ЗБiРНИК ЗАДАЧ З ФiНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ...лi розглянуто...

О. Д. БорисенкоЮ. С. МiшураВ. М. РадченкоГ. М. Шевченко

ЗБIРНИК ЗАДАЧЗ ФIНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ

Київ2007

ЗМIСТ

Передмова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Роздiл I. Фiнансовий аналiз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.Моделi грошових потокiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Залежнiсть вартостi грошових сум вiд часу надходження . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.Простi та складнi вiдсотки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.Дисконтування та акумулювання грошових потокiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5. Використання складних вiдсоткiв для пiдрахунку вартостей грошових

потокiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6. Визначення банкiвського вiдсотка та iнтенсивностi вiдсоткової

ставки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.7. Виплата боргу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.8.Оцiнка iнвестицiйних проектiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.9. Способи iнвестування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.10. Використання складних вiдсоткiв у пiдрахунку прибутку та ефективноївiдсоткової ставки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.11. Визначення цiни форвардних контрактiв за припущення вiдсутностiарбiтражу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1.12. Часова структура вiдсоткової ставки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.13. Стохастичнi моделi вiдсоткової ставки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Роздiл II. Фiнансова математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.1. Арбiтраж та iншi економiчнi можливостi в одноперiоднiй моделi . . . . . . . . . 1612.2. Справедлива цiна платiжних зобов’язань, повнота ринку, доходнiсть

акцiй, премiя за ризик. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1682.3.Найпростiшi приклади обчислення вартостi цiнних паперiв за

вiдсутностi арбiтражу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1762.4. Багатоперiоднi моделi в межах iгор i закладiв. Арбiтражна теорема

для iгор та її наслiдки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1812.5.Мартингали та мартингальнi перетворення з дискретним часом.

Моменти зупинки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1862.6. Загальна теорiя багатоперiодних моделей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1902.7. Європейськi платiжнi зобов’язання в багатоперiоднiй моделi . . . . . . . . . . . . . 1992.8. Американськi опцiони з дискретним часом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2082.9. Броунiвський рух, геометричний броунiвський рух, мартингали з

неперервним часом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2122.10. Стохастичний iнтеграл, формула Iто, стохастичнi диференцiальнi

рiвняння. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2162.11.Формула та рiвняння Блека – Шоулса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2222.12.Фiнансовi ринки з неперервним часом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2272.13.Функцiя корисностi у фiнансових задачах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230Короткий англо-український словник фiнансових та економiчних термiнiв. . . . .240Список рекомендованої лiтератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250Ануїтетнi таблицi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

3

ПЕРЕДМОВА

Сучасна фiнансова система розвиненої держави є складним механiз-мом, функцiонування якого неможливе без повсякденного аналiзу ситу-ацiї, коротко- i довгострокового прогнозу та передбачення основних тен-денцiй. У свою чергу, вмiння аналiзувати, прогнозувати та передбачатинеможливе без володiння основними поняттями, пов’язаними з фiнанса-ми i кредитно-банкiвською системою. Невiд’ємною частиною цих понятьє математичний апарат, поданий у даному збiрнику задач через прикла-ди, задачi i розв’язки. Математичними основами теорiї фiнансiв повиненволодiти в повному обсязi кожний фiнансовий аналiтик та актуарiй.

Як вiдомо, найкращий шлях оволодiти деяким математичним апара-том — розв’язати певну кiлькiсть вiдповiдних задач. Той, хто впершерозв’язує подiбнi задачi, може повною мiрою скористатися вiдповiдямита вказiвками, бiльш досвiдченi читачi зможуть розв’язувати задачi са-мостiйно.

Згiдно з науковою традицiєю, термiн “фiнансовий аналiз” належитьдо тiєї частини розрахункiв з фiнансами, яка стосується вiдсоткових iкредитних ставок, ануїтетiв, сучасних вартостей i теорiї iмунiзацiї, атермiни “фiнансова математика” i “фiнансова стохастика” характеризу-ють розрахунки на фiнансовому ринку, що пов’язанi з випадковiстю цiнфiнансових активiв, первинними i вторинними цiнними паперами, фiнан-совою рiвновагою.

Вiдповiдно до цiєї класифiкацiї ми подiлили наш збiрник задач надва роздiли. В першому роздiлi розглянуто основнi моделi грошових по-токiв i види цiнних паперiв, дисконтування та акумулювання грошовихсум, розклад боргу на капiтальну i вiдсоткову складовi, оцiнки та порiв-няння мiж собою iнвестицiйних проектiв, змiни вiдсоткової ставки вчасi, пiдрахунки, пов’язанi з рiзними видами ануїтетiв, i найпростiшiстохастичнi, тобто випадковi, моделi вiдсоткової ставки. Частину задач зцього роздiлу взято з текстiв екзаменацiйних задач Британського Iнсти-туту Актуарiїв, що проводились з 1998 по 2004 рiк у квiтнi та вереснiкожного року з дисциплiни “Фiнансова математика”. У другому роздi-

4

лi розглянуто питання, пов’язанi з функцiонуванням фiнансових рин-кiв, купiвлею та продажем цiнних паперiв, обрахуванням справедливихцiн в умовах, коли змiна цiн основних активiв вiдбувається залежновiд випадку. Велику увагу придiлено поняттям арбiтражу й арбiтражноїможливостi, вiдсутнiсть якої на фiнансовому ринку гарантує йому ста-бiльне функцiонування. Розглянуто одно- та багатоперiоднi моделi, про-демонстровано дiї, до яких повинен вдатися фiнансовий iнвестор, щоббути успiшним. Подано основнi фiнансовi iнструменти на бiржi — опцiо-ни, детально проаналiзовано, як правильно оцiнити Американськi та Єв-ропейськi платiжнi зобов’язання. Розглянуто фiнансовi ринки з непе-рервним часом, наведено ряд задач, що стосуються знаменитої формулиБлека – Шоулса. Подано необхiднi математичнi поняття — мартингалу,броунiвського руху, стохастичного диференцiального рiвняння. Окре-мий роздiл присвячено використанню функцiї корисностi у фiнансовихзадачах.

Матерiал для посiбника зiбрано та пiдготовлено за пiдтримки програ-ми Tempus у рамках проекту TEMPUS PROJECT IB-JEP-25054-2004.

5

Роздiл IФiнансовий аналiз

1.1. МОДЕЛI ГРОШОВИХ ПОТОКIВ

Теоретичнi вiдомостi

Потоки платежiв (cash flows) — суми грошей, якi виплачують абоотримують у рiзнi моменти часу. Розмiри платежiв i моменти сплатиможуть бути вiдомими або невизначеними. Платежi можуть надходитив окремi моменти часу або неперервно протягом певного перiоду. З то-чки зору iнвестора, грошi, якi вiн одержує, утворюють додатний потiкплатежiв (inflows), а грошi, якi вiн сплачує — вiд’ємний потiк платежiв(outflows).

Приклади потокiв платежiв такi.Облiгацiя з нульовим купоном (zero-coupon bond) — цiнний папiр

або угода, за якими виплачується визначена сума грошей (номiнальнавартiсть) у визначений момент часу (час погашення). Для такої облiгацiївизначається її вартiсть на умовах дисконтування її номiнальної вартостi.

Для iнвестора це вiд’ємний потiк платежiв у момент iнвестування таодиничний додатний потiк платежiв у момент погашення.

Цiннi папери з фiксованим вiдсотком (fixed-interest securities) ви-пускаються як облiгацiї з визначеною номiнальною вартiстю. Власникоблiгацiї одержує суму, що складається з номiнальної вартостi, яка ви-плачується в час погашення, i серiї регулярних виплат (купоннi виплати)до часу погашення.

Для iнвестора це вiд’ємний грошовий потiк у момент придбання облi-гацiї та додатнi грошовi потоки, що складаються з виплати номiнальноївартостi у момент погашення i з купонних виплат до погашення.

Iндексованi цiннi папери (index-linked securities) — облiгацiї, у якихкупоннi виплати й остаточна виплата пов’язанi з “iндексом”, що вiдоб-ражає рiвень iнфляцiї. При цьому за початковим вiд’ємним грошовимпотоком слiдує ряд додатних грошових потокiв у зазначенi дати. Розмi-ри виплат залежать вiд iндексу iнфляцiї (iндексу цiн), тому такi грошовiпотоки називають вiдомими “в реальному часi”. Як правило, iндексацiявiдбувається iз запiзненням, тому що для пiдрахунку iндексу цiн потрi-бен час.

6

Депозитнi вклади (cash on deposit). Якщо грошi покладено на де-позит, то iнвестор може вибирати, в який момент часу зняти грошi iодержати вiдсотковий прирiст капiталу за перiод iнвестування. Вiдсот-ковий прирiст капiталу залежить вiд дати i тому вiдомий лише в деньзняття. Отже, розмiри i моменти платежiв невизначенi.

Звичайна акцiя (equity) — цiнний папiр без фiксованого термiну дiї,який випускається компанiями i засвiдчує право власностi на пiдприєм-ство, а також дає право власнику на отримання дивiдендiв.

Дивiденди — регулярнi виплати власнику, якi визначаються доходамикомпанiї. Оскiльки цi доходи заздалегiдь невiдомi, то i дивiденди є змiн-ними. Щоб побудувати модель грошового потоку для звичайної акцiї,слiд зробити припущення про зростання у майбутньому дивiдендiв. Та-ким чином, моменти виплати i розмiри платежiв невiдомi. Оскiльки тер-мiн дiї акцiї невизначений, то термiни виплат невизначенi i майбутнiдодатнi грошовi потоки можуть виявитися меншими у сумi, нiж поча-тковий вiд’ємний грошовий потiк.

Ануїтет (annuity) забезпечує ряд регулярних виплат у вiдповiдь наодиничний початковий внесок. Найпростiший ануїтет — потiк платежiвпротягом життя людини, яка тримає полiс (довiчний ануїтет, life annui-ty). Для iнвестора це вiд’ємний грошовий потiк на початку i ряд меншихдодатних грошових потокiв протягом життя. Пiсля смертi виплати при-пиняються.

Можливi iншi типи ануїтетiв, наприклад, виплати вiдбуваються про-тягом життя людини i визначено максимум кiлькостi платежiв. Такийконтракт називають тимчасовим довiчним ануїтетом (temporary life annu-ity). З iншого боку, виплати можуть провадитися протягом життя вла-сника, але з гарантованою мiнiмальною кiлькiстю платежiв. Такi ануїте-ти називають ануїтетами з гарантованим перiодом.

Для того, хто забезпечує ануїтет, маємо додатний грошовий потiк напочатку, а потiм — невизначену кiлькiсть регулярних вiдомих вiд’ємнихпотокiв платежiв.

Тимчасове страхування (term assurance). Полiс тимчасового стра-хування — контракт, який забезпечує виплату страхової суми у випадкусмертi власника полiса, якщо смерть настала у перiод дiї полiса. Перiодможе бути як досить довгим (20 рокiв), так i коротким (1 рiк).

Полiс тимчасового страхування забезпечується рядом щорiчних ви-плат (premiums) з боку власника полiса, якi можуть бути сталими абозмiнними, i припиняються пiсля смертi власника полiса. Iнодi премiї мо-жуть виплачуватися протягом бiльш короткого перiоду, нiж дiя полiса,або полiс можна придбати за умови разової виплати премiї. Для компа-нiї, яка забезпечує полiс, маємо невiдому, але обмежену кiлькiсть регу-лярних, вiдомих за розмiром додатних грошових потокiв, за якими або

7

слiдує вiд’ємний грошовий потiк вiдомого обсягу, але з невiдомим тер-мiном платежу, або вiд’ємного потоку платежiв не буде, якщо власникполiса залишається живим протягом дiї полiса.

Страхування iз забезпеченням (endowment assurance). Полiс стра-хування iз забезпеченням — контракт, який гарантує виплату загальноїсуми (її називають сумою страхування) у випадку смертi власника полi-са протягом дiї контракту або пiсля закiнчення його дiї, якщо власникзалишається живим.

Такi полiси викупаються регулярними виплатами премiй, якi припи-няються у випадку смертi або закiнчення термiну дiї полiса. Грошовiпотоки подiбнi до потокiв при тимчасовому страхуваннi, за винятком то-го, що вiд’ємний грошовий потiк для страхової компанiї є обов’язковим,а для власника полiса страховi внески (премiї) є вищими.

Позика за вiдсотки (interest-only loan) — позика, яка повертаєть-ся серiєю виплат за вiдсотками i виплатою позиченої суми наприкiнцiтермiну дiї.

У найпростiшому випадку грошовi потоки будуть протилежними допотокiв платежiв для облiгацiї з фiксованим вiдсотком. Кредитор купуєоблiгацiю з фiксованим вiдсотком у того, хто бере позику. На практицi,однак, вiдсотковi ставки не завжди фiксуються. Отже, розмiр регулярнихпотокiв платежiв буде невiдомим. Iснує можливiсть повернути позикуранiше, тому кiлькiсть платежiв i термiн остаточної виплати невiдомi.

Полiс повернення капiталу (capital redemption policy) — полiс зрегулярними премiями i єдиною виплатою при закiнченнi дiї. Такi полiсиможуть використовуватися разом з позиками за вiдсотки.

Застава (позика з виплатою, iпотека, позика пiд заставу нерухомос-тi, mortgage). Позика з виплатою — позика, яка повертається серiєювиплат, що включають виплати за вiдсотками i часткову виплату сумипозики. У найпростiшому варiантi вiдсоткову ставку фiксовано, однаковiза величиною виплати провадяться регулярно у фiксованi моменти часу.Потоки платежiв аналогiчнi потокам для ануїтету, за виключенням того,що кiлькiсть платежiв фiксована i не пов’язана з тим, що власник полiсазалишається живим (у разi смертi решта платежiв передається у спадок).Як i для позики “за вiдсотки”, можливi змiни у вiдсотковiй ставцi, атакож допускається дострокове повернення позики.

Додатково можна встановити, що регулярнi виплати зростають абоспадають з часом. Важливо зауважити, що при виплатi позики подiлпопереднього платежу на “вiдсотки” i “капiтал” суттєво змiнюється про-тягом перiоду позики. Перша виплата, в основному, складається з вiдсо-ткового платежу i невеликого повернення капiталу, а остання виплата —майже повнiстю з повернення частини капiталу i незначної суми вiд-соткiв.

8

Страхування автомобiля (motor insurance) — частковий випадок за-гального страхування. (Термiн “загальне страхування” використовуєтьсядля всiх страхових операцiй, якi вiдмiннi вiд страхування життя.)

