Curso : Laboratorio de Física I

Profesor : Ing. Tomas Efraín Álvarez Loli

Informe Nro. : 7

Tema : Momento de Inercia

Mesa Nro. : 2 – B

Integrantes : Reinoso Núñez, Edilberto Reynaldo

Fecha del Experimento : Jueves 09 de abril de 2013

Hora : De 11:20 a 13:00

Fecha de entregaDel informe : Jueves 30 de mayo de 2013

Hora : De 11:20 a 13:00

2013-I

INTRODUCCION

En este informe se presentan las tablas de datos, el cuestionario, observaciones, recomendaciones y conclusiones que se pudieron obtener al realizar la experimentación.

Así que espero brindarles toda la ayuda e información necesaria para realizar un experimento a como este y tener un buen conocimiento acerca del manejo de los instrumentos que los utilizaremos de aquí en adelante. Gracias.

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INDICE

Pág.

Carátula………...…………………………………………..………...…….….. 1

Introducción………………………..………………………..……..………….. 2

Índice………………….……………………………………..…………….….. 3

Objetivos ……………………………………………...………………............ 4

Fundamento Teórico……………………………………….………..…...…… 5

Parte experimental……………………………………….……..…...……..…. 8

Cuestionario………………………………………………..………………… 14

Conclusiones y Bibliografía ……………………….………….……..………. 17

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OBJETIVOS

En esta experiencia Nº7, estudiaremos el momento de inercia, a través de los siguientes objetos: cilindro con hueco, cilindro madera maciza, disco de metal.Se mostrara y comparara los resultados experimentales (midiendo el tiempo de las oscilaciones y aplicándolos en la formula correspondientes) y teóricos (obtenidos por la fórmula de momento de inercia de cada objeto), dándonos una visión de los que es el momento de inercia de objeto y si se conserva en ambos casos.

También haremos una comprobación y analizaremos el teorema de Steiner.

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FUNDAMENTO TEORICO

Momento de Inercia

Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido; es una magnitud que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas, respecto de un eje, en un movimiento de rotación. El momento de inercia no depende de las fuerzas que intervienen, sino de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; este concepto desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.

Muelle espiral

El muelle o resorte espiral es un sistema elástico que cumple la ley de Hooke. Cuandoel sistema sufre un desplazamiento desde la posición de equilibrio, aparece un par recuperador que tiende a llevarlo de nuevo a la posición inicial. Para pequeñas oscilaciones, se puede considerar, aplicando la ley de Hooke, que el par recuperador es proporcional al ángulo girado:

………………(1)Donde R se denomina constante recuperadora del muelle espiral.

El período de oscilación de un sistema físico sujeto al muelle espiral viene dado, para pequeñas oscilaciones, por la expresión:

......................(2)Siendo I el momento de inercia del sistema respecto al eje de rotación. Una vez conocido el valor de R, es fácil estimar el momento de inercia, I, de un sistema físico, con sólo medir el período de las oscilaciones como se deduce de la ecuación (2).

Variación del momento de inercia de un cuerpo con la distancia al eje

El momento de inercia del sistema, I, formado por una barra delgada y dos masas cilíndricas movibles dispuestas en forma simétrica sobre ella (Figura 1), respecto a un eje perpendicular a la barra que pase por su centro es:

……………(3)

Siendo Ibel momento de inercia de la barra respecto a dicho eje, Ic el momento de inercia de las masas cilíndricas con respecto a un eje paralelo al anterior que pasa por su centro de masas, y d la distancia desde éste al centro de cada una de las masas móviles. Para un sistema como éste el periodo de las oscilaciones valdrá, sustituyendo (4) en 2):

………..(4)Teorema de Steiner

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El teorema de Steiner se enuncia de la siguiente manera: el momento de inercia de uncuerpo respecto de un eje cualquiera, es igual al momento de inercia respecto a un eje, paralelo al dado, que pase por su centro de masas, más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes:

……………(5)

Siendo IGel momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masas, y d la distancia entre ambos ejes.

