Sadržaj

1 ISTORIJAT TRIGONOMETRIJE.............................................................................................2

2 UOPŠTENJE POJMA UGLA.....................................................................................................3

2.1 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE PROIZVOLJNOG UGLA...........................................4

2.2 KOSINUS I SINUS PROIZVOLJNOG UGLA DEFINICIJA...............................................5

2.3 KONSTRUKCIJA UGLA CIJI JE KOSINUS (SINUS) DAT................................................6

2.4 IZRACUNAVANJE KOSINUSA I SINUSA PROIZVOLJNOG UGLA SVODJENJE NA I

KVADRANT..................................................................................................................................... 7

3 PERIODICNOST KOSINUSA I SINUSA..................................................................................9

4 TANGENS I KOTANGENS PROIZVOLJNOG UGLA............................................................9

5 IZRACUNAVANJE TANGENSA I KOTANGENSA PROIZVOLJNOG UGLA,

SVODJENJE NA I KVADRANT,PERIODICNOST........................................................................11

6 NEKI OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI.......................................................12

7 TOK TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA...........................................................................13

8 ADICIONE FORMULE............................................................................................................ 14

9 LITERATURA............................................................................................................................ 17

1

1 ISTORIJAT TRIGONOMETRIJE

Trigonometrija je nauka o trouglu.Grcki trigonos-trougao i metrou-mera.

Trigonometrija je najpre imala za cilj izracunavanje vrednosti svih elemenata jednog

trougla(visina,tezisnih linija,simetrala,poluprecnika upisanog i opisanog

kruga,povrsine,uglova)pomocu podataka,-obicno uglova i stranica,-dovoljnih za

odredjivanje trougla.

Njen prvobitni cilj je danas prevazidjen i primena trigonometrije na osnovu

izracunavanja trigonometrijskih funkcija,van svakog posmatranja trougla,ucinila je od

trigonometrije znacajnu oblast matematike.Jedinice za merenje ugla su stepen (°) i

radijan (rad).Stepenom se mogu meriti uglovi i lukovi. Mera kruznog luka je mera

centralnog ugla koji odgovara tom kruznom luku. Centralni ugao mozemo meriti

duzinom kruznog luka AoBo ciji je polu precnik jednak 1.

Jedinica mere je luk cija je duzina jednaka 1 tj. jednaka poluprecniku.Taj kruzni luk

zove se radijan.Ugao koji odgovara uglu jednog radijana ima isti naziv.

2 rad=1 pun ugao (O=2rO=2 za r=1)

=180,=

:=:180

=180

=180

=180 =180

1 rad =360257,29578571744,8

1=2360 rad0,01745 rad

Ukoliko je mera ugla data u radijanima,uobicajeno je da se pored mernog broja ne

stavlja nikakva oznaka za jedinicu.

2

2 UOPŠTENJE POJMA UGLA

Uocimo jednu promenjljivu polupravu koja moze da se obrce oko svoje pocetne tacke

O.Pri obrtanju razlikujemo dva smera: pozitivan i negativan (smer kazaljke na

satu).Obelezimo sa a pocetni i sa b zavrsni polozaj poluprave nakon obrtanja oko tacke

O ujednom ili drugom smeru.<ab zovemo orijentisani ugao (pozitivan ili

negativan).Meri orijentisanog ugla pridruzuje se znak + ili (za pozitivan tj. negativan

ugao).Pri obelezavanju krakova orijentisanog ugla je znacajan poredak zapisivanja.

Tako je <ab=ba

Za svaki orijentisani ugao postoji ,0 2 takav da je =+2k za neki ceo

broj k=0,1,2,...

Ima neograniceno mnogo uglova koji imaju jedan te isti osnovni ugao .

Uvodjenjem pojma orijentisanog ugla i radijanske mere dobijamo jednu obostrano

jednoznacnu korespondenciju izmedju skupa realnih brojeva i skupa svih orijentisanih

uglova.Svakom realnom broju pridruzuje se orijentisan ugao cija je radijanska mera

jednaka tom broju.

Pod uglom izmedju dva vektora podrazumevamo sledece.Ako vektori imaju zajednicki

pocetak,onda je to ugao izmedju poluprava koje one odredjuju,u protivnom to je ugao

izmedju vektora a1 i b1 koji imaju zajednicku pocetnu tacku i pri tome je a1=a i

b1=b.Neorjentisani ugao izmedju vektora a i b oznacavamo sa <ab,a orijentisan sa

<(a,b).

