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Formelsammlung NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik

Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-1

Inhaltsverzeichnis:

Thema Unterpunkt SeiteFilter allgemein Definition 6-3 Unterscheidung Filterarten 6-3 Symbole und Diagramme 6-3Eigenschaften von passiven Filtern Komplexe Übertragungsfunkt. 6-4 Amplitudengang 6-4 Grenzfrequenz 6-4 Phasengang 6-4Allgemeine Filtergleichungen Allg. Tiefpass-Gleichung 6-5 Allg. Hochpass-Gleichung 6-5 Allg. Bandpass-Gleichung 6-5Steigung des Amplitudenganges und Phasenlage im Sperrbereich des Filters Berechnung 6-5

Allgemeine Filterkoeffizienten Tabelle 6-6Vergleich Filter-Charakteristik Amplitudengang 6-7 Phasengang 6-7RC-Tiefpass (1.Ordnung) Schaltung 6-8 Berechnung 6-8 Allgemeine Gleichung 6-8RC-Hochpass (1.Ordnung) Schaltung 6-9 Berechnung 6-9 Allgemeine Gleichung 6-9Kettenschaltung aus gleichen RC-Filtern Erklärung 6-10 Bsp. TP-Kettenschaltung 6-10RLC-Tiefpass (2.Ordnung) Schaltung 6-11 Berechnung 6-11 Allgemeine Gleichung 6-11RLC-Hochpass (2.Ordnung) Schaltung 6-12 Berechnung 6-12 Allgemeine Gleichung 6-12Kettenschaltung aus gleichen RLC-Filtern Erklärung 6-13 6-13Allgemeines zu aktiven Filtern Definition 6-14 Komplexe Übertragungsfunkt. 6-14 Grenzfrequenz 6-14 Phasengang 6-14Aktiver Tiefpass (1. Ordnung) Schaltung 6-15 Berechnung 6-15 Allgemeine Gleichung 6-15Aktiver Hochpass (1. Ordnung) Schaltung 6-16 Berechnung 6-16 Allgemeine Gleichung 6-16Aktiver Bandpass (1. Ordnung) Schaltung 6-17 Berechnung 6-17 Diagramm Bandbreite 6-17Allgemeines zu Aktive Filter 2.Ordnung Gesamtübertragungsfunkt. 6-18 Gesamtphasengang 6-18 Dimensionierung 6-18Fortsetzung nächste Seite


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-2

Aktiver Tiefpass (2.Ordnung) Schaltbild 6-19 Berechnung 6-19 Allgemeine Gleichung 6-19Schwitched-Capacitor-Filter (SC-Filter) Grundprinzip 6-20 Invertierender SC-Filter 6-20 Nichtinvertierender SC-Filter 6-20SC-Filter 1. Ordnung Schaltbild 6-21 Berechnung Hochpass 6-21 Berechnung Tiefpass 6-21 Allgemeine Gleichung 6-21SC-Filter 2. Ordnung Schaltbild 6-22 Berechnung Hochpass 6-22 Berechnung Tiefpass 6-22 Berechnung Bandpass 6-22 Allgemeine Gleichung 6-22Parameter für Sallen-Key-Schaltungen Tabelle 6-23Tiefpass in Sallen-Key-Schaltung (2.Ordnung) Schaltbild 6-23 Berechnung 6-23Hochpass in Sallen-Key-Schaltung (2.Ordnung) Schaltbild 6-24 Berechnung 6-24Aktiver Bandpass 2. Ordnung Schaltbild 6-25 Berechnung 6-25 Diagramme 6-25Aktive Doppel-T-Bandsperre 2. Ordnung Schaltbild 6-26 Berechnung 6-26 Diagramme 6-26


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-3

Filter allgemein:

Filter sind Vierpole, mit denen man einzelne Frequenzbereiche aus einem Signalgemisch trennen kann. Je nach Aufbau unterscheidet man verschiedene Filterarten:

- passive Filter (RC, LC, RLC): Anwendung hauptsächlich im HF-Bereich

- aktive Filter (mit OP aufgebaut ⇒ Grundverstärkung): Anwendung im NF-Bereich

- SC-Filter (Filter mit geschalteten Kapazitäten): Grenzfrequenz wird mit der Taktfrequenz eingestellt, mit der die Kapazität geladen wird. Anwendung im NF-Bereich Symbole für Filterarten:

Filterart Symbol Diagramm

Tiefpass

Hochpass

Bandpass

Bandsperre

( )ωjFUU

=12 = Übertragungsfunktion


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-4

Eigenschaften der passiven Filter: Die Eigenschaften eines Filters werden durch folgende Kennwerte beschrieben: Komplexe Übertragungsfunktion:

( )1

2UU

jF =ω ( )21

2ZZ

ZjF+

=ω ( )2

21YYYjF +

=ω

Amplitudengang (beinhaltet Steilheit und Überschwingen):

( ) 2121

22

22

ImRe

ImRe

UU

UUjF

+

+=ω ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=

( ) 221

221

22

22

ImRe

ImRe

ZZZZ

ZZjF

+++

+=ω ( )

2222

221

221

ImRe

ImRe

YY

YYYYjF

+

+++=ω

Grenzfrequenz:

Es gilt: ( ) 707,021

==gjF ω bzw. ( ) dBjFdBg 3−=ω

Phasengang:

( ) ( ) ( )

=

ωωωϕjFjFj

ReImarctan RAD einstellen !!!

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° U1 = Eingangsspannung in V U2 = Ausgangsspannung in V Z1 = komplexer Eingangswiderstand in V Z2 = komplexer Ausgangswiderstand in V Y1 = komplexer Eingangsleitwert in V Y2 = komplexer Ausgangsleitwert in V Rex = Realteil der Größe Imx = Imaginärteil der Größe (ohne ` j ` !!!)


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-5

Allgemeine Gleichungen für Filter: Allgemeine Tiefpass-Gleichung:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222

211

0

1...11 PbPaPbPaPbPaAPAPF

nn •+•+•••+•+••+•+==

Allgemeine Hochpass-Gleichung:

( ) ( )

++••

++•

++

== ∞

2222

211 1...11

Pb

Pa

Pb

Pa

Pb

Pa

APAPFnn

Allgemeine Bandpass-Gleichung:

( ) ( )

+•+

•==

211 PPQ

PQA

PAPF

r

BfQ r=

Weiterhin gilt:

σω += jp g

pPω

= mit σ = 0° folgt: g

jPωω

= 2

22

gP

ωω

−= gffjP = 2

22

gffP −=

F(P) = A(P) = Allgemeine Übertragungsfunktion A0 = Grundverstärkung des Tiefpass bei ω = 0 Hz A∞ = Grundverstärkung des Hochpass bei ω → ∞ Hz Ar = Grundverstärkung des Bandpass bei ω = ωr a1 , b1 = Allgemeine Filterkoeffizienten für Filter 1. Ordnung a2 , b2 = Allgemeine Filterkoeffizienten für Filter 2. Ordnung an , bn = Allgemeine Filterkoeffizienten für Filter n. Ordnung P = komplexe normierte Grenzfrequenz p = komplexe Kreisfrequenz mit Phasenverschiebung σ Q = Güte des Filters fr = Resonanzfrequenz des Bandpass in Hz B = Bandbreite des Bandpass (Obere Grenzfrequenz – Untere Grenzfrequenz)

Steigung des Amplitudengangs und Phasenlage im Sperrbereich des Filters:

DekadedBnd 20−

•= ( ) ( )°−•=∞→ 90nn ωϕ

n = Ordnung des Filters d = Steigung des Amplitudenverlaufs im Sperrbereich des Filters ( gff •>10 ) φn = Phasenlage des Ausgangssignals bei ω → ∞


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-6

Allgemeine Filterkoeffizienten:

Charaktaristik Ordnung n des Filters Koeffizient a Koeffizient b

1.Ordnung a1 = 1.0000 b1 = 0.0000

2.Ordnung a1 = 1.2872 b1 = 0.4142

3.Ordnung a1 = 0.5098 a2 = 1.0197

b1 = 0.0000 b2 = 0.2599

kritische Dämpfung

4.Ordnung a1 = 0.8700 a2 = 0.8700

b1 = 0.1892 b2 = 0.1892

1.Ordnung a1 = 1.0000 b1 = 0.0000

2.Ordnung a1 = 1.3617 b1 = 0.6180

3.Ordnung a1 = 0.7560 a2 = 0.9996

b1 = 0.0000 b2 = 0.4772

Bessel Filter

4.Ordnung a1 = 1.3397 a2 = 0.7743

b1 = 0.4889 b2 = 0.3890

1.Ordnung a1 = 0.0000 b1 = 0.0000

2.Ordnung a1 = 1.4142 b1 = 1.0000

3.Ordnung a1 = 1.0000 a2 = 1.0000

b1 = 0.0000 b2 = 1.0000

Butterworth-Filter

4.Ordnung a1 = 1.8478 a2 = 0.7654

b1 = 1.0000 b2 = 1.0000

1.Ordnung a1 = 1.0000 b1 = 0.0000

2.Ordnung a1 = 1.3022 b1 = 1.5515

3.Ordnung a1 = 2.2156 a2 = 0.5442

b1 = 0.0000 b2 = 1.2057

Tschebyscheff-Filter

mit 1 db Welligkeit

4.Ordnung a1 = 2.5904 a2 = 0.3039

b1 = 4.1302 b2 = 2.2697

1.Ordnung a1 = 1.0000 b1 = 0.0000

2.Ordnung a1 = 1.1813 b1 = 1.7775

3.Ordnung a1 = 2.7994 a2 = 0.4300

b1 = 0.0000 b2 = 1.2036


mit 2 db Welligkeit

4.Ordnung a1 = 2.4025 a2 = 0.2374

b1 = 4.9862 b2 = 1.1869

1.Ordnung a1 = 1.0000 b1 = 0.0000

2.Ordnung a1 = 1.0650 b1 = 1.9305

3.Ordnung a1 = 3.3496 a2 = 0.3559

b1 = 0.0000 b2 = 1.1923


mit 3 db Welligkeit

4.Ordnung a1 = 2.1853 a2 = 0.1964

b1 = 5.5339 b2 = 1.2009


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-7

Vergleich der Kennlinien eines Tiefpasses mit verschiedenen Charaktaristika: Amplitudengang:

1 = Tiefpass 4. Ordnung mit kritischer Dämpfung 2 = Tiefpass 4. Ordnung mit Bessel-Charakteristik 3 = Tiefpass 4. Ordnung mit Buttworth-Charakteristik 4 = Tiefpass 4. Ordnung mit Tschebyscheff-Charakteristik mit 3dB Welligkeit (Überhöhung max. 3dB) Sprungantworten:

1 = Tiefpass 4. Ordnung mit kritischer Dämpfung (ohne Überschwingen) 2 = Tiefpass 4. Ordnung mit Bessel-Charakteristik (wenig Überschwingen) 3 = Tiefpass 4. Ordnung mit Buttworth-Charakteristik (mittleres Überschwingen) 4 = Tiefpass 4. Ordnung mit Tschebyscheff-Charakteristik mit 0,5dB Welligkeit (großes Überschwingen) 5 = Tiefpass 4. Ordnung mit Tschebyscheff-Charakteristik mit 3dB Welligkeit (sehr großes Überschwingen)


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-8

RC-Tiefpass (1.Ordnung):

( )111

1CRj

jF••+

=ω

ω ( )

gj

jF

ωω

ω+

=1

1

( )( )2111

1

CRjF

••+=

ωω ( )

2

1

1

+

=

g

jF

ωω

ω

11

1CRg •

=ω 112

1CR

fg •••=

π ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=

( ) ( )11arctan CRj ••−= ωωϕ ( )

−=

gj

ωωωϕ arctan

RAD einstellen !!! DEG einstellen !!! Allgemeine Tiefpass-Gleichung:

( ) ( )PaAPF•+

=1

01

g

jPωω

=

10 =A 111 CRa g ••=ω 11 =a

1

11 C

aRg •

=ω

1

11 R

aCg •

=ω

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion A0 = Grundverstärkung des Tiefpass bei ω = 0 Hz a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 ) R1 = Widerstand in Ω C1 = Kapazität in F


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-9

RC-Hochpass (1.Ordnung):

( )

11

11

1

CRj

jF

••+

=

ω

ω ( )

ωω

ω

j

jFg+

=1

1

( )

( )211

11

1

CR

jF

••+

=

ω

ω ( )2

1

1

+

=

ωω

ωg

jF

11

1CRg •

=ω 112

1CR

fg •••=


( )

••

=11

1arctanCR

jω

ωϕ RAD einstellen !!!

( )

=

ωω

ωϕ gj arctan DEG einstellen !!!

=

g

g

ωωω

ω 1


( )

+

= ∞

PaAPF

11

gjPωω

=

1=∞A 11

11

CRa

g ••=ω

11 =a

111

1Ca

Rg ••

=ω

11

11

RaC

g ••=

ω

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion A∞ = Grundverstärkung des Hochpass bei ω → ∞ Hz a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 ) R1 = Widerstand in Ω C1 = Kapazität in F


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-10

Kettenschaltung von 2 gleichen passiven RC-Filtern: Um einen besseren Dämpfungs- verlauf (d.h. Steigung des Ampli- tudenganges im Sperrbereich) zu erhalten, kann man mehrere gleiche RC-Filter hintereinander schalten. Dabei stellt das zweite RC-Glied die Belastung des ersten RC-Gliedes dar. Für die Übertragungsfunktion muss nun die Gleichung eines belasteten Spannungsteilers aufgestellt werden, was bei mehreren hintereinander geschalteten RC-Glieders nur noch mit extremem mathematischen Aufwand zu realisieren ist.

