intro duca o a program a cao linear

Prof. Jos Elias C. Arroyo

Departamento de Informtica DPI

Sala: CCE 415-B

INF 682 Introduo Programao Linear

Programao Linear (PL)Programao Linear (PL)Programao Linear (PL)Programao Linear (PL) O termo programao significa planejamento O termo Linear relativo a funes, equaes ou

inequaes lineares. A PL (ou Otimizao Linear) consiste na otimizao

(minimizao ou maximizao) de uma funo linear(funo objetivo) satisfazendo um conjunto derestries tcnicas representadas por um sistema deequaes/inequaes lineares.

As restries representam, geralmente, limitaes de recursos disponveis (capital, mo de obra, matria prima, etc.) ou exigncias que devem ser cumpridas (ex. satisfazer demandas).

Problema de PLProblema de PLProblema de PLProblema de PL Uma fbrica produz 4 tipos de cadeiras.

So usados 2 tipos de materiais: lminas de madeira para revestimento e tecido (recursos escassos).

50 lminas/semana 75 metros/semana

Problema de PLProblema de PLProblema de PLProblema de PL

A fbrica precisa decidir quais modelos de cadeira deve produzir e quantas unidades de cada um de tal maneira que o lucro seja o mximo?

R$150 R$300 R$200

1 4 1

1 1 2

R$300

3

1

50

75

Programao Linear (PL)Programao Linear (PL)Programao Linear (PL)Programao Linear (PL)

Passos fundamentais para resolver um problema de PL

Modelagem do problema

Utilizao de um Mtodo de soluo

Componentes de um Modelo de PLComponentes de um Modelo de PLComponentes de um Modelo de PLComponentes de um Modelo de PL

Variveis de deciso: So as variveis cujos valores devem ser calculados.So as quantidades de atividades/itens/produtos a serem realizadas/alocadas/produzidas.O conjunto das variveis de deciso forma uma soluo do problema.

Funo objetivo: a meta ou critrio a ser otimizado.Por exemplo:

Minimizar os custosMinimizar o tempo de produo,Maximizar o lucro da produo, etc.

Componentes de um Modelo de PLComponentes de um Modelo de PLComponentes de um Modelo de PLComponentes de um Modelo de PL

Restries:So as condies do problema a serem satisfeitas pelas solues.Por exemplo:

Produtos devem ser produzidos utilizando somente os recursos disponveis (capital).

O produto fabricado deve atender alguns requisitos mnimos, (segurana, necessidade nutricional, etc.)

A funo objetivo e as restries so expresses lineares (funes) definidas em termos das variveis de deciso.

Modelagem de um Problema de PLModelagem de um Problema de PLModelagem de um Problema de PLModelagem de um Problema de PL

Variveis de decisoxi = quantidade de cadeiras do modelo i (i=1,2,3,4)Estas variveis devem ser no negativas (xi 0).Proporcionalidade

Para produzir uma cadeira modelo2 precisa de 4 laminas de madeira, x2 cadeiras, precisa 4x2 laminas de madeira

Uma cadeira modelo2 gera um lucro de R$300, x2 cadeiras, gera um lucro R$ 300x2.

R$150 R$300 R$200

1 4 1

1 1 2

R$300

3

1

50

75


Funo objetivoMaximizar o lucro total gerado pela fabricao de todas as cadeiras.

Lucro total =lucro gerado pelo modelo1 +. . .+lucro gerado pelo modelo4

Lucro total = 150x1 + 300x2 + 300x3 + 200x4

R$150 R$300 R$200

1 4 1

1 1 2

R$300

3

1

50

75


RestriesDisponibilidade de matria prima (Recursos Disponveis)

O total de madeira utilizado na fabricao de todos os modelos de cadeira no deve ultrapassar 50 laminas.

O total de Tecido utilizado na fabricao de todos os modelos de cadeira no deve ultrapassar 75 m.

R$150 R$300 R$200

1 4 1

1 1 2

R$300

3

1

50

75

501x1 + 4x2 + 3x3 + 1x4

751x1 + 1x2 + 1x3 + 2x4


Modelo de PL

x1 x2 x4150 + 300 + 200

x1 x2 x41 + 4 + 1 50

x1 x2 x41 + 1 + 2 75

Max x3+ 300

x3+ 3

x3+ 1x1 0x2 0x3 0x4 0


Modelo de PL

x1 x2 x4150 + 300 + 200

x1 x2 x41 + 4 + 1 50

x1 x2 x41 + 1 + 2 75

Max x3+ 300

x3+ 3

x3+ 1

Sujeito a:

Funo objetivoFuno lucro

Variveis de deciso

Restries

Restries de domnio ou No-negatividade

xi : quantidade de cadeiras do modelo i (i =1...,4)

x1 0x2 0x3 0x4 0

Tipos de soluesTipos de soluesTipos de soluesTipos de soluesUma soluo do modelo o vetor formado pelos valores das variveis de deciso: x = (x1, x2,...,xn).Soluo factvel ou vivel:

uma soluo x = (x1, x2,...,xn) que satisfaze todas as restries do modelo, inclusive as condies de no-negatividade.Soluo infactvel ou invivel:

uma soluo x = (x1, x2,...,xn) que no satisfaz (ou viola) uma das restries do modelo.Soluo tima:

uma soluo vivel x* = (x*1, x*2,...,x*n) que determina o valor mximo ou mnimo da funo objetivo.

Para um problema de minimizao, uma soluo x* soluo tima se: f(x*) f(x), para toda soluo x vivel.

Tipos de soluesTipos de soluesTipos de soluesTipos de solues

Uma soluo vivel:x1 = 6, x2 = 3, x3 = 5, x4 = 4. Lucro = R$4.100

Outra soluo vivel:x1 = 8, x2 = 4, x3 = 5, x4 = 10. Lucro = R$5.900

Uma soluo invivel:x1 = 6, x2 = 8, x3 = 5, x4 = 5.

