les systèmes asservis linéaires échantillonnés - uvt · aboutir au savoir faire relatif au...

Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique

Université Virtuelle de Tunis

Les systèmes asservis linéaires

échantillonnés

Compensation des systèmes échantillonnée

Mohamed AKKARI

Attention !

Ce produit pédagogique numérisé est la propriété exclusive de l'UVT. Il est strictement interdit de le reproduire à des fins

commerciales. Seul le téléchargement ou impression pour un usage personnel (1 copie par utilisateur) est permis.

Les systèmes asservis linéaires échantillonnés

Stabilité et précision des systèmes discrets

2 Mohamed AKKARI


Objectif : La commande des systèmes discrets asservis constitue l’objectif

fondamental de toute étude qui vise à imposer des performances que le système

commandé doit satisfaire.

C’est la raison pour laquelle que nous avons très détaillé ce chapitre où nous avons

présenté les différentes techniques de l’implantation et du calcul des régulateurs

numériques. Ces régulateurs de type PID, ou de type RST, très largement

exploités par ailleurs, ont fait l’objet d’une étude développée. Ils devront par la

suite être traduits en algorithmes de commande (Non traité dans ces notes) par

le biais de calculateurs pour conduire le processus étudié.

Nous avons présenté des exemples détaillés de commande de processus discrets et on a

exploité le logiciel Matlab pour mener le calcul ou la traçage des courbes, en rappelant à

chaque fois les syntaxes utilisées pour ce faire.



3 Mohamed AKKARI


VIII-1: Introduction Ce chapitre porte sur les approches de commande des systèmes

asservis discrets et représente l’étape la plus importante sur laquelle une attention

particulière doit être portée.

En effet, toutes les techniques présentées dans les chapitres précédents doivent

aboutir au savoir faire relatif au choix et au calcul de correcteurs capables de

conférer à un processus discrets les performances désirées.

Ces régulateurs numériques, sous quelle forme qu’ils peuvent se présenter, sont

caractérisés par une sortie discrètes U(z) appelée loi de commande qui pilote le

processus et conditionne son comportement pour satisfaire ces performances .

Différentes approches de commande sont présentées dans ce chapitre pour

permettre la compensation des processus discrets dans ce sens:

VIII-2 : La commande par transposition de correcteurs analogiques

Cette méthode exploite des régulateurs analogiques dont les paramètres sont déja

établis (par différentes techniques) dans une boucle de commande continue qui

confère au processus analogique commandé les performances à satisfaire

conformément à un cahier de charges imposées par l’utilisateur.

A partir d’une boucle de commande continue, on établit une boucle de commande

numérique, par la discrétisation et du modèle du processus et du régulateur

analogique implanté, en respectant les techniques de dicrétisation. On obtient

alors un asservissement discret tel que présenté

Dans la figure 34.

C1(z) H (z)

U(z) Y(z) E(z)

_

Fig.36 : Boucle d’un système asservi discret compensé



4 Mohamed AKKARI


Etapes à suivre

♦ On choisit la période d’échantillonnage Te appropriée au processus étudié.

♦ On transpose le régulateur C(p) et la fonction de transfert H(p) en numérique en

remplaçant par exemple la variable p par )1(

)1(2

+

−=

zT

zp

e

(Approximation de Tustin), ou en utilisant les techniques de discrétisation

exposées précédemment.

♦ On calcule la fonction de transfert en boucle fermée )()(1

)()()(

1

1

zHzC

zHzCzH f

+=

♦ On vérifie la stabilité (condition fondamentale) de ce système discret.

♦ On établit ensuite l’équation de récurrence y (k).

♦ En choisissant une entrée e (k) =1, le calcul des échantillons y(k) pour

k=0,1,…informe sur l’évolution de y(k) afin de comparer cette évolution à celle du

système non corrigé, de point de vue précision, temps de réponse,….

♦ La loi commande u (k) qui doit être mise sous la forme d’un algorithme

programmable découle directement de l’équation de récurrence.

VIII-3 : Commande par implantation d’un régulateur naturellement

numérique

Par cette méthode, on calcule directement un correcteur C(z), en imposant à la

fonction de transfert discrète en boucle fermée Hf(z) du système compensé



5 Mohamed AKKARI


d'être égale une fonction de transfert G(z) qu’on choisit d’avance et qui satisfait

les performances souhaitées sur le système régulé.

Donc : )()()(1

)()()( zG

zHzC

zHzCzH f =

+=

On déduit alors l’expression de C(z) :

)(1

)(.

)(

1)(

zG

zG

zHzC

−= (61)

Si )(

)()(

zB

zAzH = et

)(

)()(

zD

zNzG =

Les modules des zéros de B(z) et des zéros de D(z) doivent être inférieurs à un (

pour respecter la condition de stabilité), l’expression de C(z) devient:

)()(

)(.

)(

)()(

zNzD

zN

zA

zBzC

−=

La condition de stabilité doit aussi être vérifiée sur ce correcteur

Or d’après l’expression du dénominateur de C (z) cette condition ne peut être

assurée que si :

* les zéros de A(z) sont aussi à modules inférieurs à un.

* les zéros de D(z)- N(z) ont leurs modules inférieurs à un.

Ceci limite bien sûr l’utilisation de cette méthode à une catégorie particulière de

processus vérifiant des conditions sur les modules d’aussi bien leur dénominateur

que leur numérateur.



6 Mohamed AKKARI


Exemple1 : Supposons qu’on veuille commander un processus représenté par sa

fonction de transfert discrète)(

)()(

zB

zAzH = en boucle ouverte.

(Tous les modules des zéros de B(z) doivent être inférieurs à un pour la stabilité)

On implante un régulateur discret C(z) et on obtient alors une fonction de

transfert en boucle fermée du processus régulé de la forme :)()(1

)()(

zHzC

zHzC

+

Si on ne souhaite pas avoir de dépassement sur la réponse du système corrigé, il

faut donc que)()(1

)()(

zHzC

zHzC

+ soit identifiée à une fonction G(z) de la forme

az

azG

−

−=

1)( qui représente un système de premier ordre discret à gain statique

unitaire. Alors az

azG

zHzC

zHzC

−

−==

+

1)(

)()(1

)()(

D’où on déduit l’expression de c(z) : )()1(

)()1()(

zAz

zBazC

−

−=

Ce qui impose, pour la stabilité, que tous les modules des zéros de A(z) doivent

aussi être inférieurs à un

Exemple2 : Soit la fonction de transfert en boucle ouverte d’un système asservi :

5.05.1

)75.0(03.0

)(

)()(

2 +−

+==

zz

z

zB

zAzH

Calculer un régulateur numérique qui confère au système corrigé :



7 Mohamed AKKARI


♦ Un comportement de deuxième ordre en boucle fermée caractérisé par : un

coefficient d’amortissement 6.0=ξ et une pulsation propre srad /30 =ω

♦ Une erreur statique 0)( =∞ε et une erreur en vitesse 2.0=vε .

