jörg wollnack fourier- und laplace-transformation · von hier aus das fourier-integral anschaulich...

132
Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation (In gemeinsamer Darstellung mit Übungen und Anwendungen) System x y Im{ } s Re{ } s Integrations- weg / j + / j - Konvergenz- ebene

Upload: hadung

Post on 12-Aug-2019

221 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Jörg Wollnack

Fourier- und Laplace-Transformation

(In gemeinsamer Darstellung mit Übungen und Anwendungen)

S y s te mx y

Im s

R e s

In tegration s-w eg

j+

j- K on vergen z-eb en e

Page 2: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der
Page 3: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Copyright 1980 Jörg Wollnackzweite, wesentlich überarbeite Fassung 2001

Page 4: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der
Page 5: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- I -

Dr. Jörg Wollnack

Inhaltsverzeichnis(Im Aufbau befindliches Manuskript)

1 Systemtheorie ............................................................................................................. 1

2 Motivation der Integraltransformation ................................................................... 3

3 Heuristischer Beweis des Fourier-Integrals ............................................................ 4

4 Deltafunktion, Einheitssprung, Signum - und Betragsfunktion............................ 8

5 Anwendung des Fourier-Transformation und Motivation der Laplace-Transformation ........................................................................................................ 11

6 Laplace-Transformation ......................................................................................... 13

7 Fredholmsche Integralgleichung, Fourier- und Laplace-Transformation........... 1

7.1 Zusammenhänge zwischen Original- und Transformationsbereich........................ 1

7.1.1 Superpositionssatz............................................................................................ 2

7.1.2 Verschiebungssätze .......................................................................................... 2

7.1.3 Ähnlichkeitssätze ............................................................................................. 4

7.1.4 Differentiationssätze und abschnittsweise stetig differenzierbareFunktionen........................................................................................................ 6

7.1.5 Integralsätze ................................................................................................... 11

7.1.6 Faltungssätze .................................................................................................. 16

7.1.7 Periodische und periodisch fortgesetzte Funktionen...................................... 20

7.1.8 Grenzwertsätze der Laplace-Transformation ................................................. 22

7.1.9 Spezielle Sätze der Fourier-Transformation .................................................. 23

7.1.9.1 Vertauschungssatz................................................................................... 24

7.1.9.2 Satz der konjugiert komplexen Funktion ................................................ 24

7.1.9.3 Zuordnungssätze ..................................................................................... 25

7.1.9.4 Parsevalsche Gleichung .......................................................................... 26

7.1.9.5 Kausale Funktionen Fourier- und Hilbert-Transformation ..................... 27

7.1.9.6 Analytische Signale................................................................................. 29

7.1.10 Prinzipien der Rücktransformation ................................................................ 30

7.1.10.1 Partialbruchzerlegung ............................................................................. 30

7.1.10.2 Das komplexe Umkehrintegral und Cauchysche Sätze .......................... 32

7.1.10.3 Laurent-Reihe und Residuensatz............................................................. 37

7.1.10.4 Zusammenhänge zwischen Laurententwicklung undPartialbruchzerlegung ............................................................................. 40

7.1.10.5 Die charakteristische Gleichung ............................................................. 41

Page 6: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- II -

Dr. Jörg Wollnack

7.1.10.6 Anwendungsbeispiele des Residuensatzes.............................................. 41

7.2 Laplace- und Fourier-Transformation im Zusammenhang mit linearen,zeitinvarianten Differentialgleichungen................................................................ 44

7.3 Lineare, zeitinvariante Systeme und Faltungssatz ................................................ 44

7.4 Übertragungsfunktion, Sprung- und Impulsantwort, SignalspektrumBetrags- und Phasengang ...................................................................................... 46

7.5 Anwendungen der Integral-Transformationen in der Systemtheorie .................... 48

7.5.1 Signalflußpläne............................................................................................... 55

7.5.2 Charakteristisches Verhalten von ausgewählten Systemen ........................... 56

7.5.2.1 System 1. Ordnung und Anfangs-End-Wert-Theorem ........................... 56

7.5.2.2 System 2. Ordnung.................................................................................. 58

7.5.2.3 Totzeitsysteme......................................................................................... 62

8 Signalverarbeitung..................................................................................................... 1

8.1 Lineare Systeme und komplexer Ansatz ................................................................. 1

8.2 Signalspektrum........................................................................................................ 3

8.3 Idealer und realer Abtaster ...................................................................................... 3

8.4 Rekonstruktion abgetasteter Signale ....................................................................... 3

8.5 Shannonsches Abtasttheorem.................................................................................. 3

8.6 Vektorielle Systeme und Signale ............................................................................ 3

9 Mehrdimensionale Signalverarbeitung (Schwerpunkt auf 2D) ............................... 1

9.1 Mehrdimensionale Integraltransformation .............................................................. 1

9.2 Separable Kerne ...................................................................................................... 1

9.3 Eigenschaften .......................................................................................................... 1

9.4 Signalspektrum........................................................................................................ 1

9.5 Idealer und realer Abtaster ...................................................................................... 1

9.6 Rekonstruktion abgetasteter Signale ....................................................................... 1

9.7 Shannonsche Abtasttheorem ................................................................................... 1

9.8 Projektionstheoreme................................................................................................ 1

Page 7: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- III -

Dr. Jörg Wollnack

10 Diskrete Signale und Systeme ................................................................................... 1

10.1 z-Transformation ..................................................................................................... 1

10.2 Diskrete unitäre Transformation ............................................................................. 1

10.3 Schnelle Transformationsalgorithmen (FFT, FWT usw.) ....................................... 1

10.4 Zeit- und Wertequantisierung.................................................................................. 1

10.5 Zusammenhänge zwischen Fourier-, Laplace-, z- und diskreter Fourier-Transformation ........................................................................................................ 1

13 Korrespondenzen

14 Anhang ........................................................................................................................ 1

14.1 Komplexe Funktionen ............................................................................................. 1

14.2 Konvergenzverhalten der Fourier-Reihe, Periodische Fortsetzung undWeierstraßscher Approximationssatz...................................................................... 1

14.3 Fourier-Transformierte der Sprungfunktion............................................................ 6

14.4 Metrik ...................................................................................................................... 7

14.4.1 Metrische Räume.............................................................................................. 7

14.4.2 Konvergenz im metrischen Raum .................................................................... 7

14.4.3 Eindeutigkeit des Grenzwertes......................................................................... 8

14.4.4 Stetigkeit der Metrik......................................................................................... 8

14.4.5 Beschränkte Menge, Grenzelement, Abgeschlossenheit,Vervollständigung und Kompaktheit ............................................................... 9

14.4.6 Höherdimensionale Sphären .......................................................................... 10

14.4.7 Isometrie des metrischen Raumes .................................................................. 10

14.4.8 Cauchy-Folge und Vervollständigung ........................................................... 10

14.4.9 Klassifizierung von Cauchy-Folgen............................................................... 11

14.4.10 Vollständigkeit und dichter metrischer Raum................................................ 12

14.4.11 Dichter metrischer Raum ............................................................................... 13

14.4.12 Vollständigkeit der höherdimensionalen Räume der reellen Zahlen ............. 14

14.4.13 Sphärenschachtelung...................................................................................... 14

14.4.14 Kontrahierende Abbildungen und Fixpunktsätze........................................... 15

14.4.14.1 Das Prinzip der kontrahierenden Abbildung........................................... 15

14.4.14.2 Nichtexpansive Abbildungen .................................................................. 16

14.4.14.3 Schwach kontrahierende Abbildungen ................................................... 16

14.4.14.4 Kontrahierende Abbildungen .................................................................. 17

14.4.14.5 Ortega-Rheinholdtsche Fixpunktsatz ...................................................... 17

14.4.14.6 Banachscher Fixpunktsatz....................................................................... 17

Page 8: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- IV -

Dr. Jörg Wollnack

14.4.14.7 Komposita nicht expansiver Abbildungen .............................................. 20

14.4.14.8 Komposita und Fixpunkte ....................................................................... 21

15 Symbol- und Abkürzungsverzeichnis

16 Literatur

Page 9: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- V -

Dr. Jörg Wollnack

Vorwort

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts hatte der französische Mathematiker J. B. J. Fourier1 bei demStudium der Wärmeleitungsphänomene die bemerkenswerte Entdeckung gemacht, daß gewis-se trigonometrische Reihen, die später nach ihm benannt wurden, zur Lösung der Wärme-leitungsgleichungen genutzt werden können. Seit dieser Zeit wurden die Fourier-Reihen undVerallgemeinerungen auf die Fourier-Integrale und orthogonalen Reihen bedeutsame Werk-zeuge von Naturwissenschaftlern, Ingenieuren und Mathematikern. Aufbauend auf diesenGrundlagen entwickelten sich weitere Integral-Transformationen, wie z.B. die Laplace2- undHilbert3-Transformation. Auch diese stellen zusammen mit der Fourier-Transformation einleistungsfähiges Werkzeug zur Untersuchung von linearen, zeitinvarianten Differential-gleichungen und Systemen dar.

Mit der Systemtheorie, bei der die Gesetze von der speziellen Natur der Systeme gelöst wer-den, steht ein mathematisches Werkzeug zur Verfügung, das die Behandlung verschiedenerSysteme der Nachrichten- oder Energietechnik, des Maschinenbaus, der Verfahrenstechniksowie der Ökonomie ermöglicht. Die hier diskutierten Methoden sind ein Repertoire derSystemtheorie.

Häufig wird die Laplace-, Fourier- und Hilbert-Transformation in den Naturwissenschaftenper Definition eingeführt, so daß der Zusammenhang zwischen den Transformationen nichtunmittelbar sichtbar wird. Um die Zusammenhänge deutlich zu machen, wird ausgehend vonden Fourier-Reihen periodischer Funktionen das Fourier-Integral durch einen Grenzübergangin heuristischer Weise motiviert. Typische Konvergenzproblemen der Fourier-Transformationlassen sich mit einem Dämpfungsterm entschärfen. Dieser Ansatz führt dann unmittelbar zumLaplace-Integral. Die Verallgemeinerung der Integraltransformation führt zur FredholmschenIntegralgleichung erster Art. Mit Hilfe der Fredholmschen Integralgleichung werden unterVerwendung einer speziellen Kernfunktion einige Gesetzmäßigkeiten der Integraltrans-formationen zusammengetragen. Die Bedeutung der Integraltransformation für die derDifferential- und Integralrechnung kann bereits auf dieser Stufe illustriert werden.

Anschließend werden spezielle Gesetzmäßigkeiten der Laplace- und Fourier-Transformationdiskutiert. Diese führen zur Parsevalschen Gleichung und Hilbert-Transformation. DieParsevalsche Gleichung ermöglicht eine Energiebeschreibung reeller Funktionen. DieHilbert-Transformation ordnet wechselseitig Real- und Imaginärteil kausaler4 Zeitfunktionenüber eine Integraltransformation einander eindeutig zu. Eine Systemklassifizierung führt zueiner notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Anwendbarkeit des Faltungssatzes.

1 Fourier [Jean-Baptiste] Joseph Baron de (ab 1808), *Auxerre 21.3.1768, †Paris 16.5.1830, frz. Mathematiker undPhysiker. Die von F. im Rahmen seiner Arbeiten über die Theorie der Wärmeausbreitung eingeführte Methode der Ent-wicklung von Funktionen in Fourier-Reihen (Reihen zur Darstellung einer period. Funktion) erwies sich für die theoret.Physik als außerordentlich fruchtbar.2 Laplace, Pierre Simon Marquis de (seit 1804), *Beaumont-en-Auge bei Lisieux 28. 3.1749, †Paris 5.3.1827, frz.Mathematiker und Astronom. Arbeitete v.a. über Kosmogonie, Potentialtheorie, Schwingungs- und Wärmelehre und Wahr-scheinlichkeitsrechnung.3 Hílbert, David, *Königsberg 23.1.1862, †Göttingen 14.2.1943, dt. Mathematiker. 1892–95 Prof. in Königsberg, dann inGöttingen. Grundlegende Arbeiten insbes. zur Invariantentheorie, zur Theorie der algebraischen Zahlkörper, zur Theorie derIntegralgleichungen und zur mathemat. Physik.4 kausal [lat.]: ursächlich, das Verhältnis Ursache-Wirkung betreffend, dem Kausalgesetz entsprechend.

Page 10: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- VI -

Dr. Jörg Wollnack

Die Prinzipien der inversen Integraltransformationen bauen auf einem kleinen Exkurs durchdie komplexe Funktionentheorie auf und führen zu dem Residuensatz. Auf die Methode derPartialbruchzerlegung wird dabei im Zusammenhang mit der Laurent-Reihe eingegangen.

Der Leser sollte Kenntnisse zur Differential- und Integralrechnung besitzen und die kom-plexen Zahl sollten ihm bekannt sein. Dabei ist die Kenntnis der komplexen Differentiationund Integration keine notwendige Voraussetzung für das Verständnis. Weiterhin sollte demLeser die Approximation periodischer Funktionen mittels Fourier-Reihen geläufig sein, davon hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielenwerden in der Darstellung die Methoden der Matrizenrechnung genutzt. Diese können aberauch klassisch, durch Lösung von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten, bearbei-tet werden. Die am Ende einzelner Abschnitte gestellten Übungsaufgaben können in derRegel mit dem Wissen aus den vorherigen Kapiteln bearbeitet werden.

Page 11: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 1 - Dr. Jörg Wollnack

1 Systemtheorie

Mit der zunehmend theoretischen Analyse technischer Systeme ist die Systemtheorie mehrund mehr in den Vordergrund getreten. Es handelt sich hierbei um eine mathematische Ab-straktion, die zum Ziel hat, für verschiedene technisch, naturwissenschaftliche Bereiche einegemeinsame Struktur zu finden. Dies gilt in analoger Weise für die Mechatronic. Bis aufwenige Ausnahmen ergeben sich alle Grundgleichungen der Physik aus Variationsprinzipien.Hierdurch entstehen Systeme von gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen. Fürdie klassische Mechanik besitzen die Systeme eine endliche Zahl von Freiheitsgraden. ImGegensatz hierzu erhält man für Feldtheorien zumeist unendliche viele Freiheitsgrade.

Die partiellen Differentialgleichungen sind dabei von mehreren Variablen, z.B. drei Raum-variablen und der Zeit abhängig. Derartige Systeme werden als dynamische Systeme bezeich-net. Im allgemeinen liegen die Differentialgleichungen in impliziter Form

S

x y u

x x

y y

u u

0

, , ,

, , , ,

, , , ,

, , , ,

∂∂

+ + ∂∂

∂∂

+ + ∂∂

∂∂

+ + ∂∂

∂∂

+ + ∂∂

∂∂

+ + ∂∂

∂∂

+ + ∂∂

=

t t t t

t t t t

t t t tt

I I

k

I I

k

I I

k

1 1

1 1

1 11

,

mit x y u= ∈ = ∈ = ∈x x y y y yZZ

NN

MM

1 1 1, , , , , , , , t t t ,

S = ∈ ∈ ∈s s t i INK

i1 1, , , , ,2, , t , t1 := Zeitvariable (1-1)

vor und sind nichtlinear sowie zeitvariant. Es werden hierbei mehrere Systemzustände,Eingangs- und Ausgangsgrößen zu einem Vektor x, u und y zusammengefaßt. Diese Relationwird in einem Schema entsprechend Abbildung 1-1 veranschaulicht.

Sux

y

S ystem

Abb. 1-1: System mit vektoriellen Ein- und Ausgangsbeziehungen

Dieses Schema geht von einer expliziten Beschreibung des Ausgangsvektors aus. Von vorn-herein ist jedoch weder die eindeutige Lösbarkeit der Differentialgleichung noch die expliziteBeschreibung des Ausgangsvektors gesichert. Zur Lösung der Differentialgleichung müssenin der Regel numerische Integrationsverfahren eingesetzt werden, die rekursiv aus gewissenAnfangsbedingungen die Lösung integrieren. Häufig ist es jedoch möglich, das das System-verhalten durch auf einen Raumpunkt konzentrierte Bauelemente charakterisiert werden kann.Dies sind beispielsweise Widerstände, Kondensatoren, Induktivitäten, aber auch Federn, Mas-sen Dämpfungsorgane usw. Der Systembegriff beschränkt sich nicht nur auf Bauelemente,sondern er umfaßt ferner technische Anlagen und Systeme, wie: Computer, Motoren, nach-richtentechnische Anlagen, Verkehrs- und Verwaltungssysteme sowie ökonomische Zusam-menhänge.

Page 12: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 2 - Dr. Jörg Wollnack

Beschränkt man sich auf Systeme mit konzentrierten Parametern, so erhält man gewöhnlicheDifferentialgleichungen. Durch Einführung von weiteren Zustandsvariablen können sukzes-sive die höheren Ableitungen auf Ableitungen erster Ordnung zurückgeführt werden. Das soentstehende Zustandsmodell konzentrierter Parameter hat die allgemeine Form:

( ( ), ( ), )x f x u= t t ty h x u= ( ( ), ( ), )t t t . (1-2)

Die Zustände ∀ ∈ ∃ ∈ →t t t tZ x x( ) ( ), der Steuervektor ∀ ∈ ∃ ∈ →t t t tM

u u( ) ( )und der Ausgangsvektor ∀ ∈ ∃ ∈ →t t t tN

y y( ) ( )1 charakterisieren das System voll-ständig. Sind die Systemgrößen in einem Zeitintervall erklärt, so ist das System zeit-kontinuierlich. Entsprechend erhält man für ein mit der Abtastzeit T0 abgetastetes zeit-diskretes System die Differenzengleichung:

∆x f x u( ) ( ( ), ( ), )k T k T k T k T0 0 0 0= , mit ∆x x x( ) (( ) ) ( )k T k T k T0 0 01= + −y h x u( ) ( ( ), ( ), )k T k T k T k T0 0 0 0= 2 . (1-3)

Geht man davon aus, daß die Systemzustände eindeutig und explizit bestimmt werden kön-nen, so muß ein Operator S

∀ ∈ ∃ ∈ =u y y S u( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t tM N τ (1-4)

existieren der die Ein- und Ausgangsgrößen einander zugeordnet.

Im folgenden sollen einige Beschränkungen bezüglich der Freiheitsgrade des zuordnendenSystems definiert werden:

• Zeitinvarianz

S u S u( ) ( ) ( ) ( )t t t t t t − = −0 0 (1-5)

• Linearität

S u S uk kk

t t t t( ) ( ) ( ) ( ) k∑ ∑=

(1-6)

• Homogenität

C S u S C u C( ) ( ) ( ) ( ) ,t t t t M M = ∈ × (1-7)

Zeitinvariante Systeme sind meist nichtlineare Systeme, die mittels Groß- und Kleinsignal-analyse einer quasi linearen Analyse zugänglich gemacht werden. Nichtlineare Systemeergeben im allgemeinen mathematische Strukturen, bei denen Aus- und Eingangsgröße nichtvon den Systemgrößen separierbar sind (spannungsabhängige Widerstände, die von dermagnetischen Flußdichte abhängige Permeabilität, nichtlineare Bewegungsgleichungen usw.).

Durch die obigen Einschränkungen wird es möglich, eine Größe zu separieren, die demSystem eigen ist. Wir werden sie später als Impulsantwort kennenlernen. Dies schränkt abernicht den Nutzen der Theorie ein. Es hat sich gezeigt, daß viele Systeme mit obiger Näherunghinreichend genau beschrieben werden können.

Die vektoriellen Beschreibungsformen werden zunächst nicht weiter diskutiert. Da dieskalaren Differential- und Integralbegriffe, die im folgenden Verwendung finden, auf die

1 Die Dimensionen der Vektoren vergrößern sich dabei. Zur Vereinfachung der Schreibweise werden dieSymbole beibehalten.2 Die Abbildungssymbole f und h werden zur Vereinfachung der Schreibweise beibehalten.

Page 13: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 3 - Dr. Jörg Wollnack

vektoriellen Formen übertragen werden können, indem man diese per Definition direkt aufdie Elemente der Vektoren und Matrizen überträgt, vererben sich die skalaren weitgehend aufdie vektoriellen Formen. Damit sind die skalaren aber auch unmittelbar ein Spezialfall dervektoriellen Ansätze. Lediglich bei den Konvergenzüberlegungen wären zugunsten der aufdie Elemente bezogenen Konvergenzanalysen Vektor- und Matrizennormen vorzuziehen.Ebenso sollen für die Eingangs- und Ausgangsgrößen die Symbole x und y Verwendung fin-den, wenn von einer Zustandsbeschreibung abgesehen wird.

2 Motivation der Integraltransformation

Die Integraltransformationen der Fourier- und Laplace-Transformation werden nicht alleinden Zweck haben nur eine Funktion zu transformieren, um das entstehende Paar möglichsteinander eineindeutig zuzuordnen. Die Transformierte muß zumindestens Einblicke in Eigen-schaften der Funktionen eröffnen, die in der Originaldarstellung verborgen bleiben oder kom-plizierte Operationen des Originalbereichs im Transformationbereich auf einfachere Opera-tionen zurückführen. Man denke z.B. an die Logarithmen, bei denen die Multiplikation undPotenzierung auf eine Addition und Multiplikation zurückgeführt werden kann.

Um die Beschäftigung mit den Integraltransformationen zu motivieren, gehe man zunächstvon einer periodischen Eingangsgröße aus. Die komplexe Fourier-Reihendarstellungperiodischer Funktionen lehrt, daß man diese Funktion über eine Summe (Gleichmäßige Kon-vergenz der Summe sei angenommen)

x t C ekjk t

k

( ) ==−∞

∑ ω0 (2-1)

periodischer Funktionen darstellen kann. Betrachtet man nun eine einfache lineare, zeitin-variante Differentialgleichung 2. Ordnung

bt

y t at

x t at

x t1 2

2

2 1

d

d

d

d

d

d( ) ( ) ( )= + , (2-2)

die das Systemverhalten charakterisieren soll, und setzen die Reihe (2-1) formal ein

bt

C e at

C e at

C eyvjv t

vk

jk t

kk

jk t

k1 2

2

2 10 0 0

d

d

d

d

d

dω ω ω

=−∞

=−∞

=−∞

∑ ∑ ∑= + , (2-3)

so kann man den Differentialoperator in die Summe ziehen und erhält

b jv C e a jk C e a jk C eyvjv t

vx k

jk t

kx k

jk t

k1 0 2 0

2

1 00 0 0ω ω ωω ω ω

=−∞

=−∞

=−∞

∑ ∑ ∑= +

b jv C e a jk a jk C eyvjv t

vx k

jk t

k1 0 2 0

2

1 00 0ω ω ωω ω

=−∞

=−∞

∑ ∑= + . (2-4)

Offensichtlich muß dann

b jv C a jk a jk Cyk x k1 0 2 0

2

1 0ω ω ω= + bzw.

Ca s a s

b sCyk x k= +2

21

1

, mit s jk= ω0 (2-5)

Page 14: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 4 - Dr. Jörg Wollnack

gelten. Betrachtet man das Ergebnis, so wird deutlich, daß man mittels der komplexenFourier-Reihendarstellung eine lineare, zeitinvariante Differentialgleichung in eine alge-braische Gleichung überführen kann. Der Quotient der komplexen Fourier-Koeffizienten

C

C

a s a s

b syk

x k

= +22

1

1

(2-6)

aus Ausgangs- und Eingangsgröße ist eine von den Eingangs- und Ausgangssignalen unab-hängige Kenngröße des Systems. Gelingt es nun, die obigen Darstellungen auf nichtperiodische Funktionen auszuweiten, so kann man vielleicht die obigen Besonderheitenhierauf vererben. Dieser Zielsetzung wird sich das nächste und die weiteren Kapitel widmen.

3 Heuristischer Beweis des Fourier-Integrals

Aus der Fourier-Reihendarstellung ist bekannt, daß sich periodische Signale f t f t T( ) ( )= + 0

über eine Reihe harmonischer Frequenzen darstellen lassen. In der komplexen Darstellungerhält man:

f t C ekjk t

k

( ) ==−∞

∑ ω0 , mit (3-1)

CT

f t e tkjk t

T

= −

∩1

0

0

0

( ) ω d und (3-2)

ω π0

0

2=T

, (3-3)

sofern f(t) die Dirichelet-Bedingungen

f(t) ist mit Ausnahme einer endlichen Anzahl von Punkten eine in T0 eindeutig erklärteFunktionf(t) ist periodisch mit der Periode T0

f(t) und f‘(t) sind abschnittsweise stetig (3-4)

erfüllt.

Mit einer gegen unendlich strebende Periode ließen sich die Periodizitätsanforderung elimi-nieren. In diesem Fall würde ω0 gegen null streben. Die einzelnen Harmonischen liegen alsobeliebig nahe beieinander, so daß sich ein Kontinuum von Schwingungen ergibt. Führt manformal die Größen

∆ω ∆ω0

0 0

2 12

= ⇒ =ππT T

(3-5)

ein, so stellt sich dies wie folgt dar:

t f t e t eT

j t

T

Tj t

k

( ) lim ( )=

→∞

−=−∞

∑0

0

0

0

12

∆ω

∆ω ∆ω ∆ωπ

d (3-6)

Page 15: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 5 - Dr. Jörg Wollnack

Bei der Ausführung des Grenzüberganges 0 → ∞ bzw. ω → 0 geht die Summation in dasbestimmte Riemannsche3 Integral über. Mit der von Leibniz4 eingeführten Schreibweise er-gibt sich:

f t f t e t e dj t j t( ) ( )=

−∞

−∞

1

2πωω ωd . (siehe L.2.3. Seite 119 124) . (3-7)

Der in der Klammer stehende Ausdruck wird Bild-, Spektralfunktion oder Fourier-Trans-formierte genannt. Die Spektralfunktion kann nur eine Funktion von ω sein, da über t inte-griert wird und die Integrale uneigentliche Integrale sind:

F f t e tj t( ) ( )ω ω= −

−∞

d (3-8)

f t F e j t( ) ( )=−∞

1

2πω ωω d . (3-9)

Um die Existenz der Fourier-Transformierten F(ω) zu gewährleisten, stellt man an f(t) dieForderungen:

1. f(t) sei Quadratisch Integrabel (QI) f t t( ) 2d

−∞

< ∞ und

2. f(t) ist integrierbar. (3-10)

Aufgrund der Schwarzschen Ungleichung gilt die Relation

0 ≤ ⋅ ≤ ⋅−∞

−∞

−∞

f t h t t f t t h t t( ) ( ) ( ) ( )d d d (3-11)

bzw. für die Euklidische Norm5 gilt

0 ≤ ≤ ≤−

−∞

∞−

−∞

−∞

f t e t f t e t f t tj t j t( ) ( ) ( )ω ωd d dE

E E , (3-12)

so daß die Konvergenz und damit die Existenz von F(ω) mit der QI gewährleistet ist.

Die Abbildung 3-1 veranschaulicht die Transformationsbeziehungen zwischen dem Original-/Zeitbereich und dem Bild-/Frequenzbereich, die durch die Hin- und Rücktransformationhergestellt werden.

3 Riemann, Bernhard, *Dannenberg (Elbe) 17.9.1826, †Selasca (heute zu Verbania, Italien) 20.7.1866, dt. Mathematiker.Entwickelte 1854 das begriffl. Fundament für das moderne mathemat. Verständnis der Struktur des Raumes, das dann bes. inder allg. Relativitätstheorie Bedeutung erlangte. R. arbeitete außerdem über quadrat. Formen, algebraische Funktionen undihre Integrale, über die analyt. Zahlentheorie und die Primzahlverteilung sowie über die Theorie der Differentialgleichungen.4 Leibniz, Gottfried Wilhelm Frhr. von (seit 1713), *Leipzig 1.7. 1646, †Hannover 14.11.1716 , dt. Philosoph und Mathe-matiker. Universalgelehrter. Er entwarf das Programm einer Idealsprache (Leibnizsche Charakteristik), deren Zeichen jeden

Begriff eindeutig und in allen Beziehungen zu anderen Begriffen charakterisieren sollen, begründete, etwa gleichzeitig mitNewton, die Differential- und Integralrechnung und entwickelte das binäre Zahlensystem (Dualsystem).5 Im folgenden wird zur Vereinfachung der Notation für die Euklidische Norm das Symbol verwendet.

Page 16: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 6 - Dr. Jörg Wollnack

Abb. 3-1: Graphische Veranschaulichung der Fourier-Transformation6

Neben der Integralschreibweise, läßt sich verkürzend die Operatorenschreibweise

F j f t j( ) ( ) ( )ω ω= ℑ (3-13)

f t F j t( ) ( ) ( )= ℑ −1 ω (3-14)

nutzen. Bei der Verwendung von Korrespondenztabellen ist darauf zu achten, ob der Faktor1/(2π) bei der Fourier-Transformation, ihrer Inversen oder zum Erhalt der Symmetrie mit

2π bei beiden Transformationen eingesetzt wird.

Die vorangegangenen Überlegungen stellen keinen Beweis für eineindeutige Zuordnung vonOriginal- und Transformationsfunktion dar. Dieser Beweis wurde von Dirichelet geführt undhat unter anderem das spezielle Verhalten an den Unstetigkeitsstellen hervorgebracht. DieseEigenschaft hatte die Mathematiker lange beschäftigt, weil die Terme der endlichen Fourier-Summe und damit die Summe selbst stetig sind und somit nicht unmittelbar einsichtig war,welches Verhalten bei der Ausführung der Grenzprozesse entstehen würde.

6 Das Verhalten an den Unstetigkeitsstellen folgt aus den Dirichlet-Bedingungen.

Rücktransformation

F j f t e tj t( ) ( )ω ω= −

−∞

d

Hintransformation

f t F e dj t( ) ( )=−∞

1

2πω ωω

Original-/Zeitbereich

f t f t f t( ) lim ( ) ( )= + + −→∞ε

ε ε1

2

Bild-/Frequenz-bereichF(jω)

Page 17: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 7 - Dr. Jörg Wollnack

4 Deltafunktion, Einheitssprung, Signum - undBetragsfunktion

Die Deltafunktion bzw. die Diracsche Funktion stellt eine Menge von Funktionen

lim ( , )∆

∆x

y x x x→∞

−∞

= = δ d 1 , (4-1)

mit der Ausblendeigenschaft

δ( ) ( ) ( )x f x x fd =−∞

0 (4-2)

dar. Die Diracsche Funktion ist eine in einem sehr schmalen Bereich ∆x existierende Größe.Ihr Wert wächst bei kleiner werdenden ∆x über alle Grenzen und produziert unter demIntegral eine “1-Fläche“ (heuristisch). Für die Anwendung der Deltafunktion in der Techniksind die Ausblend- und Dilatationseigenschaft von Bedeutung, weil man mit ihnen zumBeispiel den idealen Abtaster, der kontinuierliche Signale diskretisiert, beschreiben kann.

Herleitung der Ausblendeigenschaft der Diracschen Funktion:

f x x x x f x x x x f x x x x f xx

x

x

x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )δ δ δε

ε

ε

ε

− = − = − =−∞

0 0 0 0 0

0

0

0

0

d d d . (4-3)

Herleitung Dilatationseigenschaft der Diracschen Funktion:

δ( )a x xd−∞

durch Substitution v ax v a x xa

v= ⇒ = ⇒ =d d d d1

.

10

0 0

10

av v a

a

av v a

δ

δ

( )

( )

d für

für

d für

>

=

− <

−∞

−∞

⇒ =δ δ( ) ( )a x

ax

1 . (4-4)

Beispiele einiger Deltafunktionen:

a) Rechteckpuls als Diracfunktion:

y t T

T t T

T t Tδ ( , )

/ /

/ ( ) /0

0 0

0 0

1 2

1 2 2

0

=

<

=

für

für

sonst

(4-5)

Page 18: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 8 - Dr. Jörg Wollnack

y t( )

- /2T 0 T 0/2 t

1 /T 0

Abb. 4-1: Rechteckpuls als Diracsche Funktion

lim ( , ) lim / lim/

/

/

/

T TT

T

TT

T

x t T t T tt

T0 00

0

0

0

0

00

00

2

2

00 2

2

1→

−∞

→−

→−

= =δ d d (4-6)

lim / /T

t

TT T

0 00

0 02 2 1→

+ = (4-7)

b) Glockenkurve als Diracsche Funktion:

y t TT

T tδ π( , )0

0

02 2

2

4=

+ (4-8)

y t( )

t

2 /T 0

Abb. 4-2: Glockenkurve als Diracsche Funktion

lim limT T

T

T tt

T

t

t

T

0 00

0

02 2 0

0

0

2

2

4

2

12→

−∞

→−∞

+=

+

π π d

d(4-9)

Substitution

vt

Tv

Tt

Tv= ⇒ = ⇒ =2 2

20 0

0π ππ

d d dt d (4-10)

lim lim arctanT T

v

v

t

T0 00 2 00

1

1

1 2→

−∞

→−∞

+= π π

πd(4-11)

tansin

coscos , sinα α

αα α α π= = ∞ ⇒ = ≠ ⇒ =0 0

2wenn (4-12)

lim arctanT

t

T0 00

1 2 1

2 21

→−∞

= +

=

ππ

ππ π

(4-13)

b) Gaußsche Glockenkurve als Diracsche Funktion:

Page 19: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 9 - Dr. Jörg Wollnack

y t TT

et

Tδ π( , )0

0

21

2

2

02

=−

(4-14)

y t T

T t Tt T

T t Tt Tδ ( , )0

02

00

02

00

10

1

2

0

=

−< <

−=

für

für

sonst

(4-15)

Der Einheitssprung ist definiert als:

s t

x

x( ) /=<=

0 0

1 2 0

1

für

für

sonst

. (4-16)

Zwischen der Deltafunktion und dem Einheitssprung gilt folgender Zusammenhang:

s x u ux

( ) ( )=−∞δ d . (4-17)

Die Signumfunktion ist definiert als:

sign

für

für

für

( )x

x

x

x

=>=

− <

1 0

0 0

1 0

(4-18)

und die Betragsfunktion als:

x

x x

x

x x

=>=

− <

für

für

für

0

0 0

0

. (4-19)

Die Signum- und Betragsfunktion sind über die Gleichung

sign( )xx

x= (4-20)

verknüpft.