Qual a soluo tima?

x1 x2 x4150 + 300 + 200

x1 x2 x41 + 4 + 1 50

x1 x2 x41 + 1 + 2 75

max x3+ 300

x3+ 3

x3+ 1

Problema de PLProblema de PLProblema de PLProblema de PLA refinaria de petrleo Recap destila leo cru proveniente deduas fontes, Arbia e Venezuela e produz trs produtos:gasolina, querosene e lubrificantes. Os leos tm diferentescomposies qumicas e fornecem diferentes quantidades dedestilados por barril processado. Cada barril de leo cru daArbia d 0,3 barril de gasolina, 0,4 de querosene e 0,2 delubrificante. Para o leo da Venezuela estas quantidades sorespectivamente: 0,4, 0,2 e 0,3. H 10% de resduos. Os leosdiferem em custo e disponibilidade. A Recap pode comprarat 9000 barris da Arbia a $20 o barril e at 6000 barris daVenezuela a $15 o barril. Contratos da Recap comdistribuidores exigem que ela produza 2000 barris de gasolinapor dia, 1500 barris de querosene e 500 de lubrificantes.Como cumprir os contratos gastando o mnimo? (qual o mixde compra dos leos).

Modelagem do problemaModelagem do problemaModelagem do problemaModelagem do problema

Produtos Arbia(barril)

Venezuela(barril)

Demanda(barris)

Gasolina 0,3 0,4 2.000Querosene 0,4 0,2 1.500Lubrificante 0,2 0,3 500Custo p/barril $20 $15Oferta (barris) 9.000 6.000

Modelagem do problemaModelagem do problemaModelagem do problemaModelagem do problema Variveis de deciso:x1 = quantidade de barris de leo /dia vindos da Arbiax2 = quantidade de barris de leo /dia vindos da Venezuela Tipo das Variveis de Deciso:x1, x2 >= 0 (reais no-negativos) Funo Objetivo: 20x1 + 15 x2 (custo total) Conjunto de Restries Principais:0,3 x1 + 0,4 x2 >= 2000 barris (Demanda gasolina)0,4 x1 + 0,2 x2 >= 1500 barris (Demanda querosene)0,2 x1 + 0,3 x2 >= 500 barris (Demanda lubrificantes)x1

Modelo matemtico de PLModelo matemtico de PLModelo matemtico de PLModelo matemtico de PLMinimizar f(x1, x2) = 20x1 + 15 x2 (custo total)Sujeito a:

0,3 x1 + 0,4 x2 20000,4 x1 + 0,2 x2 15000,2 x1 + 0,3 x2 500x1 9000x2 6000x1 0, x2 0 (condies de no-negatividade)

Problema da DietaProblema da DietaProblema da DietaProblema da Dieta O objetivo do problema determinar a quantidade de

determinados alimentos a serem usados numa dieta (ourao).

A dieta deve conter as quantidades mnimas(necessrias) de determinados nutrientes.

O custo total dos alimentos utilizados na dieta deve serminimizado.

Problema da DietaProblema da DietaProblema da DietaProblema da DietaExemplo: Na tabela abaixo, esto os alimentos que podemser utilizados numa dieta, o preo dos alimentos, aquantidade de nutrientes contidos 100g de cada alimento ea necessidade mnima de cada nutriente na dieta.

Necessidademnima

Problema da DietaProblema da DietaProblema da DietaProblema da DietaNecessidade

mnima

xi = quantidade do alimento i a ser inserida na dieta, (i = carne, ...., laranja).Min f = 0,5x1 + 0,18 x2 + 0,2 x3 + 0,16 x4 + 0,30 x5 + 0,18x6S.a: 225 x1 + 364 x2 + 337 x3 + 385 x4 + 15 x5 + 42 x6 3200 (energtico)

7 x1 + 0 x2 + 2 x3 + 0 x4 + 87 x5 + 13 x6 750 (Vit. A)0 x1 + 0 x2 + 3 x3 + 0 x4 + 12 x5 + 59 x6 70 (Vit. C)

2,9 x1 + 1,3 x2 + 7,6 x3 + 0,1 x4 + 1,3 x5 + 0,7 x6 10 (Ferro)11x1 + 9 x2 + 86 x3 + 0 x4 + 43x5 + 34 x6 650 (Clcio)

xi 0, i=1,...,6.

Problema de TransporteProblema de TransporteProblema de TransporteProblema de TransporteConsidere uma companhia distribuidora de bebidas que tem 2 centrosde produo: Araraquara e So Jos dos Campos e 3 mercadosconsumidores principais: So Paulo, Belo Horizonte e Rio deJaneiro. Na tabela abaixo so mostrados os custos unitrios de setransportar uma caixa de bebida de cada centro de produo para cadamercado consumidor, as demandas dirias de cada mercado e anmero de caixas disponveis diariamente em cada centro deproduo. Deseja-se minimizar o custo total de transporte debebidas dos diversos centros de produo em quantia suficiente parasuprir as demandas dos mercados.

Centros deproduo

Mercados DisponibilidadeEm cada centroSP BH RJ

Araraquara 4 2 5 800S.J. Campos 11 7 4 1000

Demanda SP500

Demanda BH400

Demanda RJ900

Problema de TransporteProblema de TransporteProblema de TransporteProblema de Transporte

xij = quantidade de caixas a ser enviada do centro de produo i para omercado j .i=1(Araraquara), i=2( S.J.Campos), j=1(SP), j=2( BH), j=3( RJ).Minimizar f(x11,..., x23) = 4x11 + 2x12 + 5x13 + 11x21 + 7x22 + 4x23s.a. x11 + x12 + x13 800 (oferta Araraquara)

x21 + x22 + x23 1000 (oferta S.J.C)x11 + x21 500 (demanda SP)x12 + x22 400 (demanda BH)x13 + x23 900 (demanda RJ)x11 0, x12 0, x13 0, x21 0, x22 0, x23 0.

