laje protendida

PROJETO E EXECUÇÃO DE

LAJES PROTENDIDAS

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Engº. Alexandre Anozé Emerick, MSc.

Brasília, Dezembro de 2002

PROJETO E EXECUÇÃO DE LAJES PROTENDIDAS

APRESENTAÇÃO O presente texto representa o resultado de quase um ano de trabalho e pesquisa bibliográfica. Naturalmente, não é o objetivo aprofundar os tópicos abordados, mas sim apresentar uma visão eminentemente prática e direta, sem grandes aprofundamentos teóricos ideal para escritórios de projetos estruturais. Com esse texto eu tentei sintetizar os princípios do dimensionamento de lajes em concreto protendido, conciliando com algumas recomendações práticas. Dessa forma, o texto tem o caráter de uma revisão da literatura técnica. Espero que esse texto possa de alguma forma ajudar, sobretudo aqueles que estão iniciando no estudo de lajes em concreto protendido, servindo como uma orientação resumida, porém objetiva, sobre o assunto.

Alexandre A. Emerick

Brasília, Dezembro de 2002

PROJETO E EXECUÇÃO DE LAJES PROTENDIDAS •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• 1

________________________________________________________________________________ Engº. Alexandre Emerick

PROJETO E EXECUÇÃO DE LAJES PROTENDIDAS

1. INTRODUÇÃO O uso da solução em concreto protendido para lajes de edifícios tem crescido nos últimos anos no Brasil. Fenômeno esse que se deve em grande parte à utilização do sistema de protensão não-aderente com a entrada da monocordoalha engraxada plastificada no mercado brasileiro. Segundo Franco [11] o concreto protendido vem encontrando uma aplicação cada vez maior em estruturas de edifícios devido à necessidade de vencer vãos livres de grandes dimensões com elementos de altura reduzida. A utilização do sistema de protensão com pós-tração em lajes apresenta algumas vantagens em relação ao sistema convencional em concreto armado, entre as quais cabe citar: • Maior liberdade arquitetônica devido à possibilidade de vencer grandes vãos ou vãos

fortemente carregados mantendo uma grande esbeltez na laje. • Maior área útil do pavimento devido a menor quantidade de pilares. • Economia em relação às estruturas em concreto armado para vãos superiores a 7,0 m

conforme ilustra a Figura 1.1 extraída da referência [35]. • Redução nas espessuras das lajes acarretando uma significativa diminuição na altura total

do prédio e conseqüentemente um menor peso total da estrutura minimizando os custos nas fundações.

• Maior velocidade na desforma e retirada de escoramentos. • Redução e até eliminação de flechas e fissuração nas lajes. • Maior resistência ao puncionamento, em lajes lisas ou cogumelo, obtida pela colocação

adequada dos cabos de protensão nas regiões próximas aos pilares.

Figura 1.1: Comparação de custos entre lajes protendidas e convencionais em concreto armado

Fonte: Ref. [35] 2. PRINCÍPIO DA PROTENSÃO De acordo com Moraes [19], as normas atuais definem como peças estruturais de concreto protendido as peças de concreto nas quais através da introdução de forças torna-se comprimido de tal forma a eliminar as tensões de tração quando colocada em serviço, ou ainda, eliminar apenas uma parcela dessas tensões.

7 m 8 m 9 m 10 m

VÃO

CUSTO

LAJE PROTENDIDA LAJE EM CONCRETO ARMADO

60

50

70

80

90

100



A Figura 2.1 ilustra a ação da protensão nas tensões atuante no concreto considerando protensão completa, ou seja, eliminando totalmente as tensões de tração na peça em serviço.

Figura 2.1: Tensões atuantes no concreto protendido – protensão completa.

Segundo Moraes [19], a eliminação das tensões de tração que podem dar origem à formação de fissuras representava o principal objetivo da protensão, obtendo-se uma construção de maior qualidade reduzindo-se o perigo da corrosão através da protensão completa. Modernamente, com o desenvolvimento da teoria de fissuração, tornou-se possível conviver com o controle da abertura de fissuras, obtendo construções satisfatórias com custos menores, admitindo-se o Estado Limite de Utilização. De acordo com a NBR 7197 [23] a protensão pode ser completa, limitada ou parcial de acordo com as definições a seguir: • Protensão completa: Existe protensão completa quando se verificam as duas condições

seguintes: a) para as combinações freqüentes de ações, previstas no projeto, é respeitado o Estado

Limite de Descompressão; b) para as combinações raras de ações, quando previstas no projeto, é respeitado o

Estado Limite de Formação de Fissuras.

• Protensão limitada: Existe protensão limitada quando se verificam as duas condições seguintes:

a) para as combinações quase permanentes de ações, previstas no projeto, é respeitado o Estado Limite de Descompressão;

b) para as combinações freqüentes de ações, previstas no projeto, é respeitado o Estado Limite de Formação de Fissuras.

• Protensão parcial: Existe protensão parcial quando se verificam as duas condições

seguintes: a) para as combinações quase permanentes de ações, previstas no projeto, é respeitado o

Estado Limite de Descompressão; b) para as combinações freqüentes de ações, previstas no projeto, é respeitado o Estado

Limite de Abertura de Fissuras com abertura característica menor ou igual a 0,2 mm. O projeto de revisão da NB-1 (NBR 6118) [22] classifica os níveis de protensão permitidos em função da classe de agressividade ambiental definidos no item 9.4 dessa norma. A Tabela 2.1 extraída do PR NB-1 relaciona os níveis de protensão com as classe de agressividade ambiental e as exigências quanto aos Estados Limites relacionados com o nível de fissuração permitido.

=

AP

−WPe

WMEXT−

WPe

AP

WMEXT

I −+=σ

WPe

AP

WMEXT

S +−−=σ

P

e

MEXT

(+)

(−) (+)

(−)

(−) + + (−)



Tabela 2.1: Classes de agressividade ambiental e exigências relativas à fissuração excessiva e a proteção da armadura ativa

Tipos de concreto estrutural

Classe de agressividade

ambiental

Exigências relativas ao E.L. de fissuração

excessiva Combinação de

ações a considerar

Concreto simples (sem protensão e sem armadura)

I a IV Não há –

I ELS-W

ωk ≤ 0,4mm Freqüente

Concreto armado (sem protensão)

II a IV ELS-W

ωk ≤ 0,3mm Freqüente

ELS-W ωk ≤ 0,2mm

Freqüente Concreto protendido nível 1 (protensão parcial)

Pré-tração – I Pós-Tração – I e II

ELS-F Quase permanente

ELS-F Freqüente Concreto protendido nível 2 (protensão limitada)

Pré-tração – II Pós-Tração – III e IV

ELS-D Quase permanente

ELS-F Rara Concreto protendido nível 3 (protensão completa)

Pré-tração III e IV ELS-D Freqüente

Fonte: Projeto de revisão da NB-1 [22] onde:

ELS-W – Estado Limite de Serviço – Abertura de fissuras; ELS-F – Estado Limite de Serviço – Formação de fissuras; ELS-D – Estado Limite de Serviço – Descompressão; Classe de agressividade:

I – fraca; II – média; III – forte; IV – muito forte. Dessa forma, de acordo com a Tabela 2.1, o PR NB-1 prescreve com relação a protensão parcial que para a combinação quase permanente das ações seja respeitado o Estado Limite de Formação de Fissuras (ELS-F), sendo portanto, menos rigorosa que a NBR 7197 [23], pois admite um pequeno nível de tração no concreto para a combinação quase permanente das ações.



3. MATERIAIS UTILIZADOS EM LAJES PROTENDIDAS Existem basicamente dois sistemas de protensão com pós-tração empregados em lajes protendidas em função da aderência ou não entre o cabo e o concreto: 3.1. PROTENSÃO ADERENTE Neste caso, os cabos são colocados dentro de bainhas metálicas, sendo essas injetadas com nata de cimento após a operação de protensão das cordoalhas. A solução com cordoalhas aderentes comporta-se melhor quanto à distribuição das fissuras e à segurança à ruptura para efeitos localizados (explosão, incêndios, demolição parcial, etc.). Entre os aços de protensão existentes atualmente distinguem-se os aços de relaxação normal (RN) e os de relaxação baixa (RB). Com relação à sua resistência a tração os mais comuns são o CP-175 e CP-190. Entretanto, nas obras com lajes protendidas o aço que vem sendo mais largamente empregado é o CP-190 RB, tanto para a protensão com ou sem aderência. A Tabela 3.1 apresenta as características técnicas das cordoalhas com aço CP-190 RB. Tabela 3.1: Propriedades das cordoalhas de 7 fios – Aço CP190 RB Tipo de cordoalha ∅∅∅∅ 12,7mm (1/2”) ∅∅∅∅ 15,2mm (5/8”) Área mínima (mm2)(1) 98,7 140,0 Área aproximada (mm2) 101,4 143,5 Massa nominal (kg/m) 0,775 1,102 Carga de ruptura − fptk (kN) 187,3 265,8 Tensão de escoamento – fpyk (MPa) 1585 1688 Módulo de Elasticidade (GPa) Aproximadamente 196 Relaxação após 1000 horas a 20ºC para carga inicial de 70% da ruptura MÁX. 2,5%

Fonte: Ref. [5] _______________________ NOTA: 1. A área mínima deve ser considerada no cálculo A Tabela 3.2 apresenta as propriedades das bainhas achatadas para cordoalhas no sistema de protensão com aderência extraída da referência [35]. Tabela 3.2: Propriedades das bainhas chatas corrugadas

Tipo de cabo

H (mm)

B (mm)

Peso linear (kg/m)

Consumo de cimento p/ injeção

(kg/m)

Consumo de calda

(L/m)

1 ∅ 12,7 19 35 0,41 0,80 0,58 2 ∅ 12,7 19 35 0,41 0,67 0,48 3 ∅ 12,7 19 69 0,60 1,43 1,03 4 ∅ 12,7 19 69 0,60 1,30 0,93 1 ∅ 15,2 21 35 0,43 0,90 0,65 2 ∅ 15,2 21 69 0,62 1,77 1,28 3 ∅ 15,2 21 69 0,62 1,56 1,13 4 ∅ 15,2 21 75 0,68 1,55 1,12

Fonte: Ref. [35] Os dispositivos de fixação das extremidades dos cabos são chamados de ancoragens. Essas ancoragens podem ser ativas, quando permite a operação de protender os cabos, ou passiva quando é fixa. Em geral, costuma-se projetar cabos com uma ancoragem ativa e outra passiva. Entretanto, especialmente para cabos longos, comprimentos maiores que 40 metros, pode ser

B

H

Figura 3.1: Dimensões externas para bainhas achatadas



CORTE A-A S/ ESC.

VISTA EM PLANTA S/ ESC.

Figura 3.3: Ancoragem ativa com armadura de fretagem para cabos com 4 cordoalhas

Fonte: Ref. [35]

conveniente aplicar a protensão pelas duas extremidades do cabo, utilizando assim ancoragem ativa nas duas extremidades, de modo a reduzir as perdas por atrito. A Tabela 3.3 apresenta as dimensões dos nichos das ancoragens ativas do sistema de protensão aderente extraídas da referência [35]. Tabela 3.3: Dimensões dos nichos das ancoragens ativas – protensão aderente Unidade de protensão

A (mm)

B (mm)

a (mm)

b (mm)

1 ∅ 12,7 120 120 100 100 2 ∅ 12,7 120 120 100 100 3 ∅ 12,7 180 150 130 130 4 ∅ 12,7 240 100 230 85 1 ∅ 15,2 140 140 120 120 2 ∅ 15,2 180 180 140 140 3 ∅ 15,2 220 220 160 160 4 ∅ 15,2 240 120 230 90

a

A

b B

Figura 3.2: Nichos para ancoragens ativas



As ancoragens passivas podem ser em laço ou em bulbo conforme indicam as Figuras 3.4 e 3.5.

Figura 3.4: Ancoragem passiva em laço com armadura de fretagem Fonte: Ref. [35] Tabela 3.4: Dimensões para as ancoragens passivas em laço

Tipo A (mm)

B (mm)

1 ∅ 12,7 600 − 2 ∅ 12,7 600 − 4 ∅ 12,7 700 50 1 ∅ 15,2 600 − 2 ∅ 15,2 600 − 4 ∅ 15,2 700 50

Fonte: Ref. [35] Tabela 3.5: Dimensões para as ancoragens passivas em bulbo

Tipo A (mm)

B (mm)

C (mm)

4 ∅ 12,7 310 70 750 4 ∅ 15,2 390 90 950 Fonte: Ref. [35]

Figura 3.5: Ancoragem passiva em bulbo Fonte: Ref. [35]



A finalidade da injeção é garantir uma proteção eficaz das armaduras de protensão contra a corrosão, além de permitir perfeita ligação mecânica da armadura e o concreto, preenchendo assim os vazios existentes entre a armadura e a parede da bainha. A nata de injeção deve ser dosada com vistas a atender as seguintes características:

• ausência de agentes agressivos • fluidez • exsudação • expansão • retração • resistência mecânica • pouca absorção capilar • tempo de início e fim de pega adequados

Para garantir essas características devem ser utilizados cimentos com: • teor composto ≤ 10% • teor de enxofre de sulfetos ≤ 0,2% • teor de cloro de cloretos ≤ 0,1%

A água deve ser potável com uma porcentagem de cloro inferior a 500 mg/L e isenta de detergentes. Os aditivos podem ser plastificantes, retardadores de pega e expansores. Influenciam, ainda, na qualidade de injeção:

• natureza, temperatura e idade do cimento • temperatura da água • temperatura ambiente • condições da mistura

Fonte: Ref. [12] De modo a facilitar uma boa injeção devem ser adotados os seguintes cuidados:

• colocação de purgadores (respiro para a injeção) cuidadosamente e corretamente • utilização de luvas de união entre trechos de bainhas que garantem estanqueidade • perfeita fixação das ancoragens na fôrma • no caso particular de cabos verticais o uso de dispositivos especiais que facilitem a

injeção

Fonte: Ref. [12] Para a operação de injeção com tempo quente, temperatura ambiente superior a 30 oC, a operação deve ser realizada com cuidados especiais para aumentar a vida útil da nata diminuindo o índice de fluidez. Portanto é recomendado o uso de aditivos apropriados e água em baixa temperatura (adicionando-se gelo). A operação de injeção só deve ser iniciada após a aprovação dos resultados da operação de protensão. A Figura 3.6 apresenta um detalhe de uma bainha metálica com purgador usada na protensão aderente.



Figura 3.6: Bainha metálica com purgador Fonte: Revista Téchne – Janeiro 1997 3.2. PROTENSÃO NÃO ADERENTE O sistema de protensão não aderente é feito com cordoalhas engraxadas plastificadas. De acordo com o catálogo técnico da Belgo [5], as cordoalhas engraxadas são as mesmas cordoalhas tradicionais com a adição de um revestimento de PEAD-polietileno de alta densidade, impermeável à água, extremamente resistente e durável, extrudado diretamente sobre a cordoalha já engraxada em toda a sua extensão, o que permite a livre movimentação da cordoalha em seu interior, Figura 3.7. A graxa e o revestimento de PEAD devem atender as especificações do PTI (Post-tensioning Institute) [30]. As bitolas disponíveis são de 12,7 mm e 15,2 mm com massa aproximada (incluindo PEAD e graxa) de 890 kg/km e 1240 kg/km, respectivamente.

Figura 3.7: Seção da monocordoalha engraxada com 7 fios Nesse sistema, deve ser dada especial atenção a conservação das cordoalhas, elas devem estar limpas e livres de corrosão. Rasgos ou falhas da cobertura de PEAD devem ser reparadas antes do lançamento do concreto com fita plástica para isolar a cordoalhas do concreto. Com relação ao sistema de protensão sem aderência, Moraes [19] faz as seguintes observações:

PEAD

GRAXA

FIOS DE AÇO

DIÂ

MET

RO N

OM

INAL

1/2

” =

12,7

mm

5/8

” =

15,2

mm



a) A protensão sem aderência ocorre quando as armaduras de protensão só estão ancoradas no concreto nas extremidades das peças estruturais. A falta de aderência pode prejudicar ou mesmo não impedir a fissuração da peça estrutural sendo necessário utilizar uma armadura aderente (passiva) para prevenir a fissuração.

b) O comprimento dos cabos normalmente não deve ultrapassar 40 m. Acima desse valor, deve-se adotar ancoragens intermediárias, criando-se juntas de concretagem.

c) Os cabos constituídos por cordoalhas engraxadas plastificadas oferecem as seguintes vantagens: • rapidez na montagem; • aumento da excentricidade que se obtém com a monocordoalha em relação à

bainha achatada; • diminuição das perdas por atrito; • eliminação do serviço de injeção de calda de cimento; • pode-se conseguir alguma economia em relação a protensão aderente; • o aço devido à graxa fica protegido contra a corrosão; • permite a reprotensão tomando-se cuidados especiais.

A Tabela 3.6 apresenta uma comparação entre as características básicas dos sistemas de protensão com e sem aderência preparada pela Belgo Mineira. Tabela 3.6: Características básicas dos sistemas de protensão aderente e não aderente SISTEMA ADERENTE SISTEMA NÃO ADERENTE Usa bainha metálica para até quatro cordoalhas por bainha, em trechos de 6 m com luvas de emenda e vedação.

Sem bainha metálica. As cordoalhas vêm de fabrica com graxa e bainha plástica contínua.

O manuseio (enrolar e desenrolar) é feito com quatro cordoalhas ao mesmo tempo (aproximadamente 3,2 kg/m).

O manuseio é feito com uma cordoalha por vez (cerca de 0,89 kg/m).

Concretagem cuidadosa para evitar danos à bainha metálica (abertura da costura helicoidal).

Concretagem sem maiores cuidados, pois a bainha plástica de PEAD é resistente aos trabalhos de obra.

Usa macaco de furo central que precisa ser enfiado pela ponta da cordoalha (aproximadamente 50 cm da face do concreto).

Usa macaco de dois cilindros que se apóia na cordoalha junto à face do concreto.

A protensão é feita em quatro níveis de pressão hidráulica, seguidas das respectivas leituras de alongamento, correção da tabela e medida da perda por acomodação da ancoragem.

A protensão é feita em uma só elevação de pressão, pois não há retificação da cordoalha (bainha justa).

Exigem lavagem das cordoalhas por dentro para a diluição de eventual pasta de cimento que poderia ter entrado e prendido as cordoalhas.

Lavagem desnecessária.

A água deve ser retirada por ar comprimido antes da injeção, para não haver diluição da pasta.

Medida desnecessária.

Usa cimento em sacos para preparo da pasta de injeção, feito com misturador elétrico. A injeção é feita por bomba elétrica.

Medida desnecessária.

Fonte: Revista Téchne – Junho 1999 A Tabela 3.7 apresenta as características para monocordoalhas engraxadas com aço CP 190 RB.



Tabela 3.7: Monocordoalhas engraxadas de 7 fios – Aço CP190 RB Tipo de cordoalha ∅∅∅∅ 12,7mm (1/2”) ∅∅∅∅ 15,2mm (3/8”) Área mínima (mm2) 98,7 140,0 Área aproximada (mm2) 101,4 143,5 Peso linear com bainha e graxa (kg/m) 0,89 1,24 Carga de ruptura − fptk (kN) 187,3 265,8 Módulo de elasticidade (GPa) Aproximadamente 196 Alongamento após a ruptura 3,5 % φ cordoalha + bainha (mm) 15,4 18,1 _______________________ NOTA: 1. A área mínima deve ser considerada no cálculo A Tabela 3.8 e a Figura 3.8 apresentam as características das ancoragens para monocordoalhas engraxadas do sistema Freyssinet. Tabela 3.8: Dimensões para as ancoragens ativas

Tipo ∅∅∅∅ bloco (mm)

A × B (mm)

1 ∅ 12,7 45 100 × 100 1 ∅ 15,2 52 100 × 100

Fonte: Ref. [35]

A Figura 3.9 apresenta o detalhe das placas de ancoragem no padrão americano.

Figura 3.8: Ancoragem ativa para monocordoalhas engraxadas Fonte: Ref. [35]



127

CUNHAS

38

57

A A

Figura 3.9: Detalhe das placas de ancoragem para ∅ 12,7 mm – padrão americano PTI

A Figura 3.10 apresenta o detalhe da montagem das ancoragens ativas na fôrma.

FRETAGEM(Ø10mm)

CADEIRA DESUPORTE

PLACA DE ANCORAGEM

400

POCKET FORMERREUTILIZÁVEIS

300 (MÍN)

h

h/2

h/2

50

3h/8250150

30

h -

60

Figura 3.10: Detalhe da montagem da ancoragem ativa na fôrma A Figura 3.11 apresenta um detalhe da ancoragem ativa para monocordoalhas engraxadas.

VISTA EM PLANTA S/ESC.

CORTE A-A S/ESC. Dimensões em mm

S/ESC. Dimensões em mm



Figura 3.11: Detalhe dos elementos da ancoragem ativa Fonte: Ref. [29] A Figura 3.12 apresenta um esquema típico de montagem de uma laje lisa com monocordoalhas engraxadas.

Figura 3.12: Esquema típico de montagem de uma laje lisa com monocordoalhas

Fonte: Revista Téchne – Janeiro 1997

FORMA PLÁSTICA REUTILIZÁVEL (POCKET FORMER)

CUNHA OU CLAVETE

BLOCO DE ANCORAGEM

LUVA

TUBO DE TRANSIÇÃO



Para o caso de monocordoalhas engraxadas utiliza-se como ancoragem passiva uma ancoragem igual à ativa pré-encunhada (pré-blocada). O pré-encunhamento das ancoragens passivas deve ser feito com o macaco para a força total de protensão prevista no projeto, caso contrário, existirá o risco de escorregamento durante a protensão na extremidade ativa. 3.3. EQUIPAMENTOS PARA A PROTENSÃO A operação de protensão é realizada por macaco hidráulico que, apoiado na borda da laje, estica as cordoalhas até atingirem a força prevista em projeto. Antes de retirar o macaco, cravam-se as cunhas de fixação das cordoalhas nas ancoragens. Com relação ao equipamento de protensão, os macacos devem ser calibrados antes do serviço de protensão. Deve-se observar que o macaco e o manômetro da bomba são calibrados conjuntamente, dessa forma, após a calibração é necessário assegurar que o macaco e o equipamento não sejam separados. O equipamento de protensão deve ser mantido em lugar limpo e seco, a operação do equipamento deve ser feita somente por pessoa com treinamento e qualificação.



4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS E RECOMENDAÇÕES PARA PROJETO 4.1. PRINCIPAIS ESQUEMAS ESTRUTURAIS ADOTADOS EM LAJES PROTENDIDAS Os principais esquemas estruturais adotados atualmente para lajes protendidas são as lajes lisas, com ou sem engrossamento na região dos pilares, Figura 4.1 a 4.3, e as lajes nervuradas, Figura 4.4 e 4.5. As lajes lisas, Figura 4.1, apresentam vantagens em relação às demais sobretudo do ponto de vista da execução. Entretanto, sua capacidade resistente é em geral ditada pelo cisalhamento na região de ligação laje-pilar (puncionamento). A resistência ao puncionamento pode ser melhorada com o uso de engrossamento da laje na região do pilar, Figura 4.2, ou ainda com o uso de vigas faixa protendidas, Figura 4.3.

