il fluido. la pompa. il circuito. la fisica della circolazione
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Il FLUIDO.
LA POMPA.
IL CIRCUITO.
LA FISICA DELLA CIRCOLAZIONE
IL FLUIDO:
Ci occuperemo di studiare un particolare LIQUIDO detto SANGUE.Partendo dalla descrizione fisica del liquido in condizioni di riposo (FLUIDOSTATICA) e di movimento (FLUIDODINAMICA), vedremo come esso abbia ‘strane’ proprietà VISCOSE.
LA FISICA DELLA CIRCOLAZIONE
Discutiamo….
STATICA
I liquidi possiedono VOLUME ma non FORMA propria:sono perciò normalmente CONFINATI in un recipiente.
Lungo la superficie di contatto S il liquido risponde allaforza F con cui viene tenuto confinato con una REAZIONEuguale e opposta: si dice che esercita una
PRESSIONE P=F/S
In condizioni statiche e in assenza di altre forze, la pressioneè omogenea e assume lo stesso valore in ogni punto delliquido.
Sulla superficie terrestre il campo gravitazionale è responsabiledel ‘peso’ degli oggetti: come influenza la pressione idrostatica?
z
z + dz
P=mg=dVg
F=(p(z+dz)- p(z))S
All’equilibrio deve essere:
P(z+dz)-p(z)= d V g /S= d dz g
Dunque alla profondità z: p(z)=patm + d z g
Questa legge (nota come legge di Stevino) spiega perché èconsuetudine misurare le pressioni tramite ‘altezze’ di fluidi:cmH2O, mmHg,…
p= d g h
È una F/S: nel SI si misura inN/m2 = pascal (Pa)
1 cmH2O=103 kg/m3 10 m/s2 10-2 m== 100 Pa
1 mmHg=13.3 103 kg/m3 10 m/s2 10-3 m==133 Pa
La pressione IDROSTATICA gioca un ruolo non trascurabileanche nei sistemi biologici:
Pc=100 mmHg
0.5 m
1.2 m
Se assumiamo che la densitàdel sangue sia pari all’acqua:
p capo= 100 mmHg-103 10 0.5 /133= 63 mmHg
p piedi= 100 mmHg+103 10 1.2 /133= 190 mmHg
Diamo i numeri……
Con un violento atto inspiratorio, cioè succhiando con forza, sipuò ridurre la pressione relativa nei polmoni fino a -40 mmHg. Calcolare l’altezza massima da cui si può succhiare con una cannuccia acqua (d=103 kg/m3) oppure gin (d=0.92 103 kg/m3)(0.55; 0.6 m)
Diamo i numeri…..
Durante una trasfusione di sangue intero, l’ago è inserito in unavena dove la pressione è di 15 mmHg. A quale altezza rispetto alla vena deve essere posta la sacca? (0.2 m)
FLUIDODINAMICA
In generale la descrizione del movimento di un fluido è molto complicata: occorre definire un CAMPO VETTORIALE diVELOCITA’ che ad ogni punto (x,y,z) e ad ogni istante tassocia un vettore v tangente alla direzione di movimento del fluido.
Noi considereremo per semplicità moti STAZIONARI (checioè non variano nel tempo) e in cui tutte le particelle simuovono nella medesima direzione lungo l’asse di un tubo.
Discutiamo...
La grandezza che descrive il moto del fluido è la PORTATA:
Q=V/t
cioè il rapporto tra il volume di fluido che attraversa una superficie Sdel condotto nel tempo t e il tempo t.
Poiché nel caso di un condotto rigido cilindrico V = S l
Q = S l/t = S v
Se non esistono ‘perdite’ o sorgenti lungo il condotto, la portata Qresta costante.
S1 S2
v1 S1= v2 S2
v1 = v2
S1 S2
Se S2 < S1
v2 > v1
In molte circostanze si può considerare il liquido come‘perfetto’ o inviscido, ossia si possono trascurare gli attriti con le pareti e tra le molecole stesse.
Applicando il PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA ad un volumetto di fluido divolume unitario:
p1
p2
h2
h1
Lavoro delle forze di pressione + energia cinetica + energia potenziale = COSTANTE
L = F x = p S x = p V = p
NB! V unitario!
Ec = m v2/2 = d V v2 /2 = d v2 /2
E p = m g h = d V g h = d g h
dunque:
p + d v2 /2 + d g h = COST
è nota come legge di Bernouilli.
Esempio n. 1: STENOSI E ANEURISMA
S1
S2
Se S2 = 0.5 S1
v2 = 2 v1
v22= 4 v12
p1 + d v12/2 = p2 + d v22/2
p2 = p1 - 3 d v12/2
la pressione nella stenosi diminuisce!
