INDRUMAR

pentru

LUCRĂRI DE LABORATOR

la disciplina

ELASTICITATE ŞI REZISTENŢA MATERIALELOR

( ) 699.0L

iar43.1LLL

tgL

cosAL

sinL

Av

L

vtg f

ffffff

IL ==⇒

π=

π⇒

ππ=

π⇒==ϕ

λλλλλλλ

VALABIL PENTRU STUDENŢII DIN ANUL II MECANIC Ă APLICATĂ

λf

L

v ϕ

λf

x v

O

PREFAŢĂ, CUPRINS ŞI BIBLIOGRAFIE Obiective laborator

ERM

1. Determinări experimentale ale unor caracteristici mecanice şi elastice ale unui material; 2. Tehnici de măsurare a deformaţiilor specifice liniare prin tensometrie electrică rezistivă; 3. Exemple de verificare experimentală a unor relaţii teoretice stabilite la orele de curs.

Compe-tenţe

specifice

1. Cognitive: cunoaşterea şi utilizarea noţiunilor teoretice şi practice ale disciplinei 2. Tehnice - profesionale: proiectarea şi evaluarea activităţilor practice specifice ERM 3. Atitudinal – valorice: manifestarea unei atitudini pozitive faţă de domeniul experimental

Conţinutul instruirii şi nr.de ore la o temă

Lucr ări de laborator: 7X2=14 ore 1. PREZENTAREA LABORATORULUI, PROTECŢIA MUNCII, CARACTERISTICI MECANICE LA TRACTIUNE ALE MATERIALELOR: baze teoretice, prezentarea şi descrierea epruvetei şi maşinii de încercat la tracţiune, trasarea şi interpretarea unei caracteristici mecanice la tracţiune, calculul tensiunilor limită de proporţionalitate şi de curgere, compararea rezultatelor obţinute cu cele date în literatura tehnică – 2 ore 2. CARACTERISTICI ELASTICE ALE OŢELULUI: definirea caracteristicilor elastice, baze teoretice privind determinarea modulului de elasticitate transversal, prezentarea şi descrierea epruvetei şi standului experimental, determinarea modulului de elasticitare transversal, comparare cu valoarea indicată în literatura de specialitate – 2 ore 3. MĂRIMI SECŢIONALE: definirea mărimilor secţionale şi baze teoretice de calcul al acestora, determinarea mărimilor secţionale pentru o secţiune compusă, verificarea experimentală a poziţiei centrului de greutate, trasarea variaţiei tensiunilor normale şi tangenţiale pe înălţimea secţiunii la solicitarea de încovoiere simplă, depistarea secţiunilor periculoase şi zonelor cu tensiuni normale maxime la o bară încovoiată – 2 ore 4. MĂSURĂTORI TENSOMETRICE: baze teoretice privind convertirea deformaţiei specifice liniare în variaţie de rezistenţă electrică a unui filament ataşat fibrei deformate, traductorul şi puntea tensometrică, măsurarea experimentală a deformaţiilor specifice liniare şi a tensiunilor corespunzătoare, compararea rezultatului experimental cu cel dedus pe cale teoretică, în vederea validării modelului experimental propus în lucrarea de laborator – 2 ore 5. SĂGEŢI DE ÎNCOVOIERE LA BARE DREPTE SI CURBE: metode de calcul al deformaţiilor de încovoiere, instalaţii experimentale, determinarea săgeţii pe cale experimentală şi compararea ei cu valoarea dedusă prin calcul, validarea prin experiment a metodelor de calcul al deformaţiilor – 2 ore 6. FLAMBAJUL ELASTIC AL BARELOR ZVELTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE: definirea domeniului de flambaj la bare drepte solicitate la compresiune şi a relaţiilor de calcul al forţei critice, instalaţia experimentală, determinarea forţei critice pe cale experimentală şi compararea ei cu valoarea dedusă prin calcul în vederea validării prin experiment a metodelor de calcul la flambajul barelor zvelte solicitate la compresiune. Lungimi de flambaj – 2 ore 7. OBOSEALA MATERILELOR: Prezentare generală a standului şi metodei de trasare a curbei Wohler şi de determinare a tensiunii limită la oboseală la încovoiere plană - 2 ore.

Strategii didactice la aplicaţii practice

1. Resurse procedurale: autoinstruirea pe baza unor suporturi de studiu elaborate pentru fiecare lucrare, expunerea didactică, explicaţia, lucrări practice frontale şi de grup 2. Resurse materiale: standuri ale fiecărei lucrări de laborator, instrumente de măsură adecvate: subler, micrometru, comparator cu cadran, punţi şi traductoare tensometrice

Instrumente de evaluare formativă (pe parcurs): Verificare orală la fiecare lucrare ţi teste scrise Instrumente de evaluare sumativă (finală): Verificare orală prin sondaj şi prezentarea referatelor Standarde curriculare de performanţă

Standarde minime: Denumirea şi scopul lucrării de laborator, efectuarea experimentului Standarde maxime: Parcurgerea coerentă a tuturor etapelor lucrării de laborator; participare activă dezbaterea chestiunilor teoretice şi practice, predarea tuturor referatelor de laborator.

Bibliografie pentru elaborarea

1. Notiţe de la curs şi suporturi de studiu elaborate în cadrul laboratorului 2. Diaconescu, E., N., Rezistenţa materialelor, Partea I, cota II-26.477, 50 buc. 3. Neculau, A Câmpul universitar şi actorii săi

Bibliografie minimală

1. Suporturi de studiu elaborate în cadrul laboratorului 2. *** Noti ţe de la curs

FIŞĂ COLECTIV Ă pentru instructajul de protecţie a muncii şi prezenţă la activităţile de laborator ERM

Subsemnatul ………………., având funcţia de ………, am procedat astăzi………………la instruirea unui nr. de……studenţi din grupa……….în probleme de protecţie a muncii pentru lucrările de laborator la disciplina ERM. Prezentul instructaj este valabil pentru perioada semestrului…….de la……………până la…………..Materialul predat cuprinde regulile de protecţie a muncii si pază contra incendiilor elaborate pentru activităţile practice din laborator şi afişate în încinta laboratorului.

VERIFICAT INSTRUCTOR

TABEL NOMINAL

anexă la fişa colectivă de instructaj din…………………2007 Am luat la cunoştinţă de cele consemnate în fişa colectivă de instructaj şi de prezenţa obligatorie la laborator.

