latihan uts

5/28/2018 Latihan UTS

1/95

DIKTAT MATA KULIAH DASAR TEKNIK

2010 - 2011

Kalkulus - Aljabar Linier- Fisika Mekanika -

Fisika Panas - Fisika Listrik Magnet - Fisika

Gelombang Optik

Piptek BEM FTUI 2010


2/95

Diktat 2010

PIptek BEM FT UI 2010

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT, berkat izin dan ridha-Nya diktat kuliah ini dapat

dipersembahkan kepada rekan-rekan teknik satu perjuangan dan satu cita, menggapai

kesuksesan akademik di bumi Fakultas Teknik Universitas Indonesia.

Diktat Mata Kuliah Dasar Teknik 2010-2011 ini berhasil disusun atas kerja sama dan

partisipasi segenap pihak. Untuk itu, diucapkan terima kasih kepada :

- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Sipil, TrianandaPangestu (S 08) dkk

- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Mesin, GuniRydhanta Nim (M 08) dkk

- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Elektro, KurniawanWidhi Permana (E 08) dkk

- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Metalurgi danMaterial, M. Ekaditya Albar (Mt 08) dkk

- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Arsitektur, Imaniar Sofia(A 08) dkk

- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Kimia, IlliyinBudianta (TK 08) dkk

- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Industri, StefanDarmansyah (TI 08) dkk

- Pihak dekanat FTUIRekan Piptek BEM FTUI 2010 : Maisarah Rizky (S08),Novika Ginanto (E08), Arif

Noor S (E08), Mirna Fauziah (S08), Winny Laura Hutagalung (L08), Terry

Atmajaya (Mt08), Nur Muchamad Arifin (TK08), Nofaini (E09), Atikah Mutia

(L08),

- dan seluruh pihak yang telah menyukseskan pengadaan diktat ini.

Dari kami, Tri Cahyo Wibowo M07 selaku Kepala Bidang PIPTEK BEM FTUI 2010 dan

Mohammad Gavin Rhenaldi R E08 selaku wakabid, mengharapkan diktat ini dapat

membantu kelancaran rekan-rekan semua dalam menimba ilmu di Fakultas Teknik

Universitas Indonesia.

Hidup Mahasiswa!!


3/95

Diktat 2010



4/95

Diktat 2010



5/95

Diktat 2010



6/95

Diktat 2010



7/95

Diktat 2010



8/95

Diktat 2010



9/95

Diktat 2010



10/95

Diktat 2010



11/95

Diktat 2010



12/95

Diktat 2010



13/95

Diktat 2010



14/95

Diktat 2010



15/95

Diktat 2010



16/95

Diktat 2010



17/95

Diktat 2010


UJIAN AKHIR SEMESTER

Mata Kuliah : Kalkulus

Hari / Tanggal : Rabu, 19 Desember 2007

Waktu : 10.0011.50 WIB

Jurusan : Teknik Kimia

Soal

1. Tentukan2. Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh , , dan . Hitunglah luasnya!3. a) Hitunglah volume benda putar yang terbentuk apabila daerah pada soal 1 diputar terhadap

sumbu x!

b) Berikan perumusan bentuk integral untuk menentukan volume benda putar yang terbentuk

apabila daerah tersebut diputar terhadap garis x = 2!

4. Tentukanlah nilai limit berikut ini:a)b)

5. a) Fungsi bernilai 0 di (0,0). Apakah fungsi tersebut kontinu di (0,0)?

b) Jika kontinu di seluruh bidang, tentukan fungsi !

c) Tentukan nilai6. Misalkan , , , , tentukanlah

!

7.

Harga bahan untuk pembuatan alas dari kotak persegi panjang adalah 3 kali lipat harga bahanuntuk pembuatan sisi kotak; untuk per m2. Harga bahan untuk atap sama dengan harga bahan

untuk sisi, per m2. Tentukanlah volume maksimum kotak yang terbentuk jika harga bahan untuk

alas adalah $0.6 per m2, dan total biaya yang tersedia adalah $12!


18/95

Diktat 2010


Jawaban

5. c) Misal

Karena hasilnya adalah , maka dapat digunakan dalil lHopital menjadi:

6.


19/95

Diktat 2010


UJIAN TENGAH SEMESTER

Mata Kuliah : Kalkulus

Hari / Tanggal : Kamis, 25 Oktober 2007

Waktu : 90 Menit

Jurusan : Arsitektur, Mesin dan Perkapalan

Soal

1. Diperlukan sebuah kotak terbuka dengan kapasitas 36000 m3. Jika panjang kotak harus dua kalilebarnya, berapa ukuran kotak agar bahan yang diperlukan untuk membuatnya sesedikit mungkin?

