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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

Gil da Costa Marques

15SérieS e apliCaçõeS

15.1 Sequências 15.2 Séries15.3 Séries especiais15.4 arquimedes e a quadratura da parábola15.5 Sobre a Convergência de séries15.6 Séries de Taylor e de Maclaurin15.7 aproximações polinomiais de Funções

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a i

341

Fundamentos de Matemática i

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1

15.1 Sequências Conjuntos de números que possuem alguma propriedade particular constituem as sequências

e sempre foram de grande interesse ao longo da história da Matemática. Por exemplo, os

números naturais pares e ímpares formam sequências, cujo n-ésimo termo pode ser escrito,

respectivamente, como:

15.1

as sequências podem ser finitas (quando o número de termos for finito) ou infinitas (quando

o número de termos da sequência for infinito).

Os elementos de uma sequência genérica serão representados por

15.2

Por exemplo, como veremos mais adiante, a sequência dos quadrados

dos números inteiros positivos de 1 a n

15.3

aparece quando determinamos, aproximadamente, a área da região

que se encontra abaixo do gráfico de y = x2 e acima do eixo x, quando

x ∈ [0, k], considerando a soma das áreas dos n retângulos obtidos ao

dividir o intervalo [0, k] em n subintervalos, como no Gráfico 15.1.

algumas sequências adquirem, em função da sua relevância, nomes que as identificam

com facilidade.

Por exemplo, definimos como progressão aritmética a sequência em que o n-ésimo

termo é obtido a partir do termo anterior adicionando-se a ele uma constante, denominada

razão. Escrevemos, portanto, tal termo como:

15.4

a n b n nn n= = + =2 2 1 0 1 2 3 para , , , ,...

Gráfico15.1: O valor aproximado da área da região colorida é a soma das áreas dos retângulos.

a a a an1 2 3, , ,..., ,...

1 ,2 2 2 , ,...,32 2n

a a rn n= +−1

342

15 Séries e aplicações


Uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo é obtido do anterior

multiplicando este último por uma constante q, também denominada razão, ou seja:

15.5

Se o primeiro termo é B, os n + 1 elementos da progressão geométrica são:

15.6

De grande interesse é a questão que envolve a soma dos termos de sequências. admitindo

uma sequência que envolve um número finito de termos, denotamos a sua soma como

15.7

a soma dos n termos de uma progressão aritmética é dada pela metade da soma do primeiro

e do último termo, multiplicada pelo número de termos:

15.8

assim, a soma dos números inteiros positivos de 1 até 100, por exemplo, é dada por:

15.9

Pode-se mostrar que a soma da sequência 15.3 é dada por:

15.10

assim,

15.11

a a qn n= −1

B Bq Bq Bq Bqn, , , ,...,2 3

S a a a a an ii

n

= + + + + ==∑1 2 3

1...

S a a r a r a n r n a an= + + + + + + + − = +1 1 1 1 12 1 12

( ) ( ) ... ( ( ) ) ( )

S = + + + + + = +( ) =1 2 3 4 100 1002

1 100 5 050... .

S n n n n= + + + + + = +( ) +( )1 2 3 4 16

1 2 12 2 2 2 2...

S = + + + + = ( )( ) =1 2 3 4 5 16

5 6 11 552 2 2 2 2

343



a soma dos termos de uma progressão geométrica finita pode ser expressa em termos do

primeiro termo e da razão da progressão. No caso de 15.6, o resultado se escreve como:

15.12

15.2 Sériesadotamos a palavra série para designar a soma dos termos de uma sequência infinita de

termos. assim, em uma sequência de infinitos termos, uma série é dada pela soma:

15.13

No caso de uma sequência infinita, em que a sequência continua indefinidamente, pode-se

falar de soma reduzida ou soma parcial. Tais somas são definidas como aquelas que envolvem

apenas alguns de seus termos. Escrevemos, por exemplo,

15.14

No caso de uma série, a soma acima é denominada soma parcial da série.

Considere, por exemplo, o caso de rasgar uma folha de

papel, cuja área é uma unidade, pela metade e, em seguida,

adicionar à primeira metade a área da segunda metade ao

meio, e assim sucessivamente, como na Figura 15.1.

a área resultante dessas várias tirinhas, obtidas pela redução à metade do que resta da divisão

anterior, é uma fração da área da folha dada pela série:

15.15

S B Bq Bq Bq B qq

nn

= + + + + =−−

−2 1 11

...

S a a a a an ii

= + + + + + ==

∞

∑0 1 20

... ...

S a a a a a ak ki

k

= + + + + + ==∑0 1 2 3 1

0...

Figura 15.1: Qual é a área da união dos papeizinhos?

