Apuntessobrecontrol robustoymultiobjetivosdesistemasWilliamsColmenaresM.,UniversidadSim onBolvarDepartamentodeProcesosySistemasFernandoTadeoR.,UniversidaddeValladolidDepartamentodeIngenieradeSistemasyAutom aticaEditorialEquinoccio.EditorialdelaUniversidadSim onBolvarColecci onParaninfoATeresayHugoALuisaElena,LuisCarlos,Bruno,DanieleIsabellaIndicegeneralI. Analisisdesistemasconm ultiplesobjetivos 1I.1. Controladores multiobjetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2. Sobre la norma de se nales y sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.3. Evaluacion de las normas 2 e innito de un sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.4. Desigualdades matriciales lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.5. Estabilidad robusta y desempe no nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II. Analisisysntesisdecontroladoresparasistemasconsaturaciones 33II.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.2. Especicaciones de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.3. Analisis1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II.4. Solucion mediante programacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.5. Control de un reformador de hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II.6. Metodo de calculo basado en LMIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51II.7. Resumen del captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54III. Sntesisdecontroladoresmedianteprogramaci onsemidenida 55III.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55III.2. Estabilidad cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III.3. Sistemas con incertidumbre acotada en norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.4. Sistemas poliedricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61III.5. Condiciones menos conservadoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63III.6. Dise no por realimentacion de la salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64III.7. Sistemas ciertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64III.8. Sistemas con incertidumbre acotada en norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69III.9. Sistemas con incertidumbre poliedrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79IV. Sintonizaci onrobustadecontroladoresindustriales 89IV.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89IV.2. Los algoritmos PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90IV.3. PID va LMIs iterativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90IV.4. El algoritmo ILMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91IV.5. Comparacion de tecnicas de entonacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93IV.6. Enfoque frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95iA. Factorizaci oncoprima 101A.1. Factorizacion coprima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101A.2. Parametrizacion de Youla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103iiPresentaci onEste libro es sobre programacion convexa aplicada al control. En particular, de la programacion lineal y lasemidenida. Recientesdesarrolloshandespertadomuchointeresenestecampo, entreellosmencionamoslosasociadosconlateoradecontrol robustoylosmetodosnumericosdepuntosinteriores. Laprimera, permiteestudiar en un marco unicado la incertidumbre sobre el sistema y sobre las perturbaciones externas. Los segundospermiten resolver de manera muy eciente problemas convexos. Ademas, y esperamos convencer de ello al lectorque con paciencia avance por el libro, es muy grande el campo de las aplicaciones de la programacion convexaen el control.En estos apuntes nos concentramos en el dise no de sistemas de control para sistemas lineales invariantes en eltiempo, a los que imponemos m ultiples objetivos en el desempe no del lazo cerrado de control (e.g., estabilidad,rapidez, atenuacion, sensibilidad). De particular interes son aquellos sistemas en los que la incertidumbre en elmodeloolasperturbacionesexternassondetalmagnitudquedebentenerseenconsideracionexplcitamente.As, enel trabajoanalizamossistemasconincertidumbresurgidadeimperfeccionesdel modelo, tpicamenterepresentada por una funcion de transferencia que afecta globalmente al sistema en estudio. Ademas, analizamosincertidumbre asociada con los parametros y de muy alta estructura. En cuanto a las perturbaciones, al contrariodel enfoquetradicional quepresuponelaformaysolodesconoceel momentoenlaqueafectaraal sistema, unicamente asumiremos conocida alguna cota superior (e inferior si es el caso) de ella (e.g., energa, amplitud,ruido blanco).En el caso de sistemas inciertos, estudiamos sistemas con incertidumbre acotada en norma y con incertidumbrepoliedrica. Ambos tipos con implicaciones practicas importantes. El enfoque de partida es el cuadratico, esto es,siemprebuscamosunafunciondeLyapunovcom unatodoslosmodelosquepuedatenerunsistema.Desdeelenfoquecuadratico, sederivancondicionesmuchomenosconservadorasal encontraryanounasinodiferentesfunciones de Lyapunov. Ambos enfoques se basan en una representacion del sistema en variables de estado. Estopone al alcance del dise nador herramientas sumamente poderosas de analisis y sntesis de compensadores. Ventajaadicional de este marco (variables de estado) es que no se hace ninguna distincion en el tratamiento de sistemasMIMO o SISO.Enesapartedel trabajo(sistemasconincertidumbre)revisamosunaseriederesultadosdelaahoramuyconocida teora del control robusto y ponemos enfasis en un enfoque integrador de la misma. Uno de los aportesdeestetrabajoessindudalasolucionofrecidasaldise noconobjetivosm ultiplescuandonotodoslosestadosestan disponibles y solamente una parte de ellos puede retroalimentarse, usandose para control. Todos nuestrosaportes estan basados en el dise no de un controlador dinamico.Tanto en el tratamiento de la incertidumbre como en el caso de las perturbaciones, el logro de los objetivos decontrol se eval ua a traves de la norma de una funcion de transferencia. Observe que hasta aca no hemos hechoninguna distincion entre sistemas continuos y discretos; la razon es, que en general, se desarrollaran resultadospara ambos tipos de sistemas con el enfoque propuesto (normas). Notable excepcion es la norma1 cuyo ambitobasicamente son los sistemas discretos y a cuyo estudio dedicamos un captulo entero. A traves de esta norma,se resuelve el problema de control robusto en el que la incertidumbre se describe en terminos de magnitud.Lasherramientasfundamentalesdedesarrollosonlasdesigualdadesmatricialeslineales, queseobtienendeunaaplicaciondelaformuladel complementodeSchur. Conellassepuedeformularunaserieimportantedeproblemas como uno de programacion convexa. De esta manera, problemas del ambito de H, H2, 1, ubicacionde polos en regiones, pasividad y otro buen n umero, encuentran un marco com un de planteamiento. De all que,en ocasiones, hablemos de dise no multiobjetivos de sistemas, ya que especicar condiciones de desempe no deltipo antes mencionado signica sumar (en realidad intersectar) colecciones de desigualdades matriciales linealesen b usqueda de un punto factible, el controlador.Tambien importante, en este trabajo proponemos un par de enfoques para entonar controladores industrialescon estructura estandar, siempre en el ambito de la programacion convexa.El objetivo del libro es poner al alcance del lector conocimiento y tecnicas de la programacion lineal y semide-nida que se aplican al analisis y dise no de sistemas de control. Como la lista de aplicaciones es extensa, en muchoscasoshacemosdemostracionrigurosadealgunosresultadosydejamosallectoreldesarrollodelaextensionaotroscasos; porejemplo, sedemuestraestabilidadysedejaparael lectorlasdemostracionesdeubicaciondepolos,H2, etc.El libro esta originalmente pensado para cursos electivos de pre y postgrado en sistemas de control, especca-mente sobre aplicaciones de la programacion convexa o de metodos numericos en control. Tambien puede usarseen cursos basicos de sistemas de control, como complemento a las muy conocidas tecnicas analticas de dise no decontroladores, en cursos de sistemas multivariables y de control robusto.EnelcaptuloIsesientanlasbasesteoricasquejusticanlosresultadospresentadosenloscaptulossubsi-guientes. Enel captuloIIsepresentanaplicacionesdelaprogramacionlineal al calculodecontroladoresconrestriccionesdesaturacion,basadasenlanorma1.EnelcaptuloIIIsepresentanalgunasaplicacionesdelaprogramacion semidenida al calculo de controladores H, H2 y ubicacion de polos. En el captulo IV se presen-tan algunas aplicaciones especcas al calculo de controladores tipo Proporcional, Integral, Derivativo, ello porlo extendido del uso de este tipo de controladores. Los captulos II, III y IV son independientes y, completado elestudio del captulo I, el lector interesado puede ir directamente a cualquiera de ellos.Este libro es fruto de la intensa cooperacion cientca que hemos sostenido entre la Universidad Simon Bolvaren Caracas, la Universidad de Valladolid en Valladolid y el Laboratoire dAnalyses et Architecture des System`es(LAAS) en Toulouse. En particular, los autores desean expresar su agradecimiento a los colegas Ernesto Granado,Omar Perez, Jacques Bernussou, Cesar de Prada, Francisco del Valle, Maite Ura, Rosalba Lamanna. A la Jefa dela Seccion de Produccion de la Editorial Equinoccio, Margarita Oviedo por su desprendido apoyo y a Jose ManuelGuilarte de la Editorial por su paciente correccion del estilo del libro. Igualmente, agradecemos a las institucionesque hicieron posible esa cooperacion, a saber, los programas CYTED - RIII, PCP Automatique y Optimizacionde Sistemas y FEDER y al FONACIT. Finalmente agradecemos el nanciamiento de la publicacion que realizael Ministerio de Educacion y Ciencia Espa nol, a traves del proyecto DPI2004-07444-C04-02 y a la UniversidadSimon Bolvar a traves de la Editorial Equinoccio y de la Direccion de Extension.Williams Colmenares en Caracas y Fernando Tadeo en ValladolidivCAPITULO IAnalisisdesistemasconm ultiplesobjetivosI.1. ControladoresmultiobjetivoEl dise no de estrategias de control que aseguren un n umero de objetivos (especicaciones) en un lazo de controlhasidoobjetodeintensainvestigacionyestudio,pasandoenlos ultimos50a nosdeseruncampointuitivoydesentidocom un(deingenio)[Cor96],[AH95],aunorigurosoyformalenelquematematicoseingenierosencuentran tierra fertil.Dentro de las disciplinas que conforman los sistemas de control, el estudio de los sistemas lineales invariantes enel tiempo ha conocido enormes avances y cambios en los paradigmas de su estudio, en parte por su simplicidad ypropiedades que permiten la aplicacion de poderosas herramientas matematicas y en parte porque esos resultadospueden ser aplicados a un importante n umero de sistemas, incluyendo algunos muy complejos (e.g., multimodelos[CGP98], no lineales [BA95], etc).De esta manera, el dise no de controladores para sistemas lineales ha evolucionado desde reglas muy simples desintonizacion [ZN42], ajustes de margen de fase y de ganancia [Kuo95], [PH96], dise no basado en representacionesde estado como ubicacion de polos [PH96], control optimo, [AM89], LQG/LTR [DS81], dise no basado en el margendel modulo (u operador diferencia de retorno) [DFT92], basado en los valores singulares y control robusto [San89],[MZ89], [DGK89], llegando hasta los paradigmas basados en la manipulacion de normas (de se nales o de sistemas)ydentrodelosquepodemosmencionarH, H2, L1, 1. Esteenfoquesevefortalecidoconlaposibilidaddeubicar los modos de un sistema, no en puntos exactos del plano s, sino mas bien en regiones del mismo (tecnicasdenominadas de root clustering) y a lo que tambien denominaremos ubicacion de polos [CGP96].Todo ello encuentra ademas un medio integrado de formulacion en las desigualdades matriciales lineales (LMIs)[Boy94] que surgen de la formula del complemento de Schur, esto es, los problemas antes mencionados puedenformularse como un conjunto de esas desigualdades (LMIs).Si, comodemostraremos, loscontroladores H2aseguranunbuenrechazoal ruidoyloscontroladores Hfuncionan bien aun en presencia de incertidumbre asociada com dinamicas no modeladas y reejadas sobre todoen altas frecuencias o en presencia de perturbaciones no conocidas pero acotadas en energa y si el agrupamiento depolos permite especicar algunas caractersticas de la respuesta temporal del sistema, entonces entendemos comoel dise no de controladores multiobjetivos se reere a una estrategia de control que permite, de manera explcita,establecer todas (o algunas) de esas especicaciones antes mencionadas en el calculo del controlador. Observeque la lista de especicaciones no es agotadora y que, adicionalmente, pueden incluirse otras especicaciones comocero error en estado estacionario (oset), estructura del controlador, etc., aunque ya no como LMIs y de all quesu inclusion conlleve un tratamiento especial en cada caso.Adicionalmente, bajo el mismo enfoque puede considerarse incertidumbre parametrica en el modelo, esto es,incertidumbre en bajas frecuencias normalmente asociada con variacion o desconocimiento en los parametrosdel modelo.Enestetextonosproponemospresentaruna visionintegradadeldise nodecontroladoresmultiobjetivo,conparticular enfasis en los casos en los que aparece incertidumbre parametrica en los sistemas. Aunque la aplicacionasistemasperfectamenteconocidostienenopocaimportancia, laextensionaesetipodesistemasciertosenlamayoradeloscasosesinmediatayhacedelenfoqueunaherramientaaunmaspoderosaparaeldise nodecontroladores.En este trabajo entenderemos como controlador multiobjetivos a aquel que satisface simultaneamente ciertoscriterios de desempe no (performance/prestacion) medidos a traves de:la normaH2la normaHla ubicacion de polosla norma1.Sin embargo, a un no hemos denido formalmente tales elementos de medida, de all que este primer captulolo consagremos a sentar las bases de tal meta, es decir, las deniciones y demostraciones que luego seran usadasen todo el resto del trabajo.Cuando nos referimos a una representacion de estados, nos referimos a un sistema como el descrito en (I.1),basado en una representacion en variables de estado de un sistema (LTI), que en su forma generica es: x(t) = Ax(t) +Bu(t) +B1w(t)y(t) = Cx(t) +Dw(t)z(t) = C1x(t) +D1u(t)(I.1)donde x(t) IRnes el vector deestados, u(t) IRmes el vector decontrol, w(t) IRnwes el vector deperturbacionesexternas, y(t) IRpesel vector desalidas mediblesyz(t) IRnzesel vector desalidas acontrolar. Las matrices A, B, B1, C, C1, D, D1 son matrices reales de dimensiones apropiadas que pueden o no sermatrices constantes.I.2. Sobrelanormadese nalesysistemasLas normas son operaciones matematicas (funciones) realizadas sobre un operando (un vector, una matriz, unase nal, un sistema, etc.) que nos permiten compararla con sus similares (otro vector, matriz, etc.). En ese sentido,son metricas (medidas) que dan informacion sobre el tama no del elemento al cual se le aplica la norma.De particular interes para este texto son las normas de se nales y sistemas. Para facilitar la presentacion de lasnormas que usaremos de se nales y sistemas, comenzamos con las de vectores y matrices.2NormadevectoresymatricesSea Cnel espacio lineal de los n umeros complejos de dimensionn. Diremosx Cnimplicando:x = (x1, x2, . . . , xn) conxi CLas normas mas comunes en Cnestan dadas por:xp

