Institut für PhysikInstitut für PhysikPhysikalisches GrundpraktikumPhysikalisches Grundpraktikum

Einführung in die Messung, Auswertung undEinführung in die Messung, Auswertung undDarstellung experimenteller ErgebnisseDarstellung experimenteller Ergebnisse

in der Physikin der Physik

(Fortsetzung)(Fortsetzung)

Schätzung von Messunsicherheiten für eine einmalige Schätzung von Messunsicherheiten für eine einmalige Messung („Größtfehlerabschätzung“)Messung („Größtfehlerabschätzung“)

Ablesen einer (Analog-) Skale:Vergleich der Lage eines Messpunkts oder eines Zeigers mit den Teilstrichen der Skale; nächst gelegener Teilstrich als Schätz- bzw. Bestwert; geschätzte Unsicherheit mit ± halbe Intervallbreite der feinsten Skalenteilunggrob geteilte Skale → Interpolation der Lage des Zeigers zwischen zwei Teilstrichen; Abschätzung der Zehntelbruchteile; Unsicherheit ± ein ZehntelbruchteilAblesen einer Digitalanzeige:Schätz- bzw. Größtfehler mindestens ±1 LSD (vgl. vorige Vorlesung), häufig Schwankungen des LSD direkt zu beobachten

Abschätzung von Unsicherheiten oft nicht möglich bzw. nicht sachAbschätzung von Unsicherheiten oft nicht möglich bzw. nicht sachgerecht:gerecht:•anstatt einer Einzel- mehrere wiederholte Messungen, die mit den Methoden der mathematischen Statistik untersucht werden können bzw. müssen

•bei Messreihe ein und die selbe Messung unter möglichst identischen Randbedin-gungen „genügend oft“ (i.d.R. mindestens 6 Messungen) zu wiederholen

Zufällige MessabweichungenZufällige MessabweichungenMesswiederholungen (selbst unter identischen Bedingungen):liefern i. A. nicht immer denselben Messwert, sondern haben Abweichungen!

Begriff „ zufällige Messabweichungen“:wenn unterschiedlich in ihrer Größe und Richtung → zufällige MessabweichungenEigenschaft "zufällig" = Ursachen nicht im Einzelnen zu verfolgen, stochastisches (d.h. dem Zufall unterworfenes) Verhalten der Messergebnisse → Messwerte haben Wahrscheinlichkeitscharakter

Ursachena) statistische Messgrößestochastischer Charakter von gemessenen Ereignissen (z.B. radioaktiver Zerfall, „Rauschen“ in elektrischen Signalen)b) Unzulänglichkeit des Experiments oder ExperimentatorsSchätzungen und Interpolationen auf Messskalen (Achtung: Parallaxenfehler) Messen einer Zeitdifferenz mit der Stoppuhr mit Reaktionszeit Längenmessung mit Maßband unterschiedlicher Verbiegungc) äußere Einflüssezufällige unvorhersehbare äußere Einflüsse (z.B. wechselnde Luftströmungen, kurzzeitige Temperaturschwankungen etc.)

Aufgaben der mathematischen StatistikAufgaben der mathematischen Statistik

Als mathematische Statistik bezeichnet man das Teilgebiet der Statistik, das sich mit Analyse von Daten unter mathematischen Modellen beschäftigt. Gemeinsam mit der Wahrscheinlichkeitstheorie definiert die mathematische Statistik das mathematische Teilgebiet der Stochastik. Das zentrale Gebiet der mathematischen Statistik ist die Schätztheorie, mit der geeignete Schätzverfahren entwickelt werden. Die Eigenschaften der resultierenden Schätzfunktionen ermöglichen hierbei mehr oder weniger präzise Schätzungen. So werden Bereichsschätzungen von Parametern der Grundgesamtheit durch Konfidenzintervalle ermittelt. Konkrete Vermutungen über die Grundgesamtheit können durch geeignete statistische Tests bestätigt oder falsifiziert werden.