Page 20: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 10 - Dr. Jörg Wollnack

5 Anwendung des Fourier-Transformation undMotivation der Laplace-Transformation

An einigen ausgewählten Beispielen soll die Berechnung der Fourier-Transformierten durch-geführt werden. Zunächst sei die Deltafunktion (4-5) betrachtet:

F j f t e tT

e tj T

ej ft j ft j t

T

T

( ) ( )/

/

ωω

π π ω= = =−

−∞

∞−

−∞

− 2

0

2

0 2

21 1

0

0

d d

= −

=

− −12

0

2 2

0

20 0 0

j Te e

j

Tj e

jT

jT

jT

ω ωω ω ω

Im

=

=

2

2

22

2

0

0

0

0

j

T

TT

Tωω

ω

ωsin

sin(5-1)

F jT

( )ω ω=

si 0

2 , mit si x

x

x = sin

(5-2)

lim limsin

lim cosx x x

xx

x

xx

x→ → →

= = =0 0 0

1si

dd

dd

7

⇒ ℑ =δ ω( ) ( )t j 1 (5-3)

Als zweites Beispiel sei der Rechteckpuls betrachtet:

r t

A t T

A t( )

/

/=

<

=

für

für

sonst

0 2

2 0

0

y t( )

- /2T 0 T 0/2 t

A

Abb. 5-1: Rechteckpuls

ℑ = =r t j A

T

A

T

T

T

( ) ( )sin sin

ω

ω

ω

ω

ω

0 0

0

0

2

2

2

2

F j ATT

( )ω ω=

0

0

2si (5-4)

7 l‘Hospitalsche Regel

Page 21: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 11 - Dr. Jörg Wollnack

Drittens sei für die Sprungfunktion die Fourier-Transformierte zu bestimmen. Die Sprung-funktion ist von praktischer und theoretischer Bedeutung, weil bei der Beschreibung des Ein-schaltverhaltens eines Systems, letztlich die Sprungfunktion benötigt wird. Ihre Fourier-Transformierte ergibt sich formal zu:

F j s t e t e te

j tj t j t

j t

( ) ( )ωω

ω ωω

= = =−

−∞

∞−

∞ − ∞

d d0 0

. (5-5)

Hieran ist zu erkennen, daß die Auswertung des Integrals klassisch nicht möglich ist. DieSprungfunktion erfüllt nicht die Bedingung der Quadratischen Integrabilität, weshalb dieFourier-Transformierte nur im Sinne der Distributionstheorie existiert. Diese Problemstellungkann jedoch zur Motivation eines Dämpfungsterms herangezogen werden. Multipliziert mans(t) mit e t−δ , wobei δ δ> ∈0 ; ist, so läßt sich sicherstellen, daß das Integral

F j s t e e t e te

jt j t j t

j t

( ) ( )ωδ ω

δ ω δ ωδ ω

= = = −+

− −

−∞

∞− +

∞ − + ∞

d d

0 0

(5-6)

konvergiert, weil e j t− ω eine beschränkte Funktion ist und limt

te→∞

−δ gegen null strebt. Damit

ergibt sich für die Sprungfunktion mit Dämpfungsterm die Fourier-Transformierte zu:

F je

j j

j t

( )ωδ ω δ ω

δ ω

= −+

=+

− + ∞

0

1 . (5-7)

Man könnte nun geneigt sein, den Dämpfungsterm nach der Transformation gegen null stre-ben zu lassen, um so die Fourier-Transformierte der Sprungfunktion zu erhalten. Jedoch dür-fen Mehrfachgrenzprozesse nicht voneinander unabhängig ausgeführt werden, wenn dieGrenzwerte der einzelnen Grenzprozesse nicht existieren.

Es scheint so, daß man mit Hilfe des Dämpfungsterms die Konvergenzproblematik desFourier-Integrals beseitigen kann. Dies ist leider im allgemeinen Fall zu verneinen. Es kommthier lediglich der Umstand zum Tragen, daß die Sprungfunktion nur für Werte t ≥ 0 existiert.Ist dies nicht der Fall, so gilt es letztlich das Integral

F j f t e t f t e t f t e tj t j t j t( ) ( ) ( ) ( )ω δ ω δ ω δ ω= = +− +

−∞

∞− +

−∞

− +∞

d d d0

0

(5-8)

auszuwerten. Die Konvergenz des einen Integrals bedingt in der Regel die Divergenz desanderen. Man nennt diese Transformation die zweiseitige Laplace-Transformation.

6 Laplace-Transformation

Die im Kapitel 5 am Beispiel der Sprungfunktion gezeigten Zusammenhänge lassen denSchluß zu, daß Funktionen, die nur zu Zeiten t > 0 existieren, mit Hilfe eines Dämpfungs-faktors e t−δ klassisch berechnet werden können. Was sind dies für Funktionen und wie lassensie sich realisieren? Viele Vorgänge existieren erst von einem bestimmten Zeitpunkt an, denwir willkürlich zu t = 0 setzen. Jede technische Apparatur muß erst konstruiert werden; sieexistiert und nimmt ihre Funktion erst von einem bestimmten Zeitpunkt an auf. Der einzelneMensch, sein Kollektiv aber auch die Gesamtheit der Lebewesen existieren erst von einem

Page 22: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 12 - Dr. Jörg Wollnack

bestimmten Zeitpunkt an. Weitere Überlegungen würden zeigen, daß es eine große Anzahlvon Vorgängen gibt, die erst von einem bestimmten Zeitpunkt an zu beschreiben sind.

Energie in ihren unterschiedlichen Zustandsformen hat, soweit wir wissen, in nicht abge-schlossenen Systemen immer existiert und wird immer existieren; sie also genügt der Be-dingung nicht.

Beschränken man sich auf Vorgänge, die man kausal nennt, also auf Ursache und Wirkungberuhend, so läßt sich der Dämpfungsfaktor einfuhren. Multipliziert man eine beliebige Funk-tion mit der Sprungfunktion s(t), was die Frage der Realisierung beantwortet, so erhält maneine kausale Funktion. Die ist natürlich nicht notwendig, wenn die Funktion bereits kausal ist.Für die so modifizierte Fourier-Transformation erhält man sodann:

a) Fourier-Transformation

F j f t s t e j f t s t e t f t s t e tst j t j t

δδ δ ω δ ωω ω( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ℑ = +− − +

−∞

− +∞

d d0

0

(6-1)

b) Fourier-Rücktransformation

ℑ = =− −

−∞

1 1

2F j t f t s t e F j es

ts

j tδ

δδ

ωωπ

ω ω( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d

⇒ = +

−∞

f t s t F j esj t( ) ( ) ( )

1

2πω ωδ

δ ω d (6-2)

Durch Substitution von s j= +δ ω wird formal F jsδ ω( ) in F s( ) überführt. Damit ergibt sichfür die Transformation in den Bildbereich

F s f t s t e j f t s t e tt s t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ℑ =− −∞

δ ω d0

(6-3)

und für die Transformation in den Zeitbereich

Differential Integrationsgrenzend d

dd

s j

s

j

=

⇒ =

ω

ω s j

s j1

2

= − ∞= + ∞

δδ

⇒ = ℑ =−

− ∞

+ ∞

f t s t e F j tj

F s ets

s t

j

j

( ) ( ) ( ) ( ) ( )δδ

δ

δ

ωπ

1 1

2 ds (6-4)

Diese Transformation bezeichnet man als Laplace-Transformation. Für beschränkte Funk-tionen liegt hier eine stets konvergierende Transformation vor, da für t → ∞ e t−δ beliebigklein wird. Selbst für Funktionen des Typs e tα kann die Konvergenz realisiert werden, wennδ α> ist. Für die Laplace-Transformation wird in der Literatur häufig die Schreibweise

Page 23: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 13 - Dr. Jörg Wollnack

Im s

R e s

In tegration s-w eg

j+

j- K on vergen z-eb en e

Abb. 6-1: Darstellung der s-Ebene

F s f t ss( ) ( ) ( )= L und

f t F s ts ( ) ( ) ( )= −L 1 , mit den kausalen Funktionen

f t

f t f t t

f ts ( )

( ) ( )

( )=

+ + − >

=

+

1

20

1

20 0

ε ε für

für

0 sonst

(6-5)

verwendet.

Diese Gleichungen beschreiben zugleich den Zusammenhang zwischen der Fourier- undLaplace-Transformation. Bei der Rücktransformationist darauf zu achten, daß der Integrationsweg in derkomplexen s–Ebene so gewählt wird, daß die Kon-vergenz der Transformierten erhalten bleibt (sieheAbbildung 6-1). Durch den Grenzübergang lim

δ→0 erhält

man aus der Laplace-Transformierten die Fourier-Transformierte kausaler Funktionen, wenn f ts ( )Quadratisch Integrabel ist. Es ist darauf zu achten, daßder Dämpfungsterm nicht gleich null ist, sondern imSinne eines Grenzprozesses dem Wert null beliebignahe kommt.

Übungen

a) Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion e aat , ∈ und geben Siedie Konvergenzebene an.

b) Berechnen Sie mit der unter a) gewonnen Korrespondenz die Laplace-Transformiertevon cosω0 t und sinω0 t .

c) Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der Sprung- und Deltafunktion.

d) Berechnen Sie mit der unter c) gewonnen Korrespondenz die Laplace-Transformietevon coshω0t

e) Sie haben ein nichtlineares System an einem Arbeitspunkt xA durch eine Geraden-gleichung approximiert. Unter welchen Bedingungen erfüllt das approximierte Modelldie Linearitätsbedingung (1-6) bzw. was können Sie tun, um generell linearisierteSysteme als ein lineares System deuten zu können?

Page 24: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 1 -

Dr. Jörg Wollnack

7 Fredholmsche Integralgleichung, Fourier- undLaplace-Transformation

Betrachtet man die mathematischen Strukturen der Fourier- und Laplace-Transformation, soerkennt man, daß bei einer weitergehenden Verallgemeinerung eine übergeordnete Strukturgefunden werden kann. Diese Gleichung

F y f x y K x y f x xa

b

( ) ( ) ( ) ( , ) ( )= = I d (7-1)

wird als Fredholmsche Integralgleichung erster Art bezeichnet. Die Funktion K x y( , )repräsentiert den Kern der Transformation. Wählt man K x y e x y( , ) = ∈ , mit x y, ∈ , solassen sich die Fourier- und Laplace-Transformation in einer gemeinsamen Fassunginterpretieren. Dabei ist bei der Laplace-Transformation y Element der komplexen Zahlen undbei der Fourier-Transformation Element der rein imaginären Zahlen. f(x) wird als Original-und F(y) als Transformationsfunktion bezeichnet. Dies wird zumeist alternativ durch diesymbolische Schreibweise F(y) f(x) oder f(x) F(y) ausgedrückt.

7.1 Zusammenhänge zwischen Original- und Transformationsbe-reich

Die allgemeine Struktur der Integraltransformation (7-1) ist für die Entwicklung von Zu-sammenhängen zwischen Original- und Transformationsfunktion beim Laplace- und Fourier-Integral wenig hilfreich. Es ist daher sinnvoll, nicht die Fredholmsche Gleichung direkt zuverwenden, sondern den Kern K(x,y) durch die Funktion exy zu spezialisieren, so daß manfolgende Gleichungen erhält:

F y f x y K x y f x x e f x xa

bx y

a

b

( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )= = = I d dV und (7-2.1)

g x G y x K x y G y y e G y yc

dx y

c

d

( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )= = =− − I d dR1 . (7-2.2)

Mittels dieser Transformationsvorschriften sollen einige Gesetzmäßigkeiten zusammentragenwerden, so daß man von vornherein die enge Verwandtschaft zwischen der Laplace- und derFourier-Transformation erkennen kann. Die Transformierte wird im folgenden kurz als I-Transformierte bezeichnet. Die Unterschiede zwischen den Transformationen ergeben sichaus den unterschiedlichen Integrationsgrenzen. Im Einzelfall wird zur Herleitung vonBeziehungen zwischen dem Original- und Transformationsbereich auch ein anderer Weg ein-geschlagen, wenn dieser einsichtiger oder aber ökonomischer ist.

Für die Fourier-Transformation ergibt sich aufgrund der Symmetrie der Kerne von Hin- undRücktransformation

K x y K x yV R( , ) ~ ( , )− (7-3)

Page 25: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 2 -

Dr. Jörg Wollnack

eine Symmetrie zwischen den Sätzen des Original- und Transformationsbereiches, was letzt-lich zu dem Vertauschungssatz führen wird. Bei der Laplace-Transformation wird wegen derunterschiedlichen Integrationsgrenzen die Symmetrie “schwächer“ ausfallen müssen.

7.1.1 Superpositionssatz

Es sei die Transformierte der Superposition

f x C f xk kk

K

( ) ( )==∑

1

(7-4)

gesucht. Aus

I dC f x y e C f x xk kk

Kx y

k kk

K

a

b

( ) ( ) ( )= =∑ ∑

=1 1

(7-5)

ergibt sich aus dem Superpositionssatz der Integralrechnung

I dC f x y C e f x xk kk

K

kx y

k

a

b

k

K

( ) ( ) ( )= =∑ ∑

=1 1

, (7-6)

so daß man den Superpositionssatz der Integraltransformation

I IC f x y C f x yk kk

K

k kk

K

( ) ( ) ( ) ( )= =∑ ∑

=1 1

(7-7)

erhält. Die I-Transformierte einer Linearkombination von Funktionen ist gleich der Linear-kombination der I-Transformierten.

Übungen

a) Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f t e et t( ) =−

−− −1

1 2

1 2

α αα α .

b) Gesucht ist Laplace-Transformierte von f t t e t( ) ( )= − −δ α α .

c) Berechnen Sie für die Inverse Fourier-Transformation für F j( ) ( )ω δ ω ω= − 0 .

d) Nutzen Sie den Superpositionssatz und die Euleridentitäten zur Berechnung derFourier-Transformierten von A t⋅cosω0 und A t⋅sinω0 . An diesem Beispiel könnenSie erkennen, daß einige nicht Quadratisch Integrable Funktionen durch Deltafunk-tionen / Distributionen dargestellt werden können.

7.1.2 Verschiebungssätze

a) I-Transformation

Es sei die I-Transformierte der verschobenen Funktion f x x( )− 0 gesucht. Aus

F y f x x y e f x x xx y

a

b

( ) ( ) ( ) ( )= − = −I d0 0 . (7-8)

Page 26: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 3 -

Dr. Jörg Wollnack

erhält man mit der Substitution v x x v x= − ⇒ =0 d d und x v x= + 0 :

I df x x y e f v vv x y

a x

b x

( ) ( ) ( )− = +

00

0

0

. (7-9)

Da e e ev x y v y x y+ = ⋅0 0 ist, folgt:

I df x x y e e f v vv y x y

a x

b x

( ) ( ) ( )− = ⋅−

00

0

0

= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅

e e f v v e e f v v e f v vv y x y

a x

b xx y v y

a x

av y

b

b x

0

0

0

0

0

0

( ) ( ) ( )d d d

= ⋅ ⋅ + ⋅

+ ⋅

e e f v v e f v v e e f v vx y v y

a x

av y

b

b xx y v y

a

b

0

0

0

0( ) ( ) ( )d d d

I d df x x y e e f v v e f v v e f x yx y v y

a x

av y

b

b xx y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = ⋅ ⋅ + ⋅

+

00

0

0

0 I (7-10)

b) Laplace-Transformation

Für die Laplace-Transformation erhält man speziell:

L d d Lf t t s e f t e t f t e t e f t sst

a

st

a t

a

b

s t

b

b tst( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( )− = ⋅ +

+−

−→+∞

−−

+ 0

0

0

0

0

0 .(7-11)

Da der Term lim ( )b

st

b

b t

f t e t→+∞

−−

d0

durch die Transformation v t b t= − −( )0 ⇒ =d dt v mit den

Integrationsgrenzen v b b t t1 0 0= − − =( ) und v b t b t2 0 0 0= − − − =( ) in das Integral

f v b t e vs v b t

t

( )+ − − + − 0

00

0

d

übergeht, wird mit dem Grenzprozeß b → ∞ der Integrand verschwinden, wenn derRe s > 0 und f(t) Quadratisch Integrabel ist. Daher erhält man weiter

L d Lf t t s e f t e t e f t sst s t

t

s t( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = ⋅ +− −

−+

0

0

0

0

0 . (7-12)

Ist f(t) ferner kausal und t0 0> , so erhält man als weiteren Spezialfall

L Lf t t s e f t s tst( ) ( ) ( ) ( ) ,− = >−0 0

0 0 . (7-13)

Die Verschiebung einer kausalen Originalfunktion um t t0 0 0, > entspricht im Transfor-mationsbereich der Laplace-Transformation einer Multiplikation mit dem komplexen Faktore st− 0 . Für nicht kausale Funktionen und beliebige reelle Werte von t0 muß die Transformierte

zusätzlich um den additiven Term e f t e tst st

t

− −

⋅+

0

0

0

( ) d erweitert werden.

Für die Verschiebung der Transformationsfunktion erhält man bei analoger Argumentationdie Gleichung:

Page 27: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 4 -

Dr. Jörg Wollnack

L L− −

→ ± ∞

− =

10

10

0

0

F s s t e F s t

F s e s

s t

s j

s t

s

s s

( ) ( ) ( ) ( )

lim ( )

für dδ

. (7-14)

Einer Verschiebung der Laplace-Transformierten um s0 entspricht einer komplexen Multi-

plikation mit es t0 im Originalbereich.

c) Fourier-Transformation

Für die Fourier-Transformation erhält man aus (7-10) für die Hintransformation:

ℑ − = ℑ−f t t j e f t jj t( ) ( ) ( ) ( )00 ω ωω ,

mit der hinreichenden Bedingung lim ( )a

j x v

a t

a

e f v v→±∞

− →d

0

0, was identisch mit

lim ( )a

a t

a

f v v→±∞

− →d

0

0 ist. (7-15)

Für die Rücktransformation erhält man analog:

ℑ − = ℑ− −10

10F j t e F j tj t( ( )) ( ) ( ) ( )ω ω ωω , mit lim ( )a

a

a

F v v→±∞

− →dω0

0 . (7-16)

Es läßt sich zeigen, daß die obigen hinreichenden Bedingungen für Quadratisch IntegrableFunktionen selbst notwendige Bedingung darstellen.

Übungen

a) Berechnen Sie die Fourier-Transformierte eines amplitudenmodulierten Trägersignalsf t t( ) cos⋅ ωT .

b) Überlegen Sie, wie man “überlappende“ Frequenzbänder bei Aufgabenstellung a) aus-schließen kann.

c) Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der Signale e ts t0 ⋅sinω0 und e ts t0 ⋅cosω0 .

7.1.3 Ähnlichkeitssätze

a) I-Transformation

Zur Entwicklung der Ähnlichkeitssätze sei die I-Transformierte von f k x k( ) , ∈ betrachtet.Ausgehend von

I df k x y e f k x xx y

a

b

( ) ( ) ( ) = (7-17)

erhält man durch die Substitution v k x v k x xv= ⇒ = ⇒ =d d d

d

k die Gleichung

I df k x yk

e f v vyv

k

k a

k b

( ) ( ) ( ) = 1 . (7-18)

Mit e eyv

k wv= ergibt sich weiter

Page 28: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 5 -

Dr. Jörg Wollnack

I df k x yk

e f v vwv

k a

k b

( ) ( ) ( ) = 1 . (7-19)

Durch den Strukturvergleich mit (7-2.1) erhält man:

I

d für

d für

f k x yk

e f v v k

ke f v v k

wv

k a

k b

wv

k a

k b( ) ( )

( )

( )

=

>

− <

10

10

. (7-20)

Mit der Fallunterscheidung erhält man in beiden Fällen das gleiche Transformationsintegral.Der Faktor 1/k hat die Eigenschaft der Betragsfunktion, so daß man kurz die Gleichung

I If k x yk

f xy

k( ) ( ) ( ) =

1 , mit I df x w e f v vwv

k a

k b

( ) ( ) ( ) = , wy

k= (7-21)

notieren kann. Diese Eigenschaft wird als Reziprozitätsrelation zwischen Original- undTransformationsbereich bezeichnet. Eine Dilatation im Originalbereich bewirkt eine Kon-traktion im Transformationsbereich. Technisch gesprochen bewirkt somit eineBeschleunigung zeitlicher Vorgänge eine Ausdehnung des Frequenzspektrums.

b) Laplace-Transformation

Für die Laplace-Transformation muß wegen der Kausalität k > 0 sein, so daß man den Ähn-lichkeitssatz für die Hintransformation

L Lf k t sk

f ts

kk( ) ( ) ( ) , =

>1

0 und (7-22)

Rücktransformation

L L-1 -1F k s tk

F st

kk( ) ( ) ( ) , =

>1

0 (7-23)

erhält.

c) Fourier-Transformation

Bei der Fourier-Transformation gilt für die Hintransformation

ℑ = ℑ

f k t j

kf t

j

k( ) ( ) ( ) ω ω1

und (7-24)

für die Rücktransformation

ℑ = ℑ

− −1 11F jk t

kF j

t

k( ) ( ) ( )ω ω . (7-25)

Übungen

a) Berechnen Sie aus der Korrespondenz 1

12s + sin t die Laplace-Transformierte von

sinω0t .

Page 29: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 6 -

Dr. Jörg Wollnack

b) Berechnen Sie die Laplace- und Fourier-Transformierte von A t⋅ +sin ω ϕ0 0 und

B t⋅ +cos ω ϕ0 0 .

c) Berechnen Sie die Laplace- und Fourier-Transformierte der Fourier-Reihe

C k tk kk

K

⋅ +=∑ sin ω ϕ0

1

.

d) Berechnen Sie die Laplace- und Fourier-Transformierte der verallgemeinerten

Amplitudenmodulation f t C k t Tk kk

K

( ) sin /⋅ ⋅ +=∑ 2 0

1

π ϕ .

e) Berechnen Sie die Koeffizienten der Fourier-Reihe für die Deltafunktion und den Recht-eckpuls und interpretieren Sie das Ergebnis in Aufgabe d) für diese beiden Multiplikan-den.

f) Definieren Sie eine Bedingung für die Fourier-Transformierte in Aufgabenstellung e), sodaß im Spektrum keine “Überlappungen“ auftreten können.

g) Überlegen Sie, wie man das ursprüngliche Signal (ohne “Überlappungen“) rekonstruierenkönnte.

7.1.4 Differentiationssätze und abschnittsweise stetig differenzierbare Funktionen

Für die Herleitung der Differentiationssätze sei zunächst angenommen, daß die zu differen-zierende Funktion in sämtlichen Ableitungen stetig differenzierbar ist. Diese Einschränkungist für die praktische Anwendung der Theorie sehr restriktiv, weil bereits beim Einschalteneines Systems die Sprungfunktion zur Modellierung benötigt wird. Für technische An-wendungen werden letztlich abschnittsweise stetige Funktionen benötigt, bei denen nur eineendliche Anzahl von Unstetigkeitsstellen existieren (siehe Dirichelet-Bedingung 3-4). Des-halb muß die Betrachtung auch auf diese Funktionsklasse ausgeweitet werden.

a) I-Transformation

Zur Entwicklung der Differentiationssätze sei die I-Transformierte von d

d

f

xx( ) betrachtet.

Ausgehend von

Id

d

d

dd

f

xx y e

f

xx xx y

a

b

( ) ( ) ( )

= (7-26)

erhält man mittels partieller Integration

u v u v v ud d = − , mit d dv f x v f x= ⇒ =( ) ( ) und u e u y e xx y x y= ⇒ =d d (7-27)

die Gleichung

Id

dd

f

xx y e f x e y f x xx y

a

b x y

a

b

( ) ( ) ( ) ( )

= − = − −e f b e f a e y f x xb y a y x y

a

b

( ) ( ) ( ) d

Id

dI

f

xx y e f b e f a y f x yb y a y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= − − (7-28)

Page 30: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 7 -

Dr. Jörg Wollnack

Die Differentiation im Originalbereich entspricht im Transformationsbereich einer Multi-plikation mit y mit anschließender Addition zweier e-Funktionsterme. Die Linearfaktoren dere-Funktionen repräsentieren die Funktionswerte an den Integrationsgrenzen und die Expo-nentialkonstanten sind Produkte aus den Integrationsgrenzen und der Transformationsvariab-len.

Die Gleichung (7-28) läßt sich als Rekursionsformel darstellen:

Id

dI

d

d

( -n

nb y n a y n

n

n

f

xx y e f b e f a y

f

xx y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( (

(

= − −

− −−

1) 1)1)

1) . (7-29)

Durch wiederholte Anwendung des Integrationssatzes erhält man:

= − − −

− −−y

f

xx y y e f b e f a y

f

xx y

n

nb y n a y n

n

nI

d

dI

d

d

( -1) ( - )

(( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1)2 2

2

2

= − − − + −

− + −−y e f b y e f a yf

xx yb y n a y n

n

n 1 2 1) 2 22

2( ) (1 ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )I

d

d

( - )

= − − −

− + − +− +y

f

xx y y e f b e f a y

f

xx y

vn

n v

v b y n v a y n vn v

n v Id

dI

d

d

( -v) ( -( +

( )( ( ( (

( (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1)) 1))

1))

1))

= − + − + −

− + + − + +−

− +y e f b y e f a yf

xx y

v b y n v v v a y n v vn

n v ( ( ( ( ( (

( (( ) ( ) ( ) ( )1)) 1) 1)) 1)

1))1 Id

d

( (v+1))

Die Rekursionsformel bricht bei n v− + =( )1 0 ab, so daß v n= −1 ist:

= − − −− −y

f

xx y y e f b e f a y f x y

n n b y a y ( (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1) 1)Id

dI

= − + − + −− −y e f b y e f a y f x y

n b y n n a y n ( (( ) ( ) ( ) ( )1) 1)1 I (7-30)

Damit erhalten wir den Differentiationssatz n-ter Ordnung zu:

Id

dI

n

n

n v n v b y v v n v a y

v

nf

xx y y f x y y f b e y f a e( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ( ( (

= − + − + −− + + − +

=

∑ 1)) 1) 1))

0

1

1 .

(7-31)

b) Laplace-Transformation

Für die Laplace-Transformation erhält man aus (7-28):

Ld

dL

f

tt s f b e f a e s f t s

ba

bs as( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )

= − +→∞→ +0

. (7-32)

Sofern lim ( )b

bsf b e→∞

→ 0, was durch die Wahl eines geeigneten Dämpfungsterm realisiert wer-

den kann, erhält man:

Ld

dL

f

tt s s f t s f( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= − + 0 . (7-33)

Analog erhält man aus (7-31)

Page 31: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 8 -

Dr. Jörg Wollnack

f t( )

t i t

Abb. 7-1: Abschnittsweise stetigeFunktionen

Ld

dL

n

nn v n v

v

nf

tt s s f t s s f( ) ( ) ( ) ( ) ( )( (

= − − ++

=

∑ 1))

0

1

0 ,

sofern ∀ ≤ ≤ − →→∞

− +0 1 01))v n f b eb

n v bslim ( )( ( . (7-34)

Für die Herleitung des Ableitungssatzes der Bildfunktion gehen wir nicht von dem I-Integralaus, sondern von

F s f t e tst( ) ( )= −∞

+

d0

(7-35)

aus und differenzieren die Bildfunktion

d

d

d

dd

d

dd d

sF s

sf t e t f t

se t t f t e tst s t s t( ) ( ) ( ) ( )= = = −−

∞−

∞−

+ + +

0 0 0

. (7-36)

Mit dem Superpositionssatz (7-7) führt dies zu dem Differentiationssatz der Bildfunktion:

d

dL L

sf t s t f t s( ) ( ) ( ) ( ) = − . (7-37)

Durch eine wiederholte Anwendung des Satzes (7-37) erhält man den Differentiationssatz n-ter Ordnung zu:

d

dL L

n

n

n

sf t s t f t s( ) ( ) ( ) ( ) = − . (7-38)

Differentiationssätze für abschnittsweise stetige Funktionen

Für technische Systeme sind abschnittsweise stetige Funktionen, wie in Abbil-dung 7-1 gezeigt, zu differenzieren. Im klas-sischen Sinne wird die Differentiation nichtmöglich sein. Erst mit der Distributions-theorie kann eine Differentiation derartigerFunktionen gelingen. Dies soll durch die an-schließenden Überlegungen motiviert wer-den.

Eine abschnittsweise stetige Funktion läßtsich additiv aus einer stetigen Funktion fS(t)und der Summe ihrer Sprungstellen∆f s t ti i( )− zusammensetzen.

Die I Sprungstellen berechnen sich zu:

∆f f t f t f t f t i Ii i i i i= + − − ≡ + − + ∈→∞ + −lim ( ) ( ) ( ) ( ) , ,2, ,

εε ε 0 0 1 , (7-39)

so daß man

f t f t f s t t f s t tii

I

i ii

I

i( ) ( ) ( ) ( )= − − + −= =∑ ∑∆ ∆

1 1

= + −=∑f t f s t tii

I

iS( ) ( )∆1

(7-40)

Page 32: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 9 -

Dr. Jörg Wollnack

erhält. Differenziert man f(t), so erhält man mit (4-17)

d

d

d

d

d

dSf

tt

f

tt f

s

tt ti

i

I

i( ) ( ) ( )= + −=∑∆

1

= + −=∑d

dSf

tt f t ti

i

I

i( ) ( )∆1

δ . (7-41)

Ist f tS( ) stetig differenzierbar, so sind die rechtsseitigen und linksseitigen Ableitungenidentisch. Anderenfalls fordert man, daß die Funktion abschnittsweise stetig differenzierbarist und nur eine endliche Anzahl von Sprungstellen aufweist. Damit kann die Ableitung wie-der über den Ansatz (7-40) in eine stetige Funktion und die Summe ihrer Sprungstellenzerlegt werden, so daß die zweite Ableitung

d

d

d

d

d

d

2 2Sf

tt

f

tt f t t f

tt ti

i

I

i ii

I

i2 21

0

1

( ) ( ) ( ) ( )(1)= + − + −= =∑ ∑∆ ∆δ δ

. (7-42)

und in analoger Weise fortsetzend auch höhere Ableitungen

d

d

d

d

d

dS

n

n

n

n ik

i

I n k

n k ik

nf

tt

f

tt f

tt t

n

( ) ( ) ( )( )( (

( (= + −

=

− +

− +=

∑∑ ∆1

1))

1))0

1 δ . (7-43)

beschrieben werden können. Da, wie wir später noch sehen werden, die Distribution im er-weiterten Sinne über die Gleichung

d

d

n

n

n

ttt

n

tt

δ δ( )!

( )= −1 . (7-44)

differenziert werden kann, erhält man weiter

d

d

d

dS

n

n

n

n ik

i

In k

n k ik

nf

tt

f

tt f

n k

tt t

n

( ) ( )( ) !

( )( ) ( (

( (= + − − + −

=

− +− +

=

∑∑ ∆1

1))

1))0

1

11 δ . (7-45)

Im Sinne der Distributionstheorie läßt sich die Differentiation auf abschnittsweise stetigeFunktionen, die eine endlichen Anzahl von Unstetigkeitsstellen besitzen, erweitern.

Dieser Umstand eröffnet die Möglichkeit, den Geltungsbereich der Laplace-Transformationauf nicht kausale, abschnittsweise stetige Funktionen zu erweitern. Gehen wir davon aus, daßnur eine Unstetigkeitsstelle an der Stelle t = 0 existiert und links- und rechtsseitiger Grenz-wert der Ableitung identisch sind, so erhält man für die Laplace-Transformation:

Ld

dL

d

dLSt

f t st

f t s f t s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

+ ⋅∆ 0 δ

=

+Ld

d Stf t s f( ) ( ) ∆ 0 . (7-46)

Da sich die Funktionen f t( ) und f tS( ) für t ≠ 0 nur durch eine additive Konstante unterschei-den, sind deren Differentiale für t ≠ 0 identisch, so daß man mit dem Differentiationssatz (7-33) die Gleichung:

Ld

dL

f

tt s s f t s f f f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= − + −+ + − 0 0 0

= − −s f t s fL ( ) ( ) ( ) 0 . (7-47)

Page 33: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 10 -

Dr. Jörg Wollnack

erhält. Für Differentiale höherer Ordnung erhält man analog:

Ld

dL

n

nn v n v

v

nf

tt s s f t s s f( ) ( ) ( ) ( ) ( )( (

= − − +−

=

∑ 1))

0

1

0 . (7-48)

Diese Gleichung gilt auch dann, wenn die Funktionen in ihren Ableitungen an der Stelle t = 0unstetig sind. Es ist darauf zu achten, daß man die Grenzwerte für 0- mit den unstetigenFunktionen bestimmt. So unwesentlich der Unterschied zur Gleichung (7-34) zunächst er-scheinen mag, so bedeutsam ist er doch für praktische Problemstellungen, die häufig zumZeitpunkt t = 0 ein unstetiges Verhalten aufweisen.

c) Fourier-Transformation

Für die Fourier-Transformation erhält man aus Gleichung (7-31) :

= ℑd

d

n

n

nf

xt j j f t j( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω

+ + − −→∞

− + +

→−∞

− +

=

∑ j f b e j f a ev

b

n v j b v v v

a

n v j a

v

n

ω ωω ω lim ( ) lim ( )( ( ( ( ) ( (1)) 1) 1))

0

1

1 1 . (7-49)

Mit der hinreichenden Bedingung

∀ ∈ − → ∧ →→∞ →−∞

v n f b f ab

v

a

v , , lim ( ) lim ( )0 1 1 0 0 (7-50)

erhält man sodann:

= ℑd

d

n

n

nf

xt j j f t j( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω . (7-51)

Für die Inverse Fourier-Transformation erhält man analog

= − ℑ− −1 1d

d

n

n

nFj t jt F j t

ωω ω( ) ( ) ( ) ( ) , (7-52)

mit der hinreichenden Bedingung

∀ ∈ − → ∧ →→∞ →−∞

v n F jb F jab

v

a

v , , lim ( ) lim ( )0 1 1 0 0 . (7-53)

Übungen

a) Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von sinω0t mit dem Differentiationssatz aus

− 1

00ω

ωd

d ttcos .

b) Berechnen Sie Laplace-Transformierte von sinhω0t mit dem Differentiationssatz aus1

00ω

ωd

d ttcosh .

c) Leiten Sie den Zusammenhang L t sn

sn

n ( )!= +1

mit Hilfe des Differentiationssatzes her.

Page 34: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 11 -

Dr. Jörg Wollnack

7.1.5 Integralsätze

a) I-Transformation

Zur Entwicklung der Integralsätze geht man von der Originalfunktion

f u ua

b

( ) d (7-54)

aus, so daß man für die I-Transformation die Gleichung

I d d df u u y f u e u xa

xx y

a

x

a

b

( ) ( ) ( )

= , mit der Bedingung

b x≥ und f xf x a x b

( )( )

=≤ ≤

für

sonst0(7-55)

erhält. Durch partielle Integration

u v u v v ud d = − , mit

u f u u u f u ua

b

= ⇒ = ( ) ( )d d d und d d dv e x v e xx

ex y x y x y= ⇒ = = 1(7-56)

erhält man:

I d d df u u y f u uy

ey

f x e xa

x

a

xx y

x a

x b

x y

a

b

( ) ( ) ( ) ( )

= −=

=1 1

= −

− 1 1 1 1

yf u u

xe f u u

xe

yf x y

a

bb y

a

aa y( ) ( ) ( ) ( )d d I

= − −− −e

yf b f a

yf x y

yb( (( ) ( ) ( ) ( )1) 1) 1

I . (7-57)

Da nach Voraussetzung f a( )− = 0 ist, gilt weiter:

I d If u u ye

yf b

yf x y

a

x yb

( ) ( ) ( ) ( ) ( )(

= −−1) 1 . (7-58)

Die Gleichung (7-57) kann als Rekursionsformel interpretiert werden:

I If x ye

yf b f a

yf x yn

ybn( ) ( ( (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − − += − − 1) 1) 1)1

(7-59)

− = − − −

− + − − − +1 1 11) 2 2 2

yf x y

y

e

yf b f a

yf x yn

ybnI I( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= − − + −−− − − +1 12 1)

22 2

2

22

! "

(

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )y

e f b f ay

f x yyb nI (7-60)

-1I I

! "

vn v

v

vyb v v

v

vn v

yf x y

ye f b f a

yf x y( )

(( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− +

−− − − += − − + −1 11)

(7-61)

Page 35: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 12 -

Dr. Jörg Wollnack

Die Rekursionsformel fängt bei v = 1 an und bricht bei v - n = 0 ab, so daß n = v ist. Dahererhält man weiter:

I If x yy

e f b f ay

f x ynv

vyb v v

v

n n

n( )

(( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−

−− −

=

= − − + −∑

! " 1 11)

1

. (7-62)

Die I-Transformierte einer n - fach integrierten Originalfunktion ergibt sich daher aus derSuperposition einer endlichen Linearkombination aus e – Funktionen und Konstanten derintegrierten Funktionen sowie der durch yn dividierten Transformierten der Originalfunktion.