Nc L1 si PM 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

LABORATOR ERM. NR. 1.1: PREZENTAREA LABORATORULUI, PROTECTIA MUNCII, CARACTERISTICI MECANICE ŞI ELASTICE ALE MATERIALELOR

1. SCOPUL LUCRARII: Lucrarea de laborator are două părţi. Prima parte se refera la prezentarea listei de lucrari, a standurilor experimentale aferente si a regulilor de protectie a muncii specifice laboratorului. Partea a doua a lucrării se ocupă de studiul experimental al unor caracteristici mecanice şi elastice ale otelului. 2. LISTA LUCRARILOR DE LABORATOR: Cuprinde urmatoarele 7 lucrari: 1. Prezentare lab., caracteristici mecanice şi elastice 5..Sageti de incovoiere 2. Modulul de elasticitate transversal 6. Flambajul barelor drepte solicitate la compresiune 2. Marimi sectionale 4. Masuratori tensometrice

7. Standuri pentru incercari la oboseala, încheierea situaţiei, recuperări

3. CARACTERISTICI MECANICE ŞI ELASTICE ALE OTELULUI OL 37 3.1. BAZE TEORETICE: Într-o succintă clasificare a materialelor oţelul OL37 este plasat astfel: MATERIALE SOLIDE METALICE FEROASE OŢELURI OL37; OL50 etc. Caracteristicile mecanice si elastice cautate se refera la tensiunile limita de curgere sau de rupere la solicitarea simpla de tractiune (σc si σr), respectiv modulul de elasticitate longitudinal E. Pentru a le determina se utilizează criteriul de rezistenta la tractiune σ=N/A, legea lui Hooke E=σp/εp si relatiile de definitie: ε=∆λ/λ0. 3.2 INSTALATIA EXPERIMENTALA Se compune din maşina de încercat la tractiune din dotarea laboratorului şi din epruvetă. Pe maşina de încercat se trasează caracteristica mecanică la tracţiune a epruvetei. Schema epruvetei, caracteristica mecanică şi valorile experimentale esenţiale sunt redate în tabelul următor. Epruveta şi maşina de încercat Caracteristica experimentală Valori esenţiale

ρ 0 λ( )

ρk

λ∆L

kj

∆L lim,

0 10

0.5

1

Deformatii adimensionale

For

ta a

dim

ensi

onal

a

Forţe de curgere şi de proporţionalitate Fc=10KN şi Fp=8KN Lungimea initiala a epruvetei λ0=50 mm Lungirea de proportionalitate ∆λp=0,05 mm Diametrul initial al epruvetei d0=7 mm

3.3 VALORI EXPERIMENTALE ALE UNOR CARACTERISTICI M ECANICE ŞI ELASTICE

Aria sectiunii transversale 20

20

0 d8,04

dA ≈

π= .

Caracteristicile mecanice utilizate în ERM sunt: Tensiunile limita de proportionalitate si de curgere:

( ) ( ) MPa250Pa105.21078.0

101

A

F;MPa200Pa102

1078.0

108.0

A

F 823

4

0

cc

823

4

0

pp =∗=

∗∗

∗==σ=∗=∗∗

∗==σ−−

Lungirea specifică longitudinală 3

0

pp 10

50

05.0 −==∆

=ελλ

Caracteristicile elastice: modul de elasticitate longitudinal E, este:

Pa10210

102E 11

3

8

p

p ∗=∗=εσ

=−

4. CONCLUZII Caracteristicile mecanice şi elastice ale materialelor se determină experimental si se dau în literatura tehnică (tabele, grafice, diagrame etc). Pentru oţeluri se indică o valoare uzuală a modulului de elasticitate longitudinal E=210 GPa. Valoarea de catalog a tensiunii de curgere pentru OL37 este σc=240 MPa.

∆λ

F

λo

Ao,do

d F

LABORATOR ERM. NR. 1.2: CALCUL NUMERIC AL CARACTER ISTICILOR MECANICE

Matricile experimentala si utila. Coloanele matricilor reprezinta: Nr. curent, Lungirea epruvetei in sutimi de mm, Forta de tractiune in kN

ORIGIN 1

m 4 n 7

EXP

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0.7

1.4

2.4

3.4

5.2

7.5

10.5

11.7

12.4

12.9

13.0

13.0

EXP3< >

EXP2< >

M submatrix EXP m, n, 1, 3,( )

M

4

5

6

7

20

25

30

35

3.4

5.2

7.5

10.5

=

Algoritm de calcul

∆ L exp 10 5 EXP 2< >. F exp 103 EXP 3< >. ∆ L util 10 5 M 2< >. F util 103 M 3< >.

a slope ∆ L util F util, b intercept ∆ L util F util,

Jocul din sistem si lungirile conventionale ale epruvetei: de proportionalitate si limita

jb

a∆ L p

max Futil b

a∆ L lim

max Fexp b

a

Ecuatia dreptei de aproximare a experimentului F ∆ L( ) a ∆ L. b( ) Φ ∆ L j( ) ∆ L lim ∆ L..

Graficile caracteristicilor mecanice: experimentale si prelucrate (de aproximare)

F exp

F ∆L( )

∆L exp ∆L,

Dimensiunile epruvetei L 0 40 10 3. d 0 5 10 3. A 0π d 0

2

4

Caracteristicile mecanice si elastice ale materialului epruvetei

Lungiri specifice de proportionalitate silimita (curgere, rupere)

ε p∆ L p j

L 0ε p 5.561 10 3= ε lim

∆ L lim j

L 0ε lim 6.886 10 3=

Tensiuni normale de proportionalitate silimita (curgere, rupere)

σ pmax Futil

A 0σ p 5.348 108= σ lim

max Fexp

A 0σ lim 6.621 108=

Modul de elasticitatelongitudinala E

σ p

ε pE 9.616 1010=

LABORATOR ERM NR. 2: MODULUL DE ELASTICITATE TRANSV ERSAL ŞI LEGĂTURA DINTRE CARACTERISTICILE ELASTICE ALE MATERIALELOR

1. SCOPUL LUCRARII : Lucrarea se ocupa de studiul experimental al unor caracteristici elastice ale materialelor (oţelurilor) si compararea rezultatelor obtinute cu cele prezentate in literatura de specialitate. 2. BAZE TEORETICE Caracteristicile elastice ale materialelor se refera modulele de elasticitate longitudinal E, transversal G, volumic K si la coeficientul lui Poisson ν. Dintre cele 4 marimi numai doua sunt

independente, de ex. E si ν, iar )21(3

EKsi

)1(2

EG

ν−=

ν+= . In lucrare se va determina experimental numai

modulul de elasticitate transversal G pentru o epruveta din otel. Pentru a-l determina se utilizeaza relatiile

criteriilor de calcul la rigiditate la torsiune, t

t

GI

M λ=φ , unde ϕ este rotirea relativa a sectiunilor marginale ale

epruvetei de lungime λ si rigiditate GIt, solicitate la torsiune cu momentul Mt. De aici se obtine t

t

I

MG

φ=

λ,

unde marimile din membrul drept al egalitatii se vor masura experimental pe un stand adecvat. 3. INSTALATIA EXPERIMENTALA Se compune dintr-un dispozitiv de solicitare la torsiune cu un cuplu de forte gravitationale a unei epruvete cilindrice din otel si un mecanism de cuantificare a rotirii sectiunii libere a epruvetei cu ajutorul unui comparator cu cadran. Schema constructiv – functionala a standului si dimensiunile elementelor necesare experimentului se dau in tabelul de mai jos.

Schema Denumiri Valori F=mg C-C D=2R F=mg 2 φ d ∆ λ 1

1 Epruveta de dimens. d si λ 2 Disc de torsiune cu D=2R C-C Comparator cu cadran F=mg-forte gr. ale cuplului ∆ Depl. circumf. a discului φ Unghiul de rotire a discului (sect. sup. a epruv.)