Centros deproduo

Mercados DisponibilidadeEm cada centroSP BH RJ

Araraquara 4 2 5 800S.J. Campos 11 7 4 1000

Demanda SP500

Demanda BH400

Demanda RJ900

Problema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de RecursosUm gerente est executando o planejamento da produo de 3produtos em 4 mquinas. Todos os produtos podem ser fabricadospor todas as mquinas. Os custos unitrios de produo de cadaproduto em cada mquina so apresentados na seguinte tabela:

Problema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de RecursosH uma demanda (pedidos) de 4000, 5000 e 3000 unidades paraos produtos 1, 2 e 3, respectivamente.As mquinas esto disponveis por uma quantidade determinadade horas e cada unidade de um produto requer uma quantidadefixa de horas em cada mquina de acordo com a seguinte tabela:

Deseja-se minimizar o custo total de produo.

Problema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de Recursos.

Problema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de RecursosVariveis de deciso:xij = quantidade do produto i produzido na mquina j (unidades)(i = 1,2,3; j = 1,2,3,4) 12 variveis.xij 0 inteiros

Custo total de Produo (Minimizar)

f = 4 x11 + 4 x12 + 5 x13 + 7 x14 +6 x21 + 7 x22 + 5 x23 + 6 x24 +

12 x31 + 10 x32 + 8 x33 + 11 x34

Problema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de RecursosProblema de Alocao de RecursosDemanda de produtos: Produto1) x11 + x12 + x13 + x14 4000 Produto2) x21 + x22 + x23 + x24 5000 Produto3) x31 + x32 + x33 + x34 3000

Capacidade de produo das mquinas: Mquina1) 0.3 x11 + 0.2 x21 + 0.8x31 1500 Mquina2) 0.25x12 + 0.3 x22 + 0.6x32 1200 Mquina3) 0.2 x13 + 0.2 x23 + 0.6x33 1500 Mquina4) 0.2 x14 + 0.25x24 + 0.5x34 2000

Forma geral de um modelo PLForma geral de um modelo PLForma geral de um modelo PLForma geral de um modelo PL

Min ou Max f(x1, ...,xn) = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxnS.a: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn bmx1 0; x2 0; . . . ; xn 0

Min ou Max f(x1, ...,xn) =S. a:

; j = 1,2, ... , m.

xi 0; i = 1,2, ... , n.

=

n

iii xc

1

jn

iiji bxa =

=

,,

1

=

Modelo evolvendo n variveis de deciso e m restries:

Modelo geral do problema da DietaModelo geral do problema da DietaModelo geral do problema da DietaModelo geral do problema da Dieta

.,...,1;0

.,...,1;

),...,(min

1

11

nix

mjbxa

xcxxf

i

jn

iiji

n

iiin

=

=

=

=

=

s.a.

n = nmero de alimentos.m = nmero de nutrientes.ci = custo de uma unidade do alimento i.aij = quantidade do nutriente j no alimento i.bj = quantidade mnima do nutriente j que a dieta deve conter.Varivel de deciso:xi = quantidade do alimento i a ser usada na dieta (valor real).

Modelo geral de TransporteModelo geral de TransporteModelo geral de TransporteModelo geral de Transporte

.,...,1;,...,1;0

.,...,1 ;

.,...,1 ; s.a.

),...,(min

1

1

1 111

mjnixmjdx

nisx

xcxxf

ij

jn

iij

i

m

jij

n

i

m

jijijnm

==

=

=

=

=

=

= =

n = nmero de fornecedores.m = nmero de clientes.si = oferta do fornecedor i (quantidade disponvel).dj = demanda do cliente j (quantidade requerida). cij = custo unitrio de transporte do fornecedor i para o clientes j.Varivel de deciso:xij = quantidade a ser enviada do fornecedor i para o cliente j.

Modelo de PL Forma MatricialModelo de PL Forma MatricialModelo de PL Forma MatricialModelo de PL Forma MatricialMin ou Max f(x) = cxS. a: Ax b

x 0

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

A

=

nx

x

x

...

2

1

x

=

mb

bb

...

2

1

b

=

nc

c

c

...

2

1

Tc

Soluo Grfica de um Modelo de PLSoluo Grfica de um Modelo de PLSoluo Grfica de um Modelo de PLSoluo Grfica de um Modelo de PL Vlida para problemas com 2 variveis A soluo grfica nos ajudar a entender os princpios bsicos

do mtodo Simplex.

3

2

x1

x2

2x1 + 3x2 = 6

2x1 + 3x2 6

2x1 + 3x2 6

A representao grfica de uma equao linear com 2 variveis uma reta.

A representao grfica de uma inequao linear com 2 variveis um dos semiplanos definidos pela reta correspondente equao.

Soluo Grfica de um Modelo de PLSoluo Grfica de um Modelo de PLSoluo Grfica de um Modelo de PLSoluo Grfica de um Modelo de PLResolver :

Max 2x1 + 6x2S.a.

8x1 + 9x2

Soluo Grfica de um Modelo de PLSoluo Grfica de um Modelo de PLSoluo Grfica de um Modelo de PLSoluo Grfica de um Modelo de PLResolver o seguinte problema graficamente: Uma empresa fabrica 2 produtos. Na fabricao destes produtos, sousados dos tipos de matria prima e dois tipos de mo de obra.

Produto 1111 Produto 2222 DisponibilidadeDisponibilidadeDisponibilidadeDisponibilidade

Matria Prima A 70 kg/unidade 70 kg/unidade 4900 kg

Matria Prima B 90 kg/unidade 50 kg/unidade 4500 kg

Mo de Obra Especializada P1 2 H-h/unidade - 80 H-h

Mo de Obra Especializada P2 - 3 H-h/unidade 180 H-h

Lucro por unidade de produto: 20 R$/unidade 60 R$/unidade

Dada a grande procura, estima-se que todas as unidades a seremproduzidas, dos 2 produtos, podero ser vendidas. O objetivo dafbrica obter o maior lucro possvel com a produo e a vendados produtos 1 e 2.

Modelo de PL e Grfico da Regio VivelModelo de PL e Grfico da Regio VivelModelo de PL e Grfico da Regio VivelModelo de PL e Grfico da Regio VivelMax f = 20x1 + 60x2s.a.

