189

CÓNICAS

6.1. INTRODUCCION Las cónicas son figuras geométricas que se obtienen al cortar un cono circular recto de dos hojas mediante un plano. Son conocidas como Circunferencia, Elipse, Parábola e Hipérbola. La figura geométrica obtenida depende de la posición del plano respecto al eje de simetría del cono:

Si el plano es perpendicular al eje de simetría y lo corta en un punto distinto del vértice se obtiene una Circunferencia.

Si inclinamos este plano, cortando sólo una rama del cono, se obtiene una Elipse, la cual se asemeja a una circunferencia “achatada”.

Cuando la inclinación del plano es paralela a una generatriz, sin contenerla, se obtiene una Parábola, la cual es una figura “abierta”.

Si continuamos inclinando el plano, de manera que corte las dos ramas del cono, se obtiene una Hipérbola. Estas figuras, además de provenir del corte de un cono, tienen otros rasgos en común que fueron descubiertos hace muchos años. Para cada una de ellas si la representamos en un plano coordenado, sus ecuaciones resultan de segundo grado. Todas ellas, excepto la parábola, son figuras que tienen un centro. Excepto la circunferencia, tienen asociados puntos y rectas llamados focos y directrices y se caracterizan por la razón entre la distancia de cualquiera de sus puntos a un foco y la distancia de dicho punto a la directriz asociada. Esta razón se llama “excentricidad” y se representa por “e”. Se tiene: Circunferencia: e = 0, Elipse: 0 < e < 1 Parábola: e = 1, Hipérbola: e > 1 Estas figuras las encontramos en muchas aplicaciones de las Matemática: estudio de órbitas planetarias, Física atómica, Óptica, Acústica, etc. y de ahí la importancia de su estudio.

CIRCUNFERENCIA ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLA

Cónicas

190

6.2. CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN Una circunferencia es el conjunto de puntos P situados en un plano que equidistan de un punto fijo C llamado centro de la circunferencia. La distancia del punto P al centro C se llama radio. Es decir la circunferencia es el conjunto de puntos P que satisfacen la expresión d (P, C) = r, donde C es el centro de la circunferencia y r el radio. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO C (h, k) Y RADIO r Si el centro se encuentra en el origen, la ecuación se reduce a x

2 + y

2 = r

2

Si desarrollamos la ecuación (1) se obtiene: x

2 – 2xh+ h

2 + y

2 – 2yk+ k

2 = r

2 o sea x

2 + y

2 – 2hx – 2ky + (h

2+ k

2 – r

2 ) = 0

es decir una ecuación de la forma x

2 + y

2+ Dx + Ey + F = 0 (2)

Pero no toda ecuación de la forma (2) representa una circunferencia. Veamos qué debe cumplir para representar una circunferencia. Dada una ecuación de la forma (2) x

2 + y

2 + Dx + Ey +F = 0

reacomodando se tiene (x

2 + Dx ) + (y

2 + Ey ) = – F

completando trinomios cuadrados perfectos en cada paréntesis:

(x2+ Dx +

4

D2

) +(y2 + Ey +

4

E2

) = 4

D2

+4

E2

– F

Factorizando

2 2 2 2D E D Ex y F

2 2 4 4

Luego

i) si 4

D2

+4

E2

– F > 0, la ecuación (2) representa una circunferencia con centro

2

E,

2

D y radio r = F

4

E

4

D 22

ii) si 4

D2

+4

E2

– F = 0, se tendrá r = 0, es decir se reduce a un punto 2

E,

2

D

iii) si 4

D2

+4

E2

– F < 0, no hay valores reales que satisfagan la ecuación.

Al aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos, si P ( x, y) es un punto cualquiera de la circunferencia , se obtiene :

d (P, C) = 2 2(x h) (y k) r o sea

2 2 2(x h) (y k) r (1)

X

P(x,y)

(h, k)

r

Y

Cónicas

191

Encontrar una ecuación de la circunferencia con centro en C (4, – 3) y radio r = 6

SOLUCIÓN: tenemos 2 2 2(x h) (y k) r y (h, k) = (4, – 3), r = 6.

Sustituyendo los valores de h, k y r en la ecuación obtenemos: (x – 4)2 + [y – (–3)]

2 = 6

2

(x – 4)2+ (y + 3)

2 = 36 .

Desarrollando los binomios al cuadrado: x2 – 8x + 16 + y

2 + 6y+ 9 – 36 = 0

Simplificando y reordenando: x2 + y

2 – 8x + 6y – 11 = 0

Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por P (3, – 1) y tiene centro en (1,2) SOLUCIÓN: nos dan como información las coordenadas del centro (h, k) = (1, 2), falta determinar el valor del radio. En este caso lo obtenemos al calcular la distancia desde el centro al punto P dado.

r = d (C, P) = 2 2 2 2(3 1) ( 1 2) 2 ( 3) 13

luego al sustituir los datos en la ecuación 2 2 2(x h) (y k) r se obtiene

(x – 1)2 + (y – 2)

2 = ( 13 )

2 o sea x

2 – 2x + 1 + y

2 – 4y + 4 = 13.

Luego la ecuación buscada es x2 + y

2 – 2x – 4y – 8 = 0

Los extremos de un diámetro de una circunferencia, tienen coordenadas (5,1) y (–1, –7). Determine la ecuación de dicha circunferencia. SOLUCIÓN: El centro de una circunferencia se localiza en el punto medio de cualquiera de sus diámetros, luego al aplicar la fórmula del punto medio obtenemos:

__

x = 22

4

2

1)(5 ,

__

y = 32

6

2

7)(1 luego el centro es C (2, –3)

El radio es la mitad de la longitud del diámetro, luego al aplicar la fórmula para la distancia entre dos puntos se obtiene:

d = 100867)]([11)]([5 2222 = 10 r = 5

(El radio también puede hallarse calculando la distancia desde el centro a uno de los extremos del diámetro.) La ecuación buscada es:

2 2 2(x h) (y k) r (x – 2)2 + (y + 3)

2 = 5

2

(x2 – 4x + 4) + (y

2 + 6y + 9) = 25 x

2 + y

2 – 4x + 6y – 12 = 0

Obtener la ecuación de la circunferencia de radio r = 4, si su centro es el punto de intersección de las rectas L1: 2x + y – 16 = 0 y L2: 3x – 2y + 4 = 0 SOLUCIÓN: Debemos encontrar primero las coordenadas del centro. Por la información dada, corresponden a la solución del sistema de ecuaciones formado con las ecuaciones de las rectas dadas, o sea

)2(04y2x3

)1(016yx2 Al multiplicar por 2 la (1) y sumarla a la (2), se obtiene

04y2x3

032y2x4

7x – 28 = 0 x = 4

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

EJEMPLO 3

EJEMPLO 4

Cónicas

192

Sustituyendo en la ecuación (1) y despejando y se obtiene y = 8. Luego el centro está dado por C (4, 8)

La ecuación buscada es: (x – 4)2 + (y – 8)

2 = 4

2 x

2 – 8x + 16 +y

2 – 16y + 64 = 16

x2 + y

2 – 8x – 16 y + 64 = 0

Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en (9, 6) y es tangente a la recta con ecuación 4x + 2y – 8 = 0 SOLUCIÓN: Conocemos las coordenadas del centro, falta encontrar el radio y luego completar la ecuación En vista de que la circunferencia es tangente a la recta dada, su radio es la distancia del centro a dicha recta. Aplicando la fórmula para la distancia de un punto a una recta, obtenemos:

r = d (C, L)= 22 BA

CByAx= 54

20

40

24

82(6)4(9)

22

La ecuación buscada es

(x – 9)2 + (y – 6)

2 = (4 5 )

2 x

2 –18x + 81 + y

2 – 12y + 36 = 16 (5) = 80

x2 + y

2 – 18x – 12 y + 37 = 0

Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (6, 6), B (–1, 5) y C (7, –1) SOLUCIÓN: Primera forma: De la Geometría Euclideana sabemos que los puntos dados forman un triángulo inscrito en la circunferencia, por tanto el centro se localiza en el circuncentro del triángulo o sea el punto donde se intersecan las mediatrices del triángulo. Recordemos que la mediatriz de un segmento es la recta que pasa perpendicular por el punto medio. Luego una forma de hallar el centro consiste en resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones que representen las mediatrices (basta considerar dos de ellas) y para encontrar la ecuación de una mediatriz necesitamos ubicar el punto medio y la pendiente de dicha recta.

Encontremos primero la mediatriz del segmento __

AB

*Pendiente: mAB =7

1

16

56, luego la pendiente de la mediatriz será m1 = 7

7/1

1

*Punto medio de __

AB : x = 2

5

2

16 , y =

2

11

2

56

*La ecuación buscada: y – 11 /2 = – 7 (x – 5/2) o sea y + 7x = 23 (1)

Busquemos ahora la mediatriz del segmento __

BC

A (6, 6) B (– 1, 5)

C (7, – 1)

X

Y

EJEMPLO 5

EJEMPLO 6

Cónicas

193

*Pendiente: mBC = 4

3

71

15, por tanto la pendiente de la mediatriz es m2 =

14 / 3

3 / 4

*Punto medio de __

BC : y = 22

4

2

15, x = 3

2

6

2

71

*La ecuación buscada: y – 2 = (4/3) (x – 3) o sea 3y – 4x = – 6 (2) Resolvemos el sistema formado por (1) y (2)

6x4y3

23x7y .

Al aplicar cualquiera de los métodos se obtiene x = 3, y = 2, luego C (3,2) El radio podemos determinarlo calculando la distancia desde el centro a cualquiera de los puntos dados, digamos al punto A

r = 51692)(63)(6 22

Por tanto la ecuación de la circunferencia es

(x –3 )2 + (y – 2)

2 = 5

2 x

2 – 6x + 9 +y

2 – 4y + 4 = 25

x2 + y

2 – 6x – 4y – 12 = 0

Segunda forma: Otra manera de encontrar la ecuación pedida es considerar la ecuación general de una circunferencia x

2 + y

2+ Dx + Ey + F = 0 , la cual debe satisfacerse con las coordenadas de todo punto que pertenezca a

la circunferencia. Observamos que tiene tres coeficientes desconocidos D, E y F, pero al conocer tres puntos de la circunferencia podemos formar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y con él encontrar los valores de los coeficientes y formar la ecuación buscada.

Con el punto A (6, 6): 62 + 6

2 + 6 D + 6 E + F = 0 D + 6 E + F = – 72 (1)

Con el punto B (–1, 5): (– 1)2 + 5

2 – D + 5 E + F = 0 – D + 5 E + F = – 26 (2)

Con el punto C (7, –1): 72 + (– 1)

2 + 7 D – E + F = 0 7 D – E + F = – 50 (3)

Al resolver este sistema se obtiene D = – 6, E = – 4 y F = – 12. Al sustituir estos valores en la ecuación general de la circunferencia se llega a la misma ecuación obtenida anteriormente: x

2 + y

2 – 6x – 4y – 12 = 0

Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre el eje X y pasa por los puntos (0, – 2) y (2, 4) SOLUCIÓN: Dado que el centro está sobre el eje X, el valor de k = 0, luego el centro tiene coordenadas (h, 0). Tenemos que hallar el valor de h y el radio r. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia es el radio, luego

r = 2222 2)(00)(h4)(02)(h (1)

Eliminando los radicales y desarrollando cada expresión obtenemos

h2 – 4h + 4 +16 = h

2 + 4 – 4h + 16 = 0 h = 4. Luego el Centro es (4, 0)

Introduciendo el valor de h en la expresión (1) hallamos r = 20

La ecuación buscada es (x – 4)2 + y

2 = ( 20 )

2 o sea x

2 + y

2 – 8x – 4 = 0

EJEMPLO 7

Cónicas

194

Obtener la longitud de la circunferencia y el área del círculo dada por x

2 + y

2 – 3x + 7y – 14 = 0

Solución:

Recordemos de la Geometría que la longitud de la circunferencia está dada por L = 2 r y el área del

círculo por A = r2, luego basta determinar el radio y aplicar dichas fórmulas.