2. Tentukan nilai a dan b supaya fungsi di bawah ini kontinu

3. Carilah hasil dari integral di bawah ini:a.b.

4. Pada selang [0,6], sketsakan grafik suatu fungsi f yang memenuhi kondisi berikut:f(0) = f(4) = 1; f(2) = 2; f(6) = 0;

f(x) > 0 pada (0,2); f(x) < 0 pada (2,4) (4,6);

f(2) = f(4) = 0; f(x) > 0 pada (0,1) (3,4);

f(x) < 0 pada (1,3) (4,6).

a. Tentukan titik maksimum dan minimum global dari fb. Selidiki apakah f mempunyai titik belok

5. Carilah dari soal berikut:a.b.


20/95

Diktat 2010



21/95

Diktat 2010



Mata Kuliah : Aljabar Linier

Hari / Tanggal : Rabu, 31 Mei 2006

Waktu : 120 menit (Ujian : pilih 5 soal)

SOAL :

1. S = {(2, -1, 0, 1), (1, 2, 1, 1), (1, -1, 5, 2), (-1, -1, 2, 0)}Jika V adalah ruang vector yang direntang oleh S, maka carilah dimensi basis untuk V

2. Misalkan {v1, v2, v3) adalah basis untuk ruang vector V. Tunjukkan bahwa {u1, u2, u3} jugamerupakan basis untuk V dimana u1= v1, u2 = v1 + v2, dan u3= v1+v2+v3

3. Diketahui M22adalah ruang vector. Apakah M22dengan fungsi = Tr (BTA) umtuksetiap pasang matriks A dan B merupakan ruang hasil kali dalam?

4. B = {(2, 3), (-1, 2)}C = {(-1, -1), (2, 0)}

Jika [u]B= (3, 3)

a. Carilah [u]Cb. Carilah matriks transisi dari B ke C

5. A =

a. Cari nilai eigen untuk A.b. Apakah A dapat ddiagonalisasi? Jika bias, carilah matriks P yang mendiagonalisasi

A.

c. Apakah A dapat didiagonalisasi secara orthogonal? Jika bias, carilah matriks Q yangmendiagonalisasi A secara orthogonal.

6. Diketahui vector eigen untuk masing-masing adalah sebagai berikut := 0 ; = 2 ; = 4

Tentukan A2 !

I


22/95

Diktat 2010


7. Misalkan T : M22 M22adalah suatu transformasi yang didefinisikan sebagaiT (A) = A + AT, dimana A =

a. Tunjukkan bahwa T adalah transformasi linier.b. Misalkan B adalah sembarang anggota dari M22sedemikian sehingga BT= B. carilah

matriks A di M22sedemikian sehingga T (A) = B

c. Tunjukkan bahwa range dari T adalah himpunan B di M22yang memiliki sifatBT= B

d. Tentukan kernel dari T

8. Misalkan T : P2 P3adalah suatu transformasi linier yang didefinisikan sebagaiT(p(x)) = x p (x3), dimana p(x) = c0+ c1x + c2x

2.

B = {1, x, x} adalah basis untuk P2, = {1, x, x2, x3} adalah basis untuk P3

a. Tentukan [T]B Bb. Jika q(x) = 2 + xx2, maka carilah [T(q(x))]B


23/95

Diktat 2010


JAWABAN :

1. S = {(2, -1, 0, 1), (1, 2, 1, 1), (1, -1, 5, 2), (-1, -1, 2, 0)}

Karena vektor-vektor yang ada di Sdisusun kolom, maka basis untuk Vadalah baris kolom.

Baris V = (2, -1, 0, 1), (1, 2, 1, 1), (1, -1, 5, 2)

Dimensi : 3

2. S = { 1, 2, 3} baris untuk ruang V

T = { 1, 2, 3} juga merupakan baris untuk V dimana u1= v1, u2 = v1 + v2, dan u3= v1+v2+v3

S = { 1, 2, 3} basis untuk ruang V, maka :

i. S bebas linierii. S merentang V

Jika kita mengacu pada S dengan jumlah 3 vector, maka bias diasumsikan . dan 3vektor

pada R3, dimana determinan matriksnya 0

Maka,k1 1 + k2 2 + k3 3 = .. (i)

k1k2k3 = 0

misal :

1 = (a, b, c)

2 = (d, e, f)

dimana salah satu vektornya bukan merupakan

kombinasi vector lainnya


24/95

Diktat 2010


3 = (g, h, i)

