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La macchina più geek dell’universo The Turing Machine

Pierpaolo Basile

Macchina di Turing

• Modello astratto di calcolo introdotto nel 1936 da Alan Turing

• Fornire una definizione matematica/formale del concetto di algoritmo

• Risolvere il problema di decisione

Algoritmo

«Procedimento di risoluzione dei problemi per passi successivi, in particolare un

procedimento computazionale ricorsivo determinato per risolvere un problema in

un numero finito di passi»

American Heritage Dictionary

Problema di decisione

«Esiste un «processo meccanico» in grado di stabilire se per un dato

problema esiste un algoritmo risolvibile in

un numero finito di passi?»

La Macchina di Turing (MdT)


• Costruiamo un algoritmo H che prende in input un altro algoritmo P

• H si comporta nel seguente modo:

vero se P termina falso se P NON termina

H restituisce


• Costruiamo un altro algoritmo K che utilizzando H decide se P termina

stampa loop se H(P)=falso va in loop se H(P)=vero

K restituisce

K si comporta in maniera opposta al suo input P!


• Supponiamo di dare in input a K lo stesso K

stampa loop se K NON termina va in loop se K termina

K(K) restituisce

Assurdo • K(K) si ferma quando K va in loop • K(K) va in loop quando K si ferma

H non può esistere

La Macchina di Turing

MdT: il nastro

• Nastro potenzialmente infinito diviso in celle (memoria) • ogni cella contiene un simbolo preso da un

alfabeto finito

MdT: la testina…

• Testina di lettura/scrittura • può leggere/scrivere in una cella per volta

MdT: …la testina…


• può spostarsi a destra o a sinistra di una cella per volta

MdT: …la testina


• può spostarsi a destra o a sinistra di una cella per volta

MdT: l’unità di controllo

• Unità di controllo • decodifica ed esegue comandi rivolti alla testina

(controlla la testina)

Unità di Controllo

MdT: lo stato

• La macchina può trovarsi in un numero finito di stati

• La macchina può cambiare stato in seguito ad una lettura di un simbolo dal nastro

• Chiameremo configurazione la coppia: <simbolo visibile alla testina, stato corrente>

• Esiste uno stato «speciale» HALT che indica la fine dell’algoritmo

Macchine di Turing (MdT)

L’unità di controllo esegue un algoritmo A sui dati memorizzati sul nastro

Le istruzioni di A sono del tipo:

< simbolo_letto, stato_corrente, simbolo_da_scrivere, sinistra/destra/ferma, nuovo_stato >

configurazione

Algoritmi per MdT: il nastro

• Definire un’opportuna configurazione iniziale del nastro • Codificare i dati

• Es.: nastro iniziale per problema della sottrazione tra interi

4 – 2 operandi codificati con ‘I’ e separati da * blank=^

^ I I I I * I I ^ ^

Configurazione iniziale

Algoritmi per MdT: il nastro

• Definire un’opportuna configurazione finale del nastro che rappresenti la soluzione

^ ^ ^ I I ^ ^ ^ ^ ^

Configurazione finale

Algoritmi per MdT: il controllo

• Definire le azioni (algoritmo) dell’unità di controllo

• In pratica l’algoritmo per una MdT è una sequenza di quintuple del tipo:

< simbolo_letto, stato_corrente, simbolo_da_scrivere, sinistra/destra/ferma, nuovo_stato >

Es. <|, S1, ^, D, S2 > : se leggi | e sei nello stato S1 allora scrivi ^, sposta a destra la testina e vai nello stato S2

MdT: sottrazione tra interi

• Progettiamo un algoritmo per eseguire la sottrazione tra due numeri interi n e m, n≥0, m≥0 • Per semplicità assumiamo che n≥m

• La testina è posizionata sulla prima cella vuota a destra dell’ultimo simbolo del sottraendo

• Il modello di calcolo ci "obbliga" a pensare l’algoritmo in base alle operazioni possibili

S0


MdT: sottrazione tra interi

• Progettiamo un algoritmo per eseguire la sottrazione tra due numeri interi n e m, n≥0, m≥0 • Per semplicità assumiamo che n≥m

• La testina è posizionata sulla prima cella vuota a destra dell’ultimo simbolo del sottraendo

• Il modello di calcolo ci "obbliga" a pensare l’algoritmo in base alle operazioni possibili

S0


Cancellare ugual numero di simboli da n e da m in

modo che sul nastro resti solo il risultato finale

MdT: algoritmo per la sottrazione

1. Diminuisci di una unità m • ricorda di aver cancellato un simbolo da m

2. Spostati a Sx in cerca del primo simbolo di n

3. Cancellalo • Ricorda che ora entrambi gli operandi sono stati

diminuiti di una unità

4. Spostati a Dx in cerca dell’ultimo simbolo di m • Se non ci sono più simboli da cancellare da m allora

cancella il separatore HALT

• In caso contrario torna al punto 1

La MdT per la sottrazione…

• Alfabeto = {I, *, ^}

• Stati = {S0, S1, S2, S3, HALT} • S0 ≡ stato iniziale della computazione ovvero

ricerca ultimo simbolo di m

• S1 ≡ diminuito m

• S2 ≡ raggiunto simbolo iniziale di n

• S3 ≡ diminuiti entrambi operandi

La Matrice Funzionale

S0 S1 S2 S3 ^ ^SxS0 ^DxS2 ^SxS0

| ^SxS1 |SxS1 ^DxS3 |DxS3 * ^FHALT *SxS1 *DxS3

Computazione 3-1

S0

^ ^ | | | * | ^ ^ ^

n m


| ^SxS1 |SxS1 ^DxS3 |DxS3 * ^F HALT *SxS1 *DxS3

Computazione 3-1

S0

^ ^ | | | * | ^ ^ ^



Computazione 3-1

S1

^ ^ | | | * ^ ^ ^ ^

diminuito m



Computazione 3-1

S1

^ ^ | | | * ^ ^ ^ ^



Computazione 3-1

S2

^ ^ | | | * ^ ^ ^ ^

raggiunto simbolo iniziale di n



Computazione 3-1

S3

^ ^ ^ | | * ^ ^ ^ ^

Diminuiti entrambi gli operandi



Computazione 3-1

S3

^ ^ ^ | | * ^ ^ ^ ^



Computazione 3-1

S0

^ ^ ^ | | * ^ ^ ^ ^

Stato iniziale della computazione



Computazione 3-1

HALT

^ ^ ^ | | ^ ^ ^ ^ ^

trovare un * nello stato iniziale della computazione è segno del fatto che non ci sono più simboli da processare in m



Have Fun with MdT

1. Stabilire se un numero rappresentato con ‘|’ è pari oppure dispari

2. Stabilire se una stringa binaria è palindroma (ovvero si legge indifferentemente da Sx a Dx, es.: 010010)

Soluzioni

Esercizio 1

• Cancellare i simboli dal nastro e memorizzare in uno stato la situazione di parità/disparità • q0 ≡ stato iniziale della computazione ovvero PARI

• q1 ≡ DISPARI

S0 S1 ^ P F HALT D F HALT

| ^ Dx S1 ^ Dx S0

Esercizio 2

• Stabilire se una stringa binaria è palindroma (ovvero si legge indifferentemente da Sx a Dx, es.: 010010)

S0

^ ^ ^ 0 1 1 0 ^ ^ ^


^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^


Esercizio 2

• Stabilire se una stringa binaria è palindroma (ovvero si legge indifferentemente da Sx a Dx, es.: 010010)

S0

^ ^ ^ 0 1 0 0 ^ ^ ^


^ ^ ^ ^ 1 ^ ^ ^ ^ ^


Esercizio 2

S0 S1 S2 S3 S4 S5

0 0 S0 Dx ^ S2 Sx 0 S2 Sx 0 S3 Sx ^ S0 Dx 0 F Halt

1 1 S0 Dx ^ S3 Sx 1 S2 Sx 1 S3 Sx 1 F Halt ^ S0 Dx

^ ^ S1 Sx ^ S5 Dx ^ S4 Dx ^ S5 Dx ^ F Halt ^ F Halt

S1: leggo il primo simbolo a sinistra S2: ho letto 0 e mi sposto tutto a sinistra S3: ho letto 1 e mi sposto tutto a sinistra S4: verifica che l’ultimo simbolo a sinistra sia 0 S5: verifica che l’ultimo simbolo a sinistra sia 1 S0: mi riporto a destra della stringa se leggo 0 o 1, altrimenti prova a leggere il primo simbolo a sinistra

Tesi di Church-Turing

• La classe delle funzioni calcolabili coincide con la classe delle funzioni calcolabili da una MdT • ogni funzione calcolabile è calcolata da una MdT

• non esiste alcun formalismo capace di risolvere una classe di problemi più ampia di quella che si può risolvere con MdT

• Le funzioni calcolabili con C o Java sono di più di quelle calcolabili con MdT?

Tesi di Church-Turing

• La classe delle funzioni calcolabili coincide con la classe delle funzioni calcolabili da una MdT • ogni funzione calcolabile è calcolata da una MdT

• non esiste alcun formalismo capace di risolvere una classe di problemi più ampia di quella che si può risolvere con MdT

• Le funzioni calcolabili con C o Java sono di più di quelle calcolabili con MdT?

NO

MdT vs. CPU

• MdT 1. Legge / scrive su

nastro

2. Transita in un nuovo stato

3. Si sosta sul nastro di cella in cella

4. Esegue un programma specifico CABLATO nella macchina è specifica per un certo problema

• CPU 1. lettura / scrittura da /

su memoria RAM o ROM

2. nuova configurazione dei registri della CPU

3. scelta della cella di memoria su cui operare

4. È generale, nel senso che può eseguire programmi diversi

La MdT Universale (MdTU)

• Legge dal nastro DATI e PROGRAMMA • Il programma non è più cablato nell’unità di controllo

• Codificato sul nastro come i dati

• In pratica sono rappresentate sul nastro anche le 5-ple che definiscono l’algoritmo solutivo

• E’ una macchina programmabile • prende le 5-ple (istruzioni) dal nastro FETCH

• le decodifica DECODE

• le esegue scrivendo sul nastro EXECUTE

• E’ un computer programmabile!

MdTU vs. Macchina Von Neumann

MdTU (controllo)

Nastro

MdTU è un modello della macchina di Von Neumann

ovvero un modello degli attuali calcolatori!

(manca solo la parte di I/O)

processore memoria interna

memoria esterna

interfaccia periferiche

[email protected]

BACKUP SLIDES

MdT: il modello matematico

Una MdT è definita da una quintupla

M = (X, Q, fm, fd, )

X = insieme finito di simboli

comprende il blank ovvero cella vuota

Q = insieme finito di stati

comprende HALT che definisce la terminazione

MdT: il modello matematico

Una MdT è definita da una quintupla:

M = (X, Q, fm, fd, )

Funzione di direzione

Determina lo spostamento della testina

S=sinistra, D=destra, F=ferma

},,{: FDSXQfd

XXQfm :Funzione di macchina

Determina il simbolo da scrivere sul nastro

Funzione di transizione di stato

Definisce lo stato successivo della computazione

QXQ :

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