El radio podemos hallarlo en forma directa aplicando la fórmula r = F4

E

4

D 22

, donde D, E y F son

los coeficientes en la ecuación general x2 + y

2+ Dx + Ey +F = 0. En el caso particular de la ecuación dada

tenemos D = – 3, E = 7 y F = – 14, luego

r = 2

5714

4

49

4

914)(

4

7

4

3)( 22

= 5.3385

Otra forma de obtener el radio es llevar la ecuación a la forma: (x – h)

2 + (y – k)

2 = r

2 e identificar aquí

el valor de r. Obviamente se obtiene el mismo valor.

Aplicando las respectivas fórmulas resulta: L = 2 (5.3385) = 33.543 u y

A = (5.3385)2 = 89.53 u

2

Encontrar una ecuación de la recta tangente a la circunferencia x

2 + y

2 – 4x+ 6y – 12 = 0

en el punto (5,1). SOLUCIÓN: La pendiente de la ecuación buscada está

dada por mL = CPm

1 , donde C es el centro de la

Circunferencia y P es el punto dado. De la ecuación de la circunferencia deducimos las Coordenadas del centro al llevarla a la forma

2 2 2(x h) (y k) r

(x

2 – 4x ) + (y

2 + 6y ) = 12

(x2 – 4x + 4 ) + (y

2+ 6y + 9) = 12 + 4 + 9 (x – 2)

2 + (y + 3)

2 = 25

luego el centro es C(2, – 3) y su radio r = 5.

Resulta mCP = 3

4

25

3)(1

xx

yy

CP

CP y la pendiente de la recta es mL = 4

3

3/4

1

La ecuación de la recta buscada es y – yo = m (x – xo); tomando (xo , yo) = (5 , 1) al sustituir los datos obtenemos: y – 1 = (– 3/4) (x – 5)

4 (y – 1) = – 3 (x – 5) 4y – 4 = – 3x +15 o sea 3x + 4y –19 = 0

P (5, 1)

C (2, – 3) L

X

Y

EJEMPLO 8

EJEMPLO 9

Cónicas

195

. Encontrar una ecuación de cada una de las dos rectas que tienen pendiente m = – 4/3 que son tangentes a la circunferencia con ecuación x

2 + y

2 + 2x – 8y – 8 = 0

SOLUCIÓN: Dado que se conoce la pendiente de Las rectas buscadas, sólo falta encontrar las coordenadas de los puntos de tangencia P1 y P2 Para ello encontramos primero la ecuación de la Recta que contiene el diámetro P1P2 y luego buscamos los puntos donde esta recta corta a la circunferencia. Para hallar la ecuación de esta recta buscamos el centro de la circunferencia y consideramos que su

pendiente es m = 4

3

3/4

1 por ser perpendicular a las rectas buscadas.

Al reacomodar la ecuación de la circunferencia se tiene:

(x2 + 2x ) + (y

2 – 8y ) = 8 (x

2 +2x +1 ) + (y

2 – 8y +16 ) = 8 + 1 +16 = 25

(x + 1)2 + (y – 4)

2 = 5

2 (1)

Luego la circunferencia tiene centro (–1, 4) y la ecuación del diámetro que une los puntos de tangencia

es y – 4 = 4

3 (x + 1) o sea y =

4

3x +

4

19 (2)

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de la circunferencia (1) se tiene:

(x + 1)2 + [(

4

3x +

4

19 ) – 4]

2 = 25 (x + 1)

2 +(

4

3x +

4

3 )

2 = 25

(x + 1)2 +

16

9(x + 1)

2 = 25

16

25(x + 1)

2 = 25 x + 1 = 4

x = 3 ó x = – 5

para x = 3 en (2) obtenemos y = 74

19

4

(3)3 y para x = – 5 se obtiene y = 1

4

19

4

5)(3

por tanto los puntos de tangencia de las rectas tangentes son (3, 7) y (– 5, 1) y las ecuaciones de las rectas buscadas son:

L1 : Po (3, 7) y m = – 4/3 y – 7 = (–4/3) (x – 3) o sea 4x + 3y – 33 = 0

L2 : Po (– 5, 1) y m = – 4/3 y – 1 = (– 4/3) (x + 5) o sea 4x + 3y + 17 = 0

.

.

Y

X

P1

P2

EJEMPLO 10

Cónicas

196

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determine el centro y el radio de las siguientes circunferencias a) x

2 + y

2 = 36 b) (x – 3)

2 + (y – 5)

2 = 144 c) (x + 5)

2 + (y – 6)

2 = 8

d) (x + 3)2 + (y + 8)

2 = 81 e) (x + 4)

2 + (y – 5)

2 = 225

2. Determine cuales de las siguientes ecuaciones definen circunferencias. En caso afirmativo encuentre el centro y el radio. a) x

2 + y

2 + 6x + 8y = 0 b) x

2 + y

2 – 5 x – 4y

+ 10 = 0

c) x

2 + y

2 + 3x – 5y +

2

1= 0 d) x

2 + y

2 – 4x – 6y + 12= 0

e) x2 + y

2 + 6x + 2 = 0 f) x

2 + y

2 + 10x + 2y + 26 = 0

g) x2 + y

2 + 10x – y + 29 = 0 h) 2x

2 + 2y

2 + 2x + 10y – 33 = 0

i) 5x2 + 5y

2 – 6x – 2y + 17 = 0 j) x

2 + y

2 – 6x + 2y – 15 = 0

3. Encuentre la ecuación de la circunferencia que satisfaga las siguientes condiciones a) C (3, – 5), r = 6 b) C (2, – 1), r = 8 c) C (– 6, 4), r = 3 d) C (2, – 1), pasa por (4, 0) e) C (5, – 2), pasa por (9, – 2) f) C (– 1, 2), pasa por (3, – 5) g) C (3, – 1), pasa por (6, 3) h) C (3, – 2) y es tangente al eje X i) C (– 3, 5) y es tangente al eje Y j) r = 2 y es tangente a ambos ejes en el I Cuadrante k) r = 5 y es tangente a ambos ejes en el II Cuadrante l) r = 4 y es tangente a ambos ejes en el III C m) r = 6 y es tangente a ambos ejes en el IV C n) tiene centro en (1, 0) y es tangente a la recta 4x – y + 2 = 0 ñ) tiene como diámetro el segmento que une (5, – 3) con (– 1, – 7) o) diámetro AB, con A (– 1, 3) y B (5, – 5) p) C (– 2, 3), tangente a x – 2y – 3 = 0 q) Pasa por (– 2, 3), (4, 1) y su centro está sobre la recta x – 2y + 2 = 0 r) Pasa por los puntos (1, – 1), (– 3, 5) y (0, 2) s) Pasa por (9, 8) y es tangente a ambos ejes 4. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con x

2 + y

2 + 6x + 2 = 0 y tangente a la recta

2x + y + 1 = 0. 5. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que tienen su centro en la recta 4x – 5y + 1 = 0 y son tangentes a las dos rectas 2x – 3y – 8 = 0 y 3x – 2y + 8 = 0. 6. Determine los puntos donde la circunferencia con ecuación x

2 + y

2 – 6 x – 7 = 0 corta al eje X

7. Determine donde se cortan la recta y = x – 1 y la circunferencia x

2 + y

2 – x – 3 = 0

8. Comprobar que la recta x – y – 2 = 0 es secante a la circunferencia x

2 + y

2 = 20 y hallar la longitud de

la cuerda correspondiente. 9. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x

2 + y

2 – 6x + 2y – 15 = 0 en el punto (6, 3)

10. Comprobar que los puntos (0, 1), (1, 0) y (3, 4) no son colineales. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por ellos. 11. Sea C la circunferencia (x – x0)

2 + (y – y0)

2 = r

2 ( r > 0). Demostrar que esta ecuación equivale al

sistema de ecuaciones paramétricas S: x = x0 + r cos t, y = y0 + r sen t, donde t recorre el intervalo

[0, 2 ].

Cónicas

197

12. Sean P0 (x0, y0) un punto fijo; P (x, y) un punto variable en el plano y R > 0. Sean

r x i + y j , 0r x0 i + y0 j . Probar que la ecuación vectorial 200 Rrrrr define la

circunferencia de centro P0 y radio R. 13. Un punto se mueve de manera que su distancia al punto (2, 4) es el doble de su distancia al origen. Encuentre la ecuación que describe su trayectoria. 14. Un punto se mueve de manera que el segmento que lo une con (2, 0), es siempre perpendicular al segmento que lo une con (–2, 0). Encuentre la ecuación que describe su trayectoria. SOLUCIONES

1. a) C (0, 0), r = 6 b) C (3, 5), r = 12 c) C (– 5, 6), r = 22 d) C (– 3, – 8), r = 9

e) C (– 4, 5), r = 15 2. a) C (–3, – 4), r = 5 b) C ( ,2

5 2), r =

2

1 c) C (

2

5,

2

3), r = 2 2

d) (2, 3), r = 1 e) (–3, 0), r = 7 f) No es circunferencia, P (– 5, – 1) g) No

h) 23,2

5,

2

1r i) No. j) C (3, – 1), r = 5

3. a) x2 + y

2 – 6x + 10y – 2 = 0 b) x

2 + y

2 – 4x + 2y – 59 = 0 c) x

2 + y

2 + 12x – 8y + 43 = 0

d) x2 + y

2 – 4x + 2y = 0 e) x

2 + y

2 – 10x + 4y + 13 = 0 f) x

2 + y

2 + 2x – 4y – 60 = 0

g) x2 + y

2 – 6x + 2y – 15 = 0 h) (x – 3)

2 + (y + 2)

2 = 4 i) (x + 3)

2 + (y – 5)

2 = 9

j) (x – 2)2 + (y – 2)

2 = 4 k) (x + 5)

2 + (y – 5)

2 = 25 l) (x + 4)

2 + (y + 4)

2 = 16

m) (x – 6)2 + (y + 6)

2 = 36 n) x

2 + y

2 – 2x – 19/17 = 0 ñ) x

2 + y

2 – 4x + 10y – 23 = 0

o) x2 + y

2 – 4x + 2y – 20 = 0 p) 5x

2 + 5y

2 + 20x – 30y – 56 = 0

q) 5x2 + 5y

2 – 8x – 14y – 39 = 0 r) x

2 + y

2 + 14x + 4y – 12 = 0 s) (x – 5)

2 + (y – 5)

2 = 25 ó

(x – 29)2 + (y – 29)

2 = 841

4. x2 + y

2 + 6x + 4 = 0 5. 2 2 2 225 81

(x 9) (y 7) (x 1) (y 1)13 13

6. (7, 0), (– 1, 0) 7. (2, 1), (2

3,

2

1) 8. 26 9. 3x + 4y – 30 = 0

10. (x – 2)2 + (y – 2)

2 = 5 13.

9

80

3

4

3

222

yx 14. x2 + y

2 = 4

Cónicas

198

6.3. PARÁBOLA DEFINICIÓN: una parábola es el conjunto de puntos P situados en un plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y una recta fija L, llamada directriz. Es decir los puntos que satisfacen la expresión d (P, L) = d (P, F).

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA

6.3.1. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y FOCO SOBRE EL EJE Y Sea F (0, p) las coordenadas del foco. Dado que el vértice está en el origen, V (0, 0); el eje de simetría es el eje Y, y la ecuación de la recta directriz es y = – p o sea y + p = 0. Según la definición de la parábola, un punto P(x, y) está en la parábola, si y solo si, equidista del foco y la directriz:

d (P, F) = d (P, L).