= (|x1|p+|x2|p+. . . +|xn|p)1/pp = 1, 2, donde |xi| es la magnitud dexiy xse interpreta como:maxi|xi|.La norma x2, cuandox IRn, es simplemente la longitud euclideana del vectorx.SeaahoraCnn, el espaciodematricesenn nconelementosenC. NormascomunesdeA Cnnson(i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , n):A1 = maxjn

i=1|aij|A = maxin

j=1|aij|y la norma espectralA2 = maxii(A) = (A)dondei(A) es el valor singular i-esimo deA, que se calcula de la forma:i(A) =_i(AHA)yAHes el conjugado hermitiano deA transpuesto mas complejo conjugado de la matriz. Podemos observarque, de acuerdo con la denicion, todos los valores singulares son n umeros reales.Normasdese nalesysistemasSeaY (s) una funcion de C Cny seaLn2el conjunto de todas las funciones de dimensionn para las que lasiguiente cantidad es nita:Y (s)2

=_12_Y (j)HY (j)d_1/2(I.2)(I.2) dene la norma-2 de la funcionY (s). Para el caso en el queY (s) no tenga polos en el semiplano derecho(cerrado), el teorema de Parseval nos da el equivalente en el dominio del tiempo de esa norma.Para ello, seaY (s) la transformada de Laplace dey(t). Entonces se cumple que:Y (s)2 = y(t)2 =__0y(t)Ty(t)dt_1/2.En el caso de que el sistemaY (s) sea una matriz de sistemas (funciones) de dimensionesmn se tiene que:Y (s)2

=_12_Tr_Y (j)HY (j)d_1/2.3Observe queYH(j) = Y (j)T. SiY (s) Lmn2entoncesY (s)

= sup (Y (j)) (I.3)donde es el valor singular maximo, esto es: (Y (j)) = maxi_i(Y (j)HY (j))El siguiente teorema establece que la norma innita es la norma inducida de la norma 2.TeoremaI.1([MZ89]y[San89])Consideremosel sistema(I.1)enel quelaperturbaci onw(t)esceroysean Y (s) y U(s) las transformadas de y(t) y u(t). M as a un, sea Y (s) = G(s)U(s), esto es, G(s) = C(sI A)1B.Entonces:y(t)2 = G(s)u(t)2(I.4)La demostracion de este teorema puede encontrarse en las referencias mencionadas en el enunciado y se basa enel hecho de que el lado izquierdo de (I.1) en general sobreestima a y(t)2, pero si no hay restriccion en la se nalde controlu(t) salvo la de su cota en la norma 2, siempre puede construirse una se nalu(t) Lm2(de hecho unasinusoide modulada por una exponencial decreciente) tal que esa cota superior sea alcanzada.ObservacionI.1Observe que (I.4) puede interpretarse como que la norma innita de la funci on de transferenciaentre u(t) y y(t) en el sistema (I.1) da la m axima amplicaci on de la energa de la se nal de entradau(t).Ejemplonormas2einnitoSe desea calcular la norma innito y 2 del siguiente sistema:G(s) =1s + 5Para el calculo de la norma 2 se puede usar el teorema de Parseval, esto es:G(s)2 = g(t)2dondeg(t) es la respuesta al impulso deG(s), esto es:g(t) = e5tt 0entoncesG(s)2 =__0{e5te5t}dt_1/2= 110e10t0=110.En el caso de la norma innito, se sabe que:G(s) = sup|G(j)| = sup12+ 52= 0,2.4EjemplovaloressingularesConsidere el sistema:G(s) =1s2+ 9_s5_se desea dibujar la evolucion de sus valores singulares cuando toma valores en el intervalo [0, ). Igualmente,se desean esos mismos valores paraG11(s) yG12(s). Hay que determinar tambien el valor de la norma innito.Note que en el caso de las transferenciasG11(s) yG22(s) la respuesta gracada es simplemente el diagrama debode, siendo como son funciones de transferencia SISO.Un programa en Matlab que calcula y graca los valores singulares se lista a continuacion:s=tf(s)g11=s/(s^2+9)g12=-5/(s^2+9)G=[g11;g12]sigma(G,k,g11,r,g12,b)y la graca de los valores singulares vs frecuencia se muestra en la gura (I.1).101100101102806040200204060Frecuencia (rad/s)Valores singularesG() y G12() G() y G11() G11() G12() Figura I.1.: Evolucion de los valores singulares.Observe que en = 3 los valores singulares no estan denidos, i.e.,G(s) = G11(s) = G12(s) = .En realidad hemos abusado del lenguaje, porque para ese sistema la norma innita no existe, siendo que no esnita o, dicho de otra manera, la norma innita no es de ninguna utilidad para este sistema.Consideremos ahora sistemas discretos lineales invariantes en el tiempo y seax(k) una funcion (secuencia) deII IRn. La normapdex se dene como [DD95]:xp =_

k=0|x(k)|pp)_1p5siesacantidadesnita.Enlaecuacionanterior, | |peslanormapdelvectorx(k)eIIeselconjuntodelosn umeros enteros. De particular interes son las normas dondep = 1, 2, y, en el caso de quep = , esa normase dene como:x = supmaxi|xi(k)|Finalmente, enunciamossindemostracionel lemasobreladescomposicionenvaloressingularestomadode[GL95]:LemaI.1Para cualquier matriz complejaQ IRmp, existen matrices unitariasYyUenmx yp p y unamatriz real tal que:Q = Y_ 00 0_UH(I.5)enel que=diag(1, . . . , r) con12. . . r0ymn(m, p) r. Adem as isonlosvaloressingulares de Q. Cuando Q es real, el par (Y, U) pueden escogerse ortonormales. La expresi on (I.5) es com unmentedenominada descomposici on en valores singulares deQ.I.3. Evaluaciondelasnormas2einnitodeunsistemaEn la seccion previa hemos introducido brevemente las deniciones de normas 2 e innito de se nales y sistemas.Salvo en muy pocos casos, estas deniciones no nos proporcionan un medio ecaz para el calculo de tales normas.Enestaseccionpresentamosunconjuntodemediosquenospermitenel calculodeesasnormas, ensistemaslineales con representacion de estados.Con este proposito, consideremos una representacion simplicada del sistema (I.1) y tengamos al sistema linealinvariante en el tiempo (LTI): x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t)(I.6)donde x(t) IRnes el vector de estados, u(t) IRmes el vector de entradas (control) y y(t) IRpes el vector desalidas medibles del sistema.A, B, Cson matrices constantes de dimensiones apropiadas.Es facil demostrar que la funcion de transferencia del sistema [PH96] es:G(s) =Y (s)U(s)= C(sI A)1B (I.7)Los siguientes teoremas nos dan las herramienta de calculo de esas normas que buscamos.TeoremaI.2([ZK88])Para el sistema (I.6), las siguientes proposiciones son equivalentes:1. A es una matriz estable y G(s) 2. Existe una matrizPdenida positiva tal queATP +PA+2PBBTP +CTC< 0 (I.8)6Demostracion: Una comprobacion muy sencilla de que (2) (1) esta inspirada en las propiedades del operadordiferencia de retorno (return dierence operator) que se hace en [AM89] y es como sigue: cambiando el signo dela desigualdad (I.8) y sumando y restandosPcons = j y la frecuencia en la que ocurre la norma innito deG, tenemos que:(sI A)TP +P(sI A) 2PBBTP CTC> 0, (I.9)multiplicandoladerechade(I.9) por (sI A)1Byalaizquierdapor sutranspuestocomplejoconjugado(hermitiano) resulta en:BTP(sI A)1B +BT(sI AT)1PB2BT(sI AT)1PBBTP(sI A)1B BT(sI AT)1CTC(sI A)1B(I.10)a la derecha de la desigualdad (I.10) reconocemos G(s)2y recordando que:[I 1BTP(sI A)1B]H[I 1BTP(sI A)1B] 0,la proposicion (1) sigue. La demostracion de que (1) (2) puede encontrarse en la cita antes enunciada.TeoremaI.3([San89][PSG92])Consideremos al sistema (I.6) y sea A una matriz hurwitz (estable), entoncesG(s)22 = Tr(CLcCT) = Tr(BTLoB) (I.11)dondeLces el gramiano de controlabilidad yLoes el gramiano de observabilidad y satisfacen:ALc +LcAT+BBT= 0ATLo +LoA+CTC = 0(I.12)Demostracion: Sin perdida de generalidad, nos limitaremos a los sistemas de una entrada y una salida (SISO).Igualmente, como ambas demostraciones son similares nos limitaremos a la asociada al gramiano de controlabi-lidad. En tal sentido, recordemos que:Lc

=_0eAtBBTeATtdtdondeeAt= I +At +. . . +Antnn!+. . .luego se cumple que:d(eAt)dt= AeAt= eAtAahora bien,CLcCT=_0CeAtBBTeATtCTdtpero recordemos que la transformada inversa deG(s) esL1(G(s)) = g(t) = CeAtBy entoncesCLcCT=_0g(t)g(t)Tdt = g(t)22y por el teorema de ParsevalG(s)22 = g(t)22 = CLcCTpor otra parteALc +LcAT+BBT=_0AeAtBBTeATtdt +_0eAtBBTeATtATdt +BBT=_0ddt_eAtBBTeATt_dt +BBT= eAtBBTeATt|0+BBTBBT+BBT= 0.7EjemploEn el sistema que se describe a continuacion, se desea calcular las normas 2 e innito de:G(s) =ss2+s + 1el listado de un programa de MATLAB que las calcula se muestra a continuacions=tf(s)G_tf=s/(s^2+s+1)G=ss(G_tf)Lc=gram(G,c)[a,b,c]=ssdata(G)Norma2=c*Lc*cLo=gram(G,o)OtraN2=b*Lo*bRespuesta=bode(G);NormaInf=max(Respuesta)obteniendose:G(s)2 =_0,5 y G(s) = 1.I.4. DesigualdadesmatricialeslinealesUna desigualdad matricial lineal (LMI por sus siglas en ingles, Linear Matrix Inequality) tiene la forma [Boy94]:F(x) = F0 +m