Зазвичай страхування автомобiля провадиться щороку. На початкуроку страхова компанiя отримує внесок (премiю) i приймає на себе фi-нансовi ризики власника полiса. Для компанiї початковий додатний гро-шовий потiк вiдомий, а наступнi грошовi потоки невiдомi як за величи-ною, так i за часом.

Далi використовуються поняття доходу та прибутку. Прибуток — рi-зниця мiж доходами та витратами фiнансової органiзацiї.

Задача

1.1.1. Є три типи iнвестування на 10 рокiв: облiгацiя з нульовимкупоном, iндексована облiгацiя, страховий полiс iз забезпеченням. Їхможна змоделювати як процеси потокiв платежiв. Для яких з них час iрозмiр усiх грошових потокiв визначенi для покупця? Можливiсть пере-продажу i знецiнення не беруться до уваги.

Вiдповiдь

1.1.1. Покупцю вiдомi час i розмiр грошових потокiв для облiгацiї знульовим купоном. Для iндексованої облiгацiї виплати вiдсоткiв i сумапогашення залежать вiд iндексу iнфляцiї, а тому заздалегiдь не вiдомi.Страховий полiс iз забезпеченням передбачає виплату страхової сумиабо у разi смертi власника полiса, або у разi закiнчення термiну кон-тракту. Крiм того, премiї (внески) виплачуються регулярно, але потокиплатежiв припиняються пiсля смертi власника полiса, або пiсля закiн-чення термiну контракту. Тому нi розмiр платежiв, нi кiлькiсть виплатзаздалегiдь не вiдомi.

1.2. ЗАЛЕЖНIСТЬ ВАРТОСТI ГРОШОВИХ СУМВIД ЧАСУ НАДХОДЖЕННЯ


Вiдсотки (interest) — винагорода, яку сплачує той, хто отримує по-зику, за використання капiталу, що належить iншiй особi або органiзацiї(кредитору). Капiтал i вiдсотки мають вимiрюватися в однакових одини-

9

цях. Якщо вимiрювання провадиться у грошових одиницях, то капiталназивають основним (principal).

Простi вiдсотки (simple interest). Якщо суму C покладено на депози-тний рахунок пiд простi вiдсотки з вiдсотковою ставкою i · 100 % рiчних iрахунок закривається через n рокiв, то за умови вiдсутностi поповненнярахунку i зняття грошей матимемо суму C(1+ni), в якiй C — поверненняпочаткового вкладу; niC — розмiр вiдсоткового прибутку.

Складнi вiдсотки (compound interest). Нехай C — початкова сума,яку покладено на депозит пiд складнi вiдсотки з вiдсотковою ставкоюi·100 % рiчних, а An — сума, яку iнвестор одержить при закриттi рахункунаприкiнцi n-го року. Тодi

An = An−1 + iAn−1 = An−2(1 + i)2 = . . . = C(1 + i)n.При цьому накопичений вiдсотковий прибуток дорiвнює C(1 + i)n −C.

Нехай маємо два моменти t1 ≤ t2, тодi за умови iнвестування у мо-мент t1 суми C(1 + i)t1−t2 у момент t2 одержимо капiтал C. Тому говорять,що дисконтована вартiсть у момент часу t1 капiталу C вiдносно моментучасу t2 дорiвнює C(1 + i)t1−t2 .

Зокрема, дисконтоване значення в момент t = 0 капiталу C вiдносномоменту часу t ≥ 0 називається його сучасною вартiстю (або дисконто-ваною сучасною вартiстю) i дорiвнює C(1 + i)−t. Якщо визначити дис-контний множник ν = 1/(1 + i), то сучасна вартiсть дорiвнюватиме Cνt.

Просте дисконтування. Нехай d — рiчна ставка простого дисконту-вання. Тодi для того, щоб одержати суму C через n рокiв, ми повиннiiнвестувати зараз C(1 − nd). На практицi звичайно розглядають перiодменше року. Тодi кредитор, щоб одержати суму X через перiод t < 1,при простому дисконтуваннi повинен у початковий момент надати пози-ку X(1 − td). При цьому d ще називають номiнацiйним дисконтом.

Розглянемо iнвестицiю однiєї грошової одиницi на перiод в одну ча-сову одиницю, що починається в момент t. Нехай ми одержали дохiд1+ i(t) у момент t+1. Тодi i(t) називають ефективною вiдсотковою став-кою для цього перiоду часу. Якщо вiдсоткова ставка не залежить вiдсуми iнвестованих грошей, то iнвестицiя капiталу розмiром C у моментt дасть дохiд C[1 + i(t)] у момент t + 1. Тому накопичений iнвестицiєюрозмiром C капiтал за перiод вiд 0 до n дорiвнює

C[1 + i(0)][1 + i(1)] . . . [1 + i(n − 1)].Якщо ефективна ставка не залежить вiд t, то накопичений капiтал зацей перiод дорiвнює C(1 + i)n.

10

Задачi

1.2.1. Суму в 100 грн поклали пiд простий вiдсоток 10 % рiчних на2,5 року. Потiм накопичену суму поклали пiд простий вiдсоток 16 %рiчних на наступнi T мiсяцiв. Наприкiнцi термiну одержали накопиченусуму в 140 грн. Чому дорiвнює T ?

1.2.2. У початковий момент зроблено iнвестицiю в 1 000 грн пiд такiставки: 8 % рiчних за простими вiдсотками на 2 роки, а потiм пiд 6 %номiнальної облiкової (дисконтної) ставки, що нараховується щомiсячнопротягом двох рокiв. Яку суму буде накопичено через 4 роки?

1.2.3. Суму в 100 грн iнвестували на рiк на умовах номiнальної облi-кової (дисконтної) ставки 5,5 % рiчних, що нараховується щоквартально,а потiм на рiк на умовах номiнальної вiдсоткової ставки 5,5 %. Яка суманакопичиться наприкiнцi другого року?

Вiдповiдi та вказiвки

1.2.1. Накопичену суму за простими вiдсотками обчислимо за фор-мулою C(1 + i1t1)(1 + i2t2), де ij — вiдсоткова ставка за перiод tj, j = 1,2. Маємо

100(1 + 0,1 · 2,5

)(1 + 0,16 ·T/12

)= 140.

Звiдси T = 9 мiсяцiв.1.2.2. C = 1000(1 + 0,08 · 2)(1 − 0,06/12)−24 = 1308,29 грн.1.2.3. C = 100 (1 − 0,055/4)−4 (1 + 0,055/4)4 = 111,63 грн.

1.3. ПРОСТI ТА СКЛАДНI ВIДСОТКИ


Якщо людина вкладає в банк грошi на суму C, вiдсотки нарахову-ються щороку i рiчна вiдсоткова ставка дорiвнює i, то через рiк на їїрахунку буде сума C(1 + i). Якщо ж вiдсотки нараховуються n разiвна рiк з номiнальною рiчною ставкою i, то через рiк вiдповiдна величи-на дорiвнюватиме C(1 + i/n)n. При неперервному нарахуваннi вiдсоткiвматимемо суму

limn→∞

C(1 + i/n)n = Cei.

Банкiвський рахунок ще iнодi називатимемо безризиковим активом, абооблiгацiєю.

11

Якщо рiчний банкiвський вiдсоток (вiдсоткова ставка) дорiвнює i,то власник банкiвського рахунку розмiром C (або банкiвської облiгацiївартiстю C) для будь-якого t ≥ 0 через t рокiв матиме на рахунку сумуC(1 + i)t (або зможе продати облiгацiю за C(1 + i)t).

Якщо рiчна дисконтна банкiвська ставка дорiвнює d, то власник бан-кiвського рахунку розмiром C на початку року отримує авансом вiдсоткирозмiром dC, i через рiк може зняти з рахунку суму C. Має мiсце рiв-нiсть d = i/(1 + i).

Нехай вiдсотковi нарахування провадяться за однiєю ставкою n разiвна рiк наприкiнцi кожного перiоду тривалiстю 1/n року. Тодi говорять,що ставка конвертується n разiв на рiк, i розглядається номiнальнийбанкiвський вiдсоток i(n) такий, що сума C на рахунку через 1/n рокудасть суму C

(1 + i(n)/n

). Має мiсце рiвнiсть

(1 + i(n)/n

)n= 1 + i. Ана-

логiчним чином для нарахувань на початку кожного перiоду тривалiстю1/n року вводяться дисконтнi ставки d(n),

(1 − d(n)/n

)n= 1 − d.

Якщо номiнальна ставка вiдсотка при депозитуваннi грошей у моментчасу t0 на строк h дорiвнює ih(t0), то сума, накопичена iнвестицiєю вC одиниць за строк h, дорiвнює C [1 + hih(t0)].

Ефективна вiдсоткова ставка reff на внесок L обчислюється за форму-лою

reff = D/L− 1,

де D — розмiр виплати через один рiк.Вартiсть на даний момент суми v, що виплачуватиметься через t ро-

кiв, дорiвнює v(1 + i)−t.

Задачi

1.3.1. Нехай людина позичила грошей на суму C i повинна вiддатиїх через рiк, причому рiчна вiдсоткова ставка дорiвнює i, але складнiвiдсотки нараховуються щопiвроку. Скiльки виплатить людина через рiк?Те саме питання, коли вiдсотки нараховуються щоквартально.

1.3.2. Багато з компанiй, що надають кредити, вимагають 15 % рi-чних, причому складнi вiдсотки нараховуються щомiсяця:

1. Якою буде виплата наприкiнцi року на кредит розмiром C?2. Чому дорiвнюватиме ефективна вiдсоткова ставка?3. Якими будуть виплата та ефективна вiдсоткова ставка, якщо склад-

нi вiдсотки нараховуються неперервно?1.3.3. Скiльки рокiв треба виплачувати вiдсотки, що нараховуються

щорiчно, щоб сплатити подвоєну суму? Вiдповiсти на попереднє питан-ня, якщо r = 0,03, 0,06, 0,08, 0,1.

12

1.3.4. Людина поклала грошi в банк з номiнальною вiдсотковою став-кою 10 % на рiк. Через який час грошi подвояться, якщо вiдсотки нара-ховуються неперервно?

1.3.5. Навести приблизну формулу для обчислення кiлькостi рокiвдля потроєння капiталу при вiдсотковiй ставцi i, якщо вiдсотки нарахо-вуються один раз на рiк.

1.3.6. Якщо вiдсоткова ставка 5 %, то через скiльки приблизно ро-кiв грошей стане в 4 рази бiльше? А якщо ставка 4 %? Вважаємо, щовiдсотки нараховуються один раз на рiк.

1.3.7. Скiльки грошей треба вносити на початку кожного з 60 мiся-цiв, якщо людина хоче мати 100 000 грн через 60 мiсяцiв, причому рiчнавiдсоткова ставка дорiвнює 6 % i вiдсотки нараховуються щомiсяця?

1.3.8. Нехай вiдсоткова ставка банку дорiвнює 6 % i вiдсотки нара-ховуються неперервно протягом року. Обчислити ефективну вiдсотковуставку.

1.3.9. Визначити ефективну вiдсоткову ставку, якщо номiнальна вiд-соткова ставка дорiвнює 10 % i складнi вiдсотки нараховуються:

а) щопiвроку;б) щоквартально;в) щомiсяця;г) неперервно.1.3.10. Пiдрахуйте номiнальну рiчну вiдсоткову ставку, що конвер-

тується щоквартально, яка є еквiвалентом:а) ефективної вiдсоткової ставки 0,5 % на мiсяць;б) номiнальної вiдсоткової ставки 6 % рiчних, що конвертуються що

два роки.1.3.11. Номiнальна рiчна вiдсоткова ставка, яка сплачується за де-

позитом, набуває у фiксований день таких значень:

Строк Номiнальнавiдсоткова ставка, %

Строк Номiнальнавiдсоткова ставка, %

1 день 11 34 1 мiсяць 11 3

8

2 днi 11 58 3 мiсяцi 11 1

4

7 днiв 11 12

Визначити суму, накопичену iнвестицiєю в 1 000 грн, покладених нарахунок у цей фiксований день:

а) за 7 днiв;б) за 1 мiсяць.1.3.12. Для вiдсоткової ставки 7 % рiчних, що сплачується щомiсяця,

пiдрахуйте:а) еквiвалентну рiчну ставку вiдсотка, що сплачується раз у пiвроку;б) еквiвалентну рiчну дисконтну ставку, що сплачується щомiсяця.

13

1.3.13. Облiкова (дисконтна) ставка за рiк конвертується (сплачу-ється) щоквартально i становить 8 %. Пiдрахуйте:

а) еквiвалентну ставку вiдсотка, конвертовану щопiвроку;б) еквiвалентну дисконтну ставку за рiк, конвертовану щомiсяця.1.3.14. Уряд випустив 90-деннi векселi з простою дисконтною став-

кою 6 % рiчних. Пiдрахуйте ефективну ставку рiчного доходу, отрима-ного iнвестором, що купує вексель, випущений у продаж i тримає йогодо термiну погашення.

1.3.15. Урядовий 91-денний вексель забезпечує покупцю ефективнунорму прибутку 5 % рiчних. Визначте рiчний простий дисконтний вiдсо-ток, за яким враховується вексель.

1.3.16. Урядом випущено 90-деннi казначейськi векселi з простоюдисконтною ставкою 5 % на рiк. Пiдрахуйте норму прибутку за рiк, якаконвертується щопiвроку, що її отримає iнвестор, який придбав вексельi тримає його до термiну погашення.

1.3.17. За облiгацiєю з плаваючою ставкою виплачуються вiдсотки,якi пов’язанi з iндексом локальних плаваючих вiдсоткових ставок. Облi-гацiю було куплено за цiною 99 одиниць 1 сiчня 2000 року i продано зацiною 101 одиниця 31 грудня 2000 року. Номiнальна вартiсть облiгацiї100, а ставка вiдсотка, що виплачується за облiгацiєю, дорiвнює 6,5 %номiнальної вартостi 31 червня 2000 року i 6,6 % номiнальної варто-стi 31 грудня 2000 року. Пiдрахуйте номiнальну норму прибутку за рiк,сплачувану щопiвроку.

1.3.18. Iнвестор придбав 90-денний вексель казначейства номiналом100 грн за цiною 91 грн. Через 30 днiв вiн продав вексель iншому iн-вестору за цiною 93,90 грн. Iнший iнвестор погасив цей вексель за но-мiналом у призначений час. Визначте, хто з iнвесторiв отримав вищуефективну норму прибутку, тобто чия ставка вiдсотка в перерахунку заодин i той самий промiжок часу була вищою.

