gerçek değerler

� Tekbir Duhamel integrasyonu hesabından pseudo-tepki spektrumu değerleri bulunabilir:

22 2

( , ) ( , ) ( , )pa pv dS S ST T

π πξ ω ξ ω ξ ω ≅ ≅


TSD Sistemlerin Tepki Analizi(Pseudo- ve Gerçek Tepki Spektrumlarının

Karşılaştırılması)


Response of a very Long Period SDOF


Response of a very Short Period SDOF


TSD Sistemlerin Tepki Analizi(Tripartite Tepki Spektrumu)


Regions of Response Spectrum

Hw

k 1 N

ew

mark

–H

all

Desi

gn R

esp

onse

Spect

rum


TSD Sistemlerin Tepki Analizi(Pseudo-hız ve Pseudo-ivmenin Fiziksel Yorumu)

c

( )tu t

2

k

2

k

m

( )u t

( )gu t

DinamikSerbestlik Derecesi

≡mk

c

( )gu t

( )tu t

TSD Osilatör

( , ) max ( )dt

S T u tξ = Maksimum deformasyon

� Bir deprem anında, sistemde depolanan maksimum şekil değiştirme enerjisi (strain energy) :( )sE t

2 21 1max ( )

2 2s dE t kS mV= =

maks. hız

2 2 21 1

2 2dm S mVω = d pvS V Sω = = 21

max ( )2

s pvE t mS=Maksimum şekil değiştirme enerjisipseudo-hız değeri ile ilişkilidir.


TSD Sistemlerin Tepki Analizi(Pseudo-hız ve Pseudo-ivmenin Fiziksel Yorumu) - Devam

� Maksimum taban kesme kuvveti veya maksimum yay kuvveti (osilatöre referansla) aşağıdaki

gibi yazılabilir:

( )sf t

2max ( ) max ( )b s d d paV t f t kS m SS mω= = = =

paS Maksimum taban kesme kuvveti ile ilişkili

� Maksimum taban kesme kuvveti aşağıdaki gibi de yazılabilir:

max ( )b pa pa

WV t mS S

g= =

Yapı ağırlığı

Yer çekimi ivmesi

max ( ) pabSV t

W g= : taban kesme kuvveti katsayısı

(lateral force coeff.)

� Yönetmeliklerde bu değer, taban kesme kuvvetini bulmak için yapı ağırlığıyla çarpılması gereken

katsayıyı temsil eder.

� Gerçek spektral değerler ve , maksimum deformasyon ve tasarım kuvvetlerinin bulunması

için gerekli değildir. Bunların bulunması için pseudo-ivme ve pseudo-hız (veya gerçek deplasman)

tepki spektrumlarının bilinmesi yeterlidir.

vS aS

( )k

mω =


TSD Sistemlerin Tepki AnaliziÖrnek

� 1940 El Centro depremi için bu yapının maksimum deplasman ve oluşan maksimum eğilme

gerilmesi değerini bulunuz .%2ξ =

( ) 1.0u L =

x+

( ) 0.0M L =

(0) 0.0u =(0) 0.0u′ =

1 Euler-Bernoulli Kirişi Kabulü

4

4( ) 0

d uEI q xdx

= = Sabit kesitli

( ) rx

hu x Ce=2 3

1 2 3 4( )u x C C x C x C x= + + +(Sınır şartlarından bulunur, katsayılar bulunur)

( )gu t

( )u t

A A’

5200 (~2360kg)W lb=

12’ (3.7m)

A-A’ KesitiI = 7.23 in4 (41.6 cm4)

E = 29,000 ksi (200,000 MPa)

Wboru = 10.79 lb/ft (157.4 N/m)

Çelik boru

Do=4.5 in(11.4 cm)

Di=4.026 in(10.23 cm)


TSD Sistemlerin Tepki AnaliziÖrnek - Devam

2 3

2 3

3 1( )

2u x x x

L L= − : Elastik eğri

3

3 3

3( )

d u EIV x EI

dx L= = − 3

3( ) 0.211 kip/in

EIV L k

L= = =

� Borunun ağırlığı = 10.79*12 = 129.15 lb; 5,200 lb’a göre ihmal edilebilir bir değer!

: Yanal rijitlik (36,952 MN/m)

25.20.01347 kips s /in

384

Wm

g= = =

0.2113.958 rad/s

0.01347

k

mω = = =

21.59 snT

πω

= =



( )1.59,0.02 5 indS = : Maksimum deformasyon

( )2

221.59,0.02 0.2pa d dS S S g

T

πω = = =



� Gerilmeler:

12’ (3.7m)

=kS 0.2 5.2 1.04 kipspa

so d

Sf W

g= = × =

46.5 ksisoso

Mc

Iσ = =

12 1.04 12.48 kip-ftsoM = × =

� Örnek 2: Bir önceki soruda bulunan gerilme değerleri, izin verilebilir gerilme değerlerinden büyük

çıktığı için, tasarımcı borunun çapını aşağıdaki gibi büyütüyor. Bu durumda boruda oluşan

maksimum gerilmeleri bulunuz.

A-A’ KesitiÇelik boru

Do=8.625 inDi=7.981 in 3

32.112kip/in

EIk

L= = Yanal rijitlik 10 kat arttı!!!


TSD Sistemlerin Tepki AnaliziÖrnek 2 - Devam

12.59 rad/sk

mω = =

20.502 snT

πω

= =

Küçüldü!!!( )0.502,0.02 2.7 indS = : Maksimum deformasyon

( )2

20.502,0.02 1.1pa dS S g

T

π = =

� Tepki spektrumundan:

Küçüldü!!!

Çok büyüdü!!! (5 kat arttı)

=kS 5.72 kipspa

so d

Sf W

g= = 12 5.72 68.64 kip-ftsoM = × =

49 ksi 46.5 ksisoso

Mc

Iσ = = ≥


TSD Sistemlerin Tepki AnaliziÖrnek 2 - Devam

� Sonuç: 8.625 in çaplık borunun kullanılması ile deformasyonlarda düşüş gözlendi; ancak

tasarımcının öngörüşünün aksine, gerilmelerde artış oldu! Bu durum yapıların dinamik ve statik

yükler altındaki davranışları arasındaki farkı göstermektedir. Tasarımcının öngörüşü, statik yükler için

olumlu sonuçlar verecekken, dinamik yükler altında tamamen ters bir sonuç vermiştir. (1.59 sn �

0.502 sn’yeye düşmesi eşdeğer deprem yükünü artırmıştır).

lineer tek serbestlik dereceli (tsd) sistemlerin tepki...

Documents