laprak uas pan

LAPORAN II

PRAKTIKUM PENGANTAR ANALISIS NUMERIK

KELAS B

Yogyakarta, 20 Juni 2014

Disusun oleh :

Selvi Faristasari

12/334698/PA/14931

Matematika

Dosen Pengampu : Dr. Imam Solehudin, M. Si.

Asisten Praktikum : 1. Agustina Rahmawati (11/316961/PA/14079)

2. Hasbiyallah Hasan (11/316291/PA/13777)

LABORATORIUM KOMPUTASI MATEMATIKA DAN STATISTIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA

YOGYAKARTA

2014

BAB I

DASAR TEORI

1.1 Pengenalan Software Scilab SciLab merupakan salah satu perangkat lunak yang dikembangkan untuk

komputasi numerik dan visualisasi data. Kelebihan dari SciLab yaitu freeware dan

tersedia untuk berbagai sistem operasi seperti Windows, Linux, dll. Secara umum,

SciLab terdiri dari dua jendela utama, yaitu Console dan SciPad. Console adalah jendela

untuk menjalankan perintah komputasi, sedangkan SciPad adalah jendela untuk

menuliskan kode program serta fungsi-fungsi yang akan dijalankan di console.

Cara mengoperasikan Software SciLab sebagai berikut :

1. Klik ganda pada ikon SciLab yang terdapat pada Desktop atau SciLab dapat dijalankan dari

menu start > SciLab.X , dimana X adalah versi dari Scilab.

2. Setelah dijalankan perintah tersebut maka akan muncul jendela SciLab (console) seperti

gambar berikut :

(tanda - - > yang terdapat pada

jendela SciLab merupakan tanda

bahwa SciLab siap untuk

menerima suatu perintah yang

akan diberikan.)

3. Untuk menuliskan kode program serta fungsi-fungsi yang akan dijalankan di Console, buka

jendela Scipad dalam hal ini adalah SciNotes dengan cara klik icon atau pilih menu

applications > SciNotes. Berikut adalah gambar SciNotes

4. Dari langkah 3, simpan file dalam bentuk nama_fungsi.sci

5. Jalankan program pada jendela Console dengan cara mengetik nama file yang telah disimpan

6. Untuk mengakhiri penggunaan SciLab , gunakan menu file > Quit atau langsung klik tanda

silang pada bagian kanan atas dari jendela SciLab.

Variabel adalah nama yang digunakan untuk menyimpan nilai suatu obyek. Nama

ini bersifat sensitif, penulisan huruf besar dan kecil dikenali sebagai dua buah variabel

yang berbeda. Ekspresi matematika yang dituliskan akan ditampilkan pada baris

selanjutnya, kecuali pada akhir ekspresi tersebut dituliskan tanda titik koma (;) , jika

tidak cukup dituliskan dalam satu baris, maka dapat digunakan tanda titik tiga (...) pada

akhir ekspresi. Untuk menambahkan komentar dapat digunakan tanda garis miring (//).

Contoh :

-- > r = 5

r =

5.

-- > // r adalah jari-jari lingkaran

-- > K = 2*%pi*r //keliling lingkaran

K =

31.415927

SciLab menyediakan kontrol pemrograman yang dapat digunakan untuk mengatur

jalannya eksekusi program dengan menggunakan statemen perulangan dan kondisional.

1. Mendefinisikan nilai variabel dalam jendela Console

Contoh :

Ketikkan :

--> a=81

Lalu enter akan muncul :

a =

81.

