Mitschrift zur Lineare Algebra I Vorlesung vonProf. Dr. Felsner im WS07/08Thomas El Khatib, Maximilian Werk18. Mrz 20081Inhaltsverzeichnis1 Grundbegriffe 71.1 Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1 Mengennotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Rechenregeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.5 Komposition von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.6 Identitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.7 Menge aller Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.8 Produkte von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 quivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 quivalenzrelationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Partitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Gruppen 132.1 Denitionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.1 Innere Verknpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.3 Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.5 Symmetrische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.7 Eigenschaften von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.8 Untergruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.10 Untergruppenkriterium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1 Denition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.4 Beispiele von Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.5 Bild und Kern von Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . 212.2.6 Faktorgruppe nach dem Kern und Homomorphiesatz . . . . . 212.2.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Ringe, Krper, Polynome 243.1 Denitionen: Ring und Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.1 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.3 Nullteilerfreiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.4 Gegenbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.5 Unterringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.6 Ringhomomorphismen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.7 Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.8 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.9 Eigenschaften von Krpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2623.1.10 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.11 Der Krper der komplexen Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.1 Denition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.3 Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.4 Gradformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.5 Nullteilerfreiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.6 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.8 Folgerungen, Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.9 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.10 Lemma von Bezout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.11 Faktorpolynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.12 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 Vektorrume 404.1 Denitionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.1 Vektorrume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.2 Weitere Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.4 Untervektorrume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.6 Durchschnitte von Unterrumen sind Unterrume. . . . . . . 424.1.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.8 Vereinigung von Unterrumen ist kein Unterraum . . . . . . . 434.1.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.10 Lineares Erzeugnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.11 Lineare Unabhngigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.12 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.13 Charakterisierung der linearen Unabhngigkeit . . . . . . . . 454.2 Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.1 Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.2 Charakterisierung des Vektorraums durch eine seiner Basen . 464.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.4 Alternative Denitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.5 Existenz einer Basis fr endlich erzeugbare Vektorrume. . . 484.2.6 Austauschlemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.7 Austauschsatz von Steinitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.8 Alle Basen haben gleich viele Elemente . . . . . . . . . . . . 504.2.9 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.10 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.11 Dimension von Unterrumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3 Unendlichdimensionale Vektorrume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3.2 Halbordnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.4 Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.5 Lemma von Zorn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.6 Basisexistenzsatz fr beliebige Vektorrume . . . . . . . . . . 5234.4 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4.1 Denition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4.2 Zeilenstufenform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4.3 Kriterium fr lineare Unabhngigkeit . . . . . . . . . . . . . 544.4.4 Zeilenraum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4.5 Elementare Zeilenumformungen. . . . . . . . . . . . . . . . 554.4.6 Elementare Zeilenumformungen sind zeilenraumerhaltend . . 554.4.7 Weitere Zeilenumformungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4.8 Jede Matrix kann in Zeilenstufenform umgeformt werden . . 564.4.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4.10 Transponierte Matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4.11 Symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen . . . . . . . 584.4.12 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4.13 Rechenregeln fr Transponation . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Summen und direkte Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.1 Summe von Untervektorrumen . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5.3 Summe und Erzeugnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5.4 Dimensionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5.5 Direkte Summe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5.6 Existenz von komplementren Unterrumen . . . . . . . . . . 614.5.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 Lineare Abbildungen 625.1 Denitionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.1.1 Lineare Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.1.3 Lineare Abbildungen sind Vektorraumhomomorphismen . . . 635.1.4 Eigenschaften von linearen Abbildungen . . . . . . . . . . . 635.1.5 Komposition linearer Abbildungen sind linear . . . . . . . . . 645.1.6 Vektorrume der Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . 645.1.7 Menge der Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Bild, Faser, Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.1 Denitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.2 Rang einer linearen Abbildung. . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2.3 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2.4 Faserung eines Vektorraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2.5 Afne Teilrume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.7 Charakterisierung von afnen Unterrumen . . . . . . . . . . 685.2.8 Dimension afner Unterrume. . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2.9 Komplementre Unterrume und afne Unterrume . . . . . . 695.3 Dimensionsformel, Faktorrume und Homomorphiesatz . . . . . . . . 695.3.1 Dimensionsformel fr lineare Abbildungen . . . . . . . . . . 695.3.2 Faktorisierungssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3.4 Quotienten-/Faktorrume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3.5 Universelle Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3.6 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7446 Lineare Gleichungssysteme 766.1 Begriffe und Denitionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.1.1 Lineares Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.1.2 Homogenes/inhomogenes System. . . . . . . . . . . . . . . 766.1.3 Lsungsraum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.1.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.1.5 Matrizen denieren lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . 766.1.6 Zeilen- und Spaltenrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2 Lsen und Lsungsraum von linearen Gleichungssystemen . . . . . . 776.2.1 Charakterisierung des Lsungsraums eines LGS . . . . . . . 776.2.2 Zeilenrang = Spaltenrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.3 Kriterium fr die Lsbarkeit eines LGS . . . . . . . . . . . . 796.2.4 Elementare Zeilenumformungen sind lsungsraumerhaltend . 806.2.5 Lsungen eines linearen Gleichungssystem. . . . . . . . . . 806.2.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817 Lineare Abbildungen und Matrizen 827.1 Lineare Abbildungen entsprechen Matrizen . . . . . . . . . . . . . . 827.1.1 Satz von der linearen Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . 827.1.2 Fundamentalsatz fr endlichdimensionale Vektorrume . . . . 837.1.3 Darstellungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.1.4 Hom(V,W) ist ein Vektorraum von Matrizen . . . . . . . . . . 847.1.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.2 Komposition und Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.2.1 Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.2.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.2.3 Komposition und Matrixmultiplikation entsprechen einander . 867.2.4 Spezialflle der Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . 877.2.5 Dualraum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2.6 Rechenregeln fr die Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . 887.2.7 Matrizen bilden einen Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2.8 Darstellungsmatrizen von Isomorphismen. . . . . . . . . . . 897.2.9 General linear group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.2.10 Charakterisierung invertierbarer Matrizen . . . . . . . . . . . 917.2.11 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2.12 Interessante Untergruppen der GL(n,K) . . . . . . . . . . . . 927.2.13 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.2.14 Transformationen zwischen Koordinatensystemen . . . . . . 937.2.15 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.2.16 Koordinatensysteme und Darstellung linearer Abbildungen . . 947.2.17 Darstellung der Komposition linearer Abbildungen . . . . . . 957.2.18 Transformation der Darstellungsmatrix bei Basiswechsel . . . 967.2.19 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.2.20 Zeilenrang = Spaltenrang die Zweite . . . . . . . . . . . . . . 977.2.21 Elementarmatrizen und Matrixumformungen . . . . . . . . . 9858 Permutationen 1008.1 Denitionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.1.1 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.1.2 Beispiel und Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.1.3 Zyklenzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.1.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.2 Zyklenstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.2.1 Exkurs: Konjugierte Permutationen . . . . . . . . . . . . . . 1028.3 Transpositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.3.1 Benachbarte Transpositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.3.2 Inversionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049 Determinanten 1059.1 Determinanten von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.1.1 Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.1.2 Die Leibniz Formel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.1.3 Die Laplace Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.1.4 Wie efzient ist die Determinantenberechnung?. . . . . . . . 1099.1.5 Determinanten und Volumina . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.2 efziente Berechnung von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . 1109.3 Elementar Zeilenumformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.4 Determinante der Transponierten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.4.1 Matrixinversion und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . 1149.4.2 Determinante und Gleichungssysteme - Cramersche Regel . . 1159.4.3 Determinate ohne Matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.5 Anwendung der Determinanten in der Geometrie und diskreten Mathe-matik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.5.1 Matroide - diskrete Verallgemeinerung von linearer Unabhn-gigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11610Codierungstheorie 11810.1 Wiederholungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11810.2 Der Hamming Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11910.2.1 Kugeln bezglich des Hamming Abstandes . . . . . . . . . . 11910.3 Lineare Codes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.4 Generatormatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.5 Prfmatrix (Checkmatrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.6 Hamming Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310.6.1 Perfekte Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12410.6.2 Decodierung von Ham(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12410.7 Reed-Salomon-Codes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12410.7.1 Ein konkreter RS-Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12611Bildquellen 12761 Grundbegriffe1.1 Mengen und Abbildungen1.1.1 Mengennotationen { } \ {1, 3, 5, 7, 9}. .explizite Nennung= {a N | a ungerade, a < 10}. .implizit durch Eigenschaften1.1.2 ZahlenmengenN, Z, Q, R, C1.1.3 RechenregelnSeien A, B, C, Ni..verschiedene i von 1 bis n X A B = BA, A B = B A - kommutativ(A B) C) = (A (B C)), (A B) C) = (A (B C)) - assoziativA_

i2INi_..N1\N2\...\Nn=

i2I(A Ni)A__i2INi_=_i2I(A Ni)distributiv1.1.4 AbbildungenDenition 1.1.f: X Yx f(x)bedeutet: f ordnet jedem x X ein y = f(x) Yzu.Ist A X, so ist das Bild von A: f(A) = {y Y | x a . f(x) = y}Ist B Y , so ist das Urbild von B: f1(B) = {x Y | f(x) B}injektiv: Keine zwei Elemente von X werden auf dasselbe Element abbgebildet(engl. one-to-one).surjektiv: Jedes Element aus y ist ein f(x) (liegt im Bild von X) (engl. onto).bijektiv: injektiv + surjektiv7Lemma 1.1.4.1. Seien X, Yendlich, f: X Yeine Abbildung. Es gilt(a) f ist injektiv == |X| = |f(X)|.(b) f ist surjektiv ==f(X) = Y == |f(X)| = |Y |.Beweis. Seien X, Yendlich, f: X Yeine Abbildung.a) IllustrationEs muss gelten |X| = |Pfeile|. Injektivitt heit nun, dass auf kein Element 2oder mehr Pfeilspitzen zeigen, also gilt |Pfeilspitzen| = |f(x)|. Zusammen folgt|X| = |Pfeile| = |Pfeilspitzen| = |f(X)|b) XSatz 1.1.1. SeiXeine endliche Menge undf: X Xeine Abbildung, dann istquivalent(a) f ist injektiv(b) f ist surjektiv(c) f ist bijektivBeweis. (a) =(b)Aus dem Lemma folgt:f ist injektiv == |X| = |f(X)|== |f(X)| = |X| (= |Y |) ==f ist surjektivAus (a) und (b) folgt direkt (c).Achtung. Wenn X unendlich ist, dann wird der Satz falsch.Es gibt surjektive Abbildungen f: R R2, z.B.x = 0, x1x2x3. . . _yx = 0, x1x3x5. . .zx = 0, x2x4x6. . .(Darstellung von reellen Zahlen als unendliche p-adische Brche ist nicht eindeutig!)81.1.5 Komposition von AbbildungenDenition 1.2. Seien f: X Y,g : Y Z dann heitg f: X Zx (g f)(x) = g(f(x))die Komposition g nach f.XfYgZXgfZ1.1.6 IdentittDenition 1.3. Eine spezielle Abbildung ist die wie folgt denierte Identitt idX aufeiner Menge XidX: X Xx xFr die Identitt giltf idX= idY f= fLemma 1.1.6.1. Sei f: X Yeine Abbildung.(a) f ist injektiv == g : Y X mit g f= idX(b) f ist surjektiv == g : Y X mit f g = idY(c) f ist bijektiv == g : Y X mit g f= idX.f g = idYBeweis. Sei f: X Yeine Abbildung.(a) IllustrationVon allen Elementen ausY , auf die ein Pfeil zeigt, geht der Pfeil fr die Ab-bildungg auf demselben Weg zurck. Man dreht die Pfeile also praktisch um.Alle Elemente von Y , auf die kein Pfeil zeigt, werden durch g auf ein beliebigesElement von X abgebildet.In der Hinrichtung ist zu zeigen: [ g Y X: g f= idX] =f ist injektiv.Wir zeigen: f ist nicht injektiv =, g Y X: g f= idX.Wenn f nicht injektiv ist, gibt es zwei Elemente aus X, die auf dasselbe Elementaus Yabgebildet wird, also x1, x2 X: x1 ,= x2. f(x1) = f(x2) = y Y9Wenn g(y) = x1, dann ist (g f)(x2) = x1 ,= x2, also ist g ,= idX.Wenn g(y) = x2, dann ist (g f)(x1) = x2 ,= x2, also ist g ,= idX.Wenn g(y) =x3,x3 ,=x1,x3 ,=x2, dann ist (g f)(x2) =x3 ,=x2, also istg ,= idX.Fr jedesggibt es ein Elementx X, das durchg fnicht auf sich selbstabgebildet wird, also gibt es kein g mit g f= idX.Die Rckrichtung ist klar: Da g eine Abbildung ist, wird f(x1) = f(x2) dasselbeElement x1 = x2 zugeordnet.(b) IllustrationMan sucht fr jedes Element in Yeinen Pfeil aus, der auf es zeigt, und kehrt esum. Also whle xy f1({y}) und deniere: g(y) = xy, dann gilt (f g)(y) =f(xy) = y, also insgesamt f g = idY .Bemerkung. Man bentigt hierbei das Auswahlaxiom.Wennfnicht surjektiv ist, dann y0 Y \ x X : f(x) ,=y0. Wenng(y0) =x0 X, dann folgt (f g)(y0) =f(x0) ,=y0, also kann f g nichtidYsein. Es gibt also kein g mit dieser Eigenschaft.Die Rckrichtung ist auch hier klar: Da g eine Abbildung ist, wird jedem y Yein x X zugeordnet, sodass f(x) = y gilt.(c) IllustrationMan dreht die Pfeile einfach um.Der formale Beweis sttzt sich auf (a) und (b).1.1.7 Menge aller AbbildungenWie viele Abbildungen von X nach Ygibt es?WennX, Y endliche Mengen sind, dann kommt es nur auf die Anzahl der Ele-mente vonXundYan. Sei [n] = {1, 2, 3, . . . , n} fr einn N. Dann gibt esmnAbbildungen von [n] nach [m].10Denition 1.4. Daraus ergibt sich die symbolische SchreibweiseYX:= {f: X Y }fr die Menge aller Abbildungen von X nach Y .1.1.8 Produkte von MengenDenition 1.5. Fr zwei MengenX, Ywird das kartesische Produkt vonXmitYdeniert alsX Y:= {(x, y) | x X, y Y }Intutiv wird deniertXn:= X X . . . X. .n-mal(Wir lassen die Klammern weg.)= {(x1, x2, . . . , xn) | xi X \ i = 1, . . . , n}=_(xi)i2[n]: xi X_= {f: [n] X}1.2 quivalenzrelationen1.2.1 RelationenDenition 1.6. Eine Relation R ist eine Teilmenge von X Y , alsoR X YMan schreibt xRy um zu kennzeichnen: (x, y) R.1.2.2 quivalenzrelationenDenition 1.7. quivalenzrelationen sind Relationen X Xmit den Eigen-schaftenA1Reexivitt: x x \ x X,A2Symmetrie: x y =y x \ x, y X undA3Transitivitt: x y . y z =x z \ x, y, z X.1.2.3 Beispiele= - Gleichheitsrelation auf einer Menge X als eine Gruppe von Personen, - Gleichaltrigkeit111.2.4 PartitionenDenition 1.8. Eine Partition einer Menge X ist eine Zerlegung von X in paarweisedisjunkte Teilmengen (Xi)i2I, d.h. i2I Xi = X Xi Xj = O i, j I,i ,= j Xi ,= O \ i ISatz 1.2.1. Sei X eine Menge. Partition von X und quivalenzrelationen entsprecheneinander.Beweis. Sei (Xi)i2I eine Partition. Wir denieren:x y== i I : x Xi. y XiZu zeigen: ist eine quivalenzrelation:A1Sei x X, dann gilt x Xi =x Xi. XA2Seien x, y X, dann gilt (x Xi. y Xi) =(x Xi. y Xi). XA3Seien x, y, z X und gelte (x Xi. y Xi) . (y Xj . z Xj). Darausfolgt wegen der Disjunktheit der Klassen Xi = Xj, also x Xj . z Xj. XDenition 1.9. Sei andererseits eine quivalenzrelation auf X, dann wird deniert:[x] = {y X | x y}ist die quivalenzklasse von x. x wird Reprsentant der Klasse genannt.Zu zeigen: {[x] | x X} ist eine Partition von X._x2X[x] = X XSeien x, z X mit x ,=z. Es gilt entweder: x z und damit x y \ y [z] undz y \ y [x], also [x] = [z]; oder es gilt x , z, also [x] [z] = O: Angenommender Schnitt wre nicht leer, dann gbe es ein y, fr das gilt x y und y z. Wegender Transitivitt gilt dann auch x z, Widerspruch.Die Menge der quivalenzklassen bildet also eine Partition auf X.122 Gruppen2.1 Denitionen2.1.1 Innere VerknpfungDenition 2.1. Eine Gruppe ist ein Paar (G, ), wobei G eine Menge und eine (in-nere zweistellige) Operation auf G ist, also eine Abbildung GG G.Statt ((g, h)) =r fr drei Elemente g, h, r G schreiben wir g h =r (Inx-Notation).2.1.2 Beispiele : XXXXXX(f, g) f gVerknpfung von Abbildungen von X nach X ((XX, ) ist keine Gruppe!)+ : Z Z Z(a, b) a +b2.1.3 GruppeDenition 2.2. (G, ) ist eine Gruppe, wenn folgende Gesetze gelten:G1Assoziativgesetz: (a b) c = a (b c) \ a, b, c GG2Existenz eines (links-)neutralen Elements: e G: e a = a \ a AG3Existenz von (links-)inversen Elementen: a1 G: a1 a = e \ a A.(G, ) ist kommutative Gruppe (abelsche Gruppe), wenn gilt:a b = b a \ a, b G2.1.4 Beispiele(Z, +) ist eine Gruppe:neutrales Element: 0Inverses von a Z: a(N, +) ist keine Gruppe, weil 1 kein Inverses hat.(Z, ) ist keine Gruppe, weil nicht assoziativ ist.(Q, +), (R, +) (Z, +).(Q+, ) ist ein Gruppe:neutrales Element: 113Inverses von a Q+:1a({1, 1} , ) ist eine Gruppe. Gruppentafel 1 11 1 11 1 1Es gilt {1, 1} Q, wodurch sich die Assoziativitt von (Q, ) ber-trgt.Wie man aus der Tafel ablesen kann, gilt: 1 (1) = (1), 1 1 = 1, alsoist 1 neutrales Element.Wie man aus der Tafel ablesen kann, gilt:(1) (1) = 1 =(1)1= (1)1 1 = 1 =11= 1 D4 - Diedergruppe der Ordnung 4, Symmetriegruppe des QuadratsDie Elemente dieser Gruppe sind die Symmetrien, d.h. Selbstabbildungen desQuadrats:Drehungen: da - Drehung der Ecke 0 auf die Ecke a: d0 - Drehung um 90

