introducciÓn a la nociÓn de lÍmite -...

CONTENIDOS

❚ Noción de límite

❚ Límite de una función en el

infinito

❚ Límite de una función en un

punto

❚ Cálculo de límites de funciones

polinómicas

Problema 1Gráfico 1 Gráfico 2

Gráfico 3 Gráfico 4

Indicar, en cada caso, cuál o cuáles de las gráficas responden a cada una de las frases

que se presentan a continuación:

a. A medida que x se acerca a 0, la función se acerca a 0.

b. f (x) no se acerca a ningún valor cuando x se acerca a 1.

c. Cuando x se aproxima a 0, la función toma valores cada vez más grandes en valor

absoluto.

d. Cuando x toma valores cada vez más grandes en valor absoluto, la función perma-

nece entre 1 y –1.

cálculos de las imágenes.

Es así que, para subsanar estos

inconvenientes, se recurre a la

idea de límite. Es decir, se trata

de determinar el comportamiento

de un proceso en algunos valores

de la variable para los cuales no

es posible saber con exactitud el

alcance de su imagen.

Existen numerosas situaciones

modelizadas mediante funciones

en las cuales no resulta sencillo

determinar su comportamiento

en ciertos valores que recorre

la variable. En algunas

oportunidades, porque dichos

valores son muy grandes o muy

pequeños. En otras ocasiones,

porque no es posible hacer los

INTRODUCCIÓN A LA NOCIÓN DE LÍMITE

M: 10730 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 10730 C

198 Anexo 3. Introducción a la noción de límite

Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123

e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar

NIP: 222503 - Pág.: 198 - MAT

*0000-222503-198-MAT-9*

En este problema se trata de estudiar, de manera intuitiva, el comportamiento de

algunos gráficos, suponiendo que no cambian más allá de lo que se observa.

La frase que dice: “A medida que x se acerca a 0, la función se acerca a 0” se verifica

en los gráficos 1 y 2. Además en cada gráfico se observa que la función es 0 cuando x = 0,

es decir f(0) = 0.

Si se analiza, por ejemplo el gráfico 1:

En cambio, la frase que afirma: “cuando x se aproxima a 0, la función toma valores

cada vez más grandes en valor absoluto” sólo se verifica en el gráfico 4.

E

Para escribir que “la variable x va tomando valores cada

vez más cercanos a cero” se usa: x → 0y para decir que f (x) toma valores cada vez más cercanos a cero se escribe:

f (x) → 0

a medida que el valor de la varia-

ble x va tomando valores cada vez

“más cercanos a cero”, el valor de

la variable que depende de x, en

este caso y, toma valores cada vez

más cercanos a 0.

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199



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ƒ

La frase que dice: “f (x) no se acerca a ningún valor cuando x se acerca a 1” es verifi-

cada por el gráfico 3 porque:

Por último, el gráfico 2, oscila entre 1 y –1 en todo su dominio, por lo tanto, si x toma

valores cada vez más grandes en módulo, es decir si x tiende a infinito, las imágenes con-

tinuarán estando entre 1 y –1.

Límite de una función en el infinito

Problema 2Si se considera el gráfico 4 del problema 1; ¿Qué valores toma la función ƒ, cuando x → ∞?

¿Qué significa que x → ∞?

En principio, significa que x toma valores cada vez más grandes, por ejemplo 1000 o

bien 1 000 000 o más grande aún. No hay un tope.

Pero x podría tomar valores muy grandes en valor absoluto, es decir, en módulo, pero

negativos, como por ejemplo –1000 o bien –1 000 000.

Entonces sería conveniente distinguir entre los valores muy grandes en valor absoluto pero

con signo positivo y los valores muy grandes en valor absoluto pero con signo negativo. Es decir:

x → +∞ o x → –∞

¿Qué valores toma la función ƒ cuando x→ +∞?

Se dice que “x tiende a infinito” cuando la variable x

se hace cada vez más grande en valor absoluto y se puede escribir así: x → ∞Se dice que “x tiende a más infinito” cuando la variable x se hace cada vez más grande y se puede escribir así: x → +∞En la recta numérica x se aleja hacia la derecha.Se dice que “x tiende a menos infinito” cuando la variable x se hace cada vez más grande en módulo pero es negativa y se puede escribir así: x → –∞En la recta numérica x se aleja hacia la izquierda.

como se ve en el gráfico, las imáge-

nes que toma la función a medida

que x toma valores mayores a 1 pero

cada vez más cercanos a 1, son cada

vez mayores. En cambio cuando x

toma valores menores a 1 pero cada

vez más cercanos a él, las imágenes

son cada vez menores.

