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194 CONOCER: HOMO MOHO Señalar las características fundamentales, propias, de los conceptos matemáticos es de difícil demarcación. Lo apriorístico racional puras idealidades u objetos reales. Grosso modo se puede argumentar que las matemáticas derivan de esferas dicotómicas: una respuesta a las necesidades y problemas prácticos que singularizan la vida del hombre (atención al ambiente externo). Un esfuerzo por distinguir las regularidades presentes en el desorden aparente. En el ámbito interno, un esfuerzo de reflexión y profundización, una excursión mental en búsqueda de configuraciones ocultas (simetrías), de necesidades lógicas y de leyes del pensamiento. El qué de lo que reflejan estos conceptos matemáticos abstractos con percepción inequívoca de lo tramado anteriormente merece la tarea descriptiva de la realidad de los números reales. ¿Por qué los números REALES se llaman reales? Semejante interrogante parece un juego de palabras propio del ingenio lingüístico. La respuesta sin embargo tiene un referente bien interesante y de fácil manejo comprensivo. Su bautizo parece estar ligado al sentido común, a la sindéresis emanada de la capacidad enunciativa para designar o proporcionar magnitudes necesarias para la medida de ángulos, distancias, tiempos, energía, temperatura, u otras Autor: Dr. Próspero González Méndez Universidad de Carabobo e - mail: [email protected] A R T Í C U L O

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CONOCER: HOMO MOHO

Señalar las característicasfundamentales, propias, de losconceptos matemáticos es de difícildemarcación. Lo apriorístico racionalpuras idealidades u objetos reales.Grosso modo se puede argumentarque las matemáticas derivan deesferas dicotómicas: una respuesta alas necesidades y problemasprácticos que singularizan la vida delhombre (atención al ambiente externo).Un esfuerzo por distinguir lasregularidades presentes en el desordenaparente. En el ámbito interno, unesfuerzo de reflexión y profundización,una excursión mental en búsqueda deconfiguraciones ocultas (simetrías), denecesidades lógicas y de leyes delpensamiento. El qué de lo que reflejanestos conceptos matemáticosabstractos con percepción inequívocade lo tramado anteriormente merecela tarea descriptiva de la realidad delos números reales. ¿Por qué losnúmeros REALES se llaman reales?

Semejante interrogante parece unjuego de palabras propio del ingeniolingüístico. La respuesta sin embargotiene un referente bien interesante yde fácil manejo comprensivo. Subautizo parece estar ligado al sentidocomún, a la sindéresis emanada de lacapacidad enunciativa para designar oproporcionar magnitudes necesariaspara la medida de ángulos, distancias,tiempos, energía, temperatura, u otras

Autor:

Dr. Próspero GonzálezMéndezUniversidad de Caraboboe - mail:[email protected]

ARTÍCULO

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cantidades de estructura geométrica o física. Es decir, los números reales,facilitan la extensión, dimensión, graduación, volumen; en medidas delos objetos concretos. Sin embargo, y como se dejó ver en párrafosanteriores la relación entre los números REALES abstractamente definidosy las cantidades físicas no parece tan claro como quiere hacerse ver."Los números reales se refieren a una idealización matemática más quea cualquier cantidad física real objetiva". La naturaleza lógica y la validezuniversal de los números reales, obedece más a una construcciónidealizada que a las concretas magnitudes tomadas de los objetos. ParaKronecker, citado por Amster (2005), "Dios creó los números naturales;todo lo demás es obra del hombre"(p.13). La máxima referida sirve depreámbulo a un planteamiento de considerable estima reflexiva. ¿Elteorema de Pitágoras es falso? ¿"Impostura intelectual"? El teorema deFermat (2005) sustenta la dificultad de que la ecuación xn + yn = Z n secumpla para los números x, y, z para el conjunto de números reales cuandon>2. En otras palabras, resulta imposible "descomponer un cubo en doscubos o una cuarta potencia en dos cuartas potencias o, en general,cualquier potencia - excepto un cuadrado - en dos potencias con el mismoexponente". El encaramiento: Euclides, Lobacevskyj, Riemann, sirve debase para considerar los aspectos distintos y peculiares que caracterizana las geometrías descubiertas por estos teóricos y las correspondenciaso conexiones que hay entre ellas. El contrapunto tiene su asiento eidéticoen el último de los cinco postulados propuestos por Euclides en los 450teoremas, incluido el de Pitágoras, que constituyen el sistema deductivode éste. Cabe destacar de la cantidad mencionada de teoremas, enconsecuencia o derivación del quinto postulado, o el de las paralelas cuyoenunciado denota: "por un punto P situado fuera de una recta r pasa una ysólo una paralela a la recta dada". ¿Verdad evidente? Ver gráfica 1.

Rectas paralelas. Amster (2005).

Pr

REVISTA CIENCIAS DE LA EDUCACIÓNSegunda Etapa / Año 2011 / Vol. 21/ Nº 38. Valencia, Julio-Diciembre

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En planteamiento contemporáneo (moderno), señalado por Amsterdestaca que: "Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela adicha recta"(p.13).

¡Sorpresa! El siglo XIX fue testigo epocal de uno de los descubrimientosintelectuales más relevante en la ciencia de la matemática,específicamente en el campo de la geometría. El descubrimiento de lageometría no euclidiana.

N. Lobacevskyj (1793 -1856) y B. Riemann (1826 - 1866) alcanzaron,cada uno y de manera independiente, el descubrimiento o campanada deuna geometría no ecludiana. Su hallazgo centró la atención en el hechode demostrar que es posible construir un sistema geométrico distinto consoporte hipotético en un quinto postulado disímil del euclidiano. Lamodificación del concepto de plano fue el ariete que determinó la conquistade nuevas correspondencias divergentes a las de Euclides; quien siempredefendió la tesis de un plano rectilíneo e infinito.

En el caso de Lobacevskyj,(s/f), construyó una geometríahiperbólica. Basa su teoría señalando que "Las rectas que pasan por Ppueden ser paralelas a la recta r" (p. 460) En esta geometría la forma delplano para describir la realidad adoptó el nombre de "mundo con forma desilla de montar" (Gráfica 2). En la Gráfica 3 se muestran los elementosfundamentales, para la obtención del plano de Lobacevskyj.

Éste se logra mediante la rotación de la curva AB en torno al eje desimetría C. se postula en esta geometría o "mundo con forma de silla demontar", que la suma de los ángulos del triangulo situados sobre esteplano es inferior a 180°. En consecuencia, en un plano con esta constituciónes posible formular un sistema geométrico en el que pueda presentarsevarias rectas paralelas a una recta dada por un mismo punto. En este

C

A

B

Gráfica Nº 3Gráfica Nº 2

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plano así descrito y de condición finita, el quinto postulado no es válido yen derivación conceptual el teorema de Pitágoras es falso.

Riemann, (s/f) por su parte, genera su teoría partiendo del enunciadoopuesto: "no hay ninguna recta que pase por P paralela a r" (p.460). Sugeometría así construida describe un mundo en el que "el plano geométricose pliega sobre sí mismo hasta alcanzar la esfericidad". Esta geometríano euclidiana se conoce con el nombre de geometría elíptica. Enunciaen sus postulados que la suma de los ángulos interiores de un trianguloes mayor de 180°. Además, por su punto supuesto de partida, se alcanzaa obtener la situación del plano curvado sobre sí mismo hasta llegar aformar una esfera tal como se observa en la gráfica 4 y 5.

Esta otra geometría no euclidiana, específicamente denominadaelíptica, se resume en la idea sencilla de que las paralelas no existen. Contrariaen sus postulados a la visión de Euclides quien señala que el plano seailimitado o infinito. En inducción, el teorema de Pitágoras es falso.

La postura de Euclides se resume en su presupuesto implícito: lanecesidad de que el plano sea ilimitado o infinito. En contraposición aesta conjetura en una región limitada puede darse la situación, de habermás de un segmento que cumpla las condiciones de paralelismo. Esdecir, pasar por el punto P y no interceptar la recta r. Resulta, a estaaltura del discurso descriptor de las características del quinto postuladoy soporte conceptual del teorema de Pitágoras, tomado de Aczel (2005)el cual menciona que tal "sofisma" atribuido a éste, sólo es apto cuandose circunscribe al pie de la letra la afirmación "que el cuadrado de lahipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados

B C

A

Gráfica Nº 4 Gráfica Nº 5

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de los catetos" (p.42). En forma simbólica: x2 + y2 = Z2 , en donde x, y, zrepresentan respectivamente las medidas de los catetos y la hipotenusa.(Ver Gráfica 6).

