korekce exponenciální analýzy při posuzování vhodnosti modelu morbidity radim briš, pavel...

REQUEST'06REQUEST'06

Vysoká škola báňská – Vysoká škola báňská – Technická univerzita OstravaTechnická univerzita Ostrava

Fakulta elektrotechniky a informatiky,Fakulta elektrotechniky a informatiky, Katedra aplikované matematiky Katedra aplikované matematiky

Korekce exponenciální analýzy při posuzováníKorekce exponenciální analýzy při posuzování

vhodnosti modelu morbidityvhodnosti modelu morbidity

Radim Briš, Pavel JahodaRadim Briš, Pavel Jahoda


OsnovaOsnova

1.1. Model POSSUMModel POSSUM

• Účel modelu POSSUM Účel modelu POSSUM • Konstrukce modelu POSSUMKonstrukce modelu POSSUM

2.2. Exponenciální analýza pro verifikaci modelu POSSUMExponenciální analýza pro verifikaci modelu POSSUM

• Původní algoritmus exponenciální analýzyPůvodní algoritmus exponenciální analýzy• Modifikovaný algoritmus exponenciální analýzyModifikovaný algoritmus exponenciální analýzy• Aplikace exponenciální analýzyAplikace exponenciální analýzy


1. Model POSSUM1. Model POSSUM

1.1 Účel modelu POSSUM1.1 Účel modelu POSSUM

Motivační úlohou pro vytvoření modelu POSSUM bylo srovnání kvality lékařské péče na různých lékařských pracovištích [3]. Byl proto vytvořen matematický model, který odhaduje pravděpodobnost pooperačních komplikací v závislosti na parametrech fyziologického stavu pacienta a parametrech operačního zákroku jenž podstoupil.



1.2. Konstrukce modelu POSSUM1.2. Konstrukce modelu POSSUM

Lineární multivariantní diskriminanční analýzou bylo v [3] stanoveno12 nezávislých faktorů závažnosti fysiologického stavu a 6

nezávislých faktorů závažnosti operačního výkonu, které se signifikantně podílí na

pooperačnímortalitě a morbiditě. Na základe zjištěných hodnot těchto faktorů je možno každému

pacientovipřiřadit hodnoty tzv. fyziologického skóre PS a operačního skóre

OS.Pokud známe tyto hodnoty a výsledky operačních zákroků u

dostatečnéhopočtu pacientů (tj. zda po operaci došlo, či nedošlo ke komplikacím – morbiditě), pak jsme schopni pomocí logistické regrese [1] vytvořit

modelstanovující riziko morbidity.Stačí znát PS a OS daného pacienta a pomocí vytvořeného modelu

určímepravděpodobnost, že u tohoto pacienta dojde po operaci ke

komplikacím.




Logistickou regresi používáme pro závisle proměnnou veličinu Y , která muže

nabývat hodnot y = 0, nebo y = 1 ([1]). Hodnota Y je rovna 1 v případe, že

sledovaná událost (situace) nastala a v opačném případe Y nabývá hodnoty 0.

Předpokládejme, že hodnota Y závisí na hodnotách x1, . . . , xp nezávislých

proměnných X1, · · · ,Xp. Označme x = (x1, · · · , xp), (x) = E(Y | x) (tj. (x)

představuje střední hodnotu veličiny Y pro libovolné, pevně zvolené x).

Potom (x) můžeme považovat za pravděpodobnost jevu Y = 1.

V našem případě je hodnota y = 1 v případě, že u daného pacienta nastaly po

operaci komplikace a y = 0 v opačném případě. X1 = PS = fyziologické skóre a

X2 = OS = operační skóre.




Závislost (x) (pravděpodobnosti pooperačních komplikací) na hodnotách X1 = PS a X2 = OS předpokládáme ve tvaru

)(

)(

1)(

x

x

xg

g

e

e

kde g(x) = 0+ 1x1 + 2x2, 0, 1, 2 R jsou regresní koeficienty.




