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Institut für Erziehungswissensc Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008

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Mathematics meets Snowsports. Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008. Institut für Erziehungswissenschaft. Übersicht Funktionen, Extremstellen, Wendepunkte Steigung Parabeln und Kurven Kräftewirkung Geschwindigkeit Impressum. Mathematics meets Snowsports. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Institut für Erziehungswissenschaft

Institut für Erziehungswissenschaft

Mathematics meets SnowsportsSchruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008

Page 2: Institut für Erziehungswissenschaft

Übersicht

• Funktionen, Extremstellen, Wendepunkte

• Steigung

• Parabeln und Kurven

• Kräftewirkung

• Geschwindigkeit

• Impressum

Page 3: Institut für Erziehungswissenschaft

Mathematics meets Mathematics meets SnowsportsSnowsports

Funktionen, Extremstellen, Funktionen, Extremstellen, WendepunkteWendepunkte

Page 4: Institut für Erziehungswissenschaft

GliederungGliederung

Lineare FunktionLineare Funktion Quadratische FunktionQuadratische Funktion Funktion n-ten GradesFunktion n-ten Grades RechenbeispielRechenbeispiel BetragsfunktionBetragsfunktion

Page 5: Institut für Erziehungswissenschaft

Lineare FunktionLineare Funktion

Konstante Steigung, Proportionalität Konstante Steigung, Proportionalität der Funktionswerteder Funktionswerte

f(x)=-1/2x+3

Page 6: Institut für Erziehungswissenschaft

Quadratische FunktionQuadratische Funktion

Parabelförmig Parabelförmig

f(x)=-1/3*x^2+2*x+1

Page 7: Institut für Erziehungswissenschaft

Funktion n-ten GradesFunktion n-ten Grades

Wendepunkte, ExtrempunkteWendepunkte, Extrempunkte

Page 8: Institut für Erziehungswissenschaft

RechenbeispielRechenbeispiel

f(x)= x³+2x²-4x+6f(x)= x³+2x²-4x+6 f´(x)= 3x²+4x-4f´(x)= 3x²+4x-4 f´´(x)=12x+4f´´(x)=12x+4

Extremstellen:Extremstellen:

f´(x)=0f´(x)=0 1.Fall: x=-21.Fall: x=-2

2.Fall: x= 0,662.Fall: x= 0,66

Wendepunkte:Wendepunkte:

f´´(x)=0f´´(x)=0 x=-0,33 x=-0,33

Page 9: Institut für Erziehungswissenschaft

BetragsfunktionBetragsfunktion

Funktion aus mehreren EinzelfunktionenFunktion aus mehreren Einzelfunktionen

f(x)=-|x+1|

Page 10: Institut für Erziehungswissenschaft

Vielen Dank Für Ihre Aufmerksamkeit Vielen Dank Für Ihre Aufmerksamkeit

Page 11: Institut für Erziehungswissenschaft

SteigungSteigung

Mathematics meets SnowsportsMathematics meets Snowsports

Page 12: Institut für Erziehungswissenschaft

Inhalt

I. Die StraßeI. Umrechnung von % in GradII. Mathematische Herleitung

II. Der BergI. Mathematische HerleitungII. Wann rutscht man vom Berg?

III. Die SeilbahnI. Mathematische HerleitungII. Momentane Steigung (Ableitung)

IV. Die BuckelpisteI. Mathematische Herleitung

Page 13: Institut für Erziehungswissenschaft

Die Straße

• Umrechnung von % in Grad:

• α=arctan(33%)• α=18,26°

• arctan (tan-1) = Umkehrfunktion von tan = Gegenkathete dividiert durch Ankathete

Page 14: Institut für Erziehungswissenschaft

Mathematische Herleitung

• Die Steigung einer Straße entspricht der Steigung der Strecke b (in diesem Beispiel) eines rechtwinkligen Dreiecks

α

ab

c

Page 15: Institut für Erziehungswissenschaft

Der Berg

Page 16: Institut für Erziehungswissenschaft

Mathematische Herleitung

f(x)=mx+b m=Δy/Δx

f(x)

Page 17: Institut für Erziehungswissenschaft

Wann rutscht man vom Berg?