Solution :

♦ On établit d’abord l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée :

))(())((

)(

)(

)()(

2121 zzzz

baz

zzzz

zN

zD

zNzG

−−

+=

−−==

Où z1 et z2 sont les racines imposées du deuxième ordre choisi et dont les

expressions sont:

200 1

2/1

ξωξω −±−= ee TjTez pour Te= 0.2s, on a 360.0526.02/1 jz ±=

♦ Pour calculer a et b on exploite les conditions 0)( =∞ε et 2.0=vε :

Exprimons l’erreur )(zε : D’après fig. 37 on )()(1

1)( ze

zXz

+=ε sachant

que )()(1

)(

)(

)(zG

zX

zX

ze

zy=

+= alors

)(1

)()(

zG

zDzX

−= et donc )()](1[)( zezGz −=ε

X (z)

y(z) e(z

_

Fig.37 : Boucle d’un système asservi

discret

)(zε



8 Mohamed AKKARI


♦ Pour une entrée échelon unitaire1

)(−

=z

zze l’erreur statique est donc

1

)](1[)(−

−=z

zzGzε

Comme )()1(lim)(lim)( 1

1 zzk zk εεε −→∞→ −==∞ alors

)]1(1[)( G−=∞ε , or 0)( =∞ε par hypothèse, donc )1(1 G=

1)()(1

)1(2121

=+++

+=

zzzz

baG d’où 21211 zzzzba +++=+

♦ L’erreur en vitesse correspond à une entrée rampe 2)1()(

−=

z

zTze e

v

e

zkvvKz

zTzGzk

1

)1()](1)[1(lim)(lim

2

1

1 =−

−−== −→∞→εε Comme 2.0=vε

alors 2.0

1=vK

On peut également exploiter la formule de l’Hospital (où Te=0.2s, par hypothèse):

1

2.02.0

1

11]

)([ 1 −=−=−==

TKdz

zdG

v

z

Alors 2

2121

212121'

)]()(1[

))(2()1(1)1(

zzzz

bazzzzzzaG

+++

+++−+++=−=

En conclusion 1)1( =G et 1)1(' −=G permettent de calculer a et b et

le correcteur )(1

)(.

)(

1)(

zG

zG

zHzC

−= est alors complètement défini



9 Mohamed AKKARI


VIII-4 : Commande par PID numérique

VIII-4-1: Introduction

Ce paragraphe (VIII-4) s’apparente au paragraphe (VIII-2), mais vu l’importance

des régulateurs PID, nous avons jugé de leur consacrer un paragraphe indépendant.

Le régulateur PID est le plus « populaire » des régulateurs et il est largement

utilisé, notamment en commande analogique.

Il est caractérisé par ses trois coefficients, proportionnel KP, intégral KI et dérivé

KD qui figurent dans l’expression temporelle reliant la sortie du régulateur à son

entrée )(tε :

dt

tdKdKtKtu D

t

IP

)()()()(

0

εττεε ++= ∫

La transformée de Laplace donne la fonction de transfert suivante :

p

KpKpKpK

pKK

p

pUpR IPD

DIP

++=++==

..1

)(

)()(

2

ε

Notons que :

♦ KP et KI améliorent le temps de réponse mais par contre rendent le

système moins stable.

♦ KI permet en plus, d'éliminer l'erreur statique, mais en revanche,

il peut générer beaucoup d'oscillations nuisibles à la stabilité.

♦ KD ralentit la réponse, mais permet d'atténuer les oscillations et donc

rend le système plus stable.



10 Mohamed AKKARI


La détermination des trois coefficients KP, KI et KD en étude analogique fait

appel à plusieurs techniques tant théoriques "méthode de Naslin" ,

qu’empiriques "méthode de Ziegler - Nichols" qui sont largement exposées

dans les ouvrages de base de l’automatique analogique.

Pour déterminer les coefficients du PID, on peut aussi mener une étude en

boucle ouverte sur le système corrigé par un PID et imposer au numérateur

du PID d’éliminer les constantes de temps les plus grandes de la fonction de

transfert en boucle ouverte du processus.

Les coefficients peuvent aussi être déterminés à partir d’une étude en

boucle fermée du système corrigé où l’on impose des performances sur la

stabilité ou sur la précision par exemple…

Dans tous les cas, il faut chercher un compromis entre la rapidité, la

stabilité et l'erreur statique, en respectant les conditions imposées dans un

cahier de charge dicté par l’utilisateur.

Par ailleurs, l’étude des systèmes asservis analogique régulés par un PID

exploite utilement la réponse indicielle du système pour mettre en exergue :

* Le dépassement : (overshoot) de la réponse par rapport à la consigne en

régime transitoire (qui ne doit pas généralement excéder 20%).

* Le temps de montée (rise time) qui représente le temps nécessaire au

système pour passer de 10% à 90% de la consigne, et qui caractérise la dynamique

du système.

* Le temps de réponse (settling time) qui est le temps nécessaire à un

système pour atteindre en régime établi 5%( ou 2%) de sa consigne.



11 Mohamed AKKARI


Cette étude aboutit à déterminer les coefficients du PID en analogique

conformément à la satisfaction des performances demandées au système régulé.

Il est aisé ensuite de discrétiser le PID analogique ainsi obtenu pour avoir son

expression numérique qu’on implante dans une boucle de commande d’un système

discret.

Notons qu’il existe une méthode directe pour calculer les coefficients d’un PID

numérique qui exploite, comme la méthode de Ziegler-Nichols en analogique, une

approche empirique (Basée sur l’expérimentation), que nous n’évoquons pas ici.

VIII-4-2 : Expressions numériques du régulateur PID

VIII-4-2-a Approximation de l’intégrale et de la dérivée

En partant d’un régulateur analogique dont l’expression :

])(

)(1

)([)(0

dt

tdTd

TtKtu d

t

i

p

εττεε ++= ∫ où Ti et Td sont ses constantes

intégrale et dérivée, on peut discrétiser la loi de commande u(p) en l'évaluant à

l'instant d'échantillonnage Te .

(Pour alléger l’écriture, la période d’échantillonnageTe étant constante , on

remplace chaque fonction F(Te k) par F(k) ou Fk ).

)( pε , e(p) et y(p): sont le signal d'erreur, la consigne et la sortie.

PID Processus )( pε )( pu

)( py )( pe

-

+

Fig.38 : Boucle d’asservissement analogique commandée

par PID



12 Mohamed AKKARI


Pour ce faire, on effectue les substitutions suivantes :

)()( kutu → , )()( kt εε →

eT

kkt

dt

d )1()()(

−−→

εεε (62)

L’expression intégrale de )(kε peut être approximée par la somme des

rectangles élémentaires eTl).(ε (voir figure 36)

.....).1().0().()(1

00

++=≈ ∑∫−

=ee

k

l

e

kh

TTTld εεεττε (63)

Dans ce cas, la loi de commande discrète s’écrit :

])1()(

).(1

)([)(1

0 e

d

k

l

e

i

pT

kkTTl

TkKku

−−++= ∑

−

=

εεεε (64)

Toutefois, la forme de la loi de commande obtenue ci-dessus se prête mal à la

programmation, à cause de l’approximation de l’intégrale.

En effet en faisant une sommation de l’entrée ε on aura besoin de mémoriser

toutes les valeurs passées de ε à partir de ∑−

=

1

0

)(k

l

lε :

……..

