LEZIONE 6

NOTAZIONI:

In queste lezioni io uso la convenzione

log(x) = loge(x)

in molti testi (compreso quello che adottiamo) e su molte calcolatrici si usa la convenzione

ln(x) = loge(x)

log(x) = log10(x)

Attenzione a non fare confusione! nel dubbio chiedete !

oppure cerchiamo di scrivere sempre la base

In una coltura batterica sono presenti inizialmente 10000 batteri. Il loro numero raddoppia ogni 3 ore. La coltura viene fatta crescere per 24 ore. A) Quanti batteri ci saranno nella coltura al tempo finale? B) Quando il numero di batteri nella coltura sara’ pari al 25% della quantita' di batteri presenti al tempo finale?

ESERCIZIO

Soluzioni: A)

B)

28 · 104 = 256 · 104 = 2.56 · 106

25100 · 256 · 104 = 104 · 2t/3

log2(25100 · 256) = t

3

log2(122 · 28) = t

3

�2 + 8 = t3

t = 18

uranio234: emivita = 245 500 anniQuanti anni ci vogliono perche’ una certa quantita’ di U234 sia ridotta a 3/4 di quella

iniziale?

34 = 1

2t/�

log(2

t/�) = log(4/3)

t� log(2) = log(4/3)

t = � log(4/3)log(2)

log2(4/3) =t� log2(2) =

t�

log2(2t/�

) = log2(4/3)

t = � log2(4/3)

Esempio

ESERCIZIO

↵ = 5,� =

14 loge(3)soluzione:

ESERCIZIO

Determinare per quali x vale log10(x+ 4) 2.

Perche sia ben definita la funzione deve essere x+ 4 > 0,

ossia x > �4. Inoltre, usando il fatto che la funzione

x 7! 10

x

e strettamente crescente si ha

che la diseguaglianza vale se e solo se

10log10(x+4) 102 ossia se x+ 4 100

Concludiamo che la disuguaglianza vale per �4 x 96�4 < x 96

Determinare per quali x vale

• log2(px+ 2) 2

• e

5x+2 4

ESERCIZIO

riferimenti al libro: Sez 6.1, 6.2

…

1

sin x

cosx

xP

O

Dato x 2 R si costruisce il punto P

partendo da (1, 0) e percorrendo

un arco di lunghezza |x|- in senso antiorario se x > 0

- in senso orario se x < 0

Per definizione P = (cosx, sinx).

Seno e Coseno

(sinx)

2+ (cosx)

2= 1 8x 2 R

• periodica:

sin(x+ 2⇡) = sinx 8x 2 R

• �1 sinx 1 8x 2 R

• sinx > 0 per x 2 (0,⇡) sinx < 0 per x 2 (⇡, 2⇡)

• e crescente in [0,

⇡2 ] e in [

3⇡2 , 2⇡]

• e decrescente in [

⇡2 ,

3⇡2 ]

• dispari: sin(�x) = � sinx 8x 2 R

• alcuni valori notevoli:

sin 0 = sin⇡ = sin 2⇡ = 0

sin

⇡2 = 1, sin

3⇡2 = �1

cosx = sin

�x+

⇡

2

�per ogni x 2 R.

Funzioni periodiche

Una funzone f(t) e periodica di periodo Tse T e il piu piccolo valore per cui si ha

f(t+ T ) = f(t) per ogni t

⌫ =1

Tfrequenza

NB: se una funzione e’ periodica di periodo T allora

f(t+ kT ) = f(t� kT ) = f(t) per ogni intero k

Tangente

Esempi

• sin(t) ha periodo 2⇡

• cos(t) ha periodo 2⇡

• sin(2t) ha periodo ⇡

• 4 cos(t/3 + 5) ha periodo 6⇡

Se f(t) ha periodo T allora t 7! f(t�)ha periodo T/�.

f(�(t+ T/�)) = f(�t+ T ) = f(�t)

riferimenti al libro: Sez 6.3