implementasi program linear untuk ... - core.ac.uk · implementasi program linear untuk...

IMPLEMENTASI PROGRAM LINEAR UNTUK MEMAKSIMUMKAN

KEUNTUNGAN PRODUKSI BAKPIA DENGAN MENGGUNAKAN

APLIKASI POM-QM

(Studi kasus pada Perusahaan Bakpia 29)

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana

Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Disusun Oleh:

THERESIA ESTER STEFANI FLORIA MOTOH

NIM: 101414027

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2015

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

IMPLEMENTASI PROGRAM LINEAR UNTUK MEMAKSIMUMKAN

KEUNTUNGAN PRODUKSI BAKPIA DENGAN MENGGUNAKAN

APLIKASI POM-QM

(Studi kasus pada Perusahaan Bakpia 29)

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana

Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Disusun Oleh:

THERESIA ESTER STEFANI FLORIA MOTOH

NIM: 101414027

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2015


ii


iii


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

Dengan kerendahan hati dan penuh syukur skripsi ini

kupersembahkan untuk:

Keluargaku tercinta : Ayah , Mama, Kak Jemmy, Kak Jefri,

Kak Lius,Vina, Mas Danang dan saudara-saudaraku lainnya

yang selalu mendoakan dan mendukungku.

Sahabat-sahabatku yang selalu memberimotivasi dan doa.

Teman-teman seperjuangan P.MAT 10 yang selalu mendukung dan bekerja sama


v


vi


vii

ABSTRAK

Theresia Ester Stefani Floria Motoh 2015. Implementasi Program Linear

Untuk Memaksimumkan Keuntungan Produksi Bakpia Dengan

Menggunakan Aplikasi POM-QM (Studi Kasus Pada Perusahaan Bakpia

29).

Penelitian ini bertujuan untuk membantu perusahaan Bakpia 29 mencari

penyelesaian dalam memaksimumkan keuntungan produksi bakpia dengan

menggunakan kajian teoritis, membentuk model matematika dari masalah

optimasi produksi bakpia, mencari solusi dari masalah tersebut menggunakan

metode simpleks dengan alat bantu program POM-QM, serta mengetahui

kuantitas masing-masing produk berdasarkan solusi metode simpleks yang

diperoleh untuk menghasilkan keuntungan yang maksimal. Penelitian ini

tergolong ke dalam jenis penelitian deskriptif kuantitatif. Penelitian dilakukan

pada perusahaan Bakpia 29 Yogyakarta, pengumpulan data dilaksanakan pada

bulan April 2014.

Data penelitian meliputi bagian pembelian, bagian administrasi, bagian

produksi, bagian penjualan. Analisis data dilakukan dengan langkah-langkah

sebagai berikut. Mengidentifikasikan informasi dari data penelitian yaitu data

mana yang akan menjadi variabel keputusan, fungsi tujuan dan fungsi kendala

dari data yang didapat. Fungsi tujuan dan kendala disusun ke dalam siap simpleks.

Pengolahan data dengan aplikasi POM-QM akan menghasilkan jumlah produk

optimal yang seharusnya dapat dihasilkan oleh perusahaan.

Hasil penelitian menunjukan bahwa Perusahaan Bakpia 29 akan

memperoleh pendapatan maksimal jika memproduksi 90 kotak bakpia jenis

kacang hijau, 8 kotak bakpia jenis keju, 8 kotak bakpia jenis durian, 8 kotak

bakpia jenis cokelat dan 1 kotak bakpia jenis stroberi dengan keuntungan

𝑅𝑝. 841.662, − tiap sekali produksi.

Kata kunci: Keuntungan, Program Linear, Memaksimumkan, POM-QM.


viii

ABSTRACT

Theresia Ester Stefani Floria Motoh 2015 Implementation of linear

programming to maximize benefite of bakpia production with using

application POM-QM (case study about bakpia home industry 29).

This research has a purpose helping the company to find way out in

maximizing benefite of bakpia production using material theory, shaping

mathematic model in linear program form in optimation problem of bakpia

production, finding the solution by using method simpleks with POM-QM

software, and then knowing each quantity product base on linear program solution

were it’s found to get maximal benefite. The research classified as deskriptive

quantitation. It’s conducted on bakpia home industry 29 yogyakarta, it’s held on

april 2014.

The subject in this research is a part of purchase, part of administration,

part of production, part of trading. Analyze document conducted by following

ways to indentify information from the research is variable decision is going to be,

function of purpose and difficulty from the document where the analist found.

Function of purpose and difficulty are arranged in mathematic. From the result of

document manufacture with POM-QM application will be resulted optimal

product that should can be resulted by the home industry.

The result shows that bakpia home industry 29 will get maximal income if

they produce 90 boxes of green bean bakpia, 8 boxes of cheese bakpia, 8 boxes of

durian bakpia, 8 boxes of chocolate bakpia and 1 boxes of strawberry bakpia will

get 𝑅𝑝. 841.662, − as total income.

Keywords: Profit, Linear Programming, Maximize, application of POM-QM.


ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan terima kasih kepada Tuhan Yang Maha

Esa atas rahmat dan limpahan kasih karunia-Nya, sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini dengan judul “Implementasi Program Linear Untuk

Memaksimumkan Keuntungan Produksi Bakpia Dengan Menggunakan Aplikasi

POM-QM”. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

sarjana pendidikan pada program studi Pendidikan Matematika, Jurusan

Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan

Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.

Selama proses penyusunan skripsi ini penulis mendapat banyak kendala

akan tetapi berkat bantuan, dukungan, doa, dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh

karena itu, penulis ingin menyampaikan terima kasih yang sebanyak-banyaknya

kepada pihak-pihak yang telah berperan dalam penyusunan skripsi ini, yaitu

kepada :

1. Bapak Rohandi, Ph.D selaku Dekan Fakultas Keguruan Dan Ilmu

Pendidikan;

2. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Jurusan Pendidikan

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan, Universitas Sanata Dharma;

3. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing

Akademik yang telah memberikan bimbingan selama penulis belajar di sini;

4. Bapak Sutrisno, M.Sc., dan Bapak Beni Utomo, M.Sc., selaku Dosen

pembimbing yang telah bersedia meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran


x

untuk membimbing penulis dengan penuh kesabaran selama penyusunan

skripsi ini;

5. Segenap dosen dan karyawan JPMIPA Universitas Sanata Dharma yang

telah membimbing membantu, serta memberikan ilmunya selama belajar di

Universitas Sanata Dharma;

6. Perusahaan Bakpia 29 yang telah memberikan kesempatan, ijin, bimbingan

serta bantuan kepada penulis untuk mengadakan observasi dan melakukan

penelitian;

7. Segenap keluarga tercinta yang menjadi motivasi utama bagi penulis;

8. Teman-temanku Tadeus Danang Awangga, Kunny Kunhertanti, Yublina

Golu, Anastasia andriyani Putri, Agatha Mayasari, Yasinta Friska, Natanael

Jalung Liah, dan teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2010 yang

telah banyak membantu penulis selama penulis menyelesaikan skripsi ini;

9. Semua pihak yang telah memberikan bantuan dan dukungan sehingga

sehingga penulis dapat menyelesaikan studi S1 Pendidikan Matematika di

Fakultas keguruan dan ilmu pendidikan, Universitas Sanata Dharma;

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat untuk pembaca dan untuk kemajuan

pendidikan matematika, khususnya program linear. Kritik dan saran dari pembaca

akan penulis terima dengan baik sehingga menjadi bahan evaluasi.

Yogyakarta, 28 Juli 2015

Penulis


xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL...................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING............................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN........................................................................ iii

HALAMAN PERSEMBAHAN..................................................................... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA......................................................... v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI........................... vi

ABSTRAK...................................................................................................... vii

ABSTRACT................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR.................................................................................... ix

DAFTAR ISI.................................................................................................. xi

DAFTAR TABEL........................................................................................... xiii

DAFTAR GAMBAR...................................................................................... xiv

DAFTAR LAMPIRAN................................................................................... xvi

BAB I PENDAHULUAN............................................................................ 1

A. Latar Belakang Masalah................................................................... 1

B. Identifikasi Masalah.......................................................................... 3

C. Rumusan Masalah............................................................................. 4

D. Tujuan Penelitian.............................................................................. 4

E. Pembatasan Masalah........................................................................ 4

F. Penjelasan Istilah.............................................................................. 5

G. Manfaat Penelitian............................................................................ 6

BAB II LANDASAN TEORI....................................................................... 7

A. Program Linear................................................................................. 7

1. Langkah Dasar Dalam Perumusan Model Program

Linear....................................................................................... 10

2. Asumsi-Asumsi Dasar.............................................................. 10

3. Bentuk Umum Program Linear................................................ 11

B. Metode Solusi Program Linear........................................................ 16

1. Metode Grafik........................................................................... 16


xii

(1) Kasus-Kasus Khusus Metode Grafik........................ 20

(a) Proses Kemunduran............................................. 20

(b) Alternatif Optimal................................................ 22

(c) Solusi Tidak Terbatas.......................................... 24

(d) Solusi Tidak Layak.............................................. 27

2. Metode Simpleks................................................................... 28

C. Penggunaan POM-QM..................................................................... 45

BAB III METODOLOGI PENELITIAN....................................................... 48

A. Jenis Penelitian................................................................................. 48

B. Tempat dan Waktu Penelitian.......................................................... 48

C. Subjek dan Objek Penelitian............................................................ 49

D. Variabel penelitian........................................................................... 50

E. Teknik Pengumpulan Data............................................................... 51

a. Observasi.................................................................................... 51

b. Wawancara................................................................................. 52

c. Dokumentasi............................................................................... 51

F. Teknik Analis Data........................................................................... 51

BAB IV PEMBAHASAN.............................................................................. 54

A. Profil Perusahaan.............................................................................. 54

B. Data Penelitian.................................................................................. 54

C. Pemodelan Program Linear Produksi Bakpia................................... 56

D. Penyelesaian Program Linear Produksi Bakpia Menggunakan

POM-QM.......................................................................................... 61

BAB V PENUTUP......................................................................................... 77

A. Kesimpulan......................................................................................... 77

B. Saran .................................................................................................. 78

DAFTAR PUSTAKA..................................................................................... 79

DAFTAR TABEL


xiii

Tabel 2.1 Informasi Persoalan Pembuatan Roti donat dan Roti Bolu Bagi

Perusahaan Bakery........................................................................ 15

Tabel 2.2 Koordinat Kendala Titik Potong Dengan Sumbu 𝑥 Dan Sumbu

𝑦.................................................................................................... 19

Tabel 2.3 Koordinat Kendala Titik Potong Dengan Sumbu 𝑥 Dan Sumbu 𝑦

Solusi Optimal.............................................................................. 21


Solusi Temporer.......................................................................... 22


Alternatif Optimal....................................................................... 23


Solusi Tidak Terbatas.................................................................. 25


Nilai Optimal Dan Solusi Tidak Terbatas................................... 26


Nilai Solusi Tidak Layak............................................................. 27

Tabel 2.9 Metode Simpleks.......................................................................... 36

Tabel 2.10.a Simpleks Contoh 2.7................................................................... 40

Tabel 2.10.b Simpleks Contoh 2.7.................................................................... 41

Tabel 2.11 Iterasi 1......................................................................................... 42

Tabel 2.12 Iterasi 2......................................................................................... 43

Tabel 4.1 Persediaan Bahan Baku Dalam Satu Hari.................................... 55

Tabel 4.2 Informasi Persoalan Pembuatan Bakpia 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 dan 𝑥5Bagi

Perusahaaan Bakpia 29................................................................. 58

Tabel 4.3 Harga Bahan Baku Setiap Jenis Bakpia....................................... 59

DAFTAR GAMBAR DAN DIAGRAM


xiv

Gambar 2.1 Bagan Langkah-Langkah Secara Umum Dari Memodelkan Suatu

Masalah..................................................................................... 8

Gambar 2.2 Grafik Langkah-Langkah Penyelesaian Contoh 2.1............. 19

Gambar 2.3 Grafik Solusi Optimal Proses Kemunduran....................... 21

Gambar 2.4 Grafik Solusi Optimal........................................................ 22

Gambar 2.5 Grafik Alternatif Optimal..................................................... 23

Gambar 2.6 Grafik Solusi Tidak Terbatas............................................. 25

Gambar 2.7 Grafik Nilai Optimal dan Solusi Tidak Terbatas............... 26

Gambar 2.8 Grafik Solusi Tidak Layak................................................... 28

Gambar 2.9 Linear Programs Result Contoh 2.7........................................... 46

Gambar 2.10 Ranging Contoh 2.7.................................................................. 46

Gambar 2.11 Solution List Contoh 2.7........................................................... 47

Gambar 2.12 Iteration Pada Aplikasi POM-QM Contoh 2.7......................... 46

Gambar 4.1 Satuan Pengukur Prorgram linear.............................................. 61

Gambar 4.2 Create Data Set For Linear Programs....................................... 62

Gambar 4.3 Data Tabel POM-QM................................................................. 63

Gambar 4.4 Linear Programs Result.............................................................. 64

Gambar 4.5 Ranging....................................................................................... 65

Gambar 4.6 Solution List................................................................................ 69

Gambar 4.7 Tampilan POM-QM Iterasi 1.................................................... 71




xv

Gambar 4.10 Tampilan POM-QM Iterasi 4.................................................. 74




xvi

DAFTAR LAMPIRAN

1. Surat Keterangan Penelitian............................................................... L.1

2. Foto Penelitian.................................................................................... L.2

3. Hasil Wawancara................................................................................. L.3

4. Simpleks Manual................................................................................. L.4


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Perusahaan adalah setiap bentuk usaha yang melakukan kegiatan

secara tetap dan terus-menerus dengan memperoleh keuntungan atau laba

bersih, baik yang diselenggarakan oleh orang perorangan maupun badan

usaha yang berbentuk badan hukum atau bukan badan hukum, yang

didirikan dan berkedudukan dalam wilayah negara RI (UU No.8 TAHUN

1997, PASAL 1 (1)). Secara umum perusahaan adalah organisasi yang

didirikan oleh seseorang atau sekelompok orang atau badan lain yang

kegiatannya melakukan produksi dan distribusi guna memenuhi kebutuhan

ekonomis manusia. Tujuan utama dari perusahaan adalah untuk memperoleh

keuntungan yang optimal, meningkatkan volume penjualan dan

meningkatkan nilai perusahaan.

Suatu perusahaan manufaktur (Manufakturing Firm) adalah

perusahaan yang mengubah barang mentah menjadi produk jadi melalui

proses produksi kemudian dijual kepada pelanggan. Perusahaan manufaktur

dijalankan dengan proses pembelian bahan baku, produksi dan penjualan.

Produksi menurut ilmu ekonomi adalah setiap kegiatan yang dilakukan

manusia untuk menghasilkan atau menaikan nilai kegunaan barang atau

jasa. Tujuan utama dari produksi adalah menghasilkan atau menciptakan

suatu barang atau jasa.


2

Keuntungan akan terjadi apabila hasil penjualan lebih besar dari biaya

produksi dan kerugian akan terjadi apabila hasil penjualan lebih sedikit dari

biaya produksi. Keuntungan yang dihasilkan tidak terlepas dari beberapa

faktor antara lain jumlah hasil produksi dan biaya produksi.