(in mathematisch positive Richtung) d1 - Drehung um 180

d2 - Drehung um 270

d3 - Drehung um 360

(Achsen-)Spiegelungen: sa - Spiegelung der Ecke 0 auf die Ecke a: s0, s1, s2, s3Jede Symmetrie kann man als Permutation der Ecken beschreiben, z.B.d1 =0 1 2 31 2 3 0Die Operation ist die Hintereinanderausfhrung der Abbildungen.14 D6 - Diedergruppe der Ordnung 6, Symmetriegruppe des regelmigen Sechs-ecksBehauptung: D6 = ({da, sa | a {0, . . . , 5}} , ) ist eine Gruppe.Beweis. Seien die Bezeichnungen wie oben gegeben. Im Folgenden wird in denIndizes immer modulo 6 gerechnet.Assoziativitt: Verknpfungen von Abbildungen sind immer assoziativ.Einheit: d0 ist die Identitt (alle Ecken werden auf sich selbst gedreht).Inverse: d1a=da, denn die Umkehrung einer Drehung ist die Drehung umdenselben Winkel in die Gegenrichtung. s1a= sa, denn die Umkehrung einer Spiegelung ist die erneute Spie-gelung an derselben Achse.Abgeschlossenheit: Die Auswertung von 144 Produkten ist zu aufwndig,weswegen man systematisch vorgeht:1. dadb = da+b - Klar, Hintereinanderausfhrung von Drehung ist eineDrehung um die Summe der einzelnen Winkel.2. das0 = sa - Eine Spiegelung sa kehrt generell die Durchlaufrichtungder Ecken um und lsst die Zhlung bei a beginnen. s0 kehrt lediglichdie Durchlaufrichtung um, die anschlieende Drehung da dreht eigent-lich a auf 0, wegen der umkehrten Reihenfolge dreht sie aber a auf0, lsst die Zhlung bei immer noch umgekehrter Reihenfolge also beia beginnen.3. s0 da=sa - da dreht 0 auf a, s0 kehrt die Durchlaufreihenfolgeum, also liegt 0 nun auf der Ecke, die am Anfang a hie.4. s0 s0 = d0 - Klar.15Unter Verwendung von 1.-4. kann man nachrechnen:da sb = da (db s0) = (da db) s0 = da+b s0 = sa+bsa db = (da s0) db = da (s0 db) = da sb = sabsa sb = sa (db s0) = (sa db) s0 = sab s0?= dab2.1.5 Symmetrische GruppenDenition 2.3. Sei X eine Menge. Sym(X) ist die Menge aller bijektiven Abbildun-gen vonXnachXmit der Verknpfung als Operation. Die Elemente Sym(X)heien Permutationen.Korollar. Sym(X) ist eine Gruppe, genannte symmetrische Gruppe.Beweis. erfolgt durch Nachweis der Gruppenaxiome:G1Verknpfung von Abbildungen ist immer assoziativ.Beweis. Seien , , Abbildungen von X nach Yund i X. Dann gilt(() )(i) = ()((i)) = (((i))) = (()(i)) = (())(i)G2idX ist das neutrale Element, denn es gilt fr ein Sym(X)idX = G3Zu jeder bijektiven Abbildung fgibt es laut Lemma 1.1.6.1 eine Abbildung g :X X (also g Sym(X)) mit g f= idX.Ab S3 sind symmetrische Gruppen nicht mehr kommutativ, z.B. ist1 2 31 3 21 2 32 1 3=1 2 33 1 2aber1 2 32 1 31 2 31 3 2=1 2 32 3 1Satz. Sn hat genau n! Elemente.Beweis. Es gibt n! Permutationen von n Elementen.162.1.6 BeispielSei X = [5].Eine bijektive Abbildung [5] [5] knnen wir in 2-Zeilennotation beschreiben.Seien =1 2 3 4 54 2 1 5 3,=1 2 3 4 54 5 1 2 3Dann ist =1 2 3 4 55 3 4 2 1Das neutrales Element istid[5] =1 2 3 4 51 2 3 4 5Das Inverse von =1 2 3 4 5z1z2z3z4z5ist1=z1z2z3z4z51 2 3 4 52.1.7 Eigenschaften von GruppenSatz 2.1.1. Sei (G, ) eine Gruppe.i) Das neutrale Element ist eindeutig.ii) Das (links-)neutrale Element ist auch rechtsneutral, d.h. fr alle g Ggilt eg =g e = g.iii) Die inversen Elemente sind eindeutig.iv) Das (links-)inverse Element eines Elementes g G ist auch rechtsinvers, d.h. esgilt g1 g = g g1= e.v) Fr a, b G gilt (a b)1= b1 a1.vi) Fr alle a G: (a1)1= a.vii) Fr alle a, b, c G: a b = a c =b = c.Beweis. Sei (G, ) eine Gruppe und a, b, c G und e neutrales Element von G.ii) Sei b = a1und c = b1, d.h. nach G3 b a = e und c b = e. D.h.c e = c (b a)G1= (c b) a = e aG2=a=a e = (c e) eG1=c (e e)G2=c e = ai) Angenommen es gibt ein weiteres neutrales Element e, d.h. fr alle a G gilt e a = a. Dann gilt auch eG2=e eii)= e e = e17iv) Sei b = a1, d.h. nach G3 b a = e. Dann giltb a = e =b (b a) = b e = e b = (b a) b = b (a b) =b1 (b (b a)) = b1 (b (a b)) =(b1 b) (b a) = (b1 b) (a b) =e (b a) = e (a b) =b a = a bD.h. aber a a1= a1 a = e.iii) Angenommen b sei auch inverses Element von a, also b a = e. Dann gilt auch(b a) a1= e a1G1=b (a a1) = e a1G2=b (a a1) = a1iv)=b e = a1ii)=b = a1v) Es gilt(a b) (b1 a1)G1= (a (b b1)) a1iv)= (a e) a1ii)= a a1iv)= eWeil es nach iii) nur genau ein inverses Element zu a b gibt, gilt (a b)1=b1 b.vi) Nach iv) gilta a1=e, also ist nach G3a invers zua1, also ist nach iii)(a1)1= a.vii) Es gilta b = a c =a1 (a b) = a1 (a c)G1=(a1 a) b = (a1 a) cG3=e b = e cG2=b = cSatz. Jede Gruppe mit maximal vier Elementen ist abelsch.Beweis. Sei (G, ) eine Gruppe.Beweis durch Kontraposition: WennG nicht abelsch ist, dann hatG fnf oder mehrElemente.Sei alsoG nicht abelsch, d.h. a, b G mit a b ,=b a. Es gengt zu zeigen:e, a, b, a b, b a sind paarweise verschieden.18i) a b ,= b a nach Voraussetzung.ii) a ,= e,b ,= e:Angenommen a=e, dann wrde gelten: a b=e bG2=bG2=b e=b a,Widerspruch zu i). Analoges bei b = e.iii) a b ,= a:Angenommen ab = a, dann gilt auch a1ab = a1a, nach G3: eb = e,also nach G2 b = e, Widerspruch zu ii).iv) Analoges fr a b ,= b.v) a ,= b: Angenommen a = b, dann wre auch a b = a a = b a, Widerspruchzu i).vi) a b ,= e:Angenommen ab = e, dann wre nach 2.1.7. iv) auch ba = e, also ab = ba,Widerspruch zu i).vii) Analog zu iii)-vi) folgen die Ungleichungen fr b a.Da alle fnf Elemente paarweise verschieden sind, hatG mindestens diese fnf Ele-mente.2.1.8 UntergruppenDenition 2.4. Ist (G, ) eine Gruppe und H G, dann ist (H, ) eine Untergruppevon G, wenn (H, ) eine Gruppe ist.2.1.9 Beispiel(Z, +) ist eine Untergruppe von (Z, +).Untergruppen des D6:({da | a {0, . . . , 5}} , ) ist eine Untergruppe, genannt die zyklische Un-tergruppe der Ordnung 6.({sa, d0} , )ist eine Untergruppe fr a {0, . . . , 5}. D6 ist Untergruppe von S6 = Sym({0, . . . , 5}).2.1.10 UntergruppenkriteriumProposition 2.1.1. Wenn (G, ) eine Gruppe ist undHG, dann ist (H, ) eineUntergruppe, wenn giltUG1 e H (quivalent zu H ,= O)UG2Wenn h H, dann ist auch h1 H.UG3Mit h, i H ist auch h i H.Beweis. Sei (G, ) eine Gruppe und H G. Wegen UG3 ist H unter abgeschlossen.Weiterhin gilt19G1Assoziativitt wird vererbt: Wenn die Elemente aus H bezglich nicht assozia-tiv wren, wren sie auch in G bezglich nicht assoziativ.G2Neutrales Element ist dasselbe wie in G, das nach UG1 auch in H liegt.G3Die inversen Elemente sind dieselben wie in G und nach UG2 auch in H.2.2 Homomorphismen2.2.1 DenitionDenition 2.5. Seien (G, ) und (H, ) Gruppen. Eine Abbildung ' : G H ist einGruppenhomomorphismus, wenn gilt'(a b) = '(a) '(b) \ a, b G2.2.2 IsomorphismusDenition 2.6. Ist ' bijektiv, dann ' ein Isomorphismus.2.2.3 EigenschaftenSatz 2.2.1. Wenn ' : (G, ) (H, ) ein Homomorphismus ist, dann gilti) '(eG) = eHii) '(a1) = '(a)1Beweis. ' : (G, ) (H, ) ein Homomorphismus, dann gilti) '(a) eH= '(a) = '(a eG) = '(a) '(eG), gekrzt: eH= '(eG).ii) '(a) '(a)1=eHi)='(eG) ='(a a1) ='(a) '(a1),gekrzt:'(a)1= '(a1).2.2.4 Beispiele von Homomorphismen1. (H, ) eine Untergruppe von (G, ), dann ist die Einbettung' : H G'(h) = h \ h Hein Homomorphismus.2.' : (Z, +) (R+, )a exp(a)ist ein Homomorphismus, denn fr beliebige a, b Z gilt nach Funktionalglei-chung der Exponentialfunktion'(a +b) = exp(a +b) = exp(a) exp(b)203.' : (Z, +) (Z, +)a m aist ein Homomorphismus, denn fr beliebige a, b Z gilt'(a +b) = m (a +b)D= m a +m b2.2.5 Bild und Kern von HomomorphismenDenition 2.7. Sei ' : G H ein Gruppenhomomorphismus. Dann wird deniertim(') := {h H | g G: '(g) = h} - Bild von 'ker(') := {g G| '(g) = eH} - Kern von 'Satz 2.2.2. Sei ' : G H ein Gruppenhomomorphismus, dann gilta) im(') ist eine Untergruppe von H.b) ker(') ist eine Untergruppe von G.Beweis. Seien also (G, ) und (H, ) Gruppen und ': G Hein Gruppenhomo-morphismus.a) UG1 eH im('), weil gilt '(eG) = eH.UG2Sei h im('), d.h. g G: '(g) = h. Dann gilt '(g1) = '(g)1=h1, also h1 im(').UG3Seien h1, h2 im('), d.h. g1, g2 G: '(g1) = h1, '(g2) = h2. Danngilt:'(g1 g2) = '(g1) '(g2) = h1 h2also ist h1 h2 im(').b) UG1 eG ker('), weil gilt '(eG) = eH.UG2Sei g ker('), d.h. '(g) =eH. Dann gilt '(g1) ='(g)1=e1H=eH, also g1 ker(').UG3Seien g1, g2 im('), d.h. '(g1) = '(g2) = eH. Dann gilt:'(g1 g2) = '(g1) '(g2) = eH eH= eHalso ist g1 g2 ker(').2.2.6 Faktorgruppe nach dem Kern und HomomorphiesatzSei ' : (G, ) (H, ) ein Gruppenhomomorphismus.Auf G denieren wir eine Relation a 'b ='(a) ='(b). ' ist