Page 18: Institut für Erziehungswissenschaft

Wann rutscht man vom Berg?

• Aufgabe:

Ein Bergsteiger trägt Schuhe mit Gummisohle und steigt auf einen mit Schnee bedeckten Berg. Ab welcher Steigung des Berges rutscht er vom Berg, wenn er keine weitere Ausrüstung besitzt?

(fR=0,3 Reibungszahl von Gummi auf Schnee)

Page 19: Institut für Erziehungswissenschaft

Wann rutscht man vom Berg?

FH>FR (Ansatz)

FH=FG·sin(α)

FN=FG·cos(α)

FR=FN·fR

FG=m·g

g≈9,81m/s²

Page 20: Institut für Erziehungswissenschaft

Wann rutscht man vom Berg?

• Lösung:

FH>FR

m·g·sin(α) > m·g·cos(α)·fR

sin(α)/cos(α) > fR

tan(α) > fR

α > arctan(0,3)

α > 16,7° = 30%

Page 21: Institut für Erziehungswissenschaft

Die Seilbahn

Page 22: Institut für Erziehungswissenschaft

Mathematische Herleitung

f(x)=ax²+bx+c

Ø Steigung

f‘(x)=2ax+b

Page 23: Institut für Erziehungswissenschaft

Die Buckelpiste

Page 24: Institut für Erziehungswissenschaft

Mathematische Herleitung

f(x)=sin(x)

f‘(x)=cos(x)

Page 25: Institut für Erziehungswissenschaft

Fazit

• Mathematik stellt die Grundlage für viele technische Errungenschaften dar, welche nicht nur in heutigen Trendsportarten zum Tragen kommen.

• Die allgegenwärtige Mathematik erscheint uns jedoch nicht von bemerkenswerter Bedeutung.

Page 26: Institut für Erziehungswissenschaft

Ende

Vielen Dank für Vielen Dank für Ihre Ihre

AufmerksamkeitAufmerksamkeit

Page 27: Institut für Erziehungswissenschaft

Parabeln & Kurven

Page 28: Institut für Erziehungswissenschaft

Inhaltsangabe

Kurven Ebene Kurven Raumkurven

Trigonometrische Funktionen Sinus Kosinus Tangens

Parabeln

Page 29: Institut für Erziehungswissenschaft

Kurven

Ebene Kurven Raumkurven

Page 30: Institut für Erziehungswissenschaft

Ebene Kurven Ebene Kurven:

eindimensionales Objekt besitzt im allgemeinen eine Krümmung kann sich nur in eine Richtung bewegen kann durch eine Gleichung in Koordinaten beschrieben

werden man kann sie ohne abzusetzen durchlaufen Beispiele für ebene Kurven:

Gerade Kreis Parabel

haben nur Krümmungen

Page 31: Institut für Erziehungswissenschaft

Raumkurve

haben Krümmungen und Windungen sind dreidimensional

Page 32: Institut für Erziehungswissenschaft

Trigonometrische Funktionen

Sinus Kosinus Tangens

Page 33: Institut für Erziehungswissenschaft

Sinuskurve

eHypothenus

teGegenkathe)sin(

Page 34: Institut für Erziehungswissenschaft

Kosinuskurve

eHypothenus

Ankathete)cos(

-Komplementärwinkel von Sinus

-Steht im 90° Winkel zu Sinus

Page 35: Institut für Erziehungswissenschaft

Tangenskurve

Ankathete

teGegenkathe)tan(

Page 36: Institut für Erziehungswissenschaft

Parabel

Ist ein Kegelschnitt, der entsteht wenn man den Kegel mit einer Ebene schneidet

Beispiel für eine Parabel: Quadratische Funktionen

Kann als Punktmenge in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben werden