Keuntungan yang dicapai perusahaan dapat digunakan sebagai alat

ukur terhadap keberhasilan perusahaan dalam menjalankan aktivitasnya

yang berkenaan dengan operasinya, yaitu menjaga arus pemasukan dan

pengeluaran. Keuntungan yang besar akan mendorong para pemilik modal

untuk menanamkan modalnya pada perusahaan guna memperluas usahanya,

dan sebaliknya keuntungan yang rendah akan mendorong pemilik modal

untuk menarik modalnya.

Jika melihat betapa pentingnya keuntungan bagi perusahaan, maka

perusahaan akan melakukan berbagai cara untuk mencapai keuntungan yang

maksimal. Supaya perusahaan harus dapat bekerja secara efektif dan efisien,

maka perusahaan harus mampu mengalokasikan sumber-sumber daya

produksi yang dimiliki oleh perusahaan secara optimal. Bagi perusahaan

yang memproduksi lebih dari satu macam produk, dengan beberapa macam

bahan baku, manajemen perusahaan yang bersangkutan harus dapat

menentukan berapa jumlah masing-masing jenis produk yang akan

diproduksi dengan kendala kuantitas bahan baku, supaya memperoleh

keuntungan yang optimal.

Perusahaan Bakpia 29 merupakan perusahaan kecil menengah yang

bergerak pada bidang makanan. Proses perhitungan dalam mencari


3

keuntungan produksi bakpia masih dilakukan secara manual yaitu dengan

mencari keuntungan dari hasil penjualan bakpia dikurangkan dengan harga

bahan baku dan tenaga kerja, sedangkan untuk transportasi biasanya dari

pemilik perusahaan sehingga perusahaan masih memerlukan suatu solusi

yang tepat di dalam proses perhitungan. Proses pembuatan bakpia sehari-

hari dalam perusahaan ini melibatkan sekitar tiga pegawai dalam pembuatan

bakpia, pegawai dapat ditambah jika perusahaan memiliki pesanan bakpia

lebih serta tidak menggunakan gudang untuk penyimpanan bahan baku

karena bahan baku yang dibeli adalah bahan baku untuk produksi satu hari.

Ada beberapa cara yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan

masalah penentuan kuantitas produksi dalam suatu perusahaan, salah

satunya adalah metode simpleks. Di dalam matematika terdapat suatu teknik

optimisasi yang bertujuan untuk menentukan pemecahan masalah optimasi

yaitu memaksimumkan suatu keuntungan atau meminimumkan biaya

dengan kapasitas bahan baku yang ada agar mampu mendapatkan hasil yang

optimal.

Untuk mendapatkan penyelesaian yang optimal dari masalah tersebut

dikembangkan suatu cara yang disebut dengan program linear. Program

linear merupakan suatu teknik perencanaan yang menggunakan model

matematika dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif dari

pemecahan masalah yang kemudian dipilih yang mana yang terbaik untuk

menyusun alokasi bahan baku yang ada agar mencapai tujuan yang

diinginkan secara optimal dengan melibatkan variabel-variabel linear.


4

B. Identifikasi Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah diatas, maka dapat

diidentifikasikan permasalahan sebagai berikut.

1. Perusahaan masih menggunakan proses perhitungan yang manual dalam

mencari keuntungan produksi bakpia.

2. Perusahaan menggunakan pegawai dalam jumlah yang tidak menentu.

C. Rumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah

memaksimumkan keuntungan produksi bakpia pada Perusahaan Bakpia 29

yang dapat dituliskan dengan beberapa pertanyaan sebagai berikut.

1. Bagaimana memodelkan masalah produksi bakpia ke dalam metode

simplek?

2. Bagaimana menyelesaikan masalah tersebut menggunakan metode

simpleks dengan alat bantu POM-QM?

3. Bagaimana menentukan kuantitas masing-masing jenis produk supaya

menghasilkan keuntungan maksimal?

D. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Untuk membantu perusahaan mencari penyelesaian dalam

memaksimumkan keuntungan produksi bakpia dengan menggunakan

kajian teoritis.

2. Membentuk model matematika dalam bentuk program linear dari

masalah optimasi produksi bakpia.


5

3. Mencari solusi program linear tersebut dengan metode simpleks

menggunakan alat bantu program komputer POM-QM.

4. Mengetahui kuantitas masing-masing produk berdasarkan solusi

program linear yang diperoleh untuk menghasilkan keuntungan yang

maksimal.

E. Pembatasan Masalah

Perusahaan bakpia 29 memiliki masalah yang rumit yaitu dari segi

tenaga kerja yang tidak menentu dan tidak ada gudang untuk penyimpanan

bahan baku dikarenakan bahan baku digunakan langsung habis dalam sehari

dan tergantung dari pemesanan pelanggan. Agar penelitian yang penulis

lakukan lebih terarah, penulis melakukan pembatasan masalah pada hal-hal

berikut:

a. Penelitian ini dibatasi pada satu perusahaan saja, yaitu perusahaan

Bakpia 29.

b. Data yang digunakan merupakan banyaknya bahan baku untuk produksi

bakpia yang dimiliki oleh perusahaan bakpia 29 diambil pada bulan

april 2014.

F. Penjelasan Istilah

Istilah-istilah dalam rumusan diatas didefinisikan sebagai berikut.

a. Sumber daya adalah berbagai jenis barang dan jasa yang dibutuhkan

oleh perusahaan untuk diolah guna membuat barang atau jasa yang lain.

Sumber daya yang dibutuhkan setiap hari oleh setiap perusahaan dalam

membuat barang dan jasa adalah bahan-bahan baku dan bahan-bahan


6

pembantu, mesin-mesin dan peralatan-peralatan, tenaga kerja manusia,

teknologi (Pardede; 2005:71).

b. Produksi adalah segala proses yang dirancang untuk mengubah suatu

susunan elemen masukan (input) menjadi suatu susunan elemen

keluaran (output) yang khusus (Ishkak; 2010:4).

c. Program Linear merupakan suatu metode pengambilan keputusan yang

dapat digunakan untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atau

cara terbaik pengalokasian sumber daya guna mencapai tujuan yang

diinginkan.

G. Manfaat Penelitian

a. Bagi perusahaan

Penelitian ini dimaksudkan agar bisa membantu perusahaan dalam

menentukan kuantitas jenis produk yang akan diproduksi dan

memperoleh pendapatan yang maksimal.

b. Bagi peneliti

Penelitian ini diharapkan dapat dijadikan pengetahuan dan pengalaman

dalam mengaplikasikan program linear.

c. Bagi Pembaca

Menambah referensi bagi pembaca atau peneliti lain untuk lebih

dikembangkan lagi dengan baik.


7

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

A. Program Linear

Secara umum masalah dapat ditafsirkan sebagai suatu kesenjangan

antara yang seharusnya terjadi dan yang sesungguhnya terjadi atau antara

cita-cita (tujuan) dan keadaan sekarang. Menyelesaikan masalah berarti

menjembatani kesenjangan di atas (Susanta:1994:9). Masalah dalam

kehidupan sehari-hari akan mudah diperoleh penyelesaiannya jika terlebih

dahulu kita mengurai permasalahan yang ada sehingga bisa mengetahui

dengan pasti model apa yang akan dilakukan.

Model adalah abstraksi dan penyederhanaan masalah dari keadaan

yang nyata. Model yang baik akan digunakan sebagai alat dalam

menyusun pola dasar masalah yang dihadapi, kemudian akan timbul

strategi yang tepat dalam pelaksanaan atau tindakan yang diperlukan.

Suatu model yang baik adalah yang memenuhi tiga kriteria berikut yaitu :

model harus mampu merangkum unsur-unsur yang sangat pokok dari

persoalan yang dihadapi, model harus dibuat sederhana mungkin sesuai

dengan kemampuan yang ada dan sesuai dengan pentingnya permasalahan

yang dihadapi dan yang terakhir adalah model tersebut harus mampu tidak

memperdulikan hal-hal yang kurang berguna. Di bidang ilmu matematika,

suatu masalah dapat dimodelkan secara matematis dengan langkah-

langkah umum sebagai berikut.


8

Solusi masalah

nyata Pelaksanaan

a) Mengidentifikasikan masalahnya

b) memodelkan masalah secara matematis

c) Mencari metode-metode solusi

d) Memilih metode yang paling cocok

e) Melaksanakan (implementasi)

f) Mengevaluasi hasil.

Secara ringkas menurut Susanta (1994:9) langkah-langkah umum untuk

memodelkan suatu masalah dapat dibuat bagan sebagai berikut.

Ada berbagai macam teknik perencanaan untuk mencari solusi

dengan menggunakan model matematika, salah satunya adalah program

linear. Program linear merupakan suatu teknik perencanaan yang

menggunakan model matematika dengan tujuan menemukan beberapa

kombinasi alternatif pemecahan masalah, kemudian dipilih mana yang

terbaik diantaranya dalam rangka menyusun strategi dan langkah-langkah

•Masalah nyata

penyederhanan•masalah nyata disederhanakan

pemodelan

•model matematis

solusi

•solusi dalam model

tafsir kembali

Gambar 2.1 Bagan Langkah-Langkah Secara Umum Dari Memodelkan

Suatu Masalah


9

kebijakan lebih lanjut tentang alokasi sumber daya dan dana yang terbatas

guna mencapai tujuan atau sasaran yang diinginkan secara optimal.

Program linear adalah teknik matematika untuk memilih program

(serangkaian kegiatan) terbaik dari kumpulan alternatif yang mungkin

dengan menggunakan fungsi linear. Masalah-masalah yang dapat

diselesaikan dengan program linear disebut masalah program linear.

Umumnya, masalah program linear didefinisikan sebagai masalah optimasi

(memaksimumkan atau meminimumkan) fungsi linear dari variabel-

variabel bebas, terhadap serangkaian kendala linear yang menyangkut

variabel-variabel bebas tersebut (Wu & Coppins : 1981 : 35).

Fungsi linear yang hendak dicari nilai optimumnya (maksimumkan

atau minimumkan) disebut fungsi tujuan. Variabel-variabel babas yang ada

pada fungsi tujuan dan kendala linear disebut variabel keputusan karena

nilai variabel inilah yang harus ditentukan (diputuskan) untuk dapat

mengoptimalkan fungsi tujuan yang dibatasi oleh kendala linear. Kendala

linear dapat berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear.

Selanjutnya kendala linear disebut kendala.

Adapun langkah-langkah umum dalam menyelesaikan masalah

program linear adalah dengan tiga macam cara, yaitu dengan memodelkan

masalah umum, menyelesaikan masalah program linear dan

menterjemahkan solusi dari solusi program linear.


10

1. Langkah Dasar Dalam Perumusan Model Program Linear

Ada tiga langkah dasar dalam perumusan model program linear yaitu:

a) Menentukan variabel keputusan

Variabel keputusan adalah variabel persoalan yang akan

mempengaruhi nilai tujuan yang hendak dicapai. Biasanya variabel

keputusan dimisalkan sebagai 𝑥𝑗, 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛 dengan 𝑥𝑗

menyatakan variabel keputusan ke- 𝑗 dan 𝑛 menyatakan banyaknya

variabel keputusan.

b) Merumuskan fungsi tujuan

Fungsi tujuan dalam model program linear adalah fungsi yang

hendak dioptimumkan (dimaksimumkan atau diminimumkan).

Bentuk umum fungsi tujuan dapat dituliskan sebagai 𝑧 = 𝑐1𝑥1 +

𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛 dengan 𝑐𝑗 adalah koefisien ongkos.

c) Merumuskan kendala

Kendala dapat diartikan sebagai suatu pembatas terhadap kumpulan

putusan yang mungkin dibuat dan dapat berbentuk persamaan atau

pertidaksamaan.

2. Asumsi-asumsi Dasar

Suatu masalah dapat diselesaikan dengan program linear apabila

memenuhi asumsi-asumsi seperti yang dikemukakan oleh

Siringoringo (2005:35) sebagai berikut.


11

a) Linearitas

Asumsi ini menyatakan bahwa perbandingan antara input yang

satu dengan input lainnya, atau untuk suatu input dengan output

besarnya tetap dan terlepas (tidak tergantung) pada tingkat

produksi.

b) Kesebandingan

Asumsi ini menyatakan bahwa jika variabel pengambilan

keputusan 𝑥𝑗 berubah maka dampak perubahannya akan

menyebar dalam proporsi yang sama terhadap fungsi tujuan dan

juga kendalanya.

c) Keterjumlahan

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai parameter suatu kriteria

optimisasi (koefisien variabel pengambilan keputusan dalam

fungsi tujuan) merupakan jumlah dari nilai masing-masing 𝑐𝑗

dalam model Program Linear tersebut.

d) Dapat terbagi

Asumsi ini menyatakan bahwa variabel-variabel pengambilan

keputusan 𝑥𝑗, jika diperlukan dapat dibagi ke dalam pecahan-

pecahan yaitu nilai-nilai 𝑥𝑗 tidak hanya integer (bilangan bulat)

tapi boleh selain bilangan bulat.

3. Bentuk Umum Program linear

Masalah program linear tak lain adalah masalah optimasi

bersyarat, yakni pencarian nilai maksimum atau pencarian nilai


12

minimum suatu fungsi tujuan berkenaan dengan keterbatasan-

keterbatasan atau kendala yang harus dipenuhi. Masalah-masalah

tersebut secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut.

Masalah program linear untuk kasus maksimisasi dapat dituliskan

sebagai berikut (Dumairy 2012:346-347).

Memaksimumkan 𝒛 = 𝒄𝟏𝒙𝟏 + 𝒄𝟐𝒙𝟐 + 𝒄𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒄𝒏𝒙𝒏 (2.1.a)

dengan kendala-kendala

𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟏𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 ≤ 𝒃𝟏

𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟐𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 ≤ 𝒃𝟐

𝒂𝟑𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟑𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟑𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟑𝒏𝒙𝒏 ≤ 𝒃𝟑

⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮

𝒂𝒎𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒎𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝒎𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏𝒙𝒏 ≤ 𝒃𝒎 (2.1.b)

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 ≥ 0, (syarat non-negatif) (2.1.c)

Dengan 𝒎 menyatakan banyaknya batasan sumber atau fasilitas

yang tersedia dan 𝒏 menyatakan banyaknya kegiatan yang

menggunakan sumber atau fasilitas yang tesedia atau dapat ditulis

sebagai berikut.

𝑧 = ∑ 𝑐𝑗𝑛𝑗=1 𝑥𝑗 (2.1.a)

dengan kendala:

∑ 𝑎𝑖𝑗𝑛𝑗=1 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 (2.1.b)

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛. (2.1.c)

Dimana 𝑎𝑖𝑗 merupakan koefisien teknis, sedangkan masalah

minimisasi dapat dituliskan sebagai berikut.

Meminimumkan 𝒛 = 𝒄𝟏𝒙𝟏 + 𝒄𝟐𝒙𝟐 + 𝒄𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒄𝒏𝒙𝒏 (2.2.a)


13

dengan kendala-kendala

𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟏𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 ≥ 𝒃𝟏

𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟐𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 ≥ 𝒃𝟐

𝒂𝟑𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟑𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟑𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟑𝒏𝒙𝒏 ≥ 𝒃𝟑

⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮

𝒂𝒎𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒎𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝒎𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏𝒙𝒏 ≥ 𝒃𝒎 (2.2.b)

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 ≥ 0, (syarat non-negatif) (2.2.c)

dengan 𝒎 menyatakan banyaknya batasan sumber atau fasilitas

yang tersedia dan 𝒏 menyatakan banyaknya kegiatan yang

menggunakan sumber atau fasilitas yang tesedia atau dapat ditulis

sebagai berikut.