eine qui-valenzrelation (weil sie ber die Gleichheit deniert ist, die bekanntermaen quiva-lenzrelation ist).Diese quivalenzrelation induziert eine Partition von Gin Klassen. Die Klasse vona bezeichen wir mit [a] = {b G| '(a) = '(b)}.21Auf den Klassen wird die Operation deniert: [a] [b] = [a b].Die Operation ist wohldeniert (reprsentantenunabhngig).Beweis. Seien [a] = [a0] und [b] = [b0]. Es gilt[a] [b] := [a b]= {g G| '(g) = '(a b)}= {g G| '(g) = '(a) '(b)}= {g G| '(g) = '(a0) '(b0)}= {g G| '(g) = '(a0 b0)}= [a0 b0] = [a0] [b0]Satz 2.2.3. (Homomorphiesatz)Wenn ' : (G, ) (H, ) ein Gruppenhomomorphismus ist, dann gilt G/ker ' :=({[a] | a G} , ) ist eine Gruppe und ' : G/ker ' im', '([a]) = '(a)ist ein Isomorphismus, sodass das Diagramm kommutiert:also G/ker ' und im' isomorph (im Wesentlichen gleich) sind.Beweis. Sei also ' : (G, ) (H, ) ein Gruppenhomomorphismus und G/ker ' wieoben deniert.i) Die Gruppeneigenschaften von (G/ker ', ) folgen im Grunde direkt aus derenGltigkeit in (G, ): G/ker ' ist ber abgeschlossen, denn seien [a], [b] G/ker ' beliebig,dann gilt[a] [b] = [a b] G/ker 'weil a b G.22G1Fr [a], [b], [c] G/ker ' gilt([a] [b]) [c] = [a b] [c]= [(a b) c]= [a (b c)]= [a] [b c]= [a] ([b] [c])G2[eG] ist neutrales Element der Struktur, denn es gilt fr alle [a] G/ker '[eG] [a] = [eG a] = [a]G3Das Inverse von [a] G/ker ' ist [a1], denn es gilt[a1] [a] = [a1 a] = [eG]ii) ' ist ein Homomorphismus, denn es gilt fr beliebige [a], [b] G/ker ' '([a] [b]) = '([a b]) = '(a b) = '(a) '(b) = '([a]) '([b])iii) ' ist bijektiv: 'ist injektiv: Seien[a], [b] G/ker 'mit '([a]) = '([b]), d.h. aber'(a) = '(b), also [a] = [b]. ' ist surjektiv: Sei y im', d.h. a G: '(a) = y, also '([a]) = y.2.2.7 Beispiele' : (D6, ) (Z2, +)'(da) = 0,'(sa) = 1 \ a {0, . . . , 5}ist ein Homomorphismus, denn es gilt fr beliebige a, b {0, . . . , 5}.'(da db) = '(da+b) = 0 = 0 + 0 = '(da) +'(db)'(da sb) = '(sa+b) = 1 = 0 + 1 = '(da) +'(sb)'(sb da) = '(sab) = 1 = 1 + 0 = '(sb) +'(da)'(sa sb) = '(dab) = 0 = 1 + 1 = '(sa) +'(sb)' ist surjektiv: im(') = Z2.ker(') = {da | a {0, . . . , 5}} ist eine Untergruppe von D6.Nach dem Homomorphisatz ist D/ker ' isomorph zu Z2.Es ist (Zm, +) = ({[i] : i {0, . . . , m1}} , +m) die Restklassengruppe mo-dulo m. Die in der Denition verwendeten i heien kanonische Reprsentantender Klassen.' : Z Zmi [i]ker(') = [0] = {x Z | y Z: x = m y} = m Z, also gilt nach Homomorphi-satz Z/mZ= Zm.233 Ringe, Krper, Polynome3.1 Denitionen: Ring und Krper3.1.1 RingeDenition 3.1. (R, +, ) ist ein Ring, wenn giltR1(R, +) ist eine abelsche Gruppe.R2 ist eine assoziative Operation R R R.R3Es gelten die Distributivgesetze fr beliebige a, b, c R:a (b +c) = a b +a c(a +b) c = a c +b c(R, +, ) heit kommutativ, wenn fr beliebige a, b R gilt: a b = b a.(R, +, ) ist ein Ring mit Eins, wenn 1 R mit 1 a = a 1 = a.Bemerkung. Ist R ein Ring, so bezeichnet man das neutrale Element bezglich + mit0.Es gilt: 0 a = a 0 = 0.Beweis.a 0 = a (0 + 0)D= a 0 +a 0 =0 = a 00 a = 0 folgt analog.3.1.2 Beispiele1. (Z, +, ) ist ein kommutativer Ring mit Eins.2. (R, +, ) ist ein kommutativer Ring mit Eins.3. Sei R = {f: [0, 1] R} mit den Operationen + und , die wie folgt deniertsind(f +g)(x) := f(x) +g(x) \ x [0, 1](f g)(x) := f(x) g(x) \ x [0, 1](R, +, ) ist ein kommutativer Ring mit Eins. Aber es gibt nicht fr alle Elementevon (R, +, ) multiplikative Inverse.4. (Zm, +, ) ist ein kommutativer Ring mit Eins.5. (2Z, +, ) ist ein kommutativer Ring ohne Eins, denn 1 , 2Z.6. (Rnn, +, ) - der Ring der quadratischen reellen Matrizen - ist ein Ring mitEins, wobeiRnn:=________a11a12. . . a1na21a22. . . a2n............an1an2. . . ann_____ | aij R \ i, j = 1, . . . , n___=_(aij)i,j=1,...,n | aij R \ i, j = 1, . . . , n_24und die Addition komponentenweise:(aij)i,j=1,...,n + (bij)i,j=1,...,n = (aij +bij)i,j=1,...,nund die Multiplikation wie folgt deniert ist(aij)i,j=1,...,n (bij)i,j=1,...,n =_n

k=1aik bkj_i,j=1,...,nDannist (0)i,j=1,...,ndasneutraleElement der Multiplikation, entsprechend(aij)i,j=1,...,n das additive Inverse zu (aij)i,j=1,...,n._____1 0 . . . 00 1 . . . 0............0 0 . . . 1_____ist das neutrale Element der Multiplikation.Der Ring ist ab n = 2 nicht kommutativ, denn es gilt beispielsweise1 10 11 01 1=2 11 1,=1 11 21 01 13.1.3 NullteilerfreiheitDenition 3.2. Sei (R, +, ) ein Ring. R heit nullteilerfrei, falls gilta b = 0 =a = 0 . b = 0 \ a, b R3.1.4 Gegenbeispiele(R22, +, ) ist nicht nullteilerfrei, denn es gilt1 00 00 00 1=0 00 0(Z6, +, ) ist nicht nullteilerfrei, denn es gilt[2] [3] = [2 3] = [6] = [0](RR, +, ) ist nicht nullteilerfrei, denn frf(x) :=_1, x = 10, x ,= 1g(x) :=_0, x = 11, x ,= 1gilt (f g)(x) = 0 \ x R.3.1.5 UnterringeDenition3.3. Uist einUnterringvon(R, +, ), wenn(U, +)Untergruppevon(R, +) und : U U U abgeschlossen ist.253.1.6 RinghomomorphismenDenition 3.4. ' : (R, +, ) (S, , ) ist ein Ringhomomorphismus, wenn gilt'(a +b) = '(a) '(b)'(a b) = '(a) '(b)3.1.7 KrperDenition 3.5. (K, +, ) ist ein Krper, wenn giltK1(K, +) ist eine abelsche Gruppe.K2(K, ) ist eine abelsche Gruppe.K3Distributivgesetz, d.h. fr alle a, b, c K gilta (b +c) = a b +a c3.1.8 Notation0 - neutrales Element von (K, +)1 - neutrales Element von (K, ) a - Inverses von a in (K, +)1a= a1- Inverses von a in (K, )3.1.9 Eigenschaften von KrpernSatz. Sei (K, +, ) ein Krper. Es gilti) 0 ,= 1, weil 1 K und 0 , K.ii) a b = 0 =a = 0 . b = 0, weil (K, ) abgeschlossen ist (Nullteilerfreiheit).iii) a (b) = (a b), denn es giltab+a(b)D= a(b+(b)) = a0 = 0 = ab+((ab)) =a(b) = (ab)iv) (a) (b) = a b, folgt aus iii).3.1.10 Beispiele1. (R, +, ) ist ein Krper.2. (Q, +, ) ist ein Krper.3. (Z, +, ) ist kein Krper, nur 1 und 1 habe multiplikative Inverse.4. Der 3. Beispielring ist kein Krper, auch hier fehlen Inverse.5. (C, +, ) ist ein Krper.6. (Z2, +, ) ist ein Krper.263.1.11 Der Krper der komplexen ZahlenMotivation N fehlt bezglich + die Inversen, also erweitert man die Menge der na-trlichen Zahlen auf die Menge der ganzen Zahlen Z. Diesen wiederum die multipli-kativen Inversen, also konstruiert man Q. (Q, +, ) ist zwar ein Krper, man kann abergewisse Gleichungen nicht in ihm lsen, z.B. x2= 2. Mit Hilfe von Cauchy-Folgen,Dedekindschen Schnitten, Intervallschachtelungen oder hnlichen Objekten/Verfahrenvervollstndigt man Q zu R (siehe Analysis).Jedoch gibt es immer noch Gleichungen, die keine Lsung in R haben, z.B. x2= 1.Also deniert man eine neue Zahl i als eine Lsung ebendieser Gleichung x2= 1.Dann ist i2= 1 und (i)2= 1, wodurch man die Anordnung des Krpers verliert.Nun ist jede quadratische Gleichung lsbar in C, d.h. z C: z2+pz +q = 0.Denition 3.6. Die Menge der komplexen Zahlen ist deniert alsC := {a +b i | a, b R}Jede komplexe Zahl z hat also die Gestalt z = a+b i fr a, b R. a heit der Realteilvon z, man schreibt Re(z) = a, und b Imaginrteil, also Im(z) = b.Wie man (relativ) leicht nachprfen kann, ist (C, +, ) ein Krper (siehe 2. Analysisbungsblatt, 3. Aufgabe).Geometrische Interpretation Der Zahlenstrahl der reellen Zahlen wird zur GauschenZahlenebene:Man kann also sagenC= R2Und man schreibtz = a +bi = r cos ' +i r sin 'wobei r die Lnge des Pfeils ist, nach Pythagoras alsor =_a2+b2=: |z|(a, b) heien die kartesischen Koordinaten vonz und (r, ') die Polarkoordinatenvon z.27Rechnen mit komplexen Zahlen Es giltfr die Addition:(a +bi) + (c +di) = (a +c) + (b +d)iVeranschaulichungund fr die Multiplikation(a +bi) (c +di) = (a c b d) + (a d +b c)ibzw.(r1 cos '1 +i r1 sin '1) (r2 cos '2 +i r2 sin '2)= r1 r2 [(cos '1 cos '2sin '1 sin '1) +i (cos '1 sin '2 + sin '1 '2)]= r1 r2 [cos('1 +'2) +i sin('1 +'2)]VeranschaulichungWenn z = a +bi, dann heit a bi = z komplex-konjugierte Zahl von z.Es gilt fr alle z, z0 C2812 (z +z) =12 (Re(z) + Im(z) i + Re(z) Im(z) i)=12 (2Re(z)) = Re(z)12i (z z) =12i (Re(z) + Im(z) i Re(z) + Im(z) i)=12i (2Im(z) i) = Im(z)z z = (a +bi) (a bi) = a2abi +abi +b2= a2+b2= |z|2z +z0 = z +z0z z0 = z z0|z| + |z0| _ |z +z0|Beweis.|z +z0|2= (z +z0) (z +z0)= (z +z0) _z +z0_= z z +z z0 +z0 z +z0 z0= |z|2+ 2Re(z z0) + |z0|2_ |z|2+ 2 |z z0| + |z0|2= (|z| + |z0|)2Durch Wurzelziehen folgt die Behauptung1z=zz z=z|z|23.2 Polynome3.2.1 DenitionDenition 3.7. Ein Polynom mit Koefzienten in einem Krper K ist ein Ausdruckf(x) = a0 +a1 x +. . . +an xn=n

