invarijante i matematička indukcija (pdf)

18
Logiˇ cko zakljuˇ civanje Invarijante Matematiˇ cka indukcija Literatura Logi ˇ cko rasu ¯ divanje u nastavi matematike Invarijante i matematiˇ cka indukcija Matija Baši ´ c Me ¯ dužupanijski struˇ cni skup nastavnika matematike 9. i 10. srpnja 2013.

Upload: dothien

Post on 07-Feb-2017

261 views

Category:

Documents


13 download

TRANSCRIPT

Page 1: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Logicko rasudivanje u nastavimatematike

Invarijante i matematicka indukcija

Matija Bašic

Medužupanijski strucni skup nastavnika matematike9. i 10. srpnja 2013.

Page 2: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Rasudivanje u nastavi matematike

Motivacija ucenika: intrinzicni interes, primjena,natjecanje, ocjena.

Diferencijacija ucenika: prepoznavanjeispodprosjecnih i iznadprosjecnih, individualiziranipristup.

Ciljevi logicko-kombinatornih zadataka: diskusija,poticanje na sudjelovanje, podizanje interesa zamatematiku, razvoj kritickog pristupa, podizanjesamopouzdanja, uvod u kompliciranije teme(vjerojatnost, kombinatorika, teorija skupova...)

Page 3: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Wasonov problem

Na stolu se nalaze cetiri karte na kojima redom piše

A,B,4,7.

Na svakoj karti se s jedne strane nalazi broj, a sdruge slovo. Koje karte moramo okrenuti kako bismoprovjerili je li sljedeca izjava pogrešna?

Ako karta ima samoglasnik s jedne strane, onda imaparan broj s druge strane.

Page 4: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Vezice i pokretna traka

U zrakoplovnoj luci želimo stici s jednog na drugi krajterminala. Na nekim dijelovima tog puta koristimopokretne trake po kojima možemo hodati. Na pocetkuputa primjetimo da nam je odvezana vezica na cipeli.

Ako želimo što prije stici, je li bitno hocemo li vezicuzavezati na pokretnoj traci ili izvan nje?

Page 5: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Teme iz kombinatorike

Logicko-kombinatorni zadaciInvarijanteMatematicka indukcijaPrincip ekstrema (kombinatorna geometrija)Dirichletov principDvostruko prebrojavanjeIgre i algoritmi

Strategije i aspekti rješavanja problema:analiza malih slucajeva, metoda pokušaja i pogrešaka,generalizacija, analogija, testiranje hipoteze, uocavanjesimetrije, lateralno razmišljanje, redukcija (podijeli pavladaj, svodenje na poznato).

Page 6: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Invarijante

Kontekst: opisane su transformacije po kojimaprelazimo iz jednog stanja u drugoInvarijanta: velicina koja se ne mijenja pritransformacijiZakljucak: nemoguce je doci iz pocetnog stanja uneko opisano stanje

Page 7: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Invarijante

Na nekom otoku se nalazi 13 žutih, 15 plavih i 17crvenih kameleona. Kad se dva kameleona razliciteboje sretnu oni istovremeno promjene boju u trecu.Je li moguce da nakon nekog vremena svi kameleonibudu iste boje?

Page 8: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Invarijante

Na ploci su zapisani neki cijeli brojevi. U svakomkoraku odabiremo brojeve a i b koji se nalaze naploci, obrišemo ih i umjesto njih zapišemo brojeve3a − b i 13a − 3b.

Ako su na pocetku dani brojevi 1,2, . . . ,2011,2012,mogu li se nakon konacnog broja koraka na plocinalaziti brojevi 2,4,6, . . . ,4022,4024?

(Državno 2012.)

Page 9: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Invarijante

Dana je 10 × 10 pravokutna parcela zemljištapodijeljena na 100 jedinicnih parcela. Neke sujedinicne parcele zarasle u korov. Ukoliko nekajedinicna parcela ima barem dvije susjedne koje suzarasle u korov, onda i ona zaraste u korov.

Koliki je najmanji broj jedinicnih parcela zaraslih ukorov takvih da postoji polazno stanje nakon kojeg sevišekratnom primjenom gornjeg pravila može dogoditida cijela parcela zaraste u korov?

(Državno 2008.)

Page 10: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Invarijante

Dokažite da se pravokutna ploca dimenzija 5 × 7 nemože prekriti s nekoliko slojeva manjih ploca oblikakao na slici tako da svako polje velike ploce budepokriveno jednakim brojem manjih ploca.

Page 11: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Matematicka indukcija

Analogija s dominamaTipicne pogreške u provedbi koraka indukcijeKontraprimjer - svi ljudi imaju istu boju kosu.

Page 12: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Matematicka indukcija

Dokažite da plocu 2n × 2n bez jednog kvadratica1 × 1 možemo poplociti s oblicima kao na slici?

Page 13: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Matematicka indukcija

Ravnina je podijeljena pravcima u opcem položaju napodrucja. Dokažite da podrucja možemo obojati udvije boje (crnu i bijelu) tako da nikoja dva susjednapodrucja nisu iste boje.

Page 14: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Matematicka indukcija

Dokažite da brojeve 1,2,3, ...,20132013 možemoporedati u niz tako da se za nikoja dva broja njihovprosjek ne nalazi izmedu njih.

Page 15: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Matematicka indukcija

Formula vozi po kružnoj stazi. Uz stazu se nalazebenzinske stanice koje sve zajedno sadrže tocnoonoliko benzina koliko je potrebno da formula obidestazu. Pokažite da postoji mjesto na stazi s kojegformula može krenuti da obide cijelu stazu.

Page 16: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Matematicka indukcija

Dokažite da svako stablo (povezan graf bez ciklusa)ima barem jedan list (vrh stupnja 1).

Page 17: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Literatura

Izvori zadataka:Andreescu T., Savchev S.: Mathematical Miniatures,Anneli Lax New Mathematical Library (2003)Engel, A.: Problem Solving Strategies, Springer,1997Larson, L.C.: Problem-Solving Through Problems,Springer (1983)Zeitz, P.: The Art and Craft of Problem Solving,Wiley& Sons (2006)Domaca natjecanja: public.carnet.hr/mat-natj/IMO: http://www.imo-official.org/www.artofproblemsolving.com/Forum (mathlinks.ro)www.skoljka.org

Page 18: Invarijante i matematička indukcija (pdf)

Logicko zakljucivanje Invarijante Matematicka indukcija Literatura

Hvala na pažnji!

Kontakt: [email protected]://web.math.pmf.unizg.hr/∼mbasic/competitions.htm