A= dimana 0 . (ii)

aei + dhc + gbfcegfhaibd 0

aei + dhc + gbf ceg + fha + ibd

T = { 1, 2, 3} = { 1 , ( 1 +

2 ), ( 1 +

2 + 3 )}

Kita harus buktikan { 1, 2, 3} bebas linier.l1 1+ l2 2+ l3 3=

l1 1 + l2 + l3( 1 + 2 + 3 )=

(l1 + l2 + l3) 1(l2 + l3) 2+ l3 3=

Dari pers (i) bisa terlihat :

l1 + l2 + l3= 0 ; l2 + l3= 0 ; l3 = 0

maka,l2= - l3= 0

l1= - l2 - l3= 0

Jadi terbuktil1 = l2 = l3 = 0

Dengam demikian, syarat bebas linier terpenuhi

S merentang Vk1 1 + k2 2 + k3 3 = b ; b = konstanta 0 .. (iii)

ada nilai untuk k1, k2, dan k3

tinjauan untuk{ 1, 2, 3}

l1 1+ l2 2+ l3 3= c ; c = konstanta 0

l1 1 + l2 + l3( 1 + 2 + 3 )= c

(l1 + l2 + l3) 1(l2 + l3) 2+ l3 3= c

Dari pers. (iii) dapat dinyatakan

l1 + l2 + l3= memiliki nilai

l2 + l3 = memiliki nilai

l3= memiliki nilai

Jadi, l1, l2 dan l3memiliki nilai yang dapat merentangkan ruang vector V (sembarang

titik di ruang vector V)


25/95

Diktat 2010


3. M2x2suatu ruang vectorApakah = Tr (BTA) ruang hasil kali dalam?

Jawab : Untuk menentukan masuk ruang hasil dalam / tidak harus terpenuhi syarat2 :

i.( . ) = ( , )ii.( + , ) = ( ) + ( , )

iii.(k , ) = k ( , )iv.( , ) 0

Dimana ( , ) = 0 =

Kita misalkan : A = ; B = ; AT= ; BT ;

BT. A = =

AT. B = =

i. = Tr (BTA)= Tr = +

= Tr (ATB)

= +

Ternyata = , syarat I terpenuhi

ii. = +

A + B = ; misal C = CT=

CT. A = =

CT. B = =

= Tr (C

T

A) =


26/95

Diktat 2010


= Tr (CTB) = + +

=

= Tr (CT(A+B))

CT(A+B) = =

Tr (CT(A+B)) = +

Jadi, = + , syarat II terpenuhi

iii. k A == Tr (BT. k A)

(BT. k A) = =

= +

= k (ae + cg + bf + dh)

= k BT. A = k.

Syarat III terpenuhi

iv. 0= Tr (A

T

. A)AT. A = =

= a2+ b2+ c2+ d2 0

Syarat tambahan = 0 A = 0

Dari = a2+ b2+ c2+ d2, akan = 0 jika A =

Syarat IV terpenuhi

Karena semua syarat terpenuhi, maka M2x2merupakan ruang hasil kali dalam.

4. B = {(2, 3), (-1, 2)}C = {(-1, -1), (2, 0)}

[u]B= (3, 3) = (k, l)

a) Carilah [u]C= (m, n)[ ] = k + l


27/95

Diktat 2010


= 3 + 3

[ ] =

[u]C= (m, n)

[u] = m + n

m + n

-m + 2n = 3 2n = 3+m

-m = 15 n = = = -6

m = -15

[u]C= (m, n) = (-15, -6)

Jadi, [u]C= (-15, -6)

b) Martriks transisi dari B ke CB . [u]B = C [u]C

=

-1 =

P = matriks transisi dari B ke C

P =

=

=

Jadi matriks transisi dari B ke C adalah P =


28/95

Diktat 2010


5. A =a. carilah nilai eigen untuk A

(A - I) x = 0

(A - I) = - =

(1 - )2= (1 - 2 + 2- + 2 2- 3) = - 3+ 3 2- 3 +1

= 0

(1- )(1- )(1- ) + 0 + 0((1- ) + 0 + 0) = 0

- 3+ 3 2- 3 +1 + 4- 4 = 0

3- 3 2 +3 = 0

Metode Horner

1 1 -3 -1 3

1 -2 -3

-1 1 -2 -3 0

-1 3

3 1 -3 0

3

1 0

( - 1) ( + 1) ( - 3) = 0

= 1; = -1; dan = 3

Jadi nilai eigen A adalah = 1; = -1; dan = 3

b. apakah A dapat didiagonalisasi

i. = 1(A - I) x = 0 2 x1= 0 x1= 0

= 0 2 x3 = 0 x3= 0

x2= t (bebas sembarang)


29/95

Diktat 2010


x = = t

P1 2 x1 = -2 x3 (x3= t)

x1= -t

ii. = -1(A - I) x = 0

= 0 2 x2 = 0 x20

x = = t

P2

iii. = 3(A - I) x = 0 -2 x1+2 x3= 0 x1= x3

= 0 x3 = t x1=t

-2x 2= 0 x2= 0

x =

= t

P3

P = matriks yang mendiagonalisasi

P =

P =

Jadi, matriks A dapat didiagonalisasi dengan matriks yang mendiagonalkannya, yaitu P =


30/95

Diktat 2010


c. Apakah A dapat didiagonalisasi secara orthogonal?

Syarat diagonalisasi secara orthogonal adalah :

- A = n x n- Asimetris, AT= A

Dapat kita lihat disini A = AT= , jadi A simetris, Anxn. Sehingga A dapat

didiagonalisasi secara orthogonal.