Betrachtet man die Differentiations- und Integralsätze, so wird deutlich, daß, wie bereits inKapitel 2 illustriert, die Differential- und Integraloperatoren vermittels der I-Transformationin algebraische Operatoren überführt werden. Es ist damit zu erwarten, daß für eine lineare,zeitinvariante Differentialgleichung eine transformierte Systemfunktion existiert, die von denEingangs- und Ausgangssignalen unabhängig ist. Weitere Einzelheiten hierzu, werden spätervertieft erörtert.

b) Laplace-Transformation

Für die Laplace-Transformation erhält man aus (7-62):

L d Lf u u ss

e f b f as

f t st

ba

yb( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )( (

0 0

1) 1)1 1

+ +

= − +

→∞→

− − ! " . (7-63)

Bei einer Quadratisch Integrablen Funktion gilt für b → ∞ ferner, daß1

01) 1)

se f b f ayb ( (( ) ( )− −− → ! " . Durch eine geradlinige Verallgemeinerung erhält man so-

dann den Integrationssatz zu:

L d L f u u ss

f t sn

n

t

n( ) ( ) ( ) ( )

..

+

=

01

1 . (7-64)

Für die Grenzwertbestimmung

lim ( ) ( )..

c

n

nc

t

f u u s→∞

L d 1

. (7-65)

wird das Argument der Laplace-Transformation so umgeformt, so daß der Integralsatz (7-64)angewendet werden kann. Ausgehend von

01

. : ( )..

f u u n

n

t

d −∞

(7-66)

kann man folgende Gleichungen rekursiv aufbauen:

01) 1) 1)

1).1

. : ( ) ( )( ( (

(.

f t f u n

n

t− −

+−

−−∞

− d

2 0 02 1) 2 1) 2 2

21

. : ( ) ( ) ( )( ) ( ( ( ) ( )

( )..

f t f t f u n

n

t− −

+− −

+−

−−∞

+ ⋅ + d

31 2

01

0 032

1) 2 3 3

31

. : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ( )

( )..

f tt

ft

f f u n

n

t− −

+−

+−

+−

−−∞

+⋅

⋅+ +

d

Page 36: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 13 -

Dr. Jörg Wollnack

v

f tt

vf

t

vf

t

v kf

t

v vf

f

u

vv v

v kk

v vv

v

n v

n v

t

. :

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( ( ))( )

( )

( )(

(( )

( )

( )( )

( (( (

( )

( )

( )..

−−

−+

−−

+

−−

+

− −− −

+

−+

−−∞

+⋅ −

+⋅ −

+

+⋅ −

+ +⋅ − −

+

1)1)

22

1))1))

1

1 2 10

1 2 20

1 20

1 2 10

0

d

v n= : ,

mit f t f u uv v

v

t( ) ( )

..

( ) ( )− = +

d 01

und

f f u uv v

v

( ) ( )

..

( ) ( )−+

−∞

= +

00

1

d . (7-67)

Dies kann man kurz zu

f u u f tt

n kfn v

n

tv

n kk

k

n

( ) ( )( )!

( )( )

..

( )( )

( )d −

−∞

−−

−+

= ∑= +

−1 1

0 (7-68)

notieren. Die Laplace-Transformierte ergibt nach Anwendung des Superpositionssatzes (7-7)und (7-64) dann:

L d L L f u u ss

f t sf

n kt sn v

n

t

n

kn k

k

n

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )!( )( )

..

( )( ) −

−∞

−+ −

= ∑

= +−1 1

1 0 . (7-69)

Da L t sv k

sv k

v k−

− += − ( )

( )!( 1)

ist, erhält man den Laplace-Integrationssatz n - ter Ordnung zu:

L d L f u u ss

f t sf

sn v

n

t

n

k

n kk

n

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

..

( )

( −

−∞

−+

− +=

= +1

1)1

1 0 . (7-70)

Für die Herleitung des Integrationssatzes der inversen Laplace-Transformation geht mansinnvoller Weise von der Integrationsgleichung aus und integriert die Bildfunktion:

F s s f t e t ss

sts

( ) ( )−∞

−∞

−∞ =

+

d d d0

=

−∞

+

f t e s tsts

( ) d d0

=−

=∞

=∞

+

1

0t

f t e tst

s

s s

( ) d (7-71)

Für Quadratisch Integrable Funktionen gilt für t > 0 und δ > 0 lim ( )s

st

tf t e

→∞

−→1

0, so daß

man weiter die Gleichung

F s st

f t e ts

st( ) ( )−∞

−∞

=−

+

d d1

0

bzw.

F s sf t

ts

s

( )( )

( )∞

=

d L (7-72)

Page 37: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 14 -

Dr. Jörg Wollnack

erhält. Die Integration der Laplace-Transformierten bewirkt im Zeitbereich die Divisiondurch t. Bei der Integration in der komplexen Ebene ist zu beachten, daß der Realteil von sder Konvergenzbedingung unterliegt. Eine Verallgemeinerung des Integrationssatzes auf n –Integrationen ist aus praktischen Gründen nicht notwendig, weil die Auswertung der Integralehöher Ordnung deutlich an Komplexität zunimmt.

Bei der Herleitung des Integralsatzes sind von dem Ansatz

L d L d df u u s f u u f u u st t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )−∞ −∞

= +

+

+

0

0

(7-73)

ausgegangen. Dies läßt sich in den Ansatz

L d L d d df u u s f u u f u u f u u st t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−∞ −∞

= + +

+ −

+ −

0 0

0 0

(7-74)

überführen. Da für den Term lim ( )ε

ε

ε

→−

+

→0

0f t ta

a

d gilt, läßt sich ferner

L d L d df u u s f u u f u u st t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )−∞ −∞

= +

+

0

0

(7-75)

schreiben. Dies läßt sich auf den Integralsatz n-ter Ordnung übertragen:

L d L f u u ss

f t sf

sn v

n

t

n

k

n kk

n

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

..

( )

( −

−∞

−−

− +=

= +1

1)1

1 0 . (7-76)

Bei der Entwicklung der Differentiations- und Integralsätze der Originalfunktionen könnenzwei unterschiedliche Anfangsbedingungen auftreten, die mit 0- und 0+. Bei der Anwendungder Laplace-Transformation ist es ratsam, die linksseitigen Grenzwerte zu benutzen, damitabschnittsweise stetige Funktionen zugelassen werden können.

c) Fourier-Transformation

Für die Herleitung der Fourier-Integralsatzes ist es sinnvoll, nicht von dem allgemeinenAnsatz auszugehen. Der Integrationssatz ließe sich auch über den Faltungssatz entwickeln.Dies soll gezeigt werde, wenn der Faltungssatz eingeführt wurde. Geht man von der inversenFourier-Transformation aus und integriert über t, so erhält man:

f u u F j e tt

j tt

( ) d d d- -∞ −∞

∞ = 1

2πω ωω( )

=−∞−∞

1

2πω ωωF j e tj t

t

( ) d d

=−∞−∞

1

2πω ωωF j e tj t

t

( ) d d . (7-77)

Mit I e t e e tj tt

t j tt

( ) limα ω

α

α ω= =−∞

−∞ d d

0 und der Fallunterscheidung:

Page 38: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 15 -

Dr. Jörg Wollnack

II t

I t( )

( )

( )α

αα

=<≥

1

2

0

0

für

für , mit

I e te

jj t

t j t

1( ) ( )( )

αα ω

α ωα ω

= =+

+

−∞

+

d

I e t e te

j

e

jj t j t

t j t j t t

2

0

0

0

0

( ) ( ) ( )( ) ( )

αα ω α ω

α ω α ωα ω α ω

= + =+

+− +

+

−∞

− ++

−∞

− +

d d , (7-78)

läßt sich der Term

Ie

j

e

j

j t j t t

2

0

0

=+

+− +

+

−∞

− +( ) ( )α ω α ω

α ω α ω

=+

+ −− +

− +1 1

α ω α ω

α ω

j

e

j

j t( )

=− + + −

+

− +α ω α ωα ω

α ωj j e j t 12 2

( )

=+

−++

− +22 2 2 2

αα ω

α ωα ω

α ωje j t ( )

=+

−+

++

− +22 2 2 2 2 2

αα ω

αα ω

ωα ω

α ωje j t( ) (7-79)

durch Anwendung der Dilatationsregel (4-4) der Deltafunktion als

lim ( ) ( ) ( )α

ωα π δ ω π δ ωω→

= − +

0

2 2Ij

e j t und mit δ ω δ ω ω( ) ( )= e j t als

Ij

e j t2 0

1( ) ( )α π δ ω

ωω→ = +

(7-80)

interpretieren. Die Gleichung (7-80) repräsentiert das innere Integral der Gleichung (7-77), sodaß man die Gleichung

f u u F jj

et

j t( ) d d-∞ −∞

= +

1

2

1

πω π δ ω

ωωω( ) ( ) für t ≥ 0 bzw.1

= +∞ f u u j

jF j F

t

( ) d-

( ) ( ) ( ) ( )ωω

ω π δ ω10 für t ≥ 0 (7-81)

erhält. Die einschränkende Bedingung für t läßt sich, wie später gezeigt werden soll,eliminieren, wenn man die Herleitung des Integralsatzes über den Faltungssatz vollzieht.Damit gilt der Integrationssatz:

= +∞ f u u j

jF j F

t

( ) d-

( ) ( ) ( ) ( )ωω

ω π δ ω10 . (7-82)

Analog erhält man den Integrationssatz der Fourier-Transformierten zu:

j

tf t

f tF u u t

2

0

21

πδ ω

( )( ) ( )

( )+ ⋅ = ℑ

∞ ( ) d-

. (7-83)

1 δ δ( ) ( ) ( ) ( )x x f x f= =für 0 1

Page 39: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 16 -

Dr. Jörg Wollnack

Übungen

a) Entwickeln Sie mit Hilfe des Laplace-Integralsatzes aus der Korrespondenz

α αe t− ααs +

eine Korrespondenz für die Transformierte α

αs s + .

b) Gesucht ist die Laplace-Transformierte von sinω0t

t. Die Korrespondenz

sinω0t ω

ω0

202s +

sei Ihnen bekannt.

7.1.6 Faltungssätze

Der Faltungssatz soll anhand einer linearen, zeitinvarianten Differentialgleichung 1. Ordnung

Ct

y t C y t C x t1 0

d

d( ) ( ) ( )+ + = (7-84)

motiviert werden. Später im Kapitel 7.3 wird deutlich werden, daß die Linearität (1-6) undZeitinvarianz (1-5) eine hinreichende und notwendige für den Faltungssatz darstellt.

Durch die Laplace-Transformation der obigen Differentialgleichung erhält man:

C sY s y C Y sC

sX s1 00( ) ( ) ( ) ( )− + + =− . (7-85)

Nach dem Ausklammern von Y(s) ergibt sich für die Laplace-Transformierte

Y sX s

s C C

C y

s C C

C

s s C C( )

( ) ( )=+

++

−+

1 0

1

1 0 1 0

0

(7-86)

bzw. die Zeitfunktion formell

y ts C C

X s t y eC

Ce

C

Ct

C

Ct

( ) ( ) ( ) ( )=+

+ + −

− −L 1

1 0 0

10 1

0

1

0

1 . (7-87)

Hieran wird deutlich, daß man bei bekannter Eingangsfunktion x(t) zur Bestimmung der

Systemantwort y(t) eine Lösung für L−

+⋅

1

1 0

1

s C CX s t( ) ( ) finden muß. Im Argument der

inversen Laplace-Transformation tritt ein Produkt aus Laplace-Transformierte der Eingangs-funktion und einer das System charakterisierenden Laplace-Transformierten auf. Die Zeit-funktion der das System charakterisierenden Größe ergibt sich zu:

g tC

eC

Ct

( ) =−1

1

0

1 . (7-88)

Man kennt somit zwei Zeitfunktionen f1(t) und f2(t) und deren Laplace-Transformierte F1(s)und F2(s). Es stellt sich nun die Frage, welcher Operator im Zeitbereich ϕ der Multiplikationder Transformierten entspricht? Damit erhalten wir formal

L L Lϕ g u f u t s g t s f t s G s F s( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ⋅ = ⋅ bzw. (7-89)

in der Notation des speziellen Fredholmschen Integrals:

I I Iϕ g u f u x y g x y f x y( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ⋅ . (7-90)

Page 40: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 17 -

Dr. Jörg Wollnack

Um diesen Operator zu bestimmen, ist es notwendig, ein Produkt zweier Integrale in einGebietsintegral zu überführen, um anschließend durch eine Koordinatentransformation dieTransformationsvorschrift des I-Integrals zu erhalten. Durch den Strukturvergleich mit demTransformationsintegral läßt sich der gesuchte Operator identifizieren.

a) I-Transformation

Ausgehend von

I df x y e f x xx y

a

b

( ) ( ) ( ) = (7-91)

erhält man das Produkt zweier Transformierter

I I d df x y g x y e f x x e g x xx y

a

bx y

a

b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅ = ⋅ . (7-92)

Was identisch mit

I I d df x y g x y e e f x g v x vx y v y

a

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅ = = + e f x g v x vx v y

a

b

a

b( ) ( ) ( ) d d (7-93)

ist. Durch die Koordinatentransformation

τ = +x v und v u= bzw. τ τ τ= + ⇒ = − = −x v x v u und v u= (7-94)

erhält man für die Integrationsgrenzen

τ uobere Grenze: b + b buntere Grenze: a + a a (7-95)

und die Funktionaldeterminante

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= ∂∂

⋅ ∂∂

− ∂∂

⋅ ∂∂

x v

u

x v

x

u

v

u

x v

u

x

u

v,

, τ

τ ττ τ

= ⋅ − ⋅ − =1 1 0 1 1( ) , (7-96)

so daß man das Integral

I I d df x y g x y e f u g ux v

uuy

a

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

,

⋅ = − ∂

∂ τ ττ

τ2

2

= − e f u g u uy

a

b

a

bτ τ τ( ) ( ) d d

2

2

(7-97)

erhält. Der Kern der Integralgleichung kann vor das innere Integral gezogen werden, da erkeine Funktion von u ist, so daß man weiter

I I d df x y g x y e f u g u uy

a

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅ = −

τ τ τ

2

2

(7-98)

Page 41: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 18 -

Dr. Jörg Wollnack

erhält. Da für die Integrationsgrenzen a b= → ∞−0 , oder a b→ −∞ → ∞, gilt, ist dasäußere Integral identisch mit der I-Transformation, sofern die Funktionen QuadratischIntegrabel sind. Sind die Funktionen f und g kausal, so ist das Produkt der Funktionen nur fürτ τ− ≥ ⇒ ≥u u0 und u ≥ 0 ungleich null. Insofern muß in diesem Fall das innere Integral nurim Intervall , ]0− τ ausgewertet werden. Daher ergibt sich:

I I

d d

d dS S

f x y g x y

e f u g u u

e f u g u u

y

a

b

a

b

y

a

b( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

⋅ =

τ

ττ

τ τ

τ τ0

, mit

a b= → ∞−0 , oder a b→ −∞ → ∞, . (7-99)

Durch den strukturellen Vergleich mit der I-Transformation erhält man den gesuchtenOperator zu:

f x

f x u g u u

f x u g u u

f x y g x y xa

b

x( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

= ⋅

d

d

I I I

S S

0

1 , mit

a b= → ∞−0 , oder a b→ −∞ → ∞, . (7-100)

Die Multiplikation der I-Transformierten entspricht im Originalbereich einer Integration derStruktur

f v g v x f x u g u u( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) = −−∞

d . (7-101)

Dieser Operator wird als Faltungsintegral bezeichnet. Die Faltung ist kommutativ, distributivund assoziativ.

Bei der Herleitung des Faltungsintegrals wurde ein Produkt zweier Integrale in ein Gebiets-integral überführt. Dabei wurde die Identität

f u g v u v f u u g v vc

d

a

b

a

b

c

d

( ) ( ) ( ) ( )d d d d = ⋅ (7-102)

als wahr angenommen. Geht man von dem Gebietsintegral aus, so läßt sich die Funktion g(v)vor das innere Integral ziehen, da diese für die Integration über die Variable u als konstanterFaktor aufgefaßt werden kann, so daß man

f u g v u v g v f u u vc

d

a

b

c

d

a

b

( ) ( ) ( ) ( )d d d d =

(7-103)

erhält. Das Integral

f u u F d F cc

d

( ) ( ) ( )d I I= − , mit d

d

F

xx f xI ( ) ( )= (7-104)

kann unter der Voraussetzung, daß die Integrationsgrenzen c und d keine Funktionen derIntegrationsvariablen v sind als konstanter Faktor für die äußere Integration betrachtet wer-

Page 42: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 19 -

Dr. Jörg Wollnack

den, so daß sich zwei multiplikativ verknüpfte Integrale ergeben. Was zu beweisen war. DieseHerleitung ist unter der Annahme, daß a und b keine Funktionen von x sind, kommutativ.

b) Laplace-Transformation

Für die Laplace-Transformation erhält man analog den Faltungssatz des Zeitbereiches

L d L Lf t u g u u s f t s g t st

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−

= ⋅

0

und (7-105)

den des Bildbereiches

L df t g t sj

F s u G u uj

j

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅ = −− ∞

+ ∞

1

2π δ

δ

. (7-106)

c) Fourier-Transformation

Für die Fourier-Transformation erhält man analog die Faltungssatz des Zeitbereiches

ℑ −

= ℑ ⋅ ℑ−∞

f t u g u u j f t j g t j( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d ω ω ω und (7-107)

den des Bildbereiches

ℑ ⋅ = −−∞

f t g t j F j u G ju u( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ωπ

ω1

2d . (7-108)

Mit dem Fourier-Faltungssatz

f u s t u u F j s t j t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = ℑ ⋅ ℑ−∞

∞− d 1 ω ω (7-109)

läßt sich die Integrationsregel (7-81) ohne Beschränkung für t herleiten. Da die Sprung-funktion nur für t – u ≥ 0 nicht verschwindet, ist das Faltungsintegral nur innerhalb derGrenzen −∞ ≤ ≤u t auszuwerten. Damit gilt

f u s t u u f u u F jj

tt t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = = ℑ ⋅ +

−∞ −∞

− d d 1 1ωω

π δ ω . (7-110)

Aufgrund der Ausblendeigenschaft der Deltafunktion gilt ferner

= +−∞ f u u j

jF j F

t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )d ωω

ω π δ ω10 . (7-111)

Was zu beweisen war.

Übungen

a) Bestimmen Sie mit dem Faltungssatz aus der Korrespondenz 1 1 / s die Zeitfunktionzu den Transformierten von 1 / s2, 1 / s3, .... 1 / sn.

b) Bestimmen Sie aus der Korrespondenz e t−α 1

s +α die Korrespondenz zu

1

s n+α .

c) Beschreiben Sie die Systemantwort des Beispiels (7-87) mit Hilfe des Faltungssatzes.

Page 43: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 20 -

Dr. Jörg Wollnack

d) Lösen Sie die Integralgleichung y t f t y u h t u u( ) ( ) ( ) ( )= + −−∞

d mit Hilfe des Faltungs-

satzes der Fourier-Transformation. Nehmen Sie hierzu an, daß das Rücktransformations-integral existiert.

7.1.7 Periodische und periodisch fortgesetzte Funktionen

Periodische Funktionen genügen der Bedingung:

∀ ∈ = ± = +=−∞

∑k f t f t k T f t k Tk

P P( ) ( ) ( )0 0 0 , mit

f tf t t T

0

00

0( )

( )=

≤ <

p für

sonst . (7-112)

a) Laplace-Transformation

Betrachtet man kausale Funktionen, so existieren nur die Terme mit −k T0 . Infolgedessen er-hält man für die Laplace-Transformation unter Anwendung des Superpositions- und Ver-schiebungssatzes die Gleichung

L L L-f t kT s f t kT s e f t sk k

sk T

k0 0

00 0

00

0

0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−

= − ==

=

=

∑ ∑ ∑ . (7-113)

Das Laplace-Integral muß nur in der Primitivperiode T0 ausgewertet werden, so daß gilt:

L dPS-f t s f t e t est

Tsk T

k

( ) ( ) ( ) = −

=

∑0

0 0

0

0 . (7-114)

Der Summenterm repräsentiert die geometrische Reihe deren Grenzwert

Se

e esT

j k T k T∞ −

− + −=−

= <1

11

0

0 0für ( )δ ω δ (7-115)

konvergiert. Die Konvergenz kann durch Wahl des Dämpfungsterms realisiert werden, womitman die Gleichung

L dPSf t se

f t e tsT

stT

( ) ( ) ( ) =− −

−1

1 0

0

0

0

(7-116)

erhält. Diese Beziehung definiert die Laplace-Transformierte periodischer Funktionen. Mitihr lassen sich Systeme analysieren, deren periodisches Verhalten sich erst nach dem Ab-klingen eines Einschwingvorganges einstellt.

Für Signale, deren Laplace-Transformierte vom Typus

F sy s

e sT( )( )=

− −1 0(7-117)

sind, läßt sich die Zeitfunktion mit Hilfe des Residuensatzes über

f ty s e

e

st

sT( )( )=−

−∑Res

1 0(7-118)

Page 44: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 21 -

Dr. Jörg Wollnack

bestimmen. Die Pole liegen bei sj k

Tk = 2

0

π, so daß man für den stationären Anteil

f tT

Y s eks t

k

k

∞=−∞

= ∑( ) ( )1

0

(7-119)

erhält. Läßt sich F(s) derart zerlegen, daß zwei Anteile der Art

F s F s F s( ) ( ) ( )= +a s , mit F sa ( ) enthält sämtliche Pole mit Re( )s < 0 und F ss ( ) enthält sämtliche Pole mit Re( )s = 0 (7-120)

vorliegen, so liefert die inverse Transformation von F ss ( ) den quasi stationären und die vonF sa ( ) den abklingenden Anteil von f(t).

a) Fourier-Transformation

Periodische Funktionen können über die komplexe Fourier-Reihe (3-1) dargestellt werden.Man erhält den komplexen Fourier-Koeffizient über die Gleichung

Ct

f t e tkj k t

t

t

= −

−1

2 10

1

1

1

( ) ω d . (7-121)

Die Fourier-Transformierte eines zeitbegrenzten Signals

f tf t t t

01

0( )

( )=

P für

sonst(7-122)

der Primitivperiode f tP ( ) ergibt sich dann zu:

ℑ = −

−f t j f t e tj t

t

t

0

1

1

( ) ( ) ( ) ω ω d . (7-123)

Diese zeitbegrenzte Funktion f t0 ( ) sei per Definition periodisch fortgesetzt, so daß wir dieFourier-Reihendarstellung benutzen können. Ihre Fourier-Transformierte ergibt sich dann zu:

ℑ = −

−=−∞

∑f t j C e e tkj k t j t

t

t

k0

1

1

1

( ) ( ) ω ω ω d

= =−

−=−∞

∞ −

−=−∞

∑ ∑C e t Ce

j kkj k t

t

t

kk

j k t

t

t

k

( )( )

( )ω ω

ω ω

ω ω1

1

1 1

1

1

1

d

= −−

=−

− − −

=−∞

∞ −

=−∞

∑ ∑Ce e

j kC

j e

j kk

j k t j k t

kk

j k t

k

( ) ( ) ( )

( )

Im

( )

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω

1 1 1 1 1 1

1 1

2

= −−=−∞

∑ 2 1 1

1

Ck t

kkk

sin( )

( )

ω ωω ω

. (7-124)

Ein Vergleich der Gleichungen (7-121) und (7-123) zeigt, daß für ω ω= k 1 die Gleichung

Ct

F jkk = 1

2 11( )ω (7-125)

Page 45: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 22 -

Dr. Jörg Wollnack

gilt. Diese Gleichung stellt zugleich einen Zusammenhang zwischen den komplexen Fourier-Koeffizienten und der Fourier-Transformierten her. Durch Substitution von Gleichung (7-125) in Gleichung (7-124) erhält man:

ℑ = −−=−∞

∑f t j F j kk t

kk0 1

1 1

1

( ) ( ) ( )sin( )

( ) ω ω ω ω

ω ω

=

⋅ −

=−∞

∑ F j kt

t kk

π ω π1

1si , mit si(xx

x)

sin= . (7-126)

Diese Beziehung kann als Frequenz-Interpolationsformel oder Frequenz-Abtasttheorem zeit-begrenzter Funktionen gedeutet werden. Die Fourier-Transformierte läßt sich eindeutig ausden diskreten Werten F j k tπ 1 , k ∈ der zeitbegrenzten Funktion interpolieren.

Eine analoge Beziehung existiert für die Zeitfunktion, die sich aus der Gleichung (7-126)unter Anwendung des Vertauschungssatzes im Kapitel 7.1.9 herleiten läßt. Dieser Vorgriffauf den Vertauschungssatz ist hier sinnvoll, da mit ihm eine ökonomische Herleitung derZeit-Interpolationsformel möglich ist:

f t f v t v F j tv

( ) ( ) ( )=

− = ℑ −

=−∞

∑ πω

ω π ω1

10si , mit

F jF j

01

0( )

( )ω

ω ω ω=

P für

sonst und

f v F j e j t

t v

πω

ω ωω

ω

ω

πω

10

1

1

1

=−

=

( ) d . (7-127)

In analoger Weise kann diese Gleichung als Zeit-Interpolationsformel oder Zeit-Abtast-theorem bandbegrenzter Funktionen gedeutet werden. Die Zeitfunktion läßt sich eindeutig ausden diskreten Werten f vπ ω1 , v ∈ der bandbegrenzten Fourier-Transformierten inter-polieren. Ebenso gilt:

fv

Cv22

11ω

ω

= , mit C F j ev

j v

=−

01

1

1

( )ω ωπ ω

ω

ω

ω

d . (7-128)

7.1.8 Grenzwertsätze der Laplace-Transformation

Für die Grenzwertsätze der Laplace-Transformation existieren keine analogen Sätze bei derFourier-Transformation, da ihre Existenz auf dem Vorhandensein des Dämpfungsfaktorsberuht. Diese Sätze können z.B. zum Aufdecken von Fehlern genutzt werden, da man invielen praktischen Anwendungssituationen die Anfangs- und Endwerte leicht erkennen kann.Andererseits kann das Verhalten eines Systeme gerade an dieses Stellen von besondererBedeutung sein und über diese Sätze bestimmt werden.

Bei der Herleitung wird angenommen, daß die Grenzwerte f ( )0− und f ( )∞ existieren.Anderenfalls können diese Sätze nicht angewendet werden.

Page 46: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 23 -

Dr. Jörg Wollnack

Anfangswertsatz

Zur Entwicklung des Anfangswertsatzes geht man von dem Ableitungssatz (7-33) aus undvollzieht den Grenzprozeß:

lim ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( )s

st

s

s t

stf t e dt

tf t e dt s f t s f

→∞

−∞

→∞

−∞

→∞ −

− −

= = −d

d

d

dL

0 0

0 . (7-129)

Das Integral konvergiert wegen des Dämpfungsfaktors gegen null, so daß man die Gleichung

lim ( ) ( ) ( )s

s f t s f→∞ −− =L 0 0 ⇒ =

→∞ −lim ( ) ( ) ( )s

s f t s fL 0 (7-130)

erhält. Hiermit wird eine Beziehung zwischen dem Anfangswert der Zeitfunktion und derLaplace-Transformierten hergestellt, weshalb dieser Satz als Anfangswertsatz bezeichnetwird.

Endwertsatz

Zur Entwicklung des Endwertsatzes geht man analog zum Anfangswertsatz vor und vollziehtden Grenzprozeß

lim ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( )s

st

s

s t

stf t e dt

tf t e dt s f t s f

−∞

−∞

→ −

− −

= = −0

00

00

0d

d

d

dL (7-131)

Nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung gilt dann der Endwertsatz:

f f s f t s fs

( ) ( ) lim ( ) ( ) ( )∞ − = −− → −0 00

L ⇒ = ∞→

lim ( ) ( ) ( )s

s f t s f0

L . (7-132)

Übungen

a) Bestimmen Sie den Grenzwert für t → ∞ der Zeitfunktion e tα für Re α > 0 über die

Laplace-Transformierte s

s −α.

b) Bestimmen die den Grenzwert in Aufgabe a) für Re α < 0 in gleicher Weise.

c) Interpretieren Sie die Ergebnisse in Aufgabe a) und b).

7.1.9 Spezielle Sätze der Fourier-Transformation

Aufgrund der Symmetrie der Kerne der Fourier-Integrale läßt der Vertauschungssatz her-leiten, der von produktiver Bedeutung ist, weil man mit ihm sowohl neue Sätze als auch neueKorrespondenzen aus bereits bekannten entwickeln kann. Im Zusammenhang mit dem Satzkonjugiert komplexer Funktionen und dem Faltungssatz läßt sich ein Zusammenhangzwischen der Fourier-Transformierten und der Energie eines Signals über die ParsevalscheGleichung etablieren. Die Untersuchung kausaler Funktionen zeigt zusammen mit demFaltungssatz, daß unter speziellen Bedingungen Zusammenhänge zwischen dem Real- undImaginärteil der Fourier-Transformierten existieren. Diese Beziehungen führen zur Hilbert-Transformation und dem Begriff des analytischen Signals.

Page 47: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 24 -

Dr. Jörg Wollnack

7.1.9.1 Vertauschungssatz

Für die Herleitung des Vertauschungssatzes geht man von den Fourier-Integralen (3-8)und (3-9) aus und überführt ω in t und t in ω (Symbolisch: ω → t und t →ω). Durch Sub-stitution ω → −v ⇒ → −d dv ω ergibt sich für die Fourier-Transformierte:

F t f e t f v e v f v e vj t jv t jv t( ) ( ) ( ) ( )= = − − = −−

−∞

−∞

−∞

ω ω d d d . (7-133)

Der strukturelle Vergleich mit dem Fourier-Integral (3-9) zeigt, daß die Gleichung

F t f j t( ) ( ) ( )= ℑ −−1 2π ω (7-134)

gilt, so daß man unter Berücksichtigung des Ähnlichkeitssatzes (7-25)

F t f j t( ) ( ) ( )− = ℑ −1 2π ω (7-135)

erhält. Geht man somit von einer bekannten Korrespondenz aus, überführt ω in -t und t in ω(Symbolisch: ω → −t und t →ω) und multipliziert f j( )ω mit 2π , so erhält man eine neueZuordnung. Wegen der vorgenommen Vertauschung der Symbole wird der Satz als Ver-tauschungssatz bezeichnet.

Übungen

a) Entwickeln Sie aus der Korrespondenz ℑ =δ ω( ) ( )t j 1 mit Hilfe des Vertauschungs-satzes eine neue Korrespondenz.

b) Entwickeln Sie die Fourier-Transformierte einer Konstanten über den Ansatzlim ( , ) limα α

αα→ →

−= =0 0

1f t e t und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem von Aufgabe a).

7.1.9.2 Satz der konjugiert komplexen Funktion

Geht man von einer komplexen Funktion

f t f t j f t( ) ( ) ( )= +R I (7-136)

und ihrer konjugiert komplexen Funktion aus

f t f t j f t*( ) ( ) ( )= −R I , (7-137)

so erhält man durch Anwendung des Superpositions- und Homogenitätssatzes:

ℑ = ℑ + ℑf t j f t j j f t j( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ωR I bzw.

ℑ = ℑ − ℑf t j f t j j f t j*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ωR I . (7-138)

Die Fourier-Transformierte ist eine komplexe Funktion der Art F j( )ω , da das Fourier-Inte-gral ein bestimmtes Integral ist. Damit müssen die Fourier-Transformierten konjugiertkomplexer Zeitfunktionen ihrerseits konjugiert komplex zueinander sein:

ℑ − = ℑf t j f t j* *( ) ( ) ( ) ( ) ω ω . (7-139)

Page 48: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 25 -

Dr. Jörg Wollnack

7.1.9.3 Zuordnungssätze

a) Gerade und ungerade Funktionsanteile

Eine Funktion f t( ) kann grundsätzlich in einen geraden g t g t( ) ( )= − und ungeradenu t u t( ) ( )= − − Anteil

f t g t u t( ) ( ) ( )= + (7-140)

zerlegt werden. Die Fourier-Transformierte ergibt unter Anwendung des Linearitäts-Ähnlichkeitssatzes:

ℑ = ℑ + ℑ = +f t j g t j u t j G j U j( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω ω⇒ℑ = ℑ − −g t j g t j( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ≡ = −G j G j( ) ( )ω ωℑ = −ℑ − − −u t j u t j( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ≡ = − −U j U j( ) ( )ω ω . (7-141)

b) Komplexe Funktionen

Für komplexe Zeitfunktionen

f t f t j f t( ) ( ) ( )= +R I (7-142)

laßt sich die Fourier-Transformation unter Nutzung der Euleridentität e t j tj t± = +ω ω ωcos sinwie folgt darstellen:

F j f t j f t t j t t( ) ( ) ( ) cos sinω ω ω= + ⋅ +−∞

R I d

= + + −−∞

−∞

f t t f t t t j f t t f t t tR I I Rd d( )cos ( )sin ( )cos ( )sinω ω ω ω . (7-143)

Zerlegt man die Fourier-Transformierte F j( )ω in ihren Real- und Imaginärteil F jR ( )ω undF jI ( )ω , so erhält man die Gleichungen:

F j f t t f t t tR R I d( ) ( )cos ( )sinω ω ω= +−∞

F j f t t f t t tI I R d( ) ( )cos ( )sinω ω ω= −−∞

. (7-144)

Eine Spezialisierung der Gleichungen erhält man für gerade und ungerade Zeitfunktionen.

Gerade Funktionen

Die gerade Zeitfunktion wird durch Multiplikation mit sinω t ungerade, so daß der Termg t t( )sinω verschwindet und man die Gleichungen

G j g t j g t t tR R R d( ) ( ) ( ) ( ) cosω ω ω= ℑ =∞

20

G j g t j g t t tI I I d( ) ( ) ( ) ( ) cosω ω ω= ℑ =∞

20

(7-145)

erhält.

Page 49: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 26 -

Dr. Jörg Wollnack

Ungerade Funktionen

Die ungerade Zeitfunktion ist auch nach Multiplikation mit cosω t ungerade, so daß der Termu t t( ) cosω verschwindet und man die Gleichungen

U j u t j u t t tR I I d( ) ( ) ( ) ( )sinω ω ω= ℑ =∞

20

U j u t j u t t tI R R d( ) ( ) ( ) ( )sinω ω ω= −ℑ = −∞

20

(7-146)

erhält.

Zuordnungssätze

In der Operatorenschreibweise ergeben sich die Zuordnungssätze für gerade und ungeradeFunktionen zu:

Re ( ) Re ( ) ( )G j g t jω ω = ℑIm ( ) Im ( ) ( )G j g t jω ω = ℑRe ( ) Im ( ) ( )U j u t jω ω = ℑIm ( ) Re ( ) ( )U j u t jω ω = −ℑ . (7-147)

7.1.9.4 Parsevalsche Gleichung

Betrachtet man die Fourier-Transformierte eines Produktes zweier Zeitfunktionen, so erhältman mit Hilfe des Faltungssatzes (7-108):

ℑ = = −−∞

∞−

−∞

f t g t j f t g t e t F j u G ju uj t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ωπ

ωω d d1

2 . (7-148)

An der Stelle ω = 0 ergibt sich die Gleichung:

f t g t t F ju G ju u( ) ( ) ( ) ( )−∞

−∞

= −d d1

2π . (7-149)

Ersetzt man in dieser Gleichung g t( ) durch ihre konjugiert komplexe Funktion g t*( ) , so erhältman mit dem Satz der konjugiert komplexen Funktion (7-139):

f t g t t F ju G ju u( ) ( ) ( ) ( )* *

−∞

−∞

=d d1

2π . (7-150)

Da das konjugiert komplexe Produkt einer komplexen Variablen dem Betragsquadratentspricht, erhält man nach Substitution von u mit ω für identische Funktionen f und g dieParsevalsche Gleichung

f t t F j( ) ( )2 21

2−∞

−∞

=d dπ

ω ω . (7-151)

Ist die Funktion reell, so hat diese Gleichung eine physikalische Bedeutung. In vielenphysikalischen Systemen ist die Augenblicksleistung proportional zum Quadrat des Signals.Damit muß das obige Integral proportional zur Gesamtenergie des Signals sein, weshalb mandie Funktion

Page 50: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 27 -

Dr. Jörg Wollnack

F j( )ω 2 (7-152)

als Energiedichtefunktion bezeichnet. Sie definiert die Energie, die das Signal in eineminfinitesimalen Frequenzband dω besitzt.