Page 37: Institut für Erziehungswissenschaft

Ende

Wir bedanken uns für

Ihre Aufmerksamkeit

Orhan Karatas, Sebastian Bothe, Marc Keggenhoff

Page 38: Institut für Erziehungswissenschaft

Mathematics meet Mathematics meet SnowsportsSnowsports

KräftewirkungKräftewirkung

Page 39: Institut für Erziehungswissenschaft

InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis

Zentrifugal- & ZentripetalkraftZentrifugal- & Zentripetalkraft

GewichtskraftGewichtskraft

HangabtriebskraftHangabtriebskraft

Potentielle EnergiePotentielle Energie

1.1.DefinitioDefinitionn

2.2.BeispielBeispiel

3.3.FormelnFormeln

Page 40: Institut für Erziehungswissenschaft

Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und Zentripetalkraft DefinitionDefinition

Zentrifugalkraft (Fliehkraft)Zentrifugalkraft (Fliehkraft) Tritt in Drehbewegungen aufTritt in Drehbewegungen auf Wirkt nach außenWirkt nach außen

Zentripetalkraft Zentripetalkraft Wirkt nach innenWirkt nach innen Hält das Objekt in der KreisbahnHält das Objekt in der Kreisbahn

|Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft| |Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft|

Page 41: Institut für Erziehungswissenschaft

Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und ZentripetalkraftBeispielBeispiel

rM

FZP

FZ

F

Page 42: Institut für Erziehungswissenschaft

Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und ZentripetalkraftFormelnFormeln

FFZ Z = (m * v²)/ r= (m * v²)/ r

Page 43: Institut für Erziehungswissenschaft

GewichtskraftGewichtskraft DefinitionDefinition

Wirkt in Richtung des ErdkernsWirkt in Richtung des Erdkerns Ist dafür verantwortlich, dass Ist dafür verantwortlich, dass

Objekte auf der Erde bleiben und Objekte auf der Erde bleiben und nicht wegfliegennicht wegfliegen

Die Durchschnittliche Die Durchschnittliche Schwerebeschleunigung g beträgt Schwerebeschleunigung g beträgt 9,81m/s²9,81m/s²

Page 44: Institut für Erziehungswissenschaft

44

GewichtskraftGewichtskraftBeispielBeispiel

G

FAuftrieb

Page 45: Institut für Erziehungswissenschaft

Gewichtskraft Gewichtskraft FormelnFormeln

FFGG = m * g = m * g

g = 9,81 m/s²

Page 46: Institut für Erziehungswissenschaft

HangabtriebskraftHangabtriebskraft DefinitionDefinition

Eine Komponente der Gewichtskraft Eine Komponente der Gewichtskraft (Hangabtriebskraft + Normalkraft = (Hangabtriebskraft + Normalkraft = Gewichtskraft)Gewichtskraft)

Ist auf einer schiefen Ebene Ist auf einer schiefen Ebene hangabwärts gerichtethangabwärts gerichtet

Page 47: Institut für Erziehungswissenschaft

HangabtriebskraftHangabtriebskraftBeispielBeispiel

Hangabtriebskraft FH

Gewichtskraft FG

Normalkraft FN

Page 48: Institut für Erziehungswissenschaft

Hangabtriebskraft Hangabtriebskraft FormelnFormeln

FFHH = F = FGG * sin( * sin(αα))

FFNN = F = FGG * cos( * cos(αα))

FG = m * g

Page 49: Institut für Erziehungswissenschaft

Potenzielle EnergiePotenzielle Energie DefinitionDefinition

Energie, die ein Objekt durch seine Energie, die ein Objekt durch seine Position oder Lage in z.B. einem Position oder Lage in z.B. einem Gravitationsfeld erhält.Gravitationsfeld erhält.

