LA TETRAKTYS PITAGORICA*

Y EL DELTA MASONICO

Arturo Reghini

No, lo juro por aquel que ha transmitido anuestra alma la tetraktys en que se encuentran la fuente y la raz de la eterna Naturaleza.Versos Dorados

Exhumar y restituir la antigua aritmtica pitagrica es una tarea difcil vista la escasez de las informaciones que nos han llegado, y cuya mayor parte no inspiran confianza. Hara falta en cada momento citar sus fuentes y discutir su valor, lo que entorpecera y alargara intilmente nuestra exposicin sin por ello hacerla ms inteligible. Renunciaremos pues a todo aparato filolgico y nos atendremos a aquello que es menos controvertido. Pero no dejaremos de sealar todo lo que se refiera a nuestra opinin personal o a los resultados de nuestras investigaciones.La bibliografa pitagrica antigua y moderna es muy extensa; renunciamos a enumerar las centenas de libros, estudios, artculos y pasajes que la constituyen. Para ciertos crticos, historiadores y filsofos, Pitgoras no habra sido ms que un moralista y no se habra ocupado nunca de las matemticas; para ciertos hipercrticos, no habra existido nunca. Personalmente tenemos por cierta su existencia y, aceptando el testimonio del filsofo Empdocles, su casi contemporneo, pensamos que sus conocimientos en todos los dominios de la ciencia eran muy vastos. Pitgoras vivi en el siglo VII antes de nuestra era; fund en Calabria una escuela y una Orden que Aristteles llamaba escuela itlica y ense entre otras la aritmtica y la geometra. Segn Proclo, jefe de la escuela de Atenas en el siglo V de nuestra era, Pitgoras fue el primero que elev la geometra a la dignidad de ciencia liberal, y segn Tannery, "la geometra sali de la cabeza de Pitgoras como Minerva del cerebro de Jpiter".Pero ninguno de sus escritos o de aquellos que le fueron atribuidos nos ha llegado, y es muy posible que Pitgoras no haya escrito jams. Incluso si esto no hubiera sido as, adems de que su extrema antigedad habra podido impedir la transmisin, no hay que olvidar el secreto que los pitagricos hacan pesar sobre su enseanza o al menos sobre una parte. Un fillogo belga, Armand Delatte, en su primera obra:Etudes sur la littrature pythagoricien(Pars, 1915), ha hecho una sabia crtica de las fuentes de la literatura pitagrica; ha demostrado, entre otras, que los famosos "Versos Dorados", aunque debidos a la recopilacin de un neo-pitagrico del siglo II o IV de nuestra era, permiten remontarse casi al comienzo de la escuela pitagrica, pues transmiten un material arcaico. La obra de Delatte ser nuestra principal fuente. Se posee otros testimonios antiguos en los escritos de Filolao, de Platn, de Aristteles y de Timeo de Tauromenio. Filolao fue, con Arquitas de Tarento, uno de los ms eminentes pitagricos y uno de los ms cercanos, en el tiempo, a Pitgoras. Timeo fue un historiador del pitagorismo, y el gran filsofo Platn experiment tan fuertemente la influencia del pitagorismo que es posible considerarle como un pitagrico incluso aunque no perteneciera a esta escuela. Los bigrafos de Pitgoras son menos antiguos: Jmblico, Porfirio y Digenes Laercio, neo-pitgoricos de los primeros siglos de nuestra era, y los matemticos Ten de Esmirna y Nicmaco de Gerasa. Son los tratados matemticos de estos dos ltimos autores los que nos han transmitido la aritmtica pitagrica. Boecio tambin ha contribuido a ello. Por ltimo se deben numerosas informaciones a Plutarco.Entre los modernos, adems de Delatte, la obra un poco desfasada de Chaignet sobrePythagore et la philosophie pythagoricienne(Pars, 2 edicin 1874) y el libro de Augusto RostagniIl Verbo di Pitagora(Turn 1924), utilizaremosThe Theoretic Aritmetic of the Pythagoreans(Londres 1816, 2 edicin Los Angeles 1934) del erudito helenista ingls Thomas Taylor que fue un neo-platnico y un neo-pitagrico. Entre los historiadores de la matemtica utilizaremosLe scienze esatte nellantica Grecia(Miln, 2edicin 1914) de Gino Loria, as comoA History of Greek Mathematicsde T. Heath (1921).Para la matemtica moderna la unidad es el primer nmero de la serie natural de los nmeros enteros, que se obtiene partiendo de la unidad y aadiendo sucesivamente otra unidad. No es lo mismo en la aritmtica pitagrica. En efecto, la misma palabra mnada, designaba la unidad de la aritmtica y la mnada, entendida metafsicamente diramos hoy. El paso de la mnada universal a la dualidad no es tan simple como el paso del uno al dos por adicin de dos unidades.La aritmtica, la pitagrica tambin, conlleva tres operaciones directas: la suma, la multiplicacin y la elevacin a la potencia, acompaadas de tres operaciones inversas. Ahora bien, el producto de la unidad por ella misma es tambin la unidad, y una potencia de la unidad es tambin la unidad. As pues, slo la suma permite el paso de la unidad a la dualidad. Lo que significa que para obtener dos, hay que admitir que pueda haber dos unidades, por consiguiente tener ya el concepto de dos, ya sea que la mnada pueda perder su carcter de unicidad, que pueda diferenciarse, ya sea que pueda haber una doble unidad o una multiplicidad de la unidad. Filosficamente se plantea el problema del monismo y del dualismo, metafsicamente el del Ser y de su representacin, biolgicamente el problema de la clula y de su reproduccin. Ahora bien, si se admite la unicidad intrnseca y esencial de la Unidad, hay que admitir que otra unidad no puede ser ms que una apariencia, y su aparicin una alteracin de la unicidad debida a la distincin que la Mnada hace en s-misma. Igualmente la consciencia establece una distincin entre el s y el no-s. Segn el Vdntaadvata(advata= sin dualidad) esta distincin es una ilusin, la gran ilusin incluso, y no hay aqu otra cosa que hacer sino liberarse de ella. No obstante no es ilusorio que esta ilusin existe, an cuando sea posible ir ms all de ella. Los pitagricos decan que la dada estaba engendrada por la unidad que se alejaba o se separaba de ella misma, que se divida en dos; e indicaban esta diferenciacin o polarizacin mediante diferentes palabras:diresis,tolma.Para la matemtica pitagrica, la unidad no era un nmero, sino el principio, el arcano de todos los nmeros, digamos el principio y no el comienzo. Una vez admitida la existencia de otra unidad y de varias unidades, es de la unidad que van a derivar, por adicin, el dos y todos los nmeros. Los pitagricos conceban los nmeros como formados y constituidos o representados por puntos dispuestos de manera diferente. Definan el punto como la unidad posicionada, mientras que para Euclides el punto es aquello que no tiene partes. La unidad era representada por el punto (smeion= signo) o, cuando el sistema alfabtico de la numeracin escrita fue adoptado, por la letra A o a, que serva para designar a la unidad.Admitida la posibilidad de la suma de la unidad, se obtiene el dos, representado por los dos puntos extremos de una recta, y se puede continuar aadiendo unidades y obtener, sucesivamente, todos los nmeros representados por dos, tres, cuatro... puntos alineados. Se obtiene de esta manera el desarrollo lineal de los nmeros. Aparte del dos, que no puede obtenerse ms que por la suma de dos unidades, todos los nmeros enteros pueden ser considerados como suma de otros nmeros: por ejemplo, cinco es 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1; pero tambin 5 = 1 + 4 y 5 = 2 + 3. El uno y el dos no gozan de esta propiedad general de los nmeros. Es por esto, que, al igual que la unidad, el dos no era para los antiguos pitagricos un nmero sino el principio de los nmeros pares.Esta concepcin seperdi ms tarde, pues Platn habla del dos como "pareja"1y Aristteles2como del nico primero nmero par. Tres a su vez no puede ser considerado ms que como la suma de uno y de dos; mientras que todos los otros nmeros no son solamente la suma de varias unidades sino tambin la de dos partes, ambas diferentes de la unidad. Algunos pueden ser considerados como la suma de dos partes iguales entre ellas, como dos es la suma de dos unidades, y, en razn de esta similitud con el dos, (la pareja =ampho), tienen el nombre de los nmeros pares; as por ejemplo: 4 = 2 + 2 y 6 = 3 + 3, etc., son nmeros pares, mientras que los otros, como tres y cinco, no son la suma de dos partes o de dos trminos iguales y se llaman nmeros impares. As pues la trada 1, 2, 3 goza de propiedades que no tienen los nmeros superiores a 3.En la serie natural de los nmeros, los pares y los impares se suceden alternativamente. Los nmeros pares tienen en comn con el nmero dos el carcter que acabamos de mencionar y pueden ser representados siempre bajo forma de un rectngulo (pipedos) del cual un lado contiene dos puntos, mientras que los nmeros impares no presentan este carcter, como la unidad, y cuando pueden ser representados bajo una forma rectangular, a veces la base y la altura contienen respectivamente un nmero de puntos que, a su vez, es un nmero impar. Nicmaco cita una definicin todava ms antigua: salvo la dada fundamental, un nmero es par cuando se le puede dividir en partes iguales o desiguales, ambas pares o impares, o, como diramos hoy, que tienen la misma paridad; mientras que los nmeros impares no pueden dividirse ms que en dos partes desiguales, de las cuales una es par y la otra impar, as pues en partes que tienen una paridad diferente.