6. = 0 ; = 2 ; = 4

Misal : A =

A - I =

(A - I) x = 0

1= 0; = 0 a=0; d=0; g=0 ; b, c, e, f, h, i = sembarang

2= 2; = 0 b=c ; c=f+2 ; h=i-2

3= 4; = 0 b+c=0; 2c=0; c=0;b=0

f= 1; e= 3; h=1; i=3

A = ; A2= =


31/95

Diktat 2010


7. T: M22 M22T(A) = A + AT; A = ; AT =

a. Tunjukkan bahwa T adalah transformasi linier.

Untuk T sebagai transf.linier, harus memenuhi syarat :

- T ( + ) = T ( ) + T (

)

- T (k ) = k T (

)

A = ; AT =

B = ; BT =

i. T(A) = A + AT= + =

T(B) = B + BT = + =

T(A) + T(B) = + =

A + B = ; (A+B)T=

T (A+B) = (A+B) + (A+B)T= + =

Jadi, T(A) + T(B) = T (A+B) ; syarat I terpenuhi

ii. k (A) = k =[k (A)]T=

T (k A) = [k(A)] + [k(A)]T= + =

T(A) = A + AT=

k T(A) =

Jadi, k T(A) = T (k A)

Sehingga T adalah transformasi linier


32/95

Diktat 2010


b. Misal : R sembarang angora M22sedemikian sehingga BT= B

B = BT= B

T(A) = B

A + AT=

@ kondisi I : Jika A juga memiliki sifat AT= A, maka A + AT= 2AT= 2A

2 A =

A =

@ kondisi II : Jika A tidak simetris

T(A) = B A = T-1(B)

= (B + BT)-1

A = (2B)-1

c. Tunjukkan bahwa range dari T adalah himpunan

T(A) = B

A + AT= B

= B BT= ; B=BT

Range/hasil dari T

Jadi, terlihat bahwa range dari T adalah himpunan B di M22bersifat BT= B


33/95

Diktat 2010




Hari / Tanggal : Rabu, 6 Juni 2007

Waktu : 110 menit (Ujian : Pilih 4 soal)

SOAL :

1. Diketahui

a. Tentukan basis untuk ruang kolom Ab. Tentukan basis untuk ruang kolom ATc. Tentukan basis untuk ruang kosong AT

2. V adalah ruang vektor yang direntang oleh ,, , dan

a. Tentukan basis untuk Vb. Tentukan basis untuk

3. Tentukan dekomposisi QR dari

4. Diketahui

a. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari Ab. Apakah A bisa didiagonalisasi secara ortogonal? Jika bisa, maka tentukan matriks yang

mendiagonalisasi A secara orthogonal.

5. Suatu transformasi T : P2 P2adalah transformasi linier, dimana

, adalah basis dari P2

a. Tentukan matriks transisi dari B ke Cb. Tentukan matriks trnsformasi [T]C nc. Jika , tentukan [T(u)]B

II


34/95

Diktat 2010


6. Misalkan T : P1 R2, dimana T(p(x)) = (p(0),p(1)).a. Hitung T(1-2x)b. Apakah T merupakan transformasi linier? Jelaskan!c. Apakah T satu-satu? Jelaskan!

JAWABAN :

1.

AT=

a. baris ruang vector kolom A = baris ruang baris AT

= (2, -3, 4, 1), (6, 3, 12, 1) dan (-1, 0, -2,0)

b. baris ruang kolom AT= (2, 6, -1, 3), (-3, 3, 0, 6) dan (1, 1, 0, 2)

c. baris ruang kosong

=

x3= t;x4= 0;

x2= - x4= 0; = =

x1-3x2+2x3+x4= 0;

x1= -2x2=-2t

Basisnya = (-2, 0, 1, 0)


35/95

Diktat 2010


2. V = ), (

), ), (

)}

Jika p(x) = a0+a1x+a2x2+.+ anx

n

P(x) = =

Sehingga V = {(0, 6, 2, 1), (-1, 6, 0, 3), (-1, 6, 0, 3), (1, -4, 0, -2), (1, 2, 2, -1)}

Basis untuk V ? kita susun secara baris

V =

a.basis V = basis dari ruang baris vector V yaitu : {(0, 6, 2, 1), (-1, 6, 0, 3), (1, -4, 0, -2)}ataudapat dituliskan secara kuadatik :

6x + 2x2+ x3+, -1+ 6x + 3x3, 1 -4x -2x3

b.Baris V = baris ruang kosong V

=

x1 +2 x2 + 2 x3 -x4= 0

x2 + x3+ x4= 0 maka ; = = t

x3 - x4= 0 basis = (0, - , 1, 1)

x4 = x3 = t = - x + x2+ x3

x2+ (t) + (t) = 0 x2= -1/2 t

x1+2 (-1/2t) + 2 (t)t = 0

x1=0


36/95

Diktat 2010


3. B =

Q =

Gram-Schmidt :q1= (1, 2, 3)

q2= (1, 0, 2)Projq1(1, 0, 2)