1.3.19. Покупець придбав автомобiль за 15 000 грн у кредит, якийбуде погашати однаковими внесками на початку кожного мiсяця протя-гом двох рокiв, вiдсоткова ставка при цьому вважається рiвною 12,36 %.Визначте незмiнну вiдсоткову ставку вказаної позики.


1.3.1. (1 + i/2)2 C, (1 + i/4)4 C.1.3.2. 1. 1,012512C ≈ 1,161C. 2. reff = 1,012512−1 ≈ 0,161, або 16,1 %.

3. [exp(0,15) − 1]C ≈ 1,162C, reff = exp(0,15) − 1 ≈ 0,162, або 16,2 %.1.3.3. ln 2/ ln(1+ i). Для i = 0,03, 0,06, 0,08, 0,1 маємо приблизно 23,

12, 9, 7 рокiв вiдповiдно.

14

1.3.4. 10 ln 2 ≈ 7 рокiв.1.3.5. ln 3/ ln(1 + i) ≈ 1,1/i.1.3.6. Приблизно через 28 i через 35 рокiв.

1.3.7. 100 000(∑60

k=1 1,005k)−1

≈ 1 426 грн.

1.3.8. exp(0,06) − 1 ≈ 0,062 або 6,2 %.1.3.9. Вiдсоткова ставка: а) 10,25 %; б) 10,38 %; в) 10,47 %; г) 10,51 %.1.3.10. Треба визначити i(4), що вiдповiдає вказаним ставкам. Обчис-

люємо це значення з наступних рiвнянь:

а)[1 + i(4)/4

]4= (1+0,005)12, звiдки i(4) = 0,060301 або 6,0301 % (ми

порахували прирiст капiталу за один рiк за двома ставками);

б) аналогiчно до пункту а),[1 + i(4)/4

]8= 1,12, звiдки i(4) = 5,7068 %.

1.3.11. Перепишемо данi в термiнах строку h, на який можна покла-сти грошi, та вiдповiдних номiнальних ставок ih(t0), де t0 — фiксованадата створення рахунку:

Строк h 1/365 2/365 7/365 1/12 1/4ih(t0) 0,1175 0,11625 0,115 0,11375 0,1125

Накопичена сума обчислюється за формулою 1000[1 + hih(t0)] i дорiвнюєа) h = 7/365, 1 000 (1 + 0,115 · 7/365) = 1002,21;б) h = 1/12, 1 000 (1 + 0,11375 · 1/12) = 1009,48.1.3.12. Обчислюємо: а) значення i(2), що вiдповiдає вказанiй ставцi.

Маємо рiвнiсть[1 + i(2)/2

]−2= (1 + 0,07/12)12, звiдки i(2) = 7,103 % (ми

порахували дисконтування капiталу за один рiк за двома ставками);б) значення d(12), що вiдповiдає вказанiй ставцi. Аналогiчно до пун-

кту а),(1 − d(12)/12

)12= (1 + 0,07/12)12, звiдки d(12) = 6,959 %.

1.3.13. Обчислюємо: а) значення i(2), що вiдповiдає вказанiй ставцi.

Маємо рiвнiсть[1 + i(2)/2

]−2= (1 − 0,08/4)4, звiдки i(2) = 8,247 % (тут

записано дисконтування капiталу за один рiк за двома ставками);б) значення d(12), що вiдповiдає вказанiй ставцi. Аналогiчно до пун-

кту а),[1 − d(12)/12

]12= (1 − 0,08/4)4, звiдки d(12) = 8,0539 %.

1.3.14. Розглянемо рiк з 365 днiв. Якщо номiнал векселя дорiвнюєC, то вартiсть його покупки дорiвнює C(1− 0,06 · 90/365) (це випливає зозначення простої дисконтної ставки та 90-денного строку погашення).Якщо ефективна рiчна ставка дорiвнює i та вексель буде викупленочерез 90 днiв за цiною C, то його сучасна цiна дорiвнює C(1 + i)−90/365.З рiвностi

C(1 − 90

365· 0,06

)= C(1 + i)−90/365

визначаємо i = 6,2313 %.

15

1.3.15. Аналогiчно до розв’язання задачi 1.3.14, розглянемо рiк три-валiстю 365 днiв i вважатимемо номiнал векселя рiвним C. Позначи-мо через d невiдому просту дисконтну ставку i для термiну погашення91 день дiстанемо рiвнiсть

C(1 − 91

365d)

= C(1,05)−91/365,

звiдки d = 4,8495 %.1.3.16. Розглянемо рiк з 365 днiв, номiнал векселя позначимо че-

рез C. Тодi вартiсть його покупки дорiвнює C (1 − 0,05 · 90/365), i миодержимо рiвнiсть

C

(1 − 90

365· 0,05

)= C

[1 +

i(2)

2

]2·90/365

,

звiдки шукане значення i(2) = 5,0949 %.1.3.17. Шукана величина — i(2). Запишемо прибуток вiд акцiї станом

на 31 грудня 2000 року двома способами i одержимо рiвнiсть

99[1 +

i(2)

2

]2

= 6,5[1 +

i(2)

2

]+ 6,6 + 101,

звiдки i(2) = 0,15175 = 15,175 %.1.3.18. Iнший iнвестор тримав вексель вдвiчi довше, нiж перший.

Тому нам слiд порiвняти величини (93,9/91)2 = 1,06475 i 100/93,9 == 1,06496. Оскiльки друга величина бiльша, iнший iнвестор отримаввищу норму прибутку.

1.3.19. Маємо ν = 1/1,1236 = 0,89. Нехай розмiр щомiсячної випла-ти за позикою дорiвнює X. Тодi

X(1 + ν1/12 + . . . + ν23/12

)= 15 000 грн,

звiдки X = 697,27171 грн. Загальна виплата за 24 мiсяця становитиме24X = 16734,521 грн. Шуканий вiдсоток дорiвнює

16 734,521 − 15 0002 · 15 000

= 0,05781737,

або 5,782 %.

1.4. ДИСКОНТУВАННЯ ТА АКУМУЛЮВАННЯГРОШОВИХ ПОТОКIВ


Швидкiсть i одержання прибутку вiд iнвестицiй обчислюється як i == b/a−1, де b — прибуток, отриманий через рiк; a — початковий внесок.Якщо прибуток було отримано в кiлька етапiв, причому через k рокiв

16

пiсля iнвестицiї суму bk, k = 1, . . . ,n, то швидкiсть одержання прибуткувизначається як корiнь i∗ рiвняння L(i) = 0, де

L(i) = −a +n∑

k=1

bk(1 + i)−k.

Припустимо, що вiдсоткова ставка i(t) є неперервною функцiєю вiд часуt ≥ 0. Нехай у момент t = 0 ми поклали на рахунок одиницю; черезD(t) позначимо суму, що лежатиме на рахунку в момент t. Має мiсцеформула

D(t) = expw t

0i(s) ds

.

Середнє значення

i(t) =

0, t = 0,1t

r t

0 i(s) ds, t > 0

називається кривою доходiв. При цьому D(t) = expti(t)

.

Нехай δ(t) — iнтенсивнiсть вiдсотка, ν(t) = exp−r t

0 δ(s) ds — дис-контна функцiя, ρ(t) — iнтенсивнiсть платежiв, що здiйснюються непе-рервно до моменту часу T , Ctk — потоки платежiв, що провадяться умоменти часу tk, k = 1, . . . ,n. Тодi сучасна вартiсть, або сучасне значення(present value), дискретного i неперервного потокiв платежiв дорiвнює

n∑

k=1

Ctkν(tk) +w T

0ν(t)ρ(t) dt.

Вартiсть у момент часу t1 суми C на момент часу t2

V (t1,t2) = C exp−

w t2

t1δ(s) ds

= C

ν(t2)ν(t1)

.

Вартiсть у момент часу t1 суми C на момент часу t2 називається:а) накопиченням iз суми C з моменту t2 до моменту t1, якщо t1 ≥ t2;б) дисконтованим значенням суми C у момент часу t1 вiдносно мо-

менту часу t2, якщо t1 < t2.Нехай iнвестор вкладає капiтал C i неперервно одержує дохiд за вiд-

сотками, зберiгаючи капiтал C сталим до моменту вилучення T . Тодiсучасна вартiсть доходу за вiдсотками дорiвнює C

r T

0 δ(t)ν(t) dt, а сучас-на вартiсть капiталу — Cν(T ). Отже,

C = Cw T

0δ(t)ν(t) dt + Cν(T ).

17

Задачi

1.4.1. Нехай людина одержуватиме суму xk наприкiнцi k-го з n пе-рiодiв за вiдсоткової ставки i. Довести, що сучасна вартiсть такої послi-довностi виплат дорiвнює

∑nk=1 ν

kxk. Яка послiдовнiсть виплат вигiднiшапри i = 0,1, 0,2, 0,3 та n = 5:

а) 12, 14, 16, 18, 20;б) 16, 16, 15, 15, 15;в) 20, 16, 14, 12, 10?1.4.2. Розглянемо двi послiдовностi прибуткiв, одержаних наприкiнцi

вiдповiдного року: 20, 20, 20, 15, 10, 5 та 10, 10, 15, 20, 20, 20. Яказ послiдовностей має перевагу, тобто сучасна вартiсть якої послiдовнос-тi бiльша, якщо вiдсотки нараховуються щорiчно за ставкою: а) 3 %;б) 5 %; в) 10 %?

1.4.3. Виробництво має придбати певне обладнання на наступнi 5 ро-кiв. Воно має й зараз таке обладнання, яке коштує 6 000 грн, втрачаєщороку 2 000 грн вартостi й через 3 роки буде недiйсним. Операцiйнi ви-трати на його утримання становлять 9 000 грн i зростають на 2 000 грнкожного року (ураховуються на початку кожного року утримання). Новеобладнання можна купити на початку будь-якого року за 20 000 грн, прицьому одночасно продається старе. Термiн придатностi нового обладнан-ня 6 рокiв, а його вартiсть зменшується на 2 000 грн кожного з першихдвох рокiв, а потiм на 4 000 грн щорiчно. Операцiйнi витрати на йогоутримання — 6000 грн на перший рiк, i вони збiльшуються на 1 000 грнкожного наступного року. Вiдсоткова ставка становить 10 %.

1. Показати, що грошовi потоки витрат за умови купiвлi обладнанняна початку 1, 2, 3, 4-го року та продажу на початку 6-го року дорiвнюють(у тисячах гривень):

за умови купiвлi на початку 1-го року: 20, 7, 8, 9, 10, −4;на початку 2-го року: 9, 22, 7, 8, 9, −8;на початку 3-го року: 9, 11, 24, 7, 8, −12;на початку 4-го року: 9, 11, 13, 26, 7, −16.

2. Пiдрахувати сучасну вартiсть кожного грошового потоку. На почат-ку якого року найвигiднiше купити обладнання?

1.4.4. П’ятирiчна облiгацiя номiнальною вартiстю 10 000 грн має ку-понну ставку 10 % з виплатами раз у пiвроку. Це означає, що власникуоблiгацiї сплачується 500 грн щопiвроку протягом 5 рокiв i пiсля цьогоще 10 000 грн як остаточна виплата. Визначити її вартiсть на моменткупiвлi, якщо вiдсоткова ставка дорiвнює: а) 6 %; б) 10 %; в) 12 %.

1.4.5. Облiгацiя з нульовою купонною ставкою має номiнал F , i занею виплачується сума F у момент погашення. Нехай вiдсоткова ставка

18

8 % нараховується неперервно. Обчислiть сучасну вартiсть облiгацiї приF = 1000, якщо грошi за нею виплачуються через 10 рокiв.

1.4.6. Щоб повернути кредит, можна або сплатити 16 000 грн вiдразу,або 10 000 вiдразу i 10 000 через 10 рокiв. Що вигiднiше людинi, якаповертає кредит, якщо вiдсоткова ставка нараховується неперервно йдорiвнює: а) 2 %; б) 5 %; в) 10 %?

1.4.7. Людина вирiшила пiти на пенсiю через 20 рокiв. Вона плануєпротягом 20 рокiв вносити до банку суму в A грн щомiсячно з метоюпотiм протягом 30 рокiв забирати 1 000 грн щомiсячно. Нехай вiдсотки(складнi) сплачуються щомiсяця, вiдсоткова ставка — 12 % на рiк (став-ка номiнальна, тобто вiдповiдає 1 % на мiсяць).

Визначте A.1.4.8. Хлопець купив музичний центр, який продавався за 4 200 грн.

Вiн домовився заплатити вiдразу 1 000 грн i зробити 24 щомiсячнi випла-ти по 160 грн, починаючи через мiсяць з моменту покупки. Обчислитизначення ефективної рiчної вiдсоткової ставки.

1.4.9. Людина взяла кредит у 100 000 грн для купiвлi квартири. Вонавиплачуватиме суми для повернення кредиту щомiсяця протягом 10 ро-кiв, з вiдсотковою ставкою 1 % на мiсяць. Однак банк стягує 600 грняк плату за надання кредиту, 400 грн — за iнспекцiю квартири, i ще1 % треба сплатити при одержаннi кредиту. Пiдрахувати за цих умовсправжню рiчну вiдсоткову ставку.

1.4.10. Обчислити швидкiсть одержання прибутку вiд iнвестицiй,якщо початковий внесок у 1 000 грн принiс прибуток у 700 грн двiчi,наприкiнцi кожного з двох рокiв.

1.4.11. Визначити швидкiсть одержання прибутку дворiчної iнвести-цiї, яка на початковий внесок у 1 000 грн дає наприкiнцi першого ро-ку прибуток 400 грн i прибуток наприкiнцi другого року: а) 400 грн;б) 600 грн; в) 800 грн.

Як змiниться вiдповiдь, якщо помiняти мiсцями рiчнi прибутки?1.4.12. Щорiчний грошовий потiк дорiвнює −1 000, −1 200, 820, 900,

800. Чи є прийнятним цей потiк для людини, яка i позичає, i вноситьгрошi за умов, що вiдсоткова ставка дорiвнює 5 %?

1.4.13. Нехай людина позичає грошi пiд 8 % рiчних, а отриманийдодатний прибуток вiдразу повнiстю вносить у банк пiд 5 % рiчних.Якщо початковий капiтал нульовий i грошовий потiк iнвестицiй по рокахстановить −1 000, 900, 800, −1 200, 700, то чи треба iнвестувати?