Euclides, "vindicado de toda mancha", por las consideraciones ydemarcaciones teóricas y reflexivas que hay que tomar en cuenta paraseñalar donde es falso o no, el teorema de Pitágoras; alarma, la situacióncrítica que se produjo por el descubrimiento de la geometría no euclidiana:Crisis en los fundamentos matemáticos. En respuesta a estatransformación, la mente humana, en el contexto de una nueva área dereflexión crítica se hace de una herramienta invectiva: la filosofía de lasmatemáticas; de estrecha conjunción con la filosofía, la lógica y lasmatemáticas. Emerge del sujeto - hombre (homo) las ideas como funciónde la episteme (conocimiento) = Nous (intelecto) / dianoia (razón) ytraducidas en las teorías del logicismo (Frege, Russell), el formalismo(Hilbert) y el intuicionismo (Brouwer), encaran la difícil y aún presentetarea de explicar la naturaleza de la matemática y de manera particulardel número. El ente matemático es considerado como un producto de lamente humana. Es el hombre el que haciendo gala de su majestadcategorial, ser dotado de una potencia cognoscitiva racional, de unainteligencia y de un lenguaje articulado, cabalga este campo cognitivopara explicarse a sí mismo y a sus semejantes el mundo circundante. Elmundo de las realidades.

Z2

y2

x2Z

Z

x

El cuadrado de la hipotenusaes igual a la suma de loscuadrados de los otros doslados.

x2 + y2 = Z2

Gráfica Nº 6

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Todo trabajo intelectivo, especulativo proviene del ser "Supremo",terrenal: El hombre. Su capacidad teórica - espiritual pasa por el hechode considerar que "no puede sobrevivir sin el arte mecánico y sin el artede la convivencia… que estas artes, justamente por ser tales, deben seraprendidas" (Platón, 2000.El mito de Protágoras, p. 389). El eídos delhombre Aristotélico (concepción), es en síntesis un viviente animal racional.

El análisis precedente ha puesto de manifiesto el papel central delhomo (hombre) como ser con capacidad racional: intelige, razona, habla;para enfrentar, analizar y dar respuestas a las crisis intelectuales,particularmente en el ámbito matemático, por la naturaleza de los entesde esta ciencia. Con Lobacevskyj y Riemann se demostró la "imposibilidadde deducir de otros axiomas el axioma de las paralelas". Este resultado,de alto valor intelectual, en presunción, despierta en Gödel una visiónperspicaz y nivel apreciativo, cuando al advertir que "puede demostrarsela imposibilidad de demostrar" ciertas proporciones en el marco textualde un explicito sistema; soporta su tesis sobre la indecibilidad parademostrar ciertas importantes proposiciones de la aritmética. ¿Con Gödel

RACIONAL

HOMBRE

(ARISTÓTELES)

ANIMALVIVIENTE

NACE SE ALIMENTA SE

REPRODUCE ENVEJECE Y MUERE

SIENTE APETECE Y SE

DESPLAZA

INTELIGE RAZONA HABLA

EIDOS

Fuente: Aristóteles (2000) Acerca del Alma, p. 20

Nomograma: Esbozo interpretativo. El autor

DEFINICIÓN

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se dijo la última palabra? ¿Con Euclides, sucedió? No. La verdad evidente,axiomática o autoevidencia de Euclides fue así desmoronada en su mismabase. El trabajo intelectual del hombre (homo) matemático puro es "deducirteoremas a partir de hipótesis postuladas", sin duda modelo cognitivo ymanifiesta comprensión de la racionalidad del hombre. La acotación última,se trae a discusión, como estandarte ilustrador de lo que el hombre escapaz de crear, cuestionar y modificar; sin que hayan atisbos inteligentesde abandonar el arduo ejercicio intelectual de averiguar la naturaleza,cualidades y relaciones de las cosas. Bien sea que estas entelequiassean físicas o mentales. El hombre, centro de la dinámica constructoradel mundo que habita.

¡Moho! Si algo dejan en claro, en actitud compendiadora, sucinta delos tantos logros intelectuales del hombre, son las apreciaciones señaladasen las descripciones o alcances teóricos exhibidos en los segmentos:CONOCER, HOMO. En progreso del discurso tejedor de la trama titularde este artículo, se hace alusión metafórica al moho, "pereza de valor altrabajo después de un largo periodo de inactividad". Nada aceptable parala mente ("sensaciones, creencias, deseos, sentimientos, emociones,intenciones, decisiones, rasgos de carácter, capacidades, disposicionesy habilidades diversas"), de los teóricos evidenciados.

Por el contrario, retomando el Teorema de Gödel (2000) quien enuncia:"dado cualquier conjunto consistente de axiomas aritméticos, existenproposiciones aritméticas verdaderas que no pueden ser derivadas dedicho conjunto" (p.76). La Incompletitud, se ilustra la cosmovisión ointensidad racional de estas mentes (nada moho - sas), en su afán dedescubrir el conjunto de proposiciones que conforman el sistemaaxiomático de las matemáticas. Pero, con todo, hay proposicionesgenerales que en todos sus intentos de prueba han resultado estériles. Sialgo puede tomarse como referencia es la famosa conjetura de Goldbach,el cual afirma que "todo entero par mayor que 2 es igual a la suma de dosprimos". A la redacción de este articulo la conjetura de Goldbach, tienemás de doscientos sesenta años y aún no ha sido resuelta. No se haobtenido ningún número par que no sea la suma de dos números primos.Tampoco se ha logrado encontrar que la conjetura de Goldbach secompruebe para todos los números pares.

