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por:

Jos Beltrn Jimnez

Dirigido por:

Alfredo Luis Aina

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NDICE

Introduccin 2 1.- Campo electromagntico cuntico 4 1.1.- Cuantizacin del campo electromagntico. Estados nmero 4 1.2.- Estados coherentes 7 1.3.- Estados coherentes comprimidos 8 1.4.- Transformaciones 10 2.- Ruido cuntico en interfermetros lineales 12 2.1.- Divisor de haz 12 2.2.- Deteccin homodyna 13 2.3.- Precisin en la medida 14 2.4.- Precisin bajo iluminacin coherente 15 2.5.- Precisin bajo iluminacin comprimida y lmite de Heisenberg 17 3.- Efecto de la eficiencia cuntica en interfermetros lineales 19 3.1.- Eficiencia cuntica 19 3.2.- Efecto con iluminacin coherente comprimida 20 4.- Ruido cuntico en interfermetros no lineales 24 4.1.- Dependencia del ruido con el generador de las transformaciones 24 5.- Efecto de la eficiencia cuntica en interfermetros no lineales superando el lmite de Heisenberg 26 Conclusin 28 Apndice A: Relacin de indeterminacin 29 Bibliografa 30

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INTRODUCCIN

Habitualmente, en los experimentos interferomtricos que se realizan con el fin de hacer mediciones de alguna magnitud fsica (generalmente una diferencia de fase) no se tienen en cuenta los efectos que produce el hecho de tener unos recursos energticos finitos. Formalmente estos efectos pueden resumirse en las relaciones de incertidumbre energa-tiempo o amplitud-fase que sugieren que la incertidumbre en fase es inversamente proporcional al nmero de fotones, lo que se conoce como lmite de Heisenberg. En los anlisis ms usuales se considera que operamos con un nmero de fotones infinito, de modo que los efectos en la precisin que introduce el principio de incertidumbre de Heisenberg se desprecian frente a otras fuentes de error que, normalmente, son mucho ms significativas. Sin embargo, los recursos energticos disponibles en todo experimento son finitos, por lo que sera apropiado estudiar los efectos cunticos que produce la finitud del nmero de fotones disponible. Adems, las mejoras desarrolladas en las tcnicas de medicin recientes proporcionan medidas cada vez ms precisas y los efectos cunticos en las incertidumbres de las mismas deben empezarse a tener en cuenta. El objetivo de este trabajo es estudiar la dependencia en la precisin de la medida interferomtrica de algn parmetro (relacionado con alguna magnitud fsica) con el nmero de fotones empleado en la medida. En particular, se estudiar dicho efecto para detectores homodynos, tanto ideales como considerando la eficiencia cuntica menor de uno de los detectores empleados en la prctica. El estudio de la deteccin de eficiencias cunticas menores que uno (es decir que el detector no registra todos los fotones incidentes) es interesante puesto que tienden a empeorar la precisin en la medida ya que influye en la estadstica del proceso de medicin al ser la deteccin o no de cada fotn un proceso aleatorio. En el primer captulo se procede a la cuantizacin del campo electromagntico clsico, que es lo primero que necesitamos si queremos estudiar efectos cunticos. Para ello, se partir de las ecuaciones de Maxwell que describen el campo electromagntico clsico y se deducir la ecuacin de ondas que satisface el potencial vector. Posteriormente, se desarrolla el campo en modos normales (en serie de Fourier) con lo que se obtiene que el Hamiltoniano del campo se reduce a una suma de Hamiltonianos de osciladores armnicos independientes. De este modo resulta muy fcil proceder a la cuantizacin del campo, ya que la cuantizacin de un oscilador armnico es bien conocida. En la cuantizacin del campo se hace la identificacin de las amplitudes complejas con operadores que cumplen reglas de conmutacin bosnicas y que se pueden descomponer en los operadores cuadratura, que no son ms que las partes real e imaginaria de los operadores amplitud compleja. Estos operadores cuadratura sern de suma importancia en este trabajo, ya que sern los que finalmente podrn medirse con la deteccin homodyna. Tambin se presentan en el primer captulo los estados de luz que sern utilizados posteriormente: los estados nmero, coherentes y coherentes comprimidos, as como sus principales propiedades. As mismo, en el captulo uno, se recordarn aspectos fundamentales de las transformaciones de estados cunticos, ya que la operacin de un interfermetro sobre un estado de luz incidente puede tratarse como la aplicacin de una cierta transformacin sobre dicho estado. Las transformaciones utilizadas dependern de un parmetro. En el contexto de este trabajo el parmetro de la transformacin tiene un valor desconocido siendo el objetivo de la medida realizada el inferir su valor. Se establecer una divisin entre dos tipos fundamentales de interfermetros (o transformaciones), a saber, los interfermetros lineales, en los que las amplitudes complejas emergentes se relacionan de forma lineal con las incidentes, y los interfermetros no lineales, en los que dicha relacin es no lineal. En el segundo captulo se estudiar el efecto que produce el ruido cuntico en los interfermetros lineales. Para ello, lo primero que se har ser presentar el elemento fundamental del interfermetro que se utilizar: el divisor de haz. Se expondrn sus principales caractersticas y su modo de operar sobre los estados incidentes y, posteriormente, se utilizar para construir un detector sencillo: el detector homodyno. Durante todo el trabajo se supondr que las ondas incidentes sern monocromticas. A continuacin se proceder al clculo de la precisin en la medida del parmetro de la transformacin (que ser un cambio de fase), suponiendo que la seal que esperamos es muy pequea, como es el caso habitual en la prctica. Finalmente, se aplicarn los resultados obtenidos a los casos de iluminacin

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coherente y coherente comprimida. Se comprobar cmo el lmite de Heisenberg nicamente es alcanzable con estados coherentes comprimidos. Una vez estudiado el efecto del ruido cuntico sobre la precisin de la medida se proceder a estudiar la influencia de considerar que los detectores empleados no tienen una eficiencia cuntica igual a la unidad. Esto se hace en el captulo 3. Se presenta el concepto de eficiencia cuntica y se expone un montaje que simula la ineficiencia cuntica de los detectores a partir de divisores de haz antepuestos a detectores ideales. As, se implementa un modo sencillo de estudiar los efectos de la eficiencia cuntica sobre la precisin en la medida. Se comprobar cmo la precisin empeora con respecto a detectores ideales de modo que en el caso de ineficiencia cuntica no es posible alcanzar el lmite de Heisenberg, ni siquiera con estados coherentes comprimidos. Una vez estudiados los interfermetros lineales se proceder al estudio de interfermetros no lineales. En este caso, el parmetro de la transformacin no ser necesariamente un cambio de fase, pero podr relacionarse con algn parmetro fsico (longitud, ndice de refraccin, etc.), que ser el objeto de la medida. En el cuarto captulo se hace un anlisis del efecto del ruido cuntico cuando se considera que la transformacin es de tipo cuadrtico en el operador nmero de fotones (que es una transformacin no lineal). En primer lugar se ver de forma general cmo depende la precisin en la medida del generador de la transformacin que produce el interfermetro. Se obtendr que la incertidumbre en la medida del parmetro ser mayor o igual que la inversa de la incertidumbre en el generador de la transformacin. En el caso de que el generador sea el operador nmero se obtiene el lmite de Heisenberg, pero si el generador es cuadrtico en dicho operador aparece la posibilidad de superar dicho lmite. En el ltimo captulo de este trabajo se comprobar explcitamente que con los interfermetros no lineales puede superarse el lmite de Heisenberg. Finalmente, se estudiar el efecto de la eficiencia cuntica en interfermetros no lineales. Para simplificar el clculo se utilizar iluminacin coherente, que es ms fcil de tratar debido a que los estados coherentes son autoestados del operador amplitud compleja. El resultado final que se obtiene es una dependencia de la incertidumbre con el nmero de fotones de la forma n-3/2, lo cual constituye una clara superacin del lmite de Heisenberg, incluso para eficiencias cuntica menores que la unidad. El clculo se hace con estados coherentes, lo que sugiere que dicho resultado podra mejorarse empleando estados coherentes comprimidos. No obstante, los estados coherentes son ms estables que los estados comprimidos frente a las imperfecciones de los detectores (como se ver a lo largo del trabajo), por lo que su uso es ms cmodo y eficaz.