1.4.14. Швидкiсть iнфляцiї визначається швидкiстю зростання цiн.Наприклад, якщо рiчна швидкiсть iнфляцiї 4 %, то те, що коштува-ло 100 грн минулого року, коштує 104 грн цього року. Нехай ri —швидкiсть iнфляцiї. Розглянемо iнвестицiю зi швидкiстю прибутку r.Ми можемо цiкавитись швидкiстю прибутку iнвестора з погляду на те,

19

на скiльки iнвестицiя збiльшує купiвельну вартiсть. Ця величина на-зивається iнфляцiйно-регуляцiйною швидкiстю прибутку. Позначимо їїчерез ra. Оскiльки купiвельна спроможнiсть суми грошей (1 + r)x черезрiк еквiвалентна купiвельнiй спроможностi (1 + r)x/(1 + ri) сьогоднi, тоiнвестицiя переводить за один рiк суму x у суму (1 + r)x/(1 + ri). Отже,iнфляцiйно-регуляцiйна швидкiсть прибутку ra = (1 + r)/(1 + ri) − 1.

Якщо r та ri невеликi, то ra ≈ r − ri. Обчислити точне i приблизнезначення ra, якщо банк сплачує 10 %, а швидкiсть iнфляцiї 6 %.

1.4.15. Розглянемо iнвестицiйний грошовий потiк c0, c1, . . . , cn, при-чому ck < 0, k < n, та cn > 0. Покажiть, що для

P(i) =n∑

k=0

ck(1 + i)−k, i > −1,

а) iснує єдиний розв’язок i∗ рiвняння P (i∗) = 0;б) P(i) не обов’язково є монотонною функцiєю i.1.4.16. Припустимо, що вiдсоткова ставка

i(t) = (1 + t)−1i1 + t(1 + t)−2i2.Визначити криву доходiв i(t) i розмiр рахунку D(t).

1.4.17. Довести, що i(t) є неспадною функцiєю t тодi й тiльки тодi,коли P(αt) ≥ Pα(t) для всiх 0 ≤ α ≤ 1, t ≥ 0, де P(t) — сучасна вартiстьодиницi, одержаної в момент t.

1.4.18. Довести, що якщо i(t) не спадає за t, то i i(t) не спадає.1.4.19. Показати, що

i(t) = −P′(t)/P(t), та i(t) = −lnP(t)/t,де P(t) — сучасна вартiсть одиницi, одержаної в момент t.

1.4.20. Дехто має 200 000 грн для iнвестування з постiйною ставкою9 %. Вiн бажає наприкiнцi кожного наступного року протягом 20 рокiвзнiмати з рахунку фiксовану суму в I грн. Визначити:

а) максимальне можливе значення I ;б) максимальне можливе значення I , якщо грошi знiматимуться на

початку кожного з наступних 20 рокiв.1.4.21. Яку суму треба покласти на банкiвський рахунок зараз, якщо

вiдсоткова ставка 7 %, а людина бажає при цьому знiмати по 1 000 грннаприкiнцi кожного з наступних 30 рокiв?

1.4.22. Деяка особа виграла у лотерею i тепер вибирає, одержатизараз 180 000 грн або по 10 000 грн на початку кожного року.

Нехай банкiвський вiдсоток дорiвнює 6 %. Що краще вибрати, якщодоговiр з банком укладається:

а) на 25 рокiв;б) на 60 рокiв;в) довiчно?

20

1.4.23. Нехай час вимiрюється роками, i припустимо, що для всiхt1 ≤ t2 сума A(t1, t2), накопичена в момент t2 одиничною iнвестицiєю,зробленою в момент t1, визначається формулою

A(t1, t2) = exp 5

100(t2 − t1)

.

Обчислити суму, акумульовану 600 грн, вкладеними в будь-який моментчасу, через 15 рокiв.

1.4.24. Припустимо, що iнтенсивнiсть вiдсотка δ(t) задається форму-лами:

а) δ(t) = δ;б) δ(t) = a + bt.Визначити суму, накопичену одиничною iнвестицiєю вiд моменту t1

до моменту t2.1.4.25. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ(t) = 0,12. Час вимiрюється роками.

Визначити номiнальну рiчну ставку вiдсотка для депозиту:а) на 7 днiв;б) на 1 мiсяць;в) на 6 мiсяцiв.1.4.26. Нехай час вимiрюється в роках, iнтенсивнiсть вiдсотка δ(t) =

= 0,06(0,9)t для всiх t. Спростити вираз для ν(t), дисконтованої сучасноївартостi одиничної суми на момент t, i обчислити дисконтовану сучаснувартiсть суми грошей, яка через 3,5 року дорiвнюватиме 100 грн.

1.4.27. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ(t) = 0,05 + 0,001t +0,0001t2, 0 ≤ t ≤≤ 10.

1. Обчислити загальне накопичення в момент часу t = 10 iнвестицiїв 100 грн, яку зроблено в момент часу t = 0, i iнвестицiї в 100 грн, якузроблено в момент часу t = 5.

2. Визначити еквiвалентну сталу iнтенсивнiсть вiдсотка операцiї зпункту 1.

1.4.28. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ (t) у момент t

δ (t) =

0,06 + 0,005t, 0 ≤ t < 4,

0,12 − 0,01t, 4 ≤ t < 6,

0,06, 6 ≤ t.

Чому дорiвнює:а) накопичення у момент часу t iнвестицiї в 1 грн, яку зроблено в

момент t = 0;б) вартiсть у момент t = 0 суми в 100 грн на момент часу t = 5;в) накопичення у момент часу t = 12 неперервного грошового потоку

з моменту t = 4 до моменту t = 6, який вiдбувався з iнтенсивнiстюплатежiв ρ(t) = 12 − t?

21

1.4.29. Нехай ν(t) — дисконтна функцiя, яка вiдповiдає iнтенсив-ностi вiдсотка δ(t). Якi з наступних виразiв задають сучасну вартiстьнеперервного ануїтету, що виплачується n рокiв з iнтенсивнiстю плате-жiв t:

а)r n

0 tν(t) dt;б)

r n

0 t exp−

r n

0 δ(s) ds

dt;

в)r n

0 t exp−

r t

0 δ(s) ds

dt;

г)r n

0 t exp−

r n

tδ(s) ds

dt?

1.4.30. Нехай

δ(t) =

0,09, 0 ≤ t < 5,

0,08, 5 ≤ t < 10,

0,07, t ≥ 10.

Визначити ν(t) при всiх t ≥ 0.1.4.31. Нехай час вимiрюється в роках, iнтенсивнiсть вiдсотка

δ(t) =

0,04, 0 ≤ t < 10,

0,03, t ≥ 10.

Визначити ν(t) та сучасну вартiсть неперервного потоку платежiв, якийпровадиться з одиничною рiчною iнтенсивнiстю протягом 15 рокiв, по-чинаючи з t = 0.

1.4.32. Iнтенсивнiсть вiдсотка набуває таких значень:

δ(t) =

0,04, 0 < t ≤ 10,

0,001(t − 10)2 + 0,04, t > 10.

Обчислити:а) накопичення на 150 грн з моменту часу t = 0 до t = 20;б) сучасну вартiсть (СВ) неперервного потоку платежiв з щорiчною

виплатою 10 грн з моменту часу t = 5 до моменту часу t = 10;в) сучасну вартiсть неперервного потоку платежiв з iнтенсивнiстю

платежiв e−0,03t , що триває з моменту часу t = 0 до моменту t = 10.1.4.33. Неперервний потiк платежiв iнтенсивнiстю ρ(t) = e−0,04t три-

ває T рокiв. Iнтенсивнiсть вiдсотка дорiвнює δ(t) = 0,1. Сучасну вартiстьодної грошової одиницi на момент часу t позначимо через ν(t). Який знаступних виразiв не задає сучасну вартiсть даного грошового потоку:

а)r T

0 e−0,04te−0,1T dt;

б)r T

0 e−0,04tν(t) dt;

в)r T

0 e−0,14t dt;г) (1 − e−0,14T )/0,14?

22

1.4.34. Для iнтенсивностi вiдсотка δ(t) = 0,01(t3 − 9t) обчислитиеквiвалентну ефективну рiчну вiдсоткову ставку за перiод з t = 3 доt = 4.

1.4.35. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ (t) у момент t задано так:

δ(t) =

0,07 − 0,005t, 0 ≤ t < 5,

0,06 − 0,003t, 5 ≤ t < 10,

0,03, t ≥ 10.

1. Обчислити:а) накопичення на 100 грн з моменту часу t = 0 до моменту t = 15;б) сталу рiчну ефективну вiдсоткову ставку для iнвестицiї з пун-

кту 1а);в) сучасну вартiсть неперервного потоку платежiв, який триває з мо-

менту t = 5 до моменту t = 10 з iнтенсивнiстю платежiв ρ(t) = 60 − 3t.2. Показати, що iнвестування в момент t = 0 суми, обчисленої в

пунктi 1в), у купiвлю неперервного потоку платежiв з пункту 1в), даєсталу ефективну рiчну вiдсоткову ставку у перiод з t = 0 до t = 10меншу за 5,5 %.

1.4.36. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ(t) у момент t задано так:

δ (t) =

0,06, 0 < t ≤ 6,

0,05 + 0,0002t2, 6 < t ≤ 12.

Пiдрахуйте накопичення у момент t = 12 неперервного потоку платежiву 100 грн щороку, який виплачується з моменту t = 0 до моменту t = 6.

1.4.37. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ (t) задано формулою

δ (t) =

0,04, 0 < t ≤ 5,

0,01(t2 − t

), t > 5.

Пiдрахуйте:а) сучасну вартiсть одиничної суми грошей на момент часу t = 10;б) ефективну вiдсоткову ставку за перiод з t = 9 по t = 10;в) сучасну вартiсть ν (t) одиничної суми грошей, яку сплатять за

перiод 0 < t ≤ 5, у термiнах t;г) сучасну вартiсть потоку платежiв, що надходять неперервно за

перiод 0 < t ≤ 5 з iнтенсивнiстю платежiв ρ (t) = e0,04t .1.4.38. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ(t) у будь-який момент часу t, що

вимiрюється в роках, задається формулою

δ (t) =

0,04 + 0,01t, 0 ≤ t < 8,

0,07, t ≥ 8.

23

1. Визначте i спростiть, наскiльки це можливо, вираз для A(t), де A(t)є накопиченим значенням у момент t iнвестицiї розмiром у 1 грн, якузроблено в момент t = 0.

2. Пiдрахуйте сучасну вартiсть у момент t = 0 суми, що дорiвнює100 грн у момент t = 10.

1.4.39. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ (t) визначено так:

δ (t) =

0,05, 0 < t ≤ 10,

0,006t, 10 < t ≤ 20,

0,003t + 0,0002t2, t > 20.

Пiдрахуйте:а) сучасну вартiсть одиничної суми грошей у момент t = 25;б) ефективну ставку вiдсотка за одиницю часу вiд моменту t = 19 до

моменту t = 20;в) сучасну вартiсть неперервного потоку платежiв з iнтенсивнiстю

e−0,03t за одиницю часу мiж часом t = 0 та часом t = 5.1.4.40. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ (t) задано так:

δ (t) = 0,005t + 0,0001t2, t ≥ 0.

Пiдрахуйте:а) суму, накопичену на момент t = 8 iнвестицiєю розмiром у 100 грн,

яку зроблено в момент t = 0;б) сталу рiчну ефективну вiдсоткову ставку за восьмирiчний перiод.1.4.41. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ (t) є функцiєю часу, який вимiрює-

ться у роках, i в будь-який момент часу має вигляд

δ (t) =

0,03 + 0,01t, 0 ≤ t ≤ 8,

0,05, t > 8.

1. Визначте i спростiть, наскiльки це можливо, вираз для ν (t), деν (t) — сучасне значення одиничної суми грошей на момент часу t.

2. Пiдрахуйте:а) сучасну вартiсть суми в 500 грн, яка очiкується через 15 рокiв;б) рiчну ставку дисконтування, що конвертується щоквартально, по-

роджену операцiєю з пункту 2а);в) сучасну вартiсть неперервного потоку платежiв з рiчною iнтенсив-

нiстю 10e−0,02t мiж t = 10 i t = 14.1.4.42. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ (t) в будь-який момент t, що вимiрю-

ється в роках, задається формулою

δ (t) =

0,05, 0 ≤ t ≤ 3,0,09 − 0,01t, 3 < t ≤ 8,0,01t − 0,03, t > 8.

24

1. Якщо 500 грн iнвестуються в момент t = 2 i наступнi 800 грнiнвестуються в момент t = 9, пiдрахуйте накопичену суму в моментt = 10.

2. Визначте постiйну ефективну рiчну ставку вiдсотка з точнiстю до1 %, для якої результат буде такий самий, як i в пунктi 1.

1.4.43. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ (t) у момент часу t, що вимiрюєтьсяв роках, задано так:

δ (t) =

0,05, 0 < t < 8,

0,04 + 0,0004t2, 8 ≤ t ≤ 15.

Пiдрахуйте накопичену вартiсть у момент t = 15 неперервного потокуплатежiв у 50 грн за рiк, який виплачується з моменту t = 0 до моментуt = 8.

1.4.44. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ(t) у момент часу t задано так:

δ(t) =

0,05, 0 < t ≤ 10,

0,08 + 0,003t, t > 10.

Обчислити:а) накопичення на момент t = 15 iнвестицiї в 100 грн, зробленої в

момент t = 5;б) еквiвалентну сталу iнтенсивнiсть вiдсотка з моменту t = 5 до

моменту t = 15;в) сучасну вартiсть неперервного потоку платежiв з iнтенсивнiстю

ρ(t) = 100e0,01t , який вiдбувався з моменту t = 0 до моменту t = 5.1.4.45. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ (t) у момент часу t, що вимiрюється

в роках, задано так:

δ (t) =

0,07 − 0,005t, 0 < t ≤ 8,

0,06, t > 8.

Обчислити:а) накопичення на момент t = 10 iнвестицiї в 500 грн, зробленої в

момент t = 0;б) сучасну вартiсть при t = 0 неперервного потоку платежiв, який

вiдбувався iз ставкою платежiв ρ(t) = 200e0,1t з моменту t = 10 домоменту t = 18.