Mit CRCRCR •=•=• 2211 und 11

11CRg •

=ω folgt:

( )( )231

1CRCRj

jF••−•••+

=ωω

ω

( ) 2

1131

1

−

••+

=

ggj

jF

ωω

ωω

ω

( )( )( ) ( )222 91

1

CRCRjF

•••+••−=

ωωω

( )

2

1

22

191

1

•+

−

=

gg

jF

ωω

ωω

ω

111

374,0374,0CRgg •

=•= ωω 11

0595,0CR

fg •= ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=

( )( )

••−

−= 21

3arctanCR

jω

ωϕ ( )

−

−= 2

11

3arctan

g

j

ωω

ωϕ

RAD einstellen !!! DEG einstellen !!!

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° R1 = R2 = Widerstand in Ω C1 = C2 = Kapazität in F

Um eine bessere Steilheit des Amplitudenganges im Sperrbereich des Filters zu erreichen, können auch RLC-Filter verwendet werden, die weniger Aufwand erfordern.


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-11

RLC-Tiefpass (2.Ordnung):

( )11

21111

CLCRjjF

••−••+=

ωωω

( ) 2

111

1

•−

••+

=

ggbaj

jF

ωω

ωω

ω

( )( ) ( )211

211

21

1

CRCLjF

••+••−=

ωωω ( )

2

1

22

11

1

•+

•−

=

ggab

jF

ωω

ωω

ω

11

1CRa

g •=ω

11

12

CLb

g •=ω

πω•

=2g

gf ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=

( ) ( )

••−

••−=

112

11

1arctan

CLCRj

ωωωϕ ( )

•−

•−

= 2

1

1

1

arctan

g

g

b

aj

ωω

ωω

ωϕ


Allgemeine Tiefpass-Gleichung:

( ) ( )211

0

1 PbPaAPF

•+•+=

gjPωω

= 2

22

gP

ωω

−=

10 =A 111 CRa g ••= ω 112

1 CLb g ••=ω

gCaRω•

=1

11 2

1

11

gCbLω•

= gR

aCω•

=1

11

2

1

11

gLbCω•

=

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion A0 = Grundverstärkung des Tiefpass bei ω = 0 Hz a1 , b1 = Allgemeine Filterkoeffizienten je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 ) R1 = Widerstand in Ω C1 = Kapazität in F L1 = Induktivität in H


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-12

RLC-Hochpass (2.Ordnung):

( )

112

1

1 11

1

CLLjRjF

••−

•+

=

ωω

ω

( ) 2

111

1

•−

••+

=

ωω

ωω

ωgg baj

jF

( )2

1

12

11211

1

•

+

••−

=

LR

CL

jF

ωω

ω ( )2

1

22

11

1

•+

•−

=

ωω

ωω

ω

gg ab

jF

11

1La

Rg •=ω

111

2 1CLbg ••

=ω π

ω•

=2g

gf ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=

( )

••−

•=

112

1

1

11arctan

CL

CR

j

ω

ωωϕ

=

g

g

ωωω

ω 1 ( )

•−

•

= 2

1

1

1

arctan

ωω

ωω

ωϕg

g

b

aj



( )

++

= ∞

2111Pb

PaAPF

gjPωω

= 2

22

gP

ωω

−=

1=∞A

1

11 L

Rag •

=ω

11

211

CLb

g ••=ω

111 LaR g ••= ω ga

RLω•

=1

11

12

11

1Cb

Lg ••

=ω

1

21

11

LbC

g ••=

ω

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion A∞ = Grundverstärkung des Hochpass bei ω → ∞ Hz a1 , b1 = Allgemeine Filterkoeffizienten je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 ) R1 = Widerstand in Ω C1 = Kapazität in F L1 = Induktivität in H


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-13

Kettenschaltung aus gleichen passiven RLC-Filtern:

Wie auch bei der Kettenschaltung von gleichen passiven RC-Filtern kann mit einer Kettenschaltung aus gleichen passiven RLC-Filtern eine Verbesserung der Steigung des Amplitudenganges im Sperrbereich des Filters erreicht werden.

Um allerdings die Allgemeinen Filterkoeffizienten von Seite 6-5 verwenden zu können, sollten die Filter „entkoppelt“ werden, indem z.B. ein Impedanzwandler zwischen Ausgang des ersten Filters und Eingang des zweiten Filters geschaltet wird.