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1.-CAMPO ELECTROMAGNTICO CUNTICO 1.1.-Cuantizacin del Campo Electromagntico. Estados nmero. El mtodo que se utiliza usualmente para cuantizar el campo electromagntico se basa en descomponer a ste en osciladores armnicos, hecho lo cual resulta inmediata la cuantizacin sin ms que utilizar la conocida cuantizacin del oscilador armnico. Un punto de partida conveniente son las ecuaciones de Maxwell clsicas en el espacio libre:

(1.1.1)

t

t

==

==

DHD

BEB

0

0

donde B = 0H, D = 0E y 0 y 0 son la permeabilidad magntica y permitividad elctrica en el vaco respectivamente, que cumplen 0 0 = c-2. Si no hay fuentes presentes, las ecuaciones de Maxwell son invariantes gauge, es decir, los potenciales escalar (r, t) y vector A (r, t) de los que se derivan los campos estn determinados salvo una derivada total con respecto al tiempo el potencial escalar y salvo un gradiente el potencial vector1. En los problemas de ptica cuntica es conveniente elegir el gauge de Coulomb, en el cual la divergencia del potencial vector es nula. En este gauge, los campos E y B estn determinados por el potencial vector como sigue:

(1.1.2)

t

=

=AE

AB

con la condicin del gauge de Coulomb: (1.1.3)

A = 0. Sustituyendo los valores de B y E en funcin del potencial vector en la ltima ecuacin de Maxwell (1.1.1) y teniendo en cuenta (1.1.3) se encuentra que el potencial vector debe cumplir la siguiente ecuacin de ondas:

(1.1.4)

2

2

22 ),(1),(

tt

ct

= rArA .

Por sencillez podemos considerar la solucin de esta ecuacin en un volumen finito del espacio V desarrollando A(r, t) en serie de Fourier:

(1.1.5)

+= k

kkk

kkkk rururA titi ecect )(**)(),( .

Introduciendo esta expresin en la ecuacin de ondas (1.1.4) se llega a una ecuacin de Helmholtz para el conjunto de funciones vectoriales uk (r) como la siguiente:

(1.1.6)

0)(22

2=

+ rukkc .

Los modos uk (r) tambin deben satisfacer la condicin de transversalidad impuesta por (1.1.3):

(1.1.7) uk (r) = 0.

1 En el lenguaje de la formulacin relativista del campo esta condicin se expresa diciendo que el cuadripotencial est definido salvo el cuadrigradiente de una funcin escalar arbitraria. La cantidad conservada asociada a la invariancia gauge, segn el teorema de Noether, es la carga elctrica.

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Adems, estos modos forman un conjunto ortonormal completo: (1.1.8)

kk'kkuu =V dV* ' .

La solucin de la ecuacin est sujeta a las condiciones de contorno impuestas sobre el volumen considerado. Supondremos condiciones peridicas para discutir ondas viajeras en lugar de ondas estacionarias. Para una onda plana en dicho volumen, los modos se expresan de la siguiente forma:

(1.1.9) kr

k ruie

V)( )(1 = ,

siendo ( ) el vector de polarizacin, que es unitario. El ndice puede tomar los valores 1 2, es decir, hay dos polarizaciones posibles2. Las condiciones de contorno peridicas imponen a las componentes del vector de onda las siguientes restricciones:

(1.1.10)

L,2,1,0,,siendo222 ==== zyxzz

zyy

yxx

x nnnnLkn

Lkn

Lk .

La condicin de transversalidad (1.1.7) impone que el vector de polarizacin sea perpendicular al vector de ondas y la ecuacin (1.1.6) que:

2

22

ckk = .

Con vistas a la cuantificacin expresamos (1.1.5) en la forma:

(1.1.11)

( ) += k

kkkkk

kk rururA titi eaeat

)(**)(2

),(0

h ,

donde ak son constantes adimensionales que representan la amplitud compleja del modo correspondiente. El campo elctrico que proporciona este potencial vector se calcula de forma inmediata:

(1.1.12)

( ) = k

kkkkk kk rururE titi eaeait

)(**)(2

),(0

h .

Clsicamente, estas amplitudes de Fourier son nmeros complejos. La cuantizacin del campo va acompaada de la eleccin de estas amplitudes como operadores mutuamente adjuntos con la identificacin a*k a+k y los estados de luz son los vectores en el espacio de Hilbert en el que actan estos operadores. En las subsecciones siguientes se presentan los estados de luz relevantes para este trabajo: los estados nmero o de Fock, coherentes y comprimidos. Como los fotones son partculas de espn 1 la eleccin de las reglas de conmutacin debe hacerse de acuerdo a las reglas bosnicas:

(1.1.13) [ ] [ ] [ ] kk'k'kk'kk'k === +++ aaaaaa ,0,, .

As, las propiedades dinmicas del campo pueden describirse como un conjunto de osciladores armnicos independientes que obedecen las reglas de conmutacin (1.1.13). Esto se ve claramente expresando el Hamiltoniano del campo. Dicho Hamiltoniano viene dado por:

(1.1.14)

( ) += V dVH 202021 HE . 2 El hecho de que la polarizacin del campo venga dada por un vector indica que la partcula cuntica asociada (el fotn) tiene espn 1. As, en el caso del campo gravitatorio la polarizacin se describe por un tensor de segundo orden, lo que indica que el gravitn tiene espn igual a 2.

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Introduciendo aqu la expresin de E obtenida y la anloga para B y haciendo uso de las condiciones (1.1.7) y (1.1.8) se llega a la siguiente expresin para el hamiltoniano:

(1.1.15)

+= +k kkk 21aaH h ,

que es la suma de Hamiltonianos de osciladores armnicos independientes.

Los autovalores de cada uno de estos Hamiltonianos son conocidos y vienen dados por: (1.1.16)

+=

21

, kkk nEn h ,

con nk = 0, 1, 2,.Esta expresin puede interpretarse como la excitacin de nk fotones de energa k cada uno ms la energa del vaco k/2. Cabe destacar que la energa del vaco calculada sumando para todos los modos es infinita. Sin embargo, lo importante para nosotros es la medicin de diferencias de intensidades, por lo que podemos considerar que todos los procesos ocurren en una mar del vaco, siendo detectables slo las variaciones con respecto a ese fondo, como se pone de manifiesto en el efecto Casimir3. Matemticamente, esta dificultad puede solventarse tomando como origen de energas dicha energa del vaco. A partir de ahora y por sencillez se considerar que slo hay un modo excitado, con lo cual la suma en modos y los subndices k desaparecen.

Comparando (1.1.16) y (1.1.15) resulta natural llamar al operador a+a operador nmero de fotones ya que sus autovalores son precisamente n, que se ha identificado con el nmero de fotones existente. Los autovectores del operador nmero de fotones son los llamados estados nmero o estados Fock:

(1.1.17) a+a n = n n .

