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76
Introduction au logiciel MSC-NASTRAN Intro. NASTRAN NASTRAN Structure Ex. TP1 Conventions Déf. Noeuds Poutres Rigid. Torsion Tresca 1 / 76

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Page 1: Introduction au logiciel MSC-NASTRAN · NASTRAN en bref Intro. NASTRAN ⊲ NASTRAN Structure Ex. TP1 Conventions Déf. Noeuds Poutres Rigid. Torsion Tresca 2 / 76 Caractéristiques

Introduction au logiciel MSC-NASTRAN

⊲Intro.

NASTRAN

NASTRAN

Structure

Ex. TP1

Conventions

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

1 / 76

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NASTRAN en bref

Intro. NASTRAN

⊲ NASTRAN

Structure

Ex. TP1

Conventions

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

2 / 76

Caractéristiques

→ NASA STRuctural ANalysis→ Développé dans les années 60, commercialisé en 1969→ Programme le plus utilisé dans l’industrie aéronautique→ Pas d’interface graphique

– La géométrie est générée à la main– Le modèle éléments finis est en fait un fichier texte avec des

commandes comprises par le programme– Peut être vu comme un langage de programmation très

évolué

→ Il existe un pré-processeur très puissant: PATRAN

– Permet de créer la géométrie avec une interface graphiquecomme un programme de CAD (mais en moins évolué)

– Permet d’importer directement des fichiers de CATIA,ProEngineer, IGES

– Peut être automatisé

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Structure du fichier de données

Intro. NASTRAN

NASTRAN

⊲ Structure

Ex. TP1

Conventions

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

3 / 76

Le fichier comprend trois parties obligatoires:

1. Executive Control Section

→ Détermine le type d’analyse conduite (statique, dynamique,etc.) (obligatoire)

→ Identification du calcul en cours (optionnel)→ Limite de temps alloué pour le calcul (optionnel)→ Section se termine par la commande CEND

2. Case Control Section

→ Détermine le type de résultats voulus (forces, contraintes,etc.)

→ Permet de créer des cas de chargement et de spécifierquelles conditions limites et chargements sont actifs

→ Toujours entre la Executive Control Section et la Bulk DataSection

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Structure du fichier de données – suite

Intro. NASTRAN

NASTRAN

⊲ Structure

Ex. TP1

Conventions

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

4 / 76

3. Bulk Data Section Section

→ Commence par BEGIN BULK et se termine par ENDDATA(obligatoire)

→ Contient la définition de tout le modèle

– Les noeuds– Les éléments– Les propriétés des éléments– Les chargements– Les conditions limites

→ Les commandes peuvent être entrées dans n’importe quelordre

→ La partie la plus volumineuse du fichier de commande

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Exemple du fichier de données du TP1

Intro. NASTRAN

NASTRAN

Structure

⊲ Ex. TP1

Conventions

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

5 / 76

Executive Control Section

ID TP1NAS, ELFINI

SOL 101

TIME 1

CEND

Explications

→ La commande ID donne un nom au calcul, qui est, dans cecas-ci TP1NAS ELFINI

→ La commande SOL indique quel type d’analyse on utilisera. Lavaleur 101 correspond à une analyse statique

→ La commande TIME indique, en minutes, le temps de calculmaximal permis

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Exemple du fichier de données du TP1 - suite

Intro. NASTRAN

NASTRAN

Structure

⊲ Ex. TP1

Conventions

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

6 / 76

Case Control Section

$

TITLE Cours MEC3400 T.P. no. 1 - Bouclier anti-radiation

SUBTITLE Modèle "A" Structure originale, Hiver 2009

$

SPC = 100

LOAD = 200

$

OLOAD = ALL

SPCFORCE = ALL

DISPLACEMENT = ALL

ELFORCE = ALL

STRESS = ALL

Explications

→ Les commandes TITLE et SUBTITLE donnent un titre auxquantités qui apparaîtront au fichier des résultats

→ Les commandes SPC et LOAD indiquent que l’on utiliseral’ensemble de conditions limites 100 et le chargement 200

→ Les autres commandes listent les résultats qui seront imprimésdans le fichier des résultats

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Exemple du fichier de données du TP1 - suite

Intro. NASTRAN

NASTRAN

Structure

⊲ Ex. TP1

Conventions

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

7 / 76

Bulk Data Section

BEGIN BULK

.

.

.

ENDDATA

Explications

→ Toutes les commandes qui sont ici définissent le modèle

Ce sont ces commandes que l’on expliquera dans la suite du cours.

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Une convention de NASTRAN

Intro. NASTRAN

NASTRAN

Structure

Ex. TP1

⊲ Conventions

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

8 / 76

NASTRAN (et presque tous les codes d’éléments finis) utilise desentiers pour nommer les forces et les degrés de liberté.

On aura par exemple, pour les déplacements:

Tx Ty Tz Rx Ry Rz

1 2 3 4 5 6

où T est une translation et R une rotation.

Donc, dans NATRAN, si on veut parler des translations selon x et zet de la rotation en y, on écrira: 135

Pour les forces, on aura de la même manière:

Fx Fy Fz Mx My Mz

1 2 3 4 5 6

où F est une force et M un moment.