Foco

Directriz

X

Y

A la línea perpendicular a la directriz que pasa por el foco se le llama eje de la parábola. La parábola es simétrica respecto a su eje.

El punto medio entre la directriz y el foco se le llama vértice de la parábola.

A la cuerda paralela a la directriz y que pasa por el foco se le llama lado recto

En general, para todas las cónicas, la razón ),(

),(

LPd

FPd se

llama excentricidad y se denota por e. La parábola se caracteriza porque siempre e = 1

F

V

Directriz

Eje

Lado Recto

Cónicas

199

Sea Q (x, – p) el pie de la perpendicular que va de P a la directriz L. Luego

d (P, F) = 22 p)(yx ( distancia entre dos puntos)

d (P, L) = y + p (distancia de un punto a una recta considerando que L : y + p = 0)

Luego 22 p)(yx = y + p

Elevando al cuadrado ambos lados y simplificando

x2 + (y

2– 2yp + p

2) = y

2 + 2yp + p

2 x

2 – 2yp = 2yp x

2 = 4py

lo que también equivale a y = 2xp4

1

TEOREMA: La ecuación de una parábola que tiene su foco en F (0, p) y su directriz es la recta y = – p (y + p = 0) está dada por x

2 = 4 p y.

* Si p > 0, la gráfica de la parábola se abre hacia arriba. * Si p < 0, la gráfica de la parábola se abre hacia abajo. 6.3.2. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y FOCO SOBRE EL EJE X De manera similar, si intercambiamos los ejes, el foco será F (p, 0) y la directriz L: x + p = 0 Al aplicar la definición se obtiene la ecuación y

2 = 4px

* Si p > 0, la gráfica de la parábola se abre hacia la derecha. * Si p < 0, la gráfica de la parábola se abre hacia la izquierda. En cada caso la longitud del lado recto, denotada por LR, es decir la cuerda que pasa por el foco

perpendicular al eje, está dada por LR = 4p .

X

Y

F (p, 0)

D: x + p = 0

(– p, 0)

LR

(–p, 0)

F(p, 0)

D: x + p = 0 LR

p > 0 p < 0

X

Y

F (0, p)

V (0, 0)

y = – p

P(x, y)

Q (x, – p)

Cónicas

200

6.3.3. TRASLACIÓN DE EJES TEOREMA; Si (x, y) representa las coordenadas de un punto P respecto a un sistema dado de ejes XY y P’ (x’, y’) representa a P después que los ejes son trasladados (paralelamente) a un nuevo origen con coordenadas (h, k) con respecto al sistema dado de ejes, entonces x ’ = x – h y y ’ = y – k. En general , si se tiene la ecuación de una curva respecto a un sistema de coordenadas XY , entonces la ecuación de la misma curva respecto al sistema trasladado X’Y’ se obtiene mediante la sustitución de x por (x’ + h) y y por (y’ + k). La gráfica en ambos sistemas corresponde al mismo conjunto de puntos, aunque la ecuación difiera. 6.3.4. ECUACIONES DE LAS PARÁBOLAS CON EJES PARALELOS A UNO DE LOS EJES COORDENADOS Si el vértice se “traslada” al punto (h, k), las ecuaciones toman la forma (x – h)

2 = 4p (y – k) si el eje de simetría es paralelo al eje Y

(y – k)2 = 4p (x – h) si el eje de simetría es paralelo al eje X

Es decir ecuaciones de la forma y = ax

2 + bx + c y x = Ay

2 + By + C

Un resumen de las características de las parábolas a partir de su ecuación se muestra a continuación:

Ecuación

Vértice

Foco

Directriz

Eje de Simetría

La gráfica se abre hacia...

x

2 = 4py

(0,0)

(0, p)

y + p = 0

Eje Y ( x = 0)

arriba si p>0 abajo si p<0

y

2 = 4px

(0,0)

(p, 0)

x + p = 0

Eje X ( y = 0)

la derecha si p>0 la izquierda si p<0

(x-h)

2 = 4p(y-k)

(h,k)

(h, k+p)

y = k - p

Paralelo al eje Y x = h

arriba si p>0 abajo si p<0

(y-k)

2 = 4p(x-h)

(h,k)

(h+p, k)

x = h - p

Paralelo al eje X

y = k

la derecha si p>0 la izquierda si p<0

En cada caso hemos de considerar los signos de h, k y p

La fórmula para el lado recto es válida en general LR = 4p La expresión (x – h)

2 = 4p (y – k) puede desarrollarse obteniéndose y = ax

2 + bx +c

P (x,y) P’ (x’,y’)

X

X’

Y Y’

x’

x

y

y’

h k

(h,k) (0,0)

Cónicas

201

F (– 2, 0)

X

Y

La abscisa del vértice está dada por x = h = a2

b y la ordenada se obtiene al sustituir la x por este valor

en la ecuación, obteniéndose y = k = c – a4

b2

.

De igual manera (y – k)

2 = 4p(x – h) puede desarrollarse obteniéndose x = A y

2 + B y + C.

En este caso la ordenada del vértice está dada por y = k = A2

B

Dadas las siguientes parábolas determine su foco, directriz y longitud del lado recto. Bosqueje su gráfica. 1. x

2 = 4y

Por la forma de la ecuación deducimos que corresponde a una parábola con vértice en el origen y con eje de simetría , el eje Y.

Tenemos 4p = 4 p = 1, luego su foco es F (0,1).

La longitud del lado recto está dada por LR = 4p = 4

Su directriz está dada por la recta y = – p y = –1

2. y

2 = 6x

De la ecuación deducimos que es una parábola con vértice en el origen, con el eje X como eje de

simetría. Se tiene 4p = 6 p = 3/2, luego su foco es F (3/2, 0). Su lado recto mide LR = 6 Su directriz es x = – p o sea x = – 3/2

3. y

2 = – 8x

Similar a la anterior, 4p = – 8, luego p = – 2 y el foco es F (–2,0).

Su lado recto LR = 4p = 8 Su directriz es x = – p o sea x = – (– 2) = 2

(4, 4)

(0, 0)

(2, 1)

F(0, 1) X

Y

(6,– 6)

(6, 6)

F(2

3, 0)

X

Y

EJEMPLOS

Cónicas

202

X

Y

x = – 4

V ( – 1, 0) F (2, 0)

4. 3x2 + 4y = 0

Esta ecuación equivale a x2 =

3

4y, luego 4p =

3

4 p =

3

1 ; su foco F(0, p) = (0,

3

1)

Su lado recto mide LR = 4p = 3

4 y su directriz tiene ecuación y =

3

1

5. y

2 – 12 = 12x

Tenemos y2 = 12x + 12 = 12 (x + 1) la cual es de la forma (y– k)

2 = 4p(x– h). Identificamos

h = – 1, k = 0 y 4p = 12 p = 3. Por tanto tenemos una parábola con vértice V (–1,0) , eje de simetría paralelo al eje X.

Su foco es F(h + p, k) = (–1+3, 0) = (2,0). Su lado recto LR = 4p = 12 Su directriz x = h – p = –1– 3 = – 4

6. y = x

2 – 4x +2

La llevamos a la forma (x– h)

2 = 4p (y– k). Para ello completamos un trinomio cuadrado perfecto con x.

y = (x2 – 4x ) + 2 = (x

2 – 4x + 4 ) + 2 – 4 = ( x – 2)

2 – 2 (x – 2)

2 = y + 2

Luego h = 2, k = – 2, 4p = 1 p = 4

1

Vértice: V (h, k) = (2, –2) Foco: F (h, k + p) = (2, – 2 +4

1) = (2,

4

7)

Lado recto: LR = 4p = 1 Directriz: y = k – p = – 2 – 4

1 =

4

9

7. y

2 – 4y – 2x – 4 = 0

Separamos las variables y completamos el trinomio cuadrado perfecto para y. y

2 – 4 y = 2x + 4

y2 – 4 y + 4 = 2x + 4 + 4

(y – 2)2 = 2x + 8 = 2 (x + 4)

Identificamos h = – 4 , k = 2 , 4p = 2 p = 2

1

Luego Vértice : V (h, k) = (– 4, 2) Foco : F (h + p, k) = (– 4+ 2

1, 2) = (

2

7 , 2)

X

Y

F(0,– 1/3)

Cónicas

203

X

Y

V ( – 4, 2)

F (–3.5, 2)

Lado recto: LR = 4p = 2 Directriz: x = h – p = – 4 – 2

1=

2

9

8. 4x

2 + 40x + y + 106 = 0

De manera similar a la anterior, separamos las variables. Pero antes hay que extraer como factor común el coeficiente de la x

2. No hay que perder de vista de que el objetivo es transformar la ecuación en la

forma (x– h)2 = 4p (y– k).

4x2 + 40x = – y –106 4 ( x

2 + 10x ) = – y – 106

4 (x2 + 10x + 25 ) = – y –106 + 100 4 (x + 5)

2 = – y – 6 = – (y + 6)

(x + 5)2 = –

4

1 (y + 6)

Vemos que corresponde a una parábola con eje de simetría paralelo al eje Y, cóncava hacia abajo.

Identificamos h = – 5, k = – 6 4p = – 4

1 p = –

16

1

Vértice: V (h, k) = (– 5, – 6) Foco: F (h, k + p) = (– 5, – 6 – 16

1) = (– 5, –

16

97)

Directriz: y = k – p = – 6 – (–16

1) = –

16

95

9. Encuentre la longitud de la cuerda que determina la recta x – 2y + 3 = 0 en la parábola con ecuación y

2 = 4x.

SOLUCIÓN: Buscamos lo puntos de intersección de la recta con la parábola, es decir resolvemos el sistema de

ecuaciones )(

)(

2x4y

103y2x2

De (1) tenemos x = 2y – 3. Sustituyendo en (2) y2 = 4 (2y – 3) = 8y – 12

y2 – 8y + 12 = 0 (y – 2) (y – 6) = 0 y = 2 y = 6

Para y = 2 se obtiene x = 1 y para y = 6, x = 9, es decir los puntos de intersección son (1, 2) y (9, 6). Aplicando la fórmula para la distancia entre dos puntos resulta:

d = 5416642)(61)(9 22

10. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola y

2 + 8x = 0 que es paralela a la recta

4x + 3y – 7 = 0. SOLUCIÓN: Una cuerda focal es aquella que pasa por el foco. Necesitamos entonces determinar las coordenadas del foco, hallar la ecuación de la recta que pasa por él, paralela a la recta dada, luego encontrar los puntos donde esta recta corta a la parábola y finalmente hallar la distancia entre dichos puntos De la ecuación de la parábola deducimos que el foco está sobre el eje X.

Tenemos: y2 = – 8x p = – 2 , luego las coordenadas del foco son F (– 2, 0)

Cónicas

204

De la ecuación de la recta deducimos que su pendiente es m = 3

4, luego la ecuación de la recta

paralela a ella que pasa por el foco es: y = 3

4(x + 2 ) o sea 4x + 3y + 8 = 0

Despejamos x y la introducimos en la ecuación de la parábola: x = 2y4

3

y2 = – 8 ( 2y

4

3) y

2 – 6y – 16 = 0 (y – 8) (y + 2) = 0 y = 8 y = – 2

y = 8 x = – 8 y = – 2 x = 2

1 (– 8, 8) y (

2

1, – 2) son los extremos de la cuerda.