S n nn

= + + + + + + + ==

∞

∑12

12

12

12

12

12

122 3 4 5

1

... ...

a questão é: chego a formar uma folha de papel igual à inicial com todos os pedacinhos de papel? a solução está na série definida em 15.15.

344



alguns números podem ser expressos em termos de séries infinitas. O número π, por

exemplo, pode ser escrito como uma série da forma:

15.16

assim, a cada soma parcial da série 15.16 podemos encontrar um valor aproximado para π.

Outro exemplo curioso é a série associada ao número e. Nesse caso escrevemos:

15.17

Veremos que o resultado de algumas somas de infinitos termos (uma série, portanto) pode

resultar em expressões relativamente simples. Isso será abordado quando analisarmos as séries

de Taylor.

Para efeito de ilustração do que foi dito acima, consideremos o caso da série

15.18

Dividindo-a por 2, o que significa dividir termo a termo, obtemos:

15.19

que é a série S definida em 15.15. Subtraindo da expressão 15.18 a expressão 15.19, obtemos:

15.20

15.3 Séries especiaisalgumas séries recebem nomes especiais. assim, a série geométrica é definida por meio

da soma da progressão geométrica contendo infinitos elementos. Temos assim que a série

geométrica SG é dada por:

15.21

π4

1 13

15

17

19

= − + − + +

en nn

= + + +⋅+

⋅ ⋅+ + + = +

=

∞

∑1 11

12

12 3

12 3 4

1 1 11

! !

′ = + + + + + + + + ==

∞

∑S n nn

1 12

12

12

12

12

12

122 3 4 5

0

′= + + + + + + + =

=

∞

∑Sn n

n212

12

12

12

12

12

122 3 4 5

1

′ −′= ⇒ ′ =S S S

21 2

S B Bq Bq Bq BqGn= + + + + + +−2 3 1... ...

345



a série harmônica é definida como a soma

15.22

Uma série alternada é aquela, cujos termos têm os sinais alternados. Por exemplo, as séries

S1 e S2, definidas abaixo, são séries alternadas:

15.23

Veremos que os resultados das somas dos infinitos termos das séries acima são, respectiva-

mente, os números ln 2 e π/4, este último já mencionado antes. Para isso, no entanto, devemos

recorrer à expansão de funções numa série que envolve polinômios.

Outra série de interesse é aquela dada pela soma dos inversos dos números reais positivos

elevados a um expoente, aqui designado por r. Ou seja:

15.24

Entendida como função de r, a série infinita acima define a função Zeta de Riemann ζ (r), isto é:

15.25

Em particular, o valor dessa função para r = 1 é a série harmônica, SH, dada em 15.22. Ou seja:

15.26

15.4 Arquimedes e a quadratura da parábolaCom o intuito de ilustrar a utilidade do conceito de série, recorremos à solução dada por

Arquimedes ao problema de encontrar a área da parábola (o problema da quadratura da

SH = + + + + +1 12

13

14

15

...

S

S

1

2

1 12

13

14

15

1 13

15

17

19

= − + − + +

= − + − +

...

...

1 11 1n nr

n

r

n=

∞

=

∞

∑ ∑=

ζ rn nr

n

r

n( ) = =

=

∞

=

∞

∑ ∑1 11 1

ζ 1( ) = SH

346



parábola), isto é, a área da região delimitada por um arco de parábola e por uma corda arbitrária

à curva. arquimedes utilizou o método da exaustão para resolver esse problema.

Na formulação mais simples, consideramos um triângulo com dois lados iguais, de tal modo

que um dos vértices coincida com o vértice da parábola. Denominemos A a área de tal triân-

gulo. Percebe-se, assim, que o vértice do triângulo nela inserido leva a uma partição da parábola

em dois arcos. Para cada um dos dois, desenhamos novos triângulos.

É possível mostrar que a área de cada um dos novos triângulos é 1/8 A. Temos dois deles e

assim escrevemos para os três triângulos:

15.27

Em seguida, arquimedes considerou outros 4 triângulos, cada

um dos quais com uma área igual a 1/8 do anterior: (A/8)/8.

E assim sucessivamente. O resultado é o número de triângulos crescer

por um fator dois a cada inserção deles, e suas áreas decrescerem por

um fator 8. O resultado da soma é, pois,

15.28

O resultado para n interações de triângulos é a série geométrica que, quando somada, nos

leva ao resultado:

15.29

arquimedes foi mais longe ainda. Percebeu que, continuando indefinidamente (como

diríamos hoje, até o infinito), obteria a área do segmento de parábola. Concluiu, empregando

o conceito de limite, que

15.30

Figura 15.2: Área da parábola pelo método da exaustão.

S A A= +

2

8

S A A A A A= + +

+

+

+2

84 1

88 1

816 1

8

2 3 4

...