(Fig.1)

Para comprobar el teorema de Steiner y obtener de forma alternativa la constante del muelle espiral, se emplea el disco con agujeros. El método a seguir será hallar el momento de inercia con respecto a los ejes definidos por los orificios y comprobar si siguen la expresión (5). Para ello, mediremos el periodo de oscilación para cada eje ya que combinando las expresiones (2) y (5):

……..…… (6)

La ecuación de la rotación de un cuerpo rígido viene dada por:

………….…..(7)

Donde M0 es el momento resultante respecto de O, y L0es el momento angular respecto de O. Generalmente el punto O suele ser el c.d.g. del cuerpo. La ecuación es válida para un para un sistema inercial de referencia. Cuando existe simetría respecto

del eje de rotación, L0=I y la ecuación (7) queda:

………….(8)

Los cuerpos aquí utilizados, cumplen esta condición de simetría respecto del eje

vertical que pasa por su c.d.g., que es el eje respecto del cual rotan. M0 y tienen la dirección de este eje de rotación.

El momento de fuerza aplicado actúa sobre el muelle y lo deforma según la ley de Hooke:

…………….(9)Donde D es la constante recuperadora del muelle o también constante restauradora angular.

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De (8) podemos deducir que:

………………………(10)

que es la ecuación de un movimiento oscilatorio de periodo:

……………………………….(11)

Si deseamos obtener el momento de inercia, hemos de determinar primero la constante recuperadora D y lo haremos de la siguiente forma. La expresión (9) nos indica que la relación entre el momento MO y el ángulo θ es lineal, y por tanto teniendo diferentes valores del momento y las correspondientes desviaciones angulares θ, que producen, le ajustamos la recta de regresión y de su pendiente, según la ecuación (9), hallamos el valor de D. Una vez conocido este valor, midiendo el periodo podemos hallar el momento de inercia de la expresión (11).

Si deseamos conocer el momento de inercia del cuerpo respecto de un eje de rotación, paralelo al anterior, pero que no pase por el c.d.g., basta con aplicar el teorema de Steiner, (de los ejes paralelos).

……………(12)

Donde IA es el momento de inercia respecto de un eje vertical que no pasa por el c.d.g. sino por un punto A que está a una distancia d del c.d.g.; m es la masa del cuerpo, e I es el momento de inercia respecto de un eje vertical que pasa por el c.d.g, o sea, el momento de inercia calculado con (11).

El periodo para la oscilación, cuando el eje de giro pasa por A, es:

.

PARTE EXPERIMENTAL

1. EXPERIMENTAL

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DESCRIPCION DEL MATERIAL Y/O EQUIPOS

Un (01) cilindro de madera macizo. Un (01) cilindro metálico hueco. Un (01) plato de asiento de metal para los cilindros macizos y huecos. Un (01) eje de torsión Un (01) trípode (base para eje de torsión) Un (01) disco de metal

Un (01) vernier o pie de rey

Una (01) balanza

Un (01) cronometro.

DESCRIPCION EXPERIMENTAL DEL TRABAJO

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DETERMINACION EXPERIMENTAL DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN CILINDRO MACIZO:

1. Coloque el cilindro macizo en soporte de oscilación giratoria y mida con el cronometro el tiempo que tarda en realizar 4 oscilaciones en torno a su eje de simetría. Para ello, gire el cuerpo una vuelta (360°), en el sentido de comprensión del resorte y suéltelo.

2. Realice la medida anterior un total de 4 veces y anótelas.

DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN CILINDRO HUECO:

3. Coloque ahora el cilindro hueco en la plataforma de oscilación giratoria y, siguiendo el mismo procedimiento que en el apartado anterior, mida el tiempo que tarda en realizar 5 oscilaciones.

COMPROBACIÓN EXPERIMENTAL DEL TEOREMA DE STEINER:

4. Coloque en el soporte de oscilación giratoria, el disco taladro, de forma que este oscile en torno al eje que pasa por su centro de masas y determine el tiempo que tarda en realizar 4 oscilaciones. Para ello, siga el mismo procedimiento que en los apartados anteriores.

5. Coloque ahora el disco de forma que oscile en torno a otro eje de rotación paralelo al anterior, para ello, sitúe el eje en otro orificio de los que dispone el disco (preferible uno de los próximos a la periferia) y siguiendo el procedimiento ya descrito, determine el tiempo que tarda en realizar 4 oscilaciones.

2. ACTIVIDAD

Considerar la constante elástica del resorte: D= 0.025 N.m/rad.