70x1 + 70x2 4900 (R1)90x1 + 50x2 4500 (R2)2x1 80 (R3)3x2 180 (R4)x1 ,x2 0

Regio Vivel

Soluo GrficaSoluo GrficaSoluo GrficaSoluo Grfica

Sendo a funof (x) = 20x1 + 60x2,

f(x) = (20, 60).

f f

f

Ponto timo(10,60)

Para x1 = 10 e x2 = 60, f(x1, x2) = 3800 (lucro mximo).


Regio Vivel

Valores de f para os diferentes pontos extremos da regio vivel:f (x) = 20x1 + 60x2x = (0,0) f(x)= 0x = (40,0) f(x)= 800x = (40,18) f(x)= 1880x = (25,45) f(x)= 3200x = (10,60) f(x)= 3800x = (0,60) f(x) = 3600

(10,60)

(25,45)

(40,18)

Soluo GrficaSoluo GrficaSoluo GrficaSoluo GrficaMin f(x1, x2) = 3x1 + 5x2s.a.

x1 4 R12x2 12 R23x1 + 2x2 18 R3x10, x20

4

6

9

6

(4,3)

(4,6)(2,6)

R3R1

R2

f = 42

f = 27f


Max f(x1, x2) = x1+ 2x2s.a.

-3x1 + x2 2 R1x2 3 R2x1 + 2x2 9 R3

3x1 + x2 18 R4x1 0, x2 0.

Quando o problema tiver mltiplas solues timas, estas solues estaro em um segmento de reta tangente regio vivel.

6

4,5

x1

x2R4

9

3 R2

f = x1 + 2x2 = 9

2

R1R3Mltiplas solues timas

0

(3; 3)(5.4; 1.8)Regio

vivelPara os pontos:x = (3;3), (4, 2.5) e (5.4; 1.8)f(x) = 9 (valor mximo)


Max f(x1, x2) = x1+ 2x2s.a. x1 x2 10

2x1 40x1, x20

Soluo Ilimitada: o valor da funo objetivo pode crescer ou decrescer indefinidamente.

x1

x2

10

x1 - x2 = 10

x1 = 20

20

Regio vivel ilimitada

f

f

Forma padro de um modeloForma padro de um modeloForma padro de um modeloForma padro de um modeloMax f(x) = cxs. a: Ax = b

x 0Transformao de problemas na forma padro

Problemas de minimizaoMin f(x) Max f(x).

Problemas com restries de desigualdade ou As restries do tipo (ou ) so transformadas em restries do tipo = adicionando (ou subtraindo) uma nova varivel no-negativa no lado esquerdo da inequao. Estas variveis so chamadas de variveis de folga (ou excesso).

Problemas com variveis livres ou irrestritas

b 0

Forma padro de um modeloForma padro de um modeloForma padro de um modeloForma padro de um modeloMin f(x1, x2) = 3x1 + 5x2s.a.

x1 4 R12x2 12 R23x1 + 2x2 18 R3x10, x20

4

6

9

6

(4,3)

(4,6)(2,6)

R3R1

R2

f = 42

f = 27f = 36f

Forma padro de um modeloForma padro de um modeloForma padro de um modeloForma padro de um modeloMax -f(x1, x2) = -3x1 - 5x2s.a.

x1 4 R12x2 12 R23x1 + 2x2 18 R3x10, x20

4

6

9

6

(4,3)

(4,6)(2,6)

R3R1

R2

f = -42

f = -27f = -36f

Forma padro de um modeloForma padro de um modeloForma padro de um modeloForma padro de um modeloMax -f(x1, x2) = -3x1 - 5x2s.a.

x1 4 2x2 12 3x1 + 2x2 18x10, x20

Max -f(x1, x2) = -3x1 - 5x2s.a.

x1 + x3 = 4 2x2 + x4 = 12

3x1 + 2x2 x5 =18x10, x20x30, x40, x50

Resolver o ModeloResolver o ModeloResolver o ModeloResolver o Modelo

Deve-se determinar uma soluo do sistema de equaes que determine o valor mximo da funo objetivo. Note que temos 3 equaes e 5 variveis. O sistema possui infinitas solues. Como determinar uma soluo do sistema?

Max -f(x1, x2) = -3x1 - 5x2s.a.

x1 + x3 = 4 2x2 + x4 = 12

3x1 + 2x2 x5 =18x10, x20, x30, x40, x50


Fixar (anular) 5-3 = 2 variveis. Quais variveis devem ser anuladas? Possveis maneiras de anular 2 variveis:

Max -f(x1, x2) = -3x1 - 5x2s.a.

x1 + x3 = 4 2x2 + x4 = 12

3x1 + 2x2 x5 =18x10, x20, x30, x40, x50

10)!25(!2!5

25

=

=


Se anulamos x4 e x5 (x4 = 0, x5 = 0 ):x1 + x3 = 4

2x2 = 12 3x1 + 2x2 = 18

x1 = 2, x2 = 6, x3 = 2. Esta soluo vivel. f = -36

Max -f(x1, x2) = -3x1 - 5x2s.a.

x1 + x3 = 4 2x2 + x4 = 12

3x1 + 2x2 x5 =18x10, x20, x30, x40, x50


Uma maneira de determinar a soluo tima do modelo: Determinar todas as solues viveis anulando 2 variveis. Escolher a soluo que gera o maior valor de f.