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Définition des noeuds dans NASTRAN

Intro. NASTRAN

⊲ Déf. Noeuds

Comm. GRID

Ex. TP1

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

9 / 76

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Définition des noeuds avec la commande GRID

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

⊲ Comm. GRID

Ex. TP1

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

10 / 76

Les noeuds sont définis à l’aide de la commande GRID:

GRID, ID, CP, X1, X2, X3, CD, PSPC, SEID

ID Le numéro du noeudCP Numéro du système de coordonnées utilisé pour placer le

noeudX Coordonnées du noeud dans le système CP selon ses axes

1− 2− 3CD Numéro du système de coordonnées dans lequel les degrés de

liberté et les chargements sont exprimésPSPC Degrés de liberté qui sont fixés à zéroSEID Commande avancée, pas utilisée dans ce cours

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Exemple tiré du TP1

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Comm. GRID

⊲ Ex. TP1

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

11 / 76

On a par exemple:

GRID , 11, , 0.0, -480.0, 0.0, , 126,

GRID, ID, CP, X1, X2, X3, CD, PSPC, SEID

→ Définit le noeud 11→ Utilise le repère global pour positionner le noeud (le champ CP

est vide)→ Le noeud est placé aux coordonnées (0.0,−480.0, 0.0)

– Remarquer que les coordonnées sont entrées dans le systèmed’unité fixé par l’utilisateur.

– On rappelle que l’utilisateur ne transmet pas au codel’information concernant le système d’unités utilisé.

→ Les degrés de liberté sont exprimés dans le repère global (lechamp CD est vide)

→ Les degrés de liberté 126 (Tx, Ty et Rz) sont bloqués

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Exemple tiré du TP1 - suite

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Comm. GRID

⊲ Ex. TP1

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

12 / 76

On bloque les degrés de liberté 126 car on ne s’intéresse qu’à laflexion de la structure (flèche selon z uniquement)

11

12

13

14

20 40 41 42 43

21 30 31 32 33

22

23 24 25 26 27

4443424140

3433323115

26252423

22

21

1

2

3

CL

Plan de

Symétrie

0 2000 3152 4304 5402 6500

0

480

915

16 50 51

Figure 1: Modèle éléments finis du bouclier anti-radiation du TP1.

Ceci a aussi pour conséquence de diminuer le nombre d’inconnuesdans le problème (rappel de l’exemple du cadre formé de barreaux)

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Élément fini de poutre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

⊲ Poutres

Introduction

Axes locaux

DL actifs

Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

13 / 76

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Introduction

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

⊲ Introduction

Axes locaux

DL actifs

Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

14 / 76

Qu’est-ce qu’une poutre ?

→ Structure de longueur finie→ Structure qui a une dimension très grande par rapport aux deux

autres→ Elle a une section de géométrie quelconque et qui peut être

variable le long de l’axe→ La section de la poutre est ⊥ à l’axe de la poutre→ Des propriétés sont attribuées à la section de la poutre, dans un

système d’axes qui lui est propre, qui permettent de définir lecomportement de la poutre

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Introduction

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

⊲ Introduction

Axes locaux

DL actifs

Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

15 / 76

Figure 2: Section d’une poutre en I. L’axe x sort de la figure.

On pourra définir les propriétés suivantes:

→ A : Aire de la section – utile pour les efforts de traction et detorsion

→ Iz et Iy : Seconds moments de section autour des axes locauxz et y.

→ J : La constante de torsion (second moment polaire).→ cy et cz : Distances par rapport au centroïde selon les axes z et

y – utiles pour le calcul de certaines contraintes→ etc...

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Introduction

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

⊲ Introduction

Axes locaux

DL actifs

Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

16 / 76

→ Peut reprendre des efforts de traction, de torsion et de flexion→ Ne reprend que les contraintes: σx, τxy, τxz→ En flexion, on a que:

maxσx =

MzcyIz

+

MyczIy

(1)

→ Avec toutes ces hypothèses, il est raisonnable de se représenterune poutre comme une ligne tout en sachant que certainespropriétés sont affectées à la section pour représenter lecomportement de la structure.

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Introduction

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

⊲ Introduction

Axes locaux

DL actifs

Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

17 / 76

Question:

→ Comment transmettre à l’ordinateur toutes ces informationspour qu’il puisse effectuer les calculs ?

Système dʼaxes global(attaché à la structure)

Axes locaux(attachés à la poutre)

Figure 3: Comment transmettre l’information relative à une poutreà l’ordinateur ?

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Introduction

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

⊲ Introduction

Axes locaux

DL actifs

Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

18 / 76

Système dʼaxes global(attaché à la structure)

Axes locaux(attachés à la poutre)

→ La solution retenue est d’exprimer le système d’axes local xyzdans le repère global

→ Le code effectuera par la suite lui-même les calculs pourcalculer les matrices de rotation [R] (voir exemple du cadre àbarreaux droits).

→ Donner les propriétés de la poutre dans le repère local

– L’avantage de cette technique est que si toutes les poutresdans la structure ont la même section, l’utilisateur entrel’information relative à la section qu’une seule fois.

– Il devra en revanche aider l’ordinateur à déterminerl’orientation des axes locaux.

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La définition des axes locaux

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Introduction

⊲ Axes locaux

DL actifs

Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

19 / 76

→ Chaque code possède ses conventions pour la définition desaxes locaux.

– On présente ici la convention adoptée par NASTRAN

→ On a vu que l’on peut se représenter la poutre comme une lignedans l’espace.

– De quoi avons-nous de besoin pour générer une ligne ?