1.4.46. Для деякого банкiвського депозиту для даного року iнтенсив-нiсть вiдсотка дорiвнювала 0,15 на початку року, 0,1 в серединi рокуi 0,08 наприкiнцi року. Обчислити суму, накопичену наприкiнцi рокуiнвестицiєю 5 000 грн на початку року у таких випадках:

а) iнтенсивнiсть вiдсотка є квадратичною функцiєю часу;б) iнтенсивнiсть вiдсотка лiнiйно залежить вiд часу у першому i дру-

гому пiврiччях.

25

1.4.47. 1. Для оцiнювання майбутнiх платежiв iнвестор використовуєдля теперiшньої вартостi 1 грн у момент часу t таку формулу:

ν(t) =α(α+ 1)

(α+ t)(α+ t + 1),

де α > 0. Показати, щоа) iнтенсивнiсть вiдсотка в момент часу t дорiвнює

δ(t) =2t + 2α+ 1

(α+ t)(α+ t + 1);

б) ефективна вiдсоткова ставка в перiод вiд t = n до t = n+1 дорiвнюєi(n) = 2/(n + α);

в) сучасна вартiсть серiї з n платежiв по 1 грн — a(n) =nα

n + α+ 1.

2. Нехай α = 15. Обчислити розмiр щорiчної премiї, що виплачуєть-ся авансом протягом 12 рокiв i яка забезпечить ануїтет у 1 800 грнщорiчних виплат протягом 10 рокiв, з першою виплатою ануїтету черезодин рiк пiсля виплати останньої премiї. Яке значення в момент часуt = 12 серiї платежiв ануїтету?

1.4.48. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ(t) у момент t, що вимiрюється вроках, буде лiнiйною функцiєю t протягом m рокiв, а потiм сталою нарiвнi, досягнутому в момент m.

1. Розглядаючи окремо випадки n ≤ m та n > m, визначити в термiнахn, m, δ(0) та δ(m) значення, акумульоване одиничною сумою на промiжкучасу вiд 0 до n.

2. За умови, що m = 16, δ(0) = 0,08 та δ(16) = 0,048, обчислитиакумульоване значення для n = 15 та n = 40.

3. Визначити сталу iнтенсивнiсть вiдсотка, яка забезпечить те самеакумульоване значення для n = 15 та окремо для n = 40.

1.4.49. Пiдприємець позичив такi суми: 1 000 грн 1 сiчня 2000 року,2 500 грн 1 сiчня 2001 року та 3 000 грн 1 липня 2001 року. За умови,що iнтенсивнiсть вiдсотка є сталою i дорiвнює 0,06 на рiк, визначитивартiсть цього грошового потоку:

а) на 1 сiчня 1998 року;б) на 1 березня 1999 року.1.4.50. Банк нараховує вiдсотки на депозит, застосовуючи змiнну iн-

тенсивнiсть вiдсотка. На початку нинiшнього року iнвестор поклав надепозит 20 000 грн. Акумульоване значення на цьому рахунку дорiвню-вало 20 596,21 грн у серединi року i 21 183,70 грн наприкiнцi року. Заприпущень, що час вимiрюється в роках i що протягом року iнтенсив-нiсть вiдсотка є лiнiйною функцiєю часу, визначити цю iнтенсивнiстьвiдсотка як функцiю часу i обчислити суму на рахунку, накопичену че-рез 3/4 року.

26

1.4.51. Боржник повинен сплатити банку суму в 6 280 грн через4 роки, 8 460 грн через 7 рокiв i 7 350 грн через 13 рокiв. Замiсть цьогоборжник пропонує банку одне з двох:

а) сплатити борг однiєю виплатою, зробленою через 5 рокiв;б) сплатити весь борг, тобто 22 090 грн однiєю виплатою у деякий

момент у майбутньому.За припущення, що iнтенсивнiсть вiдсотка стала i дорiвнює ln 1,08 =

= 0,076961, обчислити потрiбну виплату у випадку а) i момент виплатиу випадку б).

1.4.52. (Кусково-стала iнтенсивнiсть вiдсотка.)Нехай iнтенсивнiсть вiдсотка задається формулою

δ (t) =

0,08, 0 ≤ t < 5,

0,06, 5 ≤ t < 10,

0,04, t ≥ 10.

1. Записати вираз для сучасної вартостi ν(t) одиничної суми в мо-мент t.

2. Iнвестор пiдписує контракт, згiдно з яким вiн виплатить 15 премiйщорiчно авансом на рахунок, що має вказану iнтенсивнiсть вiдсотка.Кожна премiя розмiром у 600 грн, причому першу буде виплачено вмомент t = 0. Натомiсть вiн одержить одне з двох:

а) суму, накопичену на рахунку через 1 рiк пiсля виплати останньоїпремiї;

б) щорiчний ануїтет, що виплачуватиметься протягом 8 рокiв, причо-му перша виплата за ануїтетом вiдбудеться через рiк пiсля того, як будевиплачено останню премiю.

Визначити суму виплати у випадку 2а) та величину щорiчної виплатиу випадку 2б).


1.4.1. При i = 0,1 — перша послiдовнiсть; при i = 0,2 — друга; приr = 0,3 — третя.

1.4.2. У випадках а) i б) — друга; у випадку в) — перша.1.4.3. Сучаснi вартостi грошових потокiв витрат дорiвнюють вiдпо-

вiдно 44 080, 41 980, 42 110, 44 120 грн. Найвигiднiше купувати на почат-ку другого року.

1.4.4. У випадку а) — 11 747 грн; б) — 10 093 грн; в) — 9 384 грн.1.4.5. Fe−0,8 ≈ 449.1.4.6. У випадках а) i б) — все вiдразу; у випадку в) — 10 000 грн

вiдразу, 10 000 грн через 10 рокiв.

27

1.4.7. A = 1000(1 − 1,01−360

) (1,01240 − 1

)−1 ≈ 98 грн.1.4.8. Приблизно 19,6 %.1.4.9. Приблизно 13,2 %. Зауваження. При розв’язаннi цiєї i попере-

дньої задач потрiбно чисельно знаходити приблизний розв’язок алгебри-чного рiвняння.

1.4.10. 25,7 %.1.4.11. Швидкiсть одержання прибутку в пунктi а) дорiвнює −14 %

(тобто маємо збитки); б) — 0 %; в) — 12 %.Якщо помiняти мiсцями прибутки, то вiдповiдi у пунктах а) i б) не

змiняться, у пунктi в) матимемо 15 %.1.4.12. Так. Сучасна вартiсть даного грошового потоку додатна.1.4.13. Не треба. Вартiсть даного потоку, пiдрахована для моменту

надходження останнього прибутку, є вiд’ємною.1.4.14. Точне значення 3,77 %, приблизне — 4 %.1.4.15. У випадку а) L(i) = 0 ⇔ cn =

∑n−1k=0 (−ck)(1 + i)n−k. Функцiя

в правiй частинi монотонно зростає при i ∈ (−1, + ∞) вiд 0 до +∞ iє неперервною; у випадку б) функцiя L(i) = −i/(1 + i)2 = −1/(1 + i) ++ 1/(1 + i)2 спадає при i ∈ (−1, 1) i зростає при i ∈ (1, + ∞).

1.4.16. i(t) = i2 + [(i1 − i2) ln(1 + t)]/t, D(t) = exp i2t (1 + t)i1−i2 .1.4.17. При α = 0 вказана нерiвнiсть очевидна. Розглянемо функцiю

f (α) = lnP(αt)/α, 0 < α ≤ 1. Записана в умовi нерiвнiсть еквiвалентнанерiвностi f (α) ≥ f (1). Оскiльки P(t) = 1/D(t), то маємо f (α) = −ti(αt),f (1) = −ti(t). У свою чергу, виконання для довiльних 0 < α ≤ 1 i t ≥ 0нерiвностi i(αt) ≤ i(t) означає, що i(t) неспадна.

1.4.18. i(t)′ ≥ 0 ⇔ ti(t) −r t

0 i(s) ds ≥ 0 ⇐ i(t) ≥ i(s), 0 ≤ s ≤ t.1.4.19. Використайте рiвнiсть P(t) = 1/D(t) та формули для D(t).1.4.20. Суми дорiвнюють: а) — 21 909,925 грн; б) — 20 100,27 грн.1.4.21. 12 409,04 грн.1.4.22. У будь-якому випадку треба вибрати першу можливiсть.1.4.23. Ця акумульована сума

600A(t, t + 15) = 600 exp0,05 · 15 = 1270,20 грн.

1.4.24. Накопичена сума: а) — A(t1, t2) = expδ(t2 − t1);б) — A(t1, t2) = exp

r t2t1

(a + bt) dt = expa(t2 − t1) + (b/2)(t22 − t21).1.4.25. За формулою

ih(t) =exp

r t+h

tδ(s) ds − 1

hодержуємо

а) h = 7/365, ih(t) = (exp0,12 · 7/365 − 1) · 365/7 = 12,01 %;б) h = 1/12, ih(t) = (exp0,12 · 1/12 − 1) · 12 = 12,06 %;в) h = 1/2, ih(t) = (exp0,12 · 1/2 − 1) · 2 = 12,37 %.

28

1.4.26. Спрощений вираз для ν(t) матиме вигляд

ν(t) = exp−

w t

0δ(s) ds

= exp

−

w t

00,06(0,9)s ds

=

= exp0,06

(1 − (0,9)t

)/ ln 0,9

.

Якщо пiдставити t = 3,5, дiстанемо

ν(t) = exp0,06

(1 − (0,9)3,5

)/ ln 0,9

= 83,89 грн.

1.4.27. 1. Позначимо через S загальне накопичення, тодi

S = 100 expw 10

0δ(t) dt

+ 100 exp

w 10

5δ(t) dt

=

= 100(e0,583 + e0,317) = 316,45 грн.

2. Позначимо через δ еквiвалентну сталу iнтенсивнiсть вiдсотка. Тодi316,45 = 100

(e10δ + e5δ

). Зробивши замiну x = e5δ i розв’язавши квад-

ратне рiвняння, одержимо δ = 5,97 %.1.4.28. Обчислимо: а) накопичення A(t) у момент часу t одиничної

iнвестицiї у момент t = 0 A(t) = expr t

0 δ(s) ds, тобто

при 0 ≤ t < 4 A(t) = exp0,06t + 0,025t2

,

при 4 ≤ t < 6 A(t) = A(4) exp[0,12s − 0,005s2]

∣∣t4

=

= exp0,12t − 0,005t2 − 0,12

,

при t ≥ 6 A(t) = A(6) exp 0,06t − 0,36 = exp 0,06t + 0,03 ;

б) сучасну вартiсть суми, що в момент часу t = 5 становить 100 грн,CB = 100 exp−

r 50 δ(t) dt = 100/A(5) = 100/ exp0,325 = 72,25 грн;

в) накопичення з моменту t = 4 до моменту t = 6

S(4,6) =w 6

4ρ(t)

ν(t)ν(6)

dt =w 6

4(12 − t) exp

w 6

tδ(s) ds

dt =

=w 6

4(12 − t) exp

w 6

t(0,12 − 0,01s) ds

dt =

=w 6

4(12 − t)e0,005t2−0,12t+0,54 dt = 15,027 грн.

Накопичення до моменту часу t = 12 дорiвнює

S(4,6) expw 12

6δ(t) dt

= 15,027e6·0,06 = 21,54 грн.

1.4.29. Оскiльки ν(t) = exp−r t

0 δ(s) ds, то сучасну вартiсть зада-ють вирази 1 i 3.

1.4.30. Очевидно, ν(t) = exp−0,09t при 0 ≤ t ≤ 5. Якщо 5 ≤ t ≤ 10,то ν(t) = exp −0,09 · 5 − 0,08(t − 5) = exp −0,05 − 0,08t, а при t ≥ 10

ν(t) = exp −0,09 · 5 − 0,08 · 5 − 0,07(t − 10) = exp −0,15 − 0,07t .

29

1.4.31. Спочатку визначаємо ν(t) = exp−r t

0 δ(s) ds:

δ(t) =

exp−0,04t, 0 < t ≤ 10,

exp−0,1 − 0,03t, 10 < t.

Потiм сучасну вартiсть неперервного потоку платежiв обчислюємо заформулою

w T

0ν(t)ρ(t)dt =

w 15

0ν(t)dt =

w 10

0exp−0,04tdt +

w 15

10exp−0,1 − 0,03tdt =

=1 − exp0,4

0,04+ exp−0,1exp−0,3 − exp−0,45

0,03= 11,35.

1.4.32. Результати обчислень: а) S(0,20) = 150 expr 200 δ(t) dt =

= 150 × expr 100 0,04dt exp

r 2010 (0,001(t − 10)2 + 0,04) dt = 465,899;

б) CB =r 105 10 exp

−

r t

0 δ(s) ds

dt = 10r 105 e−0,04t dt = 37,103;

в) CB =r 100 e−0,03t exp

−

r t

0 δ(s) ds

dt =r 100 e−0,07t dt = 7,192.

1.4.33. Сучасна вартiсть даного неперервного грошового потоку

CB =w T

0ρ(t)ν(t) dt =

w T

0e−0,04tν(t) dt =

w T

0e−0,04t exp

−

w t

0δ(s) ds

dt =

=w T

0e−0,04te−0,1t dt =

w T

0e−0,14t dt = (1 − e−0,14T )/0,14,

тому невiрним є вираз а).1.4.34. Нехай i — ефективна рiчна вiдсоткова ставка. Тодi накопиче-

ння на одну грошову одиницю за перiод з t = 3 до t = 4 зi ставкою i i зiнтенсивнiстю вiдсотка δ(t) мають збiгатися, тобто

1 + i = expw 4

3δ(t) dt = exp

w 4

30,01(t3 − 9t) dt = e0,1225.

Звiдси i = 13,03 %.1.4.35. 1. Обчислимо:а) S(0,15) = 100A(0,15) = 100 exp

r 150 δ(s) ds

= 100 exp

r 50 (0,07 −

− 0,005s) ds +r 105 (0,06 − 0,003s) ds +

r 1510 0,03ds = 186,825 грн;

б) нехай i — стала ефективна вiдсоткова ставка. Тодi 100(1 + i)15 == 186,825 i i = 4,25 %;

30

в) з умови V (t′)ν(t′) = V (t′′)ν(t′′), де V (t) — значення грошовогопотоку в момент часу t, маємо

ν(5) = exp−

w 5

0(0,07 − 0,005t) dt

= e−0,2875 = 0,75014;

V (5) =w 10

5ρ(t) exp

−

w t

5δ(s) ds

dt =

=w 10

5(60 − 3t) exp

−

w t

5(0,06 − 0,003s) ds

dt = 170,97;

V (0) = V (5)ν(5) = 128,25 грн.