Segn Heath3la distincin entre par eimpar se remonta sin duda a Pitgoras, lo que no dudamos en creer. Reidmeister4dice que la teora del par y del impar es pitagrica, y que en esta nocin se esconde la ciencia lgico-matemtica de los pitagricos y que es el fundamento de la metafsica pitagrica.Numero impari, dice Virgilio,Deus gaudet["Dios se complace con el nmero impar"].La tradicin masnica est de acuerdo sobre el carcter sagrado o divino de los nmeros impares, como lo prueban los nmeros que expresan la edad inicitica, los de las luces, las joyas, los hermanos que componen un taller, etc. Dondequiera que se presenta una distincin, una polaridad, se tiene una analoga con la pareja del par y del impar, y puede establecerse una correspondencia entre los dos polos y el par y el impar; as, para los pitagricos el masculino era impar y el femenino par, la derecha impar y la izquierda era par...Los nmeros, empezando por el nmero tres, admiten adems de la representacin lineal una representacin plana. El nmero tres es el primero que admite adems de la representacin lineal una representacin plana, gracias a los tres vrtices de un tringulo (equiltero). El nmero tres es un tringulo, o nmero triangular; es el resultado del acoplamiento de la mnada y de la dada. Se tiene as con la trinidad la manifestacin o la epifana de la mnada en el mundo de la extensin. Aritmticamente: 1 + 2 = 3.