Si la función se aproxima a 0 se dice que tiende a 0, pues

se hace cada vez más chica y se puede escribir f (x) → 0

Puede observarse en el gráfico que las imá-

genes tienden a cero cuando x → + ∞ y cuan-

do x → – ∞.

Esto puede escribirse entonces:

lím x→ +∞

f(x) = 0 y lím x→ –∞

f(x) = 0

Se tiene

lím x→∞

f(x) = 0

Gráficamente significa que ƒ(x) se “mete” en

una franja del ancho tan chiquito como se eli-

ja, centrada en la recta y = 0.

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Problema 3

A medida que se hace cada vez más grande, la función ƒ parece que se “mete” en una

banda alrededor del valor y = 3.

Por lo tanto, cuando x → +∞, la función ƒ se acerca al valor 3. Es decir:

lím x → +∞

f (x) = 3

Por el contrario, a medida que x → –∞ es decir se aleja hacia la izquierda, la función ƒ toma

valores negativos de valor absoluto grandes y no se aproxima a ningún valor (se aleja hacia

abajo), por lo tanto cuando x → –∞, la función ƒ también tiende a –∞. Gráficamente la función

ƒ(x) no puede quedar “encerrada” en ninguna franja cuando x se aleja hacia la izquierda.

Entonces se tiene en los siguientes límites:

lím x → +∞

f(x) = 3 y lím x → –∞

f(x) = –∞

1. Dados los siguientes gráficos:

A. B. C.

Decidan cuáles pueden ser las funciones ƒ(x) que verifiquen en cada

caso lo pedido:

a. lím x → –∞

f (x) = –∞, es decir, a medida que x se “aleja hacia la izquierda”,

ƒ(x) se “aleja hacia abajo”

b. lím x → –∞

f (x) = +∞, o sea, a medida que x se “aleja hacia la izquierda”,

ƒ(x) se “aleja hacia arriba”

c. lím x → +∞

f (x) = –∞ , a medida que x se “aleja hacia la izquierda”, ƒ(x) se

“aleja hacia abajo”.

ACTIVIDADES

Decir que lím x → ∞

f (x) = L

se traduce en: la función ƒ(x) tiende al valor L cuando x tiende a infinito.Gráficamente es posible que a medida que x toma valores muy grandes en valor absoluto ya sea hacia la izquierda (–∞) o hacia la derecha (+∞), f (x) se “mete” en una franja del ancho tan chiquito como se elija, centrada en la recta y = L.

¿Es posible conocer a partir del gráfico f(x)

cuál será el valor que alcanzará la función ƒ

cuando x → +∞? ¿Y cuando x → –∞?

Decir que:

lím x → –∞

f(x) = ∞ o lím x → +∞

f(x) = ∞

Significa que: cuando x toma valores muy grandes en valor absoluto, la función f (x) evaluada en esos puntos también resulta ser muy grande en valor absoluto. Es decir, la función se continúa “alejando” ya sea hacia arriba o hacia abajo.

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Límite de una función en un punto

Problema 4 Si se analiza nuevamente la función racional ƒ(x) = 1 __ x que ha sido estudiada en el capí-

tulo 5, ¿qué sucede con la función ƒ a medida que la variable x toma valores cercanos a 0?

¿Qué significa, entonces, que x toma valores cercanos a 0?

Por ejemplo 0,5 es un número que está entre 0 y 1 y se encuentra a 0,5 del 0.

Pero existen otros números entre 0 y 0,5 que se encuentra más cerca del 0 que el 0,5,

por ejemplo, tomando el número del medio entre 0 y 0,5 se tiene 0,25 que está más cerca

del 0 que el 0,5.

También hay números entre 0 y 0,25, por ejemplo, se podría volver a tomar la mitad,

es decir, 0,125 y así sucesivamente. Entonces, por la propiedad de densidad de los núme-

ros reales, siempre es posible encontrar un número tan cerca de 0 como sea necesario sin que se tome exactamente el valor 0.