3

2.1 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE PROIZVOLJNOG UGLA

Trigonometrijski krug je krug poluprecnika 1 ciji je centar u koordinantnom

pocetku.Tacka A(1,0) zove se pocetna tacka.Na trigonometrijskom krugu posmatracemo

razlicite lukove koji svi pocinju u tacki A.Sa oznacimo meru ugla.Na ovaj nacin

realnim brojevima vecim od 2 i realnim brojevima manjim od 2 odgovaraju lukovi

veci od punog kruga.

Ako je AM orijentisan luk,onda njemu odgovara orijentisan ugao a koji obrazuju vektori

OA i OM.Obrnuto: svakom orijentisanom uglu <(OA,OM) odgovara orijentisan luk AM

na trigonometrijskom krugu.Mera luka AM jednaka je radijanskoj meri ugla

<(OA,OM).Vektor OM zove se radijus vektor ugla.

za orijentisan ugao =<(OA,OM) kazemo da je iz:

I kvadranta za 02

II kvadranta za

III kvadranta za

IV kvadranta za

Uglovi 0,/2,,3/2 su granicni i uzima se da nisu ni u jednom kvadrantu.U slucaju da

je ugao veci od 2 ili da je negativan,njegov polozaj odredjen je polozajem osnovnog

ugla.

4

2.2 KOSINUS I SINUS PROIZVOLJNOG UGLA DEFINICIJA

Za pravougli trougao ABC :

naspamna kateta

sin =

hipotenuza

nalegla kateta

cos =

hipotenuza

naspramna kateta

tg =

nalegla kateta

nalegla kateta

ctg =

naspramna kateta

Neka je =<(OA,OM) proizvoljan orijentisan ugao kojem odgovara orijentisan luk

AM.Ako su (Xo,Yo) koordinate tacke M,tada se kosinus i sinus ugla a definisu kao

COS = Xo

SIN =Yo

COS /2=0,SIN /2=1

COS =-1,SIN =0

5

COS 3/2=0,SIN 3/2=-1

COS (-/4)=2/2,SIN (-/4)=-2/2

Iz definicije sledi da je COS pozitivan ako je u I i IV kvadrantu,a negativan ako je

u II i III kvadrantu.Slicno je SIN pozitivan za u I i II kvadrantu i negativan za u

III i IV kvadrantu.

2.3 KONSTRUKCIJA UGLA CIJI JE KOSINUS (SINUS) DAT

Uocimo najpre da iz definicije kosinusa i sinusa sledi cos i sin

za svaki ugao .Stoga za m>1 i m<-1 ne postoji ugao ciji je kosinus ,odnosno

sinus,jednak m.Zato ostaje slucaj m

Za uglove i vazi +=2.Radijus vektoru OM odgovara beskonacno mnogo

orijentisanih uglova i svi oni imaju kosinus jednak m.Ti uglovi su oblika +2k,gde je

6

k=0, 1, 2,...Islicno radijus vektoru OM',odgovara beskonacna klasa uglova

+2k (k= 0, 1, 2,...) za koji vazi COS (+2k)=m.

2.4 IZRACUNAVANJE KOSINUSA I SINUSA PROIZVOLJNOG

UGLA SVODJENJE NA I KVADRANT

II KVADRANT.Neka je =<(OA,OM) ugao II kvadranta i neka su (Xo,Yo) koordinate

tacke M(Xo<0,Yo>0).Obelezimo sa M' tacku simetricnu tacki M u odnosu na Y-osu.

Tacka M' pripada I kvadrantu i njene koordinate su (-Xo,Yo). Ako sa a obelezimo ugao

<(OM,OA),tada je zbog simetrije <(OA,OM)=. otuda je

COS =Xo=-(-Xo)=-COS

SIN =Yo=SIN

S obzirom da je =,dobijamo formulu

COS ()=COS

SIN ()= SIN

za svaki ugao ,0/2.

III KVADRANT.Neka su M i M tacke simetricne u odnosu na koordinantni pocetak

O.Tacka M lezi u III kvadrantu,a tacka M u I kvadrantu.Ako sa oznacimo ugao

<(OA,OM), tada zbog simetrije ugao (OA,OM)=.Stoga je

7

COS =Xo=(Xo)=COS

SIN =Yo=(Yo)=SIN

Kako je = sledi formula

COS ()=COS

SIN ()=SIN za svaki ,0.