Pour éviter cette contrainte, on explicite l’expression )1( −ku

)0(ε )1(ε )2(ε )1( −kε

)(kε )1( +kε

)2(ε

)1(ε

)0(ε

T

Fig.39 : Approximation d’une intégrale par des rectangles

élémentaires



13 Mohamed AKKARI


])2()1(

).(1

)1([)1(2

0 e

d

k

l

e

i

pT

kkTTl

TkKku

−−−++−=− ∑

−

=

εεεε

Et on calcule ensuite la différence )1()( −− kuku , il vient :

])1()(

[]).().([)]1()([)1()(2

0

1

0 e

dp

k

l

e

k

l

e

i

p

pT

kkTKTlTl

T

KkkKkuku

−−+−+−−=−− ∑∑

−

=

−

=

εεεεεε

])2()1(

[e

dpT

kkTK

−−−−

εε

L’expression intégrale se réduit alors à : )1(]).().([2

0

1

0

−=−∑∑−

=

−

=

kTT

KTlTl

T

Ke

i

pk

l

e

k

l

e

i

pεεε

Celle de la dérivée à : )2()1(2

)( −+−− kT

TKk

T

TKk

T

TK

e

dp

e

dp

e

dp εεε

En réarrangeant, il vient l’expression finale de la loi de commande par PID:

)2(.)1(.)(.)1()( 210 −+−++−= kbkbkbkuku εεε (65)

Avec )1(0

e

dp

T

TKb += ; )21(1

e

d

i

ep

T

T

T

TKb −+−= ;

e

dp

T

TKb =2



14 Mohamed AKKARI


VIII-4-2-b Discrétisation directe de la fonction de transfert du

PID analogique

La fonction de transfert étant : pKp

KKpR dip ++=1

)(

Elle peut s’écrire: )11

1()( pTpT

KpR d

i

++= (66)

Alors pour discrétiser R(p), on peut :

● Soit exploiter directement le tableau des transformées, et on obtient :

A : ]1

.1

.1

1[)(z

zT

z

z

TKzR d

i

−+

−+= (67)

Qui est la forme la plus simple mais dans laquelle la période d’échantillonnage Te

n’apparaît pas.

• Soit discrétiser :

- L’intégrale avec une période d’échantillonnage Te et un bloqueur d’ordre zéro et

on obtient dans ce cas 1−z

z

T

T

i

e

- Le terme dérivé en approximant par : eT

kk

dt

td )1()()( −−⇒

εεε d’où :

z

z

T

Tz

T

T

e

d

e

d 1)1( 1 −

=− −

Et on obtient :

B : )1

11()(

z

z

T

T

z

z

T

TKzR

e

d

i

e −+

−+= (68)



15 Mohamed AKKARI


Notons par ailleurs que l’expression dérivée en analogique Td .p n’est pas

physiquement réalisable et l’on adopte pour la réalisation pratique du terme dérivé,

une expression où l’on multiplie Td .p par l’expression

pN

Td+1

1 appelée terme de

filtrage. (Voir annexe).

Dans ce cas, Td .p est remplacée par

pN

T

pT

d

d

+1

, où N est une constante de

filtrage comprise entre 3 et 20, (On prend généralement N ~ 10).

On aura alors une expression analogique de la fonction de transfert:

)

1

111()(

pN

T

pT

pTKpR

d

d

i +

++= qu’on va discrétiser.

Ecrivons :

)

1

111(

)()(

2

pN

T

T

pTpK

p

pRpS

d

d

i +

++==

D’ après le tableau des transformées on aura S(z) :

])1(1

[)(2

d

e

T

TN

i

e

ez

zN

z

z

T

T

z

zKzS

−

−

+−

+−

=

Comme :

)(1

]1

)()([]

)([)]([)( *0** zR

z

z

e

pRpB

p

pRpSzS

Tep −=

−===

−

Alors l’expression discrète R(z) du PID devient :

C : ]1

)1(

11[)(

d

e

T

TN

i

e

ez

zN

zT

TKzR

−

−

−+

−+= (69)



16 Mohamed AKKARI


VIII-4-2-c Discrétisation d’un PID analogique, en exploitant

l’approximation d’Euler .

Dans ce cas on aboutit à d’autres expressions de R(z) :

• En remplaçant p par eT

z 1−, dans R(p), on obtient l’expression D :

D : ]

)1(

1

)1(

11[)(

d

ei

e

T

TNz

zN

zT

TKzR

−−

−+

−+= (70)

• En remplaçant p par z

z

Te

1.

1 −, dans R(p), on obtient l’expression E :

E : ]

1)1(

1

)1(1[)(

−+

−+

−+=

zT

TN

zN

z

z

T

TKzR

d

ei

e

(71)

• En remplaçant p par 1

1.

2

+

−

z

z

Te

, dans R(p), on obtient l’expression F:

F : ]

)2

1()1(

1

)1(

1

21[)(

d

e

d

ei

e

T

TNz

T

TN

zN

z

z

T

TKzR

−−+

−+

−

++= (72)

Ces différentes variantes de l’expression d’un PID numérique sont toutes

équivalentes. Toutefois, une forme standard est généralement utilisée, qui consiste

à appliquer l’approximation d’EulereT

z 1− pour numériser l’intégrale, et

l’approximation z

z

Te

1.

1 − pour numériser le terme dérivateur.

Dans ce cas, la forme standard d’un PID numérique (qu’on retient par la suite) est:

]

1)1(

1

)1(

11[)(

−+

−+

−+=

zT

TN

zN

zT

TKzR

d

ei

e (73)



17 Mohamed AKKARI


VIII-4-3 : Le PID numérique dans une boucle d’asservissement

Comme dans une boucle analogique, le régulateur R(z) est placé en amont du

processus discrétisé que l’on souhaite régler. e(z) étant l’écart entre la consigne

Yc(z) et la sortie Y(z) et u(z), sortie de R(z).

Un autre schéma d’implantation où il y’a séparation des trois actions est :

]

1)1(

1

)1(

11[

−+

−+

−+

zT

TN

zN

zT

TK

d

ei

e

+

-

H(z) Y(z)

e(z)

Yc(z)

u(z)

Fig. 40 : Première configuration de l’implantation d’un PID

numérique

K

Proportionn

el

Intégr

al

Gai

1)1(

1

−+

−

zT

TN

zN

d

e

)1(

1

−zT

T

i

e

Dérivateu

r

H(z) +

+

+

+ -

u(z) Y(z)

Yc(z)

e(z)

Fig. 41 : Deuxième configuration de l’implantation d’un PID

numérique



18 Mohamed AKKARI


Pour palier certains inconvénients liés à des phénomènes de fortes variations de

u(z), et provoqués par le dérivateur, on évite de dériver le gain comme c’est

explicité dans le schéma ci-dessous.

-

Exemple d’implantation d’un régulateur PID analogique et numérique

Le schéma de câblage suivant représente un système électromécanique.

établi dans l’environnement Simulink de Matlab.

On réalise une première simulation numérique sur ce système analogique asservi

(voir schéma ci-dessous) représenté dans une boite entrée-sortie.

K

Proportionn

Intégr

al Gai

1)1(

1

−+

−

zT

TN

zN

d

e

)1(

1

−zT

T

i

e

Dérivateu

H(z)

+ +

+

+ -

u(z) Y(z)

Yc(z)

e(z)

Fig. 42 : Troisième configuration de l’implantation d’un PID

numérique



19 Mohamed AKKARI


La simulation est réalisée simultanément sur le système sans régulation et avec

régulation avec un PID dont les coefficients sont choisis judicieusement.

