Kestabilan Lyapunov

Disusun Oleh:Rahardian Radityo / 1410501041 / V SIE

Dosen Pengampu :R. Suryoto Edy Raharjo, S.T. , M.Eng.

Teknik Elektro, Fakultas TeknikUniversitas Tidar

Outline

• Sejarah Singkat• Pengertian• Jenis Metode Lyapunov• Kriteria Kestabilan Lyapunov• Kestabilan Asimtotik

Sejarah Singkat Stabilitas Lyapunov dinamai Aleksandr Lyapunov, seorang ahli matematika Rusia yang menerbitkan bukunya The General Problem of Stability of Motion pada tahun 1892.

Lyapunov adalah yang pertama untuk mempertimbangkan modifikasi yang diperlukan dalam sistem nonlinear dengan teori linear stabilitas berdasarkan linearizing dekat titik keseimbangan. Karyanya, awalnya diterbitkan dalam bahasa Rusia dan kemudian diterjemahkan ke Prancis, mendapat sedikit perhatian selama bertahun-tahun.

Pengertian

• METODE LYAPUNOV ini adalah salah satu jenis metode yang dapat digunakan untuk :

• Menyelidiki kinerja (terutama kestabilan) sistem linier maupun nonlinier , yang : Tak berubah dengan waktu maupun berubah dengan waktu Dengan order rendah maupun order tinggi

• Hanya berlaku bagi sistem nonlinier , dengan sifat nonlinieritas tidak diskontinyu atau mendadak perubahannya

Jenis Metode Lyapunov• Jenis metode Lyapunov ada 2 macam , yaitu :

• Metode Lyapunov-1 : adalah metode yang digunakan untuk menentukan kestabilan sistem , dengan cara melalukan penyelesaian persamaan diferensial nonlinier sistem

• Metode Lyapunov-2 : adalah metode yang digunakan untuk menentukan kestabilan sistem tanpa menyelesaikan persamaan diferensial nonli-nier sistem

• Metode Lyapunov ini tetap dapat digunakan , walaupun metode-metode yang lain gagal untuk menentukan kinerja sistem kontrol

• Hasil yang diperoleh dari penggunaan metode Liapunov diatas , hanya bersifat kuali-tatip saja , yaitu :

• Hanya dapat menentukan sistem stabil atau tidak stabil

Kriteria Kestabilan Lyapunov

Persamaan keadaan untuk sistem nonlinier secara umum dapat ditulis sebagai berikut :

ttutxfx ),(),( dimana untuk sistem mekanik :

waktumassapenggerak gaya

simpangankecepatan

ttutxx

Penyelesaian secara analitis terhadap persamaan diatas jarang sekali dapat dilakukan

Metode Lyapunov-1 adalah :

• Metode dimana persamaan diferensial sistem dinamis dapat diselesaikan

• Kestabilan ataupun ketidak stabilan sistem ditentukan dari hasil penyelesaian persamaan diferensial tadi.

• Pada metode pertama ini Lyapunov tidak menunjukkan bahwa penyelesaian dapat diperoleh dalam bentuk deret

• Untuk menentukan kestabilan sistem dalam bentuk deret dapat digunakan metode Lyapunov kedua

Metode Lyapunov-2 adalah :

• Metode yang didalam menentukan kestabilan adalah tanpa menyelesaikan persamaan diferensial dari persamaan gerak sistem

• Pada metode ini lebih dahulu dibentuk persamaan keadaan untuk sistem dinamis

• Selanjutnya ditentukan jumlah dari energi potensial dan energi kinetik, yang mana sesuai dengan hukum ilmu fisika , yaitu jumlah tersebut adalah konstan

• Jumlah kedua jenis energi tersebut disebut dengan fungsi Lyapunov, yang nilai selalu positif (definit positif) dan merupakan fungsi yang skalar

• Jika turunan fungsi Lyapunov terhadap waktu adalah negatip, maka sistemnya stabil asymptotis (stabil dimana gelombang gejala peralihan semakin lama semakin kecil)

Kestabilan Asimtotik

Keadaan kesetimbangan xedari sistem yang dinyatakan oleh f(xe,t) =0 untuk sembarang t disebut stabil asimptotik jika keadaan tersebut stabil Lyapunov dan setiap kondisi dengan titik awal didalam S(δ) tanpa meninggalkan S(ε), konvergen ke xe dengan membesarnya t menuju tak berhingga.

Kestabilan Asimtotik Global

• Jika keadaan asimptotik berlaku untuk semua keadaan titik awal trayektori, maka keadaan kesetimbangan tersebut stabil asimptotik global. Keadaan kesetimbangan xe dari sistem disebut stabil asimptotik global jika keadaan setimbang tersebut stabil, dan jika setiap jawab konvergen ke xe dengan membesarnya waktu t menunju tak hingga. Syarat yang perlu untuk kestabilan asimptotik global adalah bahwa hanya ada satu keadaan kesetimbangan dalam seluruh keadaan.

Penyajian Diagram Kestabilan dan Ketidakstabilan.

• Gambar: Kondisi yang menggambarkan pergerakan peluru setimbang stabil Terlihat pada gambar, menunjukkan lintasan peluru dari kondisi awal x0 dengan batas keadaan awal S(δ).

• Kondisi setimbang stabil sesuai hukum Lyapunov

Penyajian Diagram Kestabilan dan Ketidakstabilan.

• Kondisi tidak stabil• pergerakan peluru dari kondisi awal x0

menuju keluar dari batas kesetimbangan S(ε) menunjukkan bahwa kondisi setimbang tidak stabil.

SEKIANTERIMA KASIH