Zielsetzungen:•empirische Verteilung der Merkmalswerte der Stichprobe → Abschätzung bzw. Bestimmung der theoretischen Verteilung der Grundgesamtheit•Bestimmung der Parameter der theoretischen Verteilung mit optimaler Anpassung für die Stichprobenwerte•Ermittlung der Parameterabhängigkeit für die Verteilung•Untersuchung der Korrelation zwischen verschiedenen Merkmalen gleicher Objekte oder zwischen dem gleichen Merkmal verschiedener Objekte•Entwicklung von Verfahren zur empirischen Bestimmung von „möglichst guten“ Näherungswerten und ihrer Streuung bzw. (statistischen) Unsicherheit

Grundbegriffe der StatistikGrundbegriffe der Statistik

Mathematische Statistik:Untersuchung zufälliger Ereignisse bezüglich eines oder mehrerer quantitativ erfassbarer Merkmale; Zuordnung von Zahlenwerten als sog. Zufallsvariable

Zufallsvariable (als quantitatives Merkmal eines zufälligen Ereignisses)

Zufallsvariablemit diskreten Merkmalswerten(z. B. Zerfallsrate eines Isotops)

Zufallsvariablemit kontinuierlichen Merkmalswerten(z. B. Lebensdauer von Ladungsträgern)

Grundgesamtheit:Gesamtheit aller möglichen Realisierungen des zufallsbedingten Merkmals; kann endlich viele oder unendlich viele Elemente enthalten

GrundgesamtheitStichprobe(endlich)

„Urliste“

HäufigkeitsverteilungHäufigkeitsverteilung

Erhebung einer Stichprobe:Umfang N bezüglich des Merkmals x → Tabelle der beobachteten Merkmalswerte xi("Urliste der Elemente")Häufigkeitsverteilung:Messwerte streuen → Veranschaulichung mit Häufigkeitsverteilung, d.h. Auftragung der Anzahl ni der in einem Intervall ∆x gefundenen Messwerte („absolute Häufigkeit“) über Messwerten xi

relative Häufigkeit:

Normierte Verteilung:

fi(xi)·∆x ist die Wahrscheinlich-keit, ein Messergebnis xi im Intervall ∆x zu finden

(statistische Aussage)

( ) ii i

nf xN

=

1

( ) 1N

i ii

f x=

=∑

hier absolute Häufigkeit aufgetragen

?

Anmerkungen zur KlasseneinteilungAnmerkungen zur Klasseneinteilung

Allgemein:Bereich möglicher Merkmalswerte → Einteilung in M gleichgroße Intervalle der Breite ∆x (Klassen)Mitte der Klasse → möglichst einfache Zahl xm (Klassenmitte) mit m = 1..MErmittlung der absoluten Häufigkeit der Merkmalswerte im Intervall (xm-∆x/2; xm+∆x/2)auf Klassengrenzen entfallende Merkmalswerte je zu 1/2 der rechten und der linken Klasse zugeordnet

Kriterien:nicht zu eng (zu geringe Häufigkeiten → große Schwankungen; d.h. zu feine

Diskretisierung)nicht zu weit (drohender Informationsverlust; zu grobe Diskretisierung)

Empfehlungen für sinnvolle Klassenzahl M und Klassenbreite ∆x:M ≈ 5·lg N und ∆x ≈ (xmax-xmin)/N

Generelle Anmerkung:physikalische Größen oft kontinuierlich verteilt; Mess- und Ablesegenauigkeit aber begrenzt → Diskretisierung der Messergebnisse, z.T. mit gleichem ZahlenwertDurch die Mess- und Ablesegenauigkeit feinste Klasseneinteilung gegeben, eine gröbere aber meistens sinnvoller!