𝑧 = ∑ 𝑐𝑗𝑛𝑗=1 𝑥𝑗 (2.2.a)

dengan kendala:

∑ 𝑎𝑖𝑗𝑛𝑗=1 𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 (2.2.b)

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛 (2.2.c)

Masalah maksimisasi dijumpai misalnya dalam kasus penentuan

kombinasi jumlah produk guna memperoleh profit maksimum,

sedangkan masalah minimisasi ditemui misalnya dalam kasus upaya

menekan biaya produksi. Variabel 𝑥𝑗 yang mencerminkan aktivitas,

dalam program linear disebut juga variabel keputusan. Variabel

keputusan tidak boleh negatif artinya bahwa jumlah barang yang akan

diproduksi harus lebih besar atau sama dengan nol, karenanya di

dalam setiap rumusan model program linear selalu diberikan kendala

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛 Hal ini dikenal dengan sebutan pembatasan

ketidaknegatifan.


14

Kendala-kendala dalam sebuah masalah program linear tidak

selalu harus berbentuk pertidaksamaan yang seragam. Dalam kasus

tertentu dapat terjadi salah satu kendala atau lebih berbentuk

persamaan. Dapat pula terjadi di dalam sebuah masalah terdapat

kendala pertidaksamaan berbentuk ≥ maupun ≤.

Contoh 2.1 Sebuah perusahaan Bakery memproduksi dua jenis roti

yaitu roti Donat dan roti Bolu. Kedua jenis barang tersebut diproduksi

dengan mempergunakan 3 jenis bahan baku (tepung terigu, gula pasir

dan mentega). roti Donat diproses melalui bahan baku tepung terigu

dengan takaran 4 kg, bahan baku gula pasir dengan takaran 3 kg dan

bahan baku mentega dengan takaran 1kg, sedangkan roti Bolu

diproses dengan bahan baku gula pasir dan bahan baku mentega

masing-masing dengan takaran 2 kg. Dalam 1 hari bahan baku tepung

terigu bisa habis dalam 16 kg, bahan baku gula pasir dalam 24 kg dan

bahan baku mentega dalam 20 kg. Roti Donat dapat dijual di pasar

dengan harga Rp 400.000 per buah sedangkan Roti Bolu dijual

seharga Rp 300.000 per buah.

Perusahaan akan menghitung pendapatan tiap hari berbasiskan

kemampuan per hari dari bahan baku yang dimiliki. Oleh karena itu,

dengan tujuan memaksimumkan pendapatan perusahaan setiap

harinya, perusahaan harus menentukan suatu kombinasi dari jumlah

roti Donat dan jumlah roti Bolu yang akan diproduksi dan dijual guna

memperoleh pendapatan yang maksimum.


15

Pembahasan contoh 2.1

a) Menentukan Variabel Keputusan

Kasus di atas bisa kita buat ikhtisarnya dalam bentuk tabel

informasi persoalan untuk perusahaan Bakery seperti diperlihatkan

oleh Tabel 2.1 Tabel tersebut memperlihatkan takaran yang

diperlukan tiap roti dari masing-masing bahan baku yang

digunakan, serta memperlihatkan keterbatasan bahan baku tiap

harinya. Tabel ini juga memperlihatkan kendala dari proses

produksi untuk pembuatan roti Donat dan roti Bolu.

Tabel 2.1 Informasi Persoalan Pembuatan Roti Donat dan Roti

Bolu Bagi Perusahaan Bakery

Variabel keputusan masalah program linear ini adalah:

𝑥 = Banyaknya roti donat yang akan diproduksi.

𝑦 = Banyaknya roti bolu yang akan diproduksi.

b) Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan dari persoalan di atas adalah memaksimalkan

pendapatan karena Roti Donat memiliki pendapatan per unit

sebesar Rp 400.000, −, sedangkan Roti bolu memiliki pendapatan

per unit sebesar Rp 300.000, -, sehingga total pendapatan adalah

𝑍 = 400.000 𝑥 + 300.000 𝑦.

Bahan baku

Takaran yang

diperlukan untuk

tiap unit Roti Total Kg yang tersedia

untuk tiap Bahan baku

Donat Bolu

Tepung terigu 4 - 16

Gula pasir 3 2 24

Mentega 1 2 20


16

c) Fungsi Kendala

Berbasiskan Tabel 2.1 maka fungsi kendala dapat dituliskan

sebagai berikut.

kendala 1 : 4𝑥 ≤ 16

kendala 2 : 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 24

kendala 3 : 𝑥 + 2𝑦 ≤ 20

dengan kendala non negativitasnya adalah 𝑥, 𝑦 ≥ 0

Sehingga secara lengkap, masalah tersebut dapat dituliskan sebagai

program linear memaksimumkan 𝑍 = 400.000 𝑥 + 300.000 𝑦

dengan kendala:

4𝑥 ≤ 16, 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 24, 𝑥 + 2𝑦 ≤ 20,

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 (kendala non negativitas)

B. Metode Solusi Program Linear

Solusi masalah program linear dapat dikerjakan antara lain dengan

dua macam cara, yaitu dengan metode grafik dan dengan metode simpleks.

1. Metode Grafik

Metode grafik adalah salah satu teknik dalam program linear yang

menitik beratkan pada sistem kordinat sumbu (x,y).

Contoh 2.2 menemukan solusi dari contoh 2.1

Secara umum langkah-langkah solusi dengan metode grafik,

setelah model permasalahannya dirumuskan, adalah sebagai berikut

(Supranto : 1979 : 29).


17

a) Setiap pertidaksamaan harus digambarkan grafiknya sehingga

keseluruhan bisa diperoleh daerah mana yang memberikan nilai

terbesar atau maksimum.

b) Fungsi tujuan juga harus digambarkan grafiknya dengan cara

menentukan sebarang nilai 𝑍, kemudian buat garis yang

menunjukan garis fungsi Z = 400.000 𝑥 + 300.000 𝑦.

Kemudian dapat ditarik garis yang sejajar atau paralel dengan

garis ini. Garis itu ditarik kearah yang memberikan nilai makin

besar atau makin kecil sampai titik yang memberikan nilai

makin besar atau makin kecil sampai dicapai titik yang

memberikan nilai fungsi tujuan 𝑍 maksimum atau minimum

(tergantung pada persoalan yang akan dipecahkan).

Langkah-langkah penyelesaian contoh soal menggunakan metode

grafik.

1. Pertidaksamaan yang pertama, untuk menggambarkan grafiknya

dalam menentukan daerah yang masih memenuhi

pertidaksamaan tersebut, gunakan 𝑥 = 4 yang merupakan suatu

persamaan garus lurus. Semua daerah dibawah garis tersebut

dan termasuk garisnya sendiri memenuhi pertidaksamaan

pertama. (lihat gambar 2.2)

2. Pertidaksamaan yang kedua, untuk menggambarkan grafiknya



18

pertidaksamaan tersebut, gunakan 𝑥 = −2

3𝑦 + 8 yang

merupakan suatu persamaan garus lurus. Semua daerah dibawah

garis tersebut dan termasuk garisnya sendiri memenuhi

pertidaksamaan kedua. (lihat gambar 2.2)

3. Pertidaksamaan yang ketiga, untuk menggambarkan grafiknya


pertidaksamaan tersebut, gunakan 𝑥 = −2𝑦 + 20 yang

merupakan suatu persamaan garus lurus. Semua daerah dibawah

garis tersebut dan termasuk garisnya sendiri memenuhi

pertidaksamaan ketiga. (lihat gambar 2.2)

4. Gabungkan pertidaksamaan yang pertama, kedua dan ketiga

untuk memperoleh daerah layak yang memenuhi ketiga

pertidaksamaan yaitu daerah OBGHD. (lihat gambar 2.2)

5. Gambarkan grafik fungsi tujuan Z = 400.000 𝑥 + 300.000 𝑦,

kita ambil nilai Z = 100.000 maka diperoleh suatu persamaan

4 = 400.000 𝑥 + 300.000 𝑦 yang juga merupakan garis lurus,

garis tersebut dinamakan Z1. Kemudian tarik garis-garis yang

sejajar dengan Z1 sampai kita peroleh Z maksimum. Garis-garis

itu harus bergerak menuju ke arah kanan sebab nilai tujuannya

akan makin besar sampai akhirnya memotong titik G. Pada titik

G nilai 𝑍 menjadi maksimum dengan nilai 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 9

sebab nilai Z = 400.000 (2) + 300.000 (9) adalah

3.500.000. Garis tersebut dinamakan Z2. (lihat gambar 2.2)


19

6. Nilai Z = 3.500.000 merupakan Z maksimum. Garis lurus

yang sejajar dengan Z2 dan terletak disebelah kanan Z2 akan

mempunyai nilai fungsi yang lebih besar akan tetapi nilai 𝑥

sudah terletak di luar daerah layak (feasible) sehingga tidak

memenuhi pertidaksamaan-pertidaksamaan yang

menggambarkan kendala-kendala yang ada. Garis 𝑍3 yang

ditarik sejajar Z1 dan terletak di sebelah kiri Z1 akan

memberikan fungsi tujuan yang lebih kecil dari 100.000. daerah

feasible adalah himpunan yang memuat semua penyelesaian

feasible. Penyelesaian feasible adalah penyelesaian pasangan

(𝑥, 𝑦) yang memenuhi pada semua kendala.

Tabel 2.2 Koordinat Kendala Di Sumbu 𝒙 Dan Sumbu 𝒚

Penyelesaian Metode Grafik

No. Persamaan Sumbu 𝒙 Sumbu 𝒚

1. 4𝑥 = 16 D (4, 0) -

2. 3𝑥 + 2𝑦 = 24 E (8, 0) A (0, 12)

3. 𝑥 + 2𝑦 = 20 F (20, 0) B(0, 10)

4. 𝑥 = 0 C (0, 0) -

5. 𝑦 = 0 - C (0, 0)

x

A

B

O D

E

G

F

H

Gambar 2.2 Grafik Langkah Langkah Penyelesaian Contoh 2.1

𝑍2

Langkah 3 Langkah 4

Langkah 5

Langkah 2 Langkah 1 y


20

Pada titik G 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 9. Titik-titik O, B, G, H, D masing-

masing disebut titik-titik ekstrim. Arah garis Z akan tergantung

dari fungsi tujuannya. Penyelesaian yang optimal akan tercapai

di titik G 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 9 dengan Z = 3.500.000, sehingga

daerah layaknya (feasible) adalah daerah OBGHD.

(1) Kasus-Kasus Khusus Metode Grafik

Pada metode grafik terdapat banyak kasus-kasus khusus

seperti yang dikemukakan oleh Thomas J (2008: 39) sebagai

berikut.

(a) Proses Kemunduran (Degenerasi)

Proses kemunduran yang juga sering terdapat dalam

persoalan program linear yang dikenal sebagai

kemunduran dari proses penguraian persoalan yang

dihadapi dengan kata lain kondisi kemunduran ini

menyataan bahwa model tersebut mempunyai paling

sedikit satu kendala yang berlebih.

Contoh 2.3 Degenerasi

(i) Solusi Optimal

Suatu persoalan optimal program linear dengan

memaksimumkan fungsi tujuan 𝑍 = 3𝑥 + 9𝑦 dan

fungsi kendala 𝑥 + 4𝑦 < 8 𝑑𝑎𝑛 𝑥 + 2𝑦 < 4

dengan 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 > 0


21

Tabel 2.3 Koordinat Kendala Di Sumbu 𝒙 Dan

Sumbu 𝒚 pada Solusi Optimal

Titik B merupakan kelebihan dari fungsi kendala

yang berpotongan dengan sumbu 𝑥. Ini merupakan

suatu proses kemunduran dari program linear

metode grafik.

(ii) Solusi Temporer

Suatu persoalan program linear dengan


fungsi kendala 4𝑥 + 3𝑦 < 12 , 4𝑥 + 𝑦 < 8 dan

4𝑥 − 𝑦 < 8 dimana 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 > 0


1. 𝑥 + 4𝑦 = 8 (8, 0) (0,2)

2. 𝑥 + 2𝑦 = 4 (4, 0) (0, 2)

4. 𝑥 = 0 (0, 0) -

5. 𝑦 = 0 - (0, 0)

x

y

Gambar 2.3 Grafik Solusi Optimal Proses kemunduran


22


Sumbu 𝒚 Pada Solusi Temporer

Pada titik C terjadi kelebihan fungsi kendala pada

saat di sumbu 𝑥. Titik C merupakan titik yang tidak

mempunyai solusi optimal, sedangkan titik B dapat

dinyatakan sebagai solusi optimal dan tidak memiliki

proses kemunduran.

(b) Alternatif Optimal

Fungsi tujuan akan dapat dinyatakan sebagai nilai

optimal yang sama pada lebih dari satu titik solusi yang

merupakan alasan untuk mengatakan alternatif yang

optimal. Pengertian ini menunjukan bahwa fungsi

tujuan dapat berkembang secara tidak terbatas, karena


1. 4𝑥 + 3𝑦 = 12 (3, 0) (0,4)

2. 4𝑥 + 𝑦 = 8 (2, 0) (0, 8)

3. 4𝑥 − 𝑦 = 8 (2, 0) (0, -8)

4. 𝑥 = 0 (0, 0) -

5. 𝑦 = 0 - (0, 0)

y

x

Gambar 2.4 Grafik Solusi Optimal


23

kesejajaran pada keterikatan titik-titik pada fungsi

kendala yang terbentuk dalam grafik.

Contoh 2.4



fungsi kendala 𝑥 + 2𝑦 ≤ 5 𝑑𝑎𝑛 𝑥 + 𝑦 ≤ 4 dengan

𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ≥ 0


Sumbu 𝒚 Pada Alternatif Optimal

Grafik ini menunjukan bahwa alternatif optimal dapat

muncul pada program linear apabila fungsi tujuan adalah

sejajar dengan suatu kendala pada setiap titik garis segmen

C, D yang ditunjukan sebagai alternatif optimal dengan


1. 𝑥 + 2𝑦 = 5 (5, 0) (0, 2,5)

2. 𝑥 + 𝑦 = 4 (4, 0) (0, 4)

4. 𝑥 = 0 (0, 0) -

5. 𝑦 = 0 - (0, 0)

Gambar 2.5 Grafik Alternatif Optimal

y

x


24

selalu memiliki nilai yang sama dengan fungsi tujuannya

Z = 10.

(c) Solusi Tidak Terbatas

Beberapa model program linear terdapat nilai-nilai

variabel yang dapat naik dengan sendirinya tanpa

menyentuh suatu kendala, yang berarti terdapat daerah

solusi yang tidak dibatasi yang sedikitnya hanya pada

satu arah. Hasilnya, nilai objektif dapat meningkat

untuk persoalan maksimum dan menurun sesuai dengan

persoalan minimum. Dengan demikian hal ini dapat

dikatakan bahwa kedua solusi ini adalah optimal

dengan nilai objektif fungsi tidak terbatas dan

ketidakterbatasan itu dapat menunjukan hanya satu

keadaan saja.

Contoh 2.5

(i) Solusi Tidak Terbatas


memaksimumkan fungsi tujuan 𝑍 = 9𝑥 + 𝑦 dan

fungsi kendala 𝑥 − 𝑦 ≤ 5 𝑑𝑎𝑛 2𝑥 ≤ 20 dengan



25


Sumbu 𝒚 Pada Solusi Tidak Terbatas.