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A. Determinación experimental del momento de inercia de un cilindro macizo:

Masa: 0.3214 kgRadio: 0.045 mN° de oscilaciones: 3

TABLA N°1: Medidas de tiempos cilindro macizo.

t1 (s) t2 (s) t3 (s) t4 (s) t5 (s) t

5.6 5.8 5.5 5.7 5.6 5.64

(NOTA: Este es el momento de inercia del cilindro macizo mas la tapa base)

B. Determinación experimental del momento de inercia de un cilindro hueco:

Masa: 0.3184 kgRadio: Interior: 0.043 m y Exterior: 0.045 m N° de oscilaciones: 3

TABLA N°2: Medidas de tiempos cilindro hueco.

t1 (s) t2 (s) t3 (s) t4 (s) t5 (s) t

3.3 3.6 3.4 3.4 3.5 3.44

(NOTA: Este es el momento de inercia del cilindro hueco mas la tapa base)

TAPA BASE

TABLA N°3: Medidas de tiempos tapa base.

t1 (s) t2 (s) t3 (s) t4 (s) t5 (s) t

1.3 1 1.1 0.9 1.1 1.08

C. Comprobación experimental del momento de Steiner:

Masa: 0.6996 kgRadio: 0.2 m N° de oscilaciones: 3

Eje que pasa por el orificio central:

TABLA N°4: Medidas de tiempos disco taladrado.

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t1 (s) t2 (s) t3 (s) t4 (s) t5 (s) t

13.5 13.7 13.6 13.6 13.4 10.84

Eje que pasa por el orificio paralelo al eje central (distancia del eje actual al eje central es 0.14 m):

TABLA N°5: Medidas de tiempos disco taladrado.

t1 (s) t2 (s) t3 (s) t4 (s) t5 (s) t

20 19.5 19.8 20 19.5 19.76

D. Cálculos:

TAPA BASE:

a) Calculo del período de oscilación:

T T=1.3+1+1.1+0.9+1.1

15=0.36 s−1

b) Calculo del momento de inercia experimental: I Texp= T 2

4 π2 D

I Texp=0.362

4 π2 0.025=0.00008207 kg . m2

1. Momento de inercia del cilindro macizo.

a) Calculo del período de oscilación: T CM=T CM +T−T T

T CM+T=2.6+2.8+2.5+2.7+2.6

15=0.88 s−1

T CM=0.88−0.36

T CM=0.52 s−1

b) Calculo del momento de inercia experimental:

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I CMexp=ICM +T exp

−I Texp

I CM+T exp= T 2

4 π2 D=0.882

4 π2 0.025=0.000490394 kg . m2

I CMexp=0.000490394−0.00008207

I CMexp=0.000408324 kg .m2

c) Calculo del momento de inercia teórico: I=12

m r2

I=12(0.3214)0.0452

I=0.000325417 kg . m2

2. Momento de inercia del cilindro hueco.

a) Calcule el período de oscilación: T CH=T CH +T−T T

T CH+T=3.3+3.6+3.4+3.4+3.5

15=1.147 s−1

T CH=1.147−0.36

T CH=0.787 s−1

b) Calculo del momento de inercia experimental:

I CHexp=I CH +Texp

−I Texp

I CH+T exp= T 2

4 π 2 D=1.1472

4 π2 0.025=0.000833119 kg . m2

I CHexp=0.000833119−0.00008207

I CHexp=0.000751049 kg . m2

d) Calculo del momento de inercia teórico:

I Z=12

m (rexterior2 +rinterior

2 )

I Z=12

0.3184 (0.0452+0.0432 )

12

I z=0.00061674kg .m2

3. Comprobación experimental del teorema de Steiner.

a) Momento de inercia respecto al eje central: (IG)

Experimental:

T G=13.5+13.7+13.6+13.6+13.4

15=4.52 s−1

I G=T 2

4 π2 D=4.522

4 π2 0.025

I G=0.012937701 kg .m2

b) Momento de inercia respecto al eje paralelo: (IA)

T A=20+19.5+19.8+20+19.5

15=6.587

I A=T 2

4 π 2 D=6.5872

4 π2 0.025=0.027476132

I A=0.027476132

c) Comprobación:

Teorema Steiner: I A=I G+m d2

I A=0.012937701+(0.6996)0.142

I A=0.026649861

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CUESTIONARIO

1. ¿En cuales casos de la ecuación (M = Iα) se pueden considerar el momento resultante M constate? Anote algunos ejemplos.

