LINEAR LINEAR PROGRAMMINGPROGRAMMING

Model Programasi Linear

Adalah sebuah model matematis yang bersifat umum yang digunakan untuk mengalokasikan faktor produksi atau sumber daya yang jumlahnya terbatas secara optimal, sehingga dapat menghasilkan laba maksimal atau biaya minimal

Fungsi-Fungsi Dalam PL

1. Fungsi Tujuan (objective function)Fungsi yang menyatakan tujuan yang akan dicapai, dapat berupa laba maksimal atau biaya minimal

2. Fungsi Kendala (contrains or subject to)Fungsi yang menyatakan batasan atau kendala dari faktor produksi yang dimilikiSimbol yang digunakan : <, >, =

3. Fungsi Status (status function)Fungsi yang menyatakan bahwa setiap variabel yang terdapat di dalam model programasi linear tidak boleh negatif

Asumsi Dasar PL1. Certainty

Angka yang diasumsikan dlm f.tujuan dan f.kendala secara pasti diketahui dan tidak berubah selama waktu dipelajari

2. ProporsionalityAlokasi sumber daya dengan goal yang ingin dicapai harus proporsional

3. AdditivityTotal dari semua aktivitas adalah sama dengan jumlah dari aktivitas individual

4. DivisibilityJumlah produk yang akhirnya direkomendasikan dalam kondisi optimum, dapat berupa pecahan bukan bilangan bulat

5. Non-negatif variableSemua variabel bukan negatif, bisa nol atau positif (negatif dalam kuantitas fisik a/d mustahil)

Fungsi Matematika untukMasing-masing Fungsi1. Fungsi Tujuan

Maks. Laba Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

2. Fungsi Kendalaa11x1 + a12x2 + … + a1nxn < b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn < b2 .. .. .. .... .. .. ..

am1x1 + am2x2 + … + amnxn < bn

3. Fungsi Statusx1 ; x2 ……………….. Xn > 0

Metode-Metode Dlm PL

MetodeProgramasi Linear

Metode Aljabar Metode Grafik

Simpleks Primal Simpleks M-Besar

Simpleks Dual Simpleks Dua Fase

Perbedaan Metode SolusiKarakteristik

pada formulasi masalah

Grafis SimpleksSimpleksBig – M

Jumlah Variabel

2 > 2 > 2

Jenis fungsi tujuan

maksimisasi dan minimisasi

maksimisasi dan minimisasi

maksimisasi dan minimisasi

Jenis fungsi kendala

semua bentuk Pertidak-samaan bertanda “ < “

Pertidaksamaan bertanda “ > “ atau persamaan “=“

METODE GRAFIK

metode digunakan untukpermasalahan dengan jumlahvariabel sebanyak dua,dengan tandapertidaksamaan pada fungsikendala bebas

Contoh Soal

Sebuah perusahaan pabrikasi hendak memproduksi 2 buah produk, yaitu x1 dan x2 yang masing-masing memberikan laba bersih sebesar Rp.4000, - dan Rp.5000,- per unitnya. Untuk membuat kedua produk tersebut diperlukan 2 buah bahan baku (bb), yaitu bb-A dan bb-B. Bahan baku A tersedia maksimal 12 ton dan bahan baku B tersedia tidak boleh lebih dari 24 ton.Setiap unit produk x1 memerlukan 1 ton bb-A dan 4 ton bb-B. Sedang setiap unit produk x2 memerlukan 3 ton bb-A dan 3 ton bb-B.Buatlah formulasi persoalan tersebut, dan hitunglah berapa komposisi jumlah bb-A dan bb-B yang digunakan agar perusahaan mendapatkan keuntungan maksimal ?

Matriks Persoalan

Uraian ProdukX1

ProdukX2

Tanda Kenda

la

kapasitas

Bb-A 1 3 < 12Bb-B 4 3 < 24Laba(000 Rp)

4 5 - -

Formulasi Persoalan

x1 = Jumlah produk x1

X2 = Jumlah produk x1

F. Tujuan : Maks. Laba Z = 4x1 + 5x2

F. Pembatas : x1 + 3x2 < 12 ( bb-A ) 4x1 + 3x2 < 24 ( bb-B )

F. Status : x1 ; x2 > 0

Penyelesaian Aljabar Analitik

x1 + 3x2 < 12Jika x1 = 0 x2 = 4Jika x2 = 0 x1 = 12

4x1 + 3x2 < 24Jika x1 = 0 x2 = 8Jika x2 = 0 x1 = 6

GrafikGrafik8 8 (8,0)(8,0)