k=0ak xk, wobei n N0, ai Koefzienten undx Unbestimmte heien. an ,= 0 heit Leitkoefzent.(Man kann Krper auch gegen kommutativer Ring mit Eins austauschen undspter konkretisieren.)Bemerkung. Zwar kann man fr x ein Element aus k einsetzen und so eine Abbildungf:K K denieren, aber Polynome und Polynomabbildungen sind zu unterschei-den.293.2.2 Beispielf(x) = x2g(x) = x3f, g sind Polynome und fr jeden Krper gilt f ,= g.ber K = R sind f und g verschiedene Abbildungen, fr K = Z2 sind f, g allerdingsgleich als Abbildungen, denn es giltf(0) = 0 = g(0),f(1) = 1 = g(1)3.2.3 PolynomringeDenition 3.8. Sei K[x] die Menge alle Polynome mit Koefzienten in K in der Un-bestimmten x.Seien f, g K[x] mitf=n

k=0ak xk, g =m

k=0bk xkfr m _ n, dann deniere eine Addition wie folgt:f +g :=m

k=0(ak +bk) xkwobei alle Koefzienten ai mit i > n als 0 angenommen werden.Die Multiplikation wird deniert durchf g :=n+m

k=0ck xkwobeick := a0 bk +a1 bk1 +. . . +ak 0 =k

i=0ai bki(Die Multiplikation ist die gewohnte Multiplikation von Polynomen.)Satz 3.2.1. (K[x], +, ) ist ein kommutativer Ring mit Eins.(Auch hier kann man immer Krper K gegen kommutativer Ring mit Eins Raustauschen.)Beweis. Sei K ein Krper und + und auf K[x] wie oben deniert. Es sind folgendePunkte zu zeigen:R1(K[x], +) ist eine abelsche Gruppe, d.h.Abgeschlossenheit: Kann direkt aus der Denition abgelesen werden.Assoziativitt: Leicht einzusehen, da die Polynome komponentenweiseaddiert werden, d.h. die Koefzenten der Unbestimmten gleichen Gradesaddiert werden.Kommutativitt: Ebenso.30Existenz eines neutralen Elements: Das Nullpolynomo=0 ist neutralesElement der Addition, wie man leicht einsieht.Existenz von Inversen: Sei f K[x] mit f=n

k=0ak xk, dann sei f:=n

k=0(ak) xk, und es giltf + (f) =n

k=0(ak + (ak)) xk=n

k=00 xk= 0 = oR2* ist eine kommutative, assoziative Operation mit einem Einselement inK[x],d.h.Abgeschlossenheit: KannmanausderDenitionablesen. Seienf, gK[x] wie in der Denition gegeben, dann sind dieckder Denition ge-wiss Krperelemente, der Leitkoeffzient ist cm+n ,= 0 (siehe Gradformel,Denition 3.9 unten).Assoziativitt: Seien a, b, c K[x] mita =n1

i=0ai xi, b =n2

i=0bi xi, c =n3

i=0ci xiwobei n1, n2, n3 N0, dann gilta (b c) = a _n2+n3

k=0_k

i=0bi cki_ xk_=n1+(n2+n3)

k=0_k

m=0am km

i=0bi ckmi_ xk=(n1+n2)+n3

k=0_k

m=0am k

i=mbim cki_ xk=(n1+n2)+n3

k=0_k

i=0i

m=0am (bim cki)_ xkA=(n1+n2)+n3

k=0_k

i=0_i

m=0am bim_ cki_ xk=_n1+n2

k=0_k

m=0am bkm_ xk__n3

k=0ck xk_=__n1

k=0ak xk__n2

k=0bk xk___n3

k=0ck xk_= (a b) c31Kommutativitt: Seien a, b wie oben, dann gilta b =n+m

k=0_k

i=0ai bki_ xkK=m+n

k=0_k

i=0bki ai_ xk=m+n

k=0_k

i=0bi aki_ xk= b aExistenz einer Eins: Es ist 1K[x] = 1K, wie man leicht einsieht.R3Distributivgesetz: Seien a, b, c wie oben gegeben, dann gilta (b +c) = a __max{n2,n3}

k=0(bk +ck) xk__=n1+max{n2,n3}

k=0_k

i=0ai (bki +cki)_ xkD=n1+max n2,n3

k=0_k

i=0ai bki +ai cki_ xk=n1+max{n2,n3}

k=0_k

i=0ai bki +k

i=0ai cki_ xk=n1+max{n2,n3}

k=0_k

i=0ai bki_ xk+_k

i=0ai cki_ xk=n1+max{n2,n3}

k=0_k

i=0ai bki_ xk+n1+max{n2,n3}

k=0_k

i=0ai cki_ xkWennk>n1 + n2, dann ist, wenni >n1,ai=0, oder, wenni n2, bi = 0. Analoges fr k > n1+n3 und ai, ci. Da max {n2, n3} _ n2und max {n2, n3} _ n3 ist alson1+max{n2,n3}

k=n1+n2_k

i=0ai bki_ xk= 0bzw.n1+max{n2,n3}

k=n1+n3_k

i=0ai cki_ xk= 032Also gilt. . . =n1+n2

k=0_k

i=0ai bki_ xk+n1+n3

k=0_k

i=0ai cki_ xk= (a b) + (a c)Bemerkung. DieOperationen+, frPolynomeundfrPolynomabbildungensindvertrglich. D.h., wennf, g K[x], h=f+ gundi =f g, dann gilth() =f() +g() und i() = f() g() fr alle K.3.2.4 GradformelDenition 3.9. Der Grad deg(f) des Polynoms f K[x] istn = max {i N0: ai ,= 0}Der Grad des Nullpolynoms wird deniert als deg(o) = .(Sptestens ab hier mssen die Polynome ber Krpern deniert werden, sonst wirddie folgende Bemerkung falsch.)Proposition 3.2.1. Fr f, g K[x] giltdeg(f +g) _ max {deg(f), deg(g)}deg(f g) = deg(f) + deg(g)Beweis. Wenn f, g K[x] mit deg(f) = n und deg(g) = m, dann ist per Denitiondeg(f +g) = deg(max{n,m}

k=0(ak +bk) xk) _ max {deg(f), deg(g)}und der n +m-te Koefzient des Produkts f g:cn+m =n+m