Este desarrollo que se hizo para números positivos también se podría hacer para

números negativos.

Es decir, –0,5 se encuentra “más cerca” que –1 del 0.

Pero, nuevamente, si se toma el número que se encuentra en el medio entre –0,5 y 0

se tiene que –0,25 está más cerca de 0 que –0,5.

Si se toma el número que se encuentra en el medio entre – 0,25 y 0 se tiene que

–0,125 está más cerca de 0 que –0,25.

Por un lado, se tomaron valores cercanos a 0 pero desde la derecha del 0, y por otro

lado, se tomaron valores cercanos a 0 pero desde la izquierda del 0.

Si se analiza qué ocurre con 1 __ x cuando x toma valores cercanos a 0 por la derecha; es

decir, x es un número menor que 1 y positivo resulta que 1 __ x es mayor que 1.

Además cuánto más chico sea el valor de x, 1 __ x resulta ser más grande ya que dividir por

un número muy chico, agranda.

Esto puede escribirse 1 __ x → +∞ cuando x → 0 + , o lím x → 0 +

1 __ x = +∞

En cambio, si se toman valores cercanos a 0 pero por izquierda, resultan ser valores

negativos ya que a la izquierda de 0 se encuentran los números negativos.

Entonces 1 __ x resulta ser un número muy grande en valor absoluto, pero negativo, es

decir 1 __ x → –∞ cuando x → 0 – , o sea lím x → 0 –

1 __ x = –∞

Si f (x) tiende a infinito cuando x se acerca a a, por la

derecha entonces lím

x → a + f (x) = ∞

Si f (x) tiende al valor L cuando x se acerca a a, por la izquierda entonces

lím x → a –

f (x) = L

En el gráfico de f(x) es posible observar que al

tomar valores de x alrededor de 0, tanto posi-

tivos como negativos, resulta que las imáge-

nes de esos valores siempre van aumentando

en valor absoluto, es decir, siempre se alejan

del eje x. Se escribe entonces:

lím x→0

1 __ x = ∞

Decir que ƒ(x) tiende a infinito cuando x tiende a

un valor a, significa que cuando x toma valores cercanos a a, por la derecha y por la izquierda, el valor de su imagen se hace cada vez más grande en valor absoluto. O sea que cada vez que el valor de x se aproxima al valor a, ƒ(x) se “aleja” hacia arriba o hacia abajo.Simbólicamente se escribe:

lím x→a

f (x) = ∞

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NIP: 222503 - Pág.: 202 - MAT

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Problema 5Dada: x 2 si x ≠ 3

g(x) =

–3 si x = 3

Analizar a dónde se acerca g(x) cuando x toma valores cada vez más cercanos a tres.

Es decir, hallar el límite de la función g(x) cuando x tiende a 3.

El gráfico de esta función partida es igual al gráfico de f(x) = x 2 para todos los valores

de x salvo para el valor x = 3 al cual le corresponde la imagen –3.

Por la propiedad de densidad de los números reales, siempre es posible tomar valores

para x tan cerca del número 3 como sea necesario sin tomar exactamente el valor de 3. Si se

toman valores para x mayores que 3, es decir, por derecha, y valores para x menores que 3, es

decir, por izquierda y se arma una tabla de valores, se obtiene

Es posible observar que al tomar valores cercanos a 3 pero mayores que él, las imáge-

nes respectivas son cada vez más cercanas a 9.

Por lo tanto lím x → 3 +

g(x) = 9.

Si en cambio se toman para x valores cerca de 3 pero por izquierda, también se obser-

va que las imágenes son cada vez más cercanas a 9.

Entonces resulta que lím x → 3 –

g(x) = 9.

Se puede concluir que lím x → 3

g(x) = 9.

Sin embargo, es interesante analizar que g(3) = –3 lo cual está indicando que, en este

caso, el límite de una función en un valor de x del dominio no concuerda con la imagen de

la función en ese valor de x.

Al calcular un límite cuando x tiende a un valor a, no importa lo que suceda en x = a,

sino lo que le suceda a la función a medida que los valores de x se acercan o tiendan

a ese valor a.

Esto es, no siempre sucede que

lím x → a

g(x) = g (a).

