kamat És jÁradÉk schiberna endre

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

KAMAT ÉS JÁRADÉKSchiberna Endre

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

A kamat jelentéseA kamat jelentése

• A kamat a tőke használatának az ára, a pénztőkének az értékszaporodása.

• Kifejezi az idő szerepét a gazdasági folyamatokban, és ezért arra használható, hogy egy pénzösszeg értékét átszámoljuk különböző időpontokra.

ElőértékKezdőértékJelenérték (PV)

Végérték

Jövőérték (FV)

IDŐ

KAMATLÁB

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

A kamat alapjellemzőiA kamat alapjellemzői

• A kamatszámításhoz szükség van: – a kamatozó tőkeértékre (PV vagy FV), – a futamidőre (n), és – a kamatlábra (p).

• A kamatláb ha máshogyan nem jelölik, akkor mindig egy évre szól, azaz évente van kamatfizetés.

• Egy évnél rövidebb időszakra a kamatot arányosítva kapjuk meg. Tehát 1 hónapra a kamat p/12, egy napra p/360.

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Egyszerű kamatszámításEgyszerű kamatszámítás

• Egyszerű kamatszámításnak nevezzük, ha egy tőkeértéknek a kamatát olyan feltétel mellett számoljuk ki, amikor a futamidő alatt a kamatozó tőkeérték nem változik.

• Ilyen eset például, ha a futamidő 1 év. Ekkor az összefüggés az alábbi:

FV=PV * (1+p) ahol a kamat mennyisége: PV*p

Ha több éven keresztül a kamatozó tőke változatlan, az évente keletkezett kamat pedig nem kamatozik tovább, akkor a futamidő alatt összegyűlt kamat:

PV*p*n, tehát FV=PV * (1+p*n)

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Példák egyszerű kamatszámításraPéldák egyszerű kamatszámításra

• Megtakarításunkat, mely 100 000 Ft, 1 évre bankbetétbe helyezzük, 5% kamat mellett. Mennyi lesz a megtakarításunk értéke a futamidő végén?

• 100 000 * 1,05 = 105 000 Ft• Egy másik 100 000 Ft megtakarításunkat csak 4

hónapra helyezünk bankbetétbe, azonos kamatláb mellett. Mennyi lesz a megtakarításunk értéke?

• 100 000 * (1 + 0,05 * (4/12)) = 101 667 Ft• Ha ez utóbbit háromszor, azaz egy éven

keresztül megismételjük, és a kamatozó tőke mindig csak 100 000 Ft marad, akkor ugyan oda jutunk, mint az első esetben.

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Időpont Egyszerű kamat Kamatos kamat

0. év PV PV

1. év FV1=PV+PV*p = PV * (1+p) FV1= PV+PV*p = PV * (1+p)

2. év FV2=FV1+PV*p = PV*(1+2p) FV2=FV1*(1+p) = PV * (1+p)2

t. év FVn=PV * (1+n*p) FVn=FVn-1*(1+p)=PV * (1+p)n

Kamatos kamatKamatos kamat

• Kamatos kamatról akkor beszélünk, ha a futamidő végén fizetett kamat a tőkéhez hozzáadódik, és a következő futamidő alatt már mint kamatozó tőke szerepel.

• Ezt más néven úgy nevezzük, hogy a kamat tőkésedik.

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Kamatos kamat jellemzőiKamatos kamat jellemzői

• A kamatos kamat összefüggése tehát:

FV=PV * (1+p)n

• (1+p)n tőkésítési vagy prolongálási tényező• a reciproka, az 1/(1+p)n a diszkontálási tényező

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Példák kamatos kamatszámításraPéldák kamatos kamatszámításra

• Mekkora az év végi követelésünk, ha 100 000 Ft-ot egy évre bankbetétbe helyezünk, egy éves futamidőre, és mennyi, ha ugyanekkora összeget helyezünk el, de 1 hónapos futamidőkre 1 évig? A kamat mindkét esetben 5%.