66

(4,0)(4,0)4 4 ( 4, 2 2/3)( 4, 2 2/3) 22

(6,0)(6,0) (12,0)(12,0)00 22 44 66 88 1010 1212 1414

Jadi, untuk mendapatkan laba maks, perusahaan harus Jadi, untuk mendapatkan laba maks, perusahaan harus memproduksi 4 unit produk xmemproduksi 4 unit produk x11 dan 2 2/3 unit produk x dan 2 2/3 unit produk x22, , sehingga diperoleh laba maksimal sebesar Rp.29.338,33sehingga diperoleh laba maksimal sebesar Rp.29.338,33

DaerahFeasible

Metode SimpleksMetode Simpleks

Digunakan untuk Digunakan untuk permasalahan dengan jumlah permasalahan dengan jumlah variabel sebanyak dua atau variabel sebanyak dua atau lebih, dengan tanda lebih, dengan tanda pertidaksamaan pada fungsi pertidaksamaan pada fungsi kendala adalah kurang dari kendala adalah kurang dari atau sama denganatau sama dengan

Langkah-Langkah Metode Langkah-Langkah Metode Simpleks PrimalSimpleks Primal

1. Ubahlah tanda pertidaksamaan lebih kecil atau sama 1. Ubahlah tanda pertidaksamaan lebih kecil atau sama dengan (dengan (<<) yang terdapat pada persamaan fungsi kendala ) yang terdapat pada persamaan fungsi kendala menjadi tanda sama dengan (=). Caranya dengan menjadi tanda sama dengan (=). Caranya dengan memasukkan variabel slek (memasukkan variabel slek (slack variable slack variable atau S) yang atau S) yang bernilai positif. Adapun banyaknya variabel slek tersebut bernilai positif. Adapun banyaknya variabel slek tersebut bergantung pada fungsi kendala.bergantung pada fungsi kendala.Dalam contoh soal, ada 2 buah tanda Dalam contoh soal, ada 2 buah tanda << pada persamaan pada persamaan fungsi kendala. Jadi gunakan +S1 dan +S2.fungsi kendala. Jadi gunakan +S1 dan +S2.

F/tujuan F/tujuan :: Zmax = 4xZmax = 4x11 + 5x + 5x22 F/kendalaF/kendala :: x x11 + 5x + 5x22 + S + S11 …….. = 12 …….. = 12

4x4x11 + 3x + 3x22 ….. + S ….. + S22 …= 24 …= 24F/statusF/status :: x x11 ; x ; x22 …………….. …………….. >> 0 0

2. Kemudian varibel-variabel slek tadi kita tambahkan pada 2. Kemudian varibel-variabel slek tadi kita tambahkan pada persamaan fungsi tujuan tetapi koefisiennya nol. persamaan fungsi tujuan tetapi koefisiennya nol. F/tujuan F/tujuan :: Zmax = Zmax = 4x4x11 + 5x + 5x2 2 + 0S+ 0S11 + 0S + 0S22 F/kendala F/kendala :: x x11 + 5x + 5x22 + S + S11 …….. = 12 …….. = 12

4 4xx11 + 3x + 3x22 ….. + S ….. + S22 …= 24 …= 24 F/status F/status :: xx11 ; x ; x22 ………………. ………………. >> 0 0

3. Kesemua variabel tadi, baik varibel keputusan ( x3. Kesemua variabel tadi, baik varibel keputusan ( x11 dan x dan x22 ) ) maupun varibel slek ( Smaupun varibel slek ( S11 dan S dan S22 ) tidak boleh negatif nilainya ) tidak boleh negatif nilainya atau harus atau harus >> nol. nol.

F/tujuan F/tujuan :: Zmax = 4xZmax = 4x11 + 5x + 5x22 + 0S + 0S11 + 0S + 0S22F/kendalaF/kendala :: x x11 + 5x + 5x22 + S + S11 …….. = 12 …….. = 12 4x 4x11 + 3x + 3x22 ….. + S ….. + S11….= 24….= 24F/statusF/status :: x1 ; x2 ; S x1 ; x2 ; S11 ; S ; S22 …… …… >> 0 0

4. Hasil langkah ke-1 s.d ke-3, masukkan ke dalam tabel 4. Hasil langkah ke-1 s.d ke-3, masukkan ke dalam tabel simplekssimpleks primal ( tabel 1) primal ( tabel 1)

5. Tentukanlah variabel dasarnya, yaitu varibel yang besarnya sama 5. Tentukanlah variabel dasarnya, yaitu varibel yang besarnya sama dengan nilai sisi kanan pada fungsi kendala pada saat belum dengan nilai sisi kanan pada fungsi kendala pada saat belum dihasilkan produk.dihasilkan produk.