Su longitud es d = 2

25

4

6252)(8)

2

18( 22

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Encuentre el foco y la directriz de las siguientes parábolas. En cada caso bosqueje la gráfica a) y

2 = 12x b) x

2 = 4y c) y

2 = – 6x d) x

2 = – 8y

e) x = 10y2 f) y = 4x

2 g) y = – 6x

2 h) 3x

2 – 5y = 0

i) 9x – 2y2 = 0 j) 4y

2 – x = 0 k) x + 16y

2 = 0 l) x

2 + 8y = 0

2. Encuentre el vértice, el foco, la directriz, la longitud del lado recto. Bosqueje la gráfica a) (y – 3)

2 + 4 = 2x b) (y – 4)

2 = 4(x + 5) c) (x – 3)

2 = 12(y + 4)

d) (x + 5)2 = 8 (y – 1) e) x – 4 = 8 (y – 3)

2 f) x

2 – 6x – 6y – 3 = 0

g) y2 – 4x – 4y – 12 = 0 h) x

2 + 6x + 4y + 8 = 0 i) y

2 + 6x + 10y + 19 = 0

j) 2y2 = 4y – 3x k) x

2 – 24y – 6x + 9 = 0 l) x

2 + 6x + 8y + 1 = 0

3. Encuentre la ecuación de la parábola que satisfaga las siguientes condiciones: a) F (– 4, 4) y directriz x + 6 = 0 b) F (– 5, 3) y directriz y + 1 = 0

c) V (2, 3) y directriz x = 2

3 d) V (3, 4) y directriz x =

32

95

e) F (3, – 1) y V (3, – 4) f) V (– 2, – 3) y F (– 2, – 40

119)

g) V (3, – 4), pasa por (9, – 1) y eje paralelo al eje Y

h). V (3, – 2), pasa por (6, 2

1) y eje paralelo al eje Y

i) Pasa por los puntos (0, 0), (8, – 4) y (3, 1) con eje de simetría paralelo al eje X 4. En cálculo se prueba que un rayo que emane del foco de una parábola al chocar con la parábola es reflejado en una línea paralela al eje principal y viceversa, un rayo paralelo al eje principal al ser reflejado pasa por el foco. Esta propiedad es aprovechada en las antenas parabólicas. Suponga que un rayo de luz sale del foco de la parábola y

2 = 8x y choca en el punto (2, 4) ¿Cuál es la ecuación del rayo reflejado?

5. Bajo ciertas circunstancias, un cable que cuelga entre dos postes, puede ser aproximado por una parábola. Asumiendo que un cable toma la forma de una parábola, encuentre su ecuación, si un punto a 10 pies horizontalmente desde el punto más bajo está un pie más arriba. (Sugerencia: tome el punto más bajo en el origen. 6. El calor generado H (medido en watts) en una resistencia R (medida en ohms) de un circuito eléctrico está dado por H = R i

2 , donde i es la corriente ( medida en amperios) . Grafique H versus i si R = 6

ohms.

Cónicas

205

7. Durante un batazo, la posición vertical de una pelota está dada por y = 120 t – 16 t2, y su posición

horizontal por x = 60 t . Eliminando t en ambas ecuaciones, muestre que la trayectoria es una parábola. Bosqueje la gráfica de esta parábola hasta que la pelota regresa al nivel del suelo. Si la barda del center fielder está a 420 pies del home, y tiene una altura de 8 pies, diga si el batazo es jonrón.

8. Sea la curva y2 = 4px, con p 0. Se traza una recta perpendicular al eje X que corta a la curva en los

puntos P y Q de modo que PQ = 8 |p|. Probar que los vectores OQOP y son ortogonales, siendo O el

origen del sistema.

9. Sea la parábola y2 = 8x. Por el foco F se traza una recta que corta a la curva en los puntos

A y B. Probar que 1 1 1

AF BF 2

SOLUCIONES

1. a) (3, 0), x = – 3 b) (0, 1), y = – 1 c) (2

3, 0), x =

2

3 d) (0, – 2), y = 2

e) (40

1, 0), x =

40

1 f) (0,

16

1), y =

16

1 g) (0,

24

1), y =

24

1 h) (0,

12

5), y = –

12

5

i) (8

9, 0), x = –

8

9 j) (

16

1, 0) , x = –

16

1 k) (

64

1, 0), x =

64

1 l) (0, – 2), y = 2

2. a) V (2, 3), F (2

5, 3), x =

2

3, LR = 2 b) V (– 5, 4), F (– 4, 4), x + 6 = 0, LR = 4

c) V (3, – 4), F (3, – 1), y + 7 = 0, LR = 12 d) V (– 5, 1), F (– 5, 3), y + 1 = 0, LR = 8

e) V (4, 3), F (32

129, 3), x =

32

127, LR =

8

1 f) V (3, – 2), F (3,

2

1), y =

2

7, LR = 6

g) V (– 4, 2), F (– 3, 2), x + 5 = 0, LR = 4 h) V (– 3, 4

1), F (– 3,

4

3), y =

4

5, LR = 4

i) V (1, – 5), F (2

1, – 5), x =

2

5, LR = 6 j) V (

3

2, 1) F (

24

7, 1), x =

24

25 , LR =

2

3

k) V (3, 0), F (3, 6), y + 6 = 0, LR = 24 l) V (– 3, 1), F (– 3, – 1), y = 3, LR = 8 3. a) (y – 4)

2 = 4 (x + 5) b) (x + 5)

2 = 8 (y – 1) c) (y – 3)

2 = 2 (x – 2)

d) x – 3 = 8 (y – 4)2 e) (x – 3)

2 = 12 (y + 4) f) y + 3 = 10 (x + 2)

2

g) (x – 3)2 = 12(y + 4) h) (x – 3)

2 = 6 (y + 2) i) x = y

2 + 2y

4. y = 4 5. x2 = 100y 7. a) y = 225

225

1(x – 225)

2 b) Si es jonrón, al pasar la barda lleva

una altura de 56 pies.

..

Cónicas

206

6.4. ELIPSE DEFINICIÓN: Una Elipse es el conjunto de puntos P del plano, tales que la suma de las distancias entre P y dos puntos fijos F1 y F2, llamados focos, es constante. d ( P , F1 ) + d (p , F2) = K (constante)

6.4.1. ELEMENTOS DE LA ELIPSE

El punto medio del segmento F1F2, se llama CENTRO de la Elipse

El segmento que pasa por los focos y sus puntos extremos están en la Elipse, se llama EJE MAYOR

El segmento que pasa por el centro y es perpendicular al eje mayor, y con sus extremos en la Elipse, se llama EJE MENOR

Los extremos de los ejes se llaman VÉRTICES

El centro también es el punto medio de los ejes mayor y menor

La cuerda que pasa por un foco, perpendicular al eje mayor se llama LADO RECTO

Asociadas a cada elipse, hay dos rectas perpendiculares al eje mayor, llamadas DIRECTRICES, una para cada foco. En general para cada cónica, si L es una directriz, F es el foco asociado a dicha directriz, la razón

eL)P,(d

F)P,(d, se llama EXCENTRICIDAD. Una Elipse se caracteriza porque 0 < e < 1.

Es decir la distancia desde un punto de la Elipse al foco es menor que la distancia desde ese punto a la directriz correspondiente.

V1 (– a, 0) V2 ( a, 0) F1 (– c, 0) F2 (a, 0) C (0, 0)

B1 (0,– b)

B2 (0, b)

LR

directriz directriz

Eje mayor

Eje menor

Cónicas

207

6.4.2. ECUACIONES DE LA ELIPSE ELIPSE “HORIZONTAL”

Si colocamos el centro de la Elipse en el origen y los focos sobre el eje X, con coordenadas ( c, 0) y tomando , por conveniencia, d1 + d2 = 2a , tenemos

La ecuación 1b

y

a

x2

2

2

2

representa entonces una Elipse con centro en el origen y focos ( c, 0) ,

donde c = 22 ba . Generalmente se le llama Elipse Horizontal

Los vértices tienen coordenadas ( a, 0) que corresponden a los extremos del eje mayor y

(0, b) que corresponden a los extremos del eje menor.

La longitud del eje mayor está dada por 2a. El valor de a es conocido como semieje mayor.

La longitud del eje menor está dada por 2b. El valor de b es conocido como semieje menor.

La distancia interfocal F1F2 está dada por 2c

Se puede probar que la excentricidad está dada por e = a

c y las ecuaciones de las directrices, para este

caso son x = e

a

ELIPSE “VERTICAL”

De manera similar, si los focos se colocan sobre el eje Y, con coordenadas (0, c) resulta la ecuación

12

2

2

2

a

y

b

x , con a > b. A esta Elipse se le llama Elipse Vertical.

En este caso los extremos del eje mayor son (0, a) y los extremos del eje menor son ( b, 0). La longitud del eje mayor, la longitud del eje menor, y la distancia interfocal, también están dadas por 2a, 2b y 2c respectivamente.

En este caso puede probarse que las directrices están dadas por y = e

a y la excentricidad sigue

siendo e = a

c.

Si el punto P(x, y) está en la Elipse d (P, F1) + d (P,F2) = 2a Aplicando la fórmula para la distancia entre dos puntos :

a2yc)(xyc)(x 2222

Después de eliminar los radicales y simplificar se obtiene

1ca

y

a

x22

2

2

2

, a > c

Haciendo 222 cab , podemos

escribir 1b

y

a

x2

2

2

2

con a > b

F1 (– c, 0) F2 (c, 0) V1 (– a, 0) V2 (a, 0)

P (x, y)

d1 d2

b

c

a

Cónicas

208

Si el centro se traslada al punto (h, k) las ecuaciones se transforman en

12

2

2

2

b

k)(y

a

h)(x cuando el eje mayor es paralelo al eje X

12

2

2

2

a

k)(y

b

h)(x cuando el eje mayor es paralelo al eje Y

Las coordenadas de los focos y vértices también resultan “transformadas”. El siguiente cuadro presenta

un resumen de cada situación. En todos los casos se cumple la relación 222 cab , (a2 = b

2 + c

2),

LR = a

b2 2

y e = a

c.

Ecuación

Centro

Focos

Extremos del eje mayor

Extremos del eje menor

Directrices

1b

y

a

x

2

2

2

2

(0 , 0)

( c, 0)

( a, 0)

(0, b) x =

e

a

1a

y

b

x

2

2

2

2

(0 , 0)

(0, c)

(0, a)

( b, 0) y =

e

a

1b

)ky(

a

)hx(

2

2

2

2

(h, k)

(h c, k)

( h a, k)

(h, k b) x = h

e

a

1a

)ky(

b

)hx(

2

2

2

2

(h, k)

(h, k c)

(h, k a)

( h b, k) y = k e

a

1. Dada la cónica con ecuación 9x

2– 36x + 25y

2 + 150y + 36 = 0, determine las coordenadas de su

centro, vértices y focos SOLUCIÓN: Rescribimos la ecuación agrupando los términos en x y los términos en y. Luego factorizamos asegurando coeficiente 1 para x

2 y y

2.

(9x2 – 36x ) + (25y

2 + 150y) = – 36 9 (x

2 – 4x ) + 25 (y

2 + 6y ) = – 36

Completamos el trinomio cuadrado perfecto dentro de cada paréntesis. Recordemos que el término que falta en este caso es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal. Para no alterar la igualdad hemos de sumar al miembro de la derecha esta misma cantidad multiplicada por el factor que anteriormente extrajimos de cada paréntesis. 9 (x

2– 4x + 4) + 25 (y

2+ 6y + 9) = – 36 + (9) (4)+ (25) (9) = – 36 + 36 + 225 = 225

Factorizamos las expresiones dentro de cada paréntesis

9(x – 2)2 +25 (y + 3)

2 = 225

Dividimos cada término entre el valor obtenido a la izquierda

19

3)(y

25

2)(x 22

Reconocemos que es una Elipse e identificamos los valores de h, k, a y b. Vemos que h = 2, k = – 3, luego el centro de la Elipse se localiza en C(2, – 3)

EJEMPLOS

Cónicas

209

En la ecuación canónica de una Elipse, el mayor de los denominadores corresponde al valor de a2 y el

menor a b2. En este caso a

2 = 25 a = 5 ; b

2 = 9 b = 3.