2. Нехай i — стала ефективна вiдсоткова ставка, ν = 1/(1 + i). Тодi

128,25 = V (0) = V (5)ν5 = ν5w 10

5ρ(t)νt−5dt =

w 10

5(60 − 3t)νtdt =

= |s = t − 5| = ν5w 5

0(45 − 3s)νs ds = ν5

[45a5| − 3(Ia)5|

].

При i = 0,055 цiна потоку платежiв дорiвнювала б 126,99 грн, що меншеза цiну купiвлi. Тому i < 0,055.

1.4.36. Обчислимо

S(0,12) = 100w 6

0exp

w 6

tδ(s) ds

dt exp

w 12

6δ(s) ds

=

= 100w 6

0e0,06(6−t) dt exp

w 12

6(0,05 + 0,0002t2) dt

= 1078,28.

1.4.37. Обчислимо:а) A(0,10) = exp

r 100 δ(t)dt = exp

r 50 0,04dt exp

r 105 0,01(t2 − t)dt =

= 1,2214 [exp17/6 − exp1,75/6], звiдки CB = 1/ν(0,10) = 0,06447;б) 1 + i = exp

r 109 δ(s) ds = exp

r 109 0,01(t2 − t) dt = 2,24416, звiдки

i = 124,416 %;в) ν(t) = exp−

r t

0 δ(s) ds = e−r

t0 0,04 dt = e−0,04t , 0 < t ≤ 5;

г) CB =r 50 ρ(t)ν(t) dt =

r 50 e0,04te−0,04t dt = 5.

1.4.38. 1. A(t) = expr t

0 δ(s) ds.Для 0 ≤ t < 8: A(t) = exp

r t

0 (0,04 + 0,01s) ds

= exp0,04t + 0,005t2.

Для t ≥ 8: A(t) = expr 8

0 δ(s) ds· exp

r t

8 δ(s) ds

= A(8)e0,07t−0,56 =

= e0,07t+0,08.2. CB = 100 exp−

r 100 δ(s) ds = 100/A(10) = 100 exp−0,78 = 45,84.

1.4.39. Результати обчислень: а) сучасна вартiсть exp−r 250 δ(s)ds =

= exp−10 ·0,05·exp−r 2010 0,006s ds·exp−

r 2520 (0,003s+0,0002s2)ds =

= 0,10584;

31

б) нехай i позначає ефективну вiдсоткову ставку в перiод з t = 19 доt = 20. Тодi 1 + i = exp

r 2019 0,006s ds ⇒ 1 + i = exp0,03(202 − 192),

звiдки i = 12,412 %;в) CB =

r 50 exp−

r t

0 0,05dse−0,03t dt =r 50 e−0,08t dt = 4,121.

1.4.40. а) S(0,8) = 100 expr 80 (0,005s + 0,0001s2) ds = 1,1937;

б) нехай i — ефективна рiчна вiдсоткова ставка у восьмирiчний перi-од, тодi 100(1 + i)8 = S(0,8) ⇒ i = 2,238 %.

1.4.41. 1. Для t ≤ 8: ν(t) = exp−!r t

0 (0,03+0,01s)ds = exp−0,03t−− 0,005t2, для t > 8: ν(t) = ν(8) exp−

r t

8 0,05ds = e−0,56 · e−0,05t+0,4 == e−(0,16+0,05t).

2. a) CB = 500ν(15) = 500e−(0,16+0,05·15) = 201,26;б) якщо рiчна ставка дисконтування, що застосовується шокварталь-

но, дорiвнює d(4), то 500(1 − d(4)/4)60 = 201,26. Звiдси d(4) = 6,0209 %;в) CB =

r 1410 10e−0,02tν(t) dt = 10

r 1410 10e−0,02te−(0,16+0,05t) dt = 14,763.

1.4.42. 1.Накопичена сума

S(10) = 500ν(2)ν(10)

+ 800ν(9)ν(10)

= 500 expw 10

2δ(s) ds

+

+800 expw 10

9δ(s) ds

= 500 exp

w 3

20,05 ds

· exp

w 8

3(0,09 − 0,01s) ds

×

× expw 10

8(0,01s − 0,03)ds

+ 800 exp

w 10

9(0,01s − 0,03)ds

= 1559,72.

2. Нехай i — ефективна рiчна вiдсоткова ставка. Тодi 1 559,72 == 500(1 + i)8 + 800(1 + i). Звiдси i ≈ 5 %.

1.4.43. S(0,15) = S(0,8)A(8,15) = 50r 80 A(t,8)dt exp

r 158 δ(s)ds = 50×

×r 80 exp

r 8t

0,05ds dt expr 158 (0,04 + 0,0004t2) dt = 953,23 грн.

1.4.44. Pезультати обчислень: а) S(5,15) = 100A(5,10)A(10,15) == 100 exp

r 105 δ(s)ds

exp

r 1510 δ(s)ds

= 100 exp

r 105 0,05ds exp

r 1510 (0,08+

+ 0,03s) ds = 100e0,25 · e0,4+0,015·125 = 231,06 грн;б) нехай δ — стала iнтенсивнiсть вiдсотка. Тодi 100e10δ = 231,06.

Звiдси δ = 0,084; в) CB =r 50 100e0,01t exp

−

r t

0 δ(s) dsdt = 100

r 50 e0,01t ×

× e−0,05t dt = 453,17 грн.1.4.45. а) S(0,10) = 500A(0,8)A(8,10) = 500 exp

r 80 (0,07−0,005t)dt×

× expr 108 0,06dt = 500e0,56−0,16 · e0,12 = 841,01 грн.

б) CB =r 1810 200e0,1tν(t)dt = 200

r 1810 e0,1t−

r t

0 δ(s)dsdt = 200r 1810 e0,1t×

× exp−r 80 (0,07 − 0,005s) ds −

r t

8 0,06dsdt = 3047,33 грн.1.4.46. У випадку а) зауважимо, що δ(0) = 0,15. Нехай δ(t) =

= 0,15 + bt + ct2. Якщо в цьому рiвняннi покласти t = 1/2, то одер-жимо 0,10 = 0,15 + b/2 + c/4, а якщо t = 1, то 0,08 = 0,15 + b + c.

32

З цих рiвнянь b = −0,13 i c = 0,06, звiдки δ(t) = 0,15 − 0,13t + 0,06t2.Отже,

r 10 δ(t) dt = 0,105. Тому акумульоване значення наприкiнцi року

5 000 exp0,105 = 5553,55 грн;у випадку б) δ(t) є лiнiйною мiж 0 i 1/2 i мiж 1/2 i 1, тому

w 1

0δ(t) dt =

w 1/2

0δ(t) dt +

w 1

1/2δ(t) dt =

12

[δ(0) + δ(1/2)2

+δ(1/2) + δ(1)

2

]=

=14(0,15 + 0,10) +

14(0,10 + 0,08) = 0,1075.

Остаточно, акумульоване значення 5 000 exp0,1075 = 5567,45 грн.1.4.47. 1. Мiркування наступнi: а) з формули ν(t) = exp−

r t

0 δ(s) dsмаємо

δ(t) = −ν′(t)ν(t)

=2t + 2α + 1

(α+ t)(α + t + 1);

б) з формули ih(t) =(exp

r t+h

tδ(s) ds − 1

)/h

i(n) = exp w n+1

nδ(s) ds

− 1 =

ν(n)ν(n + 1)

− 1 =2

n + α;

в) оскiльки ν(t) = α(α+ 1) [1/(t + α) − 1/(t + α+ 1)], то

a(n) =n∑

t=1

ν(t) = α(α+ 1)[ 11 + α

− 1n + α+ 1

]=

nα

n + α+ 1.

2. Нехай P — розмiр щорiчної премiї. Накопичена сума в моментчасу t = 11 дорiвнює P

∑11t=0 ν(t)/ν(11) = P[1 + a(11)]/ν(11), а вартiсть

ануїтету в цей же момент часу 1 800∑21

t=12 ν(t)/ν(11) = 1800 [a(21) −−a(11)]/ν(11). Отже, маємо рiвняння P[1+a(11)] = 1 800 [a(21)−a(11)].Звiдси P = 608,11 грн. Вартiсть серiї платежiв ануїтету у момент часуt = 12 дорiвнює 1 800

∑21t=12 ν(t)/ν(12) = 1800[a(21) − a(11)]/ν(12) =

= 13622 грн.1.4.48. 1. Позначимо δ(0) = δ0, δ(m) = δm. Акумульоване до моменту

n значення дорiвнює expr n

0 δ(t) dt. Тепер для 0 ≤ t ≤ m δ(t) = δ0 +

+ t(δm − δ0)/m, так що для n ≤ m акумульоване значення дорiвнюєexp

nδ0 + n2(δm − δ0)/2m

. Якщо ж n ≥ m, то акумульоване значення

дорiвнює

expw m

0δ(t) dt +

w n

mδ(t) dt

= exp

m

2(δ0 + δm) + (n − m)δm

.

2. Через 15 рокiв акумульоване значення

exp15 · 0,08 +

152

32(0,048 − 0,08)

= 2,6512.

Через 40 рокiв це буде

exp16

2(0,08 + 0,048) + (40 − 16) · 0,048

= 8,8110.

33

3. Для n = 15 має виконуватись рiвнiсть exp15δ = 2,6512, звiдкиδ = 0,065. Для n = 40 вiдповiдна рiвнiсть має вигляд exp40δ = 8,8110,звiдки δ = 0,0544.

1.4.49. Нехай час вимiрюється в роках з 1 сiчня 1998 року:а) згiдно з формулою сучасної вартостi грошового потоку, значення

грошового потоку вказаної позики на 1 сiчня 1998 року дорiвнює

1 000ν(2) + 2 500ν(3) + 3 000ν(3,5) =

= 1000e−0,12 + 2500e−0,18 + 3000e−0,21 = 5406,85 грн;б) прирiвнюючи дисконтованi вартостi в моменти t1 i t2

V (t1)ν(t1) = V (t2)ν(t2),

одержуємо при t2 = 0, t1 = 14/12

5 406,85 exp0,06 · 14/12

= 5798,89 грн.

1.4.50. Нехай для 0 ≤ t ≤ 1 F(t) означає суму, накопичену на мо-мент t одиничною сумою, покладеною на депозит у момент часу 0. ТодiF(1/2) = 20 596,21/20 000 i F(1) = 21 183,70/20 000. Тому lnF(1/2) == 0,029375 i lnF(1) = 0,057500. За умовою задачi, при 0 ≤ t ≤ 1 δ(t) == a + bt. Тому

w t

0δ(s) ds = at +

12bt2,

а тодi, за формулою lnF(T ) =r t

0 δ(s) ds одержуємо lnF(T) = at + bt2/2.Складаємо систему

12a +

18b = 0,29375, a +

12b = 0,057500,

звiдки a = 0,06 i b = −0,005. Отже, δ(t) = 0,06 − 0,005t. Крiм того,lnF(3/4) = 3a/4 + 9b/32 = 0,043594, звiдки F(3/4) = 1,044558. Нарештi,акумульоване на депозитi значення 20 000F(3/4) = 20 891,16 грн.

1.4.51. Нехай час вимiрюється в роках. Якщо iнтенсивнiсть вiдсоткає сталою, то фактор дисконтування в момент часу t дорiвнює

ν(t) = exp−

w t

0δ ds

= νt, де ν = e−δ, t ≥ 0.

Для того, щоб розв’язати задачу, треба прирiвняти сучаснi вартостiтрьох заданих виплат i тих виплат, якi пропонуються:

а) запишемо рiвнiсть6 280ν4 + 8460ν7 + 7350ν13 = Xν3,

звiдки X = 18006 грн;б) нехай t — момент часу, коли буде виплачено 22 090 грн. Тодi

6 280ν4 + 8460ν7 + 7350ν13 = 22090νt ,звiдки t = 7,66 року.

34

1.4.52. 1. Загальна формула для дисконтного множника ν(t) має ви-гляд ν(t) = exp

−

r t

0 δ(s) ds. За умов задачi

w t

0δ(s) ds =

0,08t, 0 ≤ t ≤ 5,

0,4 + 0,06(t − 5), 5 ≤ t ≤ 10,

0,4 + 0,03 + 0,04(t − 10), t ≥ 10.

Тому

ν(t) =

exp −0,08t , 0 ≤ t ≤ 5,

exp −0,1 − 0,06t , 5 ≤ t ≤ 10,

exp −0,3 − 0,04t , t ≥ 10.

2. У випадку а) позначимо суму, накопичену на рахунку через 1 рiкпiсля виплати останньої премiї через S. Тодi сучасна вартiсть цiєї сумимає дорiвнювати сучаснiй вартостi всiх премiй:

600 [ν(0) + ν(1) + . . . + ν(14)] = Sν(15),

звiдки

S = 600(1 + e−0,08 + e−0,08·2 + . . . + e−0,08·5 +

+ e−0,46 + . . . + e−0,7 + e−0,74 + . . . + e−0,86)e0,9 = 14 119 грн;

у випадку б) позначимо щорiчну виплату через A. Тодi має мiсцерiвнiсть сучасних вартостей:

600 [ν(0) + ν(1) + . . . + ν(14)] = A[ν(15) + ν(16) + . . . + ν(22)] ,

звiдки

A =600

(1 + e−0,08 + . . . + e−0,86

)

e−0,9 + e−0,94 + . . . + e−1,18 = 2022 грн.

1.5. ВИКОРИСТАННЯ СКЛАДНИХ ВIДСОТКIВДЛЯ ПIДРАХУНКУ ВАРТОСТЕЙ ГРОШОВИХ ПОТОКIВ


Ануїтет (рента) — регулярнi виплати, що провадяться на початку абонаприкiнцi кожного вiдповiдного перiоду.

Сталий ануїтет (level annuity) складається з одиничних виплат, якiвиплачуються щороку протягом n рокiв.

Сталий ануїтет постнумерандо (level deferred annuity) виплачує-ться наприкiнцi кожного року, тобто iз заборгованiстю, сучасна вартiсть

35

сталого ануїтету постнумерандо позначається

an| = ν+ ν2 + . . . + νn =

(1 − νn)/i, i 6= 0,

n, i = 0.

Сталий ануїтет постнумерандо застосовується найчастiше, тому йогоназивають просто ануїтетом (або звичайним ануїтетом), i його значенняє табульованими.

За сталим ануїтетом пренумерандо (level annuity due) перша ви-плата здiйснюється негайно, тобто авансом. Сучасна вартiсть ануїтетупренумерандо позначається

..an| = 1 + ν+ ν2 + . . . + νn−1 = (1 + i)an|.

