jean-marie monier...

Mthodes et exercicesMathMati ues

Jean-Marie Monier

PC-PSI-PT

Les mthodes retenir Plus de 600 noncs dexercices

Indications pour bien dmarrer

Tous les corrigs dtaills

NordCompoPice jointe9782100542598.jpg

Dunod, Paris, 2009ISBN 978-2-10-054259-8

Jean-Marie Monier

MATHMATIQUESPC-PSI-PTMTHODES ET EXERCICES

Professeur en classe de Spciales

au lyce La Martinire-Monplaisir Lyon

IV

Table des matires

1. Espaces vectoriels norms 1

Les mthodes retenir 2

noncs des exercices 6

Du mal dmarrer ? 9

Corrigs des exercices 12

2. Fonctions vectorielles dune variable relle 23



Du mal dmarrer ? 35


3. Intgration sur un intervalle quelconque 57



Du mal dmarrer ? 68


4. Sries 113



Du mal dmarrer ? 125


5. Suites et sries dapplications 157





6. Sries entires 221





7. Sries de Fourier 283





8. quations diffrentielles 307





Table des matires

V

9. Fonctions de plusieurs variables relles 349





10. Complments dalgbre linaire 365





11. Dterminants, systmes linaires 389





12. Rduction des endomorphismes et des matrices carres 407





13. Espaces prhilbertiens rels 447





14. Gomtrie 489





Index alphabtique 511

VI

Pour bien utiliser cet ouvrage

La page dentre de chapitre

Elle propose un plan du chapitre, lesthmes abords dans les exercices, ainsiquun rappel des points essentiels du courspour la rsolution des exercices.

( )( )

Les mthodes retenir

Cette rubrique constitue une synthse des prin-cipales mthodes connatre,dtailles tape partape, et indique les exercices auxquels elles serapportent.

VII

noncs des exercices

De nombreux exercices de difficult croissantesont proposs pour sentraner. La difficult dechaque exercice est indique sur une chelle de1 4.

Corrrigs des exercices

Tous les exercices sont corrigs de faon dtaille.

noncs des exercices

285

noncs des exercicesExemple de dveloppement en srie de Fourier, crneau

Soit f : R R , 2-priodique, paire, telle que, pour tout t [0 ;] :f (t) = 1 si 0 t <

2, f (t) = 0 si t =

2, f (t) = 1 si

2 < t .

a) Vrifier f CM2 et calculer les coefficients de Fourier (trigonomtriques) de f.

b) tudier les convergences de la srie de Fourier de f et prciser sa somme.

c) En dduire les sommes de sries suivantes :+

p=0

(1) p

2p + 1 ,+

p=01

(2p + 1)2 ,+

n=1

1n2 .

Exemple de dveloppement en srie de Fourier, dent de scie continue

Soit f : R R , 2-priodique, impaire, telle que :f (t) = t si 0 t < 2

,f (t) = t si

2 t .

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.

Pour relier entre elles des sommesde sries convergentes du genre+

n=1

1n2 , et

+p=0

1(2p+1)2

Sparer, dans une somme partielle, les termes dindices pairs, din-

dices impairs, puis passer aux limites.

Exercices 7.1 c), 7.2 c), 7.7 c).Pour calculer les coefficients de Fourierdune fonction,lorsque le calcul direct ne parat pas faisable

Exprimer la fonction comme somme dune srie de fonctions et mon-

trer que lon peut permuter intgrale et srie par lune des trois

mthodes habituelles (cf. les mthodes retenir du chapitre 5). Exercices 7.14, 7.15, 7.16, 7.17 a), 7.22 b)

Ne pas confondre lindice dun terme de la sommation donnant f ini-

tialement, et lindice concernant le terme dune srie de Fourier.

Pour obtenir une galit entre une fonction et une somme de srie trigonomtrique

Essayer dappliquer un des deux thormes de Dirichlet une fonc-

tion bien choisie.

Exercice 7.6.

Pour obtenir une ingalitportant sur des intgrales de carrs de fonctions

Essayer de se ramener, quand cest possible, une ingalit portant

sur des sommes de sries numriques, en utilisant une formule de

Parseval.

Exercices 7.9, 7.11, 7.13.

7.1

7.2

PC, PSI

PSI

( )( )

( )( )

( )

( )

Du mal dmarrer ?

Des conseils mthodologiques sont proposspour bien aborder la rsolution des exercices.

( )

Prface

VIII

Prface

Alors que, rcemment, je feuilletais lun des manuels de mathmatiques qui servait de rfrence lorsque voiciquelques dcennies ! jtais en prpa, me revinrent en mmoire certaines sensations : la lecture des noncs desexercices que javais jadis cochs, dune concision la fois lgante et provocante, je me rappelais le plaisir que javaisprouv la rsolution de quelques-uns dentre eux mais aussi, cette trange amertume, pas encore totalement estom-pe aujourdhui, que javais ressentie en abandonnant la recherche de quelques-uns, pourtant signals dun simple ast-risque, aprs de vains efforts et plusieurs tentatives avortes.

Les volumes Mthodes et Exercices (pour MP dune part, PC-PSI-PT dautre part) que J.-M. Monier nous prsenteaujourdhui semblent tout spcialement crits pour viter ce traumatisme aux tudiants daujourdhui et de demain.

Chacun de ces ouvrages se compose de deux parties minemment complmentaires :

Les mthodes constituent ce guide prcieux qui permet ltudiant de passer, confiant, efficacement coach , ducours quil apprend la recherche ncessaire et fructueuse des exercices. Si les thormes du cours sont les outils delartisan-tudiant, les mthodes et techniques proposes ici en sont les modes demploi. videmment, ces conseilssont particulirement soigns et pertinents : ne sont-ils pas le fruit de la longue et multiple exprience de J.-M.Monier, pdagogue avr, interrogateur recherch et auteur apprci de maints ouvrages reconnus ?

Pour une aide encore plus prcise, chaque mthode est assortie de la liste des exercices dans lesquels sa mise en uvreest souhaitable.

Les exercices, nombreux, varis et souvent originaux, couvrent la totalit du programme, chapitre aprs chapitre. Ilsrpondent parfaitement un triple objectif : permettre dassurer, dapprofondir et daffiner, pendant son apprentissage, la comprhension du cours ; consolider et enrichir ses connaissances par la rsolution dexercices plus substantiels et de questions plus dli-

cates ; raliser des rvisions efficaces et cibles lors de la prparation des preuves crites ou orales des concours.

Ces exercices sont judicieusement classs en quatre niveaux de difficult croissante, permettant ainsi aussi bien au no-phyte de se mettre en confiance en traitant une application directe du cours (niveau 1) qu ltudiant chevronn de semesurer des exercices plus difficiles et dlicieusement subtils (niveau 4). On notera avec plaisir que chaque chapitreest couvert par des exercices des quatre niveaux. Labandon douloureux devant une question trop abruptement pose,dont je parlais au dbut, ne saurait se produire avec louvrage de J.-M. Monier : en effet, dans la rubrique Du mal dmarrer , il apporte ltudiant(e) qui le souhaite une aide discrte, rappelant ici la mthode adquate, donnant lune indication prcieuse, ouvrant ailleurs une piste de recherche

Pour chaque exercice, lauteur sest impos la rdaction complte et applique dun corrig clair, prcis, dtaill, osonsle mot, exemplaire. Sil est louable et formateur de chercher, il est plus gratifiant de trouver ! Et, ici encore, le manuelpermet chacun, soit de constater que sa solution est celle qui est fournie (et il en prouve un indicible plaisir !), soitde saider du corrig pour parvenir, rassur et guid, cette solution.

Quil me soit aussi permis dinsister sur lampleur de ces volumes, lie la grande varit des exercices choisis, et quiest rare ce niveau dtudes, en mme temps que sur leur prix trs modique !

Prface

IX

Ces ouvrages de consultation particulirement agrable constituent loutil efficace et complet qui permettra chacun, son rythme mais en magnifiant ses propres aptitudes, de dvelopper son got pour les mathmatiques et ses comp-tences et, tout la fois, de forger son succs.

Quant moi, un regret est en train de massaillir : pourquoi nai-je pas attendu la rentre prochaine pour commencerma prpa ?

H. Durand,professeur en Mathmatiques Spciales PT*au lyce La Martinire Monplaisir Lyon.

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Index alphabtique

X

Remerciements

Je tiens ici exprimer ma gratitude aux nombreux collgues qui ont accept de rviser des parties du manuscrit :

Bruno Arsac, Jean-Philippe Berne, Grard Bourgin, Jean-Paul Charroin, Jean-Paul Christin, Carine Courant, HerminDurand, Jean Feyler, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, Daniel Genoud, Andr Laffont, Ccile Lardon, IbrahimRihaoui, Ren Roy, Marie-Dominique Sifert, Marie-Pascale Thon, Audrey Verdier.

Jean-Marie Monier

Index alphabtique

XI

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Programmes PC, PSI, PT

Chapitre 1 : Espaces vectoriels norms

Les tudiant(e)s de PT nont connatre que le cas de Rn muni de la norme euclidienne : norme euclidienne, dis-tance associe, boules, parties ouvertes, parties fermes, parties bornes, suites dans Rn ; toute suite convergente estborne, oprations algbriques sur les suites.

Les tudiant(e)s de PC nont pas connatre les notions suivantes : suite de Cauchy, point intrieur, caractrisationsquentielle des points adhrents ou des parties fermes, image rciproque dune partie ouverte (resp. ferme) parune application continue.

Chapitre 2 : Fonctions vectorielles dune variable relle

Pour les tudiant(e)s de PT, les fonctions de ce chapitre 2 sont valeurs dans Rn muni de son produit scalaire usuelet de la norme euclidienne associe.

Chapitre 4 : Sries

La CNS de Cauchy de convergence dune srie termes rels ou complexes ne concerne que les tudiant(e)s de PSI. Les tudiant(e)s de PT nont pas connatre la formule de Stirling ni le produit de deux sries numriques.

Chapitre 5 : Suites et sries dapplications

Ce chapitre ne concerne pas les tudiant(e)s de PT. Les tudiant(e)s de PC nont pas connatre la notion de convergence uniforme. Son intervention est remplace par

celle de la convergence normale ou par un thorme sur les sries entires. Cependant, le programme PC comporteune tude de lapproximation uniforme.

Chapitre 6 : Sries entires

Les programmes PC et PT, pour compenser labsence de ltude de la convergence uniforme, contiennent un tho-rme sur les sries entires appel thorme de la limite radiale.

Chapitre 7 : Sries de Fourier

Le programme PT ne comporte pas ltude des coefficients de Fourier exponentiels. Le programme PT comporte une dfinition de a0 diffrente de celle figurant dans les programmes MP, PC, PSI. Nous

optons pour les formules classiques qui sont celles de ces derniers programmes, et qui donnent comme srie de

Fourier trigonomtrique de f :a02

+n1

(an cos nt + bn sin nt

).

Chapitre 8 : quations diffrentielles

Ltude des systmes autonomes ne figure quen PC. Les tudiant(e)s de PT nont pas connatre la notion de wronskien.

Programmes PC, PSI, PT

XII

Chapitre 9 : Fonctions de plusieurs variables relles

Lingalit des accroissements finis pour une application f : U R de classe C1 sur un ouvert convexe U de Rpne concerne que les tudiant(e)s de PSI.

La condition suffisante dextrmum local pour une application f : U R de classe C2 sur un ouvert U de R2, fai-sant intervenir lexpression s2 rt , ne concerne que les tudiant(e)s de PT.