Raza discului de torsiune R=145 mmm Diametrul discului de torsiune D=2R=290 mm Masa unei greutati a cuplului de forte m=1 kg Diametrul epruvetei d=12 mm Lungimea epruvetei λ=200 mm Deplasarea circumferentiala a discului de torsiune ∆ se masoara in timpul experimentului

4 VALOAREA EXPERIMENTALA A LUI G . Se reia relatia t

t

I

MG

φ=

λ si se calculeaza cu datele de

pe stand toti factorii din membrul drept al egalitatii:

Unghiul de rasucire φ este suficient de mic ca sa se poata aproxima cu relatia D

2

R

∆=∆≅φ

Momentul de torsiune Mt=FD=mgD, unde g≅10 m/s2 este acceleratia gravitationala

Momentul de inertie al sectiunii circulare a epruvetei este 44

t d1.032

dI ≅π=

Valoarea experimentala a deplasarii circumferentiale a discului, masurata cu comparatorul cu cadran este ∆=0,5 mm. Cu aceste precizari, relatia si valoarea experimentala a lui G este:

( )

( ) GPa84Pa1084.01012105.02.0

1020010290101

d2.0

mgD

d1.0D

2mgD

I

MG 11

433

323

4

2

4t

t =∗=∗∗∗∗

∗∗∗∗∗=∆

=∆

=φ

=−−

−−λλλ

Valoarea teoretică a lui G se obţine din relaţia de legatură E, G, ν. Cu valorile uzuale E=210 GPa, ν=0.3,

se obtine pentru G valoarea datî in literatura de specialitate: GPa80Pa108.0)3.01(2

101,2

)1(2

EG 11

8

=∗=+∗=

ν+=

5. CONCLUZII Cele doua valori, experimentală G=0.84 GPa şi de catalog G=0.8 GPa, sunt apropiate. Caracteristicile elastice ale materialelor, ca si cele mecanice,. se determina experimental. Ele se dau în literatura de specialitate (tabele, grafice etc). Pentru oţeluri, caracteristicile elastice variază între limite apropiate. În mod uzual se consideră E=210 GPa, ν=0.3, G=80 GPa si K=175 GPa.

LAB. ERM NR. 3 MARIMI SECTIONALE SI DISTRIBUTIA TE NSIUNILOR LA INCOVOIERE 1. SCOPUL LUCRARII: Determinarea pe cale teoretică a mărimilor sectionale si a variatiei tensiunilor normale si tangentiale la solicitarea de încovoiere simplă a unei sectiuni plane compuse, cu simetrie geometrică (are o axa de simetrie) si verificarea pe cale experimentala a pozitiei centrului de greutate al sectiunii compuse. 2. BAZE TEORETICE Mărimile sectionale sunt aria, momentul static, pozitia centrului de greutate, momente de inertie axiale în raport cu axele centrale Gz şi Gy. Pentru determinarea pozitiei centrului de greutate se utilizeaza teorema momentului static în raport cu un sistem de referinta OZY, arbitrar ales, astfel:

A

AyAyysi

A

AzAzzundedeAyAySsiAzAzS 2211

G2211

G

N

1i

N

1i

iiGZiiGYΛΛ ++

=++

===== ∑ ∑= =

,

unde A=A1+A2+…, este aria sectiunii compuse, iar Ai sunt ariile sectiunilor partiale componente, de forma uzuala (circulara, dreptunghiulara), pozitive sau negative la sectiuni pline respectiv goale de substanţă. În Rezistenţa Materialelor teorema lui Steiner se utilizează la calculul momentelor de inertie ale sectiunilor partiale, uzuale, în raport cu axele centrale Gzy ale sectiunii compuse, astfel:

iGiGGiGpropriuizyizyi2

GiGpropriuiyiyi2

GiGpropriuiziz A)yy)(zz(IIiarA)zz(IIsiA)yy(II −−+=−+=−+=

unde Ipr este momentul de inertie central al sectiunilor uzuale.

Variatia tensiunilor normale este: yI

M

z

=σ (Navier), iar a celor tangentiale z

z

bI

TS=τ (Juravski)

3. INSTALAŢIA EXPERIMENTAL Ă Se compune dintr-o sectiune compusa de tip T, la care se cere sa se determine pozitia centrului de greutate G, de coordonate ZG si YG. Pozitia calculata se va verifica experimental pe sectiunea dată, materializată practic în laborator. Ulterior se vor calcula si momentele de inertie axiale în raport cu axele centrale Gz si Gy, paralele cu laturile sectiunii tipT şi tensiunile σ şi τ. Schema de calcul se obtine plasand figura in primul cadran al unui sistem de referinta arbitrar ales OZY, ca în tabelul de mai jos.

Schema Mărimi secţionale (centre de masă, mom. de inerţie)

1. Se plaseaza figura în primul cadran al OZY 2. Se divide fig. compusă în fig. simple 1 si 2. 3. Se cotează figurile: b=b1=3a, h=8a etc 4. Se pozitionează centrele de greutate G si G1,2

5. Datorita simetriei geometrice rezulta Z1,2=ZG=1.5a 6. Se aplica ecuatia disponibila a momentului static

a3a12

a6a5a6a

A

AYAYY

undede,AYAYAYS

2

222211

G

2211GZ

=∗+∗=+

=

+==

8. Se determina momentele de inertie centrale Iz,y

( ) ( )

( )

( ) 4z

4223

z2

4223

z1z2z1z

4333

22311

y

a68I;a42a6)a3a5(12

a6aI

;a26a6)a3a(12

a2a3I;III

a512

aa6

12

a3a2

12

bh

12

bhI

==−+∗=

=−+∗=+=

=∗+∗=+=

4. REZULTATE EXPERIMENTALE Figura materială, sprijinită în centrul de greutate G, este în echilibru. 5. DISTRIBUTIA TENSIUNILOR Tensiunea normală σ este liniară, nulă în axa centrală z, cu extremele pe

contur, maximă la y=ymax=5a, astfel 3max

34

max

zmaxz

maxzmax

a5

M68iar,

5

a68

a5

a68

y

IWunde,

W

M =σ====σ

Tensiunea tangenţială τzy≡τ are alura parabolică în trepte, nulă pe fibrele extreme, cu un maxim local în fibra centrală z, discontinuă la salt de lăţime b a secţiunii. Valorile esenţiale se află cu formula lui Juravski

G

G1

Y1=a

Y2=5a

Z

O

2

1

G2

h1=2a

b=b1=3a

Z1,2=ZG=1.5a

b2=a

h2=6a

YG

z

Y y

h=8a T,M

σ τ

σmax=M/Wz max

LAB. ERM TEST DIN M S.+ DISTRIBU ŢIA TENSIUNILOR LA INCOVOIERE SIMPL Ă

Bilet Nr. 1 M.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ O sectiune tubulara patrata are grosimea peretilor a=10 mm, latimea identica cu înaltimea b=h=3a. Stiind ca T=6,6kN, M=6,6kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

Bilet Nr. 2

M.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ O sectiune bitubulara patrata are grosimea peretilor a=10 mm, latimea b=5a si înaltimea h=3a. Stiind ca T=11kN, M=11kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

Bilet Nr. 3

M.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ O sectiune bitubulara patratica are grosimea peretilor a=10 mm, latimea b=3a si înaltimea h=5a. Stiind ca T=29kN, M=29kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

Bilet Nr. 4

M.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ O sectiune tetratubulara patrata

are grosimea peretilor a=10 mm, latimea identica cu înaltimea b=h=5a. Stiind ca T=48kN, M=48kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

Bilet Nr. 5

M.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ O sectiune tip U rotit are grosimea peretilor a=10 mm, latimea b=2a si înaltimea h=3a. Stiind ca T=4,45kN, M=4,45kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

Bilet Nr. 6

I.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ O sectiune tip U rotit are grosimea peretilor a=10 mm, latimea b=2a si înaltimea h=3a. Stiind ca T=4,45kN, M=4,45kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