D’après les courbes obtenues grâce à cette simulation, nous constatons que la

sortie y(t) présente une précision de piètre qualité pour le système non commandé,

alors que cette sortie, pour le système commandé par un PID atteint sa consigne

imposée après 20 secondes et s’y maintient accusant en régime transitoire un

dépassement qui n’excède pas 5%.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80

100

120

Evolution du système commandé

Evolution du système non commandé

(n'atteint pas la consigne)

Simulation du système analogique



20 Mohamed AKKARI


Nous réalisons ensuite une simulation du système asservi discrétisé et commandé

(voir schéma ci-dessous), où un échantillonneur bloqueur d’ordre zéro échantillonne

la chaîne directe contenant le PID et le processus, avec une période

d’échantillonnageTe correctement choisie.

On constate alors que le PID numérique apporte un meilleur résultat sur la sortie

du système discret, puisque cette sortie atteint sa consigne en 15s et s’y

maintient, en n’accusant aucun dépassement.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80

100

120

Commande par PID numérique



21 Mohamed AKKARI


VIII-5 : commande par retour d’état

VIII-5-1 : Introduction

Nous avons vu que la représentation d'état discrète d’un processus (en boucle

ouverte) est régie par les équations (où D=0 ):

X (k+1) = F. X (k) + G. u (k) (74)

y (k) = C. X (k)

Le schéma fonctionnel est représenté dans la figure 43 :

Avant d’aborder l’approche de commande par retour d’état de ce système, il

convient de rappeler que :

• L’on peut déduire la fonction de transfert en boucle ouverte de ce système, à

partir de (74).

En effet, le passage à l’expression en Z de (74) donne

zX(z)= F.X(z)+ G.U(z) etY(z) = CX(z)

d’où (z.I-F)X(z) = G.U(z) donc X(z) = (z.I-F)-1.G.U(z) Comme Y(z) = C.X(z)

alors Y(z)= C. (z.I-F)-1.G.U(z)

GFzICzU

zYzH .)(

)(

)()( 1

0

−−== (75)

Q

F

X (k+1) X(k) v (k) y(k) +

+

C G

Fig. 43 : Schéma fonctionnel de la représentation d’état



22 Mohamed AKKARI


• Si un système est régi par le formalisme « fonction de transfert », l’étude de

sa stabilité en boucle fermée, porte sur la position de ses pôles.

[ Zéros du dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée de Hf(p)

ou de Gf(z) ].

Pour les systèmes analogiques, ces pôles doivent tous avoir leur partie réelle

strictement négative. Pour les systèmes discrets, les pôles doivent avoir leur

module strictement inférieur à un.

Ainsi, pour l’étude de la stabilité, on est amenée à résoudre l’équation

caractéristique 0)(1)( 0 =+= pHpP en analogique ou 0)(1)( 0 =+= zGzP en

numérique. Le polynôme P représente le dénominateur de Hf(p) ou Gf(z), sur les

racines duquel on doit vérifier les conditions assurant la stabilité.

• Par contre, si le système est décrit par une représentation d’état, continue

ou discrète, l’étude de la stabilité est menée sur 0)( =− ApIDet pour les

systèmes à temps continu et sur 0)( =− FzIDet pour les systèmes à temps

discret.

En effet, il y’a une équivalence directe entre 0)( =pP et 0)( =− ApIDet , de

même que pour les systèmes discrets. (Voir formules (39) et (45) du chapitre

représentation d’état).

VIII-5-2 : La commande par retour d’état

Cette commande réalise une boucle fermée sur le système (74), par

l’implantation d’une loi de commande de la forme :

u(k)= e(k)-K.X(k) (76)

Qui prend en compte, outre la consigne v(k), l’évolution du vecteur X(k)

K est appelée matrice de contre réaction d’état.



23 Mohamed AKKARI


Cette commande impose toutefois que le système étudié soit gouvernable, ce qui,

par définition, doit vérifier :

Rang [G F. G F 2 . G…..F nG] = rang du système (77)

IX-5-2-a : Calcul des coefficients de la matrice de réaction d'état K

Les éléments de la matrice K sont calculés à partir de la représentation d'état du

système initial et de la satisfaction de la dynamique que l’on souhaite obtenir en

boucle fermée.

Pour ce faire, il faut imposer un nouveau polynôme caractéristique, dont les zéros

sont choisis tel que le système en boucle fermée satisfasse à certaines conditions

imposées.

Etapes à suivre

♦ On impose en premier lieu les nouveaux pôles de la fonction de transfert en

boucle fermée souhaitée: soit z1, z2, .. ……………… zn

Une nouvelle expression Paf (z) du dénominateur de la fonction de transfert Hf(z)

qui remplace le dénominateur initial Pbf (z) est alors établie.

Paf (z) = (z – z1)(z – z2)……(z – zn) = z n +an-1 z + an-2 z n-2+……a0

Au lieu de Pbf (z)= z n +bn-1 z n-1 + bn-2 z n-2+……b0

Q

F

X (k+1) X (k) u y (k) +

+

C G

+

-

e (k)

K

Fig. 44 : schéma dune représentation discrète compensée par

Processu



24 Mohamed AKKARI


On obtient les coefficients ai du nouveau polynôme caractéristique Paf (z).

qu’on compare aux coefficients bi du polynôme caractéristique initial Pbf .

Dans le cas d'un système mono variable, les éléments de la matrice K sont alors

calculés par la formule de Bass-Gura:

11 )],([])[( −−−= GFGAbaK gouv

T

Topli

TTT (78)

Où a = [ an-1 an-2 ……a0 ] (Coefficients de Paf )

b = [ bn-1 bn-2 ……b0 ] (Coefficients de Pbf )

1−T

TopliA est la transposée de l’inverse de la matrice de Topliz construite selon

l’approche suivante :

♦ On construit la matrice de Toplitz ATolpi

ATolpi de Toplitz, se construit à partir des coefficients de Paf

1 0 0 ……. 0

a n-1 1 0 …… 0

a n-2 a n-1 1 ……. 0

a n-3 a n-2 a n-1 …….. 0

…. ….. …..

♦ On établit ensuite la matrice de gouvernabilité du système échantillonné

Ggouv (F,G) = [G F. G F 2 . G...... F n .G]

Pour finalement calculer KT par 11 )],([])[( −−−= GFGAbaK gouv

T

Topli

TTT



25 Mohamed AKKARI


VIII-5-2-b : Etude du régime permanent

En plus de la détermination de la matrice de contre réaction K, l’étude doit être

complétée par le calcul de l’expression du gain par lequel il faut corriger le

système compensé pour qu’en régime permanent, on obtienne une sortie y (k) = e

(k).

On pose alors v (k) = g. e (k) (79)

et on calcule le gain « g » qui conduit à la satisfaction de y (k) = e (k)

L’expression de la nouvelle commande u (k) = g. e (k) - K. X (k).

est reportée dans l’expression de la représentation d’état :

X (k+1) = F. X (k) + G. u (k) = F.X(k)+ G[ g.e(k) - K.X(k) ].