Chapitre 10 : Complments dalgbre linaire

Pour les tudiant(e)s de PT, la notion de somme directe nest au programme que dans le cas de deux sous-espacesvectoriels dun espace vectoriel de dimension finie.

Ltude de linterpolation du point de vue de lalgbre linaire et la dualit ne sont pas au programme PT. Les notions de base duale et de base prduale ne sont quau programme PSI.

Chapitre 11: Dterminants

Ltude du groupe symtrique et la dfinition et les proprits de la comatrice ne sont quau programme PSI.

Chapitre 12: Rduction des endomorphismes et des matrices carres

Les notions de polynme dendomorphisme et de polynme de matrice carre ne sont pas au programme PT. Le thorme de Cayley et Hamilton et ltude des idaux de K [X] ne sont quau programme PSI.

Chapitre 13: Espaces prhilbertiens rels

Ltude des formes bilinaires symtriques et des formes quadratiques nest pas au programme PC. La notion dadjoint et la rduction simultane ne sont quau programme PSI.

Chapitre 14 : Gomtrie

Lenveloppe dune famille de droites du plan, le centre de courbure, la dveloppe dune courbe du plan et les dve-loppantes dune courbe du plan, les surfaces rgles, les surfaces dveloppables, les courbes traces sur une surfaceet satisfaisant une condition diffrentielle ne sont quau programme PT.

Les cylindres, cnes, surfaces de rvolution ne sont pas au programme PSI.

1

1CHAPITRE 1Espaces vectorielsnorms

Thmes abords dans les exercices

Montrer qu'une application est une norme

Obtention dingalits portant sur des normes

Montrer que deux normes sont (ne sont pas) quivalentes

Montrer quune partie dun evn est (nest pas) ferme, est (nest pas) ouverte

Manipulation de ferms, douverts

Calcul de la distance dun point une partie

Utilisation de la continuit, du caractre lipschitzien

Montrer quune application linaire f est continue, calculer ||| f ||| Montrer quune partie est (nest pas) compacte, manipulation de parties com-

pactes

Utilisation dune suite de Cauchy

Montrer quune application est un produit scalaire

Dterminer lorthogonal dune partie dun espace prhilbertien

Points essentiels du cours pour la rsolution des exercices

Dfinition de norme, espace vectoriel norm, distance associe une norme,ingalit triangulaire renverse, normes quivalentes

Dfinition de boule ouverte, boule ferme, parties bornes

Dfinition et proprits de : ouvert, ferm, point adhrent

Dfinition de la distance dun point x une partie A dun evn E, caractrisa-tion de d(x,A) = 0

Dfinition et proprits de la convergence des suites, suites extraites

Dfinition et proprits des limites, de la continuit en un point, de la conti-nuit sur une partie

Dfinition du caractre lipschitzien, lien entre continue et lipschitzienne



Du mal dmarrer ? 9

Corrigs 12

Plan

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Ce chapitre 1 ne concerne que les filires PC et PSI, et non la filire PT.

Essayer dappliquer lingalit triangulaire :

(x,y) E2, ||x + y|| ||x || + ||y||,ou lingalit triangulaire renverse :

(x,y) E2, ||x || ||y|| ||x y||. Exercices 1.1, 1.23.

Chapitre 1 Espaces vectoriels norms

2

Les mthodes retenir

Caractrisation des applications linaires continues parmi les applicationslinaires, dfinition et proprits de la norme |||.|||

Dfinition de la compacit, image continue dun compact, quivalence desnormes en dimension finie

Dfinition dune suite de Cauchy dans un evn de dimension finie, quivalen-ce logique entre suite de Cauchy et suite convergente dans un tel evn

Dfinition dun produit scalaire (rel ou complexe), dun espace prhilbertien,ingalit de Cauchy et Schwarz et cas dgalit, ingalit de Minkowski et casdgalit

Dfinition et proprits de lorthogonalit dans un espace prhilbertien, tho-rme de Pythagore, procd dorthogonalisation de Schmidt, thorme de pro-jection orthogonale sur un sev de dimension finie.

On abrge :espace vectoriel en evsous-espace vectoriel en sevespace vectoriel norm en evn.

Pour montrer quune applicationN : E R est une norme sur unK-espace vectoriel E

Pour exprimer la distance dassocie une norme sur un K-ev E partir de cette norme, ou pourexprimer une norme partir de ladistance associe d sur E

Revenir la dfinition.Ne pas oublier de montrer que, pour tout x E , N (x) existe, en par-ticulier lorsque N (x) est donne par une borne suprieure ou uneintgrale.

Exercices 1.18 a), 1.19, 1.24.

Utiliser les formules :

(x,y) E2, d(x,y) = N (x y),x E, N (x) = d(0,x).

Pour tablir une ingalit faisant intervenir une norme ||.|| sur un K-ev

Les mthodes retenir

3

Pour montrer que deux normesN, N sur un K-espace vectoriel Esont quivalentes

Pour montrer que deux normesN, N sur un K-espace vectoriel Ene sont pas quivalentes

Pour montrer quune partie A dun evn Eest ferme dans E

Lorsque E nest pas ncessairement de dimension finie, revenir ladfinition, cest--dire montrer :

(,) (R+)2, ,x E, N (x) N (x) N (x). Exercices 1.3, 1.19, 1.24

Si E est de dimension finie, daprs le cours, toutes les normes sur E sont quivalentes.

Chercher une suite ( fn)n dans E {0} telle que :N ( fn)N ( fn)

n

+ ou N ( fn)N ( fn)

n

+ .

Exercices 1.13, 1.24.

Si on peut faire intervenir la notion de suite, utiliser la caractrisa-tion squentielle des ferms :la partie A de E est ferme dans E si et seulement si, pour toute suite(an)n dans A convergeant vers un lment x de E, on a : x A.

Exercices 1.2 a), 1.11, 1.12

Essayer de montrer que : A est une intersection de ferms de E A est une runion dun nombre fini de ferms de E A est un produit cartsien dun nombre fini de ferms

Essayer de montrer que A est limage rciproque dun ferm par uneapplication continue.

Si le contexte fait intervenir des ouverts, essayer de montrer queE(A) est ouvert dans E .

Pour montrer quune partie dun evn Eest ouverte dans E

Revenir la dfinition, cest--dire montrer :

x , r > 0, B(x ; r) . Montrer que E() est un ferm de E Essayer de montrer que : est une runion douverts de E

Exercice 1.4 b)

est une intersection dun nombre fini douverts de E Essayer de montrer que est limage rciproque dun ouvert par

une application continue.

Exercices 1.4 a), 1.20.

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PSI


4

Utiliser la dfinition : d(x,A) = InfaA

d(x,a),ce qui revient :{ a A, d(x,A) d(x,a)

k R+,((,a A, k d(x,a)) k d(x,A)).

On fera souvent alors intervenir lingalit triangulaire ou lingalittriangulaire renverse.

Exercice 1.12.

Appliquer les thormes gnraux (opratoires) relatifs la conti-nuit en un point.

Exercice 1.14

Si f est valeurs dans un produit cartsien, montrer que chaque fonc-tion-coordonne de f est continue en a.


> 0, > 0, x A,(

dE(x,a) dF(

f (x), f (a))

).

Utiliser la caractrisation squentielle de la continuit, cest--diremontrer que, pour toute suite (an)n dans A convergeant vers a, lasuite

(f (an)

)n converge vers f (a).

Appliquer les thormes gnraux (opratoires) relatifs la conti-nuit sur une partie.

Exercice 1.5

Montrer que f est continue en chaque point de X, en se ramenant auxmthodes vues plus haut.

Se souvenir que le caractre lipschitzien entrane la continuit.

Pour manipuler la distance d(x,A)dun point x dun K-evn E une partie non vide A de E

Utiliser la dfinition :

(x1,x2) X2, dF(

f (x1), f (x2))

k d(x1,x2). Exercice 1.6

Montrer dabord quil existe M R+ tel que : x E, || f (x)||F M||x ||E ,

et on a alors ||| f ||| M, o, par dfinition :

||| f ||| = SupxE{0}

|| f (x)||F||x ||E = SupxB(0 ;1) || f (x)||F .

On peut esprer, si M a t convenablement obtenu, que lon ait :||| f ||| = M.On cherchera donc x0 E {0} de faon que || f (x0)||F||x0||E = M.

Exercice 1.7, 1.17.

Pour montrer quune applicationf : X E Fest continue en un point a de X

Pour montrer quune applicationf : X E Fest continue sur X

Pour manipuler une applicationf : X E F k-lipschitzienne

Pour calculer la norme |||f |||dune application linairef L(E,F) o E,F sont des evn de dimensions finies

PSI

Les mthodes retenir

5

Essayer de faire apparatre X comme image directe dun compactpar une application continue.

Essayer de montrer que X est ferme et borne.

Exercices 1.8, 1.15, 1.21.


> 0, N N, (p,q) N2,({ p N

q N d(up,uq)

).

Exercice 1.9.

Revenir la dfinition.

Exercice 1.22.

Utiliser la formule qui exprime laide de :

x E, (x) = (x,x),ou, si K = R , une des formules exprimant laide de :

(x,y) E2, (x,y) = 12

((x + y) (x) (y)),

(x,y) E2, (x,y) = 14

((x + y) (x y)).

Utiliser lingalit de Cauchy et Schwarz :

(x,y) E2, |(x | y)| ||x || ||y||,ou lingalit de Minkowski, cest--dire lingalit triangulaire pourla norme associe au produit scalaire :

(x,y) E2, ||x + y|| ||x || + ||y||.

Revenir la dfinition de lorthogonal dune partie A de E :

A = {x E ; a A, (x | a) = 0}. Utiliser les proprits ensemblistes (globales) de lorthogonalit : A B A B A = (Vect (A)) A A, E = {0}, {0} = E A A {0}.

Exercice 1.16.

Se rappeler que, daprs le thorme de projection orthogonale surun sev de dimension finie, si F est de dimension finie, alors :F F = E .

Pour montrer quune partie X dun evn Ede dimension finie est compacte

Pour montrer quune suite (un)n dun evn Ede dimension finieest de Cauchy

Pour montrer quune application : E E R est un produitscalaire, o E est un K-ev

Pour relier un produit scalaire : E E K et la forme quadratique : E R associe

Pour obtenir des ingalits dans un contexte despace prhilbertien

(E,(. | .))

Pour manipuler des orthogonaux de parties dans un espace prhilbertien (E,(. | .))

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6

noncs des exercices

Ingalit sur des normes

Soient (E,||.||) un evn, x,y,z,t E . Montrer :

||x y|| + ||z t || ||x z|| + ||y t || + ||x t || + ||y z||.

Une partie est-elle ferme, est-elle ouverte ?

On note E le R-ev des applications continues bornes de R dans R, muni de ||.||.a) Est-ce que F = { f E ; x R, f (x) 0} est ferme dans E ?b) Est-ce que U =

{f E ; x R, f (x) > 0

}est ouverte dans E ?

Exemple de deux normes quivalentes

On note E = C1([0 ; 1] ; R) et 1,2 les applications de E dans R dfinies, pour toute f E ,par : 1( f ) = | f (0)| + 2

10

| f (t)| dt, 2( f ) = 2| f (0)| + 1

0| f (t)| dt.

Montrer que 1 et 2 sont des normes sur E et quelles sont quivalentes.

Somme dune partie et dun ouvert

Soient E un evn, un ouvert de E .

a) Montrer que, pour tout a E, la partie {a} + = {a + x ; x } est un ouvert de E .b) En dduire que, pour toute partie A de E, la partie A + = {a + x ; (a,x) A } est un

ouvert de E .