7.1.9.5 Kausale Funktionen Fourier- und Hilbert-Transformation

Kausale Funktionen und Systeme wurden bereits in dem Kapitel 6 im Zusammenhang mit derLaplace-Transformation beschrieben und untersucht. Man konnte eine nicht kausale Funktiondurch Multiplikation mit der Sprungfunktion in eine kausale Funktion überführen. Bereitskausale Funktionen müssen damit der Bedingung

f t f t s tS S( ) ( ) ( )= (7-153)

genügen.

Diese Gleichung ist somit zugleich die Definitionsgleichung kausaler Funktionen. EineBeschreibung über die Fourier-Transformierte

ℑ = ℑ = −−∞

f t j f t s t j F ju S j u uSS S d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ω ωπ

ω1

2 (7-154)

führt mit

ℑ = +s t jj

( ) ( ) ( ) ωω

π δ ω1 2 (7-155)

auf das Faltungsintegral:

F j F juj u

u uS S( ) ( )( )

( )ωπ ω

π δ ω=−

+ −

−∞

1

2

1d

=−

+ −−∞

−∞

1

2

1 1

2jF ju

uu F ju u uS Sπ ω

δ ω( )( )

( ) ( )d d

=−

+−∞

1

2

1 1

2jF ju

uu F jS Sπ ω

ω( )( )

( )d . (7-156)

Dies läßt sich durch Isolation von F jS ( )ω in die Gleichung

F jj

F juu

uS S( ) ( )( )

ωπ ω

=−−∞

1 1d . (7-157)

überführen. Diese Gleichung der Fourier-Transformierten ist analog zur Definitions-gleichung (7-153). Der Vergleich mit dem Faltungsintegral zeigt, daß F jS ( )ω durch Faltungmit der Fourier-Transformierten 2 / ( )jω entsteht. Dieser Fourier-Transformierten ist dieZeitfunktion sign( )t zugeordnet, so daß auch

ℑ =−−∞

f t t jj

F juu

uSS sign d( ) ( ) ( ) ( )( )

ωπ ω1 1

(7-158)

gilt. Im Gegensatz zur Gleichung (7-153) kann man diese Gleichung nur dann verwenden,wenn die Zeitfunktion kausal ist.

2 siehe Anhang Kapitel 14.1

Page 51: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 28 -

Dr. Jörg Wollnack

Zerlegt man die Fourier-Transformierte einer kausalen Funktion in Real- und Imaginärteil

F j R j j I jS S S( ) ( ) ( )ω ω ω= + , (7-159)

so muß mit (7-158) ferner gelten:

R j j I jj

R ju j I ju

uuS S

S S( ) ( )( ) ( )

( )ω ω

π ω+ = +

−−∞

1d

=−

−−−∞

−∞

1

π ω π ωI ju

uu

j R ju

uuS S( )

( )

( )

( )d d . (7-160)

Durch den Vergleich der Real- und Imaginärteile erhält man das Gleichungssystem:

R jI ju

uuS

S( )( )

( )ω

π ω=

−−∞

1d (7-161.1)

I jR ju

uuS

S( )( )

( )ω

π ω= −

−−∞

1d . (7-161.2)

Damit wird deutlich, daß bei kausalen Funktionen Real- und Imaginärteil der Fourier-Trans-formierten durch eine Integral-Transformation, die man als Hilbert-Transformation be-zeichnet, miteinander wechselseitig verbunden sind. Die Fourier-Transformation kausalerFunktionen erzeugt somit unmittelbar Korrespondenzen der Hilbert-Transformation:

H ( ) dF ju jF ju

uu ( )

( )

( )ω

π ω=

−−∞

1 . (7-162)

Die zweifache Anwendung der Hilbert-Transformation produziert bis auf das Vorzeichen dieOriginalfunktion. Infolgedessen ist die negative Hilbert-Transformation zugleich die inverseHilbert-Transformation:

H ( ) d-1 F j juF j

πωω

ω ( )( )

( )= −

−−∞

1 . (7-163)

Für kausale Funktionen sind der Real- und Imaginärteil der Fourier-Transformierten wechsel-seitige Hilbert-Transformierte. Aus diesem Grunde muß die Zeitfunktion allein aus dem Real-oder Imaginärteil bestimmt werden können. Da sich grundsätzlich jede Funktion in einengeraden und ungeraden Anteil zerlegen läßt, gilt für kausale Funktionen die Bedingung:

g t u t tS S für( ) ( )+ = <0 0 bzw.g t u t tS S für( ) ( )= − <0 . (7-164)

Für t > 0 folgt aus g t u tS S( ) ( )= − mit g t g tS S( ) ( )= − und u t u tS S( ) ( )= − − :

g t u t tS S für( ) ( )= > 0 . (7-165)

Dies läßt sich zusammenfassend zu

g t u t tS S sign( ) ( ) ( )= bzw. u t g t tS S sign( ) ( ) ( )= (7-166)

darstellen. Damit läßt sich die kausale Funktion ferner über

f t g t g t t u t u t tS S S S Ssign sign( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + = + = + = +g t t u t tS Ssign sign( ) ( ) ( ) ( )1 1 (7-167)

Page 52: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 29 -

Dr. Jörg Wollnack

oder

f t g t s t u t s tS S S( ) ( ) ( ) ( ) ( )= =2 2 (7-168)

beschreiben.

Spezialisiert man weiter und betrachtet reelle kausale Funktionen, so erhält man unterBerücksichtigung der Zuordnungssätze (7-147)

g t G j tS S( ) Re ( ) ( )= ℑ −1 ω und (7-169)

u t U j tS S( ) Im ( ) ( )= ℑ −1 ω , (7-170)

so daß man die ungeraden und geraden reellen Zeitfunktion allein aus dem Real- oderImaginärteil der Fourier-Transformierten über die Gleichungen

g t G j tS S d( ) Re ( ) cos=∞

1

0πω ω ω und (7-171)

u t U j tS S d( ) Im ( ) sin= −∞

1

0πω ω ω (7-172)

bestimmen kann. Damit ergeben sich weiter die gesuchten Beziehungen zu:

f t F j tS S d( ) Re ( ) cos=−∞

2

πω ω ω oder

f t F j tS I d( ) Im ( ) sin= −−∞

2

πω ω ω . (7-173)

Eine reelle kausale Zeitfunktion ist somit allein durch den Real- oder Imaginärteil derFourier-Transformierten bestimmt. Real- und Imaginärteil sind dabei wechselseitige Hilbert-Transformierte und können nicht voneinander unabhängig gewählt werden.

7.1.9.6 Analytische Signale

Ein deterministisches Signal ist eine reelle Zeitfunktion endlicher Energie. Eine nützlicheErweiterung dieses Signalbegriffs repräsentieren die komplexen Signalformen in spezieller

f t x t j y t( ) ( ) ( )= + (7-174)

und erweiterter

f x t u j y t u( ) ( , ) ( , )λ = + , mit λ = +t j u (7-175)

Form. Sind der Real- und Imaginärteil dieser komplexen Signale wechselseitige Hilbert-Transformierte, so nennt man die Signale

f t x t j H x t( ) ( ) ( ) ( )= + τ , mit H x t x t( ) ( ) * ( ) ( )τπτ

τ =

1(7-176)

analytische Signale. Als Fourier-Transformierte erhält man nach Anwendung des Faltungs-satzes (7-107)

Page 53: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 30 -

Dr. Jörg Wollnack

ℑ = ℑ + ℑ ⋅ ℑ

f t j f t j j f t jt

jA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ωπ

ω1

= + ⋅ −F j j F j j( ) ( )ω ω ωsign = + ⋅ = +F j F j F j( ) ( ) ( )ω ω ω ω ωsign sign1 bzw.

F j F j sA ( ) ( ) ( )ω ω ω= 2 . (7-177)

Für die Rücktransformation werden sodann nur positive Kreisfrequenzen

f t F j e j tA d( ) ( )=

ω ωω

0

. (7-178)

integriert, da die Fourier-Transformierte analytischer Signale nur für positive Werte von ωungleich null ist. Letzteres ist physikalisch plausibel ist und war historisch Motiv zur Defini-tion dieser Signalklasse.

7.1.10 Prinzipien der Rücktransformation

In den vorherigen Abschnitten wurde die Bedeutung der Integraltransformationen für dielineare, zeitinvariante Differentialgleichungen illustriert. Über die Approximation perio-discher Funktionen ließ sich mit dem Grenzübergang T0 → ∞ quasi eine unendliche Periodeeinführen. Dieser Grenzübergang führte zur Idee der Integraltransformationen undFredholmschen Integralgleichung erster Art.

Nach der Herleitung einfacher Korrespondenzen wurden eine Reihe von Hilfssätzen ent-wickelt. Hierbei wurde die Vermutung, die sich bereits bei der Betrachtung periodischerFunktionen ergab, bestätigt, daß man mit Hilfe spezieller Integraltransformationen, dieDifferential- und Integralgleichungen in algebraische Gleichungen überführen kann. DieRücktransformation der algebraisch gewonnen Systemfunktion oder Systemantwort ist zu-meist der aufwendigste Teil. Dieser ist zugleich auch der wichtigste Teil, schließlich interes-siert man sich in der Regel für die im Originalbereich zugeordneten Zeitfunktionen. Ausdiesem Grunde ist es wichtig, Methoden zu entwickeln, die Berechnung des komplexen Um-kehrintegrals (6-2), (6-4) bzw. (7-2.2) ermöglichen. Die sicherlich einfachste Methode zurGewinnung der Originalfunktion ist der Gebrauch von Korrespondenztabellen. In den hierfürentwickelten Tabellenwerken sind die Korrespondenzen nach Eigenschaften der Trans-formierten klassifiziert.

7.1.10.1 Partialbruchzerlegung

Geht man davon aus, daß die Transformierten vom Typus

F sZ s

N s( )

( )

( )= , mit

Z s a s akk

k

K

k

Z

( ) ,= ∈=∑

0

, N s b s bkk

k

K

k

N

( ) ,= ∈=∑

0

und K KN Z> . (7-179)

sind, so läßt sich die Methode der Partialbruchzerlegung anwenden. Damit reduziert sich dasProblem der Rücktransformation auf die Rücktransformation von Funktionen des Typs

Page 54: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 31 -

Dr. Jörg Wollnack

A

s s

k n

k

n− , n ∈ ,2, 1 . (7-180)

Mit der Korrespondenz

At

nek n

ns tk

1

1( )!

A

s s

k n

k

n− , n ∈ ,2, 1 , (7-181)

läßt sich die Rücktransformation in den Zeitbereich ausführen.

a) Pole 1. Ordnung

Z s

N sC

s z s z s z

s n s n s nm M

k K

m M( )

( )=

− − −− − −

1

1

1

β β β

(7-182)

Voraussetzung:

• Pose 1. Ordnung

• Grad N(s) > Grad Z(s)

• Sämtliche Pole und Nullstellen verschieden

Ansatz:

F Ss z s z s z

C s n s n s n

A

s n

A

s n

A

s nm M

N k K

k

k

K

K

m M

( ) =− − −

− − −=

−+ +

−+ +

−1

1

1

1

1

β β β

(7-183)

Methoden zur Bestimmung der Ak:

1. Koeffizientenvergleich

2. A s n F sks n

kk

= − ⋅→lim ( )

3. AZ s

sN s

Z n

N nks n

k

kk

= =′→

lim( )

( )

( )

( )dd

b) Pole höherer Ordnung

Z s

N s

Z s

s n s n s nk Kk K

( )

( )

( )=− − −1

1 α α α

(7-184)

Voraussetzung:

• Grad N(s) > Grad Z(s)

• Nenner- und Zählerpolynomnullstellen verschieden

• Sämtliche Pole und Nullstellen verschieden

Ansatz:

Page 55: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 32 -

Dr. Jörg Wollnack

F sA

s n

A

s n

A

s n

k

k

k

k

( ) =−

+ +−

+ +−

α α α αα

1 1 1 1

1

1

1

A

s n

A

s n

A

s ni i i i

i

i

k

i

k

i

α α α αα

1

−+ +

−+ +

A

s n

A

s n

A

s nK K K K

K

K

k

K

k

K

α α α αα

1

−+ +

−+ +

(7-185)

Methoden zur Bestimmung der Ai kα :

4. Koeffizientenvergleich

5. Am s

s n F si i

k

i

ms n

m

m kα αα

( ) !lim ( )− →

= − ⋅

1 d

d

7.1.10.2 Das komplexe Umkehrintegral und Cauchysche Sätze

Für die inversen Integraltransformationen (6-2) und (6-4) gilt es das komplexe Umkehr-integral

J tj

F s e sst

j

j

( ) ( )=− ∞

+ ∞

1

2π δ

δ

d (7-186)

auszuwerten. Um die Problemstellung zu verallgemeinern gehen wir von dem Ansatz

J f z x z f z zC C

= ≡ ( , ) d ( ) dWeg Weg

(7-187)

aus. Hierbei repräsentiert C einen Weg in der komplexen Ebene von einem Punkt a nach b.Derartige Integrale wurden in der komplexen Funktionentheorie ausgiebig untersucht [???].

Hierzu geht man von einer komplexen Zuordnungsvorschrift

∀ ∈ ∃ ∈ =( , ) ( , ) ( )x y u v w f z 2 2 , mit w u jv= + und z x jy= + (7-188)

aus. Es läßt sich leicht einsehen, daß u und v Funktionen zweier Variablen

∀ ∈ ∃ ∈ ≡( , ) ( , )x y u u u x y 2

∀ ∈ ∃ ∈ ≡( , ) ( , )x y v v v x y 2 (7-189)

sein müssen. Um die komplexeFunktion visuell darstellen zu können,bräuchte man einen anschaulichenvierdimensionalen Raum. Da diesnicht möglich ist, verwendet manzwei Gaußsche Ebenen, wobei dieAbbildungsvorschrift f die eindeutigeZuordnung der Elemente (x,y) auf(u,v) bewirkt bzw. die Abbildung derz- aus die w-Ebene vollzieht (sieheAbbildung 7-2). Die aus der reellenFunktionentheorie bekannte Begriffe,

jv

u

jy

x

z -E b e n e w -E b e n e

f

G

Abb. 7-2: Komplexe z- und w-Ebene

Page 56: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 33 -

Dr. Jörg Wollnack

wie Wertevorrat und Definitionsbereich können ohne weiteres übernommen werden.

Betrachtet man die Gleichungen (7-188) und (7-189), so erkennt man, daß die komplexeFunktionentheorie im Prinzip über die Theorie reeller Funktionen mehrerer Variable be-schrieben werden könnte. Es hat sich aber gezeigt, daß die “spezielle“ komplexe Funktionen-theorie eine höchst bedeutungsvolle Theorie hervorbringt, wenn man an das Differential derkomplexen Funktion die Forderung der Wegunabhängigkeit stellt. Aus dieser Forderungergeben sich die Cauchy-Riemanschen-Differentialgleichungen:

∂∂

= ∂∂x

uy

v und ∂∂

= ∂∂y

ux

v . (7-190)

Existiert in einem Gebiet G der z-Ebene das Differential von f(z) und gelten in G die Cauchy-Riemanschen-Differentialgleichungen, so nennt man f(z) regulär. Da man für diese Funktions-klasse gleiche Strukturen wie im reellen erhält, vererben sich die reellen Differentiations-regeln auf die regulären Funktionen. Die Cauchy-Riemanschen-Differentialgleichungenerfüllen zugleich die Laplacesche-Differentialgleichung, weshalb jede reguläre Funktion alstotales Differential bzw. als Potentialfunktion aufgefaßt werden kann.

Die Integration im komplexen wird analog zum reellenüber einen Grenzwert von Ober- unter Untersummendefiniert. Im allgemeinen ist die Integration vom Weg Cabhängig. Für reguläre Funktionen ist die Integrationwegunabhängig und das Umlaufintegral null (Potential-theorie), so daß in einem einfach zusammenhängendemGebiet G der Integralwert (7-187) aus den Weggrenzenberechnet werden kann. Es gilt dann der Hauptsatz derIntegral- und Differentialrechnung:

f zz

f z za

z

( ) ( )= d

dd . (7-191)

Für eine Veranschaulichung der komplexen Integrationempfiehlt sich Abbildung 7-3. Jeder Integrationsweg C iststets eine orientierte Kurve. Bei nicht geschlossenen Kur-ven ist die Orientierung durch die Grenzen a und bdefiniert. Geschlossene Kurven werden durch eine positiveoder negative Orientierung in ihrem Umlaufsinn eindeutigerklärt (siehe Abb. 7-4). Die positive Orientierung läuft immathematisch positiven Sinn, also gegen den Uhrzeiger-sinn. Die Zusammensetzung des Integrationsweges wirdformelmäßig unter Berücksichtigung des Umlaufsinns wiefolgt dargestellt:

C C C C C C C= + − − = −2 3 1 3 2 1 . (7-192)

Der Verbindungswege C3 hebt sich auf.

Weil C eine geschlossene Kurve ist, gilt

f z z f z z f z zC C

( ) d ( ) d ( ) d = + =−2 1

0 , (7-193)

woraus

jy

x

z -E b e n e

G e b ie tG

a

b

W e gC

Abb. 7-3: Integration in derkomplexe Ebene

jy

x

z -E b e n e

C 1C 2

C 3

Abb. 7-4: GeschlosseneKurven

Page 57: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 34 -

Dr. Jörg Wollnack

f z z f z zC C

( ) d ( ) d2 1

= (7-194)

folgt.

Für die Betrachtung eines mehrfach zusammenhängenden Gebiets sei das Beispiel in Ab-bildung 7-5 gewählt. Die Funktion f(z) sei innerhalb des nicht schraffierten Gebiets regulär.Wählt man den Weg C1 derart, daß das Innengebiet des Weges C2 die Gebiete G G Gi n1

enthält und sind diese Gebiete durch einen Punkt mit 1

z zi− erklärt, so erhält man, da sich die

Werte der Verbindungswege wechselseitig aufheben, die Gleichung

f z z j n jC G i

n

( ) denthält0 0

2 21

∑= ==

π π . (7-195)

Für nicht reguläre Stellen, die nicht durcheinen Punkt, sondern durch ein Gebietdefiniert sind, welches im allgemeinen vonf(z) abhängt, gilt dann die Gleichung:

f z z f z z AC G C Gi

n

ii

n

i i

( ) d ( ) denthält enthält0

1 1 ∑ ∑= =

= =

, worin

Ai eine charakteristische Größe von f(z) ist.

Die wichtigste Anwendung findet dieseGleichung, wenn f(z) überall regulär ist, mitAusnahme der singulären Punkte zi, miti n∈ ,2, , 1 . Integriert man um alleSingularitäten, so entsteht ein (n+1)-fachzusammenhängendes Gebiet G. Da für sämt-liche im Regularitätsbereich liegende undsich allerhöchstens berührende Wege Ci, die

um zi laufen, Ai konstant ist, muß der Wert des Integrals von dem singulären Punkt zi ab-hängen, so daß man den von Cauchy entwickelten Residuensatz

f z z j RC

ii

n

( ) d0

21

∑==

π . (7-197)

erhält. Hierbei ist Ri das Residuum von f(z) an der Singularität zi.

Ein weiterer wichtiger Satz stellt die Cauchysche Integralformel dar []:

d

d

( )

( - )d

+

n

n nG

zf z

n

j

f w

w zz( )

!= 2 1π , mit n ∈ und f in G regulär und eindeutig. (7-198)

jy

z -E b e n e

C 2

G 0

G

C 1

x

G 1

G 2

G n

Abb. 7-5: Mehrfach zusammenhängendesGebiet

Page 58: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 35 -

Dr. Jörg Wollnack

Für die komplexe Integration regulärer komplexer Funktionen gelten ferner die Sätze:

a) Linearität und Homogenität

a f z z a f z zk kk

n

C

k k

Ck

n

( ) ( )d d= =∑ ∑=

1 1

(7-199)

b) Weg- und Teilweg-Integralsumme

f z z f z z

CCk

n

kk

nk

( ) ( )d d

=∑

= ∑=

1

1

(7-200)

c) Integralabschätzung

f z z f z z M s M LC C C

( ) ( )d d d ≤ ≤ = ,

wenn ∀ z auf dem Weg C gilt f z M( ) ≤ und L die Länge des Weges ist. (7-201)

d) Parametrischer Weg

Ist der Integrationsweg C in parametrischer Form z x t j y t= +( ) ( ) , mit t t ta b≤ ≤ gegeben, soläßt sich das Integral über

f z z f z tz

tt f z t z t t

C t

t

t

t

a

b

a

b

( ) ( ( )) ( ( )) ( )dd

dd d = = (7-202)

berechnen.

Mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes läßt sich für eine bis auf an den Punkten zk

reguläre Funktionen f(z) der Integralsatz

f z zg z

z zz

j

n zf z z z

k

n

C z

n

n k

n

z zk k k

( )( )

!( )d d

d

denthält

=−

= ⋅ − ++

= 1

12π(7-203)

entwickeln. Nach dem Residuensatz (7-197) ist die Summe sämtlicher Residuen in G0 gleichdem Umlaufintegral auf C0 welches G0 vollständig enthält., so daß

f z f z z jz

f z z z

nC z C zj

m n

nk

n

kk

m

z zk k k k

k

k

k

k

( ) ( )( )

!enthält enthält

dd

d ∑ ∑= =⋅ −

=

+

==

1

1

1

(7-204)

gilt. Hierbei gibt m die Anzahl der Singularitäten in G0 an und f(z) muß vom Typus

g z z zk

nk( ) / − (7-205)

sein. Nach Transformation von nk erhält man weiter:

f z jn z

f z z zC z k

n

n k

n

k

m

z zk k

k

k

k

k

( )!

( )enthält

d

d ∑=−

⋅ −−

−= =

21

1

1

11

π

. (7-206)

Diese relativ aufwendige Schreibweise wird oft verkürzend

Page 59: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 36 -

Dr. Jörg Wollnack

f z j f zkk

m

( ) ( ) ∑==

21

π res , mit

resd

dk

k

n

n k

n

z z

f zn z

f z z zk

k

k

k

( )!

( )

=−

⋅ −−

−=

1

1

1

1(7-207)

dargestellt. Aufgrund des allgemeinen Residuensatzes (7-197) kann man Funktionen, dienicht vom Typus (7-205) sind, auswerten, indem man um das Gebiet Gk im Regularitäts-bereich integriert.

Das komplexe Umkehrintegral und seine Berechnung mittels des Residuensatzes

Geht man davon aus, daß F(s) und F(jω) Integraltransformierte sind, die in der endlichen s-Ebene als einzige Singularitäten Pole r-ter Ordnung besitzen, so gilt es die komplexen Um-kehrintegrale

f tj

F s e sst

j

j

( ) ( )=− ∞

+ ∞

1

2π δ

δ

d und (7-208)

f t F j e j t( ) ( )=∞

1

2πω ωω d (7-209)

auszuwerten. Da die Laplace-Trans-formierte in der rechten s-Halbebeneholomorph ist, liegen die Pole sämt-lich in der linken Halbebene. In derHalbebene der absoluten Konvergenzdes zu F(s) gehörenden Laplace-Inte-grals legt man eine Gerade g parallelzur jω-Achse (siehe Abbildung 7-6).

Die Kurve Cn wird so gewählt, daßvon ihr n-Pole eingeschlossen wer-den. Die Kurve Cn+1 muß die von Cn

erfaßten Pole und mindestens einenweiteren Pol umschließen. Läßt mannun für n → ∞ die Anfangspunkte aund b gegen δ k j− ∞ und δ k j+ ∞streben, so belegt die KurveU C gn n n≡ + die gesamte linke Halb-

ebene. Es gilt dann die Gleichung:

F s e s F s e s F s e sst

U

st

g

st

Cn n n

( ) ( ) ( )d d d = + . (7-210)

Das Integral über den Weg Un repräsentiert das Umlaufintegral, so daß sich dieses mit demResiduensatz auswerten läßt. Damit erhält man die Gleichung:

F s e s j F s est

U

kst

k

K

n

( ) ( )d res ∑==

21

π . (7-211)

Läßt man nun n → ∞ und verschwindet dabei das Integral über Cn, so konvergiert das Inte-gral über Un gegen dem über gn, womit seinerseits das Laplace-Integral gegen Summe der

j

s -E b e n e

K

a

b

* s 1

*

* P o le

* *

* ** * s 2

* s n

C ng n

lin k e - re ch te H a lb eb e n e

Abb. 7-6:

Page 60: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 37 -

Dr. Jörg Wollnack

Residuen konvergiert. K gibt dann die Anzahl der Pole in der linken Halbebene an. Damitkommt man zu der Gleichung:

f tj

F s e s F s est

j

j

kst

k

K

( ) ( ) ( )= =− ∞

+ ∞

= ∑1

2 1π δ

δ

d res , (7-212)

so daß man die Inverse Laplace-Transformation mit Hilfe des Residuensatzes vollziehenkann.

Während die Residuen von F s est( ) nach Gleichung (7-207) zu berechnen sind, ist der Beweis

der Grenzrelation lim ( )n

st

C

F s e sn

→∞ →d 0 nicht so einfach. Dieser hängt stark von der geschick-

ten Wahl des Integrationsweges Cn ab. Wählt man hierfür einen Halbkreis, so kann man dasJordansche Lemma3 nutzen:

Der Weg Cn sei ein Halbkreis um ein Punkt z0 links von g gelegen. Mit a jk→ − ∞δ undb jk→ + ∞δ ist unter der Bedingung, daß F s Mn( ) ≤ und Mn → 0 für n → ∞ für jedes t ≥ 0

F s e sst

Cn

( ) d = 0. (7-213)

Für die Inverse Fourier-Transformation ist die Rücktransformation im allgemeinen kom-plizierter. Der Residuensatz findet auch hier seine Anwendung. Hierbei ist der Integrations-weg in der Regel so zu zerlegen, daß man ein Umlaufintegral erhält, welches keine nichtregulären Gebiete einschließt. Die Teilwege sind dann so zu wählen, daß einer von ihnen demInversen Fourier-Integral entspricht. Führt dies nicht zum Ziel, so ist ein Umlaufintegral zukonstruieren, das einerseits sämtliche Singularitäten und andererseits als Teilweg die InverseFourier-Transformation enthält. Das die Singularitäten enthaltende Umlaufintegral kann mitHilfe des Residuensatzes berechnet werden. Nach Isolation des komplexen Umkehrintegralsund Bestimmung der Integralwerte der verbleibenden Teilwege läßt sich die Inverse Fourier-Transformation angeben.

7.1.10.3 Laurent-Reihe und Residuensatz

Die Funktion f(x) kann in der reellen Analysis unter gewissen Voraussetzungen durch eineTaylor-Reihe bzw. Potenzreihe dargestellt werden. Dieses Konzept läßt sich auf komplexeFunktionen

f zz

f zz z

kR

k

kk

n

z z

k

n( ) ( )!

= ⋅−

+= =∑ d

d0

1

1

, mit lim

nnR

→∞= 0 (7-214)

im inneren Regularitätsbereich von f(z) erweitern. f(z) wird dann im inneren eines Konver-genzkreises durch die Taylor-Reihe dargestellt. Auf dem Rand dieses Kreises liegt min-destens eine Singularität von f(z). Der Konvergenzradius berechnet sich mit dem Quotienten-kriterium zu:

ra

an

n

nK =

→∞+

lim1

. (7-215)

Dabei gilt, folgendes Verhalten der Potenzreihe:

3 Lemma, <griech.> Vordersatz eines Schlusses.

Page 61: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 38 -

Dr. Jörg Wollnack

( )z z r− < ⇒1 K Konvergenz

( )z z r− = ⇒1 K unbestimmtes Verhalten

( )z z r− > ⇒1 K Divergenz . (7-216)

Satz 7-1:

Liegt für eine Potenzreihe Konvergenz vor, so darf sie gliedweisedifferenziert und integriert werden. Die sich ergebende Potenzreihehat den gleichen Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe.

Um nun auch Funktionen um einen Pol entwickeln zu können, wählt man zwei Potenzreihenin der Art:

f za z z

b z z

k

k

k m

i

i

i n

( ) =−

=

=

1

1

, mit ∀ ≠ ∧ ∀ ≠ ∧ >k a i b n mk i0 0 . (7-217)

Durch Vorziehen der niedrigsten Potenzen von z z− 1 erhält man:

f zz z

a z z

b z zn m

k

k m

k m

i

i n

i n

( ) =−

⋅−

−−

=

=

∑1

1

1

1

, mit ∀ ≠ ∧ ∀ ≠ ∧ >k a i b n mk i0 0 . (7-218)

Der zweite Faktor stellt eine holomorphe Funktion dar, die keinen Pol mehr aufweist, da ihrNennerkoeffizient bl n= ≠ 0 ist. Dieser Faktor kann durch eine Taylorische Reihe beschriebenwerden, so daß sich die Gleichung

f zz z

c z zn m k

k

k

( ) =−

⋅ −−=

∑1

1

10

(7-219)

ergibt. Nach Transformation der Indizes, mit r n m k r k m n v r v= − ⇒ − = + − = ⇒ − ≤ ≤ ∞erhält man

f z c z z c z zk

k m n

kk

k r

k

( ) = − = −+ −

=

∞−

=

∑ ∑10

10

(7-220)

bzw. nach formaler Umbenennung von c ck v→ erhält man die Laurent-Reihe:

f z c z zv

v

v r

( ) = −=−

∑ 1 . (7-221)

Die Laurent-Reihe ermöglicht eine Reihenentwicklung einer Funktion um ihren Pol. DieseReihe unterscheidet sich von der Taylorschen-Reihe durch die Hinzunahme negativer Expo-nenten. Die Gesamtheit der Potenzen mit negativen Exponenten wird als absteigender Teil derReihe bezeichnet. Beginnt die Reihe bei v = -r , so hat f(z) einen Pol r-ter Ordnung. DieKoeffizienten der Laurent-Reihe können mittels Division von Potenzreihen und anschließen-dem Koeffizientenvergleich ermittelt werden.

Für die über die Laurent-Reihe zu vollziehende Herleitung des Residuensatzes gilt es dieFunktion f z z z

k( ) = − 0 zu untersuchen. Diese Funktion ist in der gesamten z-Ebene für

Page 62: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 39 -

Dr. Jörg Wollnack

k < 0 mit Ausnahme des Punktes z0 stetig. Wählt man nun als Integrationsweg C einen Kreismit dem Radius r um z0, so kann man die Parameterdarstellung

z t x t j y t( ) ( ) ( )= + , x t x r t( ) cos( )= +0 , y t y r t( ) sin( )= +0 , mit 0 2≤ ≤t π . (7-222)

nutzen. Mit Gleichung (7-202) erhält man für das Umlaufintegral:

J f z z r t j t r t j t tC

k k= = + ⋅ − + ( ) cos sin sin cosd d 0

= ++ +j r t j t tk k1 1

0

2

cos sin dπ

. (7-223)

Also ist für k ≠ -1 J = 0 und für k = -1 gilt dann:

J j r e t j t jk j k t= = =+ + 1 1

0

2

0

2

2 d dπ π

π . (7-224)

Damit erhält man zusammenfassend:

z z zk

jk

C

− =≠ −

0

0 1

2 d

für

sonstπ. (7-225)

Der Integralwert ist also vom Radius unabhängig. Da die Potenz z zk− 0 für k ≥ 0 in der ge-

samten z-Ebene regulär ist, erhält man das obige Resultat für beliebige Wege C. Für k < -1zeigt das Beispiel, daß der Cauchysche Satz nur eine hinreichende Bedingung für die Wegun-abhängigkeit liefert.

Schlägt man nun um den Pol z1 von f(z) einen Kreis in der parametrischen Darstellung (7-222)und bestimmt hierüber das Umlaufintegral von f(z) und der f(z) beschreibenden Laurent-Reihe, so erhält man die Gleichung:

f z z C jz

( ) dUmlauf umim Regularitätsbereich

0

1 2

− = π . (7-226)

Der Koeffizient

C f zj

f z zz

z

= = 1 1

1

1

2res d

Umlauf umim Regularitätsbereich

( ) ( ) π

(7-227)

wird deshalb als das Residuum der Funktion f(z) zum Pol z1 bezeichnet. Die Gleichung (7-227) ist ein Spezialfall des allgemeinen Residuensatzes (7-197).

Ersetzt man den Kreis um z1 durch eine geschlossene Kurve G0, die sich nicht selbst über-schneidet und besitzt f(z) in G0 m Pole, so gilt, sofern die Funktion ansonsten regulär ist:

1

20

11

1jf z z f z C

G

kk

m

kk

m

π( ) ( )d res ∑ ∑= =

=−

= . (7-228)

Diese Gleichung ist mit dem Residuensatz (7-197) identisch.

Page 63: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 40 -

Dr. Jörg Wollnack

Die jetzt vielleicht aufkeimende Frage, warum der Residuensatz im Zusammenhang mit derLaurent-Reihe betrachtet wird, läßt sich nun beantworten, da hiermit eine relativ einfacheHerleitung der Gleichung (7-204) gelingt.

Die Funktion f(z) mit einem Pol r-ter Ordnung an der Stelle z1 sei durch eine Laurent-Reihe (7-221) dargestellt. Durch Multiplikation mit z z

r− 1 erhält man

f z z z C z zr

v

v r

v r

( ) − = − +

=−

∑1 1 , (7-229)

woraus nach Transformation der Indizes mit k v r= +

f z z z C z zr

k v

k

k

( ) − = −−=

∑1 10

(7-230)

wird. Diese Potenzreihe repräsentiert die Funktion f z z zr

( ) − 1 . Der Koeffizient C-1 be-rechnet sich mit v k r= − = −1 ⇒ = −k r 1 unter k-maliger Differentiation nach z an der Stellez1 zu:

Cv z

f z z zv

v

r

z z

−=

=−

−1

1

1 1

1

11

!( )

d

d . (7-231)

Was äquivalent zur Gleichung (7-207) ist.

7.1.10.4 Zusammenhänge zwischen Laurententwicklung und Partialbruchzerlegung

Zwischen der Laurent-Reihe und der Partialbruchzerlegung existiert ein Zusammenhang, dernun im folgenden dargestellt werden soll.