Bilet Nr. 7

M.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ

O sectiune tip E rotit are grosimea peretilor a=10 mm, latimea b=2a si înaltimea h=5a. Stiind ca T=18,6kN, M=18,6kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

Bilet Nr. 8

M.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ

O sectiune tip E normal are grosimea peretilor a=10 mm, latimea b=2a si înaltimea h=5a. Stiind ca T=18,6kN, M=18,6kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

Bilet Nr. 9

M.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ O sectiune tip E dublu are grosimea peretilor a=10 mm, latimea b=3a si înaltimea h=5a. Stiind ca T=26,8kN, M=26,8kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

Bilet Nr. 10

M.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ

O sectiune tip H normal are grosimea peretilor a=10 mm si latimea egala cu înaltimea b=h=3a. Stiind ca T=4,6kN, M=4,6kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

Bilet Nr. 11

M.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ

O sectiune tip H dublu are grosimea peretilor a=10 mm, latimea b=5a si înaltimea h=3a. Stiind ca T=7kN, M=7kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

Bilet Nr. 12

M.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ O sectiune tip cruce are grosimea peretilor a=10 mm, latimea egala cu înaltimea b=h=3a. Stiind ca T=2,4kN, M=2,4kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

Bilet Nr. 13

M.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ O sectiune tip I simplu are grosimea peretilor a=10 mm si latimea egala cu înaltimea b=h=3a. Stiind ca T=6,6kN, M=6,6kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

Bilet Nr. 14

M.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ

O sectiune tip I dublu are grosimea peretilor a=10 mm, latimea b=5a si înaltimea h=3a. Stiind ca T=11kN, M=11kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

Bilet Nr. 15

M.S.+Alura si val. part. pt. σσσσ si ττττ

O sectiune tip dublu I rotit are grosimea peretilor a=10 mm, latimea b=3a si înaltimea h=5a. Stiind ca T=27kN, M=27kNm, se cere: Schema de calcul=1 p, alura=2p, val.=2p

LABORATOR ERM NR. 4/1 M ĂSURĂTORI TENSOMETRICE 1. SCOPUL LUCRARII: Lucrarea îşi propune să măsoare pe cale experimentală, prin metoda tensometriei electrice rezistive, deformaţiile specifice liniare, ε=∆λ/λ, de pe fibrele extreme ale unei bare solicitate la încovoiere si să le compare cu cele calculate teoretic. 2. BAZE TEORETICE: Măsurarea experimentală a deformaţiilor specifice liniare, pe cale mecanică, cere depistarea suficient de precisă a mărimii ∆λ. Este practic imposibil. Rezolvarea problemei constă în convertirea mărimii mecanice, ∆λ, într-o mărime electrică de variaţie de rezistenţă electrica, ∆R, a unui filament aplicat pe fibra ce se deformeaza la solicitarea de încovoiere. Măsurarea variaţiei rezistenţei electrice cu un ohmetru este facilă. Ramâne să se afle relaţia dintre ∆R si ε=∆λ/λ. Demonstratia se face pornind de la relatia de calcul a rezistentei electrice: R=ρλ/S, unde ρ este rezistivitatea filamentului aplicat pe fibra, λ e lungimea filamentului si S=V/λ sectiunea transversală, egală cu raportul dintre volumul filamentului şi lungimea sa. Deci R=ρλ2/V. Deoarece rezistivitatea ρ a materialului filamentului (de ex. constantan) nu variaza la solicitari mecanice, diferentiala (variaţia) rezistentei electrice ∆R la variaţia lungimii ∆λ capătă forma de mai jos:

( ) ( )[ ] ( )k

Riark21R211RR

V

V

V

vV2

VR V

222

2

∆=εε=ν+ε=ν−−ε=ε−ε=

∆−∆ρ=

∆∆−

∆ρ=∆

λλλ

λλλ

λ

Lungirea specifică ε a fibrei deformate este direct proporţională cu variatia rezistenţei electrice ∆R filamentului. Calculului teoretic al deformatiei specifice liniare porneste de la relatiile lui Hooke si Navier (criteriul de calcul la incovoiere), astfel: ε=σ/E=M/EWz, detaliile fiind prezentate la capitolul Rezultate experimentale. 3. TRADUCTORUL TENSOMETRIC: Denumeste forma practică, comercială a filamentului aplicat pe bară în secţiunea studiată, cu un adeziv specializat, ca în tabelul urmator:

1. Filament de constantă k (de exemplu constantan cu k=120 ohmi) 2. Folii protectoare din hîrtie sau masa plastică 3. Terminale îngroşate pentru conexiuni exterioare

4. PUNTEA WHEATSTONE: Reprezintă un montaj de 4 traductoare tensometrice (sau semipunte cu numai 2 traductoare si 2 rezistente fixe) menit să elimine efectul temperaturii mediului si să crească precizia măsurării.

R=traductoare cu rezistenţe R identice , U=tensiunea de alimentare a montajului, V=voltmetru pentru a măsura variaţia de tensiune ∆U produsă de variaţiile de rezistenţă ∆R=kε, iar i si iv=intensitatea curentului prin R si V. Eliminare efect termic-La rezistente egale între ele, fie cu R, fie RT=R+∆RT produsă de variatiile de temperatura ambianta, voltmetrul rămâne intact. Precizie de măsurare La încovoiere se poate utiliza o semipunte, de ex. cea din stînga. Dacă traductorul de sus este aplicat pe fibra ce se întinde, având rezistenţa R1=R+∆R, iar cel inferior pe fibra comprimată, cu R2=R-∆R, aplicând legea lui Kirchoff în sens orar, iese o precizie dublă de citire, astfel: ∆U=i(R1-R2)+iVRV+i(R-R)-iVRV=2 i ∆R. De unde ∆Rcit=∆U/i=2 ∆R

5. PUNTEA TENSOMETRICĂ: Cuprinde motajul Wheatstone al traductoarelor şi celelalte anexe (alimentare cu tensiune, potenţiometre, afişaj numeric sau digital etc) Puntea şi traductoarele sunt într-o continua evoluţie. 6. INSTALATIA EXPERIMENTAL Ă: Se compune dintr-o bară încastrată cu sarcină concentrată. Se cere deformaţia specifică ε într-o sectiune aflata la distanta λ de punctul de aplicatie al fortei F, ca în figură. F F=mg forta gravitationala, m=2 kg si g≅10 m/s2 acceleratia gravitationala

TT=traductoare tensometrice aplicate pe fibrele sup. si inf. ale barei Wz=modulul de rezistenta la încovoiere al sectiunii drept. b×h=24×6,2 mm Materialul barei este oţel cu E=210 GPa. Distanta λ=240 mm.

7. REZULTATE EXPERIMENTALE: După reglarea semipunţii tensometrice cu două traductoare active, deformaţia specifică experimentală se citeşte direct pe scala aparatului: εexp=εcit/2= 300/2=150 µm/m. Deformatia specifica teoretică: εteoretic=σ/E=M/EWz, unde momentul sectional este M=Fλ=mgλ, iar Wz=bh2/6.

Se obţine: ( ) m/m150m/m1015.0102.61024101.2

24.01026

Ebh

mg6 3233112teoretic µ=∗=

∗∗∗∗∗

∗∗∗==ε −

−−

λ.