Tenemos que c = 22 ba , luego c = 416925

Identificamos la disposición del eje mayor: en este ejemplo, dado que el mayor denominador aparece bajo el término en x, el eje mayor es horizontal.

Resulta : Extremos del eje mayor (h a, k) : (2 – 5, – 3) = ( – 3, – 3) y (2 + 5, –3) = (7, –3)

Extremos del eje menor (h, k b): (2, –3 –3) = (2, – 6) y (2, – 3 + 3) = (2, 0)

Focos (h c, k) : (2 – 4, – 3) = ( –2, –3) y (2 + 4, –3) = (6, –3)

2. Encuentre la ecuación de la Elipse que tiene un foco en F (4, – 3), y como directriz la recta

2x – y – 2 = 0 y excentricidad e = 2

1

SOLUCIÓN

Tenemos e = PD

PF PF = e PD (1)

PF = 2 2(x 4) ( y 3) PD = 2 2

|2x y 2 | |2x y 2|

52 ( 1)

Sustituyendo en (1) y elevando al cuadrado: (x – 4)2 + (y + 3)

2 =

21 (2x y 2)

4 5 .

Desarrollando y simplificando se obtiene: 16x2 + 19y

2 + 4xy – 152x + 116y + 496 = 0

3. Un arco de un paso a desnivel, tiene forma semielíptica con el eje mayor horizontal. La base del arco mide 30 m. y la parte más alta está a 10 m. por encima de una carretera que pasa por abajo del puente. Calcule la altura del arco sobre el punto del piso que está a 6 m. del centro.

1100

y

225

36 2

9.16225

36110y m.

h

6 m

30 m

10 m

SOLUCION Si colocamos el sistema de coordenadas de manera que el origen coincida con el centro de la Elipse, vemos que le corresponde una ecuación

de la forma 1b

y

a

x2

2

2

2

De los datos deducimos que a = 15 y b = 10

Luego la ecuación que describe el arco es 1100

y

225

x22

. La altura buscada corresponde al valor

positivo de y cuando x = 6. Sustituyendo en la ecuación se obtiene:

X

Y

V1(– 3, – 3) C (2, – 3) V2 (7, – 3)

F1 (– 2, – 3) F2 (6, – 3)

B2 (2, 0)

Cónicas

210

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determine las coordenadas de los vértices y focos de las siguientes elipses. Encuentre la excentricidad y la longitud del lado recto. Haga un bosquejo de la gráfica.

a) 14

y

9

x 22

b) 125

y

36

x 22

c) 1144

y

100

x 22

d) 149

y

81

x 22

e) 15

y

8

x 22

f) 4x2 + y

2 = 1 g) 9x

2 + 4y

2 = 1 h) 25x

2 + y

2 = 25

i) 4x2 + 49y

2 = 196 j). 4x

2 + 25y

2 = 36 k) 1

7

y

16

x 22

l) 19

y

8

x 22

2. Determine las coordenadas del centro y de los vértices y focos de las siguientes elipses. Encuentre la excentricidad y la longitud del lado recto. Haga un bosquejo de la gráfica.

a) 6x2 + 9y

2 – 24x – 54y + 51 = 0 b) x

2 + 4y

2 – 4x – 8y – 92 = 0

c) 2x2 + 3y

2 – 8x + 24y + 50 = 0 d) 5x

2 + 4y

2 + 20x – 8y + 4 = 0

e) 9x2 + 4y

2 – 8y – 32 = 0 f) 4x

2 + 9y

2 – 32x – 36y + 64 = 0

g) 4x2 + y

2 – 40x – 10y + 109 = 0 h) x

2 + 2y

2 + 4y – 10 = 0

i) 4x2 + y

2 = x + 5 j) 4x

2 + 5y

2 – 24x – 20y – 44 = 0

3. Determine la ecuación que satisfaga las condiciones indicadas para las siguientes Elipses con centro en el origen:

a) V (0, 8) y F (0, 72 ) b) F (0, 3) y longitud del eje menor 8 u.

c) V (5, 0) y pasa por (3, 5

16) d) F (3, 0) y longitud del eje mayor 12

e) F (2

2, 0) y pasa por (

4

6,

2

1) f) F (0, 2) y longitud del eje mayor 8

g) Pasa por (2, 2) y (1, 4) h) Pasa por (2, – 2) y ( 6 , 1)

4. Determine la ecuación de la Elipse que satisfaga las condiciones siguientes: a) F1 (–1, 2), F2 (–1, – 4) y longitud del eje mayor 10 b) V1 (1, 5), V2 (1, –1), F1 (1, 4) c) C (4, – 2), V (9, – 2) F (0, – 2)

d) V ( ),02

5, F (

2

3, 0) e) C (1, 2), F (1, 7), pasa por (4, 6)

f) V1 (– 5, 9), V2 (– 5, 1), LR = 3 g) C (3, 1), V (3, – 2), LR = 16/3 h) La distancia interfocal es 6, su excentricidad es e = 3/4, su centro C (3, – 2), eje menor horizontal.

i) Vértices (0, 6) y pasa por (3, 2) j) C (1, 2), la distancia entre sus directrices es 5 y la distancia entre sus focos es 4, eje mayor paralelo al eje X. k ) Centro en el origen, F (6, 0) y corta al eje Y en (0, – 3) 5. Calcular el área y el perímetro del rombo cuyos vértices son los focos y los extremos del eje menor de la Elipse 16x

2 + 25y

2 = 400.

6. Dada la Elipse x

2+ 4y

2 = 20 y la recta y = – x + b, encontrar los valores de b de manera que : a) la recta

corte a la elipse en un punto b) la recta corte a la elipse en dos puntos c) la recta no corte a la elipse. 7. Un arco de puente tiene forma semielíptica con el eje mayor horizontal. La base del arco mide 80 m y su altura máxima es de 30 m. Hallar la altura del arco en un punto situado a 15 m del centro.

Cónicas

211

8. Encuentre el lugar geométrico de los puntos P (x, y) tales que la razón de la distancia de P al punto

(3, 0) a su distancia a la recta x = 5 es igual a 3

6.

SOLUCIONES

1. a) V ( 3, 0), B (0, 2), F ( 5 , 0) b) V ( 6, 0), B (0, 5), F ( 11 , 0)

c) V (0, 12), B ( 10, 0), F (0, 44 ) d) V ( 9, 0), B (0, 7), F ( 4 2 , 0)

e) V ( 22 , 0), B (0, 5 ), F ( 3 , 0) f) V (0, 1), B ( 2

1, 0), F (0,

2

3)

g) V (0,2

1), B (

3

1,0), F (0,

6

5) h) V (0, 5), B ( 1, 0), F (0, 2 6 )

i) V ( 7, 0), B (0, 2), F ( 3 5 , 0) j) V ( 3, 0), B (0, 5

6), F (

5

213, 0)

k) V ( 4, 0), B (0, 7 ), F ( 3, 0) l) V (0, 3), B ( 2 2 , 0), F (0, 1)

2. a) C (2, 3), V (2 3, 3), B (2, 3 6 ), F (2 3 , 3), e = 3 /3, LR = 4

b) C (2, 1), V (2 10, 1), B (2, 1 5), F (2 5 3 , 1), e = 3 /2, LR = 5

c) C (2, – 4), V (2 3 ,– 4 ), B (2, – 4 2 ), F (2 1, – 4), e = 3 /3, LR = 4 3 /3

d) C (– 2, 1), V (– 2, 1 5 ), B (– 2 2, 1), F (– 2, 1 1), e = 5 /5, LR = 8 5 /5

e) C (0, 1), V (0, 1 3), B ( 2, 1), F (0, 1 5 ) , e = 5 /3, LR = 8/3

f) C (4, 2), V (4 3, 2), B (4, 2 2), F (4 5 , 2), e = 5 /3, LR = 8/3

g) C (5, 5), V (5, 5 4), B (5 2, 5), F (5, 5 2 3 ), e = 3 /2, LR = 2

h) C (0, – 1), V ( 2 3 , – 1), B (0, – 1 6 ), F ( 6 , – 1), e = 2 /2, LR = 2 3

i) C (1/8, 0), V (1/8, 9/4), B (1/8 9/8, 0), F (1/8, 9 3 /8), e = 3 /2, LR = 9/8

j) C ( 3, 2), V ( 3 5, 2), B ( 3, 2 2 5 ), F (3 5 , 2), e = 5 /5, LR = 4

3. a) 164

y

36

x 22

b) 125

y

16

x 22

c) 116

y

25

x 22

d) 127

y

36

x 22

e) x

2 + 2y

2 = 1 f) 16x

2 + 12y

2 = 192 g) 4x

2 + y

2 = 20 h) 3x

2 + 2y

2 = 20

4. a) 125

1)(y

16

1)(x 22

b) 19

2)(y

5

1)(x 22

c) 19

2)(y

25

4)(x 22

d) 16x2 + 25y

2 = 100 e) 1

40

2)(y

15

1)(x 22

f) 8x2 + 3y

2 + 80x – 30y + 227 = 0

g) 9 (x – 3)2 + 8 (y – 1)

2 = 72 h) 16 (x – 3)

2 + 7 (y + 2)

2 = 112 i) 1

36

y

81

x8 22

j) (x – 1 )2 + 5(y – 2)

2 = 5 k) x

2 + 5y

2 = 45

5. P = 20 u., A = 24 u2 6. a) b = 5 b) |b| < 5 c) |b| > 5 7. 27.81 m.

8. (x + 1)2 + 3y

2 = 24

Cónicas

212

6.5. HIPÉRBOLA DEFINICIÓN Una Hipérbola es el conjunto de puntos P del plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias entre P y dos puntos fijos F1 y F2 , llamados focos, es constante.

d(P, F1) – d(P. F2) = k (constante)

6.5.1. ELEMENTOS DE UNA HIPERBOLA

El punto medio del segmento que une los focos F1F2 se llama el centro de la hipérbola.

La recta que pasa por los focos, se llama eje transverso o eje principal de la hipérbola

Los puntos donde el eje transverso corta a la hipérbola se llaman vértices.

La distancia entre los vértices se conoce como la longitud del eje transverso.

La recta perpendicular al eje transverso, que pasa por el centro se llama eje conjugado.

Asociadas a cada foco hay dos rectas perpendiculares al eje transverso llamadas directrices

La razón eL)(P,d

F)(P,d es la excentricidad. Para una hipérbola e > 1 . Lo que significa que la distancia

de cualquier punto de la hipérbola a un foco es mayor que la distancia de dicho punto a la directriz asociada a ese foco. 6.5.2. ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA

Si colocamos el centro de la hipérbola en el origen y los focos sobre el eje X con coordenadas ( c, 0).

Tomando por conveniencia d1 – d2 = 2a , tenemos : Si el punto P (x, y) está en la hipérbola ,

2 2 2 2(x c) y (x c) y = 2a

luego 2 2 2 2(x c) y (x c) y = 2a

2 2(x c) y 2 2(x c) y 2a

Elevando al cuadrado se obtiene (x + c)2 + y

2 = [(x – c)

2 + y

2] 4a 2 2(x c) y + 4a

2

Simplificando 2 2(x c) y 2 2(x c) y 2a

Elevando al cuadrado se obtiene (x + c)2 + y

2 = [ (x – c)

2 + y

2] 4a 2 2(x c) y + 4a

2

Simplificando 4xc = 4a 2 2(x c) y + 4a2

X

Y

Foco

Foco

Vértice Vértice

Asíntota Asíntota

Cónicas

213

(xc – a2 ) = 4a 2 2(x c) y

Elevando al cuadrado de nuevo cada lado x

2c

2 – 2xca

2 + a

4 = a

2 (x

2– 2xc + c

2 + y

2)

simplificando ( c2– a

2) x

2 – a

2y

2 = a

2 ( c

2 – a

2) 1

ac

y

a

x22

2

2

2

Haciendo b2 = c

2 – a

2 , podemos escribir

2 2

2 2

x y1

a b

Por tanto la ecuación 2 2

2 2

x y1

a b corresponde a una hipérbola con centro en el origen y focos

( c, 0) donde c = 2 2a b

De manera similar si los focos se colocan sobre el eje Y, con coordenadas (0, c) resulta la ecuación 2 2

2 2

y x1

a b donde c = 2 2a b

Si (x, y) está en la hipérbola 12

2

2

2

b

y

a

x , se tiene que 1

2

2

a

x o sea x

2 a

2, lo que significa que esta

hipérbola no tiene puntos en el intervalo x (– a, a) y por tanto no corta al eje Y.

