limite calculo 1

Calculo IDocente: Eduardo Santillan Marcus - Recopilado por Maximiliano Mecoli

31 de mayo de 2014

Unidad 3: Lmites y continuidad de funciones reales

1. Lmite de una funcionNota 1: Consideremos la funcion f (x) = x2 x + 2 y estudiemos su comportamiento paravalores de x cercanos a 2.

x f (x) x f (x)1 2 3 8

1,5 2,75 2,5 5,751,6 2,96 2,4 5,361,7 3,19 2,3 4,991,8 3,44 2,2 4,641,9 3,71 2,1 4,31

1,95 3,8525 2,05 4,15251,995 3,985025 2,005 4,0150251,9995 3,998500 2,0005 4,001500

Es claro a partir de los valores de la tabla y de lo que se observa en la figura que cuandox se acerca a 2 ( por valores mayores o menores), f (x) se acerca a 4. De hecho, pareceposible acercar los valores de f (x) a 4 tanto como querramos si tomamos un valor de x losuficientemente cercano a 2. Podemos expresar este hecho diciendo que el lmite de lafuncion f (x) = x2 x + 2 cuando x tiende a 4, y se usa notarlo as:

Calculo I FCEIA-UNR

lmx2

(x2 x + 2) = 4

Definicion 1: Escribiremos:

lmxa

f (x) = L

y diremos el lmite de f (x) cuando x tiende a a es L, si podemos acercar arbitrariamentelos valores de f (x) a L (tanto como querramos) eligiendo un valor de x lo bastante cercade a (pero no igual a a).

Observacion 1: lmxa

f (x) = L puede escribirse tambien como f (x) L cuando x a( f (x) tiende a L cuando x tiende a a).

Observacion 2: Cuando hallamos el lmite de f (x) cuando x tiende a a, nunca consi-deramos x = a. Incluso, no es necesario que f (x) este definida cuando x = a. Lo unico queimporta es como esta definida f cerca de a.

Ejemplo 1:f1 : R {1} R

f1(x) =x2 1x 1 = x + 1

x f1(x) x f1(x)0,7 1,7 1,3 2,30,8 1,8 1,2 2,20,9 1,9 1,1 2,10,99 1,99 1,01 2,01

0,999 1,999 1,001 2,001

lmx1

f1(x) = 2

f2 : R Rf2(x) =

{2 x3 si x , 1

3 si x = 1

2014 Docente: Eduardo Santillan Marcus 2

Calculo I FCEIA-UNR

x f (x) x f (x)0,7 1,657 1,3 -0,1970,8 1,488 1,2 0,2720,9 1,271 ,1,1 0,6690,99 1,0297 1,01 0,9696

0,999 1,0029 ,1,001 0,9969

lmx1

f2(x) = 1

Nota 2: Consideremos ahora la funcion de Heaviside H(x) y estudiemos su comporta-miento para valores de x cercanos a 0.

x H(x) x H(x)0,3 1 -0,3 00,2 1 -0,2 00,1 1 -0,1 00,01 1 -0,01 0

0,001 1 -0,001 0

No existe un unico numero al que H(x) se aproxima cuando x tiende a 0, y por consiguienteno existe lm

x0H(x).

Lo que vemos aqu es que H(x) tiende a 0 cuando x tiende a 0 por la izquierda, y H(x)tiende a 1 cuando x tiende a 0 por la derecha.

Definicion 2:a) Escribiremos:

lmxa

f (x) = L


Calculo I FCEIA-UNR

y diremos el lmite de f (x) cuando x tiende a a por izquierda es L si podemos aproximarlos valores de f (x) a L tanto como querramos, eligiendo un valor de x lo bastante cerca dea, pero menor que a.b) Escribiremos:

lmxa+

f (x) = L

y diremos el lmite de f (x) cuando x tiende a a por derecha es L si podemos aproximarlos valores de f (x) a L tanto como querramos, eligiendo un valor de x lo bastante cerca dea, pero mayor que a.

Observacion 3: Es evidente que se cumple que:

lmxa

f (x) = L lmxa

f (x) = L = lmxa+

f (x)

Ejemplo 2: Consideremos la funcion g cuya representacion grafica es la siguiente:

lmx3

g(x) = 3

lmx3+

g(x) = 1

= @ lmx3 g(x)lmx5

g(x) = 2

lmx5+

g(x) = 2

= lmx5 g(x) = 2Nota 3: Ahora consideremos la funcion f (x) =

1x2

y estudiemos su comportamiento paravalores de x cerca de 0.


Calculo I FCEIA-UNR

x f (x) x f (x)1 1 -1 1

0,5 4 -0,5 40,2 25 -0,2 250,1 100 -0,1 100

0,01 10000 -0,01 100000,001 1000000 -0,001 1000000

Conforme x se aproxima a 0, f (x) =1x2

se hace cada vez mas grande. Viendo la graficade f parece que los valores de f se pueden aumentar en forma arbitraria si se elige unvalor de x lo suficientemente cerca de 0. Por lo tanto, los valores de f (x) no tienden a un

numero, y de tal forma lmx0

1x2

no existe. Para indicar este tipo de comportamiento vamos

a introducir la siguiente notacion:

Definicion 3: Sea f una funcion definida en ambos lados de a, excepto probablementeen a. Entonces:

lmxa

f (x) = +

quiere decir que los valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (tanto comouno quiera) haciendo que x se acerque lo suficiente a a, pero no es igual a a.

