II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial (SPD) Linear

Definisi 1. Suatu SPD yang dinyatakan sebagai

, ( ) (2.1)

dengan [ ( )

( )

], A adalah matriks koefisien konstan berukuran n x n dan

b adalah vektor konstan disebut SPD Linear orde 1 dengan kondisi awal

( ) . Jika sistem dikatakan homogen dan jika sistem dikatakan

tak homogen.

(Tu 1994)

2.2 SPD Tak Linear

Definisi 2. Suatu SPD yang dinyatakan sebagai

( ) (2.2)

dengan [ ( )

( )

] dan ( ) [ ( )

( )

] adalah fungsi tak linear

pada disebut SPD Tak Linear.

(Braun, 1983)

2.3 SPD Mandiri

Definisi 3. Suatu SPD yang dinyatakan sebagai

( ) (2.3)

dengan F adalah fungsi kontinu dari dengan turunan parsial pertama kontinu,

dengan laju perubahan dinyatakan secara eksplisit dari saja dan tidak memuat

secara eksplisit disebut sebagai SPD Mandiri.

(Farlow 1994)

4

2.4 Titik Tetap

Misalkan diberikan SPD

( ) . (2.4)

Titik disebut titik tetap jika memenuhi ( ) . Titik tetap disebut juga titik

kritis atau titik keseimbangan.

(Tu 1994)

2.5 Pelinearan

Misalkan diberikan SPD

( )

( ) (2.5)

Jika( ) adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka ( ) dan

( ) . Misalkan dan maka diperoleh:

( )

( )

( )

( )

dan

( )

( )

( )

( )

Dalam bentuk matriks, SPD (2.5) dapat dituliskan sebagai

. /

(

)

. / ( )

5

Matriks (

) disebut matriks Jacobi pada titik tetap ( ).

Karena ( ) maka suku ini dapat diabaikan sehingga didapat SPD

Linear berikut ini.

. / (

). / (2.6)

Persamaan (2.6) ini disebut pelinearan SPD (2.5) di sekitar titik tetap ( )

(Strogatz 1994)

2.6 Vektor Eigen dan Nilai Eigen

Misalkan diberikan matriks berukuran . Suatu vektor taknol di

disebut vektor eigen dari jika untuk suatu skalar berlaku

Ax = x. (2.7)

Skalar disebut nilai eigen dari A dan x disebut sebagai vektor eigen dari A

terkait dengan .

Untuk memperoleh nilai eigen dari matriks yang berukuran , maka

persamaan (2.7) dapat ditulis sebagai berikut

( A – I) x = 0 (2.8)

dengan adalah matriks identitas. Persamaan (2.8) akan mempunyai solusi tak-nol

jika dan hanya jika :

det ( A – I) = | A – I | = 0 (2.9)

Persamaan (2.9) disebut persamaan karakteristik dari matriks A, skalar-skalar

yang memenuhi persamaan ini disebut nilai-nilai eigen dari matriks A.

(Anton 2000)

6

2.7 Analisis Kestabilan Titik Tetap

Misalkan diberikan matriks .

/ dengan persamaan karakteristik

( ) dengan adalah matriks identitas. Sehingga persamaan

karakteristiknya dapat dituliskan menjadi

(2.10)

dengan

( )

( ) .

Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks sebagai berikut

√

. (2.11)

Dari bentuk nilai eigen yang diperoleh, didapatkan tiga kasus untuk nilai yaitu:

Kasus .

Kedua nilai eigen bernilai real dan berbeda tanda. Berarti < 0 dan > 0 atau

sebaliknya. Maka titik tetap bersifat sadel.

Kasus .

.

− Jika maka > 0 dan > 0. Sehingga kedua nilai eigen bernilai

real positif. Maka titik tetap bersifat simpul tak stabil.

− Jika maka < 0 dan < 0. Sehingga kedua nilai eigen bernilai

real negatif. Maka titik tetap bersifat simpul stabil.

.

- Jika maka dan nilai eigen keduanya bernilai

kompleks konjugat. Maka titik tetap bersifat spiral tak stabil.

- Jika maka dan kedua nilai eigen bernilai

kompleks konjugat. Maka titik tetap bersifat spiral stabil.

- Jika maka dan kedua nilai eigen bernilai imajiner

murni Maka titik tetap bersifat center.

(Strogatz 1994)

7

2.8 Nilai Parameter

Dalam tulisan ini akan digunakan nilai-nilai parameter yang diambil dari

Colijn, Foley dan Mackey (2007).

Tabel 1 Nilai Parameter

Nama Parameter Nilai Satuan

Sel Batang Hematopoietic

Q(0)

γs

s

Leukosit

N(0)

γN

τN

AN

n

Platelet

P(0)

γP

τP

Ap

KP

R

1.1

0.07

2.8

8.0

0.5

4

6.9

2.4

3.5

752

0.40

0.36

1

2.14

0.15

7

28.2

1.17

11.66

1.29

x 106sel/kg

hari-1

hari

hari-1

x 106

-

x 109sel/kg

hari-1

hari

100’s

hari-1

x 108sel/kg

-

x 1010

sel/kg

hari-1

hari

1000’s

hari-1

(x1010

sel/kg)-

-

8

Nama Parameter Nilai Satuan

Granulosit G-CSF

X(0)

G(0)

kT

kB

VB

0.1

0

0.07

0.25

76

0.03

0.07

µg/kg

µg/ml

jam-1

jam-1

mL/kg

kg/jam

jam-1