= (1, 0, 2) (1,2,3)

= (1, 0, 2) - (1,2,3)

= (1, 0, 2)( , 1, )

= ( )

q3 = (-2,1,0)Projq1(-2,1,0) + Projq2(-2,1,0)

= (-2,1,0) - (1,2,3) +

= (-2,1,0) - ( 0 + )

= (-2,1,0) +

= (-2,1,0) +

=

a1 = (1,2,3) = ( )

a2= ( ) = ( , , )

a3= =

R = =

= =


37/95

Diktat 2010


Q R

B =

6. T : P1 R2(T(p(x) = p(0), p(1))p(x) = a0 + a1x + a2x

2+..+ anxn

a.T(1 - 2x) = (1- 2(0), (1 - 2) = (1, -1)

b. Syarat T transformasi linier :

- T ( + ) = T ( ) + T (

)

- T (k ) = k T (

)

i. p(x) = a1+ b1x

q (x) = a2+ b2x

(p+q) (x) = (a1+ a2) + (b1 + b2)x

T(p(x)) = (a1, a1+b1)

T(q(x)) = (a2, a2+b2)

T(p(x)) + T(q(x)) = (a1+a2, a1+b1, a2+b2)

T (p+q) (x) = (a1+a2, a1+b1, a2+b2)

T (p(x)) +(q (x)) = T(p+q) (x)

ii. k p(x) = k a1+ k b1x

T (k p(x)) = (k a1, k a1+k b1)

k(T(p(x))) = (k a1, k (a1+b1))

T k(p(x)) = k (T(p(x)))

Karena T memenuhi kedua syarat, maka T merupaka transformasi linier

c. T (p(x)) = (a1, a1+b1)

T (p(x)) = T . p(x)


38/95

Diktat 2010


Jadi, matriks transformasinya :

Jika T satu-satu dapat dibalik (invertibel) Det 0

T-1= =

Karena T invertible (Det 0), maka T satu-satu


39/95

Diktat 2010




Hari / Tanggal : Selasa,3 Juni 2008

Waktu : 110 menit

SOAL :

1. (20)Matriks bujur sangkar A= [aij] dengan entri baris ke-I dan kolom ke-j ditentukansebagai berikut aij= . Tentukan ruang baris dan baris kosong dari

matriks A yang berukuran 3 x 3!

2. (25) Ruang hasil kali dalam R3didefinisikan oleh = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3Gunakan proses Gram-Selmidt untuk mendapatkan basis yang orthonormal dari {u1= (1, 1,

1), u2= (1, 1, 0), u3= (1, 0, 0)}!

3. (25)Tentukanlah matriks yang mendiagonalisasi A = ! Kemudian tentukanlahA-1000!

4. (30)Didefinisikan transformasi linier T : P2 P2sebagai berikut :T(a0+a1x+a2x

2

) = a0+a1(x-1)+a2(x-1)2

. Tentukanlah

a. A, matriks yang mewakili transformasi tersebut!b. [ T ]B, matriks transformasi linier umum relatif terhadap basis B = {1, x, x2}!c. T-1 (1+x2)

JAWABAN :

1. =

Ruang baris = ,

III


40/95

Diktat 2010


x3= t; x2=0; x1= -t

= t

Ruang kosong = Pengali Parameter =

2. Proses Gram-Schmidt = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3u3= v1= 1, 0, 0

v2= u2= Projv1u2

= (1, 1, 0) (1, 0, 0)

= (1, 1, 0) - (1, 0, 0)

= (0, 1, 0)

v3= u1Projv1u1Projv2u1

= (1, 1, 1) - (1, 0, 0) - (0, 1, 0)

= (1, 1, 1)(1, 0, 0) - (0, 1, 0)

= (0, 0, 1)

Maka baris orthogonal = =

Baris ortonormalnya = =

=

3. =

= 0

k1= 1; k2= k3 = -1

= 0


41/95

Diktat 2010


1:

Vector eigen :

2= 3:

x2= t ; x3= s ; x1= t - 4s

= = t + s

Vector eigen

P =

P I I P-1

P-1A P = D

P-1 A-1000P = D-1000

A-1000 = P D-1000P-1

=

=

4. T(a0+a1x+a2x2) = a0+a1(x-1)+a2(x-1)2= a0a1+a2+a1x - 2a2x + a2x2= a0a1+a2+a1x - 2a2x + a2x

2


42/95

Diktat 2010


a.Maka, matriks yang mewakili T =b.k1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 0) = 1, 0, 0

k1 = 1; k2= 0; k3= 0

k1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 0) = -1, 1, 0

k1 = -1; k2= 1; k3= 0

k1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 0) = 1,-2, 1

k1 = 1; k2= -2; k3= 1

[ T ]B =

c.T-1(1+x)

T-1

T-1(1+x2) = =

= 2 + 2x +x2


43/95

Diktat 2010





Waktu : 120 menit

1. Misalkan R adalah himpunan bilangan riil dengan operasi penjumlahan x+ y = max (x,y)dan perkalian scalar standar pada bilangan riil. Apakah dengan operasi di atas R

merupakan ruang vector? Jelaskan jawaban anda.

