SigProc-7-IIR 1

IIR-Filter

FIR IIR

SigProc-7-IIR 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Normalized Frequency ( ×π rad/sample)

Mag

nitu

de

Magnitude ResponseIIR-Filter haben kompliziertere Block-diagramme, sind schwerer zu entwerfen und analysieren, haben keine lineare Phase, aber sie sind selektiver!

–– HammingTP 20. Ordnung--- Butterworth 5. Ordnung

SigProc-7-IIR 3

1 2 11

1

1 2

0 1 2 1

1

0

0 1 1

[ ]

[ ] [ 1]

[ ] [ 1] [

[ 1] [ 2][ ] [ 1] [ 2] [ 1 ]

[ ]

[

[ 1]

[ ]

] 1

MM

m

L

L

kk m

T

TT

M

L

T

b x n b x n b x na y

b x n Ln a y n a y n M

a y n m

a

b x n k

b

y n

n n

xb b

a

n n x n L

a

x

b y

a

b x

ax

1 [ 1] [ 1] [ 2] [ 1 Tn y n y n x n My

SigProc-7-IIR 4

DF I

SigProc-7-IIR 5

1 1

1 2 11 2 1

0 01

01

01 1

0 1 11 2 1

1 2

10 1 1

1

1( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )( ) 1

=1

L Mk m

k mL

k

kM

m

m

L

MM

L

m

LL

MM

k

m

k

Y z X z

Y z

X z z

b b z

a z a z a

Y z z

zY zH zX z

z

a

a z

b b z b za z a z a z

b z

b

b

(L – 1) Nullstellen und (M – 1) Polstellen

SigProc-7-IIR 6

Frequenzgang

1

01

0

( ) ( )1

( ) ( ) gerade( ) ( ) ungerade

j

Lj k

kk

Mz ej m

mm

b eH H z

a e

H H

SigProc-7-IIR 7

b = [1 0.5]a = [1 -0.5 0.2]

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y Pa

rt

0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

n (samples)

Am

plitu

de

Impulse Response

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100

-50

0

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Phas

e (d

egre

es)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

-10

0

10

Normalized Frequency (×π rad/sample)M

agni

tude

(dB

)

impz(b,a)

SigProc-7-IIR 8

IIR-Filterstrukturen• Direkte Form I• Direkte Form II

weniger Speicherbedarf als Form I, aber gleicher Rechenaufwand

• Transponierte Form I und II

Transponierte und direkte Form I & II reagieren sehr empfindlich auf Quantisierungsfehler, da die Quantisierungsfehler rückgekoppelt und summiert werden.

SigProc-7-IIR 9DF I DF II1 1

( ) ( )( ) ( )

B z B zA z A z

SigProc-7-IIR 10

x(n)y(n)

^

<

<

<

<

>

>

>

<>

^

^

v

v

v

v

v

v

v

v

Transponierte Form• Eingang Ausgang• Pfeile umdrehen• Verzweigung Addierer• Addierer Verzweigung

SigProc-7-IIR 11Transponierte DF II

Achtung!

SigProc-7-IIR 12

In der Literatur werden die IIR-Filter oft in der Form

dargestellt.Die Koeffizienten a in den Blockdiagrammen nehmen dann negatives Vorzeichen an!

1

01

0

( )( )( ) 1

Lk

kk

Mm

mm

b zY zH zX z a z

SigProc-7-IIR 13

Kaskaden• Kaskadierung weil Kaskaden nur zweiter Ordnung:

– einfacher zu entwerfen– weniger anfällig für Quantisierungsfehler– weniger anfällig für Stabilitätsprobleme

1 2 1 2

1 2

1 20 1 2

1 21 1 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ]

( ) ( )1

kask kask

kask

K Kk k k

kk k k k

H z H z H z H H Hh n h n h n

b b z b zH z G H z Ga z a z

Aber …

… die Aufteilung der Pole und Nullstellen auf die Subsysteme 2. Ordnung nicht trivial

SigProc-7-IIR 14

1 2

1 2

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

n

m

z z z z z zH z kz p z p z p− − −

=− − −

1. Suche des dem Einheitskreis nächstgelegenen Poles oder Polpaares

2. Suche der dem Einheitskreis nächstgelegenen Nullstelle oder Nullstellenpaares

3. Zusammenfassen der gefundenen Pole und Nullstellen in eine Sektion zweiter Ordnung

4. Fortsetzen von 1 bis 3, bis alle Pole und Nullstellen in abnehmenden Abstand von Einheitskreis geordnet sind

5. Implementierung der gefundenen Sektionen

Aufteilung der Pole und Nullstellen

SigProc-7-IIR 15

1 2

1 2

( )( )( )( )( )

z z z zH zz p z p− −

=− −

SigProc-7-IIR 16

Kaskadierte Biquads 4. Ordnung

SigProc-7-IIR 17

Matlabunterstützung für KaskadenSecond Order Sections (SOS)Umwandlungsfunktionen aus der Polynom- und der PN-Darstellung