1) egyszerű kamatozás esetén (a korábbiak alapján):

FV=100 000 * 1,05 = 105 000 Ft

2) kamatos kamat esetén:

FV1hó után =100 000 (1+0,05/12)

FV= 100 000 (1+0,05/12)12= 105 116 Ft• A második esetben mekkora kamat mellett érhettük volna el

ugyanezt az év végi tőkeértéket 1 éves futamidő mellett?

(1+0,05/12)12= 1,05116 => 5,116%

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Példák kamatos kamatszámításraPéldák kamatos kamatszámításra

• Mennyi idő alatt duplázhatjuk meg tőkénket 1%,5%,10%, és 100% kamatláb mellett?

• FV=PV * (1+p)n figyelembe vételével FV/PV = 2 feltételnek kell megfelelni, tehát megoldandó az (1+p)n = 2 egyenlet n-re

• n = log2 / log(1+p)• p=1% n=69,7 év• p=5% n=14,2 év• p=10% n= 7,3 év• p=100% n=1 év (hiszen a 100% kamat duplázódást jelent)

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Példák kamatos kamatraPéldák kamatos kamatra

• Mekkora átlagos tőkenövekményt értünk el az elmúlt tíz év alatt, ha 1996 év elején 100 000 Ft-tal indultunk, 2000-ben év végén 135 432 Ft-tal rendelkeztünk, 2006 végén pedig 143 926 Ft-tal?

FV=PV*(1+p)n alapján

FV10=143 926 Ft;

PV=100 000 Ft;

n=10 év

p=3,7% 0

50 000

100 000

150 000

200 000

250 000

1996 1998 2000 2002 2004 2006

• Mekkora a „reál” tőkenövekmény, ha a kamat 5%, miközben az infláció 2%?

• reál p = (1+p)/(1+i) => 2,9% megközelítőleg (p-i)

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Példák kamatos kamatraPéldák kamatos kamatra

• A szomszéd nem tudja kifizetni a kölcsönkért tartozását, ami 1 000 eFt, de azt ígéri, hogy a vadásztársaságnál rá kisorsolt szarvasbika elejtési lehetőséget – értéke kb. 1 000 eFt – ránk átruházza. Ennek esedékessége kb. 2 év. Pénzügyileg mekkora összeg térül meg, ha a számunkra elérhető legjobb befektetési alternatíva ezen az időtávon 5%-os hozamú?

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

A kamatszámítás lényegeA kamatszámítás lényege

A kamatszámítás lényege, hogy segítségével pénzösszeg, vagy

tőke értékét számolhatjuk át különböző időpontok között.

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

JáradékszámításJáradékszámítás

• A járadékok szabályos időközökben esedékes, azonos nagyságú pénzösszegek, amelyek valamilyen tőkeérték hozamaként keletkeznek.

• A kifizetésekre a tőke kamatai és esetenként maga a tőke nyújt fedezetet. Ha a kifizetések nem haladják meg a kamatot, akkor a tőke növekszik, ha igen, akkor egy idő után elfogy.

• Hasonló jellegű, de ellentétes pénzáramlás a törlesztés.• Az egyes összegeket járadéktagnak, vagy törlesztő

részletnek nevezzük. (csak nézőpont kérdése)• Az egyes összegek esedékessége közötti idő a járadéki

időszak.• A járadékszámítás feladata, hogy meghatározza a futamidő

alatti járadékok valamely időpontra átszámított értékét. Ez lehet PV vagy FV.

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Járadékok alapeseteiJáradékok alapesetei

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Éves időleges járadékÉves időleges járadék

Ez egy mértani sor, amelynek az összegző képletének felhasználásával és egyszerűsítésekkel:

...0. 1. 2. n-1 n

R R R R

PV1

PV2

PVn-1

PVn

(1+p)n

ΣPVi = PV

1

(1+p)n-1

1

(1+p)n - 1PV=----------------* R p * (1+p)n

(1+p)n - 1FV=----------------* R p

Olyan járadéksorozat, amelyben a járadéktagok kifizetésével a kezdő tőke (PV) a futamidő végére elfogy.