Los estados nmero son ortonormales y forman un conjunto completo del espacio de Hilbert asociado. A partir de las relaciones de conmutacin (1.1.13) se tiene que la accin de los operadores a y a+ sobre los estados nmero es:

(1.1.18) 11 ++=+ nnna 1= nnna ,

por lo que es natural llamarlos operador creacin y destruccin respectivamente. El estado de vaco se define como aqul que cumple:

(1.1.19) 00 =a

y, a partir de l, es posible crear todos los estados excitados sin ms que aplicar reiteradamente el operador creacin, siendo vlida la siguiente expresin:

(1.1.20)

0!)(

nan

n+= .

Por ser los operadores creacin y destruccin complejos, se puede hacer una descomposicin en sus partes real e imaginaria:

(1.1.21) iYXa += . iYXa =+

Los operadores X e Y son los llamados operadores cuadratura4 y pueden despejarse de (1.1.21), resultando:

3 En el efecto Casimir se observa la aparicin de una fuerza entre dos placas metlicas muy prximas debido a la diferencia de estados posibles entre el espacio comprendido entre las placas y el exterior de las mismas. 4 Ntese que estos operadores son Hermticos, por lo que sus autovalores son reales, como se comprueba en (1.1.22).

8

(1.1.22)

( )++= aaX21 ( )aai = +

2Y .

La regla de conmutacin entre estos operadores cuadratura es la siguiente:

(1.1.23)

2],[ iYX =

y da lugar a la relacin de indeterminacin: (1.1.24)

41

YX ,

donde, como de costumbre, (A)2 = A2 - A2

Es til expresar el operador nmero en funcin de los operadores cuadratura:

(1.1.25)

2122

+=+ YXaa .

1.2.-Estados coherentes Consideremos el operador (X +iY), siendo un nmero real, y planteemos la ecuacin de autovalores correspondiente:

(1.2.1) ( ) ( )[ ] 0=+ YYiXX .

Los autovectores que satisfacen dicha ecuacin son los llamados estados de incertidumbre mnima, ya que, para ellos, se satisface5:

(1.2.2)

2

=X 2

1=Y ,

alcanzndose as la igualdad en (1.1.24). Si = 1 las dos incertidumbres coinciden y son iguales a . Los estados que cumplen esta condicin son los estados coherentes y, para ellos, la ecuacin de autovalores se reduce a6:

(1.2.3) =a + =a ,

es decir, son autoestados del operador destruccin. Puede comprobarse que el estado de vaco definido anteriormente por medio de (1.1.19) cumple la condicin de estado coherente. Luego, el estado de vaco es a la vez estado nmero y estado coherente. Como ya se mencion anteriormente, los estados nmero forman un conjunto completo de vectores, por lo que podemos expresar los estados coherentes como combinacin lineal de los estados nmeros. Dicho desarrollo es el siguiente:

(1.2.4)

=

=

0

2/

!

2

n

nn

ne .

5 Vase Apndice A. 6 Es usual denotar a los estados coherentes por .

9

A partir de este desarrollo es posible calcular el producto escalar de dos estados coherentes:

+=

=

=

=

'

'2/)'(

0

2/

0'

'2/' '

!'!'*

!'

!''*'

2222

n n

nn

n

n

n

nnn

nnen

nen

ne .

Utilizando que los estado nmero son ortonormales n' n = nn' se obtiene finalmente:

(1.2.5) 22222 '2'*2/)'(2/)'( '

!'*)(' ++ === eeene n

n.

Como esta expresin es distinta de cero, los estados coherentes no son ortogonales. De hecho, los estados coherentes son ms de los necesarios para construir una base completa del espacio de Hilbert. Esto permite desarrollar un estado coherente como suma del resto de estados coherentes. Ntese, sin embargo, que si = ', el producto escalar es igual a 1, es decir, los estados coherentes estn normalizados. Adems, para ' - >>1 los estados coherentes tienden a ser ortonormales, ya que el mdulo de su producto escalar tiende a cero exponencialmente.

El valor medio del nmero de fotones en un estado coherente es: (1.2.6)

2* ==+aa , donde se han tenido en cuenta las relaciones (1.2.3) y que los estados coherente estn normalizados.

A continuacin se calcular la incertidumbre en el nmero de fotones en un estado coherente. Para ello es necesario calcular el valor medio del cuadrado del operador nmero de fotones:

[ ] ( )2222 1,*)( +=+=== ++++++ aaaaaaaaaaaa . Por lo tanto, la incertidumbre del nmero de fotones en un estado coherente ser:

(1.2.7)

== +++22)()( aaaaaa .

La probabilidad de encontrar n fotones en un estado coherente viene dada por:

(1.2.8)

!!)(

222

nen

ne

nnPnnn

===

,

donde n = 2, como se ha demostrado ms arriba. La expresin obtenida es una distribucin de Poisson centrada en n y de anchura n1/2. 1.3.-Estados coherentes comprimidos Los estados que cumplen la ecuacin de autovalores (1.2.1) con 1 se denominan estados coherentes comprimidos. Esta denominacin se debe a que las incertidumbres en las cuadraturas ya no son iguales, estando la fluctuacin en una de las cuadraturas comprimida con respecto a la otra. Una propiedad muy importante de los estados comprimidos es que tienen fluctuaciones en una de las cuadraturas menores que las fluctuaciones del vaco (vase figura). En efecto, recordando que el vaco es un estado coherente tiene una fluctuacin correspondiente a la de un estado coherente que es mayor que la correspondiente a una de las cuadraturas de un estado comprimido. La idea de que exista un estado de luz con fluctuacin menor que la del vaco es inconcebible en el marco de la mecnica clsica, por lo que los estados comprimidos son estados de luz puramente cunticos.

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Lser

Controlador de la fase

Oscilador local

Detector homodyno Fase del oscilador local Generador de estados comprimidos

Analizador

Algoritmo de reconstruccin

Analizador estadstico

Matriz densidad

Fase del oscilador local

En la figura de la izquierda se muestra el diagrama del dispositivo utilizado para la medida de las cuadraturas ii eaaeX ++ de un estado comprimido donde es la fase del oscilador local. A la derecha, en (a) se

representan los resultados de un nmero elevado de medidas para varias fases del oscilador local pudindose observar como las fluctuaciones son mayores o menores dependiendo de la cuadratura medida. En (b) est representada la varianza de la distribucin de la cuadratura para 128 fases de osciladores locales derivadas de los datos de (a) junto con la curva terica. La lnea horizontal representa las fluctuaciones del vaco. La figura se ha reproducido a partir de S. Schiller, G. Breitenbach, S. F. Pereira, T. Mller, y J. Mlynek, Phys. Rev. Lett. Vol. 77 p. 2933 (1996).

efinido como e ple el estado sto se compru = 0 y teniend o son simult

El valor medio del nmero de fotones en un estado coherente comprimido es:

21

21 2222

+=+=+ YXYXaa , donde se ha tenido en cuenta (1.1.25). Utilizando ahora que X 2 = (X)2 + X2, con (X)2 = /4 y, anlogamente para Y: Y 2 = (Y)2 + Y2 , con (Y)2 = 1/(4), resulta finalmente para el valor medio del nmero de fotones:

(1.3.1)

21

41

422

+++=+

YXaa .