Es. n. 2 : inserzione di cateteri
Direzione del flusso
Misura la pressione idrostatica p
Misura la pressione ‘cinetica’ p - d v2/2
Misura la pressione ‘cinetica’ p + d v2/2
Diamo i numeri…..
In un individuo a riposo la velocità media del sangue attraversol’aorta è pari a 0.33 m/s. Qual è la portata sanguigna, seil raggio dell’aorta è di 9 mm? (5 l/min)
Diamo i numeri….
Con i dati precedenti ricavare la relazione che lega la pressione sanguigna nel ventricolo sinistro e la pressione nel primo tratto dell’aorta durante la sistole
Diamo i numeri…..
Un’arteria di raggio r=2.5 mm è parzialmente ostruita da unaplacca, per modo che il suo raggio effettivo in quel punto vale 1.8 mme la velocità del sangue è di 50 cm/s.Calcolare la velocità media del sangue dove l’arteria non èostruita.
Discutiamo….
La definizione più intuitiva è quella data da Newton:
“una mancanza di scorrevolezza tra strati adiacenti diun fluido che si muovono con velocità diversa”
Si tratta di una forma di ATTRITO con le pareti etra gli strati del fluido stesso, che determina unadissipazione di energia, che si manifesta sotto forma dicaduta di pressione proporzionale alla portata(esattamente come un filo percorso da corrente registra una diminuzione di potenziale elettrico proporzionaleall’intensità di corrente.
Anche in questo caso si parla di RESISTENZA:
R = Pin - P fin / Q
in piena analogia conla prima legge di Ohm:
R = Vin - V fin / I
approfondimento
I liquidi reali presentano il fenomeno della viscosità, legato allapresenza di attriti di scivolamento tra i filetti fluidi.
Analogia meccanica:
z
FF/S = Y x/z
x
Nel caso che la medesima sollecitazione dia applicata ad un fluido,osserveremo una ‘deformazione nel movimento’:
F / S = v/z dove è detta viscosità.
Le dimensioni della viscosità sono:
F z / S v = p t ( Pa s)ma è tradizionalmente misurata in Poise : 1 Poise= 0.1 Pa s
Se teniamo conto della viscosità all’equilibrio le forze di pressione dovranno equilibrare quelle di attrito:
(p1 - p2) S = 2 R l dove dv/dr
dunque ai capi vi sarà una differenza di pressione: p1-p2= 2 l R
La viscosità del fluido comporta altre due conseguenze importanti:
1) sostituendo dv/dr nella relazione precedente si ottieneun’equazione differenziale:
dv/dr = - (p1-p2) r / 2 l
la cui soluzione fornisce la forma del profilo di velocità:
v = v max ( 1 - r2/R2) v max = (p1-p2) R2 / 4l
ci dice che le particellein una data sezione non si muovono tuttealla stessa velocità, ma sono praticamente ferme alla parete eraggiungiono la massima velocità in centro. Il profilo di velocitàè parabolico.
2) Ricordando ora che Q = vmed S, e osservando che nel caso di unprofilo parabolico vmed = v max /2
Q = (p1-p2) R4 /8 l
Pertanto la RESISTENZA IDRODINAMICA si
potrà calcolare come:
R = (p1-p2)/ Q = 8 l r
( legge di Poiseuille)
N.B. E’ analoga alla seconda legge di Ohm, ma dipende dallaquarta potenza del raggio anziché dalla seconda!
Diamo i numeri….
Una riduzione di raggio dell 1% (dr/r=0.01) di un vasosanguigno comporta un aumento di resistenza:
Diamo i numeri….
Calcolare la caduta di pressione in un capillare di lunghezza 1 mme raggio 2 m, se la velocità al centro del capillare è 0.66 mm/s.(9.8 mmHg)
Diamo i numeri….
Che resistenza oppone all’ acqua un ago di lunghezza 8 cm e raggio interno 0.04 cm? L’ago viene inserito in una siringa con un pistone di area 3.5 cm2. Quale forza bisogna applicareperché l’acqua penetri nella vena con una portata Q= 2 cm3/s?Assumere che la pressione nella vena sia 9 mmHg.(8 109 ps/m3,6 N)
Limiti di validità della legge di Poiseuille
-velocità del fluido inferiore alla velocità critica, al di sopradella quale si manifestano fenomeni di turbolenza,
-vasi grandi rispetto alle dimensioni dei globuli rossi (avvengonofenomeni più complessi )
-approssimazione di tubo rigido, in quanto la legge trascura glieffetti elastici.