Fonction continue deux variables

Soient E,F,G des evn, A E telle que A =/ , B F telle que B =/ , etf : A G, g : B G deux applications.On note : : A B G, (x,y) (x,y) = f (x) + g(y).Montrer que est continue sur A B si et seulement si : f est continue sur A et g est continue sur B.

Exemple dapplication lipschitzienne

Soit (a,b) (R+)2. On munit R2 de la norme ||.||1 dfinie, pour tout (x,y) R2, par :||(x1,x2)||1 = |x1| + |x2|. On note f : R2 R2, (x1,x2) f (x1,x2) = (ax2, bx1).Montrer que f est lipschitzienne.

Exemple de calcul de la norme subordonne dune application linaire en dimensions finies

On note f : R2 R, (x1,x2) 2x1 3x2. Vrifier que f est linaire et calculer ||| f |||lorsque R2 est muni de ||.|| et R est muni de |.|.

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

PSI

PSI

noncs des exercices

7

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Une partie est-elle compacte, non compacte ?

On considre lapplication f : R R, x f (x) =

sin x

xsi x =/ 0

1 si x = 0et on note :

A = {x R ; f (x) = 0}, B = {x R ; f (x) 12

}.

Est-ce que A est compacte ? Est-ce que B est compacte ?

Suite proche dune suite de Cauchy

Soient (E,||.||) un evn, d la distance associe ||.||, (un)nN, (vn)nN deux suites dans E tellesque : d(un,vn)

n 0. Montrer que, si lune des deux est de Cauchy, alors lautre lest aussi.

Caractrisation de lgalit de deux boules pour deux normes

Soient E un K -evn, N1,N2 deux normes sur E . On note, pour tout i {1,2} :

Bi ={x E ; Ni (x) < 1

}, B i =

{x E ; Ni (x) 1

},

qui sont la boule ouverte et la boule ferme de E, de centre 0, de rayon 1, pour la norme Ni .Montrer :

a) B 1 = B 2 N1 = N2 b) B1 = B2 N1 = N2.

Exemple de partie ferme dans un espace de fonctions

On note E le R-ev des applications de [0 ; 1] dans R bornes, muni de la norme ||.||, et on consi-dre A = { f E ; x [0 ; 1], e f (x) 2 + f (x)}.Montrer que A est une partie ferme, non borne, de E .

Exemple de calcul de la distance dun point une partie

On note E = C([0 ; 1] ; R), muni de ||.||.a) On note A =

{f E ; f (0) = 1 et

10

f = 0}.

1) Montrer que A est une partie ferme de E .

2) Calculer d(0,A). Cette distance est-elle atteinte ?

b) Mmes questions pour B ={

f E ; f (0) = 0 et 1

0f = 1

}.

Exemple de trois normes deux deux non quivalentes

On note E = C2(

[0 ; 1] ; R)

et N, N , N les applications de E dans R dfinies, pour toute

f E , par :

N( f ) = Supx[0;1]

| f (x)|, N ( f ) = | f (0)| + Supx[0;1]

| f (x)|,

N ( f ) = | f (0)| + | f (0)| + Supx[0;1]

| f (x)|.

1.8

PSI

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13


8

a) Montrer que N, N , N sont des normes sur E .

b) Comparer les normes N, N , N pour la relation dquivalence entre normes.

Exemple dapplication continue

Soit (E,||.||) un evn. On considre lapplication f : E E, x f (x) = x1 + ||x ||2 .

Montrer : a) f est continue sur E b) f (E) = B (

0 ; 12

).

Exemple de partie compacte de R2

La partie E ={(x,y) R2 ; x2(x 1)(x 3) + y2(y2 4) = 0

}de R2 est-elle compacte ?

Exemple de sev F dun ev prhilbertien E ,tel que F ne soit pas un supplmentaire de F dans E

On note E = C([0 ; 1] ; R), muni du produit scalaire ( f,g) < f , g >= 1

0f g et on

considre F = { f E ; f (0) = 0}.Montrer : a) F = {0} b) F F =/ E .

Exemple de calcul de la norme subordonne dune application linaire en dimension finie

Soient n N, A = (ai j )i j Mn(C), f lendomorphisme de Mn,1(C) reprsent par A dans labase canonique. Calculer la norme subordonne de f lorsque Mn,1(C) est muni, au dpart et lar-rive, de ||.||1.

Exemple de norme sur R2, dtermination dune boule

On note N : R2 R, (x,y) SuptR

|x + t y|1 + t + t2 .

a) Montrer que N est une norme sur R2.

b) Reprsenter graphiquement la boule B N (0 ; 1) ={(x,y) R2 ; N (x,y) 1} dans le plan

usuel.

c) Calculer laire (dans le plan usuel) de B N (0 ; 1).

Exemple de deux normes quivalentes

On note E le R-ev des applications f : [0; 1] R de classe C1 sur [0; 1] et telles que f (0) = 0 . Pour f E , on note N ( f ) = Sup

x[0;1]| f (x)| + Sup

x[0;1]| f (x)| et

( f ) = Supx[0;1]

| f (x) + f (x)|. Montrer que N et sont des normes sur E , et quelles sont qui-valentes.

Sparation de deux ferms disjoints par deux ouverts disjoints

Soient E un evn, F,G deux ferms de E tels que F G = . Montrer quil existe deux ouvertsU,V de E tels que : F U, G V, U V = .PSI

PSI

PSI

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

Du mal dmarrer ?

9

Applications continues de limites infinies en + et en Soit f : R R une application continue. Montrer que les trois proprits suivantes sont deux deux quivalentes :

(i) Limage rciproque par f de tout compact de R est un compact de R

(ii) lim

| f | = + et lim+

| f | = +

(iii)(

lim f = ou lim f = +)

et(

lim+ f = ou lim+ f = +).

Exemple de norme issue dun produit scalaire

On note E = C1([0 ; 1] ; R) et N : E R lapplication dfinie par :

f E, N ( f ) =( 1

0f

2 + f (0) f (1)) 1

2

.

Montrer que N est une norme sur E .

Ingalit sur des normes

Soient (E,||.||) un evn, x,y E {0}. Dmontrer : x||x ||

y

||y|| 2 ||x y||Max (||x ||, ||y||) .

Exemple de norme paramtre par une fonction

On note E = C([0; 1],R) et, pour E, N : E R lapplication dfinie par : f E, N( f ) = || f ||.

a) Montrer que N est une norme sur E si et seulement si (1({0})) = .

b) Montrer que N et || || sont des normes sur E quivalentes si et seulement si 1({0}) = .

Endomorphismes continus tels que u v v u = eSoit E un evn distinct de {0}. On note e = IdE .

On suppose quil existe (u,v) (LC(E))2 tel que : u v v u = e.a) Montrer : n N, u vn+1 vn+1 u = (n + 1)vn .b) En dduire : n N, (n + 1)|||vn||| 2 |||u||| |||v||| |||vn|||.c) Conclure.

Du mal dmarrer ?

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

PSI

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

Appliquer convenablement, plusieurs fois, lingalit tri-

angulaire.

a) Utiliser, par exemple, la caractrisation squentielle des

ferms.

b) Montrer que U nest pas ouvert, en trouvant f U telle que,pour tout R+, B( f ; ) U.

1) Montrer que 1 est une norme sur E en revenant la

dfinition dune norme.

1.1

1.2

PSI

1.3


10

2) De mme pour 2.

3) Remarquer que, pour toute f E :1( f ) 22( f ) et 2( f ) 21( f ).

a) Considrer, par exemple, pour a E fix, la translationde vecteur a :

a : E E, y y a.

b) Exprimer A + laide des {a} + , a A.

1) Si est continue sur A B, exprimer f laide de ,pour dduire que f est continue sur A.

2) Si f est continue sur A et g est continue sur B, exprimer

laide de f,g et des projections canoniques, pour dduire que

est continue sur A B.

valuer, pour (x1,x2), (y1,y2) R2 :|| f (x1,x2) f (y1,y2)||1.

Pour (x1,x2) R2, majorer convenablement | f (x1,x2)| laide de Max (|x1|,|x2|), et chercher (x1,x2) = (0,0) de faonquil y ait galit.

1) A nest pas borne.

2) B est ferme et borne.

Majorer d(vp,vq ) en intercalant up et uq et utiliser les deux

hypothses : la suite (un)nN est de Cauchy et d(un,vn)n 0.

a) Un sens est immdiat.

Si B1 = B2, pour x E {0}, considrer 1

N1(x)x, qui est

dans B1 , donc dans B2.

b) Un sens est immdiat.

Si B1 = B2, pour x E {0}, considrer 1N1(x)

x, qui nest

pas dans B1 , donc pas dans B2.

1) Utiliser, par exemple, la caractrisation squentielle des

ferms.

2) Montrer : t [2 ;+[, et 2 + t.

En dduire que toute application constante suprieure ou gale

2 est dans A.

a) 1) Utiliser, par exemple, la caractrisation squentielle

des ferms.

2) Montrer : d(0,A) 1.

Considrer f : [0 ; 1] R, x 1 2x .

b) 1) Comme en a)1).

2) Montrer : d(0,B) 1. Considrer, pour tout n N, une application gn continue, affi-ne par morceaux, constante gale 1 sauf prs de 0, telle que

gn(0) = 0. Dduire d(0,B) = 1. Montrer que d(0,B) nest pas atteinte, en raisonnant par lab-

surde.

a) Revenir la dfinition dune norme.

b) 1) Remarquer dabord :

f E, N( f ) N ( f ) N ( f ),en utilisant lingalit des accroissements finis.

2) Trouver une suite ( fn)n dans E {0} telle que, par exemple,N ( fn)N( fn)

n +.

b) 1) Remarquer : t R+, t1 + t2 1

2,

et dduire linclusion f (E) B (

0 ; 12

).

2) Rciproquement, pour y B (

0 ; 12

)fix, chercher R

pour que f (y) = y.

1) Montrer que E est ferme, comme image rciproque

dun ferm par une application continue.

2) Montrer que E est borne, en utilisant les coordonnes

polaires par exemple.

a) Soit g F. Considrer lapplication f : [0 ; 1] R, x xg(x)

qui est dans F , et traduire < f,g >= 0.

Pour X = t(x1,...,xn) Mn,1(C), majorer convenablement|| f (X)||1 en faisant intervenir ||X ||1.

Ayant obtenu le coefficient M = Max1 jn

ni=1

|ai j |, chercher

X = 0 de faon que : || f (X)||1 = M||X ||1.

a) Montrer dabord, pour tout (x,y) R2, lexistence deN (x,y) , en montrant que lapplication t |x + t y|

1 + t + t2 est bor-ne sur R.

Revenir la dfinition dune norme.

b) Transformer la condition N (x,y) 1 en :

t R, 1 x + t y1 + t + t2 1,

puis utiliser les rsultats sur les trinmes rels.

c) Calculer laire comme intgrale double de la constante 1.

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

Du mal dmarrer ?

11

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

1) Montrer que N et sont des normes. Pour montrer

limplication ( f ) = 0 f = 0, utiliser la rsolution dunequation diffrentielle.

2) Montrer : f E, ( f ) N ( f ).

Pour f E, considrer g : [0 ; 1] R, x ex f (x),

exprimer g , puis dduire des majorations de |g(x)|,| f (x)|, | f (x)|, laide de ( f ).

Considrer lapplication

: E R, x d(x,G) d(x,F)

et les parties U = 1(]0 ;+[), V = 1(] ; 0[) de E .

(i) (ii) : Appliquer lhypothse au compact [A ; A],pour A R+ fix.

(ii) (iii) : Utiliser le thorme des valeurs intermdiaires.

(iii) (i) : Soit K un compact de R. Il existe A R+ tel que :K [A ; A]. Appliquer lhypothse pour dduire que f 1(K )est born, puis est compact.

Vu lexposant 12 et le carr dans lintgrale, on peut conjec-

turer que N soit une norme associe un produit scalaire.

Montrer que lapplication : E E R dfinie, pour tout( f,g) E E par :

( f,g) = 1

0f g + 1

2

(f (0)g(1) + f (1)g(0))

est un produit scalaire et que N est la norme associe .

1.19

1.20

1.21

1.22

Dans le premier membre de lingalit demande, interca-

ler, par exemple,x

||y|| , puis utiliser lingalit triangulaire et lesrles symtriques de x et y .

a) Montrer que, pour E fixe, N vrifie une partie de ladfinition dune norme.

1) Supposer (1({0})) = . Montrer qualors : f E, (N( f ) = 0 f = 0).

2) Supposer (1({0})) =/ .Construire un lment f de E tel

que : f = 0 et N( f ) = 0.

b) Soit E fixe.1) Supposer 1({0}) = . Montrer qualors N et ||.|| sontquivalentes, en faisant intervenir

1

.

2) Supposer 1({0}) = . Construire alors une suite ( fn)nNdans E {0} telle que : || fn ||

N( fn)n +.

a) Rcurrence sur n.

b) Utiliser a) et la sous-multiplicativit de |||.|||.

c) Montrer, en utilisant a), quon ne peut pas avoir :

n N, vn = 0.

Considrer lensemble {n N ; vn = 0} , son plus petit l-ment, et obtenir une contradiction laide de b)}.

On conclut quil nexiste pas de tel couple (u,v).

1.23

1.24

1.25

12

On applique lingalit triangulaire, de deux faons chaque fois, pour majorer ||x y|| et pour majorer ||z t || :{ ||x y|| ||x z|| + ||z y||

||x y|| ||x t || + ||t y||{ ||z t || ||z x || + ||x t ||

||z t || ||z y|| + ||y t ||.

Ensuite, on additionne ces quatre ingalits, on simplifie parun coefficient 2, et on obtient lingalit voulue :

||x y|| + ||z t || ||x z|| + ||y t || + ||x t || + ||y z||.

a) Nous allons montrer que F est ferm dans E en uti-lisant la caractrisation squentielle des ferms.

Soient ( fn)nN une suite dans F, et f E tels que fn n

f

dans (E,||.||).On a : x R, | fn(x) f (x)| || fn f ||

n 0,

donc : x R, fn(x)n

f (x).

Comme, par hypothse :

x R, n N, fn(x) 0,il sensuit, par passage la limite dans une ingalit lorsquelentier n tend vers linfini :

x R, f (x) 0,et donc : f F.On conclut que F est ferm dans E .

b) Nous allons montrer que U nest pas ouvert dans E , en trou-vant f U telle que, pour tout R+, on ait : B( f ; ) / U.

Considrons f : R R, x f (x) = 1x2 + 1 .

Il est clair que f est continue et borne, donc f E .Soit R+ fix.Considrons lapplication g = f

2.

On a : g E, || f g|| = 2 < ,donc g B( f ; ).Mais g / U car g(x)

x+

2< 0, donc g prend des valeurs

0.

Ceci montre : R+, B( f,) / U,et on conclut que U nest pas ouvert dans E .

1) Il est clair que, pour toute f E, 1( f ) existe. On a, pour tout R et toute f E :

1( f ) = |( f )(0)| + 2 1

0|( f )(t)| dt

= || | f (0)| + 2|| 1

0| f (t)| dt = ||1( f ).

On a, pour toutes f,g E :1( f + g)

= |( f + g)(0)| + 2 1

0|( f + g)(t)| dt

= | f (0) + g(0)| + 2 1

0| f (t) + g(t)| dt

(| f (0)| + |g(0)|) + 2 1

0

(| f (t)| + |g(t)|) dt=

(| f (0)| + 2

10

| f (t)| dt)

+(

|g(0)| + 2 1

0|g(t)| dt

)

= 1( f ) + 1(g).

Soit f E telle que 1( f ) = 0.

On a alors : | f (0)| + 2 1

0| f (t)| dt = 0,

donc f (0) = 0 et 1

0| f (t)| dt = 0.

Puisque | f | est continue et 0, il en rsulte f = 0, donc fest constante, f = f (0) = 0.Ceci montre que 1 est une norme sur E .

2) De mme, 2 est aussi une norme sur E .

De manire plus gnrale, pour tout (a,b) (R+)2 ,

lapplication f a| f (0)| + b 1

0| f (t)| dt

est une norme sur E .

3) On a, pour toute f E : 121( f ) 2( f ) 21( f ),

donc les normes 1 et 2 sur E sont quivalentes.

Corrigs des exercices

1.1

1.2

1.3

13

a) Soit a E .Considrons lapplication a : E E, y y aqui est la translation de vecteur a.On a, pour tout y E : y {a} + y a ,donc : {a} + = {y E ; a(y) } = 1a().Ainsi, {a} + est limage rciproque de louvert par lap-plication continue a, donc {a} + est un ouvert de E .b) Soit A E . On a : A + =

aA

({a} +).

Ainsi, A + est une runion douverts de E, donc est un ou-vert de E .

1) Supposons continue sur A B.Puisque B =/ , il existe b B. On a alors :

x A, f (x) = (x,b) g(b) .Comme est continue sur A B, par composition,lapplication x (x,b) est continue sur A , puis, par ad-dition dune constante, f est continue sur A .

De mme, g est continue sur B .

2) Rciproquement, supposons f continue sur A et g continuesur B .

Notons : pr1 : E F E, (x,y) x ,pr2 : E F F, (x,y) y

les deux projections canoniques, qui, daprs le cours, sont conti-nues sur E F .On a alors : = f pr1 + g pr2,donc, par composition, est continue sur E F .

Soient (x1,x2), (y1,y2) R2 . On a : f (x1,x2) f (y1,y2)1 =(ax2,bx1) (ay2,by1)1

= (ax2 ay2, bx1 by1)1= (a(x2 y2), b(x1 y1))1

= |a(x2 y2)| + |b(x1 y1)| = a|x2 y2| + b|x1 y1| .En notant k = Max (a,b) R+ , on a donc : f (x1,x2) f (y1,y2)1 k|x2 y2| + k|x1 y1|

= k(x1 y1, x2 y2)1 = k(x1,x2) (y1,y2)1 .

On conclut que f est lipschitzienne.

Il est clair que lapplication

f : R2 R, (x1,x2) 2x1 3x2est linaire.

On a donc, par dfinition de la norme subordonne :

||| f ||| = Sup(x1,x2)R2{(0,0)}

| f (x1,x2)|||(x1,x2)|| .

On a, pour tout (x1,x2) R2 :| f (x1,x2)| = |2x1 3x2| 2|x1| + 3|x2|

q 5 Max (|x1|,|x2|) = 5 ||(x1,x2)||.Il en rsulte, daprs la dfinition de la norme subordonne :||| f ||| 5. De plus, en notant X = (1,1), on a X =/ (0,0) et :

| f (X)|||X || =

5

1= 5.

On conclut : ||| f ||| = 5.

Par thormes gnraux, f est continue sur R, et,

comme f (x) = sin xx

x0

1 = f (0),f est continue en 0, donc f est continue sur R.

Traons dabord lallure de la courbe reprsentative de f :

1.6

1.7

1.8

1.4

1.5

y

x 22 O

1

12

B

A

1) On a : A = Z, donc A nest pas borne, donc nest pascompacte.

2) Puisque B = f 1([

1

2;+

[), que f est continue et que

[1

2;+

[, est ferm dans R, daprs le cours, B est ferme

dans R.

On a, pour tout x R :

|x | > 2 | f (x)| = sin xx

1x 0.

Puisque d(un,vn)n

0, il existe N1 N tel que :

n N1, d(un,vn) 3 .

Dautre part, puisque (un)nN est de Cauchy, il existe N2 Ntel que :

p N2, q N2, d(up,uq) 3 .Notons N = Max (N1,N2) N . On a alors, pour tout(p,q) N2 tel que p N et q N :

d(vp,vq) d(vp,up) + d(up,uq) + d(uq ,vq) 3 3 = .

Ceci montre que (vn)nN est de Cauchy dans E .

a) Limplication N1 = N2 B 1 = B 2 est vidente. Rciproquement, supposons B 1 = B 2.Soit x E tel que x =/ 0.

Considrons y = 1N1(x)

x . On a :

N1(y) = N1(

1

N1(x)x

)= 1

N1(x)N1(x) = 1 ,

donc y B 1 = B 2 , do N2(y) 1.

Mais : N2(y) = N2(

1

N1(x)x

)= 1

N1(x)N2(x).

On a donc :1

N1(x)N2(x) 1, do : N2(x) N1(x).

Puisque N1 et N2 jouent des rles symtriques, on a aussiN1(x) N2(x), do : N1(x) = N2(x) .Enfin, pour x = 0, lgalit N1(x) = N2(x) est triviale.On conclut : N1 = N2 .b) Limplication N1 = N2 B1 = B2 est vidente. Rciproquement, supposons B1 = B2.Nous allons adopter la mme mthode que dans la solution de a).

Soit x E tel que x =/ 0.

Considrons y = 1N1(x)

x . On a alors N1(y) = 1, doncy / B1 = B2 , do N2(y) 1.

Mais N2(y) = 1N1(x)

N2(x), do N2(x) N1(x).

Puisque N1 et N2 jouent des rles symtriques, on a aussiN1(x) N2(x), do : N1(x) = N2(x) .Enfin, pour x = 0, lgalit N1(x) = N2(x) est triviale.On conclut : N1 = N2 .

1) Nous allons montrer que A est une partie ferme de Een utilisant la caractrisation squentielle des parties fermes.

Soient ( fn)nN une suite dans A , f E tels que fn n

f dans

(E,||.||) .On a, pour tout x [0 ; 1] :

| fn(x) f (x)| || fn f || n

0 ,

donc : fn(x)n

f (x) .

Dautre part :

x [0 ; 1], n N, e fn (x) 2 + fn(x) .On dduit, par passage la limite dans une ingalit lorsquelentier n tend vers linfini :

x [0 ; 1], e f (x) 2 + f (x) ,et donc : f A .Ceci montre que A est une partie ferme de E .

2) Montrons : t [2 ;+[, et 2 + t.Lapplication

: [2 ;+[ R, t (t) = et (2 + t)

est drivable et, pour tout t [2 ;+[ :

(t) = et 1 > 0 ,

donc est strictement croissante.

De plus : (2) = e2 4 > 0 .On dduit : t [2 ;+[, (t) 0,do lingalit voulue.

Soient t [2 ;+[ et ft : [0 ; 1] R, x t lapplica-tion constante gale t. On a alors :

t [2 ;+[,(

ft A et || ft || = |t | = t)

,

ce qui montre que A nest pas borne.

a) 1) Nous allons montrer que A est une partie fermede E , en utilisant la caractrisation squentielle des ferms.

Soient ( fn)nN une suite dans A , f E tels que fn n

f dans

(E,||.||) . On a : | fn(0) f (0| || fn f ||

n 0,

donc : fn(0)n

f (0) .

Mais : n N, fn(0) = 1, do : f (0) = 1.

1.9

1.10

1.11

1.12

15

On a :

1

0fn

10

f

= 1

0( fn f )

1

0| fn f | (1 0)|| fn f ||

n 0,

donc : 1

0fn

n

10

f.

Mais : n N, 1

0fn = 0, donc :

10

f = 0.

On dduit : f A.On conclut que A est une partie ferme de E .