Dari grafik kita dapat mengenal suatu

ketidakterbatasan sebagai suatu aturan umum,

sebagai berikut. Apabila dalam grafik terdapat

daerah layak namun tidak terbatas pada satu arah.

Hal ini menunjukan adanya solusi tidak terbatas dan

apabila penambahan pada koefisien fungsi tujuan

dari variabel negatif dalam kasus maksimum atau

positif dalam kasus minimum maka nilai fungsi

tujuan juga tidak terbatas.


1. 𝑥 − 𝑦 = 5 (5, 0) (0, -5)

2. 2𝑥 = 20 (10, 0) (0, 0)

4. 𝑥 = 0 (0, 0) -

5. 𝑦 = 0 - (0, 0)

x

y

Gambar 2.6 Grafik Solusi Tidak Terbatas

A B

C


26

(ii) Nilai Optimal dan Solusi Tidak Terbatas


memaksimumkan fungsi tujuan 𝑍 = 6𝑥 − 6𝑦 dan

fungsi kendala 2𝑥 − 2𝑦 ≤ 5 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ≤ 10 dengan



Sumbu 𝒚 Pada Nilai Optimal dan Solusi Tidak

Terbatas.

Dengan ini masih terdapat solusi optimal untuk

fungsi tujuan, walaupun terdapat ruang solusi tidak

terbatas.


1. 2𝑥 − 2𝑦 = 10 (5,0) (0,-5)

2. 𝑥 = 10 (10,0) (0,0)

4. 𝑥 = 0 (0,0) -

5. 𝑦 = 0 - (0,0)

y

x

Gambar 2.7 Grafik Nilai Optimal dan Solusi Tidak

Terbatas


27

(d) Solusi Tidak Layak

Apabila kendala-kendala tidak dapat memberikan

kelayakan secara simultan maka dapat dikatakan bahwa

model itu tidak mempunyai solusi kelayakan.

Terdapat juga kemungkinan bahwa kendala-kendala

tidak mempunyai kepentingan yang layak secara simultan

dan dalam hal ini diperlukan stuktur model yang berbeda

dan lengkap yang tidak terkait dengan kendala-kendala

yang simultan untuk dapat mencapai solusi yang optimal.

Contoh 2.6


memaksimumkan fungsi tujuan 𝑍 = 3𝑥 + 2𝑦 dan fungsi

kendala 2𝑥 − 𝑦 ≤ 2 𝑑𝑎𝑛 3𝑥 + 4𝑦 ≥ 12 dengan

𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 > 0


Sumbu 𝒚 Pada Solusi Tidak Layak


1. 2𝑥 − 𝑦 = 2 (1, 0) (0, 2)

2. 3𝑥 + 4𝑦 = 12 (4, 0) (0, 3)

4. 𝑥 = 0 (0, 0) -

5. 𝑦 = 0 - (0, 0)


28

Grafik ini tidak mempunyai daerah layak dan juga tidak

memiliki titik ekstrim yang dapat dibahas. Dengan

demikian tidak terdapat solusi optimal dalam ruang

kelaakan. Jadi diperlukan stuktur model yang lain untuk

mencapai optimal.

2. Metode Simpleks

Persoalan program linear tidak selalu sederhana karena

melibatkan banyak pembatas dan banyak variabel sehingga tidak

mungkin diselesaikan dengan metode grafik melainkan

menggunakan metode simpleks. Metode simpleks adalah suatu

metode yang secara pemecahan basis yang layak ke pemecahan

basis yang layak lainnya dan ini dilakukan berulang-ulang (dengan

jumlah ulangan yang terbatas) sehingga akhirnya tercapai sesuatu

pemecahan basis yang optimum dan pada setiap tahap

menghasilkan suatu nnilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar

y

x

Gambar 2.8 Grafik Solusi Tidak Layak


29

atau sama dengan tahap-tahap sebelumnya. Metode ini sangat

berguna dalam menguraikan persoalan program linear dengan

variabel yang banyak maupun fungsi kendala yang banyak.

Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks

didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi

optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu

dengan cara perhitungan iteratif, sehingga penentuan solusi optimal

dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan

iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).

Pada metode simpleks dipekenalkan istilah standart form

atau bentuk siap simpleks, yang digunakan untuk menyusun tabel-

tabel simpleksnya. Sebagai gambaran dapat dilihat pada metode

grafik yaitu terdapat satu atau beberapa titik potong yang

merupakan suatu kumpulan solusi yang layak.

Yang harus diperhatikan adalah bahwa solusi basis yang

layak merupakan suatu solusi dan kumpulan dari persamaan linear

kebanyakan persamaan program linear dengan fungsi kendalanya

berbentuk ketidaksamaan. Munculnya kendala ketidaksamaan

dapat diubah ke dalam kendala persamaan. Dengan demikian suatu

program linear semua kendalanya dinyatakan dalam bentuk

kendala persamaan dapat disebut juga sebagai bentuk siap

simpleks.


30

Ada beberapa istilah yang digunakan dalam metode simpleks,

diantaranya :

a) Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam

perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

b) Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur

menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum,

jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas

dalam sistem persamaan.

c) Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol

pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis

merupakan variabel pengetat (jika fungsi kendala merupakan

pertidaksamaan ≤ ) atau variabel artifisial (jika fungsi kendala

menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum,

jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi

pembatas (tanpa fungsi non negatif).

d) Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya

pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal nilai kanan

atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal

yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

e) Variabel pengetat merepresentasikan sumber daya yang

mengganggur pada suatu fungsi kendala, variabel ini

digunakan untuk ditambahkan dalam fungsi pertidaksamaan ≤,

supaya dengan menambahkan variabel pengetat ini diperoleh


31

solusi fisibel awal (initial feasible solution, sama dengan titik

origin pada grafik).

f) Variabel semu mempresentasikan kekurangan sumber daya

pada suatu fungsi kendala, variabel digunakan untuk

dikurangkan dalam fungsi pertidaksamaan ≥, supaya dengan

menambahkan variabel semu ini diperoleh solusi fisibel awal

(initial feasible solution, sama dengan titik origin pada grafik).

g) Variabel artifisial adalah variabel yang ditambahkan ke

model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk

difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel

ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0

pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak

ada.

h) Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat

variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi

pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris

kerja).

i) Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara

variabel basis yang memuat variabel keluar.

j) Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak

pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan

menjadi basis perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.


32

k) Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi

variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih

satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel

ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

l) Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel

basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel

masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis

pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan

bernilai nol.

Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan

solusi optimal, pertama sekali bentuk umum program linear

dirubah ke dalam bentuk siap simpleks terlebih dahulu. Bentuk siap

simpleks dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan

kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala

harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal

menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada

aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan

semuanya masih bernilai nol. Dengan demikian, meskipun fungsi

kendala pada bentuk umum program linear sudah dalam bentuk

persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah.

Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat

bentuk siap simpleks, yaitu:


33

a. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan kurang dari atau sama

dengan (≤).

Untuk pengkonversian ini dapat digunakan contoh kendala

sebagai berikut. Seandainya pernyataan kendalanya adalah

6𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 ≤ 50 mengubah ketidaksamaan ini harus

ditambah dengan variabel pengetat sehingga kendala tersebut

menjadi 6𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑠1 = 50, dimana 𝑠1 > 0. Variabel

pengetat (𝑠1) merepresentasikan sumber daya yang

menganggur pada suatu fungsi kendala.

Variabel 𝑠4 tidak berpengaruh pada fungsi tujuan.

Koefisien dari 𝑠4 pada fungsi tujuan sama dengan nol. Dengan

kata lain, biaya untuk 50 unit dari sumber yang kurang atau

terbatas ini akan hilang. Setiap unit yang tersisa pun tidak akan

berpengaruh terhadap fungsi tujuan dengan apapun yang ada.

Namun bila hal ini tidak terjadi maka kendala dan fungsi

tujuannya harus dapat diformulasikan khusus untuk biaya dari

50 unit serta nilai dari setiap unit tidak terpakai

b. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan lebih dari atau sama

dengan (≥)

Untuk perubahan ini dapat digunakan contoh kendala

sebagai berikut. Seandainya pernyataan kendalanya adalah

4𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 ≥ 15 mengubah ketidaksamaan ini harus

ditambah dengan variabel semu sehingga kendala tersebut


34

menjadi 4𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 𝐸 = 15. Kita dapat menanggapi

bahwa 𝐸 sebagai jumlah yang melebihi 15 unit dan dalam hal

ini kendalanya dapat dikatakan mempengaruhi target atau

tujuan dari fungsi minimum pada fungsi tujuannya.

Mengenai hal ini variabel semu tidak mempunyai

informasi tambahan. Dapat juga dinyatakan bahwa

koefisiennya adalah nol sehingga tidak berpengaruh pada

fungsi tujuan. Setiap penambahan variabel semu pada fungsi

kendala dengan ketidaksamaan lebih besar atau sama dengan

(≥) tidak dapat langsung diselesaikan pada tabel simpleks

tetapi harus ditambah lagi dengan variabel artificial untuk

mendapatkan solusi optimal, sehingga kendala tersebut

menjadi 4𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 𝐸 + 𝐴 = 15.

Dengan demikian pada setiap persoalan program linear

dengan fungsi-fungsi kendala lebih besar atau sama dengan

(≥) akan selalu digunakan variabel semu dan juga variabel

artifisial untuk mendapatkan solusi yang optimal dari

perhitungan di dalam tabel simpleks.

c. Fungsi kendala dengan Persamaan (=).

Untuk menguraikan perubahan fungsi kendala persamaan

atau sama dengan dapat juga digunakan contoh fungsi kendala

3𝑥1 + 5𝑥2 + 4𝑥3 = 25. Untuk mengkonversi fungsi kendala

ini harus ditambahkan Artificial variable yang dinyatakan


35

dengan 3𝑥1 + 5𝑥2 + 4𝑥3 + 𝐴 = 25. Dengan begitu kita dapat

menganggap bahwa 𝐴 merupakan jumlah yang mengurangi

atau sama dengan 25 unit dari fungsi kendala. Artificial

variable ini secara fisik tidak mempunyai arti dan hanya

digunakan untuk kepentingan perhitungan saja.

Metode simpleks ini lebih efisien dan dilengkapi dengan

kolom ratio yang dapat memberitahukan bilamana perhitungan

harus dihentikan dan juga bilamana dilanjutkan hingga diperoleh

solusi yang optimal. Selanjutnya untuk proses pembentukan basis

tersebut dipergunakan tabel-tabel yang pertama akan memberikan

pemecahan basis daerah layak yang pertama sampai pada

pemecahan terakhir yang memberikan solusi yang optimal.

Penguraian kasus program linear dapat juga dinyatakan dengan

system persamaan kendala yang dibentuk melalui penambahan

variabel seperti variabel pengetat yang berguna bagi solusi basis.

Hal ini dapat juga ditunjukkan sebagai berikut.

Secara umum rumusan model yang standar untuk metode

simpleks dengan tabel berkolom variabel basis sebagai berikut.

memaksimumkan 𝒛 − 𝒄𝟏𝒙𝟏 − 𝒄𝟐𝒙𝟐 − 𝒄𝟑𝒙𝟑 − ⋯ − 𝒄𝒏𝒙𝒏 = 𝟎

dengan kendala: 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟏𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 ± 𝒔𝟏 = 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟐𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 ± 𝒔𝟐 = 𝒃𝟐 𝒂𝟑𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟑𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟑𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟑𝒏𝒙𝒏 ± 𝒔𝟑 = 𝒃𝟑

⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ 𝒂𝒎𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒎𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝒎𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏𝒙𝒏 ± 𝒔𝒏 = 𝒃𝒎


36

Bentuk tabelnya dapat disajikan sebagai berikut (Dumairy:2005:362).

Berikut keterangan tabel metode simpleks diatas:

1. Kolom Variabel Basis (VB)

Kolom ini berisi variabel-variabel basis atau disebut juga

dengan variabel-variabel tidak nol, yaitu variabel-variabel

yang nilainya ditunjukan oleh konstanta-konstanta yang

bersesuaian di kolom 𝑠. Pada solusi awal atau tabel pertama

kolom VB ini berisi semua variabel semu. Pada tahap-tahap

berikutnya veriabel-variabel yang termuat di kolom ini akan

berganti-ganti kecuali z yang ada dari solusi awal hingga solusi

akhir. Variabel-variabel lain yang tidak tercantum di kolom ini

dinamakan variabel-variabel basis atau variabel nol.

2. Kolom-kolom variabel

Kolom ini berisi koefisien-koefisien dari masing-masing

variabel dalam persamaan yang bersesuaian yaitu 𝑎𝑖𝑗 untuk

variabel-variabel asli 𝑥𝑗 dan 0 atau 1 untuk variabel-variabel

semu 𝑠𝑗 untuk tabel pertama.

VB 𝒙𝟏 𝒙𝟐 ⋯ 𝒙𝒏 𝒔𝟏 𝒔𝟐 ⋯ 𝒔𝒏 𝒔

𝒛 𝑐1 𝑐2 ⋯ 𝑐𝑛 0 0 ⋯ 0 0 Persamaan –𝒛

𝒔𝟏 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 1 0 ⋯ 0 𝑏1 Persamaan -𝒔𝟏

𝒔𝟐 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 0 1 ⋯ 0 𝑏2 Persamaan -𝒔𝟐

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝒔𝒏 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 0 0 ⋯ 1 𝑏𝑛 Persamaan -𝒔𝒏

Tabel 2.9 Tabel Metode Simpleks


37

3. Kolom 𝑠

Kolom 𝑠 (solusi) ini berisi nilai-nilai ruas kanan dari

persamaan-persamaan implisit yang terdapat di dalam model

baik persamaan fungsi tujuan maupun persamaan-persamaaan

fungsi kendala. Angka-angka yang tercantum di kolom 𝑆 ini

mencerminkan nilai z dan nilai-nilai variabel basis pada tahap

solusi yang bersangkutan.

Langkah-langkah pengerjaan program linear dengan metode

simpleks dengan tabel berkolom variabel basis adalah sebagai

berikut.

1. Membentuk masalah program linear menjadi bentuk

kanonik yaitu kendalanya harus berbentuk persamaan,

dengan menambahkan variabel pengetat, variabel semu

dan 𝑏𝑖 ≥ 0 sehingga memenuhi bentuk siap simpleks

program linear.

2. Bentuk tabel pertama dengan menetapkan semua variabel

semu sebagai variabel basis.

3. Tentukan satu variabel masuk (entering variable) di antara

variabel-variabel basis yang ada untuk dijadikan variabel

basis dalam tabel berikutnya. Menentukan kunci 1 yaitu:


38

Pada program POM-QM untuk kunci satu adalah sebagai

berikut.

4. Tentukan satu variabel keluar diantara variabel-variabel

basis yang ada untuk menjadi variabel basis dalam tabel

berikutnya. Menentukan kunci 2 yaitu:

(Kolom yang mengandung variabel masuk dinamakan

kolom kunci, sedangkan baris yang mengandung variabel

keluar dinamakan baris kunci. Unsur di dalam tabel yang

merupakan perpotongan antara baris kunci dan kolom

kunci dinamakan unsur kunci. Variabel masuk akan

menggantikan variabel keluar dalam tabel yang berisi

variabel basis berikutnya. Rasio solusi adalah hasil bagi

dari konstanta pada kolom 𝑠 dengan unsur sebaris pada

Variabel basis yang nilainya pada baris-𝒛

merupakan bilangan negatif terbesar.