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-14

Allgemeines zu aktiven Filtern: Als aktive Filter werden solche Filter bezeichnet, die eine bestimmte Grundverstärkung A0 haben. Diese Filter werden meist mit OP-Schaltungen realisiert, die den Vorteil haben, dass nun keine Induktivitäten mehr benötigt werden und dass bei Kettenschaltungen die einzelnen Filter untereinander entkoppelt sind. Übertragungsfunktion:

( )1

2UU

jF−

=ω

( )1

2ZZjF −

=ω ( )2

1YYjF−

=ω

Amplitudengang (beinhaltet Steilheit und Überschwingen):

( ) 2121

22

22

ImRe

ImRe

UU

UUjF

+

+=ω ( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=

( ) 2121

22

22

ImRe

ImRe

ZZ

ZZjF

+

+=ω ( )

2222

21

21

ImRe

ImRe

YY

YYjF

+

+=ω

Für die Grenzfrequenz:

Es gilt: ( )

−•=

−

==1

21

2

0 707,022 R

RRR

AjF gω bzw. ( ) dBAjFdBg 30 −=ω

Phasengang:

( ) ( ) ( )

=

ωωωϕjFjFj

ReImarctan RAD einstellen !!!

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° U1 = Eingangsspannung in V U2 = Ausgangsspannung in V Z1 = komplexer Eingangswiderstand in V Z2 = komplexer Ausgangswiderstand in V Y1 = komplexer Eingangsleitwert in V Y2 = komplexer Ausgangsleitwert in V Rex = Realteil der Größe Imx = Imaginärteil der Größe (ohne ´ j ´ !!!)


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-15

Aktiver Tiefpass 1. Ordnung:

( )22

1

2

1 CRjRR

jF••+

−=

ωω ( )

gj

RR

jF

ωω

ω+

−=1

1

2

( )( )222

1

2

1 CR

RR

jF••+

=ω

ω ( )2

1

2

1

+

=

g

RR

jF

ωω

ω

22

1CRg •

=ω 222

1CR

fg •••=


( ) ( )22arctan CRj ••−= ωωϕ ( )

−=

gj

ωωωϕ arctan

RAD einstellen !!! DEG einstellen !!! Allgemeine Tiefpass-Gleichung:

( ) ( )PaAPF•+

=1

01

g

jPωω

=

( )1

20 0

RRA −==ω 111 CRa g ••=ω 11 =a

1

11 C

aRg •

=ω

1

11 R

aCg •

=ω

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion A0 = Grundverstärkung des aktiven Tiefpass bei ω = 0 Hz a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 ) R1 = Widerstand in Ω R2 = Rückkopplungswiderstand in Ω C2 = Kapazität in F


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-16

Aktiver Hochpass 1. Ordnung:

( )

11

1

2

11CRj

RR

jF

••+

−

=

ω

ω

( )

ωω

ω

j

RR

jFg+

−

=1

1

2

( )

( )211

1

2

11CR

RR

jF

••+

=

ω

ω ( )2

1

2

1

+

=

ωω

ωg

RR

jF

=

g

g

ωωω

ω 1

11

1CRg •

=ω 112

1CR

fg •••=


( )

••

=11

1arctanCR

jω

ωϕ

( )

=

ωω

ωϕ gj arctan



( )

+

= ∞

PaAPF

11

gjPωω

=

( )1

2RRA −=∞→∞ ω

111

1CR

ag ••

=ω

11 =a

111

1Ca

Rg ••

=ω

11

11

RaC

g ••=

ω Bei ω ≥ ωg folgt: 1Rre =

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB φ(jω) = Phasengang in ° F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion A∞ = Grundverstärkung des Hochpass bei ω → ∞ Hz a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 ) R1 = Widerstand in Ω R2 = Rückkopplungswiderstand in Ω C1 = Kapazität in F re = dynamischer Eingangswiderstand


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-17

Aktiver Bandpass 1.Ordnung:

( )

••

−••++=

1221

1

2

2

1 11

CRCRj

CC

RR

jF

ωω

ω

( )2

1221

2

1

2

2

1 1

1

••

−••+

+

=

CRCR

CC

RR

jF

ωω

ω

( ) ( )( )ωω jFjF dB log20•=

11

1CRgu •

=ω 112

1CR

fgu •••=

π

22

1CRgo •

=ω 222

1CR

fgo •••=

π

gugo ffb −=

gogu fff •=0

gogu ωωω •=0

( ) ( )

••+••−••••−

=2211

21212 1arctan

CRCRCCRRj

ωωωωϕ ( )