Max -f(x1, x2) = -3x1 - 5x2s.a.

x1 + x3 = 4 2x2 + x4 = 12

3x1 + 2x2 x5 =18x10, x20, x30, x40, x50

Solues BsicasSolues BsicasSolues BsicasSolues BsicasConsidere o seguinte modelo na forma padro: Max f(x) = cxS. a: Ax = b

x 0

Note que no sistema Ax = b tem-se m equaes e nvariveis (m

Solues BsicasSolues BsicasSolues BsicasSolues Bsicas Ax = b pode ser escrito como BxB + NxN = b xN = vetor de variveis a serem fixadas (variveis

no-bsicas). xB = vetor de variveis a serem determinadas

(variveis bsicas). O sistema possui uma soluo se existe uma matriz B

no singular, isto , uma base para o Rm. Soluo bsica: xB = B1b; xN = 0. Se xB 0, ento x = [xB xN] uma soluo bsica

vivel. Nmero mximo de parties:

)!(!!

mnm

n

m

n

=

Nmero mximo de solues bsicas

Solues Bsicas Solues Bsicas Solues Bsicas Solues Bsicas ---- Exemplo:Exemplo:Exemplo:Exemplo:Max f = x1 + 2x2s.a.

x1 + x2 6x2 3x1, x2 0

Max f = x1 + 2x2s.a.

x1 + x2 + x3 = 6x2 + x4 = 3

x1, x2, x3, x4 0

==

10100111][ 4321 a a a aA

=

36

b

Nmero mximo de solues bsicas (ou nmero mximo de possveis parties): 6

24

=

x2

x1

(0,6)

(3,3)(0,3)

(0,0) (6,0)O P

QR

S

=

36

10100111

4

3

2

1

x

x

x

x

Solues Bsicas Solues Bsicas Solues Bsicas Solues Bsicas ---- Exemplo:Exemplo:Exemplo:Exemplo:Determinando todas as parties A = [B N] e x = [xB xN]e resolvendo, Ax = b, com xN = 0:

1) B = [a1 a2], N = [a3 a4]

xB = (x1,x2)T =(3, 3), xN = (x3, x4)T = (0,0) soluo bsica vivel (ponto Q)

=

36

10100111

4

3

2

1

x

x

x

x

=

+

=+

36

1001

1011

4

3

2

1

x

x

x

x bNxBx NB

=

+

36

2

21

x

xx

0

1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 = 60x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 = 3

= bBxB

Solues Bsicas Solues Bsicas Solues Bsicas Solues Bsicas ---- Exemplo:Exemplo:Exemplo:Exemplo:

2) B = [a1 a3], N = [a2 a4]

xB = (x1,x3)T, xN = (x2, x4)T

As colunas a1 e a3 so linearmente dependentes, no formam uma base de R2.

3) B = [a1 a4], N = [a2 a3]

xB = (x1,x4)T, xN = (x2, x3)T

xB = (x1,x4)T = (6, 3), xN = (x2, x3)T = (0,0) soluo bsica vivel (ponto P)

=

=

1101

N 0011

B

1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 = 60x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 = 3

=

=

0111

N 1001

B

bBxB =


4) B = [a2 a3], N = [a1 a4]

xB = (x2,x3)T, xN = (x1, x4)T

xB = (x2,x3)T= (3, 3), xN = (x1, x4)T = (0,0) soluo bsica vivel (ponto R)5) B = [a2 a4], N = [a1 a3]

xB = (x2,x4)T, xN = (x1, x3)T

xB = (x2,x4)T= (6, -3), xN = (x1, x3)T = (0,0) soluo bsica invivel (ponto S)

=

=

1001

N 0111

B

1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 = 60x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 = 3

=

=

0011

N 1101

B


6) B = [a3 a4], N = [a1 a2]xB = (x3,x4)T = (6, 3), xN = (x1, x2)T = (0,0) soluo bsica vivel (ponto O)

1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 = 60x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 = 3

Solues BsicasSolues BsicasSolues BsicasSolues BsicasNote que: Cada ponto extremo da regio vivel (polgono ou

poliedro) corresponde a uma soluo bsica vivel Cada soluo bsica obtida pela interseo n-m retas,

planos ou hiperplanos (n-m variveis so anuladas).

x2

x1

(0,6)

(3,3)(0,3)

(0,0) (6,0)O P

QR

S

Solues BsicasSolues BsicasSolues BsicasSolues Bsicas

Teoremas:x um ponto extremo do poliedro X = {x : Ax = b, x 0} sss x uma soluo bsica vivel.

Toda soluo x do poliedro pode ser escrito como uma combinao linear convexa dos seus pontos extremos.

Tj

p

j

T

jj

T

jjj

,...,1 ,0

1

x

1

1

=

=

=

=

=

T = no de pontos extremospj = pontos extremos

Solues Bsicas Solues Bsicas Solues Bsicas Solues Bsicas Exemplo 2:Exemplo 2:Exemplo 2:Exemplo 2:Max f = 2x1 + 3x2s.a.

x1 42x2 123x1 + 2x2 18x1, x2 0

Max f = 2x1 + 3x2s.a.

x1 + x3 = 42x2 + x4 = 12

3x1 + 2x2 + x5 = 18x1, x2, x3, x4, x5 0

==

100230102000101

]a a a a a[A 54321

=

18124

b

Determine todas as solues bsicas.

Solues Bsicas Solues Bsicas Solues Bsicas Solues Bsicas Exemplo 2:Exemplo 2:Exemplo 2:Exemplo 2:Max f = 2x1 + 3x2s.a.

x1 42x2 123x1 + 2x2 18x1, x2 0

(0,0) (4,0) (6,0)

(0,6)

(4,6) (2,6)

(0,9)

(4,3)

2.2 : 2 12eq x

2.5 : 0eq x

1.4 : 0eq x

1.1 : 4eq x

(0,0) 1x

2x

1 2.3 : 3 2 18eq x x+

(1,6)

Regio vivel

Max f = 2x1 + 3x2s.a.

x1 + x3 = 42x2 + x4 = 12

3x1 + 2x2 + x5 = 18x1, x2, x3, x4, x5 0

Solues BsicasSolues BsicasSolues BsicasSolues BsicasMtodo De Busca Exaustiva para Resolver um Problema de PL1) Transformar o problema na forma padro;2) Determinar todas as solues bsicas do sistema (agrupando m

variveis bsicas e n-m variveis no bsicas ). Para cada soluo bsica vivel calcular o valor da funo objetivo.