Observacion 4: + no se considera un numero, y lmxa

f (x) = + no significa queexista el lmite. Simplemente expresa la manera particular en la que este lmite no existe.El valor de f (x) puede ser tan grande como guste, llevando a x lo suficientemente cerca de a.

Observacion 5: Otra notacion para lmxa

f (x) = + es f (x) + cuando x a.Se suele decir el lmite de f (x) cuando x tiende a a es infinito, aunque lo mas apropiadosera decir f (x) se incrementa sin lmite cuando x tiende a a.

Definicion 4: Sea f una funcion definida en ambos lados de a, excepto probablementeen a. Entonces:

lmxa

f (x) =

quiere decir que los valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente grandes en valorabsoluto y negativos (tanto como uno quiera) haciendo que x se acerca lo suficiente a a,pero no es igual a a.

Ejemplo 3: lmx0 1

x2=

Observacion 6: Definiciones similares a las ya vistas pueden darse para los lmites in-finitos laterales:

lmxa+

f (x) = + ; lmxa

f (x) = +lmxa+

f (x) = ; lmxa

f (x) =


Calculo I FCEIA-UNR

Ejemplo 4: lmx0+

1x= + ; lm

x01

x=

Definicion 5: La recta x = a se llama asntota vertical de la grafica de f (x) si por lomenos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

lmxa

f (x) = + ; lmxa

f (x) = lmxa+

f (x) = + ; lmxa

f (x) = +lmxa+

f (x) = ; lmxa

f (x) =

Ejemplo 5:


Calculo I FCEIA-UNR

2. Calculo de lmitesObservacion 7: En la seccion anterior usamos graficas y calculos para suponer los valoresde los lmites, pero estos metodos no siempre conducen a la respuesta correcta. Aqu enun-ciaremos propiedades de los lmites que nos permitiran calcularlos. La demostracion deestas seran vistas mas adelante.

Teorema 1: Sean lmxa

f (x) = F, lmxa

g(x) = G y c R. Entonces:

i) lmxa

[ f (x) g(x)] = F G

ii) lmxa

f (x)g(x) = FG

iii) lmxa

c f (x) = cF

iv) lmxa

f (x)g(x)

=FG

si G , 0

Ejemplo 6: Consideremos las funciones f y g cuyas representaciones graficas son:

lmx3

f (x) = 5 ; lmx3

g(x) = 2

lmx3

( f 2g)(x) = 5 2 2 = 1

lmx3

4g(x) = 4 2 = 8 ; lmx3

( f g)(x) = 5 2 = 10

lmxa

f (x)g(x)

=25

Observacion 8: Consideremos ahora las funciones f y g cuyas representaciones graficasson las siguientes:


Calculo I FCEIA-UNR

lmx3

f (x) = 3 ; @lmx3

g(x)

Por lo tanto @lmx3

( f (x) + g(x))

Ahora bien, si pensamos en los lmites laterales,

lmx3+

f (x) = 3 = lmx3

f (x)lmx3+

g(x) = 2 lmx3

g(x) = 1

as que podemos definir los lmites laterales para la suma:

lmx3+

( f (x) + g(x)) = 5 ; lmx3

( f (x) + g(x)) = 4

Obviamente confirmamos al ver que estos lmites laterales son distintos, que el lmite noexiste.

Observacion 9: Consideremos ahora estas dos funciones:

f (x) = sgn(x) ; g(x) = sgn(x)

Notemos que @lmx0

f (x) y tampoco existe lmx0

g(x). Pero f (x) + g(x) = 0 x, y entonceslmx0

f (x) + g(x) = lmx0

0 = 0

Luego de estas dos observaciones podemos concluir que si en un punto no existe el lmitede una de las 2 funciones intervinientes en una suma, el lmite de la suma no existe, pero sino existe el lmite de ambas funciones, no podemos afirmar nada sobre el lmite de la suma.

Teorema 2: lmxa

( f (x))n = (lmxa

f (x))n n N

Ejemplo 7: lmx 2

sen3(x) = (lmx 2

sen(x))3 = 13 = 1

Observacion 10: Hay dos lmites especiales:


Calculo I FCEIA-UNR

lmxa

c = c ; lmxa

x = a

evidentes desde un punto de vista intuitivo. Usando el Teorema 2

lmxa

xn = an, n N

Con estos resultados podemos enunciar el siguiente Teorema.