Bezugspunkt: ErdoberflächeBezugspunkt: Erdoberfläche

Page 50: Institut für Erziehungswissenschaft

50

Potenzielle EnergiePotenzielle EnergieBeispielBeispiel

Höhendifferenz

Page 51: Institut für Erziehungswissenschaft

Potenzielle EnergiePotenzielle EnergieFormelnFormeln

V = m * g * hV = m * g * h

V = Potenzielle Energie

Page 52: Institut für Erziehungswissenschaft

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Page 53: Institut für Erziehungswissenschaft

Geschwindigkeit

M. Nocke, A. Rasseck, B. Westerkofort, T. Wunderlich

Page 54: Institut für Erziehungswissenschaft

Formelzeichen:

[] = Geschwindigkeit

[s] = Strecke

[t] = Zeit

t

sv

Formel:

Page 55: Institut für Erziehungswissenschaft

Inhaltsangabe

• Momentangeschwindigkeit

• Durchschnittsgeschwindigkeit

• Beschleunigung

• Lawinen

Page 56: Institut für Erziehungswissenschaft

t

sv

lim0t

Momentangeschwindigkeit

Beschreibung: Die Momentangeschwindigkeit beschreibt den Grenzwert der mittleren Geschwindigkeit für t gegen 0.

Momentangeschwindigkeit

Formelzeichen

[v] = Geschwindigkeit

[s] = Weg

[t] = Zeit

t

sv

lim0t

Formel:

Page 57: Institut für Erziehungswissenschaft

Durchschnittsgeschwindigkeit

Formelzeichen:

[v] = Geschwindigkeit

[s] = Weg

[t] = Zeit

Beschreibung: Die Durchschnittsgeschwindigkeit beschreibt die Mittelgeschwindigkeit aus allen auf einer Strecke gemessenen Geschwindigkeiten.

21

21

tt

ssv

Formel:

Page 58: Institut für Erziehungswissenschaft

Beschreibung: Bei der Beschleunigung in einer Bewegung verändert sich vom Punkt v1 auf v2. Diese Änderung geschieht in der Zeit zwischen t1 und t2.

Formelzeichen:[a] = Beschleunigung[v] = Geschwindigkeit[t] = Zeit

)(

)(

12

12

tt

vva

Beschleunigung

Beschleunigung

Formel:

t

sa

Formelzeichen:

[a] = Beschleunigung

[s] = Weg

[t] = Zeit

Beschreibung: Wenn wir vom Stillstand des Objektes ausgehen, ist die Zeit t=0.

So müssen wir den zurückgelegten Wegdurch die benötigte Zeit berechnen.

Page 59: Institut für Erziehungswissenschaft

Lawinen

Auslaufzone

- Hangneigung von ca. 30 – 50°

- Punktförmiger Anriss->Lockerschneelawine

-Linienförmiger Anriss->Schneebrettlawine

Ausgangspunkt

Bewegungsgebiet

-Flächige o. in Runsen konzentriert

- Stillstandzone- Unter 20° - Länge d. Auslauf- zone hängt von d. Lawine ab

Faktoren f. Lawinen allg. :

- Neuschnee- Viel Schneefall in kurzer Zeit- Hangneigung- Bodenbedeckung- Hanglage

Page 60: Institut für Erziehungswissenschaft

Lawinenarten

Schneebrettlawine

Lockerschneelawine

Page 61: Institut für Erziehungswissenschaft

Ende

Danke für Ihre Aufmerksamkeit

Page 62: Institut für Erziehungswissenschaft

Institut für Erziehungswissenschaft

Impressum

Die Projektwoche „Mathematics meets Snowsports“ wurde entwickelt von Verena Scharmacher ([email protected]) und Daniel Gersmeier ([email protected]).

Die wissenschaftliche Begleitung dieses Projekts erfolgt durch Prof. Dr. F. Stuber von der Fachhochschule Münster und Dr. C. Keller von der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster.