Znaajne take i linije u trouglu MASTER RAD

Mentor: Autor:

dr Vojislav Petrovi Jelena Kneevi

Novi Sad, 2013.

UNIVERZITET U NOVOM SADU

PRIRODNO-MATEMATIKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

1

Sadraj

Predgovor ....................................................................................................................... 2 1. Uvod ........................................................................................................................... 3

Trilinearne koordinate ........................................................................................ 3

2. Centar opisane krunice ........................................................................................ 6

3. Centar upisane krunice ........................................................................................ 8

4. Teite .................................................................................................................... 11

5. Ortocentar .............................................................................................................. 15

6. Ojlerova prava ....................................................................................................... 20

7. Ojlerova krunica .................................................................................................. 21

8. Fermaova taka .................................................................................................... 24

9. Napoleonove take ................................................................................................ 28

10. ergonova taka ................................................................................................. 31

11. Brokarove take ................................................................................................... 32

12. Presek simedijana ............................................................................................... 36

13. Nagelova taka .................................................................................................... 41

14. sredinja taka .................................................................................................... 42

15. Mikelova taka .................................................................................................... 45 16. Fojerbahova taka ............................................................................................. 46

Zakljuak ..................................................................................................................... 51

Literatura ...................................................................................................................... 52

Biografija ...................................................................................................................... 53

2

Predgovor Preciznu i sveobuhvatnu definiciju znaajnih taaka i linija trougla je veoma teko dati. Pod njima se obino podrazumevaju take, prave, krunice i druge krive 2. reda (elipse, parabo-le, hiperbole) koje su na odreeni nain pratei deo trougla. Neke od znaajnih taaka i linija bile su poznate jo u antikoj matematici, neke su otkrivene u srednjem veku, a ogroman broj datira u poslednjih 40-50 godina. Poreenja radi, pre samo nekoliko meseci na spisku je bilo 5389 tih znaajnih objekata. Trenutno ih je poznato 5405. Definicije i osnovne karakteristike svih do sada poznatih znaajnih taaka i linija trougla mogu se nai u [2]. Iz ogromnog broja znaajnih taaka, pravih i krunica trougla u ovom radu je predstavljen jedan manji broj. Izbor je pao na klasine, kao to su opisane i upisane krunice i njihovi centri, ortocentar, teite. Zatim dolaze Ojlerova prava i krunica, Fermaova, Napoleonova, Brokarova i ergonova taka itd. Za predstavljanje znaajnih taaka i linija koriste tzv. trilinearne koordinate. O njima, njiho-vim karakteristikama i primenama govori se u prvoj uvodnoj glavi. Druga glava se bavi dobro poznatom opisanom krunicom i njenim centrom. Osim definicije i trilinearnih koordinata, navode se karakteristine osobine te take, odnosno krunice. U 3. glavi se daje prikaz upisane i spolja pripisanih krunica po slinoj emi. etvrta glava je pos-veena teitu, a peta ortocentru trougla. Za svaku od navedenih taaka daju se i veze sa ostalim znaajnim takama, pravama i krunicama. U 6. glavi se predstavlja Ojlerova prava, a u 7. Ojlerova (Fojerbahova) krunica, takoe poz-nata kao krunica 9 taaka. U glavama od 8. do 16. redom obraene: Fermaova taka, Napoleonova taka, ergonova taka, Brokarova taka, taka preseka simediana, Nagelova taka, sredinja taka, Mikelova taka, Fojerbahova taka. Sve znaajne take i linije su, osim definicijama i trilinearnim koordinatama, predstavljene i grafiki . Na kraju je spisak koriene literature. elela bih da se zahvalim mentoru dr Vojislavu Petroviu i lanovima komisije dr Bojanu Baiu i dr uri Pauniu na korisnim savetima i podrci prilikom izrade ovog rada.

3

1. Uvod Trilinearne koordinate Jedan od pogodnih naina za definisanje i predstavljanje znaajnih taaka trougla su trilinearne koordinate. One predstavljaju neku vrstu odnosa rastojanja posmatrane take od stranica u trouglu. Neka je data stranica s trougla ABC i taka P. Obeleimo sa |, | udaljenost od take P do prave koja sadri s. Sada definiimo udaljenost u zavisnosti od znaka od P do s kao: [, ] = |, |, ;

|, |, . Na slici 1 je [P, BC ] = || , a [Q, BC ] = || Na ovaj nain svaki trougao obrazuje neku vrstu koordinatnog sistema u kom je taka P data sa 3 koordinate: = [P, BC ] , = [P, AC ] , = [P, AB ]. Ovo zapisujemo P = [ ]

Sl. 1 Dva skupa trilinearnih koordinta [ ] i [ ] su ekvivalentna, zapisujemo

[ ] ~ [ ] , ako postoji realan broj k 0 takav da je = , = , =.

4

Posmatrajmo jednakostranian trougao sa stranicom duine 1. Npr. ne postoji taka koja je od svake stranice udaljena za dva, ali [2 2 2] je ekvivalentno sa 3 6 3 6 3 6 , a postoji taka koja je od svake stranice udaljena za 3 6 , to je teite trougla. Pretpostavimo da su trouglovi ABC i slini, sa koeficijentom slinosti k, pa je | | = k ||, | | = k ||, | | = k || (slika 2). Tada su koordinate take P u odnosu na trougao ABC ekvivalentne koordinatama take u odnosu na trougao , gde je taka u trouglu dobijena od take P, preslikavanjem slinisti sa koeficijentom k (u sluaju datom na slici = 3 4 ). Na isti nain preslikavajui trougao ABC sa koeficijentom slinosti k = 1 2 , dobijamo taku P'' u trouglu , ije su trilinearne koordinate ekvivalentne sa trilinearnim koordinatama take P () i sa trilinearnim koordinatama take ().

Sl. 2

Teorema 1. Neka je dat trougao ABC i realni brojevi x , y i z koji nisu svi jednaki nuli. Tada postoji taka P ije su trilinearne koordinate u odnosu na trougao ABC [ ]. Dokaz: Imamo dve klase trilinearnih koordinata: jedna u kojoj su sve tri koordinate pozitivne i druga kad su jedna ili dve negativne. Konstruisaemo i taku P' tako da je ~ i pritom [ , ] = , [ , ] = , [ , ] = . Sluaj 1. 0, 0, 0 ~ 0, 0, 0 Posmatrajmo sluaj kada su sve tri koordinate vee ili jednake 0. Neka je P' proizvoljna taka. Obeleimo sa taku ija je udaljenost od take P' jednaka x. Sa razliitih strana dui kod take P 'nanesimo uglove i , nanesimo duine z i y redom (slika 3). Take koje pri tom dobijamo nazovimo sa i . Neka su: prava kroz normalna na P' , prava kroz normalna na i prava kroz normalna na . Neka je: = , = i = .

5

Sl.3

Sada je jasno da su trilinearne koordinate take P ' u odnosu na trougao A'B'C' [ ]. Da bismo dokazali da su trouglovi i ABC slini uporediemo njihove unutranje uglove. etvorougao ima prave uglove kod temena i i ugao kod temena P' je jednak . Odatle dobijamo da je = . Na isti nain dobijamo da je = . Odavde sledi da su trouglovi i ABC slini. Sluaj 2. 0, 0, 0 ~ 0, 0, 0 Drugi skup dobijamo od prvog, mnoei ga sa -1. U ovom sluaju za razliku od prethodnog uzeemo da je = i = (slika 4). Konstrukcija i dalje daje da su trouglovi A'B'C' i ABC slini, ali sada taka P' lei izvan trougla. Na prvom crteu je sluaj 0, 0, 0, tada imamo = , odakle je = analogno = . Na drugom crteu je 0, 0, 0 , tada je

= , a da je = vidimo iz trougla koji obrazuju presena taka pravih i A'C' i take C' i .

6

Sl. 4

2. Centar opisane krunice Poznato je da za svaki trougao postoji krunica koja sadri njegova temena. To se zasniva na injenici da se simetrale stranica svakog trougla seku u jednoj taki. Tu taku obino obeleavamo sa O. Teorema 2. Simetrale stranica svakog trougla seku se u jednoj taki.

Sl. 5

Naimo sada trilinearne koordinate za ovu taku.

7

Sl. 6

[, ] = || = || cos =

je centralni, a periferijski nad tetivom BC , pa odatle sledi da je = 2 = . Sada imamo da je || cos = || cos = || cos , tj. [, ] = || cos .

Analogno dobijamo da vai [, ] = || cos i [, ] = || cos . Dobijamo da su trilinearne koordinate take O

O = [|| cos : || cos || cos ] i vai || = || = || (poluprenici). Odatle sledi da je

O = [cos : cos cos ].

8

3. Centar upisane krunice Slino kao i za simetrale stranica, za simetrale unutranjih uglova trougla vai tvrenje: Teorema 3. Simetrale unutranjih uglova trougla seku se u jednoj taki.

Sl. 7

Taka S je jednako udaljena od stranica ABC, te je centar krunice koja ih dodiruje. Ta krunica se zove upisana krunica u ABC. Kako su rastojanja take S od pravih BC, CA i AB jednaka r poluprenik upisane krunice, njene trilinearne koordinate su [1 : 1 : 1]. Osim toga, taka S ima sledeu osobinu koja je povezuje sa opisanom krunicom oko ABC. Teorema 4. Neka simetrala see krunicu opisanu oko trougla ABC u taki M. Tada je MS = MA = MB , gde je S centar upisane krunice. Dokaz: = =

2 , odakle dobijamo da je M sredite luka , pa je MA = MB (1)

= + = 2

+ 2 (2)

= + = 2

+ = 2

+ 2 (3)

Iz (2) i (3) je MA = MS , a odatle i iz (1) da je MA = MB = MS .

9

Sl. 8

Za simetrale jednog unutranjeg i dva spoljanja ugla trogla vai slina teorema: Teorema 5. Simetrala jednog unutranjeg ugla trougla i simetrale spoljanjih uglova kod druga dva temena seku se u jednoj taki - centru spolja pripisane krunice.

Sl. 9

Ta taka je centar krunice koja dodiruje jednu stranicu trougla i produetke druge dve. Takvu krunicu zovemo spolja pripsanom za ABC. Ako dodiruje stranicu BC, centar oznaavamo sa , a poluprenik sa . Slino su i centri spolja pripisanih krunica koje dodiruju stranice CA i AB, a i njihovi poluprenici. S obzirom na Teoremu 5, trilinearne koordinate taaka , i redom su [1 1 1], [1 1 1], [1 1 1]. Za upisanu i jednu od spolja pripisanih krunica vano i korisno je sledee tvrenje.

10

Teorema 6. Neka krunica upisana u trougao ABC dodiruje stranice BC, CA i AB redom u takama 1, 1 i 1 i neka spolja pripisana krunica dodiruje stranicu BC u taki 2 i produetke stranica CA i AB u takama 2 i 2 redom. Tada je:

a) A2 = A2 = + + 2 b) 2 = B 2 = 1 = 1

2 = 2 = 1 = 1 c) 12 = 12 = .

Dokaz: Primetimo da su dui 1 i 1 jednake. Obeleimo njihovu duinu sa . Takoe vai da je 1 = 1 = i 1 = 1= z (1). Na isti nain dobijamo da je 2 = 2 i 2 = 2 (2) Vai da je 2 = 2. Odatle dobijamo da je + + 2 = + + 2. Sada koristei (2) imamo da je + + 2 = + + 2 , pa je

+ + 2 + + + 2 = ( + ) + ( + ) + (2 + 2) = + + = 2( + + ) Sada imamo + + 2 = 12 ( + + ) = + + , odakle sledi da je 2 = 2 = Takoe, + + 2= + + , pa je 2 = 2 = . Dobijamo: 2 = 2= 1 = 1= i 2= 2= 1 = 1= , pa je 12 = 12 = + =

11

Sl. 10

4. Teite Teine linije ili dui trougla su dui koje spajaju temena sa sredinama naspramnih stranica. Za njih vai: Teorema 7. Teine dui trougla ABC seku se u taki T , koja ih deli u odnosu 2:1, i to tako da je AT = 2T1; gde je 1 sredite stranice BC.

Sl. 11

12

Taka preseka T zove se teite ABC. Njene triliearne koordinate se mogu dobiti na sledei nain. Neka je taka 1 sredite stranice BC i neka je T teite trougla ABC. Obeleimo sa podnoje normale iz take T na stranicu BC.

Sl. 12

[, ] = | | = 13

| |, jer su trouglovi A 1 i T 1 slini i vai AT : T1 = 2 : 1 Posmatrajui trouglove AB i A C redom dobijamo da je sin =

i sin =

,

Odakle dobijamo da vai: [, ] = 13

c sin = 13

b sin . Naisti nain dobijamo da je : [, ] = 1

3 sin = 1

3 c sin i

[, ] = 13

b sin = 13

sin . Sada imamo da su trilinearne koordinate take T: T = 1

3 sin 1

3 sin 1

3 sin .

Iz sinusne teoreme dobijamo da vai: sin

= sin

= sin

, a odatle imamo da je 3sin = 3sin = 3sin , pa moemo koordinate redom mnoiti sa ovom jednakou

T = 13

3sin 13 3sin 13 3sin = [ c c ab ].

13

Sledee tvrenje potvruje da je teite ABC istovremeno teite sistema taaka {A, B, C}, tj. da odgovara fizikom teitu. Teorema 8. Taka T je teite trougla ABC ako i samo ako je + + = 0 Dokaz: ( ) Neka je T teite trougla ABC i neka je taka 1 sredite stranice AB. Tada je raspored 1 i = 21. Neka je taka D takva da vai 1 i 1 =1. Sada je TADB paralelogram i vai: + = = 21 = , a odatle sledi da je + + = 0 ( ) Neka je taka X takva da vai + + = 0 + = 21 (1 je sredite stranice AB ) odavde sledi da je = 21 , odakle dobijamo 1 i = 21 , iz ega dobijamo da je taka X u stvari teite trougla, tj. X = T.

Sl.13

Osim navedenih, teite trougla ima i sledee osobine. Teorema 9. Teine linije dele trougao na 6 trouglova jednakih povrina. Dokaz: P(ABC) = S P(A 1) = P(B 1) = 2 (visina iz C zajednika, a osnovice jednake 2 )

14

Sl. 14

P(A 1) = 13 P(A 1) = 6 Onda je P(ATC) =

3 , a trouglovi AT 1 i 1CT imaju jednake povrine ( osnovica 2 ), pa

su i one jednake

6.

Teorema 10. Neka je M taka koja pripada unutranjosti trougla ABC. Taka M je teite trougla ABC ako i samo ako je P(ABM) = P(BCM) = P(CAM). Dokaz: () Neka je taka M teite . Iz prethodne teoreme P(ABM) = P(BCM) = P(CAM) = 1

3 P(ABC)

() Neka je taka M iz unutranjosti trougla ABC za koju vai P(ABM) = P(BCM) = P(CAM). Odavde dobijamo da je P(ABM) = P(BCM) = P(CAM) = 1

3 P(ABC) (1). Obeleimo sa x, y, z rastojanja od take M do BC, CA i AB redom. Iz (1) sledi da je x = 1

3 , y = 13 , z = 1

3 . Dobijamo da M = T, gde su , , prave paralelne sa , , na

udaljenosti , , redom.

15

Sl.15 5. Ortocentar

Visina trouga je du odreena temenom trougla i podnojem normale sputene iz tog temena na naspramnu stranicu trougla. Za visine u trouglu vai sledee tvrenje. Teorema 11. Prave odreene visinama trougla seku se u jednoj taki. Tu taku obino obeleavamo sa H i nazivamo ortocentar trougla ABC. Za razliku od teita i centra upisane krunice koji se uvek nalaze u unutranjosti trougla, ortocentar i centar opisanog kruga mogu biti i u unutranjosti i u spoljanjosti trougla u zavisnosti od vrste trougla. Poloaj ortocentra u razliitim vrstama trougla je predstavljen na slici 16. Pogledajmo sada u kakvom su odnosu take A, B, C, H trougla ABC. Teorema 12. Ako je H ortocentar otrouglog ili tupouglog trougla ABC tada je svaka od taaka A, B, C, H ortocentar trougla koji obrazuju preostale tri.

16

. Sl. 16

Ortocentar trougla ima i sledee osobine. Teorema 13. Take simetrine ortocentru trougla u odnosu na prave odreene stranicama trougla pripadaju krunici opisanoj oko trougla. Dokaz: Neka je presek visine trougla iz temena A sa opisanom krunicom. Analogno dobijamo i . = = = = 90 = = = = 90 = , jer su trouglovi C H i A H slini (unakrsni uglovi i prav ugao), a iz trougla dobijamo da je = 90 . Odavde sledi da su trouglovi i BCH podudarni (stav USU). sledi da je = i H see stranicu BC pod pravim uglom, pa je (H) = . Analogno vai: (H) = i (H) = .

17

Sl. 17

Teorema 14. Take simetrine ortocentru trougla u odnosu na sredine stranica trougla pripadaju krunici opisanoj oko trougla. Dokaz: Neka su P, Q i R sredita stranica BC, CA, AB redom trougla ABC.

Sl. 18

(H ) = HP = P i vai da je BP = CP, pa je B CH paralelogram (dijagonale se polove). Odavde sledi da je = = 180 - . Odavde imamo da (A, B, C). Slino vai: (A, B, C ) i (A, B, C ) .

18

Teorema 15. Rastojanje od temena do ortocentra trougla dvaput je vee od rastojanja centra opisane krunice od naspramne stranice.

Sl. 19

Dokaz: Iz prethodne teoreme dobijamo da je H 1 CO = {}, gde D (A, B, C) i CD je prenik te krunice. Tada je O 1 srednja linija trougla HDC odakle sledi traeno tvrenje. Trilinearne koordinate ortocentra:

Sl. 20

Neka je H ortocentar trougla ABC . Tada je: [, ] = || = || cos

Trouglovi i su slini, jer imaju po jedan prav ugao i uglovi CBB' i su podudarni, pa su i uglovi i BC B' podudarni i jednaki uglu kod temena C.