2) Soit f A .On a : || f 0|| = || f || | f (0)| = 1,donc : d(0,A) || f 0|| 1. Lapplication f : [0 ; 1] R, x 1 2xest dans A et : d(0, f ) = || f || = 1.On conclut : d(0,A) = 1, et cette borne est atteinte, par fci-dessus et reprsente graphiquement ci-aprs.

Considrons, pour tout n N , lapplicationgn : [0 ; 1] R dfinie, pour tout x [0 ; 1], par :

gn(x) =

nan x si 0 x 1

n

an si1

n< x 1

,

o an est calculer pour que 1

0gn = 1.

y

x

y = f(x)

1

1O

1

12

b) 1) On montre que B est une partie ferme de E par la mmemthode quen a) 1).

2) Soit f B . On a :

1 = 1

0f

10

| f | (1 0)|| f || = || f 0|| ,

donc : d(0,B) 1.

y

11 x

n

1

O

a

n

On a : 1

0gn = 1 an an2n = 1 an =

2n

2n 1 .

On a alors : n N, gn B et :

||gn 0|| = an = 2n2n 1 n 1 ,

do lon conclut : d(0,B) 1.

Supposons quil existe f B telle que d(0,B) = || f ||. On a :

0 1

0

(|| f || f ) = || f || 1

0f = 1 1 = 0 ,

donc, puisque || f || f est continue et 0, on a :|| f || f = 0, f = || f ||, f est une constante.

Mais f (0) = 0 , donc f = 0, contradiction avec 1

0f = 1.

Ceci montre que d(0,B) nest pas atteinte.

a) Dabord, E est bien un R-ev, et N,N ,N sont

dfinies, car, si f E , alors f, f , f sont continues sur le seg-ment [0 ; 1] , donc sont bornes, do lexistence deN( f ), N ( f ), N

( f ) .

1.13

16

Nous allons montrer que N est une norme sur E , les preuves

pour N et N tant analogues et plus simples.

On a, pour toutes f,g E :

N ( f + g)

=|( f + g)(0)| + |( f + g)(0)| + Supx[0;1]

|( f + g)(x)|

(| f (0)| + |g(0)|) + (| f (0)| + |g(0)|)

+ Supx[0;1]

(| f (x)| + |g(x)|)

(| f (0)| + |g(0)|) + (| f (0)| + |g(0)|)

+ Supx[0;1]

| f (x)| + Supx[0;1]

|g(x)|

=(| f (0)| + | f (0)| + Supx[0;1]

| f (x)|)

+ (|g(0)| + |g(0)| + Supx[0;1]

|g(x)|)

=N ( f ) + N (g).

On a, pour tout R et toute f E :

N ( f ) = |( f )(0)| + |( f )(0)| + Supx[0;1]

|( f )(x)|

= || | f (0)| + || | f (0)| + || Supx[0;1]

| f (x)| = ||N ( f ) .

Soit f E telle que N ( f ) = 0.On a alors : | f (0)|

0

+ | f (0)| 0

+ Supx[0;1]

| f (x)|

0

= 0,

donc f (0) = 0, f (0) = 0, Supx[0;1]

| f (x)| = 0 .

Il en rsulte f = 0. Il existe donc (a,b) R2 tel que :

x [0; 1], f (x) = ax + b .

De plus :

{f (0) = 0f (0) = 0

{ a = 0

b = 0do f = 0.

On conclut : N, N , N sont des normes sur E .

b) 1) Soit f E .Pour tout x [0 ; 1], daprs lingalit des accroissements finis,applique f sur [0 ; x], on a :

| f (x) f (0)| x Supt[0;x]

| f (t)| 1 Supx[0;1]

| f (t)| ,

puis :

| f (x)| = f (0) + ( f (x) f (0)) | f (0)| + | f (x) f (0)|

| f (0)| + Supt[0;1]

| f (t)| = N ( f ).

Il en rsulte : N( f ) N ( f ). De mme : f E, N ( f ) N ( f ) .2) Montrons que les normes N, N , N

sont deux deux

non quivalentes :

Considrons la suite ( fn)nN dapplications de [0 ; 1] dans Rdfinies, pour tout n N , par :

x [0 ; 1], fn(x) = sin (nx) .On a, pour tout n N, fn E et, pour tout x [0 ; 1] :

fn(x) = sin (nx), f n(x) = n cos (nx),f n (x) = 2n2 sin (nx) ,

do, pour tout n N :N( fn) = 1, N ( fn) = n, N ( fn) = n + 2n2 .

Il sensuit :

N ( fn)N( fn)

= n n

+ , N( fn)

N ( fn)= 1 + n

n + ,

N ( fn)N( fn)

= n + 2n2 n

+ .

Ainsi, les rapports N ( f )N( f )

,N ( f )N ( f )

,N ( f )N( f )

ne sont pas bor-

ns lorsque f dcrit E {0} , donc les normes N, N , N sont deux deux non quivalentes.

a) Lapplication

f : E E, x f (x) = x1 + ||x ||2

est continue par oprations sur les applications continues.

b) 1) On a : x E, || f (x)|| = ||x ||1 + ||x ||2

1

2,

car : t R+, t1 + t2 1

2= (1 t)

2

2(1 + t2) 0.

do : f (E) B (

0 ; 12

).

2) Rciproquement, soit y B (

0 ; 12

).

Cherchons R pour que f (y) = y. On a :f (y) = y y

1 + ||y||2 = y ||y||22 + 1 = 0.

1.14

17

Si y = 0, on peut choisir = 0.Supposons y =/ 0. Lquation du second degr prcdente, din-connue R , admet au moins une solution puisque son dis-criminant 1 4||y||2 est 0, car ||y|| 1

2.

Ceci montre : B (

0 ; 12

) f (E).

On conclut : f (E) = B (

0 ; 12

).

Remarque :

Le rsultat est apparent dans le cas E = R muni de la norme|.| usuelle :

a) Soit g F .Considrons lapplication

f : [0 ; 1] R, x f (x) = xg(x) .On a f F , donc :

0 =< f , g >= 1

0f (x)g(x) dx =

10

x(g(x)

)2dx .

Comme x x(g(x))2 est continue et 0, on dduit : x [0 ; 1], x(g(x))2 = 0 ,

puis : x ]0 ; 1], g(x) = 0.Comme g est continue en 0, il en rsulte g = 0.On conclut : F = {0}.b) On a donc : F F = F {0} = F.Il est clair que F =/ E, puisque lapplication constante gale 1 est dans E et nest pas dans F .

On conclut : F F =/ E.

Par commodit typographique, un lment de Mn,1(C)peut tre not en ligne au lieu de colonne.

1) On a, pour tout X = (x1,...,xn) Mn,1(C) :

|| f (X)||1 =n

i=1

n

j=1ai j xj

n

i=1

( nj=1

|ai j | |xj |)

=n

j=1

( ni=1

|ai j |)|xj |

(Max1 jn

ni=1

|ai j |

note M

) nj=1

|xj |

= M||X ||1.

Ceci montre que la norme subordonne de f, note ||| f |||, v-rifie : ||| f ||| M.

2) Montrons quil existe X =/ 0 ralisant des galits dans lachane dingalits prcdentes.

Il existe j0 {1,...,n} tel que : M =n

i=1|ai j0 |.

Considrons X = (0,...,0,1,0,...,0), dont toutes les coordon-nes sont nulles, sauf la j0-me qui est gale 1.

On a alors, dune part,||X0||1 = 1, et, dautre part,f (X0) = (a1 j0,...,anj0), donc :

|| f (X)||1 =n

i=1|ai j0 | = M.

Ainsi : X =/ 0 et || f (X)||1||X ||1 = M.

Finalement : ||| f ||| = Max1 jn

( ni=1

|ai j |).

y

x1

0

Reprsentation graphique de f : x x1 + x2

On a ici : f (R) =[

12

; 12

]= B

(0 ; 1

2

).

1) Lapplication

f : R2 R, (x,y) x2(x 1)(x 3) + y2(y2 4)est continue et {0} est ferm dans R, donc E = f 1({0}) estferm dans R2, comme image rciproque dun ferm par uneapplication continue.

2) Montrons que E est borne, en utilisant les coordonnes po-laires.

Notons, pour (x,y) R2 : = x2 + y2 .On a, pour tout (x,y) R2 :

(x,y) E x4 4x3 + 3x2 + y4 4y2 = 0 x4 + y4 = 4x3 3x2 + 4y2 ,

do, pour tout (x,y) E :4 = (x2 + y2)2 = x4 + 2x2 y2 + y4 2(x4 + y4)

= 2(4x3 3x2 + 4y2) 2(43 + 42) = 83 + 82 .En supposant 1, on a donc, si (x,y) E :4 163, do : 16.Ceci montre : (x,y) E,

x2 + y2 16,

donc E est borne.

Ainsi, E est une partie ferme borne de R2, qui est un evn dedimension finie, donc E est compacte.

1.15

1.16

1.17

18

a) Existence :

Soit (x,y) R2.Premire mthode :

Lapplication fx,y : t |x + t y|1 + t + t2 , est continue sur R, carle trinme rel 1 + t + t2 est de discriminant < 0 , etfx,y(t)

t0. Il existe donc t0 [0 ;+[ tel que :

t ] ;t0] [t0 ;+[, | fx,y(t)| 1 .

Ensuite, f tant continue sur le segment [t0 ; t0] , daprs unthorme du cours, f est borne sur ce segment. Il existe doncA R+ tel que :

t [t0 ; t0], | fx,y(t)| A .En notant M = Max (1,A) R+ , on a donc :

t R, | fx,y(t)| M .Ainsi, fx,y est borne, donc N (x,y) = Sup

tRfx,y(t) existe.

Deuxime mthode :

Soit (x,y) R2. On a, pour tout t R tel que |t | 1 :|x + t y|

1 + t + t2 |x | + |t | |y|1 + t + t2

|x | + |y|1

= |x | + |y| ,

et, pour tout t R tel que |t | 1 :|x + t y|

1 + t + t2 |x | + |t | |y|1 + t + t2

(|x | + |y|)|t |t2

= |x | + |y||t | |x | + |y|.

Do : t R, |x + t y|1 + t + t2 |x | + |y|.

Ainsi, lapplication t R |x + t y|1 + t + t2 , est borne, donc

N (x,y) = SuptR

fx,y(t) , existe.

On a, pour tous (x,y), (x ,y) R2 :

N((x,y) + (x ,y))

= N (x + x , y + y)

= SuptR

(x + x ) + t (y + y)1 + t + t2

SuptR

|x + t y| + |x + t y|1 + t + t2

SuptR

|x + t y|1 + t + t2 + SuptR

|x + t y|1 + t + t2

= N (x,y) + N (x ,y).

On a, pour tout R et tout (x,y) R2 :N

((x,y)

) = N (x,y)= Sup

tR

|x + ty|1 + t + t2 = || SuptR

|x + t y|1 + t + t2 = ||N (x,y).

On a, pour tout (x,y) R2 :

N (x,y) = 0 (

t R, |x + t y|1 + t + t2 = 0

)

( t R, x + t y = 0) (x,y) = (0,0).On conclut que N est une norme sur R2.

b) Soit (x,y) R2. On a :

(x,y) B N (0 ; 1)

N (x,y) 1

SuptR

|x + t y|1 + t + t2 1

t R, |x + t y|1 + t + t2 1

t R, (1 + t + t2) x + t y 1 + t + t2

{ t R, t2 + (1 y)t + (1 x) 0

t R, t2 + (1 + y)t + (1 + x) 0

{

(1 y)2 4(1 x) 0(1 + y)2 4(1 + x) 0.

Ainsi, B N (0 ; 1) est la partie du plan comprise entre les deuxparaboles (voir schma ci-aprs) :

P : (y 1)2 = 4(x 1), Q : (y + 1)2 = 4(x + 1) .

b) Les points dintersection des deux paraboles P et Q ont pour

ordonnes 3 et 3. Laire S de B N (0 ; 1) est donne, parexemple, par lintgrale double :

S = 3

3

( 1 (1y)24(1+y)2

4 1dx

)dy

= 3

3

(1 (1 y)

2

4 (1 + y)

2

4+ 1

)dy

= 3

3

(3

2 y

2

2

)dy =

[3

2y y

3

6

]33

=2(

3

2

3 3

3

6

)= 2

3.

1.18

19

1) Montrons dabord que N et sont des normes sur E .

Pour f E , N ( f ) et ( f ) existent dans R car f et f sont conti-nues sur le segment [0; 1], donc bornes.Les proprits, pour tous de R, f,g de E :

N ( f ) = ||N ( f ), ( f ) = ||( f )

N ( f + g) N ( f ) + N (g), ( f + g) ( f ) + (g)

sont immdiates.

Soit f E .Si N ( f ) = 0, alors Sup

x[0;1]| f (x)| = 0, donc f = 0.

Supposons ( f ) = 0 . Alors f + f = 0, donc il existe Rtel que :

x [0; 1], f (x) = ex .

Comme f (0) = 0 , on dduit = 0, puis f = 0.Ainsi, N et sont des normes sur E .

2) Soit f E . On a :

x [0; 1], f (x) + f (x) | f (x)| + | f (x)| N ( f ),do : ( f ) N ( f ) .3) Soit f E .Considrons lapplication g : [0; 1] R

x ex f (x), qui est de

classe C1 sur [0; 1].

On a, pour tout t de [0 ; 1] :|g(t)| = et( f (t) + f (t)) e( f ) ,

puis, pour tout x de [0 ; 1] :

|g(x)| = x

0g(t) dt

x

0|g(t)| dt xe( f ) e( f ),

do : | f (x)| = ex |g(x)| |g(x)| e( f ) .Et : | f (x)| = ( f (x) + f (x)) f (x)

f (x) + f (x) + | f (x)| (1 + e)( f ).

Do : x [0 ; 1], | f (x)| + | f (x)| (1 + 2e)( f ) ,donc : N ( f ) (1 + 2e)( f ).On a montr : f E, ( f ) N ( f ) (1 + 2e)( f ) ,donc N et sont des normes quivalentes.

Considrons lapplication : E R dfinie par : x E, (x) = d(x,G) d(x,F),

et les parties U = 1(]0 ;+[) , V = 1(] ; 0[)de E .

On sait que, pour toute partie non vide A de E , lapplicationx d(x,A) est continue (et mme : 1-lipschitzienne), donc est continue. Comme ]0 ;+[ et ] ; 0[ sont des ouvertsde R, il en rsulte que U et V sont des ouverts de E .

Soit x F. Dune part, d(x,F) = 0. Dautre part, x / G (carF G = ) et G est ferm, donc d(x,G) > 0. Il en rsulte(x) > 0 , cest--dire x U . Ceci montre : F U . De mme : G V . Enfin, il est clair que U V = .

(i) (ii) :Supposons que limage rciproque par f de tout compact de Rest un compact de R.

Soit A R+ . Puisque [A ; A] est un compact de R ,f 1([A ; A]) est un compact de R, donc est borne. Il existedonc B R+ tel que :

f 1([A ; A]) [B ; B] .On obtient, pour tout x R :

|x | > B x / [B ; B] x / f 1([A ; A]) f (x) / [A ; A] | f (x)| > A .

On a montr :

A > 0, B > 0, x R,{

x < B | f (x)| > Ax > B | f (x)| > A,

et on conclut : lim

| f | = + et lim+

| f | = +.

1.19

1.20

1.21

y

x

1

23

23

1

1

3

O

B'N(0 ; 1)

3

1

20

Il est clair que est symtrique et est linaire par rapport

la deuxime place.

Soit f E . On a : ( f, f ) = 1

0f 2 + f (0) f (1).

En utilisant lingalit de Cauchy et Schwarz pour des intgrales,

on a :

(f (1) f (0))2 = (

10

f )2

( 1

012

)( 10

f 2)

= 1

0f 2.

do :

( f, f ) = 1

0f 2 + f (0) f (1)

( f (1) f (0))2 + f (0) f (1)= ( f (1))2 f (0) f (1) + ( f (0))2

=(

f (1) f (0)2

)2+ 3

(f (0)

)24

0 .

En particulier, ceci montre que, pour toute f E , la racine car-re propose dans lnonc existe.

Avec les mmes notations, supposons ( f, f ) = 0. On a alors :

(f (1) f (0)

2

)2

0

+ 3(

f (0))2

4 0

= 0,

donc : f (1) f (0)2

= 0 et f (0) = 0,

do : f (0) = 0 et f (1) = 0,

puis : 1

0f 2 = ( f, f ) f (0) f (1) = 0 0 = 0.

Comme f 2 est continue et 0, on dduit f 2 = 0, puis f = 0,donc f est constante, puis f = f (0) = 0.Ceci montre que est un produit scalaire sur E , et Nest la norme

associe , donc N est une norme sur E .

On a, par lingalit triangulaire, en intercalant par

exemple x

||y|| , entre x

||x || , et y

||y|| :

1.23

(ii) (iii) :Supposons : lim

| f | = + et lim

+| f | = +.

Soit A R+ . Il existe B R+ tel que : x < B, | f (x)| > A ,

cest--dire :

x ] ;B[, ( f (x) < A ou f (x) > A) .Sil existe (x1,x2) ] ;B[2 tel que f (x1) < A etf (x2) > A , alors, comme f est continue sur ] ;B[ ,daprs le thorme des valeurs intermdiaires, il existeraitx3 ] ;b[ tel que f (x3) = 0, contradiction.On a donc :

( x < B, f (x) < A) ou ( x < B, f (x) > A) ,et on conclut : lim

f = ou lim

f = +.

De mme : lim+

f = ou lim+

f = +.

(iii) (i) :Supposons : lim

f = ou lim

f = +

et : lim+

f = ou lim+

f = +.Il est clair qualors : lim

| f | = + ou lim

+| f | = +,

cest--dire : (iii) (ii).Soit K un compact de R. Alors, K est born, donc il existeA R+ tel que : K [A ; A] .Daprs lhypothse, il existe B R+ tel que, pour tout x R :

|x | > B | f (x)| > A,do, par contraposition, pour tout x R :x f 1(K ) f (x) K | f (x)| A

|x | B x [B ; B].Ceci montre : f 1(K ) [B ; B], donc f 1(K ) est born.Dautre part, puisque f est continue et que K est ferm (car com-pact), f 1(K ) est ferm.

Ainsi, f 1(K ) est un ferm born de R, donc, daprs le cours,f 1(K ) est un compact de R.

Nous allons montrer que N est la norme associe unproduit scalaire.

Considrons lapplication : E E R dfinie, pour tout( f,g) E E , par :

( f,g) = 1

0f g + 1

2

(f (0)g(1) + f (1)g(0)) ,

obtenue partir de N en ddoublant le rle de f dans(N ( f )

)2.

1.22

21

Considrons lapplication f : [0; 1] R dfinie par :

f (x) =

0 si 0 x ou x 1

x si x + 2

x si + 2

x .

x||x ||

y

||y||

x||x ||

x

||y|| +

x||y||

y

||y||

= 1||x ||

1

||y|| ||x || + 1||y|| ||x y||

=||y|| ||x ||

||y|| +1

||y|| ||x y||

||y x ||||y|| +1

||y|| ||x y|| =2 ||x y||

||y|| .

Par rles symtriques, on a aussi : x||x ||

y

||y|| 2 ||x y||||x || .

On conclut :

x||x ||

y

||y|| 2 ||x y||Max (||x ||,||y||) .

a) Soit E.Puisque f est continue sur le segment [0; 1], f est borne,et donc N( f ) existe dans R.

On a, pour tous de R et f,g de E :

N( f ) = || f || = || || f || = ||N( f )N( f + g) =

( f + g) = f + g

|| f || + ||g|| = N( f ) + N(g).

1) Supposons (1({0})) = .

Soit f E telle que N( f ) = 0 ; on a donc f = 0.Supposons f =/ 0. Il existe x0 [0; 1] tel que f (x0) =/ 0.Puisque f est continue en x0, il existe un intervalle I, inclus

dans [0; 1] et de longueur > 0 , tel que : x I, f (x) =/ 0.On a alors : x I, (x) = 0 ,ce qui contredit

(1({0})) = .

Ceci montre f = 0,donc : f E, (N( f ) = 0 f = 0) ,et finalement, N est une norme sur E .

2) Supposons (1({0})) =/ .

Alors (1({0})) , tant un ouvert non vide de [0 ; 1], contient

au moins un intervalle [;] tel que < . On a ainsi :

x [;], (x) = 0 .

y

xO 1

f

+ 2

-- 2

On a alors f E , f =/ 0, et f = 0 donc N( f ) = 0.Ceci montre que N nest pas une norme sur E .

Finalement, N est une norme sur E si et seulement si(1({0})) = .

b) Soit E.b) 1) Supposons 1({0}) = , cest--dire :

x [0; 1], (x) =/ 0.Alors,

(1({0})) = , donc, daprs a), N est une norme

sur E .

On a : f E, N( f ) = || f || || f |||||| .Dautre part, puisque E et que ne sannule en aucun point,1

existe dans E , do :

f E, || f || = 1 f

1

|| f || = 1

N( f ).

On a montr :

f E,( 1

)1|| f || N( f ) |||||| f || ,

et donc N et || || sont quvalentes sur E .2) Rciproquement, supposons que N et || || soient desnormes sur E quivalentes.

Daprs a), on a dj (1({0})) = .

Supposons 1({0}) =/ . Il existe donc x0 1({0}), cest--dire tel que (x0) = 0 .Soit n N . Puisque est continue en x0 et que (x0) = 0 ,il existe > 0 tel que :

x [x0 ; x0 + ] [0; 1], |(x)| 1n

.

1.24

22

Considrons lapplication fn : [0; 1] R dfinie par :

fn(x) =

0 si0 x x0

ou x0 + x 1x x0 +

si x0 x x0

x0 + x

si x0 x x0 + .

On a alors fn E , || fn|| = 1 , et, pour tout x de [0; 1] :

| fn(x)(x)| |(x)| 1n

si |x x0| fn(x)(x) = 0 si |x x0| ,

donc : N( fn) = || fn|| 1n

.

Ainsi, || fn|| n

1 et N( fn) n

0, donc || || et Nne sont pas quivalentes.

On a alors :

u vn+2 vn+2 u

= (u vn+1 vn+1 u) v + vn+1 u v vn+2 u

= (u vn+1 vn+1 u) v + vn+1 (u v v u)

= (n + 1)vn v + vn+1 e = (n + 2)vn+1,

ce qui montre la proprit pour n + 1.On conclut, par rcurrence sur n :

n N, u vn+1 vn+1 u = (n + 1)vn .

b) Rappelons que LC(E) est un espace vectoriel norm, pourla norme |||.||| dfinie, pour tout f LC(E) , par :

||| f ||| = Sup||x ||1

|| f (x)|| ,

et que cette norme est sous-multiplicative, cest--dire que :

f,g LC(E), |||g f ||| |||g||| ||| f ||| .