Teorema 8:i) si f es una funcion polinomica,

lmxa

f (x) = f (a)

ii) Si f es una funcion racional fraccionaria, f (x) =p(x)q(x)

, si q(a) , 0 entonces

lmxa

f (x) = f (a)

Ejemplo 8:lmx2

(3x2 2x + 1) = 3 23 2 2 + 1 = 21

lmx1

5x2 + x + 3x2 + 2x

=5 12 + 1 + 3

12 + 2 1 =93= 3

Teorema 4:i) Sea a > 0, n N par, entonces lm

xanx = n

a.

ii) Sea a R, n N impar, entonces lmxa

nx = n

a.

iii) Sea f (x) tal que lmxa

f (x) 0, n N par, entonces lmxa

n

f (x) = n

lmxa

f (x).

iv) Sea n N impar, entonces lmxa

n

f (x) = n

lmxa

f (x).

Ejemplo 9:

lmx5

x =

5

lmx2

7x3 + 1 = 7

(2)3 + 1 = 7

7

Teorema 5: Si f (x) = g(x) x , a entonces lmxa

f (x) = lmxa

g(x), cuando este lmite exis-ta.

Ejemplo 10:

lmx1

x2 1x 1 ?

Vemos quex2 1x 1 = x + 1 x , 1, luego como lmx1 x + 1 = 2, lmx1

x2 1x 1 = 2

Ejemplo 11: Como calculamos el lmite de una funcion cuando no podemos hallarlodirectamente? Podemos trabajar algebraicamente, veamos un par de ejemplos:


Calculo I FCEIA-UNR

a) lmh0

(3 + h)2 9h

No se puede calcular directamente el lmite pues F(0) no esta definido. Trabajemos enton-ces:

lmh0

(3 + h)2 9h

= lmh0

9 + 6h + h2 9h

= lmh0

6h + h2

h= lm

h0

h(6 + h)h

= lmh0

6 + h = 6

b) lmt0

t2 + 9 3

t2

Al igual que en a), no podemos calcular directamente el lmite. Trabajemos algebrai-camente, racionalizando el numerador:

lmt0

(

t2 + 9 3)(

t2 + 9 + 3)

t2(

t2 + 9 + 3)= lm

t0

(t2 + 9) 9t2(

t2 + 9 + 3)= lm

t0

t2

t2(

t2 + 9 + 3)= lm

t0

1t2 + 9 + 3

=16

Teorema 6: Si f (x) g(x) cuando x esta cerca de a (excepto posiblemente en a), y loslmites de f y g existen cuando x tiende a a, entonces lm

xaf (x) lm

xag(x).

Teorema 7: Intercalacion del lmite Si f (x) g(x) h(x) cuando x esta cerca de a (ex-cepto quizas en a) y

lmxa

f (x) = lmxa

h(x) = L

entonces

lmxa

g(x) = L

Ejemplo 12: Calculemos lmx0

sen(x)x

. No es posible hacerlo directamente, as que pensemos

en lo siguiente: Construyamos un triangulo rectangulo 4ABC cuya hipotenusa mida 1 ycoincida con el radio de la circunferencia, y la base este apoyada sobre el eje x; y otro4ADE con la base tambien apoyada sobre el eje x pero midiendo 1. En ambos triangulos,el angulo entre el cateto base y la hipotenusa mide x.

Podemos entonces claramente ver que vale que:


Calculo I FCEIA-UNR

medidaBC medida arco BE medida DE

Esto es

sen(x) x tan(x)

Podemos escribir

1sen(x)

1x 1

tan(x)

Multiplicando en todos los terminos por sen(x), considerando sen(x) > 0, se tiene que

1 sen(x)x cos(x)

Notando que sen(x) > 0 cuando x tiende a 0 por derecha, podemos decir que

lmx0+

1 lmx0+

sen(x)x lm

x0+cos(x)

Como lmx0+

1 = lmx0+

cos(x) = 1, tenemos que lmx0+

sen(x)x= 1. Se puede hacer un razonamien-

to similar cuando x tiende a 0 por izquierda, para obtener lmx0

sen(x)x= 1, y as concluir

que lmx0

sen(x)x= 1


Calculo I FCEIA-UNR

3. La definicion formal de lmiteObservacion 11: Consideremos la funcion f (x) = 2x 1 cerca de x0 = 4. Intuitivamente,es evidente que y esta cerca de 7 cuando x esta cerca de 4, as que lm

x4(2x 1) = 7. Sin

embargo, Que tan cerca debe estar x de x0 = 4 para que y = 2x1 difiera de 7 por lo menos2 unidades? Podemos preguntar Para que valores de x es |y 7| < 2? Para responder estoexpresemos a |y 7| en funcion de x:

|y 7| = |2x 1 7| = |2x 8|

Entonces preguntamos: Que valores de x cercanos a 4 satisfacen la desigualdad |2x8| < 2?Resolviendo:

|2x 8| < 22 < 2x 8 < 22 < 2(x 4) < 21 < x 4 < 1|x 4| < 1

Al mantener x a una unidad o menos de x0 = 4 mantendremos a y a 2 unidades o menosde y0 = 7

Aqu determinamos que tan cerca debe estar x de un valor particular de x0 para ase-gurarnos que los resultados de alguna funcion f (x) esten dentro del intervalo prescritoalrededor del valor lmite L. Para comprobar que el lmite de f (x) cuando x x0 esigual a L debemos ser capaces de probar que la diferencia entre f (x) y L puede hacerse


Calculo I FCEIA-UNR

menor que cualquier error prescrito sin importar cuan pequeno sea este, tomando a x losuficientemente cerca de x0.