Para que M sea constante; se pueden considerar en 2 casos:

I constante para que I sea constante debemos de trabajar con sólidos

rígidos ya que estos no demostraran deformación alguna al momento de

realizar la rotación angular.

α constante, para lograrlo, se debe tener una fuerza externa constante, que

permita una aceleración angular constante.

Se puede considerar el momento resultante constante cuando la aceleración y la inercia del cuerpo varían proporcionalmente. Un ejemplo podría ser el molino de viento.

2. w⃗¿Si en un experimento obtenemos I constante, podríamos entonces deducir que es también constante? Fundamente su respuesta.

Si I es constante es porque la forma geométrica y configuración con respecto al eje de

simetría, permanece sin variación.

3. Explique por qué al cambiar el eje de rotación de un objeto cambia su momento de inercia.

Según definición del momento de Inercia , la medición del momento de inercia se

realiza desde un eje de rotación , pero si el eje varia de ubicación, también varía la

distribución de masa , y por tanto el momento de inercia.

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4. ¿Un objeto debe estar rotando para tener un momento de inercia diferente de cero?

No, ya que si gira con velocidad o aceleración angular constante el momento total en aquel instante será cero.

5. Dos cilindros que tiene las mismas dimensiones se ponen a rotar en torno a sus ejes largos con la misma velocidad angular. Uno es hueco y el otro está lleno de agua, ¿en cuál cilindro será más fácil detener la rotación?

MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA DE UN CILINDRO HOMOGÉNEO DE MASA M, RADIO R Y ALTURA L

El momento de inercia I respecto al eje de simetría del cilindro se puede calcular directamente, mientras que los otros dos momentos, iguales, I x e I y, pueden calcularse a partir del momento de inercia de un disco con respecto a un eje diametral y aplicando el Teorema de Steiner, se calcula con respecto a un eje paralelo por el centro de masas del cilindro.

Momento de inercia con respecto al eje de simetría:

Será con

Momentos de inercia respecto a los ejes transversales por el centro de inercia:El momento de inercia del disco plano de la base del cilindro es, con respecto a un eje diametral:

con

Con respecto a un eje paralelo a su diámetro, por ejemplo, el eje x de la figura, se obtiene aplicando el teorema de Steiner:

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Entonces:

El tensor de inercia, es, por tanto:

La esfera hueca de la pregunta, tiene mayor momento de inercia, ya que su masa está, en general, más alejada del eje de giro que la de la esfera maciza.

6. Describa el movimiento de la tierra con respecto a su momento y velocidad angular.

El movimiento de la tierra con respecto a su momento y velocidad angular no varía dado que debe modificarse considerablemente la masa, cosa que no sucede, ya que se dice que la tierra debido a fuerzas de atracción recibe 20 toneladas de polvo cósmico cada día, si lo analizamos cuantitativamente concluiremos que serian 7300 toneladas al año, pero otros expertos afirman que sería entre 5000 y 20000 toneladas, pero bueno exagerando un poco si serian 100000 toneladas ósea 105

toneladas al año.Pero si lo comparamos con la masa de la tierra (6*1021toneladas) y partiendo desde el jurásico (hace 150 millones de años) tendremos:150*106*105=1.5*1013 toneladas o sea el aumento relativo habrá sido de (1.5*1013)/(6*1021)*100=2.5*10-7 %, o sea prácticamente nada.

7. Deducir la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido con respecto a un eje principal.

Partimos de: vi= ·ri , luego reemplazamos en la ecuación del momento total y obtenemos:

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CONCLUSIONES

Se pudieron comparar dos métodos para hallar la inercia de los cuerpos: Por medio de la relación de sus radios y sus masas.

BIBLIOGRAFIA

JONES & CHILDERS, Física Contemporánea, 3er. Ed., Mc Graw Hill, México D. F., México, 2001, Cap. 14, Pág. 447-449

MEINERS – EPPENSTEIN – MOORE. Experimentos de Física

MARCELO ALONSO – EDWARD J. FINN Física Volumen I.

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