Hodnotu pravděpodobnosti pi, že daný, i-tý, pacient bude mít po operaci komplikace, potom určíme ze vztahu

kde PSi a OSi je fyziologické a operační skóre i-tého pacienta.

iOSiPS

ii

e

ep

OSPS

i 210

210

1

(1)(1)




Hodnoty regresních koeficientů 0, 1, 2 R se určují metodou maximální věrohodnosti. Pro dané hodnoty PSi a OSi, i = 1, … , n, hledáme hodnoty 0, 1, 2 R tak, aby funkce

nabyla svého maxima. (yi = 1 v případě, že i-tý pacient měl po operaci komplikace a yi = 0 v opačném případě)

n

i

yi

yi

ii ppL1

1210 )1(),,(


2. Exponenciální analýza2. Exponenciální analýza

2.1. Původní algoritmus exponenciální analýzy2.1. Původní algoritmus exponenciální analýzy

Exponenciální analýzu používáme (spolu s dalšími metodami) k ověření vhodnosti vytvořeného modelu. Snažíme se zjistit, zda matematický model dobře popisuje reálnou situaci.

Myšlenka exponenciální analýzy je jednoduchá. Z množiny všech pacientů vybereme některé její podmnožiny a porovnáme, zda v těchto podmnožinách odpovídají počty předpovídaných komplikací počtům komplikací ke kterým skutečně došlo.




V článku [5] byla exponenciální analýza použita pro srovnání modelem predikovaných a reálných počtů komplikací po cévních operacích. Algoritmus této analýzy můžeme popsat následovně.




1) Máme-li výsledky operací celkem n pacientů, pak každému pacientovi můžeme přiřadit pořadové císlo i {1, . . . , n} a ztotožnit jej s tímto pořadovým číslem. Máme tedy množinu pacientů {1, . . . , n} a zavedeme následující označení

ppii … pravděpodobnost pooperačních komplikací přiřazená pacientovi i.

AA(a(a;;b)b) = i N pi (a,b

nnrr(A)(A) … počet pacientů z množiny A, u nichž se po operaci vyskytly

komplikace

nnpp(A)(A) … počet modelem predikovaných pooperačních komplikací u pacientů

z množiny A.




2) 2) Vytvoříme množiny pacientů podle vypočtených hodnot pi, a to tak, že

začneme od množiny AA11 = A = A(0,9;1)(0,9;1) a určíme hodnotu nr(A1), np(A1) a nakonec vypočteme hodnotu F1 = nr(A1)/np(A1). Poté zvětšíme interval na 80%-100% a vytvoříme tak množinu

pacientů AA22 = A = A(0,8;1)(0,8;1), jejichž pi (0, 8; 1, určíme hodnoty nr(A2), np(A2) a

hodnotu F2 = nr(A2)/np(A2). Obdobně budeme zvětšovat interval dále (samozřejmě

maximálně na 0% - 100%), až po k-tou množinu pacientů AAkk = A = A(1-k.0,1;1)(1-k.0,1;1), dokud je

splněna podmínka

np(A1) ≤ np(A2) ≤ · · · ≤ np(Ak). (2)

Tj. se zvětšováním množiny pacientů nesmí klesat počet predikovaných

komplikací. Určíme hodnoty nr(Aj), np(Aj) a Fj = nr(Aj)/np(Aj), j = 1, … ,k.




3) 3) Pokud by byla porušena výše uvedená podmínka, tzn. nastala by situace

np(A1) ≤ np(A2) ≤ · · · ≤ np(Ak-1) > np(Ak),

pak zvětšování intervalu u k - 1. množiny pacientů Ak-1 = A(1-(k-1).0,1;1) zastavíme a k-tou skupinu pacientů budou tvořit pacienti z množiny AAkk = A = A(0;1-(k-1)0,1)(0;1-(k-1)0,1), k+1 množina bude AAk+1k+1 = A = A(0,1;1-(k-1)0,1)(0,1;1-(k-1)0,1), ... , až dojdeme

k poslední, s-té, množině AAss =A =A(1-k.0,1;1-(k-1)0,1)(1-k.0,1;1-(k-1)0,1).

Také u těchto množin určíme hodnoty nr(Aj), np(Aj) a Fj = nr(Aj)/np(Aj), kde

j= k, … ,s.




4) 4) Vytvořili jsme tak s množin pacientů a u každé j-té množiny, j = 1, · · · , s

určíme hodnoty nr(Aj), np(Aj), Fj = nr(Aj )/np(Aj ) a seřadíme je do tabulky

(hodnoty np(Aj) se zaokrouhlují na celá čísla a pro výpočet Fj se používá

zaokrouhlená hodnota np(Aj)). V prvním sloupci , „Group,” jsou uvedeny

množiny pacientů, konkrétně intervaly v nichž se nachází jejich pi. V druhém

sloupci, „Počet pacientů,” můžeme nalézt, kolik pacientů patří do dané

množiny a ve zbývajících sloupcích jsou hodnoty np(Aj), nr(Aj) a Fj.