Nota 4: Supongamos que estamos estudiando los valores de f (x) cuando x se aproxi-ma a x0 (sin tomar en cuenta el valor del mismo x0). Nos interesa poder decir que f (x)

permanece a1

10de L tan pronto como x este a una distancia de x0.

Pero esto no es suficiente ya que a medida que x se continua acercando a x0 nada impedira

que f (x) oscilara en el intervalo (L 110,L +

110

) sin tender hacia L. Podramos buscar un

error no mayor a1

100o

11000

, o1

10000, y cada vez encontraramos un nuevo intervalo

alrededor de x0 tal que si x se mantiene dentro de ese intervalo se satisface el nuevo errorde tolerancia. Siempre existe la posibilidad de que f (x) oscile alejandose de L en algunmomento.


Calculo I FCEIA-UNR

Esto que parece no tener final, puede terminarse probando que para todo error de tole-rancia es posible encontrar, calcular o conjeturar una distancia correspondiente quemantenga a x lo suficientemente cerca de x0 para que f (x) este dentro del rango detolerancia de L. Esto nos lleva a la definicion formal de lmite.

Definicion 6: Sea f definida en un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posible-mente en x0. Decimos que el lmite de f (x) cuando x se aproxima a x0 es el numero L, yescribimos:

lmxx0

f (x) = L

si para cada numero > 0, existe un numero > 0 correspondiente tal que, para toda x

0 < |x x0| < = | f (x) L| <

Observacion 12: La definicion formal de lmite no nos dice como encontrar el lmite deuna funcion pero permite verificar si el calculo del lmite es correcto.

Ejemplo 13: Probemos que lmx1

(5x 3) = 2.

Sean x0 = 1, f (x) = 5x 3, L = 2 en la definicion formal de lmite.Para cualquier > 0 debemos encontrar un > 0 conveniente, de manera que si x , 1 ysi x esta a una distancia menor que a x0 = 1, es decir siempre que

0 < |x 1| <

es cierto que la distancia de f (x) a L = 2 es menor que , vale decir

| f (x) 2| <

Para determinar , vamos hacia atras desde la desigualdad de :

| f (x) 2| = |5x 3 2| < |5x 5| < |5(x 1)| <

5|x 1| < |x 1| <

5


Calculo I FCEIA-UNR

Por lo tanto podemos tomar =5

.

Si 0 < |x 1| < = 5

entonces

|5x 3 2| = |5x 5| = |5(x 1)| = 5|x 1| < 5 5=

Lo que prueba que lmx1

(5x 3) = 2

Observacion 13: La definicion no exige encontrar la mejor positiva, sino simplementeuna que funcione. En el Ejemplo anterior, =

5

no es el unico que hace que 0 < |x 1| < implique que | f (x) 2| < ; sino que cualquier positiva menor tambien lo hara.

Ejemplo 14: Probemos que lmxx0

x = x0.

Sea > 0 dado.

Debemos encontrar > 0 tal que x, 0 < |x x0| < = |x x0| < . Obviamente sitomamos = (o algun valor menor a ) esto vale.

Observacion 14: Como encontrar algebraicamente para f ,L, x0 y > 0 dados. El procesopara encontrar un > 0 tal que x, 0 < |x x0| < = | f (x) L| < puede llevarse a caboen 2 pasos.1) Resolver la desigualdad | f (x) L| < para encontrar un intervalo abierto (a, b) quecontenga a x0 en el que la desigualdad se satisfaga x , x0.2) Encontrar un valor de > 0 que coloque el intervalo abierto (x0 , x0 + ) centradoen x0 dentro del intervalo (a, b). La desigualdad | f (x) L| < se cumplira x , x0 en este-intervalo.


f (x) = 4 si

f (x) ={

x2 si x , 21 si x = 2

Debemos probar que dado > 0, > 0 tal que x, 0 < |x 2| < = | f (x) 4| < .1) Para x , x0 = 2, tenemos que f (x) = x2. Entonces:


Calculo I FCEIA-UNR

| f (x) 4| = |x2 4| < < x2 4 <

4 < x2 < 4 +

es lo suficientemente pequeno como para que 4 > 0, y entonces podemos hacer:

4 0 talque

|(g(x) f (x)) (G F)| < F G

siempre que 0 < |x c| < .Por propiedad del valor absoluto sabemos que a |a| a R. Luego

(g(x) f (x)) (G F) |(g(x) f (x)) (G F)| < F G

siempre que 0 < |x c| < .Esto implica que

g(x) f (x) < F G + G F = 0 = g(x) < f (x)

siempre que 0 < |x c| < , y esto contradice nuestras hipotesis. Por lo tanto, F G.