Kunci 1.a.

Kasus

Maksimisasi


merupakan bilangan positif terbesar.

Kunci 1.b.

Kasus

Minimisasi

Variabel basis yang memiliki rasio solusi dengan

nilai positif terkecil.

Kunci 2


merupakan bilangan positif terbesar.

Kunci 1.a.

Kasus

Maksimisasi


merupakan bilangan negatif terbesar.

Kunci 1.b.

Kasus

Minimisasi


39

kolom kunci. Jika menentukan variabel keluar atau baris

kunci abaikan rasio solusi yang bernilai nol dan negatif

baik untuk kasus maksimisasi maupun minimisasi.)

5. Bentuk tabel berikutnya mensubtitusikan variabel masuk

ke variabel basis dan mengeluarkan variabel keluar dari

kolom variabel basis serta lakukan transformasi baris-baris

kolom termasuk baris-z.

(Transformasi baris kunci yang sekarang bervariabel basis

baru dilakukan sebagai berikut.

Sedangkan tranformasi baris-baris lainnya adalah:

6. Lakukan pengujian optimalisasi. Jika semua koefisien

variabel basis pada baris-z sudah tidak ada lagi yang

negatif untuk kasus maksimisasi atau sudah tidak ada lagi

yang positif untuk kasus minimisasi, berarti solusi sudah

optimal tidak perlu dibentuk tabel selanjutnya. Jika masih

berarti solusi belum optimal ulangi lagi langkah ke-3

sampai ke-6.

𝐛𝐚𝐫𝐢𝐬 𝐤𝐮𝐧𝐜𝐢 𝐛𝐚𝐫𝐮 = 𝐛𝐚𝐫𝐢𝐬 𝐤𝐮𝐧𝐜𝐢 𝐥𝐚𝐦𝐚

𝐮𝐧𝐬𝐮𝐫 𝐤𝐮𝐧𝐜𝐢 (𝐩𝐢𝐯𝐨𝐭)

𝐛𝐚𝐫𝐢𝐬 𝐛𝐚𝐫𝐮 = 𝐛𝐚𝐫𝐢𝐬 𝐥𝐚𝐦𝐚 −

(𝐮𝐧𝐬𝐮𝐫 𝐩𝐚𝐝𝐚 𝐤𝐨𝐥𝐨𝐦 𝐤𝐮𝐧𝐜𝐢𝐧𝐲𝐚 × 𝐛𝐚𝐫𝐢𝐬 𝐤𝐮𝐧𝐜𝐢 𝐛𝐚𝐫𝐮))


40

Contoh 2.7

Misal 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 (dalam unit) adalah banyak jenis

produk I, II, dan III yang akan diproduksi suatu

perusahaan dan akan memaksimumkan keuntungan 𝑧 =

8𝑥1 + 9𝑥2 + 4𝑥3 (dalam $)

dengan kendala 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 2, 2𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 ≤ 3,

7𝑥1 + 6𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 8, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

model standar dari masalah tersebut adalah

Memaksimumkan 𝑧 − 8𝑥1 − 9𝑥2 − 4𝑥3 = 0

dengan kendala 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑠1 = 2, 2𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 +

𝑠2 = 3, 7𝑥1 + 6𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑠3 = 8, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3 ≥ 0

Model yang sudah standar ini bisa langsung

diterjemahkan menjadi tabel pertama, dengan

menempatkan variabel-variabel semu (dalam hal ini

variabel pengetat) 𝑠1, 𝑠2 serta 𝑠3 sebagai variabel-variabel

basis.

Pada tahap ini 𝑥1 , 𝑥2 dan 𝑥3 merupakan variabel-

variabel basis, sebab tidak tercantum pada kolom VB.

Langkah kita yang berikut ini adalah menentukan variabel

VB 𝒛 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 𝒔

𝒛 1 -8 -9 -4 0 0 0 0 Persamaan -𝒛

𝒔𝟏 0 1 1 2 1 0 0 2 Persamaan -𝒔𝟏

𝒔𝟐 0 2 3 4 0 1 0 3 Persamaan -𝒔𝟐

𝒔𝟑 0 7 6 2 0 0 1 8 Persamaan -𝒔𝟑

Tabel 2.10.a. Simpleks Contoh 2.7


41

Masuk Paling negatif

Keluar unsur kunci

masuk dan variabel keluar agar dapat membentuk tabel

berikutnya. Dalam kasus maksimisasi ini variabel

masuknya adalah 𝑥3 karena nilainya pada baris z paling

negatif. Konsekuensinya, kolom 𝑥3 merupakan kolom

kunci. Dari sini bisa dihitung rasio solusi untuk masing-

masing variabel basis. Rasio solusi untuk 𝑠1 adalah 2

1=

2, untuk 𝑠2 adalah 3

3= 1, untuk 𝑠3 adalah

8

6= 1,333.

Karena rasio solusinya paling kecil maka 𝑠2 merupakan

variabel keluar dan konsekuensinya barisnya merupakan

baris kunci.

Karena telah ditentukannya baris kunci dan kolom

kunci maka unsur kunci bisa ditetapkan, sehingga,


𝒛 1 -8 -9 -4 0 0 0 0

𝒔𝟏 0 1 1 2 1 0 0 2 Rasio Solusi = 2

𝒔𝟐 0 2 3 4 0 1 0 3 Rasio Solusi = 1 (terkecil)

𝒔𝟑 0 7 6 2 0 0 1 8 Rasio Solusi = 1,333

Tabel 2.10.b. Simpleks Contoh 2.7

Transformasi baris kunci (𝑥2 menggantikan 𝑠2).

𝒙𝟐 0

3

2

3

3

3

4

3

0

3

1

3

0

3

3

3

𝒙𝟐 0 2

3 1

4

3 0

1

3 0 1


42

Transformasi nilai baris lainnya:

Baris-z

Baris -𝑠1

Baris -𝑠3


𝒛 1 -2 0 8 0 3 0 9

𝒔𝟏 0 1

3 0

2

3 2 −

1

3 0 1

Rasio Solusi = 3

𝒙𝟐 0 2

3 1

4

3 0

1

3 0 1

Rasio Solusi = 3

2

𝒔𝟑 0 3 0 -6 0 -2 1 2 Rasio Solusi = 2

3 (terkecil)

Tabel 2.11 Iterasi 1

karena nilai baris z dibawah variabel 𝑥1 masih negatif,

maka tabel belum optimal. Lanjutkan ke Iterasi-2, yaitu:

Transformasi baris kunci (𝑥1 menggantikan 𝑠3).

1 -8 -9 -4 0 0 0 0

-9 (0 2

3 1

4

3 0

1

3 0

1

1) −

1 -2 0 8 0 3 0 9

0 1 1 2 1 0 0 2

1 (0 2

3 1

4

3 0

1

3 0

1

1) −

0 1

3 0

2

3 2 −

1

3 0 1

0 7 6 2 0 0 1 8

6 (0 2

3 1

4

3 0

1

3 0

1

1) −

0 3 0 -6 0 -2 1 2


43

Transformasi nilai baris lainnya:

Baris-z

1 -2 0 8 0 3 0 9

-2 (0 1 0 -2 0 −2

3

1

3

2

3) −

0 0 0 4 0 5

3

2

3

31

3

Baris -𝑠1

0 1 1 2 1 0 0 2

1 (0 1 0 -2 0 −2

3

1

3

2

3) −

0 0 0 4

3 1 −

1

9 −

1

9

7

9

Baris -𝑥2

Tabel 2.12 Iterasi 2

𝑥1 0

3

3

3

0

3 −

6

3

0

3 −

2

3

1

3

2

3

𝑥1 0 1 0 -2 0 −2

3

1

3

2

3

0 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1

1 (0 1 0 -2 0 −

2

3

1

3

2

3) −

0 0 1 8

3 0

7

9 −

2

9

5

9


𝒛 1 0 0 4 0 5

3

2

3

31

3

𝒔𝟏 0 0 0 4

3 1 −

1

9 −

1

9

7

9

𝒙𝟐 0 0 1 8

3 0

7

9 −

2

9

5

9

𝑥1 0 1 0 -2 0 −2

3

1

3

2

3


44

Tabel sudah optimal, karena variabel-variabel pada baris-z

sudah tidak ada lagi yang negatif, sehingga perhitungan

iterasi di hentikan.

Dari data diatas dapat diambil suatu kesimpulan yang

dihasilkan pada solusi tahap terakhir dapat dibaca

langsung dari tabel optimal. Baris-baris yang bersesuaian

pada kolom VB dan kolom s menunjukan z = 31

3, 𝑠1=

7

3,

𝑥2 = 5

9 dan 𝑥1 =

2

3 Berarti untuk mendapatkan

keuntungan yang maksimum sebesar $ 31

3, maka

perusahaan harus menghasilkan produk 𝑥1 sebesar 2

3 unit

dan produk 𝑥2 sebesar 5

9 unit.

Variabel semua yang tidak tercantum di kolom VB

dalam tabel optimal mengandung arti bahwa semua

kendala yang diwakilinya merupakan sumberdaya habis

terpakai. Dalam hal ini kendala 2𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 ≤ 3 dan

7𝑥1 + 6𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 8 merupakan sumberdaya habis

terpakai, melihat 𝑠2 dan 𝑆3 tidak tercantum pada kolom

VB. Sedangkan variabel semu yang tercantum di kolom

VB mengandung arti bahwa kendala yang diwakilinya

merupakan sumberdaya berlebih. Dalam hal ini


45

sumberdaya berlebih adalah kendala 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 2,

melihat 𝑠1 tercantum di kolom VB.

C. Penggunaan POM-QM

POM-QM adalah perangat lunak yang biasa digunakan pada bidang

manajemen operasional, metode kuantitatif atau riset operasi POM-QM

dirancang untuk membantu dalam mempelajari dan memahami

permasalahan pada bidang operasional. Perangkat ini dapat digunakan baik

untuk memecahkan masalah atau untuk memeriksa jawaban yang telah

diselesaikan secara manual. POM-QM berisi sejumlah model dan sebagian

besar masalah yang ada pada bidang operasional.

POM-QM memiliki banyak fitur-fitur di dalamnya dan memiliki

kegunaaan masing-masing fitur. Secara lebih dalam dapat dijelaskan

sebagai berikut.

(Penggunaan POM-QM untuk contoh 2.7)

1. Linear Programs

Nilai optimal untuk variabel. Dibawah setiap kolom nilai-nilai

optimal untuk variabel akan ditampilkan. Dalam contoh ini 𝑥1 harus

0.6667, 𝑥2 harus 0.5556 dan 𝑥3 harus 0.

Biaya yang optimal atau keuntungan. Dibawah kanan pojok meja

keuntungan maksimum atau biaya minimum akan ditampilkan. Dalam

contoh ini keuntungan maksimum adalah $ 10.3333.

Harga bayangan atau dual harga muncul disebelah kanan setiap

kendala. Dalam contoh ini keuntungan akan meningkat sebesar 0


46

untuk satu unit lagi sumber daya 1, 1.6667 untuk satu unit lagi

sumber daya 2 dan 0.6667 untuk satu unit lagi sumber daya 3

2. Ranging

Selain daftar nilai-nilai, informasi tambahan tentang variabel juga

disediakan pada aplikasi ini. Dalam contoh ini dapat dilihat biaya

yang berkurang, koefisien nilai objektif asli, batas atas dan batas

bawah dimana solusi akan sama. Variabel akan mengambil nila-nilai

yang sama dari 0.6667, 0.5556 dan 0, hanya nilai fungsi tujuan akan

berubah.

Gambar 2.9 Linear Programs Result Contoh 2.7

Gambar 2.10 Ranging contoh 2.7


47

3. Solution list

Tabel ini untuk menampilkan penyelesaian soal yang disajikan dalam

daftar.

4. Iterasi

Tebel ini untuk menampilkan proses penyelesaian masalah pada

contoh 2.7

Gambar 2.11 Solution List contoh 2.7

Gambar 2.12 Iteration

Contoh 2.7


48

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

A. Jenis penelitian

Penelitian yang dilakukan menggunakan jenis penelitian studi kasus.

Penelitian ini bertujuan untuk membantu perusahaan mencari penyelesaian

dalam memaksimumkan keuntungan produksi bakpia dengan menggunakan

kajian teoritis. Khususnya mencari kuantitas masing-masing produk

berdasarkan solusi program linear yang diperoleh untuk menghasilkan

keuntungan yang maksimal.

Penelitian ini menggunakan metode deskriptif kualitatif dan kuantitatif

karena data yang diperoleh adalah data dalam bentuk angka. Penulis akan

mendeskripsikan semua kejadian dan menginterpretasikan data bentuk

uraian kuantitatif.Data yang telah didapat dari penelitian ini dimodelkan

menggunakan program linear selanjutnya akan dilihat macam-macam bahan

baku pembuatan produk serta takaran yang ditentukan dan dianalisa secara

kuantitatif menggunakan POM-QM.

B. Tempat dan Waktu Penelitian

1. Tempat penelitian

Penelitian dilakukan pada perusahaan Bakpia 29 Yogyakarta, yang

beralokasi di jln. Let. Jen. Suprapto, Notoyudan GT2/1199.RT81/RW23

Yogyakarta.

2. Waktu penelitian


49

Pengambilan data ini dilaksanakan pada bulan April 2014, dengan

waktu observasi 20 April 2014 dan pengambilan data 29 April 2014 di

perusahaan bakpia 29.

C. Subjek Dan Objek Penelitian

1. Subjek penelitian

a. Bagian pembelian

Pada bagian ini peneliti ingin mengetahui informasi mengenai bahan

baku yang akan digunakan untuk produksi.

b. Bagian administrasi

Pada bagian ini peneliti ingin mengetahui tentang biaya produk yang

dikeluarkan oleh perusahaan.

c. Bagian produksi

Pada bagian ini peneliti ingin mengetahui tentang proses pengolahan

baik pencampuran produk maupun komposisi produk serta volume

produk.

d. Bagian penjualan

Pada bagian ini peneliti ingin mengetahui harga jual produksi dan

volume penjualan.

2. Objek penelitian

Objek dalam penelitian ini adalah proses produksi bakpia pada

perusahaan bakpia 29 yang meliputi banyaknya bakpia dalam satuan

kotak yang akan diproduksi dalam sehari, bahan baku yang akan


50

digunakan, takaran bahan baku dalam setiap jenis bakpia dan jumlah

transportasi yang digunakan serta banyaknya pegawai dalam sehari.

D. Variabel penelitian

Variabel penelitian menurut Sugiyono(2006:60) pada dasarnya adalah

segala sesuatu yang berbentuk apa saja yang ditetapkan oleh peneliti untuk

dipelajari sehingga diperoleh informasi tentang hal tersebut, kemudian

ditarik kesimpulannya.

Variabel yang digunakan dalam penelitian ini ada dua macam, yaitu:

1. Variabel bebas

Variabel bebas dalam penelitian ini adalah menyelesaikan masalah

tersebut menggunakan metode simpleks dengan alat bantu program

komputer POM-QM.

2. Variabel terikat

Variabel terikat dalam penelitian ini adalah keuntungan produksi bakpia.

E. Teknik Pengumpulan Data

Teknik pengumpulan data merupakan teknik atau cara yang dilakukan untuk

mengumpulkan data. Pada penelitian ini proses pengumpulan data

dilakukan dengan observasi, wawancara dan dokumentasi.