19

Sl. 21

Neka su 11, 11 , 11 stranice trougla koji se dobija povlaenjem paralelnih pravih kroz temena A, C i B sa stranicama BC, BA, AC redom. Odatle vai: || cos = || cos = |1| cos 1 cos , jer je cos 1 = |||1| . Ortocentar H je u stvari centar opisane krunice oko trougla 111 , pa je 111 = 12 11.

Sl. 22

20

HB je simetrala 11 , pa je 1 = 12 11= 111 = (paralelogram), pa sledi da je |1| cos 1 cos =|1| cos cos = [, ]. Na isti nain dobijamo:

[, ] = |1| cos cos [, ] = |1| cos cos

Tada su trilinearne koordinate take H = [|1| cos cos |1| cos cos |1| cos cos ] Kako je |1| = |1| = |1| (= poluprenik opisane krunice oko trougla 111 ), sada H = [ cos cos cos cos cos cos ]. Napomena: Moe se pokazati da ako se bilo koje dve take od O, T, S i H poklapaju, tada se poklapaju i sve etiri i trougao je jednakostranian. Ako su bilo koje dve od njih razliite, tada su sve razliite. 6. Ojlerova prava Ojler je 1765. godine ustanovio da su centar opisane krunice oko trougla, teite trougla i ortocentar uvek tri kolinearne take koje se u sluaju jednakostraninog trougla poklapaju. U ast Ojlera ta prava se zove Ojlerova prava.. Posmatraemo sada u kakvom su odnosu take H, T i O. Teorema 16. U svakom trouglu take H, T i O su kolinearne i vai HT = 2 TO . Ova prava naziva se Ojlerova prava. Dokaz: Neka su T i O teite i centar opisane krunice i neka je G taka na pravoj OT takva da je GT = 2 TO i G T - O . Neka je 1 sredite stranice AB (slika 22). Trouglovi 1 i CGT su slini, zato to vai: 1 i 1 = = 1 2. Odatle dobijamo da su uglovi 1 GCT , to povlai da su prave O 1 i GC paralelne. Poto je O 1 dobijamo da je i GC . Analogno dobijamo da su i prave BG i AG visine trougla pa se taka G poklapa sa ortocentrom, tj. G H.

21

Sl. 23

7. Ojlerova krunica Fojerbah je otkrio da podnoja visina trougla kao i sredita dui koje spajaju ortocentar sa temenima trougla pripadaju istoj krunici, a Ojler je 1765. godine pokazao da ta krunica sadri i sredita stranica trougla. Nju nazivamo Ojlerovom krunicom, a ponekad koristimo i termin krunica dvet taaka. Teorema 17. Sredita ivica, podnoja visina i sredita dui odreenih ortocentrom i temenima proizvoljnog trougla pripadaju jednoj krunici. (Ojlerova krunica ) Reenje: Pokazaemo najpre da vai tvrenje: ako je H ortocentar trougla ABC i ako su 1, 1, 2, 2sredita dui AB, AC, HC, HB tada je etvorougao 1122 pravougaonik.

Sl. 24

22

Dui 11 i 22 su srednje linije trouglova ABC i HBC i odgovaraju istoj ivici BC, pa su kao takve podudarne i paralelne ( 11 22 = 1 2 BC; 11 , 22 ). Dakle, etvorougao 1122 je paralelogram. Dovoljno je dokazati jo i da mu je jedan ugao prav. Ali, du 12 je srednja linija trougla ABH, pa je paralelna sa AH, tj. sa visinom trougla iz temena A. Dakle, 12 je normalna na ivicu BC, odnosno njoj paralelnu du 11, pa je paralelogram 1122 zaista pravougaonik. Slino, ako je 1 sredite ivice BC i 2 sredite dui H, tada je i 1221takoe pravougaonik. Kako je 12 zajednika dijagonala tih pravougaonika, oko njih se moe opisati krug (nad 12 kao prenikom). Ostaje da dokaemo da i podnoja visina pripadaju tom krugu. Ali taka , kao podnoje visine iz temena A, pripada tom krugu jer je ugao 2 1 prav (12 prenik). Slino se dokazuje i za preostale dve take. U ovom primeru imamo krug koji sadri devet taaka, a njegov centar nazivamo centar devet taaka, i on takoe spada u znaajne take trougla.

Sl. 25

Za centar Ojlerove krunice G i njen poluprenik r vai sledee tvrenje: Teorema 18. Neka su O i H redom centar opisane krunice i ortocentar trougla ABC i neka je (, ) Ojlerova krunica za . Tada je G sredina dui OH i r = 1

2 R , gde je R

poluprenik opisane krunice. Dokaz: Iz teoreme 15 imamo da vai (*) O 1 = 2H = 2C 12 je paralelogram. 12 i njihovu presenu taku obeleimo sa X. Taka X je sredite 12 i . Iz teoreme 17 dobijamo da je taka G sredite 12 . Sada dobijamo da se take X i G poklapaju.

23

Iz (*) sledi da je i 12 takoe paralelogram, pa je 12 = OC = R i 2r = R.

Sl. 26

Iz prethodne teoreme dobijamo da centar G pripada Ojlerovoj pravoj i vai HG = GO. Trilinearne koordinate ove take dobijamo kao aritmetiku sredinu koordinata ortocentra i centra opisane krunice : Znamo da je H = [ cos cos cos cos cos cos ] i O = [cos : cos cos ] = [ cos( + ) cos( + ) cos( + )] = [ cos cos + sin sin : cos cos + sin sin cos cos + sin sin ] kada na ovo dodamo trilinearne koordinate take H (pomnoene sa 2), imamo da je: G = [cos( ) cos( ) cos( )]. U narednoj teoremi pokazaemo zgodnu primenu Ojlerove krunice. Teorema 19. Krunica opisana oko trougla sadri sredita dui koje spajaju centar upisane krunice sa centrima spolja pripisanih krunica u trougao.

24

Dokaz: Neka je S centar upisane krunice, a , , centri spolja pripisanih krunica . = {} ; = {} ; = {} , , , , su visine Odavde dobijamo da je taka S ortocentar , pa je (A, B, C ) Ojlerova krunica , a K, L i M su sredita dui , i .