[z,p,k] = tf2zp(b,a)

1 2

1 2

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

n

m

z z z z z zH z kz p z p z p− − −

=− − −

z, p … Vektor der Null- und Polstellen, k … Konstante

SigProc-7-IIR 18

01 11 21 11 21

02 12 22 12 22

0 1 2 1 2 6

11

1K K K K K K

b b b a ab b b a a

sos

b b b a a×

=

Achtung Matlab stellt das Polynom mit positiven a dar. Die Vorzeichen von a müssen daher für unsere Darstellung umgekehrt werden.

[sos,G] = zp2sos(z,p,k)

1 201 11 21

1 211 21

( )1b b z b zH z

a z a z

− −

− −

+ +=

+ +

1 20 1 2

1 21 2

( )1k k k

k k

b b z b zH za z a z

SigProc-7-IIR 19

Realisierung durch parallele IIR-Filter 2. Ordnung

10 1

1 21 1 1 2

( ) ( )1

K Kk k

kk k k k

b b zH z G H z Ga z a z

Die Parallelstruktur kann durch Partialbruch-zerlegung der Systemfunktion gewonnen werden.

[r,p,k] = residuez(b,a)

SigProc-7-IIR 20

SigProc-7-IIR 21

Stabilität

( ) ( )1 2 1 11 21 2

1 1 ( )1

2. Ordnung:1 1

H zz z p z p zaa − − − −

= =− − − −

1

1 ( ) stabil, wenn a1. Ordnung: 11

H zaz−= <

−

1 1 2 2 1 2

1

12

2

1 22

stabil, wenn p 1 und p 1

1 1

a p p a p p

p apa a

= −

<

< <

<

+

− =

=

a2

a1

BESTIMMUNG DER KOEFFIZIENTEN

SigProc-7-IIR 22

Methoden

• Platzieren von Polen und Nullstellen• Invarianz der Impulsantwort• Bilineare Transformation

SigProc-7-IIR 23

Platzieren von PN

SigProc-7-IIR 24

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Mag

nitu

de

Magnitude Response

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real PartIm

agin

ary

Part

Pole/Zero Plot

Bandpass zweiter Ordnung

SigProc-7-IIR 25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Mag

nitu

de

Magnitude Response

Bandsperre (Notch-/Kerbfilter) 2. Ordnung

SigProc-7-IIR 26

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Mag

nitu

de (d

B)

Magnitude Response (dB)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y Pa

rt

Pole/Zero Plot

Elliptisches Filter 5. Ordnung

Invariante Impulsantwort

SigProc-7-IIR 27

Analoger TP 1. Ordnung

SigProc-7-IIR 28

( ) i

ia

i

p tia a

i

AH

s pA

h t H s Aes p

-1 -1L L

[ ] ( ) , 1,2,ip nT

d a ih n h nT Ae n

Abtasten im Zeitbereich

1

10 0

( ) ( )1

i

i

p nTn ia i pT

n n

AH z h nT z Ae z

e z

z-Transformation

SigProc-7-IIR 29

11 i

i ipT

i

A A

s p e z

Bei Filtern höhere Ordnung Partialbruchzerlegung

2 2

2 2

2 2

2

2 2

( )( )

sin( )

2 cos

( )( )

cos( )

2 cos

a

T

d T T

a

T

d T T

H ss

ze TH z

z ze T e

sH s

sz ze T

H zz ze T e

SigProc-7-IIR 30

Diese Methode kann nur für scharf begrenzte Tief- oder Bandpässen angewandt werden und verlangt kleines T, um die Impulsantwort genau abzutasten.

Die Methode kann nicht angewandt werden, wenn das analoge Filter ein Hochpass oder eine Bandsperre ist, da ja das Spektrum digitaler Filter periodisch fortgesetzt wird und es zu Aliasing kommt.

SigProc-7-IIR 31

Dieses Verfahren ist invariant für die Impulsantwort, aber nicht invariant für die Sprungantwort.Die Sprungantwort ist

1

1

1

1 1 1( )

( ) Laplace-Tr

( ) 1

ansfor

( ) 1 ( )

( ) 1 ( )

mat

)

i n

(

o

i

i

i

i iastep a

i i i

p tiaste

p nTiast

pi

p tiast

epi

epi

A AY H s

s s s p p s s p

Ay t e t

pA

y t e

Ay nT e

p

p

t

t

SigProc-7-IIR 32

Berechnen wir die Sprungantwort für dieses (Impuls-invariante) Filter im z-Bereich müssen wir mit der z-Transformierten der Sprungantwort multiplizieren und erhalten

11 1

( 1

1

1

)