Definicion 7: Decimos que f (x) tiene lmite lateral derecho L en x0, y escribimos


Calculo I FCEIA-UNR

lmxx+0

f (x) = L

si > 0, > 0 tal que x, x0 < x < x0 + = | f (x) L| < .

Definicion 8: Decimos que f (x) tiene lmite lateral izquierdo L en x0, y escribimos

lmxx0

f (x) = L

si > 0, > 0 tal que x, x0 < x < x0 = | f (x) L| < .

Ejemplo 16: Vamos a probar que lmxx+0

x = 0

Sea > 0. Aqu x0 = 0, f (x) =

x y L = 0, de manera que queremos encontrar un > 0 talque x, 0 < x < = |

x 0| < , o lo que es lo mismo 0 < x < =

x < .

Trabajando la ultima desigualdad,

(

x)2 < 2 x < 2

Eligiendo = 2 tendremos que

0 < x < 2 =

x <

lo que prueba por definicion lo que queramos.

Observacion 16: El smbolo + como ya dijimos no representa a un numero real, sinoque lo usamos para describir el comportamiento de una funcion cuando los valores so-brepasan, en su dominio o codominio, cualesquiera sean las cotas finitas que querramos.

Por ejemplo pensemos en f (x) =1x

. f esta definida x , 0. Cuando x es positivo y sevuelve muy grande, f (x) se hace cada vez mas pequena y positiva. Cuando x es negativoy se vuelve cada vez mas grande en valor absoluto, f (x) se hace cada vez mas pequeno envalor absoluto y negativa. Este comportamiento puede resumirse diciendo que el lmitede f (x) cuando x tiende a es 0.

Definicion 9: Decimos que f (x) tiene el lmite L cuando x tiende al infinito, y escribi-mos


Calculo I FCEIA-UNR

lmx+

f (x) = L

si > 0, M tal que x

x > M = | f (x) L| <

Definicion 10: Decimos que f (x) tiene el lmite L cuando x tiende a menos infinito, yescribimos

lmx

f (x) = L

si > 0, N tal que x

x < N = | f (x) L| <

Ejemplo 17: Probemos que lmx+

1x= 0

Sea > 0. Debemos hallar un M tal que x, x > M = |1x| < .

Como x tiende a infinito, podemos suponer que x > 0, y as |1x| = 1

x.

Luego1x< x > 1

.

Teorema 9: Sean F,G y k R, y lmx

f (x) = F, lmx

g(x) = G. Entonces:1) lm

x( f (x) g(x)) = F G

2) lmx

( f (x) g(x)) = F G

3) lmx

k( f (x) = kF

4) lmx

f (x)g(x)

=FG

si G , 0


Calculo I FCEIA-UNR

5) lmx

( f (x))r/s = Fr/s si r, s Z, s , 0

Demostracion: Haremos solamente 2), el resto quedan como ejercicio.

lmx+

f (x) = F 1 > 0 M1 / x, x > M1 = | f (x) L| < 1lm

x+g(x) = G 2 > 0 M2 / x, x > M2 = |g(x) G| < 2

Sea M = max{M1,M2}. Luego si x > M vale que | f (x) F| < 1 y |g(x) G| < 2. Ademasnotemos que:

| f (x)| = |F + f (x) F| |F| + | f (x) F| < |F| + 1|g(x)| = |G + f (x) G| |G| + |g(x) G| < |G| + 2

Como la definicion de lmite debe cumplirse > 0, podemos considerar que 1, 2 < 1 yas obtenemos que

| f (x)| < |F| + 1 ; |g(x)| < |G| + 1

Por lo tanto,

| f (x)g(x) FG| = | f (x)g(x) f (x)G + f (x)G FG| | f (x)(g(x) G)| + |G( f (x) F)| =| f (x)||g(x) G| + |G|| f (x) F| < (|F| + 1)2 + |G|1 < |F| + 1 + |G|

Por lo tanto, si elegimos = |F|+ |G|+1 veremos que | f (x)g(x)FG < siempre que x > M,y esto demuestra 2).

Ejemplo 18:

lmx+

(7 1x

) = lmx+

7 lmx+

1x= 7 0 = 7

lmx+

9x= ( lm

x+9)( lm

x+1x

) = 9 0 = 0

Observacion 17: Para determinar el lmite de una funcion racional cuando x ,podemos dividir el numerador y el denominador por la mayor potencia de x que aparez-ca en el denominador.

i) Numerador y denominador de igual grado.Veremos con un ejemplo:

lmx+

3x2 + 2x + 17x2 3 = lmx+

3x2x2 +

2xx2 +

1x2

7x2x2 3x2

= lmx+

3 + 2x +1x2

7 3x2=

37

ii) Grado del numerador menor que el grado del denominador.

lmx

11x + 429x3 + x2

= lmx

11xx3 +

4x3

29x3x3 +

x2x3= lm

x

11x2 +

4x3

29 + 1x= 0


Calculo I FCEIA-UNR

iii) Grado del numerador mayor que el grado del denominador.Lo veremos luego.

