limiti e continuità - corsi di laurea a distanza...

Analisi matematica I Forme indeterminate e limiti notevoli

© 2006 Politecnico di Torino 1

Limiti e continuità

2

Forme indeterminate e limiti notevoli

Forme indeterminate

Teorema di sostituzione

Limiti notevoli

Altre forme indeterminate




4

Forme indeterminate

Espressione quando entrambe le

funzioni tendono a con segno discorde;

una tale forma indeterminata viene indicata con

il simbolo

f(x) + g(x)

∞

∞−∞



5

Forme indeterminate

Espressione quando una funzione

tende a e l’altra tende a

una tale forma indeterminata viene indicata con

il simbolo

∞f(x) g(x)

0;

∞ · 0

6

Forme indeterminate

Espressione quando entrambe le funzioni

tendono a oppure a

tali forme indeterminate vengono indicate

rispettivamente con i simboli

∞ 0;

f(x)

g(x)

∞∞

0

0oppure



7

Forme indeterminate

Ogni comportamento è possibile: limite infinito,

limite finito diverso da oppure uguale a

non esistenza del limite

0 0,

8

Esempio 1

Consideriamo le funzioni eg(x) = x

f1(x) = x+ x2 , f2(x) = x+ 1 ,

f3(x) = x+1

x, f4(x) = x+ sinx



9

Esempio 1

Tutte le funzioni tendono a per

Si ha

+∞

limx→+∞

[f1(x)− g(x)] = limx→+∞

x2 = +∞

limx→+∞

[f2(x)− g(x)] = limx→+∞

1 = 1

limx→+∞

[f3(x)− g(x)] = limx→+∞

1

x= 0

x→ +∞

10

Esempio 1

Inoltre

non esiste, in quanto la funzione è

periodica

limx→+∞

[f4(x)− g(x)] = limx→+∞

sinx

sinx



11

Esempio 2

Consideriamo le funzioni eg(x) = x2

f1(x) = x3 , f2(x) = x

2 ,

f3(x) = x , f4(x) = x2 sin

1

x

12

Esempio 2

Tutte le funzioni tendono a per

Si ha

0

limx→0

f1(x)

g(x)= limx→0

x = 0

limx→0

f2(x)

g(x)= limx→0

1 = 1

limx→0

f3(x)

g(x)= limx→0

1

x=∞

x→ 0



13

Esempio 2

Inoltre

non esiste

limx→0

f4(x)

g(x)= limx→0

sin1

x

14

Esempio 3

Consideriamo il generico polinomio

Per si può avere una forma

indeterminata del tipo

P (x) = anxn + · · ·+ a1x+ a0 (an 6= 0)

x→ ±∞∞−∞



15

Esempio 3

Tale forma di indeterminazione si risolve

raccogliendo il monomio di grado massimo xn:

P (x) = xn³an +

an−1x

+ · · ·+ a1xn−1

+a0xn

´

16

Esempio 3

L’espressione in parentesi tende ad

per pertanto

e il segno del limite si determina facilmente

anx→ ±∞,

limx→±∞

P (x) = limx→±∞

anxn =∞



17

Esempio 3

Calcoliamo il

Si ha

limx→−∞

(−5x3 + 2x2 + 7)

limx→−∞

(−5x3 + 2x2 + 7) = limx→−∞

(−5x3) = +∞

18

Esempio 4

Consideriamo la generica funzione razionale già

ridotta ai minimi termini

Per si può avere una forma

indeterminata del tipo

R(x) =P (x)

Q(x)=anx

n + · · ·+ a1x+ a0bmxm + · · ·+ b1x+ b0

(an, bm 6= 0, m > 0)

x→ ±∞,∞∞



19

Esempio 4

Trattando numeratore e denominatore come

nell’esempio precedente, si ottiene

limx→±∞

P (x)

Q(x)= limx→±∞

anxn

bmxm

=anbm

limx→±∞

xn−m

∞anbm

0

se n > m

n = m

n < m

se

se

=

20

Esempio 4

Ad esempio,

limx→+∞

2x4 − 2x2 + 1x2 − x3 = lim

x→+∞2x4

−x3

= limx→−∞

−2x68x6

= −14

limx→−∞

−2x6 + 2x2 − 78x6 − x4 + 3x

limx→−∞

2x3 − x+ 3−x4 + 7 = lim

x→−∞2x3

−x4

= −∞

= 0



21

Esempio 5

Calcoliamo il limite

Risulta

limx→0

1− cosxx2

limx→0

1− cosxx2

= limx→0

(1− cosx)(1 + cosx)x2(1 + cosx)