8. CONCLUZIE: Valorile lui ε sunt apropiate, εexp=εteoretic=150µm/m., teoria se verifică experimental.

R

V ∆U

U

i iV

Wzλ

h b TT

1

3 2

LABORATOR ERM NR. 4/2: MONTAJE TENSOMETRICE 1. SCOPUL LUCRARII : In sens larg, scopul lucrarii este acela de a prezenta diferite forme de montaje tensometrice pentru masurarea tensiunilor. In sens restrans, lucrarea isi propune, sa prezinte montajul adecvat pentru masurare experimentala a tensiunile tangentiale, τ, la solicitarea de torsiune. 2. BAZE TEORETICE Prin tensometrie electrica rezistiva se masoara deformatiile specifice liniare ε=∆λ/λ. Din teoria elasticitatii se cunoaste faptul ca, la solicitarea de torsiune, tensiunile tangentiale τ sunt egale cu tensiunile normale principale σ, orientate dupa directii inclinate la π/4. Dar, din legea lui Hooke, se stie ca σ=Eε. In concluzie, masurand deformatiile specifice ε pe directii inclinate la π/4 fata de axa barei rasucite, prin tensometrie electrica rezistiva, se obtine tensiunea tangentiala τ=Eε. Montajul se poate executa in punte completa sau in semipunte. In privinta calculului teoretic al tensiunii tangentiale la solicitarea de rasucire, se porneste de la relatia criteriului de calcul la torsiune, astfel: τ=Mt/Wt, unde Mt si Wt sunt momentul si modulul de rezistenta la torsiune. Detaliile de calcul sunt prezentate la paragraful Rezultate teoretice. 3. TRADUCTORUL TENSOMETRI C este aplicat pe bara cu un adeziv specializat, ca in tabelul urmator:

1. Filament de constantă k (de regulă constantan cu k=120 ohmi) 2. Folii protectoare din hirtie sau masa plastica 3. Terminale îngroşate pentru conexiuni exterioare 4. Bară torsionată

4. INSTALATIA EXPERIMENTALA Se compune dintr-un dispozitiv de solicitare la torsiune cu un cuplu de forte gravitationale a unei epruvete cilindrice din otel si un montaj tensometric in semipunte de cuantificare experimentala a tensiunii tangentiale maxime din bara torsionata. Schema constructiv – functionala a standului si dimensiunile elementelor necesare experimentului se dau in tabelul de mai jos.

Schema Denumiri Valori F=mg D=2R F=mg 2 φ d 3 λ X 1

1 Epruveta de dimens. d si λ 2 Disc de torsiune cu D=2R 3. Montaj tensometric F=mg-forte gr. ale cuplului φ Unghiul de rotire a discului (sect. sup. a epruv.)

Raza discului de torsiune R=145 mmm Diametrul discului de torsiune D=2R=290 mm Masa unei greutati a cuplului de forte m=1 kg Diametrul epruvetei d=12 mm Lungimea epruvetei λ=200 mm

5 VALOAREA TEORETICA A LUI ττττ. Se reia relatia t

t

W

M=τ si se calculeaza cu valorile luate de pe stand

toti factorii din membrul drept al egalitatii: -Momentul de torsiune Mt=FD=mgD, unde g≅10 m/s2 este acceleratia gravitationala

-Modulul de rezistenta al sectiunii circulare a epruvetei este 33

t d2.016

dW ≅π=

( ) MPa4,8Pa104,810122.0

29.0101

d2.0

mgD

W

M 6333

t

t =∗=∗∗

∗∗===τ−

6. REZULTATE EXPERIMENTALE Dupa reglarea puntii tensometrice, deformatia specifica experimentala se citeste direct pe scala aparatului: εexp=εcit/2=90/2=45 µm/m=0.45 10-4. Tensiunea tangentiala experimentala se afla tinand seama de legea lui Hooke si proprietatea forfecarii pure τ=σ, astfel: τexp=σ45=εexpE=0.45 10-4 2 1011=0.9 107 Pa=9 Mpa. 7. CONCLUZII Cele doua valori ale tensiunii tangentiale, experimentala τexp=9 MPa si de teoretica τ=8,4 MPa, sunt apropiate. Montajul experimental efectuat este validat de calculul teoretic si se poate utiliza in aplicatii practice.

1

3

2

4

LABORATOR ERM NR. 5/1: SAGETI LA BARE DE SECTIUNE C ONSTANTA 1. SCOPUL LUCRARII : Lucrarea îşi propune să măsoare pe cale experimentală sageata la încovoiere într-un punct al fibrei medii deformate a unei bare rezemate, de sectiune dreptunghiulară constantă şi să compare rezultatul experimental cu cel dedus prin calcule teoretice. 2. BAZE TEORETICE Masurarea experimentala a sagetii la încovoiere a barei se face direct cu comparatorul cu cadran. Precizia de masurare este de 10 µm, suficient de buna stiind ca sageata are marimea de ordinul milimetrilor. Calculul teoretic a sagetii se face aplicand o metoda energetica. In ordinea urmatoare: teorema lui Castigliano (generalizata si specific solicitarii ), metoda Mohr-Maxwell si regula lui Veresceaghin, relatiile de calcul al deplasarii genaralizate δ=ϕ, v (inclinare sau sageata) arata astfel:

∑∑∫ ∑∫Ω

==∂∂=

∂∂=δ

z

Gii

zz EI

m

EI

dxmMdx

F

M

EI

M

F

W

i iλ λ, în care W este energia elastică înmagazinată în

bara deformată (solicitata), F=M,F este forta generalizata (F=M la determinarea inclinarii si F=F la sageata), M si m momente sectionale efectiv si unitar, EIz reprezinta rigiditatea barei la solicitarea de incovoiere (E fiind modulul de elasticitate al materialului si Iz este momen\tul de inertie axial al sectiunilor transversale prin bara),

Gii mΩ sunt aria diagramelor de moment efectiv respectiv momentul unitar masurat in dreptul centrelelor de

greutate al acestor arii fictive, x si dx abscisa sectiunii barei si elemenul de lungime de bara. Detaliile de calcul sunt prezentate la cap. Rezultate experimentale. 3. INSTALATIA EXPERIMENTALA Se compune dintr-o bara, cu o consola, de sectiune dreptunghiulara constanta, la care se cere sageata la mijlocul deschiderii dintre reazeme. Schema de calcul se da in tabel. Date si notatii

-b=24 mm latimea sectiunii barei -h=6 mm inaltimea sectiunii barei -λ=400 mm deschiderea dintre reazeme -c=100 mm lungimea consolei F=mg=2.1*10=21 N forta gravit. -M si m=mom. sectionale efectiv si unitar -Iz=bh3/12 momentul de inertie al sectiunilor transversale a barei

4. REZULTATE EXPERIMENTALE Dupa reglarea comparatorului cu cadran, sageata experimentala se citeste direct pe scala aparatului: vexp=0.2mm. Sageata teoretica se determina cu o metoda energetica, si anume cu regula lui Veresceaghin, prin produse de diagrame de momente efectiv si unitar:

( )

( ) mm2.0m102.0102.61025101.24

4.01.0101.23

hbE4

mgc3

hbE16

mgc12

EI16

Fcv

;0m;8

m2

1m;

12m

3

1m;

6m

3

2m

;2

Fc

2

cM;

4

Fc

22

M;

8

Fc

22

M

2

1

:suntmunitaremomentelesirdiagrameloariileundemmmmEI

1v

333311

2

3

2

3

2

Z

2

teoretic

4max3max2max1

2B

4B

3B

21

414144332211Z

teoretic

=∗=∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗≅===

=−==−==−==

−=−=Ω−=−=Ω−=−=Ω=Ω

ΩΩ+Ω+Ω+Ω=

−

−−

−−

λλλ

λλλ

λλλλ

5. CONCLUZIE Valorile sagetilor, masurată experimental si dedusa teoretic, vexp= 0.2 mm ≅ vteoretic= 0.2 mm, sunt apropiate, deci teoria se verifică experimental.