De manera similar si (x, y) está en la hipérbola 12

2

2

2

b

x

a

y se tiene 1

2

2

a

y , y

2 a

2, lo que significa

que esta hipérbola no tiene puntos para y (– a, a) y por tanto no corta al eje X.

X X

Y Y

1b

y

a

x2

2

2

2

1b

x

a

y2

2

2

2

Cónicas

214

SIGNIFICADO DE b. ASÍNTOTAS

Al considerar la ecuación 12

2

2

2

b

y

a

x , al despejar y se obtiene y =

2

2

x

a1

a

bx

Cuando x aumenta, la cantidad 2

2

x

a1 se acerca a 1. Luego para x muy grande,

y a

bx, es decir la gráfica de la hipérbola se acerca a los puntos de las rectas, y =

a

bx,

Estas rectas reciben el nombre de asíntotas de la hipérbola.

El segmento de recta con extremos en (0, b) se le llama eje conjugado, y a los puntos

(0, b) extremos del eje conjugado.

Para la hipérbola 12

2

2

2

b

x

a

y, las ecuaciones de las asíntotas resultan y =

b

ax. Observe que se

parecen a las asíntotas del caso anterior, pero no son iguales. En general una forma de obtenerlas es sustituir el 1 que aparece en el lado derecho por 0 y resolver para y.

Si el centro se traslada al punto (h, k) , las ecuaciones se transforman en 2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b cuando el eje principal es paralelo al eje X

2 2

2 2

(y k) (x h)1

a b, cuando el eje principal es paralelo al eje Y.

De igual manera las coordenadas de los vértices, focos, etc. se “trasladan”. El siguiente cuadro presenta un resumen de cada situación. En todos los casos se cumple la relación a

2 + b

2 = c

2.

Nota: observe que esta relación se parece, pero es diferente a la que resultó para la Elipse. En el caso de la hipérbola c > a y c > b, entre a y b no hay relación definida, pueden ser iguales o distintas. En todos

los casos se tiene LR = a

b2 2

y e = a

c.

Ecuación

Centro

Focos

Vértices

Extremos Del eje conjugado

Directrices

Asintotas

2 2

2 2

x y1

a b (0, 0)

( c, 0)

( a, 0)

(0, b) x = e

a y =

a

bx

2 2

2 2

y x1

a b

(0, 0)

(0, c)

(0, a)

( b, 0)

y = e

a

y = b

ax

2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b

(h, k)

(h c, k)

(h a, k)

(h, k b)

x = h e

a

y = k )(a

bhx

2 2

2 2

(y k) (x h)1

a b

(h, k)

(h, k c)

(h, k a)

(h b, k)

y = k e

a

y = k )(b

ahx

Cónicas

215

Para las siguientes hipérbolas, determine las coordenadas del vértice, los extremos del eje conjugado, focos; las longitudes del eje transverso, del eje conjugado, lado recto y la distancia interfocal. Encuentre la excentricidad y determine las ecuaciones de las directrices y de las asíntotas. 1. 9x

2 – 4y

2 = 36

SOLUCIÓN:

Primero la expresamos en la forma canónica 1b

y

a

x

2

2

2

2

. Para ello dividimos cada lado entre 36,

obteniendo 36

36

36

y4

36

x9 22

19

y

4

x 22

. Identificamos que a2 = 4 y b

2 = 9

Resulta a = 2 y b = 3 . Calculamos el valor de c : c = 22 ba = 1332 22 3.6

Dado que en la forma canónica aparece el término con la variable x positivo, nos indica que el eje transverso es el eje x. También podemos guiarnos con la tabla anterior

Tenemos: Vértices ( 2, 0) Extremos del eje conjugado: (0, 3) Focos : ( 3.6, 0) Longitud eje transverso: 2a = 4 Longitud eje conjugado: 2b = 6

Distancia interfocal: 2c 7.2 Lado recto : LR = 2 (32 )/ 2 = 9

Excentricidad: e 3.6 / 2 = 1.8 Directrices x = a/e = 2 / 1.8 1.11...

Asíntotas: y = 2

x3

2. 4y

2 – x

2 = 16

SOLUCIÓN:

Dividiendo entre 16 se obtiene 116

x

4

y 22

Identificamos que el eje transversal es el eje Y y que a2 = 4, b

2 = 16 o sea a = 2 y b = 4

Calculamos c, obteniendo c = 5220164 4.47

Vértices: (0, 2) Extremos del eje conjugado: ( 4, 0) Focos : (0, 2 5 )

Longitud del eje transverso: 2a = 2(2) = 4 Longitud del eje conjugado: 2b = 2(4) = 8

Distancia interfocal: 2c = 2 (2 5 )= 4 5 8.944 Lado recto LR = a

b2 2

= 2

)2(42

= 16

Excentricidad: e = 52

52

a

c Asíntotas y =

2

x

4

x2

b

ax

Directrices: y = e

a=

5

52

5

2

X

Y

V(2, 0) V’( – 2, 0)

B(0, 3)

B’(0, –3)

F(3.6, 0) F’( – 3.6, 0)

EJEMPLOS

Cónicas

216

3. 2x2 – y

2 = 2

SOLUCIÓN:

Dividiendo entre 2, se tiene 12

yx

22

. Deducimos que el centro es el origen y el eje transversal el eje

X. Identificamos que a2 = 1 y b

2 = 2, luego a = 1 y b = 2 , por tanto c = 3 .

Resulta entonces: Centro (0, 0), Extremos del eje transversal: ( 1, 0),

Extremos del eje conjugado: (0, 2 ), Focos: ( 3 , 0), Excentricidad: e = 3a

c, Lado recto:

LR = 41

(2)2

a

b2 2

, Asíntotas: y = 2 x

4. 4x

2 – 5y

2 – 32x –50y – 41 = 0

SOLUCIÓN: Rescribimos la ecuación agrupando los términos en “x” y los términos en “y”. Luego factorizamos para asegurar que los coeficientes de x

2 y y

2 sean igual a 1. Completamos trinomios cuadrados perfectos y

después de simplificar obtenemos la forma canónica.

(4x2 – 32x ) + (– 5y

2 – 50y) = 41 4 (x

2 – 8x ) – 5 (y

2 + 10x ) = 41

4 (x2 – 8x +16 ) – 5 (y

2 + 10x + 25 ) = 41 + 4 (16) – 5 (25) = – 20

4 (x – 4 )2 – 5 (y + 5)

2 = – 20 5 (y + 5)

2 – 4 (x – 4 )

2 = 20

120

4)(x4

20

5)(y5 22

15

4)(x

4

5)(y 22

Tenemos h = 4 , k = – 5 , a = 2 , b = 5 , c = 3

Centro: (h, k) = (4, – 5) Vértices: (h, k a) V1 = (4, –7) , V2 = (4, – 3)

Extremos del eje conjugado: (h b, k) B1 = (4 – 5 , – 5) B2 = (4+ 5 , – 5)

Focos (h, k c) F1 = (4, – 8) F2 = (4, – 2)

Longitud eje transverso: 2a = 4, Longitud eje conjugado 2b = 2 5

Distancia interfocal: 2c = 6 Lado recto: LR = a

b2 2

= 52

)5(2 2

5. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son (0, 3) y la longitud de su eje transverso es 8. Hallar su ecuación y su excentricidad. SOLUCIÓN: En vista de que los extremos del eje conjugado están ubicados sobre el eje Y, a igual distancia del origen, el centro de la hipérbola es el origen y su eje transverso está sobre el eje X, luego le corresponde

una ecuación de la forma 1b

y

a

x2

2

2

2

. Como la longitud del eje transverso es 2a = 8, tenemos a = 4.

De la información sobre las coordenadas de los extremos del eje conjugado deducimos que b = 3. Por

tanto el valor de c es c = 22 34 = 5. La excentricidad está dada por e = c / a, luego e = 5 / 4 = 1.25.

La ecuación de la hipérbola es 13

y

4

x2

2

2

2

o sea 19

y

16

x 22

Cónicas

217

6. Encuentre el ángulo agudo que determinan las asíntotas de la hipérbola 116

y

9

x 22

SOLUCIÓN: Para hallar las asíntotas, sustituimos el 1 de la ecuación por 0 y simplificamos. En el ejemplo se obtiene:

y = x3

4. Luego las pendientes son m1 =

3

4 y m2 =

3

4.

Tenemos tan = 21

21

mm1

mm =

7

24

9

73

8

3

4

3

41

3

4

3

4

= tan– 1

7

24= – 73.74º

El resultado aparece negativo por el orden en que se tomaron las asíntotas; al invertir el orden resulta la

medida del ángulo buscado: = 73.74º. EJERCICIOS 1. Para las siguientes hipérbolas, determine las coordenadas del centro, vértices, los extremos del eje conjugado, focos; las longitudes del eje transverso, del eje conjugado, lado recto y la distancia interfocal. Encuentre la excentricidad y determine las ecuaciones de las directrices y de las asíntotas

a) x2 – y

2 = 9 b) 1

20

x

16

y 22

c) 4x2 – 5y

2 = 7 d) 16x

2 – 9y

2 = 144

e) 18

2)(y

4

2)(x 22

f) 15

4)(x

4

5)(y 22

g) 4x2 – 9y

2 + 32x + 36y + 64 = 0 h) x

2 – y

2 + 6x + 10y – 4 = 0

2. Determine la ecuación de la hipérbola que satisfaga las siguientes condiciones

a) Focos (0, 4), vértices (0, 1)

b) Vértices ( 3, 0), asíntotas y = x

c) Los extremos del eje conjugado son (0, 3) y su lado recto mide 6. d) Tiene centro en el origen, su eje conjugado está en el eje X, la longitud de cada lado recto es 2/3 y pasa por A (– 1, 2) e) Pasa por (6, 2), tiene su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje X y una de sus asíntotas es la recta 2x – 5y = 0. f) El centro es el punto (2, -2) y uno de sus vértices es el punto (0, -2). La longitud del lado recto es 8.

g) V ( 2, 0); la longitud del eje conjugado es 6 h) Los focos de una hipérbola son los puntos (4, – 2) y (4, – 8). La longitud de su eje transverso es 4. i) Pasa por (4, 6), eje transverso paralelo al eje X, asíntotas 2x + y – 3 = 0 2x – y – 1 = 0 j) Tiene los mismos focos que la Elipse 3y

2 + 4x

2 = 48, y su excentricidad es una unidad mayor que la

excentricidad de la Elipse. k) Sus vértices son (– 3, 2) y ( – 3, – 2). Su eje conjugado mide 6 u. l) Centro en el origen, pasa por (3, – 1), eje transverso paralelo al eje X, una asíntota es