Vedremo poi le caratteristiche dalla particolare POMPA che spinge il sangue, studiandone le caratteristiche di lavoro.
Infine ci occuperemo del CIRCUITO in cui il sangue circola,considerandone le caratteristiche ELASTICHE.
Il sangue è una sospensione di cellule in una soluzione acquosa di sali e molecole organiche (7% inpeso) detta PLASMA. Il contenuto in sali ne definiscele proprietà OSMOTICHE.
Il PLASMA è sostanzialmente un FLUIDO OMOGENEO,dotato di normale viscosità (circa una volta e mezza quella dell’acqua).
Il SANGUE INTERO NON E’ un liquido omogeneo.Esso contiene:
ERITROCITI ( 5 106 /mm3)LEUCICITI ( 5-8 103 /mm3)PIASTRINE ( 250-500 103 /mm3)
La sua VISCOSITA’ dipende:
* dalla TEMPERATURA(aumenta nei congelamenti,…)
* dall’ EMATOCRITO
* dalla PORTATA (effetto di accumulo assiale)
* dal raggio del vaso (effetto Lindquist)
Si definisce EMATOCRITO il volume percentuale di sangue occupato dagli eritrociti. Di norma HT vale circa il 40%.
HT (%)
Viscositàrelativa
5
20 40 60 80
Visc apparente (cp)
Portata(cm3/s)0.05 0.1
10
Visc apparente (cp)
Raggio(m)
4
500
LA POMPA
Il CUORE è la pompa che compie LAVORO per vinceregli attriti viscosi del sangue.Trattandosi di una struttura muscolare essa:
* è attivata da un impulso elettrico (potenzialedi azione)
* può contrarsi in modo ISOTONICO e ISOMETRICO
ISOTONICO: il muscolo si accorcia (fa LAVORO esterno)
ISOMETRICO: il muscolo sviluppa tensione contro un carico esterno senza variare la lunghezza
Le cavità funzionano come superfici elastiche: nel casosferico si può porre in relazione la pressione p generata durante la contrazione con il raggio r e con la tensionegenerata dalla tensione muscolare :
rp
2
Se la bolla è piena di aria, èpossibile aumentare la pressioneal suo interno sia riducendo r(isotonicamente) sia aumentandola tensione di parete isometricamente)
Se la bolla è piena di acqua,èpossibile aumentare la pressionetramite l’aumento della tensione di(isometricamente), ma la riduzionedel volume non è possibile a causadella incompressibilità del liquido,a meno che esista una valvola checonsente la fuoriuscita del liquido.Dunque la fase di contrazione edilatazione isotonica richiede chele valvole siano aperte.
Aspirazione (diastole) Espulsione (sistole)
‘a valvole chiuse’= isometrica
‘a valvole aperte’= isotonica
Due pompe parallele….
Di cui quellasinistra ad alta pressione equella destraa bassa pressione(ca 1/5)
Che lavorano in serie…..producendo la medesima portata
LAVORO CARDIACO:
comprende quello del cuore ‘sinistro’ e ‘destro’, ma il primo èpreponderante.
CONTRAZIONE ISOMETRICA: L = 0
CONTRAZIONE ISOTONICA: DV= Vfin-Viniz, L=pv* DV
RILASSAMENTO ISOMETRICO: L = 0
RILASSAMENTO ISOTONICO: Pa = 0, L = 0
poiché pv = 100 mmHg, DV = 60 cm3
per ogni pulsazione
L = 100/760 * 105 * 60 * 10-6 = 0.8 J
Aggiungendo il contributo del cuore destro, la cui pressione ventri-colare è circa 1/5 di quella del cuore sinistro, e considerando che(ovviamente) la gittata è costante:
Ltot = 0.8 + 0.16 = 1 J
Se consideriamo una frequenza media di circa 60 battiti/min, lapotenza sarà pari a:
P = L/t = 1 J/1 s = 1 W
A riposo vale circa 0.8 J
Sotto sforzo: DV=200 cm3, pv=160 mmHg vale circa 4.2 J
In definitiva: il lavoroi del cuore
Diamo i numeri…..
Calcolare il lavoro cardiaco per pulsazione in un soggetto sottosforzo in cui la frequenza cardiaca è 180 battiti/minuto, il volume pulsatorio è di 160 cm3 e la pressione media ventricolare vale 150 mmHg. Determinare anche la potenza cardiaca media.
IL CIRCUITO.