SummenhäufigkeitsverteilungSummenhäufigkeitsverteilung

Berechnung aus der relativen Häufigkeitsverteilung: ( ) ( )i j

j i ix x

F x f x≤

= ∑

Summation der relativen Häufigkeiten bis zum Wert xj → statistische Interpretation als die Wahrscheinlichkeit, einen Wert xi im Intervall (0;xj) zu finden

1

F(x1)

F(x2)

Normierungseigenschaft

statistische Interpretation von F(x1)-F(x2) als Wahrscheinlichkeit, einen Wert xi im Intervall (x1,x2) vorzufinden

Übergang zu kontinuierlichen VerteilungenÜbergang zu kontinuierlichen VerteilungenGrenzwertbetrachtung:unendlich große Stichprobe N → ∞unendlich große Klassenzahl M → ∞infinitesimal feine Intervalleinteilung ∆x → 0 (Übergang zum Differential dx)

Übergang von diskreten Verteilungen/Funktionen zu kontinuierlichen!

→ f(x) als Wahrscheinlichkeitsdichte → F(x) als integrale Wahrscheinlichkeitsdichte

Wahrscheinlichkeitsverteilungen: ParameterWahrscheinlichkeitsverteilungen: Parameter

Definition des Mittelwertes:erstes Moment einer Verteilung, beschreibt ihre Lage

Definition der Varianz:zweites Moment einer Verteilung, beschreibt ihre Breite

Definition der Standardabweichung:direktes Maß für die Breite der Verteilungsfunktion, d.h. die Streuung der Werte

Beispiele für VerteilungsfunktionenBeispiele für Verteilungsfunktionen

Maxwell-BoltzmannscheGeschwindigkeitsverteilung

Verteilungen in der (statistischen) PhysikVerteilungen in der (statistischen) Physik

Orbitale von Elektronen

Gauß- oder Normalverteilung

Gleichverteilung Poissonverteilung

Geometrische Verteilung

Binomial- bzw. Bernoulliverteilung Hypergeometrische Verteilung

Plancksches

Strahlungsgesetz Fermiverteilung

Zentraler Grenzwertsatz der StatistikZentraler Grenzwertsatz der Statistik

Die Verteilungen der Summen von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen streben mit wachsendem Stichprobenumfang gegen die Gaußsche Normalverteilung. (Faustregel: bei mehr als 30 stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen schon sehr gute Näherung)

Diese Regel ermöglicht zum einen die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten unbekannt verteilter Zufallsvariablen, zum anderen kann die Bestimmung kompliziert zu berechnender Wahrscheinlichkeitswerte mit der Normalverteilung approximiert werden.

GaußGauß-- oder Normalverteilungoder Normalverteilung

f(x)

xx-s x+sx

2

2

1 ( )( ) exp22x xf x

ssπ⎛ ⎞−

= ⋅ −⎜ ⎟⋅⋅ ⎝ ⎠

Eigenschaften:•Maximum beim Mittelwert (Erwartungswert), Symmetrie bezüglich Mittelwert •Konvergenz gegen Null im Unendlichen•Wendepunkte für Mittelwert ± Standardabweichung•Breite durch Standardabweichung bestimmt•Normierung auf 1 (vgl. statistische Interpretation!) 99,7%±3s

95,4%±2s

68,3%±s

WahrscheinlichkeitIntervall um Mittelwert

Normierungseigenschaft Normierungseigenschaft der Normalverteilungder Normalverteilung

Die Parameter „Mittelwert“ und „Standardabweichung“ ermöglichen es, dassunterschiedliche Modellverteilungen durch die Gaußverteilung beschrieben werden können.

Gaußsche FehlerfunktionGaußsche Fehlerfunktion

Eigenschaften:•Statistische Interpretation als Wahrscheinlichkeit für Wert im Intervall •Monotonieverhalten•Wendepunkt für Mittel- bzw. Erwartungswert

Empirischer Zugang für Parameter der Empirischer Zugang für Parameter der NormalverteilungNormalverteilung

Definition des Mittelwertes:

Definition der Standardabweichung:

Definition des Vertrauensbereiches:

Beispiel: Versuch „F1 Fehlerverteilung“Beispiel: Versuch „F1 Fehlerverteilung“

Erzeugung von Zufallszahlen im Intervall (0;5) mit Rundung auf zwei Nachkommastellen

Projektion der hier gezeigten Skale im Hörsaal

Aufgabe für Studierende: Schätzung von insgesamt 100 Werten auf 0,01 genau;mit anschließender statistischer Auswertung der Abweichungen zwischen Schätzwertund (hier „ausnahmsweise“ bekanntem!) wahrem Wert

Reale Ergebnisse aus studentischen DatenReale Ergebnisse aus studentischen Daten

Abweichung virelative Häufigkeit

h(vi)Summenhäufigkeit

H(vi)

-0.5 0.01 0.01-0.4 0.03 0.04-0.3 0.04 0.08-0.2 0.10 0.18-0.1 0.26 0.44

0 0.25 0.690.1 0.17 0.860.2 0.08 0.940.3 0.02 0.960.4 0.04 1.00

0.00

0.10

0.20

0.30

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4Abweichung vi

rel.

Häu

figke

it h(

vi)

Datensatz

Normalverteilung

0

0.5

1

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

Abweichung vi

Sum

men

häuf

igke

it H

(vi) Datensatz

Nornalverteilung

Vorzeichentest: |n+ − n−| = |31 − 44| = 13„erlaubt“: 10 = √100 = √n→ klare Asymmetrie der Verteilung mit Verschiebung in negativer RichtungAnmerkung: 100 Werte sind zu wenig!!!(n → ∞ für Grenzübergang)Dieser Studi „untertreibt“ offenbar lieber!

Darstellung des Messergebnisses einer Darstellung des Messergebnisses einer direkt gemessenen physikalischen Größedirekt gemessenen physikalischen Größe

Messergebnis = (Mittelwert Messergebnis = (Mittelwert –– Korrektur syst. Abweichungen) Korrektur syst. Abweichungen) ±± MessunsicherheitMessunsicherheit

Vgl. vorige VorlesungVerschiedene Beiträge:

systematische und zufällige AbweichungenWie zusammenzufassen?

statistische Behandlung

??

Systematische und zufällige Messabweichungen sind statistisch nichtkorreliert, d.h. unabhängige Größen. Eine gegenseitige Aufhebung beider Arten von Messabweichungen kann zwar nicht vorausgesetzt werden, ist aber möglich.

Bildhafter Vergleich mit Vektoradditionsy

st. M

A

zuf. MA

res. MA

Pythagoreische Summe der Beträge ≤ Summe der Beträge

Ermittelung des Messergebnisses einer Ermittelung des Messergebnisses einer direkt gemessenen physikalischen Größedirekt gemessenen physikalischen Größe

Messung

Aufnahme der n Einzelmesswerte xi (i=1..n)

Mittelwert

∑= ixn

x 1

Grobe FehlerMessabweichungen

Zufällige Messabweichungen

Systematische Messabweichungen

Korrektur eC

Restfehler eS

n≥6 Rechnung

∑ −==

)1(

2

nnvse i

Z

n<6 Abschätzung

xeZ ∆≅

korrigiertes ErgebnisCC exx +=

Messunsicherheit

⎪⎩

⎪⎨⎧

<∀∆+=

≥∀+=+<+=

6622

nxeunseu

eeeeus

szszs

Vollständiges Messergebnisuxx C ±=

Fortpflanzung der Unsicherheiten für eine Fortpflanzung der Unsicherheiten für eine mittelbar gemessene physikalische Größemittelbar gemessene physikalische Größe

G = G = G(x,y,zG(x,y,z…)…)Annahme der Unabhängigkeit der einzelnen Größen (Variablen) = keine Korrelation→ gegenseitige Aufhebung der einzelnen Beiträge zur gesamten Abweichung möglich

22 2

......G G GG x y zx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = ± ∆ + ∆ + ∆ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠....G G GG x y z

x y z⎧ ⎫∂ ∂ ∂

∆ ± ∆ + ∆ + ∆ +⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