kuliah 5: turunan tingkat tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.id · buka, mempunyai turunan parsial...

16
Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi Dosen Pengampu: Indah Yanti

Upload: trananh

Post on 13-Mar-2019

271 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi

Dosen Pengampu: Indah Yanti

4.1. Iterasi Turunan Parsial

Contoh 4.1.1

Pandang fungsi 𝑓:ℝ2 → ℝ yang didefinisikan sebagai berikut

𝑓 𝑥, 𝑦 =

𝑥𝑦 𝑥2 − 𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0

0 𝑥, 𝑦 = 0,0

2012 2

TEOREMA 4A

Misalkan fungsi f : A ⟶ℝ, dimana A⊆ℝ2 himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua berulang yang kontinu. Maka

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥

dipenuhi dimanapun A.

3 2012

4.2. Teorema Taylor

Teorema Taylor fungsi satu variabel bernilai riil untuk fungsi mulus adalah

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 +𝑓′′ 𝑥02!

𝑥 − 𝑥02 +⋯+

𝑓 𝑘 𝑥0𝑘!

𝑥 − 𝑥0𝑘

+ 𝑅𝑘 𝑥 Dimana

𝑅𝑘 𝑥 = 𝑥 − 𝑡 𝑘

𝑘!𝑓 𝑘+1 𝑡 d𝑡

𝑥

𝑥0

memenuhi

lim𝑥→𝑥0

𝑅𝑘 𝑥

𝑥 − 𝑥0𝑘 = 0

2012 4

TEOREMA 4B

Misalkan fungsi f : A ⟶ℝ, dimana A⊆ℝ2 himpunan buka, diferensiabel di x0∈A. Maka untuk setiap x∈A, diperoleh

𝑓 𝐱 = 𝑓 𝐱𝟎 + 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖𝐱𝟎 𝑥𝑖 − 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑅1 𝐱

dimana x0 = (X1, ..., Xn) dan

lim𝐱→𝐱𝟎

𝑅1 𝐱

𝐱 − 𝐱𝟎= 0

5 2012

TEOREMA 4C

Misalkan fungsi f : A ⟶ℝ, dimana A⊆ℝ2 himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua berulang yang kontinu. Misalkan x0∈A. Maka untuk setiap x∈A, diperoleh

𝑓 𝐱 = 𝑓 𝐱0 + 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖𝐱0

𝑛

𝑖=1

𝑥𝑖 − 𝑋𝑖

+1

2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗𝐱0

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

𝑥𝑖 − 𝑋𝑖 𝑥𝑗 − 𝑋𝑗 + 𝑅2 𝐱

dimana x0 = (X1, ..., Xn) dan

lim𝐱→𝐱0

𝑅2 𝐱

𝐱 − 𝐱02 = 0

6 2012

DEFINISI

Fungsi kuadrat

𝐇𝑓 𝐱0 𝐱 − 𝐱0 =1

2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗𝐱0

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

𝑥𝑖 − 𝑋𝑖 𝑥𝑗 − 𝑋𝑗

disebut Hessian dari f di x0. Sehingga deret Taylor dapat ditulis dalam bentuk

𝑓 𝐱 = 𝑓 𝐱0 + 𝐃𝑓 𝐱0 𝐱 − 𝐱0 +𝐇𝑓 𝐱0 𝐱 − 𝐱0 + 𝑅2 𝐱

7 2012

4.3. Titik Stasioner

DEFINISI Titik 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 disebut titik stasioner dari 𝑓 jika turunan total 𝐃𝑓 𝐱 = 𝟎 dimana 𝟎 menyatakan matrik nol berukuran 1 × 𝑛.

Titik 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 dikatakan maksimum (lokal) dari 𝑓 jika terdapat neighbourhood U dari 𝐱𝟎 sedemikian sehingga 𝑓 𝐱 ≤ 𝑓 𝐱𝟎 untuk setiap 𝐱 ∈ 𝑈. Titik 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 dikatakan minimum (lokal) dari 𝑓 jika terdapat neighbourhood U dari 𝐱𝟎 sedemikian sehingga 𝑓 𝐱 ≥ 𝑓 𝐱𝟎 untuk setiap 𝐱 ∈ 𝑈. Titik stasioner 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 yang bukan merupakan titik maksimum ataupun minimum disebut titik pelana dari 𝑓.