M µ mµ

v

λ λ/2

F

MB=-Fc

mmax=-λ/4

A B C

1 2

3

4

c F0=1

LABORATOR ERM. NR. 5/2: SĂGEŢI LA BARE DE SECŢIUNE VARIABIL Ă IN TREPTE 1. SCOPUL LUCRARI I: Lucrarea îşi propune sa măsoare direct, cu comparatorul cu cadran, săgeata la încovoiere a unei bare rotunde, de secţiune variabila în trepte, şi să compare rezultatul experimental cu cel dedus prin calcul teoretic. 2. BAZE TEORETICE Masurarea experimentala a săgeţii la încovoiere a barei se face direct cu comparatorul cu cadran. Calculul teoretic a sagetii se face aplicand o metoda energetica asupra unei bare echivalente, astfel: -este de secţiune constantă, egală cu secţiunea tronsonului de arbore de referinţă (de obicei cel cu lungimea cea mai mare); -este solicitat la incovoiere cu un moment sectional echivalent, dat de relatia: Me=MIz referinta/Iz curent, unde M si Me sunt momentele sectionale efectiv si echivalent, Iz este momen\tul de inertie axial al sectiunilor transversale prin bara. Detaliile de calcul sunt prezentate la cap. Rezultate experimentale. 3. INSTALATIA EXPERIMENTALA Se compune dintr-o bara de sectiune circulara, variabila in trepte, la care se cere sageata la mijlocul deschiderii dintre reazeme. Diametrele sunt D si d, lungimile tronsoanelor sunt egale intre ele. Schema de calcul se da in tabelul urmator. Date si notatii

-AC=tronson de referinta -CB=tronson curent -R, C=referinta si curent -D=11,9 mm diam. trons. de referinta. -d=10 mm diametrul tronsonului curent -λ=400 mm deschiderea dintre reazeme F=mg=2.1*10=21 N forta gravitationala -M, MECH si m=momente sectionale efectiv, echivalent. si unitar -IR=πD4/64 si IC=πd4/64 momente de inertie ale sectiunilor transversale

- 210

9,11

d

D

I

I 44

C

R ≅

=

= raportul mom

de inertie ale sect. celor doua tronsoane.

4. REZULTATE EXPERIMENTALE Dupa reglarea comparatorului cu cadran, sageata experimentala se citeste direct pe scala aparatului: vexp=0.2mm. Sageata teoretica se determina cu o metoda energetica, si anume cu regula lui Veresceaghin, prin produse de diagrame de momente echivalent si unitar:

( )

( ) [ ] m102.0211012101.28.4

4.0101.2

d

D1

DE96

mg64

d

D1

EI96

Fv

6m

3

2mm;F

d16

DF

I16

I

2M

2

1;F

16

1

2M

2

1

:suntmunitaremomentelesi.echivmomentderdiagrameloariileundemmEI

1v

34311

34

4

34

RZ

3

teoretic

max212

4

42

C

RCECHC2

2RECHR1

2,12,12211RZ

teoretic

−

−∗=+

∗∗∗∗

∗∗≅

+π

=

+=

======Ω=Ω==Ω=Ω

ΩΩ+Ω=

λλ

λλλλλλ

5. CONCLUZIE Valorile săgeţilor, masurată experimental şi dedusă teoretic, vexp= 0.2 mm ≅ vteoretic= 0.2 mm, sunt apropiate, deci teoria se verifică experimental. Constanta elastică în C este kC=F/v=21•103/0.2=105kN/m.

M µ MECHµ mµ

v

λ λ/2

F

MC=Fλ/4

MECH R=MC=Fλ/4

MECH C=MCIR/IC

mmax=λ/4

A B C

LABORATOR ERM. NR. 5/3: SAGETI LA BARE DE SECTIUNE UNIFORM VARIABILA 1. SCOPUL LUCRARII: Lucrarea îşi propune să măsoare pe cale experimentala, cu ajutorul comparatorului cu cadran, sageata la încovoiere a capatului liber al unei bare încastrate, de sectiune uniform variabila, si sa compare rezultatul experimental cu cel dedus prin calcule teoretice. 2. BAZE TEORETICE Măsurarea experimentala a sagetii la incovoiere a barei se face direct cu comparatorul cu cadran. Precizia de masurare este de 10 µm, suficient de buna stiind ca sageata are marimea de ordinul milimetrilor. Calculul teoretic a sagetii se face aplicand o metoda energetica. In general, în ordinea urmatoare: teorema lui Castigliano (generalizata si specific solicita--rii ), metoda Mohr-Maxwell si regula lui Veresceaghin, relatiile de calcul al deplasarii genaralizate δ=ϕ, v (inclinare sau sageata) arata astfel:

∑∑∫ ∑∫Ω

==∂∂=

∂∂=δ

z

Gii

zz EI

m

EI

dxmMdx

F

M

EI

M

F

W

i iλ λ,

în care W este energia elastica inmagazinata in bara deformata (solicitata), F=M,F este forta generalizata (F=M la determinarea inclinarii si F=F la sageata), M si m momente sectionale efectiv si unitar, EIz reprezinta rigiditatea barei la solicitarea de incovoiere (E fiind modulul de elasticitate al materialului si Iz este momen\tul de inertie axial al sectiunilor transversale prin bara), Gii mΩ sunt aria diagramelor de moment efectiv respectiv momentul unitar masurat in dreptul centrelelor de greutate al acestor arii fictive, x si dx abscisa sectiunii barei si elemenul de lungime de bara. Pentru cazul studiat, al barei cu sectiune uniform variabila, nu se poate aplica regula lui Veresceaghin. Se adopta teorema MM, iar detaliile de calcul sunt prezentate la cap. Rezultate experimentale. 3. INSTALATIA EXPERIMENTALA Se compune dintr-o bara incastrata, de sectiune dreptunghiulara b×h, uniform variabila astfel: grosimea h=ct iar latimea b este uniform variabila, nula in capatul liber si maxima in incastrare b=bmax. Bara este solicitata cu sarcina concentrata gravitationala F=mg pe capatul liber. Se cere sageata capatului liber (deplasarea punctului de aplicatie al fortei F). Schema de calcul este data in tabel. F F0=1 v x

F=mg forta gravitationala, m=2,1 kg si g≅10 m/s2 v sageata capatului liber bmax×h=40×8 mm dimensiunile sectiunii transversale maxime din încastrare bx×h= dimensiunile sectiunii transversale curente, de abscisă x E=210 GPa, modulul de elasticitate al materialului barei (otel) λ=300 mm, lungimea barei

4. REZULTATE EXPERIMENTALE Dupa reglarea comparatorului cu cadran, sageata experimentala se citeste direct pe scala aparatului: vexp=0.8 mm. Sageata teoretica se determina cu o metoda energetica, si anume cu teorema MM, astfel:

( ) mm79.0m1079.01081040101.2

3.0101.26

hbE

3mg6

hbE2

mg12

EI2

Fv

EI2

Fx

EI

dxFxvsi

12

hbIunde,

xI

12

hbI,xm,FxM

oierecovinlabareiarigiditateEIiar,unitarsiefectivmomentelesuntmsiMundeEI

dxMmv

333311

3

3max

3max

3

Z

3

teoretic

maxz

3

maxz

2

teoretic

3max

maxzmaxz

3x

z

zz

teoretic

=∗=∗∗∗∗∗

∗∗∗≅===

=====−==−=

=

−

−−

∫

∫

λλλ

λ

λλ

λ

λ

5. CONCLUZIE Valorile sagetilor, masurată experimental si dedusă teoretic, vexp= 0.8 mm ≅ vteoretic= 0.79 mm, sunt apropiate, deci teoria se verifica experimental. 6. OBSERVATIE Sageata barei de latime bx uniform variabila (v=Fλ3/2EIz) este 1,5 ori mai mare fata de aceea a barei de sectiune constanta (v=Fλ

3/3EIz).