Ntese que en un estado cohsuma de los cuadrados de los valores m(1.3.1)). Por tanto, estos primeros trparte coherente y el resto de trminos c Mientras que un estado cohecrculo, indicando que la incertidumbrrepresentado por una elipse cuyo eje mfigura). Un ejemplo interesante de estado comprimido es el estado de vaco comprimido 0 d

l estado que cumple (1.2.1) con 1 y con = 0. De la ecuacin de autovalores que cumde vaco comprimido se deduce que: X = Y = 0, al igual que en el vaco normal. Eeba multiplicando por el bra 0 la ecuacin de autovalores (1.2.1) con = 0 y o en cuenta que un nmero complejo es nulo si sus partes real e imaginaria lneamente. erente ( =1), el valor medio del nmero de fotones es igual a la edios de los operadores cuadratura (los dos primeros trminos de

minos de (1.3.1) pueden interpretarse como la contribucin de la orresponde a la parte comprimida.

rente se representa en el plano de amplitudes complejas por un e en las dos cuadraturas son iguales, un estado comprimido viene enor se dirige a lo largo del eje de la cuadratura comprimida (ver

11

Y Y X X

En la figura de la izquierda se muestra un estado coherente con X = 0, por lo que est representado por un crculo sobre el eje Y. A la derecha se muestra un estado comprimido en la cuadratura X.

1.4.- Transformaciones En este trabajo estamos interesados en la precisin mxima alcanzable en la deteccin del cambio de un estado de luz producida por la variacin de algn parmetro. Por ello, en esta subseccin recordamos conceptos bsicos de las transformaciones de estados de luz. Una transformacin sobre un estado cuntico viene dada por la aplicacin de un cierto operador unitario U sobre dicho estado cuntico, obtenindose as un estado cuntico transformado:

(1.4.1) U=~ ,

donde la unitariedad de U garantiza la conservacin de los productos escalares.

En este trabajo todas las transformaciones podrn expresarse como la exponencial de un cierto

operador: (1.4.2)

GieU = ,

donde es el parmetro de la transformacin y G es el generador de la transformacin y es un operador Hermtico. En el contexto de este trabajo, el parmetro es una incgnita que debe inferirse realizando medidas de algn observable M y cuya incertidumbre estudiaremos para tratar de disear el experimento de modo que dicha incertidumbre sea lo menor posible con los recursos disponibles. Los factores causantes de incertidumbre que estudiaremos sern las fluctuaciones cunticas y la imperfeccin de los detectores. En ptica es usual que la seal a medir aparezca en una fase como por ejemplo en los interfermetros clsicos, donde la seal a medir aparece como una diferencia de fase producida por una diferencia de caminos pticos en las trayectorias de los haces que interfieren. Un interfermetro puede entenderse que realiza una transformacin sobre el estado de luz transformando el estado de luz con el que iluminamos el interfermetro en el estado de luz que lo abandona. Dicha transformacin depende de una serie de parmetros, entre ellos la diferencia de fase. En tal caso, el parmetro puede contener informacin acerca de una multitud de variables fsicas: longitud, frecuencia, tiempo, ndice de refraccin, temperatura, presin, composicin qumica, velocidad, etc. El ejemplo ms sencillo de transformacin es la evolucin temporal libre, ya que, si el Hamiltoniano es independiente del tiempo, la ecuacin de Schrdinger:

Hdtdi =h

se puede resolver formalmente del siguiente modo:

(1.4.3) )0()( / == tet iHt h ,

donde el parmetro y el generador de la transformacin son el tiempo y el Hamiltoniano respectivamente. El valor medio de un cierto observable A en el estado transformado se relaciona con el valor medio de dicho observable en el estado sin transformar del siguiente modo:

12

(1.4.4) AAUUA ~~~ == + ,

donde se ha definido el operador transformado AUUA +=~ . As, la evolucin de los observables de un sistema cuntico admite dos interpretaciones o imgenes: 1.- La imagen de Schrdinger: ~~ A , en la que la evolucin recae sobre el estado cuntico del sistema. 2.- La imagen de Heisenberg: A~ , en la que la evolucin recae sobre los operadores correspondientes a los observables del sistema. Empleando la imagen de Heisenberg puede verse fcilmente que la evolucin temporal libre equivale a un cambio de fase. El operador de la transformacin se expresa, recordando la expresin del hamiltoniano (1.1.15):

(1.4.5) teeeeeU aaiiitaaititH === ++ donde2/2// h .

Por lo tanto, la amplitud compleja transformada es:

(1.4.6) aaiaaiaaiiaaii aeeeaeeeaUUa

+++++

=== 2/2/~ .

Ahora bien, dada una funcin arbitraria de a+a, se tiene la siguiente igualdad:

(1.4.7)

( ) ( ) ( )( ) .)1(1)(

aaafaaac

aaacaaaaaacaaacaacaaaaf

n

nn

n n

nn

nn

nn

n

nn

+=+=

=====

++

++++++ L

Insertando este resultado en (1.4.6) se llega finalmente a: (1.4.8)

aeaeea iaaiaai + ==++ )1(~ ,

donde se comprueba explcitamente que la amplitud compleja se ve afectada por un cambio de fase en la evolucin temporal libre. En el clculo de transformaciones en la imagen de Heisenberg es til la siguiente relacin:

(1.4.9)

L+++= ]],[,[!2)(],[

2AGGiAGiAAee GiGi

que es especialmente til si es lo suficientemente pequeo, que ser nuestro caso. Finalmente distinguimos entre transformaciones lineales y no lineales. Esta limitacin es interesante puesto que veremos que los lmites cunticos en un caso y otro son distintos. La evolucin temporal libre es un ejemplo de transformacin lineal puesto que como puede verse en (1.4.8) la amplitud transformada es una funcin lineal de a. Un interfermetro en el que la transformacin sea una funcin lineal de a y a+ se dir que es un interfermetro lineal. Sin embargo, tambin podemos considerar transformaciones no lineales y, en ese caso, diremos que el interfermetro es no lineal. En particular, si el generador de la transformacin es (a+a)2, el operador de la transformacin y la amplitud compleja transformada son:

(1.4.10) 2)( aaieU

+

= U aeaU aai )12( ++

+

=

respectivamente. Por lo tanto, U+aU es una funcin no lineal de a y a+. Este tipo de transformaciones se dan en la propagacin de la luz en medios no lineales, como medios tipo Kerr.

13

2.- RUIDO CUNTICO EN INTERFERMETROS LINEALES 2.1.- Divisor de haz El elemento fundamental de muchos interfermetros es el divisor de haz, que acta como se muestra en la figura:

a1

a2

1

2b

b

Sobre el divisor (constituido por una lmina de cierto medio, por ejemplo una lmina de vidrio con un fino recubrimiento metlico) inciden dos ondas con amplitudes a1 y a2, que se reflejarn y se refractarn, emergiendo detrs del divisor dos ondas de amplitudes b1 y b2. Estas amplitudes emergentes se relacionan con las incidentes a travs de los coeficientes de transmisin t y reflexin r (supuestos reales) por medio de las expresiones siguientes:

(2.1.1)

.212211

tarabratab

+=

=

Esta relacin es vlida tanto en ptica clsica como en ptica cuntica. Siempre se supondr que no hay prdidas, es decir, que t y r estn relacionados por t2 + r2 = 1. Se dice que el divisor es al 50% si t = r = 1/2.

Los productos de b1 y b1+ y b2 y b2+ son los siguientes: (2.1.2)

)())(( 2112222

112

212122 aaaartaataartaratarabb+++++++ +++=++=

)())(( 1221222

112

212111 aaaatraaraatrataratabb+++++++ ++== .

Sumando ambas expresiones y suponiendo que no hay prdidas resulta:

(2.1.3)

22112222

1222

211 )()( aaaaaartaartbbbb++++++ +=+++=+ .

Este resultado expresa la conservacin del nmero de fotones incidentes y emergentes, es decir, no se pierden fotones en el divisor. Esto es vlido slo en el caso de que no haya prdidas, como se comprueba en la expresin anterior, es decir, esto es la expresin de la conservacin de la energa.