IV KVADRANT.Neka su M (Xo,Yo) i M (Xo,Yo) simetricne u odnosu na X-

osu.Ako sa obelezimo ugao <(OM,OA) tada je zbog simetrije<(OA,OM)=.

Iz toga sledi

COS =Xo=COS

SIN =Yo=(Yo)=SIN

Kako je =2 sledi formula

COS (2)=COS

SIN (2)=SIN za svaki ugao ,0

8

NEGATIVNI UGAO.Ako su (Xo,Yo) koordinate tacke M i (Xo,Yo) koordinate tacke

M.Zbog simetrije je =<(OA,OM)=<(OA,OM),odakle sledi formula

COS ()=COS

SIN ()=SIN za svaki ugao .

3 PERIODICNOST KOSINUSA I SINUSA

TEOREMA 1.

Osnovni peiod funkcija cos x i sin x je T=2

Dokaz. Kako uglovima x i x odgovara isti polozaj radijus vektora OM,to je

ocigledno cosxcos x ya svaki ugao x.

To znaci da je period od cos x. pokazimo da je to i osnovni period.Za to je dovoljno

da se pokaze da za svako T,0 postoji bar jedan ugao Xo,takav da je COS

(Xo+T)COS Xo.Konkretno mozemo uzeti da je Xo=0.Tada je COS 0=1 i COS

(0+T)=COS T za 0 T.Prema tome,T nije peiod od COS X.Za SIN X dokaz je

slican.Za Xo se moze uzeti .

Teorema 1.omogucava da se kosinus i sinus ugla cija je apsolutna vrednost veca od

svedu na kosinus i sinus odgovarajuceg ugla iz intervala 0,2),odnosno intrvala (.

4 TANGENS I KOTANGENS PROIZVOLJNOG UGLA

Tangens i kotangens proizvoljnog ugla definisu se preko formula

tg =sin cos (cos 0)

ctg =cos sin (sin 0)

Iz ove definicije sledi da je tg definisan za k,a ctg za k (k=0,

).Takodje iz definicije sledi :

tg=1ctg (ctg0)9

ctg=1tg (tg0)

Na osnovu znaka cos i sin i definicije tangensa i kotangensa dobijamo semu za znak

tg i ctg.

Vrednost tg za proizvoljan ugao iz domena tangensa moze se geometrijski

interpretirati na sledeci nacin.Uocimo pravu x=1.Ta prava zove se tangensna osa.Ako je

ON radijus vektor ugla ,k (k=0, , ) obelezimo sa N tacku preseka

prave OM i tangensne ose.Neka su (1,Yo) koordinate tacke N.

tg=Yo

Ponasanje funkcije tgx kada argument x tezi uglu ili .

tgx+ kad x i x,

tgx kad x i x.

Geometrijska interpretacija kotangensa je sledeca.Prava y=1 zove se kotangensna

osa.Obelezimo sa L presecnu tacku prave OM i kotangensne ose.Ako su (Xo,1)

koordinate tacke L,tada je ctg=Xo.

10

za kctga za kctg .

5 IZRACUNAVANJE TANGENSA I KOTANGENSA

PROIZVOLJNOG UGLA, SVODJENJE NA I

KVADRANT,PERIODICNOST

II KVADRANT.Neka je =

tg=sin ()cos ()=sin cos =tg ,

ctg =1tg =tg =ctg

Otuda imamo formule :

tg ()=tg , ctg ()=ctg

III KVADRANT.Neka je =

tg =sin ()cos ()=sin cos =tg

ctg =1tg =1tg =ctg ,

odnosno

tg ()=tg , ctg ()=ctg

IV KVADRANT.Neka je =

tg =sin ()cos ()=sin cos =tg ,

ctg =1tg =tg =ctg ,

odnosno

11

tg ()=tg , ctg ()=ctg .

NEGATIVNI UGAO. Za svaki ugao iz domena funkcija :

tg ()=tg ctg ()=ctg

TEOREMA 2.

Osnovni period funkcija tgx i ctgx je T=

Dokaz. Iz definicije tangensa lako se vidi da je tg (x+)=tg x za svaki ugao x iz domena

funkcije.Pokazimo da za svskoT,0 T,postoji ugao Xo,takav da je tg (Xo+T) tg

Xo.U tu svrhu uzimamo Xo=0.Tada je tg 0=0,a tg T 0 za 0 T Prema tome tg

0tg (0+T) sto znaci da je najmanji pozitivan period,tj.osnovni period funkcije tg

x.Za ctg x dokaz je slican.