6. Lakukanlah langkah iterasi. Hitunglah nilai-nilai baris Z iterasi ke-16. Lakukanlah langkah iterasi. Hitunglah nilai-nilai baris Z iterasi ke-1

7. Hitunglah nilai-nilai pada baris C-Z pada iterasi ke-17. Hitunglah nilai-nilai pada baris C-Z pada iterasi ke-1

8. Tentukanlah variabel masuk (8. Tentukanlah variabel masuk (entering variabelentering variabel) atau produk yang ) atau produk yang akan dibuat terlebih dahulu, yaitu dengan cara memilih nilai C-Z akan dibuat terlebih dahulu, yaitu dengan cara memilih nilai C-Z yang terbesar (karena fungsi tujuan adalah maksimisai laba)yang terbesar (karena fungsi tujuan adalah maksimisai laba)

Pada contoh soal, variabel masuk adalah xPada contoh soal, variabel masuk adalah x22 ( x ( x2 2 berada satu berada satu kolom dengan angka 5 )kolom dengan angka 5 )

9. Tentukanlah kolom kunci, yaitu kolom-kolom yang sejajar 9. Tentukanlah kolom kunci, yaitu kolom-kolom yang sejajar dengandengan variabel masuk variabel masuk10. Hitunglah nilai rasio masing-masing, dengan rumus :10. Hitunglah nilai rasio masing-masing, dengan rumus : Rasio = ( nilai kanan / kolom kunci )Rasio = ( nilai kanan / kolom kunci )

11. Tentukan varibel keluar (11. Tentukan varibel keluar (leaving variabelleaving variabel), yaitu dengan cara memilih), yaitu dengan cara memilih nilai rasio yang terkecil dan positif.nilai rasio yang terkecil dan positif. Pada contoh soal, Pada contoh soal, leaving variabelleaving variabel adalah S1 ( S1 berada satu baris adalah S1 ( S1 berada satu baris

dengan niali rasio yang terkecil dan positif )dengan niali rasio yang terkecil dan positif )

12. Tentukan baris kunci12. Tentukan baris kunci

13. Angka yang terdapat pada perpotongan kolom kunci dan baris kunci 13. Angka yang terdapat pada perpotongan kolom kunci dan baris kunci disebut angka kunci. Pada contoh soal yaitu angka 3.disebut angka kunci. Pada contoh soal yaitu angka 3. Kemudian angka kunci tsb nilainya dijadikan nilai 1, dan disebut Kemudian angka kunci tsb nilainya dijadikan nilai 1, dan disebut “pivot”. Karena angka kunci untuk menjadi pivot dibagi g=dgn bil. 3,“pivot”. Karena angka kunci untuk menjadi pivot dibagi g=dgn bil. 3, maka seluruh angka pada baris kunci juga dibagi dengan 3maka seluruh angka pada baris kunci juga dibagi dengan 3

14. Hitunglah nilai-nilai pada baris 0S14. Hitunglah nilai-nilai pada baris 0S22 pada iterasi ke-2 ( baris pada iterasi ke-2 ( baris SS2 2 baru )baru ) dengan cara : dengan cara : Baris S Baris S22 lama : 4lama : 4 3 3 0 0 11 2424 Baris Pivot Baris Pivot : 3( : 3(11//33 1 1 11//33 00 4) - 4) -

Baris S Baris S22 baru : 3 baru : 3 0 0 -1 -1 11 1212

15. Hitung kembali nilai-nilai Z yang baru15. Hitung kembali nilai-nilai Z yang baru

16. Hitung pula nilai C-Z yang baru16. Hitung pula nilai C-Z yang baru

17. Periksalah apakah semua nilai C-Z yang baru sudah tidak ada 17. Periksalah apakah semua nilai C-Z yang baru sudah tidak ada nilainilai positif lagi. Bila iya, maka proses pehitungan dihentikan karena positif lagi. Bila iya, maka proses pehitungan dihentikan karena solusi sudah optimal. Tetapi jika tidak, maka dilanjutkan ke langlah solusi sudah optimal. Tetapi jika tidak, maka dilanjutkan ke langlah 18.18.