⊲ De deux points, qui seront placés aux extrémités de lapoutre. Ce seront les noeuds qui seront fournis parl’utilisateur

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La définition des axes locaux

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Introduction

⊲ Axes locaux

DL actifs

Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

20 / 76

plane 1

GA

GB

Displacement CoordinateSystem

z

y

x

yelem

xelem

v

plane 2

zelem

Figure 4: Représentation des axes locaux d’une poutre selon laconvention de NASTRAN

→ L’axe local x est donné du noeud i (GA) vers le noeud j (GB)→ Ce vecteur est obtenu par soustraction des positions des noeuds

GA et GB et par une normalisation

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La définition des axes locaux

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Introduction

⊲ Axes locaux

DL actifs

Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

21 / 76

plane 1

GA

GB

Displacement CoordinateSystem

z

y

x

yelem

xelem

v

plane 2

zelem

→ Comment obtenir les axes y et z ?→ La réponse n’est pas unique...→ Avec NASTRAN, l’utilisateur fournit un vecteur ~V qui sera

compris dans le plan xy

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La définition des axes locaux

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Introduction

⊲ Axes locaux

DL actifs

Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

22 / 76

plane 1

GA

GB

Displacement CoordinateSystem

z

y

x

yelem

xelem

v

plane 2

zelem

→ L’axe z est obtenu par:

z =~x× ~V

||~x× ~V ||(2)

→ L’axe y est obtenu par:

y =~z × ~x

||~z × ~x||(3)

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La définition des axes locaux

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Introduction

⊲ Axes locaux

DL actifs

Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

23 / 76

→ Il est de bonne pratique d’avoir les axes y et z orientés de sorteque Iz > Iy

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Les degrés de liberté actifs

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Introduction

Axes locaux

⊲ DL actifs

Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

24 / 76

→ Si une poutre est soumise à des efforts de traction, torsion et deflexion, quels déplacements seront potentiellement non nuls ?

– Les translations et les rotations selon les 3 axes

→ Et pour les efforts ?

– Les forces et les moments selon les 3 axes

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La connectivité de l’élément de poutre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Introduction

Axes locaux

DL actifs

⊲ Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

25 / 76

→ Élement 1D qui a potentiellement 6 degrés de liberté actifs

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La connectivité de l’élément de poutre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Introduction

Axes locaux

DL actifs

⊲ Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

26 / 76

→ Par défaut, NASTRAN impose{

u(1)2

}

={

u(2)2

}

→ Il est possible de « libérer » certains degrés de liberté, ce quipermet d’avoir un mouvement relatif entre les deux poutres àun noeud particulier

– Par exemple, on peut avoir R(1)2z 6= R

(2)2z

– Ceci simulerait par exemple une charnière au noeud 2 quipermet la rotation relative des deux poutres autour de z

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La connectivité de l’élément de poutre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Introduction

Axes locaux

DL actifs

⊲ Connectivité

Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

27 / 76

Exemple du TP1 : deux poutres reliées par une charnière:

Figure 5: Deux poutres reliées par une charnière. Les axes illustréssur la figure sont les axes globaux de la structure.

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L’excentricité d’une poutre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Introduction

Axes locaux

DL actifs

Connectivité

⊲ Excentricité

Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

28 / 76

→ Habituellement, le centroïde de la section de la poutre passepar le noeud auquel est attachée la poutre

→ Il peut arriver que l’on veuille connecter deux poutres au mêmenoeud mais qui sont l’une par-dessus l’autre

Noeud GA

(1)

(2)

x

y

z

Maillage

Figure 6: Illustration du vecteur excentricité entre deux poutressoudées l’une par-dessus l’autre.

→ Dans ce cas, on définit un vecteur d’excentricité ~Z qui part dunoeud (GA sur la figure) vers le centroïde de la poutre

→ Il se crée un lien rigide entre les éléments (1) et (2)

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Définition des éléments de poutres dans le code NASTRAN

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Introduction

Axes locaux

DL actifs

Connectivité

Excentricité

⊲ Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

29 / 76

Les poutres dans NASTRAN sont définies à l’aide de deuxcommandes:

→ CBAR: Connecte la poutre aux noeuds et définit le systèmed’axes

→ PBAR: Donne les propriétés à la poutre (matériau, inertie, etc.)

La commande CBAR

CBAR, EID, PID, GA, GB, V1/G0, V2, V3,

, PA, PB, Z1A, Z2A, Z3A, Z1B, Z2B, Z3B

EID Le numéro de l’élémentPID Le numéro correspondant aux propriétés définies avec PBAR

GA, GB Numéros des noeuds auxquels la poutre est attachéeG0 Numéro d’un noeud servant à calculer le vecteur ~V . Dans

ce cas, ~V = G0−GA

Vi Définition de ~V dans le repère globalPA, PB Degrés de liberté relâchés aux noeuds GA et GB (rep. local)Zij Les composantes des vecteurs d’excentricité ~Z à GA et GB

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Définition des éléments de poutres dans le code NASTRAN

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Introduction

Axes locaux

DL actifs

Connectivité

Excentricité

⊲ Commandes

Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

30 / 76

La commande PBAR

PBAR, PID, MID, A, Izz, Iyy, J, NSM,

, Cy, Cz, Dy, Dz, Ey, Ez, Fy, Fz,

, Ky, Kz, Iyz

PID Le numéro associé à la propriétéMID Le numéro du matériau associé à la propriétéA Aire de la section de la poutreIzz, Iyy Moment de section par rapport aux axes locaux z et yJ Constante de torsion de la poutreNSM Masse par unité de longueur qui ne participe pas à la

rigiditéCy, etc. Coordonnées (repère local) de 4 points de la section où

sera calculée la contrainte σxKy, Kz Rapport de l’aire effective en cisaillement sur l’aire totale

de la section pour de la flexion induite par des effortstranchants selon les directions y et z locales.