i=1xiFi> 0 (I.13)dondex IRmes la variable y las matrices simetricasFi(=FTi IRnn),i = 0, . . . , m son dadas. La desigualdaden(I.13),entendiendosecomoqueF(x)esunamatrizdenidapositiva,i.e., uTF(x)u> 0paratodou IRndiferente de cero.ObservacionI.2Hayquese nalarquepuedentenersedesigualdadesmatricialeslinealesnoestrictassilades-igualdad es del tipo .Una caracterstica interesante es que desigualdades matriciales (convexas) no lineales pueden ser convertidasa LMIs a traves de la formula del complemento de Schur y que detallamos a continuacion.LemaI.2([Boy94])Las siguientes proposiciones son equivalentes:1.S1 =_P QQTR_> 0 (I.14)2. P> 0 yR QTP1Q > 0 o3. R > 0 yP QR1QT> 08Demostracion:Surge del hecho de que siendo (I.14)denida positiva (> 0),entoncesPyRtambienlo son.Construyendo la matriz de transformacionT1, regular (con autovalores todos diferentes de cero, de hecho todosiguales a uno):T1 =_I P1Q0 I_(I.15)entoncesS2 =_P 00 R QTP1Q_= TT1S1T1. (I.16)siendo queS1es denida positiva yT1regular (de hecho tambien denida positiva), entoncesS2> 0. Por otrolado, siS2> 0 entoncesPyR son denidas positivas, siendo queT1es regular, entonces:S1 = (TT1 )1S2T11(I.17)de donde surge queS1> 0 y la primera proposicion del lema (I.14) queda demostrada.Podemos proceder de manera similar con la proposicion 2 del Lemma (I.14) si denimos la matriz de transfor-macion:T2 =_I 0R1QTI_. (I.18)Dejamos al lector tal demostracionEs interesante describir al lema (I.14) en su forma dual.LemaI.3las siguientes proposiciones son equivalentes:1._ P QQTR_< 0 (I.19)2. P> 0 yQTP1QR < 0 o3. R > 0 yQR1QTP< 0.En conclusion, las LMI (I.14) y (I.19) son equivalentes a sus contrapartes no lineales.ObservacionI.3Hacemos notar que en una LMI las variables son matrices que aparecen en forma lineal en ladesigualdad. Una vez escrita como una LMI, podemos invocar con certeza la convexidad de la desigualdad, lo quemuchas veces no es aparente de las desigualdades no lineales.ObservacionI.4Unavezescritaunadesigualdadmatricial comounaLMI, existenherramientaspoderosasparalaresoluci ondetalesproblemas,comoporejemploel ToolboxdeLMIsdeMatlab,[GNL95],queutilizametodos (e.g., del elipsoide [Win94]) que aprovechan la estructura particular de las LMI para su resoluci on.En un sentido mas amplio, los problemas formulados en terminos de desigualdades matriciales lineales, no sonmas que problemas de programacion semidenida, los que a su vez son una generalizacion de los muy conocidosproblemas de programacion lineal en las que las restricciones de desigualdad son reemplazadas por desigualdadesgeneralizadas correspondientes al cono de matrices semidenidas [PL03].9En su forma primal pura, un problema de programacion semidenida se dene como el problema de optimiza-cion:mn traza(CX)sujeto a traza(AiX) = bii = 1, . . . , m,X 0(I.20)dondeX Sn, el espacio de matrices reales y simetricas enn n,b IRmyC, A1, . . . , Am Sn, son matricessimetricas dadas.En este libro presentaremos una serie de resultados sobre el analisis y sntesis de controladoresH,H2y deubicaciondepolosenregionesqueencuentranunmarcocom unensuformulacionatravesdeLMIs, estoes,como un problema de programacion semidenida. As por ejemplo la desigualdad (I.8) puede escribirse como lasiguiente LMI enP> 0:_ATP +PA+CTC PBBTP 2I_< 0 (I.21)o en su forma dual si denimosS