i=0ai bn+mi =an..6=0 bm..6=0,= 0denn fr i < n ist n +mi > m, d.h. bm = 0, und fr i > n ist ai = 0.3.2.5 NullteilerfreiheitFolgerung. Der Ring K[x] ist nullteilerfrei, d.h. fr alle f, g K[x] mit f ,=o undg ,= o giltf g ,= oBeweis. Seien f, g K[x] mit f ,=o und g ,=o, d.h. deg(f) _ 0 und deg(g) _ 0,dann gilt nach Gradformeldeg(f g) = deg(f) + deg(g) _ 0333.2.6 PolynomdivisionZwar gibt es inK[x] keine multiplikativen Inversen, aber wie im Ring (Z, +, ) derganzen Zahlen gibt es eine Division mit Rest.Satz 3.2.2. Sind f, g K[x] mit g ,= o, dann gibt es eindeutig bestimmte q, r K[x]mitf= q g +rwobei deg(r) < deg(g).Beweis. Es wird zunchst die Eindeutigkeit gezeigt. Angenommen f= q1 g +r1 mitdeg(r1) < deg(g) und f= q2 g +r2 mit deg(r2) < deg(g), dann giltq1 g +r1 = q2 g +r2=(q1q2) g = r2r1Wenn q1 q2 ,=o, dann ist nach Gradformel deg((q1 q2) g)=deg(q1 q2) +deg(g) _ deg(g), whrend deg(r2r1) < deg(g), was einen Widerspruch darstellt.Also muss q1q2 = o gelten, dann ist q1 = q2 und (q1q2) g = o g = o, also auchr2r1 = o, d.h. r2 = r1.Wenn eine solche Darstellung existiert, dann ist sie also eindeutig. Zum Beweis derExistenz:Es wird o.B.d.A. angenommen, dass deg(f) _deg(g), ansonsten whlt manq=ound r = f, dann ist q g +r = o g +f= o +f= f und deg(r) = deg(f) < deg(g).Induktion ber deg(f):InduktionsanfangAus deg(f)=0 folgt deg(g)=0, alsof, g K. Dann gibt es aberg1Kmitg1 g = 1, also whlt man q = f g1und r = o, dann giltq g +r = (f g1) g +o = fInduktionsschrittSei die Aussage nun fr alle Polynome mit einem Grad kleiner als deg(f) bewiesen.Sei n := deg(f) und m := deg(g), a der Leitkoefzent von f und b der Leitkoefzentvon g, dann betrachte das Polynomf ab xnm gdas so konstruiert ist, dass der Leitkoefzient von f sich hinweghebt, fr das also giltdeg(f ab xnm g) < deg(f)Auf dieses Polynom wird die Induktionsvoraussetzung angewendet, d.h. q0, r : f ab xnm g = q0 g +rmit deg(r) < deg(g),umgestellt q0, r : f= (q0 +ab xnm) g +rwomit man die gewnschte Darstellung erhlt.Ein Polynom g teilt ein Polynom f, wenn das Restpolynom bei der Polynomdivi-sion das Nullpolynom ist.343.2.7 BeispielWenn f= 2x3+x 5 und g = x2+ 1 mit f, g Q[x], dann gilt(2x3+x 5) : (x2+ 1) = 2x + x5x2+12x32xx 53.2.8 Folgerungen, NullstellenFolgerung 3.2.8.1. (Satz von Rufni)Ist KeineNullstelle(Wurzel)vonfK[x],d.h. f() =0,dannist f =q (x )freinqK[x](sprich:derLinearfaktor(x )kannabgespaltenwerden).Beweis. Nach dem Satz ber die Polynomdivision gibt es eindeutig bestimmte q, r K[x] mitf= q (x ) +rwobei deg(r) < deg(x ) = 1, also r K.Einsetzen ergibt: 0 = f() = q() ( ) + r() = q() 0 + r() = r(), alsor() = 0 und damit r = o.Folgerung 3.2.8.2. Ein Polynom vom Grad n hat hchstens n Nullstellen (unabhngigvon Krper).Beweis. Induktion nach dem Grad von f:InduktionsanfangIst deg(f) = 0, dann hat f keine Nullstelle und die Folgerung ist trivialerweise richtig.InduktionsschrittSei die Folgerung nun fr alle Polynome mit Graden kleiner als deg(f) =: n bewiesen.Wenn f die Nullstelle K hat, dann gilt nach Folgerung 1f= q (x )mit deg(f) =deg(g) deg(x ) nach Gradformel, also deg(g) =n 1. NachInduktionsvoraussetzung hat qhchstensn 1 Nullstellen, also hat fhchstensnNullstellen.Folgerung 3.2.8.3. Ist K unendlich, dann gilt:f= o K[x] ist das einzige Polynom mit f() = 0 fr alle K.Beweis. Jedes Polynom f K[x] mit deg(f) =n N hat nach Folgerung 2 hchs-tens n Nullstellen, d.h. es gibt hchstens n Elemente K mit f() = 0. Wenn esalso ein Polynomfungleich dem Nullpolynom gbe mitf()=0 fr alle K,dann gibt es notwendigerweise nur deg(f) N Elemente in K.Folgerung 3.2.8.4. Es gilt auch die Umkehrung: In jedem endlichen Krper gibt es einPolynom f ,= o mit f() = 0 fr alle K.Beweis. Sei K = {k1, k2, . . . , kn}, dann istf= (x k1) (x k2) . . . (x kn)wegen der Nullteilerfreiheit nicht o, also das gesuchte Polynom.35Folgerung 3.2.8.5. IstKunendlich, dann sind Polynomef, g K[x] mitf()=g() fr alle K auch als Polynome gleich.Beweis. Aus f() = g() folgt f()g() = 0, also (f g)() = 0 fr alle K.In einem unendlichen Krper gilt dies aber nur fr das Nullpolynom, also ist f g = o,d.h. f= g.3.2.9 Fundamentalsatz der AlgebraSatz 3.2.3. Jedes Polynom f C[x] mit deg(f) _ 1 hat mindestens eine Nullstelle.Folgerung. Jedes Polynom f C[x] zerfllt in Linearfaktoren:f= (x 1) (x 2) . . . (x n)3.2.10 Lemma von Bezout(Das nachfolgende Lemma wurde in der Vorlesung nicht erwhnt, soll an dieser Stel-le aber eingefhrt und bewiesen werden, um den Beweis des nchsten Abschnittes zuvervollstndigen.)Lemma 3.2.10.1. Sei K[x]einPolynomringundf, gK[x]Polynom. Wenneskein Polynom vom Grad _ 1 gibt, dass sowohl fals auch g teilt, so gibt es eindeutigbestimmte Polynome f, g mitf f +g g = 1Beweis. Sei o.B.d.A. deg(f) _ deg(g). Wenn g das Nullpolynom ist, und fdamit gin jedem Fall teilt, muss deg(f) < 1 sein. D.h. f K, also whle f = f1(Inversesim Krper) und g = g, dann gilt: f f +g g = 1 +o = 1.Der Beweis erfolgt durch vollstndige Induktion nach dem Grad von f.Fr den Induktionsanfang sei deg(f)=0, also auch deg(g)=0, damit sind beidePolynome Krperelemente. Setzt man f =f1und g =o, so ergibt sich: f f +g g = 1 +o = 1.Sei das Lemma nun fr alle Polynome mit Graden kleiner als deg(f) bewiesen. Nachdem Satz ber die Polynomdivision gibt es eindeutig bestimmte q, r K[x] mitf= q g +rwobei deg(r) < deg(g).r und g sind teilerfremd, denn angenommen es gbe ein h K[x], das r und g teilt,dann teilt h (nach Distributivgesetz) auch q g +r = f, was ein Widerspruch dazu ist,dass f und g teilerfremd sind. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es g0 und r0 mitg g0 +r r0 = 1Setzt man r = f q g ein, so erhlt mang g0 + (f q g) r0 = g g0 +f r0q g r0 = f r0 +g (g0q r0) = 1Setzt man f = r0 und g = g0q r0, so erhlt man die Behauptung.363.2.11 FaktorpolynomringeSei K[x] der Ring aller Polynome ber K und g K[x]. Betrachte nung K[x] := {h K[x] | f K[x] : h = g f}also das Analogon zu m Z fr den Ring (Z, +, ). Im Ring der ganzen Zahlen istZ/mZ =: Zmein Ring, wenn m prim ist sogar ein Krper. Ebenso gilt fr PolynomringeSatz 3.2.4. K[t]/gK[t] =:K[t]g ist mit den von K[t] geerbten Operationen + und ein Ring, wenn g ber K irreduzibel (nicht in Linearfaktoren zerlegbar ber K) sogarein Krper.Beweis. Sei also g K[t]. Es wird die quivalenzrelation wie folgt erklrt:\ x, y K[t] : x y = f K[t] : x y = f gK[t]g ist nun die Menge aller quivalenzklassen von . Dann wird deniert[x] + [y] := [x +y][x] [y] := [x y]fr [x], [y] K[t]g.Zu zeigen ist nun, dass (K[t]g, +, ) ein Ring ist, d.h. im EinzelnenR1(K[t]g, +) ist eine abelsche Gruppe, d.h. wiederumWohldeniertheit von +: Seien [x] = [x0] und [y] = [y0], dann gilt f1 K[t] : x x0 = f1 g f2 K[t] : y y0 = f2 galso f1, f2 K[t] : (x x0) + (y y0) = f1 g +f2 gd.h. f1, f2 K[t] : (x +y) (x0 +y0) = (f1 +f2) gund damit[x +y] = [x0 +y0]Abgeschlossenheit von K unter +: Klar, wenn x, y K[t], dann ist x+y K[t], also [x +y] K[t]g.Assoziativgesetz: Seien [x], [y], [z] K[t]g, dann gilt([x] + [y]) + [z] = [x +y] + [z] = [(x +y) +z]= [x + (y +z)] = [x] + [y +z]= [x] + ([y] + [z])Kommutativgesetz:[x] + [y] = [x +y] = [y +x] = [y] + [x]37Existenz eines neutralen Elements: [o] ist auch das neutrale Element vonK[t]g, denn es gilt[x] + [o] = [x +o] = [x]Existenz von Inversen: [x] ist das inverse Element zu [x], denn es gilt[x] + [x] = [(x) +x] = [o]R2 ist eine assoziative, kommutative Operation auf K[t]g mit Einselement in K[t]g,d.h. im EinzelnenWohldeniertheit von : Seien [x] = [x0] und [y] = [y0], dann gilt f1 K[t] : x x0 = f1 g f2 K[t] : y y0 = f2 galso f1, f2 K[t] : x y = (f1 g +x0) (f2 g +y0)= f1 g f2 g +f1 g y0 +x0 f2 g +x0 y0d.h. f1, f2 K[t] : (x +y) (x0 +y0) = (f1 f2 g +f1 y0 +f2 x0) gund damit[x y] = [x0 y0]Abgeschlossenheit von K unter : Klar, wie bei +.Assoziativgesetz: Seien [x], [y], [z] K[t]g, dann gilt([x][y])[z] = [xy][z] = [(xy)z] = [x(yz)] = [x][yz] = [x]([y][z])Kommutativgesetz:[x] [y] = [x y] = [y x] = [y] [x]Existenz der Eins: [1] ist das neutrale Element von K[t]g bezglich , dennes gilt[1] [x] = [1 x] = [x]Distributivgesetze:WegenderKommutativittgengtes,einesderbeidenzuzeigen:[x] ([y] + [z]) = [x] [y +z] + [x (y +z)] = [x y +x z]= [x y] + [x z] = ([x] [y]) + ([x] [z])Damit ist gezeigt, dass K[t]g ein kommutativer Ring mit Eins ist.Sei g nun irreduzibel. Um zu zeigen, dass (K[t]g, +, ) ein Krper ist, gengt es,die Existenz der multiplikatives Inversen nachzuweisen fr alle [f] K[t]g.Da g irreduzibel ist, ist g der einzige Teiler von sich selbst. Sei [f] K[t]g, dann ist[f] ungleich [g], also ist fnicht durch g teilbar und damit teilerfremd zu g. Nach demLemma von Bezout gibt es dann Polynome g und f mitg g = 1 f fdas heit also[1] = [f f] = [f] [f]womit [f] K[t]g multiplikatives Inverses zu [f] ist.383.2.12 BeispieleR[x]/(x2+ 1)R[x]= CQ[x]/(x22)Q[x] ist der kleinste Krper, der die rationalen Zahlen und _2enthlt:Q[x]/(x22)Q[x]=_a +_2 b | a, b Q_394 Vektorrume4.1 Denitionen4.1.1 VektorrumeDenition 4.1. Sei K ein Krper.Eine Menge Vist ein Vektorraum ber K, wenn es Operationen +, gibt mitV1(V, +) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element dieser Gruppe nennt manmeist o und das Inverse zu v Vnennt man v.V2Fr : K V V(, v) vgenannt skalare Multiplikation, gelten folgende Gesetze(i) ( +) v = v + v - Distributivgesetz 1(ii) (v +w) = v + w - Distributivgesetz 2(iii) ( ) v = ( v) - Assoziativgesetz(iv) 1 v = v - multiplikative Neutralitt der Krper-Eins4.1.2 Weitere EigenschaftenSatz 4.1.1. Aus den Vektorraumaxiomen lassen sich weitere Eigenschaften ableiten.Sei v Vein K-Vektorraum und K:(a) 0 v = o, denn es gilt: 0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v =o = 0 v.(b) o = o, denn es gilt: o = (o +o) = o + o =o = o.(c) Aus v = o folgt= 0 oder v = o. Denn angenommen,= 0 und v = o,dann ist letzteres quivalent zu 1 ( v) = 1 o, d.h. 1 v = o, also v = o.(d) (1) v = v, denn es gilt:vv = o = 0v = (1+(1))v = 1v+(1)v = v+(1)v =v = (1)v4.1.3 Beispiele1. Standardbeispiel: Kn:= {x = (x1, x2, . . . , xn) | xi K}, wobei Additionund skalare Multiplikation komponentenweise deniert sind, d.h. fr(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) Kn, Kgilt(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 +y1, x2 +y2, . . . , xn +yn) (x1, x2, . . . , xn) = ( x1, x2, . . . , xn)402. Die Menge der Polynome K[x] ist ein Vektorraum ber K:(K[x], +) ist eine abelsche Gruppe, weil (K[x], +, ) ein Ring ist, und die restli-chen Gesetz ergeben sich aus der schon denierten Multiplikation, weil Krper-elemente lediglich Polynome vom Grad 0 sind.3. Vektorraum der Funktionen ber K: V= {f: M K}, mit M eine beliebige,feste Menge. Die Operationen sind punktweise deniert(f +g)(x) := f(x) +g(x) \ x M( f)(x) := f(x) \ x M4. Vektorraum der Abbildungen von einer Menge M in einen K-VektorraumW istein K-Vektorrum. Die Operationen sind wie folgt deniert:Sind F, G Abb(M, W) und K:(F +G)(m) := F(m) +G(m) \ m M( F)(m) := F(m) \ m M5. (Knn, +, ) - die quadratischen Matrizen von Elementen aus K - mit der kom-ponentenweisen Addition und skalaren Multplikation ist ein K-Vektorraum.6. Jeder Krper ist ein Vektorraum ber sich selbst.7. Allgemeiner: Ist L K ein Unterkrper von K, dann ist K ein L-Vektorraum.4.1.4 UntervektorrumeDenition 4.2. Sei Vein K-Vektorraum, dann heit W VUntervektorraum vonV , wenn giltU1 o WU2 v +w W \ v, w WU3 v W \ K,v WSatz 4.1.2. Ein Untervektorraum Wvon Vist mit den induzierten Operationen selbstein Vektorraum.Beweis. Die Vektorraumaxiome lassen sich leicht nachrechnen:V1(W, +) ist eine abelsche Gruppe, denn es gilt:G1Die Addition ist nach U2 auf W abgeschlossen. Assoziativitt vererbt sich.G2Nach U1 ist o W. o ist neutrale Element von V , diese Eigenschaft vererbtsich auf W.G3Wenn v W, dann ist nach U3 auch (1) v = v in W, was auch in Wdas zu v Inverse sein muss.V2Die Multiplikation ist nach U3 ber Wabgeschlossen und die Gesetze der Mul-tiplikation vererben sich dank U2 und U3 auf W.414.1.5 Beispiele(a) Die trivialen Untervektorrume eines Vektorraums Vsind W= {0} und W=V .(b) Wa =_(x1, x2) R2| x1 +a x2 = 0_fr ein a R.Allgemein: Lsungsrume homogener linearer Gleichungen in n Variablen berK sind Untervektorrume des Kn.(c) W= {f: C R | f(1) + (2 i) f(1 +i) = 0}(d) R[x]d. .Polynome ber R vom Grad d R[x] 1(R, R). .stetig differenzierbare Abb. 0(R, R). .stetige Abb. RR4.1.6 Durchschnitte von Unterrumen sind UnterrumeProposition 4.1.1. SeiVein Vektorraum undIeine Indexmenge. Fri IseiWiein Untervektorraum von V . Es gilt:

i2IWiist ein Untervektorraum von V .Beweis. Es sind die Unterraumaxiome nachzuweisen:U1 o W, weil o Wi\ i I.U2 v +w W \ v, w W, weil v, w Wi fr alle i I, also auch v +w Wi.U3 v W \ K,v W, weil v, Wi, also auch v fr alle i I.4.1.7 Beispiele V= R[x], dann ist die Menge Wk der Polynome, deren k-ter Koefzient 0 ist,ein Unterraum von V . Dann ist auchW=

k ungeradeWkein Unterraum von R[x]. Es ist W = R[x2].Seienn

i=1aji xi = 0fr j = 1, . . . , mhomogene lineare Gleichungen ber Kn. Wie in Beispiel b) istder Lsungsraum Wk jeder der j Gleichungen fr sich ein Unterraum des Kn.Nach Proposition ist also auchm

j=1Wjein Unterraum des Kn.424.1.8 Vereinigung von Unterrumen ist kein UnterraumAchtung. Die Vereinigung von Vektorrumen ist im Allgemeinen kein Vektorraum.WennU, WUnterrume vonV sind, so ist UWnur dann ein Unterraum, wennV Woder W V .Beweis. WennUWoderWU, dann istUW=W, also istUWeinVektorraum.Seien U, WUnterrume mit U ,Wund W ,U, d.h. es gibt ein u Umit u ,Wund ein w Wmit w , U. Dann ist u +w , U (ansonsten wre auch (u +w) u =w U) und u + w ,W(ansonsten wre auch (u + w) w =u W), also ist U2fr UWnicht erfllt.4.1.9 BeispielV= R2, dann sei W1 Lsungsraum von x1 x2= 0 und W2 der Lsungsraum von2x15x2 = 0Die Summe von Vektoren u W1,v W2 ist im Allgemeinen nicht in der Vereini-gung der Lsungsmengen.4.1.10 Lineares ErzeugnisSei Vein Vektorraum ber K und seien v1, . . . , vr V .Denition 4.3. v Vheit Linearkombination von v1, . . . , vr V , wenn Skalare