3) Retornar a soluo com maior valor da funo objetivo.

m

n

m

n

Apesar do nmero ser finito,

ele pode ser muito grande para problemas prticos em que n da ordem de centenas ou milhares, e muito maior que m.

Suponha n = 100 e m = 10. = 17.310.309.456.440 solues bsicas.

Mtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexMtodo Simplex um mtodo mais eficiente. Inicia com uma soluo bsica vivel e procura apenas outras solues bsicas viveis melhores que as anteriores.

Este mtodo reduz consideravelmente o nmero de solues bsicas a serem calculadas.

Max f = 5x1 + 2x2s.a:

x1 + 2x2 8x1 4x2 3x1 0, x2 0.

Max f = 5x1 + 2x2s.a.

x1 + 2x2 + x3 = 8x1 + x4 = 4

x2 + x5 = 3x1, x2, x3, x4, x5 0

Exemplo:

Mtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexMax f = 5x1 + 2x2s.a.

x1 + 2x2 + x3 = 8x1 + x4 = 4

x2 + x5 = 3x1, x2, x3, x4, x5 0

==

100100100100121

][ 54321 a a a a aA

=

348

b

Soluo bsica vivel inicial:

=

25

c

x3 = 8 x1 2x2x4 = 4 x1x5 = 3 x2

Fazer x1 = x2 = 0x3 = 8x4 = 4x5 = 3

Base inicial

Mtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexMax f = 5x1 + 2x2s.a.

x1 + 2x2 + x3 = 8x1 + x4 = 4

x2 + x5 = 3x1, x2, x3, x4, x5 0

==

100100100100121

][ 54321 a a a a aA

=

348

b

Soluo bsica vivel inicial: Na forma matricial: Considerar a base :

==

100010001

][ 543 a a aB

=

==+=

348

100010001

bBx bNx Bx bAx

5

4

3

BNB

x

x

x

=

25

c

Mtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexMtodo Simplex

;

348

5

4

3

=

x

x

x Valor da funo objetivo:

=

00

2

1

x

x

Esta soluo bsica vivel corresponde ao ponto extremo O = (0,0)Para determinar outra soluo bsica vivel (outro ponto extremo), devemos determinar outra BASE a partir da base anterior.Ou seja, Vamos determinar um ponto extremo adjacente ao ponto anterior.

Na soluo anterior, trocar uma varivel no-bsica com uma bsica.Em outras palavras, uma varivel no-bsica deve passar ser bsica(Varivel que entrar na base). Temos duas possibilidades:1) x1 entra na base ou2) x2 entra na bse

Escolher a varivel com maior coeficiente em f, ou seja, x1.

0)0,0,0()2,5(255

4

3

2

121 =

+

=+=

x

x

x

x

xxxf

Mtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexQual varivel bsica deve passar a ser no-bsica (i.e. sair da base)?

Temos trs possibilidades: x3, x4 ou x5.

Como x1 vai entrar na base, Qual deve ser o maior valor de x1 de tal maneira que as restries de no-negatividade no sejam violadas?

;

348

5

4

3

=

x

x

x

=

00

2

1

x

x

Mtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexQual varivel bsica deve passar a ser no-bsica (i.e. sair da base)?

Temos trs possibilidades: x3, x4 ou x5.

Como x1 vai entrar na base, Qual deve ser o maior valor de x1 de tal maneira que as restries de no-negatividade no sejam violadas?

;

348

5

4

3

=

x

x

x

=

00

2

1

x

x

0348

1

1

x

xx3 = 8 x1 2x2x4 = 4 x1x5 = 3 x2

x3 = 8 x1 0x4 = 4 x1 0x5 = 3 0

Ento, x1 pode ser no mximo 4.x1 = 4 x4

Mtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexPor tanto,x1 entra na base (x1 = 4)x4 sai da base (x4 = 0)Nova soluo bsica:

==

100010011

][ 513 a a aB

==

110020

][ 24 a aN

=

348

100010011

5

1

3

3

2

1

x

x

x

LLL

=

00

2

4

x

x

==

100100100100121

][ 54321 a a a a aA

=

348

b

Transformando B em Identidade (i.e. multiplicando ambos lados por B-1):Operaes: L1 L1 L2

Resolvendo BxB + NxN = b com xN = 0:

x1 = 4 x4

Mtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexMtodo Simplex

Nova soluo bsica:

=

344

100010001

5

1

3

3

2

1

x

x

x

LLL

=

344

5

1

3

x

x

x

=

00

2

4

x

x 21 25 xxf +=

x4 = 4 x1 24 2)4(5 xxf += 24 25 xxf += 20

Ponto extremo: (4, 0). f = 20

Como x4 foi trocada com x1, x1 escrito em termos de x4 :

A funo objetivo f definida em termos das variveis no-bsicas.A soluo obtida tima (o valor de f mximo)?NO, pois ela pode melhorar fazendo com que x2 passe ser bsica. O mtodo simplex continua at obter uma soluo bsica vivel com o valor mximo de f (ou seja, at que no seja possvel melhorar f ).

Mtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em TabelasOs clculos realizados acima so sintetizados nas tabelas.

Variveis Bsicas x1 x2 x3 x4 x5

Valores de f e xB

L1 -f 5 2 0 0 0 0L2 x3 1 2 1 0 0 8L3 x4 1 0 0 1 0 4L4 x5 0 1 0 0 1 3

Max f = 5x1 + 2x2s.a.

x1 + 2x2 + x3 = 8x1 + x4 = 4

x2 + x5 = 3x1, x2, x3, x4, x5 0

Determinando uma nova soluo bsica vivel (iterao 1):Varivel que entra na base: x1 (varivel com maior coeficiente > 0 em f ).

;

348

5

4

3

=

=

x

x

x

xB

=

=

00

2

1

x

xxN

Soluo bsica vivel inicial:

f = 0

Mtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em Tabelas

Varivel que sai:


Valores de f e xB

L1 -f 5 2 0 0 0 0L2 x3 1 2 1 0 0 8L3 x4 1 0 0 1 0 4L4 x5 0 1 0 0 1 3

x3: x1 8/1 = 8x4: x1 4/1 = 4x5: 3/0 = indeterminado

Menor valor 0. x4 sai da base.