Коли виплата пiсля i-го року дорiвнює i, ануїтет називається зроста-ючим i його сучасна вартiсть позначається

(Ia)n| = ν+ 2ν2 + 3ν3 + . . . + nνn.

Зростаючi ануїтети застосовуються, коли виплати утворюють арифме-тичну прогресiю: якщо перша виплата дорiвнює P, друга P + Q, i-таP + Q(i − 1), то сучасна вартiсть такого ануїтету

(P −Q)an| + Q(Ia)n|.

У задачi 1.5.7 буде наведено формулу i приклади обчислень зростаючогоануїтету. Зростаючий ануїтет пренумерандо позначається (I

..a)n| = (1 +

+ i)(Ia)n|. Зростаючi ануїтети використовуються також при пiдрахункутривалостi активiв.

Сталий ануїтети постнумерандо i пренумерандо, що сплачуються про-тягом n рокiв p разiв на рiк, позначаються вiдповiдно a

(p)n|

i..a(p)

n|. Неважко

переконатися, що

a(p)n|

=i

i(p)an|,

..a(p)

n|=

i

d(p)an|.

Вартостi ануїтетiв на кiнець дiї ануїтету вiдрiзняються вiд вiдповiд-них сучасних вартостей множником (1+ i)n i позначаються sn|,

..sn|, (I s)n|

тощо.Якщо n = ∞, то вiдповiдний ануїтет називається безстроковим (до-

вiчним, без обмежень у часi) i позначається a∞|,..a∞| тощо.

Задачi

1.5.1. Рента сплачується щопiвроку протягом 20 рокiв iз заборгованi-стю з рiчною виплатою 1 000 грн. Ефективна ставка вiдсотка становить5 % рiчних у першi 12 рокiв i 6 % рiчних, що конвертуються щоквар-тально впродовж останнiх 8 рокiв. Пiдрахуйте ренту, накопичену через20 рокiв.

36

1.5.2. Iнвестор придбав звичайну акцiю за два мiсяцi до виплатинаступного дивiденду розмiром 12 коп за акцiю. Дивiденди сплачуютьсящорiчно. Iнвестор передбачає, що дивiденди зростатимуть з постiйноюставкою 4 % рiчних безстроково. Пiдрахуйте цiну за акцiю, яку iнвесторсплатить, щоб отримати чистий дохiд 7 %.

1.5.3. Очiкується, що за акцiєю сплачуватиметься дивiденд d1 черезодин рiк, дивiденди зростатитимуть на g % щороку i сплачуватимутьсящороку. Нехай V0 — сучасна вартiсть акцiї i r — рiчна ефективна нормаприбутку, яку бажає отримувати iнвестор.

Покажiть, що V0 = d1/(r − g).1.5.4. Iнвестор збирається вкласти грошi в акцiї деякої компанiї.1. За акцiями виплачуються дивiденди щопiвроку з наступним дивi-

дендом, що буде виплачено через 4 мiсяцi. Наступний дивiденд дорiвню-ватиме d1, цiна акцiї p i рiчна ефективна норма прибутку, яка очiкуєтьсявiд iнвестицiй, 100 i %. Дивiденди зростатимуть зi швидкiстю 100g % зарiк вiд рiвня d1, де g < i. Дивiденди виплачуватимуться довiчно.

Покажiть, що

p =d1 (1 + i)1/6

[(1 + i)1/2 − (1 + g)1/2] .

2. Iнвестор вiдкладає придбання акцiї рiвно на 2 мiсяцi, причому вцей момент цiна акцiї буде 18 грн, 100g % = 4 % i d1 = 0,50 грн.

Пiдрахуйте рiчну ефективну норму прибутку, яку очiкує iнвестор, зточнiстю до 1 %.

1.5.5. Iнвестор придбав облiгацiю номiналом 100 грн, вона погашає-ться за номiнальною цiною, i за облiгацiєю сплачуються пiврiчнi купонизi ставкою 8 % рiчних. До сплати наступного купону 8 днiв, i цей ди-вiденд не сплачується. Облiгацiя має 7 рокiв до погашення пiсля цiєї(нездiйсненої) виплати за купоном. Пiдрахуйте цiну покупки, що вiдпо-вiдає доходу 6 % рiчних.

1.5.6. Компанiя зробила певну фiнансову операцiю 1 сiчня 2001 ро-ку. Початкова iнвестицiя на той момент становила 2 млн грн, потiм ще1,5 млн грн потрiбно вкласти 1 серпня 2001 року. Очiкується, що з1 сiчня 2002 року чистий прибуток (тобто дохiд мiнус поточнi витра-ти) надходитиме зi ставкою 0,3 млн грн за перший рiк, i що ставказбiльшуватиметься на 0,1 млн грн за рiк 1 сiчня кожного наступного ро-ку. Припускається, що чистий прибуток надходитиме неперервно в часiпротягом усього проекту. Компанiя хоче продати свiй бiзнес 31 грудня2011 року за 3 млн грн.

Пiдрахуйте чисте сучасне значення фiнансової операцiї на 1 сiчня2001 року при номiнальнiй вiдсотковiй ставцi 6 % рiчних, конвертованiйщопiвроку.

37

1.5.7. 1. Покажiть, що сучасна вартiсть зростаючого ануїтету (Ia)n| == (

..an| − nνn)/i.2. Пiдрахуйте:a) сучасну вартiсть ануїтету з ефективною ставкою 3 % рiчних, за

яким 10 грн сплачуються наприкiнцi першого року, 12 наприкiнцi дру-гого року i так далi з виплатами, що збiльшуються на 2 грн за рiкупродовж 20 рокiв, пiсля чого виплати припиняються;

б) заборгованiсть за капiталом вказаного ануїтету наприкiнцi 15-гороку пiсля виплати, зробленої на той момент;

в) складовi виплат за вiдсотком i за капiталом у 16-й виплатi.1.5.8. 1. Пiдрахуйте значення

..s(12)

5,5|при ефективнiй рiчнiй вiдсотковiй

ставцi 13 %.2. Пояснiть фiнансовий змiст числа, отриманого у пунктi 1.1.5.9. Iнвестор має намiр придбати 100 звичайних акцiй у компанiї.

Дивiденди вiд акцiй виплачуватимуться щорiчно. Наступний дивiдендочiкується через один рiк i дорiвнюватиме 8 коп за акцiю. Другий дивi-денд буде на 8 % бiльше, нiж перший дивiденд i третiй дивiденд — на7 % бiльше, нiж другий. Пiсля цього дивiденди зростатимуть щорiчнона 5 вiдсоткiв безстроково.

Пiдрахуйте сучасне значення цього потоку дивiдендiв, що вiдповiдаєефективнiй ставцi вiдсотка 7 % на рiк.

1.5.10. Студент отримав трирiчний грант. Виплати за цим грантомздiйснюються так:

перший рiк: 5 000 грн неперервно протягом року;другий рiк: 5 000 грн рiвними частинами щомiсяця авансом;третiй рiк: 5 000 грн рiвними частинами щопiвроку авансом.Визначте сучасну загальну вартiсть вказаних виплат, пораховану на

початок першого року. Вiдсоткова ставка, конвертована щокварталу, до-рiвнює 8%.

1.5.11. Iнвестор купує ануїтет, що виплачується неперервним чиномпротягом n рокiв, де n — цiле число. Iнтенсивнiсть виплати ануїтету єлiнiйною функцiєю часу.

1. Вимiрюючи час у роках, з моменту купiвлi ануїтету, i позначаючичерез Ik (k = 1, 2, . . . ,n) суму, виплачену за ануїтетом протягом k-го року,виразити через I1 i I2 рiчну iнтенсивнiсть виплати в момент t. Обчислититакож загальну суму, виплачену за ануїтетом до моменту часу t.

2. Вважаючи iнтенсивнiсть вiдсотка сталою i рiвною δ, виразити су-часну вартiсть ануїтету через n, δ, I1 i I2.

3. Нехай δ = 1,06, n = 20, I2 = 1,07I1, сучасна вартiсть ануїтету9 047 грн. Визначити I1 та сучасну вартiсть частини ануїтету, виплаченоїпротягом останнього року.

38

1.5.12. Нехай iнтенсивнiсть вiдсотка у момент t задається формулоюδ(t) = ae−bt.

1. Довести, що сучасна вартiсть суми, що в момент t дорiвнює 1,дорiвнює

ν(t) = expa

b

(e−bt − 1

).

2. Нехай iнтенсивнiсть вiдсотка задається рiвнiстю δ(t) = ae−δt, вiдо-мо, що вона в момент t = 0 дорiвнює 0,10, а через 10 рокiв ця iнтенсив-нiсть зменшиться вдвiчi. Визначити сучасну вартiсть серiї з чотирьохщорiчних виплат, кожна в 1 000 грн, перша виплата вiдбудеться в мо-мент t = 1.

3. При якому значеннi сталої iнтенсивностi вiдсотка серiя виплат ма-тиме ту саму сучасну вартiсть?

1.5.13. (Сучасна вартiсть неперервного грошового потоку.)Нехай рiчна iнтенсивнiсть вiдсотка в момент t дорiвнює δ(t) = r +

+ se−rt. Визначити:а) сучасну вартiсть одиничної суми на момент t;б) сучасну вартiсть неперервно сплачуваного ануїтету, що сплачуєть-

ся протягом n рокiв зi сталою швидкiстю 1 000 на рiк;в) величину з пункту б) при n = 50, r = ln 1,01 i s = 0,03.1.5.14. Боржник взяв 100 грн i пообiцяв повернути 110 грн через

7 мiсяцiв. Визначити:а) рiчну вiдсоткову ставку;б) рiчну дисконтну ставку;в) рiчну iнтенсивнiсть вiдсотка.1.5.15. Позику розмiром у 2 400 грн буде повернуто двадцятьма одна-

ковими щорiчними виплатами. Вiдсоткова ставка за цiєю операцiєю до-рiвнює 10 % рiчних. Визначити величину виплати, якщо цi виплати вiд-буваються: а) iз заборгованiстю; б) авансом.

1.5.16. Iнвестор вносив 500 грн на банкiвський рахунок 15 листопадащороку з 1984-го по 1999-й роки. 15 листопада 2003 року iнвестор ви-лучив свої грошi з банку. Протягом всього часу банк застосовував рiчнувiдсоткову ставку 7 %. Визначити суму, яку забрав iнвестор.

1.5.17. Ануїтет виплачується щорiчно протягом 20 рокiв iз забор-гованiстю. Перша виплата має розмiр 8 000 грн, потiм виплати щорокузменшуються на 300 грн. Визначити сучасну вартiсть ануїтету за вiдсот-кової ставки 5 % рiчних.

1.5.18. Ануїтет виплачується щопiвроку протягом 6 рокiв, причомуперша виплата розмiром 1 800 грн вiдбудеться через 2 роки. Розмiр на-ступних виплат зменшується на 30 грн щопiвроку. За умови, що пiврiчнавiдсоткова ставка дорiвнює 5 %, визначити сучасну вартiсть ануїтету.

39


1.5.1. Щопiвроку сплачується по 500 грн. Знайдемо i(2), що вiдпо-

вiдає ефективнiй рiчнiй ставцi 5 %. Маємо[1 + i(2)/2

]2= 1,05, звiдки

i(2) = 1,04939 %. Сума, отримана за першi 12 рокiв, конвертується що-пiвроку зi ставкою i(2)/2 до кiнця 12-рiчного термiну. Потiм всю суму,отриману за 12 рокiв, буде 32 рази конвертовано за ставкою (1 + 0,06/4).

Кожнi 500 грн, отриманi в наступнi 8 рокiв, конвертуватимуться докiнця термiну кожнi чверть року за ставкою (1 + 0,06/4). Розглянувшиокремо доданки, що вiдповiдають виплатам за першi 12 рокiв, та випла-там за наступнi 8 рокiв, обчислюємо шукане значення:

500 (1 + 0,06/4)3223∑

k=0

[1 + i(2)/2

]k

+ 50015∑

k=0

(1 + 0,06/4)2k =

= 500 · 1,01532 1,02469524 − 10,024695

+ 500 · 1,01532 − 11,0152 − 1

= 36 044,55.

1.5.2. Вказанiй ставцi доходу вiдповiдає дисконтний множник ν == 1/1,07. Дивiденди за k-й рiк становитимуть 0,12 · 1,04k−1. Оскiлькисерiя щорiчних виплат почнеться через 2 мiсяцi, ще помножимо вартiстьна множник ν1/6. Тому шукана цiна

0,12ν1/6 (1 + 1,04ν + 1,042ν2 + . . .)

=0,12

1,071/6· 11 − 1,04/1,07

= 4,232.

1.5.3. Оскiльки в k-й рiк дивiденди становитимуть d1(1 + g)k−1, якiми маємо враховувати з дисконтним множником (1+ r)−k, то отримуєморiвнiсть

V0 =d1

1 + r+

d1(1 + g)(1 + r)2

+d1(1 + g)2

(1 + r)3+ . . . =

d1

r − g.

Задача має розв’язок при r > g.1.5.4. 1. Виплати починаються через 1/3 року, кожна k-та виплата

дивiдендiв провадитиметься через 1/3+(k − 1)/2 рокiв, розмiр дивiдендiвдорiвнюватиме d1(1+g)(k−1)/2, i ми враховуємо його з дисконтним множ-ником ν1/3+(k−1)/2 = (1 + i)−1/3−(k−1)/2, k ≥ 1. Тому

p =d1

(1 + i)1/3+

d1(1 + g)1/2

(1 + i)1/3+1/2+

d1(1 + g)2/2

(1 + i)1/3+2/2+ . . . =

d1 (1 + i)1/6

(1 + i)1/2 − (1 + g)1/2.

2. Аналогiчно до пункту 1, виплати починаються через 1/6 року, ко-жну k-ту виплату ми враховуємо з дисконтним множником ν−1/6−(k−1)/2,

40

k ≥ 1. Тому маємо рiвнiсть

p =d1

(1 + i)1/6+

d1(1 + g)1/2

(1 + i)1/6+1/2+

d1(1 + g)2/2

(1 + i)1/6+2/2+ . . . =

d1 (1 + i)1/3

(1 + i)1/2 − (1 + g)1/2,

звiдки

18 =0,5 (1 + i)1/3

(1 + i)1/2 − 1,041/2.

