iml examen 3_rev1

Modelado de sistemas mecatrnicos

INSTITUTO TECNOLGICO DE

LA LAGUNA

MODELADO DE SISTEMAS

MECATRNICOS

EXAMEN

MODELADO DE SISTEMAS MECNICOS

ISMAEL MEDINA LPEZ

10131135

ESPECIALIDAD

ING. ELECTRNICA

CATEDRTICO

DR. FRANCISCO JURADO ZAMARRIPA

FECHA DE ENTREGA:

Torren, Coahuila de Zaragoza a 29 de noviembre de 2013

Francisco JuradoComentario en el textoCalif.:98


1. Introduccin.

El primer paso para el diseo de un sistema de control consiste en obtener ecuaciones

diferenciales para todas aquellas partes del sistema que no varan. Comnmente, las

componentes de un sistema de control incluyen elementos elctricos, electrnicos,

mecnicos y electromecnicos. Este documento intenta proporcionar una breve resea de

las ecuaciones que caracterizan a algunos de los componentes comunes del sistema de

control mecnicos y sus conexiones. Muchos otros tipos de elementos menos comunes,

hidrulicos, trmicos, neumticos, biolgicos y qumicos, pueden, en determinado

momento, integrarse tambin en un sistema de control.

2. Sistemas Mecnicos.

Enseguida se analizaran y definirn los modelados de algunos sistemas mecnicos y la

solucin de las ecuaciones diferenciales (EDO) en el software Matlab. Como puede

resultar obvio, la ley que rige estos modelados es la Segunda ley de Newton, la cual es

aplicable a cualquier sistema mecnico. Un mtodo sistemtico para obtener ecuaciones de

arreglos como los presentes es el siguiente:

a) Se definen posiciones con sentidos direccionales para cada masa del sistema.

b) Se dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada una de las masas, expresando las

fuerzas que actan sobre ellas en trminos de posiciones de masa

A continuacin, mencionaremos los ejemplos de este apartado.

2.1. Sistemas mecnicos traslacionales.

1) Sismgrafo

La figura siguiente muestra el esquema de un sismgrafo. Un sismgrafo indica el

desplazamiento de su envoltura o gabinete con respecto al espacio inercial. Se utiliza para

medir desplazamientos del suelo durante terremotos.


m

k f

xi

xo

Figura 1. Diagrama esquemtico de un sismgrafo.

Se define:

xi = desplazamiento de la envoltura o gabinete con respecto a la masa inercial.

xo = desplazamiento de la masa m con respecto al espacio inercial.

y = xo xi = desplazamiento de la masa m con respecto al gabinete.

Constantes:

a. k Constante de rigidez del resorte.

b. f Constante de viscosidad o amortiguamiento.

a) Encuentre el modelo dinmico del sistema.

Partiendo del anlisis del ejemplo, Oscilador armnico.

m

c

k

x

Rigidez: fuerza Amortiguamiento: fuerza


Tomando en cuenta la segunda ley de Newton:

Obtenemos la ecuacin de movimiento del sistema:

O bien,

Por lo tanto para el sismgrafo el modelo matemtico se desarrolla de forma similar al

anterior. Para esto se aplica la segunda ley de Newton para la masa m (es decir, con

respecto al desplazamiento xo - -). Las nicas fuerzas son aquellas debidas a las

constantes k y f. Primero se considera la fuerza del resorte sobre la masa, donde se debe

hacer notar, que esta fuerza depender de xo y xi: la fuerza es proporcional a la distancia a

travs de la cual el resorte se ha estirado o comprimido la cual est dada por la diferencia de

xo y xi (xo xi). As la fuerza del resorte es:

Siguiendo el mismo razonamiento para la fuerza de amortiguamiento estar dada por:

As la ecuacin de movimiento del sismgrafo es:

O bien,

Usando la relacin y = xo xi, siendo

y

Por lo tanto :

Finalmente tenemos:

Modelo dinmico del sistema

Considerando como entrada al sistema, por lo tanto m equivale a la fuerza que ejerce

el suelo en el sismgrafo real.