On a donc, pour tout n N :(n + 1)|||vn|||

= |||(n + 1)vn||| = |||u vn+1 vn+1 u|||

|||u vn+1||| + |||vn+1 u|||

|||u||| |||vn||| |||v||| + |||vn||| |||v||| |||u|||

= 2 |||u||| |||v||| |||vn|||.

c) Si, pour tout n N, vn =/ 0, alors on dduit : n N, n + 1 2 |||u||| |||v||| ,

contradiction.

Il existe donc n N tel que vn = 0 .Lensemble {n N ; vn = 0} est une partie non vide de N, doncadmet un plus petit lment, not n0.

Comme v0 = e =/ 0, car E =/ {0}, on a : n0 1.Appliquons la formule de a) n0 1 la place de n :

u vn0 vn0 u = n0vn01 .Comme vn0 = 0 et n0 =/ 0, on dduit vn01 = 0, contradictionavec la dfinition de n0.

On dduit une contradiction et on conclut quil nexiste pas (u,v)convenant.

Autrement dit :

(u,v) (LC(E))2, u v v u =/ e .

y

n

n

x

1

1

1

O1

x0 n x0 + nx0

y = fn(x)

y = (x)

Finalement, N et || || sont des normes quivalentes si et seu-lement si 1({0}) = .

a) Rcurrence sur n.

La proprit est vraie pour n = 0, par hypothse :u v v u = v = 1v0 .

Supposons que la proprit soit vraie pour un n N fix :u vn+1 vn+1 u = (n + 1)vn .

1.25

23

2CHAPITRE 2Fonctions vectoriellesdune variable relle

Thmes abords dans les exercices Rsolution dquations fonctionnelles

Existence et calcul ventuel dune drive premire, dune drive n-me

Sparation des zros dune quation

Obtention dingalits une ou plusieurs variables relles

Obtention dingalits portant sur des intgrales

Calculs dintgrales

Dtermination de limites de suites lies des intgrales

Recherche de limites dintgrales

tude et reprsentation graphique dune fonction dfinie par une intgrale, leparamtre aux bornes

Calculs de limites, dquivalents, de dveloppements limits, de dveloppe-ments asymptotiques

Dveloppement limit, dveloppement asymptotique dune fonction rci-proque

Limite, quivalent, dveloppement asymptotique dune intgrale dpendantdun paramtre

Limite, quivalent, dveloppement asymptotique des solutions dune quation paramtre.

Points essentiels du cours pour la rsolution des exercices Proprits des fonctions ayant des limites finies ou des limites infinies, pour

les oprations algbriques et pour lordre usuel

Proprits gnrales des fonctions continues

Proprits gnrales des fonctions monotones

Thorme des valeurs intermdiaires, thorme de la bijection monotone,thorme de continuit sur un compact

Dfinition de la lipschitzianit ; lien avec la continuit

Dfinition et proprits algbriques de la drivabilit, de la drive, de la dri-ve n-me, formule de Leibniz

Thorme de Rolle, thorme des accroissements finis, ingalit des accrois-sements finis



Du mal dmarrer ? 35

Corrigs 39

Plan

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

Chapitre 2 Fonctions vectorielles dune variable relle

24

Revenir aux dfinitions. Exercices 2.16, 2.31.

Raisonner par condition ncessaire, puis condition suffisante : siune fonction f convient, essayer dobtenir lexpression de f (x) pourtout x, puis tudier la rciproque.Pour obtenir des conditions ncessaires sur f, appliquer lhypoth-se des cas particuliers. Si, par exemple, lhypothse est vraie pourtout (x,y), appliquer lhypothse (x,0) , (0,y) , (x,x), etc.

Exercices 2.2, 2.3, 2.17

Essayer de faire apparatre, dans lquation fonctionnelle, une fonc-tion auxiliaire telle que, par exemple, = Id , et appliquerlhypothse x, (x).

Exercice 2.30.

On peut essayer, par changement de variables ou changement defonction inconnue, de se ramener la recherche des applicationsg : R R continues telles que :

Les mthodes retenir

Pour montrer quune fonctionest paire,est impaire,est priodique

Proprits algbriques et proprits relatives lordre, pour les intgrales

Les mthodes usuelles pour transformer lcriture dune intgrale : intgrationpar parties, changement de variable, relation de Chasles

Les proprits de lapplication x x

x0

f (t) dt

Formule de Taylor avec reste intgral, ingalit de Taylor et Lagrange, formu-le de Taylor et Young

Proprits des fonctions ou des suites ayant une limite finie ou une limite infi-nie, pour les oprations algbriques et pour lordre usuel

quivalents et dveloppements limits usuels, savoir par coeur

Notion de dveloppement asymptotique.

Pour rsoudre une quation fonctionnelle,sans hypothse de rgularit sur la fonction inconnue

Pour rsoudre une quation fonctionnelle avec hypothse de continuit

Les mthodes retenir

25

(x,y) R2, g(x + y) = g(x) + g(y)qui sont les applications linaires de R dans R , cest--dire les appli-cations g : x x, R fix.

Voir les mthodes retenir dans le volume Exercices PCSI-PTSI. Se rappeler :

(lipschitzienne) (continue). Exercice 2.42.

Essayer dappliquer le thorme du cours : toute application continuesur un compact et valeurs relles est borne et atteint ses bornes.

Exercice 2.41.

Sassurer dabord (souvent par un thorme sur les oprations) que fest n fois drivable sur I .

Si f est une fraction rationnelle, utiliser une dcomposition en l-ments simples, ventuellement en passant par les nombres com-plexes.

Exercice 2.4

Appliquer les formules sur les drives n-mes dune combinaisonlinaire ou dun produit de deux fonctions (formule de Leibniz)

Voir les mthodes retenir dans le volume Exercices MPSI.

tudier les variations dune fonction, aprs avoir ventuellementremplac lingalit voulue, par quivalence logique, par une inga-lit plus commode.

Exercice 2.5.

Utiliser le thorme de Rolle ou le thorme des accroissements finis.

Exercice 2.18.

Fixer une des deux variables et tudier une fonction de lautrevariable.

Exercice 2.19

Essayer de ramener la question la monotonie dune fonction dunevariable relle.

Exercice 2.20 a).

Pour montrer quune application est continue

Pour obtenir une ingalit plusrenforce quune ingalit initiale

Pour calculer la drive n-me dune fonction fen tout point dun intervalle I

Pour tablir une ingalitportant sur une variable relle

Pour montrer lexistence de zrospour une drive ou pour des drives successivesdune fonction valeurs relles.

Pour tablir une ingalit portant sur deux variables relles

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.


26

Essayer dappliquer le thorme : toute application continue sur uncompact et valeurs relles est borne et atteint ses bornes.

Exercice 2.41

Faire apparatre deux normes sur un espace vectoriel de dimensionfinie, et utiliser le thorme affirmant que ces deux normes sontalors quivalentes.

Exercice 2.21.

Essayer dutiliser :

la dfinition : x X,(Sup ( f,g)

)(x) = Max ( f (x),g(x)),(

Inf ( f,g))(x) = Min ( f (x),g(x))

les formules :

Sup ( f,g) = 12

(f + g + | f g|) ,

Inf ( f,g) = 12

(f + g | f g|) .

Exercice 2.32 a).

Essayer dutiliser une fonction auxiliaire, de manire se ramener une inquation diffrentielle du type : x X, g(x) 0,qui traduit que g est croissante.

Exercice 2.33.

Essayer dutiliser une intgration par parties.

Exercice 2.7.

Essayer dappliquer les proprits sur les intgrales, relatives lordre :

si a b et si f,g : [a ; b] R sont continues par morceaux et

vrifient f g, alors : b

af

ba

g

si a b et si f : [a ; b] K est continue par morceaux sur

[a ; b] , alors : b

af

ba

| f |

si a b et si f,g : [a ; b] K sont continues par morceaux sur[a ; b] , alors (ingalit de Cauchy et Schwarz) :

b

af g

2 ( b

a| f |2

)( ba

|g|2)

.


Pour tablir lexistence dune constante ralisant une ingalit,sans pouvoir calculer une telle constante

Pour tudier Sup (f , g), Inf (f , g) ,o f , g : X R sont des applications valeurs relles

Pour tudier ou rsoudre une inquation diffrentielleou une inquation intgrale

Pour tudier lintgrale dun produit

Pour obtenir une ingalitportant sur des intgrales

Les mthodes retenir

27

Se reporter aux mthodes retenir pour le calcul des intgrales et desprimitives, volume Exercices PCSI-PTSI.


Appliquer les mthodes de calcul dintgrales et de primitives :

primitives usuelles linarit de lintgration relation de Chasles changement de variable intgration par parties.On se ramne alors la formule fondamentale de lanalyse :

ba

f (x) dx = F(b) F(a) ,

o f est continue sur [a ; b] et F est une primitive de f.On peut quelquefois exploiter un changement de variable qui chan-ge les bornes.

Essayer dappliquer la relation de Chasles, ou deffectuer un change-ment de variable.

Essayer de se ramener une somme de Riemann, et utiliser le thorme du cours : si f : [a ; b] K est continue par morceaux,alors les sommes de Riemann de f tendent vers lintgrale de f,cest--dire :

b an

nk=0

f(

a + k b an

)

n

ba

f .

cet effet : si une somme de Riemann vn ressemble un propos, former

un vn et essayer de montrer que un vn n

0

Exercice 2.39

sil sagit dun produit, se ramener une somme en prenant le loga-rithme.

Exercice 2.10.

Utiliser le rsultat du cours : si u,v : I R sont de classe C1 surun intervalle I et si f : J K est continue sur un intervalle J telque u(I ) J et v(I ) J, alors lapplication

G : I K, x v(x)

u(x)f (t) dt

Pour calculer lintgraledune fonction continue sur un segment, dans un exemple

Pour changer la forme de lcriture dune intgrale,ou pour calculer ou valuer une intgrale

Pour amener une intgraleayant des bornes diffrentes de celles qui interviennent dans lnonc

Pour trouver la limite, lorsquelentier n tend vers linfini,dune sommationindexe par un entier k,portant sur un terme dpendant de k et n

Pour tudier ou driver une intgrale dpendant dun paramtre,le paramtre tant aux bornes

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.


28

est de classe C1 sur I et : x I, G (x) = f (v(x))v(x) f (u(x))u(x) .

Exercice 2.27.

On peut conjecturer la limite, qui est souvent, dans les exemplessimples, lintgrale de la limite, et montrer que la diffrence entrelintgrale de lnonc et la limite conjecture tend vers 0.

Si lessentiel de lintgrale est concentr en un point, essayer defaire intervenir une continuit en ce point.

Exercice 2.43.

Voir aussi lutilisation du thorme de convergence domine dans lechapitre 5.

Utiliser les DL(0) usuels et les oprations sur ces DL(0) : tronca-ture, drivation, primitivation, addition, loi externe, multiplication,composition, inverse. Se ramener, si ncessaire, au voisinage de 0par transformation de lcriture.

Essayer danticiper lordre auquel dvelopper certaines parties delcriture, afin darriver au bon ordre pour le dveloppement limitdemand.

Exercices 2.12, 2.24, 2.28.

Commencer par montrer lexistence et lunicit de la racine tu-dier, dans un certain intervalle.

Utiliser lquation elle-mme pour essayer dobtenir la limite (si elle existe) de la racine.

tudier la diffrence entre la racine et sa limite, et ritrer si nces-saire.

Exercices 2.14, 2.15, 2.35, 2.45.