Varivel que sai:


Valores de f e xB

L1 -f 5 2 0 0 0 0L2 x3 1 2 1 0 0 8L3 x4 1 0 0 1 0 4L4 x5 0 1 0 0 1 3

x3: x1 8/1 = 8x4: x1 4/1 = 4x5: 3/0 = indeterminado


Se xk a varivel que entra, o valor mximo de xk :

>=

0 onde ,0min ikik

iBik

aa

bx

A varivel que sai da base xi , onde kik

i xa

b=

, B conjunto de ndices das variveis bsicas

Mtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em TabelasVariveis Bsicas x1 x2 x3 x4 x5

Valores de f e xB

L1 -f 5 2 0 0 0 0L2 x3 1 2 1 0 0 8L3 x4 1 0 0 1 0 4L4 x5 0 1 0 0 1 3

A nova soluo determinada fazendo operaes de pivteamento. Note na tabela anterior, x3, x4 e x5 so VB. Na linha de f, estas variveis possuem coeficiente zero e suas colunas formam uma matriz identidade.

Coluna de pivteamento


Operaes para transformar a tabela (pivteamento):L3 L3/piv = L3/1 = L3L1 L1 5L3; L2 L2 1L3; L4 L4 0L3


Valores de f e xB

L1 -f 5 2 0 0 0 0L2 x3 1 2 1 0 0 8L3 x1 1 0 0 1 0 4L4 x5 0 1 0 0 1 3

piv


Valores de f e xB

L1 -f 0 2 0 -5 0 -20L2 x3 0 2 1 -1 0 4L3 x1 1 0 0 1 0 4L4 x5 0 1 0 0 1 3

;

344

5

1

3

=

x

x

x

=

00

2

4

x

xNova soluobsica vivel: ; f = 20 tima?NO. f pode aumentar.

Mtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em TabelasDeterminando a prxima soluo bsica (iterao 2):


Valores de f e xB

L1 -f 0 2 0 -5 0 -20L2 x3 0 2 1 -1 0 4L3 x1 1 0 0 1 0 4L4 x5 0 1 0 0 1 3

Operaes de Pivteamento:L2 L2/piv = L2/2L1 L1 2L2;L3 L3 0L2; L4 L4 1L2

Varivel que entra na base: x2 (varivel com maior coeficiente >0 em f ).Varivel que sai:x3 : 4/2 = 2x1 : 4/0 = indeterminadox5 : 3/1 = 3


x3 0 2 1 -1 0 4piv

Mtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em TabelasMtodo Simplex em TabelasNova tabela:


Valores de f e xB

L1 -f 0 0 -1 -4 0 -24L2 x2 0 1 1/2 -1/2 0 2L3 x1 1 0 0 1 0 4L4 x5 0 0 -1/2 1/2 1 1

Esta soluo tima? SIM, pois f no pode aumentar mais (os coeficientes so todos negativos).

Fim do mtodo.

;

142

5

1

2

=

x

x

x

=

00

3

4

x

xNova soluo bsica vivel: f = 24

Mtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexMtodo SimplexBusca da soluo tima pelo mtodo simplex:

Max f = 5x1 + 2x2s.a:

x1 + 2x2 8x1 4x2 3x1 0, x2 0.

x2

x1

(0,3)(2,3)

(0,4)

(0,0) (8,0)(4,0)

(4,2)

x1 + 2x2 =8

x2 =3

x1 = 4

Algoritmo do Mtodo SimplexAlgoritmo do Mtodo SimplexAlgoritmo do Mtodo SimplexAlgoritmo do Mtodo Simplex

Incio

Determine uma soluo bsica vivel

Determine outra soluo bsicavivel melhor que a anterior

No

FimSimA soluo tima?

Teste de otimalidade

Tabela tima:Tabela tima:Tabela tima:Tabela tima:

Tabela da soluo tima:Variveis Bsicas x1 x2 x3 x4 x5

Valores de f e xB

L1 -f 0 0 -1 -4 0 -24L2 x2 0 1 1/2 -1/2 0 2L3 x1 1 0 0 1 0 4L4 x5 0 0 -1/2 1/2 1 1

B-1

Variveis de folga

Max f = 5x1 + 2x2s.a. x1 + 2x2 + x3 = 8

x1 + x4 = 4x2 + x5 = 3

x1, x2, x3, x4, x5 0

=

100100100100121

A

==

101010012

][ 512 a a aB

a1 a2 a3 a4 a5

Tabela tima:Tabela tima:Tabela tima:Tabela tima:Forma cannica da tabela simplex:

xB xN

-f 0 cj cBB-1aj cBB-1bxB I B-1N B-1b

Max f = 5x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5x1 + 2x2 + x3 = 8x1 + x4 = 4

x2 + x5 = 3x1, x2, x3, x4, x5 0

;142

348

12/12/101002/12/1

bBx 1B

=

==

=

4

3

x

xNx

;052

5

1

2

cB

=

=

c

c

c

;

5

1

2

xB

=

x

x

x

24 =

=

142

052

f

Custos reduzidos


xB xN


Max f = 5x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5x1 + 2x2 + x3 = 8x1 + x4 = 4

x2 + x5 = 3x1, x2, x3, x4, x5 0

;1001

12/12/101002/12/1

052

03 =

=

aBc 31

Bc aBc 41

B 44 =

c

Na linha de f, coeficientes das varives nao-bsicas x3 e x4:

=

4

3

x

xNx;

5

1

2

xB

=

x

x

x


xB xN


BxB + NxN = b B-1BxB + B-1NxN = B-1b IxB + B-1NxN = B-1b.

xB = B-1b B-1 NxNN = [aj] jR e xN = (xj)jR Rj jj

xa xB = B-1b B-1

f = cx f = cBxB + cNxN

Provando que f est em termos das Variveis No Bsicas (VNBs), ou seja:; R conjunto de ndices das VNBs.