Die Funktion f(z) habe einen Pol r-ter Ordnung an der Stelle zi und sei durch die Partial-bruchzerlegung

f za

z z

a

z zzr

i

ri

j( ) ( )=−

+ +−

+

1 Summen Partialbrüche um Pole , i j≠ (7-232)

dargestellt. An der Stelle zi sind die restlichen Partialbrüche, die sich auf andere Pole be-ziehen, endlich. Es muß also möglich sein, die restlichen Partialbrüche in der Nähe von zi

durch eine Potenzreihe darzustellen. Damit erhält man einen Haupt- und Nebenteil derLaurent-Reihe:

f za

z z

a

z zc z zr

i

ri

k i

k

k

( ) =−

+ +−

+ −=

∑ 1

0

. (7-233)

Hierdurch wird klar, daß die Summe der zu einem Pol zi gehörenden Partialbrüche einerrationalen Funktion f(z) gleich dem Hauptteil der Laurent-Reihe von f(z) um zi ist. Somit mußdie gesamte Partialbruchzerlegung von f(z) gleich der Summe sämtlicher Hauptteile derLaurent-Reihe von f(z) um die Pole sein:

f za

z z

k v

k

vv

r

k

m k

( ) =−==

∑∑ 11

. (7-234)

Hierbei ist jedoch vorauszusetzen, daß der Nenner- größer als der Zählergrad ist. Es sich alsoum echt gebrochene rationale Funktionen handelt.

Page 64: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 41 -

Dr. Jörg Wollnack

Bei Problemstellungen, bei denen f(z) nicht zu der Klasse der rationalen Funktionen gehört,sind zunächst die Pole zu bestimmen. Erfüllt die Funktion das Jordansche Lemma (7-213), soläßt sich der Residuensatz anwenden. Anderenfalls gilt es die Reihe (7-234) zu entwickeln.Durch Bestimmung der akv mit der Methode

az

f z z zk v

v

v k

v

z zk

= −−

−=

d

d

1

1

( ) , (7-235)

läßt sich die Reihe gliedweise in den Zeitbereich der I-Transformation zurückführen. DieKorrektheit der Ergebnisse ist durch einen Vergleich mit der Problemstellung zu verifizieren,wenn ein Beweis der Konvergenz der Reihe nicht gelingt. Im Einzelfall kann dies durchausschwierig sein.

7.1.10.5 Die charakteristische Gleichung

Die Übertragungsfunktion eines Systems, welches mittels einer linearen, zeitinvariantenDifferentialgleichungen beschrieben wird, ist eine gebrochen rationales Polynom in s. DerResiduensatz und die Cauchyschen Sätze haben gezeigt, daß die Singularitäten bzw. Pole derÜbertragungsfunktion die Rücktransformierte essentiell bestimmen. Aus diesem Grunde wirddas Nennerpolynom N(s) als charakteristische Gleichung bezeichnet. Mit Kenntnis der Null-stellen dieses Polynoms gelingt die Rücktransformation. Die Koeffizienten des Polynomsbzw. die Lage der Pole in der s-Ebene sind wesentlich für das Stabilitätsverhalten einesSystems. Aus diesem Grunde fußen eine Reihe von Stabilitätskriterien auf der charak-teristischen Gleichung. Die charakteristische Gleichung steht auch in einem direkten Zusam-menhang mit den Eigenwerten des diesbezüglichen Zustandsmodells. Diese Betrachtungenwerden an geeigneter Stelle in den Kapitel ??? und ??? vertieft.

7.1.10.6 Anwendungsbeispiele des Residuensatzes

Die Anwendung des Residuensatzes soll anhand einiger Beispiel illustriert werden:

a) Geht man von der Laplace-Transformierten

f ss s

erst( ) =

−1

1 (7-236)

aus und wendet den Residuensatz an, so erhält man:

f tr z

e s s

s ss s

r

r

st r

r

r( ) lim!

=−

−−→

−1

1

1

1

11

d

d

=−

=−→

− →

−lim!

lim!s s

r

rst

s s

r st

r ze

rt e

1 1

1

1

1

1

1

11

d

d

=−

−t

re

rs t

1

11

! . (7-237)

Nach Transformation von n = r – 1 erhält man die Korrespondenz:

Page 65: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 42 -

Dr. Jörg Wollnack

t

ne

ns t

!1

1

1

1s s

n− + . (7-238)

b) Die Laplace-Transformierte sei ein Polynom der Art

F sZ s

s s s s s s( )

( )=+ + +1 2 3

, (7-239)

wobei die Nullstellen von Z(s) ungleich der Nennernullstellen sind. Für die Rücktransfor-mation erhält über den Residuensatz:

f tZ s e

s s s s

Z s e

s s s s

Z s e

s s s ss s

st

s s

st

s s

s t

( ) lim( )

lim( )

lim( )=

+ ++

+ ++

+ +→− →− →−1 2 12 3 1 3 1 2

= −− −

+ −− −

+ −− −

− − −Z s

s s s se

Z s

s s s se

Z s

s s s ses t s t s t( ) ( ) ( )1

2 1 3 1

2

1 2 3 2

3

1 3 2 3

1 2 3

. (7-240)

c) Führt man den Grenzprozeß δ → 0 bei der Laplace-Transformierten der Sprungfunktionaus, so erhält man / jω . Die Sprungfunktion war nicht QI, so daß der Grenzwert nichtgegen die Fourier-Transformierte konvergiert. Suchen wir nun die zugehörige Zeitfunktion,so gilt es das komplexe Integral

f tj

e

j

j t

( ) =−∞

1

2π ωω

ω

d (7-241)

auszuwerten. Wendet man hierzu den Residuensatz an und wählt zwei Halbkreise ent-sprechend Abbildung 7-7, so liegen die Wege im Regularitätsbereich von / jω . Da wederPole noch nicht reguläre Gebiete innerhalb der geschlossenen Kurve liegen, verschwindet dasUmlaufintegral, so daß gilt:

F s sj

e

j j

e

ss

j

e

ss

j t

g

s t

H

st

hn n n

( ) d d d d = + + =1

2

1

2

1

20

π ωω

π π

ω

. (7-242)

Läßt man nun Rn → ∞ und rn → 0 streben, so konvergiertdas Integral über gn gegen das Fourier-Integral. Auf dasIntegral über Hn kann für t > 0 das Jordansche Lemma (7-213) angewendet werden, da F s s( ) /=1 für n → ∞ danngegen null strebt.

Es gilt nun das Integral über hn auszuwerten. Mit dem Wegh s r en n

j≡ = ϕ ⇒ =d ds j r enjϕ ϕ und dem Integrationsinter-

vall − −

3

2 2π π

, erhält man das Integral zu:

j

s -E b e n e

g n

g n

R n

r n

Abb. 7-7: Integrationsweg

Page 66: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 43 -

Dr. Jörg Wollnack

Jj

e r j e

r en

t r en

j

nj

nj

=−

1

22

3

2

πϕ

ϕ ϕ

ϕπ

π

d

=−

1

22

3

2

πϕ

ϕ

π

π

et r enj

d . (7-243)

Hieraus erhält man für rn → 0:

J trn →

= = − >0

2

3

21

2

1

20

πϕ

π

π

d für . (7-244)

Mit Gleichung (7-242) folgt f(t) = ½ für t > 0. Da / jω ungerade ist, folgt, daß auch f(t)ungerade sein muß. Damit ist die Korrespondenz zu / jω mit

f tt

t( )

/

/=

− <>

1 2 0

1 2 0

für

für . (7-245)

gefunden. Unter Berücksichtigung des Linearitätssatzes erhält man:

ℑ =sign( ) ( )t jj

ωω2

. (7-246)

Die Originalfunktion zu 2 / jω ist somit die Signumfunktion. Zwischen ihr und der Sprung-funktion besteht der Zusammenhang

s t t( ) ( )= +1

21 sign , (7-247)

so daß auch

ℑ = ℑ + ℑs t j t j j( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ω1

2sign 1

= +1

jωπ δ ω( ) (7-248)

gilt. Was zu erwarten war.

Page 67: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 44 -

Dr. Jörg Wollnack

7.2 Laplace- und Fourier-Transformation im Zusammenhang mitlinearen, zeitinvarianten Differentialgleichungen

Es sei die lineare, homogene und zeitinvariante Differentialgleichung

bt

y t at

x tk

k

kk

K

m

i

im

Md

d

d

d( ) ( )

= =∑ ∑=

0 0

, a bm k∈ ∈ , (7-249)

gegeben. Unter der Annahme verschwindender Anfangsbedingungen sämtlicher Ableitungenerhält man nach Anwendung der Superpositions- und Differentiationssätze und die Laplace-Transformierte zu:

Y s b s X s a skk

k

K

mi

m

M

( ) ( )⋅ = ⋅= =∑ ∑

0 0

. (7-250)

Damit erhält man für die Quotienten der Laplace-Transformierten aus Ausgangs- undEingangsgröße die Systemkenngröße:

G sY s

X s

a s

b s

mi

m

M

kk

k

K( )( )

( )= = =

=

∑0

0

. (7-251)

7.3 Lineare, zeitinvariante Systeme und Faltungssatz

Es liege ein zeitinvariantes, lineares und homogenes System

y t x v t( ) ( ) ( )=φ (7-252)

vor, dessen Eingangsgröße x(t) durch die Treppenfunktion

x t x k t s t k t s t k tk

( ) ( ) ( ) ( ( ) )= − − − +=−∞

∑ ∆ ∆ ∆1 (7-253)

approximiert wird. Durch Anwendung des Homogenitäts- und Linearitätssatzes erhält manhieraus die Gleichung:

y t x k t s t k t s t k t tk

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )= − − − +

=−∞

∑φ ∆ ∆ ∆1

= − − − +=−∞

∑ x k t s t k t t s t k t tk

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )∆ ∆ ∆φ φ # $1 . (7-254)

Aufgrund der Zeitinvarianz erhält man nach Erweiterung mit ∆t weiter:

y t x k ts v t k t s v t k t

tt

k

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ( ) )

=− − − +

=−∞

∑ ∆∆ ∆

∆∆

φ φ 1 . (7-255)

Führt man den Grenzprozesses ∆ t → 0 aus, so geht der Differenzenquotient in das Differen-tial und die Summation in das Integral über und man erhält:

y t x u w t u u( ) ( ) ( )= ′ −−∞

d mit ′ − = −w t ut

s v t u( ) ( ) ( )d

dφ . (7-256)

Page 68: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 45 -

Dr. Jörg Wollnack

Da d

d

d

dtw t u

t uw t u( )

( )( )− =

−− ist, kann die Kennfunktion g t

ts u t( ) ( ) ( )= d

dφ als eine

systemcharakterisierende Größe betrachtet werden und man erhält den Faltungssatz:

y t x u g t u u( ) ( ) ( )= −−∞

d . (7-257)

Für kausale Systeme und Signale braucht man nur über das Intervall 0− , t integrieren undman erhält die Spezialisierung:

y t x u g t u ut

( ) ( ) ( )= −−

0

d . (7-258)

Diese Herleitung zeigt, daß Operatoren, die die Linearität, Homogenität und Zeitinvarianzerfüllen, auf das Faltungsintegral zurückgeführt werden können. Die Linearität, Homogenitätund Zeitinvarianz ist somit eine hinreichende Bedingung für die Existenz des Faltungssatzes.

In Kapitel 7.1.6 konnte gezeigt werden, daß die Linearität, Homogenität und Zeitinvarianzeine notwendige Bedingung für die Gültigkeit des Faltungssatzes darstellen. Somit sind dieseBedingungen sowohl hinreichend als auch notwendig für die Existenz des Faltungsintegrals.

Das Faltungsintegral kann ebenso mit Hilfe der Ausblendeigenschaft der Distribution ent-wickelt werden. Hierzu geht man von der Definition des Riemannschen Integrals

x t x t x tkd

k k kk

k

( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )= − = −→∞→ −∞

∑ τ

τ δ τ τ τ δ τ τ0

d d (7-259)

aus. Wirk die Eingangsgröße x(t) auf einen linearen, homogenen und zeitinvarianten Opera-tor, so erhält man für die Systemantwort:

y t x t x tkd

k k kk

k

( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= −

= −

→∞

→ −∞

∑ φ τ δ ξ τ τ φ τ δ ξ τ ττ 0

d d . (7-260)

Existiert der Grenzwert der Riemannschen Summe (Riemannintegrierbare Funktionen), soläßt sich der Grenzprozeß vor den Operator ziehen:

φ τ δ ξ τ τ φ τ δ ξ τ ττ τ

lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( )kd

k k kk

kd

k k kk

k k

x t x t→∞→

→∞→

= −

∑ ∑0 0

d d . (7-261)

Wegen der Linearität und Homogenität gilt weiter:

φ τ δ ξ τ τ τ φ δ ξ τ ττ τ

lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( )kd

k k kk

kd

k k kk

k k

x t x t→∞→

→∞→

= −∑ ∑

0 0

d d . (7-262)

Die Zeitinvarianz φ δ ξ τ φ δ ξ ξ τ( ) ( ) ( ) ( )− = −k kt des Operators nutzend, erhält man:

φ τ δ ξ τ τ τ φ δ ξ τ ττ τ

lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( )kd

k k kk

kd

k k kk

k k

x t x t→∞→

→∞→

= −∑ ∑

0 0

d d . (7-263)

Im Grenzprozeß konvergiert (7-263) mit (7-259) gegen

Page 69: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 46 -

Dr. Jörg Wollnack

φ τ δ ξ τ τ τ φ δ ξ τ τx t x t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−

= −−∞

−∞

d d , (7-264)

was unmittelbar zu dem Faltungsintegral

φ ξ τ τ τx t x g t( ) ( ) ( ) ( ) = −−∞

d , mit g t t( ) ( ) ( )=φ δ ξ (7-265)

führt.

7.4 Übertragungsfunktion, Sprung- und Impulsantwort, Signals-pektrum Betrags- und Phasengang

Für lineare, homogene und zeitinvariante Systeme gilt der Faltungssatz, der im Trans-formationsbereich der Fourier-Transformation auf ein Produkt der Fourier-Transformiertenaus Systemkennfunktion g(t) und Eingangsfunktion x(t) im Sinne der Abbildung 7-8 zurück-geführt werden kann.

Abb. 7-8: Relationen am linearen, homogenen und zeitinvarianten System

Die Impulsantwort eines Systems erhält man durch Erregung mit der Deltafunktion

φ δ δ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v t u g t u u g t = − =−∞

d (7-266)

und die Sprungantwort durch Erregung mit dem Einheitssprung

w t s v t s u g t u u g t u u( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = − = −−∞

∞ ∞

φ d d0

. (7-267)

Für kausale System gilt dann ferner die Relation:

d

d ts v t v tφ φ δ( ) ( ) ( ) ( ) = . (7-268)

x(t) y t g t u x u u( ) ( ) ( )= −−∞

d

X(jω) Y j G j X j( ) ( ) ( )ω ω ω=

Lineares, homogenesund zeitinvariantes

System

G(jω)

g(t)

Page 70: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 47 -

Dr. Jörg Wollnack

Somit ist für kausale, lineare, homogene und zeitinvariante Systeme die Impulsantwort dasDifferential der Sprungantwort.

Zwischen Übertragungsfunktion, Sprung-, Impulsantwort, Signalspektrum und Betrags- undPhasengang existieren gewisse Zusammenhänge, die im folgenden dargestellt werden sollen:

Betrachtet man die Gleichung (7-268) des Zeitbereiches im Laplace-Raum, so erhält man mitdem Differentiationssatz (7-33)

G s s W s w( ) ( ) ( )= − −0 . (7-269)

Für kausale Systeme mit verschwindenden Anfangsbedingungen gilt die Spezialisierung:

G s s W s( ) ( )= . (7-270)

Ist somit die Sprungantwort eines kausalen, linearen, homogenen und zeitinvarianten Systemsbekannt, so läßt sich die Systemkennfunktion im Zeitbereich (7-268) oder Transformations-bereich (7-269) aus der Sprungantwort bestimmen. Damit kann die Systemantwort fürbeliebige Erregungsfunktionen über den Faltungssatz (7-101) berechnet werden.

Durch den Grenzübergang limδ

δ ω→

+0

j geht die Laplace-Transformierte kausaler, Quadratisch

Integrabler Systeme und Signale in die Fourier-Transformierte über. Damit gilt für dieSystemgrößen die Gleichung:

lim ( ) ( )δ

ω→

=0G s G j . (7-271)

Die Systemkenngröße G j( )ω bezeichnet man als den komplexen Frequenzgang, der seiner-seits in die Betrags- und Phasendarstellung

G j G j e j jG( ) ( ) ( )ω ω ϕ ω= , mit

G j G j G j( ) Re ( ) Im ( )ω ω ω= +2 2 ,

ϕ ω ω ω πG j G j G j k( ) arctan Im ( ) , Re ( )= ±2 2 , k ∈ , ,2, 0 1 und

arctan ,arctan( / )

arctan( / )2

0

0y x

y x x

y x x =

≥+ <

für

fürπ. (7-272)

überführt werden kann. Die Betrags- und Phasendarstellung des komplexen Frequenzgangesist mehrdeutig in vielfachen von 2π . Sie kann daher nur innerhalb der Grundphase , [0 2πfür Spektralwerte G j( )ω mit nicht verschwindendem Signalbetrag oder verschwindenderEnergie G j( )ω > 0 eineindeutig angegeben werden. An den Stellen verschwindender Ener-gie, ist die Phase nicht definiert bzw. sie kann beliebig festgelegt werden, da ein ver-schwindender Betrag für jede beliebige Phase das Nullelement 0 0+ j produziert. In derPraxis sind diese Lücken oder Unstetigkeitsstellen des Phasengangs möglichst per Definitionso zu schließen, daß sich ein stetig differenzierbarer Phasengang ergibt. Dies gilt analog auchfür den Periodizitätsübergang an den Stellen ±k 2π.

Page 71: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 48 -

Dr. Jörg Wollnack

7.5 Anwendungen der Integral-Transformationen in der System-theorie

Als Ausgangspunkt der Betrachtungen sollen (skalare) elektrische, mechanische, hy-draulische, pneumatische und thermische Systeme entsprechend Tabelle 7.5-1 und 7.5-2 ge-wählt werden, die durch konzentrierte Parameter in Form von konzentrierten Bauelementengekennzeichnet sind. Es handelt sich hierbei um mechanische, elektrische, hydraulische,pneumatische und thermische Bauelemente entsprechend der Tabelle 7.5-3 und 7.5-4. Es wer-den die Symbole der Bauelemente, physikalischen Gesetze und deren Laplace-Transformiertedargestellt. Mit Hilfe der Energieerhaltungssätze kann ein Übergang zwischen denmechanischen, elektrischen, hydraulischen, pneumatische und thermische Bauelemente bzw.Systemen vollzogen werden.

Bei der Beschreibung von Systemen aus konzentrierten Bauelementen entstehen gewöhnlicheDifferentialgleichungen Ordnung. Diese sind, sofern es sich um lineare und zeitinvarianteBauelemente handelt, selbst linear und zeitinvariant. Im Bildbereich der Laplace-Trans-formation entstehen hieraus algebraische Gleichung. Dies soll am Beispiel eines elektrischenund elektromechanischen Systems illustriert werden. Die Abstraktion führt dann zu einer vonder konkreten Anwendung unabhängigen Systembeschreibung. Auf dieser Ebene sollen danntypische Systemelemente erörtern werden.

Page 72: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 49 -

Dr. Jörg Wollnack

Größe elektrischmechanisch

translatorischmechanischrotatorisch

Quantität LadungQ [C]

Wegx [m]

Auslenkungα [rad]

Potential-differenz

Spannungu [V]

KraftF [N]

DrehmomentM [N m]

Zeit Zeitt [s]

Zeitt [s]

Zeitt [s]

Strömung Stromstärke

qQ

t= d

d [A]

Geschwindigkeit

vx

t= d

d [m / s]

Winkelgeschwindigkeit

ω α= d

d t [rad / s]

Widerstand Elektr. Widerstand

Ru

i= [V / A]

Dämpfungswiderstand

dF

v= [N s / m]

Dämpfungswiderstand

dM

r =ω

[N m s]

Kapazität Elektr. Kapazität

CQ

u= [A s / V]

Rez. Federkonstante1

c

x

F= [m / N]

Rez. Federkonstante1

c Mr

= α [1 / N / m]

Trägheit Induktivität

Lu

i t=

d d [V s / A]

Masse

mF

v t=

d d [kg]

Trägheitsmoment

JM

t=

d dω [kg m2]

Tab. 7.5-1: Analoge Größen I

Größe hydraulisch pneumatisch thermischQuantität Volumen

V [m3]Gasmasse

m [kg]Wärmemenge

Q [k J]Potential-differenz

Druckpd [N / m2]

Druckpd [N / m2]

Temperaturϑ [K]

Zeit Zeitt [s]

Zeitt [s]

Zeitt [s]

Strömung Durchfluß

qV

t= d

d [m3 / s]

Durchsatz

mm

t= d

d [kg / s]

Wärmestrom

φ= d

d

Q

t [k J / h]

Widerstand Laminarwiderstand

rp

ld

q= [m4 s2 / kg]

Pneumat. Widerstand

rp= d

m

Wärmewiderstand

Rw = ϑφ

[K h / k / J]

Kapazität Speicherkapazität

kV

ph = 0

0

[m4 s2 / kg]

Speicherkapazität

km

ppd

= [m s2]

Wärmekapazität

kQ

w =ϑ

[k J / K]

Trägheit Lp

q th = d

d d [kg / m4] L

p

m tp = d

d d--------------------------

Tab. 7.5-2: Analoge Größen II

Page 73: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 50 -

Dr. Jörg Wollnack

elektrischmechanisch

translatorischmechanischrotatorisch

BauelementSymbol

Widerstand R Dämpfung d Dämpfung dr

PhysikalischesGesetz

iR

u= 1v

dF= 1

t ω = 1

dM

rr

Laplace-Trans-formierte

I sR

U s( ) ( )= 1V s

dF s( ) ( )= 1

t Ω( ) ( )sd

M s= 1

rr

Pro

port

iona

lele

men

te

Übertragungs-funktion G(s)

1

R

1

d

1

dr

BauelementSymbol

Kondensator C Feder Feder

PhysikalischesGesetz

i Cu

t= d

dv

c

F

t= 1 d

dt ω = 1

c

M

tr

d

dr

Laplace-Trans-formierte i s C s U s u( ) ( ) ( )= − −0 V s

cs F s u( ) ( ) ( )= − −

10t Ω( ) ( ) ( )s

cs M s M

r

= − −1

0r

Übertragungs-funktion G(s) C s

s

c

s

cr

BauelementSymbol

Induktivität L Masse m Trägheitsmoment J

PhysikalischesGesetz

iL

u t= 1d v

mF t= 1

t d ω = 1

JM tr d

Laplace-Trans-formierte

I ss L

U si

s( ) ( )

( )= + −1 0V s

s mF s

v

s( ) ( )

( )= + −1 0t Ω( ) ( )

( )s

s JM s

s= + −1 0

r

ω

Spei

cher

elem

ente

Übertragungs-funktion G(s)

1

s L

1

s m

1

s J

Tab. 7.5-3: Konzentrierte Bauelemente I

Page 74: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 51 -

Dr. Jörg Wollnack

hydraulisch pneumatisch thermisch

BauelementSymbol

Leitung rl Drossel r Ebene Wand Rw

PhysikalischesGesetz

qr

pl

= 1d m

rp= 1

d φ ϑ= 1

Rw

Laplace-Trans-formierte

Q sr

P s( ) ( )= 1

ld

( ) ( )M sr

P s= 1d Φ Θ( ) ( )s

Rs= 1

w

Pro

port

iona

lele

men

te

Übertragungs-funktion G(s)

1

rl

1

r

1

Rw

BauelementSymbol

Speicher kh Speicher kp Speicher kt

PhysikalischesGesetz

q kp

t= h

dd

dm k

p

t= p

dd

dφ ϑ= k

tt

d

d

Laplace-Trans-formierte Q s k s P s p( ) ( ) ( )= − −h d d 0 ( ) ( ) ( )M s k s P s p= − −p d d 0 Φ Θ Θ( ) ( ) ( )s k s s= − −t 0

Spei

cher

elem

ente

Übertragungs-funktion G(s)

k sh k sp

Tab. 7.5-4: Konzentrierte Bauelemente II

Elektrische Systeme

Die Beschreibung von elektrischen Netzwerken kann unmittelbar im Laplace-Bereich aus-geführt werden, wenn man als Elemente die in Tabelle 7.5-3 dargestellten elektrischen Bau-elemente heranzieht. Man muß im Bildbereich dann jeweils entsprechende Strom- und Span-nungsquellen für die Anfangsbedingungen einführen. Die Kirchhoffschen4 Gleichungen kön-nen unmittelbar in Laplace-Bereich

(7-273.1)

(7-273.2)

formuliert werden. Überträgt man die symbolische Darstellung der elektrischen Netzwerkeauf die Laplace-Transformierten, so sind lediglich die Speicherelemente um zusätzlicheSpannungs- oder Stromquellen zu erweitern. Daher lassen sich graphische Entwurfsmetho-den, wie z.B. das Knotenpunktspotential- und Maschenstromverfahren, heranziehen, um dieMatrixgleichungen des Netzwerkes aufzustellen. Die Matrix- und Vektorelemente sind dannLaplace-Transformierte der Zeitfunktionen. Ebenso läßt sich die Vierpoltheorie und dieAnalyse von Operationsverstärkerschaltungen auf den Laplace-Bereich übertragen, da dieseebenfalls lineare, zeitinvariante Systeme charakterisiert.

4 Kirchhoff, Gustav Robert, *Königsberg 12.3.1824, †Berlin 17.10.1887, dt. Physiker. Stellte die Kirchhoffschen Regelnzur Berechnung der Strom- und Spannungsverhältnisse in elektr. Leitersystemen auf.

Page 75: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 52 -

Dr. Jörg Wollnack

Elektromechanische Systeme

Als typisches elektromechanisches System sei der Gleichstrommotor für einen Lageantriebgewählt (siehe Abbildung 7-9). Hierbei sind iA der Motorstrom, uA die Motorspannung, RA

der Gleichstromwiderstand des Ankerkreises, LA die Induktivität des Ankerkreises, ue dieElektromotorische Kraft (EMK), MA das Ankermoment, ML das Lastmoment, J das effektivam Motor wirkende Trägheitsmoment des rotatorischen Systems, ω die motorseitige Winkel-geschwindigkeit der Rotationsachse.

iA

L A

R A

u e

u A

G le ic h -s tro m -m o to r

J

k M

k A

M AM L

Abb. 7-9: Funktionsschema des Gleichstrommotors

Die EMK des Motors sei in erster Näherung proportional zur Winkelgeschwindigkeit:

u k te = M ω( ) . (7-274)

Mit der EMK und der Maschengleichung am Motor erhält man weiter:

u t k t R i t Lt

i tAA M A A A

d

d( ) ( ) ( ) ( )− + +

=ω 0 . (7-275)

Die Bewegungsgleichung des rotierenden mechanischen Systems ergibt sich zu:

Jt

t M t M tL

d

d Aω( ) ( ) ( )= − , (7-276)

worin das Ankermoment über die Momentengleichung des Motors

M t k i tA A A( ) ( )= (7-277)

beschrieben wird. Es liegt damit eine System linearer, zeitinvarianter Differentialgleichungenvor, die in der Notation der Matrixalgebra

Page 76: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 53 -

Dr. Jörg Wollnack

L R k

J k

ti t

tt

i t

t

u t

M tA A M

A

A

A

A

L0

d

dd

d

0

0 −

=−

( )

( )

( )

( )

( )

( )ω

ω

(7-278)

kompakt dargestellt werden können. Für die Laplace-Transformierten erhält man dann ebensoin kompakter Form:

L R k

J k

s I s i

s s

I s

s

U s

M sA A M

A

A A

A

A

L0

0

0

0

0

−−

=−

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Ω

Ω

ω .5 (7-279)

Nach Umordnung der Anfangsbedingungen und Isolierung der unbekannten BildfunktionenI sA ( ) und Ω( )s erhält man die Matrixgleichung:

s L R k

k s J

I s

s

U s L i

M s JA A M

A

A A A A

L-

+

=

+− +

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )Ω0

0ω . (7-280)

Die gesuchten Größen I sA ( ) und Ω( )s berechnen sich über die Gleichungen

I s

U s L i k

M s J s Js L R k

k s J

A

A A A M

L

A A M

A-

( )

( ) ( )

( ) ( )=

+− +

+

0

0ω und (7-281)

Ω A

A A A A A

A L

A A M

A

-

-

( )

( ) ( )

( ) ( )s

s L R U s L i

k M s Js L R k

k s J

=

+ +− ++

0

0ω . (7-282)

Die Lageinformation hängt über ein Integral mit der Winkelgeschwindigkeit zusammen.Somit ist zu bestimmen:

Ω AA A L A A A A

A A A M

( )( ) ( ) ( ) ( )

ss L R M s J k U s L i

s J s L R k k=

+ − + + ++ +

− −

ω 0 0 . (7-283)

Der Motor soll aus dem Stillstand und mit Spannungsfreiheit vor dem Einschalten betriebenwerden. Das Lastmoment sei zur Vereinfachung als konstant angenommen. Sodann erhältman:

Term Term Term

AA A A L A L

1 2 3

1

22

1 0 22

1 0 22

1 0

Ω ( )( )

sk U s

b s b s a

L M

b s b s a s

R M

b s b s a=

+ +−

+ ++

+ +

, mit

b J L2 = A , b J R1 = A und b k k0 = A M . (7-284)

5 Für die Laplace-Transformierte der Momentenfunktion wird zur Vereinfachung der Schreibweise das SymbolM beibehalten.

Page 77: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 54 -

Dr. Jörg Wollnack

Aufgrund des Superpositions- und Integralsatzes läßt sich die Winkelgeschwindigkeitsfunk-tion aus der Überlagerung von Funktionen des Typs

y tX s

b s b s at( )

( )( )=

+ +

−L 1

22

1 0

(7-285)

beschreiben.

Page 78: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 55 -

Dr. Jörg Wollnack

7.5.1 Signalflußpläne

Wegen der Komplexität möglicher technischer Systeme ist es wichtig, analoge physikalischeZusammenhänge in gleichartig veranschaulichten Darstellungen zu betrachten. Hierfür be-dient man sich der Blockschaltbilder. Weitere wichtige Elemente in diesem Sinne sind dieSignalflußpläne in Tabelle 7.5-5, die sowohl Zusammenhänge zwischen den Systemen undSignalen als auch den Signaleingangs- und Signalausgangsbeziehungen wiedergeben. Dabeiist es wichtig, daß die typischen Operationen, die beim Aufbau komplexer Systeme not-wendig sind, von den Signalflußplänen erfaßt werden. Für Signale sind es in der Regel dieGrundoperationen der Addition, der Subtraktion und der Signalverzweigung, da höhereOperatoren im Blockschaltbild versinnlicht werden sollen. Für die Blockschaltbilder selbst isteine Verkettung des Signalflusses im Sinne einer Komposition von Operatoren, die die Ein-und Ausgangsbeziehungen herstellen, vonnöten. Natürlich ist auch eine Rückführung vonAusgangs- auf Eingangsgrößen zulässig, wenn der Wertevorrat der Operatoren eine echteTeilmenge des Definitionsbereiches darstellt. Diese (expliziten) Rückkoppelungen sind engverwandt mit Iterationen und Rekursionen und erschließen die für die Technik wichtigeRegelungstheorie.

Operator Zeitbereich I-Transf.6 Signalflußplan

Identitätsaussage(Verzweigungstelle)

x y y w= ∧ = X Y Y W= ∧ =X Y

W

Addition(Additionsstelle)

y x x= +1 2 Y X X= +1 2

X 1 Y

X 2

Subtraktion(Additionsstelle mit -)

y x x= −1 2 Y X X= −1 2

X 1 Y

X 2

Faltung y t f x t( ) ( * )( )= Y F X= X F 1YF 2

Faltungs-komposition

(Kettenschaltung)

y f f x= 1 2 ( ) Y F F X= 2 1 X F 1YF 2

Rückkoppelungy t f x t

x t x t f y t

( ) ( * )( ),

( ) ( ) ( * )( )

== −

1

2

D

DY

F

F FX=

±1

1 21

F 1 Y

F 2

X

+

Tab. 7.5-5: Operatoren und Signalflußpläne

Natürlich ließen sich diese Grundoperationen auch direkt auf die Funktionale, Integral- undDifferentialgleichungen anwenden, jedoch wären diese Betrachtungen weniger intuitiv, weilim Transformationsbereich der I-Transformation die Operanden in der Regel von einfachererNatur sind. Was insbesondere bei der Rückkoppelung sichtbar wird.

6 Zur Vereinfachung der Schreibweise wird auf eine Darstellung der Abhängigkeit von s verzichtet.

Page 79: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 56 -

Dr. Jörg Wollnack

7.5.2 Charakteristisches Verhalten von ausgewählten Systemen

Im folgenden werden einige typische Systeme hinsichtlich ihres Antwortverhaltens auf denEinheitssprung und hinsichtlich ihres Frequenzganges in der Ortskurven- sowie Betrags- undPhasendarstellung betrachtet.

7.5.2.1 System 1. Ordnung und Anfangs-End-Wert-Theorem

Ein System 1. Ordnung wird durch die Differentialgleichung

bt

y t b y t c x t1 0

d

d( ) ( ) ( )+ + = , b b c0 1, , ∈ (7-286)

beschrieben. Nach Anwendung des Differentiationssatzes der Laplace-Transformation erhältman im Laplace-Bereich:

b sY s y b Y sc

sX s1 00( ) ( ) ( ) ( )− + + =− , b b c0 1, , ∈ . (7-287)

Nach Separation von Y(s) erhält man weiter:

Y s b s bc

sb y X s( ) ( ) ( )1 0 1 0+ + − =− und

Y sX s

b s b

b y

b s b

c

s b s b( )

( ) ( )=+

++

−+

1 0

1

1 0 1 0

0

=+

++

−+

−1 0

1

1

b

X s

s

b y

s

c

s s

( ) ( )

τ τ τ , mit τ = b

b0

1

. (7-288)

Damit erhält man als Systemantwort:

y tb

e x t u u y ec

be uu

tt u

t

( ) ( ) ( )= − + −−−

− −

− −

10

1 0 1 0

τ τ τd d . (7-289)

Wählt man als Eingangsgröße x t x s t( ) ( )= , so erhält man die Systemantwort zu:

w tb

e x u y ec

be ux

ut

t ut

( ) ( )= + −−

−− −

− −

10

1 0 1 0

τ τ τd d

= − + +−−

− −

− −

( )

x

be y e

c

beu

t

t u

t

1 0 1 0

0τ τ

τ τ τ

= − + − +− −−

−( )

x

be

c

be y et t t

1 1

1 1 0τ τ

τ τ τ

= −

− +−

−−c

b

x

be y et t

1 1

1 0τ τ

τ τ( ) . (7-290)

Durch Ausführung der Grenzprozesse lim ( )t

w t→∞

und lim ( )t

w t→ −0

ergeben sich die Gleichungen:

wx

b

c

bx ( )

∞ = −

1 1τ τ

und w yx ( ) ( )0 0− −= . (7-291)

Damit läßt sich die Gleichung (7-290) über das Anfangs-End-Wert-Theorem

Page 80: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 57 -

Dr. Jörg Wollnack

w t t w w t w ex

t t( ) ( ) ( ) ( )− = ∞ + − ∞− −

− − −0 0

0 τ (7-292)

linearer, homogener und zeitinvarianter Systeme 1. Ordnung darstellen. Dieses Darstellungder Systemantwort ist von Vorteil, weil man in der Praxis häufig Anfangs- und Endwerteeines Dynamischen Systems aus Grenzwertbetrachtungen ableiten kann Die Anfangs- undEndwerte ließen sich ferner mit den Anfangs- und Endwertsätzen aus der Laplace-Trans-formierten Y(s) bestimmen.

Die Ortskurve des Systems 1. Ordnung zeigt Abbildung 7-10, das Betrags- und Phasendia-gramm zeigen Abbildung 7-11 und 7-12 und die Sprungantwort ist in Abbildung 7-13 dar-gestellt.