2. Diketahui matriks A =

a. tentukan basis dan dimensi ruang baris A

b. tentukan basis dan dimensi ruang kolom dari A

c. tentukan basis dan dimensi ruang null A

3. Diketahui matriks B =a. tentukan nilai eigen dan vector eigen dari B

b. Apakah B dapat didiagonalisasi secara orthogonal? Jika iya, tentukan matriks P yang

mendiagonalisasi B secara orthogonal.

4. Misalkan T : P2 P3, didefinisikan sebagai berikut :T (p(x)) = x

3p

(0) + x

2p(0)

a. Apakah T transformasi linier?

b. Apakah T transformasi kinier satu-satu

c. Tentukan basis untuk kernel (T)?

d. Jikap(x) = 1 + x + x2, tentukan T (p(x))secara langsung dan tidak langsung.

IV


44/95

Diktat 2010





Waktu : 100 menit (Ujian : pilih 5 nomor)

1.Apakah himpunan semua pasangan bilangan riel (x,y) dengan operasi penjumlahan (x,y)+(x,y) = (x+x+1, y+y+1) dan perkalian scalar k (x,y) = (kx, ky) merupakan ruang vector?

Tunjukkan!

2.Diberikan A =a.tentukan basis untuk ruang baris ; ruang kolom; dan ruang null.b. tentukan rank dan nullitas dari A

3. adalah inner product yang dibangkitkan oleh matriks A = .Gunakan inner product tersebut untuk menghitung , ), dan sudut antara

jika

4.Carilah suatu matriks P yang mendiagonalkan A secara orthogonal, kemudian tentukanbila =

5.Misalkan T : P2 P3adalah suatu transformasi linier yang didefinisikan oleh; yaitu

a. cari bila dan } masing-masing adalah basis-basis

untuk

b. Gunakan prosedur tak langsung untuk menghitung

c.Cek hasil yang diperoleh pada (b) dengan menghitung secara langsung.

6.Misalkan didefinisikan oleh =adalah baris-baris untuk dimana :

, cari :

a. Matriks Transformasi dan

b.Tunjukkan bahwa dan similar

V


45/95

Diktat 2010





Waktu : 90 menit

1.Misalkan W adalah suatu bidang dengan persamaana. Carilah basis ortonormal dari

b. Hitung dimensi dari

c. Carilah matriks baku untuk proyeksi orthogonal pada

d. Hitung jarak dari titik terhadap bidang !

2.Misalkan = . Hitunglah S!

3.Misalkan dengana. Jika B basis baku dari carilah

b. Carilah rank dan nulitas dari T

c. Apakah T 1-1? Jelaskan!

d. Carilah nilai eigen dan vector eigen dari T

4.Misalkan . Carilah dekomposisi QR dan LU dari matriks A!

VI


46/95

Diktat 2010



47/95

Diktat 2010


UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008/2009

Mata Kuliah : Fisika Panas

Hari / Tanggal : Selasa, 31 Maret 2009

Waktu : 90 Menit

Jurusan : Teknik Metalurgi B

Soal

1. Seorang teknisi diminta untuk menggunakan sebuah termometer yang tidak diketahui skalanya.Lalu dia melakukan pengukuran pada air yang membeku dan didapat nilai -15 dan ketika

dilakukan pengukuran pada air mendidih didapat nilai +60. Untuk membuat termometer tersebutdapat terbaca, sang engineer membuat persamaan konversi linier. Jika dia ingin mengkonversi ke

dalam skala Celcius, tentukanlah persamaan konversi linier yang dibuat sang engineer.

2. Sebuah kawat baja dan kawat tembaga dengan diameter 2 mm dihubungkan ujungnya. Pada suhuruang 40C keduanya memiliki panjang 2 m pada kondisi tidak teregang. Kedua ujung kawat

yang lain kemudian diikat pada sebuah dinding berjarak 4 m dengan tegang kawat diabaikan.

ketika suhu ruang diturunkan menjadi 20C tentukanlah gaya tegang kawat.

3. Sebuah pizza yang memiliki diameter 70 cm dan tebal 2 cm dipanaskan menjadi 100C sedangmengambang di luar angkasa. Tentukanlah:

a. Laju energi yang hilangb. Laju perubahan temperatur


48/95

Diktat 2010


Jawaban

1.

Konversi

2. 2 m 2 m d1= d2= 2 mmT1= 40C = 313 K

T2= 20C = 293 K

F = ?

