Inferencia estadística

Matemáticas aplicadas a las CCSS II

Ana PolaIES Avempace

Estadística inferencial Plantea y resuelve el problema de establecer previsiones y conclusiones generales sobre una población a partir de los resultados de una muestra.

La herramienta fundamental es el cálculo de probabilidades y, más concretamente, la distribución normal.

INFERENCIAESTADÍSTICA

ESTIMACIÓNDE

PARÁMETROS

CONTRASTEDE

HIPÓTESIS

ESTIMACIÓNPOR

PUNTOS

ESTIMACIÓNPOR

INTERVALOS

POBLACIÓN

Es el conjunto de todos los individuos objeto de nuestro estudio

MUESTRA

Es un subconjunto extraído de la población. Su estudio sirve para inferir características de la población

ESTADÍSTICOS MUESTRALESO ESTADÍSTICOS

Son los índices centrales y de dispersión que definen una muestra

PARÁMETROS POBLACIONALESO PARÁMETROS

Son los índices centrales y de dispersión que definen una población

Suelen constituir una buena estimación de los respectivos parámetros, razón por la que reciben también el nombre de

ESTIMADORES

Métodos de muestreo Muestreo no aleatorio

Los elementos de la población no tienen la misma probabilidad de ser incluidos en la muestra.

Muestreo aleatorio Todos los elementos de la muestra se eligen al azar, por tanto, cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser incluido en la muestra.• Muestreo aleatorio simple• Muestreo aleatorio sistemático• Muestreo aleatorio estratificado• Muestreo por conglomerados• …

Muestreo aleatorio simple Consiste en seleccionar n elementos sin reemplazamiento de entre los N que componen la población, de modo que todas las muestras de tamaño n que se puedan formar, tengan la misma probabilidad.

Muestreo aleatorio sistemático Es una variedad del anterior. Se numeran todos los elementos de la población y se dividen en tantos intervalos iguales como elementos deba contener la muestra. Se extrae al azar un elemento del primer intervalo y, posteriormente, los que ocupan el mismo lugar en los restantes intervalos.

Se utiliza cuando los elementos de la población están ordenados en listas.

Muestreo aleatorio estratificado Se divide la población en clases homogéneas, llamadas estratos.

La muestra se escoge aleatoriamente en número proporcional al de los componentes de cada estrato.

Se utiliza cuando se desea que la muestra tenga una composición análoga a la población.

Muestreo por conglomerados Consiste en distinguir inicialmente núcleos de población de carácterísticas similares a la propia población.

Se utiliza cuando la población se encuentra agrupada en conglomerados y cada uno de estos es representativo de la población total.

Distribuciones de muestreo Dada una población de N elementos, podemos considerar todas

las posibles muestras aleatorias de tamaño n.

POBLACIÓN

M1 M2 M3 … Mk …

1 2 3 … k …

me1 me2 me3 …mek …

x1 x2 x3 … xk … Distribución muestral de medias

Distribución muestral de desviaciones típicas

Distribución muestral de medianas

Distribución muestralde medias Dada una población de N elementos, podemos considerar todas

las posibles muestras aleatorias de tamaño n.

POBLACIÓN

X con ,

M1 M2 M3 … Mk …

x1 x2 x3 … xk …

Distribución muestral de medias de tamaño n

La media de la distribución muestral de medias es igual a la media de la población

Si la población es infinita o si el muestreo es con reposición, su desviación típica es

Teorema central del límite Si se toman muestras de tamaño n > 30 de una población, con una distribución cualquiera, media y una desviación típica , la distribución muestral de medias se aproxima a una distribución normal

Población N()

Población cualquiera con n≥30

Distribución de medias muestrales

Distribución de medias muestrales

Ejemplo Una población está formada por sólo cinco elementos, con valores 3, 5, 7, 9 y 11. Consideramos todas las muestras posibles de tamaño 2 con reemplazamiento que pueden extraerse de esta población. Se pide calcular: a) La media de la población. b) La desviación típica de la población. c) La media de la distribución muestral de medias.

d) La desviación típica de la distribución muestral de medias, es decir, el error típico de las medias.

Solución Población: 3, 5, 7 ,9 ,11

a) La media de la población es

b) La desviación típica de la población es

Población: 3, 5, 7, 9, 11 Construyamos la distribución muestral de medias:

Elementos 3 3 3 5 3 7 3 93

115 3 5 5 5 7 5 9

5 11

7 3 7 5 7 7 7 97

119 3 9 5 9 7 9 9

9 11

11 3

11 5

11 7

11 9

11 11

Media de la muestra,

3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 6 7 8 9 10 7 8 9 10 11

MUESTRAS

xiNúmero de muestras

Probabilidad

P(x i)

3 1 1/25

4 2 2/25

5 3 3/25

6 4 4/25

7 5 1/5

8 4 4/25

9 3 3/25

10 2 2/25

11 1 1/25

Media de la muestra, xix1x2x3x4x5x6x7x8x9 0

1/20

1/10

3/20

1/5

1/4

3 4 5 6 7 8 9 10 11

c) La media de la distribución muestral de medias es:

d) La desviación típica de la distribución muestral de medias es:

Número de muestras

Probabilidad

P(x i)

3 1 1/25

4 2 2/25

5 3 3/25

6 4 4/25

7 5 1/5

8 4 4/25

9 3 3/25

10 2 2/25

11 1 1/25

Media de la muestra, xix1x2x3x4x5x6x7x8x9

Cuando la población es infinita o las muestras se extraen con reemplazamiento, se verifica

Ejercicio 1 En una oposición en la que participaban miles de

candidatos se hizo un examen tipo test.Las calificaciones se distribuyeron normalmente con media = 72 puntos y desviación típica = 10.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un opositor elegido al azar obtenga más de 76 puntos?La población sigue una N(72,10)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 64 opositores obtenga un promedio superior a 76 puntos?La media muestral de medias será y la desviación tipica

La distribución muestral de medias será N(72; 1,25)

X = 72 X =σ

n=

10

64=

10

8=

5

4

Ejercicio 2 Se sabe que el peso medio de los

estudiantes varones de la Universidad de Zaragoza es = 76,4 kg, con una desviación típica = 7,5 kg. Se extrae una muestra aleatoria (sin reposición) de 100 estudiantes de dicha población. Cuál es la probabilidad de que el peso medio de la muestra sea:a) Superior a 75 kg.b) Inferior a 75,6 kg.c) Entre 76 y 77,5 kg.d) Inferior a 74 kg o superior a 78 kg.

Distribución muestralde proporciones Sea una población en la que la proporción de individuos que posee una cierta característica

es p. En consecuencia, la proporción de los individuos que no al tiene es 1 - p = q. Consideramos todas las posibles muestras de tamaño n que puede extraerse de esa población.

POBLACIÓN

p, q = 1-p

M1 M2 M3 … Mk …

p1 p2 p3 … pk …

Distribución muestral de proporciones de tamaño n

La proporción, P, de individuos con dicha característica en la muestra de tamaño n es

La media de la distribución muestral de proporciones coincide con la proporción de los elementos de la población

Si la población es infinita o si el muestreo es con reposición, su desviación típica es

Ejemplo Un partido político tiene, en un determinado país, un porcentaje de votos estimado en el 25%. Se elige una muestra aleatoria de 100 personas. Calcula la probabilidad de que en la muestra exista al menos un 30% de votantes del partido político en cuestión. Solución:La proporción de votantes del partido es: p = 0,25 y por tanto

La distribución muestral de la proporción P es N(0,25 ; 0,043)

Ejercicio Una máquina fabrica piezas de precisión. En su producción habitual fabrica un 3% de piezas defectuosas. Un cliente recibe una caja de 500 piezas procedentes de la fábrica.a)¿Cuál es la probabilidad de que encuentre más del 5% de piezas defectuosas en la caja?

b)¿Cuál es la probabilidad de que encuentre menos de un 1% de piezas defectuosas?

El problema inverso Hemos visto cómo, dado un intervalo, se puede calcular la probabilidad de que la variable se encuentre en dicho intervalo.

Ahora nos plantearemos el problema inverso, es decir, dado el tipo de intervalo y su probabilidad, calcular sus extremos.

Intervalos característicoso de probabilidad Si la variable X tiene una distribución de media , se llama intervalo característico correspondiente a una probabilidad p a un intervalo centrado en la media,

( - k, + k), tal que la probabilidad de que X pertenezca a dicho intervalo es p:

P( - k < X < + k) = p

Intervalos característicosen distribuciones N(0,1) En una distribución normal N(0,1), si (-k, k) es el

intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, es decir, si

P(-k < Z < k) = pdiremos que k es el valor crítico correspondiente a p.

Intervalo característico

Valor crítico

Principales valores críticos

1 - /2 z /2

0,90 0,05 1,645

0,95 0,025 1,96

0,99 0,005 2,575

Cálculo del valor crítico

Cálculo del valor crítico

Intervalos característicosen distribuciones N(,) Deseamos encontrar un intervalo centrado en la media ( - k,

+ k) tal queP( - k < X < + k) = p = 1-

es decir, el intervalo en el cual esté el 100·(1- )% de los individuos de la población.

Si X es N(,), entonces, es N(0,1)

P(-z/2 ≤ Z ≤ z/2) = 1- , entonces, P(-z/2 ≤ ≤ z/2) = 1-

Por tanto, el intervalo característico será:

Z =X −

X −

−zα /2 ≤X − μ

σ≤ zα /2 ⇒ − zα /2 ⋅σ ≤ X − μ ≤ zα /2 ⋅σ ⇒ μ − zα /2 ⋅σ ≤ X ≤ μ + zα /2 ⋅σ

En una distribución N(,), el intervalo característico correspondiente a una

probabilidad p = 1- , es:( - z/2·, + z/2·)