= limx→0

1− cos2 xx2

· limx→0

1

1 + cosx

22

Esempio 5

= limx→0

sin2 x

x2· limx→0

1

1 + cosx



23

Esempio 5

=

µlimx→0

sinx

x

¶2· limx→0

1

1 + cosx

24

Esempio 5

= 1 · 12

=1

2



25

Tabella

limx→+∞

xα = +∞ , limx→0+

xα = 0 α > 0

limx→+∞

xα = 0 , limx→0+

xα = +∞ α < 0

=anbm

limx→±∞

xn−mlimx→±∞

anxn + · · · + a1x+ a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0

26

Tabella

limx→+∞

ax = 0 , limx→−∞

ax = +∞

limx→+∞

loga x = +∞ , limx→0+

loga x = −∞

limx→+∞

loga x = −∞ , limx→0+

loga x = +∞

limx→+∞

ax = +∞ , limx→−∞

ax = 0 α > 1

a < 1

a > 1

a < 1



27

Tabella

limx→±∞

sinx , limx→±∞

cosx , limx→±∞

tanx

non esistono

limx→( π2+kπ)

±tanx = ∓∞ , ∀k ∈ Z

28

Tabella

limx→−1

arccosx = π = arccos(−1)

limx→±∞

arctanx = ±π2

limx→±1

arcsinx = ±π2= arcsin(±1)

limx→+1

arccosx = 0 = arccos 1




30


Supponiamo che esista (finito o infinito)

limx→c

f(x) = `



31


Sia una funzione definita in un intorno di

(escluso al più il punto ) e tale che

Se è continua in

Se esiste un intorno di in cui

per ogni ed esiste

(finito o infinito)

Se oppure esiste

(finito o infinito)

g

`

` ∈ R, g` ∈ R, I(c) c

f(x) 6= ` x 6= c

` = +∞ ` = −∞,

`

`

limy→`

g(y)

limy→`

g(y)

32


limx→c

g(f(x)) = limy→`

g(y)⇒



33

Osservazione

Nel primo caso si ha

dunque la tesi può essere scritta come

limy→`

g(y) = g(`)

limx→c

g(f(x)) = g( limx→c

f(x))

34

Corollario

Sia continua in e sia

Sia una funzione definita in un intorno di

e continua in

la funzione composta è continua in

f x0 y0 = f(x0)

y0g

y0g ◦ f x0⇒



35

Dimostrazione

Abbiamo

limx→x0

(g ◦ f)(x) = g( limx→x0

f(x))

= g(f(x0))

= (g ◦ f)(x0)

36

Esempio 1

La funzione è continua

su tutto

Infatti, è la composizione delle due funzioni

continue

h(x) = cosx3

R

f(x) = x3 g(y) = cos ye



37

Esempio 2

Calcoliamo

Poniamo e

limx→0

1− cosx2x4

f(x) = x2

g(y) =

1− cos yy2

1

2

y 6= 0

y = 0

se

se

38

Esempio 2

Calcoliamo

Si ha mentre la funzione

è continua nell’origine. Pertanto,

limx→0

1− cosx2x4

limx→0

f(x) = 0,

= limy→0

1− cos yy2

limx→0

1− cosx2x4

g

=1

2



39

Esempio 3

Calcoliamo

Poniamo e

Abbiamo e

Dunque

limx→2±

arctan

µ1

x− 2

¶f(x) =

1

x− 2 g(y) = arctan y

limy→±∞

g(y) = ±π2

limx→2±

f (x) = ±∞

limx→2±

arctan

µ1

x− 2

¶= limy→±∞

g(y) = ±π2

40

Esempio 4

Si voglia calcolare

Ponendo si ha

si osservi che per ogni

limx→+∞

log sin1

x

f(x) = sin1

x,

` = limx→+∞

f(x) = 0

f(x) > 0, x >1

π



41

Esempio 4

Si voglia calcolare

Posto si ha

limx→+∞

log sin1

x

g(y) = log y limy→0+

g(y) = −∞

42

Esempio 4

Si voglia calcolare

Si ha e

e dunque otteniamo

limx→+∞

log sin1

x

limx→+∞

log sin1

x

limx→+∞

sin1

x= 0 lim

y→0+log y = −∞

= limy→0+

g(y) = −∞



43

Osservazione

Il Teorema di sostituzione può essere facilmente

esteso al caso in cui la funzione sia sostituita

da una qualunque successione che

ammetta il limite

Sotto le stesse ipotesi sulla funzione fatte

nell’enunciato del Teorema, si ha allora

f

a : n 7→ an

limn→∞

an = `

limn→∞

g(an) = limy→`

g(y)

g

44

Criterio di non esistenza del limite

Se esistono due successioni e

tali che

non può avere limite quando l’argomento

tende a

a : n 7→ anb : n 7→ bn

limn→∞

an = limn→∞

bn = `

limn→∞

g(an) 6= limn→∞

g(bn)

e

g

limy→`

g(y)non esiste

⇒`:



45

Esempio

La funzione non ha limite per

Infatti, se consideriamo le successioni

abbiamo

y = sinx

an = 2nπ bn =π

2+ 2nπ, n ∈ Ne

limn→∞

sin an = limn→∞

0 = 0

x→ +∞

limn→∞

sin bn = limn→∞

1 = 1

e




47

Limiti notevoli

Ricordiamo il limite fondamentale

limn→∞

µ1 +

1

n

¶n= e

48

Limiti notevoli

In luogo della successione consideriamo ora la

funzione di variabile reale

che è definita quando cioè

h(x) =

µ1 +

1

x

¶x1 +

1

x> 0,

dom h = (−∞,−1) ∪ (0,+∞)