(1+p)n

(1+p)n

1

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Példák éves időleges járadékraPéldák éves időleges járadékra

• Egy világkörüli útra gyűjtünk, ami 3 millió Ft. Évente 500 000 Ft-ot félre tudunk tenni, 9% kamat mellett. Legalább hány évig kell gyűjteni?

• Ha nem lennének kamatok, akkor ez 6 évbe kerülne, kamatokkal azonban csaknem 5 év is elég.

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

• Egy vadászterület tulajdonosi közössége – tanulva a korábbi évek tapasztalataiból – az új bérleti szerződéseket olyan feltétellel szeretné megkötni, hogy a felek által elfogadott 380 Ft/ha éves bérleti díjat egy összegben kéri a szerződéskötéskor. A tulajdonosok által elfogadható kamatláb: 6%. Mennyi lesz az egy összegben fizetendő bérleti díj hektáronként?


• PV= 2 797 Ft/ha

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK


• Egy erdőterület évente átlagosan hektáronként 1000 Ft tiszta jövedelmet szolgáltat tulajdonosának. Mekkora egyösszegű díj egyenértékű az elkövetkező 10 év várható jövedelmeivel hektáronként MOST, ha a mértékadó kamatláb 5%?

• Több vagy kevesebb?• PV=7 722 Ft/ha

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK


• 5 millió Ft lakáscélú kölcsönt veszünk fel 10 évre 7,5% kamat mellett. Mennyi lesz a havi törlesztő részlet?

• A havi törlesztő részlethez ki kell számolni a havi kamatot: 7,5%/12= 0,625%

• Ezzel a kamattal és a 120 havi futamidővel ki kell számolni az R törlesztő részletet a PV=5 millió Ft ismeretében.

• R=59 350 Ft

• Ha ez egy deviza alapú hitel, és az árfolyam 10%-ot esik, azaz ezután nem 59 350, hanem 65 285 Ft a törlesztő részlet, akkor ez visszaszámolva mekkora kamatot jelent? (iteráció)

• ..\..\termeszetvedelem\kamat.xls

• Ekkor a fizetett kamat értéke 9,7%, tehát a törlesztő részlet 10%-os változása nem jelenti a kamat 10%pontos változását, és fordítva sem!

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK


• Mekkora lesz annak a hitelnek a törlesztő részlete, amelyet a vadásztársaság a vadászterület bérletének indulásakor vesz fel a vadászati berendezések felépítésére. Összege 3 millió Ft, kamata 8,5%. Havonta kell törleszteni 10 évig, a bérleti szerződés végéig.

• R=37,2 eFt

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Éves örökös járadékÉves örökös járadék

• Az időleges speciális esete, amikor n=∞• PV az előbbi lim n→∞ határhelyzetbe hozásával

adódik. (1+p)n 1 = R*------------- - --------------- p * (1+p)n p * (1+p)n

(1+p)n - 1PV=R*---------------- p * (1+p)n

1PV=R*------ p

FV: nem értelmezhető

• A fentiek alapján R nem lehet nagyobb, mint az éves kamat, máskülönben az indulótőke (PV) elfogyna valamikor.

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Példák éves örökös járadékraPéldák éves örökös járadékra

• Egy barátunk kölcsön kért 10 000 Ft-ot, és az örök barátság jegyében megállapodunk, hogy minden évben fizetni fogja évente egy alkalommal 500 Ft értékű kisfröccsözéssel.

• Mekkora pénzügyi érték térül meg 2% kamatláb mellett, ha 5,15, 25, 35, év múlva felejtjük el a dolgot, és mekkora összeg megtérülésére számíthatunk, ha felmenőink is megtartják e szokást?

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

5 25 45 65 85 105

125

145

165

185

205

5 2 357 Ft

15 6 425 Ft

25 9 762 Ft

35 12 499 Ft

Örök barátság esetén 25 000 Ft

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Korszaki időleges járadékKorszaki időleges járadék

• Abban az éves járadéktól, hogy nem minden évben van kifizetés, emiatt a képletek levezetésénél a több évente jelentkező R járadéktagokat át kell számolni az éves időleges járadék képletével éves járadéktagokra, és ezt az új járadéktagot kell behelyettesíteni a korábbi képletekbe.