2. Input data dalam jendela SciNotes

Contoh :

Misal akan didefinisikan variabel x, dengan nilai x dapat diinput lewat jendela

Console , maka pada SciNotes dapat dituliskan :

x = input ( Masukkan variabel x : );

3. Mendefinisikan fungsi dalam jendela SciNotes

Contoh :

Ketikkan pada SciNotes

function y=f(x) ;

y = x^2 ;

endfunction ;

function kuadrat ;

x = input ( Masukkan nilai x : );

endfunction ;

untuk menjalankannya, panggil nama fungsinya pada Console sbb :

-->kuadrat

Masukkan nilai x :

4. Menampilkan Tulisan

Untuk menampilkan tulisan ataupun hasil suatu variabel digunakan syntax disp

Contoh :

-->disp(error)

error

5. Statemen Kondisional (if)

Kode if diikuti oleh then, elseif, dan end

Contoh :

Ketikkan pada SciNotes :

function n=nilai (abjad) //fungsi untuk konversi nilai dari abjad mjd angka

if abjad==A

n=4 ;

else if abjad==B

n=3 ;

else n=0 ;

end ;

endfunction;

maka akan muncul output :

-->n1=nilai (E)

n1 =

0.

-->n2=nilai (A)

n2 =

4.

6. Statement Perulangan (for dan while)

Untuk melakukan perulangan terhadap suatu variabel i, dapat digunakan syntax for

dan while yang selalu diakhiri dengan end.

Contoh :

i=1

function coba;

while icoba

1.

2.

3.

1.2 Integrasi Numerik merupakan suatu pendekatan untuk luasan suatu daerah

Metode Trapesium

Diperhatikan

() = ()

Metode trapesium merupakan metode dengan mengganti kurva lengkung dari fungsi f

dengan garis lurus.

Pada gambar, luasan bidang yang dibatasi kurva = () dengan akan didekati ,() ke (, ()) , perhatikan bahwa luas trapesium =

() + ()

jadi () = () = () jika [,] dibagi dua subinterval sama panjang, yaitu =

maka

() = () + () = () +

()

= 2 () + () + 2 () + () = 2 () + 2() + () = () , dengan = Syntax untuk Metode Trapesium

Metode Simpson 1/3

syarat : interval selalu genap

Diperhatikan :

Pada metode Simpson 1/3 digunakan polinomial derajat dua (persamaan parabola) untuk

mendekati fungsi yang diberikan , atau : () () = ()

Perhatikan bahwa untuk 1 buah partisi berbentuk parabola dibutuhkan 2 subinterval.

Misalkan partisi parabola tersebut mempunyai persamaan :

= + + Kemudian substitusi ke 3 titik tersebut pada partisi parabola, sehingga didapat : (,) = + (0,) = (,) = + + Selanjutnya,

= () = + () jumlahkan () dan (), diperoleh : 2 + = 2 Padahal luas parabolanya adalah :

( + + )

= 3 + 2 + = 3 (2 + 6) = 3 ( 2 + + 6) = 3 ( + 4 + ) = ()

Misalkan [, ] dibagi 4 subinterval sama panjang, yaitu =

maka :

()

= ()

+ ()

= ()

+ ()

= 3 (() + 4() + ()) + 3 (() + 4() + ()) = 3 (() + 4() + 2() + 4() + ())

Syntax untuk Metode Simpson 1/3

1.3 Diferensiasi Numerik

Diferensiasi numerik digunakan untuk mencari nilai pendekatan untuk turunan

suatu fungsi pada titik tertentu.

Metode Beda Maju Dua Titik (Diferensiasi Maju)

Diberikan fungsi bernilai real satu variabel () dan diasumsikan fungsi mempunyai turunan sampai orde-2, maka deret Taylor fungsi () disekitar = adalah

() = () + ( )() + () "() untuk suatu [, ] untuk = + dengan > 0, deret Taylor pada persamaan diatas menjadi : ( + ) = () + () + "() untuk suatu , +

atau

() = ()() "() Jika 0, > 0, maka: () ( + ) () (()) ( + ) () () Syntax untuk Metode Beda Maju

Metode Beda Mundur Dua Titik (Diferensiasi Mundur)

Diberikan fungsi bernilai real satu variabel () dan diasumsikan fungsi mempunyai turunan sampai orde-2, maka deret Taylor fungsi () disekitar = adalah