De esta manera se tiene un ejemplo de "una proposición aritméticaque puede ser verdadera, pero que puede no ser derivable de los axiomasde la aritmética" (ob.cit. p.76). En conclusión, y en aproximaciones

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hipotéticas, según Nagel aún cuando "los axiomas de la aritmética seanampliadas con un número indefinido de otros axiomas verdaderos, siemprequedarán verdades aritméticas que no son formalmente derivables delconjunto ampliado" (ob. cit.p.77). Esto del conjunto ampliado estásupeditado a la condición inicial del supuesto de que el número de axiomaspodrían ser modificados hasta hacer "que las proposiciones indemostrablesfueran derivables en el sistema ampliado" (ob. cit. p. 77). Otros ejemplostan interesantes como el anterior y como para evitar el moho intelectual,son los correspondientes a dos grandes problemas pendientes: lafactorización de los grandes números y la demostración de la conjeturade Riemann. El encaramiento (conflicto) subrayado es evidenciaconceptual de la percepción intelectual del sujeto - hombre intranquilo porconjugar la realidad (objetual) con la construcción mental. En evidencia yardua tarea el matemático alemán Kurt Hensel (1861 - 1941) inventó (¿o,descubrió) los números p - ádicos a principios del siglo pasado. Comocaso curioso, fue alumno del famoso teórico de números LeopoldKronecker. Los números p - ádicos, designan "unos números abstractosy difíciles de representar, pero también unas entidades que permiten a losespecialistas en teoría de números construir unos potentes instrumentosde estudio" (Hensel, 1995. p. 852). Las reseñas históricas del estudio delas matemáticas, en sus criterios subyacentes, deja como constanciacrítica hechos como los apreciados en revelación de que los números p -ádicos son unos objetos matemáticos sin los cuales el teorema de Fermat,no hubiera podido demostrarse. Además, las especulacionesargumentativas de algunos físicos sobre la naturaleza del espacio y eltiempo, consiguen en estos números, razones fundamentales paraaseverar, impulsar y proponer puntos de vista de considerable valía cognitiva.De naturaleza poco intuitiva, estos números tienen ya un espacio endiversas divisiones de las matemáticas. Es si se quiere un caso similar alde las geometrías no euclidianas. Poco frecuentes para el uso de laracionalidad pagana, pero de inmensa valía para la reflexión apriorística.

Singular manifestación teórica puede mostrarse, con sentidometafórico, el estado de moho - sidad del cerebro cuando el mismo porejercicio intelectual es requerido de manera consuetudinaria o por elcontrario es dejado en su función orgánica al libre albedrío o inercia mental.La pátina de la pintura cerebral o la luz creadora de este órgano, secontrasta en el siguiente cuadro.

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MOHO (PÁTINA)/CEREBROCEREBRO (Metafórico)

• La producción de mensajerosen la sinopsis celular y elconsiguiente intercambio deinformación entre neuronasestán INACTIVOS.

• La vaina de mielina de lasprolongaciones nerviosas(axones) se degrada. Sólo lasconexiones que se uti lizanpermanecen sanas.

• Las conexiones entre neuronasque no se utilizan se atrofian.

• La flexibilidad y eficacia delcerebro quedan disminuidas.

SIN MOHOCON MOHO

• Cuando hay estímulos diversosy actividad física, la sinopsis setrasmite de forma continua.

• El estímulo constante de losaxones mantiene sana la vainade mielina, lo que mejora laconductividad.

• La combinación de ejercicio yestímulo de los sentidosproduce nuevas neuronas yconexiones

• El cerebro mantiene una redflexible y joven con neuronaseficaces.

Fuente: Sport life. Abril 2008. Núm. 108. Pág. 92

Nomograma: Diseño interpretativo. El autor.

A manera de colofón, un llamado a la consideración en los procesosde la educación matemática. Los resultados epistémicos considerados¿tienen significado personal? ¿O cuando se absorbe irracionalmente yen actitud mecanicista que (a+b)2 = a2 + 2ab+b2, la educación matemáticaes más consistente en la construcción cognitiva del alumno? Da laimpresión que nuestra educación matemática está acorralada por la accióntaxativa de un algoritmo técnico. No se acompaña didácticamente de unadialógica o discernimiento conceptual de cada uno de los elementostejedores de la base ontológica o naturaleza de los entes matemáticos.El teorema de Pitágoras es verdadero en todo el mundo. La educaciónmatemática tiene ese conflicto y tarea: conocer y crear, el homo sin moho.