Para que las relaciones (2.1.1) sean vlidas, las amplitudes emergentes deberan satisfacer las reglas de conmutacin (1.1.13). El conmutador de b1 y b1+ es: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )+++++++ ++== 1221222112212111 ,,,,,, aaaartaaraatrataratabb . Anlogamente, para b2 y b2+ se tiene: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )+++++++ +++=++= 1221222112212122 ,,,,,, aaaartaataartaratarabb . Ahora teniendo en cuenta las reglas de conmutacin7: 7 Como las amplitudes con distinto subndice operan sobre espacios distintos su conmutador es nulo.

14

[ ] [ ][ ] [ ] 0,,

1,,

1221

2211

==

==

++

++

aaaa

aaaa

se concluye que: [ ] [ ] 222211 ,, trbbbb +== ++ .

Si no hay prdidas r2 + t2 =1, con lo que los conmutadores son iguales a la unidad, como se quera comprobar. El conmutador de los operadores b1 y b2+ es: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) 0,,,,,, 2211122212212121 =+=+= +++++++ aaaartaaraattararatabb , donde se han tenido en cuenta las igualdades anteriores para los conmutadores que aparecen. Por lo tanto, las amplitudes emergentes cumplen las reglas de conmutacin debidas.

Finalmente, nos ser de utilidad en lo que sigue demostrar que si sobre el divisor inciden dos estados coherentes 12 en los modos a1 y a2, a la salida del mismo se tendrn los estados:

(2.1.4)

.)()(

)()(

2221212121212

1121212121211

+=+=

==

trtarab

rtratab

El estado a la salida del divisor ser el producto de los estados 1 y 2, que son estados coherentes, es decir, si inciden estados coherentes emergen estados coherentes. 2.2.-Deteccin homodyna. Un modo sencillo de construir un interfermetro destinado a detectar un cambio de fase utilizando un divisor de haz es el llamado detector homodyno, que tiene la siguiente configuracin:

Se hace pasar un haz a travs de un medio que provoca un cambio de fase lineal de valor desconocido en el modo a1. Esta amplitud compleja modificada se hace incidir en una cara del divisor de haz. Por la otra cara se hace incidir un modo a2 de referencia. Las dos ondas de amplitudes complejas a1 y a2 son coherentes y monocromticas, por lo que pueden interferir (independientemente del estado de luz). Las ondas emergentes de amplitudes complejas b1 y b2 resultado de la interferencia de las ondas a1 y a2 se dirigen a sendos detectores, cuya respuesta es proporcional al nmero de fotones b+1b1 y b+2b2, con lo que se est suponiendo deteccin ideal (eficiencia cuntica =1), es decir, se supone que no se pierde ningn fotn. Mediante la medida del nmero de fotones detectados se puede obtener el valor de la fase desconocida introducida.

15

La combinacin til ms simple que se puede construir con los observables nmero de fotones b+1b1 y b+2b2 es: M = b+1b1 - b+2b2, con divisores al 50%. El observable construido es una medida de la interferencia de las dos seales emergentes. A partir de los productos (2.1.2) puede expresarse este observable en funcin de las ondas incidentes. Haciendo t = r = 1/2, el observable M resulta:

(2.2.1) ( )12212211 aaaabbbbM ++++ +== .

Cuando se produce un desfase , el observable M vendr dado por: ( ) (

( ),)()1()1(

21121221

122112212211

aaaaiaaaaM

iaaiaaeaaaeabbbbM ii

++++

++++++

++=

+++==

)

donde se ha desarrollado la exponencial hasta los trminos lineales en puesto que estamos interesados en desfases muy pequeos

16

(2.3.2)

.)(

)(

2

0

22

02

2

0

2

022

OdMd

MM

Od

MdMM

++=

++=

=

=

=

=

Por lo tanto, la incertidumbre en el observable M puede expresarse como:

(2.3.3)

( ) ( ) ( ) 02

20

2

=

=

+

dMdMM ,

pero como la incertidumbre en M es menor que la propia seal M (como ya se ha sealado anteriormente) el segundo trmino es, al menos, de segundo orden. Adems, suele ocurrir que la incertidumbre no vara notablemente al variar la seal, es decir, hay estabilidad en el experimento. Teniendo esto en cuenta puede despreciarse el segundo trmino en (2.3.3) y se llega finalmente a:

(2.3.4) 0= MM .

Esta ecuacin pone de manifiesto la estabilidad del experimento, ya que al variar la seal la variacin en la precisin de la medida es, al menos, de segundo orden. Esta incertidumbre en el observable M se traduce de forma natural en una incertidumbre sobre la seal que puede estimarse haciendo una propagacin de errores con lo que se obtiene (se omitir el punto de evaluacin para aligerar la notacin):

(2.3.5)

dMd

M .

Como nosotros queremos determinar la incerticumbre en , es conveniente expresar esta ecuacin como:

(2.3.5b)

dMdM

= .

2.4.- Precisin bajo iluminacin coherente

La expresin (2.3.5b) se puede simplificar notablemente en el caso de que el modo a2 sea un estado coherente con un elevado nmero de fotones (a este modo se le denomina oscilador local). En estas condiciones los operadores de Stokes se pueden aproximar del siguiente modo:

(2.4.1) XnaaaaaaSx 212212112 2=++=

+++

( ) ( ) YnaaiaaaaiS y 212212112 2== +++ , donde se ha supuesto que la amplitud 2 es real, n2 = 2 2 es el nmero medio de fotones en el modo a2 y X e Y son los correspondientes operadores cuadratura para el modo a1. La aproximacin efectuada consiste en reemplazar el operador amplitud compleja por la variable amplitud compleja del estado

17

coherente a2 2. Esta aproximacin slo es vlida si el nmero de fotones en el modo a2 es elevado, es decir, si >> 1. Recordando ahora la expresin (2.2.2) que se obtuvo para el observable M en funcin de los operadores de Stokes se tiene lo siguiente:

(2.4.2)

.2

22

20

2020

YnSdMd

XnMMXnSM

y

x

=

=

=

==

Por lo tanto, la expresin (2.3.5b) que resulta finalmente es:

(2.4.3)

YX

= .

Esta relacin muestra como las fluctuaciones del observable medido X limitan la precisin de la medida de cambios de fase. De las expresiones (2.4.1) se ve tambin que un cambio de fase equivale a una rotacin en el plano de amplitudes complejas ya que se identifican los operadores cuadratura con los operadores de Stokes (salvo constante de proporcionalidad) y stos se rotan por efecto del interfermetro, como ya se explic anteriormente (ver figura).

En la figura se muestra el efecto en el plano de amplitudes complejas de introducir un desfase .

Como aplicacin de la de la expresin (2.4.3) se calcular la incertidumbre en la medida del

parmetro cuando se utilizan estados coherentes en los modos a1 y a2. La incertidumbre en la cuadratura X para un estado coherente es: X = . El valor medio de la cuadratura Y viene dado por:

(2.4.4)

( ) ( ) )Im(*21

21

1111111 ===+

iaa

iY .

Por lo tanto, la incertidumbre en la medida del parmetro ser:

(2.4.5)

)Im(21

1 = .

Para minimizar la incertidumbre lo ptimo es escoger que la amplitud compleja del modo a1 se puramente imaginaria: 1 = in1/2. Con esto, se tiene una dependencia de la incertidumbre con el nmero de fotones en la forma:

(2.4.6)

n21

= .