() = () + ( )() + () "() untuk suatu [, ] untuk = dengan > 0, deret Taylor pada persamaan diatas menjadi : ( ) = () () + "() untuk suatu [ , ] atau () = ()() "()

Jika 0, > 0, maka: () () ( ) (()) () ( ) () Syntax untuk Metode Beda Mundur

Metode Beda Pusat

Dari persamaan (*) dan (**) , diperoleh :

() ( + ) ()

() () ( ) dengan menjumlahkan kedua persamaan diatas, diperoleh : 2() ( + ) ( ) atau

() ( + ) ( )2 (()) ( + ) ( )2

Syntax untuk Metode Beda Pusat

1.4 Masalah Nilai Awal

Metode Euler

Dimisalkan

= , (), < < () = ,() Dengan syarat awal () = = + = + = + 2

= + Dari sini, maka dengan rumus Metode Beda Maju

() = ( + ) ()

diperoleh :

( + ) () = () ( + ) = () + () karena < < , maka rumus diatas menjadi :

( + ) = () + () = () + ( ,())

atau bisa ditulis :

= + (,) Syntax untuk Metode Euler

Metode Runge-Kutta Order Dua

Diberikan masalah syarat awal

() = , (), dengan() = diperhatikan (Metode Trapesium)

() 2 () + ()

kemudian diambil = , = didapat : (, ()) 2 ( ,) + (, )

() 2 (,) + (, )

() () 2 (,) + (, ) misal () () = dan () () = didapat :

= 2 ( ,) + (, )

= + 2 ( ,) + (,) dengan metode euler untuk didapat :

= + 2 ( ,) + (, + ( ,)) = + 12 ( ,) + (, + ( ,)) = + (1 + 2) dengan 1 = ( ,)dan 2 = , + (,)

Syntax untuk Metode Runge Kutta Order Dua

BAB II

RUMUSAN MASALAH

Kerjakan secara manual dan program

1. Kinerja sebuah reaktor batch nonisotermal dapat digambarkan melalui dua persamaan

berikut :

= exp 10 + 273

= 1000 exp 10

+ 273 10( 20)

Dengan menyatakan konsentrasi reaktan (dalam gmol/L) dan T menyatakan suhu di

dalam reaktor (dalam ) pada setiap saat t (dalam jam). Kondisi awal sistem reaksi ini

(pada t=0) : = 1/ dan = 30 . Berapakah dan pada t = 1 jam dengan h = 0,2 ?

Gunakan Metode Euler untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

2. Persamaan van der Pol yang merupakan salah satu model rangkaian listrik vacum tubes

dinyatakan sebagai :

= 1,5

Selesaikan PD tersebut dari t = 0 hingga t = 2, dengan y(0) = 1 menggunakan metode

Runge Kutta order dua. (Ambil h = 0,5).

3. Seorang ilmuwan mengadakan suatu penelitian untuk mengetahui pertumbuhan populasi

bakteri di dalam Chemostat. Penelitian tersebut dilakukan mulai dari hari ke 0.

Pertumbuhan populasi bakteri tersebut memenuhi persamaan sebagai berikut :

() = + 2 + + 20 Tentukan jumlah populasi bakteri di dalam Chemostat tersebut pada hari ke 6 dengan

menggunakan

a. Aturan Trapesium (subinterval 6) dan tentukan errornya

b. Aturan Simpson 1/3 (subinterval 6) dan tentukan errornya

Lalu, bandingkan hasil yang diperoleh dari perhitungan dengan menggunakan aturan

Trapesium dan aturan Simpson 1/3

4. Seorang pengusaha Burjo, Budi, mengalami kesulitan karena penghasilan yang diperoleh

tidak selalu sama tiap bulannya. Lalu, Budi pun meminta tolong kepada seorang ahli