1, 2, . . . , r K existieren, sodass giltv = 1 v1 +2 v2 +. . . +r vr =r

k=1

k vkDenition 4.4. Die Menge aller Linearkombinationen von v1, . . . , vr ist das Erzeug-nis oder der aufgespannte Raum von v1, . . . , vr. Man schreibt dafr span(v1, . . . , vr)oder v1, . . . , vr).Proposition 4.1.2. v1, . . . , vr) ist der kleinste Untervektorraum von V , der v1, . . . , vrenthlt.43Beweis. Zunchst wird gezeigt, dass v1, . . . , vr) ein Untervektorraum von Vist.U1Es ist o v1, . . . , vr), dann fr 1 = 2 = . . . = r = 0 K istr

k=1

k vk =r

k=10 vk =r

k=1o = oU2Seien v, w v1, . . . , vr), d.h. es gibt 1, . . . , r K und 1, . . . , r K mitv =r

k=1

k vk, w =r

k=1k vkdann giltv +w =r

k=1

k vk +r

k=1k wk =r

k=1(k +k) vk v1, . . . , vr)U3Seien K und v v1, . . . , vr), d.h. es gibt 1, . . . , r K mitv =r

k=1

k vkdann gilt v =r

k=1

k vk =r

k=1 (k vk) =r

k=1( k) vkJeder Unterraum Wvon V , der v1, . . . , vr enthlt, enthlt nach U2 und U3 auchv =r

k=1

k vkfr alle 1, . . . , r K. Das heit W v1, . . . , vr), also ist v1, . . . , vr) der kleinsteUntervektorraum von V , der v1, . . . , vr enthlt.4.1.11 Lineare UnabhngigkeitDenition 4.5. Eine endliche Menge von Vektoren v1, . . . , vr aus dem K-VektorraumVheit linear unabhngig, wenn ausr

k=1

k vk = ofolgt

1 = 2 = . . . = k = 0In anderen Worten: Der Nullvektor lsst sich nur trivial aus den vi kombinieren.Eine unendliche Familie (vi | i I) von Vektoren heit linear unabhngig, falls jedeendliche Teilfamilie linear unabhngig ist.444.1.12 Beispiele... im R3:a) e1=__100__,e2=__010__,e3=__001__sind linear unabhngig. Die einzige L-sung (1, 2, 3) von

1 e1 +2 e2 +3 e3 = oist (1, 2, 3) = (0, 0, 0).b) v1 =__110__,v2 =__101__,v3 =__011__sind linear unabhngig.c) w1 =__122__,w2 =__211__,w3 =__333__sind linear abhngig, weil w1+w2 = w3gilt, also w1+w2w3 = o eine nicht-triviale Linearkombination des Nullvektorsist.d) Fasst man R[x] als Vektorraum ber R auf, so ist {xn| n N} linear unabhn-gig. Es gibt keine nicht-triviale endliche Linearkombination des Nullvektors.4.1.13 Charakterisierung der linearen UnabhngigkeitProposition 4.1.3. Vektoren v1, . . . , vr sind linear unabhngig genau dann, wenn sichjedes v v1, . . . , vr) eindeutig als Linearkombination der vi darstellen lsstBeweis. Hinrichtung: Angenommen es gibt einen Vektorv v1, . . . , vr) mit zweiverschiedenen Darstellungen, alsov =r

k=1

k vk, v =r

k=1k vkdann gilto = v v =_r

k=1

k vk__r

k=1k vk_=r

k=1(kk) vkAus der linearen Unabhngigkeit von v1, . . . , vr folgt fr alle k = 1, . . . , r

kk = 0 =k = kWiderspruch zu Annahme.Rckrichtung:Wennv1, . . . , vrlinearabhngigsind, dannhatderNullvektorzweiverschiedene Darstellungen (die triviale und eine nicht-trivale).Folgerung. Wennv1, . . . , vrlinear unabhngig sind, dann gilt fr allei=1, . . . , r:vi , v1, . . . , vi1, vi+1, . . . , vr) (andernfalls gbe es zwei Darstellungen von vi durchdie Vektorenv1, . . . , vr, einmal alsviselbst und die zweite nur durch Vektoren ausv1, . . . , vi1, vi+1, . . . , vr).45Bemerkung. Wie man leicht einsieht, gilt:i) Ein einzelner Vektor v ,= o ist immer linear unabhngig.ii) O ist linear unabhngig.iii) Wenn o {v1, . . . , vr}, dann sind v1, . . . , vr linear abhngig.iv) Ist vi eine Linearkombination von v1, . . . , vi1, vi+1, . . . , vr, dann ist v1, . . . , vrlinear abhngig.4.2 Basis und Dimension4.2.1 BasisDenition 4.6. Sei Vein Vektorraum ber K.{v1, . . . , vn} heit Basis von V , wenn gilt v1, . . . , vn) = V {v1, . . . , vn} sind linear unabhngig.Ist {v1, . . . , vn} Basis von V , dann kann jedes Element von Veindeutig als Line-arkombinationv =n

k=1

k vkgeschrieben werden.4.2.2 Charakterisierung des Vektorraums durch eine seiner BasenProposition 4.2.1. (v1, . . . , vn) ist genau dann Basis eines K-Vektorraums V , wennfr jedes Element v Vgenau ein(1, 2, . . . , n) Knmitv =n

k=1

k vkexistiert.Es gibt also eine Bijektion ' zwischen Vund Kn' : V Knv (1, 2, . . . , n)die sogar strukturerhaltend ist (wie spter gezeigt wird, siehe Abschnitt 7.1.2). Es istalso V = Kn.Beweis. Folgt aus der Denition und der Charakterisierung der linearen Unabhngig-keit.464.2.3 BeispieleFr V= Knheit B = (e1, e2, . . . , en) die kanonische Basis, mitei = (0, 0, . . . , 1..i-te Stelle, 0, . . . , 0)die Einheitsvektoren genannt werden.Fr W=_k R2| x1x2 = 0_ist B = {(1, 1)} eine Basis. K[x] hat die Basis B =_1, x, x2, . . . , xn, . . ._.4.2.4 Alternative DenitionenSatz 4.2.1. Fr eine Familie von Vektoren B = (v1, . . . , vn) aus einem Vektorraum Vist quivalent:(i) B ist Basis.(ii) B ist minimal erzeugend, d.h. B)=Vund fr alleB0(B gilt B0) , =V .(Basisauswahlsatz)(iii) B ist maximal linear unabhngig, d.h. B ist linear unabhngig und fr alle v Vgilt: B{v} ist linear abhngig. (Basisergnzungssatz)Beweis. Man zeigt jeweils:(i) =(ii) Angenommen B ist Basis und nicht minimal erzeugend, d.h. B0 ( B: B0) = VSei vi B\B0. Weil B0 Verzeugt, lsst sich vi einerseits als Linearkombinationvon Vektoren aus B0, andererseits durch vi selbst darstellen, womit B nicht linearabhngig, also auch keine Basis sein kann.(ii) =(i) Wenn B keine Basis, also nicht linear unabhngig ist, aber erzeugend ist, danngibt es fr ein vi Skalare k K mitvi =_i1

k=0

k vk_+_n

k=i+1

k vk_Aus v v1, . . . , vn) folgt fr Skalare k Kv =n

k=0k vk=i1

k=0k vk +i _i1

k=0

k vk +n

k=i+1

k vk_+n

k=i+1k vk=i1

k=0k vk +i1

k=0(i k) vk +n

k=i+1(i k) vk +n

k=i+1k vk=_i1

k=0(k +i k) vk_+_n

k=i+1(k +i k) vk_47alsov v1, . . . , vi1, vi+1, . . . , vr). Damit ist gezeigt, dassB nicht minimalerzeugend ist.(i) =(iii) WennBeineBasisist, dannist Berzeugend, d.h. frallevV ist vv1, . . . , vn). Weil v1, . . . , vnsindlinearunabhngigsind, ist {v, v1, . . . , vn}nicht linear unabhngig, d.h. B ist maximal linear unabhngig.(iii) =(i) Wenn B zwar linear unabhngig, aber nicht erzeugend ist, dann gibt es ein v Vmit v , v1, . . . , vn), d.h. {v, v1, . . . , vn} ist linear unabhngig. Das heit aber,dass B nicht maximal linear unabhngig ist.4.2.5 Existenz einer Basis fr endlich erzeugbare VektorrumeFolgerung. Ist X Vein endliches Erzeugendensystem von V , d.h. X) = V , danngibt es eine Basis.Beweis. Jedes endliche Erzeugendensytem enthlt ein minimales Erzeugendensystem,also eine Basis.Satz 4.2.2. Jeder endlich erzeugbare Vektorraum besitzt eine Basis.4.2.6 AustauschlemmaLemma 4.2.6.1. Sei B = (v1, . . . , vn) eine Basis von Vund ist w =n

k=0

k vk mit

i ,= 0, dann istB0 = {v1, . . . , vi1, w, vi+1, . . . , vn}eine Basis von V .Beweis. Zu zeigen ist, dass B0 Basis von Vist, also1.B0) = V :Sei v V . dann existieren 1, . . . , n K mitv = 1v1 +. . . +n vnO.B.d.A. sei k = 1, also w = 1 v1 +. . . n vn, 1 ,= 0.Wegen 1 ,= 0 gilt:v1 =1

1 w

2

1 v2. . .

n

1 vnDaraus folgtv =1

1 w +21

2

1 v2 +. . . +n1

n

1 vnAlso B = w, v2, . . . , vn) = V .482. B0 = (w, v2, v3, . . . , vn) ist linear unabhngig.Sei 1 w +2 v2 +. . . +n vn = 0. Nach Voraussetzung istw = 1 v1 +2 v2 +. . . +n vnmit 1 ,= 0.Dann isto = 1 w +2 v2 +. . . +n vn= 1 (1 v1 +2 v2 +. . . +n vn) +2 v2 +. . . +n vn= 1 1 v1 + (1 2 +2) v2 +. . . + (1 n +n) vnMit der linearen Unabhngigkeit von v1, . . . , vn folgt

1 1 = 0 =1 = 0und dann

1 k +k = 0 +k = 0 =k = 0fr alle k = 2, . . . , n, also

1 = 2 = . . . = n = 04.2.7 Austauschsatz von SteinitzDie anschlieenden Folgerungen werden bedeutend einsichtiger und einfacher zu be-weisen, hat man vorher den Austauschsatz von Steinitz zur Verfgung (der quivalentzum Austauschlemma ist). Im Gegensatz zur Vorlesung wird also zunchst dieser Satzbewiesen und dann bei den Folgerungen verwendet.Satz. Sei B = {v1, . . . , vn} eine Basis des K-Vektorraums Vund C = {w1, . . . , wm}eine Menge linear unabhngiger Vektoren. Dann gibt es eine Menge von n m Vek-toren, o.B.d.A. vm+1, . . . , vn, sodass{w1, . . . , wm, vm+1, . . . , vn}eine Basis von Vist.Beweis. Beweis durch vollstndige Induktion ber mFr m = 1 folgt der Satz direkt aus dem Austauschlemma.Sei m>1undderAustauschsatzfrMengenC0mit m 1Elementengezeigt.Sei C= {w1, . . . , wm}eineMengelinearunabhngigerVektoren, dannbetrachtezunchst C0 = C \ {wm}. C0 besitzt m 1 Elemente, also kann man die Induktions-voraussetzung darauf anwenden:{w1, . . . , wm1, vm, vm+1, . . . , vn}ist eine Basis von V . Man kann also wm Vals Linearkombination dieser Vektorendarstellen:wm =m1

k=1

k wk +n

k=m

k vk49Es muss ein i _ m geben mit i ,= 0, denn sonst wrewm =m1

k=1

k wkwas wiederum ein Widerspruch zur linearen Unabhngigkeit von w1, . . . , w1 wre.Sei o.B.d.A i = m, dann ist nach Austauschlemma ist also{w1, . . . , wm1, wm, vm+1, . . . , vn}eine Basis von V .4.2.8 Alle Basen haben gleich viele ElementeSatz 4.2.3. Je zwei Basen eines (endlich erzeugten) Vektorraums Vhabe die gleicheAnzahl von Elementen (=Kardinalitt).Beweis. Vsei ein endlich erzeugbarer Vektorraum. Dann existieren Basen mit endlichvielen Elementen. Angenommen B=(v1, . . . , vn), B0=(w1, . . . , wm) sind Basenmit mdimK(V ), dann ist (w1, . . . , wr) linear abhngig.Beweis. Sei B = {v1, . . . , vn} eine Basis von V .Angenommen (w1, . . . , wr) (n < r) sei linear unabhngig, dann ist auch (w1, . . . , wn)linear unabhngig. Nach dem Ausstauschsatz von Steinitz kann man die Basis B alsokomplett austauschen, d.h. (w1, . . . , wn) ist Basis und damit maximal linear unabhn-gig, was ein Widerspruch zur Annahme ist.4.2.10 BeispieledimK Kn= ndimRC = 2, denn (1, i) ist eine Basis des R-Vektorraums C.dimQR = 504.2.11 Dimension von UnterrumenProposition 4.2.3. Sei Wein Unterraum von V .(i) Es gilt dimW _ dimV .(ii) Aus dimW= dimVfolgt W= V .Beweis.(i) Jede linear unabhngige Menge von Vektoren in Vhat hchstens dimVviele Ele-mente. Jede linear unabhngige Menge inW, insbesondere jede Basis, ist natrlichauch eine linear unabhngige Menge in V , hat also hchstens dimVElemente. AlsodimW _ dimV .(ii) Angenommen dimW= dimV , aber W ( V .Sei B Basis von W und v V \W, d.h. v , B). B{v} wre dann linear unabhngigin V , htte aber mehr Elemente als dimW= dimV , Widerspruch.4.3 Unendlichdimensionale Vektorrume4.3.1 BeispieleEine andere Sichtweise auf die Menge der Polynome ber einem Krper K istdie Betrachtung der Polynomkoefzienten, angeordnet in einer unendlichen Fol-ge, in der fast alle Folgenglieder 0 sind:K[x]= {(a0, a1, . . . , an, 0, 0, . . .) | ai K \ i N}=_(ai)i2N K | n N: ak = 0 \ k > n_Man deniert dann1 := (1, 0, 0, . . .),x := (0, 1, 0, 0, . . .),x2:= (0, 0, 1, 0, 0, . . .)usw. Die Menge dieser Vektoren ist die Standardeinheitsbasis des K(N).Diese Sichtweise ist auch vertrglich mit der Multiplikation im Polynomring,wie man leicht nachrechnen kann.Insgesamt ist also K[x] =K(N), wobei K(N)der Vektorraum der unendlichenFolgen mit fast allen Folgengliedern = 0 ist.Die Menge der unendlichen Folgen ber einem Krper KKN= {(a0, a1, . . . , an, . . .) | ai \ i N}ist ebenfalls ein Vektorraum. Die Operationen werden auch hier komponenten-weise deniert.B = ((1, 0, 0, . . .), (0, 1, 0, . . .), . . .)ist keine Basis vonKN, weil zum Beispiel (1, 1, 1, . . .) nicht als endliche Li-nearkombination von Vektoren aus B geschrieben werden kann. B kann diesenVektor also nicht erzeugen.514.3.2 HalbordnungenDenition 4.8. Sei Meine Menge. Eine Relation R M Mheit Halbordnungauf M, wenn gilt(i) R ist reexiv: mRm \ m M,(ii) R ist antisymmetrisch: \ m, n M: mRn . nRm =m = n und(iii) R ist transitiv: \ m, n, o M: mRn . nRo =mRo.4.3.3 Beispiele_ ist auf Z eine Halbordnung.SeiM= P({1, 2, 3}) = {O, {0} , {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}}Die Inklusion ist eine Halbordnung auf jeder Menge von Mengen:(i) A A X(ii) A B . B A =A = B X(iii) A B . B C =A C X4.3.4 KettenDenition 4.9. Sei M eine Menge mit einer Halbordnung R.(a) K M heit Kette, falls gilt: a, b K =aRb . bRa.(b) Eine Kette heit induktiv, falls einm Mexistiert, sodasskRm \ k K(m ist obere Schranke von K).(c) Ein Element m0 M heit maximal in M, falls gilt:Ist m0Rm fr ein m M, dann folgt m = m0.4.3.5 Lemma von ZornSatz 4.3.1. Sei M,= OundReineHalbordnungaufM. IstjedeKetteKMinduktiv, so gibt es wenigstens ein maximales Element m M.(Das Lemma von Zorn ist quivalent zum Auswahlaxiom.)4.3.6 Basisexistenzsatz fr beliebige VektorrumeSatz 4.3.2. SeiVeinL-Vektorraum. Dann gibt es eine maximal linear unabhngigeTeilmenge B in V , also eine Basis.Beweis. SeiM:= {B | B V,B ist linear unabhngig}M ,= O, weil O linear unabhngig ist und O V , und damit O M.Ordne M bezglich der Inklusion. Sei K M eine Kette in M. Es wird gezeigt, dass52K induktiv ist.Setze dazuB0 =_B2KBdann gilt B B0 fr alle B K. B0 M, wenn B0 linear unabhngig ist: Sein

