Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Introdução aos Métodos Numéricos

Métodos Numéricos paraMecânica dos Fluidos

Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Bibliografia: J. H. Ferziger and M. Peric, 'Computational Methods for Fluid Dynamics', 

Springer­Verlag Berlin Heidelberg New York, 1997.

Introdução aos Métodos Numéricos

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O que é?Resolver as Equações de conservação computacionalmente

É não linear em U;A pressão não tem derivada temporal;A equação acima não tem solução geral;Só é possível resolver usando computadores.

Mecânica dos Fluidos Computacional ­ CFD

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Possibilidades e Limitações

Estudo de escoamento sobre um automóvel

audi TT

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Possibilidades e Limitações

Escoamentos turbulentos

Simulação Numérica Direta – DNStodas as escalas

Simulação de Grandes Escalasapenas as grandes escalas modelos para pequenas escalas

Simulação com Média de Reynoldsmodelos para turbulência

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Possibilidades e Limitações

Simulação Numérica Direta – DNS

Tempo 100 horas Cray90

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Possibilidades e Limitações

Simulação Numérica Direta ­ DNS

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Possibilidades e Limitações

Simulação de Grandes Escalas – LES

tempo computacional menor

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Possibilidades e Limitações

Simulação deGrandes

Escalas – LES

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Possibilidades e Limitações

Simulação com Média de Reynolds – RANS

Tempo de simulaçãomenor do que LES

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Possibilidades e Limitações

Simulação com Média de Reynolds – RANS 

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Componentes:

Modelo MatemáticoMétodo de DiscretizaçãoCoordenadasMalha NuméricaAproximações FinitasMétodo de SoluçãoCritério de Convergência

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Modelo Matemático

Primeiro passo para qualquer método numérico

Definir as equações diferenciais ou integro­diferenciais e as condições iniciais e de contorno.

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Método de Discretização

Aproximação das equações por um sistema de equações algébricas em pontos discretos no espaço e tempo.

Métodos mais comuns:Método dos Volumes FinitosMétodo dos Elementos FinitosMétodo das Diferenças Finitas

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Coordenadas

As equações podem ser escritas em diferentes formas, dependendo do sistema de coordenadas:

Cartesianas, Cilíndricas, Esféricas, Curvilíneas,Ortogonais, Curvilíneas não Ortogonais;Fixas ou Móveis Ex.: simulação de choque com 

pássaro.A escolha do tipo de coordenadas depende do tipo do  

escoamento a ser estudado

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Malha Numérica

A posição discreta na qual as variáveis serão calculadas  são definidas como malha numérica  (representação geométrica do domínio).

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Malha Numérica

Malha Estruturada

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Malha Numérica

Malha Estruturadaem blocos

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Malha Numérica

Malha não Estruturada

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Malha Numérica

Malha não Estruturada

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Aproximações Finitas

Selecionar as aproximações que serão utilizadas no processo de discretização:

Diferenças Finitas: aproximações para as derivadas;Volumes Finitos: aproximações para as integrais de 

volume e de superfície;Elementos Finitos: funções e funções peso.

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Método de Solução

Depende do problema:

Elíptico;Parabólico;Hiperbólico;Misto.

Técnicas iterativas.

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Critério de Convergência

Quando existem métodos iterativos para solução do problema é necessário definir um critério de convergência.

Este critério deve ser escolhido de tal forma que se obtenha eficiência e precisão.

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Propriedades:

ConsistênciaEstabilidadeConvergênciaConservaçãoLimitaçãoFactibilidadePrecisão

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Consistência

A solução encontrada deve convergir para a solução das equações, quando a distância entre os pontos da malha tenderem para zero.

Erro de truncamento: dx^n, dt^n

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Estabilidade

Um método é dito estável quando ele não amplifica os erros que aparecem durante o processo de simulação numérica.

Erros: arredondamento, truncamento.

Método de Von Neumann: utilizado para verificar a estabilidade de um método.

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Convergência

Um método é dito convergente quando a solução das equações discretizadas tendem para a solução exata quando a distância entre os pontos da malha tendem para zero.

Lax Equivalence Theorem:Consistência + Estabilidade = Convergência

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Conservação

Já que estamos simulando numericamente equações de conservação,  estas equações devem ser respeitadas local e globalmente.

Ex.: entrada e saída de fluido em dutossimulação de escoamento sobre perfis aerodinâmicosetc...

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Limitação

As soluções numéricas devem estar dentro de certos limites físicos.

Ex.:Densidade, energia cinética da turbulência > 0;Concentração de substância ­> entre 0% e 100%Distribuição de temperatura numa placa;etc...

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Factibilidade

Modelos de fenômenos que são difíceis de serem tratados diretamente (turbulência, combustão, escoamento multifásico), devem ser desenvolvidos para garantir soluções físicas realísticas.

Ex.: Escoamento sobre um cilindro.

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Precisão

Soluções numéricas de escoamentos e transferência de calor são soluções aproximadas.

Além de erros que podem aparecer no desenvolvimento e implementação do código (BC) temos erros de:

Modelagem : modelo numéricoDiscretização : sol. exata das eq. usadas e a sol. obtidaConvergência : solução exata e solução iterativaUm erro pode cancelar outro ­> malhas

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Método de Discretização:

Diferenças FinitasVolumes FinitosElementos FinitosEspectrais

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Método das Diferenças Finitas

É o método mais antigo para solução de EDP;Introduzido por Euler no século 18;É o mais fácil de ser utilizado em geometrias simples*;Aproximações das derivadas são obtidas através da 

expansão em série de Taylor ou aproximação polinomial;Desvantagem: conservação, restrição a geometrias 

simples*.* fronteiras imersas

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Método dos Volumes FinitosUtiliza a forma integral das equações;O domínio é dividido em volumes de controle contíguos e 

as equações de conservação são aplicadas a cada um deles;

As integrais de superfície e de volume são aproximadas por formulas de quadratura;

Pode acomodar qualquer tipo de malha, é conservativo, fácil de programar;

Difícil de se obter alta ordem pois possuem dois níveis de aproximação: interpolação e integração.

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Método dos Elementos Finitos

É parecido com o método dos volumes finitos, com a diferença que as equações são multiplicadas por uma função peso antes de serem integradas em todo o domínio;

O domínio é dividido em elementos discretos que podem ser quadriláteros ou triângulos;

Geometrias complicadas, malhas são facilmente refinadas;

Método dos paineis: Michael George Maunsell

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Métodos Espectrais

Podem ser utilizados quando tratamos de escoamentos que possuem contornos periódicos;

As equações são discretizadas no espaço de Fourier e as derivadas obtidas são exatas;

Ex.:Escoamento sobre um cilindro (2D);transição;etc...

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Possibilidades e limitações dos métodos numéricos;Componentes;Propriedades;Métodos de discretização.

Resumo:

Introdução aos Métodos Numéricos