+

−

•−

=

gogu

goguj

ωω

ωω

ωωω

ωϕ

1

arctan

2


( )

1

2

2

100

1

CC

RRA

+==ωω Idealisierter Bandpass:

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = Amplitudengang |F(jω)|dB = Amplitudengang in dB ωgu = Untere Grenzkreisfrequenz in Hz fgu = Untere Grenzfrequenz in Hz ωgo = Obere Grenzkreisfrequenz in Hz fgo = Obere Grenzfrequenz in Hz b = Bandbreite in Hz f0 = Bandmittenfrequenz in Hz (Geometrisches Mittel auf fgu und fgo) ω0 = Bandmittenkreisfrequenz in Hz φ(jω) = Phasengang in ° A0 = Grundverstärkung des Bandpass bei ω = ω0 R1 = Widerstand in Ω R2 = Rückkopplungswiderstand in Ω C1 = Kapazität in F C2 = Kapazität in F


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-18

Aktive Filter 2. Ordnung: Ebenso wie bei den passiven Filtern, lassen sich aktive Filter 2. und höherer Ordnung durch eine Kettenschaltung von aktiven Filtern erzielen. Dabei werden, bedingt durch die Entkopplung, die Übertragungsfunktionen bzw. die Amplitudengängen der einzelnen Filter multipliziert. ( ) ( ) ( ) ( )njFjFjFjF ωωωω •••= ...21 ( ) ( ) ( ) ( ) njFjFjFjF ωωωω •••= ...21

Um eine größere Steilheit bzw. Steigung beim Amplitudengang zu erreichen, wählt man folgende Dimensionierung:

gngggCR

ωωωω1111

21====• und nAAAA 002010 ...•••=

F(jω) = komplexe Gesamtübertragungsfunktion der Kettenschaltung F(jω)1 , F(jω)2 , F(jω)n = komplexe Einzelübertragungsfunktionen der Filter |F(jω)| = Gesamtamplitudengang der Kettenschaltung |F(jω)|1 , |F(jω)|2 , |F(jω)|n = Einzelamplitudengänge der Filter A0 = Gesamtverstärkung der Kettenschaltung A01 , A02 , A0n = Einzelverstärkungen der Filter


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-19

Aktiver Tiefpass 2. Ordnung:

( )3322

1

2

11

1 CRjCRjRR

jF••+

•••+

−=

ωωω

( )( ) ( )233

222

1

2

1

1

1 CRCR

RR

jF••+

•••+

=ωω

ω

mit folgender Dimensionierung für bessere Steilheit folgt:

CRCRCR •=•=• 3322 und 02010 AAA ges •=

( )( )2

1

2

1 CRjRR

jF•••+

−=

ωω

( ) 2

1

2

21

+••+

−=

ggj

RR

jF

ωω

ωω

ω

( )( )2

1

2

1 CRRR

jF••+

=ω

ω

( )222

1

2

41

•+

+

=

gg

RR

jF

ωω

ωω

ω

21 1212 ggg ωωω •−=•−= 22

11CRg •

=ω 33

21CRg •

=ω π

ω•

=2g

gf

( )( )

••+

•••−= 2

22

22

12arctan

CRCRj

ωωωϕ ( )

+

•−

= 2

1

2arctan

g

gj

ωω

ωω

ωϕ


Allgemeine Tiefpass-Gleichung:

( ) ( )211

0

1 PbPaAPF

•+•+=

gjPωω

= 2

22

gP

ωω

−=

( )1

20 0

RRA −=→ω CRa g •••= ω21 ( )21 CRb g ••= ω

2

12 2 C

aRg ••

=ω

2

12 2 R

aCg ••

=ω

22

2

12

gCbR•

=ω

222

12

gRbC•

=ω


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-20

Switched-Capacitor-Filter (SC-Filter) Grundprinzip: Durch ersetzen Eingangswiderstandes einer Intergratorschaltung durch einen geschalteten Kondensator kann eine lineare Abhängigkeit zwischen der Schaltfrequenz fs und dem simulierten Widerstandswert RÄquiv erzeugt werden.

ssÄquiv CfR

•=

1 mit ∫ ••−= dtUU 121τ

⇒ CRÄquiv •=τ ss fC

C•

=τ sf••

=πητ

2

Das Kapazitätsverhältnis sCC bzw.

πη•2

wird vom Hersteller des SC-Filters vorgegeben.