A A

PLANTA

CORTE A-A

Figura 4.1: Laje lisa



A A

CORTE A-A

PLANTA

Figura 4.2: Laje com engrossamento na região dos pilares

A A

CORTE A-A

PLANTA

Figura 4.3: Laje com vigas faixa Outra solução que tem sido bastante adotada é o uso de lajes nervuradas com faixas protendidas, Figura 4.4. Nestes casos, as nervuras podem ou não ser protendidas. Outra opção é o uso de capitéis e nervuras protendidas, Figura 4.5.



A A

CORTE A-A

PLANTA

Figura 4.4: Laje nervurada com faixas protendidas

A A

CORTE A-A

PLANTA

Figura 4.5: Laje nervurada com engrossamento na região dos pilares (capitéis) De acordo com Cauduro e Leme [8], com o uso de lajes planas protendidas a distância entre pilares pode ser mantida entre 6 e 8 metros sem grandes traumas para a estrutura. Obviamente, sem vigas os pilares perdem a necessidade de estarem alinhados e também de ficarem totalmente na parte externa do edifício, aumentando a flexibilidade no lançamento, com



grandes vantagens na obtenção de varandas e fachadas mais simples para serem acabadas. Vão de 7,6 metros pode ser uma solução bastante interessante em edifícios comerciais, uma vez que essa distância pode acomodar três carros na garagem eliminando a necessidade de transições fazendo com que a distância entre pilares se mantenha constante da fundação até a cobertura. Entretanto, caso seja necessário, pode-se usar transições com vigas chatas ou capitéis que são mais fáceis de serem executados que as vigas convencionais. Um ponto importante diz respeito às dimensões dos pilares, deve-se convencer os projetistas de arquiteturas que pilares com larguras acima de 25 cm permite ganho no cálculo estrutural além de reduzir o risco de falhas de concretagem nas bases dos pilares, bastante comum nas estruturas convencionais. Nas estruturas sem vigas, é necessário recorrer a outros artifícios para garantir a estabilidade global. Nesses casos, é usual o emprego de paredes estruturais, posicionadas sobretudo nas caixas de escada e de elevador. 4.2. ESPESSURA DAS LAJES PROTENDIDAS Para definir a espessura de lajes lisas protendidas em geral busca-se observações práticas. O ACI 423 [2], por exemplo, recomenda adotar os seguintes valores:

• Lajes com sobrecargas entre 2 kN/m2 e 3 kN/m2: 45

a40

h !!≥

• Lajes de cobertura: 48

a45

h !!≥

Entretanto, nada impede que sejam adotadas espessuras menores desde que sejam verificados as flechas máximas e o risco de vibração excessiva. A Figura 4.6 apresenta um gráfico obtido por Schmid [34] para a determinação da espessura das lajes cogumelo, em concreto armado ou protendido, com ou sem capitel, para pisos com sobrecarga total de até 3 kN/m2 (300 kgf/m2).

Figura 4.6: Esbeltez de lajes cogumelo Na prática, para o projeto de lajes lisas protendidas com cordoalhas engraxadas têm sido adotadas as seguintes espessuras, Tabela 4.1:

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10

15

20

25

30

60!

45!

40!

30!

LAJE COGUMELO (COM CAPITEL) EM C.P. LAJE LISA (SEM CAPITEL) EM C.P. LAJE COGUMELO (COM CAPITEL) EM C.A. LAJE LISA (SEM CAPITEL) EM C.A.

VÃO (m)

ESPESSURA (cm)



Tabela 4.1: Espessuras de lajes lisas protendidas com cordoalha engraxada VÃO LIVRE ENTRE APOIOS

(metros) ESPESSURA MÍNIMA

(cm) até 7,0 16

de 7,0 até 8,0 18 de 8,0 até 9,0 20 de 9,0 até 10,0 22 de 10,0 até 11,0 24

Faixa econômica: 7,0 a 9,0 metros (h = 18 a 20cm) A NBR 7197 nos subitem 9.5.1.1 e 9.5.1.2 estabelece valores mínimos para as espessuras de lajes cogumelo protendidas. De acordo com a NBR 7197:

• h > 16 cm

• h! <

Permitindo-se exceder o limite de 40/! se comprovada a segurança em relação aos estados limites de utilização, de deformações e de vibrações excessivas, sendo que ! é o menor vão do painel. No caso de lajes nervuradas deve-se observar as prescrições normativas com relação às dimensões das mesmas. De acordo com o item 13.1.4.2 do PR NB-1:

!" "A espessura da mesa, quando não houver tubulações horizontais embutidas, deve

ser maior ou igual a 1/15 da distância entre nervuras, e não menor que 3 cm.

!"O valor mínimo absoluto deve ser 4 cm quando existirem tubulações embutidas de diâmetro máximo 12,5 mm (que corresponde a um eletroduto de 1/2").

!"A espessura das nervuras não deve ser inferior a 5 cm. !"Não é permitido o uso de armadura e compressão em nervuras de espessura inferior a

8 cm. Para o projeto das lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintes condições:

a) para lajes com espaçamento entre eixos de nervura menor ou igual a 60 cm, pode ser

dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de lajes;

b) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 60 cm e 110 cm, exige-se a verificação da flexão da mesa e as nervuras serão verificadas ao cisalhamento como vigas; e

c) para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura.

Com relação ao item (a) a NB-1/78 é um pouco mais conservadora e adota um valor de 50 cm para o espaçamento entre nervuras.

A Tabela 4.2 apresenta a relação vão/esbeltez usual para seções típicas de lajes protendidas

60 – caso geral 40 – lajes de piso com q > 3 kN/m2 (300 kgf/m2)



TIPO DA SEÇÃOCARREGAMENTO

TOTAL(kN/m2)

RELAÇÃO VÃO/ESPESSURA

(6m < L < 13m)

A A

VISTA A-A

2,5

5,0

10,0

36

30

40

A

2) LAJE C/ ENGROSSAMENTO

VISTA A-A

A 5,0

10,0

2,5

40

34

44

1) LAJE LISA

> L/3

> L/5

3) LAJE MACIÇA COM VIGA FAIXA

A

10,0VISTA A-A

A 5,0

2,5

40

35

45

22

18

25

LAJE VIGA

4) LAJE NERVURADA COM ENGROSSAMENTO

> L/3

A

VISTA A-A

A 26

23

28

5) LAJE NERVURADA COM VIGAS NA ALTURA DA LAJE

A A

VISTA A-A> L/6

23

26

28

3) LAJE COM VIGA CONVENCIONAL

A

VISTA A-A

A 38

34

42

LAJE

16

13

18

VIGA

> L/15

43h>

CARREGAMENTOTOTAL(kN/m2)

5,0

10,0

2,5

10,0

5,0

2,5

5,0

10,0

2,5

RELAÇÃO VÃO/ESPESSURA

(6m < L < 13m)TIPO DA SEÇÃO

Tabela 4.2: Relação vão/esbeltez usual para seções típicas de lajes protendidas



4.3. MODULAÇÃO DOS VÃOS Como em qualquer outro tipo de estrutura, deve-se procurar uma modulação econômica entre os vãos de uma laje cogumelo protendida, Souza e Cunha [36] apresentam a seguinte recomendação:

• vão intermediários iguais entre si; • vão extremos com comprimentos da ordem de 80 a 85% dos vão internos; • balanços da ordem de 25 a 35% do vão adjacente, dependendo se há ou não

parede carregando a sua extremidade. 4.4. CONSUMO DE MATERIAIS A titulo indicativo, para as condições médias de projeto, a referência [18] apresenta o seguinte diagrama com os consumos de materiais: Para lajes lisas com vãos entre 7 e 9 metros, para edifícios residenciais e comerciais, o consumo de cordoalhas engraxadas gira em torno de 4 kg/m2. De acordo com Schmid [34], a viabilidade econômica para lajes cogumelo protendidas prende-se fundamentalmente no parâmetro “vão”. Para vãos entre 7 e 10 metros, a solução com laje lisa será naturalmente competitiva. Para vão maiores começam a se tornar interessantes outras soluções como o uso de capitéis e lajes nervuradas. Deve-se ressaltar que na avaliação econômicas das alternativas estruturais não se deve comparar simplesmente o consumo dos materiais por metro quadrado. Mas sim o custo final, onde se considera também o menor tempo de execução, o melhor reaproveitamento das fôrmas e a própria aparência final da estrutura, por exemplo.

6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

7

8

10

20

30

VÃO (m)

CONSUMO (kg/m²)

ESPESSURA DA LAJE

(cm)

AÇO CP-190 (aderente)

CONCRETO (fck = 25MPa)

CA-50

FAIXA ECONÔMICA Figura 4.7: Gráfico de consumo de materiais para lajes protendidas com cabos aderentes

Fonte: Ref. [18]



4.5. DISTRIBUIÇÃO DOS CABOS EM PLANTA Os esforços em um painel de laje cogumelo concentram-se com maior intensidade nas regiões das faixas dos apoios. Dessa forma, é naturalmente recomendável que essas regiões apresentem uma maior concentração de cabos. O ACI 423 [2] apresenta a seguinte recomendação para a distribuição dos cabos em planta:

• Faixa dos pilares: 65 a 75% dos cabos • Faixa central: 35 a 25% dos cabos.

Figura 4.8: Distribuição dos cabos concentrando nas faixas dos pilares De acordo com Souza e Cunha [36], as vantagens de usar cabos concentrados nas faixas dos pilares, ao invés de uma distribuição uniforme são:

• uma melhor aproximação com a distribuição de momentos na laje; • aumento da resistência à punção; • aumento da resistência próximo ao pilar para a transferência de momentos de ligação

laje-pilar. Entretanto, pode ser encontrada dificuldade para concentrar os cabos nas faixas dos pilares devido às altas taxas de armadura existentes nestes. Contudo, deve ser adotado o mínimo de 2 cabos passando sobre os pilares. Dependendo da situação pode-se buscar distribuições alternativas dos cabos como, por exemplo, concentrar os cabos em faixas sobre os pilares em uma direção de distribuí-los na outra, ou ainda a colocação de cabos apenas sobre as faixas dos pilares e armando com ferragem passiva os painéis internos. Em geral, no detalhamento de lajes cogumelo com protensão não-aderente, é comum o uso de agrupamentos de cabos denominados feixes. O PR NB-1 indica que o número de cabos não-aderentes dispostos em feixe deve ser de no máximo quatro, embora na prática sejam encontrados feixes com até cinco cabos. Segundo o PR NB-1, os cabos dispostos em faixas externas (faixa dos apoios) devem estar contidos numa porção de laje, de tal forma que a largura desta não ultrapasse a dimensão em planta do pilar de apoio, tomada transversalmente à direção longitudinal da faixa, acrescida de 3,5 vezes a espessura da laje, para cada um dos lados do pilar, conforme ilustra a Figura 4.9.

FAIXA CENTRAL

FAIXA DOS PILARES

FAIXA CENTRAL



Vale ressaltar que quando se calcula os esforços na laje pelo processo do pórtico equivalente, em geral adota-se a largura da faixa dos pilares como 25% ! , sendo ! dado de acordo com a Figura 4.9, conforme indica a NB-1 [21]. Ver mais detalhes no item 5.3.4 desse texto. Quando existe a necessidade de fazer um desvio em planta do traçado dos cabos ou feixe de cabos, o projeto de revisão da NB-1 prescreve que o desvio deve produzir uma inclinação máxima de 1/10, na corda imaginária que une o início ao fim desse trecho, mantendo o seu desenvolvimento de acordo com uma curva parabólica em planta. Ao longo do desvio o conjunto de cabos ou feixes deve estar disposto de forma a manter uma distância de 5 cm entre cabos na região central da curva. Quando os desvio dos cabos exceder a inclinação de 1/10 deve-se utilizar armadura capaz de absorver a força de desvio, Figura 4.10. Segundo o projeto de revisão da NB-1, o cobrimento mínimo do cabo em relação à face de aberturas nas lajes deve ser de 7,5 cm, conforme indicado na Figura 4.10. O PTI [30] também apresenta recomendações semelhantes às do PR NB-1 para desvios de cabos. A Figura 4.10 apresenta as recomendações do PTI e do PR NB-1.

onde: a – largura do pilar na direção transversal à faixa; A – largura da faixa para a distribuição dos cabos; h – espessura da laje; ! – vão entre apoios na direção transversal à faixa. Figura 4.9: Largura para a distribuição de cabos nas faixas dos pilares

!

A ≤ a + 3,5h

FAIX

A CEN

TRAL

FAIX

A DO

PIL

AR

a

FAIX

A DO

PIL

AR



7,5cm (PTI)5cm (PR NB-1)

GANCHOS COLOCADOSPARA DESVIOS MAIORESQUE 1/10 (PR NB-1)

>12*D (PTI)>10*D (PR NB-1)

ABERTURA

>7,5 cm(PR NB-1)

>60cm(PTI)

D

BARRAS DE REFORÇO(Ø 12,5 mm)

Outro ponto importante na distribuição dos cabos em planta diz respeito ao espaçamento entre os cabos. A NBR 7197 no subitem 10.3.2 exige os seguintes espaçamentos horizontais mínimos medidos de face a face da bainha: ∅ EXT

a > 4 cm

Entretanto, o PR NB-1, adota um espaçamento mínimo de 5 cm entre cabos, ou feixes de cabos, ou entre cabos e armadura passivas, Figura 4.12.

Figura 4.12: Espaçamento mínimo entre cabos ou feixes de cabos segundo o PR NB-1 Apesar do espaçamento mínimo entre feixes de cabos ser de 5 cm, é usual adotar espaçamentos maiores entre feixes de monocordoalhas, conforme ilustra a Figura 4.13:

a ∅ EXT ∅ EXT

Figura 4.11: Espaçamento horizontal entre bainha

s BAINHA

Figura 4.10: Desvio da direção dos cabos em planta segundo o PR NB-1 e o PTI

FEIXES DE CABOS

≥ 5 cm

MÁXIMO 4 CABOS



Figura 4.13: Espaçamento mínimo usual entre feixes de monocordoalhas Na região próxima das ancoragens as cordoalhas agrupadas em feixes deverão ser suavemente separadas, conforme ilustra a Figura 4.14.

FACE DAFÔRMA

D

12*D MÍNIMO 90 cm8cm

8cm

3H/8

8cm

(MÍM

)

FRETAGEM

Figura 4.14: Separação dos feixes de cabos na região das ancoragens

Fonte: PTI [30]

O espaçamento máximo dos cabos tem a função de garantir um comportamento adequado da laje, com esforços bem distribuídos em toda a sua extensão. Usualmente adota-se como o espaçamento máximo entre cabos o valor de 8d. Contudo, Park e Gamble [27] recomendam que esse espaçamento não exceda:

• s < 6h – para faixas centrais • s < 4h – para as faixas dos pilares

sendo h a altura da laje. Lin [15] recomenda um espaçamento máximo fixo de:

• s < 135 cm – para lajes de cobertura • s < 105 cm – para lajes dos demais pisos

Segundo o projeto de revisão da NB-1, o espaçamento entre cabos ou feixes de cabos deve ser no máximo 6h, não excedendo 120 cm.

15 cm 20 cm

FEIXES DE 2 CABOS FEIXES DE 3 CABOS

25 cm

FEIXES DE 4 CABOS

S/ESC.



4.6. TRAÇADO VERTICAL DOS CABOS O traçado vertical dos cabos é em geral parabólico principalmente quando se está equilibrado um carregamento externo distribuído. Esse traçado deve respeitar as exigências de cobrimentos mínimos da NBR 7197 que estabelece os seguintes valores:

• em função do meio ambiente:

2,5 cm – ambiente não agressivo

c > 3,5 cm – ambiente pouco agressivo 4,5 cm – ambiente muito agressivo

• em função do diâmetro da bainha

∅ EXT (se ∅ EXT < 4 cm) c >

4 cm (se ∅ EXT > 4 cm) • em função do diâmetro do agregado

dg (se dg < 3,2 cm)

c > dg + 0,5cm (se dg > 3,2 cm)

Por condições econômicas e executivas, é comum adotar para as flechas dos cabos os maiores valores possíveis, atendendo as condições de cobrimento mínimo. Essa colocação implica em carregamentos equilibrados diferentes nos vãos, conforme será abordado com maiores detalhes no item 5.3.

Figura 4.15: Traçado vertical dos cabos Com relação à curvatura dos cabos sobre os pilares deve-se respeitar o raio de curvatura mínimo permitido pela NBR 7197 no subitem 9.5.3.3 que é de 2,5 metros. O ponto de mudança da curvatura (ponto de inflexão - Figura 4.15) é assumido como uma porcentagem do vão ( !α ) sendo que o valor de α é em geral adotado variando entre 5% a 15%. As coordenadas do ponto de inflexão podem ser calculadas usando as expressões apresentadas com a Figura 4.16:

TRECHO RETO

PONTO DE INFLEXÃO DO CABO

2!α

h/2

h/2

c

2!1! 3!

TRECHO RETO



Figura 4.16: Cálculo das coordenadas dos pontos de inflexão – concordância entre duas

parábolas do 2º grau Conforme se pode observar na Figura 4.15 os cabos são ancorados nas extremidades passando pela semi-espessura da laje. Essa disposição dos cabos tem por objetivo não introduzir momentos fletores devido a protensão nas seções de extremidade, onde os momentos devidos os carregamentos externos também são nulos. Segundo o PR NB-1, nas lajes protendidas com monocordoalhas não-aderentes, deve-se dispor ancoragens ativas preferencialmente no baricentro da seção transversal da laje. Na região de ancoragem ativa, deve-se manter o cabo reto e paralelo ao plano médio da laje nos seus primeiros 50 cm.

yMÍN

d2 d1

d

yMÁX yC

PONTO DE INFLEXÃO

( )MÍNMÁX2

MÍNC yyddyy −⋅+=

yMÍN

d1 d2

d

yMÁXyC

PONTO DE INFLEXÃO

( )MÍNMÁX1

MÍNC yyddyy −⋅+=



h/2

h

h/2

RECOMENDÁVEL = 5 cmMÍNIMO = 2,5 cm

FRETAGEM2Ø12,5mm

Figura 4.18: Cobrimento da ancoragem passiva

PERFILDO CABO

TRAÇADO ESPERADOPARA O CABO

TRAÇADO ESPERADOPARA O CABO

CURVATURA INVERSA

CURVATURAINVERSA

Figura 4.17: Curvatura inversa do perfil dos cabos

Na execução, o perfil dos cabos deve ser garantido com o uso de suportes plásticos ou metálicos (caranguejos). O espaçamento desses suportes varia de acordo com o projeto sendo recomendável, no caso de lajes, ser inferior a 1 metro. Contudo, deve-se evitar o aparecimento de curvaturas inversas conforme ilustra a Figura 4.17, com o uso de suportes adicionais. A ponta exposta da ancoragem passiva deve apresentar um cobrimento mínimo de 2,5 cm. Contudo, é recomendável um cobrimento de 5 cm, Figura 4.18, com o objetivo de prolongar sua durabilidade com relação ao processo de corrosão. A Figura 4.19 apresenta um exemplo de detalhamento de perfil dos cabos em um projeto com monocordoalhas engraxadas.



Figura 4.19: Detalhamento do perfil dos cabos



4.7. ARMADURAS PASSIVAS 4.7.1. ARMADURA PASSIVA MÍNIMA POSITIVA A NBR 7197 no subitem 9.5.3.4 exige que em lajes lisa protendidas seja colocada uma porcentagem de armadura passiva mínima igual a:

%05,050,015,0 ps ≥ρ−=ρ (4.1) onde ρs e ρp representam, em porcentagem, respectivamente as taxas de armadura passiva e ativa, referidas à altura total da seção de concreto. O espaçamento máximo entre essas barras deve ser inferior a 33 cm. 4.7.2. ARMADURA PASSIVA MÍNIMA NEGATIVA SOBRE OS PILARES A NBR 7197 nos subitens 9.5.3.6 e 9.5.3.7 exige uma armação negativa mínima indicada pela Figura 4.19.

!10,0

!20,0 !20,0 !10,0

%15,0s =ρ %15,0s =ρ %30,0s =ρ

!10,0 !10,0

Figura 4.19: Armadura passiva mínima sobre os pilares segundo a NBR 7197



Com relação à distribuição da armadura passiva em lajes lisas e cogumelo, Fusco [13]

recomenda (Figura 4.20):

Figura 4.20: Distribuição da armadura passiva em lajes lisas e cogumelo Fonte: Fusco [13]

4.7.3. ARMADURA DE REFORÇO DE BORDA DA LAJE Nas bordas da laje é recomendável o uso de vigas. Essa recomendação torna-se ainda mais necessária quando não há balanço, para se evitar problemas com punção dos pilares de canto e extremidade. Entretanto, nem sempre é projetada essa viga de borda, nestes casos, deve-se colocar uma armação passiva, como indicada na Figura 4.21, ao longo de todo o perímetro da laje, conforme exige a NBR 7197 no subitem 9.5.3.7.

Figura 4.21: armadura de reforço de borda da laje

Lx

Ly

Ly/4

Ly/2

Ly/4 (27,5%)

(27,5%)

(45%)

(37,5%)

(25%)

(37,5%)

(37,5%)

(25%)

(37,5%)

0,3Lx 0,3Lx 0,3Lx 0,3Lx

≥ 2h

∅ 10 ou ∅ 12.5 mm corridos

∅ 6.3 ou ∅ 8mm ESPAÇAMENTO ≤ h

h – ESPESSURA DA LAJE AS BITOLAS INDICADAS SÃO APENAS ILUSTRATIVAS, SENDO VÁLIDAS SOMENTE PARA AS LAJES CORRENTES.