1. Observasi

Proses observasi dalam penelitian ini dilakukan dengan mengamati

kegiatan produksi secara langsung. Tujuan dari kegiatan observasi ini

adalah untuk mengetahui secara langsung bahan baku apa saja yang

digunakan dalam pembuatan bakpia, mengamati proses produksi untuk


51

menghasilkan bakpia, dan jumlah peroduk yang dihasilkan dari proses

produksi.

2. Wawancara

Proses wawancara dilakukan kepada pimpinan produksi selaku

pemilik bakpia 29. Tujuan dari wawancara tersebut adalah untuk

mengetahui kendala-kendala yang dihadapi oleh bakpia 29 terkait

dengan masalah produksi, bagaimana proses produksi yang dijalankan,

berapa harga bahan baku dipakai, jenis bahan baku yang digunakan,

berapa harga jual produk yang ditawarkan serta berapa jumlah produksi

yang dihasilkan.

3. Dokumentasi

Dokumentasi adalah teknik pengumpulan data dengan cara

mengambil foto pada saat produksi berlangsung. Teknik ini digunakan

untuk memperkuat data yang disampaikan secara langsung melalui

wawancara maupun observasi.

F. Teknik Analisis Data

Data yang telah terkumpul tanpa dianalisis menjadi tidak bermakna.

Oleh karena itu analisis data ini untuk memberi arti, makna dan nilai yang

terkandung dalam data. Data yang akan dianalisis adalah menentukan

keuntungan dari jumlah produksi bakpia dalam sekali produksi. Untuk

mengetahui jumlah produk yang optimal pada satu hari produksi adalah

dengan menghitung komposisi produk optimal dengan menggunakan

aplikasi POM-QM untuk produksi bakpia sekali produksi. Data yang diolah


52

dengan POM-QM terlebih dahulu disusun dalam model yang sudah siap

simpleks dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Mengidentifikasikan informasi dari data penelitian yaitu mana yang

akan menjadi variabel keputusan, fungsi tujuan dari data yang didapat

dan fungsi kendala.

2. Fungsi tujuan dan kendala disusun dalam matematika yaitu:

𝑧 𝑚𝑎𝑘𝑠 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛

Dengan kendala :

𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟏𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 ± 𝒔𝟏 = 𝒃𝟏

𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟐𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 ± 𝒔𝟐 = 𝒃𝟐

𝒂𝟑𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟑𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟑𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟑𝒏𝒙𝒏 ± 𝒔𝟑 = 𝒃𝟑

⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮

𝒂𝒎𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒎𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝒎𝟑𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏𝒙𝒏 ± 𝒔𝒏 = 𝒃𝒎

Setelah semua data yang diperoleh dari mengikuti langkah-

langkah tersebut maka langkah selanjutnya adalah mengubah data

menjadi siap simpleks dengan menggunakan aplikasi POM-QM.

3. Berdasarkan hasil pengolahan data dari POM-QM, interpretasi

dilakukan untuk menjawab persoalan sebenarnya dari masalah yang

dihadapi yaitu:

𝑥1 = Banyaknya bakpia jenis kacang hijau dalam satuan kotak yang

akan diproduksi

𝑥2 = Banyaknya bakpia jenis keju dalam satuan kotak yang akan

diproduksi.

𝑥3 = Banyaknya bakpia jenis durian dalam satuan kotak yang akan

diproduksi.


53

𝑥4 = Banyaknya bakpia jenis cokelat dalam satuan kotak yang akan

diproduksi.

𝑥5 = Banyaknya bakpia jenis stroberi dalam satuan kotak yang akan

diproduksi.


54

BAB IV

PEMBAHASAN

A. Profil Perusahaan

Perusahaan Bakpia 29 merupakan perusahaan kecil menengah yang

bergerak dibidang produksi makanan yang berlokasi di Jln. Let. Jen.

Suprapto, Notoyudan GT2/1199. RT81/RW23 Yogyakarta. Perusahaan

bakpia mulai merintis bisnisnya pertama kali pada bulan September 1990

dan hingga saat ini perusahaan ini masih berproduksi dengan baik. Produk

makanan yang telah diproduksi adalah bakpia dengan berbagai jenis rasa,

antara lain adalah bakpia kacang hijau, bakpia keju, bakpia durian, bakpia

stroberi, dan bakpia jenis cokelat.

Bakpia 29 selalu berusaha untuk menghadirkan produk pangan yang

dapat diterima oleh seluruh lapisan masyarakat dengan tetap menjaga

konsistensi mutu produk sampai di tangan konsumen. Kualitas produk yang

terjamin, keamanan mutu produk dan kepuasan konsumen menjadi prioritas

Bakpia 29 sebagai produsen makanan.

B. Data penelitian

Bakpia 29 ini memproduksi lima macam jenis bakpia yaitu jenis kacang

hijau, jenis keju, jenis durian, jenis stroberi, dan jenis cokelat. Bahan baku

yang gunakan dalam proses produksi adalah tepung terigu, gula, minyak

goreng, margarin, kacang hijau, air hangat dan perisa untuk aneka rasa. Data

diambil pada tanggal 17, 23 April 2014 dan 11 Agustus 2015. Setiap kotak


55

di jual dengan harga Rp.15000,-. Penyediaan bahan baku untuk produksi

dalam dalam satu hari sebagai berikut.

Tabel 4.1 Persediaan Bahan Baku Dalam Satu Hari

Bahan baku

Takaran bahan

baku dalam satuan

Kilogram (kg) dan

Liter (lt)

Harga bahan

baku dalam

rupiah (𝑹𝒑)

Kacang hijau 10 kg 275000

Gula pasir 10 kg 120000

Minyak goreng 6 lt 69000

Tepung terigu 28 kg 170000

Air hangat 2 lt -

Perisa rasa cokelat 0,5 kg 5000

Perisa rasa durian 0,5 kg 5000

Perisa rasa stroberi 0,5 kg 5000

Perisa rasa keju 0,5 kg 5000

Margarin 3 kg 33000

Tabung gas 6kg 40000

Perusahaan akan menghitung keuntungan tiap hari berdasarkan harga

bahan baku, harga bensin, harga gas yang digunakan, harga kardus yang

digunakan dan gaji pegawai. Penggunaan kardus mengikuti banyaknya

produksi bakpia, persediaan kardus juga tidak terbatas. Hal ini berpengaruh

terhadap harga jual bakpia setiap satu kotak. Takaran bahan baku untuk

setiap jenis produksinya adalah sebagai berikut.

a. Untuk pembuatan bakpia kacang hijau dalam satu kotak

membutuhkan 111gram kacang hijau, 2,2gram gula pasir, 0,0013lt

minyak goreng, 0.17kg tepung terigu, 0,004lt air hangat, dan 6,6gram

margarin, kardus 1 kotak.


56

b. Untuk pembuatan bakpia keju dalam satu kotak membutuhkan

500gram tepung terigu, 75gram margarin, 0,05lt air hangat, 250gram

gula pasir dan 0,15lt minyak goring, kardus 1 kotak.

c. Untuk pembuatan bakpia durian dalam satu kotak membutuhkan



d. Untuk pembuatan bakpia cokelat dalam satu kotak membutuhkan



e. Untuk pembuatan bakpia stroberi dalam satu kotak membutuhkan



C. Pemodelan Program Linear Produksi Bakpia

Berdasarkan data yang telah didapat, dapat kita modelkan permasalah

tersebut menjadi model matematika dalam hal ini adalah program linear

sebagai berikut.

a. Variabel keputusan

Variabel keputusan masalah program linear ini adalah:

𝑥1 = Banyaknya bakpia jenis kacang hijau dalam satuan kotak yang

akan diproduksi

𝑥2 = Banyaknya bakpia jenis keju dalam satuan kotak yang akan

diproduksi.


57

𝑥3 = Banyaknya bakpia jenis durian dalam satuan kotak yang akan

diproduksi.

𝑥4 = Banyaknya bakpia jenis cokelat dalam satuan kotak yang akan

diproduksi.

𝑥5 = Banyaknya bakpia jenis stroberi dalam satuan kotak yang akan

diproduksi.

b. Fungsi tujuan

Fungsi tujuan dari masalah program linear ini adalah untuk

memaksimumkan keuntungan. Karena harga jual setiap kotak adalah

sama untuk semua jenis rasa yaitu Rp. 15000 harus dikurang dengan

biaya yang dapat mempengaruhi harga jual bakpia setiap kotak yaitu

harga kardus untuk setiap rasa bakpia dalam satu kotak yaitu Rp. 750

dan harga bahan baku, selanjutnya dikurang dengan harga gas sebesar

Rp. 40000, biaya gaji karyawan dan harga bensin, sehingga

𝑍 = 15000𝑥1 + 15000𝑥2 + 15000𝑥3 + 15000𝑥4 + 15000𝑥5

− (750𝑥1 + 750𝑥2 + 750𝑥3 + 750𝑥4 + 750𝑥5)

− (4323𝑥1 + 9073𝑥2 + 9073𝑥3 + 9073𝑥4 + 9073𝑥5)

− 40000 − 114.000 − 30.000

fungsi tujuannya adalah

𝑍 = 9927𝑥1 + 5177𝑥2 + 5177𝑥3 + 5177𝑥4 + 5177𝑥5

−184000 (4.1)

dengan kendala non negatif adalah 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 ≥ 0. Fungsi tujuan

dalam data ini diperoleh dari keuntungan dari penjualan semua jenis


58

bakpia per kotak dikurangi oleh total biaya transportasi dan total gaji

karyawan yang dikeluarkan oleh perusahaan.

c. Fungsi kendala

Data di atas bisa kita buat ikhtisarnya dalam bentuk tabel informasi

persoalan untuk perusahaan bakpia seperti diperlihatkan oleh Tabel 4.1

Tabel tersebut memperlihatkan takaran yang diperlukan tiap kotak

bakpia dari masing-masing bahan baku yang digunakan,

memperlihatkan keterbatasan bahan baku tiap harinya dan banyaknya

transportasi yang digunakan serta besarnya gaji karyawan. Tabel ini

juga memperlihatkan kendala dari proses produksi untuk pembuatan

bakpia 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑑𝑎𝑛 𝑥5

Tabel 4.2 Informasi persoalan pembuatan bakpia 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑,𝒙𝟒 dan 𝒙𝟓 bagi perusahaaan Bakpia 29.

No Bahan

baku

Takaran bahan baku yang diperlukan

untuk tiap satu kotak bakpia beserta

banyaknya transportasi yang digunakan

dan banyaknya pegawai

Banyaknya

Bahan baku

dalam ukuran

desigram 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5

1 Tepung

terigu 1700 5000 5000 5000 5000 280000

2 Gula pasir 22 2500 2500 2500 2500 100000

3 Minyak

goreng 120 1380 1380 1380 1380 55200

4 Margarin 66 750 750 750 750 30000

5 Kacang

hijau 1110 0 0 0 0 100000

6 Keju 0 625 0 0 0 5000

7 Durian 0 0 625 0 0 5000

8 Cokelat 0 0 0 625 0 5000

9 Stroberi 0 0 0 0 625 5000

10 Air hangat 40 500 500 500 500 20000


59

Tabel 4.3 Harga Bahan Baku Setiap Jenis Bakpia

Berdasarkan Tabel 4.2 maka fungsi kendala dapat dituliskan sebagai

berikut.

Berdasarkan Tabel 4.2 maka fungsi kendala dapat dituliskan sebagai

berikut.

kendala 1: 13000𝑥1 + 5000𝑥2 + 5000𝑥3 + 5000𝑥4 + 5000𝑥5 ≤

280000

kendala 2: 22𝑥1 + 2500𝑥2 + 2500𝑥3 + 2500𝑥4 + 2500𝑥5 ≤ 100000

kendala 3:120𝑥1 + 1380𝑥2 + 1380𝑥3 + 1380𝑥4 + 1380𝑥5 ≤ 55200

kendala 4:66𝑥1 + 750𝑥2 + 750𝑥3 + 750𝑥4 + 750𝑥5 ≤ 30000

kendala 5:1110𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 ≤ 100000

kendala 6:0𝑥1 + 625𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 ≤ 5000

kendala 7:0𝑥1 + 0𝑥2 + 625𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 ≤ 5000

No Bahan

Baku/KG

Harga/

KG

Takaran bahan baku setiap jenis bakpia Harga Total

𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5

1 Tepung

terigu 6071 0,17 0,5 0,5 0,5 0,5

1032𝑥1 + 3036𝑥2 +

3036𝑥3 +3036𝑥4 +3036𝑥5

2 Gula

pasir 12000 0,0022 0,25 0,25 0,25 0,25

27𝑥1 + 3000𝑥2 + 3000𝑥3 +

3000𝑥4 + 3000𝑥5

3 Minyak

goreng 11500 0,012 0,138 0,138 0,138 0,138

138𝑥1 + 1587𝑥2 + 1587𝑥3 +

1587𝑥4 + 1587𝑥5

4 Margarin 11000 0,0066 0,0750 0,0750 0,0750 0,0750 73𝑥1 + 825𝑥2 + 825𝑥3 + 825𝑥4 +

825𝑥5

5 Kacang

hijau 27500 0,111 0 0 0 0 3053𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5

6 Keju 10000 0 0,0625 0 0 0 0𝑥1 + 625𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5

7 Durian 10000 0 0 0,0625 0 0 0𝑥1 + 0𝑥2 + 625𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5

8 Cokelat 10000 0 0 0 0,0625 0 0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 625𝑥4 + 0𝑥5

9 Stroberi 10000 0 0 0 0 0,0625 0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 + 625𝑥5

10 Air

hangat - 0,004 0,05 0,05 0,05 0,05 -

Total 4323𝑥1 + 9073𝑥2 + 9073𝑥3 +

9073𝑥4 + 9073𝑥5


60

kendala 8:0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 625𝑥4 + 0𝑥5 ≤ 5000

kendala 9:0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 + 625𝑥5 ≤ 5000

kendala 10:40𝑥1 + 500𝑥2 + 500𝑥3 + 500𝑥4 + 500𝑥5 ≤ 20000

dengan kendala non negativitasnya adalah 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 ≥ 0

d. Asumsi

1. Bakpia yang diproduksi diasumsikan terjual habis.

2. Banyaknya bakpia yang diproduksi mengikuti bilangan bulat

positif.

3. Banyaknya bakpia terisi penuh.

e. Model matematika secara lengkap dari masalah produksi bakpia 29.

Secara lengkap masalah tersebut dapat dituliskan sebagai program

linear

Memaksimumkan 𝑍 = 9927𝑥1 + 5177𝑥2 + 5177𝑥3 + 5177𝑥4 +

5177𝑥5 − 184000 (4.1)

dengan kendala

13000𝑥1 + 5000 𝑥2 + 5000 𝑥3 + 5000 𝑥4 + 5000𝑥5 ≤ 280000,

2200𝑥1 + 2500𝑥2 + 2500𝑥3 + 2500 𝑥4 + 2500𝑥5 ≤ 100000,

120𝑥1 + 1380𝑥2 + 1380𝑥3 + 1380𝑥4 + 1380𝑥5 ≤ 55200

1100𝑥1 + 0 𝑥2 + 0 𝑥3 + 0 𝑥4 + 0 𝑥5 ≤ 100000,

0𝑥1 + 625 𝑥2 + 0 𝑥3 + 0 𝑥4 + 0 𝑥5 ≤ 5000,

0𝑥1 + 0 𝑥2 + 625 𝑥3 + 0 𝑥4 + 0 𝑥5 ≤ 5000,

0𝑥1 + 0 𝑥2 + 0 𝑥3 + 625 𝑥4 + 0 𝑥5 ≤ 5000,

0𝑥1 + 0 𝑥2 + 0 𝑥3 + 0 𝑥4 + 625𝑥5 ≤ 5000,


61

40𝑥1 + 500 𝑥2 + 500𝑥3 + 500 𝑥4 + 500 𝑥5 ≤ 20000,

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 ≥ 0.