= P1,_AS +SAT+2BBTSCTCS I_< 0La demostracion sigue de una aplicacion directa del complemento de Schur.De la misma forma, el problema de costo garantizado [CP72] y [PSG92] que brevemente signica que:G(s)22< puede escribirse como un problema de factibilidad, esto es, encontrarP> 0 tal que:1._I CPPCTP_> 0 (I.22)2.AP +PAT+BBT< 0 (I.23)Demostracion: En efecto, si la segunda condicion (I.23) es satisfecha, se cumple queP> Lc, por lo queG22 = CLcCT CPCTpero la LMI de la condicion (I.22) implica queCPCT< I.ObservacionI.5Cuandonohayincertidumbreenel modelosepuede, conlaintroducci ondeunavariablematricial adicionalW, conseguir el mnimo de esa norma [GPS92] y que por supuesto coincide con el que arrojael enfoque, digamos cl asico, del control optimo [AM89].En lo sucesivo nos referiremos a un controladorH2(oH) como aquel que hace que la norma 2 (o innito)delafunciondetransferenciadel sistemaalazocerrado, cumplaconalgunaespecicacion(usualmentecotasuperior) dada.Podemosnotarqueelproblemadedise nodeuncontroladorquesatisfagacriteriosenambasnormas(H2yH) puede formularse como una coleccion de LMIs.10EjemploConsideremos una vez mas el sistema del ejemplo de la seccion (I.3) y calculemos cotas para sus normas 2 einnito.El listadoMATLAB, destinadoal calculodeunamatrizPparaunacotasuperiordigamos1.01delanorma innito, se muestra a continuacion. Se hace uso del toolbox de desigualdades matriciales lineales.num=[1 0];den=[1 1 1];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den);gamma=1.01;setlmis([]);p=lmivar(1,[2 1]);lmiterm([1 1 1 p],a,1,s); % LMI #1: a*p+p*almiterm([1 1 1 0],c*c); % LMI #1: c*clmiterm([1 2 1 p],b,1); % LMI #1: b*plmiterm([1 2 2 0],-gamma^2); % LMI #1: -gammalmiterm([-2 1 1 p],1,1); % LMI #2: peje14=getlmis;[tmin,popt]=feasp(eje14);p=dec2mat(eje14,popt,1)y una matrizPque verica la condicion (I.21) esta dada porP=_1,0047 0,00370,0037 1,0054_porotraparte,ellistadoMATLABdelcalculodeunamatrizP> 0,paraunacotasuperiorde 0,501delanorma 2, se muestra a continuacion. De nuevo se utiliza el toolbox de desigualdades matriciales lineales.num=[1 0];den=[1 1 1];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den);gamma=0.501;setlmis([]);p=lmivar(1,[2 1]);lmiterm([-1 1 1 0],gamma); % LMI #1: gamma^2lmiterm([-1 2 1 p],1,c); % LMI #1: p*clmiterm([-1 2 2 p],1,1); % LMI #1: plmiterm([2 1 1 p],a,1,s); % LMI #2: a*p+p*almiterm([2 1 1 0],b*b); % LMI #2: b*blmiterm([-3 1 1 p],1,1); % LMI #3: peje142=getlmis;[tmin,popt]=feasp(eje142);p=dec2mat(eje142,popt,1)siendo una matrizP> 0 que verica (I.22) y (I.23):P=_0,5006 0,00030,0003 0,5008_11I.5. Estabilidadrobustaydesempe nonominalEl dise no de sistemas de control que aseguren un buen desempe no del lazo, en presencia de incertidumbre enel modelo y/o de perturbaciones persistentes de las cuales solo se conozca una cota en su energa, ha sido objetode intensa investigacion desde nales de la decada de los 70s. En efecto, el control robusto es una teora que haalcanzado madurez y que goza de amplia aceptacion, dada su caracterstica de manejo explcito del conocimientode la incertidumbre y de las perturbaciones externas.Enestaseccionpresentamoslasbasessobrelasquesefundamentaestateorayque, deunamaneramuysimple,puedenresumirseen:bajosuposicionesadecuadas,tantoel problemadeestabilidadrobustacomoel dedesempe no nominal pueden formularse como uno de determinaci on de un controladorH.Para facilitar la presentacion de los resultados de la teora de control robusto, primero nos limitaremos al casodesistemasdeunaentradayunasalida(SISO),paraluegoextrapolaresosresultadosalcasomultivariableatraves de los valores singulares de matrices.SistemasdeunaentradayunasalidaConsideremos al sistema de la gura (I.2), cuya funcion de transferenciay(s)/r(s) viene denida por:T(s) =pc1 +pc, (I.24)que tradicionalmente se conoce como funcion complementaria.c(s)r(t)+ +(-)y(t)d(t)p(s)u(t)e(t)Figura I.2.: Lazo clasico de control.De nuevo, en relacion con la gura (I.2), la funcion de transferenciae(s)/r(s) (oy(s)/d(s)) viene dada por:S(s) =11 +pc, (I.25)que tradicionalmente se denomina como funcion de sensibilidad, ya que es la funcion que determina (en el dominiode la frecuencia) la sensibilidad del lazo de la gura (I.2) a cambios en la plantap(s).Evidentemente,S(s) +T(s) = 1,y de all el nombre deT(s).Antes de entrar en el tema de estabilidad robusta, consideremos la estabilidad del lazo representado en la guraI.2 y demos algunas deniciones.DenicionI.1El lazo representado en la gura (I.2) es internamente estable si toda funci on de transferencia,entre una entrada y una salida del sistema, es estable.12Consideremos ahora cualquier realizacion mnima deT(s) de la forma: x = Aclx +Bclry = Cclx +DclrLemaI.4([San89])El sistema de la gura (I.2) es internamente estable si y s olo si los autovalores de la matrizAclest an en el semiplano izquierdo abierto. Esto es, que la matrizAcles hurwitz.SiendoAclla matriz de estados (o dinamica) de cualquier funcion de transferencia del lazo de la gura (I.2),la ubicacion de sus autovalores determina la de los polos de cualquier funcion de transferencia.Si entendemosporrobustezlacapacidaddeunsistemaalazocerradopararesponderadecuadamenteanteperturbacionesexternasy/ovariacionesenelmodelodelaplanta,tradicionalmentedicharobustezseaseguraanteincertidumbreenel modelodise nandosistemasconampliosmargenesdefase(m)ydeganancia(gm)[PH96].En la gura (I.3) se muestran sobre un diagrama de Nyquist, en forma graca, tales margenes.Figura I.3.: Margen de fasemy de gananciagmde un sistema SISO.El margen de ganancia (gm) permite afrontar incertidumbre en la ganancia del proceso a controlar. En relacioncon la gura (I.4), esto signica alg un escalardel que solo se conocen sus cotas maximas. El margen de fase(m) permite hacer frente a cambios incertidumbre en la fase. En relacion con la gura (I.4), alg un escalar del que solo se conocen sus valores extremos. De modo que la planta real es la suma de la planta nominal (p(s))y la incertidumbre (es).c(s)r(t)+(-)y(t)u(t)p(s)sistemarealesFigura I.4.: Representacion clasica de lazo incierto.Hay que hacer notar que los enfoques de margen de fase o de ganancia presuponen que solo hay desconocimientoen uno de los dos parametros, i.e., la magnitud () o la fase (), no en ambos. En general se presenta incertidumbreen los dos y es facil generar casos en los que, aun teniendo excelentes margenes de fase y ganancia, una peque navariacion simultanea en ambos magnitud y fase sobre los valores nominales, genera plantas inestables.13De all la idea de utilizar una nueva medida que conjugue variaciones simultaneas en magnitud y fase. Surge elmargen del modulo como nueva medida de robustez, basada en el operador diferencia de retorno. En relacion conel lazo clasico que se muestra en la gura (I.2), deniremos al operador diferencia de retorno (O()) para unafrecuencia dada (), como la distancia desde el punto (1, 0) oej en el plano s, al diagrama de Nyquistcorrespondienteaesafrecuenciayqueesequivalenteal inversodelamagnituddelafunciondesensibilidadevaluada en esa frecuencia, esto es:O() = |S(j)1| = |1 +p(j)c(j)|El margen del modulo se dene como:Mm = mnO()Mmdeterminaladistanciamascercana,eneldiagramadeNyquist,alpunto(1, 0)delplanos,estoes,el puntomascercanoaencerrarel (-1,0)yporende, aconvertiral lazoeninestable. Mmpermiteafrontarincertidumbreenmagnitudyfasesimultaneamenteenunlazo. Enlagura(I.5)mostramosgracamenteunejemplo del operador.Figura I.5.: Operador diferencia de retorno.A continuacion presentamos un resultado basico de la teora de control robusto basado en esto ultimo.EstabilidadrobustaParapoderestablecerquecondicionesserequierenparagarantizarlarobustezdeunsistemaanteincer-tidumbreenel modelodelaplanta, primerodebemosestablecerunmodeloadecuadodelaincertidumbreaconsiderar. En el caso de margen de fase y de ganancia, la robustez la establecen esos margenes en la forma delmites soportables de variacion.Es relativamente sencillo, a traves de ensayos en el sistema, obtener cotas para la incertidumbre en la magnitudy para la incertidumbre en la fase de un sistema dado. Sin embargo, ello conducira a una cantidad innumerablede formas de la incertidumbre para las que sera muy difcil desarrollar una teora general.En vista de que cualquiera que sea la forma de la incertidumbre del sistema, siempre, de manera mas o menosconservativa,ellapuedeseraproximadaporunacircunferencia,enelparadigmadecontrolrobusto, estaesla14descripcion mas com un de la incertidumbre y equivale a suponer que se conocen los lmites maximos de desviacionde la magnitud sobre un valor nominal, pero se desconoce totalmente la fase.En relacion con el diagrama de la gura (I.2) supondremos que la planta real es descrita por:p(s) = pn(s) +la(s) (I.26)y entonces,|p(j) pn(j)| la() (I.27)esquematicamente podemos llevar esta incertidumbre al diagrama de Nyquist del sistema, tal como se muestraen (I.6).Figura I.6.: Modelo de la incertidumbre.Se desprende de la descripcion de la incertidumbre que, para una frecuencia dada, la() es la cota maximade la magnitud de la incertidumbre y que no hay informacion sobre la fase (incertidumbre total en la fase).Attulodeejemplo, consideremosunsistemadecontrol detemperaturadeuntanquedeagua, quetengacirculacion de agua permanente y nivel constante. El agua es calentada a traves de unas resistencias electricas.El ejemplo lo tomamos de [Qui04]. La funcion de transferencia entre la potencia suministrada y la temperaturadel aguasedeterminandemaneraexperimental, dandoescalonesdepotenciaenlaentradayobservandolarespuesta en la salida. Se realizan 4 pruebas, dos escalones positivos y dos negativos resultando las 4 funcionesde transferencia que describimos a continuacion:G1(s) =0,6125254s+1e32sG2(s) =0,75215s+1e25sG3(s) =0,7100s+1e20sG4(s) =0,6200s+1e34sPromediando las ganancias, las constantes de tiempo y los retrasos obtenemos como sistema nominal:Gn(s) =0, 6656192s + 1e28sde donde es muy facil generar una funcion maxima de desviacion en magnitud para cada frecuencia.Enlagura(I.7)hemosincluidolarespuestaenfrecuenciademagnituddelossistemasencontradosconensayos y la respuesta del sistema nominal obtenido promediando los parametros.Enlagura(I.8)semuestra, parael ejemploanterior, ladiferenciaentrelamagnituddelarespuestaenfrecuencia de los sistemas obtenidos en las pruebas menos la del sistema nominal. Ello para determinar una cotasuperior al error en todo el rango de frecuencias.151061051041031021011006050403020100Frecuencia (rad/s)Magnitud (dB)|Gn(j)| Figura I.7.: Diagramas de Bode de sistema de calentamiento.En forma normalizada, com unmente denominada descripcion multiplicativa de la incertidumbre, la expresion(I.26) puede escribirse como:p(s) = pn(s)(1 +(s)W(s)) (I.28)donde |(s)| < 1 es una funcion de transferencia que representa la incertidumbre, de la que solo se conoce que sumagnitud es menor que uno y W(s) es la funcion de peso que recoge para cada frecuencia y de forma normalizada,la cota maxima de la magnitud de la incertidumbre. Observe que cuando(s) es cero, no hay incertidumbre y laplantap(s) es precisamente la nominal p(n).De (I.28) es claro que:|W(j)| =la()|pn(j)| p(j)pn(j) 1En la gura (I.9) hemos colocado los valores normalizados del error, esto es: (la(w)/|Gn(j)|).Observamos que, bajo esta descripcion de incertidumbre, ya no tenemos un solo modelo del sistema (digamosel nominal) sino, mas bien, una familia (innita) de ellos.La condicion de estabilidad para toda la familia de sistemas, estabilidadrobusta, viene dada por el siguienteresultado:TeoremaI.4([San89]y[MZ89])Consideremos al sistema de la gura (I.2) en el que la planta p(s) es descritapor la familia de modelos (I.28) y los cuales tienen el mismo n umero de polos en el semiplano derecho. Adem as, seac(s) un controlador que estabiliza la planta nominalpn(s). Entonces toda la familia de modelos ser a estabilizadopor el controladorc(s) si y s olo siW(s)T(s) = sup|W(j)T(j)| 1 (I.29)dondeT(s) es la funci on complementaria denida en (I.24).Demostracion: Es conveniente considerar que la familia de modelos del sistema de la gura (I.2), que satisfacen(I.28), formanunconjuntorepresentadopor P. El sistemadelagura(I.2)esestablesi ysolosi paratodo1610610510410310210110000.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2Frecuencia (rad/s)Magnitud del error. l a()=|Gi (j)Gnj)||G3(j)Gn(j)| Figura I.8.: Magnitud de la incertidumbre para cada frecuencia.miembrop(s) Psecumplequelaecuacion1 + p(s)c(s) = 0notieneracesenelsemiplanoderechocerrado(que denominaremos C+). Luego ello es equivalente a:1 +pn(s)c(s)[1 +W(s)(s)] = 0 || < 1 ys C+ 1 +pn(s)c(s) = (s)W(s)pn(s)c(s) || < 1 ys C+ |1 +pn(s)c(s)| |W(s)pn(s)c(s)| s = j; [0, ) |T(s)W(s)| 1 s = j; [0, ) W(s)T(s) 1(I.30)Este resultado, fundamental para la teora de control robusto, tiene una interpretacion graca en el diagramade Nyquist (ver gura (I.10)). En efecto, en (I.30) el termino |W(s)pn(s)c(s)| = la()|c(s)| no es mas que el radiode la circunferencia que determina el tama no de la incertidumbre (para cada frecuencia) y entonces se inere queunacondicionnecesariaysucienteparaestabilidadrobustaesque,paracualquierfrecuencia,ladistanciadel1 al diagrama nominal de Nyquist, i.e. la magnitud del Operador diferencia de retorno, sea mayor que ese radio(que acota la incertidumbre en esa frecuencia). En otros terminos y visto que toda la familia de sistemas tiene elmismo n umero de polos en el semiplano derecho, la condicion de estabilidad robusta implica que la banda deNyquist, determinada por la familia de sistemas, no encierra al 1.En (I.30) se uso el hecho derivado del teorema del maximo modulo que se nala que:F(s) = supRe{s}>0|F(s)| = sup|F(j)|,es decir, que el maximo de una funcion continua en un conjunto cerrado y acotado ocurre en su frontera.Podemos incluir esquematicamente la representacion de la incertidumbre multiplicativa en la descripcion clasicadel lazo realimentado. Ello se muestra en la gura (I.11).Enrelacionconlamismagura(I.11),observequeelresultadoparalaestabilidadrobustaesequivalenteaabrir el lazo en los dos extremos del bloque de la incertidumbre ((s)) y vericar que la funcion de transferenciaW(s)T(s) entred(t) yz(t), nuevas entrada y salida al abrir el lazo, esta acotada en magnitud.La incertidumbre multiplicativa, representada porW(s), es solo una forma entre muchas para describir lo quedesconocemosenunlazo. Lasfunciones W(s)tienennormalmentelaformamostradaenlagura(I.12). Laincertidumbre es mas peque na en bajas frecuencias y crece a medida que la frecuencia aumenta. Es importante1710610510410310210110000.511.522.533.5Frecuencia (rad/s)Magnitud del error normalizada. W()=|Gi (j)Gn(j)|/|Gn(j)||G3(j)/Gn(j)1| Figura I.9.: Magnitud de la incertidumbre para cada frecuencia, normalizada.Figura I.10.: Condicion de analisis de estabilidad robusta.mencionar que de la funcion de incertidumbre W(s), lo unico importante es su magnitud. La consideramos comouna funcion de transferencia solo por tener una representacion consistente de un lazo de control (gura I.11)La condicion de estabilidad robusta impone que la funcion complementariaT(s) satisfaga:|T(j)| < |W(j)|1luego, unmodelopocoajustadodelaincertidumbrepuedeimponercotasextremadamenterestrictivas(muypeque nas) en la funcion complementaria y, por ende, en el controlador.De la misma forma que la magnitud de la incertidumbre debe ser lo mas entallada posible, a n de evitar serexcesivamenteconservadoresenel dise nodel control, el mismorazonamientoseextiendealatopologadelmodelo de la incertidumbre.