Il ‘grande circolo’ è un insieme di distretti posti tra loro inparallelo. A partire dall’aorta si diramano le grandi arterie,che alimentano ciascun distretto.Il sangue uscente da ciascun distretto perviene alle vene cave tramite il sistema venoso.
I grandi vasi (arterie e vene) possono modulare la loro resistenzavasodilatandosi o vasocostringendosi:
es: sia r il raggio di un’arteria in condizioni normali e r* quellosotto sforzo.
Per la legge di Poiseuille sappiamo che:
R*/R = (r/r*)4
se ad es si ha una vasodilatazione del 10 %: r*/r=1.1
allora
R*/R = (1/1.1)4 = 1/1.46
dunque la resistenza diminuisce del 46% !
Diamo i numeri…..
Studi su persone ipertese hanno dimostrato che la portata sanguigna è pressoché normale, calcolare quale aumento di pressione vieneindotto da una restrizione del lume dei vasi all’ 80% del valorenormale.(assunta una Dp media di 90 mmHg, si ottiene 220 mmHg)
Viceversa, per la regolazione delle resistenze delmicrocircolo, è essenziale l’organizzazione inparallelo dei microvasi.La regolazione, in questo caso, avviene ‘reclutando’o ‘escludendo’ una frazione dei vasi disponibili.
Perché i piccoli vasi (che hanno maggiore resistenza) sono organizzati ‘in parallelo’?
-----WWWWWWWWWWWWW-----
R1 R2
pi-pf= Rtot Q = pi-P +P-pf = R1 Q + R2 Q = (R1+R2) Q
dunque Rtot= R1 + R2
WWWWWW--- ----- WWWWWW
Q = (pi-pf)/Rtot = Q1 + Q2 = (pi-pf)/R1 + (pi-pf)/R2
dunque 1/Rtot = 1/ R1 + 1/ R2
Se ci sono N vasi di uguale resistenza r
1 / Rtot = N / r
dunque Rtot = r /N
al crescere di N la resistenza totale diminuisce!
L’organizzazione microvascolare ‘in parallelo’ è funzionalealla riduzione della resistenza totale e all’aumento dellasuperficie di scambio.
L’ACCOPPIAMENTO POMPA-CIRCUITO
Come in tutti i sistemi artificiali, è di fondamentale importanzache l’accoppiamento sia adeguato.
Il funzionamento della pompa può essere descritto da un grafico che mette in relazione la portata Q generata dalla pompastessa e la pressione p contro cui lavora (che i fisiologi chiamano ‘postcarico’ (curva ROSSA)
Il comportamento del circuito è descritto dalla leggedi Poiseuille, cioè sostanzialmente dalla resistenza Rdel circuito stesso.Le curve VERDE e BLU descrivonodue condizioni di resistenza.
Q
p
Il luogo in cui le rette si incontrano è il punto di lavoro delcuore. Come si vede, se la resistenza vascolare è più elevata la portata diminuisce. C’è un’altra conseguenza importante: se R è maggiore, è maggiore la potenza spesadal cuore per il suo funzionamento.Infatti, essendo
P= L/t = P V/t = P Q
p
QP
x
x
o
o
Nella realtà la funzione di pompa è più complessa,ed è regolata dalla pressione del sangue che arrivaall’atrio tramite le vene (il cosiddetto ‘precarico’)dalla legge di Frank-Starling.
MOTI ESTERNI
La viscosità del fluido gioca un ruoo importante anche nel determinare le condizioni di moto degli oggettiimmersi. I corpi che si muovono in un liquido viscoso,infatti, subiscono un’attrito proporzionale alla velocitàdel loro moto. Nel caso semplice di oggetti sferici diraggio r la forza di attrito è data dalla legge di Stokes:
Fa = 6 r v
In generale l’effetto dell’attrito è quello di determinareun moto bifasico: inizialmente c’è un transitorio inmoto accelerato, successivamente si raggiunge unacondizione di equilibrio a velocità costante di deriva.Un esempio è dato dalla VELOCITA’ DI ERITROSEDIMEN-TAZIONE (VES)
Forza peso:P = dVg
Spinta di Archimede:S = dlVg
Forza di attrito:A=6rv
All’ equilibrio: S + A = P
v= 2(d-dl)g r2/9
nel caso della VES, sostituendo i valori‘normali’: r= 3.5 m; d(glob)=1.0995 g/cm3; d(plasma)=1.0265 g/cm3, = 0.01 cPsi trova una velocità di sedimentazione pari a v= 7 mm/h !Nel corso di processi infettivi la variazione di dimensione dei globuli comporta unaumento di v.