Pour trouver une limite dintgrale

Pour obtenir un dveloppement limit

Pour obtenir la limite ouun dveloppement asymptotiquedune racine dune quationdpendant dun paramtre

noncs des exercices

Ingalits sur des bornes infrieures et des bornes suprieures de f , g, f + g , et de leursmoyennes

Soient X un ensemble non vide, f,g : X R des applications bornes. On note :

m( f ) = InfxX

f (x), M( f ) = SupxX

f (x), ( f ) = 12

(m( f ) + M( f )) ,

et de mme pour g.

2.1

noncs des exercices

29

a) Montrer :

{m( f + g) m( f ) + M(g) M( f + g)m( f + g) M( f ) + m(g) M( f + g).

b) En dduire : m( f + g) ( f ) + (g) M( f + g).

Exemple dquation fonctionnelle

Trouver toutes les applications f : R R telles que : (x,y) R2, f (x + ey) = x + e f (y) .

Exemple dquation fonctionnelle

Trouver toutes les applications f : R R telles que :

(x,y) R2, f (x) + f (y) = f(

x + y2

)+ f (3x) .

Drives successives de Arctan, dtermination de leurs zros

On considre lapplication f : R R, x f (x) = Arctan x .a) Montrer que f est de classe C sur R, et calculer f (n)(x) pour tout (n,x) N R. On feraintervenir les nombres complexes.

b) Rsoudre, pour tout n N {0,1} lquation f (n)(x) = 0, dinconnue x ]0 ;+[.

Ingalit une variable par tude des variations dune fonction

Montrer : x [0 ;+[, ex (

e x

2

)2.

Recherche dune fonction proche de deux fonctions donnes

Trouver une application f : [0 ; 1] R continue telle que : 1

0

(f (x) x)2 dx 102 et

10

(f (x) x2)2 dx 102 .

Lemme de Lebesgue pour une fonction de classe C1 sur un segment

Soient (a,b) R2 tel que a b , f : [a ; b] C de classe C1 sur [a ; b].

Montrer : b

af (x) eix dx

+0.

quivalents simples de sommations

a) Montrer :n

k=1

1

kn

ln n.

b) En dduire un quivalent simple de un =n1k=1

1

k(n k) , lorsque lentier n tend vers linfini.

Ingalit sur des intgrales

Soient (a,b) R2 tel que a b , f,g,h : [a ; b] R+ continues.

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9


30

Montrer :

( ba

f gh

)4

( ba

f 4)( b

ag2

)2( ba

h4)

.

Limite dun produit

Trouver limn

( nk=1

2n + k3n + k

) 1n

.

tude de drivabilit en un point, pour une fonction dfinie par une intgrale

On note f : R R, x f (x) = x2

0( sin t) Arctan

t

1 + x2 dt.

Montrer que f est drivable en 0 et calculer f (0).

Exemple de calcul de dveloppement limit

Former le dveloppement limit lordre 2 en 0 de f : x Arctan

tan x

x.

Exemple de calcul de limite

Trouver limx6

(2 sin x)tan 3x .

Dveloppement asymptotique dune racine dune quation dpendant dun paramtreentier

a) Montrer que, pour tout n N , lquation 1 + x + ex

n= 0, dinconnue x ] ; 0], admet

une solution et une seule, note xn.

b) Montrer que la suite (xn)nN converge et dterminer sa limite.

c) Former un dveloppement asymptotique de xn la prcision o

(1

n

), lorsque lentier n tend vers

linfini.

Limite, quivalent, dveloppement asymptotique dune racine dune quation dpendant dun paramtre entier

a) Montrer que, pour tout n N , lquation cos x = nx , admet, dans [0 ; 1], une solution et uneseule, note xn .

b) Montrer xn n

0, puis xn n

1

n.

c) Trouver un quivalent simple de xn 1n

, lorsque lentier n tend vers linfini.

Condition pour une priodicit

Soit f : R R une application non injective, telle quil existe une application g : R2 Rtelle que : (x,y) R2, f (x + y) = g( f (x),y).Montrer que f est priodique.

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

noncs des exercices

31

Exemple dquation fonctionnelle sur deux fonctions

Soient f,g : R R des applications telles que :

(x,y) R2, f (x + g(y)) = 2x + y + 5 .Calculer, pour tout (x,y) R2, g(x + f (y)) .

tude dune fonction C ayant une infinit de zros saccumulant en 0

Soit f : [0 ;+[ R de classe C telle quil existe une suite (xn)nN dans ]0 ;+[ telle que : xn

n 0 et

( n N, f (xn) = 0). Montrer : k N, f (k)(0) = 0.

Minimum dune fonction de deux variables relles

On considre lapplication f : [0 ;+[2 R, (x,y) 1 + x2 y + xy2 3xy.Montrer : (x,y) [0 ;+[2, f (x,y) 0, et tudier le cas dgalit.

Ingalits une, deux, trois variables, faisant intervenir des logarithmes

a) Montrer, pour tout (x,y) R2 tel que 0 < x < y : xy

0 fix, dcomposer lintervalle [0 ; 1]en [0 ; 1 ] et [1 ; 1], o vient de la continuit de f en 1,de faon majorer lintgrale de 0 1 (en utilisant le fait quef est borne) et lintgrale de 1 1 (en utilisant la continui-t de f en 1).

Considrer Jn = 1

02xn1ln(1 + xn) dx, qui ressemble

In .

Dune part, calculer Jn .

Dautre part, valuer In Jn .a) Utiliser le thorme de Rolle et compter les zros du

polynme P n .

b) Utiliser la formule du cours relative P

P, lorsque P K[X]

est scind sur K .

c) Dans n

k=0

1

k un , isoler le terme dindice k = 0.

d) Dans n

k=1

1

k un , isoler le terme dindice k = 1.

a) Sassurer dabord que, pour tout n 1, un existe etun 0. Montrer : un un1 + 1 et dduire, par sommation,un u1 + (n 1) , puis dduire, successivement, que (un)n estborne, que un

C

n, o C est une constante, que un

D

n2, o

D est une constante, et enfin que un n

1

n2, par un raisonne-

ment correct sur les quivalents.

b) Remplacer un par 1

n2+ o

(1

n2

), dans lexpression de un+1 ,

puis dcaler lindice.

2.40

2.41

2.42

2.43

2.44

2.45

2.46

a) 1) On a :

x X, m( f + g) f (x) + g(x) f (x) + M(g) ,do, en passant la borne infrieure lorsque x dcrit X :

m( f + g) m( f ) + M(g) . Puisque f et g sont bornes, on a, en appliquant le r-sultat prcdent ( f,g) la place de ( f,g) :

m( f g) m( f ) + M(g) .Mais :

m( f g) = InfX

( f g) = SupX

( f + g)

= M( f + g)et m( f ) = M( f ), M(g) = m(g),do : M( f + g) M( f ) m(g),cest--dire : M( f ) + m(g) M( f + g).2) Puisque f et g ont des rles symtriques, on a aussi, en chan-geant f et g dans les rsultats prcdents :

m( f + g) m(g) + M( f )et M(g) + m( f ) M( f + g),do les encadrements demands :{

m( f + g) m( f ) + M(g) M( f + g)m( f + g) M( f ) + m(g) M( f + g).

b) En additionnant, puis en divisant par 2, on obtient :

m( f + g) ( f ) + (g) M( f + g) .

1) Soit f convenant.

On a alors, en appliquant lhypothse (x ey, y) :(x,y) R2, f (x) = f ((x ey) + ey) = (x ey) + e f (y) .En particulier, en remplaant y par 0 :

x R, f (x) = x 1 + e f (0) .Il existe donc a R tel que : x R, f (x) = x + a. On a, alors, pour tout y R , en appliquant lhypothse (0,y) : f (0 + ey) = 0 + e f (y),cest--dire : ey + a = ey+a,do : ey(ea 1) = a.En appliquant ceci deux valeurs de y, diffrentes entre elles,par exemple y = 0, y = 1, on dduit a = 0, et donc :

x R, f (x) = x .

2) Rciproquement, il est vident que lapplication

f : R R, x x convient.On conclut quil y a une solution et une seule, f = IdR .

1) Soit f convenant.

En appliquant lhypothse (x,x), on obtient :

x R, f (x) = f (3x) .En reportant dans lhypothse, on a alors :

(x,y) R2, f (y) = f(

x + y2

).

En appliquant ceci (2t,0), on a :

t R, f (0) = f (t) ,donc f est constante.

2) Rciproquement, il est vident que toute application constanteconvient.

On conclut que lensemble S des applications cherches est :S = { f : R R, x C ; C R}.

a) Daprs le cours, f : x Arctan x est de classe C

sur R et on a : x R, f (x) = 1x2 + 1 .

En utilisant une dcomposition en lments simples, on obtient,en passant par les nombres complexes :

x R, f (x) = i2

(1

x + i 1

x i)

.

Do, par une rcurrence immdiate, pour tout n N :

f (n)(x) = i2(1)n1(n 1)!

(1

(x + i)n 1

(x i)n)

.

b) Soit n N fix tel que n 2. On a, pour tout x R :

f (n)(x) = 0 1(x + i)n

1

(x i)n = 0

(

x ix + i

)n= 1 .

En notant, pour tout k {0,. . . ,n 1}, k = 2kn

, et k = ei k,on a : (

x ix + i

)n= 1

k {0,. . . ,n 1}, x ix + i = k

39

Corrigs des exercices

2.1

2.2

2.3

2.4

k {0,. . . ,n 1}, x i = k x + ik k {0,. . . ,n 1}, (1 k)x = i (1 + k)

k {1,. . . ,n 1}, x = i 1 + k1 k .

Et :

i1 + k1 k = i

1 + ei k1 ei k = i

eik2 2 cos k2

ei k2 2 i sin k2= cotan k

2.

On conclut que, pour tout n N tel que n 2, lensemble Sndes solutions de lquation f (n)(x) = 0, dinconnue x R ,est :

Sn ={

cotan kn

; k {1,. . . ,n 1}}

.

Commenons par transformer lquation propose en uneinquation quivalente et plus commode :

x [0 ;+[, ex (

e x

2

)2

x [0 ;+[, 4ex2 x2

x ]0 ;+[, 2 ln 2 + (x 2) 2 ln x,le cas x = 0 tant dtude immdiate.Considrons lapplication

f : ]0 ;+[ R, x f (x) = 2 ln 2 + x 2 2 ln x .Il est clair que f est drivable sur ]0 ;+[ et :

x ]0 ;+[, f (x) = 1 2x

= x 2x

.

On en dduit les variations de f :

x 0 2 +f (x) 0 +

f (x) + 0 +

Comme f (2) = 0 , on obtient : x ]0 ;+[, f (x) 0 ,

ce qui tablit lingalit demande.

Puisquil sagit de trouver une application proche dex x et de x x2, on peut essayer leur moyenne arith-mtique, f : x 1

2(x + x2). On a alors :

10

(f (x) x

)2dx =

10

(x + x2

2 x

)2dx

= 1

0

(x x2

2

)2dx = 1

4

10

(x2 2x3 + x4) dx

= 14

[x3

3 2 x

4

4+ x

5

5

]10

= 14

(1

3 1

2+ 1

5

)

= 1120

102

et 10

(f (x) x2

)2dx =

10

(x + x2

2 x2

)2dx

= 1

0

(x x2

2

)2dx

= 1120

102.

Ainsi, f : [0 ; 1] R, x x + x2

2, convient.

Soit ]0 ;+[ fix.Effectuons une intgration par parties, pour des applicationsde classe C1 sur [a ; b] :

ba

f (x) eix dx

=[

f (x)eix

i

]ba

b

af (x)

eix

idx

= f (b)e

ib f (a)eiai

1i

ba

f (x)eix dx

| f (b)| + | f (a)|

+ 1

ba

jean-marie monier...

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