18. Ulangilah langkah sejak langkah 818. Ulangilah langkah sejak langkah 8

Tabel IterasiTabel IterasiIterasi

ke-C

Var. Dasar4 5 0 0 Nilai

Kanan RasioX1 X2 S1 S2

10 S1 1 3 1 0 12 12/3 =

+40 S2 4 3 0 1 24 24/3 =

+8Z 0 0 0 0 0

C-Z 4 5 0 0 -

25 X2 1/3 1 1/3 0 4 4/(1/3)

= +120 S2 3 0 -1 1 12 12/3 =

+4Z 5/3 5 5/3 0 20 20/(5/3)

= +12C-Z 7/3 0 -5/3 0 -

35 X2 0 1 4/9 -1/9 8/3

4 X1 1 0 -1/3 1/3 4

Z 4 5 8/9 7/9 88/3

C-Z 0 0 -8/9 -7/9 -

Latihan Soal 1Latihan Soal 1CV Agri Top memproduksi dua buah produk berbahan dasar stroberi, CV Agri Top memproduksi dua buah produk berbahan dasar stroberi, yaitu sirup stroberi dan minuman segar stroberi, yang masing-masing yaitu sirup stroberi dan minuman segar stroberi, yang masing-masing menghasilkan laba bersih sebesar Rp.4000,00 dan Rp.5000,00. menghasilkan laba bersih sebesar Rp.4000,00 dan Rp.5000,00. Kedua produk tersebut dihasilkan di dua divisi yaitu divisi produksi Kedua produk tersebut dihasilkan di dua divisi yaitu divisi produksi dan divisi pengemasan, dimana waktu yang tersedia di divisi dan divisi pengemasan, dimana waktu yang tersedia di divisi pengemasan paling banyak 12 jam, sedangkan di divisi produksi pengemasan paling banyak 12 jam, sedangkan di divisi produksi maksimal 24 jam. Untuk memproses sirup stroberi di divisi maksimal 24 jam. Untuk memproses sirup stroberi di divisi pengemasan dibutuhkan waktu 1 jam, dan untuk minuman stroberi pengemasan dibutuhkan waktu 1 jam, dan untuk minuman stroberi dibutuhkan waktu 3 jam. Sedangkan untuk memproses sirup stroberi dibutuhkan waktu 3 jam. Sedangkan untuk memproses sirup stroberi di divisi produksi dibutuhkan waktu 4 jam, dan untuk minuman stroberi di divisi produksi dibutuhkan waktu 4 jam, dan untuk minuman stroberi 3 jam. Dengan menggunakan metode simpleks, berapa komposisi 3 jam. Dengan menggunakan metode simpleks, berapa komposisi jumlah sirup stroberi dan minuman stroberi yang harus diproduksi jumlah sirup stroberi dan minuman stroberi yang harus diproduksi perusahaan agar keuntungan yang diperolehnya maksimal ?perusahaan agar keuntungan yang diperolehnya maksimal ?

Latihan Soal 2Latihan Soal 2PT Beauty Auto memproduksi dua jenis mobil, yaitu mobil sedan dan PT Beauty Auto memproduksi dua jenis mobil, yaitu mobil sedan dan truk. Untk dapat meraih konsumen berpenghasilan tinggi, perusahaan truk. Untk dapat meraih konsumen berpenghasilan tinggi, perusahaan ini memutuskan untuk melakukan promosi dalam dua macam acara ini memutuskan untuk melakukan promosi dalam dua macam acara TV, yaitu pada acara hiburan dan acara olah raga. Promosi pada TV, yaitu pada acara hiburan dan acara olah raga. Promosi pada acara hiburan akan disaksikan oleh 7 juta pemirsa wanita dan 2 juta acara hiburan akan disaksikan oleh 7 juta pemirsa wanita dan 2 juta pemirsa pria. Promosi pada acara olah raga akan disaksikan oleh 2 pemirsa pria. Promosi pada acara olah raga akan disaksikan oleh 2 juta pemirsa wanita dan 12 juta pemirsa pria. Biaya promosi pada juta pemirsa wanita dan 12 juta pemirsa pria. Biaya promosi pada acara hiburan adalah Rp.5 juta/menit, sedangkan pada acara olah acara hiburan adalah Rp.5 juta/menit, sedangkan pada acara olah raga biayanya adalah Rp.10 juta/menit. JIka perusahaan raga biayanya adalah Rp.10 juta/menit. JIka perusahaan menginginkan promosinya disaksikan sedikitnya oleh 28 juta pemirsa menginginkan promosinya disaksikan sedikitnya oleh 28 juta pemirsa wanita dan sedikitnya 24 juta pemirsa pria. Dengan menggunakan wanita dan sedikitnya 24 juta pemirsa pria. Dengan menggunakan metode grafis, berapa menit komposisi jumlah promosi pada acara metode grafis, berapa menit komposisi jumlah promosi pada acara hiburan dan pada acara olah raga yang paling baik agar biaya hiburan dan pada acara olah raga yang paling baik agar biaya promosi yang dikeluarkan perusahaan seminimum mungkin ?promosi yang dikeluarkan perusahaan seminimum mungkin ?