5) 5) Je evidentní, že model je vhodný k popisu výskytu morbidity, jestliže

hodnoty Fj , kde j {1, . . . , s} jsou statisticky blízké hodnotě 1 (a v ideálním případě rovny 1).



2.2. Modifikovaný algoritmus exponenciální analýzy2.2. Modifikovaný algoritmus exponenciální analýzy

Myšlenka exponenciální analýzy představuje jednoduchý způsob, jak ověřit

vhodnost modelu. Pokud se však zamyslíme nad výše uvedeným algoritmem

exponenciální analýzy (jak byl popsán v [5]), narazíme na zarážejícískutečnost. Jedná se o to, že je třeba při posloupnosti zvětšování

množiny pacientů sledovat, zda také odpovídající posloupnost

předpovídaných počtů komplikací v těchto množinách je neklesající. Jde o kontrolu

platnosti podmínky (2),

np(A1) ≤ np(A2) ≤ · · · ≤ np(Ak)

(a k porušení této podmínky opravdu někdy docházelo). Ale dobrý model by

měl tuto podmínku automaticky splňovat! A opravdu, v modelu vytvořeném

pomocí logistické regrese problém není. Je jím poměrně hrubý odhad,

používaný v [5] ke stanovení hodnot np(Aj), j = 1, · · · , s, tj. modelem

predikovaných počtů pacientů s komplikacemi v množině Aj .




Jestliže uvažujeme množinu pacientů Aj, jejichž pi (a, b, kde a 0 a patří

do ní celkem nj pacientů, potom

np(Aj) = a.nj (3)

Se zmenšující se délkou intervalu (a, b sice roste přesnost tohoto odhadu

hodnoty np(Aj), ale musíme si uvědomit, že v našem případě je b - a 0, 1.

Interval (a, b je tak pořád ještě dost široký na to, aby při odhadu hodnoty np(Aj) pomocí vztahu (3) mohlo dojít ke značným nepřesnostem.

(V případě a = 0, b < 100 je hodnota np(Aj) dána jako medián hodnot pi

(0, b krát sto a v případě (a, b = (0, 100 určujeme hodnotu np(Aj) jako

součet všech predikovaných komplikací z jednotlivých množin pacientů, ale

tak, aby nebyla jedna a táž predikovaná komplikace započítána vícekrát.)




Jestliže uvažujeme množinu pacientů Aj, jejichž pi (a, b, kde a 0 a patří

do ní celkem nj pacientů, potom

np(Aj) = a.nj (3)

Příklad:Příklad: Nevhodnost vztahu (3) demonstrujeme na jednoduchém příkladě. Předpokládejme, že množina Aj = A(0,3;1) obsahuje celkem n = 11 pacientů, kde jednomu byla stanovena pravděpodobnost komplikací p1 = 50% a zbývajícím desíti pravděpodobnost p2 = 90%. Podle výše uvedeného algoritmu exponenciální analýzy a vztahu (3) odhadujeme, že model předpovídá

np(Aj) = a.nj = 0, 3.11 = 3, 3

komplikací, tzn. po zaokrouhlení celkem 3 komplikace po těchto 11 operacích.




Podle výše uvedeného algoritmu exponenciální analýzy a vztahu (3) odhadujeme, že model předpovídá

np(Aj) = a.nj = 0, 3.11 = 3, 3

komplikací, tzn. po zaokrouhlení celkem 3 komplikace po těchto 11 operacích.

To je ale zjevně hrubá chyba při interpretaci výsledku modelu! Vždyť jen u 10

pacientů model předpověděl pravděpodobnost komplikace 0, 9, a tak model

předpokládá, že z těchto 10 pacientů bude cca 9 mít po operaci komplikace!




Počet komplikací, které model skutečně předpovídá, určíme jednoduše

pomocí věty o úplné pravděpodobnosti pro libovolnou množinu pacientu A.

Jestliže v množině A je n pacientů a P(A) je pravděpodobnost, že náhodně

vybraný pacient z množiny A bude mít komplikace, potom

np(A) = n.P (A).