Proclo5observa que el nmero dos posee un carcter, en cierta manera, intermediario entre la unidad y el nmero tres. No solamente porque es la media aritmtica de ambos, sino tambin porque es el nico nmero que da el mismo resultado si se le suma a s mismo o si se le multiplica por s mismo, mientras que para la unidad el producto es inferior a la suma, y para el nmero tres es superior; sea

1 + 1= 2 > 1 . 1; 2 + 2 = 4 = 2 . 2; 3 + 3 = 6 < 3 . 3

En cambio los modernos han observado que 1, 2, 3 son los nicos nmeros enteros positivos cuya suma sea igual al producto. Se puede tambin fcilmente reconocer que 1, 2, 3 es la nica trada de nmeros enteros consecutivos en la que la suma de los dos primeros es igual al tercero; en efecto la ecuacin:x+ (x+ 1) =x+ 2 admite como nica solucin:x= 1. Por otra parte, gracias a la representacin geomtrica, se ve inmediatamente que la suma de varios nmeros enteros consecutivos sobrepasa siempre el nmero que sigue al ltimo de los trminos sumados, salvo en el caso donde se tiene 1 + 2 = 3. Concluyendo, la trada, la santa trinidad, no puede obtenerse ms que por la suma de la mnada y de la dada.Obtenido as el nmero tres, y considerando la mnada como potencialmente triangular, se tiene el segundo nmero triangular; se puede obtener los otros nmeros triangulares aadiendo a su base el nmero tres, y se obtiene el nmero triangular 6; y continuando aadiendo a su base cuatro puntos, se tiene el nmero 10.... .. . .. . . . . . . . . . . . .

Figura 1El desarrollo geomtrico del primer tringulo, con respecto a uno de los tres vrtices tomado como centro de homotecia, nos da as la serie de los nmeros triangulares sucesivos. Se llama gnomon triangular a la base que se aade para pasar de un nmero triangular al siguiente. Aritmticamente, despus de haber escrito en fila la sucesin de los nmeros enteros, se deduce de aqu la sucesin de los nmeros triangulares, escribiendo la unidad bajo la unidad, despus haciendo la suma de uno y de dos, despus tomando por elemento de la segunda fila los nmeros obtenidos haciendo sucesivamente la suma de los primeros nmeros enteros, o bien haciendo, para obtener un elemento de la segunda fila, la suma del elemento que lo precede en la misma fila con el que lo precede en la misma columna:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 . . .

As, por definicin, elnensimonmero triangular es la suma de losnprimeros nmeros enteros, y es pues igual al (n1)ensimonmero triangular aumentado enn.Si el nmero triangular tres tiene la forma de un tringulo equiltero, continuando el desarrollo homottico, los otros nmeros triangulares tendrn tambin ellos una forma regular, conservndose en el desarrollo la semejanza de la forma. Adems, dado que se puede disponer alrededor de un punto seis ngulos de 60 (como lo saban los pitagricos), se tiene pues seis tringulos equilteros convergentes alrededor de un punto; desarrollndolos los seis con respecto a su vrtice comn tomado como centro de homotecia, se llena totalmente e isotrpicamente el plano de tringulos regulares.El nmero cuatro, adems de su representacin lineal, no admite ms que una nica representacin plana:. .. .. . .. . .. . .

Figura 2Por consiguiente es un cuadrado; es el segundo cuadrado, porque la unidad es el cuadrado de uno. El gnomon del cuadrado, o la diferencia entre el nmero cuatro que es el segundo nmero cuadrado y el cuadrado precedente, es 3; el tercer cuadrado, o, como decimos, el cuadrado de base 3, se representa geomtricamente agregando, abajo y a la derecha, un gnomon compuesto de 5 puntos, y as, sin interrupcin, se pasa de un cuadrado al cuadrado siguiente aadiendo sucesivamente los nmeros impares. Se ve as que los cuadrados crecen conservando la semejanza de la forma; y, como puede disponerse alrededor de un punto cuatro ngulos rectos convergentes y en cada uno de ellos un cuadrado, resulta de aqu que, desarrollando homotticamente, con respecto al vrtice comn tomado como centro de homotecia, los cuatro cuadrados, se llena el plano totalmente e isotrpicamente gracias a los cuadrados.Aritmticamente basta escribir en una primera fila los nmeros impares y proceder para la segunda como en los nmeros triangulares, para obtener los nmeros cuadrados:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 . . .1 4 9 16 25 36 49 64 81 . . .

De aqu esta importante propiedad: La suma de losnprimeros nmeros impares es igual alnensimonmero cuadrado, propiedad que permiti a Galileo encontrar la frmula del movimiento uniformemente acelerado.Un cuadrado es un nmero en forma de rectngulo cuyos lados contienen un nmero igual de puntos. Un nmero de forma rectangular era llamadohetermecosi un lado contena un solo punto de ms que el otro lado, y era llamadopromecosi la diferencia entre los puntos de ambos lados era mayor que uno. Por ejemplo el nmero 15 espromecoy el nmero 20hetermeco.. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .

Figura 3Llevando sobre un lado y paralelamente a una diagonal una lnea recta, sta divide a un nmerohetermecoen dos partes que son dos tringulos rectngulos iguales: y como el nmero de puntos delnensimohetermeco, constituido porncolumnas y porn+ 1 filas, esn(n+ 1), resulta para elnensimonmero triangular la frmulan(n+ 1). Recordando la definicin 2del nmero triangular, se tiene:

1 + 2 + 3 + 4 + . . . +n=n(n+ 1)2

En cambio si se lleva en un nmero cuadrado la paralela a una diagonal, ste se divide en dos nmeros triangulares consecutivos; por consiguiente la suma de dos nmeros triangulares consecutivos es igual a un nmero cuadrado; esto permite deducir de la sucesin de los nmeros triangulares la de los nmeros cuadrados. Escribiendo en una primera fila la sucesin de los nmeros triangulares, se obtiene en la segunda la delos nmeros cuadrados, escribiendo debajo de cada elemento de la primera fila la suma de ste con el elemento que lo precede.

1 3 6 10 15 21 28 36 45 . . .1 4 9 16 25 36 49 64 81 . . .

Al contrario del nmero tres, el nmero cuatro admite tambin una representacin geomtrica espacial. Elevando la perpendicular al plano en el centro de un tringulo equiltero, sta tiene un punto igualmente distante de los tres vrtices del tringulo y cuya distancia es igualal lado del tringulo; los cuatro puntos son los vrtices de un tetraedro llamado pirmide por los griegos6, o pirmide regular debase triangular, que es la representacin en el espacio del nmero cuatro [figura 3 bis]**.

Figura 3 bis

En este caso, igualmente, el desarrollo homottico es posible con respecto a uno de los vrtices; se puede pues disponer bajo la base el nmero triangular consecutivo y se obtiene as los nmeros tetradricos. El gnomon del tetraedro est constituido por el nmero triangular que se aade al tetraedro precedente. El primer nmero tetradrico es la unidad: el segundo es 4, porque 1 + 3 = 4; el tercero es 10, porque 4 + 6 = 10. Partiendo de una primera fila compuesta enteramente de unidades, y escribiendo en la segunda fila la sucesin de los nmeros naturales, en la tercera la de los nmeros triangulares y en la cuarta la de los tetradricos, se obtiene la tabla siguiente:

unidad 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .nmeros lineales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .nmeros triangulares1 3 6 10 15 21 28 36 45 . . .nmeros tetradricos 1 4 10 20 35 56 84 120 165 . . .

La ley de formacin de esta tabla es la siguiente: todo elemento de la tabla es igual a la suma de todos los elementos de la fila precedente a partir del primero hasta el que est directamente encima del elemento considerado; por ejemplo el nmero 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1, el nmero 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5, el nmero 35 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15; o: cada elemento es tambin igual a la suma del que le precede en la misma fila y del que est encima de l en la misma columna, por ejemplo el nmero 35 = 20 + 15.No existe ms que un solo desarrollo lineal de los nmeros. En cambio existe una infinidad de desarrollos planos y de desarrollos slidos. Por ejemplo el nmero 5 puede representarse en el plano por los cinco vrtices de un pentgono y en el espacio por los de una pirmide de base cuadrada. En cuanto al desarrollo de los nmeros pentagonales, se lleva a cabo tomando como centro de homotecia el vrtice de la pirmide. Para obtenerlos aritmticamente, basta con partir de la sucesin de trminos de la serie aritmtica de razn tres, sea los nmeros, 1, 4, 7, 10, 13, 16... y sumarlos. La suma de losnprimeros es igual alnensimonmero pentagonal, y los nmeros pentagonales son: 1, 5, 12, 22, 35, 51... Los nmeros piramidales de base cuadrada se obtienen en cambio haciendo la suma de losnprimeros nmeros cuadrados consecutivos, 1, 4, 9, 16, 25...; y son los nmeros: 1, 5, 14, 30, 55... De la misma manera se obtienen los nmeros hexagonales partiendo de la serie aritmtica de razn 4, o serie de gnomons hexagonales, que son: 1, 5, 9, 13, 17...; y los nmeros hexagonales son: 1, 6, 15, 28, 45... Se reconoce fcilmente que elnensimonmero hexagonal no es otro que el nmero (2n 1) triangular. Se podra mostrar tambin que en el desarrollo homottico de los nmeros pentagonales y hexagonales, se conserva la semejanza de la forma, pero no la isotropa; es por lo que, aunque el plano permite una reparticin en hexgonos regulares, no se puede cubrirlo completamente e isotrpicamente mediante el desarrollo homottico de tres nmeros hexagonales convergentes alrededor de un vrtice comn. Se puede igualmente demostrar que el espacio no permite equiparticin ms que por los cubos cuyos vrtices pueden llenarlo totalmente e isotrpicamente, pero no permite otras equiparticiones, aunque el tetraedro y el octaedro son desarrollableshomotticamente y cubren totalmente e isotrpicamente el anguloide en el cual se desarrollan. Hacemos esta observacin porque Aristteles, despus de haber dicho7correctamente que el plano no puede llenarse ms que por los tringulos, cuadrados y hexgonos regulares, aade que el espacio puede llenarse por los cubos y las pirmides. Se trata de un error en el que Aristteles ha cado; y, como los tres nmeros polidricos regulares, tetradrico, cbico y octadrico, desarrollados homotticamente en uno de sus anguloides, lo llenan totalmente e isotrpicamente, el error de Aristteles fue haber confundido el espacio con el espacio del anguloide; pero, si el error viene de una confusin de este tipo, por otro lado se tiene la prueba indirecta de que los pitagricos se interesaban ya en los nmeros cbicos, tetradricos y octadricos, as como en el problema de la equiparticin del plano gracias a los polgonos regulares y del espacio gracias a los poliedros regulares, y en particular del espacio contenido en un anguloide. Adems de los nmeros planos, llamados nmeros poligonales, y de los nmeros piramidales representados en el espacio por pirmides de base poligonal, los pitagricos se ocuparon de los nmeros planos y slidos de forma rectangular, y de los paraleppedos de forma de poliedro regular. La frmula, que da elnensimonmero poligonal derlados, conocida por Diofanto, es:

P (r,n) =n{ ( r 2)n ( r 4) } 2

por ejemplo paran= 4 yr= 6 esta frmula da para el cuarto nmero hexagonal P (6,4) = 28; los puntos que lo representan tienen la disposicin siguiente:

Figura 4

La frmula que da elnensimonmero piramidal de baser-gonal es:

F (r,n) =n(n+ 1) { (r 2)n (r 5) } 6

que bajo otra formase encuentra en elCodex Arcerianus, cdigo romano del 450 de nuestra era8. Por ejemplo, parar= 4 yn= 5 se halla que el quinto nmero piramidal de base cuadrada es F 4 , 5 ) = 55.Dado que para delimitar un segmento de recta hace falta dos puntos, el nmero mnimo de rectas que sirven para delimitar una porcin de plano es tres; entre todos los nmeros planos, tres es el menor; anlogamente el nmero mnimo de planos necesarios para delimitar una porcin de espacio es cuatro; entre todos los nmeros slidos, el nmero cuatro o el tetraedro es el menor. Segn Platn (cf.Timeo) este tetraedro, o pirmide como l le llama, es la ltima partcula que constituye los cuerpos, el tomo o molcula de la materia. Naturalmente sabemos hoy que los tomos o las molculas no tienen esta forma y que no son indivisibles, pero es interesante observar queel cuerpo que posee la mayor solidez molecular, el diamante, tiene una molcula compuesta por cuatro tomos dispuestos en forma de tetraedro regular9.Aadiendo la unidad a la unidad, se pasa del punto a la lnea, determinada por dos puntos: aadiendo a estos dos puntos otro punto se puede pasar al plano con el tringulo; y aadiendo todava la unidad se puede pasar al espacio con el tetraedro. Pero permaneciendo en los lmites de la intuicin humana del espacio tridimensional no es posible aadir una unidad a los cuatro vrtices del tetraedro tomando un punto fuera del espacio tridimensional y representar el nmero 5 como una pirmide del hiperespacio que tenga por base el tetraedro. En otras palabras, de la unidad se pasa al nmero dos y se tiene la lnea, del nmero dos se pasa al nmero tres y se tiene el plano, del nmero tres se pasa al nmero cuatro y se tiene el espacio; y luego, hay que pararse, se ha llegado al fin del proceso. Ahora bien, segn la acepcin aristotlica, y solamente griega, de la palabra perfeccin, las cosas son perfectas cuando estn terminadas, completadas; el lmite, el fin, es una perfeccin. En nuestro caso, como cuatro es el ltimo nmero que se obtiene pasando del punto a la lnea, de la lnea al plano y del plano al espacio, porque no se puede representar un quinto punto fuera del espacio definido por los cuatro vrtices del tetraedro, el nmero cuatro es, en el sentido genrico griego y pitagrico de la perfeccin, un nmero perfecto. El conjunto de la mnada, de la dada, de la trada y de la ttrada comprende el todo: el punto, la lnea, la superficie y el mundo concreto material slido; y no se puede ir ms all. As pues, tambin la suma:

1 + 2 + 3 + 4 = 10

ya sea el conjunto, o la ttrada de la unidad, de la dualidad, de la trinidad y de la ttrada, ya sea la dcada, es perfecta y contiene el todo.Los pitagricos llamabantetraktystodo conjunto o suma de cuatro cosas. Hay diferentestetraktys, pero la que vamos a estudiar ahora es latetraktyspor excelencia, latetraktyspitagrica por la cual los pitagricos prestaban juramento. En un fragmento de Espeusipo se puede leer que el nmero diez contiene en s la variedad lineal, plana y slida delnmero, porque 1 es un punto, 2 una lnea, 3 un tringulo y 4 una pirmide10.