4.7.4. ARMADURA CONTRA COLAPSO PROGRESSIVO O projeto de revisão da NB-1 prevê no subitem 19.4.5 para lajes apoiadas diretamente sobre pilares a colocação de uma armadura na região do pilar para combater o risco de colapso progressivo. Entretanto, o subitem 20.4.2.6 prevê que se pode prescindir dessa armadura quando pelo menos um cabo em cada direção ortogonal da laje, passar pelo interior da armadura da armadura longitudinal contida na seção transversal do pilar ou elemento de apoio em lajes de edifícios residenciais ou comerciais. 4.7.5. ARMADURA DE FRETAGEM A armadura de fretagem tem por objetivo combater as tensões de tração introduzidas no concreto devido à força de protensão. Essas tensões de tração surgem em decorrência da área deduzida de contato entre a ancoragem e o concreto. Maiores detalhes sobre o cálculo dessas tensões podem ser obtidos na Referência [13]. Na prática, para lajes com monocordoalhas engraxadas, recomenda-se adotar no mínimo as seguintes armaduras de fretagem:

A) FRETAGEM PARA CONCENTRAÇÃO DE CABOS (FEIXES)

FACE DAFÔRMA

> 8

> 8

> 8

> 25

N1

N2

3

4 N2 Ø10

N1

25

h-6

3h/815

N1 Ø10

h/2

h/2

S/ ESC.DIMENSÕES EMCENTÍMETROS

Figura 4.22: Fretagem para feixes de cabos – ancoragem ativa – sistema com monocordoalhas engraxadas




h-6

3h/815

3

N1

h/2

h/2

4 N2 Ø10

N1

> 25

FACE DAFÔRMA

N2

> 8

> 8

> 8

25

N1 Ø10

Figura 4.23: Fretagem para feixes de cabos – ancoragem passiva – sistema com monocordoalhas engraxadas

B) FERRAGEM DE REFORÇO PARA CABOS ISOLADOS


h/2

h/2

FACE DAFÔRMA

>3

0

2 N1

BARRAS DE REFORÇO2 N1 Ø12.5

SUPORTE

Figura 4.24: Ferragem de reforço para cabos isolados – ancoragem ativa – sistema com monocordoalhas engraxadas





h/2

h/2

SUPORTE

2 N1

FACE DAFÔRMA

>3

0

Figura 4.25: Ferragem de reforço para cabos isolados – ancoragem passiva – sistema com monocordoalhas engraxadas

4.8. RECOMENDAÇÕES PARA EXECUÇÃO DE LAJES PROTENDIDAS Nos próximos itens serão apresentadas algumas recomendações de procedimentos de campo para a execução de lajes protendidas. Essas recomendações são baseadas nas referências [14] e [7] direcionadas para o sistema não aderente com monocordoalhas engraxadas. 4.8.1. CONTROLE DE DOCUMENTOS Certos documentos são fundamentais para o sucesso da execução de estruturas protendidas, e devem estar à disposição do pessoal responsável pela execução e fiscalização da obra. Estes documentos são:

a) Desenho de execução e detalhamentos (projetos). b) Documentos com a especificação dos materiais usados. c) Certificados dos materiais recebidos. d) Certificado de calibragem do equipamento de protensão. e) Tabelas de alongamentos obtidos com aprovação do engenheiro responsável, em geral,

o engenheiro projetista. 4.8.2. MANUSEIO E ARMAZENAMENTO

a) Durante o manuseio dos cabos deverão ser tomados cuidados para não danificar a capa de plástico (PEAD) que envolve as cordoalhas, no caso da protensão não aderente, ou amassar as bainhas metálicas para o sistema aderente.

b) A “fabricação” dos cabos, ou seja, o corte nos comprimentos do projeto e cravação das

ancoragens passivas (pré-blocagem), deverá ser feito em local abrigado e limpo. Quando possível, deve-se evitar a “fabricação” no local da obra. A fabricação deve ser supervisionada por pessoal habilitado. Para o serviço de pré-blocagem dos cabos deve ser seguida a seguinte metodologia:



i) Desencapar cerca de 450 mm de cordoalha, de modo a providenciar comprimento suficiente de cordoalha para ser segura pela “garra” do macaco.

ii) Colocar a ancoragem com a cunha encostada manualmente em uma placa de reação (peça de pré-blocar).

iii) As cunhas deverão ser cravadas com o macaco para a força total de protensão prevista no projeto, em geral 15 tf para a cordoalha de ∅ 12,7 mm e 20 tf para a de ∅ 15,2mm, caso contrário existirá o risco de escorregamento durante a protensão na extremidade ativa.

c) Todos os materiais deverão ser armazenados em local seco e sobre estrados. O local

escolhido deverá ser convenientemente ventilado para evitar possível corrosão por condensação de umidade. Deverá ser evitada a exposição dos materiais a qualquer tipo de elemento corrosivo. Se o armazenamento for prolongado, deverão ser usadas embalagens especiais que protejam convenientemente os materiais da umidade e exposição ao sol.

d) No recebimento dos equipamentos, os macacos nunca deverão ser separados das

bombas para as quais foram aferidos. 4.8.3. MONTAGEM DOS CABOS

a) A montagem dos cabos de protensão deverá ser feita antes da colocação de condutores de eletricidade e outros dispositivos mecânicos. O perfil vertical e em planta dos cabos deverá ser mantido em prejuízo ao posicionamento de outros dispositivos, inclusive armadura passiva, exceto quando o engenheiro responsável pelo projeto autorizar o reposicionamento dos cabos.

b) A tolerância de colocação no traçado vertical dos cabos deverá ser de ± 5 mm para

lajes com espessuras de até 25 cm, podendo ser de ± 10 mm para estruturas com espessuras de 25 a 60 cm.

c) A marcação na fôrma de borda deve ser feita de acordo com o detalhamento indicado

no projeto. Se algum conflito ocorrer, e as placas não puderem ser colocadas conforme mostrado nos desenhos, deve ser consultado o engenheiro projetista ou o engenheiro responsável pelo serviço de protensão.

d) Os furos na fôrma lateral deverão ter diâmetro de 19 mm para a cordoalha de 12,7mm

ou 25 mm para a cordoalha de 15,2 mm. A colocação dos nichos de ancoragem nos furos da fôrma lateral deve ser feita de forma a garantir a perpendicularidade entre o nicho e a fôrma, Figura 4.26. Deverá ser rejeitada qualquer forma de nicho que apresente risco de entrada de nata de cimento na cavidade da placa de ancoragem.



CORRETO

PREGO PARA

ERRADO ERRADO

FÔRMA

FIXAR NA FÔRMA

POCKET FORMER

e) Na montagem a ligação das cordoalhas aos suportes deverá ser suficientemente firme

de modo a evitar que se desloquem durante a concretagem. Contudo, a ligação das cordoalhas com os suportes não deve causar desvios localizados no seu traçado.

f) Seqüência recomendável para montagem dos cabos:

f.1) Lajes planas – projeto com faixas em uma direção e cabos distribuídos na

direção transversal: #"Coloque todos os cabos das faixas. Use um mínimo de dois cabos sobre cada

pilar. #"Coloque os cabos uniformes.

f.2) Lajes com vigas #"Coloque todos os cabos das vigas. #"Coloque todos os cabos uniformes. #"Coloque os cabos restantes na outra direção. f.3) Lajes com vigas e nervuras #"Coloque os cabos das nervuras sobre as linhas de pilares. #"Coloque todos os cabos das vigas. #"Coloque os cabos restantes das nervuras.

g) A fiscalização da montagem é uma das operações mais importantes na execução. Essa

inspeção deverá ser feita por engenheiro especializado. Os pontos mais importantes a serem verificados são:

#"Firmeza da fixação das ancoragens passivas. #"Comprimento do cabo exposto na ancoragem passiva. #"Comprimento dos trechos de transição com tubo plástico suficiente e bem

vedado de forma a não permitir trechos de contato direto dos cabos com o concreto, sobretudo na região das ancoragens ativas.

#"A cordoalha não deve apresentar pontos de corrosão nas regiões em que se encontra desencapada.

#"Posicionamento em perfil dos cabos dentro das tolerâncias. #"Aspecto das curvas entre pontos de transferências, essas devem ser suaves.

Figura 4.26: Detalhe da fixação dos nichos na fôrma, sistema não aderente



#"Alinhamento horizontal dos cabos. #"Integridade do capeamento plástico. No caso de danos cuidar dos respectivos

reparos. #"Tipo de armadura de suporte de acordo com o projeto. #"Rigidez da ligação das ancoragens ativas na fôrma do nicho. #"Colocação da armadura de fretagem. #"Verificação da quantidade de cabos conforme o projeto. #"Perpendicularidade das cordoalhas na sua ligação com as ancoragens. #"Verificação do espaço útil para colocação dos macacos para a operação de

protensão. 4.8.4. LANÇAMENTO DO CONCRETO

a) O lançamento do concreto deve ser acompanhado por um responsável pelo serviço de protensão. Não deverá ser iniciado o lançado antes da inspeção das armaduras.

b) Qualquer aditivo contendo cloretos deve ser formalmente proibido. c) Se houver algum deslocamento de armadura, essa deverá ser corrigida antes de

prosseguir com o lançamento do concreto.

d) Deverá ser tomado cuidado especial com a colocação e vibração do concreto na região das ancoragens de forma a se evitarem vazios que provoquem concentrações de tensões.

e) A altura de lançamento deverá ser tal que evite a segregação e alteração na posição

das armaduras.

f) Os tubos da bomba de concreto não deverão ser apoiados nas armaduras.

g) Deverá ser evitado o contato de vibradores com as cordoalhas.

h) No caso particular do sistema aderente deve se ter um cuidado adicional com os purgadores no momento da concretagem, esse devem estar com as mangueiras vedadas e bem fixadas.

4.8.5. PROTENSÃO DOS CABOS

a) A fôrma da lateral da laje deve ser removida o mais cedo possível, de modo a permitir a fácil remoção das fôrmas de plástico (pocket formers) e a limpeza da cavidade da placa de ancoragem. Deve-se tomar cuidado para não danificar as fôrmas plásticas no momento da retirada permitindo sua reutilização.

b) Devem ser inspecionadas as cavidades das placas de ancoragem para verificar se

estão limpas antes da colocação das cunhas. As cunhas devem ser inseridas uniformemente dentro da placa de ancoragem, efetuando uma cravação inicial manual. Quando estiverem sendo utilizadas cunhas bi-partidas com o macaco de protensão no padrão americano com dois cilindros, a posição correta para a colocação das cunhas é a indicada na Figura 4.27, para que o pistão de retorno do macaco (batedor de cunhas) crave igualmente as cunhas.



c) Deve ser verificada a integridade do concreto nos nichos e em toda as superfícies aparentes. Se for detectada qualquer anormalidade como vazios ou porosidade anormal a operação de protensão deverá ser suspensa e avisado o pessoal responsável.

d) Deve ser feita uma marca com tinta, preferencialmente spray, a uma distância constante

da face do concreto, que servirá como referência para medir o alongamento do cabo. Esta marca deverá ser efetuada em ambas as extremidades se a cordoalha tiver ancoragem ativa em ambos os lados.

e) A protensão não deverá ser efetuada enquanto a resistência do concreto não atingir o

valor mínimo especificado, comprovado com ensaios de corpos de prova.

f) Uma área apropriada deve ser liberada ou um andaime seguro erguido para os trabalhadores que irão executar a protensão. A medição dos alongamentos deverá ser feita concomitantemente com a protensão.

g) O manuseio inadequado do equipamento de protensão poderá danificá-lo e causar

acidentes pessoais. Assim somente pessoal treinado poderá usar esses equipamentos. Deverá ser tomado o cuidado para que ninguém permaneça na frente da cordoalha a ser tracionada ou entre o macaco e a bomba, de modo a evitar acidente no caso de mau funcionamento de qualquer equipamento.

h) O macaco deverá ser posicionado sem carga na cordoalha a ser tracionada

assentando-se devidamente sobre a ancoragem. Se houver alguma falha no seu posicionamento o macaco deverá ser retirado e recolocado. Evitar fazer qualquer ajuste depois de introduzida alguma carga.

i) Medir o alongamento obtido desde a face do concreto até a marca na cordoalha feita

anteriormente. Se a cordoalha é tracionada das duas extremidades, os alongamentos deverão ser somados.

j) Os registros dos alongamentos e respectivos desvios percentuais com relação aos

valores teóricos deverão ser submetidos ao responsável pela obra ou ao projetista estrutural para aprovação. As causas mais prováveis de valores de alongamentos errados são:

#"Marca a cordoalha com tinta fraca tendo-se apagado, ou ainda, fora do gabarito

padronizado. #"Medição errada, seja devido ao instrumento de medida ou pelo posicionamento

desse (régua formando ângulo junto ao cabo). #"Equipamento fora de aferição.

CUNHAS

FIOS DE AÇO

SEÇÃO TRANSVERSAL

Figura 4.27: Posição correta de colocação das cunhas bi-partidas



#"Apoio errado do macaco. #"Assentamento inadequado das cunhas devido à limpeza das ancoragens. #"Atrito excessivo ao longo da cordoalha devido a erros na montagem. #"Colocação errada das cunhas. #"Variação das propriedades do material, particularmente no módulo de elasticidade

longitudinal do aço. #"Escorregamento na ancoragem passiva devido à falha no procedimento da pré-

blocagem. #"Concretagem defeituosa na região da ancoragem, provocando esmagamento ou

deformação excessiva.

k) Quando o projeto estrutural não apresentar indicação da seqüência para a protensão dos cabos, pode-se adotar as seguintes recomendações:

k.1) Lajes planas com cabos uniforme distribuídos em ambas as direções: #"protenda 50% dos cabos uniformes de uma direção; #"protenda 100% dos cabos uniformes da direção oposta; #"protenda os 50% restantes dos cabos uniformes.

k.2) Lajes planas com cabos em faixas e uniforme distribuídos: #"protenda todos os cabos uniformes; #"protenda todos os cabos em faixas.

k.3) Lajes e vigas: #"protenda todos os cabos uniformes da laje; #"protenda todos os cabos das vigas; #"protenda todos os cabos de combate à retração (se houver).

k.4) Vigas e nervuras: #"protenda todos os cabos das nervuras; #"protenda todos os cabos das vigas; #"protenda todos os cabos de combate à retração (se houver).

4.8.6. ACABAMENTO DOS CABOS

a) Após a liberação dos engenheiros, as pontas de cordoalhas do lado das ancoragens ativas deverão ser cortadas. O corte deve ser feito com maçarico de oxiacetileno tomando o cuidado que a chama não entre em contato com as cunhas, devendo a operação de corte ser executada em tempo inferior a 30 segundos. A cordoalha deve ser cortada deixando-se uma pequena ponta de 20 mm para fora da cunha, permitindo um recobrimento de 25 mm em relação à face do concreto.

b) Após o corte das pontas de cordoalha, a ponta exposta da placa de ancoragem deve

ser coberta com material preventivo contra a corrosão em geral pintura com epóxi. Entretanto, para regiões litorâneas e outros ambientes agressivos deve-se usar um cap plástico para proteger a ponta exposta da cordoalha. Os nichos de protensão devem então ser preenchidos com a aplicação de graute de baixa retração. A mistura do graute não deve conter cloretos, sulfatos ou nitratos, para evitar que ocorra corrosão na região da ancoragem.



4.8.7. ESCORAMENTOS A Figura 4.28 mostra uma seqüência para a montagem e retirada do escoramento em lajes protendidas. Em geral, recomenda-se que a concretagem dos pavimentos seja feita com pelo menos dois ou três níveis de escoramento dependendo das dimensões das lajes. As datas de aplicação da protensão são definidas pelos projetistas e estão vinculadas à resistência do concreto na idade de protensão que deve ser comprovada previamente com ensaios de corpos de prova. Para as lajes usuais têm sido adotada protensão aos 4 dias podendo ser de todos os cabos ou apenas uma parcela dependendo do projeto. Cabe ressaltar que o projeto deve apresentar, de forma bastante clara, quais serão as idades de protensão, a resistência mínima do concreto e os cabos que serão protendidos, caso a protensão seja feita em duas ou mais etapas. Deve ser discutido com o projetista também o sistema de escoramento adotado, as datas para a retirada das escoras, de preferência especificar o módulo de elasticidade mínimo do concreto e o número de pavimentos que devem ser mantidos reescorados, além da forma como deve ser feito o reescoramento.

Figura 4.28: Montagem e desmontagem do escoramento de lajes protendidas Fonte: Ref. [18]

ESCORAMENTO EM DESMONTAGEM

LAJE COM 100% DE PROTENSÃO

LAJE COM 100% DE PROTENSÃO (REESCORAMENTO)

LAJE COM 0 A 50% DE PROTENSÃO

ESCORAMENTO EM MONTAGEM

LAJE A CONCRETAR



5. DIMENSIONAMENTO & VERIFICAÇÕES Um dos métodos mais adequados para o cálculo de lajes protendidas é o método conhecido como: “Método das Cargas Equilibrantes” (Load Balancing, Lin [15]). Esse método consiste em calcular qual a força de protensão necessária e o traçado dos cabos em elevação para equilibrar uma determinada parcela do carregamento externo atuante. No item 5.3.3 será apresenta uma análise um pouco mais detalhada sobre o Load Balancing. No projeto de lajes protendidas a seqüência básica de cálculo é a seguinte:

#"Determinação da carga a ser equilibrada. #"Fixação das excentricidades máximas dos cabos, função do cobrimento adotado. #"Determinação da força de protensão necessária. #"Cálculo da quantidade de cabos. #"Verificação das tensões em serviço (Estados limites de serviço). #"Verificação à ruptura.

5.1. DETERMINAÇÃO DA CARGA A SER EQUILIBRADA Em geral adota-se o critério de que sobre a ação do carregamento quase permanente, a laje não apresente flechas. Dessa forma, o carregamento de protensão deve equilibrar as cargas permanentes e mais uma parcela das cargas de utilização. O ACI Committee 423 [2] apresenta o seguinte critério para lajes: caso em que sejam previstas paredes divisórias leves e sobrecargas, num total de cerca de 2,0 a 3,0 kN/m2 (200 a 300 kgf/m2): equilibrar o peso próprio + 0,5 kN/m2 (50 kgf/m2); caso em que sejam previstas paredes de alvenaria: equilibrar o peso próprio + 2/3 do peso das paredes. Outro critério bastante comum entre os projetistas é equilibrar o peso próprio mais 10% do carregamento total. 5.2. FIXAÇÃO DAS EXCENTRICIDADES MÁXIMAS DO CABO As excentricidades dos cabos devem respeitar as condições de cobrimento mínimo exigidos pela NBR 7197, subitem 10.3.5, conforme discutido no item 4.6 desse trabalho. Maiores detalhes sobre as implicações da escolha das excentricidades dos cabos são apresentados no item 5.3. 5.3. DETERMINAÇÃO DA FORÇA DE PROTENSÃO NECESSÁRIA Por hipótese, adota-se a força de protensão constante ao longo dos cabos, dessa forma, a protensão necessária deve ser calculada para o vão mais desfavorável. Para as estruturas usuais pode ser usada a formulação simplificada apresentada a seguir para o cálculo da força de protensão: 1! 2! 3!

f1 f2 f3

q Q

Figura 5.1: Cálculo da protensão necessária



#"Balanço: 1

1

1

21

fQ

f2qP !! += (5.1)

#"Vão interno: 2

22

f8qP != (5.2)

#"Vão externo: 3

23

f8qP != (5.3)

Para efeito de cálculo, em geral costuma-se desprezar o efeito da inversão da curvatura dos cabos sobre os pilares adotando-se um perfil simplificado como indicado pela Figura 5.1. Em lajes com vãos muito fora de proporção, pode ser conveniente não aplicar a mesma força de protensão em todos os vãos. Nestes casos, pode-se ter em alguns vãos uma quantidade maior de cabos. A Figura 5.2 ilustra essa situação. A presença da ancoragem no vão introduz uma carga vertical, de baixo para cima, de intensidade F = Psenα. Para os casos em o ângulo α é pequeno, a força F pode ser desprezada no cálculo.

Figura 5.2: Efeito de cabos adicionais

(b) cabos adicionais

α

(a) cabos corridos

(c) carregamento equivalente com os cabos corridos

F = P senα

(d) carregamento equivalente com os cabos adicionais

F

(e) carregamento equivalente total devido a protensão



Com relação à flecha dada aos cabos nos vãos podem ser adotados basicamente dois procedimentos:

#"Adotar para o vão mais crítico um traçado que utiliza as excentricidades máximas (em função do cobrimento mínimo), calcular a força de protensão necessária, e para os demais vãos, calcular as excentricidades necessárias para obter o mesmo valor de protensão.

#"Adotar para todos os vãos a excentricidade máxima e calcular a protensão para o vão

mais crítico. A primeira possibilidade implica em um carregamento equilibrado constante em todos os vãos. Contudo, alguns vãos podem ter um braço de alavanca reduzido, o que conduz a uma perda de resistência da seção na ruptura. A segunda possibilidade, que é a mais usual por aproveitar mais os cabos, implica em um carregamento equilibrado diferente em cada vão. Esse fato não gera maiores problemas desde que, calculados os esforços devido a esses carregamentos, as tensões em serviço obedeçam aos limites apresentados no item 5.5. Cabe, no entanto, ressaltar que principalmente em lajes com altura reduzida não faz sentido variar muito a excentricidade dos cabos em cada vão, pois além de dificultar a execução, o que se tem observado nas obras correntes, sobretudo residenciais e comerciais, que não existe um controle rigoroso do posicionamento em elevação dos cabos, o que é agravado com o tráfego de operários e equipamentos na laje no momento da colocação das armaduras passivas e da concretagem. Souza e Cunha [36], exemplificam que em uma laje com espessura de 22 cm, uma diferença somente de 3 cm na colocação do cabo (em elevação) equivale a uma variação de cerca de 40% na excentricidade do cabo (a excentricidade varia de 8 para 5 cm). No entanto, a despeito da constatação destes e de outros problemas em obras já executadas, em geral não manifestam problemas estruturais, possivelmente porque as reservas de resistência destas lajes são grandes. Quando se deseja equilibrar cargas concentradas nos vão internos o traçado mais adequado é o apresentado na Figura 5.3, sendo a força de protensão dada pela equação 5.4.

Figura 5.3: Traçado do cabo para cargas concentradas

#"Carga concentrada: f4

QP != (5.4)

Caso seja necessário calcular a protensão para equilibrar um carregamento distribuído e uma carga concentrada simultaneamente, pode usar o princípio da superposição e somar as parcelas das equações 5.2 e 5.4.

Q

f

!



5.3.2. PERFIL DO CABO EM BALANÇOS Os balanços são elementos críticos que merecem atenção especial tanto no projeto com na execução. Um problema associado aos balanços é o deslocamento excessivo (flecha). Com o traçado adequado do perfil dos cabos é possível reduzir, em parte, essa flecha. Uma alternativa é introduzir uma excentricidade nas ancoragens na extremidade do balanço forçando o aparecimento de um momento fletor no sentido contrário ao deslocamento, conforme ilustra a Figura 5.4.

P

PARÁBOLA

e

PM = Pe

L

q

Figura 5.4: Perfil dos cabos em balanços A Figura 5.5 apresenta o deslocamento obtido na extremidade do balanço devido ao momento fletor introduzido pela excentricidade das ancoragens.

Figura 5.5: Deslocamento vertical de balanços devido ao momento fletor concentrado aplicado

na sua extremidade

(a) perfil do cabo

(b) carregamento introduzido pela protensão

L

(EI) M=Pe EI2

ML2=δ



5.3.2. CONSIDERAÇÃO DO EFEITO DA RIGIDEZ DOS PILARES De acordo com Franco [11], contrariamente ao que acontece em geral nas obras de arte, onde a mobilidade dos apoios é convenientemente assegurada por aparelhos especiais, nos edifícios os elementos horizontais são geralmente ligados monoliticamente aos apoios, sejam eles pilares ou muros. Devido a esse fato, parte da força de protensão é absorvido por esses apoios reduzindo o esforço de compressão efetivamente atuante na laje (ou viga). Paralelamente a essa perda, surgem esforços nos elementos de apoio. É preciso portanto, cuidar, na fase de concepção do projeto, para que essa retenção seja a menor possível, através de uma adequada disposição construtiva e de uma conveniente dosagem das rigidezes dos elementos de suporte. Uma avaliação simplificada desse efeito pode ser feita calculando um pórtico plano na direção dos cabos colocando nas duas extremidades a força de protensão. Para exemplificar considere a faixa de laje apresentada na Figura 5.6, com um total de 24 cabos protendidos com 14 tf (140 kN) cada e ainda admitindo que as perdas imediatas atinjam cerca de 6%:

Figura 5.6: Faixa de laje protendida

P = 24 × 14.000 × 0,94 = 315.840 kgf (3.158,4 kN) A Figura 5.7 apresenta o pórtico plano com a carga P aplicada, enquanto que a Figura 5.8 apresenta o diagrama de esforços normais na laje. Observe que devido à rigidez dos pilares ocorre uma redução de aproximadamente 5% na força de compressão atuante na laje, valor esse que pode ser considerado durante o cálculo das perdas de protensão. A Figura 5.9 apresenta o diagrama de momentos fletores resultante. Observe que os pilares mais extremos ficaram sujeitos a momentos fletores de cerca de 10,6 tf.m (106 kN.m) devido à força de protensão. Esses momentos devem ser considerados no dimensionamento dos pilares, cabendo, no entanto observar, que em determinados casos, a não consideração desses momentos nos pilares pode estar a favor da segurança (é o caso dos pilares abaixo da laje onde os momentos estão em sentido contrário aos momentos que surgirão devidos aos carregamentos externos como, por exemplo, a sobrecarga).