1

1( )

11 1 1 Transformation

1 [ ]

1

1

( ) 1 [ ]11

i

i i i

i

i

i

i

i

pTi i

dstep pT pT pT

pT p pT nTn idst

ip pe pTT

z

Ay

A A eY z

ze z e e zz

Ae e nn e n

e e

SigProc-7-IIR 33

(

1

1

1)

( ) 1 ( )

( ) 1 [ ]1

i

i

i

p nTiastep

i

pT nidstep pT

Ay n

Ay n e n

p

e

T e t

Invarianz der Sprungantwort

SigProc-7-IIR 34

1

1 11

11

1 1

Konstante

( ) 1 ( )

nach der z-Transformation wird

1 1 1Y ( ) ( )

1

1

1111

( ) 11 1

( )

i

i

i

i

i i

p nTiastep

i

iastep pT

ipT

i ipT T

iT

i

pi

p

i

Ay nT e t

p

Az H z

p z ze ze zA Az

H zp p

A ez

z z

Hp

e e

1

1

1

1

1

p T

i

z e

pT

z

e z

SigProc-7-IIR 35

1

1

1

Impulsinvarianz ( )1

1Sprunginvarianz ( )

1

i

i

i

ipT

pT

i

pTi

AH z

e zA e

H zz

zp e

SigProc-7-IIR 36

3π/T

π/T

-π/T

-3π/T

σ

jω Im z

Re z-1 1

s-Ebene z-Ebene

Bilineare Transformation• Darstellung der DGL am »Analogrechner«

–Addierer–Multiplikation mit Konstante–Integrierer

SigProc-7-IIR 37

Digitaler Integrierer

SigProc-7-IIR 38

( 1)

Anfangsbedingung

( ) ( )

( ) 1 ( )

1 ( ) ( )2

a a

nT

a a an T

a a a

y t x t dt

y nT y n x t dt

Ty n x nT x n T

Trapezregel

SigProc-7-IIR 39

1

1

Transformati

( ) ( 1) ( ) ( 1)2

( ) 1 1(

o

) 2 1

n

Ty n y n x n x n

Y zX z z

z

z

Analoger Integrierer 1/s

1

1

1

1

1

1

2 1

1

1 1 12 1

2 1

1

( ) ( ) zd a sT z

zs z

zs

T z

H z H s

Von der s- in die z-Ebene

SigProc-7-IIR 40

12

12

sT

zsT

s j

0

00

12

12

Tj

zT

j

Imaginäre Achse im s-Bereich |z| = 1wird zum Einheitskreis im z-Bereich

SigProc-7-IIR 41

2 20

2 0 0

02 2

0 00

1 01 / 2 / 2

1 01 / 2 / 2 1 0

T Tz

T T

σ

jω Im z

Re z-1 1

s-Ebene z-Ebene

SigProc-7-IIR 42

Die Abbildung umfasst die gesamtes-Ebene, es werden also Pol- und Nullstellen in die z-Ebene abgebildet, es kann daher kein Aliasing auftreten.

Die einzige Abweichung vom analogen Filter liegt in der numerischen Berechnung der Integration.

Punkte auf der imaginäre Achse

SigProc-7-IIR 43

1

1

2

2

2 1

1

2 sin2 1 2 21 2cos

22

tan , 2arctan2 2

jj

jj

zs

T z

je ej

T Tee

TT

SigProc-7-IIR 44

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ω π

SigProc-7-IIR 45

Ω

SigProc-7-IIR 46

ApproximationenPotenz oder Butterworth

Tschebyscheff Typ I & II

Elliptisch oder Cauer

Ω

log

SigProc-7-IIR 47

SigProc-7-IIR 480 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Con

tinuo

us P

hase

(rad

ians

)

Continuous Phase Response

Filter #1Filter #2Filter #3Filter #4

Cauer

Tschebyscheff I

Butterworth

Tschebyscheff II

SigProc-7-IIR 49

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Mag

nitu

de (d

B)

Magnitude Response (dB)

ButterworthTschebyscheff II

Cauer

Tschebyscheff I

SigProc-7-IIR 50

Matlab-Funktionen

SigProc-7-IIR 51

FIR 79!

SigProc-7-IIR 52

Eigenschaft IIR FIR# Multiplikationen am niedrigsten am höchstenEmpfindlichkeit Koeffizienten Quantisierung

hoch (24-bit für HIFI Audio)

sehr niedrig, 16-bit in der Regel ausreichend

Auftreten von Overflow-Fehlern

hoch (besser Kaskaden- oder Parallelstruktur)

sehr niedrig

Stabilität Entwurfskriterium garantiert

Lineare Phase nein ja, bei Symmetrie

Größe Koeffizienten-speicher

minimal maximal

Analyse Quantisierungs-rauschen

sehr schwierig weniger schwierig