Donc X (k+1) = ( F - G.K ).X(k) + G.g.e(k)

Par ailleurs, en régime permanent, le système étant soumis à une entrée e(k)

constante on doit avoir X (k+1) =X (k), ce qui conduit à l’expression finale:

X (k) = [I – F – G.KT] -1.G.g.e (k) (80)

Comme y (k) = C.X (k), et que l’on souhaite avoir y (k) = e (k) alors :

Q

F

X (k+1) X (k) u

(k)

y (k) +

+

C G

_

e (k)

K

Fig. 45 : schéma dune représentation discrète compensée par retour d’état et

g v (k)

Processus



26 Mohamed AKKARI


y(k) = e(k)= CX (k) = C. [I – F – G.KT] -1.G.g.e (k)

D’où l’expression du gain :

GGKFICg

T .][

11−−−

= (81)

Remarque : Pour déterminer les coefficients de K, on peut opérer une démarche

plus directe qui consiste à faire un passage en z de :

X (k+1) = ( F - G.K ).X(k) + G.g.e(k) pour obtenir

( zI - F + G.K)X(z)=G.g.e(z)

Sachant que le polynôme caractéristique Pf(z) n’est autre que le déterminant de

(zI-F + G.K) (voir formule 45), alors :

Det (zI – F + G.K) = Pf(z) (82)

Où Pf(z) est le polynôme caractéristique dont les coefficients sont imposés. La

matrice ligne K est donc déterminée directement en résolvant l’équation (82), où

les seuls inconnus sont les coefficients de K.

Plusieurs logiciels de calcul sont disponibles qui permettent de déterminer les

coefficients de la matrice K ainsi que le gain « g » d’une manière rapide, évitant

d’opérer manuellement un calcul matriciel fastidieux.



27 Mohamed AKKARI


Exemple

Dans ce qui suit, on traite un exemple de commande par retour d’état en s’appuyant

sur les potentialités offertes par le logiciel MATLAB :

Soit un système continu dont la représentation d’état est :

)();()()( tCXYtBUtAXtX =+=•

où les éléments des matrices A, B, et C sont

données numériquement en analogique, suite à une modélisation d’un système

électromécanique (non étudié ici).

* Calculer une loi de commande discrète par retour d’état qui confère en boucle

fermée les performances sur la sortie Y du système, imposées par un placement

des pôles à z 1= 0.4 , z 2 = 0.2+0.4j et z 3 = 0.2-0.4j].

% On introduit A, B, et C par une syntaxe qui définit les matrices sur MATLAB:

A=[0 1 0 ; -0.5 -0.5 0.2; 0 -0.02 -1];

B=[0 0 0; 0 0 0; 0.1 0 0];

C=[1 0 0]; D=0 ;

% La syntaxe suivante définit la représentation d'état

% continue et permet d’opérer le calcul du vecteur d’état

% et la sortie du système en réponse à une entrée donnée.

SYS = SS(A,B,C,D); ( SS veut dire state space)



28 Mohamed AKKARI


% La représentation d'état discrète X(k+1)=FX(k)+GU(k);

% y(k)=CX(k),avec une période d’échantillonnage Te = 0.5s % est

calculée par :

SYSD = c2d(SYS,0.5) (c2d veut dire continue to discrete)

% les deux matrices F et G sont du système discret sont

% alors compilées. C et D demeurent inchangées,on trouve:

F=[0.943 0.4332 0.01936;-0.2166 0.726 0.06728;0.0009 -0.0067 0.6062 ];

G=[0.00034; 0.00193; 0.03934]; C=[1 0 0]; D=0;

% POUR LE CALCUL DE LA MATRICE K DE LA CONTRE REACTION, ON IMPOSE

D’ABORD LES NOUVEAUX PÔLES :

p = [0.4 0.2+0.4j 0.2-0.4j];

% La syntaxe « place » de Matlab permet le calcul direct

% des coefficients de la matrice de retour d’état K :

K = place(F,G,p)

% LA NOUVELLE MATRICE D’ETAT DU SYSTEME CORRIGE

Fc=F-G*K’; % [K’ signifie transposée de K]



29 Mohamed AKKARI


% POUR LE CALCUL DU GAIN ON SE REFERE A LA FORMULE (81)

g=1/(C*inv(eye(3)-Fc)*G)

% LE SYSTEME AINSI CORRIGE DEVIENT:

sysd=ss(Fc,G*g,C,D);

Ob=obsv(sysd); % vérification de l'observabilité:

det(Ob);

C0=ctrb(Fc,G*g); % vérification de la contrôlabilité

rank(C0) ;

% Tracé des courbes discrètes du système corrigé en

% réponse à un échelon.

T=0:1:20;

n=size(T,2);

U=ones(n,1); % Echelon unitaire d’entrée

[yd,T,xd]=lsim(sysd,U,T);

plot(T,yd),grid



30 Mohamed AKKARI


%CALCUL DE LA LOI DE COMMANDE COMM :

COMM = k*U'-K*xd'

% Tracé de l'évolution de la loi de commande:

stairs(T,U,'r'),grid

Courbes de l’évolution de la sortie du système non commandé

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Temps en s

Am

plitude

Réponse du système continu en boucle ouverte

Consigne

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Temps

Module

Réponse du système discret en boucle ouverte

Consigne

Commentaire I :



31 Mohamed AKKARI


On constate sur les deux premiers graphiques, que le système étudié, qu’il soit

présenté en analogique ou en discret, sans correction,fournit une réponse à un

échelon d’entrée de 100v, qui se stabilise respectivement après 10s et après 5s.

La précision est médiocre tant en continu qu’en discret puisque la sortie est loin

d’atteindre la consigne imposée.

Courbes de l’évolution de la sortie du système commandé

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Temps

Am

plit

ude

Réponse du système commandé par une réaction d'état

Consigne

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

Temps

Amplitude

Evolution de la commande



32 Mohamed AKKARI


Commentaire II :

Sur le premier graphique, on constate que la réponse indicielle du système discret

corrigé par une contre réaction d’état fournit une réponse indicielle qui se stabilise

à 4.5s environ c'est-à-dire qu’il possède une bonne dynamique. On constate

également que la sortie atteint la consigne imposée (échelon unitaire) et s’y

maintient (Bonne précision).

En outre, la réponse n’accuse pas de dépassement par rapport à la consigne donc

pas d’oscillations (Bonne stabilité).

Le graphique représentant l’évolution de la commande montre que celle –ci, pour

intervenir sur le système en vue de le corriger, réagit rapidement pendant une

seconde passant de 275v à -140v puis décroît pour se maintient à environ 30v dès

que le système atteint son régime permanent.

VIII-6: Commande par approche polynomiale (Régulateur RST)

[ T : Tracking ( poursuite ) ; S : Simplify ; R : Return]

VIII-6-1:Introduction

Même si 90% des boucles de régulation et asservissement utilisent une structure

PID classique, et bien que le PID soit relativement facile à calculer, il n’est pas

toujours évident d’obtenir de bonnes performances sur le processus commandé par

PID, surtout si ce processus :

▪ Possède un retard pur important,

▪ Ses caractéristiques dynamiques varient en cours de fonctionnement,

▪ Son ordre est supérieur à 2.

▪ Le dépassement de la consigne imposée n’est pas toléré.



33 Mohamed AKKARI


Le régulateur RST, est exploité dans une représentation « fonction de transfert »

pour permettre la commande d’un système dont la fonction de transfert en boucle

fermée Hf(z) sera modifiée par l’implantation de trois polynômes R(z), S(z) et T(z)

disposés dans une boucle d’asservissement tel que c’est présenté dans la figure 45

pour aboutir à une loi de commande qui tient compte des coefficients de ces

polynômes et satisfait les performances souhaitées. Ainsi le système commande

peut-il :

▪ Gérer la dynamique de poursuite (asservissement) et la dynamique de réjection

de perturbation (régulation) d’une manière indépendante.

▪ Spécifier indépendamment le temps de montée et le dépassement sur la

consigne.

▪ Tenir compte du retard pur du processus.

▪ Assurer une régulation robuste vis à vis :

- des variations du processus,

- des changements des points de consigne….,

)( 1−zS )( 1−

zT H0(z) Y Yc U +

-

Fig. 46 : Schéma bloc d’une commande

)( 1−zR



34 Mohamed AKKARI


VIII-6-2: Données sur le système à commander :

* Le processus discret est régi par une fonction de transfert en boucle ouverte

)(

)()(0

zA

zBzH = .

Notons que les fonctions de transfert du système étudié peuvent porter sur la

régulation de correspondance Hm(z) ( Par rapport à une consigne) ou sur la

régulation de maintien Gp(z) ( Par rapport à une perturbation).

Correspondance : )().()().(

)().(

)(

)()(

zSzBzRzA

zTzB

zA

zBzH

m

m

m+

== (83)

Maintien : )().()().(

)().()(

zSzBzRzA

zRzBzG p

+= (84)

Nous avons choisi de traiter ici uniquement le cas relatif à la régulation de

correspondance, soit Hm(z) .

* La loi de commande est par ailleurs régie par l’équation :

)()(

)()(

)(

)()( zY

zR

zSzY

zR

zTzU

c −= (85)

VIII-6-3: Données sur le modèle à poursuivre

* Les performances désirées en asservissement doivent être spécifiées dans un

modèle à poursuivre , imposé par l’utilisateur et qui, en boucle fermée, est

exprimé sous la forme d’une fraction rationnelle en z :)(

)(

)(

)()(

zY

zY

zA

zBzH

c

m

m

m ==

qu’on identifie à )().()().(

)().(

zSzBzRzA

zTzB

+

Et qu’on doit choisir avec grand soin :



35 Mohamed AKKARI


* Il faut d’abord que Hm(z) soit choisie de sorte que l’erreur statique 0)( =∞ε

soit nulle ( On peut, dans certains cas d’études, imposer également une condition

sur l’erreur de traînage. Il faut alors expliciter l’expression de )(∞vε en réponse

à une entrée rampe discrète.

L’erreur statique, découle de l’expression : )()()( kykyk c −=ε , et on a

)]()()[1(lim)]()([lim0)( 1 zYzYzkykyc

z

c

k −−=−==∞ →∞→ε (86)

or )()()( zHzYzY m

c=

et Yc(z) est une entrée unitaire 1

)(−

=z

zzY

c

En remplaçant dans (84), on trouve que Hm(z) doit vérifier :

1)1( =mH (87)

* Le dénominateur Am(z) de Hm(z) doit avoir comme zéros les valeurs imposées

par l’utilisateur en fonction de la dynamique qu’il aura choisie.

* Le numérateur Bm(z) contiendra les zéros non compensés du système comme on

le verra plus loin.

* L’implantation des trois polynômes R(z), S(z), et T(z) permet de calculer leurs

coefficients dans le but de satisfaire les performances qui peuvent porter sur la

précision, le taux de dépassement, la réponse indicielle, la durée de réglage, ou la

bande passante en boucle fermée … à partir donc de l’identification de

l’expression )().()().(

)().(

zSzBzRzA

zTzB

+ au modèle à poursuivre

)(

)()(

zA

zBzH

m

m

m = qui

résume ces performances .



36 Mohamed AKKARI


On suit les étapes suivantes pour le diagnostic du système étudié guidant vers le

choix des pôles à placer. Les conditions imposées aux degrés des polynômes et la

détermination des coefficients de ces polynômes sont alors liées au choix de ses

pôles et au choix de la dynamique ciblée:

VIII-6-4: Synthèse de dimensionnement des polynômes R S T

On traite d’abord la fonction de transfert en boucle ouverte du système initial

)(

)()(0

zA

zBzH = :

VIII-6-4-a On décompose B(z) :

)().()( zBzBzB −+= (88)

* B+(z) représente les zéros dont le module est inférieur à un

* B-(z) représente les zéros dont le module est supérieur à un

VIII-6-4-b: Le polynôme Bm(z) numérateur du modèle choisi Hm(z),

doit donc contenir B-(z) afin de s’assurer qu’aucun zéro

de H0(z) dont le module est supérieur à “ un ” ne sera

compensé.

On pose donc )().()('

zBzBzB mm

−= (89)

Le polynôme )('

zBm reste à déterminer.



37 Mohamed AKKARI


VIII-6-4-c:Pour que B+(z) soit compensé, la seule possibilité, pour

permettre une simplification du dénominateur de

)().()().(

)().(

zSzBzRzA

zTzB

+ est qu’il le soit par le polynôme R(z)

[ donc R(z) doit contenir B+(z) ].

)().()( ' zRzBzR += (90)

La fonction de transfert en boucle fermée relative au schéma de la figure 45

est donc: )().()().(

)().()(

zSzBzRzA

zTzBzH f

+=

Comme )(zH f doit être identifiée à

)(

)()(

zA

zBzH

m

m

m = , alors :

)().().()().().(

)().().(

)().()().(

)().(

)(

)()(

' zSzBzBzRzBzA

zTzBzB

zSzBzRzA

zTzB

zA

zBzH

m

m

m +−+

+−

+=

+==

Or )()()('

zBzBzB mm

−= donc )(.)()().(

)().(

)(

)().('

'

zSzBzRzA

zTzB

zA

zBzB

m

m

−

−−

+=

Ces deux fractions sont égales, mais on ne peut identifier respectivement leurs

numérateurs et leurs dénominateurs que si l’on introduit un polynôme A0(z) normé,

appelé polynôme observateur, et choisi par le concepteur.

Généralement αzzA =)(0 mais peut aussi être choisi par une expression

0

1

10 ...)( azazzA ++= −αα



38 Mohamed AKKARI


En tout cas A0(z) doit satisfaire une condition bien définie sur son degré comme il

sera exposé plus loin. Il faut également qu’impérativement les zéros de A0(z)

soient situés à l’intérieur du cercle unité (pour la stabilité).

)(.)()().(

)().(

)(

)(.

)(

)().('

0

0

'

zSzBzRzA

zTzB

zA

zA

zA

zBzB

m

m

−

−−

+= (91)

On peut alors établir :

)().()().()().( '

0zSzBzRzAzAzAm

−+= (92)

et en multipliant par B+(z) et en exploitant (88) et (89), on obtient

)().()().()().().(0

zSzBzRzAzAzAzB m +=+ (93)

Cette formule, appelée équation de Diophante, sera exploitée ultérieurement pour

le calcul des coefficients des polynômes.