(1+p)m*n - 1FV=R*---------------- (1+p)m-1

(1+p)n*m - 1PV= R*------------------------ ((1+p)m-1) * (1+p)n*m

(1+p)n*m

(1+p)n*m

1

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Példák korszaki időleges járadékraPéldák korszaki időleges járadékra

Egy vadásztársaság új, vadaskertet épített. A berendezések javítási és pótlási költségeire a VT tartalékot szeretne elkülöníteni. Mekkora összeget kell félretenni, ha várhatóan a létesítést követő 7. évben kell először javításra pénzt fordítani, és azt követően minden harmadik évben lesz csak szükség nagyobb ráfordításokra. Ezek összege kb. 200 000 Ft. A vadaskert élettartama 20 év, ezt követően teljesen újat kell építeni. Mekkora tartalékot kell képezni, hogy 5%-os kamat mellett a tartalékolt pénz elegendő legyen az egész élettartam alatt felmerülő javításokra.• PV4 = 658,5 eFt

• PV0 = 541,8 eFt

• FV19 = 1 369,0 eFt

• PV0 = 541,8 eFt

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Példák korszaki időleges járadékraPéldák korszaki időleges járadékra

• Egy díszítőgally termelésére szolgáló ültetvény 5 éves korában szolgáltat először hozamot, majd azt követően minden második évben 100 eFt értékben, egészen 15 éves koráig. Mekkora az ültetvény hozamainak értéke a létesítés időpontjában, ha a mértékadó kamatláb 5%?

• PV3 =432,5 eFt

• PV0 =373,6 eFt

Vagy

• PV15 =776,7 eFt

• PV0 =373,6 eFt

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Korszaki örökös járadékKorszaki örökös járadék

• Ugyanúgy járunk el, mint az éves örökös járadék esetében, de itt a korszakra eső kamatnak kell fedeznie a járadéktagot.

1PV=R*---------- (1+p)m-1

FV: nem értelmezhető

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

Példák korszaki örökös járadékraPéldák korszaki örökös járadékra

• Hasonlítsuk össze 1ha területű szántó, tölgy erdő és akác erdő jelenértékét!

• Ismert, hogy a szántó évente 20eFt, egy tölgy erdő 100 évente 2millió Ft, egy akác erdő 35 évente 400ezer Ft tiszta jövedelmet hajt. A kamat 3%.

• Mivel feltételezzük a jelenlegi művelés tartós (örökös) fennmaradását, az éves, illetve a korszaki örökös járadék képleteit kell használni.

• szántó: 20eFt / 0,03 = 667 eFt/ha• tölgy erdő: 2000eFt / (1,03100-1) = 110 eFt/ha• akác erdő: 400eFt / (1,0335-1) = 221 eFt/ha

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK A járadék

fajtája Végértéke Kezdőértéke

Időleges Éves (1+p)n - 1

FV=----------------* R

p

(1+p)n - 1

PV= ----------------* R

p * (1+p)n

Korszaki (1+p)mn - 1

FV=----------------* R

(1+p)m-1

(1+p)nm - 1

PV= -----------------------* R

((1+p)m-1) * (1+p)nm

Örökös Éves 1

PV= -----* R

p

korszaki 1

PV= ----------------* R

(1+p)m-1

KA

MA

T É

S J

ÁR

AD

ÉK

A járadékszámítás lényegeA járadékszámítás lényege

A járadékszámítás lényege, hogy segítségével a járadékok értékét

határozhatjuk meg a futamidő elejére, vagy végére.

PV FV

R

1Df = -------- (1+p)n

p * (1+p)n

Af = ----------------- (1+p%)n - 1

(1+p)n- 1 1----------------- = --------- p% Af * Df

kamat És jÁradÉk schiberna endre

Documents