Matematikawan untuk merumuskan persamaan atas penghasilan yang diperoleh tiap

bulannya. Ahli tersebut menemukan bahwa penghasilan yang diperoleh tiap bulan ke x

memenuhi persamaan berikut :

() = 4 8 + 3 + 2 Tentukan (5) dengan menggunakan : (ambil = 0.5)

a. Diferensiasi maju

b. Diferensiasi mundur

c. Diferensiasi pusat

BAB III

PEMBAHASAN

1. Diketahui kinerja sebuah reaktor batch nonisotermal dapat digambarkan melalui dua

persamaan berikut:

= exp 10 + 273

= 1000 exp 10

+ 273 10( 20) Keterangan :

: konsentrasi reaktan (gmol/L)

T : suhu di dalam reaktor () pada setiap saat t (jam).

Kondisi awal sistem reaksi ini (pada = 0) : = 1/ dan = 30 akan dicari nilai dan pada = 1 dengan = 0,2 Manual

Diketahui (,) = = exp 10 + 273 (,) = = 1000 exp 10 + 273 10( 20) pada = 0 (0) = = 1/ dan (0) = = 30 Iterasi 1

(0,2) = + (, ) = + exp

= 1 + 0,2 exp 1030 + 273 1 = 0,806492927

(0,2) = + (, ) = + 1000 exp 10

+ 273 10( 20) = 30 + 0,2 1000 exp 1030 + 273 1 10(30 20)

= 203,5070733

Iterasi 2

(0,4) = + (, ) = + exp

= 0,806492927 + 0,2 exp 10203,5070733 + 273 0,806492927 = 0,648544089 (0,4) = + (, ) = + 1000 exp 10

+ 273 10( 20) = 203,5070733 + 0,2 1000 exp 10203,5070733 + 273 0,806492927 10(203,5070733 20)

= 5,558235728 Iterasi 3

(0,6) = + (, ) = + exp

= 0,648544089 + 0,2 exp 105,558235728 + 273 0,648544089

= 0,523595701 (0,6) = + (, ) = + 1000 exp 10

+ 273 10( 20) = 5,558235728 + 0,2 1000 exp 10

5,558235728 + 273 0,648544089 10(5,558235728 20)

= 170,5066239 Iterasi 4

(0,8) = + (, ) = + exp

= 0,523595701 + 0,2 exp 10170,5066239 + 273 0,523595701 = 0,421211303

(0,8) = + (, ) = + 1000 exp 10

+ 273 10( 20) = 170,5066239 + 0,2 1000 exp 10170,5066239 + 273 0,523595701 10(170,5066239 20)

= 28,12222633 Iterasi 5

(1) = + (, ) = + exp

= 0,421211303 + 0,2 exp 1028,12222633 + 273 0,421211303

= 0,340339922 (1) = + (, ) = + 1000 exp 10

+ 273 10( 20) = 28,12222633 + 0,2 1000 exp 10

28,12222633 + 273 0,421211303 10(28,12222633 20)

= 148,9936073 Interpretasi :

Jadi, dengan menggunakan metode euler maju secara manual, pada saat = 1 jam diperoleh konsentrasi reaktan () yang didekati oleh , yaitu sebesar 0,340339922 gmol/L dan suhu di dalam reaktor tersebut () didekati oleh , yaitu sebesar 148,9936073 . Program

Dengan menggunakan program Scilab lakukan langkah-langkah sebagai berikut :

a. Buka Program Scilab, akan muncul jendela Console, lalu klik icon (Launch

SciNotes), akan muncul jendela SciNotes. Selanjutnya, ketikkan kode Scilab pada

Jendela SciNotes untuk Metode Euler dan definisikan dua fungsi berikut :