2x + 3 2 y = 0

Cónicas

218

3. Hallar el ángulo agudo de intersección de las asíntotas de la hipérbola a) 4x

2 – 9y

2 + 32x + 36y + 64 = 0

b) 9x2 – y

2 – 36x – 2y + 44 = 0

4. Determine donde corta la recta 2x – 9y + 12 = 0 a las asíntotas de 4x

2 – 9y

2 = 11

5. Hallar la distancia desde uno de los focos a cualquiera de las asíntotas de 16x

2 – 9y

2 = 144

6. Encuentre la ecuación de una hipérbola que tiene los mismos focos que la Elipse 4x

2 +3y

2 = 48 y su

excentricidad es una unidad mayor que la excentricidad de la Elipse. 7. Los focos de una hipérbola coinciden con los focos de la elipse 9x

2 + 25y

2 = 225. Hallar su ecuación si

su excentricidad es 2. 8. Calcular el área del triángulo formado por las asíntotas de la hipérbola 9x

2 – 4y

2 = 36 y la recta

9x + 2y – 24 = 0

9. Probar que la hipérbola 1b

y

a

x2

2

2

2

queda definida por el sistema de ecuaciones paramétricas

x = a sec , y = b tan , donde recorre el intervalo [0, 2 ]. SOLUCIONES

1. a) V ( 3, 0), B (0, 3), F ( 3 2 , 0), LR = 6, e = 2 , D: x = 3 2 /2, A: y = x

b) V (0, 4), B ( 2 5 , 0), F (0, 6), LR = 10, e = 1.5, D: y = 8/3, A: y = ( 2 5 /5)x

c) V (0, 7 /2), B ( 35 /5, 0), F (0, 3 35 /10), LR = 4 7 /5, e = 3 5 /5, D: y = 35 /6

A: y = (4/3)x

d) V ( 3, 0), B (0, 4), F ( 5, 0), LR = 32/3, e = 5/3, D: x = 9/5, A: y = (4/3)x

e) C (2, – 2), V (2 2, – 2), B (2, – 2 2 2 ), F (2 2 3 , – 2), LR = 8, e = 3 , D: x = 2 2 3 /3,

A: y + 2 = 2 (x – 2)

f) C (4, – 5), V (4, – 5 2), B (4 5 ,– 5), F (4, – 5 3), LR = 5, e = 1.5, D: y = – 5 4/3,

A: y + 5 = (2 5 /5) (x – 4 )

g) C (– 4, 2), V (– 4, 2 2), B (– 4 3, 2), F (– 4, 2 13 ), LR = 9, e = 13 /2,

D: y = 2 4 13 /13, A: y – 2 = (2/3) (x + 4)

h) C (– 3, 5), V (– 3, 5 2 3 ), B (– 3 2 3 , 5), F (– 3, 5 2 6 ), LR = 2 , D: y = 5 6 ,

A: y – 5 = (x + 3) 2. a) 15y

2 – x

2 =25 b) 4x

2 – y

2 = 36 c) x

2 – y

2 = 9 d) y

2 – 3x

2 = 1 e) 4x

2 – 25y

2 = 44

f) 18

2)(y

4

2)(x 22

g) 9x2 – 4y

2 = 36 h) 1

5

4)(x

4

5)(y 22

i) 4x2 – y

2 – 8x + 2y – 8 = 0 j) 45y

2 – 36x

2 = 80 k) 1

9

3)(x

4

y 22

l) 2x2 – 9y

2 = 9

3. a) 67.38º b) 36º 52’ 4. (3, 2), (2

3, 1) 5. 4

6. 45y2 – 36x

2 = 80 7. 3x

2 – y

2 = 12

Cónicas

219

6.6. ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO La ecuación A x

2 + Bxy + Cy

2 + Dx + Ey + F = 0 , con A, B, y C no todas ceros, se conoce como

ecuación general de segundo grado. Las diferentes ecuaciones obtenidas para las cónicas son de este tipo, y de manera reciproca en lo general, si la ecuación general de segundo grado representa una curva en el campo de los números reales, esta es una cónica, salvo los casos en que se degenera en un punto, una recta o un par de rectas. Consideremos el caso en que B = 0, es decir cuando la ecuación no contiene el término con xy . En este caso la ecuación tendrá la forma Ax

2 + Cy

2 + Dx + Ey + F = 0

Si A = C, la ecuación representa una circunferencia, un punto o no hay curva real.

Si A = 0 ó B = 0, pero no ambas a la vez, la ecuación corresponde a una parábola.

Si A B, pero ambas con igual signo, la ecuación corresponde a una Elipse, un punto o no hay curva real.

Si A y B tienen signos diferentes, la ecuación corresponde a una hipérbola o bien la curva se degenera en un par de rectas que se cruzan. Ejemplos: 1) x

2 – y

2 – 10x + 4y + 22 = 0, es una hipérbola, ya que A y C tienen signos diferentes

A = 1 y C = – 1. Al llevarla a la forma canónica, se obtiene (y – 2)2 – (x – 5)

2 = 1

2) 16x2 – 8x – 4y + 1 = 0, es una parábola, ya que A = 16 0 y C = 0: (x

4

1)2 =

4

1y

3) 3x2 + 3y

2 – 4x + 6y – 5 = 0, es una circunferencia, ya que A = B = 3: (x

3

2)2 + (y + 1)

2 =

9

28

6.6.1. ROTACIÓN DE EJES Ecuación general de segundo grado Consideremos una transformación de coordenadas de un sistema XY a otro X’Y’ mediante una rotación

de los ejes X e Y en un ángulo en sentido antihorario. Un punto P (x, y) en el sistema XY , tendrá coordenadas (x’, y’) en el sistema X’Y’. Busquemos la relación entre estas coordenadas: Tracemos desde P los segmentos OP, AP y PB que unen P con el origen y los ejes X y X’ (ver figura)

Tenemos x = OA = OP cos ( + ) (1) y = AP = OP sen ( + ) (2)

x’ = OB = OP cos (3) y” = OP = sen (4) Aplicando las fórmulas para el seno y el coseno de las sumas de ángulos se tiene:

x = OP ( cos cos – sen sen ) y = OP (sen cos + cos sen ) Luego al considerar (3) y (4) se obtiene

Si despejamos x’ y y’ en función de x e y obtenemos

x = x’ cos – y’ sen

y = x’ sen + y’ cos (5)

Y

Y’

X

X’

O A

B

P (x, y) P’ (x’, y’)

Cónicas

220

Cuando dos sistemas de coordenadas satisfacen estas ecuaciones, decimos que están relacionadas por

una rotación de ejes. Los ejes X’ e Y’ se obtienen rotando los ejes X e Y un ángulo . Para la ecuación general de segundo grado, que es de la forma Ax

2 + Bxy + Cy

2 + Dx + Ey + F = 0

con A, B y C no todas cero, se puede probar que siempre es posible rotar los ejes de modo que en el nuevo sistema no haya término en x’y’.

Si hacemos x = x’ cos – y’ sen

y = x’ sen + y’ cos y sustituimos en la ecuación general, se obtiene

Ax2 = A( x’ cos – y’ sen )

2 = A( x’

2cos

2 – 2x’y’ sen cos + y’

2 sen

2 )

Bxy = B(x’ cos – y’ sen ) (x’ sen + y’ cos )

= B[x’2 sen cos + x’y’( cos

2 – sen

2 ) – y’

2 sen cos ]

Cy2 = C(x’ cos – y’ cos )

2 = C ( x’

2 sen

2 + 2x’y’ sen cos + y’

2 cos

2 )

Dx = D( x’ cos – y’ sen )

Ey = E( x’ sen + y’ cos ) La ecuación general se reduce a A’ x’

2 + B’ x’y’ + C y’

2 + D’ x’ + E y’ + F’ = 0

donde: A’ = A cos2 + B sen cos + C sen

2

B’ = 2 (C-A) sen cos + B ( cos2 - sen

2 )

C’ = A sen2 – B sen cos + C cos

2

D’ = D cos + E sen

E’ = -D sen + E cos F’ = F Para que no aparezca el término en x’y’, B’ = 0 o sea

2(C-A) sen cos + B (cos2 – sen

2 ) = 0

Recordando que 2 sen cos = sen 2 y cos2 – sen

2 = cos 2 resulta

θ2cotB

CA lo que equivale a tan 2 =

CA

B

Es decir tomando de tal forma que satisfaga la relación anterior, B’ = 0 y la ecuación se reduce a A’ x’

2 + C y’

2 + D’ x + E’ y +F’ = 0

La cual representa una cónica con los ejes trasladados o bien una cónica degenerada en el sistema X’Y’ Al transformar un sistema de coordenadas ya sea mediante una traslación o rotación de ejes resulta que A + C = A’ + C’ y B

2 – 4AC = B’

2 – 4ª’C’ , es decir estas expresiones son cantidades invariantes.

Puede probarse el siguiente teorema: TEOREMA: Dada la ecuación Ax

2 + Bxy + Cy

2 + Dx + Ey + F = 0

i) Si B

2 – 4AC < 0, la curva es una ELIPSE, una CIRCUNFERENCIA, un PUNTO o bien no hay curva.

ii) Si B

2 – 4AC > 0 , la curva es una HIPÉRBOLA o dos rectas que se cortan

iii) Si B

2 – 4AC = 0, la curva es una PARÁBOLA, dos rectas paralelas o bien no hay curva.

x’ = x cos + y sen

y’ = – x sen + y cos (6)

Cónicas

221

1. Transforme la ecuación 2x2 – 12 3 xy – 10y

2 + 20 = 0, girando los ejes 60º

SOLUCIÓN: Tenemos

x = x’ cos – y’ sen = x’ cos 60º – y’ sen 60º = '2

3'

2

1yx

y = x’ sen + y’ cos = x’ sen 60º + y’ cos 60º = '' y2

1x

2

3

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación dada se obtiene:

2 ( '2

3'

2

1yx )

2 – 12 3 ( '

2

3'

2

1yx )( '

2

1'

2

3yx ) – 10( '

2

1'

2

3yx )

2 + 20 = 0

Después de efectuar los productos indicados y simplificar los términos semejantes resulta:

4x’ 2 – 2y’

2 = 5

lo cual corresponde a una hipérbola, con el eje transverso el eje X’ 2. Realizar una transformación de los ejes coordenados de modo que desaparezca el término xy en la ecuación x

2 + 4xy + 4y

2 = 9

SOLUCIÓN: Comparándola con la ecuación general de segundo grado identificamos que A = 1 , B = 4, C = 4. Tenemos que B

2 – 4AC = 4

2 – 4(1) (4) = 0, luego la cónica es una parábola.

cot 2 = 4

3

4

41

B

CA tomando 0 2 , 2 está en el segundo cuadrante y en el primero

cos 2 = 5

3 y sen 2 =

5

4

cos = 5

1

2

5)/3(1

2

θ2cos1 sen =

5

4

2

5)/3(1

2

θ2cos1

Al rotar un ángulo

x = x’ cos – y’ sen x = y'5

2x'

5

1

y = x’ sen + y’ cos y = y'5

1x'

5

2

Sustituyendo en la ecuación se obtiene

( y'5

2x'

5

1)2 + 4 ( y'

5

2x'

5

1)( y'

5

1x'

5

2 ) + 4 ( y'

5

1x'

5

2 )

2 = 9

5

1 ( x’

2 – 4x’y’ + 4y’

2) +

5

4( 2x’

2 – 3x’y’ – 2y’

2) +

5

4( 4x’

2 + 4x’y’ + y’

2) = 9

Después de simplificar se obtiene x’2 =

5

9 o sea x’ =

5

53 que corresponden a dos rectas paralelas en

el sistema X’Y’.

Estas rectas equivalen a x + 2y = 3 en el sistema XY.