Si esto sucede para algún valor de a, se dice que la función es continua en a.

Si f (x) tiende al valor L cuando x se acerca a a, por la

derecha, entonces: lím

x → a + f (x) = L

Si f (x) tiende al valor L cuando x se acerca a a, por la izquierda, entonces:

lím x → a –

f (x) = L

Si f (x) tiende al valor L cuando x se acerca a a, por la derecha y por la izquierda, es decir si: lím

x → a + f (x) = lím

x → a – f (x) = L

entonces

lím x → a

f (x) = L

⎧⎪⎨⎪⎩

x g(x)

3,01 9,0601

3,001 9,006001

2,99 8,9401

2,9999 8,99940001

Una función f (x) es continua en un valor a perteneciente

al dominio de f (x) si: lím x → a

f (x) = f (a)Las funciones que son continuas en cada valor a de su dominio se llaman funciones continuas.El gráfico de una función continua se puede pensar como si al apoyar el lápiz para “comenzar” a graficar la función, el lápiz “no se levanta nunca”.Las funciones cuadráticas y las funciones lineales son continuas. Más en general, las funciones polinómicas son continuas.

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203



NIP: 222503 - Pág.: 203 - MAT

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¿Siempre existe el límite para una función en un valor?

Problema 6Determinar el lím

x → 1 h(x) para la función definida a trozos

3x + 5 si x ≤ 1

h(x) =

–x + 3 si x >1

Para calcular lím x → 1

h(x) hay que analizar qué sucede con los valores que toma h cuando x

toma valores cada vez más cercanos a 1. Pero como esta función para valores mayores que 1

responde a una fórmula y para valores menores e iguales que 1 responde a otra fórmula, será

necesario analizar qué sucede cuando x toma valores mayores a 1 y cuando toma valores

menores a 1, por separado, esto significa que será necesario analizar los límites laterales.

Al comenzar a analizar se toman valores de x cercanos y mayores que 1, esto es lím x → 1 +

h(x)

Cuando x toma valores cerca de 1 pero menores que 1,

Por lo tanto, si se toman valores de x alrededor de 1, tanto para la izquierda como para

la derecha de 1, resulta que la función puede acercarse a 2 o a 8, entonces,

no existe lím x → 1

h(x).

Los límites:

lím x → a +

f (x) y lím x → a –

f (x)

se llaman límites laterales de f (x) en a.

El límite de f (x) cuando x tiende a a existe si los límites laterales en a son iguales.

Es decir:

Si lím x → a +

f (x) = lím x → a –

f (x) = L,

entonces existe lím x → a

f (x) y

lím x → a

f (x) = L.

⎧⎪⎨⎪⎩

como x es un valor mayor que 1,

para esos x corresponde tomar

h(x) = –x + 3, y si x está cerca de

1, el valor –x resultará estar cer-

ca de –1, y al sumarle 3 estaría

cerca de 2. Por lo tanto:

lím x → 1 +

h(x) = 2

como x es un valor menor que 1,

entonces h(x) = 3x + 5, por lo tan-

to, si x es un valor cercano a 1,

resulta que 3x es un número cerca-

no a 3 y si a eso le agregamos 5, se

obtiene un número cercano a 8.

lím x → 1 –

h(x) = 8

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NIP: 222503 - Pág.: 204 - MAT

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Problema 7El siguiente es el gráfico de una función g. Se sabe además que el comportamiento

de la función g continúa siendo el mismo a medida que los valores de x aumentan en

valor absoluto hacia la izquierda y hacia la derecha.

Determinar, a partir del gráfico, lím x → +∞

g(x) y lím x → –∞

g(x).

En principio, tanto cuando x → +∞ y cuando x → –∞ ese límite no es igual a infinito

pues de ser así, g(x) debería ser cada vez “más grande”.

En este caso, la función g se “mueve” en la banda encerrada entre y = –1 e y = 1. Por lo

tanto no existen valores de x donde g resulta mayor, en valor absoluto, que 1.

Se podría suponer entonces que el límite con x → +∞ y x→ –∞ de g(x) es un número, L.

En este caso la función se tendría que “meter” en una franja muy chiquita alrededor

de L. Pero como esta función oscila indefinidamente entre los valores de y = –1 e y = 1, no

existe una franja tan chiquita como se quiera, alrededor de un valor donde g(x) se “meta”

completamente para x cada vez más grandes en valor absoluto.