= (,) = exp

dan = (,) = 1000 exp

10( 20) dengan variabel mewakili dan variabel mewakili

b. Simpan file dengan memilih menu File Save As. Selanjutnya, pilih menu Execute

file with echo seperti berikut :

c. Sehingga pada jendela Console muncul output :

d. Panggil program dengan mengetikkan nama fungsi pada jendela console, yaitu

eulermaju enter. Selanjutnya, isikan nilai-nilai berikut :

titik awal , yaitu = 0 titik yang ingin dicari , yaitu = 1 lebar langkah h, diambil = 0,2

syarat awal :

untuk adalah = 1,dan untuk adalah = 30

sehingga diperoleh output :

Interpretasi :

Jadi, dengan menggunakan metode euler maju secara program, pada saat = 1 jam diperoleh konsentrasi reaktan () adalah 0,3403399 gmol/L dan suhu di dalam reaktor tersebut () adalah 148,99361 .

2. Diketahui persamaan van der Pol :

= 1,5

akan dicari penyelesaian PD tersebut dari = 0 hingga = 2, dengan (0) = 1 menggunakan metode Runge Kutta order dua dengan mengambil = 0,5 Manual

Diketahui

= 1,5 dan (0) = 1 , berarti = 0 dan = 1 , serta diambil = 0,5

Akan dicari nilai dari = 0 hingga = 2 , dengan kata lain akan dicari nilai (2) Iterasi 1

(0,5) = + 12 (1 + 2) 1 = (; ) = (0,5) (0; 1) = (0,5) (1,5) = 0,75 2 = (; + 1) = (0,5) 0,5; 1 + (0,75) = (0,5) (0,5; 0,25) = (0,5) (0,3125) = 0,15625 sehingga diperoleh (0,5) = + (1 + 2)

= 1 + 12 (0,75 + (0,15625)) = 0,546875

Iterasi 2

(1) = + 12 (1 + 2) 1 = (; ) = (0,5) (0,5; 0,546875) = (0,5) (0,68359375) = 0,3418 2 = (; + 1) = (0,5) 1;0,15625 + (0,3418) = (0,5) (1; 0,205078) = (0,5) (0,102539063) = 0,051269531 sehingga diperoleh

(1) = + 12 (1 + 2)

= 0,15625 + 12 (0,3418 0,051269531) = 0,350341797 Iterasi 3

(1,5) = + 12 (1 + 2) 1 = (; ) = (0,5) (1; 0,350341797) = (0,5) (0,175170899) = 0,08759 2 = (; + 1) = (0,5) 1,5; 0,350341797 + (0,08759) = (0,5) (1,5; 0,262756) = (0,5) (0,197067261) = 0,09853363 sehingga diperoleh

(1,5) = + 12 (1 + 2) = 0,350341797 + 12 (0,08759 + 0,09853363) = 0,355815888 Iterasi 4

(2) = + 12 (1 + 2) 1 = (; ) = (0,5) (1,5; 0,355815888) = (0,5) (0,266861916) = 0,133431 2 = (; + 1) = (0,5) (2; 0,355815888 + 0,133431) = (0,5) (2; 0,489247) = (0,5) (1,223117115) = 0,611558558 sehingga diperoleh

(2) = + 12 (1 + 2) = 0,355815888 + 12 (0,133431 + 0,611558558) = 0,728310646 Interpretasi :

Jadi, dengan menggunakan metode Runge Kutta order dua secara manual , diperoleh

= 0,5 (0,5) = 0,546875 = 1 (1) = 0,350341797 = 1,5 (1,5) = 0,355815888 = 2 (2) = 0,728310646 sehingga penyelesaian PD tersebut dari t = 0 hingga t = 2 dengan mengambil =0,5adalah (2) yang didekati oleh , yaitu sebesar 0,728310646.