Filn el Judo11, retomando los conceptos pitagricos, dice que cuatro son los lmites de las cosas: punto, lnea, superficie y slido, y Geminus dice que la aritmtica est dividida en teora de los nmeros lineales, planos y slidos.La perfeccin, o la conclusin de la manifestacin universal, se alcanza con el nmero diez, que es la suma de los nmeros hasta cuatro. La dcada contiene el todo, como la unidad, que contiene el todo potencialmente.Esta constatacin es el resultado del lmite puesto al desarrollo de los nmeros por la tridimensionalidad del espacio, y se llegara al reconocimiento de esta propiedad del 4 y del 10, incluso si la numeracin de la que hemos hablado en lugar de ser decimal fuera, por ejemplo, una numeracin duodecimal o de base ternaria. Por lo dems, constatamos la coincidencia. La razn por la cual la numeracin, de la que hemos hablado, griega, latina, italiana, francesa, etc., es decimal, proviene del hecho de que el hombre posee diez dedos, lo que es una gran comodidad para contar (contar con los dedos), hasta el punto de que en la escritura antigua, latina y griega, la unidad era representada por un dedo, identificado despus con la letra I. El ltimo dedo es el dcimo, por consiguiente 10 es perfecto. En las dos escrituras, cinco tiene una representacin especial, en griego la de la inicial de la palabrapent, en latn la de la palma de la mano abierta, identificada ms tarde con la letra V, pues entre los latinos la escritura de los nmeros precede al conocimiento y uso del alfabeto. El nmero 10 est representado en griego por la letra delta D, inicial de dcada y que tiene la forma de un tringulo equiltero, mientras que en latn est representado por las dos manos abiertas y opuestas, signo que se identific con la letra X. Estos signos bastan, en la escritura griega y latina de los nmeros, para representar o escribir los nmeros hasta cien, representado en griego por la inicial H, de la palabrahcaton, y en latn por un signo, identificado despus con la inicial decentum, C.Latetraktyspitagrica, como la numeracin hablada, ponen en evidencia la importancia del nmero diez por caminos que no tienen nada en comn. Y sta no es la nica concordancia entre los nmeros 4 y 10, ya que la lengua griega forma los nombres de los nmeros de diez hasta 99 utilizando los de los diez primeros nmeros, pero introduce un nombre nuevo para indicar 100, otro para 1000 y finalmente uno nuevo y ltimo para indicar la decena de mil o mirada. La misma palabramrioi, pero acentuada diferentemente, indica un nmero muy grande, indeterminado. En suma, la lengua griega dispone solamente de cuatro nombres, despus de los nueve, para designar las cuatro primeras potencias de diez y se para en la cuarta potencia, como la suma de los nmeros enteros se termina con el nmero cuatro en latetraktys.Una tercera constatacin, relativa a la dcada (y por consiguiente a latetraktys), es la siguiente: despus de la unidad que es potencialmente poligonal, piramidal y polidrica, del gnero que sea, el primer nmero que es simultneamente lineal, triangular y tetradrico, y que aparece por consiguiente en la irradiacin de la unidad y en la forma ms simple de manifestacin y de concretizacin de la unidad, es el nmero diez. Es el primer nmero que aparece simultneamente en las tres sucesiones de los nmeros lineales, triangulares y tetradricos:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 1 3 6 10 15 21 ... 1 4 10 20 ...

No se conoce mas que cinco nmeros que gozan de esta propiedad, que son: 1, 10, 120, 1540 y 7140. La determinacin de los otros nmeros que son simultneamente triangulares y tetradricos depende de la resolucin de la ecuacin que se obtiene haciendo alxensimonmero triangular igual alyensimo nmero tetradrico, o de la resolucin de la ecuacin de tercer grado con dos incgnitas:

x (x + 1)=y (y + 1) (y + 2) 2 6

ecuacin de la que se conoce las cinco soluciones:

x 1 4 15 55 119y 1 3 8 20 34

pero de la cual, la matemtica moderna no sabe determinar las otras soluciones eventuales enteras.Una cuarta constatacin viene de que la letra delta es la cuarta del alfabeto griego y tiene la forma de un tringulo equiltero. La letra D = delta es tambin la cuarta letra del alfabeto etrusco, latino y fenicio y de los diferentes alfabetos griegos (en uso en diversas pocas); ahora bien, aunque el orden de las letras de un alfabeto no est determinado por una ley de la naturaleza, no hay que descuidar esta observacin por el valor que podan atribuirle, si no todos los pitagricos, al menos algunos. La dcada es pues el cuarto nmero triangular y el tercero tetradrico, y tiene la forma, en la escritura de los nmeros, de su inicial, la cuarta letra del alfabeto, que tiene la forma de un tringulo.Si se toma el cuarto nmero triangular, est representado as,.. .. . .. . . .