S A A A A A An

= + +

+

+ +

=

−

−1

414

14

14

1 142 3 1

...

nn

1 14

−

S A A An

n

=−

−

=−

=→∞lim

1 14

1 14

1 14

43

347



15.5 Sobre a Convergência de sériesNem sempre a soma de uma série faz sentido. Consideremos, por exemplo, o caso da soma

da sequência conhecida como progressão geométrica, a qual, quando somados os n primeiros

termos, nos leva ao resultado:

15.31

analisemos agora o caso em que consideramos a série associada a uma progressão geomé-

trica. Estamos diante do problema de somar infinitos termos. Observe que, se a razão for maior

do que 1 (q > 1), a série não faz o menor sentido, uma vez que, nesse caso:

15.32

Dizemos que, se a razão for maior do que 1, a série diverge. Se, por outro lado, a razão, não

nula e, em valor absoluto, for menor do que 1, |q| < 1, encontramos, de 15.31,

15.33

Para pensar!Observe a ilustração a seguir e responda: Qual é a área total dos quadrados azuis?

Figura 15.3: Qual a área da região colorida?

S B qqn

n

=−−

11

limn nS→∞

= ∞

limn nS

Bq→∞

=−1

348



Nessas circunstâncias, dizemos que a série converge. O resultado da soma faz sentido, portanto.

Dizemos que uma série converge para um limite, aqui designado por L, se as somas parciais

convergem (tendem a) para esse valor limite, isto é, se o limite das somas parciais for finito.

Essa definição pode ser escrita como:

15.34

Pode-se muitas vezes inferir se uma série infinita converge analisando o comportamento

do termo an. Consideremos o caso em que todos os termos da série, S an n=∞

∑0

, são positivos.

Suponhamos, ademais, que:

15.35

Com base nas informações acima, podemos afirmar que:

15.36

Como resultado, podemos afirmar que a série geométrica 15.21, de termos positivos,

converge se, e somente se, a razão q for tal que q < 1. Em particular, de acordo com o critério

acima, a série harmônica diverge.

15.6 Séries de Taylor e de MaclaurinUma das aplicações mais interessantes do cálculo de derivadas de funções diz respeito à

possibilidade de escrevermos uma função sob a forma de uma série infinita. assim, se a for um

valor para o qual uma função f (x) admite derivadas de grau arbitrário nesse ponto, essa função

pode ser expressa sob a forma de uma série infinita da forma:

15.37

limn nS L→∞

=

limn

n

n

aa

L→∞

+ =1

se L > 1 a série diverge

se L < 1 a série converge

se L = 1 o critério é inconclusivo

f x f a B x a B x a B x a( ) = ( ) + −( ) +⋅

−( ) +⋅ ⋅

−( ) + +⋅ ⋅1 2

23

311 2

11 2 3

11 2

...... nn

B x ann−( ) + ...

349



onde os coeficientes Bj são dados pelas derivadas de ordem j da função f (x), calculadas para o

valor de x = a, ou seja:

15.38

O resultado acima é conhecido como teorema de Taylor e a série 15.37 é conhecida como

série de Taylor. Para o ponto a = 0, a série é conhecida como série de Maclaurin, ou seja:

15.39

onde os coeficientes bj são dados pelas derivadas de f (x) calculadas para x = 0, isto é:

15.40

a rigor, Brook Taylor propôs a sua famosa expansão numa série de potências sob a forma:

15.41

Duas séries infinitas já eram conhecidas antes de Taylor. a primeira delas é a série de

Mercator. Ela representa a função logaritmo natural de 1 + x:

15.42

a qual converge para valores de x no intervalo −1 < x ≤ 1.

a partir da série acima, conseguimos representar uma função relativamente complexa por

meio de uma série bastante simples. De fato, a função logaritmo de (1 + x)/(1 − x) pode ser

representada por uma série infinita simples. Obtemos de 15.42 que:

15.43

Bd f xdxj

j

jx a

=( )

=

f x f b x b x b xnb xn

n( ) ( ) ......

...= + +⋅

+⋅ ⋅

+ +⋅ ⋅

+0 11 2

11 2 3

11 2 31 2

23

3

bd f xdxj

j

jx

=( )

=0

f x f a b f a b f a b f a( ) = ( ) + ′( ) +⋅

′′( ) +⋅ ⋅

( ) + +⋅ ⋅

( )1 2 3

311 2

11 2 3

11 2 3

.......

...nb f an

n( ) ( ) +

ln ...12 3 4

2 3 4

+( ) = − + − +x x x x x

ln ...11

23 5 7

3 5 7+−

= + + + +

xx

x x x x

350



Mais interessante ainda foi a série proposta por James Gregory para a função

15.44

É absolutamente surpreendente a semelhança entre as duas séries acima, ou seja, a segunda

série, com exceção do fator 2, é a série alternada da primeira.