EJEMPLOS

Cónicas

222

3. Realizar una transformación de los ejes coordenados de modo que desaparezca el término xy en la ecuación 2x

2 + 3xy – 2y

2 = 25

SOLUCIÓN: Identificamos A = 2 , B = 3 y C = – 2 B

2 – 4AC = 9 – 4(2)( – 2) = 7 > 0 , luego, si es una cónica , es

una hipérbola.

cot 2 = 3

4

3

2)(2

B

CA luego 2 está en el I o III cuadrante. Tomando 2 en el I cuadrante, se

tiene cos 2 = 4/5 y sen 2 = 3/5

cos = 10

9

2

5)/(41

2

θ2cos1 sen =

10

10

10

1

2

5)/(41

2

θ2cos1

x = x’ cos – y’ sen x = y'10

10x'

10

103

y = x’ sen + y’ cos y = 10 3 10

x' y'10 10

Sustituyendo en la ecuación

2( y'10

10x'

10

103)2 + 3( y'

10

10x'

10

103)( y'

10

103x'

10

10) – 2( y'

10

103x'

10

10)2 = 25

Efectuando las operaciones indicadas y simplificando se obtiene

25 x’2 – 25 y’

2 = 250 o sea 1

10

y'

10

x' 22

Esta ecuación representa una hipérbola, con vértices en el sistema X’Y’: V( 10 ,0)

En el sistema XY , se tiene x = 3(0)10

1)10(

10

3

y = 1(0)10

3)10(

10

1 V1 (3,1) y V2(– 3, – 1)

X

X’

Y Y’

Cónicas

223

4. Realizar una transformación de los ejes coordenados de modo que desaparezca el término xy en la ecuación x

2 + 2xy + y

2 – 8x +8y = 0

Tenemos A =1 , B = 2 y C = 1 B2 – 4AC = 4 – 4(1)(1) = 0 si es cónica, será una parábola.

cot 2 = 02

11

B

CA cos 2 = 0 y sen 2 = 1 , luego = 45 = /4

sen = cos = 2

2 x = x’ cos - y’ sen =

2

2( x’ – y’)

y = x’ sen + y’ cos = 2

2(x’ + y’)

Sustituyendo en la ecuación

[2

2( x’ – y’)]

2 + 2 [

2

2( x’ – y’)] [

2

2(x’ + y’) ] + [

2

2(x’ + y’) ]

2

8[2

2( x’ – y’)]+ 8[

2

2(x’ + y’) ] = 0

Simplificando se obtiene

4x’2 + 16 2 y’ = 0 o sea x’

2 = – 4 2 y’ que corresponde a una parábola con vértice en el origen y foco

F( 0, – 2 ) en el sistema X’Y’.Su directriz es y’ = 2 .

Puede verificarse que en el sistema XY el foco es (1,-1) y la directriz la recta y – x = 2 5. Simplifique 8x

2 – 12xy + 17y

2 – 80 = 0 mediante una rotación que elimine el término en xy.

Tenemos A = 8, B = – 12 y C = 17 . tan 2 = 3

4

178

12

CA

B

Tomando 2 I C, resulta cos 2 = 5

3 y sen 2 =

5

4, 26.56º

cos = 2

θ2cos1=

5

4

2

5/31 sen =

2

θ2cos1=

5

1

2

5/31

Luego : x = x’ cos – y’ sen = 5

2x’ –

5

1y’ ; y = x’ sen + y’ cos =

5

1x’ +

5

2y’

Sustituyendo en la ecuación dada se obtiene:

8 (5

2x’ –

5

1y’)

2 – 12(

5

2x’ –

5

1y’)(

5

1x’ +

5

2y’) + 17 (

5

1x’ +

5

2y’)

2 – 80 = 0

Desarrollando los productos indicados y simplificando se obtiene la Elipse:

14

y'

16

x' 22

X

X’

Y Y’

F (1, – 1)

Cónicas

224

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Encuentre la ecuación de la cónica que satisface las siguientes condiciones: a) F (0, 1), Directriz: y + 3 = 0, e = 1

b) F (2, 0), directriz: x = 8, e = 2

1

c) F ( 0,2 ), Directriz: x = 2

2, e = 2

2. Obtener las ecuaciones transformadas de cada una de las siguientes ecuaciones cuando el sistema de

coordenadas se hace girar el ángulo indicado: a) xy = 5, = 45º

b) 21x2 – 10 3 xy + 31y

2 = 144; = 30º c) y

2 = x, si es el ángulo agudo tal que tan = 2/3.

3. Simplificar llevando a la forma canónica

a) 7x2 – 6 3 xy + 13y

2 – 4 3 x – 4y – 12 = 0

b) x2 – 2 3 xy + 3y

2 + (4 – 16 3 ) x – (4 3 + 16)y + 4 = 0

c) x2 + y

2 – xy + 2 x – 2 2 y + 2 = 0

d) x2 – 2xy + y

2 – 2 = 0

e) 19x2 + 6xy + 11y

2 + 38x + 6y + 29 = 0

4. Obtenga la ecuación de la Hipérbola equilátera, que pasa por (– 1, – 5) y sus asíntotas son los ejes coordenados. R/ xy = 5 5. Bosqueje las siguientes regiones del plano a) Limitada por y

2 = 4x y 2x + y – 4 = 0

b) Limitada por x2 – y

2 = 1; y = 2; y = – 2

c) Dentro de x2 + y

2 = 20 y por encima de y = x

2

d) Limitada por x2 + y

2 = 9 y 4x

2 + 9 y

2 = 36

e) Limitada por y2

= 6x y | y | = x – 3 f) La menor de las regiones que están limitadas por x

2 + y

2 = 25 y 2x + y = 10

g) La mayor de las regiones que están limitadas por x + 3y = 0 y 4x2 + 9y

2 = 36.

h) Dentro de x2 + y

2 = 16 y fuera de x

2 + y

2 = 9 y de (x – 4)

2 + y

2 = 4

i) Limitada por x2 + y

2 = 4 y x

2 + y

2 – 8x – 8y + 12 = 0

j) Dentro e x2 + y

2 = 16 y fuera de (x – 2)

2 + y

2 = 4 y de (x + 2)

2 + y

2 = 4

Cónicas

225

(REPASO) SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. Una circunferencia de radio 3 tiene centro en (3,2). La ecuación de la circunferencia está dada por A. x

2 + y

2 + 6x + 4y + 4 = 0 B. x

2 + y

2 – 6x – 4y = 9 C. x

2 + y

2 + 6x + 4y = 9

D. (x + 3)2 + (y + 2)

2 – 9 = 0 E. x

2 + y

2 – 6x – 4y + 4 = 0

2. El centro de la circunferencia cuya ecuación está dada por x2 – x + y

2 +

3

2y

36

445= 0 es

A. ( 2

1,

2

1) B. (

3

1,

2

1) C. (

3

1,

2

1) D. (

3

1,

2

1) E. ( – 1,

3

2)

3. La gráfica que representa al conjunto {(x, y) / x

2 – 4y

2 – 2x + 8y –2 = 0} es una

A. Circunferencia B. Parábola C. Elipse D. Hipérbola E. Recta 4. La gráfica que representa al conjunto {(x, y) / x

2 + 3y

2 = 36} es una

A. Circunferencia B. Parábola C. Elipse D. Hipérbola E. Recta 5. Dada la parábola con ecuación y

2 – 2y + x = 0, las coordenadas de su vértice son

A. (1, 1) B. (– 2, 1) C. (2, 1) D. (1, – 1) E. (2, – 1) 6. La ecuación de la parábola con vértice en el punto (3, 2) y foco en el punto (5, 2) es A. (y – 2)

2 = 8 (x – 3) B. (x – 3)

2 = 5 (y – 2) C. (y – 2)

2 = 8 (x – 5)

D. (x – 3)2 = 8 (y – 2) E. (y – 2)

2 = 5 (x – 3)

7. Dada la Elipse con ecuación 9x

2 + 4y

2 – 18x + 16y – 11 = 0, entonces las coordenadas de su centro

son A. (2, 1) B. (1, – 2) C. (1, 2) D. (– 2, 1) E. (9, 4) 8. La ecuación de la Elipse con centro en (0, 2), con eje mayor paralelo al eje Y, de longitud 6 y con eje menor de longitud 2, está dada por

A. 14

2)(y

9

x 22

B. 14

x

36

2)(y 22

C. 19

2)(y

1

x 22

D. 136

2)(y

4

x 22

9. Dada la Elipse con ecuación 9x

2 + 25y

2 – 36x – 189 = 0, entonces el centro de la Elipse está dado por

el punto A. (0, – 2) B. (0, 2) C. (– 2, 0) D. (2, 0) E (0, 0) 10. Los vértices de la Elipse con ecuación 9x

2 + 25y

2 – 36x – 189 = 0 están dados por

A. (–2, 0) y (6, 0) B. (–3, 0) y (7, 0) C. (–2, 0) y (7, 0) D. (–3, 0) y (6, 0) 11. Los puntos de intersección de la circunferencia con ecuación x

2 + y

2 = 1 y la Elipse con ecuación

x2 + 4y

2 = 4 son

A. (0, 0) y (1, –1) B. (1, 0) y (–1, 0) C. (–1, 0) y (0, 1) D. (0, –1) y (0,1) 12. La ecuación de la Elipse con centro en (– 4, – 2), con eje mayor paralelo al eje X y de longitud 10, y eje menor de longitud 6 está dada por

A. 136

2)(y

25

4)(x 22

B. 19

2)(y

25

4)(x 22

C. 136

2)(y

100

4)(y 22

D. 19

2)(y

25

4)(x 22

Cónicas

226

13. La ecuación de la hipérbola con centro en el origen, un vértice en el punto (0, 3), un foco en el punto (0, 5) está dada por

A. 116

x

9

y 22

B. 125

3)(y

16

x 22

C. 19

x

16

y 22

D. 125

x

9

y 22

14. Dada la hipérbola con ecuación 9(x – 1)

2 – 16 (y + 2)

2 = 144, entonces las coordenadas del centro

son A. (–2, 1) B. (1, 2) C. (1, – 2) D (1, 2) 15. En la hipérbola del ejercicio anterior, los focos están dados por A. F1 (– 4, – 2) y F2 (6, – 2) B. F1 (– 4, 2) y F2 (6, – 2) C. F1 (4, 2) y F2 (6, – 2) D. F1 (– 4, – 2) y F2 (6, 2)

16. La representación gráfica de la ecuación x2 – 26 = y (y + 2) es una

A. Recta B. Circunferencia C. Elipse D. Parábola E. Hipérbola 17. La ecuación del círculo, cuyo centro es el mismo que el del círculo cuya ecuación es :

0y4x8yx 22 y el radio es el mismo del círculo cuya ecuación es: 10y2x10yx 22

está dada por:

A. 2 2(x 4) (y 2) 9 B. 2 2(x 4) (y 2) 25 C. 2 2(x 4) (y 2) 25

D. 2 2(x 4) (y 2) 36 E. 2 2(x 4) (y 2) 36

18. El lado de un rombo es igual a 10. A través de dos vértices opuestos pasa una elipse, cuyos focos coinciden con los otros dos vértices del rombo. La ecuación de la elipse, tomando por ejes de coordenadas las diagonales del rombo, si las coordenadas de un foco son (8,0) es:

A. 136

y

64

x 22

B. 136

y

100

x 22

C. 1100

y

36

x 22

D. 164

y

100

x 22

E. 1100

y

64

x 22

19. La ecuación del círculo, cuyo centro es el mismo que el del círculo cuya ecuación es

3y6x10y2x2 22 , y el radio es el mismo del círculo cuya ecuación es 35y2x2 22 está

dada por:

A. 2

35

2

3y

2

5x

22

B. 353y5x 22 C. 2

353y5x 22

D. 2

35

2

3y

2

5x

22

E. 352

3y

2

5x

22

20. Se da la elipse 0375y25x15 22 . A través del foco está trazada una perpendicular a su eje

mayor. La distancia desde los puntos de intersección de esta perpendicular con la elipse hasta el foco es: A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 8