Condio para que a soluo bsica seja vivel: B-1b 0.

Tabela tima:Tabela tima:Tabela tima:Tabela tima:

Substituindo (1) e (2) em f = cBxB + cNxN :

Rj

jj xaxB = B-1b B-1 ......(1) cNxN = ......(2)Rj

jj xc

A condio para que a tabela seja tima: cj cBB-1aj 0, jR

Tabela tima:Tabela tima:Tabela tima:Tabela tima:Tabela da soluo tima:


Valores de f e xB

L1 -f 0 0 -1 -4 0 -24L2 x2 0 1 1/2 -1/2 0 2L3 x1 1 0 0 1 0 4L4 x5 0 0 -1/2 1/2 1 1

Variveis de folga

(1): Preos Duais dos recursos

Preo Dual de um Recurso: o preo de uma unidade de recurso (ex. custo de 1 m de tecido).No modelo, bi a quantidade do recurso i. Se o recurso i aumentado ou diminudo em 1 unidade, o valor do lucro (funo objetivo) aumentar ou diminuir no seu preo dual.A quantidade do recurso pode ser variada numa certa faixa (intervalo).

Tabela tima:Tabela tima:Tabela tima:Tabela tima:Tabela da soluo tima:


Valores de f e xB

L1 -f 0 0 -1 -4 0 -24L2 x2 0 1 1/2 -1/2 0 2L3 x1 1 0 0 1 0 4L4 x5 0 0 -1/2 1/2 1 1

Custos reduzidos dos

Custo reduzido: a reduo da funo objetivo quando uma varivel no-bsicaentrar na base (passar ser bsica). Caso um produto no seja produzido, por cada unidade produzida deste produto, a funo objetivo diminuir no custo reduzido do produto. Se o produto est sendo produzido, seu custo reduzido zero.

Problema Problema Problema Problema PrimalPrimalPrimalPrimal e Duale Duale Duale DualPrimalMax f(x) = cTxs.a Ax = b

x 0

DualMin g(y)= bT ys.a ATy c

y irrestrito

Problema Problema Problema Problema PrimalPrimalPrimalPrimal e Duale Duale Duale DualPrimalMax f(x) = 2x1 + 3x2 + x3s.a.

3x1 + 4x2 + 2x3 = 102x1 + 6x2 + x3 = 20x1 x2 x3 = 30x1 0, x2 0, x3 0

DualMin g(y) = 10y1 + 20y2 + 30y3s.a. 3y1 + 2y2 + y3 2

4y1 + 6y2 y3 32y1 + y2 y3 1

Problema Problema Problema Problema PrimalPrimalPrimalPrimal e Duale Duale Duale DualPrimalMax f = 5x1 + 2x2s. a: x1 3

x2 4 x1 + 2x2 9 x1 0, x2 0

DualMin g = 3y1 + 4y2 + 9y3S.a. y1 + y3 5

y2 + 2y3 2y1 0y2 0y3 0

Max f = 5x1 + 2x2 + 0x3+ 0x4+ 0x5S.a. x1 + x3 = 3

x2 + x4 = 4x1 + 2x2 + x5 = 9x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0.

Problema Problema Problema Problema PrimalPrimalPrimalPrimal e Duale Duale Duale DualPropriedade

1) Se x e y so solues viveis do problema primale dual respectivamente, entof(x) g(y).

1) Se x* o y* e so solues viveis do problemaprimal e dual respectivamente,

tal que f(x*) = g(y*), ento ambas so soluestimas dos correspondentes problemas.

* *

F.O.DualF.O. Primal

j j i ij i

c x b y= 123123

Problema Problema Problema Problema PrimalPrimalPrimalPrimal e Duale Duale Duale DualPropriedade

Suponha que x e y sejam solues timas dos modelos primal e do dual, respectivamente.g(y) = by = yTb

f(x) = cx = cBxB + cNxN , xN = 0, f(x) = cBxBf(x) = cBB-1b

Se g(y) = f(x) ento, yTb = cBB-1b

yT = cBB-1 Preos Duais

Problema Problema Problema Problema PrimalPrimalPrimalPrimal e Duale Duale Duale DualTabela simplex do primal:

xB xN-f 0 cj cBB-1aj cBB-1bxB I B-1N B-1b

Custos reduzidos:zj = cj cBB-1aj, j ndice das variveis no-bsicaszj = cj yajonde y o vetor de Preos Duais

Problema Problema Problema Problema PrimalPrimalPrimalPrimal e Duale Duale Duale DualPrimal:Max f = 5x1 + 2x2s.a. x1 3

x2 4x1 + 2x2 9x1, x2 0.

Max f = 5x1 + 2x2s.a. x1 + 0x2 + x3 +0x4 + 0x5 = 3

0x1 + x2 + 0x3 + x4 +0x5 = 4x1 + 2x2 + 0x3 +0x4 + x5 = 9xi 0, i =1,5.

Dual:Min g = 3y1 + 4y2 + 9y3s.a. y1 + y3 5

y2 + 2y3 2y1, y2, y3 0

Min g = 3y1 + 4y2 + 9y3s.a.

y1 + y3 y4 = 5y2 + 2y3 y5 = 2

y1, y2 , y3, y4, y5 0

Preos Duais: Vetor das variveis originais do Dual (y1 , y2 , y3)

Problema Problema Problema Problema PrimalPrimalPrimalPrimal e Duale Duale Duale Dual

xB x1 x2 x3 x4 x5-f 0 0 -4 0 -1 -21x1 1 0 1 0 0 3x4 0 0 1/2 1 -1/2 1x2 0 1 -1/2 0 1/2 3

y4 y5 y1 y2 y3

Tabela tima do primal

Solues do Primal e do Dual:xB = (x1, x4, x2) = (3, 1,3). xN = (x3, x5)yB = (y1, y3) = (4, 1). yN = (y4, y2, y5)g = f = 21

intro duca o a program a cao linear

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