Sl. 27

8. Fermaova taka Ovo je prvi centar u trouglu otkriven posle vremena starih Grka. Otkrivena je u 17. veku i dobila je ime po Pjeru de Fermau. Da bismo pokazali teoremu koja tvrdi postojanje Fermaove take bie nam potrebna evina teorema kao i lema 1.

25

Teorema 20. (eva) Neka je ABC proizvoljan trougao i neka su X, Y, Z, take na pravama BC, CA i AB redom, tako da nijedna nije teme . Prave AX, BY, CZ se seku u jednoj taki ili su sve tri paralelne ako i samo ako je

= 1

Sl. 29

Lema 1. Neka su take C i D van prave AB i neka se prave CD i AB seku u taki S. Tada je 1 2 = CS DS, gde je 1= P() i 2= (). Dokaz: 1 2 = = CS DS .

26

Sl. 30

Teorema 21. Neka je ABC proizvoljan trougao i neka su BC , CBA', ABC' jednakostranini trouglovi, takvi da take A', B' i C' lee sa onih strana pravih BC, CA i AB sa kojih nisu temena A, B i C redom. Tada se prave AA', BB' i CC' seku u taki F - Fermaovoj taki . Dokaz: Na slici je sluaj kada su sva tri ugla u trouglu manja od 120. Obeleimo AA' BC = {}, BB' CA = {}, CC' AB = {}. Trouglovi i su podudarni, jer vai: = = + 60 , stranice CA i CB' su podudarne i stranice CA' i CB su podudarne. Analogno, trouglovi i , kao i i su podudarni. Tada je: P( )= P( )= 1 ; P( )= P( )= 2 ; P( )= P( )= 3 (1)

27

Sl. 31

=

= 3

1

12

23

= 1 (koristei lemu) Sada iz evine teoreme dobijamo da se AA', BB' i CC' seku u nekoj taki F.

= 120 > 120. Sl. 32

28

Za Fermaovu taku F vae sledea tvrenja: 1) prave AA', BB' i CC' seku jedna drugu pod uglom od 60 2) Dui AA', BB' i CC' su jednake 3) (, , ) (, , ) (, , ) = {}

Sl. 33

Trilinearne koordinate ove take su : F = csc( +

3) csc +

3 csc( +

3).

9. Napoleonove take Veruje se da je postojanje ovih taaka otkrio Napoleon Bonaparta poetkom 18. veka. Neka je ABC trougao. Neka su D, E i F take, takve da vai da su trouglovi DBC, CAE, ABF jednakostranini. Neka je taka G teite trougla DBC, taka H teite trougla CAE i taka I teite trougla ABF.

29

Prave AG, BH i CI seku se u taki N. Nju nazivamo prva Napoleonova taka.

Sl. 34

Sada sa unutranjih strana trougla ABC konstruiimo jednakostranine trouglove DBC, ECA, FAB redom i neka su X, Y i Z njihova teita . Tada se prave AX, BY i CZ seku u istoj taki 2, koju nazivamo druga Napoleonova taka (slika 35).

Sl. 35

30

Dokaimo sada postojanje prve Napoleonove take. Teorema 22. Neka je dat trougao ABC i neka su A, B i C take takve da vai

= = = = = = 60 (Pri emu su take A', B' i C' ili istovremeno sa iste strane kao i take A, B i C, redom, u odnosu na odgovarajue stranice trougla ABC, ili istovremeno sa razliitih strana). Tada se prave AA, BB i CC seku u istoj taki.

Sl. 36

Dokaz: Neka su trouglovi ABC', AB'C i A'BC izvan trougla ABC. (slika 36) Drugi sluaj radi se slino. Primeujemo da je BC = AC. Taka X je presek AB i CC. Povrina trougla BCC jednaka je sin( + 60), pa vai

()

()= sin( + 60)

sin( + 60) = sin( + 60) sin( + 60) Poto ACC i BCC imaju istu stranicu CC, visine iz temena B i A na CC moraju biti u istom odnosu kao i povrine tih trouglova, pa i BX i AX (lema 1). Iz toga sledi:

= sin( + 60)

sin( + 60)

31

Analogno dobijamo i za odnose

i

. Mnoenjem ovih jednakosti dobijamo:

sin( + 60) sin( + 60) sin( + 60) sin( + 60) sin( + 60) sin( + 60) = 1 Sada, iz evine teoreme dobijamo da se XC, YA i ZB seku u istoj taki, a tada se i AA, BB i CC seku u istoj taki.

Napomena: Kada bismo u prethodnoj teoremi umesto ugla od 60 stavili bilo koji ugao t, tvrenje bi takoe vailo. Trilinearne koordinate Napoleonovih taaka su :

= sec( 3

) sec( 3

) sec( 3

) 2 = sec( + 3) sec( + 3) sec( + 3)

10. ergonova taka ergonovu taku je 1818. godine otkrio francuski matematiar J.D. ergon (1771-1859), po kome je i dobila ime. Neka je k krunica upisana u trougao ABC i neka su njeni preseci sa stranicama BC, CA i AB take P, Q i R, redom. Tada se dui AP, BQ i CR seku u jednoj taki X i ona se naziva ergonova taka trougla ABC.

32

Sl. 37 Pokaimo sada postojanje ove take.

Teorema 23. Prave odreene temenima i dodirnim takama naspramnih ivica sa upisanim krugom trougla ABC seku se u jednoj taki. Dokaz: Neka su P, Q i R dodirne take kruga upisanog u trougao ABC sa njegovim ivicama BC, CA i AB redom. Tada su podudarne odgovarajue tangentne dui: BP BR, CP CQ, AQ AR. Tada je

= 1. Kako vai da je raspored (B - P - C ) , (C - Q - A ), (A -

R - B ) , mora biti

> 0. Odatle sledi

= 1. Odavde i iz evine teoreme prave AP, BQ i CR seku se u jednoj taki (nisu paralelne jer se AP i BQ seku na osnovu Paove aksiome). Trilinearne koordinate ove take su :

= [ ( + ) ( + ) ( + ) ] 11. Brokarove take Ime su dobile po francuskom matematiaru Anriju Brokaru (1845 - 1922). U trouglu ABC taka P je prva Brokarova taka ako vai da su uglovi izmeu dui AP, BP i CP i stranica , i b redom, jednaki, tj.