80 80 80 80

20 20 20 20

200 200 800 800 800

CP 190 RB – 24 ∅ 12,7mm (14 tf /cabo)

800

Espessura = 20

Dimensões em cm



Unidade: kgf

Figura 5.7: Modelo estrutural adotado – pórtico plano com a carga devido a protensão

Unidade: kgf

Figura 5.8: Diagrama de esforços de compressão na laje

Unidade: tf.m

Figura 5.9: Diagrama de momentos fletores Com relação ao efeito da protensão nas cargas verticais dos pilares, segundo Campos [6], para estruturas convencionais com lajes lisas ou nervuradas protendidas, a protensão tende a apresentar um acréscimo de cerca de 10% nas cargas finais que chegam às fundações. 5.3.3. CONSIDERAÇÃO DO EFEITO DA INVERSÃO DE CURVATURA NO PERFIL DOS CABOS SOBRE OS PILARES Conforme mencionado anteriormente, para o cálculo de lajes protendidas é comum desprezar o efeito da inversão da curvatura dos cabos sobre os pilares. Entretanto, para cálculos que exijam maior precisão, esse efeito pode ser avaliado usando a formulação apresentada por Naaman [20] e descrita a seguir: 5.3.3.1. VÃOS DE EXTREMIDADE Para o caso particular de um perfil parabólico, como indicado na Figura 5.10, o carregamento equivalente será dado por:



Figura 5.10: Cálculo da carga equilibrada com a protensão para vãos de extremidade Onde:

( )( )2

o11B

eP2q!α

⋅β−β⋅= (5.5)

2o

2BeP2q

!

⋅λ⋅= (5.6)

2o

3BeP2

q!

⋅µ⋅−= (5.7)

sendo

( ) ( )1

1

111

α−α−⋅α−β+

=λ (5.8)

( ) 1

1

11

α⋅α−β+

=µ (5.9)

5.3.3.2. VÃOS INTERNOS Para o caso particular de um perfil parabólico, como indicado na Figura 5.11, o carregamento equivalente será dado por:

eo

!α !1α

!

β1eo

βeo

qB1 qB2

qB3

qB (+)

( )!11 α−α−



Figura 5.11: Cálculo da carga equilibrada com a protensão para vãos internos

( )2

2

o21B

e1P4q!α

⋅β+⋅−= (5.10)

( )

22

o22B

21

e1P4q

!

α−

⋅β+⋅= (5.11)

Para os valores das constantes, usualmente em lajes protendidas adota-se: α1 e α2 = 0,05 a 0,15 α = 0,5 – meio do vão. β = 0 – o cabo é ancorado no C.G. da laje. 5.3.3.3. BALANÇOS Para o caso particular de um perfil parabólico, como indicado na Figura 5.12, o carregamento equivalente será dado por:

!

!2α !2α !

α− 22

1 !

α− 22

1

eo

β2eo

eo

qB (+)

qB1 qB1

qB2



Figura 5.12: Cálculo da carga equilibrada com a protensão para balanços

( ) 23

11B 1

Pe2q!α−

≅ (5.12)

23

o2B )(

Pe2q!α

−= (5.13)

sendo,

( ) 031 e1e ⋅α−≅ (5.14) onde α3 = 0,05 a 0,20 dependendo do vão do balanço. 5.3.4. ENGASTAMENTO NOS PILARES De acordo com Franco [11], é vantajoso nas estruturas de edifícios engastar as extremidades das vigas em seus respectivos pilares, mobilizando assim um benéfico efeito de pórtico. Neste caso, o cabo resultante deverá ser ancorado excentricamente, e introduzirá na estrutura um momento primário, Mp = P⋅ eo, Figura 5.13, que será por sua vez distribuído parte para o pilar e parte para a viga. Se o pilar tiver rigidez grande com relação à viga, ele reterá grande parte daquele momento, reduzindo os esforços solicitantes e as deformações desta última. Conforme ilustra a Figura 5.14, os momentos resultantes da excentricidade da protensão tende a equilibrar, em parte, os momentos provenientes do carregamento externo.

eo

( )!31 α− !3α

!

e1

qB1

qB2

qB (+)



P

eMp = P.e

o

o

Figura 5.13: Ancoragem excêntrica

Mp

MpsMpi

Mpv

Mp

Mps

Mpv

MpiMqi

Mqs

Mqv

MqiMqs

Mqvq

Figura 5.14: Diagramas de momentos fletores na ligação viga-pilar (efeito de pórtico)

(a) Momentos devidos à excentricidade da ancoragem

(b) Momentos devidos às cargas externas



CABOS

B

P

AV

A C D

5.3.5. MÉTODO DAS CARGAS EQUILIBRANTES – LOAD BALANCING O Método das cargas equilibrantes, Lin [15], é um dos métodos mais apropriados para o cálculo de lajes protendidas. Conforme mencionado anteriormente, o método consiste em calcular qual a força de protensão necessária e o traçado dos cabos em elevação para equilibrar uma determinada parcela do carregamento externo atuante. Os esforços obtidos a partir da carga balanceada são compostos de duas parcelas: a primeira referente ao efeito isostático da protensão e a segunda referente ao efeito hiperestático. A) EFEITO ISOSTÁTICO (MOMENTO PRIMÁRIO) Seja a viga protendida com três vãos apresentada na Figura 5.15. A Figura 5.16a e 5.16b apresentam os esquemas de forças na viga e no cabo devido ao efeito da protensão.

Figura 5.15: Viga protendida com três vãos

Figura 5.16: Esquema de forças para a viga e o cabo

(a) Esquema de forças na viga devido ao efeito da protensão

(b) Esquema de forças no cabo devido ao efeito da protensão

A B C D

VA VD

P P

P P

VA VD

q(x)

q(x)

a

S

S



Considera uma seção S posicionada a uma distância “a” da ancoragem. O momento MISO, Figura 5.17, necessário para manter o equilíbrio é denominado momento isostático, ou momento primário e é dado pela expressão (5.15).

( )[ ]∫ += aVxdxxqM AISO (5.15) Onde, MISO – momento isostático;

q(x) – intensidade da carga balanceada na abscissa x; VA – componente vertical da força de protensão aplicada na ancoragem; a – distância da seção S à face da viga.

x

VA

a

P

Aq(x)

SB

dx

P

ISOM

Vx

Considerando agora o esquema de forças para o cabo na mesma seção S, Figura 5.18, obtém-se:

Figura 5.17: Esquema de força na viga – Seção S

Figura 5.18: Esquema de força no cabo – Seção S

VA

VX

e

q(x)

S

x dx

a

P P



A

MHIP

d

(+)

Rj

B C D

( )[ ]∫ +⋅=⋅ aVxdxxqeP A (5.16)

Comparando as expressões (5.15) e (5.16) observa-se que: ePMISO ⋅= (5.17) Observe que a definição do momento isostático, conforme foi ilustrado, é independente das condições de apoio da viga e as cargas balanceadas. B) EFEITO HIPERESTÁTICO (MOMENTO SECUNDÁRIO) Considere a mesma viga protendida da Figura 5.15 e imagine que os dois apoios intermediários fossem retirados, Figura 5.19a. Após a protensão dos cabos a viga apresenta um deslocamento vertical para cima, Figura 5.19b. Entretanto, devido à existência dos apoios intermediários ela não poderá se deslocar surgindo as reações indicadas na Figura 5.19c, chamadas de reações hiperestáticas ou secundárias. Essas reações geram o diagrama de momentos fletores da Figura 5.19d.

Figura 5.19: Efeito hiperestático de protensão Nas estruturas hiperestáticas, a continuidade da estrutura se opõe à livre deformação de cada tramo, sob efeito das solicitações de protensão, dando origem a momentos fletores e esforços cortantes. Esse fato é denominado efeito hiperestático de protensão. As reações da Figura 5.19c são provenientes apenas da protensão, como elas são as únicas forças na viga, elas devem ser alto equilibradas. Dessa forma: ∑ = 0R j (5.18) A partir do esquema de forças na seção S da viga, Figura 5.20, tem-se que:

(a) Viga da Figura 5.15 retirando-se os apoios intermediários

(b) deslocamento gerado pelo efeito da protensão

(c) reações devido às restrições dos apoios intermediários

(d) diagrama de momentos fletores resultante



∑ == 0xRM jjHIP (5.19)

∑ == 0RV jHIP (5.20)

BA

jx

S

ajR

HIPV

HIPM

Onde, MHIP – momento hiperestático de protensão; VHIP – esforço cortante hiperestático de protensão;

Rj – reação devido ao efeito hiperestático de protensão. Segundo Pfeil [28], no que diz respeito à redistribuição dos momentos hiperestáticos, decorrente da inelasticidade da estrutura, é muito mais complexa que a redistribuição dos esforços provocados pelas cargas atuantes. Três são os principais fatores influentes no fenômeno:

#"As reduções locais de rigidez, nas seções fissuradas, produzem uma redistribuição dos efeitos hiperestáticos de protensão.

#"A plastificação da estrutura diminui o grau de hiperestaticidade, o que provoca uma

redução nos valores dos momentos hiperestáticos de protensão.

#"Com o aumento das solicitações atuantes, o esforço de protensão sofre um aumento nas seções fissuras, porém mantém-se aproximadamente inalterado na maior parte do comprimento da viga.

Com os conhecimentos disponíveis atualmente, não é possível dizer com precisão qual a influencia da inelasticidade da estrutura sobre o momento hiperestático de protensão, nos estágios de carregamento próximo à ruptura. Nessas condições, é usual considerar o momento hiperestático de protensão calculado com o valor da protensão efetiva, como uma solicitação que soma aos momentos solicitantes de projeto produzidos pelos carregamentos.

Figura 5.20: Esquema de forças na viga devido ao efeito hiperestático – Seção S



C) MOMENTO BALANCEADO A Figura 5.21 apresenta o esquema de forças na seção S para viga considerando a combinação do efeito isostático e o efeito hiperestático.

B

x

A

xj

S

a

MBAL

P

BALVAV

P

q(x)

dxR j

Para o equilíbrio da seção tem-se que:

( )[ ] ∑∫ ++⋅= jjABAL xRaVxdxxqM (5.21)

Logo,

HIPISOBAL MMM += (5.22) onde, MBAL – momento balanceado com a protensão. Portanto, os esforços obtidos com o método das cargas equilibrantes incluem o efeito isostático e o efeito hiperestático, conforme afirmado anteriormente. Dessa forma, para a obtenção dos esforços devidos ao efeito hiperestático pode-se adotar o seguinte procedimento: calculam-se os esforços gerados pela carga equilibrada com a protensão. Sobre os apoios o momento hiperestático será dado pela expressão (5.23), na região entre apoios os momentos poderão ser obtidos por interpolação linear, conforme ilustra o exemplo da Figura 5.22.

PeMM BALHIP += (5.23)

Figura 5.21: Esquema de forças na viga (efeito isostático + hiperestático) – Seção S



P

3.056

BA

A B

DC

C D

700 700800

70 80 80 70

4

4

60

PROTENSÃO:6 Ø 12,7 mmP = 6 x 12.000 kgf P = 72.000 kgf

DIMENSÕES EM CM

7.641

30.56323.400 23.400

30.563

7.6413.0565.850

UNIDADE: kgf/m

Figura 5.22: Viga contínua protendida: exemplo de cálculo do efeito hiperestático Obtido os momentos hiperestáticos, com o auxílio da expressão (5.23), obtém-se os esforços cortantes (e reações) diretamente a partir das equações de equilíbrio da estrutura, Figura 5.23c.

(+)

23.745

UNIDADES: kgf, m

-16.228

23.745

-16.228-13.695

M = 23.745 - 72.000 x 0,26 = 5.025HIP

V = 5.025/7 = 717.8HIP

R = 717.8HIP

717.8 717.8 717.8

Figura 5.23: Cálculo de efeito hiperestático

a) Momentos devido ao carregamento balanceado com a protensão – MBAL

b) Momentos devido ao efeito hiperestático da protensão – MHIP

c) Cortante devido ao efeito hiperestático da protensão – VHIP



O procedimento apresentado para o cálculo dos momentos hiperestáticos é valido para o caso de vigas contínuas, podendo ser estendido para lajes quando o cálculo é feito como faixas ou pórticos equivalentes. Para lajes com distribuição de cabos e geometria irregular a determinação do efeito hiperestático é bem mais complexa, sendo necessário recorrer a procedimentos numéricos. Entretanto, como o efeito hiperestático é um redistribuidor de esforços pode-se suprir em parte a falha na sua avaliação fazendo uma redistribuição nos momentos negativos da ordem de 20% (15% de plastificação e 5% de efeito hiperestático), aumentando-se os momentos positivos na mesma proporção. 5.3.6. CALCULO DE LAJES LISAS E COGUMELO PELO MÉTODO DO PÓRTICO EQUIVALENTE Para o cálculo de lajes lisas e cogumelo podem ser usados diversos processos, tais como:

#"método dos pórticos equivalentes (pórtico da NB-1); #"cálculo como viga contínua; #"método dos pórticos equivalentes (pórtico do ACI 318 [1]); #"método empírico (ACI, válido em determinadas condições); #"tabelas para cálculo de esforços e flechas em lajes cogumelo publicadas pelo CEB [9]. #"linhas de ruptura; #"métodos numéricos como grelhas e método dos elementos finitos.

O cálculo de lajes lisas e cogumelo pelo processo dos pórticos equivalentes tem sido largamente utilizado. O ACI [1] permite o cálculo como pórticos para estruturas com pilares que apresentem no máximo um desvio de 10% em relação ao alinhamento dos demais, limitação que também está presente no PR NB-1. Evidentemente para lajes bastante irregulares, com pilares desalinhados, presença de grandes aberturas é recomendável o uso de métodos mais refinados como o método das grelhas ou o método dos elementos finitos. Segundo Franco [11], a disponibilidade de diversos programas de elementos finitos permite efetuar, a baixo custo, uma análise mais rigorosa da laje. A discretização deverá ser necessariamente densa na região próxima aos pilares, sendo possível considerar uma plastificação dos elementos situados nas regiões mais solicitadas através de uma adequada redução de seu módulo de elasticidade. A influência da protensão é facilmente levada em conta usando o método das cargas equilibrantes. 5.3.6.1. MÉTODO DO PÓRTICO EQUIVALENTE – SEGUNDO A NB-1 A NB-1/78 (NBR 6118) subitem 3.3.2.11 prescreve que: As lajes apoiadas diretamente sobre pilares serão calculadas em regime elástico ou rígido plástico de acordo com os subitens 3.3.2.1 e 3.3.2.2. Quando os pilares estiverem dispostos em filas ortogonais e a espessura da laje respeitar o mínimo do subitem 6.1.1.1, será permitido calcular em regime elástico o conjunto lajes-pilares como pórticos múltiplos, admitindo-se a laje dividida em duas séries ortogonais de vigas e considerando-se no cálculo de cada série o total das cargas. A distribuição dos momentos, se dividirem os painéis das lajes, com os cantos correspondendo aos pilares, em quatro faixas iguais, será feita do seguinte modo:

#"45% dos momentos positivos para as duas faixas internas; #"27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas; #"25% dos momentos negativos para as duas faixas internas; #"37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas.



Deverão ser estudadas cuidadosamente as ligações das lajes com os pilares, com especial atenção para com casos em que não haja simetria de forma ou de carregamentos da laje em relação ao apoio. A punção será verificada de acordo com o subitem 4.1.5. A distribuição dos momentos proposta pela NB-1/78 requer o entendimento do que são as faixas internas e externas do painel. Essas faixas são consideradas conforme a Figura 5.24. Figura 5.24: Faixa para a distribuição dos momentos segundo a NB-1/78 O método do pórtico equivalente proposto pela NB-1/78 consiste em dividir a estrutura em cada direção em uma série de pórticos constituídos por colunas e barras horizontais, cujas inércias serão iguais às da laje limitada pela metade da distância entre duas linhas de pilares, Figura 5.25.

Figura 5.25: Definição dos pórticos segundo a NB-1/78

x!

EXTE

RNA IN

TERN

A IN

TERN

A

EXTE

RNA

CEN

TRAL

INTERNA INTERNA

CENTRAL

EXTERNA

EXTERNA

PILAR

y25,0 !

y25,0 !

y25,0 !

y25,0 !

y!

x25,0 ! x50,0 ! x25,0 !

PÓRT

ICO

INTE

RNO

PÓ

RTIC

O E

XTER

NO

1x! 2x! 3x!

y50,0 !

y50,0 !

y50,0 !



A Figura 5.25 mostra os pórticos da direção X para a laje em questão. De forma análoga serão obtidos os pórticos na direção Y. Os pórticos obtidos nas duas direções deverão ser calculados independentemente uns dos outros. O leitor deve observar que no cálculo do pórtico equivalente considera-se a totalidade das cargas em ambas as direções. Segundo Fusco [13], esse fato não é um exagero e pode ser explicado com um exemplo simples: Na Figura 5.26 observe que o transporte de uma carga F de seu ponto de aplicação até um pilar corresponde a um momento F⋅a, que pode ser decomposto nas componentes F⋅ax e F⋅ay, para as quais, em ambos os casos, a força F entra com o total de sua intensidade.

Figura 5.26: Transferência de uma carga F para o pilar Entretanto, com relação à reação vertical em cada pilar, em geral adota-se a maior reação obtida considerando o pórtico na direção X e na direção Y, não devendo somar as duas reações. Segundo Fusco [13], quando os momentos na laje são obtidos através do cálculo de pórtico, não se deve fazer o “arredondamento” dos momentos negativos, devendo ser adotado no momento máximo, Figura 5.27.

a a y

F

ax

Figura 5.27: Consideração integral dos momentos negativos sobre os apoios

MAPOIO MAPOIO

NÃO ARREDONDAR MAPOIO

MVÃO



A Figura 5.28 apresenta a distribuição dos momentos nas faixas de acordo com a NB-1. 5.3.6.2. MÉTODO DO PÓRTICO EQUIVALENTE – SEGUNDO O ACI 318 O método do pórtico equivalente segundo o ACI-318/95 [1] apresenta algumas diferenciações com relação ao pórtico da NB-1/78. A primeira diz respeito à definição das faixas para distribuição dos momentos, o ACI considera a largura das faixas definidas por 25% do menor vão da laje, Figura 5.29, enquanto a NB-1 adota 25% do vão na direção do pórtico.

MAPO

IO

MVÃO

MAPO

IO

x5,0 !⋅

x25,0 !⋅

x25,0 !⋅

M1 M1

M2

M3 M3 M4

MOMENTOS NAS FAIXAS:

x

APOIO1 25,0

M375,0M

!=

x

VÃO3 25,0

M275,0M

!=

x

APOIO2 5,0

M25,0M

!=

x

VÃO4 5,0

M45,0M

!=

RESULTADO DO PÓRTICO EQUIVALENTE

Figura 5.28: Distribuição dos momentos nas faixas segundo a NB-1

DISTRIBUIÇÃO REAL DOS

MOMENTOS

DISTRIBUIÇÃO IDEALIZADA



Figura 5.29: Faixas para a distribuição dos momentos segundo o ACI-318 Outra diferenciação entre os pórticos da NB-1 e do ACI diz respeito à rigidez na região dos apoios. O ACI permite aumentar a rigidez na região dos pilares em função da existência de capitéis, engrossamentos de laje e até mesmo pela própria existência do pilar, Figura 5.30. O momento de inércia da “laje-viga” na região que vai do eixo do pilar até a sua face externa é tomado como o valor do seu momento de inércia na face do pilar (considerando a existência ou não de engrossamento) dividido por:

2

2

2c1

−!

(5.24)

sendo: c2 – largura do apoio na direção transversal ao pórtico; 2! – vão na direção transversal ao pórtico.

h2 h1

c1 c1

1!

Figura 5.30: Laje com engrossamento e capitel

PILAR

INTERNA INTERNA

FAIXA CENTRA

EXTERNA

EXTERNA

4mín!

( )2

5,0 mínmáx !! ⋅−

4mín!

( )2

5,0 mínmáx !! ⋅−

mín!

máx!



A) ELEMENTO SUBMETIDO À TORÇÃO (PILAR EQUIVALENTE) O ACI 318 leva em consideração o fato de existir uma grande diferença de largura entre a “laje-viga” e o pilar no cálculo do pórtico equivalente. Essa consideração é feita atribuindo uma rigidez à torção no encontro do pilar com a “laje-viga”. A partir da combinação da rigidez do elemento de torção e da rigidez do pilar calcula-se uma rigidez equivalente (kec) a partir da equação (5.25).

Tcec k1

k1

k1

+=∑

(5.25)

onde: 1/kec – flexibilidade do pilar equivalente; Σkc – soma das rigidezes dos pilares acima e abaixo da “laje-viga”;

c

ccc L

IE4k = , para barra bi-engastada, Figura 5.31 (5.26)

com: Ec – módulo de elasticidade do pilar; Ic – momento de inércia do pilar; Lc – comprimento do pilar. kT – rigidez do elemento torcional. Segundo o ACI 318/95 (sec. 13.7.5.2) a rigidez do elemento torcional pode ser calculada pela expressão 5.27:

∑

−⋅= 3

22

2

cT

c1

CE9k

!!

(5.27)

sendo:

∑

⋅

−=

3yx

yx63,01C

3

(5.28)

onde x e y são o menor e o maior lado do retângulo que compõe seção transversal laje-pilar, conforme ilustra a Figura 5.32:

Figura 5.32: Valores de x e y para a seção transversal laje-pilar

ECIC

M=1

θ

Figura 5.31: Rigidez do pilar

LC

PILAR

LAJE

x ≤ y

y

OBS.: CASO EXISTA VIGA ESSA DEVE SER CONSIDERADA NO CÁLCULO DA CONSTANTE “C”



Uma possibilidade para considerar a rigidez equivalente do pilar com o uso de programas computacionais é através do cálculo de um comprimento equivalente para o pilar de tal forma que a rigidez do pilar passe a ser a rigidez equivalente do conjunto, Figura 5.33. B) ENVOLTÓRIA DE CARREGAMENTOS NOS PÓRTICOS Quando a laje está submetida a grandes sobrecargas é recomendável que se calcule uma envoltória de esforços alternando os vão carregados. O ACI 318 para sobrecarga superior a 75% da carga permanente recomenda considerar a seguinte envoltória:

#"Carga permanente atuando em todos os vãos e 75% da sobrecarga atuando nos vãos alternados, para a determinação dos momentos positivos, Figura 5.34a.

#"Carga permanente atuando em todos os vãos e 75% da sobrecarga nos vãos

adjacentes ao apoio em que se quer obter o momento negativo, e alternadamente nos outros vãos, Figura 5.34b.

#"Em nenhuma seção os esforços podem ser inferior aos esforços obtidos considerando

todo o carregamento atuando simultaneamente em todos os vãos, Figura 5.34c.

kC

kT LC

Figura 5.33: Pilar equivalente

ec

ccec k

IE4L =



(a) Momento Positivo Máximo

(b) Momento Negativo Máximo

(c) Momentos com todas as cargas atuantes

Figura 5.34: Hipóteses de carregamento para a obtenção da envoltória de momentos para painéis com grandes sobrecargas.