D. Penyelesaian Program Linear Produksi Bakpia Menggunakan POM-

QM.

Program POM-QM adalah sebuah program komputer yang digunakan

untuk memecahkan masalah kehidupan sehari-hari dalam bidang produksi

yang bersifat kuantitatif. Data pada tabel 4.2 dapat kita buat penyelesaian

program linear dengan menggunakan POM-QM. Langkah-langkah dalam

menggunakan POM-QM menurut Weiss, Howard J. (2005) adalah:

a. Menjalankan POM-QM.

Klik dua kali simbol jalan pintas POM-QM di layar utama komputer.

b. Pilih satuan pengukur yang akan digunakan

Satuan pengukur yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ini

adalah Program linear. Satuan pengukur ini digunakan untuk

memecahkan masalah program linear. Satuan pengukur ini terletak di

barisan paling atas POM-QM

Gambar 4.1 Satuan Pengukur Program Linear


62

Sebelum memasukkan masalah ke dalam POM-QM, data harus di

formulasikan ke dalam bentuk umum program linear yang diberikan

oleh tabel (4.2) kemudian dimasukkan pada program POM-QM dengan

langkah-langkah sebagai berikut.

1. Klik file, pilih new maka akan muncul tampilan berikut.

2. Lengkapi data dan ini kotak tersebut dengan data yang ada.

Title : Adalah judul permasalahan

(ketik: Keuntungan perusahaan Bakpia

29)

Number of constraint : Banyaknya fungsi kendala yang ada

pada masalah.

(pada data tabel (4.2) ada 10 kendala)

Number of variabel : Banyaknya variabel yang ada pada

masalah

Gambar 4.2 Create Data Set For Linear Programs


63

(pada data tabel (4.2) ada 5 variabel,

yaitu 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑑𝑎𝑛 𝑥5

Row name option : Nama batasan yang diinginkan

(pada diatas yaitu bahan baku)

3. Apabila sudah terisi semua dengan benar klik OK. Maka akan

muncul tampilan isian. Isi kolom dengan fungsi tujuan dan

kapasitas maksimum batasan pada kolom RHS (Right Hand

Side). Setelah di isi semua maka tampilannya seperti berikut.

4. Klik Solve untuk melihat solusinya.

Perhatikan ada empat hasil proses yaitu Linear Programs

result, ranging, solution list, iteration, dan dual. Apabila kita

Gambar 4.3 Data dalam Tabel POM-QM


64

menginginkan keempat hasil tampil semua dapat dilakukan

dengan cara klik window POM-QM data tabel pilih tile. Maka

tampilannya masing-masing seperti berikut.

Pada Linear Programs result dapat kita lihat bahwa Bakpia 29 akan

memperoleh keuntungan maksimal jika memproduksi 90 kotak bakpia jenis

kacang hijau, 8 kotak bakpia jenis keju, 8 kotak bakpia jenis durian, 8 kotak

bakpia jenis cokelat dan 1 kotak bakpia jenis stroberi dengan keuntungan

𝑅𝑝. 1.025.662, −, setelah dikurang biaya gas sebesar 𝑅𝑝. 40.000, gaji karyawan

untuk tiga orang sebesar 𝑅𝑝. 114.000, dan harga bensin untuk dua kendaraan

sebesar 𝑅𝑝. 30.000 maka total keuntungannya sebesar 𝑅𝑝. 841.662, −

Gambar 4.4 Linear Programs result


65

Reduced cost adalah besarnya perubahan nilai optimal fungsi tujuan jika

produk yang mestinya tidak diproduksi tetap diproduksi. Apabila suatu produk

memiliki nilai reduced cost yang lebih besar dari nol maka kegiatan atau produk

tersebut tidak menguntungkan. Namun jika nilai reduced cost sama dengan nol

berarti bahwa produk tersebut menguntungkan untuk diroduksi.

Pada ranging terlihat nilai reduced cost untuk variabel 𝑥1 (Banyaknya

bakpia jenis kacang hijau dalam satuan kotak yang akan diproduksi),

𝑥2 (Banyaknya bakpia jenis keju dalam satuan kotak yang akan

diproduksi), 𝑥3 (Banyaknya bakpia jenis durian dalam satuan kotak yang akan

diproduks), 𝑥4 (Banyaknya bakpia jenis cokelat dalam satuan kotak yang akan

diproduksi), 𝑥5 (Banyaknya bakpia jenis stroberi dalam satuan kotak yang akan

diproduksi) adalah 0 artinya adalah nilai biaya yang dikurangkan adalah nol hal

Gambar 4.5 Ranging


66

ini menunjukan bahwa penggunaan ketujuh variabel tersebut sudah optimal dan

jenis bakpia tersebut menguntungkan untuk diproduksi.

Analisis dual dilakukan untuk mengetahui penilaian terhadap bahan baku

yang ada dan menilai keputusan proses produksi dengan melihat pengetat dan

nilai dualnya. Nilai dual merupakan perubahan yang akan terjadi pada fungsi

tujuan apabila bahan baku berubah sebesar satu satuan.

Apabila nilai pengetat lebih besar dari nol dan nilai dualnya sama dengan

nol maka bahan baku tersebut dikategorikan sebagai bahan baku yang sifatnya

berlebih atau tidak menjadi kendala. Bahan baku tersebut termasuk dalam kendala

yaitu kendala yang tidak habis dipakai dalam proses produksi serta tidak

mempengaruhi fungsi tujuan jika terjadi penambahan sebesar satu satuan. Apabila

nilai pengetat dan nilai dualnya sama dengan nol maka artinya penambahan atau

pengurangan bahan baku tidak akan berpengaruh terhadap solusi optimalnya.

Pada tabel ranging terlihat original value untuk masing-masing batasan

(Tepung terigu, Gula pasir, Minyak goreng, Margarin, Kacang hijau, Keju,

Durian, cokelat, Stroberi, Air hangat, bensin dan pegawai) adalah sebesar

280000, 100000,55200, 30000, 100000, 5000, 5000, 5000, 5000, 20000. Origi

nal value menunjukan ketersediaan bahan baku pada perusahaan bakpia 29. Dari

penggunaan data yang sudah optimal adalah penggunaan tepung terigu, gula pasir,

keju, durian, cokelat, bensin dan pegawai ditandai dengan nilai pengetat mencapai

nol. Ketika nilai pengetat sama dengan nol artinya tepung terigu,kacang hijau,

keju, durian, cokelat pada solusi optimal habis terpakai.


67

Penggunaan bahan baku gula pasir masih belum optimal karena persediaan

maksimum sebesar 100000 desigram dan memiliki sisa sebesar 34594,59

desigram, dalam produksi ini yang digunakan hanya sebesar 65405,41 desigram.

Penggunaan minyak goreng masih belum optimal karena persediaan maksimum

sebesar 55200 desigram dan memiliki sisa sebesar 9379,461 desigram, dalam

produksi ini yang digunakan hanya sebesar 45820,54 desigram. Penggunaan

bahan baku margarin masih belum optimal karena persediaan maksimum sebesar

30000 desigram dan memiliki sisa sebesar 5027,027 desigram, dalam produksi

ini yang digunakan hanya sebesar 24972,97 desigram. Penggunaan bahan baku

stroberi masih belum optimal karena persediaan maksimum sebesar 5000

desigram dan memiliki sisa sebesar 4144,144 desigram, dalam produksi ini yang

digunakan hanya sebesar 855,856 desigram. Penggunaan bahan baku air hangat

masih belum optimal karena persediaan maksimum sebesar 20000 desigram dan

memiliki sisa sebesar 3711,711 desigram, dalam produksi ini yang digunakan

hanya sebesar 16288,29 desigram.

Nilai lower bound dan upper bound digunakan untuk melakukan analisis

sensitivitas. Batas bawah (lower bound) memperlihatkan besarnya nilai penurunan

ketersediaan bahan baku yang tidak mengubah solusi optimum awal. Batas atas

(upper bound) memperlihatkan nilai peningkatan yang tidak akan mengubah

solusi optimum awal. Pada fungsi kendala analisis sensitivitas dapat menilai ruas

sebelah kanan kendala yang digunakan untuk menentukan status kendala

pembatas dan bukan pembatas pada optimalisasi produksi.


68

Kendala dikatakan pembatas apabila terdapat nilai batas penurunan dan

peningkatan sebesar nilai tertentu, sedangkan kendala dikatakan bukan pembatas

apabila tidak terdapat nilai sebesar tertentu pada nilai batas penurunan dan

peningkatan. Kendala bukan pembatas biasanya ditunjukan oleh adanya nilai tak

terhingga (infinity) pada nilai batas bawah dan nilai batas atas. Hal ini

menunjukan selang perubahan peningkatan dan penurunan mencapai tak

terhingga. Artinya berapapun peningkatan dan penurunan nilai sebelah kanan

kendala tersebut tidak akan mempengaruhi solusi optimal.

Pada tabel ranging terlihat batas bawah dan batas atas koefisien fungsi

tujuan untuk variabel 𝑥1 adalah 4726,68 sampai tak hingga dan 𝑥2, 𝑥3 , 𝑥4 adalah

13902 sampai tak hingga, 𝑥5 adalah dari 0,001 sampai 13902. Berdasarkan nilai

tersebut berarti nilai koefisien bisa diubah sesuai dengan batas atas dan batas

bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai koefisien, fungsi ini tidak akan

merubah nilai optimalnya.

Batas bawah dan batas atas koefisien fungsi tujuan untuk kendala tepung

terigu adalah 273153.2 sampai 313153.2 dan gula pasir adalah 65405.41 sampai

tak terhingga, sedangkan untuk minyak goreng adalah 45820,54 sampai tak

terhingga, margarin adalah 24972.97 sampai tak terhingga, kacang hijau adalah

78352.94 sampai 104470.6, keju adalah 855.856 sampai 5855.856, durian adalah

855.856 sampai 5855.856, cokelat adalah 855.856 sampai 5855.856, stroberi

adalah 855.856 sampai tak terhingga, air hangat adalah 16288,29 sampai tak

terhingga. Berdasarkan nilai tersebut berarti nilai koefisien bisa diubah sesuai


69

dengan batas atas dan batas bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai

koefisien, fungsi ini tidak akan merubah nilai optimalnya.

Status dasar pada variabel keputusan menunjukan bahwa variabel tersebut

merupakan bagian dari solusi optimal dan harus diproduksi sebesar nilai value.

Status bukan dasar pada variabel keputusan menunjukan bahwa variabel tersebut

bukan bagian dari solusi optimal karena kolom value bernilai nol. Status dasar

pada variabel pengetat menunjukan bahwa suatu bahan baku bukan merupakan

pembatas dan masih sisa sebesar nilai pada kolom value. Status bukan dasar pada

variabel pengetat menunjukan bahwa suatu bahan baku merupakan pembatas

karena kolom value adalah nol.

Gambar 4.6 Solution list


70

Pada tabel solution list menjelaskan bahwa kolom variabel memuat

variabel keputusan dari suatu model, dalam penelitian yang dilakukan terdapat 5

jenis produksi bakpia. Variabel pengetat menunjukan status dari suatu kendala.

Variabel pengetat 1 merupakan kendala bahan baku untuk tepung terigu, variabel

pengetat 2 merupakan kendala bahan baku untuk gula pasir, variabel pengetat 3

merupakan kendala bahan baku untuk minyak goreng, variabel pengetat 4

merupakan kendala bahan baku untuk margarin, variabel pengetat 5 merupakan

kendala bahan baku untuk kacang hijau, variabel pengetat 6 merupakan kendala

bahan baku untuk keju, variabel pengetat 7 merupakan kendala bahan baku untuk

durian, variabel pengetat 8 merupakan kendala bahan baku untuk cokelat, variabel

pengetat 9 merupakan kendala bahan baku untuk stroberi, variabel pengetat 10

merupakan kendala bahan baku untuk air hangat.

Variabel 𝑥1, 𝑥2 𝑥3, 𝑥4, dan 𝑥5 merupakan bagian dari solusi optimal dan

harus diproduksi sebesar nilai valuenya, yaitu 𝑥1 (bakpia jenis kacang hijau)

sebesar 90,09009 kotak, 𝑥2 (bakpia jenis keju) sebesar 8 kotak, 𝑥3 (bakpia jenis

durian) sebesar 8 kotak, 𝑥4 (bakpia jenis cokelat) sebesar 8 kotak, 𝑥5 (bakpia jenis

stroberi) sebesar 1 kotak.

Variabel pengetat 2 yaitu gula pasir bukan merupakan pembatas dalam

memperoleh solusi optimal kerena masih tersisa sebesar 34594,59 mililiter,

variabel pengetat 3 yaitu minyak goreng bukan merupakan pembatas dalam

memperoleh solusi optimal kerena masih tersisa sebesar 9379,459 desigram,

variabel pengetat 4 yaitu margarin bukan merupakan pembatas dalam memperoleh

solusi optimal kerena masih tersisa sebesar 5027,027 desigram, variabel pengetat


71

9 yaitu stroberi bukan merupakan pembatas dalam memperoleh solusi optimal

kerena masih tersisa sebesar 4144,144 desigram, variabel pengetat 10 yaitu

kacang hijau bukan merupakan pembatas dalam memperoleh solusi optimal

kerena masih tersisa sebesar 3711,712 desigram. Variabel pengetat 1, variabel

pengetat 5, variabel pengetat 6, variabel pengetat 7, variabel pengetat 8

merupakan pembatas atau kendala dalam memperoleh solusi optimal karena habis

terpakai. Pada solution list ini kita dapat melihat bahwa produksi bakpia ini dapat

memperoleh total keuntungan sebesar 𝑅𝑝. 1.025.662, −, setelah dikurang biaya

gas sebesar 𝑅𝑝. 40.000, gaji karyawan untuk tiga orang sebesar 𝑅𝑝. 114.000, dan

harga bensin untuk dua kendaraan sebesar 𝑅𝑝. 30.000 maka total keuntungannya

sebesar 𝑅𝑝. 841.662, −. Langkah-langkah pengerjaan program linear dengan

metode simpleks dengan tabel berkolom variabel basis adalah sebagai berikut.

1. Iterasi 1

Gambar 4.7 Tampilan POM-QM Iterasi 1


72

POM untuk windows telah menetapkan kolom basis. Anda dapat

mengubah kolom ini dengan mengklik pada kolom yang berbeda. Tekan

tombol step berikutnya. Pada metode simpleks tabel iterasi ini menentukan

kunci 1 yaitu menentukan variabel basis yang nilainya pada baris 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗

merupakan bilangan positif terbesar pada iterasi 1 ini yaitu 𝑥1. Kemudian

menentukan variabel basis yang memiliki rasio solusi dengan nilai positif

terkecil dalam iterasi pertama yaitu 1110. Selanjutnya mencari baris kunci

baru dan baris baru. Kemudian melakukan pengujian optimalisasi pada

iterasi selanjutnya karena solusinya belum optimal.