18

2.5.- Precisin bajo iluminacin comprimida y lmite de Heisenberg. La expresin (2.4.3) sugiere que emplear estados comprimidos mejorar la sensibilidad de la medida al reducir la incertidumbre de la cuadratura X de a 1/2 /2. Por otra parte, el estudio del apartado precedente tambin sugiere que aumentar el nmero de fotones del estado coherente tambin contribuye a mejorara la precisin de la medida. Teniendo en cuenta que siempre tendremos unos recursos enegticos finitos surge entonces el dilema de cul ser la mejor estrategia, utilizar un estado coherente con el mayor nmero de fotones posible o utilizar un estado comprimido repartiendo la energa disponible entre la parte coherente y la comprimidia como se expresa en (1.3.1). Para resolver este dilema minimizaremos la incertidumbre para un nmero de fotones constante utilizando estados comprimidios.Para ellos se emplear la expresin (2.4.3). La incertidumbre en la cuadratura X en un estado comprimido viene dada por (1.2.2):

2

=X .

Por otra parte, de la expresin (1.3.1) se tiene:

42

1 22+= XnY

Por lo tanto, la incertidumbre en vendr dada por:

+

=

42

14 2Xn

El valor medio de la cuadratura X puede tomarse igual a cero por optimizacin8. Puesto que el nmero de fotones ser, en general, muy grande, podemos aproximar la expresin (2.5.1) del siguiente modo:

(2.5.2)

14

41

n, ( )

4214

2

+

=n

donde se ha despreciado frente a n y frente a 1/ ya que n ser muy grande y ser pequeo. Esta funcin tiene un mnimo en = 1/(2n) (este resultado justifica despreciar frente a 1/), por lo tanto, la incertidumbre en tiene una dependencia con el nmero medio de fotones en el caso ptimo de la forma:

n21

= . Se obtiene por tanto que en el caso de iluminacin comprimida smedida con respecto a iluminacin coherente, siendo comprimidfijo n >> 1.

8 Este valor medio siempre se puede hacer cero sin ms que dejar pasar el tiempevolucin temporal introduce un desfase. Esto equivale a una rotacin en el pintroducir un desfase de modo que el valor medio de la cuadratura X se encuentrX = 0 41 .

(2.5.1)

41

.

Grfica de frente al parmetro de compresin para un nmero fijo de fotones n = 10.

(2.5.3)

e mejora notablemente la precisin en la o

19

Cuando la incertidumbre de la medida es inversamente proporcional al nmero de fotones se dice que se trata del lmite de Heisenberg. Puede argumentarse que esta sera la mnima incertidumbre alcanzable utilizando la relacin de incertidumbre energa-tiempo en la forma n 1. Como n (nmero de fotones) es una cantidad positiva, se tiene que, grosso modo, n n/2 (ver (4.1.5) y (4.1.6)) y, en consecuencia:

n1 .

No obstante, debe notarse que, en nuestro caso, no es ningn operador sino un parmetro. En este captulo se ha comprobado que, para deteccin ideal, el lmite de Heisenberg slo es accesible cuando se utilizan estados comprimidos.

20

3.-EFECTO DE LA EFICIENCIA CUNTICA EN INTERFERMETROS LINEALES 3.1.-Eficiencia cuntica La eficiencia cuntica de un determinado detector se define como el cociente entre el nmero de fotones detectados y el nmero de fotones incidentes:

(3.1.1)

incidentes

detectadosnn

= .

En un detector ideal este cociente es igual a la unidad, es decir, detecta todos los fotones que le llegan. En un detector real, sin embargo, la eficiencia cuntica es menor que la unidad, evidenciando que algunos fotones incidentes son ignorados. El efecto de una eficiencia cuntica menor que la unidad no es tan trivial como pueda parecer (en principio se pensara que el nico efecto sera una disminucin de la seal). La causa de que los efectos de ineficiencia cuntica sean ms nocivos radica en la aleatoriedad del proceso de deteccin, ya que los fotones son detectados o no de un modo aleatorio (no se puede predecir que fotones sern detectados y cuales no), lo que puede influir notablemente en la estadstica de la medida. El efecto de una eficiencia cuntica menor que 1 puede describirse anteponiendo a un detector ideal un divisor de haz cuyo coeficiente de transmitancia sea t2 = (vase figura). As, se tiene un dispositivo que puede detectar un fotn (transmitido a travs del divisor) con una probabilidad o no detectarlo (reflejado por el divisor) con una probabilidad 1 - . Este es precisamente el comportamiento que se deseea, equivalente a un detector real. Para tal sistema, las relaciones entre las amplitudes incidentes y emergentes (2.1.1) se expresan del siguiente modo:

(3.1.2)

,11

012

011

aabaab

+=

=

cumplindose las reglas de conmutacin requeridas, ya que t2 + r2 = + 1 - = 1.

Cuerpo negro absorbente 1

Divisor de haz

Fotodetector ideal

Cuerpo negro absorbente 2

Simulacin de un fotodetector ineficiente por medio de un fotodetector ideal y un divisor de haz. El cuerpo negro absorbente 2 absorbe aquellos fotones de la seal entrante que nos son contados por el fotodetector. La figura ha sido reproducida a partir de B. Yurke, Phys. Rev. A Vol. 32, p.311 (1985).

21

Para obtener un modelo ms real de deteccin de cambios de fase deberamos anteponer un divisor de haz a cada uno de los dos detectores del interfrmetro homdyno ideal considerado anteriormente. Sin embargo, si los detectores de ambos brazos del interfermetro son iguales puede simplificarse el problema utilizando un solo divisor interpuesto en el camino de la seal antes del divisor de haz del oscilador local. Con ello, el interfermetro homodyno con detectores indeficientes se convierte en la medida de la cuadratura X del modo 1b a la salida del divisor de haz ficticio que representa la ineficiencia cuntica y siendo a0 un modo en el estado de vaco acoplado a la seal por el divisor de haz y cuyas fluctuaciones deterioran la calidad de la medida. Este estado de vaco acoplado es necesario tenerlo en cuenta ya que cunticamente no puede imponerse a0 = 0 porque el vaco tambin presenta fluctuaciones.

3.2.-Efecto con iluminacin coherente comprimida

En este apartado se calcular la incertidumbre en la seal considerada a lo largo de este trabajo teniendo en cuenta la ineficiencia de los detectores. Para ello se har uso de la expresin (2.4.3) obtenida en el captulo anterior:

YX

= .

La incertidumbre de X se calcula del modo habitual, utilizando: (X)2 = X2 - X2. El promedio de X2 en el estado incidente producto de un estado coherente comprimido y el estado de vaco ,0 es:

( ) ( ) 0,0,410,0,

410,0, 11111111

211

2 +++++ +++=+= bbbbbbbbbbX . Teniendo en cuenta ahora las relaciones entre las amplitudes de salida y las de entrada dadas por (3.1.2):

,11

011

011+++

=

=

aabaab

donde se ha tomado = 0 (X se considera a orden cero en ), se calculan los valores medios de los productos de amplitudes:

22

( ) ( ).110000

00

00

110001111

1111

2111

2111

+=+=

=

=

=

++++

++

+++

aaaaaabb

aabb

abb

abb

Se ha utilizado que a00 = 0. Por tanto, se tiene que:

( )4

14

141

11112

121

2

+=

+

+++= +++ XaaaaaaX . El valor medio de X se calcula del siguiente modo:

( ) XaabbX = +=+= ++ 1111 210021 . Por tanto, la incertidumbre de X es:

( ) ( ) ( ) ( )4

14

1 222222

+=+

== XXXXXX ,

y, recordando ahora (1.2.2), se tiene finalmente:

(3.2.1)

( )4

)1(2 +=X .