Definicion 11: Una recta y = b es una asntota horizontal de la grafica de la funciony = f (x) si se satisface alguna de las condiciones siguientes:

lmx+

f (x) = b ; lmx

f (x) = b

Ejemplo 19:

f (x) =3x + 12x 1

Observacion 18: A veces para calcular un lmite se puede efectuar un cambio de variablepara que el calculo sea mas sencillo. Veamos un ejemplo:

lmx+

sen(1x

) =()

lmu0+

sen(u) = 0

() : u = 1x x + u 0+

Definicion 12: Diremos que f (x) tiende al infinito cuando x se aproxima a x0, y escri-bimos

lmxx0

f (x) = +

si para todo numero real B > 0 existe un > 0 correspondiente tal que x, 0 < |x x0| < = f (x) > B


Calculo I FCEIA-UNR

Definicion 13: Diremos que f (x) tiende a menos infinito cuando x tiende a x0, y escribimos

lmxx0

f (x) =

si para todo numero real B > 0 existe un numero > 0 correspondiente tal que x,0 < |x x0| < = f (x) < B


Calculo I FCEIA-UNR


1x2= +.

Dado B > 0 queremos hallar > 0 tal que 0 < |x 0| < = 1x2

> B. Entonces ve-mos que:

1x2> B = x2 < 1

B=B>0

|x| < 1B

Por lo tanto, eligiendo a =1B

(o cualquier numero positivo menor) vemos que

0 < |x| < = 1x2>

12=

1( 1

B)2= B

y vale el enunciado.

Observacion 19: Al igual que anteriormente, se definen los lmites infinitos laterales.


1x= .

Dado un B > 0 queremos hallar un > 0 tal que + 0 < x < 0 implique que 1x< B.

Entonces viendo que:

1x< B = x > 1

B

Elegimos =1B> 0 (o cualquier numero positivo menor) y vemos que:

< x < 0 = 1x> 1

=1

( 1B )= B

y vale el enunciado.

Observacion 20: Volvamos a la determinacion del lmite de una funcion racional. Consi-

deremos la funcion f (x) =2x3 + 2x2 1 y veamos su comportamiento alrededor de x0 = 1.

Primero notemos que:

Entonces:

2x3 + 2x2 1 = 2x +

2x + 2x2 1 = 2x +

2(x + 1)(x 1)(x + 1) = 2x +

2x 1


Calculo I FCEIA-UNR

Luego lmx1+

2x3 + 2x2 1 = lmx1+(2x +

2x 1) = +.

y lmx1

2x3 + 2x2 1 = lmx1(2x +

2x 1) = .

Definicion 14:i) Diremos que f (x) tiende a infinito cuando x tiende a infinito, y escribimos:

lmx+

f (x) = +

si para todo numero real B > 0 existe un M tal que x, x > M = f (x) > B.

ii)Diremos que f (x) tiende a menos infinito cuando x tiende a infinito, y escribimos:

lmx+

f (x) =

si para todo numero real B > 0 existe un M tal que x, x > M = f (x) < B.


Calculo I FCEIA-UNR

iii) Diremos que f (x) tiende a infinito cuando x tiende a menos infinito, y escribimos:

lmx

f (x) = +

si para todo numero real B > 0 N / x, x < N = f (x) > B.

iv) Diremos que f (x) tiende a menos infinito cuando x tiende a menos infinito, y escribimos:

lmx

f (x) =

si para todo numero real B > 0 N / x, x < N = f (x) < B.


Calculo I FCEIA-UNR

Ejemplo 22: Probemos que lmx+

x2 = +

Dado un B > 0 queremos hallar un M tal que x, x > M = x2 > B. Viendo que:

x2 > B =x>0

x >

B

elegimos M =

B y vale el enunciado.

4. Continuidad de funciones realesDefinicion 15: Se dice que una funcion f es continua en un punto x0 si:

i) f esta definida en x0 (vale decir, x0 Dom f ).

ii) lmxx0

f (x) ( lmxx+0

f (x) o lmxx0

f (x) si x0 es extremo de f ).

iii) lmxx0

f (x) = f (x0) ( lmxx+0

f (x) o lmxx0

f (x) segun el caso).

Observacion 21: Esta definicion puede escribirse tambien de la siguiente manera (pa-ra x0 Dom f ):

f es continua en x0 Dom f > 0, > 0 / 0 < |x x0| < = | f (x) f (x0)| <


Calculo I FCEIA-UNR

Observacion 22: Este hecho puede expresarse como: si x se mueve hacia x0, el corres-pondiente valor de la funcion f (x) debe llegar a ser tan proximo a f (x0) como se desee,cualquiera sea la forma con que x tienda a x0.Dicho en palabras sencillas, la continuidad de una funcion se refleja en el hecho de que sugrafica puede trazarse sobre su dominio con un movimiento ininterrumpido, sin levantarel lapiz de la hoja del papel.