(s)c(s) pn(s)W(s)r(t)+ +(-)y(t)u(t)z(t)d(t)e(t)Figura I.11.: Representacion del lazo con incertidumbre multiplicativa.18Figura I.12.: Modelo de variacion de la incertidumbre.Hasta ahora hemos mencionado dos tipos, a saber:Aditiva:p(s) = pn(s) +(s)W(s) |(s)| < 1Multiplicativa:p(s) = pn(s)(1 +(s)W(s)) |(s)| < 1.Ademas, entre otras, tambien podemos representar la incertidumbre como [San89], [DFT92]:p(s) = pn(s)(1 +(s)W(s))1p(s) = pn(s)(1 +(s)W(s)pn(s))1;algunassonequivalentesy, encualquieraquesealarepresentacion, laestabilidadrobustavienedeterminadapor la norma innita de alguna funcion de transferencia. En la tabla (I.1) se recogen las equivalencias [San89],[DFT92].Tabla I.1.: Equivalencias entre medidas de incertidumbrep(s) = pn(s)(1 +(s)W(s)) W(s)T(s) 1p(s) = pn(s) +(s)W(s) W(s)p1n(s)T(s) 1p(s) = pn(s)(1 +(s)W(s))1W(s)S(s) 1p(s) = pn(s)(1 +(s)W(s)pn(s))1W(s)pn(s)S(s) 1Cualquiera que sea su representacion, la incertidumbre que afecta al sistema siempre lo hace de manera globaly de all que reciba com unmente en la literatura ese nombre, i.e., incertidumbre global o no estructurada. Si, porel contrario, podemos identicar como las diferentes fuentes de incertidumbre afectan elementos particulares delsistema, entonces estaramos frente a una incertidumbre estructurada.Como ejemplo podemos mencionar modelos de incertidumbre de baja y alta frecuencia y que se traducen enuna representacion de la forma:p(s) = pn(s)1 +1(s)W1(s)1 +2(s)W2(s)|1(s)|, |2(s)| < 1.19Mencion particular hacemos sobre aquellos casos en los que el modelo es obtenido a partir de leyes fsicas quegobiernan al sistema y en los que, por ende, se puede relacionar a los parametros de la funcion de transferenciaconalg unoselementosfsicosreales,comoporejemplo,diametrodeunatubera,pesoespeccodeunuido,etc. Si esos parametros fsicos se ven afectados sensiblemente durante la operacion normal del sistema, ello va aimplicar no un modelo sino una familia de ellos. Este caso de incertidumbre altamente estructurada recibira elnombredeincertidumbreparametricaynormalmenteocurreenbajasfrecuencias. Tambienseleconocecomoincertidumbre poliedrica.A continuacion presentamos dos ejemplos de sistemas inciertos y la funcion (W(s)) que acota el maximo de laincertidumbre para cada frecuencia.EjemplodecalculodelarepresentaciondelaincertidumbreConsideremos al sistema:G(s) =1ess + 1con una incertidumbre en el retardo del sistema 0 0,2.El sistema nominal es:Gn(s) =1s + 1Se debe cumplir, para acotar la incertidumbre, que:G(s)Gn(s) 1 W(s) (cota maxima de incertidumbre)esto es:es1 W(s) (I.31)Para el peor caso= 0,2, con un poco de ensayo y error obtenemos que:W(s) =2ss + 1. (I.32)Observe que con esta funcion de transferencia (I.32), en = 2 ya tenemos un 20 % de desconocimiento y en = 0,6 el desconocimiento es total.La graca de la respuesta frecuencial de (I.31) y (I.32) se muestran en la gura (I.13).Para el calculo del controlHla planta generalizada resulta:_z(s)e(s)_=_0 Gn(s)W(s) Gn(s)_ _d(s)u(s)_o, explcitamente:_z(s)e(s)_=_01s+12ss+11s+1_ _d(s)u(s)_La representacion de estados del mismo sistema resulta:_ x1(t) x2(t)_=_ 1 00 1_ _x1(t)x2(t)_+_10_d(t) +_01_u(t)201011001011021034035302520151050510Frecuencia (rad/s)Magnitud del error normalizadaW() |ej0,21| Figura I.13.: Respuesta frecuencial de la incertidumbre y su umbral.y_z(t)e(t)_=_0 12 1_ _x1(t)x2(t)_+_02_d(t)Elcontrolsugeridoquecalculamosconunadelastecnicasquedesarrollaremosencaptulosposterioreses:C(s) = 5,012 108s2+ 0,03328s 0,003325s2+ 3,333 106s + 65,84El diagramadebloquesparaefectosdelaatenuaciondeperturbacionquedacomosemuestraenlagura(I.14).c(s)r(t)+ +(-)y(t)u(t)z(t) d(t)Gn(s)W(s)e(t)Figura I.14.: Atenuacion de perturbaciones.La funcion de transferencia entred(s) yz(s) con el controlador propuesto es:Tdz = W(s)C(s)Gn(s)1 +C(s)Gn(s)y la respuesta frecuencial de esa funcion de transferencia se muestra en la gura (I.15).EjemplocasocalentadorRetomamos el ejemplo de [Qui04], solo en lo que respecta al calculo de la funcionW(s).21106104102100102104106108300280260240220200180160Frecuencia (rad/s)Magnitud (dB) Tdz|Tdz(j)| Figura I.15.: Respuesta frecuencial sistema a lazo cerradoTdz.A partir de (I.9) es facil generar la funcion:W(s) =0,13(s/0,001 + 1)(s/0,024 + 1)En (I.16) mostramos la respuesta frecuencial deW(s) en magnitud as como los errores normalizados delos cuatro sistemas, i.e., |Gi(s) Gn(s)|/|Gn(s)|, i=1,2,3,4.10610510410310210110000.511.522.533.5Frecuencia (rad/s)Magnitud del error normalizadaW() Figura I.16.: Respuesta en frecuencia de los errores y su umbralW(s). Ejemplo calentador.Desempe nonominalConsideremosel lazodecontrol de(I.2)enel queel sistemap(s)esperfectamenteconocidoy unico. Eldesempe no de un sistema se mide, entre otros y en el ambito del control clasico, como la capacidad de seguir una22referencia determinadar(t) o de rechazar una perturbacion de forma conocidad(t) en la salida del sistemay(t).En el primer caso el desempe no podemos medirlo a traves de la se nal de error:e(s) =r(s)1 +p(s)c(s)= S(s)r(s)y en el segundo a traves de la salida:y(s) = S(s)d(s);en ambos casos se desea hacer peque na la funcion de sensibilidad a n de tener el desempe no deseado.Enel marcodel control clasicolase nal aseguir (orechazar) es conocidaunescalon, unarampa, unaparabola, un impulso y lo que es verdaderamente desconocido es el momento en el que la se nal (de perturbacion)seraaplicadaal sistema. Recordemos, porejemplo, laclasicacionentiposdesistemas(0, 1, 2, . . .)paranesdeeliminaciondelasdesviacionesenestadoestacionariotambienconocidocomooset[Kuo95] oel bienconocido hecho de que el modelo de la se nal de referencia o perturbacion, seg un sea el caso, debe estar incluidoen el controlador [AM89].Lasuposiciondequelase nalexterna(perturbacionoreferencia)esconocidaaprioriespocorealistay,engeneral, hay mas conocimiento sobre la familia a la que pertenece la se nal; vease por ejemplo [MZ89] p. 21.Bajo esta perspectiva, en la que solo se conoce el conjunto al que pertenece la se nal, el paradigma de controlrobustoplanteael rechazodeperturbacionescomolagarantadeatenuaciondeesacaractersticacom undelconjunto de se nales (e.g., energa, cota maxima, etc.) En el marco del control robusto, la bien conocida teora deH, por ejemplo, eval ua el desempe no nominal en terminos de las energas de las se nales de perturbacion y desalida controlada. Es as que:DenicionI.2([San89])Sea un escalar mayor que cero, dado. El desempe no nominal del sistema de la gura(I.2)seeval uacomolacapacidaddel controladorc(s)deacotarlaenergadelase nal desalidadel sistemaalazo cerrado (y(t)2< ) para toda posible perturbaci on con energa acotada d(t)2< .La condicion de existencia de un controlador que satisface la especicacion de desempe no nominal viene dadapor el siguiente teorema. Sin perdida de generalidad supondremos queyson iguales a uno.TeoremaI.5([DD95])El sistema de control de la gura (I.2) satisface la condici on de desempe no nominal siy s olo siS(s) 1Demostracion: Surge de manera inmediata del hecho que la norma innita es la norma inducida de la norma2 (ver teorema (I.4)) y entoncesy(t)2 = S(s)d(t)2.En este punto se imponen algunas observaciones.ObservacionI.6Resultara un problema mal condicionado en la mayora de los casos si dejamos el problemade desempe no nominal tal y como fue formulado, esto es:S(s) =11 +p(s)c(s) 1 ya que en general el productop(s)c(s) es estrictamente propio para sistemas fsicos reales, i.e.,lmsp(s)c(s) = 023yentoncesamuyaltasfrecuenciasel problemadeencontraruncontroladorc(s)quehagaeltrabajoentodalagamadefrecuenciaspuederesultarimposible. Porotraparte, engeneral s olointeresasatisfacerel criteriodedesempe no en la gama de frecuencias asociadas al ancho de banda del sistemap(s) siendo estas las se nales queverdaderamente lo afectan dejando libre al resto.Adicionalmente, aunques olohemos supuestoconocidalaenergam aximadelas entradas (perturbaci onoreferencia)esposiblequeadem asexistaalg untipodeconocimientodel anchodebandadeellasyquepudierareejarse como una funci on de peso o ltro en la entrada de esas se nales.Esquem aticamente, ambos pesos se pueden representar como lo ilustra la gura (I.17), lo que se traduce en elnuevo criterio de desempe no nominalc(s)r(t)+ +(-)y(t) u(t)d(t)W1(s)p(s) y(s)W2(s)Figura I.17.: Sistema con pesos (ltros) en entradas y salidas.W1(s)S(s)W2(s) 1 o W(s)S(s) 1;enW(s)serecogenloquedenominaremoslasbandasdeinsensibilidaddel dise no.Unabuenaselecci ondelospesos puede resultar en un compensador m as suave con ganancias m as peque nas.ObservacionI.7El criterio de desempe no nominal desarrollado no es generico y est a asociado con las se nalesdeentradaysalidaseleccionadas. Si hubiesemosescogidootrasentradasy/osalidas, hubieramosobtenidolacota superior de la norma innita de otrafunciondetransferencia. Esto ultimo s es un hecho general, estoes,al igual quelaestabilidadrobustadeunsistema,el desempe nonominal seeval uaoanalizacalculandolanormainnitadealgunafunci ondetransferenciaasociadaal lazo,siemprequelospar ametrosdemedici onsean las energas de la se nal de perturbaci on y la se nal de salida. Si los par ametros fuesen otros diferentes deenerga otra sera la norma (vease por ejemplo [SGC97]).ObservacionI.8En el caso de estabilidad robusta, si no se satisface el criterio (I.29) entonces existe un sub-conjunto de modelos del sistema que no podr an ser estabilizados por el compensador propuesto, i.e. el lazo cerradoser a inestable para algunos modelos. En el caso del desempe no nominal, si no se satisfaceW(s)S(s) paraundado,s olo implicaqueelcriterioesmuyrestrictivoynopuede alcanzarese nivelde desempe no.Noobstante y asumiendo que el lazo puede estabilizarse, siempre existir a alg uns> a partir del cual s podr a ob-tenerse un controlador.Ejemploanalisisdedesempe noConsideremos el sistema:Gn(s) =5e3s10s + 1.Utilizando el criterio de sintonizacion de Ziegler y Nichols [Kuo95] se obtiene un controlador PI conKc = 0,6 yTi = 10. Se desea evaluar la atenuacion que presenta este controlador a perturbaciones d(t) que entran al sistematal como se muestra en la gura (I.18).24r(t)+ +(-)y(t)d(t)Gn(s) Kc(1 +1Tis)Figura I.18.: Evaluacion de Entonacion Clasica.La funcion de transferencia entred yy resulta:Tdy(s) =Gn(s)1 +GPI(s)Gn(s)dondeGPI(s) = Kc(1 +1Tis).Aproximando el retardo por un Pade de primer orden ([Kuo95]) y dibujando el bode del sistema simplicado,se obtiene la graca de la gura (I.19), de donde es facil determinar que:10210110010100.511.522.5Frecuencia (rad/sec)Magnitud de Tdy|Tdy(j)|=|Gn(j)|/|1+Gn(j)PI(j)| Figura I.19.: Atenuacion con un PITdy(s) = 2,4657Aunqueenelcasodedesempe nonominalnopuedegeneralizarsesobreunresultadoenparticular,asimplevistaparecieraqueel controladorpropuestonopresentaraunbuenrechazoaperturbacionesparafrecuenciasentre 0,1 y 1.Un programa de Matlab para el calculo de esta norma innito del sistema aproximado se muestra a continuacion:K=5;T=10;Td=3;nn=K;dn=[T 1];[nr,dr]=pade(Td,1);25ns=conv(nn,nr);ds=conv(dn,dr);Kc=0.9*T/Td/K;Ti=Td/.3;nc=Kc*[Ti 1];dc=[Ti 0];[n,d]=feedback(ns,ds,nc,dc,-1);[mag,pha,w]=bode(n,d);Amplifica=max(mag)semilogx(w,mag)ElparadigmadecontrolrobustoEn el caso de estabilidad robusta con incertidumbre multiplicativa a la salida del sistema a controlar, ubi-cacion que no tiene ninguna importancia en sistemas SISO pero s la tiene en los MIMO, podemos representaral sistema como en la gura (I.11), con |(s)| < 1 yW(s) el modelo de la cota superior de la incertidumbre.Para nes de analisis, sabemos que hay estabilidad robusta si y solo siW(s)T(s) =W(j)p(j)c(j)1 +p(j)c(j) 1 lo que es equivalente a analizar el desempe no nominal entre d(t) y z(t) del sistema de la gura (I.14) y, entonces,el problema de la estabilidad robusta (I.11) o el de desempe no nominal (I.17) pueden representarse esquemati-camente, como en la gura (I.20) donde p(s) es el sistema (multivariable) generalizado,e(t) es la salida medibled(t)u(t)z(t)c(s) p(s)e(t)Figura I.20.: Paradigma de dise no de control robusto.del sistema, y se desea determinar un compensadorc(s) tal que:Tdz(s) 1siendoTdz(s) la funcion de transferencia entred(t) (la perturbacion) yz(t). Observe que hemos preferido, comoes usualencontrolrobusto,usarla se nal e(t)comosalidamedible,enlugardey(t),porserla primera laqueesta directamente actuando sobre el controlador.Elesquemaquesemuestraenlagura(I.20)representaelparadigmaclasicodedise nodecontrolrobusto,siendo ademas el mas usado.Si sedispone(osehacalculado) uncontroladoryloquesedeseaesanalizarsudesempe no, entonceselparadigma pasa a ser el de la gura (I.21), donde, de nuevo, p(s) es la planta generalizada y |(s)| < 1 representala incertidumbre. Es facil transformar el esquema de las guras (I.11) y (I.14) a aquellos de las guras (I.20) y(I.21).26d(t) z(t) p(s)e(t)(s)r(t)Figura I.21.: Paradigma de analisis de control robusto.Sistemasconm ultiplesentradasym ultiplessalidasPara el caso de los sistemas multivariables, nos serviremos del paradigma de control representado en (I.21).Las relaciones entre la salida y la entrada del sistema son dadas por:_z(s)e(s)_=_G11(s) G12(s)G21(s) G22(s)_. .P_r(s)d(s)_(I.33)siendoPla planta generalizada.Parael casomultivariable, lassalidasy/olasentradaspuedenonoservectores. As, porejemplo, paraelsistemadelagura(I.22), si denimosaladupla(r(t)yd(t))comolasentradasya(z(t)ye(t))comolassalidas, tendremos que:_z(s)e(s)_=_T TW1W2S W2SW1_ _r(s)d(s)_(I.34)dondeS(s) = [I +p(s)c(s)]1T(s) = p(s)c(s)[I +p(s)c(s)]1con las correspondientes equivalencias en las ecuaciones (I.33) e (I.34).c(s)r(t)+ +(-)y(t)u(t)z(t) d(t)e(t)W2(s)W1(s)p(s)Figura I.22.: Sistema multivariables.Desempe nonominalRevisemos ahora los conceptos de estabilidad robusta y desempe no nominal a la luz del paradigma de controly para sistemas multivariables, y para ello consideremos al sistema de la gura (I.21). En ese caso el desempe no27nominal esta determinado por un controladorc(s) que asegura que:e2< 1 r(t) : r2 1cuando = 0.TeoremaI.6([San89])La condici on necesaria y suciente para desempe no nominal es:G21(s)< 1Demostracion: Cuando la incertidumbre es nula ( = 0) tenemos que:e22= G21(s)r(s)22(I.35)=_rH(j)GH21(j)G21(j)r(j)d (I.36) 2(G21(j))_rH(j)r(j)d (I.37)= 2(G21(j)) (I.38)conrH(j) = rT(j) y (G21(j)) ocurre enw = w.Finalmente, la cota superior es alcanzada exactamente si escogemos, por ejemplo r(t) = etcos wt con > 0para quer(t) L2.EstabilidadrobustaPara vericar la condicion de estabilidad robusta, supondremos que el sistema es estable internamente y que () 1 (I.39)la condicion de estabilidad robusta multivariable viene dada por:TeoremaI.7([San89])El sistema de la gura (I.21) es estable para toda perturbaci on que satisface (I.39) siy s olo siG12

< 1Demostracion: La funcion de transferencia entrer ey es (operando en (I.33)):Tre = G22(I G12)1G11 +G21y entonces, para un dado, la estabilidad del sistema es determinada por:(I G12)1ya que, por hipotesis, el sistema (I.33) es internamente estable.Ahora bien, la estabilidad de (I G12)1es equivalente a:det(I G12)) = 0 s C+. (I.40)Supongamos que (G12) < 1. Recordando algunas propiedades de los valores singulares de una matriz, sabemosque:(I G12) 1 (G12) > 1 (G12)28luego si (G12) < 1 s C+entoncesdet(I G12) = 0 s C+.Supongamos ahora que (G12) 1 para algunasy hagamos una descomposicion en valores singularesG12 = UV,tomemos = V Uy =1 (G12), entoncesdet(I G12(s) = det[V (I )U] = 0para el primer autovalor (recordando que los valores singulares estan ordenados en ).Finalmente, por el teorema del maximo modulosupsC+ (G12(s)) = sup (G(j)) = G12

.Los sistemas multivariables, al igual que los SISO, pueden ser evaluados en su desempe no y estabilidad en elmarco de la norma innita. Otras medidas de desempe no pueden igualmente imponerse al sistema. Algunas comola norma 2 permiten evaluar el impacto de condiciones iniciales, al reejar esas condiciones en el sistema comouna funcion impulso(t) de magnitud adecuada [PH96]. Tambien la misma norma permite evaluar el efecto delruido blanco, tambien cuanticable como una funcion impulso con varianza conocida [San89].Las medidas de rechazo de perturbaciones presentadas, en modo alguno agotan las formas de evaluacion deldesempe no. Clasicamente, el desempe no se eval ua en terminos de los tiempos de establecimiento, de crecimiento,maximo sobrepico, comportamientos sobre o subamortiguados, etc. [Kuo95], estando estas cualidades del sistemantimamente relacionadas con la ubicacion de los polos del sistema de lazo cerrado.Laubicaciondepolosenregionesconvexasharecibidotambienlaatenciondeunn umerodeinvestigadores[GJ81] [ChG96] y ese problema tambien puede formularse como uno de desigualdades matriciales lineales (LMIs)en la matriz de LyapunovP, siempre que la region pueda describirse como una regi onLMI y que formalmentedenimos de la forma:DenicionI.3([ChG96])Una regi on LMI es cualquier regi on convexa R que pueda describirse de la forma:R = z C : L +zM + zMT< 0dondeL = LTyMson matrices constantes reales de las mismas dimensiones.Ejemplos importantes de tales regiones LMI son:1. Semiplano a la izquierda dex0(gura (I.23)).R = z C : z + z + 2x0< 0Cuandox0 = 0 da el semiplano izquierdo abierto.2. Semiplano a la derecha dex0(gura (I.24))R = z C : z + z + 2x0> 03. Cono con vertice en 0 (gura (I.25)).R =_z C :_sin(z + z) cos (z z)cos ( z z sin(z + z)_< 0_29x oRe(s)Im(s)Figura I.23.: Semiplano a la izquierda.x oRe(s)Im(s)Figura I.24.: Semiplano a la derecha.4. Region circular centrada en y de radior (gura (I.26)).R =_z C :_r z +z + r_< 0_El siguiente teorema establece la relacion entre la ubicacion de polos autovalores de una matrizA en unaregion LMI y esa region.TeoremaI.8Una matrizA tiene todos sus autovalores en una regi on LMI de la forma:R = z C : L +zM + zMT< 0si y s olo si existe una matrizX> 0 tal que:L X +M (AX) +MT(AX)T< 0. (I.41)La expresion (I.41) tambien puede escribirse de la forma(lklX +MklAX +MlkXAT)1k,lmdondelkl(Mkl) es el elementokl de la matrizL (M) y 1 k, l m indica los valores dek yl entre 1 ym.La demostracion puede encontrarse en [ChG96] y no sera repetida aqu.30Re(s)Im(s)Figura I.25.: Cono centrado en cero.r- Re(s)Im(s)Figura I.26.: Circunferencia.Como se ha visto, una cantidad de problemas clasicos y modernos pueden ser formulados en el marco com unde las desigualdades matriciales. Hasta ahora hemos mencionado la estabilidad robusta, el desempe no nominaly la ubicacion de polos en regiones. Todo esto tanto para sistemas SISO como MIMO, estos ultimos a traves delos valores singulares.La lista antes mencionada no es en modo alguno agotadora, y otros problemas tambien pueden o bien formularsebajo el mismo marco o encontrar cotas superiores lmites seguros o conservadores a esos problemas con lasmismas herramientas aportadas por las desigualdades matriciales. Mencionamos por ejemplo1, pasividad, etc.Vease [SGC97] para un recuento de otras formulaciones.En este trabajo nos limitaremos a los tres primeros H, H2 y ubicacion de polos en regiones mas por unacuestion de no ser repetitivos. La extension a esos otros problemas es, relativamente, sin dicultad.ResumendelcaptuloEn este captulo hemos presentado las deniciones, los terminos y resultados fundamentales de la teora decontrol robusto, de modo de sentar una base com un e ilustrar la presentacion de los resultados que presentaremosen captulos subsiguientes. De igual forma hemos introducido las desigualdades matriciales lineales, la herramientaque nos permitira desarrollar el marco com un de las condiciones de sntesis de controladores multiobjetivo, nuestrameta propuesta.Basicamente, hemospresentadocondicionesdeanalisisdelaestabilidadydesempe nobajounn umerodecondiciones.31Estabreverevisionnopretendeseragotadora, fsicamenteseraimposibleincluirlostodosdadalaenormecantidadderesultadosqueaparecendiariamente,perospretendeserlosucientecomoparasentarlasbasesdel estudio de la formulacion multiobjetivo.Finalmente, en este captulo se ha jado precisamente el alcance del trabajo, incluyendo otros paradigmas de lateora de control robusto como los de factorizacion coprima [McF90] y L1, 1 [DD95]. Todos ellos los revisaremoscon mas detalle en los captulo siguientes. Enfoques no lineales quedan fuera del alcance de este trabajo.32CAPITULO IIAnalisisysntesisdecontroladoresparasistemasconsaturacionesII.1. IntroduccionFrecuentememtelossistemasacontrolarconlosquenosencontramosenlapracticapresentanalg untipoderestriccionessobresucomportamientoquelolimitanseveramente. El casomasfrecuenteeslapresenciadesaturaciones sobrelase nal decontrol (pues los actuadores tienenunrangoestrechodeactuacion), perotambienpuedenaparecerlimitacionessobresuvelocidadoaceleracionmaximas, efectodelasinerciasdelosactuadores, as como limitaciones en variables secundarias. Para resolver estas dicultades en la etapa de dise nodel controlador se han propuesto varias soluciones, como los metodos basados en la resolucion de problemas deprogramacion lineal, que tratan de optimizar la norma1, en vez de las normasH oH2 que hemos presentadoen el captulo anterior [DD95].En esta seccion comprobaremos como, utilizando una descripcion adecuada del conjunto de se nales de entradaesperables, se puede, de forma natural, considerar problemas de control optimo y control robusto, con el objetivo ultimodecalcularcontroladoresparam ultiplestiposderestricciones(saturaciones, limitacionesenvelocidad,sobrepico, etc.)Comotal, estasolucionestabasadaenlaevitacionderestricciones(ConstraintAvoidance[HTK01]): evitando las limitaciones, el sistema en lazo cerrado permanece en la region de comportamiento lineal.Aunque la solucion puede plantearse en el campo continuo utilizando la norma L1([DD87]), los metodos dedise no que resultan en el caso continuo no son adecuados para casos practicos, pues es facil comprobar como lasolucion optima de control sera una combinacion de impulsos. Por ello en el resto del captulo trabajaremos consistemas discretos, en los que se utiliza la norma1y se dan soluciones que pueden aplicarse en sistemas reales.Desde el punto de vista teorico, una de las razones por la que se ha desarrollado una teora de control robustobasado en la norma1 viene dada por el hecho de que en muchas aplicaciones practicas tanto las perturbacionescomo el ruido de medida act uan de forma continua sobre el sistema, por lo que no es adecuado describirlas comose nales acotadas en energa, como se hace con los metodos basados en la normaH. Por fortuna, normalmentese conoce la maxima amplitud esperable de estas se nales, por lo que es posible describirlas como se nales acotadasenmagnitud: d, dondelanormaesladenominadanormal onormapico-a-pico, quecorrespondealamaxima amplitud de la se nal: d = max(|u[i]|).Otrarazonmasparadesarrollarestateora, envezdeproseguirconlateoramaspopularde H, eselconocimiento que normalmente se tiene de las consignas que se aplican a cada sistema, que generalmente consistenen una serie de saltos o rampas cuya magnitud o pendiente puede acotarse facilmente. Por ejemplo, si la entradaesunsaltosiempretieneunamagnitudmaximaesperable: r rmax; osi laconsignaesunarampa, supendiente puede acotarse:___1 z1_r__ smaxdondez1es la funcion retardo unitario:z1{u[i]} = {u[i 1]}.Para concluir con las ventajas de esta tecnica, debemos mencionar su facilidad de calculo. As, para un sistemaSISO, la norma1viene dada por la suma en valor absoluto de los terminos de la respuesta impulsional:1 =

i=1|[i]|Si lanormaesnita(estoes, el sistemaestrictamenteestable), bastaconcalcularlasumaparaun ndicesucientemente grande.Antes de presentar el metodo en detalle debemos puntualizar que, si las limitaciones sobre las se nales no fuesensimetricas, enlamayorpartedeloscasos, bastaconredenirel puntodetrabajoparaqueseansimetricasylautilizaciondelanormasimetricausual (u umax)nointroduzcaconservadurismo. Porejemplo, si la unica limitacion es una saturacion no simetrica sobre las se nales de control, basta redenir el punto de trabajoen el punto medio de las restricciones: (xmean=xmaxxmin;x(k)= maxt (|x(k)|) =xmax+xmin2). Si estaredenicion del punto de trabajo no resultase adecuada (por ejemplo, por cambiar las restricciones con el tiempo,por haber m ultiples restricciones o por modicarse el comportamiento nominal con el punto de trabajo), es posiblereformular todo el desarrollo presentado en esta seccion para el caso no-simetrico. Sin embargo la notacion y lasolucion pasa a ser mas engorrosa ([NBT03]).EstateorafueplanteadaporprimeravezporVidyasagar([VI86]), siendoresueltoel problemaenuncasobastantegeneral por [DD88], quedemostrocomopodaconvertirseesteproblemaenunodeprogramacionlineal, facilmente resoluble. Comparado con otras tecnicas propuestas de control con restricciones, hay resultadospublicados sobre aplicaciones a sistemas reales (vease por ejemplo: [MK00], [TG02], [THV88]).II.2. EspecicacionesdefuncionamientoEnlasiguienteseccionexaminaremostambiencomociertasespecicacionesdedise nopuedenponersefacil-mentecomolmitessobrelaamplitudmaximadedeterminadasse nales,porloqueseranaturaleldescribirlasutilizando la norma pico-a-pico.SaturacionSupongamosquesedeseacomprobarsiundeterminadocontroladorK(z)saturaelactuadordelsistemadecontrol en la gura II.1. Como es bien sabido, este efecto se presenta frecuentemente en la practica: las valvulastienen unos valores maximos y mnimos de apertura, los amplicadores electronicos se saturan, los alerones tienenun angulo maximo y una velocidad maxima de giro, etc. Si la se nal de control se satura pueden generarse cicloslmites o inestabilidades.Vamosavercomotrataresteproblemadentrodeunaformulacion1. Supongamosquelasaturaciondelcontrolador puede describirse matematicamente como:u[i] =___umaxsi u

[i] < umaxu

[i] si |u

[i]| < umaxumaxsi u

[i] > umax34K(z) G(z)r(z)e(z) u

(z) u(z)y(z)()+Limitaci onenlase nal decontrolFigura II.1.: Sistema de control con saturacion en la se nal de control.Matematicamentesetrataradecomprobarsilaamplitudmaximadelase naldecontrol u[i]esmenorqueelvalordesaturacionumax.Expresandoloenfunciondenormas,seraequivalenteacomprobarquelanormapico-a-pico de la se nal de control sea menor que el valor de saturacion, para el conjunto de consignas esperables:maxr posiblesu umax.Si lavariacionmaximadelasreferenciases rmax, pordeniciondelanorma1estacomprobacionpuedeexpresarse como:Tru 1rmax umax.DondeTru denota la funcion de transferencia der au

, que en el caso del sistema realimentado de la gura II.1es simplementeK(1 +KG)1, o sea, el sistema no se satura siempre que__K(1 +KG)1__1 umaxrmax.Resulta entonces que, dados una planta y un controlador, puede comprobarse de forma sencilla si el actuadorpudiera saturarse para un conjunto de consignas esperables. Para ello basta calcular la norma1de la funcionde transferencia K(1 +KG)1. Si esta norma es menor que el valor de saturacion no se alcanzara la saturacion.LimitacionesdevelocidadyaceleracionenactuadoresAdemas de saturacion, muchos actuadores reales presentan ademas (por razones fsicas o de seguridad) limita-ciones en la velocidad y/o aceleracion maxima que pueden alcanzar. En muchos casos resulta, entonces, necesariolimitar el esfuerzo de control, entendiendo este como la variacion de la se nal de control. Estas limitaciones puedenexpresarse tambien en relacion con la norma1de determinadas funciones de transferencia:LimitacionesdevelocidadSi la variacion maxima permitida de la se nal de control recibida por el actuador esVmaxen cada perodo demuestreo, el sistema no sobrepasara este lmite en la variacion de la se nal de control si se cumple que:maxr posiblesu[i] u[i 1] Vmax.O lo que es lo mismo:maxr posibles__(1 z1)u__ Vmax,que puede convertirse a una condicion sobre la norma 1 de la funcion de transferencia de r a u

= u[i] u[i 1](Tru= (1 z1)K(1 +KG)1) :__(1 z1)K(1 +KG)1__1 Vmax.35LimitacionesdeaceleracionDe forma analoga al caso de la velocidad, si la variacion maxima permitida de la variacion de la se nal de controlrecibida por el actuador esAmaxen cada perodo de muestreo, no se superara este lmite siempre que:maxr posiblesu[i] 2u[i 1] +u[i 2] Amax.O lo que es lo mismo:maxr posibles__(1 z1)2u__ Amax,que puede convertirse a una condicion sobre la norma1 deTru= (1 z1)2K(1 +KG)1(funcion de transfe-rencia der au

= u[i] 2u[i 1] +u[i 2]):__(1 z1)2K(1 +KG)1__1 AmaxPuedeaplicarseunargumentosimilaracualquierotralimitacionenlase nal decontrol, queengeneral seexpresara como:__H(z1)K(1 +KG)1__1 Amax.RechazodeperturbacionesSi en vez de un problema de seguimiento de una consigna variable, lo que tratamos de resolver es un problemaderegulacionenpresenciadeperturbaciones, puedeplantearsematematicamentecomocalcularladesviacionmaxima de la salida regulada para cualquier perturbacion posible (que supondremos acotada en magnitud).Si el sistema de control corresponde al de la gura II.2, el error de seguimiento maximo (emax) sera el maximovalordel errore[i] parael conjuntodeperturbacionesposiblesn[i]. Siguiendoel mismorazonamiento, puedeexpresarse matematicamente este problema como calcularque cumple:emax = max uque por denicion de la norma1seraemax = Tne

1n =__WdK(1 +KG)1__1nmax.Es decir, el error de seguimiento maximo viene dado por el producto del tama no de la perturbacion maxima, porla norma1deWdK(1 +KG)1.K(z)Wd(z)e(z) u

(z) u(z)y(z)()+Limitaci onenlase naldecontrolG(z)n(z)Figura II.2.: Sistema de control con perturbacion a la salida y saturacion en la se nal de control.36II.3. Analisis1Hemosvistohastaahoracomociertasespecicacionesdefuncionamientopuedenexpresarseenterminosdelamaximavariaciondeciertasse nales(salidasmedibles, se nalesdecontrol, se nalesdeerror), porefectodeciertas se nales aplicadas al sistema(consignas, perturbaciones yruidos demedida), cuyaamplitudmaximapuede conocerse. De esta forma se ha visto como consecuencia logica el calculo de la norma1para comprobarestasespecicacionesdefuncionamiento. Hemosmostradotambiencomoel problemadeanalisisderobustezpuede expresarse en la norma1de determinadas funciones de transferencia.Ejemplodeanalisis1Enesteejemplonumericosedeseacomprobarsi el sistemadelaguraII.1pudieraalcanzarsaturacionalaplicar una consigna de amplitud maxima 2, siendo el controladorK =2z13z1y la plantaG =3z1(2z1)(4z1).Tal comosehamencionadoanteriormente, esterequerimientoequivaleacomprobarlasiguientecondicionsobre la norma1:__K(1 +KG)1__1 umaxrmax=32en este caso, sustituyendoKyG por su expresion enz1, resulta:____(2z 1)(4z 1)4z(3z 1)____1= 0,9583Como 0,95831, z1=n1/n0>1enterminosdeloselementos de las respuestas impulsionales, esta relacion se transformara en el siguiente conjunto de restriccionesde factibilidad:(+[0] + [0]) +n0(+2 [1] + 2 [1]) = d0d1(+1 [0] + 1 [0]) + (+1 [1] + 1 [1]) +n1(+2 [0] + 2 [0]) +n0(+2 [1] + 2 [1]) = d1d1(+1 [1] + 1 [1]) + (+1 [2] + 1 [2]) +n1(+2 [1] + 2 [1]) +n0(+2 [2] + 2 [2]) = 0d1(+1 [i] + 1 [i]) +d1(+1 [i + 1] + 1 [i + 1]) +n1(+2 [i] + 2 [i]) +n0(+2 [i + 1] + 2 [i + 1]) = 0 i > 1En cuanto a las condiciones de interpolacion, en este caso inicialmente seran las siguientes:1(zk) = 1 k1(pj) = 0 j2(pj) = 0 jSinembargo, enestecasolasrestriccionesdeinterpolacionresultanserredundantes, pueslasrestriccionesdefactibilidadcreanrelacionesentrelasrestriccionesdeinterpolacion. As ennuestroejemplo, al tenercomorestriccion de factibilidad 1 + G2 = 1, si la evaluamos en los ceros de la planta resulta automaticamente que1(zk) = 1, y si la evaluamos en los polos 2(pj) = 0, con lo que se comprueba que no hace falta incluir estasrestricciones de interpolacion, pues ya estan incluidas automaticamente en las de factibilidad.Esta redundancia hace que sea siempre recomendable comprobar si es posible eliminar algunas de las restric-ciones (de hecho en la mayor parte de los problemas multibloque correctamente formulados las restricciones deinterpolacion resultan redundantes).En denitiva, el problema de optimizacion resultante para este ejemplo, suponiendo que las respuestas impul-sionales son nitas de longitudN, seramn+1[i],1[i],+2[i],2[i]m ax

N

i=0

+1 [i] + 1 [i] + +2 [i] + 2 [i]

sujetoaN

i=0+1 [i]pi1N

i=01 [i]pi1= j(+[0] + [0]) + n0(+2 [1] + 2 [1]) = d0d1(+1 [0] + 1 [0]) + (+1 [1] + 1 [1]) + n1(+2 [0] + 2 [0]) + n0(+2 [1] + 2 [1]) = d1d1(+1 [i] + 1 [i]) + d1(+1 [i + 1] + 1 [i + 1]) + n1(+2 [i] + 2 [i]) + n0(+2 [i + 1] + 2 [i + 1]) = 0 i > 042II.5. ControldeunreformadordehidrogenoEnestaseccionpresentamoseldise nodeuncontroladorutilizandolastecnicasdeprogramacionlinealpre-sentadas en el captulo para un sistema industrial, lo que nos permitira comprobar las ventajas de utilizar estastecnicas para resolver problemas reales.ProblemadecontroldelreformadordehidrogenoEl problema a resolver es el control de un reformador de hidrogeno en una planta petroqumica, cuyo esquemase muestra en la gura II.5. El objetivo de este sistema es la produccion de hidrogeno por catalisis a partir dehidrocarburosalosquesehaeliminadopreviamenteelazufre.Paragenerarelhidrogenoloshidrocarburossemezclanconvaporsupercalentadojustoantesdeentrarenlostubosdelreformador,dondeuncatalizadordenquel calentadoaaltatemperatura(sobre750oC)produceel hidrogeno. Laaltatemperaturanecesariaparaacelerar la reaccion se produce quemando combustible en el reformador.Figura II.5.: Esquema del reformador de hidrogeno.El sistemadecontrol tratademantenerlatemperaturadeseadadel catalizadorbasandoseenmodicarlacantidad de combustible que alimenta al reformador. Para ello se dispone de medidas de temperatura del cata-lizadorydelujodecombustible,yasimismodeunavalvulacontroladaporordenadorqueregulaelujodecombustible. Al disponer de un unico actuador y dos medidas, la estructura de control se basa en la estructuraen cascada que se muestra en la gura II.6.r(z)y(z)()+ + K(z) G(z) + controladordeujo v alvula()perturbaci onFigura II.6.: Sistema de control en cascada del reformador de hidrogeno.43En el proceso real existen fuertes perturbaciones, tales como variaciones del ujo de combustible, variacionesde su calidad, variaciones de la temperatura del vapor, etc. La perturbacion mas difcil de corregir correspondea la temperatura del vapor, que modica de una forma muy rapida la temperatura del catalizador.El sistemade control trata de atenuar lo mas posible esta perturbacion actuando sobre la referencia del lazo de control deujo de combustible.Enesteejemplo unicamentenosplanteamosel dise nodeuncontroladorparael lazoexteriorqueeliminedeformaadecuadalasvariacionesdelatemperaturadel catalizador, actuandosobrelareferenciadel lazodecontrol de combustible. Este ultimo se considera adecuado, por lo que se mantendran sus valores y caractersticas.Debemospuntualizarquenosedisponedeunamedidaabledelatemperaturadel vapordeentrada, loquehace inadecuado utilizar un compensador feedforward que elimine las perturbaciones; ademas la planta es de faseno-mnima. Esta reducion de las perturbaciones debe realizarse entonces por realimentacion.ModelodelsistemaUnmodelosimplicadodel sistemaseobtuvoapartirdemodeladoeidenticaciondel sistemaapartirdemedidas obtenidas del sistema real [Sh96]. El modelo calculado corresponde a la funcion de transferencia entrela referencia del ujo de combustible y la temperatura de salida, incluyendo las dinamicas impuestas por el lazointerior de control de ujo.G =0,032 [z + 0,2453] [z 0,623257] [z + 0,999] [z 15,4484]

z2+ 1,576432z + 3,074984

z [z + 0,58958] [z 0,615995] [z + 0,81983] [z 0,910085] [z2+ 0,838534z + 0,320120]Puede comprobarse en este modelo que la planta es estable, pero de fase no mnima, con tres ceros fuera delcrculo unidad (enz = 15,45, yz = 0,79 +1,57j).El modelo de perturbacion se obtuvo por identicacion, resultando ser:Wd=0,03

[z + 0,1216]2+ 0,6900822z2

z3[z + 0,58958] [z 0,615995] [z + 0,81983] [z 0,910085] [z2+ 0,838534z + 0,320120]SensibilidadmixtaPara resolver problemas practicos basados en minimizacion de una norma 1 el problema de sensibilidad mixta:mn____WS_I +KG1_WMKG_I +KG1_____1fuepropuestoyresultoen[DP87]. Estudiadoenmasdetalleen[ST93]. Lasprincipalesdicultadesdeestasolucion vienen dadas por la cancelacionde ceros y polos estables por el controlador,y el excesivo esfuerzo decontrol.Pararesolverestosproblemashemospropuesto[TG00]lasoluciondelproblemadesensibilidadmixtaalternativo:mn____WS_I +GK1_WMK_I +GK1_____1En efecto, con esta estrategia el controlador no cancela necesariamente los ceros y polos estables del controlador.Ademas, desde el punto de vista de la ingeniera se sabe que es mas adecuado considerar en la optimizacion losesfuerzos de control, que pueden reducirse directamente al a nadir en la optimizacion un peso sobre la sensibilidadal control.Este problema puede resolverse seg un los metodos vistos en la seccion anterior, convirtiendose a un problemade programacion lineal semi-innita:44mn____12____1sujeto aW1S1 +W1M2G = 1Dise nodelproblemadeoptimizacionEl objetivo principal del sistema de control a dise nar es reducir el efecto de las perturbaciones sobre la salida.En terminos de se nales el objetivo puede expresarse como la minimizacion de la desviacion maxima que alcanzala salida por efecto de las perturbaciones, que es precisamente Sn. Si el efecto de la perturbacion sobre lasalida viene ltrado por la funcion de transferenciaWd, el problema de dise no puede expresarse entonces comoel problema de calcular un controlador que minimice SWd

1.Ademas debemos asegurar quelase nal decontrol searazonable. Paraelloincluimos enlaminimizacionel efectodelaperturbacionsobrelase nal decontrol, quevendradeterminadaporlasensibilidadal controlM= K_I +GK1_. El controlador se calcula entonces resolviendo el problema de sensibilidad mixta:mn____WS_I +GK1_WMK_I +GK1_____1SelecciondepesosObservando las componentes en frecuencia del modelo de las perturbaciones se comprueba como, en el sistemaobjeto de estudio, las perturbaciones siguen siendo importantes hasta frecuencias cercanas a 0,02 rad/s, afectandodirectamente a la salida. Con el n de reducir las perturbaciones hasta una frecuencia cercana a 0,02 rad/s, seranecesario que la frecuencia de corte de la sensibilidad estuviera sobre esta frecuencia. Es decir, la funcion de pesoa utilizar para dise narSdebera tener un cero cerca de esta frecuencia.El problema que presenta esta eleccion es que esta frecuencia resulta ser superior al ancho de banda del sistemaen lazo abierto. Resulta entonces que el ancho de banda en lazo cerrado debe ser mayor que en lazo abierto, loque unicamente puede conseguirse haciendo la ganancia del controlador grande entre ambas frecuencias (Green yLimebeer, 1995). Signicara esto que el controlador amplicara las frecuencias comprendidas entre las frecuenciasde corte en lazo abierto y en lazo cerrado. Esto debe hacerse con precaucion para evitar excesivos esfuerzos decontrol y asegurar la estabilidad del sistema en lazo cerrado.Se debe alcanzar entonces una solucion de compromiso entre la frecuencia de corte deSy la amplicacion dealtasfrecuenciasquepresentaraM. Estasituacionesdifcil deconseguirpormetodosclasicos, porloqueunmetodo de dise no de controladores robustos mediante optimizacion (tal como la optimizacion1) es ideal pararesolver el problema. En este caso se puede conseguir estos requerimientos mediante la seleccion adecuada de lospesos sobre las funciones de transferencia a minimizar.Enesteejemploenparticularlospesossehanelegidotal comosemuestranenlaguraII.7. Laseleccionconcreta se realizo de la siguiente manera:PesosobrelasensibilidadalcontrolWM:45Figura II.7.: Pesos seleccionados para el dise no1.Saturacion-LmiteenamplituddelactuadorEn el sistema de control en cascada que controla el reformador de hidrogeno, se sabe que el ujo de combustiblepuede variar respecto al valor nominal como mucho entre 6,89 y +1,51. Signica esto que en condiciones normalesde funcionamiento el sistema de control debe de ser capaz de rechazar las perturbaciones sin llegar a saturarse.Esdecir, u 1,51, parael conjuntodeperturbacionesposibles. Debemosahoradescribirestasposiblesperturbaciones. En este caso las perturbaciones se encuentran normalizadas: d 1.En denitiva, se debera cumplir que:maxd1u 1,51Sehavistopreviamentecomoesteproblemapuedeformularsecomounacondicionsobrelanorma1delafunciondetransferenciaentre dyu. Enestecasolafunciondetransferenciade daues MGd(conMlasensibilidad al control):____MGd1,51____1 1LmiteenlavelocidaddelactuadorEn este problema se impone una variacion maxima de la se nal de control entre instantes de muestreo del 2 %de su valor pico-a-pico, esto es, 0,168 unidades. Teniendo en cuenta que la funcion de transferencia desde d hastau esMGd, tal como se ha mostrado anteriormente esta condicion puede expresarse en la norma1seg un:____M Gd(1 z1)0,168____1 1Finalmente se escoge una funcion de peso sobre la sensibilidad al controlWMtal que a cada frecuencia acotelos dos factores multiplicativos de M en las condiciones obtenidas por saturacion y limitacion en la variacion delactuador. Es decir:|WM|z=ej MGd1,51z=ej|WM|z=ej (MGd_1 z1_0,168)z=ej46Ademas, esta funcion de peso se elige de forma que su valor absoluto en el rango de frecuencias bajas y mediassea lo mas peque no posible compatible con las restricciones anteriores. A altas frecuencias se disminuye el pesopara permitir aumentarMentre el ancho de banda del sistema en lazo abierto y el ancho de banda del sistemaen lazo cerrado. La amplitud del peso elegido se muestra en la gura II.8, donde el peso elegido corresponde a latransformada bilineal de:WM(s) =0,003(s + 0,01)(s + 0,02)Figura II.8.: Seleccion del peso sobre la Sensibilidad al ControlPesosobrelasensibilidadalcontrolWSParaelegirestepesosepartedelasespecicacionesdedise no: lafrecuenciadecortedeS(z=ejw)debeestaralrededorde0,01rad/seg. ComoSdebereducirlasperturbacionesdebajafrecuenciatantocomoseaposible, debe ademas incluir un integrador. Para evitar sobrepicos de alta frecuencia enS, se debe pesar a altasfrecuencias.CalculodelcontroladorUnavezseleccionadoelproblema(sensibilidadmixtaalternativo)ylospesosautilizar,sepuederesolverelcorrespondienteproblemadeprogramacionlineal. EnnuestrocasoutilizamoslaToolboxdeoptimizacionenMatlab para el calculo del controlador.El controlador resultante se redujo de orden hasta un controlador de orden 4, con funcion de transferencia:K =[z 1,03795] [z 0,88451] [z 0,65138] [z + 0,20540][z 1] [z 0,390547] [z20,097448z + 0,280517]La respuesta en frecuencia del controlador resultante se compara con la del controlador completo en la guraII.9. En la gura II.10 se comparan las respuestas salto en lazo cerrado. Puede comprobarse como la aproximacionrealizada es correcta, afectando solo a altas frecuencias y no signicativamente a la respuesta salto.Lasfuncionesdetransferenciacaractersticasdel sistemaenlazocerradosemuestranenlaguraII.11. Esposible comprobar como la forma de estas funciones de transferencia es adecuada: el ancho de banda del sistema47Figura II.9.: Respuesta en frecuencia del controlador.Figura II.10.: Respuesta salto en lazo cerrado.es ahora de 0,000218 rad/s, lo que signica que se ltraran las perturbaciones por debajo de esta frecuencia, comoestabamos buscando. Ademas, la sensibilidad complementaria no presenta sobrepico, por lo que no lo presentara larespuesta salto del sistema. El sobrepico que presenta la sensibilidad al control se debe a la necesidad de aumentarel ancho de banda del sistema en lazo cerrado respecto al de lazo abierto, para poder rechazar las perturbaciones.El codigo en Matlab que permite calcular este controlador se muestra a continuacion:m=20; %Longitud de la respuesta impulsionaltol=1e-5;% Definicion de la plantakg=-0.032zg=[-0.2453 0.623257 -0.9999 15.4484 -0.788216+1.566429j ...-0.788216-1.566429j];pg=[-0.58958 0.615995 -0.81983 0.910085 -0.419267+0.379915j ...-0.419267-0.379915j];% Planta G=ng/dg[ng,dg]=zp2tf(zg,pg,kg)% Definicion de los ceros fuera del crculo unidadzi=[15.4484 -0.788216+1.566429j];Ts=30; w=logspace(-4,-1,256);% Peso de S48Figura II.11.: Funciones de transferencia caractersticas.[nw2,dw2]=c2dm(5*[1/0.01 1],[1/10 1],Ts,matched)% Peso de M[nw1,dw1]=c2dm(0.5*[1 0.01],[1 1e-6],Ts,matched)% Polinomios auxiliares para evaluar las restricciones de factibilidadpol1=conv(conv(dw1,nw2),dg); mpol1=length(pol1);pol2=conv(conv(nw1,dw2),ng); mpol2=length(pol2);pol3=conv(conv(nw1,nw2),dg); mpol3=length(pol3);% Restricciones sobre la NORMAA=[-1 ones(1,m) ones(1,m) zeros(1,m) zeros(1,m)-1 zeros(1,m) zeros(1,m) ones(1,m) ones(1,m)];b=[0;0];Aeq=[];beq=[];% restricciones de FACTIBILIDAD: S+GM=IApol1=zeros(m+mpol1-1,m); Apol2=zeros(m+mpol2-1,m);for i=1:m,Apol1(i:i+mpol1-1,i)=pol1;Apol2(i:i+mpol2-1,i)=pol2;endAeq= [Aeqzeros(size(Apol1,1),1) Apol1 -Apol1 Apol2 -Apol2];beq=[beqpol3zeros(size(Apol1,1)-mpol3,1)];% funcion de coste a minimizarf=eye(1,4*m+1);% RESOLUCION DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL[phiopt,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,zeros(size(f)),...Inf*ones(size(f)),zeros(size(f))); gamma=phiopt(1);% Calculo de la Sensibilidad optima S=(phi(+)-phi(-))/W1phi1=phiopt(2:m+1)-phiopt(m+2:2*m+1);% Eliminacion de coeficientes espureos en phi1while (abs(phi1(length(phi1))) 0, soluciones de la LMI:__AnS +SATn +BnRT+RBTn+DDT+2B1BT1SCT1SET1+RET2C1S I 0E2RT+E1S 0 I__< 0 (III.5)58M as a un, una ley de control estabilizante (cuadr aticamente) est a dada por:K = RTS1Demostracion: El sistema III.3 es cuadraticamente estabilizable con atenuacion > 0 de perturbacion si y solosi existen matricesP> 0 yKtales que(An +BnK +DFE1 +DFE2K)TP +P(An +BnK +DFE1 +DFE2K)+2PB1BT1 P +CT1 C1< 0pero ello es equivalente, denominando aE = E1 +E2K, [Pet87]:(An +BnK)TP +P(An +BnK) +PDDTP + 1ETE +2PB1BT1 P +CT1 C1< 0 (III.6)para alg un > 0. En su forma dual III.6 toma la forma (S = P1yR = SKT):AnS +SATn +RBTn+BnRT+DDT+ 1SETES +2B1BT1+SCT1 C1S< 0 (III.7)III.7 puede escribirse como una LMI de la forma:__AnS +SATn +RBTn+BnRT+2B1BT1+DDTSET1+RET2SCT1E2RT+E1S I 0C1S 0 I__< 0 (III.8)ObservacionIII.4LadesigualdadIII.8es lineal (convexa) conrespectoasus inc ognitas S, R, yaunconrespectoa2. Porlotanto, puedeserresueltaconherramientas est andar, e.g., el LMI ToolboxdeMatlab[GNL95].ObservacionIII.5Si s olo se impone estabilidad cuadr atica, la LMI se reduce a las 2 primeras las y columnasde III.8.ObservacionIII.6Si se trata de sistemas ciertos, la LMI se reduce a la 1ra y 3ra la y columna de III.8 conD = 0.A continuacion presentamos la extension del teorema III.1 a los casos de costo garantizado (H2) y de ubicacionde polos.CorolarioIII.1Denamos el siguiente problema convexo:mnTrWsujeto a_W C1SSCT1S_> 0 (III.9)_AnS +SATn +DDT+BnRT+RBTn+B1BT1SET1+RET2E2RT+E1S I_< 0 (III.10)SeaWla soluci on si existe una del problema convexo denido. Existe una ley de control u = Kx tal queTwz

2< 1/2= TrWpara toda la familia de sistemas III.3 si y s olo si existen matricesWySdenidas positivas, una