De este modo, no existe el lim x → +∞

g(x).

Si se analiza de forma análoga el lím x → –∞

g(x), puede asegurarse que no existe.

Es decir, no existe lím x → ∞

g(x).

2. Dada la gráfica de una función h(x)

Determinen, si existen, los siguientes límites:

a. lím x → +∞

h(x) b. lím x → –∞

h(x)

c. lím x → 3

h(x) d. lím x → –1

h(x)

3. Determinen, en cada caso, el límite de la función cuando x se

aproxima a 1 por derecha y por la izquierda:

a. b.

ACTIVIDADES

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205



NIP: 222503 - Pág.: 205 - MAT

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Cálculo de límites de funciones polinómicas en el infinito

Problema 8Se desea analizar a dónde se acercan las funciones:

a. t(x) = 3 __ 2 x – 5 b. ƒ(x) = x 2 c. g(x) = x 3

cuando x tiende a más o menos infinito.

Si se analiza la función lineal t(x) = 3 __ 2 x – 5.

Cuando x → +∞, x toma valores “muy grandes” en valor absoluto y positivos. Al mul-

tiplicar esos valores grandes por 3 __ 2 , siguen siendo grandes y también con signo positivo

pues se están multiplicando dos números con igual signo. Al obtenerse un número “muy

grande”, el restarle 5 no altera que el número sea “muy grande”. Por lo tanto

lím x → +∞

3 __ 2 x – 5 = +∞

Por el contrario, cuando x → –∞ resulta que x toma valores grandes en valor absoluto

pero de signo negativo, por lo tanto, al multiplicar esos valores que puede tomar x por 3 __ 2 ,

que es un número positivo, resultan números muy grandes en valor absoluto pero de sig-

no negativo pues se multiplicaron dos números de distinto signo. Restarle 5 hace que el

valor siga siendo grande en valor absoluto y negativo. De este modo se obtiene

lím x → –∞

3 __ 2 x – 5 = –∞

Si se observa el gráfico de la función ƒ(x) = x 2

Al analizar la función g(x) = x 3 , es posible observar que cuando x → +∞, es decir cuando x

es un número “muy grande”, entonces x 3 resulta ser “más grande todavía”, además, cuando

x → +∞ se tiene que x es un valor positivo, por lo tanto x 3 también es positivo, así se obtiene

lím x → +∞

x 3 = +∞

En cambio, cuando x → –∞ o sea que x es un número “muy grande” en valor absoluto,

pero con signo negativo, x 3 resulta ser un número todavía “más grande”, en valor absolu-

to y también con signo negativo. Entonces

lím x → –∞

x 3 = –∞

al analizar x → +∞ ,se tiene que cuando x es

un número “muy grande”, multiplicarlo por sí

mismo, es decir, hacer x 2 resulta ser positivo y

“más grande todavía”, luego: lím x → +∞

x 2 = +∞

Si x → –∞, se tiene que x es un número “muy

grande” en valor absoluto, pero con signo

negativo, por lo tanto, hacer x 2 resulta ser un

número todavía “más grande”, en valor absolu-

to, y con signo positivo.

Por lo tanto lím x → –∞

x 2 = +∞

Las funciones

f : ¡ → ¡/ f (x) = x n con n natural y par son pares y por lo tanto:

lím x → +∞

f (x) = +∞ y lím x → –∞

f (x) = +∞

Las funciones

f : ¡ → ¡/ f (x) = x n con n natural e impar son impares y además

lím x → +∞

f (x) = +∞ y

lím x → –∞

f (x) = –∞

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NIP: 222503 - Pág.: 206 - MAT

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En el capítulo de funciones polinómicas analizaron el gráfico de las funciones pares y

de las funciones impares. Ahora cuentan con más herramientas para ese análisis.

Problema 9a. Hallar los límites cuando x tiende a +∞ y a –∞ para la función: g(x) = –7 x 2 + x.

b. ¿Es posible saber cuál es el límite cuando x → +∞ y x → –∞ en un polinomio de

grado par? ¿Y en un polinomio de grado impar?