Nota 5: Si una funcion f no es continua en un punto c, decimos que f es discontinuaen c, y que c es un punto de discontinuidad de f .

Definicion 16:a) Una funcion f es continua por derecha en x = x0 Dom f si lm

xx+0f (x) = f (x0)

b) Una funcion f es continua por izquierda en x = x0 Dom f si lmxx0

f (x) = f (x0)

Observacion 23: Si x0 es un punto interior del Dom f , si f es continua en x0 entoncesf es continua por derecha en x0 y continua por izquierda en x0, y recprocamente.

Ejemplo 23:

a)f : R R

f (x) = 2x + 1 es continua en x0 = 0

i) x0 = 0 Dom f .

ii) lmx0

f (x) = lmx0

(2x + 1) = 1.

iii) f (0) = 2 0 + 1 = 1 = lmx0

f (x)

Luego f (x) = 2x + 1 es continua en x0 = 0.

b)f : R {0} R

f (x) =1x

es continua en x0 = 0?

i) x0 = 0 < Dom f = f es discontinua en x0 = 0.


Calculo I FCEIA-UNR

c)f : R R

f (x) = [x] es continua en x0 = 1?

i) x0 = 1 Dom f .

ii)lmx1+

[x] = 1

lmx1

[x] = 0

= @lmx1[x] = f es discontinua en x0 = 1.Notemos que f (1) = 1, y por lo tanto f resulta ser continua por derecha en x0 = 1.

Nota 6: Diremos que una funcion f es continua en su dominio, o simplemente que escontinua, cuando f es continua en x0, x0 Dom f .

Ejemplo 24:f : [2, 2] R

f (x) =

4 x2

Esta funcion es continua en todos los x (2, 2), es continua por derecha en x = 2y continua por izquierda en x = 2. Luego f es continua.

Observacion 24: Todas las discontinuidades que puede tener una funcion f son igua-les? No, veamos esto con ejemplos:

a)f1 : R {1} R

f1(x) =x2 1x 1

En x0 = 1 hay una discontinuidad.

Vemos que lmx1+

f1(x) = lmx1

f1(x), o sea que lmx1

f1(x) = 2.

Si uno rellenara el agujerito en la grafica de f , la funcion sera continua. Este tipode discontinuidades se llama evitable. Uno puede evitar que f sea discontinua definiendoque en x0 = 1, f (1) = 2.

b)f2 : R R

f2(x) = sgn(x)


Calculo I FCEIA-UNR


Vemos que lmx0+

f2(x) , lmx0

f2(x), lo que hace que sea imposible evitar la discontinui-

dad. La grafica de f pega un salto en x0 = 0. Este tipo de discontinuidades se llamade salto finito, ya que lm

x0+f2(x) = 1 (valor finito) y lm

x0f2(x) = 1 (valor finito).

c)f3 : R {0} R

f3(x) =1x2


Como vemos que lmx0

f3(x) = +, decimos que en x0 = 0, f3 tiene una discontinuidadde salto infinito (y para reconocer este tipo de discontinuidades solo hace falta que unode sus lmites laterales tienda a ).

d)f4 : R {0} R

f4(x) = sen(x

)

En x0 = 0 f4(x) es discontinua. Este funcion oscila demasiado como para tener un lmitecuando x tiende a 0, por lo tanto diremos que tiene una discontinuidad oscilante.


Calculo I FCEIA-UNR

Teorema 10: Sean f , g continuas en x = x0. Entonces vale que:

i) f + g continua.ii) f g continua.iii) f g continua.iv) k f continua k R.v)

fg

continua, siempre que g(x0) , 0.

Demostracion: Haremos solo i), el resto queda para el lector. Sin perder generalidad, sea x0un punto interior de Dom f y de Domg. Luego:

lmxx0

( f + g)(x) =De f suma

lmxx0

( f (x) + g(x)) =Teo1i

lmxx0

f (x) + lmxx0

g(x) =f ,g cont

f (x0) + g(x0) =De f suma

( f + g)(x0)

Por lo tanto f + g continua.

Observacion 25: Como consecuencia directa del Teorema 10 obtenemos que cualquierfuncion racional entera (o polinomial) P(x) = anxn + ... + a1x + a0 es continua, y tambien

cualquier funcion racional fraccionariaP(x)Q(x)

, con P(x) y Q(x) polinomios, lo sera siempre

que este definida. (Q(x) , 0).

Teorema 11: Si f es continua en x0, y g es continua en f (x0), entonces la composiciong f es continua en x0.

Demostracion: Sea > 0. Por la continuidad de g en f (x0), existe > 0 tal que y Domgcon |y f (x0)| < tenemos que |g(y) g( f (x0))| < .Ahora, por la continuidad de f en x0, > 0 tal que x Dom f con |x x0| < se tieneque | f (x) f (x0)| < . Luego deducimos que |g( f (x)) g( f (x0))| < x Dom f = Domg fcon |x x0| < . Vale decir, g f continua en x0.