En estimaciones de naturaleza pensatorio/conclusivo, pregunto: a)¿qué significa conocer? b) ¿cómo es el proceso del desarrollo delconocimiento? c) ¿de dónde surge el conocimiento? d) ¿dónde está la

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génesis de las relaciones y las estructuras lógicas y las lógicasmatemáticas? e) ¿son observables las relaciones causales delconocimiento? f) ¿el desarrollo del conocimiento procede de manerauniforme? g) ¿en cuáles dominios las interacciones del sujeto con losobjetos del conocimiento dan lugar a procesos cognoscitivos? h) ¿encuál contexto se desarrolla el sujeto de conocimiento? las formulacioneso enunciados en interpretación semántica como cuestión, sonincertidumbres singulares del autor. Connatural enigmas de atisbosgenitivos de siete tesis sobre la construcción del conocimiento;argumentados por García (2000) desde la condición de homo sun (hombresoy), y en sincronía contextual del organum (principio) especulativo; seresponde de manera compendiada, a la agonística; en interrogantes antesexhibidas. Así: a) conocer, derivaría un volumen de extenso alcancediccionar que escapa al objetivo de este artículo, pero acordaría con loslectores, la acepción: "como conciencia de la propia existencia" (Larousse,2008. p. 279); como una manera de coordenar definicionalmente: conocer.

b) El desarrollo del conocimiento es un proceso continuo. Entendido desdela plataforma de la ciencia de la biología, va de la niñez a la adolescenciay se extiende al "sujeto adulto" (ob.cit.p.60)

c) El conocimiento surge en un proceso de organización de lasinteracciones: sujeto de conocimiento - objeto de conocimiento.

d) La génesis de las relaciones y las estructuras lógicas y lógico -matemáticas están en las interacciones sujeto - objeto. Su "idea - fuerza"o pulsión cognitiva está centrada "en las coordinaciones de las accionesdel sujeto sobre el objeto" (ob. cit. p.61)

e) Las relaciones causales no son observables. Las relaciones entre ellos,en tanto objeto de conocimiento, consiste en organizar tales objetos,situaciones y fenómenos de la realidad empírica. (ob.cit.)

f) No. "El desarrollo tiene lugar por reorganizaciones sucesivas… laelaboración de los instrumentos cognoscitivos del sujeto procede poretapas" (ob.cit.p.62)

g) En todo dominio de la realidad: físico, biológico, social.

h) El sujeto de conocimiento se desarrolla desde el inicio en un contextosocial. Influencia: medio social, adquisición del lenguaje, institucionessociales. (ob.cit. p. 63)

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¿Cuál es el reto? Desde el PENSATORIO, como el espacio dialógico,construir un acervo prospectivo, con el concepto - clave equidad; entendidala misma como: "buscando la igualdad sin eliminar la diferencia" (Gadotti,2008.p.348)

El término del artículo conocer: homo moho, conceptualmente,constituirá, un presupuesto fundamental de autonomía. "Capacidad deautogobierno de cada ciudadano" (ob.cit.p.348), actitud socio - ética, parala convivencia democrática.

Un conocer: homo moho, como filosofía neohumanista, báculo parasostener un mundo más justo. Un conocer: homo moho, para PENSARen sintonía con "el cambio cuántico como el nuevo paradigma científicoque puede transformar la sociedad" (Laszlo, 2009. Portada).

REFERENCIAS

Aczel, A. (2005). El Último teorema de Fermat. México: Fondo de CulturaEconómica.

Amster, P. (2007). Fragmentos de un discurso matemático. Buenos Aires.Argentina: Fondo de Cultura Económica.

Barsky, O y Christol, S. (1995). Mundo Científico (número especial). Números.

Gadotti, M. (2008). Historia de las Ideas Pedagógicas. Editorial Siglo XXI.México: Siglo XXI.

García, R. (2008). El conocimiento en construcción. España: Gedisa.

Gispert, C. (s/f). Atlas Universal de Filosofía. España: Océano.

Laszlo, E. (2009). El Cambio Cuántico. Barcelona. España: Kairós.

Nagel, E y Newman. j. (2000). El teorema de Godel. España: Técnos GrupoAnaya S. A.

Platón. (2000). Diálogos. Protágoras. Madrid. España: Biblioteca BásicaGredos.

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