Cuando x tiende a +∞, resulta que x 2 también tiende a +∞ y si x 2 es un número “muy

grande”, al multiplicarlo por –7, sigue siendo un número “muy grande” en valor absoluto

pero ahora con signo negativo, entonces –7 x 2 tiende a –∞. Y si a un número muy grande

en “valor absoluto” pero negativo se le suma otro número “muy grande” en valor absoluto

pero positivo, ¿a dónde tiende? Parece ser que se cancelan.

Pero si se saca factor común x 2 y se considera x ≠ 0

g(x) = –7 x 2 + x = x 2 (–7 + 1 __ x )

Por lo tanto, lím x → +∞

g(x) = lím x → +∞

x 2 (–7 + 1 __ x )

Pero como lím x → +∞

1 __ x = 0, entonces lím x → +∞

(–7 + 1 __ x ) = –7

Luego, como x 2 se hace cada vez más grande y positivo, y –7 + 1 __ x se mantiene cerca de

–7, el producto x 2 (–7 + 1 __ x ) resulta ser cada vez más grande y negativo, entonces

lím x → +∞

g(x) = lím x → +∞

x 2 (–7 + 1 __ x ) = –∞

De manera similar, es posible deducir que lím x → –∞

g(x) = –∞

Si se analiza otro ejemplo de un polinomio de grado par, por ejemplo

q(x) = – 2 __ 3 x 4 – 6 x 3 que es un polinomio de grado 4

y se realiza un procedimiento similar al anterior

lím x → +∞

q(x) = lím x → +∞

x 4 (– 2 __ 3 – 6 __ x ) = –∞ y lím x → –∞

q(x) = lím x → –∞

x 4 (– 2 __ 3 – 6 __ x ) = –∞

dado que lo que esta dentro del paréntesis tiende a – 2 __ 3 y x 4 → +∞ cuando x tiende a

más o menos infinito.

Al observar los límites en el infinito para funciones polinómicas de grado impar, como

por ejemplo p(x) = 1 __ 2 x 5 + 3 x 2 – 5 que es de grado 5 y proceder de manera análoga a lo anterior

lím x → +∞

p(x) = lím x → +∞

x 5 ( 1 __ 2 + 3 __ x 3

– 5 __ x 5

) = +∞ y lím x → –∞

p(x) = lím x → –∞

x 5 ( 1 __ 2 + 3 __ x 3

– 5 __ x 5

) = –∞

Pues la expresión que se encuentra dentro del paréntesis tiende a 1 __ 2 ya sea que x → +∞

o bien x → –∞ y además x 5 → +∞ cuando x → +∞ y x 5 → –∞ cuando x → –∞.

Si f (x) = 1 __ x entonces:

lím x → ∞

f (x) = 0

Si f (x) es una función polinómica de grado impar

entonces: lím x → +∞

f (x) = +∞ y lím x → –∞

f (x) = –∞,

o bien

lím x → +∞

f (x) = –∞ y lím x → –∞

f (x) = +∞

Si f (x) es una función polinómica de grado par

entonces: lím x → +∞

f (x) = lím x → –∞

f (x) = +∞

o bien

lím x → +∞

f (x) = lím x → –∞

f (x) = –∞

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NIP: 222503 - Pág.: 207 - MAT

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4. Grafiquen, si es posible, una función g que cumpla

simultáneamente las siguientes condiciones:

lím x → 0 –

g(x) = 1 __ 2 lím x → 0 +

g(x) = –∞ lím x → 1

g(x) = +∞

lím x → –∞

g(x) = 1 __ 2 lím x → +∞

g(x) = +∞

5. A continuación se da el gráfico de varias funciones. Relacionen

cada gráfico con las características señaladas

A. B.

C. D.

a. lím x → +∞

ƒ(x) = +∞ ; lím x → –∞

ƒ(x) = 0

b. lím x → –∞

ƒ(x) = 0 ; lím x → +∞

ƒ(x) no existe

c. lím x → +∞

ƒ(x) = 1 ; lím x → –∞

ƒ(x) = 1

d. lím x → – 3 __ 2

– ƒ(x) = +∞ ; lím

x → – 3 __ 2 +

ƒ(x) = –∞

e. lím x → –∞

ƒ(x) = 0 ; lím x → +∞

ƒ(x) = –∞

f. lím x → +∞

ƒ(x) = 0 ; lím x → –∞

ƒ(x) = +∞

g. lím x → – 3 __ 2

– ƒ(x) = –∞ ; lím

x → – 3 __ 2 +

ƒ(x) = –∞

6. A partir del gráfico de la función h determinen los siguientes límites

lím x → +∞

h(x) = lím x → –∞

h(x) =

lím x → 0 –

h(x) = lím x → 0 +

h(x) =

7. a. Grafiquen una función ƒ que verifique simultáneamente:

lím x → +∞

ƒ(x) = –5 lím x → –∞

ƒ(x) = +∞

lím x → 3 –

ƒ(x) = –∞ lím x → 3 +

ƒ(x) = 7

b. ¿Es ƒ única? Expliquen cómo se dieron cuenta.

8. Calculen los siguientes límites:

a. lím x → +∞

2 x 3 + x 2 b. lím x → –∞

x 2 + x 4

c. lím x → –∞

x 2 – 3 d. lím x → +∞

–2 x 5 + 3

9. A continuación se da el gráfico de una función ƒ. Apoyándose en

el gráfico, calculen de ser posible los siguientes límites.

lím x → +∞

ƒ(x) lím x → –∞

ƒ(x) lím x → 3 –

ƒ(x)

lím x → 3 +

ƒ(x) lím x → 0

ƒ(x)

10. Si f (x) = p (x)

____ q (x)

es una función racional con p(x) y q(x) dos

conjeturen el lím x→∞

f (x) en cada caso:

a. gr p > gr q b. gr p< gr q c. gr p = gr q

11. A partir del gráfico de f (x) determinen los limites que se solicitan:

lím x→+∞

f (x) =

lím x→–∞

f (x) =

lím x→0

f (x) =

ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN

M: 10730 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 10730 C




NIP: 222503 - Pág.: 208 - MAT

*0000-222503-208-MAT-9*

AUTOEVALUACIÓN1. Señalen cuáles son las afirmaciones correctas para el gráfico dado

lím x →+∞

ƒ(x) = 2 lím x → –∞

ƒ(x) = –∞

lím x → 2 –

ƒ(x) = –∞ lím x → 2 +

ƒ(x) =+∞

lím x → 0

ƒ(x) = 4 ƒ(– 3 __ 4 ) = ƒ(– 3 __ 2 ) = 0

lím x → +∞

ƒ(x) =2 lím x → –∞

ƒ(x) = –∞

lím x → 2 –

ƒ(x)= 0 ƒ(0)=4

lím x → +∞

ƒ(x) =2 lím x → –∞

ƒ(x) = +∞

lím x → 2 –

ƒ(x) = –∞ lím x → 2 +

ƒ(x) = +∞

2. Señalen cuál es el gráfico de la función g que cumple

lím x → 1 __ 2

– g(x) = –6 lím

x → +∞ g(x) = 5

lím x → 1 __ 2

+ g(x)= 3 __ 4 lím

x → –∞ g(x) = 5

g(1) = 0 g(–1) = 8

3. El lím x → –∞

1 __ 2 x 3 – x 2 +3x es igual a

1 __ 2 + ∞

5 __ 2 – ∞

4. La siguiente igualdad lím x →a

f (x) = f (a) es verdadera

Siempre.

Si la función f es continua en a.

Si coinciden los límites laterales, esto es lím x → a –

f (x) = lím x → a +

f (x).

5. Señalen la o las frases que consideren correctas:

Si f (0) = 0 entonces el lím x → 0

f (x) = 0.

Si lím x → 0

f (x) = 0 entonces lím x → 0 +

f (x) = 0 y lím x → 0 –

f (x) = 0.

Si una función oscila entre 2 y –2 en todo su dominio entonces lím

x → +∞ f (x) = 2 y lím

x → –∞ f (x) = –2.

Si una función tiene una asíntota vertical en x = 2, entonces lím

x →2 f (x) = ∞.

Si una función tiene una asíntota vertical en x = 2, entonces lím

x →∞ f (x) = 2.

Si el gráfico de una función es el siguiente:

Entonces lím x→2

f (x) = +∞

a

b

c

a b

c

a b

c d

a

b

c

a

b

c

d

e

f

M: 10730 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

209



NIP: 222503 - Pág.: 209 - MAT

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introducciÓn a la nociÓn de lÍmite -...

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