Baja

Tembaga

S C

60 100

-15 0

x y

baja tembaga


49/95

Diktat 2010


3. Pizzad = 70 cm = 0,7 m

Tebal = 2 cm = 0,02 m

T = 100C = 373 K

a) Laju energi yang hilang?

b) Laju perpindahan temperatur


50/95

Diktat 2010


Kisi

Filamen

2cm

5 cmV1

V2

UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2007/2008

Mata Kuliah : Fisika Listrik Magnet

Waktu : 100 Menit

Soal :

1. Sebuah bola plastic kecil memiliki massa 2g dan memiliki muatan Q digantung denganseutas tali yang massanya diabaikan memiliki panjang 20 cm. Sistem dapat dilihat seperti

gambar di bawah ini.

150

Jika sistem diberi medan listrik uniform E = 1x103N/C sejajar sumbu X, maka sistem

bola akan membentuk 150dengan bidang vertikal. Tentukan besar muatan bola plastik

(Q), jika gravitasi 9.8 m/s2!

2. Elektron dipancarkan dari filamen F dalam tabung katoda dipercepat oleh kisi yangdiberi beda potensial V1(lihat gambar dibawah ini).

Sebelum melewati ruang antara 2 plat yang diberi beda potensial V2. Jarak antara dua

plat = 2 cm dan panjang plat = 5 cm :

a. Tentukan perbandingan nilai V2dengan V1 agar elektron tepat mengenai ujung atas

kanan plat ketika keluar dari plat?

b. berapa nilai V2jika V1= 500 kV

c. Pada sudut berapa elektron keluar dari plat?


51/95

Diktat 2010


C1

C2 C3

10 F

10 V

100 k

500 k

10K15V

3K5K

13V

AB C

D

3. Tiga buah kapasitor dirangkai seperti gambar dibawah ini. C1 = 3C; C2 = C ; C3 = 5C

a. Berapa besar kapasitas kapasitor pengganti rangkaian tersebut?

b. Berapa besar muatan yang terdapat pada setiap kapasitor ?

c. Jika kapasitas C3diperbesar, apa yang terjadi pada besar muatan pada C1danC2 ?

4. Berdasarkan gambar dibawah ini, tentukan :a. Time Constant rangkaian sebelum switch ditutup?

b. Time Constant rangkaian setelah switch ditutup?

c. Jika switch ditutup pada t=0, tentukan fungsi waktu arus yang melewati swirch?

S

5. Berdasarkan gambar dibawah ini, tentukan arus listrik yang melalui setiap hambatan dantentukan besar VA,VB,VC,VD?


52/95

Diktat 2010


F = Q . E

T. cos 150

W = m. g

T. cos 150

T

150

Jawaban :

1. Benda stabil (diam) => Ftot= 0

Fx= 0 Fy= 0

T cos 150m g = 0 T sin 150Q . E = 0

T 0,9662 . 10-3. 9,8 = 0 0,0203 . 0,259Q . 103= 0

T = 0,0203 N Q = 5,258 . 10-6C

Jadi, besar muatan bola plastik tersebut adalah 5,258 . 10-6C

2. a) - Kondisi percepatan : me v0

2= Qe. V1

(9,11 .10-31) v02= (1,6 . 10-19) V1

V02= 3,513 . 1011V1

V0= 592705,66

- Kondisi pembelokan : Fx= 0 => a=0

V1x= v0= v0x

= 592705,66

Fy= meay

Qe. E - me. g = me. ay

sx= v1x. t

0,05 = 592705,66 . t

t = 8,436 . 10-8


53/95

Diktat 2010


Qe. - me. g = me. ay

1,6 . 10-19. (9,11 .10-31) . (9,8) = 9,11 .10-31. (ay)

ay= 8,782 . 1012

sy= v0y. t + ay. t2

0,01 = 0+ . 8,782 . 1012. V2. (8,436 . 10-8. )

0,01 = 4,391 . 1012. V2. 7,117 . 10-15( )

= 0,32

Nilai V2: V1= 8: 25

b) = 0,32

= 0,32 . 500 . 103

=160.000 V

c) tan =

=

=

=

= 1,25 . 0,32 = 0,4

= 21,8010

Jadi, e-keluar dar i pelat pada sudut 21,801

0


54/95

Diktat 2010


3. a) Cp1= C2paralel C3= C + 5C = 6C

Jadi, kapasitas kapasitor pengganti rangkaian =

b)

Jadi,

=

c) Jika C3diperbesar Cp1akan

membesar, namun Ctotakan

mengecil.

Akibatnya Q tot= Qc1= Qcp1akan

mengecil

Oleh karena itu Qcp1mengecil

akan mengecil pula.