0.01

0.6

Im Gi

10 Re Gi

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.4

0.2

Abb. 7-10: Ortskurve des Systems 1. Ordnung

1

0.01

G T ωi

1j.,

100.01 fi

0.01 0.1 1 100.01

0.1

1

Abb. 7-11: Betragsverlauf des Systems 1. Ordnung

Page 81: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 58 -

Dr. Jörg Wollnack

0

100

φ G T ωi

1j.,

100.01 fi

0.01 0.1 1 10100

50

0

Abb. 7-12: Phasenverlauf des Systems 1. Ordnung

1

0

w 0 1, 1, t,( )

50 t

0 1 2 3 4 50

0.5

1

Abb. 7-13: Sprungantwort des Systems 1. Ordnung

7.5.2.2 System 2. Ordnung

Ein System 2. Ordnung werde durch die Differentialgleichung

12

02

2

20ω

ϑω

d

d

d

dty t

ty t y t x t( ) ( ) ( ) ( )+ + = , ω ϑ0 , ∈ 7 (7-293)

beschrieben. Das System sei in einem energielosen Zustand vor dem Einschalten, so daßsämtliche Anfangsbedingungen und Konstanten verschwinden. Nach Anwendung des Dif-ferentiationssatzes der Laplace-Transformation erhält man im Laplace-Bereich:

12

02

2

0ωϑω

s Y s sY s Y s X s( ) ( ) ( ) ( )+ + = (7-294)

7 Die Wahl der Koeffizienten wird sich später als sinnvoll herausstellen. Durch die Methode des Koeffizienten-vergleichs kann ein System 2. Ordnung auf diesen Ansatz zurückgeführt werden.

Page 82: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 59 -

Dr. Jörg Wollnack

bzw. als Übertragungsfunktion

G ss s s s

( ) =+ +

=+ +

11

2 1 2

02

2

0

02

20 0

2

ωϑω

ωϑ ω ω

. (7-295)

Die Residuen des Nennerpolynoms bzw. die Nullstellen s1 2, bestimmen über die Diskriminan-

te ≡ −ϑ 2 1 das Lösungsverhalten des Systems. Mit den Residuen läßt sich die Übertragungs-funktion wie folgt

G ss s s s

( ) =− −

ω02

1 2 , mit s1 2 02 1, = − ± −ω ϑ ϑ (7-296)

darstellen. Über die Korrespondenz (???) erhält man sodann

g te e

s s

s t s t

( ) =−

−ω0

2

1 2

1 2 , (7-297)

womit sich die Systemantwort zu

y te e

s sx t u u

s u s ut

( ) ( )=−

−−

ω02

1 20

1 2 d , (7-298)

berechnet. Mit der l‘Hospitalschen Regel erhält man für ϑ = ⇒ =1 1 2s s :

g t e e

s s

se e

ss s

t es s

s t s t

s s

s t s t

s t( )lim lim

ω02

1 2

1

11 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2=−−

=−

−=

→ →

dd

dd

. (7-299)

Damit läßt sich die Systemfunktion zusammenfassend zu

g t

e e

s ss s

t e s s

s t s t

s t

( ) =−

−≠

=

ω02

1 21 2

1 2

1 2

2

für

für

, mit

s1 2 02 1, = − ± −ω ϑ ϑ (7-300)

beschreiben. Als Sprungantwort ergibt sich sodann im ersten Fall (s s1 2≠ ) die Gleichung:

w te e

s su

s u s ut

( ) =−

−−

ω02

1 20

1 2 d

=−

=

−− − −

ω ω02

1 2 1 2 0

02

1 2 1 2

1 2 1 21 1

s s

e

s

e

s s s

e

s

e

s

s u s ut

s t s t

=−

− − −

ω02

1 2

2 1 2 1

1 2

1 2

s s

s e s e s s

s s

s t s t für s s1 2≠ . (7-301)

Mit dem Vietaschen Wurzelsatz ω02

1 2= s s erhält man weiter:

w ts e s e

s s

s t s t

( ) = + −−

1 2 1

1 2

1 2

für s s1 2≠ . (7-302)

Page 83: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 60 -

Dr. Jörg Wollnack

Für diesen Fall lassen sich drei unterschiedliche Situationen ϑ <1, ϑ >1 und ϑ = 0 unter-suchen:

Ist ϑ <1, so erhält man für s1 und s2 konjugiert komplexe Lösungen

s j a j b1 2 021, = − ± − = ±ω ϑ ϑ , so daß sich die Gleichung (7-302) weiter spezialisieren

läßt:

w ta j b e a j b e

a j b a j b

a j b t a j b t

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

= − + − −+ − −

− +

1

= −+ −

12

2

j a j b e

j b

a j b tIm ( ) ( ) für ϑ <1 . (7-303)

Da

Im ( ) Im( ) ( arctan ( , ))a j b e a b e ea j b t a t j b t b a+ = +− + 2 2 2

= + +a b e b t b aat2 2 2sin arctan ( , ) = − + − −−e ttϑω ω ϑ ϑ ϑ0

02 21 2 1sin arctan ( , ) (7-304)

ist, erhält man ferner:

w te

tt

( ) sin arctan ( , )= −−

− + − −−

11

1 2 10

2 02 2

ϑ ω

ϑω ϑ ϑ ϑ für ϑ <1 . (7-305)

Ist ϑ >1, so gilt:

w te et t

( ) = + −−

1 2 1

1 2

1 2α αα α

α α

, mit α ω ϑ ϑ1 2 02 1, = − ± − ∈ . (7-306)

Ist ϑ = 0, so ist β ω1 2 0, = ± j , womit gilt:

w tj e e

j

j t j t

( ) = + − − −

12

0 1

0

0 0ω αω

ω ω

= −1 0cosω t . (7-307)

Im zweiten Fall (s s1 2 0= = − ∈ω , ϑ =1) ergibt sich:

w t ue ue

ss u e s ts u

t s u t

s t( ) = = − = − +− −

ω ω02

0

02

12 1

0

11

1

11 1 1d

= − +1 1 00ω ωt e t für ϑ =1. (7-308)

Damit sind sämtliche möglichen Fälle des Dynamischen Systems 2. Ordnung charakterisiert.

Die Ortskurve des Systems 2. Ordnung zeigt Abbildung 7-14, das Betrags- und Phasen-diagramm zeigen Abbildung 7-15 und 7-16 und die Sprungantwort ist in Abbildung 7-17dargestellt. Hierbei sind Gi = G j( )ω , D = ϑ = 0,01, T = T0 = 1 und fi = f/f0.

Page 84: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 61 -

Dr. Jörg Wollnack

0

0.7

Im Gi

10.5 Re Gi

0.5 0 0.5 1

0.6

0.4

0.2

0

Abb. 7-14: Ortskurve des Systems 2. Ordnung

100

0.001

G T D, ωi

1j.,

G T 101

D., ωi

1j.,

G T 102

D., ωi

1j.,

100.01 fi

0.01 0.1 1 101 10

3

0.01

0.1

1

10

100

Abb. 7-15: Betragsverlauf des Systems 2. Ordnung

0

180

φ G T D, ωi

1j.,

φ G T 101

D., ωi

1j.,

φ G T 102

D., ωi

1j.,

100.01 fi

0.01 0.1 1 10

150

100

50

0

Abb. 7-16: Phasenverlauf des System 2. Ordnung

Page 85: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

- 62 -

Dr. Jörg Wollnack

2

0

w 10 D. T, t,( )

w 20 D. T, t,( )

w 40 D. T, t,( )

400 t

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

Abb. 7-17: Sprungantwort des System 2. Ordnung

7.5.2.3 Totzeitsysteme

Page 86: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

8 Signalverarbeitung

- 1 - Dr. Jörg Wollnack

8 Signalverarbeitung

8.1 Lineare Systeme und komplexer Ansatz

In den vorangegangenen Abschnitten wurde mit komplexen Signalen, z.B. bei der KomplexenFourier-Reihe und bei dem analytischen Signal physikalisch anschaulicher Spektren, ge-arbeitet, obwohl physikalisch keine komplexen Signale existieren. Bei der komplexenFourier-Reihe treten konjugiert komplexe Terme auf, so daß das resultierende Signal wiederreell ist. Dies gilt jedoch nicht für die analytischen Signale, bei denen repräsentiert nur derRealteil des Signals das physikalisch meßbare Signal. Es stellt sich nun die Frage bei welcherSystemklasse sich der komplexe Ansatz eines Signals verwenden läßt? Geht man hierzu voneinem linearen, homogenen System bzw. Operator aus, so kann man nach Garbor formell einekomplexe Erweiterung des Signals

r t u t j v tx ( ) ( ) ( )= + , u t( ) ∈ , v t( ) ∈ (8-1)

definieren. Zu dem physikalisch meßbaren Signal u(t) wird ein beliebig wählbarer rein kom-plexer Anteil j v(t) per Definition ergänzt. Wendet man formal auf das komplexe Signal rx(t)den Systemoperator an, so erhält man weiter

φ τ φ τ τr t u j v tx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + . (8-2)

Aufgrund der Linearität kann man die Systemantwort formal in der Art

φ τ φ τ φ τr t u t j v tx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + (8-3)

zerlegen. Zur Erinnerung sei bemerkt, daß die komplexen Zahlen auf einer Erweiterung derreellen Zahlen beruhen, um die Auflösung algebraischer Gleichungen in einer abgerundetenForm darstellen zu können. Die Erweiterung des Systembegriffs auf komplexe Signale hat einhierzu vergleichbares Potential. Aufgrund der Einbettung der komplexen Zahlen in die Arith-metik der reellen Zahlen, kann man die imaginäre Einheit j als Faktor deuten, so daß man ver-träglich mit der Homogenitätseigenschaft des Operators für die bisher nicht erklärte System-antwort des rein komplexen Anteils die Gleichung definieren

φ τ φ τj v t j v t( ) ( ) ( ) ( ) = (8-4)

kann. Der Operator φ ist für ein reelles Signal erklärt, so daß die Antwort φ τv t( ) ( ) existiert.

Damit ergibt sich für das komplexe Antwortsignal r t w t j q t r ty x( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + ≡φ τ des Sys-

tems die Gleichung:

r t u t j v ty ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +φ τ φ τ . (8-5)

Durch Vergleich mit dem physikalisch meßbaren Signalen erhält man die Zuordnungsvor-schrift:

Re ( ) ( ) Re ( ) ( )φ τ φ τr t r tx x = . (8-6)

Für lineare, homogene Systeme sind die System- und Realteil-Operatoren somit kommutativ,so daß man ein reelles Signal durch eine beliebige komplexe Ergänzung erweitern kann,formal die Systemantwort aus dem Real- und den mit der imaginären Einheit multiplizierten

Page 87: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

8 Signalverarbeitung

- 2 - Dr. Jörg Wollnack

Imaginärteil im Sinne des Superpositionssatzes zusammensetzt und die physikalische meß-bare Systemantwort als den Realteil der komplexen Systemantwort identifiziert.

Liegt z.B. ein reelles Eingangssignal x k tk kcos ω ϕ0 + vor, so macht es Sinn, die komplexe

Ergänzung mit j x k tk ksin ω ϕ0 + zu belegen, weil man dann mit der Euleridentität das Ein-

gangssignal zu

r t x k t j k t x e ex k k k kj j k tk( ) sin sin= + + + =ω ϕ ω ϕ ϕ ω

0 00 (8-7)

erhält. Die Anwendung des linearen, homogenen Differentialoperators ergibt somit:

d

d

d

dtr t

tx e e x e j k ex k

j j k tk

j j k tk k( ) = =ϕ ω ϕ ωω0 00 (8-8)

bzw.

d

d tr t j k r tx x( ) ( )= ω0 . (8-9)

Hieran zeigt sich, daß eine gut gewählte komplexe Ergänzung, zu einer transparenten System-oder Signaldarstellung führen kann. Dies gilt analog auch für den Begriff des analytischenSignals in Kapitel 7.1.9.6. Damit gilt zwanglos auch, daß analytische Signale nur auf lineare,homogen Systeme angewendet werden können. Sowohl die Differential- und Integral-operatoren als auch die Fourier- und Laplace-Transformation gehören zu dieser Operatoren-klasse.

8.2 Signalspektrum

8.3 Idealer und realer Abtaster

8.4 Rekonstruktion abgetasteter Signale

8.5 Shannonsches Abtasttheorem

8.6 Vektorielle Systeme und Signale

Page 88: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 1 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

1 Intergral-Transformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation

Page 89: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 2 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

Laplace-Integral Fourier-Integral BemerkungenIntegraltransforma-tionen

f t L F s t

jF s e dsst

j

j

S ( ) ( ) ( )

( )

= =

− ∞

+ ∞

1

1

2

π δ

δ

kausale Funktionen:

f t

f t t

f t t( )

( )

( )≡>=

für

für

sonst

0

0

0

12

F s L f t s

f t e tst

( ) ( ) ( )

( )

= =−

±

d0

Konvergenzabzisse:δ δ> 0

s j= +δ ω

f t F j t

F j e j t

( ) ( ) ( )

( )

= ℑ =−

−∞

1

12

ω

ω ωπω

d

F f f t j

f t e tj t

( ) ( ) ( )

( )

= ℑ =−

−∞

ω

ω d

Abbildungen:f t y f t: ( )→ = ≡f y f tt D y D Ct f: ( )∀ ∃ =∈ ⊆ℜ ∈ ⊆

Unstetigkeitsstellen

f t f t f t( ) ( ) ( )= ⋅ − + +1

2ε ε

quadratisch Integrabel QI:

f t f t t K( ) ( )*⋅ ≤ < ∞−∞

d

Definition:F F F j( ) ( ) ( )ω ω ω≡ =

Querverbindungen Laplace Integral:F j F s( ) lim ( )ω

δ=

→0

f(t) ist QIParsevalsche Glei-chung oder Vollstän-digkeitrelation

F s F s s

f t f t t

j

j( ) ( )

( ) ( )

*

*

⋅ =

− ∞

+ ∞

d

d

δ

δ 12π ω ω ωF j F j

f t f t t

Df

( ) ( )

( ) ( )

*

*

d

d

Linearitäts- undSuperpositionssatz

a f tk kk

⋅∑ ( ) a F sk kk

⋅∑ ( ) a f tk kk

⋅∑ ( ) a F jk kk

⋅∑ ( )ω

Differentiationssätze d

d

n

n

f

tt( )

( ) ( )− ⋅t f tn

s F s

s f

n

n v v

v

n

⋅ −

⋅− −−

=∑

( )

( )1

1

0

d

d

n

n

F

ss( )

d

d

n

n

f

tt( )

( ) ( )− ⋅j t f tn

( ) ( )j F fnω ⋅

d

d

n

n

Fj

ωω( )

ff

tk

k

k≡ d

d

Page 90: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 3 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

Distributionδ( )t 1 δ( )t 1

Ausblendeigenschaft:f t f to( ) ( ) ( )0 = ⋅ −

ℜ τ δ τ τd

Integralsätze .. .. ( ) ( )0

1− t n

n

f u ud

.. .. ( ) ( )−∞ t n

n

f u ud1

f t

t

( )

1

sF s

n⋅ ( )

1 01

1sF s

f

sn

v

n vv

n

⋅ +−

−− +

=∑( )

( )

F s ss

( ) d∞

f u ut

( ) d−∞

f tt

j t( )

( )⋅ −

δπ2

1

2

10

jF j F

ωω π δ ω( ) ( ) ( )+

F j( )ω ωω

d−∞

Verschiebungssätze f t t( )− 0

e f ts t0 ( )

e f t e t

F s

st st

t

− −

− +

0

0

0( )

( )

d

F s s( )− 0

f t t( )− 0

e f tj tω0 ( )

e F jj t− ω ω0 ( )

F( )ω ω− 0

Ähnlichkeitssatzf k t k k( ) , ,> ∈ℜ0

1

kF s k( / ) f k t k( ) , \ ∈ℜ 0

1

kF j k( / )ω

Faltungssätze ( ( ) ( ))( )f f t1 2τ τ∗ =

f u f t u ut

1 20( ) ( )− d

f t f t1 2( ) ( )

F s F s1 2( ) ( )

( ( ) ( ))( )F p F p s1 2∗ =1

2 1 2jF u F s u u

j

j

π δ

δ

( ) ( )−− ∞

+ ∞

d

( ( ) ( ))( )f f t1 2τ τ∗ =f u f t u u1 2( ) ( )−

ℜ d

f t f t1 2( ) ( )

F j F j1 2( ) ( )ω ω

1

2 1 2πω⋅ ∗ =( ( ) ( ))( )F j F j jΩ Ω

1

2 1 2πωF ju F j u u( ) ( ( ))−

−∞

d

Die Faltung ist kommutati-tiv, assoziativ und distributiv

Kreuzkorrelations-satz

( ( ) ( ))( )f f t1 2τ τ⊗ =lim ( ) ( )T

S ST

T

Tf u f t u u

→∞ −+

1

2 1 2 d

S s21( ) =

lim ( ) ( )*

TS ST

F s F s→∞

1

2 1 2

( ( ) ( ))( )f f t1 2τ τ⊗ =lim ( ) ( )T T

T

Tf u f t u u

→∞ −+

1

2 1 2 d

S j21( )ω =

lim ( ) ( )*

T TF j F j

→∞

1

2 1 2ω ω

S S21 12( ) ( )*ω ω=

Die Korrelation ist kom-mutatitiv, assoziativ unddistributiv

Page 91: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 4 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

Periodische und pe-riodisch fortgesetzteFunktionen; Abtast-theoreme

Bestimmung desstationären Anteils

f t f t k T k N( ) ( ),= − ∈0

f tT

f s eks t

k

k∞

=−∞

= ⋅∑( ) ( )1

0

mit s j k Tk = 2 0π /

1

1 0

0

0

0 0

0

= −

eL f t s

L f t s f t e t

sT

stT

( ) ( ) ,

( ) ( ) ( )

mit

d

F s

esT

( )

1 0−

f tf t t t

( )( )

=≤

0 1

0

für

sonstperiodische Fort-setzung T t0 12=

f v si t vv

π ω ω π1 1 ( )−=−∞

F v t si t vv

π ω π1 1 ( )−=−∞

FF

( )( )

ωω ω ω

=≤

0 1

0

für

sonst

periodische Fort-setzung Ω 0 12= ω

Zusammenhang zwischenSpektralfunktion F( ) unddiskretem Fourier-Koeffi-zient Ck :

Ct

F k tk = ⋅1

2 11( / )π

Grenzwertsätze lim ( ) lim ( )t s

f t s F s→ →∞+

= ⋅0

lim ( ) lim ( )t s

f t s F s→∞ →

= ⋅0

Kausale Funktionen(Hilbert-Trans-formation)

f t s t f ts ( ) ( ) ( )= ⋅

oder f v Nv ( ) ,0− ∈

Fj

F

uuS

S d( )( )ω

πω

ω=

−−∞

1

RI u

uu( )

( )ωπ ω

=−−∞

1

d

IR u

uu( )

( )ωπ ω

= −−−∞

1

d

F R j I( ) ( ) ( )ω ω ω= +

s t

t

t( ) /=>=

1 0

1 2 0

0

für

für

sonst

Vertauschungssatz F t( ) 2π ωf ( )−Satz der konjungiertkomplexen Funktio-nen

f t*( )− F*( )ω

Zuordnungssätze g t g t( ) ( )= −u t u t( ) ( )= −

R g t

I g t

R u t

I u t

( )

( )

( )

( )

G j G j( ) ( )ω ω= −j U j( ) ( )ω ω= − −

R G j

I G j

I U j

R U j

( )

( )

( )

( )

ωωωω

Page 92: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 5 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

Modulation f t t( ) cos( )⋅ +ω ϕ0 0e

F j F jjϕ

ω ω ω ω0

2 0 0⋅ + + −( ( )) ( ( )) AM-Modulation

ideale Abtastung

f t t k Tk

( ) ( )⋅ −=−∞

∑δ 0

1

00T

F j kk

⋅ −=−∞

∑ ( ( ))ω ωBandbegrenzte Signale:

F jF j

jBBfür

sonst( )

( )ω

ω ω ω=

<+

0 0

verallgemeinerteAbtastung

f t f tTo( ) ( )⋅ 1

00T

C F j kkk

⋅ ⋅ −=−∞

∑ ( ( ))ω ω f t C eT kjk t

ko( ) = ⋅

=−∞

∑ ω0

Page 93: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 6 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

Prinzipien der Rücktransformation Definitionen und Voraussetzungen

AllgemeinerResiduensatz

f z z f z z AC

GG

CG G

i

n

ii

n

i

i

i

( ) ( )d dWeg in

umsämtliche

Weg inum

0

00

1 1

= =∑ ∑= =

( ≤ ≤i n) G0 repräsentiert ein ( )n +1 -fach zusammenhängendes Gebiet.

w f z= ( ) mit w u jv= + undz x jy= + ; f ist regulär und eindeutig inG0 , aber nicht regulär in Gi

Das Residuum 1

2 1 1

0

jf z z R res f zi

i

n

CG

G

ii

n

o

i

π⋅ = =

=−

=∑ ∑( ) ( )d

Weg inum sämt

liche

f zg z

z zi

( )( )=−

; f regulär, außer in zi ; f

eindeutig

Rücktransformation a) Zerlegung des Weges C0 des Umlaufintergrals f z z( ) d der Art, daß sämtliche

nicht regulären Gebiete eingeschlossen werden. Der Weg C0 muß dabei als Teilwegdas inverse Laplace- bzw. Fourier-Integral enthalten. Nach Isolation des Teilweges,der der Rücktransformation entspricht, kann, wenn die restlichen Integrale mit ihrenvom Problem gegebenen Wegen bestimmt sind, das Rücktransformationsintegralangegeben werden.

Wenn möglich, Anwendung desJordanschen Lemmas JL:Wenn für den Weg mit dem Radius Rn

bei n→∞ Rn →∞ und

Max f z( ) → 0 dann ist das JL er-

füllt. C0 muß als Teilweg das inverseIntegral enthalten.

b) Zerlegung des Weges C0 des Umlaufintegrals der Art, daß sämtliche nichtregulären Gebiete außerhalb des von Weg C0 eingeschlossenen Gebiets liegen, sodaß dann das Umlaufintegral verschwindet. Der Weg C0 muß als Teilweg dasinverse Integral enthalten. - Dann wie unter a) weiter.

Page 94: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 7 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

c) Anwendung des Cauchyschen Integralsatzes, wenn f z( ) vom Typusg w w z( ) / ( )− :

d

dd

n

n nC

f

zz

n

j

f w

w zw( )

! ( )=− +2 1π

.

Unter Anwendung des Residuensatzes:

f z z jn z

f z z zC

zk

n

n kk

m

z zk

k

k

k

( )( )!

( ) ( )dd

denthältalle

0

21

1

1

11

∑=−

⋅ ⋅ −−

−= =

π

Für Funktionen f z( ), die dem Jordanschen Lemma genügen, ergibt sich:

f t f z z jn z

f z z zC k

n

n kn

k

m

z z

k

k

k

k

( ) ( )( )!

( ) ( )= =−

⋅ ⋅ −−

−= =

∑dd

dRücktransf.

21

1

1

11

π

f regulär und eindeutig in C

Laplace-Transfor-mation f t

n sF s s s es

k

n

n kn s t

k

m

s s

k

k

k

k

( )( )!

( ) ( )=−

⋅ ⋅ − ⋅−

−= =∑ 1

1

1

11

d

dF(s) erfüllt das Jordansche Lemma.

Unter Anwendungder Laurentreihe

f z F s es t( ) ( )= F sr

s skv

kv

v

n

k

m k

( )( )

=−==

∑∑11

, mit rs

F s s skv

v

v kv

s sk

= ⋅ −−

−=

d

d

1

1( ) ( )

m := Anzahl der Singuläritäten bzw.Polenk := Ordnung des Pols der k-tenSingularitätKonvergenz beachten!

Partialbruchzerle-gung

Wird durch die Laurentreihe abgedeckt.

Anwendung vonKorrespondenztabel-len

f t F s( ) ( )Tabelle

← →

Page 95: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 8 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

z-Transformation Diskrete Fourier-Transformation

Bemerkungen:

Transformationen f Z F z k

jF z z z

k

k

C

= =−

1

11

2

( )( )

( )π

d

F z Z f z

f z z r R

k

kk

k

( ) ( )

,

= =

⋅ ≥ ≥−

=

∑0

0

hinreichende Bedin-gung:∀ ∃ ≤ ⋅∈ ∈ℜk N K R k

kf K R( , ) : ( )2 2

f m F k m

F k e

D

j mk

M

k

M

( ) ( )( )

( )

= ℑ =−

=

1

2

0

1 π

Alternative Inverse:

ℑ =

=∑

D

j mk

M

k

M

F k m

MF k e

( )( )

( )

* *

*

*

1 2

0

π

F k f m k

Mf m e

j km

M

m

M

( ) ( )( )

( )

= ℑ =

⋅−

=

∑D

1 2

0

1 π

f m f m X M( ) ( / )≡ ⋅ 0

hinreichende Bedin-gung:∀ ∃ ≤∈ ∈ℜm D Rm

f m K: ( )2 2

X 0 := Primitivperiode

FFT-Algorithmus (sieheKap. 2)

Querverbindungen Laplace-Transf.:Z f z L f t sk s z T

( ) ( )( )ln( )/

==δ

f t f t k Tkk

δ δ( ) ( )= ⋅ −=

∑0

z-Transformation:F m Z f m ze z

Me

jk

M( ) ( )( )= = 1 2π

f mf m m D

e ( )( )

=∈

für

sonst0D Mm ≡ − , ,..., 0 1 1

Parsevalsche Glei-chung

f gk kk=−∞

1

21

jF z G z

z

zπ( ) ( )

d

R r r z r rfg f g f g:+ + − −

< <

12π π

πF e G ej j( ) ( )Ω Ω Ωd

−falls z Rfg= ∈1

f m f m

MF k F k

m

M

k

M

( ) ( )

( ) ( )

*

*

⋅ =

=

=

∑0

1

0

11

Linearitäts- undSuperpostionssatz

a fi i ki

⋅∑ a F zi ii

⋅∑ ( ) a f mi ii

⋅∑ ( ) a F ki ii

⋅∑ ( )

Page 96: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 9 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

Differenzensatz ∆ fk

∆2 fk

mit ∆ f f fk k k= −+1 ,

∆ ∆ ∆mk

mkf f= −( )1

m f fk k∈ = , ,... ,1 2 0∆

( ) ( )z F z f z− −1 0

( ) ( )

( )

z F z

f z z

f z

− −− +

1

1

2

0

0∆usw.

Differentiationssatz k fk −zF

zz

d

d( )

Verschiebungssatz f nk n− ∈, , , ,...0 1 2f k nk n− = − <0 0für

fk n+

z F zn− ( )

z F z f znv

v

v

n*( )−

=

∑0

1

f m v( )−

f m ej v

m

M( ) ⋅2π

F k ej v

k

M( ) ⋅− 2π

F k v( )−

Faltungssätzef gv k v

v

k

−=∑

0

f gk k

F z G z( ) ( )

1

2jF G z

πξ ξ ξ

ξ( ) ( )

d

( ( ) ( ))( )f v f v m1 2∗

f m f m1 2( ) ( )⋅

F k F k1 2( ) ( )⋅

11 2M

F w F w k( ( ) ( ))( )∗

( ( ) ( ))( )

( ) ( )

f v f v m

f i f m ii

M

1 2

1 20

1

∗ =

−=

Korrelationssätze( ( ) ( ))( )f v f v k1 2⊗ F z F z1 2 1( ) ( / )⋅

( ( ) ( ))( )

( ) ( )

f v f v m

f i f m ii

M

1 2

1 20

1

⊗ =

+=

∑Grenzwertsätze f F0 = ∞( ) F fk

k

( )00

==

Page 97: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 10 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

Originalbereich Transformationsbereich Bemerkungen:Fourier-Reihe

f t C ekjk t

k

( ) ==−∞

∑ ω0 CT

f t e tkjk t

T

= −

1

0

0

0

( ) ω d Periodische Funktionen:f t f t T( ) ( )= + 0

Querverbindungen(heuristisch)

Fourier-Integral:

f t F j eT

F j e f

k

T

jk

Tt

k

j f t

( ) ( )

( )

= ≡==−∞

−∞

ω

ω

ω π

π

π

2

2

0

2

0

01

d

Fourier-Integral:

F j f t e t

f t e t

k

T T

jk

Tt

T

T

j f t

o

( ) lim ( )

( )

/

/ω ω π

π

π

= →∞

−∞

= ≡

2

2

2

2

2

0

0

0

0

d

d

Terme der RiemannschenSumme:

dfTT

=→∞

lim0

1

0

Parsevalsche Glei-chung oder Vollstän-digkeitsrelation

f t f t t C CT

k kk

( ) ( )* *d∩ =−∞

∑=0

Unitäre Transforma-tionen

Approximation im quadratischen Mittel:

f t S g tk kk

( ) ( )==−∞

∑ S f t g t tk k

T

=∩ ( ) ( )* d

0

g t g t tp q

T

pq( ) ( )* d∩ =

0

δ

g t g tk k( ) ( )*= −

S S f t f t tk kk To

* *( ) ( )=−∞

∩∑ ≤ d

OrthogonaleTransformationen

Approximation im quadratischen Mittel:

f t S g tk kk

( ) ( )==

∑0

S f t g t tk k

T

=∩ ( ) ( ) d

0

g t g t tp q

T

pq( ) ( ) d∩ =

0

δ

S f t tkk To

2

0

2

=

∩∑ ≤ ( ) d

Diskrete UnitäreTransformationen

Approximation im quadratischen Mittel:

f F gm k kmk

K≈

=

=∑1

F f gk m kmm

M

==∑ *

1

∀ =∈=∑( . ) , ,...,

*p q K pm qm

m

M

pqg g1 21

δ

Page 98: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 11 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

S S f fk kk

K

m mm

M* *

= =∑ ∑≤

1 1

für K = M vollständig

S S f f f fk kk

K

m mm

M

m m* *

= =

≈∑ ∑= ⇒ =1 1

Diskrete Orthogona-le Transformationen

Approximation im quadratischen Mittel:

f F gm k kmk

K≈

=

=∑1

F f gk m kmm

M

==∑

1

∀ =∈=∑( . ) , ,..., p q K pm qmm

M

pqg g1 21

δ

S fkk

K

mm

M2

1

2

1= =∑ ∑≤

für K = M vollständig

S f f fkk

K

mm

M

m m2

1

2

1= =

≈∑ ∑= ⇒ =

Page 99: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 12 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

2 C++ template- FFT-Algorithmus (Auszug)

/*-------------------------------------------------------------------*/template <class T> int fft1d(Vektor<T>& d, char ir)/*-------------------------------------------------------------------*//*--------------------------------------------------------------------

Dieses Programm bestimmt mit der schnellen Fourier-Transformation(FFT1D) zu m=2**tau gegebenen reellen oder komplexen Funktions-werten

d[0],....,d[m-1]die diskreten Fourierkoeffizienten

d^[-m/2],.....,d^[m/2-1]der zugehörigen Fourierteilsumme oder führt dieUmkehrtransformation durch.

Parameter:

tau - Die Felder rd[] und id[] sind für die Elemente j=0,...,m-1, mit m=2**tau vereinbart.

ir='f' - Bestimmung der diskreten Fourierkoeffizienten:

Das komplexe Feldd[]=rd[]+j*id[]

wird mit den Funktionswerten belegt übergeben und ist nach Ablauf des Programms mit den diskreten Fourierkoeffizienten in folgender Weise überspeichert:

d^[k]=d[k+m] , k=-m/2,..., -1 d^[k]=d[k] , k= 0,...,m/2-1

Page 100: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 13 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

ir='r' - Das komplexe Feld d[]=rd[]+j*id[] wird mit den Fourier- koeffizienten in folgender Weise belegt

d[k]=d^[k] , k=0 ,...,m/2-1 d[k]=d^[k-m] , k=m/2,.. ,m-1

übergeben und ist nach Ausführung des Programms mit den Funktionswerten überspeichert.

----------------------------------------------------------------------*/

T ew, /* Einheitswurzel */ w, /* Twiddelfaktor */ eps, /* */ u; /* Hilfsspeicher */

int iErrNr,tau,j,k,l,m,mm,n,n2,sigma;

long double x,pi;

m = d.DimV(); /* Ordnung des Datenvektors */ pi = acosl(-1.0); /* Kreiszahl Pi */ x = (long double)1.0/(long double)m; /* Normierungsfaktor */ tau = tauFxT(&iErrNr,m);

Page 101: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 14 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

/* Berechnung der Einheitswurzel */

ew = exp(T(0.0,-(long double)2.0*pi*x));

switch(ir) case 'r': /* Für Rückwärtstransformation Maßstabsfaktor anpassen */ /* und Einheitswurzel konjugieren */

x = (long double)1.0; ew = conj(ew);

case 'f': /* FFT-Transformation ausführen */

for(j=0;j<=m-1;j++) /* Umspeicherung mit der Bitumkehrfunktion */

k =j; sigma=0; n2 =m/2; n =1;

for(l=0;l<=tau-1;l++) if(k>=n2) sigma+=n; k -=n2; n +=n; n2 /=2;

Page 102: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 15 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

if(sigma>=j) u = d[j]*x; d[j] = d[sigma]*x; d[sigma] = u;

/* Durchführung der Transformation

mm = 2**(n-1) ew = Einheitswurzel w = ew**(2**tau-n)) eps = ew**(l*2**)tau-n)) */

mm=1;

for(n=1;n<=tau;n++) /* FFT-Transformation ausführen */ w = ew; if(!(n==tau)) for(k=1;k<=tau-n;k++) w = w*w; eps = T(1.0,0);

Page 103: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen, Unitäre Transformationen und z-Transformation - 16 - 26.03.02 12:31

Formelsammlung Dr. Jörg Wollnack

for(l=0;l<=mm-1;l++) for(j=0;j<=m-mm-mm;j+=(mm+mm)) u = d[j+l+mm] * eps; d[j+l+mm] = d[j+l] - u; d[j+l] += u; eps = eps*w; mm+=mm;

break;

default: return(-2);

/* end of switch */

return(0); /* end of fft1d */

/*-------------------------------------------------------------------*/

Page 104: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen-Korrespondenzen - 1 - 26.03.02 12:34

Dr. Jörg Wollnack

Nr. Originalfunktion Fourier-Transformierte Laplace-Transformierte Bemerkungen1 δ( )t 1 1 Delta-Funktion2

s t

t

t

t

( ) /=

1 0

1 2 0

0 0

für >

für =

für <

1

22

j ff

ππ δ π+ ( )

1

sSprung-Funktion

3

rect

für

für

für

( )

/

/ /

/

t

t

t

t

=

<

=

>

1 1 2

1 2 1 2

0 1 2

si f f f( ) sin( ) /π π π= Puls-Funktion

4

rect

für

für

für

T0( )

/

/ /

/

t

t T

t T

t T

=

<

=

>

1 2

1 2 2

0 2

0

0

0

T si T f0 0( )π

5

sign

für <

für =

für >

( )t

t

t

t

=−

1 0

0 0

1 0

1

j fπSignum-Funktion

6Λ( )

.t

t t

sonst=

− <

1 1

0

si2 ( )π f Dreiecks-Funktion

7rep x(t) =

k=-T x t k T( )−

∑ 1

TX fcomb 1

T

( ) Repeat-Operator

8 1

Fcomb 1

1F

k

x t

Ft k F x t

( )

( / ) ( )

=

− ⋅=−∞

∑δ

rep (f) =k=-

F X X f k F( )−∞

∑ Comb-Operator

9 ∏ ∏ = −∈∑( ) ( )t t nn

δN

∏ ∏ = −∈∑( ) ( )f f nn

δN

„Schah“-Operator

10 ∏ ∏( / )t T 1

TT f∏ ∏ ⋅( ) „Schah“-Operator

Page 105: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen-Korrespondenzen - 2 - 26.03.02 12:34

Dr. Jörg Wollnack

11 2π δ ω( )12 e aat , Re > 0 1

a j+ ω13 sinω0t jπ δ ω ω δ ω ω( ) ( )+ − −0 0 14 cosω0t π δ ω ω δ ω ω( ) ( )− + +0 0 15 2 R f si t s tg gω ( ) R jI( ) ( )ω ω+ , mit

RR g( )ω

ω ω=

für

sonst0

IR g

g

( ) lnωπ

ω ωω ω

=−+

16 j

t

π ωsign

Page 106: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Formelsammlung Integraltransformationen-Korrespondenzen - 3 -

Korrespondenzen der Laplace-Transformation

1 e at− 1

s a+e-Funktion

2 e aat− >2

0,π

ω

/ a e a−2

2 Gauß-Funktion

3 t en a t− n

s an

!