Jestliže se v této množině A o n pacientech vyskytlo r různých pravděpodobností komplikací p1, · · · , pr a nj je počet pacientů z A s pravděpodobností komplikace pj , pak můžeme psát

r

jjj

jjp npn

npnn

1

r

1j

.A)(




Pokud provedeme přeznačení a každému pacientovi i (pacienty jsme ztotožnili

s jejich pořadovými čísly) z množiny A přiřadíme pravděpodobnost komplikace

pi, pak je zřejmé, že

Aiip pn A)(

Počet predikovaných komplikací v dané množině pacientů tedy určímejako součet pravděpodobností komplikací jednotlivých pacientů této množiny.V takovém případě je již zřejmé, že když pro množiny pacientů platí Ai Aj ,potom np(Ai) np(Aj).Pokud budeme pro stanovení počtu modelem predikovaných komplikací np(A) používat vztah (4) místo vztahu (3), můžeme zjednodušit algoritmus exponenciální analýzy následovně.

(4)




1) 1) Máme-li výsledky operací celkem n pacientů, a modelem stanovené pravděpodobnosti komplikací pi, i = 1, . . . , n pro každého i-tého pacienta, pak vytvoříme množiny pacientů (které ztotožníme s jejich pořadovým číslem)

Aj = A(0;j.0,1) = { i N | pi (0; j.0, 1},

kde j = 1, · · · , 10.


jAiijp pAn )(



2) 2) Určíme hodnoty

nj = (Aj)

modelem predikovaný počet pacientů množiny Aj s

pooperačními komplikacemi (viz. (4)). Pokud nj = 0,

volíme np(Aj) = 0.

skutečný počet pacientů ze skupiny Aj s pooperačními

komplikacemi.

Fj = 1 v případě, že nj = 0.Fj = nr(Aj )/np(Aj ) v případe, že nj 0, nr(Aj) 0 Fj = 1 - np(Aj )/nj v případě, že nj 0, nr(Aj) = 0

)( jr An




3) 3) Zjištěné hodnoty seřadíme do tabulky. Model je vhodný k popisu výskytu

morbidity, jestliže hodnoty Fj , j = 1, · · · , 10 jsou statisticky blízké

hodnotě 1 (a v ideálním případě rovny 1).


),(

),(

1),(

ii

ii

OSPSg

OSPSg

iiie

eOSPSp


2.3. Aplikace exponenciální analýzy2.3. Aplikace exponenciální analýzy

Pro potřeby FN Ostrava-Poruba byl vytvořen model POSSUM popisující

pravděpodobnost komplikací po otevřených operacích kolorekta. Pro

pravděpodobnost pooperační morbidity i-tého pacienta byl logistickou regresí

určen vztah

kde

.0654.OS 0, 08564.PS 0, 75257 2,- )OS,g(PS iiii




Pomocí exponenciální analýzy modifikované výše uvedeným způsobem (a

dalších testů, viz. [1], [6], [7]) byla ověřována vhodnost tohoto modelu

morbidity.Pro srovnání uvedeme výsledky exponenciální analýzy provedené

původním způsobem (tj. s využitím vztahu (3)) a výsledky modifikované

exponenciálníanalýzy (tj. s využitím vztahu (4)).


Group (%)

Aj

Počet pacientů

nj

Ppočet kompl.

nr(Aj)Predikce

np(Aj)Poměr

Fj

0 - 30.00 34 8 27 0,30

10.00 - 30.00 34 8 3 2,67

20.00 - 30.00 34 8 7 1,14

30.00 - 100.00 239 110 72 1,53

40.00 - 100.00 150 75 60 1,25

50.00 - 100.00 73 43 37 1,16

60.00 - 100.00 26 17 16 1,06

70.00 - 100.00 7 5 5 1,00

80.00 - 100.00 0 0 0 nedef.

90.00 - 100.00 0 0 0 nedef.

0.00 - 100.00 274 118 99 1,19

Tabulka 1: Tabulka vytvořená podle původního algoritmu exponenciální analýzy (hodnoty np(Aj) určeny podle vztahu (3)).

Z Tabulky 1 vidíme, že algoritmus exponenciální analýzy popsaný v [5] vyhodnocuje model morbidity jako nepříliš přesný (hodnoty Fj jsou v často relativně vzdálené od jedničky).




Group (%)

Aj

Počet pacientů

nj

Ppočet komplikací

nr(Aj)

Predikce

np(Aj)

Poměr

Fj

(0, 10 0 0 0 1

(0, 20 0 0 0 1

(0, 30 34 8 9,24 0,87

(0, 40 124 43 40,47 1,06

(0, 50 201 75 75,10 1

(0, 60 248 101 100,86 1

(0, 70 267 113 112,90 1

(0, 80 274 118 117,99 1

(0, 90 274 118 117,99 1

(0, 100 274 118 117,99 1

Tabulka 2: Tabulka vytvořená podle modifikovaného algoritmu exponenciální analýzy

Pro ilustraci uvedeme Tabulku 2, která je provedena postupem popsaným v předchozím odstavci. Je vidět, že pokud použijeme vztah (4) pro výpočet np(Aj), pak výsledkem exponenciální analýzy je, že model morbidity poměrně přesně popisuje reálnou situaci.