33

= = =

Sl. 38

Taka P naziva se prva Brokarova taka u trouglu ABC, a ugao Brokarov ugao trougla. Postoji i druga Brokarova taka Q, trougla ABC takva da su jednaki uglovi izmeu dui AQ, BQ, CQ i stranica b, c i redom, tj. = = = . Teorema 24. Za svaki trougao postoje prva i druga Brokarova taka. Dokaz: Pretpostavimo da je T taka takva da vai = =X. Tada je = B X , pa sledi da je = 180 B. Odatle dobijamo da taka T pripada geometrijskm mestu taaka, tj. na luku pod kojim se du AB vidi pod istim uglom. Nacrtajmo celu krunicu koja prolazi kroz take A, B, T i nazovimo je . Na isti nain nacrtajmo krunicu (Uzmemo taku U tako da vai: = ). U preseku ove dve krunice dobijamo prvu Brokarovu taku, jer za presenu taku vai : = = . Drugu Brokarovu taku nalazimo analogno.

34

Sl. 39

Sa slike 40 vidimo da je = 180 .

Sl. 40

35

Za Brokarov ugao vae sledee jednakosti. Teorema 25. Za Brokarov ugao vai jednakost: cot = cot + cot + cot Dokaz: Obeleimo sa Brokarovu taku trougla ABC. Iz sinusne teoreme dobijamo da vai:

sin () = sin () , takoe vai sin = sin () . Iz prethodnog posmatranja iznad teoreme dobijamo da je = 180 i = 180 . Sada, deljenjem prve jednaine sa drugom dobijamo da je

in sin () = sin sin . Odakle sledi da je sin( ) =

sin sin sin . Iz sinusne teoreme znamo da vai = sin sin sin( ) = (sin )2 sin sin sin . Sa druge strane vai i : sin( ) = sin cos sin cos . Sada je: sin cos sin cos = (sin )2 sin sin sin . Deljenjem jednaine sa sin sin i koristei da je sin = sin( + ) = sin cos + cos sin dobijamo traeno tvrenje. Teorema 26. Vai: cot = 2+2+2

4 , gde je S povrina trougla ABC.

Dokaz: Obeleimo sa 2 projekciju temena B na AC, tada je

Sl.41

cot = 22

= cos 2

, jer je S = 22

.

36

Iz kosinusne teoreme imamo da je 2 cos = 2 + 2 2, odakle je cot = 2+ 22

4. Ubacujui ovaj rezultat u prethodnu teoremu dobijamo

traeno tvrenje. Trilinearne koordinate Brokarovih taaka su :

= [ ] = [ ]

12. Presek simedijana Francuski matematiar Emil Lemoan dokazao je postojanje take preseka simedijana 1873. godine. Iz tog razloga ovu taku esto zovemo Lemoanova taka. Neka su , i simetrale unutranjih uglova trougla ABC (na slici predstavljene isprekidanom linijom) i neka je T teite tog trougla. Ako su , , poluprave simetrine polupravama AT, BT i CT u odnosu na , i redom, onda se one nazivaju simedijane trougla ABC.

Sl. 42

U trouglu ABC sredite stranice BC obeleimo sa 1, presek stranice BC i simetrale ugla kod temena A obeleimo sa 3, tada e simedijana od 1 biti 1 . Prema tome

37

1 = 3 (1).

Sl. 43

Sledee teoreme e nam biti potrebne da bismo pokazali glavno tvrenje, teoremu 28. Rekal tajnerova teorema tvrdi da u trouglu ABC, ako su 1 i 2 dui koje obrazuju jednake uglove sa strnicama koje ishode iz temena A, onda vai: ||2||2 = |1||2||1||2|

Sl. 44

Teorema 27. Du 1 u trouglu ABC je simedijana (slika 45) ako i samo ako 1

1

= ||2||2 = 22 . Dokaz: Du 1 je simedijana ako je 1 teina du i 1 = 3 (1), tj. 1 i 1 zaklapaju jednake uglove sa stranicama AB i AC redom. Vai |1| = |1|, pa koristei tajnerovu teoremu, dobijamo da je 1 simedijana ako i samo ako

38

||2||2 = 1 |1|1 |1| = 1 1 . Dakle, dobili smo da simedijana deli naspramnu stranicu ugla iz kojeg kree na dva dela u proporciji kvadrata stranica koje obrazuju taj ugao.

Sl. 45

Teorema 28. Neka su 1 , 1 i 1 simedijane trougla. Tada se ove tri dui seku u istoj taki L koju nazivamo i Lemoanova taka.

Sl. 46

Dokaz: Koristiemo teoremu 27. Iz nje dobijamo 1

1

= 22

, 1

1

= 2 2

i 1 1

= 2

2.

Sada, koristei evinu teoremu, simedijane se seku u jednoj taki. Simedijane imaju neke zanimljive osobine koje emo sada pokazati.

39

Teorema 29. Tangente opisane krunice oko trougla ABC kroz dva njegova temena seku se na simedijani koja polazi iz treeg temena trougla. Dokaz: Neka se tangente opisane krunice kroz temena B i C seku u taki K. Neka je taka 1

presena taka BC i AK. Hoemo da pokaemo da je 1 simedijana iz temena A , tj. 1

1

= 22.

Sl. 47

Primetimo, |1 | |1 | = (1 )(1 ) = (1 )(1 ) = (1 ) + (1 )(1 ) + (1 ) = ()() = |||| sin ()|||| sin () . (*) Posmatrajmo sada sledee. Imamo || = ||, jer su KB i KC tangente povuene iz iste take K na opisanu krunicu oko trougla ABC. tavie, koristei osobinu da je ugao izmeu tangente i tetive podudaran periferijskom uglu nad tom tetivom, imamo

= = . Sledi = + , . = 180 .

40

Sada je: sin = sin i = + , pa je sin = sin Iz (*) dobijamo 1

1

= || sin || sin = ||2||2 Iz teoreme 27 dobijamo da je 1 simedijana, a AK njen produetak. Teorema 30. Ako je X taka na simedijani iz temena A trougla ABC, onda je udaljenost take X od stranica AB i AC proporcionalna duini tih stranica. Dokaz: Neka je 1 simedijana iz temena A i neka je X taka na 1 . Povucimo normale 1 i 2 na stranice AB i AC redom. Takoe, povucimo normale 1 1 i 1 2 na stranice AB i AC redom .