+ +

1

4 δ( )t a e a t− − s

s a+Puls-Funktion der DauerT0

5 − −a e at a

s s a+ 6 e e

a a

a t a t− −−−

1 2

2 1

1

1 2s a s a+ + 7 sinω0t ω

ω0

202s +

8 cosω0t s

s202+ω

9 e ta t− sinω0ω

ω0

2

02s a+ +

10 e ta t− cosω0s a

s a

++ +

2

02ω

11 sinω0t

tarctan

ω0

s

Page 107: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

Integraltransformationen-Korrespondenzen - 4 - 26.03.02 12:34

Dr. Jörg Wollnack

Diracfunktion

Verallgemeinerte Funktion

(1) δ δ( ) lim ( , )x y x xx

=→∆

∆0

die in einem schmalen Bereich ∆ x existiertund unter dem Integral die Eigenschaft

(2) δ( )x x−∞

=d 1

besitzt.

Eigenschaften der Diracfunktion:

a) Ausblendeigenschaften

(3.1) f x x x x f x( ) ( ) ( )δ − =−∞

0 0d

(3.2) δ δ δ( ) ( ) ( )x x x x x x xa b a b− − = −−∞

d

(3.3) f x x x x f x( ) ( ) ( )′ − = ′−∞

δ 0 d

b) Dilatation

(4) δ δ( ) ( )a xa

x= 1

c) Differentiation

(5)d

d

n

n

n

nxx

n

xxδ δ( )

!( )= −1

d) Kompositionseigenschaft

(6) δδ

f xx x

f xj

jj

( )( )

( ) =

−′∑ , wobei xj die

einfachen Nullstellen von f(x) sind.

e) Zusammenhang mit dem Einheitssprung

(7) s xx

( ) ( )=−∞δ ξ ξd

Page 108: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 1 - Dr. Jörg Wollnack

14 Anhang

14.1 Komplexe Funktionen

Def. 14-1 Komplexe Funktion:

Eine komplexe Funktion w = f(z) ist eine eindeutige Abbildung∀ ∈ ⊆ ∃ ∈ ⊆ =z D y W y f zf f ( ), worin Df den Definitionsbe-

reich und Wf den Wertevorrat von f repräsentieren.

Def. 14-2 Stetigkeit komplexer Funktionen:

Eine Funktion w = f(z) heißt an der Stelle z0 stetig, wenn es zu jedervorgegebenen beliebigen kleinen Umgebung U wε ( )0 eines Punktes w0

der w-Ebene eine Umgebung U zδ ( )0 des Punktes z0 der z-Ebene gibt,deren Bildpunkte w = f(z) ganz in U wε ( )0 liegen.

14.2 Konvergenzverhalten der Fourier-Reihe, Periodische Fort-setzung und Weierstraßscher Approximationssatz

Als notwendige Bedingung für die Konvergenz der Fourier-Reihe gilt limk

kc→∞

= 0 . Die

Betrachtungen die zu dieser Bedingungen führen, liefern jedoch keine Information über dieArt und Weise des Konvergenzverhaltens. Diese Frage beantwortet der Satz von Feyer:

Geht man von der reellen Darstellungsform der Partialsumme

sa

a k x b k xn k kk

n

= + +=∑0

12cos sin , mit (14-1.1)

a f x k x xk =−1

π π

π

( )cos d (14-1.2)

b f x k x xk =−1

π π

π

( )sin d (14-1.3)

aus und setzt die Gleichungen (14-1.2) und (14-1.3) in Gleichung (14-1.1) ein, so erhält mandie Gleichung:

s f x xn =∩1

2π π

( ) d

+

+

∩ ∩=

∑1

2 21π π π

f u k u u k x f u k u u k xk

n

( ) cos cos ( )sin sind d . (14-2)

Wegen der Kommutativität von Integration und Summation erhält unter Anwendung derAdditionstheoreme trigonometrischer Funktionen die Gleichung:

Page 109: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 2 - Dr. Jörg Wollnack

s f u k x u unk

n

= + −

=∩

∑1 1

2 12π π

( ) cos d . (14-3)

Für das arithmetische Mittel

Sn

sn

f u k x u un ll

n

k

n

l

n

= = + −

=

=∩=

∑ ∑∑1 1 1 1

20

1

120

1

π π

( ) cos d

= + −

=∩=

∑∑1 1

2 120

1

nf u k x u u

k

n

l

n

π π

( ) cos d (14-4)

erhält man mit den Identitätsaussagen

1

2

12

21

+ − =+

−=∑ cos

sin

sink x u

n x u

x uk

n

und (14-5)

sinsin

sinl x u

n x u

x ul

n

+

=

=

∑ 1

22

20

12

(14-6)

die Gleichung:

Sn

f u

n x u

x uun =

∩1

22

2

2

22π π

( )sin

sin

d . (14-7)

Ist ∀ ∈ =x D f xf ( ) 1, so folgt daraus, daß a k a bk k0 2 1 0= ∧ ∀ ≥ = = bzw. s Sn n= =1 ist.

Daher gilt dann ferner die Gleichung:

1

22

2

1

2

22n

n x u

x uu

π π

sin

sin

=∩

d . (14-8)

Nimmt man an, daß f(x) in jedem Punkt einen rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwertf x( )+ und f x( )− besitzt und bis auf eine endliche Anzahl von endlichen Sprüngen stetig ist,so läßt sich die Gleichung (14-8) nutzen, indem man 2 f x f x( ) ( )+ −+ mit dieser Gleichungmultipliziert. Man erhält sodann die Gleichung:

1

21

1

2 22

2

1

2

22

f x f xn

f x f xn x u

x uu( ) ( )

( ) ( )sin

sin+ −

+ −

+ ⋅ = +

=

π π

d . (14-9)

Subtrahiert man nun Gleichung (14-9) von (14-7), so erhält man die Gleichung:

Sf x f x

nf u

f x f xn x u

x uun −

+= − +

+ − + −

∩( ) ( )

( )( ) ( )

sin

sin

2

1

2 22

2

2

22π π

d . (14-10)

Page 110: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 3 - Dr. Jörg Wollnack

Wählt man die Integration über eine Periode derart, daß man über das Intervall x x− +π π,integriert, so läßt sich das Integral in zwei Teilintegrale zerlegen. Man integriert erstens über

x x−π, und zweitens über x x, +π und erhält damit die Zerlegung:

Sf x f x

n −++ −( ) ( ) 2

= − +

+ −

−1

2 22

2

2

2nf u

f x f xn x u

x uu

x

x

π π

( )( ) ( )

sin

sin

d

+ − +

+ −+

1

2 22

2

2

2nf u

f x f xn x u

x uu

x

x

π

π

( )( ) ( )

sin

sin

d . (14-11)

Substituiert man im ersten Integral mit u x v= −2 und im zweiten Integral mit u x v= +2 undvollzieht die Variablentransformation

vx u

vu= − ⇒ =

2 2d

d und

vu x

vu= − ⇒ =

2 2d

d(14-12)

so erhält man nach einigen Umformungen die Gleichung:

Sf x f x

n −++ −( ) ( ) 2

= − − − +

+ −1

22

22

2

22

0

nf x v

f x f x n v

vv

π π

( )( ) ( ) sin

sin/

d

+ + − +

+ −1

22

22

2

20

2

nf x v

f x f x n v

vv

π

π

( )( ) ( ) sin

sin

/

d . (14-13)

Dies läßt sich zu

∆ ≡ −++ −S

f x f xn

( ) ( ) 2

= + + − + −+ −12 2

2

20

2

nf x v f x v f x f x

n v

vv

π

π

( ) ( ) ( ) ( )sin

sin

/

d . (14-14)

zusammenfassen. Zur Abkürzung läßt sich

φ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v f x v f x v f x f x= + + − + −+ −2 2 . (14-15)

einführen. Diese gerade Funktion ist an der Stelle v stetig, da für jede Folge von v die gegennull konvergiert gilt:

lim ( ) ( )vv

f x v f x→>

++ =0

0

2 und lim ( ) ( )vv

f x v f x→>

−− =0

0

2 bzw.

lim ( ) ( )vv

f x v f x→<

+− =0

0

2 und lim ( ) ( )vv

f x v f x→<

−+ =0

0

2 . (14-16)

Damit gilt φ ε( )v < für v < <η π2

. Zerlegt man das Integral (14-14) in die Intervalle 0,η

und η π, 2 , so erhält man die Gleichung:

Page 111: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 4 - Dr. Jörg Wollnack

∆ = +

1 2

20

2

2

2

nv

n v

vv v

n v

vv

πφ φ

η

η

π

( )sin

sin( )

sin

sin

/

d d . (14-17)

Eine Abschätzung über die Betragsnorm mit

φ ε( )v = und Maxdef

φ( ) ( )v Max f x M ≤ =4 4 (14-18)

ergibt die Ungleichung:

Sf x f x

n

n v

vv

M

n

n v

vvn −

+< ++ − ( ) ( ) sin

sin

sin

sin

/

2

42

20

2

2

2επ π

η

η

π

d d . (14-19)

Mit Gleichung (14-8) läßt sich die Un-gleichung

επ

εη

n

n v

vv

sin

sin

2

20

d < (14-20)

formulieren. Das zweite Integral kann wegen0 12≤ ≤sin n v und sin sinv ≥ η durch dieUngleichung

4 4 12

2

2

2

2M

n

n v

vv

M

nv

π π ηη

π

η

πsin

sin sin

/ /

d d <

= −4 22

M

nππ η

η/

sin (14-21)

abgeschätzt werden. Damit gilt für hin-reichend große n:

Sf x f x M

nn −+

< + <+ −( ) ( )

sin

2

2 12

ηε . (14-22)

Der Satz von Feyer besagt nun, daß für jede in 2π periodische integrierbare Funktion f(x), dieeinen links- und rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x hat, im Sinne des arithmetischenMittel Sn für jedes x gegen f x f x( ) ( )+ −+ 2 konvergiert.

Die Untersuchung der Reihen und arithmetischen Mittel lehrt einige wichtige Zusammen-hänge, die in dem Hardyschen Satz ausgedrückt werden:

Satz 14-1 Hardyscher Satz:

Konvergiert die Folge der arithmetischen Mittel gegen Sn

sn

kk

n

=→∞

=∑lim

1

1

und gilt für die Glieder der Reihe s uk ll

k

==∑

1

die Ungleichung uA

ll <

mit festem A > 0, so konvergiert die Reihe limk

ll

k

u→∞

=∑

1

und es gilt

lim limk

ll

k

nk

k

n

un

s→∞

=→∞

=∑ ∑=

1 1

1.

u

1

0 .5

0 .5

1

/2

Abb. 14-1: Sinusfunktion

Page 112: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 5 - Dr. Jörg Wollnack

Die dann vorliegende Gleichheit der Grenzwerte kann dazu genutzt werden, die Aussage desSatzes von Feyer, nach Überprüfung der Voraussetzungen des Satzes von Hardy, auf dieFourier-Reihe zu vererben. Damit erhält man den Satz von Jordan:

Satz 14-2 Jordanscher Satz:

Die Fourier-Reihe einer in 2π periodischen Funktion von beschränk-ter Variation konvergiert in jedem abgeschlossenen Intervall gleich-mäßig gegen die Summe f x f x( ) ( )+ −+ 2 .

Aufgrund dieses Sachverhaltes hat sich die Notation

f x f x aa k x b k x

nk k

k

n( ) ( )lim cos sin+ −

→∞=

+ = + +∑2 22 20

1

π π (14-23)

eingebürgert, die diese Eigenschaft zum Ausdruck bringen soll.

• Periodische Fortsetzung

Die Fourier-Reihenentwicklung werden im allgemeinen auf periodische Funktionen ange-wendet. Die vorherigen Betrachtungen können jedoch ohne Beschränkung der Allgemeinheitauf nicht periodische Funktionen des Intervalls −π π, übertragen werden. Die Aussagen gel-ten dann nur für das Intervall −π π, . Setzt man die Funktion außerhalb dieses Intervalls perDefinition so fort, daß sie der Periodizitätsbedingung genügt, so spricht man von periodischerFortsetzung und die Konvergenzsätze gelten sodann außerhalb des Intervalls −π π, .

• Weierstraßscher Approximationssatz

Der Weierstraßsche Approximationssatz ist nahezu eine unmittelbare Folge des FeyerschenSatzes. Dieser Satz besagt, daß jede in einem abgeschlossenen Intervall a b, stetige Funktiongleichmäßig durch Polynome approximiert werden kann. Fordert man ferner die Differenzier-barkeit der Funktion an der Stelle x0, so sichert die Existenz des Differentials die Stetigkeitvon f an der Stelle x0. Die Stetigkeit ihrerseits setzt die Äquivalenz von rechts- und links-seitigem Grenzwert voraus, womit die Fourier-Summen von f gegen den Wert f(x0) konver-gieren. Die Güte der Approximation wird dabei von lokalen Eigenschaften von f bestimmt.Unter lokal versteht man in diesem Zusammenhang eine ε-Umgebung an der Stelle x0.

Page 113: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 6 - Dr. Jörg Wollnack

14.3 Fourier-Transformierte der Sprungfunktion

Zur Herleitung der Fourier-Transformierten der Deltafunktionen geht man von dem Ansatz

lim ( ) ( ) lim limα

α

α

α ω

αω

α ωα

− −

−∞

→ℑ = =

+>0 0 0

10e s t j e e t

jt t j t d für (14-24)

aus. Durch konjugiert komplexen Erweiterung erhält man:

1

2 2 2 2 2 2α ωα ωα ω

α ωα ω

αα ω

ωα ω+

⋅ −−

= −+

=+

−+j

j

j

j j . (14-25)

Der Term limα

αα ω→ +0 2 2

repräsentiert die Deltafunktion δ( ) /f 2, so daß man unter Anwendung

der Dilatationsregel (Fehler! Textmarke nicht definiert.) der Deltafunktion die Gleichung

lim ( ) ( ) ( )α

α ωω

π δ ω α→

−ℑ = + >0

10e s t j

jt für (14-26)

erhält. Was zu beweisen war.

Page 114: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 7 - Dr. Jörg Wollnack

14.4 Metrik

14.4.1 Metrische Räume

Für Konvergenzuntersuchungen in höherdimensionalen Räumen benötigt man einen Ab-standsbegriff. Für Zahlentupel x xM1, , t

des M wird der Prozeß der Abstandsbestimmungals Metrisierung bezeichnet. Die Idee der Metrisierung besteht darin, eine eindeutige Ab-bildung des M auf den 0

+ zu finden, die es erlaubt, gewisse Begriffe des auf den M zuübertragen. Diese Begriffe werden abstrakt auch auf topologische1 Räume angewendet.

Ein metrischer Raum X wir durch folgende die Axiome2 charakterisiert:

• Positiv definit∀ ∈ ∃ ∈ ≥+x y x y x y, ( , ) ( , )X d d0 0 ∧ = ⇔ =d( , )x y x y0 , (14-27)

• Symmetrierelation∀ ∈ =x y x y y x, ( , ) ( , )X d d und (14-28)

• Dreiecksungleichung∀ ∈ ∃ ≤ +x y z x z x y y z, , ( , ) ( , ) ( , )X d d d . (14-29)

Es soll zunächst bewußt offen bleiben, welche analytische Gestalt das durch d gekenn-zeichnete Funktional hat. In den technischen Anwendungen sei unter dem metrischen Raumspeziell der M oder M verstanden. Beispiele entsprechender Abstandsbegriffe sind:

• Euklidische Metrik

d x yi ii

MM( , ) , ,x y x y= − ∈

=∑ 2

1

, (14-30)

• Maximumfunktiond x y

i Mi i

M( , ) max , ,, ,

x y x y= − ∈∈ 1

und (14-31)

• Betragssumme

d x yi ii

MM( , ) , ,x y x y= − ∈

=∑

1

. (14-32)

Durch Mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man die erweiterte Dreiecks-ungleichung:

∀ ∈ ∃ ≤ + + + −x x x x x x x x x x1 1 1 2 2 3 1, , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) m m m md d d dX . (14-33)

1 Topologie [gr.-nlat.] in der Geometrie die Lehre von der Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum.2 Die metrischen Räume können auch über einem normierten Raum gebildet werden. Hierzu wird ein linearerRaum X mit Körpereigenschaften gebildet, wobei jedem u ∈ X eindeutig eine reelle Zahl u ∈ +

0 zugeordnet

wird. Für die Norm gelten zum metrischen Raum analoge Axiome. Der normierte Raum wird durchd( , )u v u v≡ − zum metrischen Raum. Gilt in einem normierten Raum das Cauchysche Konvergenzkriterium,

dann heißt der Raum Banach-Raum (siehe auch Kapitel 14.4.8).

Page 115: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 8 - Dr. Jörg Wollnack

14.4.2 Konvergenz im metrischen Raum

Die Konvergenz einer Folge xn von Elemente wird analog zum reellen definiert. Eine

Folge von Elementen xn strebe im Grenzprozeß gegen das Element x0 , so daß gilt

limn

n→∞≡x x 0 . Dann sagt man x0 sei Grenzwert der Folge xn . Hierzu definiert man den

Grenzwert präzise zu:

Def. 14-3 Grenzwert einer Folge:

x0 ist genau dann Grenzwert der Folge xn n ∈ ∈X , , wenn es zujedem ε ε> ∈0 , einen Index n0 gibt, so daß gilt∀ ≥ <n n d n0 0( , )x x ε .

14.4.3 Eindeutigkeit des Grenzwertes

Ist die Frage der Eindeutigkeit des Grenzwertes einer Folge nicht geklärt, so könnte manmöglicherweise die Existenz des Grenzwertes beweisen, wüßte aber trotzdem nicht, ob dieserGrenzwert der Folge eindeutig bestimmbar ist. Es böten sich möglicherweise mehrereElemente x0

k an, die Grenzwert der Teilfolgen xnk wären.

Die Eindeutig des Grenzwertes läßt sich indirekt beweisen. Hierzu sei angenommen, daß zweiunterschiedliche Grenzwerte lim

nn→∞≡x x 0 und lim

nn→∞≡x y 0 existieren. Aus der Dreiecksun-

gleichung folgt sodann die Aussage d d dn n( , ) ( , ) ( , )x y x x x y0 0 0 0≤ + . Für die rechte Seite derUngleichung gilt lim ( , )

nnd

→∞=x x0 0 und lim ( , )

nnd

→∞=y x0 0 , so daß man die Aussage

d( , )x y0 0 0= erhält. Der positiven Definitheit zur Folge gilt ferner d( , )x y0 0 0≥ , womit aufdie Äquivalenzaussage x y0 0= geschlossen werden kann. Was im Widerspruch zur Annahmesteht.

Damit läßt sich der Satz formulieren:

Satz 14-3:

Existiert der Grenzwert limn

n→∞≡x x 0 einer Folge xn ∈ X, so gilt für

jede Teilfolge limn

nk

→∞≡x x 0 .

14.4.4 Stetigkeit der Metrik

Es soll geklärt werden, ob das Funktional d eine stetige Funktion von x und y ist. Es gilt alsozu zeigen, daß lim ( , ) ( , )

nn nd d

→∞=x y x y0 0 , mit lim

nn→∞≡x x 0 und lim

nn→∞≡y y 0 ist. Hierzu geht

man von der erweiterten Dreiecksungleichung aus und untersucht die Aussagen

d d d dn n n n( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x x x y y y≤ + +0 0 0 0 undd d d dn n n n( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x x x y y y0 0 0 0≤ + + . (14-34)

Isoliert man die äußeren Terme der rechten Seite der Ungleichung, so erhält man die Ab-schätzungen:

d d d dn n n n( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x x y y− ≤ +0 0 0 0 und

− − ≤ +d d d dn n n n( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x x y y0 0 0 0 . (14-35)

Page 116: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 9 - Dr. Jörg Wollnack

Diese lassen sich mit dem Symmetrieaxiom über den Betragsbegriff reeller Zahlen in derAussage

d d d dn n n n( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x x y y− ≤ +0 0 0 0 3. (14-36)

zusammenfassen. Die rechte Seite der Ungleichung strebt gegen null, wenn die Grenzwerteexistieren, so daß wegen der positiven Definitheit ferner gilt:

d dn

n n( , ) lim ( , )x y x y0 0 =→∞

. (14-37)

Damit ist die Stetigkeitsbetrachtung auf die Stetigkeit eines Funktionals zurückgeführt. Waszu beweisen war.

14.4.5 Beschränkte Menge, Grenzelement, Abgeschlossenheit, Vervollständigung undKompaktheit

Def. 14-4 Beschränkte Menge:

Eine Menge U eines metrischen Raumes X ist beschränkt, wenn es einElement x0 ∈ U und eine gewisse positive Zahl A ∈ +

0 gibt, so daß∀ ∈ ≤x x xU d A( , )0 .

Aus der beschränkten Menge erhält man über die Dreiecksungleichung:

∀ ∈ ≠ ≤ +x x x x x x x x x x x0 1 1 0 1 1 0 0, , , ( , ) ( , ) ( , )X d d d . (14-38)

Beschränkt man x auf U und nimmt an, daß der metrisierte Raum beschränkt sei, so gilt dieAussage:

∀ ∈ ⊆ ≤ +x x x x xU X d d Ap p( , ) ( , )0 . (14-39)

Diese Relation ist nützlich für Abschätzungen der Metrik. Betrachtet man die Gleichung, sowird deutlich, daß die Definition der Beschränktheit unabhängig von der Wahl des Elementesx0 ist. Es ließe sich zeigen, daß die Beschränktheit der Elemente xn eine notwendigeBedingung für die Existenz des Grenzwertes einer Folge xn ist.

Aufbauend auf diesen Begriffen lassen sich weiter definieren:

Def. 14-5 Grenzelement einer beschränkten Menge:

Ein Element x0 definiert man als Grenzelement der Menge U X⊂ ,wenn es eine Folge von Elementen xn ⊂ U gibt, für die der Grenzwertlimn

n→∞=x x0 ist.

Def. 14-6 Abgeschlossenheit der beschränkten Menge U:

Eine Menge U, die alle ihre Grenzelemente enthält, nennt man abge-schlossen.

Def. 14-7 Vervollständigung einer beschränkten Menge:

Ist eine Menge U nicht abgeschlossen und fügt man ihr die Menge∂U, die Hülle ihrer Grenzelemente hinzu, so ist die so konstruierte

3 Bei genauer Betrachtung erkennt man, daß die Stetigkeit der Metrik auf die Stetigkeit des Betrages einerreellen Zahl zurückgeführt wurde.

Page 117: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 10 - Dr. Jörg Wollnack

Menge U abgeschlossen. Diesen Übergang von U auf U über ∂U be-zeichnet man als Abschluß.

Def. 14-8 Kompaktheit:

Eine Menge A X⊆ heißt kompakt, wenn jede Folge xn aus A eine

konvergente Teilfolge xnk mit dem Grenzpunkt x ∈ A enthält.

Def. 14-9 Relative Kompaktheit:

Eine Menge A X⊆ heißt relativ kompakt, wenn jede Folge xn aus

A eine konvergente Teilfolge xnk mit dem Grenzpunkt x ∈ X

enthält.

14.4.6 Höherdimensionale Sphären

Def. 14-10 n-dimensionale offene Sphäre:

Die offene n-dimensionale Sphäre mit dem Mittelpunkt x0 und demRadius ε ist definiert durch die Menge: K d( , ) ( , )x x x x0 0ε ε≡ ∈ < ∈ +X .

Def. 14-11 n-dimensionale abgeschlossene Sphäre:

Die abgeschlossene n-dimensionale Sphäre mit dem Mittelpunkt x0

und dem Radius ε ist definiert durch die Menge:

~( , ) ( , )K dx x x x0 0ε ε≡ ∈ ≤ ∈ +X .

Die konkrete Gestalt der Sphäre wird vom Funktional d festgelegt.

14.4.7 Isometrie des metrischen Raumes

Existiert für zwei metrische Räume X und ′X eine eindeutige Abbildung x

y

x

y

′′

und gilt

für die Metrik die Äquivalenzaussage d d( , ) ( , )x y x y= ′ ′ , so nennt man die Räume X und ′Xisometrisch4. Im Sinne der Metrik lassen sich die Räume nicht unterscheiden.

14.4.8 Cauchy-Folge und Vervollständigung

Man nennt eine Folge xn Fundamental- oder Cauchy-Folge wenn sie folgende Eigenschaft

hat:

Def. 14-12 Fundamentalfolge:

Eine Folge xn nx n , ,∈ ∈X heißt Fundamental- oder Cauchy-Folge, wenn es zu jeder reellen Zahl ε > 0 eine natürliche Zahl N( )εgibt, so daß für alle m n N, ( )> ε d m n( , )x x < ε ist.

4 iso... [griech.], Bestimmungswort von Zusammensetzungen mit der Bedeutung ›gleich‹.

Page 118: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 11 - Dr. Jörg Wollnack

Diese Eigenschaft einer Folge ist abhängig von der Metrik d. Man kann Folgen konstruieren,die bezüglich einer Metrik d1 zur Klasse der Fundamentalfolgen gehören und die bezüglicheiner anderen Metrik d2 nicht zu dieser Klasse gehören.

In einem metrischen Raum X ist die Existenz des Grenzwertes nicht von vornherein gesichert.Hierzu sind weitere Voraussetzungen zu erfüllen, die im folgenden erörtert werden sollen.Hierzu benötigt man den Hilfssatz:

Satz 14-4:

Für zwei Fundamentalfolgen xn und yn existiert der Grenzwert einerFolge d n n( , )x y .

Betrachtet man die erweiterte Dreiecksungleichung

d d d dn n n m m m m m( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x x x y y y≤ + + , (14-40)

so erhält man nach Vertauschung von m und n mit der Symmetrierelation die Aussagen

d d d dn n m m n m m n( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x x y y− ≤ + und

− − ≤ +d d d dn n m m n m m n( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x x y y , (14-41)

welche über den Betragsbegriff der reellen Zahl gleichwertig mit

d d d dn n m m n m m n( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x x y y− ≤ + (14-42)

ist. Der Term der rechten Seite strebt gegen null, weil nach Voraussetzung die FolgenFundamentalfolgen sind. Damit läßt sich Existenzaussage des Cauchyschen Satzes für reelleZahlen auf die Objekte d n n( , )x y des metrischen Raumes vererben. Was zu beweisen war.

Aus dem Satz (14-4) folgt nicht wie im reellen die Existenz des Grenzwertes. Deshalb ist zudefinieren:

Def. 14-13 Vollständiger metrischer Raum:

Folgt aus der Konvergenz der Cauchy-Folge zugleich die Existenz desGrenzwertes, so wird der metrische Raum als vollständig bezeichnet.

14.4.9 Klassifizierung von Cauchy-Folgen

Teilt man die Menge der Cauchy-Folgen in zwei Klassen ein und zwar in einer Klasse ersterArt vereinigt man diejenige Folgen xn und ′xn , für welche lim ( , )

nn nd

→∞′ =x x 0 sei und in der

Klasse zweiter Art vereinigt man diejenigen Folgen, für welche lim ( , )n

n nd→∞

′ >x x 0 ist. Liegen

nun Folgen xn und ′xn sowie xn und ′′xn in einer Klasse erster Art, so gehören auch

die Folgen ′xn und ′′xn dieser Klasse an.

Dies läßt sich zeigen, indem man von der Dreiecksungleichung

d d dn n n n n n( , ) ( , ) ( , )′ ′′ ≤ ′ + ′′x x x x x x (14-43)

ausgeht. Mit der Symmetrierelation erhält man die Abschätzung:

d d dn n n n n n( , ) ( , ) ( , )′ ′′ ≤ ′ + ′′x x x x x x . (14-44)

Im Grenzprozeß erhält man die Aussage

0 ≤ ′ ′′ ≤ ′ + ′′→∞ →∞ →∞

lim ( , ) lim ( , ) lim ( , )n

n nn

n nn

n nd d dx x x x x x . (14-45)

Page 119: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 12 - Dr. Jörg Wollnack

Die rechte Seite der Ungleichung konvergiert gegen null, weil nach Voraussetzung die Folgen′xn und ′′xn Folgen erster Art sind. Zusammen mit dem 1. Axiom des metrischen Raumes

erhält man weiter lim ( , )n

n nd→∞

′ ′′ =x x 0. Was zu beweisen war.

Betrachtet man die Aussage (14-45), so lehrt diese zugleich, daß für zwei Folgen xn und

yn , die zu verschiedenen Klassen gehören, für den Grenzwert die Aussage lim ( , )n

n nd→∞

>x y 0

gilt. Infolgedessen gehört diese Folge zu der Klasse der Cauchy-Folgen zweiter Art.

Ebenso läßt sich aus der Dreiecksungleichung schließen, daß eine Folge xn , die einen

Grenzwert x0 hat, für jede Folge ′xn der gleichen Klasse derselbe Grenzwert vorliegt.

Wegen der Stetigkeit des Funktionals d müssen Folgen aus verschiedenen Klassen auch ver-schiedene Grenzwerte besitzen.

Die Cauchy-Folgen zerfallen somit in zwei Klassen. Erstens in die Klasse der Folgen, beidenen x0 ein beliebiges Element aus X ist, das zugleich Grenzwert der Folge ist. Hierzugehören auch die Folgen bei denen sämtliche Elemente konstant sind. Die Klasse zweiter Artbesteht aus denjenigen Folgen, die keinen Grenzwert besitzen. Ist der metrische Raum voll-ständig, so existieren keine Folgen zweiter Art.

14.4.10 Vollständigkeit und dichter metrischer Raum

Ist X nicht vollständig, so konstruiert man einen neuen metrischen Raum ~X, dessen Elemente

die im vorherigen Kapitel erwähnten Klassen von Cauchy-Folgen aus X repräsentieren. Indiesem Raum führt man eine neue Metrik ein und überprüft, ob diese den Axiomen genügt:

• Eindeutigkeit des Funktionals

Nimmt man hierzu an, daß ~x und ~y zwei Elemente aus X darstellen und wählt zwei beliebigeFolgen xn sowie yn mit der Definition ′ = ′ ′

→∞d d

n(~,~) lim ( , )x y x y , so erhält man mit der er-

weiterten Dreiecksungleichung d d d dn n n n n n n n( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x x x y y y≤ ′ + ′ ′ + ′ . Bilden man denGrenzprozeß und berücksichtigt, daß d n n( , )x x′ und d n n( , )y y′ gegen null streben, so erhältman die Aussage lim ( , ) lim ( , ) (~,~) (~,~)

nn n

nn nd d d d

→∞ →∞≤ ′ ′ ≡ ≤ ′x y x y x y x y . Analog erhält man aus-

gehend von d d d dn n n n n n n n( , ) ( , ) ( , ) ( , )′ ′ ≤ ′ + + ′x y x x x y y y nach Anwendung der Symmetrie-relation und Berücksichtigung, daß lim ( , )

nn nd

→∞′ =x x 0 und lim ( , )

nn nd

→∞′ =y y 0 ist, die Aussage

lim ( , ) lim ( , ) (~,~) (~,~)n

n nn

n nd d d d→∞ →∞

′ ′ ≤ ≡ ′ ≤x y x y x y x y .

Demzufolge gilt auch d d d(~,~) (~,~) (~,~)x y x y x y≤ ′ ≤ , was äquivalent zu ′ =d d(~,~) (~,~)x y x y ist.

Damit wäre gezeigt, daß durch d dn

n n(~,~) lim ( , )x y x y=→∞

die reelle Zahl d(~,~)x y eindeutig

bestimmt ist.

• 1. Axiom

Ist d(~,~)x y = 0 bzw. lim ( , )n

n nd→∞

=x y 0 , so besagt dies, daß die Folgen xn und yn zu einer

Klasse gehören. Also ist ~ ~x y= .

• 2. Axiom

Die Symmetrierelation folgt aus der Symmetrie lim ( , ) lim ( , )n

n nn

n nd d→∞ →∞

=x y y x .

Page 120: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 13 - Dr. Jörg Wollnack

• 3. Axiom

Wählt man aus einer Klasse die den Elementen ~,~,~x y z entsprechenden Folgen x y zn n n , , ,

so gilt die analoge Dreiecksungleichung:

d d d d d dn

n nn

n nn

n n(~,~) (~,~) (~,~) lim ( , ) lim ( , ) lim ( , )x y x z z y x y x z z y≤ + ≡ ≤ +→∞ →∞ →∞

. (14-46)

Unter der Annahme das Element ~x gehöre zu der Klasse erster Art, d.h. die Folge habe einGrenzwert x0, dann kann man ein Element x0 ∈ X identifizieren. Die Elemente, die zu der

Klasse zweiter Art gehören, stellen Elemente aus ~X dar, die nicht zugleich in X liegen.

Nimmt man, daß ~x und ~y Elemente entsprechender Klassen erster Art sind und daß x0 undy0 die mit ihnen identifizierten Elemente aus X repräsentieren, so kann für alle n x xn = 0 undy yn = 0 setzen, weil im Sinne des Grenzprozesses die Identifizierung mit den Grenzelementenmöglich ist. Somit erhält man die Äquivalenzaussage

d dn

n(~,~) lim ( , )x y x y=→∞ 0 . (14-47)

Im folgenden soll gezeigt werden, daß lim (~, )n

nd→∞

=x y 0 ist, wenn die Folgen xn in der durch

das Element ~x definierten Klasse liegen. Nach Definition gilt: d dnm

m n(~, ) lim ( , )x y x y=→∞

. Da

die Folgen xn Cauchy-Folgen darstellen, existiert für jedes positive reelle Maß d n(~, )x x ≤ εeine natürliche Zahl N, so daß für alle n N≥ d n(~, )x x ≤ ε ist. Infolgedessen gilt für denGrenzprozeß lim (~, )

nnd

→∞=x x 0.

14.4.11 Dichter metrischer Raum

Def. 14-14 Dichter metrischer Raum:

Der metrische Raum X wird in ~X dicht genannt, wenn für jedes

beliebige Element x aus X jede positive Zahl ε ein Element x aus Xexistiert, für welches das metrische Maß d( , )~x x ≤ ε ist.

Untersucht man nun die zwei Fälle:

Gehört das Element ~x zur Klasse erster Art, so existiert der Grenzwert der Folge, somit kannman ~x mit x0 ∈ X identifizieren und x x= 0 für jedes ε > 0 setzen, da mit dem 1. Axiom gilt:d d( , ) = ( , ) = 0~x x x x0 0 0 .