i=1

i bi = 0fr i L,bi B0. Dann gibt es Bi K mit bi Bi fr alle i = 1, . . . , n. NachDenition der Kette sind die Bi so geordnet, dass es ein j {1, . . . , n} gibt, sodassBi Bj, also bi Bj fr alle i. Bj M ist aber linear unabhngig, und damit folgtaus der Gleichung:

1 = 2 = . . . = n = 0Es gibt also ein B0 M mit B B0 fr alle B K, also ist K induktiv.Damit ist gezeigt, dass jede Kette aus M induktiv ist. Nach dem Lemma von Zorn gibtes also ein maximales Element in M, d.h. eine maximal linear unabhngige Menge vonVektoren in V , also eine Basis.4.4 Matrizen4.4.1 DenitionDenition 4.10. Eine mn-Matrix ber K ist eine Anordnung von n m Elementenaus K in einem rechteckigen Schema:_____a11a12. . . a1na21a22. . . a2n............am1am2. . . amn_____Die Elemente aij sind die Koefzienten des Matrix.Die waagerecht geschriebenen Tupel (ai1, ai2, . . . , ain) heien Zeilen(-vektoren).Die senkrecht geschriebenen Tupel_____a1ja2j...amj_____heien Spalten(-vektoren).Die Menge aller mn-Matrizen ber K bezeichnet man mit MK(m, n), M(m, n, K)oder Kmn.4.4.2 ZeilenstufenformDenition 4.11. Eine Matrix ist in Zeilenstufenform, wenn sie so aussieht:_________0 0 0 *.........0 0...* 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0_________53Beschreibung:Die sind alle ,= 0.Die Elemente rechts von den sind beliebig ().Unter der Stufenlinie stehen nur 0-Elemente.Formaler: A Kmnist in Zeilenstufenform, wenn gilt:Es gibt einr {0, 1, . . . , n}, sodass alle Zeilen mit Indexi >rnur Nullenenthalten.Es existieren j1, . . . , jr mit0 < j1< j2< . . . < jr _ n und ji := min{j | aij ,= 0}4.4.3 Kriterium fr lineare UnabhngigkeitLemma 4.4.3.1. Ist A in Zeilenstufenform und sind a1, . . . , ar die Zeilen ungleich oin A, dann sind diese Zeilen linear unabhngig.Beweis. Seio = 1 a1 +. . . +r armit i K fr alle 1 _ i _ r.Dies ist (also: kann interpretiert werden als) ein System von n homogenen linearenGleichungen.Betrachte j1 dieser Gleichungen:0 = 1 a1,j1 +. . . +r ar,j1Wegen aij = 0 fr alle i > 1 (alle Eintrge unter dem ersten Element ,= 0 in der erstenZeile sind 0) ist das0 = 1 a1,j1 +2 0 +. . . +r 0 = 1 a1,j1..6=0=1 = 0Sei aus den Gleichungenj1, . . . , jk1gezeigt, dass1=. . . =k1=0 fr eink, 1 < k _ n. Wenn jk _ jr, dann betrachte die jk-te Gleichung des Systems0 = 1 a1,jk +. . . +r ar,jkWegen 1 = . . . = k1 = 0, und aij = 0 fr alle i > k folgt0 = 0 a1,jk +. . . +0 ak1,jk +k ak,jk +k+1 0 +r 0 = k ak,jk..6=0=k = 0Induktiv folgt also 1=2=. . . =r= 0, d.h. a1, . . . , ar knnen nur trivial zumNullvektor kombiniert werden, sie sind also linear unabhngig.4.4.4 ZeilenraumDenition 4.12. Der Zeilenraum ZR(A) einer MatrixA Kmnist das Erzeugnisder Zeilen von A, d.h. ZR = a1, . . . , an), wobei ai die i-te Zeile von A ist.544.4.5 Elementare ZeilenumformungenDenition 4.13. Sei A eine Matrix des Kmn.Typ I: Die i-te Zeile wird mit einem Skalarmultipliziert.A =________ . . . ............... ai ............... . . . ________6=0________ . . . ............... ai ............... . . . ________= AITyp II: Zeile i und Zeile j werden addiert.A =_______ . . . ai ............... aj . . . ______________ . . . ai ............... aj +ai . . . _______= AII4.4.6 Elementare Zeilenumformungen sind zeilenraumerhaltendLemma 4.4.6.1. Fr die Zeilenumformungen A AI und A AII gilt:ZR(A) = ZR(AI) = ZR(AII)Beweis. Sei v ZR(A), d.h. es existieren 1, . . . , m mitv = 1 a1 +. . . +i ai +. . . +m am= 1 a1 +. . . +i

( ai) +. . . +m am ZR(AI)bzw.v = 1 a1 +. . . +i ai +. . . +j aj +. . . +m am= 1 a1 +. . . + (ij) ai +. . . +j (aj +ai) +. . . +m am ZR(AII)Die anderen Richtungen sind hnlich einfach zu zeigen.4.4.7 Weitere ZeilenumformungenTyp III: Addition des -fachen einer Zeile i zu einer Zeile j.A =_______ . . . ai ............... aj . . . _______6=0_______ . . . ai ............... aj + ai . . . _______= AIII55Typ III als Kombination von Typ I und II:A =_______ . . . ai......... aj . . . _______I_______ . . . ai......... aj . . . _______II_______ . . . ai......... aj + ai . . . _______I_______ . . . ai......... aj + ai . . . _______= AIIIAlso ist ZR(A) = ZR(AIII).Typ IV: Vertauschen von zwei Zeilen.A =_______ . . . ai ............... aj . . . ______________ . . . aj ............... ai . . . _______= AIVTyp III als Kombination von Typ I, II und III:A =_______ . . . ai......... aj . . . _______III_______ . . . ai......... aj ai . . . _______II_______ . . . ai + (aj ai) = aj......... aj ai . . . _______III_______ . . . aj......... (aj ai) aj = ai . . . _______I_______ . . . aj......... ai . . . _______= AIVAlso folgt: ZR(A) = ZR(AIV)4.4.8 Jede Matrix kann in Zeilenstufenform umgeformt werdenSatz 4.4.1. Sei A eine mn-Matrix mit Zeilen a1, . . . , am.Mit elementaren Zeilenumformungen lsst sichA in eine MatrixA0 in Zeilenstufen-form berfhren.Die Zeilen von A0, die keine Nullzeilen sind, bilden eine Basis von ZR(A).56Beweis. Es bleibt zu zeigen, dass elementare Zeilenumformungen stark genug sind,um Zeilenstufenform zu erzeugen.Die Idee dazu ist die systematische Erzeugung von 0-Eintrgen.Wenn A die Nullmatrix ist, dann ist nichts zu zeigen.1. Ansonsten gibt es eine Spalte, die einen Eintrag ungleich 0 hat. Betrachte dieerste dieser Spalten, j1, und tausche die Zeilen so, dass in der ersten Zeile in derbetrachteten Spalte das Element a1,j1 ,= 0 steht.2. Mit Umformungen des Typs III addiert man Vielfache der ersten Zeile zu denanderen Zeilen, dass die Spalte j1 bis auf den Eintrag a1,j1 nur 0 enthlt.3. Sei die Matrix bis zu einer Zeileak1bereits in Zeilenstufenform, wobei dieletzte betrachtete Spalte jk1 war. Ist ak1 letzte Zeile oder jk1 letzte Spalte,ist man fertig. Man ist auerdem fertig, wenn alle Spalten rechts von jk1 undunterhalb vonak1nur 0 enthalten. Ansonsten betrachte die erste Spalte, ge-nannt jk, die einen Eintrag ungleich 0 unterhalb von Zeile ak1 hat. Tausche dieZeile mit diesem Eintrag so, dass sie danach Zeile ak ist.4. Mit Umformungen des Typs III addiert man Vielfache vonakzu den anderenZeilen unterhalb von ak, so dass die Spalte jk unterhalb von ak nur 0-Eintrgeenthlt.4.4.9 BeispieleBetrachte folgende Matrizen aus dem R3:__2 3 40 1 24 0 8__a3a32a1__2 3 40 1 20 6 0__a3a3+6a2__2 3 40 1 20 0 12____1 1 14 3 23 2 1__a3a3+a1__1 1 14 3 24 3 2__a3a2a3__1 1 14 3 20 0 0__a2a24a3__1 1 10 1 20 0 0__4.4.10 Transponierte MatrixDenition 4.14. Sei A = (aij)ij Kmneine Matrix, dann heitAT= (aji)ij =_____a11a21. . . an1a12a22. . . an2............a1ma2m. . . anm_____die Transponierte zu A oder A transponiert.(Man vertauscht Zeilen und Spalten der Matrix, bzw. spiegelt die Eintrge an derHauptdiagonalen.)574.4.11 Symmetrische und schiefsymmetrische MatrizenDenition 4.15. Eine Matrix A Knnheit symmetrisch, wenn A = AT.Denition 4.16. Eine Matrix A Knnheit schiefsymmetrisch, falls AT= A,d.h. aij = aji fr all i, j.4.4.12 BeispielEs giltA =__0 1 01 0 10 1 0__=AT=__0 1 01 0 10 1 0__= A4.4.13 Rechenregeln fr TransponationBemerkung. Es gilta) ( A)T= AT\ Kb) (A+B)T= AT+BTc) _AT_T= ABeweis. Man sieht leichta) ( (aij)ij)T= ( aij)Tij = ( aji)ij = (aji)ij = (aij)Tijb)((aij)ij + (bij)ij)T= (aij +bij)Tij = (aji +bji)ij= (aji +bji)ij = (aji)ij + (bji)ij= (aij)Tij + (bij)Tijc)(aij)TijT= (aji)Tij = (aij)ij4.5 Summen und direkte Summen4.5.1 Summe von UntervektorrumenDenition 4.17. Sind U1, U2 Unterrume eines K-Vektorraums V , dann heitU1 +U2 := {x +y | x U1, y U2}die Summe von U1 und U2.Bemerkung. U1 + U2 ist ein Untervektorraum von V ; es ist sogar der kleinste Unter-raum, der U1 U2 enthlt.Beweis. Nachweis des UntervektorraumkriteriumsU1 o U1, o U2, also o = o +o (U1 +U2)58U2Seien x, x0 U1,y, y0 U2, dann sind (x +y), (x0 +y0) (U1 +U2) und(x +y) + (x0 +y0) = (x +x0). .2U1+(y +y0). .2U2 (U1 +U2)U3Ebenso ist fr K (x +y) = x..2U1+ y..2U2 (U1 +U2)Angenommen es gibt noch einen kleineren Unterraum, derU1U2enthlt. Dieserenthlt dann also einv Vmitv=u1 + u2,u1 U1,u2 U2(alsov U1 +U2) nicht. Er muss aberu1 undu2 und damit nach U2 auchu1 + u2=v enthlten,Widerspruch.4.5.2 Beispiele U + {o} = U U +U= UAllgemeiner: U +U0 = U, wenn U0 Untervektorraum von U ist.Sei V= R3und U= {(x, x, 0) | x R} ,W= {(0, y, 0) | y R}, dann istU +W= {(x, x +y, 0) | x, y R} =x-y-EbeneIm V= KnnseienU=_A V | A = AT_, W=_A V | AT= A_alsoUdie Menge der symmetrischen undWdie Menge der schiefsymmetri-schen Matrizen. U und Wsind Unterrume von V .Im V= Rnngilt U W= V , d.h. U +W= Vund U W= {o}.Beweis. Sei A V , so giltA =12 (A+A) =12_A+ATAT+A_=12_A+AT_+ 12_AAT_Es gengt zu zeigen:12_A+AT_ U,12_AAT_ W.12_A+AT_T=12_AT+A_=12_A+AT_12_AAT_T=12_ATA_= 12_AAT_Wenn A U W, dann giltA = AT= A =aij = aij\ aij=2aij = 0 \ aij=aij = 0 \ aij=A = oalso U W= {o}.594.5.3 Summe und ErzeugnisKorollar. Fr zwei Unterrume U1, U2 gilt: U1, U2) = U1 +U2.Beweis. Sei zunchsts U1 + U2, d.h. es gibtx U1,y U2mitx + y=s.Trivialerweise ist dann s = 1 x + 1 y U1, U2), also gilt U1 +U2 U1, U2).Sei andererseits u U1, U2), d.h. es gibt Vektorenv1, . . . , vs U1,ws+1, . . . , ws+t U2und Skalare 1, . . . , s, s+1, . . . , s+t K, sodass giltu = 1 v1 +. . . +s vs. .2U1+s+1 ws+1 +. . . +s+t ws+t. .2U2also eben auch u (U1 +U2).4.5.4 DimensionsformelSatz 4.5.1. Sind U1 und U2 Untervektorrume von V , dann giltdim(U1 +U2) = dim(U1) + dim(U2) dim(U1 U2)Beweis. Sei B0 = {v1, . . . , vr} eine Basis von U1U2, d.h. dim(U1U2) = r. Nachdem Basisergnzungssatz kann man B0 einerseits zuB1 = {v1, . . . , vr, w1, . . . , ws}als eine Basis von U1 (d.h. dimU1 = r +s), und andererseits zuB2 = {v1, . . . , vr, z1, . . . , zt}als eine Basis von U2 (d.h. dimU2 = r +t) ergnzen.Kann man nun zeigen, dass B3 = {v1, . . . , vr, w1, . . . , ws, z1, . . . , zt} eine Basis vonU1 +U2 ist, dann hat man gezeigtdim(U1+U2) = r +s+t = (r +s) +(r +t) r = dimU1+dimU2dim(U1U2)DassB3den RaumU1 + U2erzeugt, ist klar. brig bleibt der Beweis der linearenUnabhngigkeit:Sei also fr gesuchte 1, . . . , r, 1, . . . , s, 1, . . . , t K:o = 1 v1 +. . . +r vr +1 w1 +. . . +s ws +1 z1 +. . . +t zt =1 v1. . . r vr1 w1. . . s ws = 1 z1 +. . . +t ztDas heit aber1 v1. . . r vr1 w1. . . s ws = 1 z1 +. . . +t zt U1Gleichzeitig gilt auch