Sl. 48

Tvrdimo da je (,)|| = (,)|| , tj. |1||| = |2||| .

Vai: (,)(,)

= (1 ,)(1

,) (zbog proporcionalnosti trouglova)

= 1 sin 1

sin = ||2 sin ||2 sin = ||2 | |||2 | | = |||| (koristimo teoremu 27). Trilinearne koordinate ove take su :

= [ ].

41

13. Nagelova taka Nagelova taka dobila je ime po nemakom matematiaru Kristijanu Henrihu fon Nagelu koji je pisao o njoj 1836. godine.

Sl. 49

Ako su D, E i F take dodira spolja pripisanih krunica sa stranicama BC, CA i AB. Tada se prave AD, BE, CF seku u taki obeleenoj sa X na slici 49. Tu taku nazivamo Nagelova taka trougla ABC. Teorema 31. Nagelova taka postoji. Dokaz: Posmatrajmo sliku 50. Iz teoreme 6 imamo da je AF = AD = s. Analogno, BG = BK = s i CL = CN = s. Sada dobijamo da je CF = CE = AL = AM = s b , na isti nain je BD = BE = AK = AH = s i BN = BM = CG = CH = s . Dobili smo da je AM = EC = sb, BE = HA = s i CH = MB = s. Mnoei ove jednakosti dobijamo da je AM BE CH = EC HA MB, a iz ovog vai

= 1 Sada na osnovu evine teoreme dobijamo da se AE, BH i CM seku u istoj taki.

42

Sl. 50

Trilinearne koordinate ove take su : X = [( + ) ( + ) ( + ) ] 14. sredinja taka (Mittenpunkt) Ovu taku je prouavao Kristijan fon Nagel 1836. godine. U bilo kom trouglu ABC , neka su: D, E i F sredita stranica BC, CA i AB redom, a , i centri spolja pripisanih krunica napram temena A, B i C redom. Prave , i seku se u taki, na slici 51 oznaenoj sa M.

43

Sl. 51

Dokaimo postojanje sredinje take: Primetimo prvo da su dui koje spajaju take , , simetrale spoljanjih uglova trougla ABC. Zbog toga vai da su uglovi , i jednaki, analogno za uglove kod temena A i C. Obeleimo = = , = = , = i = , gde u A',B',C' sredita stranica BC, CA i AB redom, kao na slici. Koristei sinusno pravilo dobijamo sledee jednakosti: sin

= sin

i sin

= sin

(1)

sin

= sin

i sin

= sin

(2)

44

Sl. 52

Sada, koristei da je CB' = AB' i iz (1) i (2) dobijamo da je

= (sin )2(sin )2 . (3)

Obeleavajui = , na isti nain dobijamo da je:

= sin 2sin 2 i = sin 2sin 2 . (4)

Mnoenjem jednaina iz (3) i (4) dobijamo:

= sin 2sin 2 sin 2sin 2 sin 2sin 2 = 1. Sada iz evine teoreme sledi da se , i seku u istoj taki, odakle sledi tvrenje. Trilinearne koordinate ove take su :

= [ + + + ].

45

15. Mikelova taka 1838. godine je otkrivena ova taka i dobila je ime po A. Mikelu. U sledeoj teoremi dokazaemo postojanje ove take (u zavisnosti od izbora taaka P, Q i R). Teorema 32. Neka su P, Q, R proizvoljne take ivica BC, AC, AB trougla ABC. Tada se krugovi opisani oko trouglova AQR, PBR, PQC seku u jednoj taki, nju zovemo Mikelova taka. Dokaz: Oznaimo krugove opisane oko trouglova AQR, PBR, i PQC sa , , i unutranje uglove trougla ABC redom sa , , . Neka je S druga presena taka krugova . Tada su etvorouglovi BPSR i PCQS tetivni (slika 53), pa je = 180 i = 180 . Sledi da je = + , a zatim i + = + + = 180. Dakle i etvorougao ARSQ je tetivan, pa se oko njega moe opisati krug. To je ba krug , opisan oko trougla AQR, pa se dati krugovi seku u taki S.

Sl. 53

46

16. Fojerbahova taka Fojerbah je 1822. godine objavio svoj rezultat, dobro poznat kao Fojerbahova teorema.

Sl. 54

Teorema 33. Ojlerova krunica dodiruje upisanu i sve tri spolja pripisane krunice datog trougla. Pri tome upisana krunica dodiruje Ojlerovu krunicu iznutra, dok je pripisane krunice dodiruju spolja. Dokaz: Neka je dat trougao ABC. Posmatrajmo kosi koordinatni sistem kome je taka A koordinatni poetak, a prave AB i AC ose koordinatnog sistema. Tada su sredita stranica BC, CA i AB redom take = (

2,

2 ), = ( 0,

2 ), = ( 2, 0). Neka je ( , ) centar i

poluprenik pripisane krunice naspram temena A trougla ABC. Oigledno je = i sin = = s tan 2 (1). Odatle dobijamo:

= = 2 (cos 1 2 )2

47

Sl.55 Sa druge strane , kako za poluprenik opisane krunice trougla ABC vae formule R =

4 i

2R = sin , zbog P = (s ) imamo: = = 4 () = sin 2 () , odakle iz (1) dobijamo

= = 2 () . (*) Pre daljeg dokaza izveemo formulu za udaljenost dve take u kosom koorinatnom sistemu koristei svojstva skalarnog proizvoda vektora. Neka je taka O (0,0) koordinatni poetak ije ose zaklapaju ugao . Neka su 1 i 2 jedinini vektori u smeru koordinatnih osa. Za take 1 (1, 1) i 2 (2, 2) vai: 1 2 2 = 1 2 1 2 = ((2 1) 1 + (2 1) 2 ) ((2 1) 1 + (2 1) 2 ) = (2 1)2 1 1 + (2 1) 2 2 2 + 2(2 1) (2 1) 1 2 Odakle dobijamo:

48

1 2 2 = (2 1)2 + (2 1) 2 + 2(2 1) (2 1)cos . (2)

Sl.54

Neka je E ( , ) centar Ojlerove krunice trougla ABC. Po teoremi 17 njen poluprenik je 2

, gde je R poluprenik opisane krunice trougla ABC. Kako Ojlerova krunica prolazi kroz take , , onda primenom (2) dobijamo

22 + 22 + 2 2 2 cos 22 = 0 , (3)

2 + 22+ 2 2 cos 22= 0 , (4) 22 + 2 + 2 2 cos 22 = 0 . (5)

Ako saberemo jednaine (5) i (4) i od tog zbira oduzmemo jednainu (3) dobijamo

2 + 2 + 2 cos = 22+ 12 bc cos . (6) Sada sabiramo jednaine (3) i (5) i delimo njihov zbir sa c , i dobijamo

+ 4 cos 2 = 0 (7) Sabirajui jednaine (3) i (4) i deljenjem njihovog zbira sa b, dobijamo

49

+ 4 cos 2 = 0 (8) Sada, sabiranjem jednaina (7) i (8) imamo sledeu jednakost:

( + )(1 + cos ) = +4 (1 + 2cos ). (9) Zbog P = (s ) i R = 4 imamo R = 4(s ) (10) | |2 = ( )2 + ( ) 2 + 2( ) ( )cos = 2 + 2 + 2 cos + 4 2 cos 12 2 2 ( + )(1 + cos ).

(jer je = ) Korienjem jednakosti (*), (6) i (9) iz prethodne jednaine dobijamo

| |2 = 22+ 12 bc cos + 2 1cos 12

2 12 ( + ) (1 + 2cos ). Primenom formula (10), (*) i (1) dobijamo

| |2 = 22+ 12 bc cos + 2(1 + (tan )2) 12 2() ( + ) (1 + 2cos ) =

2

2+ 12 bc cos + 2 + 2+ R R 4() ( + ) (1 + 2cos )

= 2

+ 2 4() + 12 bc cos + 2 4() ( + ) (1 + 2 cos ) =

2+ 2+ 2 4() ( 2( ) cos +( + ) (1 + 2 cos ) )

= 2

+ 2+ 2 4() 2(1 + cos ) =

2+ 2 jer iz kosinusne teoreme 2 = 2 + 2 2 cos , lako sledi jednakost 4s ( ) =

2(1 + cos ), gde je s poluobim.

50

Odavde sledi da Ojlerova krunica trougla ABC spolja dodiruje pripisanu krunicu trougla ABC naspram temena A. Na isti nain se moe pokazati da Ojlerova krunica dodiruje i ostale dve pripisane krunice. Trougao odreen sa tri take dodira Ojlerove krunice i pripisanih krunica poznat je pod imenom Fojerbahov trougao posmatranog trougla. Preostaje da pokaemo da upisana krunica trougla dodiruje Ojlerovu krunicu iznutra. Neka je I ( , ) centar i r poluprenik upisane krunice u trougao ABC. Oigledno je = i sin = r = (s) tan 2 (11) = =

2 (cos 1 2 )2 (12) Sa druge strane vai: r =

=

4 = sin

2 odakle dobijamo = = 2 (13). Sada je ||2 = ( )2 + ( ) 2 + 2( ) ( )cos = 2 + 2 + 2 cos + 4 2 cos 12 2 2( + )(1 + cos ).

Koristei formule (6), (9), (11), (12), (13) i injenicu da je rR = 4

slino kao u prethodnom dokazu za pronalaenje udaljenosti | | dobijamo sada ||2 =

2 r2.

Odavde sledi da upisana krunica trougla ABC dodiruje Ojlerovu krunicu iznutra. Taka u kojoj se upisana krunica i Ojlerova krunica dodiruju naziva se Fojerbahova taka tog trougla. Trilinearne koordinate ove take su :

= [1 cos( ) 1 cos( ) 1 cos( )].

51

Zakljuak Znaajne take i linije predstavljaju vane elemente trougla, jedne od osnovnih ravnih figura u geometriji. To je glavni razlog to iste i dan danas privlae panju matematiara. Stoga se moe oekivati da e se ispitivanje i otkrivanje novih taaka i linija trougla nastaviti i u bu-dunosti.

52

Literatura [1] M. Mitrovi, M. Veljkovi, S. Ognjanovi, Lj. Petkovi, N. Lazarevi, Geometrija za prvi razred Matematike gimnazije, Krug, Beograd 2003. [2] TRIANGLE CENTERS, http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/ [3] TRILINEAR COORDINATES, http://www.mcs.uvawise.edu/msh3e/resources/geometryBook/22TrilinearCoordinates.pdf [4] Fermat point, WIKIPEDIA, http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_point [5] Gergonne Point Theorem, Geometry, http://gogeometry.com/gergonne.htm [6] Nagel Point, Geometry, http://agutie.homestead.com/files/nagel_point1.htm [7] The Napoleon Point and More, ASK DR MATH, http://mathforum.org/library/drmath/view/55042.html [8] Z. Kolar - Begovi, A. Tonkovi, Feuerbachov teorem , Osjeki matematiki list 9 (21-30), 2009 [9] Lemoine point, http://euclid.ucc.ie/pages/MATHENR/MathEnrichment/7.Lemoine.pdf [10] Existence of the Brocard point, ASK DR MATH, http://mathforum.org/library/drmath/view/60812.html

53

Biografija

Roena sam 02.12.1989. u Novom Sadu. Osnovnu kolu "Petar Koi" sam zavrila u Temerinu sa

skroz odlinim uspehom. Takoe sam zavrila i niu muziku kolu "Josip Slavenski" u Novom

Sadu. 2008. godine zavrila sam gimnaziju "Jovan Jovanovi Zmaj" u Novom Sadu, odeljenje za

posebno obdarene uenike u matematikoj gimnaziji, sa skroz odlinim uspehom. Osnovne

studije sam upisala na Prirodno-matematikom fakultetu u Novom Sadu, smer: matematika. Zatim, master studije matematika (nastava matematike).

Znaajne take i linije u trougluNovi Sad, 2013.