5.4. CÁLCULO DA QUANTIDADE DE CABOS Definida a força de protensão necessária para equilibrar o carregamento previsto no projeto deve-se calcular a quantidade de cabos para alcançar essa força de protensão. A tensão atuante em cada cabo deve respeitar os limites previstos pela norma brasileira. A NBR 7197 no subitem 8.2.1 prescreve que a tensão na armadura de protensão na saída do aparelho de tração (σpi) deve respeitar os seguintes limites (para pós-tração):

#"Aços de relaxação normal: 0,77 fptk

σpi < 0,90 fpyk

#"Aços de relaxação baixa: 0,77 fptk

σpi < 0,86 fpyk

ymédq75,0 !

ymédq75,0 !

ymédg!

ymédg!

ymédq75,0 !

ymédq75,0 !

ymédq!

ymédg!



onde: fptk é a tensão característica de ruptura do aço; fpyk é a tensão característica de escoamento (convencional) do aço. Entretanto, o projeto de revisão da NB-1 modifica um pouco esses valores adotando:

#"Aços de relaxação normal: 0,74 fptk

σpi < 0,87 fpyk

#"Aços de relaxação baixa: 0,74 fptk

σpi < 0,82 fpyk

Considerando o limite do PR NB-1, que é mais conservador, pode-se adotar para a cordoalha de ∅ 12,7 mm com aço CP190 RB uma força de protensão inicial de 14 tf (140 kN), e para a cordoalha de ∅ 15,2 mm uma protensão inicial de 19,7 tf (197 kN). Entretanto, na prática os valores adotados de protensão inicial tem sido: 15 tf (150 kN) para a cordoalha de ∅ 12,7 mm e 20 tf (200 kN) para a cordoalha de ∅ 15,2 mm. 5.5. VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES EM SERVIÇO O ACI Committee 423 [2] recomenda limites para tensão admissível em membros fletidos de concreto protendido. De acordo com o ACI: Para laje com protensão não aderente a tensão média de compressão na laje deve estar no intervalo entre 0,86 MPa e 3,5 MPa.

#"Tensões no concreto imediatamente após a aplicação da protensão, em MPa:

(a) compressão na zona de momento negativo ..................... ci'f40,0 ⋅ (b) compressão na zona de momento positivo ...................... ci'f60,0 ⋅

(c) tração (com armadura passiva) ........................................ ci'f50,0 NOTA: Onde a tensão de tração no concreto exceder os valores acima, uma armadura auxiliar aderente (passiva ou ativa) deverá ser colocada para resistir à tensão total de tração.

#"Tensões no concreto em serviço (após as perdas no tempo), em MPa:

(a) compressão na zona de momento negativo ..................... c'f30,0 ⋅ (b) compressão na zona de momento positivo ...................... c'f45,0 ⋅

(c) tração (com armadura passiva) ........................................ c'f50,0 onde,

f’c é a resistência à compressão do concreto especificada; f’ci é a resistência à compressão do concreto na idade “i” dias;



Simplificadamente pode-se assumir que f’c seja igual ao fck. A NBR 7197 exige:

#"(item 4.1.3.a) Para a protensão parcial quando atuando a combinação quase permanente das ações previstas no projeto, deve ser respeitado o Estado Limite de Descompressão (6.2.1);

#"(item 4.1.3.b) Para a protensão parcial quando atuando a combinação freqüente das ações previstas no projeto deve ser respeitado o limite para abertura de fissuras (6.2.3) wk < 0,2 mm;

#"(item 6.2.5) No ato da protensão seja respeitado o Estado Limite de Compressão Excessiva que corresponde a limitar as tensões a 0,70 fck,j;

Onde fck,j é a resistência característica do concreto na idade j dias, sendo j a idade de protensão. A valor de fck,j pode ser obtido pela expressão 5.29 extraída do PR NB-1:

ck1j,ck ff β= (5.29)

com,

−=β

21

1 j281sexp , com s igual a:

s TIPO DE CIMENTO

0,20 CPV 0,25 CPI, CPII 0,38 CPIII e CPIV

O valor do fck,j adotado na idade de protensão deve sempre constar nas folhas do projeto. Com relação ao item 4.1.3a da NBR 7197 vale ressaltar que o projeto de revisão da NB-1 [22] no item 8.1.6 apresenta como limite para o uso da protensão parcial que para a combinação quase permanente das ações seja respeitado o Estado Limite de Formação de Fissuras (ELS-F), sendo portanto, menos rigorosa que a NBR 7197, pois admite um pequeno nível de tração no concreto. Conforme o projeto de revisão da NB-1 o ELS-F é atingido quando a máxima tensão de tração na seção de concreto atinge o limite fctk, onde: 32

ckinf,ctkctk f21,0ff ⋅== (MPa) (5.30) A Tabela 5.1 apresenta os valores de resistência à tração do concreto segundo o PR NB-1. Tabela 5.1: Resistência à tração do concreto segundo o PR NB-1

fck (MPa) fctk,inf (MPa) 25 1,80 30 2,03 35 2,25 40 2,46 45 2,66 50 2,85

O Estado limite de fissuração inaceitável pode ser verificado avaliando a abertura das fissuras segundo o critério adotado pela NB-1 [21] e pela NBR 7197 [23]. A seguir é apresentado um



roteiro baseado nas prescrições da NBR 7197 e do PR NB-1 para a avaliação da abertura provável das fissuras. 5.5.1. ROTEIRO PARA O CÁLCULO DA ABERTURA PROVÁVEL DAS FISSURAS EM LAJES PROTENDIDAS 1º PASSO: A verificação do Estado Limite de Fissuração Inaceitável (ELS-W) é feita admitindo a que a seção esteja no Estádio II. Segundo o PR NB-1 para a protensão limitada ou parcial essa verificação é feita para a combinação freqüente das ações. Portanto, o 1º passo é verificar se para essa combinação a seção de fato atingiu o Estádio II, o que pode ser feito da seguinte forma:

WM

AP

máx,t −=σ (5.31)

Para o caso particular da seção retangular, tem-se:

2máx,t bhM6

bhP −=σ (5.32)

onde:

σt,máx – máxima tensão de tração na seção no Estádio I.

#"Se σt,max > 0 indica compressão em toda a seção. Dessa forma, o ELS-W estaria automaticamente atendido (seção no Estádio I).

#"Se σt,máx < 0 indica tração na seção. Neste caso:

#"Se |σt,Max| < fctk,inf → seção no Estádio I, pois atende ao Estado Limite de Formação de Fissuras (ELS-F), logo o ELS-W está automaticamente atendido.

#"Se |σt,Max| > fctk,inf → seção no Estádio II, neste caso deve-se seguir com a verificação (2º

PASSO). 2º PASSO: Cálculo do acréscimo de tensão na armadura no Estádio II. O cálculo é feito para uma faixa de largura unitária, considerando um diagrama linear na compressão e desprezando a resistência à tração do concreto, Figura 5.35.

Figura 5.35: Equilíbrio da seção no Estádio II Para que ocorra equilíbrio da seção:

Zp

TS = σSAS TP = σPAP

C

ds dp

x

x/3

Zs ∆M



MzTzT ppss ∆=+ (5.33) ou ainda, M

3xdA

3xdA pppsss ∆=

−σ+

−σ (5.34)

A favor da segurança, pode-se assumir a tensão na armadura protendida como sendo a tensão provocada pelo pré-alongamento do cabo, ou seja:

pp

np EA

P=σ (5.35)

Assim:

( )( )( )3xd

3xdAA

3xdAM

s

p

s

pp

sss −

−σ−

−∆=σ (5.36)

onde:

σs – acréscimo de tensão no centro de gravidade da armadura considerada, entre o Estado Limite de Descompressão e o carregamento considerado. Deve ser calculada no Estádio II considerando toda a armadura ativa, inclusive dentro de bainhas, em kgf/cm²/m

∆M – acréscimo de momento entre o estado limite de descompressão e o carregamento considerado (em geral, combinação freqüente das ações).

pnEXT ePMM −=∆ (5.37)

sendo: MEXT – momento devido ao carregamento externo considerado, em geral, momento devido à combinação freqüente das ações. Pn – força de neutralização (ver item 5.6). ep – excentricidade do C.G. do cabo em relação ao CG da seção. h – espessura da laje, em cm.

Obs.: Na expressão 5.37 entrar com os valores em módulo. Ap – área de armadura ativa, em cm²/m

As – área de armadura passiva, em cm²/m

x – profundidade da linha neutra. Para o cálculo de x a NBR 7197 prescreve que seja adotada uma relação entre o módulo de elasticidade do aço e do concreto αe = 15.

Para obter a posição da linha neutra pode-se recorrer a um processo iterativo onde se arbitra sua posição até que se obtenha o equilíbrio da seção e se calcule a tensão na armadura tracionada. Neste sentido, o uso de computadores é desejável. Entretanto, simplificadamente pode-se adotar um valor médio para a posição da linha neutra:

sd39,0x ⋅≅ (5.38) Substituindo as expressões (5.35) e (5.38) em (5.36) e considerando ainda que dp ≅ ds a tensão na armadura será dada por:

pp

n

sss EA

PdA

M64,1−∆=σ (5.39)



Uma aproximação conservadora para σs é adotar:

f

yds

fγ

=σ , com γf = 1,4 (5.40)

3º PASSO: Cálculo da região de envolvimento protegida por uma barra da armadura passiva, definida conforme a Figura 5.36.

Figura 5.36: Região de envolvimento protegida pela barra ∅ i. onde:

Acri – área da região de envolvimento protegida pela barra ∅ i, em cm2;

s – espaçamento entre as barras da armadura passiva, em cm; bi <

14∅ i, em cm 3º PASSO: Cálculo do acréscimo de tensão na barra ∅ i:

σsi = bi × σs (5.41) 4º PASSO: Cálculo da abertura provável das fissuras (w). Será o maior entre os dois valores calculados com as expressões 5.42 e 5.43

+

ρ⋅σ⋅

−η∅ 454

E5,720 risi

si

i

i (5.42)

m,ct

si

si

si

i

i

f3

E5,720σ⋅σ⋅

−η∅ (5.43)

onde:

cri

siri A

A=ρ , sendo Asi a área da barra da armadura passiva ∅ i

Esi = 2.100.000 kgf/cm2 (210.000 MPa), para armadura passiva. ηi – coeficiente de aderência do aço usado. Para armadura passiva com CA-50 ou 60 em geral adota-se: ηi = 1,5 fct,m – resistência média do concreto à tração. O projeto de revisão da NB-1 indica:

h

bi

d' < 7∅ i

< 7∅ i

∅ i

s

Acri OBSERVAÇÃO: No cálculo da abertura de fissuras admite-se que apenas as armaduras passivas (ou ativas fora de bainha) combatam a fissuração.



32

ckm,ct f3,0f ⋅= , em MPa, ou (5.44a) 3

2

ckm,ct f646,0f ⋅= , em kgf/cm2 (5.44b) 5.6. VERIFICAÇÃO À RUPTURA POR FLEXÃO – ESTADO LIMITE ÚLTIMO O estado limite último, Estádio III, corresponde a uma condição em que a estrutura não pode ser mais utilizada, por ter sofrido colapso ou deformações plásticas excessivas. O cálculo no estado limite último por flexão pode ser feito considerando as seguintes hipóteses:

#"As deformações das fibras são proporcionais à sua distância ao eixo neutro, ou seja, as seções planas permanecem planas até a ruptura.

#"A intensidade e a posição da resultante dos esforços que atuam na região comprimida

do concreto podem ser deduzidas de um diagrama de tensões simplificado. Os diagramas mais utilizados são o parábola-retângulo e o retangular equivalente.

#"Após a fissuração, a resistência à tração do concreto é totalmente desprezada.

#"Sob influência das solicitações, as armaduras ficam sujeitas às mesmas deformações

unitárias médias que o concreto adjacente. Para as armaduras passivas as tensões são obtidas diretamente do diagrama tensão-deformação correspondente do aço. Para as armaduras protendidas aderentes, deve-se considerar além da deformação devido à curvatura do concreto, o pré-alongamento aplicado devido a protensão. Para armaduras não aderentes deve-se considerar também o pré-alongamento do aço devido a protensão. Entretanto, o cabo não aderente não acompanha o alongamento unitário do concreto, de modo que a tensão σpd, no estado limite, é inferior à que seria obtida no caso do cabo aderente. Assim, a contribuição do cabo não aderente, para o momento resistente é inferior à do cabo aderente. De acordo com a NB-1/78 o estado limite último por flexão é caracterizado pelos seguintes valores de deformações unitárias: εcu = 3,5 o/oo – encurtamento máximo do concreto εsu = 10 o/oo – deformação plástica excessiva da armadura. De acordo com Veríssimo et al [36], o limite convencional de 10o/oo para a deformação no aço está relacionado à fissuração do concreto. Quando a deformação na armadura mais tracionada atinge um valor tão elevado, o concreto adjacente encontra-se fissurado e com abertura de fissuras muito grandes. Numa peça com fissuras espaçadas de 10 cm, por exemplo, uma deformação de 10o/oo acarreta em fissuras da ordem de 1 mm. Cabe observar que nas armaduras protendidas o alongamento máximo é contado a partir do estado de descompressão da seção, que é uma situação fictícia onde a protensão equilibra uma parcela de carga externa tal que anule todas as tensões na seção transversal de concreto. A máxima a tensão atingida pelo concreto será de: σcd = 0,85 fcd Com relação à verificação do E.L.U. o NBR 7197 prescreve que devem ser considerados, além do efeito de outras ações, apenas os esforços solicitantes hiperestáticos de protensão. O efeito isostático de protensão não deve ser incluído. Isso ocorre pois a protensão é considerada uma solicitação interna, ficando normalmente a seção submetida à flexão simples. A consideração das armaduras ativas nos esforços resistentes deve ser feita a partir dos diagramas tensão-deformação e da consideração do pré-alongamentos das mesmas. Esses pré-alongamentos



devem calculados com base nas tensões iniciais de protensão com valores de cálculo e com a consideração de perdas na idade t em exame. Veríssimo et al [36] apresenta o seguinte procedimento para o cálculo da capacidade resistente de uma seção de concreto protendido ao momento fletor:

#"Determina-se o valor de cálculo da força de protensão.

#"Calcula-se o pré-alongamento da armadura ativa.

#"Determina-se o alongamento e a respectiva tensão no aço de protensão, em função da rotação da seção provocada pelo momento fletor. No caso de cabos aderentes, a determinação desse alongamento é feita com base na hipótese de aderência perfeita entre aço e concreto. Entretanto, no caso de cabos não aderentes, a análise pode ser feita de forma aproximada levando em conta um coeficiente de aderência, entre o cabo e a laje, o qual pode variar entre 0 (cabo idealmente não aderente) e 1 (cabo aderente).

#"Verifica-se o equilíbrio da seção. Caso a força de tração na armadura ativa seja menor

que a força menor que a força de compressão no concreto, deve ser acrescentada uma armadura passiva complementar. Caso a força de traça na armadura ativa seja maior ou igual á força de compressão no concreto, a armadura é suficiente para suportar o carregamento atuante. Neste caso, deve-se colocar a armadura passiva mínima recomendada pela norma.

A Figura 5.37 apresenta o esquema de forças em uma seção no Estádio III considerando o diagrama retangular equivalente de tensões no concreto.

Figura 5.37: Seção de concreto protendido no Estádio III Equações de equilíbrio da seção: ∑ = 0FH stptcc RRR += (5.45) ∑ = 0M 2st1ccd ZRZRM += (5.46) DETERMINAÇÃO DO VALOR DE CÁLCULO DA FORÇA DE PROTENSÃO Para o cálculo do pré-alongamento da armadura protendida, deve-se conhecer o valor de cálculo da força de protensão:

y =

0,8

x 0,85 fcd

Rcc

Rpt = AP σpd Rst = As σsd

dp ds

εp

εc

εs

Md

x

Z1

Z2

LN



kpd PP ⋅γ= (5.47) O coeficiente γp assume os seguintes valores: γp = 1,0 – situação favorável γp = 1,1 – situação desfavorável. CÁLCULO DO PRÉ-ALONGAMENTO DA ARMADURA ATIVA A Figura 5.38a apresenta uma peça protendida submetida apenas à força de protensão. A tensão normal no concreto na fibra correspondente ao centro de gravidade da armadura vale σcp.

Figura 5.38: Peça de concreto protendido – cálculo da força de neutralização A Figura 5.38b representa o estado de descompressão da seção (neutralização), que representa uma situação fictícia onde através da aplicação de uma força externa Pn = P + ∆P de magnitude tal que anula a tensão no concreto na fibra correspondente ao centro de gravidade da armadura. A deformação na armadura ativa, correspondente a força de neutralização Pn, é chamada de pré-alongamento, designada por εpn. Para o cálculo de εpn, basta adicionar à deformação da armadura ativa uma deformação igual à sofrida pelo concreto em função da tensão de compressão σcp. Dessa forma:

||E1

E||

cpppc

cpp σα=

σ=ε∆ (5.48)

Portanto,

||APP cpppdn σα+= (5.49)

ep C.G.

σcp P P

Pn = P + ∆P Pn = P + ∆P

(a) peça de concreto atuando apenas a força de protensão

(b) peça de concreto no estado de descompressão (neutralização)



pp

npn EA

P=ε (5.50)

sendo,

Pd – força de protensão de cálculo, em geral adota-se Pd = γp P∞ (protensão no tempo infinito após todas as perdas); Ap – área da armadura ativa; Ep – módulo de elasticidade do aço de protensão, em geral adota-se EP = 196 GPa.; αp = Ep/Ec.

A tensão no concreto no centro de gravidade da armadura, σcp, pode ser obtida por:

c

2pd

c

dcp I

ePAP +=σ (5.51)

Ou no caso particular da seção retangular:

3

2pdd

cp bh

eP12

bhP

+=σ (5.52)

onde,

ep – excentricidade do centro de gravidade de cabo em relação ao centro de gravidade da seção, conforme Figura 5.38; Ac – área da seção transversal; Ic – momento de inércia da seção transversal; h – altura da seção; b – largura, para lajes em geral trabalha-se com b = 1m.

A NBR 7197 permite que o pré-alongamento seja calculado através da equação (5.50) sempre que a solicitação normal devido ao peso próprio e as outras ações mobilizadas pela protensão forem inferiores a 90% da solicitação total em serviço admitida no projeto. No caso de lajes de edifícios, normalmente essa condição é atendida, uma vez que é usual trabalhar com protensão parcial. CÁLCULO DA TENSÃO NA ARMADURA ATIVA O cálculo da tensão na armadura ativa é feito entrando com a deformação total no digrama tensão–deformação do aço, Figura 5.39. Esse cálculo é dividido em dois casos: A) ARMADURA ADERENTE No caso da armadura aderente, o valor de εp é obtido a partir da compatibilidade de deformações na seção.

εp

εcu = 3,5o/oo

x

dp

5,3dx5,3

pp −=ε o/oo (5.53)

Figura 5.39: Cálculo da deformação na armadura ativa – protensão aderente



Obtida a deformação εp devido à curvatura da seção, calcula-se a deformação total, εpt, acrescentando-se o pré-alongamento, εpn. pnppt ε+ε=ε (5.54) A deformação de cálculo será:

s

ptpd γ

ε=ε , com 15,1s =γ (5.55)

Figura 5.39: Diagrama tensão-deformação para aço CP-175 e CP-190 Fonte: Schmid [34] Observe que entrando com o valor de cálculo da deformação, εpd, na curva da Figura 5.39, a tensão calculada será a tensão de cálculo, σpd. EXEMPLO – PROTENSÃO ADERENTE Para ilustrar o procedimento de verificação à ruptura por flexão em uma laje com protensão aderente, considere a seguinte situação hipotética:

Figura 5.40: Laje com protensão aderente - exemplo

5,11

7,

70

9,00

50,0

0,61

0,76 0,78

0,87

ptk

p

fσ

εp (o/oo) O

A

B C

D

TRECHO AO: pptk

p 1130,0f

ε=σ

TRECHO AB: 592,0328,00198,0f p

2p

ptk

p −ε⋅+ε⋅−=σ

(AÇO CP 175)

324,0218,00097,0f p

2p

ptk

p −ε⋅+ε⋅−=σ

(AÇO CP 190)

TRECHO BC: 642,0651

f pptk

p +ε⋅=σ

TRECHO CD: 760,0456

1f pptk

p +ε⋅=σ

4

2 ∅ 12,7

50 50

21 25



DADOS fck = 300 kgf/cm2 (30 MPa) Ec = 276.000 kgf/cm2 (27,6 GPa) CP 190 RB Ep = 1.960.000 kgf/cm2 (196 GPa) Ap = 4 ∅ 12,7/m = 3,95 cm2/m Md = 18 tf.m/m (180 kN.m/m) P∞ = 12 tf/cabo (120 kN/cabo)

VALOR DE CÁLCULO DA PROTENSÃO

Pd = γp P∞ = 1,0 × (12.000 × 4)= 48.000 kgf/m (480 kN/m) PRÉ-ALONGAMENTO

1,76,27

196p ==α

( )MPa58,4cm

kgf83,4525100

5,8000.481225100

000.4823

2

cp =⋅

⋅+⋅

=σ

( )m/kN8,492m/kgf285.4983,4595,31,7000.48Pn =⋅⋅+=

37,6000.960.195,3

285.49pn =

⋅=ε o/oo

CÁLCULO DAS TENSÕES NA ARMADURA No cálculo, usualmente admite-se que não existe armadura passiva na seção e verifica se a armadura ativa é suficiente. Caso não seja suficiente, acrescenta-se armadura passiva para se obter o equilíbrio da seção. A partir da equação de equilíbrio (5.46) obtém-se a posição x da linha neutra;

( )x4,0df85,0bx8,0ZRM pcd1ccd −⋅⋅⋅==

( )x4,0214,1

30085,0100x8,0000.800.1 −⋅⋅⋅=

Que leva a seguinte equação do segundo grau em x:

0000.800.1x000.306x57,825.5 2 =+− Resolvendo a equação obtém-se: x = 6,75 cm

εp

3,5o/oo

6,75

21

32,85,32175,65,3

p =−=ε o/oo

Figura 5.41: Cálculo da deformação na armadura ativa – protensão aderente



69,1437,632,8pnppt =+=ε+ε=ε o/oo A partir do gráfico da Figura 5.39 obtém-se a tensão na armadura protendida:

792,0760,069,14456

1fptk

p =+⋅=σ

( )MPa503.1cm

kgf030.15987,0730.18792,0f792,0 2ptkp =⋅=⋅=σ

Tensão de cálculo: ( )MPa307.1cm

kgf6,069.1315,1030.15

2s

ppd ==

γσ

=σ

Calculando a resultante de compressão no concreto obtém-se:

( )kN6,983kgf357.984,1

30085,010075,68,0f85,0bx8,0R cdcc =⋅⋅⋅=⋅⋅=

A resultante de tração na armadura protendida será:

( )kN3,516kgf625.5195,36,069.13AR ppdpt =⋅=⋅σ= Como Rpt < Rcc a seção não está em equilíbrio. É necessário adicionar armadura passiva de tal forma que:

( )kN3,467kgf732.46625.51357.98RRR ptccst =−=−=

A armadura passiva necessária será: mcm75,10

348.4732.46

fRA

2

yd

sts === $ ∅ 12,5 c/ 11cm

B) ARMADURA NÃO ADERENTE Para o cálculo da tensão no aço protendido, σpd, no caso de monocordoalhas engraxadas é usual recorrer a fórmulas empíricas, como as apresentadas a seguir que são baseadas no ACI-318 [1]: a) para peças com relação vão-espessura L/h ≤ 35: pykpe

p

ckpnp f420

100f70 ≤+σ≤

ρ++σ=σ (MPa) (5.56)

b) para peças com relação vão-espessura L/h > 35: pykpe

p

ckpnp f200

300f70 ≤+σ≤

ρ++σ=σ (MPa) (5.57)