Iyz Produit d’inertie de la section de la poutre

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Exemple de définition d’une poutre tirée du TP1

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Introduction

Axes locaux

DL actifs

Connectivité

Excentricité

Commandes

⊲ Exemple

Rigid. Torsion

Tresca

31 / 76

GRID , 24, , 2652.0, 3450.0, 0.0, , 126,

GRID , 25, , 3804.0, 3450.0, 0.0, , 126,

PBAR , 12, 1, 22200.0, 566.0+6, , 407.2+6, 288.5-6,

, 228.5, 0.0, -228.5, 0.0,

, 0.733,

CBAR , 24, 12, 24, 25, 0.0, 0.0, 1.0,

11

12

13

14

20 40 41 42 43

21 30 31 32 33

22

23 24 25 26 27

4443424140

3433323115

26252423

22

21

1

2

3

CL

Plan de

Symétrie

0 2000 3152 4304 5402 6500

0

480

915

16 50 51

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Méthodes pour augmenter la rigidité entorsion d’une section du bouclier

anti-radiation

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

⊲ Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

Kz et Ky

σ poutres

Tresca

32 / 76

Page 33: Introduction au logiciel MSC-NASTRAN · NASTRAN en bref Intro. NASTRAN ⊲ NASTRAN Structure Ex. TP1 Conventions Déf. Noeuds Poutres Rigid. Torsion Tresca 2 / 76 Caractéristiques

Introduction

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

⊲ Introduction

Méthodes

Kz et Ky

σ poutres

Tresca

33 / 76

→ La zone formée par les poutres (2)− (15)− (16)− (40) estparticulièrement sollicitée en torsion

→ On peut voir sur la figure que les forces appliquées sur lemodèle génèrent un couple de torsion Mx selon l’axe x sur lequadrilatère (2)− (15)− (16)− (40)

→ Pour limiter la flèche au noeud 27, il faut que cette partie aitune grande rigidité en torsion car elle va entraîner avec elle toutle reste de la structure

Figure 7: Illustration de la torsion induite dans le bouclier

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Introduction - suite

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

⊲ Introduction

Méthodes

Kz et Ky

σ poutres

Tresca

34 / 76

11

12

13

20

21

40

15

1

2

0 2000

0

480

915

16

→ Les poutres (2)− (15)− (16) sont des tubes fermés

– Constante de torsion J = 407× 106mm4

→ La poutre (40) est une poutre en I

– Constante de torsion J = 1.72× 106mm4

– Très faible par rapport aux autres poutres– Au niveau de la torsion, c’est comme si elle n’était pas

présente

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Méthodes utilisées dans le cadre du TP1

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

⊲ Méthodes

Kz et Ky

σ poutres

Tresca

35 / 76

→ Pour augmenter la rigidité en torsion de cette zone, on pourraitformer une section fermée en soudant des plaques par-dessus etpar-dessous les poutres du quadrilatère (2)− (15)− (16)− (40)

→ On pourrait aussi insérer des diagonales qui bloquent ladéformation en cisaillement de la structure

Plaque

13 12

2021

13 12

2021

Diagonales

Flux de

cisaillement

Figure 8: Deux solutions pour augmenter la rigidité en torsion: uneplaque (à gauche) et des diagonales (à droite)

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Utilisation de diagonales - suite

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

⊲ Méthodes

Kz et Ky

σ poutres

Tresca

36 / 76

Plaque

13 12

2021

13 12

2021

Diagonales

Flux de

cisaillement

Attention !

→ On va toujours avoir une diagonale qui travaille en compression→ Il faut s’assurer qu’elle ne flambe pas. Comme première

approximation, on utilisera la formule d’Euler:

Pcr =π2EImin

(KL)2(4)

où K = 12 pour une poutre encastrée-encastrée et K = 1 pour

une poutre simplement supportée aux deux extrémités. Pourêtre conservateur, on prendra K = 1

→ On doit aussi s’assurer que la limite d’écoulement n’est pasatteinte dans la poutre.

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Utilisation de diagonales - suite

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

⊲ Méthodes

Kz et Ky

σ poutres

Tresca

37 / 76

(2)

(15)

(40)

(41)

(31)

Poutres rajoutées pour augmenter

la rigidité en torsion du carré

(2)-(15)-(16)-(40)

Figure 9: Diagonales pour augmenter la rigidité en torsion

→ On devra créer des nouveaux noeuds pour installer les 4diagonales

– On n’a de besoin qu’un seul nouveau noeud pour installerles 4 diagonales

– Ceci nous forcera à diviser la poutre (15) ou la poutre (40)en deux poutres

– On devra utiliser les vecteurs d’excentricité ~Z de lacommande PBAR pour installer les diagonales

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Explications relatives aux aires effectives en cisaillement

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

⊲ Kz et Ky

σ poutres

Tresca

38 / 76

Dans une poutre soumise à un effort tranchant, il se développe descontraintes axiales mais aussi des contraintes de cisaillement dans lasection de la poutre

τxy = τyx =

VyQ

Izta

τxz = τzx =

VyQ

Izts

Figure 10: Cisaillement induit dans une poutre en flexion par uneffort tranchant. Tiré de Bazergui et al. – Résistance des

matériaux, troisième édition, p.83

Pour des poutres longues, ces contraintes de cisaillement sonthabituellement négligeables par rapport à σx. Pour des poutrescourtes, par contre, il faut en tenir compte.