EDO de segundo orden

Escribiendo el modelo como un conjunto de dos ODEs de primer orden (ecuaciones de

estado), y definiendo como variables de estado y .

Ecuaciones de estado


Determinando la funcin de transferencia del sistema:

Considerando condiciones iniciales iguales acero:

= = 0 y = = 0

Nota: para pasar del dominio de la frecuencia compleja S al dominio del tiempo t tan

solo hay que obtener la transformada inversa de cuando se es aplicada una entrada,

ya sea por ejemplo un escaln unitario

, al sistema.

b) Usando Matlab determine la solucin de la EDO.

Respuesta temporal del sistema

Matlab permite calcular la respuesta de un sistema de cualquier orden ante cualquier

entrada siguiendo el procedimiento general:

1) Definir un sistema con num, den, con sys=tf (num, den) o con zpk.

2) Utilizar el comando adecuado para calcular la respuesta a la entrada: impulse, step o

lsim.

3) Opcionalmente, puede determinarse el intervalo de tiempo deseado (con lsim si es

necesario).

A continuacin se presentan la respuesta de salida para el modelo matemtico del

sismgrafo a partir de diferentes entradas.

Las entradas a aplicarse son:

Escaln unitario.

Impulso unitario.

Rampa unitaria.

Funcin seno.


Respuesta del sistema ente una entrada escaln unitario

Se definen los parmetros del sistema de la siguiente manera:

m = 0.25

f = 0.5

k = 1

Instrucciones en Matlab

Opcin 1

>> s=tf('s');

>> G=(-0.25*s^2)/(0.25*s^2+0.5*s+1);

>> step(G,10)

>> grid on

Figura 2.

Opcin 2

>> syms s

>> G=(-0.25*s^2)/(0.25*s^2+0.5*s+1);

>> Xi=1/s;

>> Y=G*Xi;

>> y=ilaplace(Y);

>> ezplot(y,[0 10 -1 0.4],1)

>> grid on


Figura 3.

Opcin 3

>> num=[-0.25 0 0];

>> den=[0.25 0.5 1];

>> step(num,den)

>> grid on

Figura 4.


Las tres opciones diferentes mostradas anteriormente demuestran que existen varias

alternativas para encontrar la respuesta del sistema a una entrada especfica.

Respuesta del sistema ente una entrada impulso unitario


m = 0.25

f = 0.5

k = 1


Opcin 1

>> num=[-0.25 0 0];

>> den=[0.25 0.5 1];

>> impulse(num,den)

>> grid on

Figura 5.

Francisco JuradoResaltado


Opcin 2

>> s=tf('s')

Transfer function:

s

>> G=(-0.25*s^2)/(0.25*s^2+0.5*s+1);

>> impulse(G,6)

>> grid on

Figura 6.

Respuesta del sistema ente una entrada rampa unitaria


m = 0.25

f = 0.5

k = 1


Opcin 1

>> syms s

>> G=(-0.25*s^2)/(0.25*s^2+0.5*s+1);


>> Xi=1/s;

>> Xi=1/s^2;

>> Y=G*Xi;

>> y=ilaplace(Y);

>> ezplot(y,[0 20 -0.3 0.05],1)

>> grid on

Figura 7.

Opcin 2

>> s=tf('s')

Transfer function:

s

>> G=(-0.25*s^2)/(0.25*s^2+0.5*s+1);

>> t=0:0.01:20;

>> u=t;

>> [y,x]=lsim(G,u,t);

>> plot(t,y)

>> grid on


Figura 8.

Respuesta del sistema ente una entrada senoidal


m = 0.25

f = 0.5

k = 1


>> s=tf('s')

Transfer function:

s

>> G=(-0.25*s^2)/(0.25*s^2+0.5*s+1);

>> t=0:0.01:30;

>> u=sin(t);

>> [y,x]=lsim(G,u,t);

>> plot(t,y)

>> grid on


Figura 9.

