il naviglio di galileo 2.1

E =

mc2

Un viaggio alla scoperta della Teoria della Relatività

Il Naviglio di Galileo

Conferme Sperimentali

della Relatività Generale

E =

mc2

Le implicazioni della teoria

Con la sua introduzione nel 1915, la teoria della relatività generale non aveva una solida base empirica.

Si sapeva che essa valutava correttamente l'"anomala" precessione del perielio di Mercurio e secondo motivi filosofici era ritenuta soddisfacente per il fatto che fosse stata in grado di unificare la legge di gravitazione universale di Newton con la relatività ristretta.

Il fatto che la luce sembrava curvarsi in prossimità dei campi gravitazionali, in linea con le previsioni della relatività generale, venne scoperto nel 1919, ma fu soltanto con un programma di test di precisione avviato nel 1959 che le varie previsioni della relatività generale vennero verificate per ogni ulteriore grado di accuratezza nel debole limite del campo gravitazionale, limitando fortemente possibili deviazioni dalla teoria.

A partire dal 1974, Hulse, Taylor e altri hanno studiato il comportamento delle pulsar binarie sperimentando campi gravitazionali molto più forti di quelli che si trovano nel nostro sistema solare.

E =

mc2

Le “prove classiche”

Einstein propose tre prove della

relatività generale, successivamente

chiamate prove classiche della

relatività generale, nel 1916:

La precessione del perielio

dell'orbita di Mercurio

La deflessione della luce dal Sole

Lo spostamento verso il rosso

gravitazionale della luce

E =

mc2

Conferme Sperimentali della

Teoria della Relatività Generale

L’avanzamento del perielio di Mercurio

E =

mc2

Il problema del perielio di Mercurio

Nella fisica newtoniana, in base agli assunti standard di astrodinamica un

sistema a due corpi costituito da un solo oggetto in orbita intorno ad una

massa sferica traccerebbe con questa un'ellisse in un fuoco.

Il punto di massimo avvicinamento, chiamato periapside (e per il nostro

sistema solare in particolare, perielio), è fisso.

E =

mc2


Ci sono però un certo numero di fattori nel nostro sistema solare che causano lo spostamento del perielio dei pianeti.

Tale spostamento, detto precessione, è dovuto principalmente all'attrazione gravitazionale degli altri pianeti;

è inoltre dovuto, in misura minore, allo schiacciamento polare del Sole.

E =

mc2


Nel 1915 Einstein calcolò la velocità di avanzamento del perielio dell’orbita di

Mercurio secondo la sua teoria, e trovò che differiva da quella prevista da Newton

di 42.9 "/secolo, che era esattamente quanto mancava ai meccanici celesti per

mettere in accordo le proprie predizioni teoriche con le osservazioni astronomiche

….

Predetto dalla meccanica celeste secondo la teoria newtoniana della gravitazione:» 278 "/secolo dovuto a Venere» 153 "/secolo dovuto a Giove» 90 "/secolo dovuto alla Terra» 10 "/secolo dovuto a tutti gli altri pianeti» totale: 531 "/secolo …

…mancano circa 43 "/secolo rispetto al valore predetto dalla meccanica celeste!

Osservato: 574 "/secolo

E =

mc2


Attenzione ai facili entusiasmi … se il Sole non è una sfera perfetta, ma è un po’ schiacciato (perché ruota …), anche questo schiacciamento produce un avanzamento del perielio di Mercurio (newtoniano) senza bisogno di scomodare la Relatività Generale.

Per affermare che questo effetto è trascurabile rispetto ai 43 "/secolo della Relatività Generale dobbiamo misurare con precisione il raggio del Sole e il suo schiacciamento.

Le prime misure sono del 1966 (si usava un disco occultatore per produrre una eclissi artificiale …), poi ancora negli anni ’70. Sono poco precise, e danno stime in eccesso, che non permettono di decidere chiaramente in favore della Relatività Generale.

Solo negli anni ’80 misure precise di oscillazioni del sole (“eliosismologia”), che dipendono dallo schiacciamento del corpo, hanno permesso di concludere che il contributo all’avanzamento del perielio di Mercurio dovuto allo schiacciamento del Sole è del tutto trascurabile.

E =

mc2



La deflessione dei raggi luminosi in un campo

gravitazionale

E =

mc2

La deflessione dei raggi luminosi

E =

mc2

La deflessione dei raggi luminosi Se il campo gravitazionale

é molto più forte di quello terrestre e le distanze considerate sono grandi, su scala astronomica, il fenomeno può diventare rilevabile.

Per esempio, un raggio di luce che passi accanto al Sole può venire deflesso da esso in maniera sensibile

E =

mc2


“Revolution in

science. New theory

of the Universe,

Newtonian ideas

overthrown”

London Times,

November 7 1919

E =

mc2


L’articolo del “London Times” riportava la

notizia delle misure fatte da Eddington della

deflessione della luce di una stella lontana che

si trovava quasi dietro al Sole durante una

eclissi totale di Sole secondo le quali il valore

misurato è risultato essere doppio di quello

predetto da Newton, in accordo quindi con la

predizione di Einstein …

E =

mc2


Occorre di nuovo fare una

precisazione …

Solo negli anni ’70 la radio-

interferometria di due QUASAR,

per le quali accadeva che il Sole

passasse vicino ad una delle due

nel suo moto annuale lungo

l’eclittica, ha permesso di fare una

misura accurata (la prima quasar

3C48 fu scoperta nel 1960…).

E =

mc2

La deflessione dei raggi luminosi Il fenomeno della "lente gravitazionale" può facilmente essere compreso

quando si tenga presente che un raggio di luce viene deviato dalla sua traiettoria (altrimenti rettilinea) tanto di più quanto maggiore è la massa che si interpone tra la sorgente luminosa e l'osservatore e tanto più "radente" è il passaggio.

Questa deflessione ricorda molto da vicino la deviazione dei raggi luminosi operata dalle comuni lenti d'ingrandimento, ed è per questo motivo che si parla di "lente" gravitazionale.

In realtà le leggi che regolano la deviazione dei raggi luminosi dai campi gravitazionali sono più complesse di quella dell'ottica geometrica, e possono portare alla formazione di immagini multiple, a seconda della posizione relativa tra sorgente luminosa, massa deviante, e posizione dell'osservatore.

Non è difficile immaginare inoltre che anche la forma e la distribuzione della massa all'interno del corpo deviante siano importanti nel determinare le caratteristiche dell'immagine finale.

E =

mc2


E =

mc2



Lo spostamento gravitazione verso il rosso della luce

E =

mc2


Il terzo effetto previsto da Einstein è lo spostamento gravitazionale verso il

rosso dello spettro della luce quando questa si allontana da una sorgente

gravitazionale.

Lo spostamento verso il rosso fa si che le onde luminose ci pervengano ad

una frequenza inferiore a quella a cui sono state emesse

E =

mc2


E =

mc2


Ci sono parecchi modi per comprendere

l’origine dello spostamento gravitazionale

verso il rosso.

Probabilmente il più semplice è quello di

ricorrere ad un’analogia.

Immaginate di gettare una palla in aria.

Quando la palla sale, essa rallenta, dato che si

muove in senso contrario alla forza di gravità.

Ma l’energia della palla non viene dispersa,

anche se il moto è rallentato. Si converte in

energia potenziale, che viene poi rilasciata

sotto forma di energia cinetica quando la

palla ricade indietro.

E =

mc2

Lo spostamento verso il rosso Lo stesso ragionamento si applica alla

particella di luce, il fotone.

Come una palla lanciata in aria perde

quantità di moto, anche il fotone perde

quantità di moto quando sfugge ad un

campo gravitazionale.

Anche in questo caso mentre contrasta

il campo gravitazionale il fotone perde

energia guadagnando energia

potenziale.

Ma un fotone non può rallentare come

la palla dal momento che viaggia

sempre alla velocità della luce!

E =

mc2

Lo spostamento verso il rosso Se un fotone perde energia si ha una

diminuzione della sua frequenza (è una

conseguenza della meccanica

quantistica peraltro scoperta proprio

da Einstein!):

Ed è esattamente questo quello che

accade ad un fotone che va incontro ad

una variazione di potenziale

gravitazionale.

Perde energia, e così facendo

diminuisce la sua frequenza e lo

spostamento verso il rosso è una

conseguenza di tale diminuzione.

E =

mc2

Una parentesi: l’effetto Doppler

E =

mc2

Il test è basato sul seguente principio: Quando un atomo transita da

uno stato eccitato ad uno stato di base, emette un fotone con una

specifica frequenza ed energia

Quando un atomo dello

stesso tipo nel suo stato

di base incontra un

fotone con la stessa

frequenza ed energia,

assorbirà il fotone e

passerà allo stato

eccitato.


E =

mc2

Se la frequenza del fotone ovvero la

sua energia l'energia è diversa anche

di pochissimo, l'atomo non può

assorbire il fotone (questa è la base

della teoria dei quanti).

Quando il fotone viaggia attraverso

un campo gravitazionale, la

frequenza e quindi la sua energia

cambierà a causa del red shift

gravitazionale. Come risultato,

l'atomo ricevente non può assorbire.


E =

mc2

Ma se si muovono gli atomi

emettitori con la giusta velocità

rispetto agli atomi di ricezione Lo

spostamento doppler risultante

annulla lo spostamento gravitazionale

e l'atomo di ricezione può assorbire il

fotone.

La velocità relativa degli atomi è

quindi una misura dello spostamento

gravitazionale (La frequenza del

fotone che viene fatto "cadere" verso

il fondo della torre è blue-shifted).

Pound e Rebka (1965)


E =

mc2

Un interessante conseguenza di questo fenomeno è che anche il tempo viene alterato da un campo gravitazionale nel senso che laddove la gravità è più intensa, gli orologi scorrono più lentamente!


E =

mc2



Onde gravitazionali

E =

mc2

Onde gravitazionali

La relatività generale ha molte conseguenze che non si possono calcolare con la teoria Newtoniana

della gravità

Fra i molti suoi meriti la relatività generale ha eliminato il fastidioso concetto di azione a distanza

della gravità newtoniana secondo il quale gli effetti gravitazionali di un oggetto sono avvertiti

ovunque non appena l’oggetto appaia o si sposti. Con la relatività generale sappiamo che prima che la gravità possa agire, lo spazio-tempo deve deformarsi. Questo però non avviene all’istante, occorre tempo. Gli effetti gravitazionali possono manifestarsi nel punto in cui vi trovate solo dopo che il segnale vi è

pervenuto distorcendo opportunamente lo spazio-tempo.

E =

mc2

Onde gravitazionali

Questo non può accadere in nessun caso in un tempo inferiore a quello che impiegherebbe la luce per arrivare proprio al punto in cui vi trovate.

In modo analogo a quando avviene per il campo elettromagnetico, la propagazione del campo gravitazionale avviene secondo la teoria della relatività generale tramite una perturbazione dello spazio-tempo nota come onda gravitazionale.

E =

mc2

Come spesso accade le analogie sono utili per una prima comprensione ma

non portano molto lontano.

La struttura di un’onda gravitazionale e i suoi effetti sulla materia sono

molto più complessi di quelli relativi ad un’onda elettromagnetica.

Una prima notevole differenza proviene dal fatto che la gravitazione è

puramente attrattiva; la massa, ovvero la “carica” gravitazionale ha sempre

lo stesso segno.

Da ciò deriva ad esempio che un “oscillatore” gravitazionale elementare

composto da due masse vibranti all’estremità di una molla non irradia lo

stesso tipo di onde dovute a due cariche di segno opposto.

Onde gravitazionali

E =

mc2

Un’altra complicazione proviene dal fatto che l’onda gravitazionale

trasportando energia, per l’equivalenza fra energia e massa, trasporta

anche una “carica gravitazionale” mentre l’onda elettromagnetica non

trasporta alcuna carica elettrica.

Di conseguenza l’onda gravitazionale generata da una carica accelerata è

essa stessa sorgente di gravitazione;

In altre parole la gravitazione gravita e questo è un problema di una certa

gravità!

Onde gravitazionali

E =

mc2

In termini tecnici si dice che la gravità è “non lineare”

Tale non linearità introduce molteplici difficoltà nella soluzione dei

problemi concernenti le onde gravitazionali.

Ad esempio se due corpi in movimento accelerato producono

individualmente il loro campo, la loro azione combinata produce un campo

che non è uguale alla somma dei due campi singoli; occorre tener conto

della gravitazione dovuta all’interazione

Onde gravitazionali

Un campo gravitazionale si propaga

nello spazio in senso radiale, mentre

le distorsioni che esso provoca

localmente sono perpendicolari alla

sua direzione di propagazione.

http://it.wikipedia.org/wiki/Distorsione_(fisica)

http://it.wikipedia.org/wiki/Perpendicolarit%C3%A0

E =

mc2

Evidenza indiretta PSR 1913+16

Nobel a Hulse e Taylor nel 1993

Onde gravitazionali

E =

mc2

Al momento l’unica evidenza dell’esistenza di onde gravitazionali è solo

indiretta;

Virgo è un rivelatore interferometrico di onde gravitazionali del

tipo interferometro di Michelson, con bracci lunghi 3 km, situato nel

comune di Cascina (PI), in località Santo Stefano a Macerata. La costruzione

dell'apparecchiatura è terminata nel 2003.

Lo scopo del progetto, frutto di una collaborazione italo-francese tra

l'INFN e il CNRS, è quello di rivelare le onde gravitazionali, in un intervallo

di frequenze esteso tra i 10 e i 10000 Hz. La sensibilità dell'interferometro

permetterà di osservare gli effetti di supernovae e sistemi binari situati

nell'ammasso della Vergine (da cui il nome del progetto).

Onde gravitazionali

E =

mc2

Il progetto utilizza un laser ad alta precisione prestabilizzato, che viene

diviso e inviato nei due bracci del rivelatore. I fasci vengono fatti viaggiare

avanti e indietro per 50 volte grazie a delle cavità ottiche di Fabry-Perot che

costituiscono i bracci dell'interferometro, per poi ricombinarsi all'uscita

dell'interferometro dove ne viene rivelata la differenza di fase accumulata.

Le onde gravitazionali che sono originate a centinaia di milioni di anni

luce dalla Terra dovrebbero distorcere i 3 chilometri di spazio tra gli specchi

di circa 10-18 m (come confronto, un atomo di idrogeno è circa 5×10-11 m).

Onde gravitazionali

E =

mc2

LISA (acronimo per Laser Interferometer Space Antenna) è una missione spaziale attualmente in fase di

progetto presso l'Agenzia Spaziale Europea, come parte del suo progetto ESA Horizon 2000. La data di

lancio è prevista per il 2017 con una vita operativa di cinque anni. ESA progetterà le sonde

mentre NASA fornirà il lanciatore per metterle in orbita.

LISA è costituito da 3 satelliti artificiali posti ai vertici di un triangolo equilatero, separati tra loro da una

distanza di 5 milioni di chilometri. Questa costellazione di satelliti si muoverà in un'orbita solare, alla

distanza di 1 unità astronomica dal Sole. Tramite un interferometro laser la distanza reciproca verrà

accuratamente misurata, ed eventuali piccolissimi cambiamenti potranno essere attribuiti ad onde

gravitazionali di passaggio. I laser usati per la misurazione avranno una potenza di 1 watt, e saranno

osservati tramite piccoli telescopi di 30 cm di diametro.

LISA sarà sensibile a onde gravitazionali a bassa frequenza, fra 0,1 mHz e 1 Hz, poiché non sarà affetto dai

disturbi ambientali di origine terrestre, come i microsismi, e potrà esplorare frequenze molto più basse di

quelle a cui sono sensibili gli interferometri terrestri, come Virgo e LIGO, e quindi osserverà sorgenti diverse

da quelle osservate da Virgo e LIGO. La sensibilità di LISA è stimata, nel caso migliore, a 10-11 m. Questo

sarà sufficiente per rilevare le emissioni di centinaia o migliaia di stelle binarie vicine, e quelle di buchi neri

poste in galassie lontane.

Onde gravitazionali

E =

mc2

Onde gravitazionali

E =

mc2



Buchi Neri

E =

mc2

Buchi Neri Esistono quindi negli spazi celesti dei corpi

oscuri talmente considerevoli e forse altrettanto numerosi delle stesse. Un astro luminoso della stessa densità della Terra e il cui diametro fosse duecentocinquanta volte maggiore di quello del Sole non potrebbe farci pervenire, a causa della propria attrazione gravitazionale, alcun raggio luminoso; è quindi possibile che i più grandi corpi luminosi dell’Universo siano per la stessa ragione invisibili.

Pierre Simon de Laplace (1796)

,

E =

mc2

La velocità di fuga vf: la velocità da

imprimere a un corpo per

sottrarlo alla gravità di una massa

M con raggio R

La velocità di fuga dalla

Terra è di 11.2 km/s

Un satellite in orbita al

limite dell’atmosfera ha

velocità di 7.9

km/s

R

GMv

R

GMmmv ff

2

2

1 2

Buchi Neri

E =

mc2

Nel 1798 Laplace valuta che, nella teoria corpuscolare newtoniana, la luce

non può sfuggire dalla superficie di un corpo che abbia vf > c: esistono le stelle

nere ?

Non possiamo ricevere informazioni da un corpo di massa M che abbia un

raggio

Esiste un “orizzonte gravitazionale”

Ma si afferma la teoria ondulatoria: la luce è un’onda, non ha massa !

Come può allora sentire la forza gravitazionale ? L’orizzonte potrebbe essere

trasparente alla luce !

2

2

c

GMRR orizz

Buchi Neri

E =

mc2

Equivalenza di massa ed energia: anche

l’energia “sente” la forza gravitazionale

I raggi di luce seguono le “geodetiche”,

traiettorie definite da una velocità sempre

eguale a c

I fotoni muovendosi in un campo

gravitazionale perdono energia e si

“arrossano”

Se il campo è molto intenso la loro energia

tende a zero e diventano invisibili

Quindi il concetto di “orizzonte” si applica

anche alla luce

Buchi Neri

E =

mc2

Buchi Neri

I buchi neri sono previsti dalla Relatività Generale

(soluzione di Schwarzschild)

Sono regioni in cui la curvatura è così forte da

intrappolare anche la luce

Nulla che vi si avvicini troppo (orizzonte degli

eventi) ne può fuggire

Nel caso di un buco nero, l'orizzonte degli eventi si

crea nel momento in cui, in un corpo

autogravitante, la “materia” è così concentrata che

la velocità di fuga dovrebbe essere pari o

addirittura superiore a quella della luce.

2

2

c

GMrS

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Schwarzschild.jpg

E =

mc2

Buchi Neri

Osservatore che attraversa l'orizzonte: non si

accorge di nulla e procede verso la singolarità in

un tempo finito per il suo orologio

Osservatore lontano dal buco nero: vede l'altro

osservatore avvicinarsi all'orizzonte ma mai

raggiungerlo

Un errore molto comune è quello di immaginare

l'orizzonte degli eventi di un buco nero come

una superficie statica di forma più o meno

sferica. Quello che è invece bene tenere

presente è che si tratta di un orizzonte a tutti gli

effetti, ovvero di qualcosa di non raggiungibile e

che si allontana all'avvicinarsi di un osservatore

(esattamente come l'orizzonte terrestre).

E =

mc2

Buchi Neri

Secondo una definizione data da Roger Penrose in un buco nero, l'orizzonte degli

eventi è una particolare superficie dello spazio-tempo che separa i posti da cui

possono sfuggire segnali da quelli da cui nessun segnale può sfuggire.

In una accezione molto più generale, se per "evento" si intende un fenomeno

(particolare stato della realtà fisica osservabile), identificato dalle quattro coordinate

spazio-temporali, un "orizzonte degli eventi" può essere definito come una regione

dello spazio-tempo oltre la quale cessa di essere possibile osservare il fenomeno.

Nel caso dei buchi neri di Schwarzschild, l'orizzonte degli eventi è una superficie

sferica che circonda una singolarità posta al centro della sfera; quest'ultima è un

punto nel quale la densità sarebbe infinita e le leggi della fisica, secondo la teoria

della relatività generale, perdono significato.

E =

mc2

In condizioni normali la materia è ben lontana dallo stadio di BH

In astrofisica è possibile raggiungere situazioni di forte compressione della

materia e quindi produrre oggetti di dimensioni inferiori al raggio

dell’orizzonte

In termini di densità (corpi omogenei)

Esistono BH ?

23

6

32

3

MG

c

E =

mc2

Strutture stellari di equilibrio

E =

mc2

Buchi Neri: Nuclei galattici

Le condensazioni centrali nei nuclei

delle galassie sono presumibilmente

BH perché contengono masse pari a

108 M entro raggi di dimensione del

sistema solare 108 km

Le densità non sono in tal caso molto

grandi, ma la forza di gravità è enorme

Il raggiungimento di questo stadio è

ineluttabile (Rees)

E =

mc2

Come si possono “vedere” i buchi neri ?

I BH sono “riscaldatori cosmici”

Attraggono la materia circostante, la

comprimono, la frammentano e la

surriscaldano

La materia diventa molto luminosa e

può essere osservata prima di essere

inghiottita dall’orizzonte

E =

mc2

Dischi di accrescimento, vortici gravitazionali

Il materiale che cade, rilascia fino al 40% dell’energia di massa: E ~ 0.4

mc2

51

1 caramella = 10 kilotoni


E =

mc2

Per mantenere il BH luminoso per tempi

lunghi occorre un regolare rifornimento di

materia

Sistemi stellari compatti

Ambiente ricco di gas

La materia si pone in orbita quasi-

Kepleriana e si surriscalda per effetto di

forze viscose

52


E =

mc2

Il caso di Cygnus X-1

Sorgente X scoperta dal satellite Uhuru nel 1970

53

Ottico Raggi X

E =

mc2

Impulsi irregolari a raggi X della durata di millisecondi

Radiazione del disco di accrescimento con irregolarità dovute alla dinamica

54


E =

mc2

La componente visibile è una supergigante O9-B0, con una temperatura superficiale

di 31.000 K ed una massa di 20-30 masse solari.

L'oggetto compatto ha massa pari a 7-13 masse solari; poiché la massa di una stella

di neutroni non può superare le tre masse solari, si ritiene che possa essere

un buco nero.

Altre ipotesi sull'essenza di Cygnus X-1 sono altrettanto possibili tuttavia. Si pensi,

ad esempio, ad una stella di neutroni in orbita attorno ad un'ordinaria stella di

massa solare 9 e che la coppia orbiti a sua volta attorno un'altra stella ordinaria di

circa 30 masse solari. Se la stella di massa solare 9 trasferisse massa alla stella di

neutroni, fenomeno che causerebbe emissione di raggi X, ci ritroveremmo con una

sorgente di raggi X di massa stellare 10 orbitante attorno ad una stella di massa

solare 30, esattamente come osservato. Questo scenario, un sistema stellare triplo,

non costituirebbe affatto un'anomalia. Si pensi infatti che la stella a noi più

vicina, Alfa Centauri, è parte essa stessa di un sistema stellare triplo.


E =

mc2



Problemi Aperti

E =

mc2

Quando la curvatura diventa infinita (?)La curvatura dello spazio-tempo cambia a seconda della

massa dell'oggetto

Se un oggetto è abbastanza massivo (almeno 3 volte la massa del Sole) può collassare fino a un

punto (singolarità la teoria non è completa?)

Per la Terra il limite è 1 cm, per il Sole 3 km Ma cosa accade oltre l’orizzonte degli eventi ? Secondo la teoria la densità dell’oggetto dovrebbe

diventare infinita ???

E =

mc2

Buchi Neri o Stelle Nere ?

Alcuni scienziati hanno messo in dubbio l'esistenza dei buchi neri e hanno ipotizzato

che i corpi celesti identificati attualmente come buchi neri ma solo osservati

indirettamente siano in realtà "stelle nere" prive di orizzonte degli eventi.

Tali scienziati hanno visto come la definizione attuale di buco nero provochi alcuni

paradossi: uno di questi è quello della perdita di informazioni.

Questo paradosso consiste nel fatto che un buco nero, che contiene al suo interno

un enorme quantità di informazioni, evapori emettendo la radiazione di Hawking,

che tuttavia non porta con sé nessuna informazione.

Di conseguenza, durante l'evaporazione del buco nero, le informazioni contenute in

esso svaniscono nel nulla. Questa perdita di informazioni contraddice una proprietà

fondamentale della meccanica quantistica, l'unitarietà, secondo cui nessuna

informazione può essere distrutta.

E =

mc2



Conclusioni

E =

mc2

Teoria altamente efficace per descrivere la gravitazione e la

cosmologia

Singolarità e inconsistenza con la Meccanica Quantistica

Stato dell’arte

Conclusioni

E =

mc2

T

c

GgR

4

8

2

1

Qualcosa oltre la Relatività Generale deve ancora essere

trovato…

Qualcosa oltre la Relatività Generale deve ancora essere

trovato…

Conclusioni

il naviglio di galileo 2.1

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