1 z1 +. . . +t zt U2also

1 z1 +. . . +t zt (U1 U2)60Dieser Vektor kann somit als Linearkombination vonB0dargestellt werden, d.h. esgibt 1, . . . , r mit

1 z1 +. . . +t zt = 1 v1 +. . . +r vr=o = 1 v1 +. . . +r vr1 z1. . . t ztDa {v1, . . . , vr, z1, . . . , zt} =B2 Basis von U2 ist, also insbesondere linear unabhn-gig ist, folgt

1 = . . . = r = 1 = . . . = t = 0also 1 = . . . = t = 0. Aus der ursprnglichen Gleichung folgt damit:o = 1 v1 +. . . +r vr +1 w1 +. . . +s wsEs ist aber {v1, . . . , vr, w1, . . . , ws}=B1eine Basis vonB1, insbesondere ist dieMenge linear unabhngig, also folgt1 = . . . = r = 1 = . . . = s = 0D.h. alleKoefzienteni, i, iderAusgangsgleichungsind0, worausdielineareUnabhngigkeit von {v1, . . . , vr, w1, . . . , ws, z1, . . . , zt} = B3 folgt.4.5.5 Direkte SummeDenition 4.18. Ein Vektorraum heit direkte Summe von U1 und U2, wenn V= U1 +U2 U1 U2 = {o}Man schreibt dann: V= U1U24.5.6 Existenz von komplementren UnterrumenProposition 4.5.1. IstUein Untervektorraum vonV , dann gibt es einen UnterraumU0 mit U U0 = V . U0 heit der zu U komplementre Unterraum.Beweis. Sei (v1, . . . , vs) = B eine Basis von U. B kann durch B0 = (w1, . . . , wt) zueiner Basis (v1, . . . , vs, w1, . . . , wt) von Vergnzt werden.Setze U0 = B0). Weil BB0 Basis von Vist, erzeugt BB0 (U1 +U2) bestimmtV , d.h. aber U1 +U2 = U1, U2) = V . Weil BB0 linear unabhngig ist, folgt ausv B) = U . v B0) = U0dass v = o gelten muss, d.h. U U0 = {o}.4.5.7 BeispielR3= e1) +e2) +e3)R3= {(a, 0, 0) | a R} {(0, b, c) | b, c R}615 Lineare Abbildungen5.1 Denitionen5.1.1 Lineare AbbildungenDenition 5.1. SeienV, WVektorrume berK. Eine AbbildungF: VWisteine lineare Abbildung, wenn giltL1 F(v1 +v2) = F(v1) +F(v2) \ v1, v2 V- AdditivittL2 F( v) = F(v) \ K,v V- HomogenittLineare Abbildungen sind also Homomorphismen von Vektorrumen.Bemerkung. Zum Beweis der Linearitt gengt zu zeigen:F(1 v1 +2 v2) = 1 F(v1) +2 F(v2)5.1.2 Beispiele1.Achtung.f: R Rf(x) = a x +bf ist afn linear, linear in unserem Sinne nur fr b = 0.2. Sei A Kmneine Matrix ber K:A =___a11. . . a1n.........am1. . . amn___Diese Matrix deniert eine lineare Abbildung durchA : KnKmx =___x1...xn___ ___a1, x)...am, x)___ =___a11 x1 +a12 x2 +. . . +a1n xn...am1 x1 +am2 x2 +. . . +amn xn___Man zeigt leicht, dass A : KnKmlinear ist.3. Drehungen in der Ebene um den Mittelpunkt (0, 0)62Eine Drehung um einen Winkel ist eine Abbildung : R2R2(x, y) (x cos y sin ,x sin +y cos ) ist (bis auf Transposition) die Abbildung zur MatrixA =cos sin sin cos 4. DifferentialoperatorD : R[x] R[x]n

k=0ak xkn

k=0k ak xk1Man zeigt leicht: D ist linear (Ableitungsregeln).5.1.3 Lineare Abbildungen sind VektorraumhomomorphismenDenition 5.2. Sei F: VWeine lineare Abbildung, also ein Vektorraumhomo-morphismus.Wenn Fbijektiv ist, dann ist Fein Isomorphismus.Wenn V= W, dann ist Fein Endomorphismus.Wenn V= Wund Fbijektiv, dann ist F Automorphismus.5.1.4 Eigenschaften von linearen AbbildungenBemerkung. Es gilt F(o) = o F(1 v1 +. . . +n vn) = 1 F(v1) +. . . +n F(vn)Ist U ein Unterraum von V , dann ist F(U) ein Unterraum von W(U1 folgt ausder ersten Bemerkung, U2 und U3 aus der zweiten).63Sindv1, . . . , vnlinear abhngig inV , dann sindF(v1), . . . , F(vn) linear ab-hngig inW. Denn es gibt eine nicht-triviale Linearkombination vono durchv1, . . . , vn. Fauf diese Linearkombination angewandt ist einerseits, nach derersten Bermerkung der Nullvektor in W, andererseits aber auch, nach der zwei-ten Bemerkung, eine Linearkombination von Vektoren F(v1), . . . , F(vn).Sei Uein Unterraum von V , dann gilt: dim(F(U)) _ dim(U). Denn jede Fa-milie von mehr als dim(U) Vektoren ausUist linear abhngig und nach derletzten Bermerkung ist dann auch jede Familie von mehr als dim(U) Vektorenaus F(U) linear abhngig.5.1.5 Komposition linearer Abbildungen sind linearProposition 5.1.1. Seien U, V, WK-Vektorrume, G : V W,F: U VlineareAbbildungen, dann ist auch (G F) : U Wlinear.Beweis. Es sind Additivitt und Homgenitt zu zeigen.Seien u1, u2 U, dann gilt(G F)(u1 +u2) = G(F(u1 +u2)) = G(F(u1) +F(u2))= G(F(u1)) +G(F(u2)) = (G F)(u1) + (G F)(u2)Sei u U und K, dann gilt(G F)( u) = G(F( u)) = G( F(u))= G(F(u)) = (G F)(u)5.1.6 Vektorrume der HomomorphismenDenition. ManbezeichnetdieMengeallerHomomorphismenzwischenzwei K-Vektorrumen Vund Wals Hom(V, W), alsoHom(V, W) = {F: V W,Flinear}Bemerkung. Hom(V, W) ist ein Untervektorraum von Abb(V, W) = WV.Beweis. Die Unterraumkriterien mssen erfllt sein:U1 O : v o - die Nullabbildung - ist linear:Seien v1, v2 V , 1, 2 K.O(1 v1 +2 v2) = o = 1 o +2 o = 1 O(v1) +2 O(v2)U2Abgeschlossenheit gegenber der Addition, also (F+ G) Hom frF, G HomSeien v1, v2 V , 1, 2 K.(F +G)(1 v1 +2 v2) = F(1 v1 +2 v2) +G(1 v1 +2 v2)= 1 F(v1) +2 F(v2) +1 G(v1) +2 G(v2)= 1 (F(v1) +G(v1)) +2 (F(v2) +G(v2))= 1 (F +G)(v1) +2 (F +G)(v2)64U3Abgeschlossenheit gegenber der Skalarmultiplikation, also ( F) Hom frF Hom, KSeien v1, v2 V , 1, 2 K.( F)(1 v1 +2 v2) = F(1 v1 +2 v2)= (1 F(v1) +2 F(v2))= 1 F(v1) + 2 F(v2)= 1 ( F(v1)) +2 ( F(v2))= 1 ( F)(v1) +2 ( F)(v2)Also ist Hom(V, W) ein Unterraum von WV.5.1.7 Menge der EndomorphismenDenition. Die Menge der Endomorphismen eines Vektorrums bezeichnet man mitEnd(V ), alsoEnd(V ) := Hom(V, V )Satz 5.1.1. End(V ) mit + (von Hom) und (Komposition) ist ein Ring.Beweis. Es sind die Ringaxiome nachzuweisenR1(End(V ), +) ist eine abelsche Gruppe, weil (End(V ), +, ) einK-Vektorraumist.R2Die Komposition ist immer assoziativ; sie ist auch eine Operation : End(V ) End(V ) End(V ),weildieVerknpfngzweierEndomorphismenF, G End(V ) wieder ein Endomorphismus ist.R3Distributivgesetze:Seien F, G, H End(V ), dann gilt fr alle v V :(F (G+H)) (v) = F((G+H)(v)) = F(G(v) +H(v))= F(G(v)) +F(H(v)) = (F G)(v) + (F H)(v)und((F +G) H) (v) = (F +G)(H(v)) = F(H(v)) +G(H(v))= (F H)(v) + (G H)(v)(End(V ), +, ) hat sogar ein Einselement: die identische Abbildung idV .5.2 Bild, Faser, Kern5.2.1 DenitionenDenition 5.3. Fr F: V Wlinear, istdas Bild: imF= F(V ) = {w W | v V : F(v) = w} W65der Kern: ker F= F1(o) = {v V | F(v) = o} VDie Faser von Fber w imFistF1(w) = {v V | F(v) = w} VBemerkung. Sei F: V Wist linear.(a) imF Wist ein Untervektorraum von W.(b) ker F Vist ein Untervektorraum von V .(c) Fsurjektiv genau dann, wenn imF= W(per Denition).(d) Finjektiv genau dann, wenn ker F= {o}.(e) Finjektiv, dann gilt:Sind v1, . . . , vn linear unabhngig in V , dann sind F(v1), . . . , F(vn) linear un-abhngig von W.Beweis. Sei F: V Wist linear.(a) Es sind die Untervektorraumaxiome nachzuweisen:U1 F(o) = o, d.h. o imF XU2 w1, w2 imF = v1, v2 V : F(v1) = w1, F(v2) = w2, und dannF(v1 +v2) = F(v1) +F(v2) = w1 +w2also w1 +w2 imF.U3 K,w imF =, v V : F(v) = w, und dannF( v) = F(v) = walso w imF.(b) Es sind die Untervektorraumaxiome nachzuweisen:U1 F(o) = o, d.h. o ker F XU2 v1, v2 ker F, d.h. F(v1) = F(v2) = o, also auchF(v1 +v2) = F(v1) +F(v2) = o +o = oU3 K,v ker F, d.h. F(v) = o, und auchF( v) = F(v) = o = o(d) Wenn Finjektiv, dann gilt natrlich auch ker F= F1(o) = {o}.Sei andererseits ker F= F1(o) = {o}. Wenn v ,= v0, dann ist v v0 ,= o, alsoF(v v0) ,= o =F(v) F(v0) ,= o =F(v) ,= F(v0)also ist Finjektiv.66(e) Betrachte

1 F(v1) +. . . +k F(vk) = o =F(1 v1 +. . . +k vk) = oAus der Injektivitt folgt ker F= {o}, also

1 v1 +. . . +k vk = oAus der linearen Unabhngigkeit folgt dann

1 = . . . = k = 05.2.2 Rang einer linearen AbbildungDenition 5.4. Wenn F: V Weine lineare Abbildung ist, dann ist der Rang vonFdeniert als rangF= rg F= dim(imF).5.2.3 Rang einer MatrixProposition 5.2.1. S