Figura 5figura que se encuentra en Ten de Esmirna y en Nicmaco de Gerasa. Esta figura de la dcada es un smbolo, en el sentido etimolgico de la palabra, por consiguiente implica varios sentidos. Hay un smbolo que es un tringulo o nmero triangular; es el cuarto nmero triangular, y est compuesto por diez puntos dispuestos en cuatro filas que contienen respectivamente uno, dos, tres y cuatro puntos. "Mira, dice Luciano, aquelloque crees que es cuatro es diez, y el tringulo perfecto, y nuestro juramento"12.Una quinta constatacin muy importante, en general y ciertamente para los pitagricos, se tiene con la escala musical. La msica moderna utiliza la escala temperada, que corresponde aproximadamente a la escala natural basada en el principio de relaciones simples; los griegos, al contrario, utilizaban la escala pitagrica basada en el principio de quinta. Veremos ms adelante el origen de esta escala; de momento limitmonos a constatar que estas escalas estn, las tres, constituidas por siete notas fundamentales dispuestas en el orden conocido. Los griegos llamaban a la octava, armona.Las notas fundamentales de esta gama, u octava, de la cual, por la ley de quinta se deduce las otras, son, la primera, la cuarta, la quinta y la octava; es decir las cuatro cuerdas del tetracordio de Filolao: la primera, la cuarta o slaba, la quinta o diapente, y el diapasn. Segn la tradicin, Pitgoras haba descubierto, por observacin y experiencia, que las relaciones entre la longitud de estas cuerdas y la longitud de la primera estaban expresadas por las relaciones numricas 4:3, 3:2, 2:1, as pues por relaciones entre los nmeros de latetraktys, que son no solamente relaciones simples sino las ms simples posibles. El tetracordio de Filolao muestra que en el dominio de la armona, en el fondo, se vuelve a encontrar 1, 2, 3, 4, los mismosnmeros que aparecen en latetraktys. "Este descubrimiento, escribi Delatte13, produjo en todos los espritus, particularmente en los pitagricos, un efecto extraordinario que no podemos apenas apreciar hoy. Latetraktysles daba la llave de los misterios de la acstica y extendieron a todos los dominios de la fsica las conclusiones de este descubrimiento". Este vino a ser uno de los fundamentos de su filosofa aritmolgica y se comprende que hayan podido considerar latetraktyscomo la "fuente y la raz de la eterna Naturaleza".La frmula potica del juramento pitagrico nos ha sido transmitidapor diferentes autores; y su forma ms corriente y ms exacta es la siguiente14:"No, lo juro por aquel que ha transmitido a nuestra alma latetraktysen que se encuentran la fuente y la raz de la eterna Naturaleza". Una variante de esta frmula se encuentra en los "Versos Dorados".El smbolo pitagrico de latetraktys, en su forma esquemtica de tringulo equiltero, coincide manifiestamente con la forma esquemtica del delta masnico, as como con aquella del delta cristiano, smbolo de la Trinidad. Esta ltima asimilacin se hace fcilmente, demasiado fcilmente incluso, sobre todo cuando en el interior est inscrito el ojo del Padre eterno. El carcter cristiano del smbolo masnico no es tan evidente cuando, como sucede a menudo, el centro del tringulo se adorna con el tetragrammaton, el nombre de Dios en cuatro letras, que los cabalistas denominaban por esta palabra griega; y desaparece totalmente cuando el tringulo est inscrito en la estrella de cinco brazos, el pentalfa pitagrico, como en el frontispicio de laEstrella Flamgeradel barn de Tschoudy, a quien se le atribuye el ritual de primer grado del Rito Escocs.Adems, el delta sagrado que, con el sol y la luna, es una de las tres luces sublimes de la sociedad de los franc-masones, como lo ensea el ritual del Aprendiz, se encuentra, en los trabajos de primer grado, entre los smbolos del sol y de la luna, detrs del asiento del Venerable; mientras que en los trabajos de segundo grado es reemplazado por la Estrella Flamgera. Los aos iniciticos del Aprendiz y del Compaero corresponden a este cambio. Hay pues conexin entre los dos smbolos; y, como sin duda alguna la estrella de cinco brazos es un smbolo caracterstico tanto de la antigua cofrada pitagrica como de la franc-masonera, la identificacin del delta masnico con latetraktyspitagrica se halla confirmada. De esto a decir que la estrella de cinco brazos tiene un carcter cristiano, bastara con afirmar que fue sta la que, segn el cuarto Evangelio, se apareci a los tres Reyes Magos, Melchor, Gaspar y Baltasar; pero el cuarto Evangelio no se pronuncia sobre este punto; en cuanto a los Evangelios sinpticos, no mencionan siquiera a los tres Reyes Magos. Ahora bien, como los antiguos documentos certifican la continuidad de la tradicin masnica que se invoca heredera de Pitgoras, vista la identificacin de la masonera con la geometra y la pretensin de los masones de ser los nicos en conocer los nmeros sagrados, nos parece que la identificacin del Delta masnico con latetraktyspitagrica est confirmada por argumentos ms slidos que su identificacin con el smbolo cristiano.No hay ningn smbolo cristiano entre los smbolos masnicos, ni siquiera la cruz; por el contrario, -y es natural- hay smbolos de ofiicio y los smbolos geomtricos, arquitectnicos y numricos. Si el delta masnico tuviera un carcter cristiano, sera un smbolo aislado, desplazado, del que no se comprendera la heterogeneidad y la existencia entre los masones. Insistimos sobre este punto no solamente