Observacion 26: Notemos que la continuidad de g f en x0 depende de la continui-dad de f (x) en x0 y de g(y) en f (x0). Por ejemplo, si f (x) es continua en x0 entonces | f (x)| escontinua en x0. Sin embargo, el hecho que f (x) no sea continua en x0 no implica que | f (x)|no sea continua en x0. Veamos que si:

f (x) ={

1 si x 01 si x < 0


Calculo I FCEIA-UNR

tenemos que f es discontinua en x0 = 0, mientra que | f (x)| es continua en todo R.

Teorema 12: Conservacion local del signo.

Sea f : A R continua en a A, con f (a) , 0. Entonces hay un numero r > 0, talque x A con |x a| < r se verifica que f (x) f (a) > 0. Esto es decir, f (x) > 0 si f (a) > 0,o f (x) < 0 si f (a) < 0 en todo x (a r, a + r) A.

Demostracion: Supongamos sin perder generalidad que f (a) > 0. Podemos entonces to-

mar =f (a)2

en la definicion formal vista en la Observacion 21 para obtener que existe un

r > 0 tal que x A tal que 0 < |x a| < r se verifica que | f (x) f (a)| < f (a)2

. Esto implica

que f (x) >f (a)2

> 0.El caso f (a) < 0 surge de igual manera.

Teorema 13: Teorema de Bolzano.

Sea f : [a, b] R continua, con f (a) f (b) < 0 (esto es decir, f (a) > 0 y f (b) < 0 o f (a) < 0 yf (b) > 0). Entonces existe algun (a, b) tal que f () = 0.

Demostracion: Supongamos que f (a) < 0 y f (b) > 0. Sea A = {x [a, b] / f es negativaen [a, x]}. A , pues a A por hipotesis.Luego, por ser f continua y la conservacion local del signo, 1 > 0 tal que f (x) < 0 en[a, a + 1). Entonces [a, a + 1) A.b es una cota superior de A, y por ser f (b) > 0,2 > 0 tal que f (x) > 0 en (b2, b] por igualrazonamiento al anterior. Entonces, todos los puntos de (b 2, b] son cotas superiores deA. Por lo tanto podemos asegurar que existe el supremo de A, al que llamaremos . Ahoravamos a probar que f () = 0, y lo haremos por el absurdo.Supongamos que f () < 0. Entonces > 0 tal que f (x) < 0 para x ( , + ) (porConservacion del signo). Por ser el supremo de A, dado ese > 0,x0 A tal que < x0 < (por definicion de supremo).Como x0 A, sigue que f es negativa en [a, x0]. Si x1 es un numero comprendido entre y + , f tambien es negativa en todo el intervalo [x0, x1]. Luego f sera negativa en [a, x1],de donde x1 A contradiciendo que es el supremo de A. Luego no puede ser f () < 0.De igual forma se prueba que no puede ser que f ( > 0. Como conclusion, surge quef () = 0.

Corolario 1: Teorema de los valores intermedios.

Si f : [a, b] R continua y f (a) < c < f (b), existe x [a, b] tal que f (x) = c.

Demostracion: Consideremos la funcion g(x) = f (x) c, y aplicando el Teorema de Bol-zano surge el enunciado.

Corolario 2: Existencia de races.


Calculo I FCEIA-UNR

Dados a > 0, y k N, hay un unico numero c > 0 tal que ck = a.

Demostracion: La funcion f : R+0 R dada por f (x) = xk a es continua, y f (0) = a < 0,f (1 + a) = (1 + a)k a > 0. Deducimos que hay algun numero c > 0 tal que f (c) = 0 (porTeorema de Bolzano). Como f es estrictamente creciente, este c es unico.

Corolario 3: Ceros de polinomios de grado impar.

Toda funcion polinomica de grado impar se anula en algun punto.

Demostracion: Sea P(x) = c0 + c1x + ... + cnxn una funcion polinomica de grado imparn 3. Nuestra meta es probar que P(x) toma valores positivos y negativos. Supongamosque cn > 0, y que |x| 1 sin perder generalidad. Dividiendo por xn se tiene que:

P(x)xn=

c0xn+

c1xn1

+ ... +cn1

x+ cn

Para 0 k n 1 se tiene, por ser |x| 1 y n k 1, que|ck||x|nk

|ck||x|

Por otra parte

|ck||x|

cn2n |x| |ck|

cn2n

Definamos

M = max{ |ck|cn

2n : k = 0, 1, ...,n 1}, K = max{M, 1}

Entonces para |x| k y para k = 0, 1, ...,n 1, tenemos queck

xnk (n 1) cn

2n+ cn >

cn2+ cn =

cn2> 0

Ahora, si x < k se tiene por ser n impar que xm < 0, y por la desigualdad anterior surgeque P(x) 0. Analogamente, si x > k debe ser P(x) > 0. Hemos probado que P(x) tomavalores positivos y negativos, y como es una funcion continua definida en un intervalo,concluimos que debe anularse en algun punto.


limite calculo 1

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