El valor medio de Y es:

(3.2.2)

( ) YaaibbiY = == ++ 1111 210021 .

Por lo tanto, la incertidumbre en es:

( ) ( )22 41

Y+

= .

Con la relacin

21

41

422+++= +

YXaan

se puede expresar el valor medio de Y en funcin del valor medio de X, el nmero de fotones y el parmetro , resultando finalmente:

(3.2.3)

( ) ( )

+

+=

4

142

14

12

2

Xn.

Esta expresin nos permite optimizar el experimento de modo que la incertidumbre en el parmetro de inters, , sea lo menor posible teniendo en cuenta la limitacin prctica en el nmero de fotones n, que se toma como constante. El valor medio de la cuadratura X podemos suponerlo nulo, lo que contribuye a la optimizacin de la incertidumbre, como se coment en 2.5.

23

En primer lugar podemos comprobar que se recuperan los resultados del captulo anterior con deteccin ideal e iluminacin coherente haciendo = = 1. Con esto, la incertidumbre en resulta:

(3.2.4)

( )n4

12= .

que es lo que se obtuvo en 2.4. A continuacin se analizar el caso de deteccin ideal, pero utilizando estados comprimidos. Manteniendo 1 y haciendo = 1 se obtiene la expresin para iluminacin comprimida:

(3.2.4)

( )

1441

4214

2

+

=nn

,

donde se ha aproximado del mismo modo que en 2.5. La expresin resultante es la misma que se obtuvo en 2.5, es decir, la precisin en la medida es de la forma:

(3.2.5)

n81

= ,

que es el lmite de Heisenberg. Ahora se pasar al estudio del efecto de la ineficiencia cuntica de los detectores. Haciendo las mismas aproximaciones que en el caso anterior en (3.2.3), pero manteniendo < 1, se tiene la siguiente expresin:

(3.2.6)

( ) ( )

+=

414

12

n.

Haciendo = 1 en (3.2.6) se obtiene la incertidumbre con la utilizacin de estados coherentes, que resulta ser:

(3.2.7)

( )

nn 21

412

= .

Para 1 la funcin (3.2.6) presenta dos extremos para los siguientes valores de : (3.2.8)

nn

4)1(42 +

= .

El signo menos proporciona un valor de negativo y resulta ser un mximo. Por tanto, el valor que buscamos es la solucin con signo positivo. Teniendo ahora en cuenta que < 1 y n>>1 se puede aproximar (3.2.8) del siguiente modo:

(3.2.9)

nnn

41

4)1(4

=

.

Como es inversamente proporcional a la raz cuadrada del nmero de fotones puede despreciarse el segundo trmino del corchete de (3.2.6) frente al primero, obtenindose para la incertidumbre en :

(3.2.10)

( )

nn 41

41 22

=== ,

24

que est lejos del lmite de Heisenberg y es la misma que se puede alcanzar con estados coherentes. En consecuencia, la utilizacin de estados comprimidos con detectores reales no permite mejorar la precisin de la medida con respecto a la utilizacin de estados coherentes. En la siguiente tabla se resumen los resultados que se han obtenido para la dependencia de la precisin en la medida con el nmero de fotones empleando los dos tipos de iluminacin tanto en detectores ideales como detectores reales:

= 1 1

= 1 n1

n1

1 n1

n1

Se comprueba que el lmite de Heisenberg nicamente es alcanzable con detectores ideales y empleando iluminacin comprimida. Cuando se tiene en cuenta la imperfeccin de los detectores, el lmite de Heisenberg no es alcanzable. Adems, en el caso de estados comprimidos, el efecto de la ineficiencia no permite mejorar la precisin con respecto al uso estados coherentes. Estos resultados se refieren a interfermetros lineales. Cuando se emplean interfermetros no lineales, puede superarse el lmite de Heisenberg (incluso con detectores no ideales), como se demostrar en el ltimo captulo.

25

4.- RUIDO CUNTICO EN INTERFERMETROS NO LINEALES 4.1.-Dependencia del ruido con el generador de las transformaciones Hasta ahora nos hemos limitado al estudio de interfermetros lineales, en los que las amplitudes complejas de los modos transformados son una funcin lineal de las amplitudes complejas de los modos iniciales. En este captulo se estudiarn interfermetros no lineales que son aquellos en los que la transformacin es una funcin no lineal de las amplitudes complejas. En concreto, utilizaremos un caso sencillo, en el que el generador de la transformacin sea una funcin cuadrtica del operador nmero de fotones: G = (a+a)2, con lo que, recordando los resultados de la seccin 1.4 se tiene:

2)( aaieU+

= U . aeaU aai )12( ++

+

=

Como ya se mencion en 1.4., este tipo de transformaciones son tpicas de medios no lineales, como en el denominado efecto Kerr, en el que el ndice de refraccin depende de la intensidad de la seal. En cierto sentido, el significado fsico del parmetro es distinto que en el caso de transformaciones lineales, ya que no es exactamente un cambio de fase. Sin embargo, esta objecin no afecta al anlisis que se hace aqu de la eficacia ptima de parmetros, ya que dicho parmetro depender de magnitudes fsicas tales como tiempo, longitud, ndice de refraccin, etc. cuyas variaciones son el objeto de la medida en una forma anloga a la fase. Tambin puede objetarse que los efectos no lineales suelen ser notablemente menores que los efectos lineales. No obstante, en los ltimos aos los descubrimientos en el mbito de la ptica con tomos de tres niveles han dado lugar a medios con susceptibilidades no lineales muy elevadas. De todos modos, esta reflexin tampoco afecta al anlisis planteado en este trabajo, a saber, la dependencia de la precisin de la medida con el nmero de fotones empleado. Recordando la expresin (1.4.9) y reteniendo nicamente el trmino lineal en se tiene:

(4.1.1) ],[ GMiMMee GiGi + ,

de modo que para

26

Para probar la validez de (4.1.5) se calcular la incertidumbre en G empleando estados con mxima dispersin en el nmero de fotones:

( )n202

1+= .

Los valores medios de G y G2 en este estado son:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] .22020

21

202021

22 nnaaaanG

nnaanG

=++=

=++=

++

+

donde se ha utilizado que, por definicin de vaco, a0 = 0 y 0a+ = 0. Por lo tanto, la incertidumbre en G es:

aannnGGG +==== 2222 2)( ,

comprobndose la validez de (4.1.5). Como puede verse en 2.5, los estados comprimidos permiten alcanzar la precisin mxima posible en interfermetros lineales (lmite de Heisenberg). El resultado obtenido para transformaciones lineales parece indicar que en el caso no lineal con un generador del tipo G = (a+a)2 se tendr

(4.1.6)

21

aa+ .

Este resultado supone la superacin del lmite de Heisenberg que estipula que decrece con el inverso del nmero medio de fotones. El resultado (4.1.6) es claramente ms favorable y conduce a precisiones mucho mayores que las alcanzables con interfermetros lineales. Sin embargo, debe sealarse que lo demostrado anteriormente indica una posibilidad. La validez de (4.1.6) depender de la satisfaccin o no de la relacin de incertidumbre entre M y G y del valor G en el estado de luz utilizado (en la demostracin anterior se utiliz un estado de mxima dispersin). Por ejemplo, para los estados de incertidumbre mnima del producto GM no es obligado que tengan un valor de G elevado. Esta posibilidad se demuestra cierta en el prximo captulo, incluso en el caso de deteccin ineficiente.