Den Parameter η findet man in den Datenblättern des SC-Filters. Er liegt zwischen 50 und 200. Invertierender SC-Filter: Der Schalter S1 wird mit der Schaltfrequenz fs geschaltet. Bei rein Sinusförmigen Signalen gilt:

( )ωτ

ωj

jF•

−=1

allgemein mit σω += jp und σ = 0:

( )p

jF•

−=τ

ω 1

Nicht-Invertierender SC-Filter: Die beiden Schalter S1 und S2 werden beide gleichzeitig mit der Schaltfrequenz fs betätigt. Bei rein Sinusförmigen Signalen gilt:

( )ωτ

ωj

jF•

=1

allgemein mit σω += jp und σ = 0:

( )p

jF•

=τ

ω 1

RÄquiv = simulierter Widerstandswert in Ω τ = Integrationskonstante C = Rückkopplungs-Kapazität in F Cs = geschaltete Kapazität in F fs = Schaltfrequenz in Hz F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-21

SC-Filter 1.Ordnung:

Hochpass Tiefpass

TPeHP URRU

RRU •

−+•−=

1

3

2

3 HPTP Up

U ••

=τ1

⇒ ( )

pRRRR

UU

jFe

HPHP 11

1

3

2

3

••

+

−==

τ

ω ⇒ ( )p

RRRR

UU

jFe

TPTP

••+

−==

τω

3

1

2

3

1

mit gPp ω•= folgt: mit gPp ω•= folgt:

( )

PRRRR

UU

PF

g

e

HPHP 11

1

3

2

3

•••

+

−==

ωτ

( )P

RR

RR

UU

PFge

TPTP

•••

+

−==

3

1

2

3

1ωτ

mit η=g

sff

folgt (gilt nicht zwingend !!): mit η=g

sff

folgt (gilt nicht zwingend !!):

ggf ωπτ 1

21

=••

= ⇒ 1=• gωτ ggf ωπ

τ 12

1=

••= ⇒ 1=• gωτ

mit gR

Raωτ ••

==1

31 1 ⇒ 31 RR = mit

3

11 1

RR

a gωτ ••== ⇒ 31 RR =

2

3RRA −=∞

∞=ARR 3

2 ∞•= ARR 23 2

10 R

RA −= 0

12 A

RR = 021 ARR •=

Ue = Eingangsspannung in V UHP = Hochpass-Ausgang in V UTP = Tiefpass-Ausgang in V R1, R2 , R3 = Widerstände in Ω F(jω) = komplexe Übertragungsfunktionen F(p) = allgemeine Übertragungsfunktion a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 ) τ = Integrationskonstante fs = Schaltfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz A∞ = Grundverstärkung bei ω → ∞ Hz A0 = Grundverstärkung bei ω = 0 Hz


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-22

SC-Filter 2.Ordnung:

TPBPeHP URRU

RRU

RRU •

−+•

−+•−=

1

3

4

3

2

3

HPBP Up

U ••

=τ1

BPTP Up

U ••

=τ1

( )

( ) 221

3

4

3

2

3

111PR

RPR

RRR

UU

PF

gg

e

HPHP

•••

+•••

+

−==

ωτωτ

( )( ) 2

3

21

4

1

2

1

1 PR

RPR

RRRP

UU

PFrr

r

e

BPBP

•••

+•••

+

•••−==

ωτωτ

ωτ

( ) ( ) 2

3

21

4

1

2

1

1 PR

RP

RR

RR

UU

PFgge

TPTP

•••

+•••

+

−==

ωτωτ

mit η=g

sff

folgt (gilt nicht immer !!!): ggf ωπ

τ 12

1=

••= ⇒ 1=• gωτ

Hochpass: Tiefpass:

gRRa

ωτ ••=

4

31 ( )21

31

gRRbωτ ••

= 4

11 RR

a gωτ ••=

( )3

21

1 RR

b gωτ ••=

2

3RRA −=∞

∞=ARR 3

2 ∞•= ARR 23 2

10 R

RA −= 0

12 A

RR = 021 ARR •=

Bandpass:

31 RR =

1

4RRQ =

QRR 4

1 = QRR •= 14

2

1RR

QAr −=

rAQRR •= 12

QAR

R r•= 2

1

Ue = Eingangsspannung in V UHP = Hochpass-Ausgang in V UTP = Tiefpass-Ausgang in V UBP = Bandpass-Ausgang in V

R1, R2 , R3 , R4 = Widerstände in Ω F(p) = allgemeine Übertragungsfunkt. a1 , b1 = allgemeine Filterkoeffizienten (je nach Charakteristik (siehe S. 6 – 6 ) A∞ = Grundverstärkung bei ω → ∞ Hz A0 = Grundverstärkung bei ω = 0 Hz Ar = Grundverstärkung bei ω = ωr τ = Integrationskonstante fs = Schaltfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fr = Resonanzfrequenz in Hz Q = Unterdrückungsgüte