( =

Akibatnya, akan ikut

mengecil


55/95

Diktat 2010


10 F10 V

100 k

500 k

10 F10 V

100 k

500 k

21

Vc

Vc0-= 10V

4. a) Rangkaiannya :

Rtot = 150000

Ctot= 10-5F

= (R.C)tot= 150000. 10-5= 1,5

b) Rangkaiannya :

(1)... -10 + 50000 i1 = 0

i1 = 0,2 mA

(2)...Vc+ 100000 i2= 0

Vc+ 100000 ic= 0

Vc+ 100000 c = 0

Vc+ 100000. 10-5 = 0

Vc+ = 0

Bentuk Vc= V0. e-t

Vc0-= V0. e

-t( t = 0)

10 = V0. e0

V0= 10

Vc= V0. e-t /

Vc= V0. e-t

= 1

c) i2= ic= C

= 10-5. (10. e-t)

= 10-5 (-10. e-t) = (-0,1 . e-t) mA

iswitch = i1- i2(acuan i1)

= 0,2- (-0,1. e-t )

= (0,2 + 0,1 e-t

) mA

Saat t =

C = open

i = 0

Vc0-= 10V


56/95

Diktat 2010


10K15V

3K5K

13V

D

21

5.A B C

-15 + 5000 . i1. 10.000 . i1-10.000 i2 = 0 ....(1)

15.000 i110.000 i2= 15

3000 i12000 i2 = 3 ....(a)

10.000 i2 - 10.000 i1+ 3.000 i2 + 13 = 0 ....(2)

-10.000 i1 +13.000 i2 = 13 ...(b)

Eliminasi (a) dan (b)

30.000 i1-20.000 i2 = 30

-30.000 i1+ 39.000 i1= -39 +

19.000 i2 = -9

2 = -0,474 mA

1 = 0,684 mA

VAB = VA- VB

i1. 5.000 = VA0

VA= 0,684 . 10-3. 5000 = 3,42 V

VBC = VBVC


57/95

Diktat 2010


i2. 3.000 = 0Vc

Vc= 1,422 V

VDB = VDVB

(i2- i1) . 10.000 = VD - 0

VD= 10.000. (-0,4740,684). 10-3= -11,58 V

Jadi,

VA= 3,42 V

VB= 0

Vc= 1,422 V

VD= -11,58 V


58/95

Diktat 2010


UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 07/08

Mata Kuliah : Fisika Gelombang Optik

Hari / Tanggal : Kamis, 5 Juni 2008

Waktu : 90 Menit

Dosen : Tim Dosen Fisika Gelombang Optik

Soal

1. Pada sebuah ruang gelap terdapat dua buah lilin, lilin pertama diletakkan 1,5 m dari sebuahdinding berwarna putih. Sebuah lensa diletakkan di antara lilin tersebut dan dinding pada satu

posisi sehingga dihasilkan bayangan diperbesar dan terbalik pada dinding. Ketika lensa digeser 90

cm menuju dinding, terbentuk bayangan dari lilin kedua. Tentukanlah

a. Jarak kedua lilinb. Panjang fokus lensac. Sifat bayangan kedua

2.

Seorang professor menggunakan kacamata 2,67 dioptri ingin mengamati benda-benda yang kecildengan menggunakan mikroskop Pob = 45 dioptri dan Pok = 80 dioptri. Apabila diinginkan

pembesaran 252 kali, tentukan

a. Jarak kedua lensa bila professor menggunakan kacamatab. Jarak kedua lensa bila professor tidak menggunakan kacamatac. Gambarkan diagram sinar soal a dan b

3. Dua buah celah sempit terpisah pada jarak 0,850 mm disinari cahaya 600 nm. Pada sebuah layarberjarak 2,80 m dari celah didapati suatu pola terang gelap. Tentukan

a. Jarak pola gelap ke 2 dari terang pusatb. Beda fase antara dua gelombang yang berinterferensi pada layar sejauh 2,50 mm dari terang

pusat

c. Perbandingan intensitas gelombang tersebut terhadap intensitas terang pusat


59/95

Diktat 2010



60/95

Diktat 2010



61/95

Diktat 2010



62/95

Diktat 2010



63/95

Diktat 2010



64/95

Diktat 2010



65/95

Diktat 2010



66/95

Diktat 2010



67/95

Diktat 2010



68/95

Diktat 2010



69/95

Diktat 2010



70/95

Diktat 2010



71/95

Diktat 2010



72/95

Diktat 2010



73/95

Diktat 2010



74/95

Diktat 2010



75/95

Diktat 2010



76/95

Diktat 2010



77/95

Diktat 2010



78/95

Diktat 2010



79/95

Diktat 2010



80/95

Diktat 2010



81/95

Diktat 2010



82/95

Diktat 2010



83/95

Diktat 2010



84/95

Diktat 2010



85/95

Diktat 2010



86/95

Diktat 2010



87/95

Diktat 2010



88/95

Diktat 2010



89/95

Diktat 2010



90/95

Diktat 2010



91/95

Diktat 2010



92/95

Diktat 2010



93/95

Diktat 2010



94/95

Diktat 2010



95/95

Diktat 2010


latihan uts

Documents