As expressões (5.56) e (5.57) são válidas para ptkpe f5,0≥σ . A tensão de cálculo será:

s

ppd γ

σ=σ , com sγ =1,15 (5.58)

onde:

pnσ – tensão na armadura protendida devido ao pré-alongamento. Obtida a partir do diagrama tensão-deformação do aço (Figura 5.39) para εpn dado pela expressão (5.50);



peσ – tensão efetiva na armadura protendida (tensão após todas as perdas);

p

pp bd

A=ρ – taxa de armadura de protensão;

pykf – tensão de escoamento da armadura protendida; EXEMPLO – PROTENSÃO NÃO ADERENTE Para ilustrar o procedimento de verificação à ruptura por flexão em uma laje com protensão não aderente, considere o mesmo exemplo anterior:

Figura 5.42: Laje com protensão não aderente - exemplo DADOS

fck = 300 kgf/cm2 (30 MPa) Ec = 276.000 kgf/cm2 (27,6 GPa) CP 190 RB Ep = 1.960.000 kgf/cm2 (196 GPa) Ap = 4 ∅ 12,7/m = 3,95 cm2/m Md = 18 tf.m/m (180 kN.m/m)

Admitindo que a peça tenha a relação L/h ≤ 35, tem-se: pykpe

p

ckpnp f200.4

100f700 ≤+σ≤

ρ++σ=σ (kgf/cm2)

onde, ( )MPa7,1247

cmkgf2,477.12

95,3285.49

AP

2p

npn ===σ

%188,021100

95,3bdA p

p =⋅

==ρ

logo,

( )MPa3,477.1cm

kgf9,772.1400188,0100

3007002,477.12 2p =⋅

++=σ

( )MPa6,284.1cm

kgf846.1215,1

9,772.142pd ==σ

A resultante de tração no aço de protensão será:

( )kN4,507kgf7,741.5095,3846.12AR ppdpt =⋅=⋅σ= Como Rpt < Rcc a seção não está em equilíbrio. É necessário adicionar armadura passiva de tal forma que:

2 ∅ 12,7

50 50

21

4 25



( )kN1,476kgf3,615.477,741.50357.98RRR ptccst =−=−=

A armadura passiva necessária será: mcm95,10

348.43,615.47

fRA

2

yd

sts === $ ∅ 12,5 c/ 11cm

5.6.1. VERIFICAÇÃO À RUPTURA POR FLEXÃO – FÓRMULAS APROXIMADAS Atualmente, com a disponibilidade de programas computacionais, a verificação de seções de concreto protendido deixou de ser uma tarefa trabalhosa para o projetista. Contudo, ainda hoje são de grande valia as formulações simplificadas, pois permitem ao projetista que faça cálculos rápidos bastante úteis em pré-dimensionamentos e verificações. A seguir são apresentadas fórmulas aproximadas obtidas através de pesquisas experimentais e cálculos numéricos comparativos para a verificação do momento resistente de uma seção em concreto protendido. Essas fórmulas foram extraídas da referência [28] e são baseadas nos trabalhos de Lin [15]. A) SEÇÃO RETANGULAR Para uma seção subarmada, o braço de alavanca interno, Z, pode ser obtido pela seguinte expressão empírica. ( )p6,01dZ ω−⋅= (5.59) onde,

d – altura útil. O valor de d é estimado considerando a posição da resultante dos esforços de tração:

ydspdp

sydsppdp

fAAdfAdA

d+σ+σ

= (5.60)

ωp – taxa mecânica de armadura protendida.

cd

pdpp σ

σρ=ω (5.61)

O momento resistente da seção será dado pela expressão (5.62): ( ) ( )pydspdpdR 6,01dfAAM ω−⋅⋅+σ= (5.62) Impondo uma condição de ductilidade de obter um alongamento mínimo de 0,5% nas armaduras, obtém-se o seguinte limite pra o momento resistente:

cd2

LIM,dRdR bd28,0MM σ⋅=≤ (5.63) Considerando: b = 1 metro, γc = 1,4 Efeito Rüsch = 0,85 O valor de MdR,LIM pode ser obtido pela expressão (5.64) adotando os valores de κ1 da Tabela 5.2.



21LIM,dR dM ⋅κ= (5.64)

Tabela 5.2: Valores de κ1 para o cálculo de MdR,LIM

fck fck κκκκ1 (MPa) (kgf/cm²) (kgf.m/cm²)

20 200 34,0 25 250 42,5 30 300 51,0 35 350 59,5 40 400 68,0 45 450 76,5 50 500 85,0

A tensão na armadura protendida, σpd, pode ser obtida a partida das expressões empíricas do ACI, (5.56) e (5.57), no caso de monocordoalhas engraxadas. Para protensão aderente, Pfeil [28], apresenta a seguinte expressão empírica.

σγρ−

γ=σ

cd

s

ptk

ps

ptkpd

f

5,01f

(5.65)

Admitindo: aço CP-190 γc = 1,4

Efeito Rüsch = 0,85 γs = 1,15

( )p2pd 15,501.16 ρ⋅κ−⋅=σ (kgf/cm2) (5.66a) ( )p2pd 12,650.1 ρ⋅κ−⋅=σ (MPa) (5.66b)

Tabela 5.3: Valores de κ2 para o cálculo da tensão na armadura protendida aderente

fck fck κκκκ2 κκκκ2 (MPa) (kgf/cm²) (MPa) (kgf/cm²)

20 20 6,79 67,95 25 25 5,44 54,36 30 30 4,53 45,30 35 35 3,88 38,83 40 40 3,40 33,97 45 45 3,02 30,20 50 50 2,72 27,18

A expressão (5.64) é válida para ptkpe f5,0≥σ . No caso do aço CP-190, 2pe cm

kgf3,488.9≥σ .

Considerando o exemplo anterior, protensão não aderente, tem-se:

1326,01,182

846.1200188,0cd

pdpp ==

σσ

ρ=ω



cm15,20434895,10846.1295,3

23434895,1021846.1295,3fAA

dfAdAd

ydspdp

sydsppdp =⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅=+σ+σ

=

( ) ( ) m/m.kgf241.181326,06,012015,0434895,10846.1295,3MdR =⋅−⋅⋅⋅+⋅=

m/m.kgf707.2015,200,51M 2

LIM,dR =⋅= B) SEÇÃO T Além da seção retangular, outra seção bastante usual é a seção T. No caso de lajes protendidas elas pode ser usada, por exemplo, em vigas ou para a verificação das nervuras, no caso de lajes nervuradas. A Figura 5.43 apresenta o esquema de forças em uma seção T no Estádio III considerando o diagrama retangular equivalente de tensões no concreto.

Figura 5.43: Seção T – E.L.U. Flexão Nas seções T com mesa de compressão superabundante, é comum obter a posição da linha neutra dentro da mesa, x ≤ hf. Nesse caso, a seção é dimensionada como uma seção retangular de largura bf. Essa condição pode ser verificada com a seguinte desigualdade:

cd

pdpf d4,1h

σσ

ρ⋅⋅> (5.67)

Quando x > hf, a seção funciona como T. O momento resistente de projeto de uma seção T subarmada pode ser calculado com a seguinte expressão:

( )[ ] ( )

−⋅⋅−⋅σ+

σσ

⋅−

−⋅+σ−=2hdhbb

dbAA

6,01dfAAAM ffwfcd

cd

pd

w

pfpydspdpfpdR (5.68)

y =

0,8

x

bw

bf

0,85 fcd

Rcc

Rpt = Ap σpd Rst = As σsd

dp ds

εp

εc

εs

Md

x

Z1

Z2

LN

hf

h Ap

As



onde, Apf representa a área da armadura protendida necessária para equilibrar as abas da mesa.

( )pd

cdfwfpf hbbAσσ⋅−= (5.69)

O momento resistente de projeto dado pela expressão (5.68) fica entretanto limitado ao valor máximo MdR,LIM.

( )

−⋅−σ+σ⋅=≤

2hdhbbdb28,0MM f

fwfcdcd2

wLIM,dRdR (5.70)

5.6.2. ESTADO LIMITE ÚLTIMO NO ATO DA PROTENSÃO Além da verificação da laje quanto ao Estado Limite Último de ruptura por flexão para a protensão no tempo infinito e ações externas majoradas com seus coeficientes de cálculo, para estruturas de concreto protendido em geral deve-se também comprovar a segurança contra ruptura no ato da aplicação da protensão. A NBR 7197 [23] prescreve que a verificação quanto ao E.L.U. no ato da protensão seja feita considerando o Estado Limite Último de ruptura ou por alongamento excessivo do aço, considerado como resistência característica do concreto fck,j,correspondente à idade j, em dias, do material no ato da protensão, sendo que a resistência de fck,j deve ser claramente especificada no projeto. Para essa verificação, a NBR 7197 prescreve os seguintes valores para os coeficientes de ponderação:

γc = 1,2 – concreto; γs = 1,15 – aço; γp = 1,1 – cargas oriundas da protensão com pós-tração; γf = 1,0 – para as ações desfavoráveis e γf = 0,9 para as ações favoráveis

Apenas as cargas que efetivamente atuarem na ocasião da protensão devem ser consideradas. 5.6.2.1. VERIFICAÇÃO SIMPLIFICADA A NBR 7197 admite que a segurança em relação ao E.L.U. no ato de protensão esteja garantida desde que as seguintes condições fiquem satisfeitas:

#"a tensão máxima de compressão na seção de concreto, obtida através das solicitações ponderadas de γp = 1,1 e γf = 1,0 não ultrapassem 70% da resistência característica fck,j prevista para a idade de aplicação da protensão;

#"a tensão máxima de tração no concreto não ultrapasse 1,2 vezes a resistência à tração fctk correspondente ao valor fck,j especificado;

#"quando nas seções transversais existirem tensões de tração, deve haver armadura de tração calculada no Estádio II, permitindo-se admitir que a força nessa armadura, nessa fase da construção, seja igual à resultante das tensões de tração no concreto no Estádio I. Essa força não deve provocar, na armadura correspondente, acréscimos de tensão superiores a 150 MPa no caso de fios ou barras lisas e a 250 MPa em barras nervuradas.



5.7. VERIFICAÇÃO À RUPTURA POR CISALHAMENTO Sobretudo nas lajes apoiadas diretamente sobre pilares ou submetidas a cargas concentradas importantes é necessário comprovar sua resistência ao esforço cortante ao redor do suporte da laje ou ao redor da carga concentrada. De acordo com a NBR 7197 no subitem 9.5.4 a verificação da resistência à punção deve obedecer ao que prescreve a NBR 6118 (NB-1), permitindo considerar o efeito favorável da componente da força de protensão perpendicular ao plano médio da laje atuando no contorno crítico de punção, devendo-se aplicar o coeficiente de minoração 0,8 às forças de protensão no tempo infinito. Cabe citar que as prescrições da NB-1/78 sobre punção são válidas apenas para o caso de carga centrada. Quando existirem momentos atuantes deve-se buscar formulações mais completas como a do MC-90 [18] ou do ACI 318 [1], por exemplo. O PR NB-1 apresenta uma formulação para o cálculo de punção baseada na formulação do CEB. De acordo com o PR NB-1 na verificação da laje ao puncionamento a tensão tangencial atuante pode ser reduzida da tensão devida ao efeito dos cabos de protensão inclinados que atravessam o contorno crítico considerado passando a menos de d/2 da face do pilar. Ou seja:

PdSdefSd,τ−τ=τ (5.71)

onde: τSd,ef − tensão tangencial efetiva de cálculo;

τSd − tensão tangencial atuante de cálculo, calculada de acordo com o item 19.4 do projeto de revisão da NB-1; τPd − tensão devida ao efeito dos cabos de protensão inclinados que atravessam o contorno considerado e passam a menos de d/2 da face do pilar conforme indica a Figura 5.44.

dusenP iiinf,k

Pd

α=τ ∑ (5.72)

onde: Pkinf,i − força de protensão no cabo i; α i − inclinação do cabo i em relação ao plano da laje no contorno considerado u − perímetro crítico do contorno considerado, em que se calculam τSd,ef e τSd

Figura 5.44: Efeito favorável dos cabos inclinados passando na região dos apoios Além do efeito dos cabos inclinados passando sobre a região do apoio existe ainda o efeito favorável da compressão promovida pela protensão na direção perpendicular ao plano da laje. Entretanto, ao contrário do CEB e do ACI, o PR NB-1 não leva em consideração esse efeito sendo portanto, mais conservador.

CABO i b+d

a

b

REGIÃO ONDE PASSAM OS CABOS QUE ENTRAM NO CÁLCULO DE τPd

PERÍMETRO CRÍTICO u

α i

2d



5.8. VERIFICAÇÃO AO ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA −−−− FLECHAS As flechas em lajes protendidas são calculadas considerando apenas o carregamento não equilibrado pela protensão. Obtido o valor do deslocamento elástico da laje deve-se levar em consideração os efeitos da perda de rigidez devido à fissuração, quando essa for importante, e ainda a deformação lenta. Para o cálculo do deslocamento elástico, quando não se lança mão de um processo de cálculo mais rigoroso, como uso de métodos numéricos computacionais (grelhas e elementos finitos, por exemplo), pode-se usar um processo simplificado a partir do método do pórtico equivalente:

#"ao calcular-se o pórtico na direção x, obtém-se a flecha máxima (wx) no vão correspondente ao painel que deseja ser estudado;

#"analogamente, obtém-se a flecha wy quando calculado o pórtico na direção y, correspondente ao mesmo painel de laje cogumelo para o qual foi obtida a flecha wx;

#"a flecha total no centro do painel será igual à soma das flechas nas direções x e y (Figura 5.45).

wTotal = wx + wy (5.73)

Figura 5.45: Cálculo aproximado da flecha pelo processo de pórticos equivalentes Outra indicação interessante pode ser obtida no Boletim 158 do CEB [9] que apresenta um conjunto de tabelas práticas para o cálculo da flecha em lajes cogumelo. 5.9. COMBINAÇÕES DE AÇÕES A norma brasileira NBR 8681 [26] estabelece os critérios com relação às ações e combinações para o projeto de estruturas usuais da construção civil. A seguir é apresentado um breve resumo das combinações de ações previstas pela norma brasileira de interesse no projeto de lajes protendidas. 5.9.1. COMBINAÇÕES EM SERVIÇO De acordo com a NBR 8681 item 5.5.1:

#"Combinações quase permanentes

∑∑==

Ψ+=n

1jk,Qjj2

m

1ik,Giuti,d FFF (5.74)

#"Combinações freqüentes

∑∑==

Ψ+Ψ+=n

2jk,Qjj2k,1Q1

m

1ik,Giuti,d FFFF (5.75)

wy

wx wTotal

X

Y



onde: FGi,k – valor característico da ação permanente i

FQj,k – valor característico da ação variável j; ψ1 e ψ2 são os fatores para combinações de utilização, dados na Tabela 5.4.

Tabela 5.4: Fatores de combinação de utilização

Ações em geral ψψψψ1 ψψψψ2 Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local. Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral. Pressão dinâmica do vento em estruturas em que a ação variável principal tem pequena variabilidade durante grandes intervalos de tempo (exemplo: edifícios de habitação).

0,5

0,2

0,2

0,3

0,0

0,0

Cargas acidentais dos edifícios ψψψψ1 ψψψψ2 Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas. Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas concentrações de pessoas. Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens.

0,3

0,6

0,7

0,2

0,4

0,6 5.9.2. COMBINAÇÕES NA RUPTURA No caso de estruturas protendidas deve ser considerado nas combinações últimas, além das solicitações normais, os efeitos hiperestáticos de protensão.

#"Combinações últimas normais

HIPp

n

2jk,Qjj0k,1Qq

m

1ik,Gigid FFFFF γ+

Ψ+⋅γ+⋅γ= ∑∑==

(5.76)

onde: γg = 1,4 quando o efeito é desfavorável; γg = 0,9 quando o efeito é favorável; γq = 1,4 carga normal; γp = 1,2 quando o efeito é desfavorável; γp = 0,9 quando o efeito é favorável.

Sendo, FHIP – efeito hiperestático da protensão.



6. CÁLCULO DAS PERDAS DE PROTENSÃO De acordo com Pfeil [28], perdas de protensão são todas as perdas verificadas nos esforços aplicados aos cabos de protensão. As perdas de protensão podem ser classificadas em dois grupos:

a) Perdas imediatas: são as que se verificam durante a operação de protensão e ancoragem dos cabos, a saber:

#"Perdas por atrito, produzidas por atrito do cabo com peças adjacentes durante a

protensão. #"Perdas nas ancoragens, provocadas por movimentos nas cunhas de ancoragem,

quando o esforço é transferido do macaco para as placas de apoio. #"Perdas por encurtamento elástico do concreto.

b) Perdas retardadas: são as que se processam ao longo de vários anos, a saber:

#"Perdas por retração e fluência do concreto, produzidas por encurtamentos retardados do concreto, decorrentes do comportamento viscoso deste complexo material.

#"Perdas por relaxação do aço, produzidas por quedas de tensão nos aços de alta

resistência quando ancorados nas extremidades sob tensão elevada. 6.1. PERDAS IMEDIATAS 6.1.1. PERDAS POR ATRITO As perdas por atrito são calculadas pela expressão 6.1.

)kx(

oe)x( +αµ− ∑σ=σ (6.1) sendo: σ(x) – tensão atuante no cabo a uma distância x; σo – tensão inicial aplicada na extremidade do cabo; Σα – soma dos ângulos de desvio previstos em radianos; µ – coeficiente de atrito aparente entre o cabo e a bainha:

Em geral adota-se: µ = 0,20 para cordoalhas em bainhas metálicas; µ = 0,05 para cordoalhas em bainhas de polipropileno lubrificadas.

k – coeficiente de perdas por metro provocadas por curvas não intencionais do cabo.

Em geral adota-se:

k = entre 0,001 a 0,003 m-1 6.1.2. PERDAS POR CRAVAÇÃO DA ANCORAGEM A região de influência devido à perda por cravação da ancoragem (acomodação das cunhas) pode ser avaliada através de um cálculo iterativo simples: 1º PASSO: arbitra-se um valor para x (onde x é a região de influência da cravação)



2º PASSO: calcula-se o valor de )kx(

oe)x( +αµ− ∑σ=σ 3º PASSO: Calcula-se o valor de ∆σ = 2(σo - σ(x))

4º PASSO: Verifica-se: 2

xAE TRIÂNGULO

N

p⋅σ∆==δ (ver Figura 6.1)

onde δ – cravação da ancoragem. Em geral δ = 5 mm a 8 mm; Ep – módulo de elasticidade do aço de protensão (Ep = 196 GPa).

5º PASSO: caso não seja verificada a igualdade, arbitra-se outro valor de x até que seja satisfeito o 4º PASSO. 6.1.3. PERDAS POR ENCURTAMENTO LINEAR DO CONCRETO O efeito do encurtamento elástico do concreto no ato da protensão pode ser simplificadamente avaliado pela expressão 6.3:

cpp n21n

σα⋅

−=σ∆ (6.3)

Sendo: n – número de cabos; αp = Ep/Ec; Ep – módulo de elasticidade do aço de protensão, Ep = 196 GPa; Ec – módulo de elasticidade do concreto na idade da protensão; σc – tensão no concreto no C.G. do cabo devido aos efeitos da protensão e das cargas mobilizadas por ela no ato da protensão (em geral carga permanente).

c

pg

c

2p

cc I

eMI

PeAP

−+=σ (6.4)

com: ep – posição do C.G. do cabo em relação ao C.G. da peça na seção considerada. Ac – área da seção transversal de concreto. Ic – momento de inércia da seção transversal de concreto. P – força de protensão inicial, considerando as perdas por atrito. Mg – momento fletor proveniente das cargas mobilizadas com a protensão, em geral, momento devido ao peso próprio da estrutura.

∆σ σ(x) σo

σ o’

x

ATRIÂNGULO = Epδ

Figura 6.1: Cálculo da influência da cravação



6.2. PERDAS DIFERIDAS NO TEMPO As perdas no tempo levam em consideração as perdas devido aos fenômenos de fluência e retração do concreto e relaxação do aço. A formulação de cálculo das perdas diferidas no tempo apresentado a seguir é baseada nas prescrições do Código Modelo Europeu – MC-90 [18]. De acordo com o MC-90 as perdas finais podem ser estimadas pela expressão 6.5:

[ ]

ϕ⋅χ+⋅

σσα−

ϕ⋅σ+σ⋅α+σ∆+ε=σ∆ ++

)t,t()t,t()t(E

E)t()t(1

)t,t()t()t(E)t,t(

oooc

28c

oP

oCP

ooCPoCgPrpscsrsc,P (6.5)

onde:

εcs (t,ts) = retração do concreto; Ep = módulo de elasticidade do aço de protensão; ∆σPr = perda por relaxação pura do aço adotando como tensão de referência:

σP = σPo – 0,3 ∆σP,c+s+r σPo = tensão inicial nos cabos (já descontadas as perdas iniciais) com ∆σP,c+s+r valor estimado em torno de 10 a 15% dependendo se o aço é de relaxação normal ou baixa; σCg (to) = tensão no concreto na altura dos cabos de protensão devido às cargas mobilizadas na protensão (em geral cargas permanentes); σCP (to) = tensão no concreto na altura dos cabos devido à força de protensão; ϕ (t,to) = coeficiente de fluência do concreto; α = Es / Ec28; σP(to) = tensão no aço no instante to (já descontadas as perdas iniciais); χ (t,to) = coeficiente de envelhecimento:

0,8 se 10 dias < to < 30 dias

χ (t,to) = (6.6) to0,5 / (1+ to0,5)

Com relação ao módulo de elasticidade do concreto, o PR NB-1 prescreve que na falta de dados experimentais mais precisos pode ser adotado:

21

ck28c f5600E ⋅= em (MPa) (6.7) De acordo com o projeto de revisão da NB-1 a expressão 6.7 é válida para o cálculo do modulo de elasticidade inicial em uma idade t > 7 dias, substituindo o valor de fck por fck,j. Para idades inferiores a 7 dias o PR NB-1 não apresenta indicação. Como atualmente tem sido aplicado protensão em lajes com idades de 4 e até mesmo 3 dias, pode-se simplificadamente calcular Ec(to) com a expressão 6.7, porém deve-se exigir no projeto a comprovação da resistência mínima fck,j, antes de protender os cabos, com a ruptura de corpos-de-prova, sendo recomendável também a comprovação do módulo de elasticidade mínimo na idade de protensão.