Quando calculada para o valor de x = 1, e sabendo que arctg 1 = π/4, encontramos uma

famosa expressão para o valor de π, o qual é escrito como uma série:

15.45

Essa expressão foi obtida pelo matemático indiano Madhava de Sangamagrama ainda no

século XIV. alguns creditam a ele a proposta da expansão 15.45.

15.7 Aproximações Polinomiais de FunçõesPelo que se depreende do acima exposto, podemos concluir que, sendo f (x) uma função

real de variável real com domínio um conjunto B, que é um subconjunto dos números reais

(B ⊆ ), e tal que ela admita derivadas de ordem n num ponto b no interior do seu domínio,

então tal função pode ser aproximada por um polinômio de grau n:

15.46

onde, agora, o polinômio Pn(x) é dado por:

15.47

onde os coeficientes bj são dados pelas derivadas de ordem j da função f (x) calculadas para o

valor de x = 0, ou seja:

15.48

arctg ...x x x x x= − + −

3 5 7

3 5 7

π4

1 13

15

17

19

= − + − + ...

f x P xn( ) ( )≅

P x f b x b x b xnb xn n

n( ) ( ). . .

.... . ...

= + + + + +0 11 2

11 2 3

11 2 31 2

23

3

bd f xdxj

j

jx

=( )

=0

351



O polinômio 15.47 é denominado Polinômio de Maclaurin de grau n da função.

Ou seja, como no caso anterior, a função f (x) pode ser escrita como a soma do polinômio

15.47 mais um resto:

15.49

de tal modo que

15.50

ou seja, o resto pode ser feito tão pequeno quanto quisermos tomando polinômios de grau n

cada vez maior.

Exemplos

• ExEmplo 1:Considere o caso da função:

Obtemos os seguintes resultados para as derivadas sucessivas:

Donde inferimos que a série de Maclaurin associada à função f xx

( ) =−1

1 é dada por:

f x P x R xn n( ) = ( ) + ( )

lim ( )( )xn

nR xx→

=00

f xx

( ) =−1

1

′ =−

⇒ ′ =

′′ =−

⇒ ′ =

f xx

f

f xx

f

f x

( ) ( )

( ) ( )

(( )

11

0 1

2 11

0 2

2

3

3 )) ( )

.............................

( )= ⋅−

⇒ = ⋅3 2 1

10 3 2

43

xf

........................

( ) ! ( ) !( ) ( )f x nx

f nnn

n=−

⇒ =

+11

01

f xx

x x x xn( ) =−

= + + + + + +1

11 2 3

352



Observamos que, de fato,

assim, segue-se que:

enquanto, de 15.19,

resultado esse já conhecido.

• ExEmplo 2:Consideremos agora o caso da função seno. Tendo em vista suas derivadas em x = 0,

′( ) = ( )= ( )⇒ ′( ) =

′′( ) = ( )= − ( )⇒ ′

f xd xdx

x f

f xd xdx

x

sencos

sensen

0 1

2

2′′( ) =

′′′( ) = ( )= − ( )⇒ ′′′( ) = −

f

f xd xdx

x f

0 0

0 13

3

sencos

.....................................................

sen!

f x x x( ) = ( ) = −13xx x3 51

5+ +

!

inferimos que, para valores da variável x muito próximos de zero, podemos escrever: sen (x) ≅ x.De maneira análoga, podemos escrever para a função cosseno a seguinte série:

cos! !

x x x( ) = − + +1 12

14

2 4

( )( ... ...)( ... ...)

1 11

2 3

2 3 2

− + + + + + + =

= + + + + + + − − −

x x x x xx x x x x x x

n

n 33 1− − − =... ...xn

1 12

12

12

12

12

12

1

1 12

22 3 4 5+ + + + + + + =−

= n

S n nn

= + + + + + + ==

∞

∑12

12

12

12

12

12

122 3 4 5

1

353



• ExEmplo 3:Finalmente, consideremos a função exponencial ex. Tendo em vista que

′( ) = = ( )⇒ ′( ) =

′′( ) = = ( )⇒ ′′( ) =

′′′(

f x dedx

e f

f x d edx

e f

f x

xx

xx

0 1

0 12

2

)) = = ( )⇒ ′′′( ) = −d edx

e fx

x3

3 0 1

.....................................................obtemos a seguinte expansão para a função exponencial:

e x x x x x xn

xn

xn n

n( ) = + + +

⋅+

⋅ ⋅+ + + = +

=

∞

∑1 2 2 3 2 3 41

2 3 4

1

! !

Da expressão acima decorre a série para o valor do número de Napier.

Agora é a sua vez...acesse o ambiente Virtual de aprendizagem

e realize a(s) atividade(s) proposta(s).

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