Program


a. Buka Program Scilab, akan muncul jendela Console, lalu klik icon (Launch


Jendela SciNotes untuk Metode Runge Kutta order dua dan definisikan fungsi :

= 1,5 = 1,5 , seperti berikut :

b. Simpan file dengan memilih menu File Save As. Selanjutnya, pilih menu Execute


c. Sehingga pada jendela Console muncul output :

d. Panggil program dengan mengetikkan nama fungsi pada jendela console, yaitu

rungekutta enter. Selanjutnya, isikan nilai-nilai berikut :

titik awal , yaitu = 0 titik yang ingin dicari , yaitu = 2 lebar langkah h, diambil = 0,5 syarat awal , yaitu = 1 sehingga diperoleh output :

Interpretasi :

Jadi, dengan menggunakan metode Runge Kutta order dua secara program , diperoleh

penyelesaian PD tersebut dari t = 0 hingga t = 2 adalah (2) yang didekati oleh , yaitu sebesar 0,7283106.

3. Diketahui pertumbuhan populasi bakteri di dalam Chemostat memenuhi persamaan

sebagai berikut :

() = + 2 + + 20 penelitian tersebut dilakukan mulai dari hari ke-0. Akan dicari jumlah populasi bakteri di dalam Chemostat tersebut pada hari ke 6,

Secara eksak, jumlah populasi bakteri di dalam Chemostat tersebut adalah :

()

= ( + 2 + + 20)

= 14 + 23 + 12 + 20 = 14 (6) + 23 (6) + 12 (6) + 20(6) 0 = 606

Selanjutnya, dengan menggunakan :

a. Aturan Trapesium (subinterval 6)

Manual

diketahui = 0, = 6, = 6 =

=

= 1 sehingga diperoleh :

() ()

= () + 2() + 2() + 2() + 2() + 2() + ()

= 12 (0) + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + 2(5) + (6) = 12 (20 + 2 24 + 2 38 + 2 68 + 2 120 + 2 200 + 314) = 617

Interpretasi :

Jadi, dengan menggunakan aturan trapesium secara manual diperoleh jumlah populasi

bakteri di dalam Chemostat pada hari keenam didekati oleh 617. Program


1. Buka Program Scilab, akan muncul jendela Console, lalu klik icon (Launch


Jendela SciNotes untuk Metode Trapesium dan definisikan fungsi :

= ^3 + 2^2 + + 20 , seperti berikut :

2. Simpan file dengan memilih menu File Save As. Selanjutnya, pilih menu Execute


3. Sehingga pada jendela Console muncul output :

4. Panggil program dengan mengetikkan nama fungsi pada jendela console, yaitu

trapesium enter. Selanjutnya, isikan nilai-nilai berikut :

batas bawah interval integral, yaitu = 0 batas atas interval integral, yaitu = 6 jumlah subinterval, yaitu = 6 sehingga diperoleh output :

Interpretasi :

Jadi, dengan menggunakan aturan trapesium secara program diperoleh jumlah populasi

bakteri di dalam Chemostat pada hari keenam didekati oleh 617,00000. Dari sini, maka diperoleh nilai error nya adalah :

error = | nilai eksak nilai pendekatan | = |606 617| 11

b. Aturan Simpson 1/3 (subinterval 6)

Manual

diketahui

= 0, = 6, = 6 =

= 6 06 = 1

sehingga diperoleh :

() ()

= () + 4() + 2() + 4() + 2() + 4() + ()

= 13 (0) + 4(1) + 2(2) + 4(3) + 2(4) + 4(5) + (6) = 13 (20 + 4 24 + 2 38 + 4 68 + 2 120 + 4 200 + 314) = 18183 = 606 Interpretasi :

Jadi, dengan menggunakan aturan simpson 1/3 secara manual diperoleh jumlah

populasi bakteri di dalam Chemostat pada hari keenam didekati oleh 606. Program




Jendela SciNotes untuk Metode Simpson 1/3 dan definisikan fungsi :

= ^3 + 2^2 + + 20 , seperti berikut :

2. Simpan file dengan memilih menu File Save As. Selanjutnya, pilih menu

Execute file with echo seperti berikut :



trapesium enter. Selanjutnya, isikan nilai-nilai berikut :

batas bawah interval integral, yaitu = 0 batas atas interval integral, yaitu = 6 jumlah subinterval, yaitu = 6

sehingga diperoleh output :

Interpretasi :

Jadi, dengan menggunakan aturan simpson 1/3 secara program diperoleh jumlah

populasi bakteri di dalam Chemostat pada hari keenam didekati oleh 606,00000. Dari sini, maka diperoleh nilai error nya adalah :

error = | nilai eksak nilai pendekatan | = |606 606,00000| 0,00000 Perhatikan bahwa error pada perhitungan menggunakan aturan trapesium, yaitu

11 lebih besar dari error pada perhitungan menggunakan aturan simpson 1/3, yaitu 0 sehingga dapat disimpulkan bahwa perhitungan menggunakan aturan simpson 1/3 lebih

akurat karena nilai errornya kecil sehingga akan lebih dekat dengan nilai eksaknya.

4. Diketahui penghasilan Budi yang diperoleh tiap bulan ke x memenuhi persamaan

berikut:

() = 4 8 + 3 + 2 Secara eksak kita dapat memperoleh nilai (5), dengan cara sebagai berikut : () = 4 8 + 3 + 2 () = 16 16 + 3 (5) = 16(5) 16(5) + 3 (5) = 1923 Dengan mengambil = 0,5 akan dicari (5) menggunakan metode diferensiasi numerik Perhatikan tabel berikut :

4,5 5 5,5 () 1493,75 2317 3436,75

sehingga dengan menggunakan :

a. Diferensiasi maju

Manual

() = ( + ) ()

, (5) = (5 + 0,5) (5)0,5

= (5,5) (5)0,5 = 3436,75 23170,5 2239,5 Interpretasi :

Jadi, dengan menggunakan metode diferensiasi maju secara manual, dimana =0,5diperoleh nilai (5) 2239,5 Program




Jendela SciNotes untuk Metode Diferensiasi Maju dan definisikan fungsi :

= 4 ^4 8 ^2 + 3 + 2 dan eksak = 16 0^3 16 0 + 3 seperti berikut :





bedamaju enter. Selanjutnya, isikan nilai-nilai berikut :

diambil maksimum iterasinya adalah 50 nilai 0 adalah nilai turunan yang akan dicari, yaitu 5 nilai diambil 0,5

karena pada soal tidak ditentukan nilai toleransinya, maka diambil nilai toleransinya

adalah 0,01 sehingga diperoleh output :

Interpretasi :

Jadi, dengan menggunakan metode diferensiasi maju secara program, dimana

= 0,5 diperoleh nilai (5) = 1923,002960 b. Diferensiasi mundur

Manual

() = () ( )

, (5) = (5) (5 0,5)0,5 = (5) (4,5)0,5 = 2317 1493,750,5 1646,5 Interpretasi :

Jadi, dengan menggunakan metode diferensiasi mundur secara manual, dimana = 0,5 diperoleh nilai (5) = 1646,5 Program




Jendela SciNotes untuk Metode Diferensiasi Mundur dan definisikan fungsi :

= 4 ^4 8 ^2 + 3 + 2 dan eksak = 16 0^3 16 0 + 3

seperti berikut :





bedamundur enter. Selanjutnya, isikan nilai-nilai berikut :

diambil maksimum iterasinya adalah 50 nilai 0 adalah nilai turunan yang akan dicari, yaitu 5 nilai diambil 0,5 karena pada soal tidak ditentukan nilai toleransinya, maka diambil nilai toleransinya


Interpretasi :


= 0,5 diperoleh nilai (5) = 1922,997040 c. Diferensiasi pusat

Manual

() = ( + ) ( )2

, (5) = (5 + 0,5) (5 0,5)2 0,5

= (5,5) (4,5)1 = 3436,75 1493,75 1943 Interpretasi :

Jadi, dengan menggunakan metode diferensiasi pusat secara manual, dimana = 0,5 diperoleh nilai (5) = 1943 Program




Jendela SciNotes untuk Metode Diferensiasi Maju dan definisikan fungsi :

= 4 ^4 8 ^2 + 3 + 2 dan eksak = 16 0^3 16 0 + 3 seperti berikut :


bedapusat enter. Selanjutnya, isikan nilai-nilai berikut :

diambil maksimum iterasinya adalah 50 nilai 0 adalah nilai turunan yang akan dicari, yaitu 5 nilai diambil 0,5 karena pada soal tidak ditentukan nilai toleransinya, maka diambil nilai toleransinya


Interpretasi :


= 0,5 diperoleh nilai (5) = 1923,002000

BAB IV

KESIMPULAN

Soal pada nomor 1 dapat diselesaikan dengan menggunakan metode euler maju. Jadi,

dengan mengambil = 0,2 dan kondisi awal pada saat = 0 , konsentrasi reaktan = 1 gmol/L serta suhu dalam reaktor = 30 , maka pada saat = 1 jam diperoleh konsentrasi reaktan () sebesar , gmol/L (secara manual) atau , gmol/L (dengan program SciLab) dan suhu di dalam reaktor tersebut () adalah

, (secara manual) atau , (dengan program SciLab).

Dengan menggunakan metode Runge Kutta Order Dua pada soal nomor 2, dimana

(0) = 1 dan diambil = 0,5 maka diperoleh penyelesaian PD

= 1,5dari = 0 hingga = 2 adalah , (secara manual) atau , (dengan menggunakan program SciLab).

Permasalahan pada soal nomor 3 merupakan masalah Integrasi Numerik. Sehingga

diperoleh nilai eksak dari jumlah populasi bakteri di dalam Chemostat pada hari ke 6

(perhitungan dengan kalkulus) adalah sebanyak . Jadi, dengan menggunakan metode

trapesium dimana diambil 6subinterval, diperoleh nilai pendekatan jumlah populasi bakteri baik secara manual maupun program adalah , sehingga errornya .

Selanjutnya dengan menggunakan metode simpson 1/3 dimana diambil 6 subinterval juga,

maka diperoleh nilai pendekatan jumlah populasi bakteri baik secara manual maupun

program adalah , sehingga errornya ,. Dari sini, jelas bahwa metode simpson memiliki nilai error yang lebih kecil dari metode trapesium, sehingga dapat disimpulkan

bahwa metode simpson lebih akurat / lebih mendekati nilai eksak dalam menentukan

pendekatan integrasi numerik.

Pada soal nomor 4 dengan mengambil = 0,5, diperoleh nilai eksak dari (5) adalah . Jadi, dengan menggunakan metode diferensiasi maju diperoleh nilai pendekatan

dari (5) adalah ,(secara manual) dan , (dengan program SciLab). Sedangkan dengan menggunakan metode diferensiasi mundur diperoleh nilai

pendekatan dari (5) adalah , (secara manual) dan , (dengan program SciLab). Selanjutnya, dengan menggunakan metode diferensiasi pusat

diperoleh nilai pendekatan (5) adalah (secara manual) dan , (dengan program SciLab).

BAB V

KRITIK SARAN

Sejauh ini proses kegiatan praktikum sudah cukup baik, hanya saja kadang saya merasa

asisten terlalu cepat dalam menerangkan dan ada beberapa bagian yang kurang jelas. Saran

saya, asisten memberi bahan latihan soal yang berbentuk soal cerita, agar saat mengerjakan

laporan, kami lebih ada gambaran. Terimakasih.

BAB VI

DAFTAR PUSTAKA

Atkinson, K., Elementary Numerical Analysis, John Wiley & Sons, 1994, New York.

Ertiningsih, Dwi, Modul PraktikumPengantar Analisis Numerik, 2014, FMIPA UGM, Yogyakarta.

Aryati, Lina, Diktat Kuliah Pengantar Analisis Numerik, 2012, FMIPA UGM, Yogyakarta.

laprak uas pan

Documents