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-23

Parameter für Sallen-Key-Schaltungen:

Charakteristik d – Parameter k – Parameter Sprungantwort

kritische Dämpfung 2 stark verzögert

Bessel 3 =1,732 1.274 gerade, ohne Überschwinger

Butterworth 414.12 = 1 leichter Überschwinger

Tschebyscheff mit +1 dB Welligkeit 1.045 0.863



gedämpfte Schwingung

d = Dämpfungsfaktor k = Korrekturfaktor Tiefpass in Sallen-Key-Schaltung (Mitkopplung):

( ) 2

1

3

−••+

−=

EEdj

djF

ωω

ωω

ω

CRE •=

1ω kE

gωω =

CRfE •••

=π21

kff E

g =

dA −= 30 03 Ad −= ( )RdRA −•

+=210

21

2dEH −•=ωω

21

2dkff gH −••=

41

32dd

dAH−•

−=

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion ωE = Entwurfskreisfrequenz in Hz , fE = Entwurfsfrequenz in Hz ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz , fg = Grenzfrequenz in Hz A0 = Grundverstärkung bei ω = 0 Hz d = Dämpfungsfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22) k = Korrekturfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22) ωH = Überhöhungskreisfrequenz in Hz (Höchstes Überschwingen bei dieser Frequenz) fH = Überhöhungsfrequenz in Hz AH = Verstärkung bei Resonanzüberhöhung


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-24

Hochpass in Sallen-Key-Schaltung (Mitkopplung):

( ) 21

3

−•+

−=

ωω

ωω

ωEE d

j

djF

CRE •=

1ω kEg •=ωω

CRfE •••

=π21 kff Eg •=

dA −=∞ 3 ∞−= Ad 3 ( )RdRA −•

+=∞21

21

2dE

H

−

=ωω

21

2d

ff EH

−

=

41

32dd

dAH−•

−=

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion ωE = Entwurfskreisfrequenz in Hz fE = Entwurfsfrequenz in Hz ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz fg = Grenzfrequenz in Hz A∞ = Grundverstärkung bei ω → ∞ Hz d = Dämpfungsfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22) k = Korrekturfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22) ωH = Überhöhungskreisfrequenz in Hz (Höchstes Überschwingen bei dieser Frequenz) fH = Überhöhungsfrequenz in Hz AH = Verstärkung bei Resonanzüberhöhung


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-25

Aktiver Bandpass 2. Ordnung

( )( )

2

00

0

31

−•−•+

•=

ωω

ωω

ωω

ω

kj

jkjF

( )

( )2

0

22

0

0

31

•−+

−

•=

ωω

ωω

ωω

ω

k

kjF

CRr •==

10 ωω

CRf

•••=

π21

0 ( )kkA−

==300 ωω

( )( )00

0013

ωωωω

=+=•

=AAk

bfQ 0=

kQ

−=31

Qk 13−= gugo ffb −=

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = komplexe Übertragungsfunktion ω0 = ωr = Bandmitten bzw. Resonanzkreisfrequenz in Hz f0 = fr = Resonanzfrequenz in Hz A0(ω=ω0) = Grundverstärkung bei ω = ω0 k = Korrekturfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22) Q = Güte des Filter b = Bandbreite des Filter fgu = untere Grenzfrequenz fgo = obere Grenzfrequenz Diagramm von Amplitudengang (oben) und Phasengang (unten) des Bandpass:


Stand: 19.03.2002 Rev. 3 Seite 6-26

Aktive Doppel-T-Bandsperre 2. Ordnung

( )( )

2

00

2

0

241

1

−••−•+

−•

=

ωω

ωω

ωω

ω

kj

k

jF

( )

( )2

0

22

0

2

0

241

1

••−+

−

−•

=

ωω

ωω

ωω

ω

k

k

jF

CRr •==

10 ωω

CRf

•••=

π21

0 ( ) kA == 00 ωω k

Q•−

=241

Qk

•−=212

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion |F(jω)| = komplexe Übertragungsfunktion ω0 = ωr = Bandmitten bzw. Resonanzkreisfrequenz in Hz f0 = fr = Resonanzfrequenz in Hz A0(ω=ω0) = Grundverstärkung bei ω = ω0 k = Korrekturfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22) Q = Güte des Filter Diagramm von Amplitudengang (oben) und Phasengang (unten) der Bandsperre:

inhaltsverzeichnis - techniker.pi-pro.detechniker.pi-pro.de/fs/nae/pdf/filter.pdf · filter...

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