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Explications relatives aux aires effectives en cisaillement

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

⊲ Kz et Ky

σ poutres

Tresca

39 / 76

→ En général, comme on vient de le voir sur la figure, lescontraintes de cisaillement τxy et τxz ne sont pas constantesdans la section de la poutre

→ Leur distribution dépend uniquement de la géométrie de lapoutre

Supposons, pour fixer les idées, que l’on a une poutre soumise enflexion par un effort tranchant Vy

Configuration finale

Configurationinitiale

Figure 11: Poutre encastrée soumise à un effort tranchant

Pour simplifier, on suppose que la géométrie de la section est telleque τxy(y, z) = cte. Par équilibre, on aura que:

τxy =Vy

A(oùA est l’aire de la section) (5)

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Explications relatives aux aires effectives en cisaillement

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

⊲ Kz et Ky

σ poutres

Tresca

40 / 76

La loi de comportement du matériau nous dit que:

γxy =τxyG

(6)

où G est, on le rappelle, le module de cisaillement.

Ceci conduira à la situation suivante:

Configuration finale

Configurationinitiale

Figure 12: Flèche d’une poutre résultante des contraintes decisaillement induites par un effort tranchant

où la flèche vs est donnée par:

vs ∼= γxyL =VyL

AG(7)

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Explications relatives aux aires effectives en cisaillement

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

⊲ Kz et Ky

σ poutres

Tresca

41 / 76

En général, τxy(y, z) 6= cte. Il faut donc utiliser des techniquesavancées pour calculer vs comme le théorème de Castigliano.

Une autre méthode plus simple, serait de calculer vs par:

vs ∼= FVyL

AG=

1

K

VyL

AG(8)

où F et K sont des facteurs de correction.

→ Ces facteurs dépendent uniquement de la géométrie de lasection de la poutre.

→ Peuvent être interprétés comme étant une correction parrapport à la situation où la section conduit à une distributionuniforme de la contrainte de cisaillement.

Le facteur K est le facteur que l’on entre dans la commande PBAR.Le facteur F sera utilisé lorsque l’on utilisera ANSYS.

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Explications relatives aux aires effectives en cisaillement

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

⊲ Kz et Ky

σ poutres

Tresca

42 / 76

→ En fait, les facteurs de correction K et F servent à calculerl’aire effective en cisaillement As que l’on a définie dans lecours de RDM II lorsque l’on a abordé le théorème deCastigliano (voir notes de cours sur le site web).

→ Le théorème de Castigliano permet de calculer la flèche vs àpartir de l’énergie de déformation Us associée aux contraintesde cisaillement induites par un effort tranchant V par:

vs =∂Us

∂V(9)

→ L’énergie de déformation associée à une contrainte decisaillement est donnée par:

Us =1

2G

L

A

τ2dAdx (10)

où G est le module de cisaillement, L la longueur de la poutre,A l’aire de la section de la poutre et x l’axe longitudinal de lapoutre.

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Explications relatives aux aires effectives en cisaillement

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

⊲ Kz et Ky

σ poutres

Tresca

43 / 76

→ On a vu que:

τ =V Q

Ib(11)

où en fait Q et b sont des fonctions de l’emplacement y ou zoù est calculée la contrainte de cisaillement.

→ Il serait intéressant d’exprimer Us à l’aide d’une contrainte decisaillement effective τm qui serait constante sur une sectioneffective As de la poutre et nulle ailleurs. On aurait alors:

Us =1

2G

L

τ2mAsdx (12)

→ Par équilibre (se faire un petit DCL), on peut facilement voirque:

τm =V

As(13)

on aura donc:

Us =1

2G

L

V 2

Asdx (14)

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Explications relatives aux aires effectives en cisaillement

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

⊲ Kz et Ky

σ poutres

Tresca

44 / 76

→ On va donc chercher la valeur de As qui permettra de calculerl’énergie de déformation (associée au cisaillement attribuable àl’effort tranchant) de la poutre en égalisant Us calculée par leséquations (10) et (14):

Us =1

2G

L

A

τ2dAdx =1

2G

L

V 2

Asdx (15)

→ On peut donc voir par inspection que:

A

τ2dA =V 2

As(16)

d’où on tire:

As =V 2

Aτ2dA

(17)

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Explications relatives aux aires effectives en cisaillement

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

⊲ Kz et Ky

σ poutres

Tresca

45 / 76

→ Si l’on se rappelle l’équation pour le calcul des contraintes decisaillement:

τ =V Q

Ib(18)

on obtient:

As =V 2

AV 2Q2

I2b2dA

=I2

AQ2

b2dA

(19)

→ On voit bien que As est une propriété de section car elle dépenddes propriétés de section de la poutre.

→ On voit aussi que vs =∂Us

∂V= V L

AsG, ce que nous avions établi

précédemment.→ Attention: Cette quantité n’est utilisée que pour calculer la

flèche induite par les déformations de cisaillement causées parl’effort tranchant. Elle ne sert pas à calculer les contraintes decisaillement.

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Explications relatives aux aires effectives en cisaillement

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

⊲ Kz et Ky

σ poutres

Tresca

46 / 76

Ces facteurs sont connus pour certaines géométries:

Semelle

Âme

Semelle

Âme

Figure 13: Quelques exemples de facteurs de correction pour lesaires effectives en cisaillement

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Les contraintes dans une poutre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

Kz et Ky

⊲ σ poutres

Tresca

47 / 76

Considérons la poutre suivante soumise à des efforts concentrés àses extrémités:

Plan 1

Plan 2

Figure 14: Poutre soumise à des efforts concentrés à ses extrémités.Attention: La convention utilisée pour les efforts n’est pas la même

qu’en résistance des matériaux (efforts positifs sur des surfacespositives).

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Les contraintes dans une poutre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

Kz et Ky

⊲ σ poutres

Tresca

48 / 76

Plan 1

Plan 2

→ La force axiale Fx entraîne une contrainte axiale σAx = Fx

A,

constante dans la section.→ Les moments M1 et M2 entraînent des contraintes axiales σF

x

– Ces contraintes sont soit en tension ou en compression auxfibres extrêmes selon les axes y ou z

– Ces contraintes sont nulles aux plans neutres de la poutre– La contrainte maximale est donnée par:

max∣

∣σFx

∣ =

M1cyIz

+

M2czIy

(20)

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Les contraintes dans une poutre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

Kz et Ky

⊲ σ poutres

Tresca

49 / 76

Plan 1

Plan 2

→ Le couple T entraîne une contrainte de cisaillement (torsion)→ Dans le cas d’un tube à paroi mince, le flux de cisaillement est

constant et circule autour de la section→ La contrainte est liée au flux de cisaillement par l’épaisseur

τxθ = q/h

Figure 15: Contrainte de torsion dans un tube à paroi mince

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Les contraintes dans une poutre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

Kz et Ky

⊲ σ poutres

Tresca

50 / 76

Pour une section fermée:

Figure 16: Contrainte de cisaillement induite par une torsion pourune section fermée. A est l’aire au périmètre moyen.

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Les contraintes dans une poutre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

Kz et Ky

⊲ σ poutres

Tresca

51 / 76

Pour une section ouverte:

Figure 17: Contrainte de cisaillement induite par une torsion pourune section ouverte. J est la constante de torsion de la section.

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Les contraintes dans une poutre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

Kz et Ky

⊲ σ poutres

Tresca

52 / 76

Plan 1

Plan 2

→ Les efforts tranchants induisent des contraintes de cisaillementdans la section de la poutre

→ Ces contraintes sont maximales aux plans neutres et nulles auxfibres extrêmes

→ Pour des poutres longues, ces contraintes sont négligeables parrapport à σx. Par contre, pour des poutres courtes, ellespeuvent être importantes.

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Les contraintes dans une poutre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

Kz et Ky

⊲ σ poutres

Tresca

53 / 76

Figure 18: Contraintes de cisaillement induites dans un tube soumisà un effort tranchant selon y. Q et Q′ sont des premiers moments

de section autour de z

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Les contraintes dans une poutre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

Kz et Ky

⊲ σ poutres

Tresca

54 / 76

Figure 19: Contraintes de cisaillement induites dans une poutre en Isoumise à un effort tranchant selon y. Q et Q′ sont des premiers

moments de section autour de z

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Les contraintes dans une poutre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Introduction

Méthodes

Kz et Ky

⊲ σ poutres

Tresca

55 / 76

Figure 20: Points potentiellement critiques et contraintes activesdans une poutre soumise à un moment de flexion Mz, un efforttranchant Vy, un couple de torsion T ainsi qu’une charge axiale

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Calcul des contraintes maximales dans leséléments de poutre selon le critère de

Tresca

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

⊲ Tresca

Dépouillement

Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

56 / 76

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Dépouillement du fichier des résultats (.f06)

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

⊲ Dépouillement

Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

57 / 76

Explication des tableaux

Tableau DISPLACEMENT VECTOR

→ Donne le déplacement à tous les noeuds→ Déplacements donnés dans le système de coordonnées CD défini

à la commande GRID

→ Les unités utilisées sont les mêmes que celles utilisées pourdéfinir les dimensions du modèle

Tableau FORCES IN SINGLE-POINT CONSTRAINT

→ Donne les réactions aux noeuds où un déplacement a étéimposé (commande SPC1)

→ Forces et moments donnés dans le système de coordonnées CDdéfini à la commande GRID

→ Les forces et moments sont donnés en unités cohérentes

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Dépouillement du fichier des résultats (.f06)

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

⊲ Dépouillement

Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

58 / 76

Tableau LOAD VECTOR

→ Donne les forces et moments aux noeuds appliqués sur lemodèle

→ Forces et moments donnés dans le système de coordonnées CDdéfini à la commande GRID

→ Les forces et moments sont donnés en unités cohérentes→ Tient compte de toutes les charges (concentrées, distribuées,

mortes, etc.)

– Les charges ponctuelles sont bien celles qui sont appliquéesavec les commandes FORCE, MOMENT, etc.

– Mais qu’en est-il pour les charges distribuées ?

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Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

⊲ Dépouillement

Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

59 / 76

Rappel

→ Pour le code de calcul, l’élément de poutre a la forme “physique ” suivante:

→ Dans l’élément de poutre, la matrice de rigidité fait le lien entreles forces et les déplacements aux noeuds de l’élément:

{

F(i)i

}

{

M(i)i

}

{

F(i)j

}

{

M(i)j

}

=[

K(i)]

{

u(i)i

}

{

θ(i)i

}

{

u(i)j

}

{

θ(i)j

}

(21)

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Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

⊲ Dépouillement

Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

60 / 76

→ Pour le code, une poutre est physiquement une structure quipeut supporter des efforts tranchants et des moments à sesextrémités uniquement

Plan 1

Plan 2

Figure 21: Notation du chargement sur une poutre dans NASTRAN

→ Comment faire alors pour simuler des charges qui sontphysiquement réparties ?

– Avec un chargement équivalent aux noeuds

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Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

⊲ Dépouillement

Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

61 / 76

Chargement équivalent

→ Il existe plusieurs techniques pour définir un chargementéquivalent

→ Une première technique serait d’affecter à un noeud une zone

d’influence et concentrer à ce noeud l’intégration de la forcedistribuée dans cette zone

Zone dʼinfluence

Figure 22: Charge équivalente obtenue par la concentration d’unecharge répartie sur une zone d’influence en un seul noeud

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Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

⊲ Dépouillement

Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

62 / 76

Chargement équivalent

→ Une autre approche consisterait à trouver un chargement auxnoeuds de l’élément qui conduise aux mêmes contraintesmaximales

Figure 23: Charge équivalente conduisant aux mêmes contraintesmaximales

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Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

⊲ Dépouillement

Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

63 / 76

Exemple TP1 (poutres MC 460 × 86)

12 20 40

21

1000

457.5

2576

PBAR11PBAR13

→ NASTRAN semble utiliser la technique de zone d’influence pourreprésenter la charge équivalente du poids des poutres

→ La zone d’influence du noeud 20 s’étend jusqu’au milieu despoutres qui y sont connectées

→ La section de la poutre associée à la PBAR 13 a une surface deA13 = 16400mm2 et la longueur de cette poutre dans la zoned’influence au noeud 20 est de L13 = 2576− 1000 = 1576mm

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Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

⊲ Dépouillement

Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

64 / 76

12 20 40

21

1000

457.5

2576

PBAR11PBAR13

→ La section de la poutre associée à la PBAR 11 a une surface deA11 = 22200mm2 et la longueur de cette poutre dans la zoned’influence au noeud 20 est de L11 = 457.5mm

→ La charge F eq20qui sera rajoutée au noeud 20 sera donc donnée

par:

F eq20 = ρ||~a|| (A13L13 +A11L11)

= 7.85× 10−9 × 9810× (16400× 1576 + 22200× 457.5)

= 2.7725× 103

→ C’est bien l’entrée que l’on retrouve dans le tableau LOAD

VECTOR

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Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

⊲ Dépouillement

Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

65 / 76

Tableau: FORCES IN BAR ELEMENTS

→ Efforts dans les éléments donnés aux noeuds des éléments

Rappel sur les conventions de NASTRAN

plane 1

GA

GB

Displacement CoordinateSystem

z

y

x

yelem

xelem

v

plane 2

zelem

1. Plan 1 ⊥ axe z local2. Plan 2 ⊥ axe y local

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Dépouillement du fichier des résultats (.f06)

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

⊲ Dépouillement

Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

66 / 76

Tableau: FORCES IN BAR ELEMENTS

Conventions de NASTRAN pour les moments et efforts tranchants

Plan 1

Plan 2

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Dépouillement du fichier des résultats (.f06)

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

⊲ Dépouillement

Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

67 / 76

Tableau: STRESSES IN BAR ELEMENTS

→ Donne les contraintes de flexion et axiales (i.e. σx) auxextrémités GA et GB de la poutre

→ Les contraintes de flexion sont données aux 4 points définisdans la commande PBAR

A1 = (C1,C2)A2 = (D1,D2)A3 = (E1,E2)A4 = (F1,F2)

(C1, C2) (F1, F2)

(E1, E2)(D1, D2)

yelem

zelem

→ On aura par exemple:

σA1x =

(

−M1bC1

Iz

)

+

(

−M2bC2

Iy

)

au noeud GB.

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Dépouillement du fichier des résultats (.f06)

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

⊲ Dépouillement

Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

68 / 76

Tableau: STRESSES IN BAR ELEMENTS

→ Donne les contraintes σx minimales et maximales auxextrémités GA et GB de la poutre

→ Donne la marge de sécurité en traction et en compression

– Utilise les valeurs ST et SC de la commande MAT1

– Les marges de sécurité en tension et en compression sontcalculées par l’équation:

M.S.T =ST

Smax− 1

M.S.C =SC

Smin− 1

où Smax et Smin sont σx minimales et maximales

→ Ne donne pas les contraintes en cisaillement associées auxefforts tranchants et au moment de torsion

– On devra les calculer nous-mêmes ou le demander à unpost-processeur

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Le critère de Tresca

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

Dépouillement

⊲ Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

69 / 76

Origines physiques

→ On sait que la plasticité dans les matériaux métalliques estinitiée par des contraintes de cisaillement orientées selon desplans cristallographiques particuliers