Representacin y anlisis del sistema por diagrama a bloques

En el entorno de Simulink se crea el siguiente esquema del sistema representado por

diagrama a bloques. En el cual se puede observar que la seal de entrada al sistema es un

escaln unitario (step).

Figura 10.

Step

Scope

1

s

Integrator1

1

s

Integrator

-1

Gain2

4

Gain1

2

Gain

Add


Figura 11. Formas de onda tomadas del scope. La representacin grfica en color rojo es

la misma respuesta obtenida para los caso de la seal analizada con solo las instrucciones

en el entorno de trabajo de matlab ante una entrada escaln unitario (es decir, las grficas

2, 3 y 4). Se puede observar el mismo sobre impuls u un sistema que se estabiliza en

despus de un tiempo en 0. La respuesta de posicin del sistema es por lo tanto

subamortiguado. Las formas de onda en color cian y violeta son otras respuestas

caractersticas del sistema, como la velocidad y aceleracin en un instante de tiempo dado.



En el caso de una rampa unitaria

Figura 12. Diagrama a bloques y formas de onda tomada del scope. En este caso la seal

de salida roja es la misma que la obtenida mediante instrucciones en el rea de trabajo de

Matlab, una vez ms comprobamos que el sistema responde satisfactoriamente a nuestro

modelo el cual da como resultado una respuesta subamortiguado ante una entrada rampa

unitaria.

Scope

Ramp

1

s

Integrator1

1

s

Integrator

-1

Gain2

4

Gain1

2

Gain

Add


Finalmente para una entrada senoidal

Figura 12. Diagrama a bloques y formas de onda tomada del scope.

Sine Wave

Scope1

s

Integrator1

1

s

Integrator

-1

Gain2

4

Gain1

2

Gain

Add


Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior (uso del comando ODE45)

Para resolver el conjunto de dos ecuaciones de primer orden acopladas, primero definimos

una funcin que calcule valores de las ecuaciones diferenciales de primer orden:


Reescribimos como:

Para el caso de una entrada escaln unitario

Funcin Matlab

function u_prime=eqns2(x,u) % EQNS2 Esta funcion calcula valores para dos % ecuaciones de primer orden acopladas. % u_prime(2)=-2*u(2)-4*u(1)-heaviside(x); u_prime(1)=u(2); u_prime=u_prime'; end

Instrucciones

>> inicial=[0 0];

>> [x,num_y]=ode45('eqns2',[0 10],inicial);

>> acel=-2*num_y(:,1)-4*num_y(:,2)-heaviside(x);

>> subplot(3,1,1);

>> plot(x,num_y(:,2));

>> title('posicin');

>> ylabel('y');

>> grid on

>> subplot(3,1,2);


>> title('velocidad');

>> ylabel('y/s');

>> grid on

>> subplot(3,1,3),

>> plot(x,acel);

>> title('Aceleracin');

>> ylabel('y/s^2');

>> xlabel('Tiempo');

>> grid on


Figura 13. Ntese la similitud de la aceleracin y posicin con las grficas anteriores,

solo que ahora la entrada escaln no presenta una alteracin como en los casos

anteriores. En otras palabras la entrada escaln es directa al sistema analizado.


Para el caso de una entrada senoidal

Funcin Matlab

function u_prime=eqns2(x,u) % EQNS2 Esta funcion calcula valores para dos % ecuaciones de primer orden acopladas. % u_prime(2)=-2*u(2)-4*u(1)+sin(x); u_prime(1)=u(2); u_prime=u_prime'; end

Instrucciones

>> [x,num_y]=ode45('eqns2',[0 10],inicial);

>> acel=-2*num_y(:,1)-4*num_y(:,2)-sin(x);

>> subplot(3,1,1);


>> title('posicin');

>> ylabel('y');

>> grid on

>> subplot(3,1,2);


>> title('velocidad');

>> ylabel('y/s');

>> grid on

>> subplot(3,1,3),

>> plot(x,acel);

>> title('Aceleracin');

>> ylabel('y/s^2');

>> xlabel('Tiempo');

>> grid on


Figura 14.


2) Sistema masa-resorte-amortiguador I

Considere el siguiente sistema masa-resorte-amortiguador mostrado a continuacin:

m

y1(t)y2(t)

uk

Figura 15.

a) Verifique las ecuaciones de movimiento estn dadas por:

Solucin:

Otro ejemplo para de cmo escribir las ecuaciones dinmicas de un sistema mecnico en

movimiento de traslacin, se considera el de la figura anterior. Ya que el resorte se deforma

cuando est sujeto a una fuerza u(t), se deben de asignar dos desplazamientos, y1 y y2, a los

extremos del resorte. Los diagramas de cuerpo libre del sistema se presentan a

continuacin:

m k(y1-y2)

y2(t)

k

k(y1-y2) u(t)

y1

Por lo tanto las ecuaciones de movimiento son:

Estas ecuaciones se arreglan de nuevo como:

EDO de segundo orden


En ecuaciones de estado, es decir, como un conjunto de 2 ecuaciones de primer orden,

definimos y

.


Donde u(t) es nuestra entrada al sistema

Determinando ahora la funcin de transferencia del sistema considerando las condiciones

iniciales iguales acero:

Funcin de transferencia

b) Usando Matlab determine la solucin de las EDO.

Respuesta temporal del sistema

Las entradas a aplicarse son:

Impulso unitario.

Rampa unitaria.

Funcin seno.

Respuesta del sistema ente una entrada impulso unitario


m = 0.25

= 0.5


>> num=[0 0 1];

>> den=[0.25 0.5 0];

>> impulse(num,den)


>> grid on

Figura 16.

Opcin 2

>> s=tf('s')

Transfer function:

s

>> G=(1)/(0.25*s^2+0.5*s);

>> impulse(G,3)

>> grid on


Figura 17. La respuesta obtenida para una entrada impulso unitario es tpicamente una

respuesta crticamente amortiguada.

Respuesta del sistema ente una entrada rampa unitaria


>> syms s

>> G=(1)/(0.25*s^2+0.5*s);

>> U=1/s^2;

>> Y=G*U;

>> y=ilaplace(Y);

>> ezplot(y,[0 10 -5 5],1)

>> ezplot(y,[0 10 -5 100],1)

>> grid on



Figure 18.

Representacin y anlisis mediante diagrama a bloques

Figura 19.


Figura 20. Respuesta del sistema ente una entrada impulso. Ntese que es similar al caso

anterior.

Para el caso de una entrada senoidal

Figura 21.


3) Sistema masa-resorte- amortiguador II

Considere el sistema masa resorte amortiguador mostrado a continuacin:

m

z(t)

kc

Figura 22.

El sistema es excitado mediante el movimiento del soporte con movimiento prescrito z(t).

Defina un conjunto de coordenadas suficiente para describir el movimiento del sistema y

determine las ecuaciones de movimiento del sistema y determine las ecuaciones de

movimiento en trminos de estas coordenadas. Determine el orden del sistema y exprese el

modelo en forme de variables de estado. Determine la solucin del sistema usando Matlab.

Sistema con el conjunto de coordenadas propuestas (x1 y x2)

m

z(t)

kc

x1 x2

A

Ecuaciones de movimiento del sistema.

Sistema de tercer orden

Definiendo las variables de estado como:

,

y

Francisco JuradoComentario en el textoCul es el orden del sistema?




Donde es la entrada al sistema.

Solucin en Matlab

Figura 23. Respuesta del sistema ante una entrada escaln unitario con los parmetros

iguales a los anteriores casos. Para este ejemplo podemos notar como se inicia con

desplazamiento sin alteracin y despus de un tiempo el sistema empieza a oscilar de una

manera subamortiguado.


Figura 24. Respuesta del sistema ante una entrada impulso. Como se observa es

prcticamente similar a la anterior.

iml examen 3_rev1

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