6.2.1. CÁLCULO DO COEFICIENTE DE FLUÊNCIA Para concreto com temperatura ambiente em torno de 20 ºC e submetidos a tensões normais (σc < 0,4 fcm) o coeficiente de fluência é dado pela expressão 6.8:

)tt()t,t( ocoo −β⋅φ=ϕ (6.8) sendo:

)t()f( ocmRHo β⋅β⋅φ=φ (6.9)

3/1

o

fic

oRH

hh46,0

RHRH1

1

⋅

−+=φ (6.10)

( )cmo

cm

cm

ff

3,5f =β (6.11)

( ) 2,0

1

o

o

tt1,0

1t

+=β (6.12)

RH = umidade relativa do ar (%) RHo = 100 % hfic = 2Ac/u → com u o perímetro exposto ao meio ambiente ho = 100 mm fcm = resistência média a compressão do concreto → fcm = fck + 8 MPa fcmo = 10 MPa t1 = 1 dia

A idade to deve ser corrigida em função do tipo de cimento e da temperatura ambiente diferente de 20ºC.

dia5,01

tt2

9tt2,1

1

2,1T,o

T,oo ≥

++

⋅=

α

(6.13)

sendo:

αααα TIPO DE CIMENTO 1 RS – cimento de endurecimento rápido (ARI) 0 N, R – cimento de endurecimento normal a rápido -1 SL – cimento e endurecimento lento

( )∑=

−∆+

−⋅∆=n

1i

o

iiT,o 65,13

TtT273

4000exptt (6.14)

com: ∆ti = intervalos de tempo (em dias)



T(∆ti) = temperatura em ºC no intervalo ∆ti To = 1 ºC

A outra parcela da equação (6.8) é calculada a partir de (6.15):

3,0

1

oH

1

o

oc

t)tt(

t)tt(

)tt(

−+β

−

=−β (6.15)

dias1500250hh

RHRH2,11150

o

fic

18

oH ≤+

+⋅=β (6.16)

Quando o valor de t - to tende ao infinito o termo βc(t - to) tende a 1. 6.2.2. CÁLCULO DA RETRAÇÃO DO CONCRETO Para concreto com temperatura ambiente em torno de 20 ºC, segundo o MC-90 a retração do concreto pode ser estimada pela expressão 6.13:

( ) )tt(tt sscsoscs −βε=−ε (6.17) sendo,

ts – tempo para a cura do concreto, em geral, 3 dias

RH28cmscso )f( β⋅ε=ε (6.18)

6

cmo

cmsc28cms 10

ff910160)f( −⋅

−⋅β+=ε (6.19)

ββββsc TIPO DE CIMENTO 4 RS – cimento de endurecimento rápido (ARI) 5 N, R – cimento de endurecimento normal a rápido 8 SL – cimento e endurecimento lento

%99RH%40/pRHRH155,1

3

O

≤≤→

−⋅−

=βRH (6.20) %99RH/p25,0 ≥→+

21

1

s

o

fic

1

s

sS

ttt

hh350

ttt

)tt(

−+

⋅

−

=−β (6.21)

A Tabela 6.1, extraída da NBR 7197 [23], fornece o valor para o coeficiente de fluência e de retração do concreto em função da umidade ambiente e da espessura equivalente (hfic = 2Ac/u). Em casos onde não há grande necessidade de precisão, pode-se obter os valores de ϕ (t∞,to) e εcs (t∞,to) por interpolação. Os valores da Tabela 6.1 são admitidos válidos para temperaturas do concreto variando entre 0º e 40ºC e concretos plásticos com cimento Portland comum.



Tabela 6.1: Valores característicos superiores da deformação específica de retração εcs(t∞,to) e do coeficiente de fluência ϕ(t∞,to)

Umidade ambiente (%) 40% 55% 75% 90%

Espessura Equivalente 2Ac/u (cm)

20 60

20 60

20 60

20 60

5 4,4 3,9

3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1

ϕϕϕϕ(t∞∞∞∞,to) 30 3,0 2,9

2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6

to(dias)

60 3,0 2,6

2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4

5 -0,44 -0,39

-0,37 -0,33

-0,23 -0,21

-0,10 -0,09

εεεεcs(t∞∞∞∞,to) (‰)

30 -0,37 -0,38

-0,31 -0,31

-0,20 -0,20

-0,09 -0,09

to(dias)

60 -0,32 -0,36

-0,27 -0,30

-0,17 -0,19

-0,08 -0,09

Fonte: NBR 7197 [23]

6.2.3. CÁLCULO DA RELAXAÇÃO DO AÇO A relaxação de cordoalhas, após 1000 horas a 20ºC, obtida em ensaios descritos na NBR 7484 [25] não deve superar os valores limites descritos na NBR 7483 [24]. Para efeito de projeto podem ser adotados os valores apresentados na Tabela 6.2: Tabela 6.2: Valores de relaxação em 1000 horas (ρ1000(%)) para cordoalhas brasileiras

Aço de relaxação σσσσPo

Normal Baixa 0,5 fptk 0,0 0,0 0,6 fptk 3,5 1,3 0,7 fptk 7,0 2,5 0,8 fptk 12,0 3,5

Fonte: Projeto de revisão da NB-1 Sendo: PoPr (%) σ⋅ρ=σ∆ (6.22) Segundo o MC-90 a porcentagem de relaxação em uma idade t horas pode ser avaliada por:

k

1000t 1000t(%)(%)

⋅ρ=ρ (6.23)

onde,

ρρ=

100

1000logk (6.24)

onde, k pode ser adotado como: k = 0,12 – aços de relaxação normal k = 0,19 – aços de relaxação baixa De acordo como o catálogo técnico da Belgo Mineira [5] a diferença entre os aços de relaxação normal e baixa ocorre devido tipo de tratamento recebido no final do processo de fabricação:



#"Aliviamento, no caso dos fios para protensão com relaxação normal (RN), estes são aliviados das tensões residuais de trefilação e estabilização.

#"No caso do aço de relaxação baixa (RB), os fios recebem um envelhecimento

acelerado que diminui a perspectiva de perda de carga por relaxação, aumentando o seu limite de elasticidade, além de também aliviar as tensões residuais da trefilação.

6.3. CÁLCULO DO ALONGAMENTO TEÓRICO Durante a operação de protensão deve-se controlar a tensão aplicada, e uma das formas é verificar o alongamento dos cabos. A comparação entre os alongamentos teóricos e os medidos in loco permite verificar se as perdas formam avaliadas corretamente. Para tensões que estejam dentro do limite de proporcionalidade do aço, o alongamento dos cabos obedece a Lei de Hooke:

pp

MÉDIO

AEP !

! =∆ (6.25)

onde: !∆ – alongamento total do cabo;

! – comprimento do cabo; PMÉDIO – força de protensão média ao longo do cabo; Ep – módulo de elasticidade do aço; Ap – área da seção transversal do cabo.

Nos cálculos usuais costuma-se considerar como comprimento do cabo a projeção horizontal do mesmo. Entretanto, caso se deseje uma precisão maior, ou ainda a curvatura dos cabos é muito acentuada, pode-se calcular o comprimento dos cabos com o auxilio da seguinte expressão:

X

2

X 3f8!

!! += (6.26)

onde: Para lajes usuais com monocordoalhas engraxadas, admitindo uma perda média de 10% (já incluindo a cravação da ancoragem), o alongamento teórico previsto será em torno de 0,66 cm/m.

X!

f

Figura 6.2: Cálculo do comprimento dos cabos



7. EXEMPLO DE CÁLCULO DE UMA LAJE LISA PROTENDIDA O exemplo apresentado diz respeito ao cálculo de uma faixa de uma laje protendida hipotética. A faixa será calculada considerando o processo de pórtico equivalente do ACI 318 [1]. A Figura 7.1. mostra a laje em planta, observe que a geometria da laje é bastante simples com vãos dentro das recomendações apresentadas no item 4.2 desse trabalho, valendo ressaltar que na prática os projetos são bem mais complexos e que o objetivo desse exemplo é apenas ilustrar o processo de cálculo.

200

300

300

20

200

200 800 800 800 200

800

800

800

800

A A

CORTE A-A

PLANTA BAIXA

Figura 7.1: Laje lisa que será estuda no exemplo

FAIXA CALCULADA NO EXEMPLO

PILARES COM 40 x 40

Dimensões em cm



Figura 7.2: Pórtico equivalente – vista em 3D Considere ainda para o cálculo: • Armadura ativa: Monocordoalhas engraxadas – CP 190 RB – ∅ 12,7mm • Armadura passiva: CA-50 e CA-60 • Concreto: fck = 30 MPa • Idade da protensão: 5 dias • Resistência do concreto na idade de protensão:

• fck,5 = 30 exp{0,25[1−(28/5)1/2]} ≅ 21 MPa • Módulo de elasticidade:

• Inicial – Ec28 = 5600 (30)1/2 = 30.672 MPa • Secante – Ecs = 0,85Ec28 = 26.071 MPa • Na idade de protensão – Ec5 = 5600 (21)1/2 = 25.662 MPa

• Resistência característica à tração: • fctk = 0,21(30)2/3 = 2,03 MPa • fctk,5 = 0,21(21)2/3 = 1,60 MPa

• Resistência média à tração: • fct,m = 0,30(30)2/3 = 2,90 MPa

7.1. ESPESSURA DA LAJE Para lajes lisas pode-se adotar com espessura 1/40 do vão, o que fornece uma espessura de 20 cm. 7.2. CARREGAMENTOS ATUANTES NA LAJE Considere que a utilização do pavimento seja para escritórios e ainda que as divisões internas dos ambientes sejam feitas com divisórias, existindo alvenaria somente ao longo do contorno da laje. Dessa forma, podemos considerar os seguintes carregamentos atuantes: Peso próprio ................... : 500 kgf/m2 (5 kN/m2) Sobrecarga ...................... : 200 kgf/m2 (2 kN/m2) Revestimento ................... : 100 kgf/m2 (1 kN/m2) Divisórias .......................... : 100 kgf/m2 (1 kN/m2) Alvenaria no contorno da laje (espessura 15 cm): 540 kgf/m. 7.3. DEFINIÇÃO DO CARREGAMENTO A SER EQUILIBRADO COM A PROTENSÃO Em geral, adota-se para o carregamento a ser equilibrado o peso próprio acrescido de uma parcela do carregamento total. O ACI 423 [2] recomenda que quando sejam previstas paredes



divisórias leves e sobrecarga total entre 200 e 300 kgf/m2, se equilibre o peso próprio mais 50 kgf/m². Caso seja adotado esse critério, a carga distribuída a se equilibrar seria de 550 kgf/m2 (5,5 kN/m2). Outro critério bastante usual é equilibrar o peso próprio mais 10% do carregamento total, o que resulta numa carga distribuída a ser equilibrada de 590 kgf/m2 (5,9 kN/m2), que será o valor adotado nesse exemplo. Além da carga distribuída, será equilibrado com a protensão o peso da alvenaria nas extremidades dos balanços: 540 kgf/m (5,4 kN/m). 7.4. DETERMINAÇÃO DA EXCENTRICIDADE DOS CABOS Conforme discutido no item 5.3 desse trabalho, em geral busca-se assumir os maiores valores possíveis para a excentricidade dos cabos, buscando um melhor aproveitamento do material. Para o exemplo em questão a excentricidade dos cabos foi fixada nos limites superior e inferior da laje respeitando um cobrimento mínimo de 2,5 cm. Dessa forma, tem-se o seguinte perfil para o cabo: Com relação o ponto de inflexão dos cabos, eles foram posicionados a uma distância de 10% do vão. 7.5. DETERMINAÇÃO DA FORÇA DE PROTENSÃO NECESSÁRIA E CÁLCULO DA QUANTIDADE DE CABOS Para o calculo da protensão será utilizado o método das cargas equilibrantes, conforme descrito no item 5.3. Um procedimento prático é ignorar o efeito da mudança de curvatura dos cabos sobre os pilares e usar as equações (5.1) e (5.2) para obter uma estimativa da força de protensão necessária e conseqüentemente a quantidade de cabos. Depois de obtida a força de protensão utiliza-se a formulação apresentada no item 5.3.3, considerando o efeito da mudança de curvatura dos cabos sobre os pilares, para a análise das tensões em serviço na laje. Considerando uma faixa de largura unitária, a força de protensão necessária para equilibrar os carregamentos indicados no item 7.3 será:

• Balanço: m/kgf769.34065,0

2540065,022590

fQ

f2qP

2

1

1

1

21 =⋅+

⋅⋅=+=

!! (347,7 kN/m)

50

10

10

3,5

200 800 400

80 20 PONTO DE INFLEXÃO DO CABO

TRECHO RETO DIMENSÕES EM CM

Figura 7.2: Perfil dos cabos

13 6,5

DA FACE DA LAJE AO C.G. DO CABO

2,80

13,90

5,00

5,60



• Vão: m/kgf308.3613,088590

f8qP

2

3

23 =

⋅⋅==

! (363,1 kN/m)

Adotando um sistema de protensão com monocordoalhas engraxadas em aço CP 190 RB e ∅ 12,7 mm tem-se: Protensão aplicada: 14 tf/cordoalha Admitindo que as perdas finais fiquem em torno de 12%, tem-se:

mm7,1224

cordkgf000.14

12,1m

kgf308.36m8cordoalhasºn ∅=

⋅⋅=

7.6. CÁLCULO DA CARGA BALANCEADA COM A PROTENSÃO ADOTADA Para efeito de cálculo serão admitidos os seguintes valores para as perdas médias de protensão:

• Perdas imediatas = 6% • Perdas finais = 12%.

Dessa forma, considerando a existência de 24 cordoalhas sendo protendidas com 14 tf cada, usando as equações (5.10), (5.11) obtém-se as seguintes cargas balanceadas: A) VÃOS INTERNOS:

Figura 7.3: Carregamento equilibrado – vãos internos

• Protensão inicial: ( ) ( )mkN6,256m

kgf662.2581,0

13,0000.142494,04q 2i1B −−=⋅

⋅⋅⋅⋅−=

• Protensão final: ( ) ( )mkN2,240m

kgf024.2481,0

13,0000.142488,04q 2f1B −−=⋅

⋅⋅⋅⋅−=

80

6,5

6,5

6,5

qB (+)

qB1 qB1 qB2

320 320 80

800 DIMENSÕES EM CM



• Protensão inicial: ( )( ) ( )m

kN2,64mkgf415.6

81,05,013,0000.142494,04q 2i2B =

⋅−⋅⋅⋅⋅−=

• Protensão final: ( )( ) ( )m

kN0,60mkgf006.6

81,05,013,0000.142488,04q 2f2B =

⋅−⋅⋅⋅⋅−=

B) BALANÇOS: No caso dos balanços, para o cálculo da carga equilibrada com a protensão será ignorada a curvatura dos cabos sobre a região do pilar.

Figura 7.4: Carregamento equilibrado – balanços

• Protensão inicial: ( ) ( )mkN7,102m

kgf265.102

065,0000.142494,02q 2i1B =⋅⋅⋅⋅=

• Protensão final: ( ) ( )mkN1,96m

kgf610.92

065,0000.142488,02q 2f1B =⋅⋅⋅⋅=

7.7. CÁLCULO DOS ESFORÇOS NA LAJE 7.7.1. COMBINAÇÕES DE CARREGAMENTO Conforme mencionado no início do exemplo, será usado o processo do pórtico equivalente para o cálculo dos esforços para as diversas combinações de carregamento.

6,5

200

qB1 qB (+)



• COMB. 1: G1 + 1,1qBi – verificação da ruptura no ato da protensão. • COMB. 2: G1 + G2 + PAR + Q1 + Q2 + qBf – verificação das tensões do ACI 423 [2]. • COMB. 3: G1 + G2 + PAR + 0,2(Q1 + Q2) + qBf − combinação quase permanente. • COMB. 4: G1 + G2 + PAR + 0,3Q2 + 0,2Q1 + qBf − combinação freqüente. • COMB. 5: verificação quanto ao estado limite último (flexão e cisalhamento)

5.1: 1,4 (G1 + G2 + PAR + Q1 + Q2) + 1,2 FHIP 5.2: 1,4 (G1 + G2 + PAR + Q1 + Q2) + 0,9 FHIP

onde: G1 – peso próprio = 500 kgf/m² × 8m = 4.000 kgf/m (40 kN/m) G2 – revestimento = 100 kgf/m² × 8m = 800 kgf/m (8 kN/m) PAR – peso da alvenaria na extremidade do balanço = 540 kgf/m × 8m = 4.320 kgf (43,2 kN) Q1 – divisórias = 100 kgf/m² × 8m = 800 kgf/m (8 kN/m) Q2 – sobrecarga = 200 kgf/m² × 8m = 1.600 kgf/m (16 kN/m) qBi – carga uniforme distribuída balanceada com a protensão inicial qBf – carga uniforme distribuída balanceada com a protensão final FHIP – efeito hiperestático de protensão (γp = 1,2 se desfavorável e γp = 0,9 se favorável)

7.7.2. PÓRTICO EQUIVALENTE SEGUNDO O ACI 318 [1] Para a análise dos esforços na laje foi utilizado o método do pórtico equivalente segundo o ACI 318. A Tabela 7.1 apresenta o calculo do comprimento equivalente dos pilares. Tabela 7.1: Cálculo do comprimento equivalente dos pilares

c1 (cm)

c2 (cm)

L (cm)

ΣΣΣΣkc (cm³×Ec)

L2 (cm)

x (cm)

y (cm)

C (cm4)

kT (cm³×Ec)

kec (cm³×EC)

Leq (cm)

40 40 300 6.770 800 20 40 73.067 1.917 1.494 571 O momento de inércia da laje na região do pilar é dado por: As Figuras 7.5 a 7.8 apresentam os diagramas de momentos obtidos para as diversas combinações de carregamento.

20

LAJE

BARRA COM MOM. DE INÉRCIA EQUIVALENTE (Ieq)

BARRA COM MOM. DE INÉRCIA DA LAJE (Ilaje)

40

PILAR

42

3

2

2

2

lajeeq cm951.590

800401

1280020

c1

II =

−

⋅

=

−

=

!

A altura equivalente da laje fica:

43eq cm7,20800

951.59012h =⋅=

Figura 7.4: Cálculo da inércia equivalente na ligação laje-pilar



Momentos em kgf.m

Figura 7.5: Diagrama de momentos fletores – COMBINAÇÃO 1

Momentos em kgf.m Figura 7.6: Diagrama de momentos fletores – COMBINAÇÃO 2

Momentos em kgf.m

Figura 7.7: Diagrama de momentos fletores – COMBINAÇÃO 5



Momentos em kgf.m

Figura 7.8: Diagrama de momentos fletores – Carregamento equilibrado com a protensão final

7.7.3. AVALIAÇÃO DA RETENÇÃO DE PROTENSÃO NOS PILARES Conforme comentado no item 5.3.2, devido sua rigidez, os pilares acabam retendo uma parcela da força de protensão. Para avaliar se essa parcela é de fato significativa é feito o cálculo do pórtico equivalente conforme indica a Figura 7.9.

Unidade: kgf

Figura 7.9: Diagrama de esforço normal Como se pode observar na Figura 7.9 a máxima perda de protensão devido à rigidez dos pilares é inferior a 0,27% podendo ser desconsiderada no cálculo.

P = 0,94 × 24 × 14.000 = 315.840 kgf



7.8. VERIFICAÇÕES 7.8.1. DISTRIBUIÇÃO DOS MOMENTOS NA LAJE 7.8.1.1. COMBINAÇÃO 1

#"Momento Negativo Máximo (no vão): M = 7.738 kgf.m Figura 7.10: Momento negativo no vão – Combinação 1

#"Momento Positivo Máximo (no apoio): M = 12.800 kgf.m Figura 7.11: Momento positivo no apoio – Combinação 1 7.8.1.2. COMBINAÇÃO 2

#"Momento Negativo Máximo (no apoio): M = 17.360 kgf.m Figura 7.12: Momento negativo no apoio – Combinação 2

M3 = 1.064 kgf.m/m

M4 = 870,5 kgf.m/m

400 cm 200 cm

m/mkgf064.1

0,2738.7275,0M3 ⋅==

m/mkgf5,870

0,4738.745,0M4 ⋅==

M2 = 800 kgf.m/m

M1 = 2.400 kgf.m/m

400 cm 200 cm

m/mkgf400.20,2800.12375,0M1 ⋅==

m/mkgf800

0,4800.1225,0M2 ⋅==

M1 = 3.255 kgf.m/m

M2 = 1.088,8 kgf.m/m

400 cm 200 cm

m/mkgf255.3

0,2360.17375,0M1 ⋅==

m/mkgf8,088.1

0,4360.1725,0M2 ⋅==



#"Momento Positivo Máximo (no vão): M = 6.460 kgf.m Figura 7.13: Momento positivo no vão – Combinação 2 7.8.1.3. COMBINAÇÃO 5

#"Momento Negativo (nos apoios):

Figura 7.14: Momentos negativos (nos apoios) – Combinação 5 Tabela 7.2: Momentos negativos distribuídos

APOIO MTOTAL (kgf.m) M1 (kgf.m/m) M2 (kgf.m/m) 1 -43.654 -8.185 -2.728 2 -57.067 -10.700 -3.709 3 -57.067 -10.700 -3.709 4 -43.654 -8.185 -2.728

#"Momentos Positivos (nos vãos) Figura 7.15: Momentos positivos (nos vãos) – Combinação 5

M4 = 726,75 kgf.m/m

M3 = 888,25 kgf.m/m

400 cm 200 cm

m/mkgf25,8880,2

460.6275,0M3 ⋅==

m/mkgf75,726

0,4460.645,0M4 ⋅==

M1

M2

400 cm 200 cm

0,2M375,0M TOTAL

1 =

0,4M25,0M TOTAL

2 =

M4

M3

400 cm 200 cm

0,2M275,0M TOTAL

3 =

0,4M45,0M TOTAL

4 =



Tabela 7.3: Momentos negativos distribuídos VÃO MTOTAL (kgf.m) M3 (kgf.m/m) M4 (kgf.m/m)

1 30.280 4.164 3.407 2 25.778 3.545 2.900 3 30.280 4.164 3.407

7.8.2. TENSÕES EM SERVIÇO – RECOMENDAÇÕES DO ACI 423 [2] Considerando as recomendações do ACI 423 para laje com protensão não aderente tem-se:

• Tensão média de compressão na laje: %" Limites: 0,86 MPa < σc < 3,5 MPa

%"Protensão inicial: MPa97,1cm

kgf7,1980020

94,014000242cMÁX ==

⋅⋅⋅=σ

%"Protensão final: MPa85,1cm

kgf5,1880020

88,014000242cMÍN ==

⋅⋅⋅=σ

• Tensões no concreto imediatamente após a aplicação da protensão, em MPa:

Limites: (a) compressão na zona de momento negativo = MPa4,8214,0'f40,0 ci =⋅=⋅ (b) compressão na zona de momento positivo = MPa6,12216,0'f60,0 ci =⋅=⋅

(c) tração (com armadura passiva) = MPa3,2215,0'f50,0 ci =⋅= Tensões atuantes – considerando a combinação 1 de carregamentos:

Equação geral para o cálculo das tensões: WM

AP ±=σ (Estádio I)

onde: b = 1 metro

m/kgf480.3994,0000.14824P =⋅⋅= (394,8 kN/m)

2cm000.210020A =⋅= 3

2

cm67,666.6620100W =⋅=

(a) compressão na zona de momento negativo:

( )MPa57,3cm

kgf7,3567,666.6

400.106000.2480.39

2=+ → OK

(b) compressão na zona de momento positivo:

( )MPa57,5cm

kgf7,5567,666.6

000.240000.2480.39

2=+ → OK

(c) tração (com armadura passiva)

( )MPa63,1cm

kgf26,1667,666.6

000.240000.2480.39

2 −−=− → OK

(o sinal negativo indica que existe tração na seção)



• Tensões no concreto em serviço (após as perdas no tempo), em MPa: Limites:

(a) compressão na zona de momento negativo = MPa0,93030,0 =⋅ (b) compressão na zona de momento positivo = MPa5,133045,0 =⋅ (c) tração (com armadura passiva) = MPa74,23050,0 =

Tensões atuantes – considerando a combinação 2 de carregamentos:

m/kgf960.3688,0000.14824P =⋅⋅=∞ (369,6 kN/m)

(a) compressão na zona de momento negativo:

( )MPa7,6cm

kgf3,6767,666.6

500.325000.2960.36

2=+ → OK

(b) compressão na zona de momento positivo:

( )MPa2,3cm

kgf8,3167,666.6

25,888000.2960.36

2=+ → OK

(c) tração (com armadura passiva):

( )MPa52,0cm

kgf15,567,666.6

25,888000.2960.36

2=− → OK

(o sinal positivo indica compressão na seção) Portanto, as tensões atuantes na laje atendem as recomendações do ACI 423 [2] para lajes com protensão não aderente. 7.8.3. ESTADO LIMITE ÚLTIMO NO ATO DA PROTENSÃO Para a combinação 1 de carregamentos deve-se atender: (a) Tensão máxima de compressão = MPa7,142170,0f70,0 j,ck =⋅=⋅ σcMÁX = 5,57 MPa (b) Tensão máxima de tração = MPa92,160,120,1f20,1 j,ctk =⋅=⋅ σtMÁX = 1,63 MPa Portanto, atende ao E.L.U. no ato da protensão, segundo o critério simplificado da NBR 7197. 7.8.4. TENSÃO DE TRAÇÃO PARA A COMBINAÇÃO QUASE PERMANENTE DAS AÇÕES Para a combinação quase permanente das ações (combinação 3) o máximo momento fletor obtido, em módulo, foi: MMÁX,COM.3 = 6.134 kgf.m (61,34 kN.m)



Distribuindo na faixa dos apoios e na faixa interna obtém-se: A máxima tensão de tração na seção será dada por:

MPa12,0cm

kgf23,167,666.6

000.115000.2960.36

2 ==−

(o sinal positivo indica que não existe tração na seção transversal) Portanto, atende ao Estado Limite de Descompressão, segundo a NBR 7197. 7.8.5. VERIFICAÇÃO QUANTO AO ESTADO LIMITE DE ABERTURA DE FISSURAS Para a combinação quase permanente das ações (combinação 3) o máximo momento fletor obtido, em módulo, foi: MMÁX,COM.3 = 7.069 kgf.m (70,69 kN.m) Distribuindo na faixa dos apoios e na faixa interna obtém-se: Admitindo que a seção esteja no Estádio I para a combinação freqüente das ações, a máxima tensão de tração será dada por:

MPa14,0cm

kgf40,167,666.6

540.132000.2960.36

2MÁX,t −=−=−=σ

(o sinal negativo indica que tração)

Apesar de existir tração na seção transversal para a combinação freqüente das ações, ela é muito inferior a resistência à tração do concreto:

fctk = fctk,inf = 0,21(30)2/3 = 2,03 MPa > |σt,MAX| Portanto, a hipótese de que a seção esteja no Estádio I é verdadeira e, dessa forma, o Estado Limite de Fissuração está atendido automaticamente.