27

5.- EFECTO DE LA EFICIENCIA CUNTICA EN INTERFERMETROS NO LINEALES SUPERANDO EL LMITE DE HEISENBERG El estudio del efecto producido al considerar detectores reales con eficiencia cuntica menor que la unidad en interfermetros no lineales es el ltimo objetivo de este trabajo. Para ello se utilizar el siguiente esquema:

anlogo al utilizado en el captulo 3, pero siendo ahora: 22 )(

1)(

1aaiaai eaea

++

= .

Para realizar el clculo se utilizar el mismo procedimiento que en el caso del interfermetro lineal, haciendo uso de la expresin (4.1.3):

])(,[],[ 211 aaX

XGM

M+

=

= ,

ya que, en este caso, el observable a medir es la cuadratura X del modo b1 y el generador de la transformacin es (a1+a1)2. Recordemos que la ecuacin anterior se evala en = 0. De acuerdo con (3.1.2), el conmutador de la cuadratura X con este generador, que aparece en el denominador es:

[ ] [ ] [ ] [ ]21111211001121111211 )(),(21)(),()1()(21)(,21)(, aaaaaaaaaaaabbaaX ++++++++ +=+++=+= . Por lo tanto, hay que calcular los siguientes conmutadores: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] ( ),2)(,)(,

2,,)(,

11112

1112

111

111111111111111111112

111

aaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

+++++++

++++++++

+==

+=+=+=

donde se ha utilizado que [a1, a1+a1] = a1 y [a1, a1+]=1. En consecuencia, el conmutador de la cuadratura con el generador es:

[ ] ( ))(221)(, 11111111

211 aaaaaaaaaaX

++++++= .

Por sencillez, vamos a considerar el caso en el que la iluminacin del interfermetro se haga con un estado coherente en el modo a1. En tal caso se tiene que:

28

[ ] ( ) )21)(Im()(221)(, 22*2*211 +=+=+ iaaX .

De nuevo, para minimizar consideraremos que Im() sea lo mayor posible para un nmero fijo de fotones, es decir, que el estado coherente sea tal que: = in1/2. En dicho estado coherente resulta lo siguiente: [ ] 2/3211 2)21()(, ninniaaX +=+ .

La incertidumbre de la cuadratura X en un estado coherente es:

( )412

=X ,

con lo cual, la incertidumbre en resulta:

(5.1)

( ) 2/332 1161

nn=

.

Se tiene por lo tanto que la precisin supera el lmite de Heisenberg. Cabe destacar que este resultado se ha obtenido para iluminacin coherente, por lo que cabra esperar que el uso de estados comprimidos mejorara todava ms el resultado. En la expresin anterior tambin se observa que la eficiencia cuntica del detector aumenta la incertidumbre de la medida en un factor 1/1/2 con respecto al caso de deteccin ideal =1. Aunque la eficiencia cuntica deteriora la precisin de la medida, su efecto no es tan dramtico como cuando se utilizan estados comprimidos en (3.2.10), por lo que observamos en la ecuacin anterior que, incluso con deteccin ineficiente, los interfermetros no lineales pueden superar el lmite de Heisenberg.

29

CONCLUSIN A lo largo de este trabajo se ha visto cmo el ruido cuntico deteriora la precisin en la medida de un parmetro relacionado con alguna magnitud fsica (que en el caso de interfermetros lineales es una diferencia de fase), as como el efecto nocivo de tener detectores no ideales, es decir, con eficiencia cuntica menor que la unidad. Los resultados obtenidos para la incertidumbre en la medida pueden resumirse como sigue:

Interfermetros lineales

Interfermetros no lineales

= 1 1 = 1 1

= 1 n21

n21

316

1

n

1 n81

3161

n

n41

Podemos comprobar que, en el caso de interfermetros lineales, la mxima precisin alcanzable en la medida del parmetro corresponde al lmite de Heisenberg y nicamente puede obtenerse cuando se utilizan estados comprimidos y detectores ideales. Al pasar a detectores ineficientes, los estados coherentes no se ven afectados de un modo dramtico, ya que la precisin en la medida tiene la misma dependencia en el nmero de fotones que en el caso de detectores ideales. Sin embargo, cuando se utilizan estados comprimidos, la ineficiencia de los detectores provoca que el lmite de Heisenberg sea inalcanzable, es decir, deteriora en gran medida el resultado obtenido para deteccin ideal. Esto indica que los estados coherentes son ms robustos frente a la ineficiencia de los detectores que los estados comprimidos. Adems, en el caso de deteccin ineficiente, el uso de estados comprimidos no mejora la precisin que puede obtenerse con estados coherentes, con respecto a la dependencia con el nmero de fotones (que se supone fijo y muy grande). Por lo tanto, el uso de estados comprimidos cuando los detectores son ineficientes (es decir, los detectores reales) no est justificado ya que los estados coherentes proporcionan la misma precisin y son ms fciles de preparar.

Cuando pasamos a interfermetros no lineales puede superarse notablemente el lmite de

Heisenberg, como se comprueba en la tabla anterior, siendo la dependencia con el nmero de fotones proporcional a n-1,5, tanto en el caso de deteccin ideal como en el caso de detectores ineficientes. Adems, este resultado se ha obtenido para estados coherentes, que son ms estables frente a los efectos de la ineficiencia cuntica de los detectores que los estados comprimidos. As, mientras que en el caso de detectores ideales, este resultado podra mejorarse utilizando estados comprimidos, cuando consideramos la ineficiencia de los detectores, el uso de stos es de esperar que no aporte mejora en la precisin, como se explic en el prrafo anterior.

30

Apndice A: Relaciones de indeterminacin

Sea el operador A dependiente del parmetro real :

(A.1) ( ) ( )YYiXXA +=

y calculemos A+A para un estado arbitrario : (A.2)

( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( ) [ ] ,,222

222

YXiYX

XXYYYYXXiYYXXAA

++=

=++=+

donde se ha tenido en cuenta que X + = X e Y + = Y. Se obtiene un polinomio de segundo grado que es positivo o nulo para todo por serlo el valor medio A+A, que es un operador positivo por construccin. Por lo tanto, dicho polinomio debe tener discriminante negativo o nulo, ya que debe tener, a lo sumo, una solucin real. Entonces, se tiene la desigualdad:

(A.3)

[ ]( ) ( ) ( ) [ ]YXYXYXYXi ,2104, 222 ,

que es la relacin de indeterminacin general. Particularizando al caso de los operadores cuadratura, para los que [X, Y] = i/2 se obtiene la expresin (1.1.23). El mnimo en (A.2) se obtiene cuando se alcanza la igualdad en (A.3) y, en dicho mnimo, el valor medio A+A es igual a cero. Para el caso de los operadores cuadratura se obtiene que:

(A.4)

( ) ( ) 021222

=+ YX .

Adems, la relacin de indeterminacin proporciona la igualdad: XY = . Despejando Y de aqu e introducindolo en (A.4) se llega a:

(A.5) ( ) ( ) 08161 242 = YY ,

cuya solucin con respecto a Y se encuentra en:

(A.6)

21

=Y .

Por tanto, la incertidumbre en X cumple:

(A.7)

2

=X .

Los estados para los que se cumplen estas relaciones se llaman estados de incertidumbre mnima porque para ellos se alcanza la igualdad en la relacin de indeterminacin (A.3) por lo que vienen determinados por la ecuacin de autovalores 0=A . Cuando se elige el parmetro igual a la unidad se obtienen los estados coherentes y, para ellos, las incertidumbres en las cuadraturas son iguales. Cuando es distinto de uno se tiene que las fluctuaciones de una de las cuadraturas es menor que las de un estado coherente no habiendo en principio ninguna limitacin terica para los valores que puede tomar .

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