Ist das Element ~x nicht Element aus X und entspreche ~x einer Cauchy-Folge xn . Wählt

man ein m mit d n m( , )x x ≤ ε für alle n m≥ , dann kann man ~x x= m setzen, da giltd dm

nn m( , ) = ( , )~ limx x x x

→∞. Wegen d n m( , )x x ≤ ε für alle n m≥ gilt dann ferner d m( , )~x x ≤ ε .

Nimmt man an die Folge ~xn sei eine Cauchy-Folge in ~X, dann ist für alle n m N, ≥ das

metrische Maß d n m( , )~ ~x x ≤ ε . Zeigt man nun, daß in ~X ein Element ~x existiert, für welches

lim ~ ~n

nd→∞

( , ) = 0x x ist, so ist die Vollständigkeit von ~X bewiesen, da man zeigen kann, daß

ausgehend von der Cauchy-Folge ein Grenzwert in ~X existiert. Dies ist ja gerade das Merk-

mal der Vollständigkeit.

Page 121: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 14 - Dr. Jörg Wollnack

Aus den vorangegangenen Überlegungen folgt, daß man für jedes n ein Element xn ∈ X

d n n(~ , )x x durch eine Nullfolge mit dnn n(~ , )x x ≤ 1

abschätzen kann. Es läßt sich zeigen, daß

auch die Folge xn zur der Klasse der Cauchy-Folgen gehört, denn es gilt mit der erweiter-

ten Dreiecksungleichung d d d dn m n n n m m m( , ) ( , ) + ( , ) + ( , )x x x x x x x x≤ ~ ~ ~ ~ und der obigen Ab-

schätzung durch die Nullfolgen d dm nn m n m( , ) ( , ) +x x x x≤ +~ ~ 1 1

. Die Folge xn liegt infolge-

dessen in einer Klasse, die von einem Element ~~

x ∈ X charakterisiert ist.

Betrachtet man zudem die Ungleichung d d dn n n n( , ) ( , ) + ( , )~ ~ ~ ~x x x x x x≤ und schätzt abermals

den rechten äußeren Term durch eine Nullfolge ab, so erhält man d dnn n( , ) ( , ) +~ ~ ~x x x x≤ 1

. Und

wegen lim ~n

nd→∞

( , ) = 0x x schließt man auf lim ~ ~n

nd→∞

( , ) = 0x x . Was zu beweisen war.

Bemerkung: Bei der Frage nach der Eindeutigkeit der Vervollständigung zeigte sich, daß dieVervollständigung eindeutig bis auf Isometrie ist, wenn X in dem neuen metrischen Raum

~XI

“dicht“ ist. Der Prozeß der Vervollständigung des metrischen Raumes ist deshalb so bedeut-sam, weil dieser die Möglichkeit eröffnet, mit dem Cauchyschen Kriterium zugleich dieExistenz des Grenzwertes zu sichern.

14.4.12 Vollständigkeit der höherdimensionalen Räume der reellen Zahlen

Satz 14-5 Vollständigkeit des N :

Der Metrische Raum des N ist bezüglich dist5 ein vollständigermetrischer Raum.

Dieser Satz ergibt sich aus der Schlußfolgerung dist( , )x y < ε ⇒ <dMax ( , )x y ε , so daß, wenn

die Koordinatenfolgen xn Cauchy-Folgen bezüglich dist sind, diese auch Cauchy-Folgen

bezüglich dMax darstellen. Die Koordinatenfolgen sind dann Cauchy-Folgen auf , was ihreKonvergenz sichert. Da sich Konvergenz und Grenzwert einer Punktfolge komponentenweisebestimmen lassen, gilt der obige Satz.

Da sich der M sich auf den 2 M zurückführen läßt, gilt das oben Gesagte analog für den M :

Satz 14-6 Vollständigkeit des M :

Der Metrische Raum des M ist bezüglich dist6 ein vollständigermetrischer Raum.

14.4.13 Sphärenschachtelung

Das Prinzip der Intervallschachtelung bei reellen Zahlen läßt sich auf metrische Räumeübertragen, wenn man sich der offenen und geschlossen Sphären bedient.

5 Die Metrik dist induziert den Euklidischen Raum. Die Metrik dMax bestimmt das maximale Element vonx y i Ni i− ∈, , , 1

6 Die Metrik dist induziert den Euklidischen Raum. Die Metrik dMax bestimmt das maximale Element vonx y i Ni i− ∈, , , 1

Page 122: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 15 - Dr. Jörg Wollnack

Satz 14-7 :

In einem vollständigen metrischen Raum X sei eine Folge abgeschlos-sener Sphären S( , ) ,xn nr n ∈ gegeben. Jede Sphäre (n+1)-terOrdnung ist der vorhergehenden Sphäre n-ter Ordnung enthalten undihre Radien rn ∈

+ streben für n gegen unendlich gegen null. Dann

existiert ein eindeutig bestimmter Punkt, der allen Sphären angehört.

Beweis:

a) Existenz eines Punktes der allen Sphären angehört:

Nach Voraussetzung gilt ∀ ⊂+ +p > 0 S S( , ) ( , )x xn p n p n nr r und daher gilt

∀ ≤+p > 0 d rn p n n( , )x x . Hieraus folgt, daß die Folge xn zur Klasse der Cauchy-Folgen

gehört. Aufgrund der Vollständigkeit existiert der Grenzwert, der mit x0 identifiziert wird.

Wählt man eine Sphäre S( , )xn nr und beachtet, daß sämtliche Elemente der Folge xn die x0

als Grenzwert besitzen, nach Voraussetzung zur abgeschlossenen Menge S( , )xn nr gehören, somuß auch x0 zu dieser Sphäre gehören.

b) Eindeutigkeit

Nimmt man an es gäbe ein weiteres Element ′x0 mit ′ ≠x x0 0 , welches zu sämtlichen Sphären

S( , )xn nr gehört, so läßt sich die Dreiecksgleichung heranziehen und man erhält die Ab-schätzung d d dn n( , ) ( , ) ( , )x x x x x x0 0 0 0′ ≤ + ′ . Da x0 und ′x0 allen Sphären angehören, giltd rn n( , )x x0 ≤ und d rn n( , )x x′ ≤0 , woraus sich d r r rn n n( , )x x0 0 2′ ≤ + = ergibt. Im Grenzprozeßn →∞ strebt nach Voraussetzung rn → 0, somit muß gelten d( , )x x0 0 0′ = . Was mit dem1. Axiom im Widerspruch zur Annahme steht.

Ein weiterer wichtiger Satz zur abgeschlossenen Menge sei ohne Beweis zitiert [198]:

Satz 14-8 :

Jede abgeschlossene Menge U eines vollständigen metrischen RaumesX ist ebenfalls ein vollständiger metrischer Raum (Hierbei wird ange-nommen, daß das Maß d( , )x y in U gleich dem in X ist). Dies folgtaus der Tatsache, daß jede Fundamentalfolge xn in U einen Grenz-

wert in X hat, so daß dieser Grenzwert zu U gehören muß, da U eineabgeschlossene Menge repräsentiert.

14.4.14 Kontrahierende Abbildungen und Fixpunktsätze

14.4.14.1 Das Prinzip der kontrahierenden Abbildung

Zwischen zwei metrischen Räumen X und ′X besteht eine Abbildung

x xA

A

A∈ ⊆ → ′ ∈ ⊆ ′D WX X 7. (14-48)

7 Ist die Zuordnung eindeutig, so liegt ein Funktional vor.

Page 123: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 16 - Dr. Jörg Wollnack

Hierbei ist DA der Definitionsbereich und WA der Wertevorrat von A. Ist ′ ⊆X X, so bildet derOperator A X auf sich selbst ab. Derartige Funktionale können mit sich selbst einer n-fachen

Komposition ′ =

x A A A x

1 2 n

( ) unterzogen werden. Dieser Sachverhalt läßt sich auch

rekursiv beschreiben:

x A x xk k k n n+ = ∈ ∈ − ∈1 0 0 1 1( ) , , , , , ,X . (14-49)

Läßt man nun n →∞ streben, so wird unter der Konvergenz der Iteration die Fixpunkteigen-schaft

∃ ∈ =x x A x* * *( )X . (14-50)

des Operators verstanden. Diese Eigenschaft ist nicht zwangsläufig8 erfüllt. Aus diesemGrunde ist die Frage nach der Existenz von Fixpunkten und ihrer Eindeutigkeit zu stellen. Fürpraktische Anwendungen iterativer Verfahren ist eine Abschätzung des Abstandes d k( , )*x xzwischen dem Fixpunkt und der k-ten Iteration wünschenswert, da man dann ein Kriteriumfür die Güte der Iteration und die Konvergenzgeschwindigkeit des Iterationsverfahrens hat.Diesen Fragen sollen sich die anschließenden Kapitel widmen.

14.4.14.2 Nichtexpansive Abbildungen

Eine Abbildung wird nichtexpansiv genannt, wenn die Relation

∀ ∈ ≤x, y A x A y x yX d d( , ) ( , ) 9 (14-51)

gilt. Dieses Kriterium gewährleistet nicht die Existenz eines eindeutig bestimmten Fix-punktes.

Hierzu sei folgende Überlegung skizziert:

Die nichtexpansive Abbildung schließt den Fall der Gleichheit

∀ ∈ ≠ =x, y x y A x A y x yX , ( , ) ( , )d d (14-52)

nicht aus. Die Äquivalenz ist sicher dann gegeben, wenn zwei Fixpunkte

x A x* *= und y A y* *= , mit x y* *≠ (14-53)

vorliegen. Mit (14-52) erhält man d d( , ) ( , ) , ,x y x y x, y x y= ∈ ≠X . Die Bedingung (14-53)ist aufgrund der logischen Schlußrichtung lediglich hinreichend für (14-52). Da (14-52) dieExistenz zweier Fixpunkte nicht ausschließt, gilt das oben Gesagte.

14.4.14.3 Schwach kontrahierende Abbildungen

Die schwach kontrahierenden Abbildungen sind Teilmenge der nicht expansiven Ab-bildungen. Für sie gilt die Relation:

∀ ∈ ≠ <x, y x y A x A y x yX , d d( , ) ( , ) . (14-54)

Für die Klasse der schwach kontrahierenden Abbildungen läßt sich zeigen, daß, sofern einFixpunkt existiert, dieser eindeutig ist. Nimmt man an, es existiere ein mehrdeutiger Fix-punkt (14-53), so gilt mit (14-54):

8 Man denke z.B. an die Abbildung x x ck k+ = +1

.9 Zur Vereinfachung wird anstatt A x( ) kurz A x notiert.

Page 124: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 17 - Dr. Jörg Wollnack

∀ ∈ ≠ <x , y x y x y x y* * * * * * * *( , ) ( , )X , d d . (14-55)

Mit dem 1. Axiom des metrischen Raumes erhält man den Widerspruch

∀ ∈ ≠ = ⇔ =x , y x y x y x y x y* * * * * * * * * *( , ) ( , )X , d d (14-56)

und infolgedessen ist die zu (14-53) duale Aussage wahr. Damit gilt der Satz:

Satz 14-9:

Existiert für eine schwach kontrahierende Abbildung F F: D ⊆ →X Xein Fixpunkt x F x* *( )= , so ist dieser eindeutig.

14.4.14.4 Kontrahierende Abbildungen

Die kontrahierenden Abbildungen sind Teilmenge der schwach kontrahierenden Abbildungen.Für sie gilt die Relation:

∀ ∈ ≠ ∃ ∈ ≤x, y x y A x A y x yX, α α] , [ ( , ) ( , )0 1 d d . (14-57)

Diese Relation wird auch als Banach-Kontraktion bezeichnet. Für sie gilt zwanglos derSatz 14-9. Die Banach-Kontraktion ist deshalb interessant, weil man mit ihr sowohl die Exis-tenz eines Fixpunktes sichern kann als auch ein Gütekriterien für die Iteration und eineKonvergenzgeschwindigkeitsangaben durch Abschätzung des Iterationsabstandes zum ein-deutigen Fixpunkt formulieren kann. Dieser Betrachtungen werden im Kapitel 14.4.14.6 voll-zogen.

14.4.14.5 Ortega-Rheinholdtsche Fixpunktsatz

Für schwach kontrahierende Abbildungen läßt sich der Ortega-Rheinholdtsche Fixpunktsatznutzen:

Satz 14-10 Ortega-Rheinholdtscher Fixpunktsatz:

Die Abbildung F mit dem Definitionsbereich DF ⊆ X sei schwachkontrahierend und bilde die Teilmenge A X⊆ des vollständigenmetrischen Raumes auf sich selbst ab. Ist das Bild F(A) kompakt,dann existiert ein eindeutig bestimmter Fixpunkt x F x* *= ∈( ) A. Dasunbeschränkt ausführbare Iterationsverfahren x F xn n n= ∈−( ) ,1

konvergiert für alle x0 ∈ A gegen x* .

14.4.14.6 Banachscher Fixpunktsatz

Der Banachsche Fixpunktsatz geht von kontrahierenden Abbildungen im Sinne von (14-57)aus. Bildet das Funktional A den gesamten vollständigen metrischen Raum in sich ab, soexistiert eine eindeutige Lösung der Gleichung x A x* *= . Die Lösung ist Grenzwert der Folgex A xn n n= ∈ ∈−1 X , mit einem beliebigen Anfangselement x0 ∈ X.

Beweis:

a) Kontraktionsrelation

Geht man von der Kontraktionseigenschaft (14-57) der Abbildung aus, so läßt sich für dieIteration die Relation

Page 125: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 18 - Dr. Jörg Wollnack

d d dn n n n n n( , ) ( , ) ( , )x x A x A x x x+ − − −= ≤1 1 1 1α (14-58)

angeben. Durch wiederholte Anwendung der obigen Relation läßt sich der rechte Termabschätzen und man erhält:

d d dn n n n n n( , ) ( , ) ( , )x x A x A x x x− − − − −= ≤1 2 2 2 1α . (14-59)

Der maximale Wert von d n n( , )x x−1 ist gleich α d n n( , )x x−1 , so daß man über (14-58) auf dieRelation

d dn n n n k k( , ) ( , ) ,x x x x x A x+ − − +≤ =12

2 1 1α (14-60)

schließen kann. Setzt man das Bildungsgesetz intuitiv fort, so mußte die Relation

d dn ni

n i n i( , ) ( , )(x x x x+ − − −≤1 1)α (14-61)

gelten. Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion soll die Gültigkeit der obigen Relationbewiesen werden.

Induktionsanfang

Wählt man i = 1, so ergibt sich aus der als wahr angenommen Relation (14-61) die Banach-kontraktion (14-57). Somit ist das Bildungsgesetz für i = 1 korrekt.

Induktionsschluß von i auf i+1

Ausgehend von (14-61) schätzt man den Term d n i n i( , )(x x− − −1) über (14-61) ab, so daß man die

Relation

d dn i n i n i n i( , ) ( , )( ( ( )x x x x− − − − + −≤1) 1)α (14-62)

erhält. Setzt man wieder den Maximalwert von d n i n i( , )(x x− − −1) in (14-61) ein, so erhält man

ferner

d dn ni

n i n i( , ) ( , )( (x x x x++

− + − + −≤11

1) 1) 1α , (14-63)

was durch Substitution von i + 1 mit k äquivalent mit

d dn nk

n k n k( , ) ( , )(x x x x+ − − −≤1 1)α (14-64)

bzw. (14-61) ist.

Folgerung

Durch den Induktionsschluß auf i + 1 ist wegen des analogen Konstruktionsprinzips dernatürlichen Zahlen die Gültigkeit der Relation (14-61) für alle i ∈ \ 0 bewiesen.

b) Existenz des Grenzwertes

Um die Existenz des Grenzwertes der Folge x A xk k k ≡ ∈−1 0, \ zu beweisen, muß, daX vollständig ist, lediglich die Eigenschaft des Cauchy-Kriteriums nachgewiesen werden.Man muß somit zeigen, daß ein N ( )ε ∈ existiert, so daß für alle m n N. ( )> ε für dasmetrische Maß die Relation d m n( , ) ,x x < ∈ +ε ε gilt.

Wählt man hierzu m = n + k und bestimmt d m n( , )x x , so läßt sich über die erweiterteDreiecksungleichung der Term über

d d dn m n n k n i n ii

k

( , ) ( , ) ( , )(x x x x x x= ≤+ + − +=∑ 1)

1

(14-65)

Page 126: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 19 - Dr. Jörg Wollnack

abschätzen. Aus (14-61) folgt für i = p – 1 die Relation

d dp pp( , ) ( , )x x x x+−=1

11 2α , (14-66)

so daß man für den Term in der Summe in (14-65)

d dn i n in i( , ) ( , )x x x x+ − ++ − −=1

1 11 2α (14-67)

erhält. Aus (14-65) und (14-66) folgt dann die Relation

d dn n ki n

i

m n

( , ) ( , )x x x x+− −

=

≤ ∑α α1 11 2

1

(14-68)

Vergleicht man die Summe in (14-68) mit der geometrischen Reihe, so erkennt man, daß nach

der Summenformel a q aq

qi

i

n n

11

11

1

1−

=∑ = −

− für (14-68) ferner

∀ ∈ ≠ = ≤ −−+

−m n m n d d dm n n k nn

k

, , ( , ) ( , ) ( , ) x x x x x xα αα

11 2

1

1(14-69)

gilt.

Analog zum Vorherigen erhält man bei einem Rollentausch von m und n unter Nutzung derSymmetrierelation des metrischen Raumes auch:

∀ ∈ > = ≤ −−−

−−

m n m k d d dm n m m km

k

, , ( , ) ( , ) ( , ) x x x x x xα αα

11 2

1

1 . (14-70)

Und weil nach Voraussetzung α ∈ ] , [0 1 ist, existiert ein N( )ε , so daß für alle m n N, ( )> ε dasmetrische Maß kleiner einer gewissen positiven Zahl ε ist, wenn nur d( , )x x1 2 und k endlichsind (α m− →1 0).

Wegen der Vollständigkeit hat die Folge xk einen Grenzwert x∞ . Es bleibt zu zeigen, daß

erstens limn

n→∞ ∞=A x A x und zweitens x A x∞ ∞= ist.

Erstens:

Aus d dn n( , ) ( , )A x x x x∞ − ∞≤ α 1 und lim ( , )n

nd→∞ − ∞ =x x1 0 folgt mit der Stetigkeit des Funk-

tionals d die Behauptung limn

n→∞ ∞=A x A x .

Zweitens:

Geht man von x A xn n= −1 aus und vollzieht den Grenzprozeß n →∞ , so erhält manausgehend von x A xn n= −1 im Grenzprozeß lim

nn→∞ − ∞=A x A x1 und mit lim

nn→∞ ∞=x x die

Behauptung x A x∞ ∞= .

c) Eindeutigkeit

Die Eindeutigkeit der Lösung folgt unmittelbar aus dem Satz 14-9.

Was zu beweisen war.

Betrachtet man die einzelnen Schritte der Beweisführung, so wird deutlich, daß das Intervallfür α nicht notwendigerweise so restriktiv ausfallen muß. Man kann auch α ∈ [ , [0 1 wählen.In dieser Erweiterung gilt der Banachsche Fixpunktsatz

Page 127: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 20 - Dr. Jörg Wollnack

Satz 14-11 Banachscher Fixpunktsatz:

X sein ein vollständiger metrischer Raum und T ein kontrahierenderOperator ∀ ∈ ≠ ∃ ∈ ≤x, y x y T x T y x yF, α [ , [ ( , ) ( , )0 1 d d , mitT T: D ⊆ →X X. Wählt man ein Anfangselement x1 ∈ F in der

abgeschlossenen Kugelsphäre K K , F1≡−

⊆T x T x x

αα1 1 1d( , ) ,

dann ist das Iterationsverfahren x T xn n n+ = ∈1 1, ,2, unbeschränkt

ausführbar und die Folge xn konvergiert gegen ein Element

x* ∈ ⊆S F , welches die einzige Lösung für x T x* *= ist. Für das

Iterationsverfahren gilt die Abschätzung d dn

n

( , ) ( , )*x x x x≤−

−αα

1

1 21.

Bemerkungen: Die Gleichung x T x* *= kann außerhalb von F weitere Lösungen besitzen.Man kann x1 ∈ F durch T x ∈ F ersetzen, dann hat die Gleichung x T x* *= in F eine ein-deutige Lösung. Ist DT = X , X vollständig und T auf X kontraktiv, dann hat die Gleichungx T x* *= eine einzige Lösung und als Anfangselement kann jedes beliebige Element aus Xgenommen werden [17].

14.4.14.7 Komposita nicht expansiver Abbildungen

Die Komposita10 nicht expansiver Abbildungen

F:X X→ und T:X X→ (14-71)

sind wegen der Transitivität der Ordnungsrelation wieder nichtexpansiv.

Zum Beweis geht man von dem System der Aussagen

∀ ∈ ≤u v Tu Tv Tu Tv u v, , , ( , ) ( , )X d d∀ ∈ ≤x y Fx Fy Fx Fy x y, , , ( , ) ( , )X d d (14-72)

aus. Wegen der Transitivität

∀ ∈ ≤ ∧ ≤ ⇒ ≤a b c a b b c a c, , (14-73)

der Ordnungsrelation erhält man

∀ ∈ ≤x y TFx TFy TFx TFy x y, , , ( , ) ( , )X d d und (14-74)

analog

∀ ∈ ≤x y FTx FTy FTx FTy x y, , , ( , ) ( , )X d d . (14-75)

Was zu beweisen war.

Der Kompositionssatz nicht expansiver Abbildungen ist deshalb bedeutsam, weil man ledig-lich beweisen muß, daß die Elemente einer Komposition zu der Klasse der nicht expansivenAbbildungen gehören. Sodann ist jede mögliche Komposition der Elemente nicht expansiv.

Unmittelbar einleuchtend ist auch, daß wegen

∀ ∈ ≤ ∧ < ∨ < ∧ ≤ ⇒ <a b c a b b c a b b c a c, , (14-76)

10 Bei der Komposition f h D W Wf h f g

$

: → ⊆ sei stillschweigend vorausgesetzt, daß W Wf h⊆ darstellt, damit

die Komposition ohne weitere Einschränkungen ausgeführt werden kann.

Page 128: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 21 - Dr. Jörg Wollnack

die Komposita nicht expansiver Abbildungen schwach kontrahierend sind, wenn mindestensein Element der Komposition schwach kontrahierend ist. Damit gilt der Satz:

Satz 14-12 Komposita nicht expansiver Abbildungen:

Die Komposita zweier nicht expansiver Abbildungen sind nichtexpansiv. Sie sind schwach kontrahierend, wenn mindestens einElement der Komposition schwach kontrahierend ist.

14.4.14.8 Komposita und Fixpunkte

Die Komposition nicht expansiver Abbildungen sind abgeschlossen, d. h. sie verlassen dieKlasse der Abbildungen nicht. Dabei ist jedoch noch zu klären, ob dies auch im übertragenenSinn für die als Existent vorausgesetzten Fixpunkte gilt. Es gilt also zu untersuchen, ob dieFixpunkte der Elemente der Komposition sich auf die Komposita vererben.

Untersucht man hierzu zwei Abbildungen im Fixpunkt x A x* *= und y B y* *= , mit x y* *≠ ,so wird nach Bildung der Kompositionen

A B y A B y !* *≡ und

B A x B A x !* *≡ (14-77)

klar, daß im allgemeinen die Kompositionen keine “fixpunktkonstanten“ Eigenschaften be-sitzen. Hinreichend für die Fixpunktkonstanz der Komposita ist jedoch, daß für die zur Kom-position gehörenden Elemente A und B ein Paar gemeinsamer Fixpunkte existiert. Dabei giltim allgemeinen nicht, daß, wenn die Elemente einen gemeinsamen eindeutigen Fixpunktsbesitzen, auch für die Komposita ein eindeutig bestimmter Fixpunkt existiert, weil nichtauszuschließen ist, daß A und B in einem Gebiet G ⊆ ∩D DF G jeweils lokale wechselseitigeInverse darstellen und daher für die Elemente aus G die Fixpunktrelation wahr ist.

Beweis:

a) Fixpunktkonstanz

Betrachtet man zwei Abbildungen mit identischen und eindeutig bestimmten Fixpunktenx A x* *= und y B y* *= , mit x y* *= , so folgt für die Komposition:

A B y A B y A y A x x ! * * * * *( )≡ = = = und

B A x B A x B x B y y !* * * * *( ) ( )≡ = = = . (14-78)

Da x y* *= folgt dann weiter

A B y y * *= und

B A y y * *= . (14-79)

Was besagt, daß die Komposition fixpunktkonstant ist.

b) Fixpunktrelation in G

Sind A und B zueinander inverse Abbildungen, so gilt:

∀ ∈ =ξ ξ ξ* * *G A B und

∀ ∈ =ξ ξ ξ* * *G B A . (14-80)

Page 129: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

14 Anhang

- 22 - Dr. Jörg Wollnack

Dies macht deutlich, daß sich die Existenz eines eindeutigen Fixpunktes nicht notwendigerWeise auf die Komposition vererbt.

Will man sicherstellen, daß auch für die Komposition ein eindeutiger Fixpunkt existiert, sokann man erstens fordern, daß das Produkt der Funktionaldeterminanten der

N N→ -Funktionale innerhalb eines Gebietes F \ *x (F ohne Fixpunkt) ungleich der Einheitsmatrix istoder zweitens fordern, daß mindestens ein Element der Komposition schwach kontrahierendist.

Die erste Forderung geht von der Komposition ∀ ∈ ⊆ =x x f g x* * *F N

von Funktion

und Umkehrfunktion aus. Ist f in a f∈ D und g in f a g( ) ∈ D differenzierbar, so ist auch die

Funktion g f a ( ) an der Stelle a differenzierbar und es gilt die verallgemeinerte Kettenregel∂∂

= ∂∂

⋅ ∂∂

g f

xa

gy

f afx

a ( ) ( ), so daß man aus (14-80)

∀ ∈ = ∂∂

⋅ ∂∂

x Egy

f afx

aF ( ) (14-81)

erhält. Wegen der logischen Schlußrichtung ist dies eine notwendige Bedingung.

Fordert man also, daß die Funktionaldeterminanten der Abbildungen A und B für allex F∈ \ *x keine im Sinne der Matrizenmultiplikation inversen Matrizen sind, dann existiertinnerhalb von F ein eindeutiger Fixpunkt.

Die zweite Forderung ergibt sich unmittelbar aus dem Satz 14-12.

Bemerkung: In der praktischen Anwendung wird man dem zweiten Kriterium den Vorzuggeben, weil dessen Überprüfung im allgemeinen einfacher ausfällt und zudem der Ortega-Rheinholdtsche Satz die Konvergenz des Iterationsverfahrens sichert.

Page 130: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

13 Literaturverzeichnis

- 193 -

13 Literatur

[1] Ablay, P: Optimieren mit Evolutionsstrategien. Spektrum der Wissenschaft, Juli 1987,Seiten 104-115

[2] Alefeld, G. ; Herzberger, J.: Einführung in die Intervallrechnung. Zürich 1974 : Biblio-graphisches Institut AG, 1974

[3] Bartsch, H.,- J.: Mathematische Formeln. VEB Fachbuchverlag, Leipzig, 1976

[4] Behnke, Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen,Studienausgabe der dritten Auflage. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York,1976

[5] Brigham, E.O.; FFT: Schnelle Fourier-Transformation. R. Oldenbourg Verlag, München,1982

[6] Bronstein, N.; Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik (Teil 1 + 2), 19. völligüberarbeitete Auflage. Leipzig Moskau : BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft mbH,1979 und 20. völlig überarbeitete Auflage. Leipzig : B.G. Teubner VerlagsgesellschaftmbH, 1996

[7] Collatz, Lothar ; Krabs, Werner: Approximationstheorie. Stuttgart : B.G. TeubnerVerlagsgesellschaft mbH, 1973

[8] Courant, Richard: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, vierteunveränderte Auflage. Springer Verlag, 1972

[9] Courant, Richard: Funktionen mehrerer Veränderlicher, vierte unveränderte Auflage.Springer-Verlag, 1972

[10] Duschek, Adalbert: Vorlesungen über höhere Mathematik erster Band, vierte Auflage.Springer Verlag, Wien New York, 1965

[11] Duschek, Adalbert: Vorlesungen über höhere Mathematik, zweiter Band, dritte verbesserteAuflage. Wien : Springer Verlag GmbH & Co. KG, 1963

[12] Duschek, Adalbert: Vorlesungen über höhere Mathematik zweiter Band, dritte verbesserteAuflage. Springer Verlag, Wien, 1963

[13] Duschek, Adalbert: Vorlesungen über höhere Mathematik dritter Band. SpringerVerlag, Wien, 1960

[14] Duschek, Adalbert: Vorlesungen über höhere Mathematik vierter Band. SpringerVerlag, Wien, 1961

[15] Eisenack, G. ; Fenske, C.: Fixpunkttheorie. Mannheim Wien Zürich : B.I.-Wissenschafts-verlag, 1978

[16] Engeln-Müllges, Gisela ; Reutter, Fritz: Formelsammlung zur Numerischen Mathematikmit C-Programmen, 2. Vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. Mannheim WienZürich : B.I. & F.A. Brockhaus AG, 1990

[17] Föllinger, Otto ; Roppenecker Günther: Optimierung dynamischer Systeme. MünchenWien : R. Oldenbourg Verlag GmbH, 1985

[18] Föllinger, O.: Laplace- und Fourier-Transformation. Elitera-Verlag, 1977

[19] Föllinger, Otto: Regelungstechnik, 2.völlig überarbeitete Auflage. Dr. Alfred HüthigVerlag, Heidelberg, 1978

[20] Fritzsche: Informationsübertragung – Wissensspeicher. Dr. Alfred Hüthig Verlag, 1977

[21] Gill, P.E. (Hrsg.) ; Murray, W.: Numerical Methods for Constrained Optimization, Secondprinting. London : Academic Press, 1978

[22] Göldner, Klaus: Mathematische Grundlagen für Regelungstechniker, 3. neubearbeiteteAuflage. VEB Fachbuchverlag, Leipzig, 1970

[23] Isermann, Rolf: Identifikation dynamischer Systeme 1, 2. neubearbeitete und erweiterte

Page 131: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

13 Literaturverzeichnis

- 194 -

Auflage. Berlin u.a. : Springer Verlag GmbH & Co. KG, 1992

[24] Isermann, Rolf: Identifikation dynamischer Systeme 2, 2. neubearbeitete und erweiterteAuflage. Berlin u.a.: Springer Verlag GmbH & Co. KG, 1992

[25] Köckler, Norbert: Numerische Algorithmen in Softwaresystemen (unter besondererBerücksichtigung der NAG-Bibliothek). Stuttgart : B.G. Teubner VerlagsgesellschaftmbH, 1990

[26] Kroschel, Kristian: Statistische Nachrichtentheorie, Erster Teil, Signalerkennung undParameterschätzung. Berlin u.a. : Springer Verlag GmbH & Co. KG, 1973, Kapitel 4

[27] Lawson, C.L. ; Hanson, R.J.: Solving Least Squares Problems. Englewood Cliffs :Prentice-Hall International Inc., 1974

[28] Marko, Hans: Methoden der Systemtheorie. Springer Verlag, 1977

[29] Meyer von Capellen, W.: Integraltafeln. Springer Verlag, Berlin Göttingen Heidelberg1950

[30] Müller, Klaus Dieter : Optimieren mit der Evolutionsstrategie in der Industrie anhand vonBeispielen, Dissertation am Fachbereich 10 -Verfahrenstechnik- der TechnischenUniversität Berlin. Berlin : 1986

[31] Murray, R.; Spiegel: Fourier – Analysis. McGraw-Hill Book Company GmbH,1976

[32] Neiß, F. ; Liermann, H. : Determinanten und Matrizen, 8. Auflage. Berlin u.a. : SpringerVerlag GmbH & Co. KG, 1975

[33] Nertz, H.: Tabellen - und Nachschlagewerke, Formeln der Mathematik. Carl HanserVerlag, München, Wien, 1977

[34] Niederdrenk, K.: Die endliche Fourier- und Walsh-Transformation mit einer Einführung indie Bildverarbeitung. R. Oldenbourg Verlag, München, 1982

[35] Nussbaumer, H.J.: Fast Fourier-Transform and Convolution Algorithms. Springer Verlag,Berlin Heidelberg New York, 1981

[36] Philippow, Eugen : Taschenbuch der Elektrotechnik in sechs Bänden, Band 2. Münchenu.a. : Carl Hanser Verlag GmbH & Co., 1977

[37] Press, William H. ; Flannery, B.P. ; Teukolsky, S.A. ; Vetterling, W.T. : NumericalRecipes in C. Cambridge New York : Cambridge University Press, 1990

[38] Schabak, Robert ; Werner, Helmut: Numerische Mathematik, 4. Auflage. BerlinHeidelberg New York : Springer Verlag GmbH & Co. KG, 1992

[39] Schweizer, Wilhelm: Lambacher Schweizer – Analysis. Ernst Klett Verlag, Stuttgart

[40] Schwetlick, Hubert ; Kretzschmar, Horst: Numerische Mathematik für Natur-wissenschaftler, 1. Auflage. Leipzig : Fachbuchverlag GmbH Leipzig, 1991

[41] Smirnow, Vladimir I.: Lehrgang der höheren Mathematik Teil 4, zehnte Auflage. Berlin :VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1982

[42] Smirnow, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik Band 6, vierte erweiterte Auflage.VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1972

[43] Sobol, Il´ja M.: Die Monte Carlo Methode, 4. Auflage. Berlin : VEB Deutscher Verlag derWissenschaften, 1991

[44] Stange, Kurt: Angewandte Statistik, 1.Teil. Berlin : Springer Verlag GmbH & Co. KG,1970

[45] Stoer, Josef: Einführung in die Numerische Mathematik 1, zweite, neubearbeitete Auflage.Berlin u.a. : Springer Verlag GmbH & Co. KG, 1976, Kap.2, 2.3 Seite 63-76, Kap.4, 4.4Seite 157, Kap.5, 5.1 Seite 225, 5.2 Seite 228, 5.10 Seite 274

[46] Walter, Engel: Übungsaufgaben zum Grundkurs der Regelungstechnik, 5. überarbeiteteund verbesserte Auflage. R. Oldenburg Verlag, München, Wien, 1970

[47] Woschni, Eugen-Georg: Signal - System – Information. Dr. Alfred Hüthig Verlag, 1974

[48] Wunsch, Gerhard: Systemanalyse, Band 1 : Lineare Systeme. Dr. Alfred Hüthig Verlag,Heidelberg, 1967

[49] Wunsch, Gerhard: Systemanalyse, Band 2, Statistische Systemanalyse, 2. durchgesehendeAuflage. Heidelberg : Dr. Alfred Hüthig Verlag GmbH, 1970

Page 132: Jörg Wollnack Fourier- und Laplace-Transformation · von hier aus das Fourier-Integral anschaulich entwickelt werden wird. In einigen Beispielen In einigen Beispielen werden in der

13 Literaturverzeichnis

- 195 -

[50] Wunsch, Gerhard: Systemanalyse, Band 2 : Statistische Systemanalyse. Dr. Alfred HüthigVerlag, Heidelberg, 1970

[51] Wunsch, Gerhard: Systemanalyse, Band 3 : Digitale Systeme. Dr. Alfred Hüthig Verlag,Heidelberg, 1971

[52] Zurmühl, Rudolf: Matrizen und ihre technischen Anwendungen, vierte neubearbeiteteAuflage. Berlin u.a. : Springer Verlag GmbH & Co. KG, 1964