En imposant aux deux numérateurs de (84) d’être égaux on aura aussi:

)().()(0

'zAzBzT m= (94)

VIII-6-4-d:On vérifie les contraintes sur le degré de chaque

polynôme pour assurer la causalité

( i.e : Faisabilité, conditionnée par le fait qu’une fraction

rationnelle doit avoir le degré de son dénominateur

strictement supérieur au degré de son numérateur):



39 Mohamed AKKARI


D°[A] ≥ D°[B]

D°[Am] - D°[ Bm] ≥ D°[A] - D°[ B]

D°[A0] ≥ 2. D°[ A] - D°[Am] - D°[ B+] -1 (95)

D°[ R] ≥ D°[S]

D°[ R] ≥ D°[T]

VIII-6-4-e:On impose les conditions sur l’égalité des degrés des polynômes:

D°[R] = D°[B+] + D°[A0] + D°[Am] - D°[A]

D°[S] = D°[A] -1 (96)

D°[T] = D°[A0] + D°[ B’ m]

VIII-6-4-f:On calcule les coefficients ri , sj et ak des polynômes R , S et A0

A

AAAazazazzA δ

δδδ ++++= −− ....)( 2

2

1

1

R

RRRrzrzrzzR δ

δδδ ++++= −− ....)( 2

2

1

1 (97)

B

BBBbzbzbzbzB δ

δδδ ++++= −− ....)( 2

2

1

10

S

SSSszszszszS δ

δδδ ++++= −− ....)( 2

2

1

10

0

00 ....)(1

10 A

ASAzzzA δ

δδ αα +++= −

En remplaçant A(z), R(z), B(z) , S(z) et A0 par leurs expressions dans

l’équation: )().().()().()().( 0 zAzAzBzSzBzRzA m

+=+



40 Mohamed AKKARI


et en opérant une identification des coefficients terme à terme selon les

puissances de z à )().().( 0 zAzAzB m

+ où A0 vérifie :

D°[A0] ≥ 2. D°[ A] - D°[Am] - D°[ B+] -1

B+ et Am étant connus, on peut déterminer les ri et les sj et ak .

Les coefficients du polynôme T sont déterminés à partir de l’équation (110)

Remarque 1 : si la fonction de transfert)(

)()(0

zA

zBzH = ne comporte pas

d’intégrateur, il faut que le polynôme R(z) contienne une intégration pour

permettre l’élimination de l’erreur statique :

(98)

Remarque 2 : Il est commode pour mener une simulation numérique, d’exprimer

les fonctions de transfert et les polynômes en z-1.

R(z-1) = r0 + r1 z-1 + …. + rn z

-n

S(z-1) = s0 + s1 z-1 + …. + sm z-m

T(z-1) = t0 + t1 z-1 + …. + tp z

-p

)()1).(()( zQzzBzR −= +



41 Mohamed AKKARI


Exemple 1:

Préliminaire : Soit un système asservi défini en boucle ouverte par sa fonction de

transfert 64.016.0

64.0)(

2 ++=

pppG

C’est un système de deuxième ordre caractérisé par une pulsation propre comme

8.00 =ω et un faible facteur d’amortissement 1.0=ξ

Il est fortement oscillatoire comme le montre sa réponse indicielle, tracée en

exploitant le logiciel Matlab :

G=tf(0.64,[1 0.16 0.64]); %tf: syntaxe transfert function

Gf=feedback(G,1) % Fonction de transfert en boucle ouverte

step(Gf),grid % step: réponse indicielle)

0 10 20 30 40 50 60 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Temps(s)

Amplitude

Step Response

Time (sec)

Amplitude

Réponse indicielle d'un 2° ordre fortement oscillatoire

La discrétisation de G(p) sur Matlab avec une période d’échantillonnage inférieure

à sa plus petite constante de temps, soit sT e 5.0= donne :



42 Mohamed AKKARI


H= c2d(G,0.5) (syntaxe du passage du continu au discret)

0.07688 z + 0.07485

H0(z) = ----------------------

z^2 - 1.771 z + 0.9231

Step(G,H,30),grid

Le système discret est aussi très oscillatoire comme le montre sa réponse

indicielle qu’on a superposée à la réponse indicielle continue pour comparer.

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (sec)

Amplitude

Superposition du système continu et système discret

Objectif : On veut calculer un régulateur R S T qui confère au système en

boucle fermée un comportement d’un deuxième ordre de avec 8.0=ξ et

4.10 =ω

Cet exemple est simple car H0(z) ne contient pas de zéros de module supérieur à

un.

A-1 : Utilisons la syntaxe Zpk(H0)



43 Mohamed AKKARI


Pour mettre H0(z) sous la forme : 9231.0771.1

)9735.0.(076881.0

)(

)()(

20+−

+==

zz

z

zA

zBzH

A-2 : Les zéros de H0(z) doivent être décomposés en zéros de modules

supérieurs à ‘ un ‘ )(zB−

, et en zéros de modules inférieurs à ‘ un’ )(zB+

9231.0771.1

)().(

)(

)(2 +−

=−+

zz

zBz

zA

zB B

On a )9735.0.(076881.0)( += zzB

Comme il n’y a pas de zéro de module supérieur à un, on peut être tenté de

poser 1)( =−zB ; )9735.0(076881.0)( +=+

zzB , or le zéro

9735.0−=z est jugé trop proche de « un » et peut être la source d’oscillations.

Pour éviter cet état de fait on préfère plutôt choisir :

)9735.0(076881.0)( +=− zzB qu’on ne compense pas et 1)( =+ zB

B) Construction de la fonction de transfert du modèle à poursuivre

)(

)()(

zA

zBzH

m

mm =

Détermination du dénominateur )(zAm :

)(zAm doit se comporter comme un système de deuxième ordre avec 8.0=ξ

4.10 =ω .

* On Calcule par Matlab un deuxième ordre analogique avec 8.0=ξ et 4.10 =ω



44 Mohamed AKKARI


[Nbf,Nbf]=ord2(1.4,0.8) % (Construction d’un deuxième ordre)

* On discrétise ce deuxième ordre avec Te =0.5s par la syntaxe :

zp=exp(0.5*roots(dbf)

afin de calculer les racines discrètes z1 et z2

On trouve z1 = 0.5216 + 0.2329i et z2 = 0.5216 - 0.2329i

* Calcul du dénominateur Am(z) :

Am=[1 -zp(1)-zp(2) zp(1)*zp(2)] ce qui donne :

2121

2

21 )())(()( zzzzzzzzzzzAm ++−=−−=

On souhaite obtenir un gain statique égal à 1, alors :

1)1(

)1()1( ==

m

mm

A

BH

Alors on choisit le numérateur gzBzBm ).()( =

D’où :

3263.00431.1

).9735.0(07688.0

)(

)()(

2 +−

+==

zz

gz

zA

zBzH

m

mm



45 Mohamed AKKARI


Et on impose :

13263.00431.11

).97357.01(07688.0

)1(

)1()1(

2=

+−

+==

g

A

BH

m

mm

D’où :

888.1=g

Finalement : 3263.00431.1

)9735.0(145.0

)(

)()(

2 +−

+==

zz

z

zA

zBzH

m

mm

C) Vérification des conditions sur les degrés de R, S, T et A0 :