6 NEKI OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI

Neka je M(Xo,Yo) proizvoljna tacka trigonometrijskog kruga,njene koordinate

zadovoljavaju jednacinu x²+y²=1 tj. Xo²+Yo²=1.

Kako je Xo=COS i Yo=SIN,gde je =<(OA,OM),iz gornje jednakosti sledi

COS²+SIN ²=1 za svaki ugao .Na taj nacin dobijamo tabelu

COS SIN TG CTG

COS √ 1sin² tg² ctgctg²

SIN cos² tgtg² ctg²

TG cos² cos sinsin² ctg

CTG coscos² sin²sin tg

7 TOK TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

12

SINUSNA FUNKCIJA definisana je za sve vrednosti ugla x .Ispitacemo njen tok u

intervalu ,pustivsi da krajnja tacka M luka AM obidje potpuno

trigonometrijski krug i prateci pomeranje njene projekcije Q na osi Y.

X 0

SIN X 0 1 0 0

U ovm intervalu grafik mozemo konstruisati tacku po tacku.Kako je ova funkcija

periodicna s periodom ,njen grafik za sve vrednosti x dobice se translacijama

predhodnog grafika za paralelno osi X.

KOSINUSNA FUNKCIJA.Slicno kao kod sinusne,prateci projekciju tacke M na osi X

dobijamo sledecu tablicu :

X 0

COS X 1 0

TANGENSNA FUNKCIJA.Ova funkcija je definisana za sve realne vrednosti x,izuzev

za vrednosti oblika +k.Njen period je .Izpitacemo je u intervalu duzine u kome

je ona definisana ().U okolini vrednosti i ,tg x je

beskonacan .Za tg x je pozitivan, a za negativan .Dobija se jedna grana

krive cije su asimptote prave X= i X=

13

KONTANGENSNA FUNKCIJA.Slicno je Y=CTG X opadajuca u celom intervalu u

kome je definisana..Prava X=k su asimptote

8 ADICIONE FORMULE

TIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE ZBIRA a+b :

SIN (a+b)=sin a cos b+sin b cos a

COS (a+b)=cos a cos b sin b sin a

TG (a+b)= (tg a+tg b)(1tg a tg b)

14

CTG (a+b)=(ctg a ctg b 1)(ctg b+ctga)

Trigonometrijske funkcije razlike a b :

SIN (a b)=sin a cos b sin b cos a

COS (a b)=cos a cos b + sin a sin b

TG (a b)=(tg a tg b)(1+tg a tg b)

CTG (a b)=(ctg a ctg b +1)(ctg b ctg a)

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla se dobijaju iz trigonometrijskih funkcija

zbira a+b ako se umesto b stavi a.

Trigonometrijske funkcije polovine ugla a :

SIN (a)=(1cos a)

COS (a2)=(1+cos a)

TG (a)=(1cos a) (1+cos a)

CTG (a2)=(1+cos a)( 1cos a)

Formule za zbir dva sinusa,kosinusa i tangensa :

SIN p+SIN q=2sin (p+q)cos(pq)

SIN pSIN q=2sin (pq)cos(p+q)

COS p+COS q=2cos (p+q)cos (pq)

COS pCOS q=2sin (p+q)sin (pq)

TG p TG q=sin (p q)(cos p cos q)

TRANSFORMACIJA PROIZVODA U ZBIROVE

SIN a SIN b=(cos (a+b)cos (ab))15

COS a COS b=(cos (a+b)+cos (ab))

SIN a COS b=(sin (a+b)+sin (ab))

COS a SIN b=(sin (a+b)sin (ab))

TEOREMA 3.SINUSNA TEOREMA.Duzine stranica svakog trougla proporcionalne

su sinusima naspramnih uglova.

asin=bsin=csin

TEOREMA 4.Odnos duzina stranica i sinusa naspramnog ugla je konstantan i jedanak

duzini precnika kruznice opisane oko trougla.

asin=bsin=csin=2R

TEOREMA 5.KOSINUSNA TEOREMA.Kvadrat jedne stranice trougla jednak je

zbiru kvadrata druge dve stranice umanjen za dvostruki proizvod tih stranica i kosinusa

njima zahvacenog ugla.

npr:

c²=a²+b²2ab cos

16

9 LITERATURA

1. Opsta enciklopedija "LAROUSSE"

2. Matematika za II razred srednje skole, G. Vojvodic,V. Petrovic,R. Despotovic,B.

Seselja

17