Exponenciální analýzu je také možné použít pro srovnání použitých operačních metod. Je otázkou, zda laparoskopické operace jsou z hlediska pooperační morbidity srovnatelné s otevřenými operacemi. Odpovědět se pokusíme následujícím způsobem.

Z Tabulky 2 je jasné, že model pravděpodobnosti pooperačních komplikací

(7) je poměrně přesný. Dále víme, že tento model byl vytvořen použitím dat z otevřených operací kolorekta. Aplikujeme proto model (7) na data obdržená při laparoskopických operacích kolorekta (tj. určíme pravděpodobnosti komplikací pro pacienty, kteří podstoupili laparoskopickou operaci) a provedeme poté exponenciální analýzu. Stačí si uvědomit, že hodnoty Fj představují poměr mezi skutečnými a předpovídanými počty komplikací. Ale model předpovídá (a to poměrně přesně) pocty komplikací po otevřených operacích.




Hodnoty Fj tak můžeme chápat jako odhad poměru mezi počty komplikací po laparoskopických operacích a počty komplikací, které by nastaly, pokud by se stejní pacienti operovali otevřeným způsobem.

Pokud exponenciální analýza zřetelně ukáže, že hodnoty Fj jsou (statisticky)

menší, než 1, pak můžeme tento výsledek interpretovat tak, že po laparoskopických operacích dochází u pacientů ke komplikacím méně často, než po operacích otevřených.



Group (%)

Aj

Počet pacientů

nj

Ppočet komplikací

nr(Aj)

Predikce

np(Aj)

Poměr

Fj

(0, 10 0 0 0 1

(0, 20 0 0 0 1

(0, 30 39 5 10,63 0,47

(0, 40 146 31 48,07 0,64

(0, 50 196 46 69,56 0,66

(0, 60 221 58 83,04 0,70

(0, 70 230 63 88.82 0,71

(0, 80 230 63 88,82 0,71

(0, 90 230 63 88,82 0,71

(0, 100 230 63 88,82 0,71

Tabulka 3: Tabulka modifikované exponenciální analýzy pro laparoskopické operace.

Predikované a reálné pocty kom-plikací jsou stejné pouze u prázd-ných množin pacientů. Jinak jsou hodnoty Fj významně menší než 1. To znamená, že po laparoskopic-kých operacích nastalo méně komplikací, než kdyby stejní paci-enti podstoupili otevřenou ope-raci.




LiteraturaLiteratura

[1] Hosmer, D.W., Lemeshow, S.: Applied Logistic Regression, Wiley 2000, ISBN 0-471-35632-8.

[2] Senagore, A.J., Delaney, C.P., Duepree, H.J., Brady, K.M., Fazio, V.W.: Evaluation of POSSUM and P-POSSUM scoring systems in assissing outcome after laparoscopic colectomy. Br. J. Surg.,2003, 90, s.1280-1284.

[3] Copeland, G.P., Jones, D., Walters, M.: POSSUM: a scoring system for surgical audit. Br. J.Surg., 1991, 78, s.356-360.

[4] Prytherch, D.R., Whiteley, M.S., Higgins, B., Weaver, P.C., Prout, W.G., Powell, S.J.:POSSUM and Portsmouth POSSUM for predicting mortality. Physiological and operative severity score for the enumeration of mortality and morbidity. Br. J. Surg.,1998, 85, s.1217-1220.

[5] Wijesinghe, L.D., Mahmood, T., Scott, D.J.A., Berridge, D.C., Kent, P.J., Kester, R.C.: Comparison of POSSUM and the Portsmouth predictor equation for predicting death following vascular surgery. Br. J. Surg., 1998, 85,

s.209-212.[6] Briš, R., Jahoda, P. : Modeling of risk of morbidity after laparoscopic surgeries using

logistic regression., ENBIS 06, talk no. 70, 2006[7] Martínek, L.: Aplikace specializovaných skórovacích systému pro objektivizaci rizik laparoskopických operací kolorekta. Doktorská disertacní práce 2006.


Děkuji za pozornost.Děkuji za pozornost.

korekce exponenciální analýzy při posuzování vhodnosti modelu morbidity radim briš, pavel...

Documents