2012 8

TEOREMA 4D

Misalkan fungsi 𝑓: 𝐴 → ℝ, dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 adalah himpunan buka, diferensiabel. Misalkan 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 adalah titik maksimum atau minimum dari 𝑓. Maka 𝐱𝟎 adalah titik stasioner dari 𝑓.

2012 9

4.5. Ekstrim Bersyarat

TEOREMA 4G. Misalkan fungsi f :A ℝ dan g:A ℝ dimana A ℝn himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu. Misal cℝ ditentukan, dan S = {x A: g(x) = c}. Misalkan juga fungsi fS , batasan dari f ke S, mempunyai maksimum atau minimum di x0S, dan (g)(x0) 0. Maka terdapat bilangan riil sedemikian sehingga (f)(x0) = (g)(x0).

Catatan.

(1) Batasan f untuk S A adalah fungsi fS , :S ℝ,: x ↦ f(x).

(2) Bilangan disebut pengali Lagrange.

(3) (g)(x0) adalah vektor yang ortogonal terhadap S di x0.

10 2012

Ekstrim Bersyarat

Soal. Tentukan jarak dari titik asal (0, 0, 0) ke permukaan 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 3. Solusi.

Fungsi jarak 𝑕:ℝ3 → ℝ: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ↦ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 Kuadrat fungsi jarak 𝑓:ℝ3 → ℝ: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ↦ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Fungsi batas 𝑔:ℝ3 → ℝ: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ↦ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧

Cari: jarak minimal di titik (x, y, z) yang dibatasi oleh fungsi g(x, y, z) = 3.

11 2012

Ekstrim Bersyarat

Solusi. Mencari nilai minimal fungsi f yang dibatasi fungsi g. Dengan menggunakan pengali Lagrange diperoleh (f)(x) = (g)(x) (2x, 2y, 2z) = (1, –2, –2) Selesaikan sistem persamaan (2x, 2y, 2z) = (1, –2, –2) x – 2y – 2z = 3 dan diperoleh =2/3 sehingga (x, y, z) = (1/3, –2/3, –2/3). Nilai 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 1 3 ,− 2 3 , −2 3 = 1. Sehingga jarak dari titik asal ke permukaan x – 2y – 2z = 3 adalah akar dari 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , yaitu sama dengan 1.

12 2012

Ekstrim Bersyarat

Latihan soal. Tentukan volume terbesar kubus yang sisi – sisinya dibatasi oleh elipsoid

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2+𝑧2

𝑐2= 1

Petunjuk: Persamaan kubus [–x, x] [–y, y] [–z, z] Fungsi volume kubus f : ℝ3ℝ : (x, y, z) ↦ 8xyz

13 2012

Perumuman Teorema 4G

TEOREMA 4G.

Misalkan fungsi f :A ℝ dan 𝑔𝑖:A ℝ dimana A ℝn himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu.

Misal 𝑐1, ⋯ , 𝑐𝑘 ∈ ℝ ditentukan, dan 𝑆 = 𝐱 ∈ 𝐴: 𝑔𝑖 𝐱 = 𝑐𝑖 .

Misalkan juga fungsi fS , batasan f untuk S, mempunyai maksimum atau minimum di x0S, dan 𝛻𝑔1 𝐱0 , ⋯ , 𝛻𝑔𝑘 𝐱0 bebas linier atas ℝ.

Maka terdapat bilangan riil 𝜆1, ⋯ , 𝜆𝑘 ∈ ℝ sedemikian sehingga

𝛻𝑓 𝐱0 = 𝜆1 𝛻𝑔1 𝐱0 + ⋯+ 𝜆𝑘 𝛻𝑔𝑘 𝐱0

2012 14

Ekstrim Bersyarat

Latihan soal.

Tentukan jarak dari titik asal ke perpotongan 𝑥𝑦 = 12 dan 𝑥 + 2𝑦 = 0.

Petunjuk:

Kuadrat fungsi jarak

f : ℝ3ℝ : (x, y, z) ↦ x2 + y2 + z2

Fungsi batas

g1 : ℝ3ℝ : (x, y, z) ↦ xy = 12

g2 : ℝ3ℝ : (x, y, z) ↦ x + 2y = 0

15 2012

Soal

SOAL 1.

Tentukan nilai maksimal dari fungsi 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑦 yang dibatasi oleh fungsi 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1.

SOAL 2.

Tentukan titik-titik maksimum dan minimum dari fungsi 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 − 𝑥2 yang dibatasi fungsi 𝑆 = 𝑥, 𝑦 : 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 ≤ 4

2012 16