49

Proprietà

Vale il seguente risultato

limx→±∞

µ1 +

1

x

¶x= e

50

Esempio 1

Verifichiamo che

Per il risultato è immediato a = 0

limx→±∞

³1 +

a

x

´x= ea , ∀a ∈ R



51

Esempio 1

Sia Poniamo e otteniamo a 6= 0. y =x

a

limx→±∞

³1 +

a

x

´x= limy→±∞

µ1 +

1

y

¶ay

=

∙lim

y→±∞

µ1 +

1

y

¶y¸a= ea

52

Esempio 2

Verifichiamo che

Poniamo e otteniamo

limx→0

(1 + x)1/x

= e

y =1

x

limx→0

(1 + x)1/x

= limy→±∞

µ1 +

1

y

¶y= e



53

Esempio 3

Verifichiamo che

Si ha

limx→0

loga(1 + x)

x=

1

log a, ∀a > 0

limx→0

loga(1 + x)

x= limx→0

loga (1 + x)1/x

= loga limx→0

(1 + x)1/x

= loga e =1

log a

54

Esempio 3

In particolare, per otteniamo a = e

limx→0

log(1 + x)

x= 1

limx→0

loga(1 + x)

x=

1

log a, ∀a > 0



55

Esempio 4

Verifichiamo che

Osserviamo che

Inoltre se

limx→0

ax − 1x

= log a , ∀a > 0

y = ax − 1 ax = 1 + y x = loga(1 + y)⇔ ⇔

y → 0 x→ 0

56

Esempio 4

Si ha

limx→0

ax − 1x

= limy→0

y

loga(1 + y)

=

∙limy→0

loga(1 + y)

y

¸−1= log a



57

Esempio 5

In particolare, per otteniamo a = e

limx→0

ax − 1x

= log a , ∀a > 0

limx→0

ex − 1x

= 1

58

Esempio 5

Verifichiamo che

Poniamo e osserviamo che

per

limx→0

(1 + x)α − 1x

= α , ∀α ∈ R

1 + x = ey

y → 0 x→ 0



59

Esempio 5

Si ha

limx→0

(1 + x)α − 1x

= limy→0

eαy − 1ey − 1

= limy→0

(eα)y − 1y

· limy→0

y

ey − 1= log eα = α.

= limy→0

eαy − 1y

· y

ey − 1

60

Tabella limiti notevoli

limx→0

sinx

x= 1

limx→0

(1 + x)1/x = e

limx→±∞

³1 +

a

x

´x= ea (a ∈ R)

limx→0

1− cosxx2

=1

2



61

Tabella limiti notevoli

limx→0

ax − 1x

= log a (a > 0)

in particolare limx→0

ex − 1x

= 1

in particolare limx→0

log(1 + x)

x= 1

limx→0

loga(1 + x)

x=

1

log a(a > 0)

(α ∈ R)limx→0

(1 + x)α − 1x

= α




63

Altre forme indeterminate

Consideriamo l’espressione

Supponiamo che e siamo definite in

con e ammettano limite

per tendente a Si ha

f(x)g(x)

f g

I(c) \ {c} f(x) > 0

x c.

limx→c

f(x)g(x) = limx→c

exp (g(x) log f(x))

= exp³limx→c

g(x) log f(x)´

64

Altre forme indeterminate: primo caso

Se tende e tende a

(e dunque tende a ):

si presenta una forma indeterminata del tipo

g ∞ f 1,log f 0

limx→c

g(x) =∞ limx→c

f(x) = 1

limx→c

log f(x) = 0

e da cui

1∞

limx→c

f(x)g(x) = exp³limx→c

g(x) log f(x)´



65

Esempio

La funzione

per è una forma indeterminata del

tipo

h(x) =

µ1 +

1

x

¶xx→ ±∞1∞

limx→±∞

µ1 +

1

x

¶x= e

66

Altre forme indeterminate: secondo caso

Se tende a ed tende a



g f 0

log f −∞0

e da cuilimx→c

g(x) = 0 limx→c

f(x) = 0

limx→c

log f(x) = −∞

00

limx→c


g(x) log f(x)´



67

Esempio

La funzione

per è una forma indeterminata di tipo

Dimostreremo che e dunque

h(x) = xx = ex log x

x→ 0+ 00

limx→0+

x log x = 0

limx→0+

h(x) = 1

68

Altre forme indeterminate: terzo caso

Se tende a ed tende a



g f0 +∞

limx→c

g(x) = 0 limx→c

f(x) =∞e da cui

∞0

limx→c

log f(x) = +∞

limx→c


g(x) log f(x)´

log f +∞



69

Esempio

La funzione

per è una forma indeterminata del

tipo

Usando la sostituzione e l’identità

si ottiene

h(x) = x1/x = elog xx

x→ +∞∞0

y =1

xlog

1

y= − log y,

limx→+∞

log x

x= − lim

y→0+y log y = 0

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