→ On peut faire l’approximation que dans un métal les grains sontorientés aléatoirement

Avec ces hypothèses, on peut définir le critère de Tresca:

Il y aura plasticité dans le matériau lorsque la contrainte de

cisaillement maximale pour un état de contrainte donné dépasse la

limite de plasticité du matériau en cisaillement

RappelLa contrainte de cisaillement maximale pour un état de contraintedonné est:

τmax =σmax − σmin

2

où σmax et σmin sont les contraintes principales maximales etminimales

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Le critère de Tresca - suite

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

Dépouillement

⊲ Crit. Tresca

Appli. TP1

Exemple

70 / 76

→ La limite de plasticité du matériau en cisaillement esthabituellement obtenue par un essai de traction

→ Dans un essai de traction, τmax = σ2 , où σ est la contrainte de

traction→ Dans l’essai de traction, on mesure une limite d’écoulement en

tension Sy

→ Le critère de Tresca devient donc:

σmax − σmin

2≤

Sy

2

En 3D, les contraintes principales sont les racines de l’équationcubique suivante:

σ3 − (σx + σy + σz)σ2

+ (σxσy + σxσz + σyσz − τ2xy − τ2xz − τ2yz)σ

− (σxσyσz + 2τxyτyzτzx − σxτ2yz − σyτ

2xz − σzτ

2xy) = 0 (22)

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Application du critère de Tresca dans le TP1

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

Dépouillement

Crit. Tresca

⊲ Appli. TP1

Exemple

71 / 76

→ Selon la convention de systèmes d’axes locaux que nous avonsretenue, dans le cadre du TP1, toutes les poutres sont soumisesà de la flexion autour de leurs axes z locaux

→ Cela entraîne que les contraintes σx sont maximales aux fibresextrêmes des poutres selon l’axe y local

→ Comme certaines poutres sont courtes, il y a aussi descontraintes de cisaillement τxy et τxz qui sont présentes

→ Ces poutres sont aussi soumises à des couples de torsion, ce quientraîne aussi d’autres contraintes de cisaillement

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Application du critère de Tresca dans le TP1

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

Dépouillement

Crit. Tresca

⊲ Appli. TP1

Exemple

72 / 76

→ On a montré plus tôt que pour ce type de chargement, on avaitdeux points critiques: a) le plan neutre et b) les fibres extrêmes

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Application du critère de Tresca dans le TP1

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

Dépouillement

Crit. Tresca

⊲ Appli. TP1

Exemple

73 / 76

→ Si l’on reprend l’équation générale pour calculer les contraintesprincipales:

σ3 − (σx + σy + σz)σ2

+ (σxσy + σxσz + σyσz − τ2xy − τ2xz − τ2yz)σ

− (σxσyσz + 2τxyτyzτzx − σxτ2yz − σyτ

2xz − σzτ

2xy) = 0

→ On aura pour les fibres extrêmes:

σ3 − σxσ2 − (|τxθ|+ |τ

Vy

xz |)2σ = 0 (23)

→ Pour le plan neutre, on aura:

σ3 −(

|τVy

xy |+ |τxθ|)2

σ = 0 (24)

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Application du critère de Tresca dans le TP1

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

Dépouillement

Crit. Tresca

⊲ Appli. TP1

Exemple

74 / 76

La solution de ces équations donne les contraintes principalessuivantes:

Fibres externes

σ1 = 0

σ2,3 =σx2

±

(σx2

)2− (|τxθ|+ |τ

Vy

xz |)2

τmax =σ2 − σ3

2

=

(σx2

)2− (|τxθ|+ |τ

Vy

xz |)2

Feuillet moyen

σ1 = 0

σ2,3 = ±(

|τVy

xy |+ |τxθ|)

τmax =σ2 − σ3

2

=(

|τVy

xy |+ |τxθ|)

On aura donc les critères de Tresca en ces deux endroits:

σ2x + 4(|τxθ|+ |τ

Vy

xz |)2 ≤ Sy

2(

|τVy

xy |+ |τxθ|)

≤ Sy

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Marche à suivre

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

Dépouillement

Crit. Tresca

⊲ Appli. TP1

Exemple

75 / 76

Dans le cadre du TP1, la marche à suivre pour le calcul du critèrede Tresca dans les poutres est la suivante:

→ Extraire les contraintes σx maximales données par NASTRAN→ Extraire les efforts tranchants et couple de torsion aux deux

extrémités de la poutre→ Calculer toutes les contantes nécessaires pour le calcul des

contraintes de cisaillement. Attention, on a deux types depoutres: des sections ouvertes et des sections fermées.

→ Calculer le critère de Tresca au feuillet moyen ainsi qu’aux fibresextrêmes

→ Faire toutes ces étapes pour toutes les poutres du modèle

Pour ce travail, on pourra utiliser un chiffrier comme MicrosoftExcel.

Il ne suffit que de coder les fonctions de calcul une fois et copier parla suite les résultats à partir du fichier .f06.

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Exemple de calcul

Intro. NASTRAN

Déf. Noeuds

Poutres

Rigid. Torsion

Tresca

Dépouillement

Crit. Tresca

Appli. TP1

⊲ Exemple

76 / 76

La poutre (15), extrémité A (poutre MC460×86, version d’uneannée antérieure du laboratoire)

On a les données suivantes:

σx V1 T44.8MPa −240000N −1.24× 108Nmm