λ

h bmax

bx bmax

LABORATOR ERM. NR. 5/4: MEDOD Ă NUMERIC Ă DE CALCUL AL SAGETII 1. SCOPUL LUCRARII: Lucrarea îşi propune să măsoare pe cale experimentala, cu ajutorul comparatorului cu cadran, sageata la încovoiere a capatului liber al unei bare încastrate si să compare rezultatul experimental cu cel dedus pe cale teoretică, prin integrarea numerică a ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate a barei. 2. BAZE TEORETICE Măsurarea experimentala a sagetii la încovoiere a barei se face direct cu comparatorul cu cadran. Calculul teoretic al săgetii se face aplicand o metoda numerică de integrare a ecuaţiei diferenţiale a

fibrei medii deformate: z

2

2

EI

M

x

v −=∂∂

. Scrisă prin diferenţe finite are forma: 0EI

M

x

vv2v

k

k2

k1k2k =+∆

+− ++ .

Ecuaţia de recurenţă a săgeţii capătă forma următoare: 2

k

kk1k2k x

EI

Mvv2v ∆−−= ++

în care: ∆x este incrementul deplasării în lungul barei; k=0,N este punctul curent, N nr. discreditărilor, xk abscisa secţiunii barei cu originea în încastrare; vk, Mk şi Ik sunt săgeata, momentul secţional şi momentul de inerţie în secţiunea de abscisă xk; Condiţiile la limită sunt date de valoarea nulă a săgeţii şi înclinării în încastrare, adică în origine: v0=0 (săgeata nulă în origine) şi v1=0 sau (v1-v0)/∆x=0 (înclinarea nulă în origine) Detaliile de calcul sunt prezentate la cap. Rezultate experimentale. 3. INSTALATIA EXPERIMENTALA Se compune dintr-o bara incastrata, de sectiune dreptunghiulara b×h, uniform variabila astfel: grosimea h=ct iar latimea b este uniform variabila, nula in capatul liber si maxima in incastrare B=bmax. Bara este solicitata cu sarcina concentrata gravitationala F=mg pe capatul liber. Se cere sageata capatului liber (deplasarea punctului de aplicatie al fortei F). Schema de calcul este data in tabel. v F x vmax

F=mg forta gravitationala, m=2,1 kg si g≅10 m/s2 v sageata capatului liber bmax×h=40×8 mm dimensiunile sectiunii transversale maxime din încastrare bx×h= dimensiunile sectiunii transversale curente, de abscisa x E=210 GPa, modulul de elasticitate al materialului barei (otel) L=300 mm, lungimea barei

4. REZULTATE EXPERIMENTALE Dupa reglarea comparatorului cu cadran, sageata experimentala se citeste direct pe scala aparatului: vexp=0.8 mm. Sageata teoretica se determina rezolvând ecuaţia de recurenţă cu o metoda de calcul iterativ. Discreditarea dimensiunilor barei şi a mărimilor secţionale se face astfel:

Incrementul deplasării, abscisa şi lăţimea curentă a barei

−===∆L

x1Bbsi

N

kLx;

N

Lx k

kk

Momentul de inerţie al secţiunii şi momentul secţional ( )kk

3k

k xLFMsi12

hbI −−==

Variaţia săgeţii în lungul barei se arată în graficul următor:

5. CONCLUZIE Se constată că vexp=0.8 mm ≅ vteoretic= 0.78 mm.

L

h bmax

bx

B=bmax

7.831055 104.

0

vk

0.30 xk

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

5 104

0.001

Variatia sagetii in lungul barei

LABORATOR ERM. NR. 6/1: FORTA CRITICA DE FLAMBAJ EL ASTIC 1. SCOPUL LUCRARII : In sens larg, scopul lucrării este acela de a prezenta modul general de tratare a compresiunii cu pericol de flambaj a barelor zvelte, tinând seama de criteriul de calcul la stabilitate elastică. In sens restrâns, lucrarea îşi propune sa măsoare pe cale experimentală forţa critica de flambaj la compresiune a unei bare zvelte şi să compare rezultatul experimental cu cel dedus prin calcul teoretic. 2. BAZE TEORETICE In funcţie de domeniul de flambaj, definit prin coeficientul de zvelteţe sau subţirime, λf=λf/imin, forta critica de flambaj la compresiune se află cu una dintre următoarele trei formule, deduse teoretic:

pureiicompresiundomeniuldacaA

plasticdomeniuldaca)ba(A

elasticdomeniuldacaEI

F

1lim

01

02f

min2

crt

λ≤λσ

λ<λ<λλ−

λ≥λπ

=λ

în care A, EImin şi imin=Imin/A sunt aria secţiunii transversale, rigiditatea minimă a barei la solicitarea de încovoiere şi raza de giraţie sau inerţie a secţiunii transversale (E fiind modulul de elasticitate al materialului barei şi Imin este momentul de inerţie axial minim al secţiunii transversale prin bară), λf lungimea de flambaj, iar a, b, λ0 λ1 σlim=σc, r sunt constante de material. Pentru selectarea formulei de calcul teoretic al forţei critice se determină mai întâi coeficientul de zvelteţe al barei, respectiv domeniul de flambaj. 3. INSTALATIA EXPERIMENTALA Se compune dintr-o bara zveltă, dublu articulată, solicitată la compresiune cu ajutorul unui mecanism cu pârghie, ca în figură. Utilizând legea pârghiilor, se poate afla valoarea experimentală a fortei ctitice de flambaj, astfel:

∑ =⇒=−⇒=c

xGF0GxcF0MDin expexpA , unde G=mg este o forţă gravitaţională

cunoscută, al cărei punct de aplicaţie poate culisa în lungul pârghiei. Schema de calcul este dată în tabel. Date experimentale

G=mg este forta gravitationala, m=8.5 kg si g≅10 m/s2 λ=400 mm lungimea initială a barei (epruvetei) b×h=40×2 mm dimensiunile sectiunii transversale a epruvetei Materialul epruvetei: otel OL37, cu următoarele caracteristici: E=210 GPa, modulul de elasticitate al materialului barei λ0=105 limita inferioara a domeniului elastic λ1=65 limita inferioara a domeniului plastic a=304 MPa şi b=1.12 MPa constantele domeniului plastic σc=340 MPa limita de curgere Valori experimentale: c=150 mm, braţul forţei critice Fexp

x=600 mm braţul greutăţii G

4. REZULTATE EXPERIMENTALE Calculând coeficientul de zvelteţe al barei, se află domeniul de flambaj şi forta critică teoretică, astfel:

( )N333

3

10

4.012

102104010*210

12

EbhEIF

elasticdomeniul105692102

34.02

h

32

bh12

bhA

Ii

3

2

33311

2

32

2f

min2

teoretic

033minmin

f

==∗

∗∗∗∗∗≅π=π

=

=λ>=∗

∗∗=====λ

−−

−

λλ

λλλλ

Din experiment, după flambajul barei, se măsoara distanta x si se determina valoarea experimentala a fortei critice: Fexp=Gx/c=mgx/c=8.5*10*0,6/0,15=340 N. 5. CONCLUZIE Valorile forţelor critice sunt apropiate Fexp= 340 N ≅ Fteoretic=333 N. Teoria e verificată exp.

c x

λf=λ, cazul II de flambaj

G=mg

m A

Epruveta

Parghie

LABORATOR ERM. NR. 6/2: LUNGIMI DE FLAMBAJ 1. SCOPUL LUCRARII Lucrarea îşi propune să demonstreze pe cale experimentală faptul că lungimile de flambaj la solicitarea de compresiune a unei bare zvelte, deduse prin calcul teoretic, sunt validate de practică. 2. BAZE TEORETICE Lungimea de flambaj a barelor zvelte solicitate la compresiune reprezintă lungimea dintre două puncte de inflexiune, succesive, ale barei flambate. Bara flambată este bara care şi-a pierdut stabilitatea elastică la solicitarea de compresiune cu o forţă de mărime egală sau mai mare decât cea a forţei critice. In practică există patru cazuri de flambaj elastic. Drept urmare, în funcţie de lungimea efectivă a barei şi de cazul de flambaj, lungimile de flambaj sunt date de una dintre următoarele patru formule, deduse teoretic:

incastratadublubarala2

celalaltlaarticulatasicapatunlaincastratabarala699.0

articulatadublubarala

celalaltlaliberasicapatunlaincastratabarala2

f

λλ

λλ

λ =

în care λf este lungimea de flambaj, iar λ reprezinta lungimea efectiva a barei. Aceste relaţii se deduc direct de pe sinusoida barei flambate, cu excepţia cazului III de flambaj, ilustrat în figura de mai jos. Aici relaţia dintre lungimile de flambaj şi totală λf şi L se află din expresia tangentei la axa barei flambate, în stadiul iniţial de pierdere a stabilităţii elastice, când se poate aproxima cu maximă precizie că L=LNEDEFORMAT. Exprimând tangenta la curbă atât prin definiţia sa de raport între catetele opusă şi alăturată, cât şi prin aceea că este derivata săgeţii vx în raport cu x se obţine raportul dintre lungimile de flambaj şi efectivă, astfel: vx=Asin(πx/λf)

( ) 699.0L

iar4303.1LLL

tgL

cosAL

sinL

A

dx

dv

L

vtg f

ffffff

LL Lx ==⇒

π=

π⇒

ππ=

π⇒==ϕ =

λλλλλλλ

3. INSTALATIA EXPERIMENTALA Se compune din două porţiuni ale unei bare zvelte, ce flambeaza simultan în domeniul elastic. Reglarea se face prin deplasarea unei culise intermediare, care simulează o încastrare mobilă. Prima parte este dublu încastrată şi reprezintă cazul IV de flambaj cu lungimile efectivă şi de flambaj date de relaţia L=2λf. A doua parte este încastrată la un capăt şi articulată la celălalt, de lungime λ. Schema instalatiei este dată în tabel.

Fcr-forta critica λf-lungimea de flambaj L - lungimea porţiunii dublu încastrate λ-lungimea porţiunii încastrate la un capăt şi articulate la celălalt capăt

4. REZULTATE EXPERIMENTALE Pentru testare se acţionează asupra culisei până când, la solicitarea de compresiune cu forţa critică, flambează ambele portiuni de bară simultan. Măsurând pe stand lungimile λ şi L, se constată că raportul λf/λ=L/2λ≅0,699 .5. CONCLUZIE Încercarea experimentală arată că lungimea de flambaj pentru cazul III este validată practic.

λf

λ L=2λf Fcrt

λf

CULISĂ

λf

L

vL ϕL

λf

x v

O

LABORATOR ERM NR. 7: MASINI SI UTILAJE PENTRU INCE RCARI LA OBOSEALA 1. SCOPUL LUCRARII: Lucrarea are caracter descriptiv. In sens larg, se prezinta o clasificare a masinilor si utilajelor utilizate la trasarea experimentala a curbei Wöler si determinarii tensiunii limita de rezistenta la oboseala ρR, (ρ=σ,τ tensiunea generalizata), la o o solicitare simpla si un coeficient de asimetrie R=ρmin/ρmax date. In sens restrans, in lucrare se prezinta si se clasifica masinile si utilajele din laborator, destinate pentru trasarea experimentala a curbei Wöler si determinarii tensiunii limita de rezistenta la oboseala σR, la o solicitare de incovoiere si un coeficient de asimetrie R=-1;0;+1. Cu alte cuvinte, se arata modul experimental de determinare a tensiunilor normale limita σ-1, σ0 si σ+1, la solicitarea de incovoiere alternant simetrica, pulsanta si statica. 2. BAZE TEORETICE In privinta calculului teoretic al tensiunii normale la solicitarea de incovoiere, se porneste de la relatia criteriului de calcul, astfel: σ=M/Wz, unde Mz si Wz sunt momentul incovoietor maxim si modulul de rezistenta la incovoiere. 3 INSTALATII EXPERIMENTALE Sunt destinate numai pentru solicitarea variabila la incovoiere. Se clasifica dupa doua criterii: tipul incovoierii (rotativa si plana) si coeficientul de asimetrie (R=-1, incovoiere alternant-simetrica si R=0, incovoiere pulsanta). Instalatiile experimentale se compune, deci, din masini de incercat la oboseala de incovoiere, rotativa si plana si din epruvete. O incercare necesita minim 12 epruvete identice, de tipul bara incastrata in menghina masinii de incercat si cu forta concentrata gravitationala F=mg pe capatul liber. Epruveta si alura curbei Woler la incovoiere sunt redate in tabelul urmator.

Schema epruvetei Caracteristica mecanica Valori

σmax

σ+1

σR

N

Lungimea epruvetei λ=100 mm Diametrul epruvetei d=10 mm M =Fλ momentul incovoietor variabil Wz=πd3/32 modulul de rezistenta σ+1 tensiunea limita la ciclul static R=+1 σR=σ-1,σ0 tensiuni limita la oboseala N=numarul ciclurilor de solicitare

4. VALORI EXPERIMENTALE ALE TENSIUNILOR LIMITA Limita de rezistenta la oboseala se afla dupa un numar de minim 12 incercari, în care se diminuează progresiv sarcina până când numarul ciclurilor de soliciotare N depaşeste o valoare convenţională de 107 cicluri, adica N>N0=107 cicluri de solicitare. 5. CONCLUZII Tensiunile limită de rezistenta la oboseală se determină experimental şi se dau în literatura de specialitate (tabele, grafice etc) Pentru otelul OL37 se indica: σ-1=180 MPa, iar σ0=250 MPa

M

λ

Wz,d

M