M1

M2

400 cm 200 cm

m/m.kgf150.1

0,2134.6375,0M1 ==

m/m.kgf384

0,4134.625,0M2 ==

M1

M2

400 cm 200 cm

m/m.kgf4,325.1

0,2069.7375,0M1 ==

m/m.kgf8,441

0,4069.725,0M2 ==



7.8.6. CÁLCULO DO EFEITO HIPERESTÁTICO DE PROTENSÃO O efeito hiperestático da protensão pode ser calculado conforme indicado no item 5.3.5. A Figura 7.8 apresenta o diagrama de momentos fletores obtido para o carregamento total equilibrado com a protensão. Para a obtenção do diagrama foram considerados 24 ∅ 12,7, que equivale a uma força de protensão final de 295.680 kgf (2.956,8 kN). Simplificadamente pode-se adotar o diagrama de momentos considerando apenas 1 ∅ 12,7, Figura 7.16, que equivale a uma força de protensão final de 12.320 kgf (123,2 kN).

UNIDADES: kgf, m

M = 174,3

HIP

V = 21,8

R = 21,8

HIP

M = 171,4HIP

(+)

(+)

HIP

927,2

-650,46

975,1

DEVIDO AO EFEITOESFORÇOS CORTANTES

MOMENTO HIPERESTÁTICO

HIPERESTÁTICO

DE PROTENSÃOM = M - Pe

HIP BAL

DIAGRAMA DE MOMENTOSDEVIDO AO CARREGAMENTOBALANCEADO POR 1 Ø 12,7

-635,9

(P=12.320 kgf)

21,8

Figura 7.16: Efeito hiperestático de protensão

7.8.7. ARMADURA PASSIVA MÍNIMA 7.8.7.1. ARMADURA POSITIVA De acordo com a NBR 7197:

%05,050,015,0 ps ≥ρ−=ρ • Faixa dos pilares: ρp = 0,2394%

%05,0%03,02394,050,015,0s →=⋅−=ρ → As = 1,00 cm2/m (∅∅∅∅ 5,0 c/20) • Faixa interna: ρp = 0,12%

%095,011,050,015,0s =⋅−=ρ → As = 1,80 cm2/m (∅∅∅∅ 6,3 c/17) Embora a NBR 7197 não exija, será adotado como armadura mínima a taxa de 0,1%. Que equivale a As = 2,0 cm2/m (∅∅∅∅ 6,3 c/15)



7.8.7.2. ARMADURA NEGATIVA De acordo com a NBR 7197:

• Faixa dos pilares: ρs = 0,30% → As = 6,0 cm2/m (∅∅∅∅ 10,0 c/13) • Faixa interna: ρs = 0,15% → As = 3,0 cm2/m (∅∅∅∅ 10,0 c/26)

7.8.8. VERIFICAÇÃO QUANTO AO E.L.U. DE RUPTURA POR FLEXÃO As Tabelas 7.2 e 7.3 apresentam os momentos fletores distribuídos nas faixas para a verificação ao E.L.U. por flexão. A esses momentos, que já estão fatorados com os coeficientes de cálculo, falta ainda adicionar os momentos devido ao efeito hiperestático. No detalhamento, 65% dos cabos serão concentrados nas faixas dos pilares e o restante nas faixas internas, conforme indica a Figura 7.19. Dessa forma, a área de armadura ativa será: Ap = 3,95 cm2/m – nas faixas dos apoios Ap = 1,98 cm2/m – nas faixas internas 7.8.8.1. CÁLCULO DA TENSÃO NA ARMADURA ATIVA A) VALOR DE CÁLCULO DA PROTENSÃO

Pd = γp P∞ = 1,0 × (0,88 × 14.000)= 12.320 kgf/cabo (123,2 kN/cabo) B) PRÉ-ALONGAMENTO

1,76,27

196p ==α

( )cabo/MPa4,1cabo

cmkgf

96,1320100

5,6320.121220100

320.12 2

3

2

cp =⋅

⋅+⋅

=σ

( )cabo/kN8,144cabo/kgf481.1496,13987,01,7320.12Pn =⋅⋅+= C) TENSÃO NA ARMADURA ATIVA NÃO ADERENTE L/h = 800/20 = 40 > 35, portanto:

pykpep

ckpnp f200

300f70 ≤+σ≤

ρ++σ=σ (MPa)

onde,

( )cabo/MPa8,125cabo

cmkgf

581.12987,0418.12

AP 2

p

npn ===σ



=⋅

=⋅

==ρ

%11,018100

98,1

%2394,05,16100

95,3

bdAp

p

#" FAIXA DOS PILARES

Considerando a largura de 1 metro, tem-se 4 ∅ 12,7:

( )MPa7,146.5cm

kgf2,467.51002394,0300

3007004581.12 2p =⋅

++⋅=σ

( )MPa128.5cm

kgf280.51000.2987,0000.1488,04000.2 2pe =+⋅⋅=+σ

Logo,

( )MPa128.5cm

kgf280.51 2p =σ

( )MPa459.4cm

kgf3,591.4415,1280.51

2pd ==σ

#" FAIXA INTERNA

Considerando a largura de 1 metro, tem-se 4 ∅ 12,7:

( )MPa1,677.2cm

kgf1,771.260011,0300

3007002581.12 2p =⋅

++⋅=σ

( )MPa696.2cm

kgf5,964.26000.2987,0000.1488,02000.2 2pe =+⋅⋅=+σ

( )MPa328.2cm

kgf280.2315,1

5,964.262pd ==σ

7.8.8.2. CÁLCULO DA ARMADURA PASSIVA A) MOMENTO NEGATIVO – APOIO 2 O momento de cálculo será o valor indicado na Tabela 7.2 somado com o efeito hiperestático. No caso, considerando uma faixa de 1 metro de largura: ( )m.kN7,100m.kgf5,072.1043,1749,0700.10Md −=⋅⋅+−= Da equação e equilíbrio da seção,

( )x4,0dx8,0b4,1

f85,0ZRM pck

ccd −⋅⋅==

→ FAIXA DOS APOIOS → FAIXA INTERNA



( )x4,05,16x8,01004,1

30085,0810.756 −⋅⋅=

08,172x25,41x2 =+− → x = 4,73 cm

)kN2,689(kgf9,922.6873,48,01004,1

30085,0Rcc =⋅⋅=

)kN1,249(kgf3,911.246,011.449,922.68RRR ptccst =−=−= A armadura passiva necessária será:

mcm0,6Am

cm73,5348.4

3,911.24fRA

2min,s

2

yd

sts =<===

Portanto, sobre todos os apoios será colocada a armadura passiva mínima. B) MOMENTO NEGATIVO – FAIXA INTERNA O momento de cálculo será o valor indicado na Tabela 7.2 somado com o efeito hiperestático. No caso, considerando uma faixa de 1 metro de largura: ( )m.kN95,33m.kgf395.343,1749,0709.3Md −−=⋅⋅+−= Repetindo o procedimento anterior obtém-se: x = 1,55 cm → Rcc = 22.585,7 kgf < Rpt = 26.771,8 kgf Portanto, a armadura ativa existente é suficiente para equilibrar a seção, sendo necessário adicionar apenas a armadura mínima. C) MOMENTO POSITIVO – FAIXA DOS APOIOS – VÃO 1 O momento de cálculo será o valor indicado na Tabela 7.3 somado com o efeito hiperestático. No caso, considerando uma faixa de 1 metro de largura:

( )m.kN94,49m.kgf994.442

3,1744,1712,1164.4Md =⋅

+⋅+=

Resolvendo a equação do segundo grau resultante da equação de equilíbrio da seção, obtém-se: x = 2,19 cm → Rcc = 31.911,4 kgf < Rpt = 44.011,6 kgf Portanto, a armadura ativa existente é suficiente para equilibrar a seção, sendo necessário adicionar apenas a armadura mínima para todos os vãos da faixa dos apoios. D) MOMENTO POSITIVO – FAIXA INTERNA – VÃO 1 O momento de cálculo será o valor indicado na Tabela 7.3 somado com o efeito hiperestático. No caso, considerando uma faixa de 1 metro de largura:



( )m.kN82,38m.kgf822.322

3,1744,1712,1407.3Md =⋅

+⋅+=

Resolvendo a equação do segundo grau resultante da equação de equilíbrio da seção, obtém-se: x = 166m → Rcc = 24.188,6 kgf < Rpt = 26.771,8 kgf Portanto, a armadura ativa existente é suficiente para equilibrar a seção, sendo necessário adicionar apenas a armadura mínima para todos os vãos da faixa interna. 7.8.9. VERIFICAÇÃO QUANTO AO E.L.U. DE RUPTURA POR CISALHAMENTO Na verificação quanto ao puncionamento a NBR 7197 permite considerar o efeito da componente da força de protensão atuante no perímetro critico da laje, devendo-se aplicar o coeficiente 0,8 para a força de protensão no tempo infinito. As reações nos pilares considerando o carregamento externo majorado combinado com o efeito hiperestático (combinação 5) são apresentadas na Tabela 7.4.

Tabela 7.4: Reações nos pilares – Combinação 5 de carregamento APOIO Nd

(kgf) Nd

(kN) 1 64.850 648,5 2 82.316 823,2 3 82.316 823,2 4 64.850 648,5

Considerando que deverão passar 5 cordoalhas dentro do perímetro critico em cada direção, com inclinação de acordo com a Figura 7.17 tem-se:

• Protensão final: P∞ = 0,88 × 14.000 =12.320 kgf/cabo (123,2 kN/cabo)

• Redução devido ao efeito da protensão: 0,8 Σ P∞ sen α = 0,8 × 10 × 12.320 × sen 2,8º = 4.815 kgf

De acordo com a NB-1:

• Perímetro crítico: ( ) cm8,2115,1614,3)4040(2dba2u =⋅++⋅=π++⋅=

• Tensão de cisalhamento última:

2c

ckwu cm

kgf6,24MPa46,24,1

3063,0f63,0===

γ=τ

α = 2,80

Figura 7.17: Inclinação dos cabos sobre os apoios

40 cm

20 cm



• Tensão máxima atuante:

( )MPa22,2cm

kgf2,225,168,211815.4316.82

udN

2d

wd =⋅−==τ − para os apoios 2 e 3

( )MPa72,1cm

kgf2,175,168,211815.4850.64

2wd =⋅−=τ − para os apoios 1 e 4

Como τwu/2 < τwd < τwu → passa com armadura de cisalhamento

• Armadura de cisalhamento:

yd

dsw f

N75,0A

⋅= , com fyd < 300 MPa

Asw = 19,38 cm2 (12 estribos ∅ 12,5 mm) − para os apoios 2 e 3 Asw = 15,00 cm2 (12 estribos ∅ 10 mm) − para os apoios 1 e 4

A Figura 7.21 apresenta um detalhe da armadura de cisalhamento.

No cálculo da laje ao cisalhamento foi ignorado o efeito dos momentos que atuam nos pilares. 7.8.10. VERIFICAÇÃO QUANTO AO ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA A flecha elástica da laje foi calculada a partir dos deslocamentos obtidos para o pórtico, considerando a combinação 2 de carregamentos. Devido à simetria da laje nas duas direções a flecha do painel será duas vezes o valor da flecha para o pórtico em uma direção. A Figura 7.18 apresenta a forma deformada obtida a partir da análise linear elástica para o pórtico.

MÓDULO DE ELASTICIDADE ECS= 26.071 MPa FLECHAS EM CM

Figura 7.18: Deformada do pórtico equivalente para a combinação 4 de carregamentos

(combinação freqüente das ações) Para a laje em questão, os efeitos da perda de rigidez devido à fissuração podem ser considerados desprezíveis, uma vez que os níveis de tração que atuam em serviço são de pequena magnitude. Para os efeitos da deformação lenta de forma bastante simplificada se pode admitir que as flechas finais sejam o dobro das iniciais. Dessa forma:



• Flecha inicial máxima = 2 × 0,6 = 1,2 cm • Flecha final máxima = 2 × 1,2 = 2,4 cm

• Limite (NB-1) = cm66,2300800

300==

!

7.9. ALONGAMENTO TEÓRICO DOS CABOS O alongamento teórico máximo dos cabos é um apara Cálculo da força de protensão média – perdas por atrito Observando que os cabos serão protendidos apenas por uma extremidade com a outra fixa, tem-se: Σα = 2×2,8º + 2×13,9º + 3×5,0º + 2×5,6º = 59,6º = 1,04 rad (ver Figura 7.2) µ = 0,05 rad-1 – cordoalhas engraxadas k = 0,001 m-1 x = 28 m – perda máxima Po = 14 tf/cabo ( ) ( ) cabo/tf27,13e1428xP 28001,004,105,0 === ⋅+− (132,7 kN/cabo) Perda máxima ≅ 6% cabo

tf64,132

27,1300,14PMÉDIO =+= (136,4 kN/cabo)

Cálculo do alongamento teórico Para tensões que estejam dentro do limite de proporcionalidade do aço, o alongamento dos cabos obedece a Lei de Hooke:

cm8,19987,0960.1800.264,13

AEP

pp

MÉDIO =⋅⋅==∆

!!

Portanto, o alongamento teórico previsto antes da cravação da ancoragem é de 19,8 cm. Considerando uma acomodação de 5 mm para as cunhas, o alongamento previsto após a cravação será e 19,3 mm.



7.10. DISTRIBUIÇÃO DOS CABOS E DETALHES 7.10.1. CABOS Os cabos de protensão serão distribuídos concentrando-se 65% na faixa dos apoios e o restante na região externa, conforme a Figura 7.10.

Figura 7.19: Distribuição dos cabos em planta 7.10.2. ARMADURAS PASSIVAS Armadura passiva positiva: será colocada uma malha ao longo de toda a extensão do painel com ∅ 6,3 mm c/ 15cm. Armadura passiva negativa: será colocada sobre a região dos pilares, conforme ilustra a Figura 7.20.

4 ∅

12

,7 m

m

∅ 12,7 c/50

∅ 12,7 c/25

∅ 12,7 c/50

16

∅ 1

2,7

mm

4 ∅

12,7

mm

200 400 200

NOTAS: 1 Aço CP-190 RB – monocordoalhas engraxadas 2 Dimensões em cm



7.10.3. ARMADURA DE CISALHAMENTO – PUNÇÃO

A Figura 7.21 apresenta um detalhe da armadura de cisalhamento formada por estribos, colocados na região dos pilares.

Figura 7.21: Armadura de cisalhamento 7.10.4. ARMADURA DE REFORÇO DE BORDA Deverá ser colocada ao logo do contorno de todo do painel uma armadura de reforço de borda conforme indicado na Figura 7.22.

12 8 12

3 ESTRIBOS N1

ARMADURA PASSIVA NEGATIVA

40

18

NOTAS: 1. ARMADURA TIPO PARA TODOS OS PILARES 2. AÇO CA-50 3. DIMENSÕES EM CM

APOIOS 1 E 4: N1 ∅ 10 mm APOIOS 2 E 3: N1 ∅ 12,5 mm

NOTAS: 1. REPETIR A ARMADURA NA OUTRA DIREÇÃO 2. AÇO CA-50 3. DIMENSÕES EM CM Figura 7.20: Armadura passiva negativa sobre os pilares

17

∅10 c

/13

400 200

∅10 c

/26

∅10 c

/13

200 200

17

480



Figura 7.22: Armadura de reforço de borda 7.10.5. ARMADURA DE FRETAGEM 7.10.5.1. FAIXA DOS PILARES


15

3

N1

4 N2 Ø10

N1

FACE DAFÔRMA

N2

25

N1 Ø10

25

10

10 1

4

16

40(MÍN)

Figura 7.23: Armadura de fretagem colocada nos cabos das faixas dos pilares (espaçados de 25 cm)

∅ 8 c/20

6 ∅ 10 - CORRIDOS

50 NOTAS: 1. ARMADURA COLOCADA AO LOGO DE TODO O CONTORNO DA LAJE 2. AÇO CA-50 3. DIMENSÕES EM CM

18

NOTAS 1. COLOCAR A MESMA FERRAGEM NA ANCORAGEM PASSIVA 2. AÇO CA-50



7.10.5.2. FAIXA INTERNA



SUPORTE

2 N1

FACE DAFÔRMA

50

10

10

40(MÍN)

Figura 7.24: Armadura de reforço colocada nos cabos das faixas internas (espaçados de 50 cm)

OBSERVAÇÃO: Para que o dimensionamento ficasse completo faltaria ainda uma avaliação das perdas de protensão, tanto imediatas como diferidas no tempo, para verificar as hipóteses de perdas adotadas inicialmente.

NOTAS 1. COLOCAR A MESMA FERRAGEM NA ANCORAGEM PASSIVA 2. AÇO CA-50



8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] ACI 318 – Building Code Requirements for Structural Concrete. Commitee 318. Detroit, 1995. [2] ACI 423 – Recommendations for Concrete Members Prestressed with Unbounded Tendons. Commitee 423. Detroit, 1983. [3] AALAMI, Bijan O. – ADAPT – Post-tentionig Manual, California, USA, 1996. [4] AALAMI, Bijan O. – Load Balancing: A Comprehensive Solution to Post-Tensioning – ACI Structural Journal, Title no. 87-S68, USA 1990. [5] BELGO MINEIRA – Catálogo Técnico. [6] CAMPUS, A.D. – Influência da Protensão na Carga dos Pilares, TQS News Nº.16, 2002. [7] CAUDURO, E.L. – Recomendações para a Boa Execução de Construções em Concreto Protendido com Cordoalhas Engraxadas e Plastificadas (Protensão Não Aderente) – Revista IBRACON Nº. 28, 2002. [8] CAUDURO, E.L. & LEME, A.J.H – A Protensão em Edifícios sem Vigas – Novas Técnicas Aumentam a Qualidade e Reduzem o Custo Total do Edifício – 41º Congresso Brasileiro do Concreto – IBRACON, Salvador, 1999. [9] CEB – Design Manual on Cracking and Deformations, (Boletin Nº 158) – 1985. [10] CLÍMACO, J.C.T.S. - Estruturas de Concreto Armado 1 - Notas de Aula, Departamento de Engenharia Civil, Universidade de Brasília – 1999. [11] FRANCO, M. – Concreto Protendido em Edifícios: Problemas Particulares. [12] FREYSSINET – Catálogo Técnico. [13] FUSCO, P.B – Técnicas de Armar as Estruturas de Concreto, Ed. PINI, São Paulo, 1995. [14] IMPACTO PROTENSÃO – Manual de Procedimentos de Campo para Execução de Estruturas com Protensão em Monocordoalhas Não Aderentes, Fortaleza 1998. [15] LIN, T.Y. – Design on Prestressed Concrete Structures, 2º Ed. New York, USA – 1963. [16] MAC Protensão – Catálogo Técnico. [17] MARTINS, P.C.R. – Concreto Protendido – Notas de Aula, Universidade de Brasília 2000. [18] MC-90 – Código Modelo CEB/FIP, 1990. [19] MORAES, M.C. – Concreto Protendido: Introdução ao Uso da Cordoalha Engraxada Plastificada – Caderno de Estrutura Nº 14, Brasília – 1999. [20] NAAMAN, A.E. – Prestressed Concrete Analysis and Design, New York, USA – 1982. [21] NBR 6118 (NB-1) – Projetos e Execução de Estruturas de Concreto Armado, ABNT – 1982. [22] NBR 6118 (NB-1) Projeto de Revisão – Projetos de Estruturas de Concreto, ABNT – 2000.



[23] NBR 7197 – Projetos de Estruturas de Concreto Protendido, ABNT – 1989. [24] NBR 7483 – Cordoalhas de Aço para Concreto Protendido, ABNT – 1990. [25] NBR 7484 – Fios, Barras e Cordoalhas de Aço Destinados a Armadura de Protensão – Ensaio de Relaxação Isotérmica, ABNT – 1990. [26] NBR 8981 – Ações e Segurança nas Estruturas, ABNT – 1984. [27] PARK, R e GAMBLE, W.L. – Reinforced Concrete Slabs. New York, USA – 1980. [28] PFEIL, W. – Concreto Protendido, Vol. 1, Ed. LTC, 2o Ed., Rio de Janeiro, 1988 [29] PROTENDE – Catálogo Técnico. [30] PTI – Field Procedures Manual for Unbonded Single Strand Tendons, 1994. [31] Revistas Téchne, Edições: Janeiro – 1997 e Junho – 1999. [32] RUDLOFF – VSL – Catálogo Técnico, 1993. [33] SCHMID, M.T. – Lajes Cogumelo Protendidas. In: Reunião Anual do IBRACON – Colóquio Sobre Concreto Protendido. São Paulo – 1984. [34] SCHMID, M.T. – SPANN-LAJES – Manual do Usuário Versão 4.0, Curitiba, PR – 1999. [35] Sistema Freyssinet de Lajes Protendidas – Catálogo Técnico. [36] SOUZA, V.C.M. & CUNHA, A.J.P. – Lajes em Concreto Armado e Protendido, 2º Ed., Rio de Janeiro, 1998. [37] VERÍSSIMO, G.S. & CÉSAR Jr, K.L.M. – Concreto Protendido – Fundamentos Básicos, 4º Ed., Universidade Federal de Viçosa, 1998.

laje protendida

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