porque es nuestro deber no dejarnos arrastrar por simpatas o antipatas ante la seriedad y la claridad de las investigaciones crticas, sino porque existe al respecto una incomprensin y una ignorancia seculares y perniciosas, y numerosos rituales, lejos de guiar a los hermanos hacia la plena inteligencia del simbolismo, contribuyen, de muy buena o mala fe, a rechazar esta interpretacin, indispensable no obstante para penetrar el sentido puramente masnico.De cualquier manera, no nos proponemos ni afirmar ni descubrir una oposicin entre latetraktyspitagrica o delta masnico y el smbolo cristiano de la Trinidad. La oposicin del ternario cristiano al cuaternario pitagrico fue obra del fanatismo ciego de los cristianos de los primeros siglos; estaba injustificada porque, como lo veremos, los pitagricos fueron admiradores de la trada, y su costumbre de contar y de venerar en todas las cosas el nmero tres los guiaba incluso en la clasificacin de los nmeros.Resumamos: dos no puede obtenerse ms que por la suma de dos unidades. Tres no puede obtenerse ms que por la suma de trminos de los cuales al menos uno es la unidad.A partir de cuatro, todos los nmeros pueden obtenerse por la suma de dos trminos distintos de la unidad. La representacin geomtrica de los nmeros en el espacio tridimensional tiene un lmite y es perfecta con el nmero cuatro; por lo tanto, como la suma 1 + 2 + 3 + 4 = 10 es igualmente la nueva unidad del sistema de numeracin decimal, resulta de esto la perfeccin del nmero cuatro y de la dcada, as como del smbolo de latetraktys. Es por esta razn que los pitagricos no prestaron atencin a los nmeros superiores a 10, que se expresaban en el lenguaje y en la escritura por diez y los nmeros precedentes, y es por esto quizs que redujeron a los nueve primeros nmeros los nmeros superiores a diez, no teniendo en cuenta ms que su raz opythmn, es decir sustituyndoles el resto de su divisin por nueve, o el mismo nueve incluso cuando el nmero era un mltiplo de nueve; resto que obtenan fcilmente por la regla, muy conocida por otra parte, de la divisin por nueve.Ya que el desarrollo de los nmeros por adicin tiene un lmite con el nmero cuatro, hay que considerar ahora el desarrollo o generacin de los nmeros por multiplicacin. Que los pitagricos hayan recurrido efectivamente a este criterio de distincin, es cierto, puesto que el nmero siete era consagrado y asimilado a Minerva, pues, como Minerva, era virgen y no engendrado, es decir que no era factor de ningn nmero (en la dcada) ni el producto de factores. Los nmeros se distinguen pues en nmeros que no son producidos por otros nmeros, sea los nmeros primeros o asintticos, y en nmeros que son producidos, o nmeros compuestos o sintticos. Teniendo en cuenta slo los nmeros de la dcada, los nmeros se subdividen en cuatro clases: la clase de los nmeros primeros en la dcada que son factores de los nmeros de la dcada; dos (que realmente no es un nmero) que aparece como factor de 4, de 6, de 8 y de 10; tres que es factor de 6 y de 9; y cinco que es factor de 10. La segunda clase est constituida por los nmeros primeros inferiores a 10 y que no son factores de los nmeros inferiores a 10; est constituida solamente por el nmero siete. La tercera clase est constituida por los nmeros compuestos inferiores a 10 y que son factores de los nmeros inferiores a diez; est constituida solamente por el nmero cuatro, que, al mismo tiempo, es el cuadrado de dos y el factor de ocho. La cuarta clase est constituida por los nmeros inferiores a 10 y que son productos de otros nmeros de la dcada; est constituida por el seis, el ocho y por el nueve, porque 2 . 3 = 6, 2 . 2 . 2 = 2 . 4 = 8 y 3 . 3 = 9. No teniendo en cuenta el 10 y teniendo en cuenta el dos, tenemos cuatro nmeros primeros: 2, 3, 5, 7 de los cuales uno slo no produce otros nmeros, y cuatro nmeros compuestos: 4, 6, 8, 9 de los cuales uno slo es tambin factor.Hay que sealar, que este criterio pitagrico de distincin en la clasificacin de los nmeros de la dcada coincide perfectamente con el criterio tradicional de distincin al que se ajusta el Vdnta para la cudruple clasificacin de los veinticinco principios otattwas, y con ms precisin: el primer principio (Prakriti) que no es producido pero que es productivo, siete principios (Mahat,Ahamkray los 5tanmtras) que son a la vez producidos y productivos, 16 principios (los 11indriyas, comprendidoManasy los 5bhtas) que son producciones improductivas, y por finPurushaque no es ni producido ni productivo. A este respecto, volvemos a enviar al lector al libro de Ren Gunon,El Hombre y su devenir segn el Vdnta(Pars, 1925). El mismo criterio es el que inspira, como lo ha observado Colebrooke (Essais sur la philosophie des Hindous, traduccin Pauthier), la divisin de la Naturalezahecha en el tratadoDe divisione Naturaede Escoto Ergena, quien dice: "La divisin de la naturaleza me parece que debe estar establecida en cuatro diferentes especies, de las cuales, la primera es lo que crea y no es creado; la segunda es lo que es creado y crea; la tercera es lo que es creado y no crea, y, por fin, la cuarta es lo que no es creado y no crea". Naturalmente no es cuestin de hablar de derivacin; de cualquier manera, Pitgoras precede, cronolgicamente, no solamente a Escoto Ergena sino tambin a Shankarchrya. As queda establecido el carcter tradicional de la doctrina pitagrica de los nmeros.Traduccin:Miguel Angel Aguirre