2. Iterasi 2






73







3. Iterasi 3








74





4. Iterasi 4










75



5. Iterasi 5












76

6. Iterasi 6

POM untuk windows telah menampilkan solusi optimal. Tekan selesai

untuk mengakhiri iterasi. Semua koefisien variabel basis pada baris𝑐𝑗 − 𝑧𝑗

sudah tidak ada lagi yang negative, berarti solusi sudah optimal tidak perlu

dibentuk tabel selanjutnya. Dari tabel iterasi 6 ini perusahaan memproduksi

90 kotak bakpia jenis kacang hijau dapat dilihat dari baris 𝑥1, 8 kotak bakpia

jenis keju dapat dilihat dari baris 𝑥2, 8 kotak bakpia jenis durian dapat dilihat

dari baris 𝑥3, 8 kotak bakpia jenis cokelat dapat dilihat dari baris 𝑥4 dan 1

kotak bakpia jenis stroberi dapat dilihat dari baris 𝑥5 dengan keuntungan yang

dapat dilihat baris 𝑧𝑗 dari 𝑅𝑝. 1.025.662, −, setelah dikurang biaya gas

sebesar 𝑅𝑝. 40.000, gaji karyawan untuk tiga orang sebesar 𝑅𝑝. 114.000, dan

harga bensin untuk dua kendaraan sebesar 𝑅𝑝. 30.000 maka total

keuntungannya sebesar 𝑅𝑝. 841.662, −



77

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

1. Hasil analisis menunjukan bahwa memodelkan produksi bakpia

kedalam metode simpleks adalah membuat variabel keputusan terlebih

dahulu, 𝑥1 yaitu banyaknya bakpia jenis kacang hijau, 𝑥2 yaitu

banyaknya bakpia jenis keju, 𝑥3 yaitu banyaknya bakpia jenis durian,

𝑥4 yaitu banyaknya bakpia jenis cokelat, 𝑥5 yaitu banyaknya bakpia

jenis stroberi. Membuat fungsi tujuannya yaitu 𝑍 = 9927𝑥1 +

5177𝑥2 + 5177𝑥3 + 5177𝑥4 + 5177𝑥5 − 184000. Membuat fungsi

kendala berdsarkan tabel 4.2 kemudian dimasukkan kedalam kedalam

tabel simpleks.

2. Hasil penyelesaian masalah tersebut dengan menggunakan metode

simpleks dengan alat bantu POM-QM adalah pada Linear Programs

result dapat kita lihat bahwa Bakpia 29 akan memperoleh keuntungan

maksimal jika 90 kotak bakpia jenis kacang hijau, 8 kotak bakpia jenis

keju, 8 kotak bakpia jenis durian, 8 kotak bakpia jenis cokelat dan 1

kotak bakpia jenis stroberi dengan keuntungan 𝑅𝑝. 1.025.662, −,

setelah dikurang biaya gas sebesar 𝑅𝑝. 40.000, gaji karyawan untuk

tiga orang sebesar 𝑅𝑝. 114.000, dan harga bensin untuk dua kendaraan

sebesar 𝑅𝑝. 30.000 maka total keuntungannya sebesar 𝑅𝑝. 841.662, −

tiap sekali produksi. Produk yang seharusnya menjadi prioritas dalam


78

kegiatan produksi dan yang paling berkontribusi besar bagi pendapatan

perusahaan adalah bakpia jenis kacang hijau.

3. Berdasarkan pengolahan secara POM-QM dapat diketahui bahwa masih

terdapatnya bahan baku yang ada belum optimal. Keadaan tersebut

ditunjukan dengan adanya variabel pengetat yang nilainya tidak

menunjukan angka nol. Hal ini disebabkan karena bahan baku yang

tersedia tidak dapat memenuhi produksi bakpia dengan seluruh rasa.

Hal tersebut dapat diatasi dengan cara menambah jumlah produksi

bakpia pada produksi selanjutnya.

5.2 Saran

1. Penggunaan alat bantu POM-QM ini dapat diaplikasikan pada kasus-

kasus lain di sekolah mengenai pembelajaran matematika atau

perusahaan lain.

2. Sebaiknya perusahaan selalu berusaha untuk merencanakan

produksinya dan memproduksi pada produk bakpia yang optimal.

Memproduksi produk bakpia pada kondisi optimal mendapatkan laba

yang dicapai perusahaan juga akan lebih optimal.

3. Sebaiknya pada penelitian ini menggunakan integer programming

sehingga hasil yang didapat bernilai bulat.


79

DAFTAR PUSTAKA

Anwar, Nasendi. (1985). Program Linear Dan Variansinya. Jakarta:Gramedia

Hotniar, Siringoringo. (2005). Teknik Riset Operasional Pemrograman Linear.

Yogyakarta:Graha ilmu

http://www.provisi.ac.id/ejurnal/index.php/JTIKP/article/viewFile/5/2 / (diunduh

tanggal Februari 2014)

http://rosihan.lecture.ub.ac.id/files/2009/06/modulpelatihan.pdf / (diunduh tanggal

4 Mei 2014)

http://labsistemtmip.files.wordpress.com/2011/02/panduan-pom.pdf /(diunduh

tanggal 12 mei 2014)

Ning Dumairy, Ismael Gibraltar. (2005). Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan

Ekonomi. Yogyakarta:BPFE

Pardede, Pontas. (2005). Manajemen Operasi Dan Produksi. Yogyakarta: Andi

Susanta, B. (1994). Program Linear. Jakarta: LPTK Depdikbud.

Sugiono. (2006). Metode Penelitian Pendidikan. Bandung: Alfabeta

Supranto, J.M.A. (1979). Linear Programming. Jakarta: Universitas Indonesia

Syamsi, Ibnu (2000). Pengambilan Keputusan dan system informasi. Jakarta:

Bumi Aksara

Thomas J. (2008). Pemrograman Linear Metode Dan Problema.

Yogyakarta:Andi

Weiss, Howard J. (2005). POM-QM Version 3. New Jersey: Pearson Prentice Hall

Wu, N, & Coppins, R. (1981). Linear programming and Extentions. Mac Graw

Hill Book Company, Inc.


http://www.provisi.ac.id/ejurnal/index.php/JTIKP/article/viewFile/5/2%20/

http://rosihan.lecture.ub.ac.id/files/2009/06/modulpelatihan.pdf%20/

http://labsistemtmip.files.wordpress.com/2011/02/panduan-pom.pdf

LAMPIRAN

1. SURAT KETERANGAN PENELITIAN

2. FOTO PENELITIAN

3. HASIL WAWANCARA

4. ITERASI SIMPLEKS MANUAL


FOTO PROSES PEMBUATAN BAKPIA 29


HASIL WAWANCARA TANGGAL 13 AGUSTUS 2015

P : Selamat pagi bu.

PP : Iya selamat pagi mbak.

P :Maaf saya datang mengganggu bu, kedatangan saya kemari ingin

mengupdate kembali data produksi dari wawancara saya yang sebelumnya

bu.

PP : Ooo tidak apa-apa mba, iya ada yang bisa saya bantu?

P : Saya ingin bertanya tentang berapa kilo ya bu bahan-bahan yang

digunakan untuk pembuatan bakpia? Berapa harga masing-masing bahan

baku untuk per kilonya bu?

PP : Bahan baku kacang hijau kami menggunakan Kacang hijau sebanyak 10

Kg untuk harga per kilo kacang hijau sebesar Rp. 27.500, gula pasir kami

menggunakan 10 Kg untuk harga per kilonya sebesar Rp. 11.500, Minyak

goreng kami menggunakan 6 Lt untuk harga per kilonya sebesar Rp.

12.000, tepung terigu kami menggunakan 28 Kg untuk harga per kilonya

sebesar Rp. 7500 tapi biasanya kami beli per satu sak seharga Rp. 170.000,

Air hangat kami menggunakan 2 Lt untuk harganya gratis, hehehehe,

Perisa rasa cokelat, Perisa rasa durian, Perisa rasa stroberi, Perisa rasa keju

kami memakai masing-masing 0.5 Kg untuk harganya sebesar Rp. 5000

setiap rasa, Margarin kami menggunakan 3 Kg untuk harga per kilonya

sebesar Rp. 11.000, tabung gas kami memakai tabung yang 3 Kg sebanyak

2 tabung gas untuk harga satu tabung sebesar Rp. 20000.

P : Untuk gaji karyawan dari data sebelumnya yaitu Rp. 250000 itu bu untuk

gaji per minggu atau per hari ya bu?

PP : Itu untuk gaji seminggu mba, maaf ya mba data yang kemarin saya beri

tahunya gaji untuk sehari. Saya yang salah mba.

P : Oiya bu tidak apa-apa, kalau boleh saya tahu untuk gaji perharinya

berapa ya bu? Berapa jumlah karyawannya ya bu?


PP : Untuk gaji satu karyawan perharinya sebesar sekarang Rp. 38.000 dalam

satu minggu karyawan bekerja selama 7 hari. Karyawan yang bekerja

sebanyak 3 orang.

P : Ooo begitu bu, mau tanya lagi bu untuk bahan bakar yang di gunakan

(bensin) kira-kira dalam sehari memakai berapa liter ya bu?

PP : Kalau masalah bensin berapa liternya mba bisa kira-kira sendiri ya mba,

pokoknya untuk bensin saya mengeluarkan Rp. 15000 untuk satu motor.

P : Pembungkus bakpia itu sebelum didistribusi pasti menggunakan kardus.

Untuk biaya satu kerdus itu berapa ya bu? Dan dalam satu hari biasanya

mencetak berapa lembar kardus bu?

PP : O ya jelas mba pakai kardus, untuk kerdusnya kami mencetak sebanyak

122 lembar kardus mbak, dan untuk biaya satu lembarnya seharga Rp. 750.

P : O begitu bu.

PP : O iya mba untuk harga bahan baku tadi harga bahan baku setelah lebaran

ya mba. Karena setelah lebaran harga-harga sudah pada naik mba.

P : Iya bu, terima kasih bu, saya kira cukup sekian bu untuk update data

mengenai produksi bakpia bu. Maaf bu saya sudah mengganggu waktu

istirahat ibu.

PP : Ooo tidak apa-apa mba. Kalau datanya masih kurang boleh ditanyakan

mba. Besok kalau masih ada revisi lagi boleh kok lewat telepon mba jadi

gak usah jauh-jauh datang kesni mba. Kasian sma mbaknya juga.

P : Hehehe tidak apa-apa bu. Kalau begitu saya pamit dulu bu. Trima kasih

sekali lagi bu.

PP : Iya mba sama-sama.


Iterasi Simpleks Manual

VD X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S

Z 9927 5177 5177 5177 5177 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

S1 1700 5000 5000 5000 5000 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 280000

S2 22 2500 2500 2500 2500 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 100000

S3 13 150 150 150 150 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 6000

S4 66 750 750 750 750 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 30000

S5 1110 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 100000

S6 0 625 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5000

S7 0 0 625 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 5000

S8 0 0 0 625 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 5000

S9 0 0 0 0 625 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5000

S10 4 50 50 50 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2000


Iterasi 1


Z 0 5177 5177 5177 5177 0 0 0 0 -8,9432 0 0 0 0 0 -894324,3

S1 0 5000 5000 5000 5000 1 0 0 0 -1,5315 0 0 0 0 0 126846,85

S2 0 2500 2500 2500 2500 0 1 0 0 -0,0198 0 0 0 0 0 98018,018

S3 0 150 150 150 150 0 0 1 0 -0,0117 0 0 0 0 0 4828,8288

S4 0 750 750 750 750 0 0 0 1 -0,0595 0 0 0 0 0 24054,054

S5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0009 0 0 0 0 0 90,09009

S6 0 625 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5000

S7 0 0 625 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 5000

S8 0 0 0 625 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 5000

S9 0 0 0 0 625 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5000

S10 0 50 50 50 50 0 0 0 0 -0,0036 0 0 0 0 1 1639,6396


Iterasi 2


Z 0 0 5177 5177 5177 0 0 0 0 -8,9432 -8,2832 0 0 0 0 -935740,3

S1 0 0 5000 5000 5000 1 0 0 0 -1,5315 -8 0 0 0 0 86846,847

S2 0 0 2500 2500 2500 0 1 0 0 -0,0198 -4 0 0 0 0 78018,018

S3 0 0 150 150 150 0 0 1 0 -0,0117 -0,24 0 0 0 0 3628,8288

S4 0 0 750 750 750 0 0 0 1 -0,0595 -1,2 0 0 0 0 18054,054

S5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0009 0 0 0 0 0 90,09009

S6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0016 0 0 0 0 8

S7 0 0 625 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 5000

S8 0 0 0 625 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 5000

S9 0 0 0 0 625 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5000

S1

0 0 0 50 50 50 0 0 0 0 -0,0036 -0,08 0 0 0 1 1239,6396


Iterasi 3


Z 0 0 0 5177 5177 0 0 0 0 -8,9432 -8,2832 -8,2832 0 0 0 -977156,3

S1 0 0 0 5000 5000 1 0 0 0 -1,5315 -8 -8 0 0 0 46846,847

S2 0 0 0 2500 2500 0 1 0 0 -0,0198 -4 -4 0 0 0 58018,018

S3 0 0 0 150 150 0 0 1 0 -0,0117 -0,24 -0,24 0 0 0 2428,8288

S4 0 0 0 750 750 0 0 0 1 -0,0595 -1,2 -1,2 0 0 0 12054,054

S5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0009 0 0 0 0 0 90,09009

S6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0016 0 0 0 0 8

S7 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0016 0 0 0 8

S8 0 0 0 625 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 5000

S9 0 0 0 0 625 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5000

S10 0 0 0 50 50 0 0 0 0 -0,0036 -0,08 -0,08 0 0 1 839,63964


Iterasi 4


Z 0 0 0 0 5177 0 0 0 0 -8,9432 -8,2832 -8,2832 -8,2832 0 0 -1018572

S1 0 0 0 0 5000 1 0 0 0 -1,5315 -8 -8 -8 0 0 6846,8468

S2 0 0 0 0 2500 0 1 0 0 -0,0198 -4 -4 -4 0 0 38018,018

S3 0 0 0 0 150 0 0 1 0 -0,0117 -0,24 -0,24 -0,24 0 0 1228,8288

S4 0 0 0 0 750 0 0 0 1 -0,0595 -1,2 -1,2 -1,2 0 0 6054,0541

S5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0009 0 0 0 0 0 90,09009

S6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0016 0 0 0 0 8

S7 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0016 0 0 0 8

S8 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0016 0 0 8

S9 0 0 0 0 625 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5000

S10 0 0 0 0 50 0 0 0 0 -0,0036 -0,08 -0,08 -0,08 0 1 439,63964


Iterasi 5


Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8,9432 -8,2832 -8,2832 -8,2832 -8,2832 0 -1059988

S1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1,5315 -8 -8 -8 -8 0 -33153,15

S2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -0,0198 -4 -4 -4 -4 0 18018,018

S3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -0,0117 -0,24 -0,24 -0,24 -0,24 0 28,828829

S4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -0,0595 -1,2 -1,2 -1,2 -1,2 0 54,054054

S5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0009 0 0 0 0 0 90,09009

S6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0016 0 0 0 0 8

S7 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0016 0 0 0 8

S8 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0016 0 0 8

S9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0016 0 8

S10 0 0 0 0 0,08 0 0 0 0 -6E-06 -0,0001 -0,0001 -0,0001 0 0,0016 0,7034234


implementasi program linear untuk ... - core.ac.uk · implementasi program linear untuk...

Documents