C -1 )]([)]([)]([)]([ zBDzADzBDzAD mm

°°°° −≥−

C -2 gzzBzBzBm ).9735.0(07688.0)().()( +== ∗−

C -3 2)]([ =° zAD m

D) Identification des polynômes R, S, T et du polynôme d’observation A0

D -1

1)]([)]([)]([2)]([ 0 −−−≥ +°°°°zBDzADzADzAD m

11024)]([ 0 =−−−≥°zAD donc zzA =)(0 ( Polynôme normé )

D -2



46 Mohamed AKKARI


1)]([)]([)]([)]([ 0 =−+= °°°° zADzADzADzRD m

1]212)]([ =−+=°zRD Donc 0)( rzzR += (Normé)

D -3 11)]([)]([ =−= °° zADzSD alors 01)( szszS +=

E : Calcul des coefficients des polynômes R, S, et T

On exploite l’égalité de Diophante pour calculer r0 et s0:

)().()().()().( 0 zSzBzRzAzAzAm

−+=

=+− zzz ).3263.00431.1( 2

))(9735.0(076881.0))(9231.0771.1( 010

2szszrzzz +++++−

En identifiant terme à terme on trouve :

365.0)( += zzR

77.453.4)( +−= zzS

)(.)().1()( 00

' zAgzABzT m ==

Or )1(

)1()1('

−=

B

AB m

m (Car 1)1(

)1().1(

)1(

)1()1(

'

===−

m

m

m

m

mA

BB

A

BH )

86.115.0

28.0)1(

' ==mB

D’où : zzT 86.1)( =

D’où la loi de commande numérique : )()(

)()(

)(

)()( zY

zR

zSzY

zR

zTzU C −=



47 Mohamed AKKARI


A.N : )(365.0

77.453.4)(

365.0

86.1)( zY

z

zzY

z

zzU

C

+

+−−

+=

D’où l’équation récurrente, sous forme d’algorithme aisément programmable:

11 77.453.486.1365.0 −− −++−= kk

c

kkk yyyuu

On constate sur le schéma ci-dessous, obtenu par simulation numérique, la

performance sur la réponse indicielle du système corrigé, qui atteint sa consigne

imposée en 8 s avec un très faible dépassement, performance qu’on peut apprécier

à sa juste valeur, comparée à celle de la réponse indicielle du système non corrigé :

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Temps

Am

plitude

Step Response

Time (sec)

Am

plitude

Réponseindicielle du système compensé par RST

Répons indicielle du système initial (trés oscillatoire)

Exemple 2: soit le système défini par sa fonction discrète en boucle ouverte :

5.08.12.2

)3.0)(2(05.0

)(

)()(

230−+−

++==

zzz

zz

zA

zBzH

Diagnostic :

1° Ce système contient un zéro = -2 situé en dehors du disque unité.

2° par la syntaxe zpk(H0) on obtient sa mise en facteur de H0(z).



48 Mohamed AKKARI


)8565.0616.1)(5838.0(

)3.0)(2(05.0

)(

)()(

20+−−

++==

zzz

zz

zA

zBzH

A partir de cette expression on déduit que le système a un pôle z1 = 0.5838 et

deux pôles conjugués Z2/3 = 0.8080 ±0.4513i dont le module égal à 0.9255 est

jugé très proche de l’unité.

3° Par ailleurs, sa réponse indicielle fait apparaître un caractère très oscillatoire

avec un dépassement supérieur à 40% et une précision médiocre.

Step Response

Time (sec)

Am

plitude

0 10 20 30 40 50 60 700

0.5

1

1.5

2

2.5

3

System: H

Time (sec): 45.2

Amplitude: 2

System: H

Peak amplitude: 2.76

Overshoot (%): 41.4

At time (sec): 8

System: H

Rise Time (sec): 3.14

On se propose de calculer un régulateur RST qui permet de placer les pôles à

z1=0.3 et Z2/3 = 0.2 ± 0.3i afin d’améliorer les performances de ce système et

d’établir la loi de commande correspondante.

Démarches :

1° Définition du modèle à poursuivre :

On décompose le numérateur de H0(z)



49 Mohamed AKKARI


)2)(3.0(05.0)().()( ++== −+zzzBzBzB

2)( +=−zzB ne doit pas être compensé, donc doit se trouver dans le

numérateur du système à poursuivre Hm(z)

)().2()('

zBzzB mm +=

Le dénominateur de Hm(z) doit être constitué des pôles choisis par le concepteur

z1=0.3 et Z2/3 = 0.2 ± 0.3i

)3.02.0)(3.02.0)(3.0()( izizzzAm +−−−−=

Donc )3.02.0)(3.02.0)(3.0(

)(')2()(

izizz

zBzzH m

m+−−−−

+=

Pour avoir un gain statique unitaire, il faut que :

1)3.02.01)(3.02.01)(3.01(

)21()1( =

+−−−−

+=

ii

kH m d’où 17.0=k

)3.02.0)(3.02.0)(3.0(

)2(17.0)(

izizz

zzH m

+−−−−

+=

2313)]([)]([)]([)]([ −−=−≥− °°°°fzBDzADzBDzAD mm est satisfaite

2° Définition des polynômes:

2°-1 : polynôme d’observation A0(z)

On a D°[A0] ≥ 2. D°[ A] - D°[Am] - D°[ B+] -1 = 2*3 – 3 – 1= 2

On choisit alors un polynôme d’ordre deux normé.



50 Mohamed AKKARI


A0(z) = z2 + a1z + a0 qui doit toutefois avoir ses zéros à l’intérieur du disque unité.

2°-2 : Polynôme R (z)

On constate que )(0 zH ne contient pas d’intégration, pour éliminer l’erreur

statique il faut alors que R(z) en contienne.

Comme )().()( 'zRzBzR

+= on doit donc avoir :

1..);()1).(()( =−= + ααaveczQzzBzR d’où )().1).(3.0(055.0)( zQzzzR −+=

Or, D°[R] = D°[B+] + D°[A0] + D°[Am] - D°[A]=1 +3 – 2 + 3 – 3=2

Donc D°[Q]=1 qui doit être un polynôme d’ordre deux normé.

Alors ))(1).(3.0(055.0)( 0qzzzzR +−+=

2°- 3 : Polynôme S(z)

De l’équation de Diophante )().()().()().( 1

0zSzBzRzAzAzAm

−+=

on peut déduire le degré de S(z) :

01)( szszS +=

2°- 4 : Polynôme T(z)

0

' .)( ABzT m= or 4.3)2(05.0

)2(17.0' =+

+==

−z

z

B

BB m

m

)(4.3.)( 00

'zAABzT m ==

3° Calcul des coefficients des polynômes



51 Mohamed AKKARI


On remplace dans )().()().()().( 1

0zSzBzRzAzAzAm

−+= chaque polynôme par

son expression :

))(3.02.0)(3.02.0)(3.0( 01

2 azazizizz +++−−−− =

))(1)(3.0(055.0*)5.08.12.2( 0

23qzzzzzz +−+−+− + ))(2( 01 szsz ++

En développant les deux membres de cette égalité et en identifiant les termes

affectés au mêmes puissances en z, on détermine les coefficients

a0 a1 s0 s1 q0

La réponse indicielle, portée dans le schéma ci-dessous montre que le système ainsi

commandé n’est plus oscillatoire et qu’en plus il atteint sa consigne sans

dépassement au bout de 5s.

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plitude

les systèmes asservis linéaires échantillonnés - uvt · aboutir au savoir faire relatif au...

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