Позначивши x = (1 + i), прийдемо до рiвняння x1/2 − x1/3/36 − 1,041/2 == 0, для якого треба з вказаною точнiстю обчислити корiнь, бiльшийза 1. Позначимо f (x) = x1/2 − x1/3/36 − 1,041/2. Легко перевiрити, щодля x > 1 похiдна f (x) додатна, f (x) є зростаючою функцiєю, рiвняннямає не бiльше одного кореня x > 1. Також f (1,09) < 0, f (1,1) > 0. Томушукане значення 1,09 < x < 1,1, i = 10 % з точнiстю до одного вiдсотка.

1.5.5. Щопiвроку виплачуватиметься 4 грн, k-ту виплату ми бере-мо з дисконтним множником 1,06−k/2. Тому цiна в момент найближчоїкупонної виплати дорiвнюватиме

4(1,06−1/2 + 1,06−1 + 1,06−3/2 + . . . + 1,06−7

)+ 100 · 1,06−7 =

= 45,31918 + 66,5057 = 111,82488.Оскiльки покупку буде зроблено за 8 днiв до найближчої купонної

виплати, цiна покупки дорiвнюватиме111,82488·(1,06)−8/365 = 111,68216.

1.5.6. Для даного значення i(2) = 6 % визначимо i =[1 + i(2)/2

]2 −− 1 = 6,09 %, ν = (1+ i)−1 = 0,9426, δ = ln 1,0609. На 1 сiчня 2001 рокувартiсть двох iнвестицiй (iнтервалом у 7 мiсяцiв) становить 2+1,5ν7/12 == 3,4492 млн грн. Вартiсть очiкуваного прибутку на той самий момент,враховуючи стрибковi збiльшення ставки на початку кожного року, iнеперервне надходження протягом кожного року:

0,3w 2

1e−δt dt + 0,4

w 3

2e−δt dt + . . . + 1,2

w 11

10e−δt dt =

=1

10δ

(3ν + ν2 + ν3 + . . . + ν10 − 12ν11

)= 4,9922 млн грн.

Дохiд вiд продажу бiзнесу на 1 сiчня 2001 року 3ν11 = 1,5657 млн грн.Таким чином, сучасна вартiсть даної операцiї 4,9922 +1,5657− 3,4492 == 3,1087 млн грн.

1.5.7. 1. З означення даного грошового потоку його вартiсть

(Ia)n| = ν+ 2ν2 + 3ν3 + . . . + nνn,

(1 + i)(Ia)n| = 1 + 2ν + 3ν2 + . . . + nνn−1 ⇒⇒ i(Ia)n| = (1 + ν+ ν2 + . . . + νn−1) − nνn =

..an| − nνn.

41

2. Маємо: a) у даному випадку i = 0,03, ν = 0,97087. Вартiсть10ν+ 12ν2 + 14ν3 + . . . + 48ν20 = 8a20| + 2(Ia)20| =

= 81 − ν20

i+

2i

(..a20| − 20ν20

)= 402,37 грн;

б) шiстнадцята виплата дорiвнює 40 грн, заборгованiсть за цiєю танаступними виплатами наприкiнцi 15-го року

40ν+ 42ν2 + 44ν3 + 46ν4 + 48ν5 = 200,97 грн;в) вiдсоткова складова дорiвнює 0,03 · 200,97 = 6,03 грн, капiтальна

складова — 40 − 6,03 = 33,97 грн.1.5.8. 1. Для i = 0,13 вказана акумульована вартiсть

..s(12)

5,5|=

112

[(1 + i)66/12 + (1 + i)65/12 + . . . + (1 + i)1/12

]=

=112

(1 + i)67/12 − (1 + i)1/12

(1 + i)1/12 − 1= 7,883.

2. Величина..s(12)

5,5|дорiвнює сумi, накопиченiй за 5,5 рокiв, якщо на

початку кожного мiсяця виплачувалась 1/12. При цьому в данiй задачiрiчна вiдсоткова ставка дорiвнює 13 %.

1.5.9. Перший дивiденд вiд 100 акцiй дорiвнюватиме 8 грн. Для i == 0,07, ν = 0,93458 визначимо вартiсть всього вказаного грошовогопотоку, враховуючи пiдвищення дивiдендiв, зафiксованi умовою:

8(ν+ 1,08ν2 + 1,08·1,07ν3 + 1,08·1,07·1,05ν4 + 1,08·1,07·1,052ν5 + . . .

)=

= 8ν + 8 · 1,08ν2 + 8 · 1,08 · 1,07(ν3 + 1,05ν4 + 1,052ν5 + . . .

)=

= 7,4766 + 7,5465 + 403,7384 = 418,7615 грн.

1.5.10. Маємо i(4) = 0,08, тому i = 1,024−1 = 0,082432, ν = 0,923845.Шукана вартiсть грошового потоку, тис. грн:

5w 1

0νt dt + (5/12)

(ν+ ν13/12 + . . . + ν23/12)+ (5/2)

(ν2 + ν5/2) = 13,447388.

1.5.11. 1. Нехай ρ(t) — iнтенсивнiсть рiчної виплати в момент t. Заумовою ρ(t) = ρ1 + ρ2t, де ρ1 i ρ2 – сталi. Тодi виплата протягом r-гороку дорiвнює

Ir =w r

r−1(ρ1 + ρ2t) dt = ρ1 + (2r − 1)ρ2/2, r = 1, 2, . . . ,n.

Звiдси I1 = ρ1 +ρ2/2, I2 = ρ1 +3ρ2/2, i ρ1 = 3I1/2− I2/2, ρ2 = I2− I1. Томуρ(t) = (3I1 − I2)/2 + (I2 − I1)t. Сума, виплачена за ануїтетом до моментуt, дорiвнює

S(t) =w t

0ρ(s) ds = ρ1t + ρ3t

2/2 =t(3I1 − I2)

2+

t2(I2 − I1)2

.

42

2. Сучасна вартiсть вказаного ануїтетуw n

0ρ(t)e−δt dt = ρ1

(1 − e−δn

δ

)+ ρ2

w n

0te−δt dt =

= ρ1

(1 − e−δn

δ

)+ ρ2

1 − e−nδ − nδe−nδ

δ2 =

=(3

2I1 −

12I2

)(1 − e−δn

δ

)+ (I2 − I1)

1 − e−nδ − nδe−nδ

δ2 .

3. Прирiвняємо останнє значення до 9 047, i розв’яжемо одержанелiнiйне рiвняння вiдносно I1. Дiстанемо I1 = 500 грн. Суми, виплаченiщороку, утворюють арифметичну прогресiю, причому I2 = I1 + 500 ××0,07 = I1 +35. Тому за останнiй рiк буде виплачено суму в I1 +(n−1)×× 35 = 500 + 19 · 35 = 1165 грн.

1.5.12. 1. Сучасна вартiсть одиничної суми в момент t

ν(t) = exp−

w t

0δ(s) ds

= exp

− a

w t

0e−bs ds

= exp

a

b

(e−bt − 1

).

2. Оскiльки δ(0) = 0,1, то a = 0,1. Далi, за умовою, δ(10) = 0,5δ(0),тобто e−10b = 0,5, звiдки b = 0,069315. Тому сучасна вартiсть вказаноїсерiї виплат дорiвнює 1 000[ν(1)+ν(2)+ν(3)+ν(4)] = 3 205,43. 3. Суча-сна вартiсть тiєї ж серiї виплат, за умови сталої iнтенсивностi вiдсотка,дорiвнює 1 000[ν(1) + ν(2) + ν(3) + ν(4)] = 1 000(e−δ + e−2δ + e−3δ ++e−4δ) = 3 205,43, де δ — стала iнтенсивнiсть вiдсотка. Якщо позначитиx := e−δ, то одержуємо рiвняння x + x2 + x3 + x4 = 3,20543. Розв’язуємойого чисельно i визначаємо δ = 0,09063.

1.5.13. 1. Сучасна вартiсть одиничної суми ν(t) = exp−

r t

0 δ(s) ds

== exp−rt + s(e−rt − 1)/r.

2. Сучасна вартiсть неперервного потоку виплат

1 000w n

0ν(t) dt = 1000 exp

− s

r

w n

0exp−rt exp

s

re−rt

dt =

= 1000 exp− s

r

(− 1

sexp

s

re−rt

)∣∣∣n

0=

1000s

(1 − exps

r(e−rn − 1)

).

3. Пiдставимо n = 50, r = ln 1,01 i s = 0,03, одержимо 23 109 грн.1.5.14. У випадку а) для вiдсоткової ставки маємо рiвняння 100 (1 +

+ i)7/12 = 110, звiдки i = 17,749 %;у випадку б) для дисконтної ставки вiдповiдне рiвняння має вигляд

110(1 − d)7/12 = 100, звiдки d = 15,074 %;у випадку в) для рiчної iнтенсивностi вiдсотка складемо рiвняння

100e7δ/12 = 110, звiдки δ = 16,339 %.1.5.15. У випадку а) позначимо щорiчну виплату X. Тодi 2 400 =

= X(ν + ν2 + . . . + ν20) = Xa20| при ставцi 10 %, звiдки X = 2400/a20| == 2400/8,5136 = 281,90;

43

у випадку б) позначимо щорiчну виплату Y . Тодi 2 400 = Y (ν + ν2 ++ . . . + ν19) = Y

..a20| при ставцi 10 %, звiдки Y = 2400/

..a20| = 2400/(1 +

+ a19|) = 2 400/9,3649 = 256,28.1.5.16. Iнвестор зробив загалом 16 внескiв, кожен розмiром 500 грн.

На 15 листопада 1999 року сума на депозитi дорiвнювала 500s16| приставцi 7 %, що дорiвнює 500 · 27,88805 = 13944,03. Чотири роки потому,тобто 15 листопада 2003 року, сума на рахунку дорiвнювала 13 944,03×× (1,07)4 = 18277,78. Цю суму вiн i забрав.

1.5.17. Нехай сучасна вартiсть ануїтету дорiвнює X. Тодi

X = 800ν + 7700ν2 + 7400ν3 + . . . + 2 600ν19 + 2300ν20,

або

(1 + i)X = 800 + 7700ν + 7400ν2 + . . . + 2 600ν18 + 2300ν19.

Вiднiмемо друге рiвняння вiд першого:

iX = 8000 − 300(ν + ν2 + . . . + ν19) − 2 300ν20,

звiдки X = (8 000 − 300a19| − 2 300ν20)/i при i = 5 %, отже, X = 70151.1.5.18. Пiврiчний термiн буде нашою основною одиницею часу. Всьо-

го вiдбудеться 12 виплат за ануїтетом, розмiр останньої дорiвнювати-ме 1800 − 11 · 30 = 1470 грн. Тому сучасна вартiсть ануїтету дорiв-нює X = 1800ν4 + 1770ν5 + 1740ν6 + . . . + 1 470ν15. Звiдси (1 + i)X == 1800ν3 + 1770ν4 + 1740ν5 + . . . + 1 470ν14. Вiднiмемо i одержимо X == 18000ν4−30(ν4+ν5+. . .+ν14)−1 470ν15, звiдки X = [1 800ν4−30(a14|−− a3|) − 1 470ν15]/i = 12651 грн.

1.6. ВИЗНАЧЕННЯ БАНКIВСЬКОГО ВIДСОТКАТА IНТЕНСИВНОСТI ВIДСОТКОВОЇ СТАВКИ


Нехай iснують два грошових потоки, яким вiдповiдають виплати, щовiдбуваються в моменти часу t1, t2, . . . , tn. У першому потоцi виплатидорiвнюють вiдповiдно C1, C2, . . . , Cn, у другому — D1, D2, . . . , Dn (мож-ливо, деякi з цих виплат дорiвнюють нулю). Якщо вiдомо, що вартостiцих грошових потокiв однаковi, то можемо записати рiвняння вартостей

C1νt1 + C2ν

t2 + . . . + Cnνtn = D1ν

t1 + D2νt2 + . . . + Dnν

tn ,

з якого можна визначити значення дисконтного множника ν i вiдсотковоїставки i, а у випадку неперервного дисконтування — значення iнтенсив-ностi вiдсотка δ.

44

Задачi

1.6.1. Пiдприємець взяв кредит розмiром у 500 000 грн, а через 2роки — ще 200 000 грн. Повертаючи борг, через 5 рокiв пiсля першогокредиту вiн виплатив 1 000 000 грн. Визначте рiчну вiдсоткову ставку зточнiстю до одного вiдсотка.

1.6.2. Пiдприємець взяв кредит у банку розмiром у 100 000 грн. По-вертаючи борг, через 7 мiсяцiв вiн заплатив 110 000 грн. Визначити:

а) рiчну вiдсоткову ставку;б) рiчну дисконтну ставку;в) iнтенсивнiсть вiдсоткової ставки.Вiдразу пiсля взяття кредиту пiдприємець пропонує повернути суму в

50 000 грн у ранiше обумовлений термiн, а решту внести через 6 мiсяцiвпiсля обумовленого термiну. За цих умов i тих самих значень рiчноїставки обчислiть розмiр другої виплати пiдприємця.

1.6.3. Пiдприємець має повернути позику у виглядi грошового потокуз виплатами x1, x2, . . . , xn у моменти t1, t2, . . . , tn вiдповiдно. Вiнпропонує виплатити всю суму x1 + x2 + . . . + xn у момент

t∗ =x1t1 + x2t2 + . . . + xntn

x1 + x2 + . . . + xn.

Банк, що надавав позику, пропонує повернути її сплатою суми x1 + x2 ++ . . . + xn у момент часу T , що для даного значення iнтенсивностi бан-кiвського вiдсотка δ визначається рiвнiстю

(x1 + x2 + . . . + xn) e−δT = x1e−δt1 + x2e

−δt2 + . . . + xne−δtn .

Довести, що t∗ > T .1.6.4. Позичальник розраховує короткотермiнову позику з викори-

станням дисконтного комерцiйного вiдсотка D. Це означає, що позикау розмiрi X(1 − Dt) повертається через час t ∈ (0,1] у розмiрi X. Длявказаної позики визначити вiдповiдне значення дисконтного вiдсотка dяк функцiї вiд D та t. Чи буде ця функцiя зростати або спадати за t наiнтервалi (0,1]?

1.6.5. Будiвельна компанiя бере позику розмiром у 1 000 грн i пропо-нує три можливостi повернення цiєї суми:

одноразова виплата розмiром у 1 330 грн через 3 роки;одноразова виплата розмiром у 1 550 грн через 5 рокiв;чотири щорiчнi виплати розмiром у 425 грн, причому перша виплата

робиться через 5 рокiв.Iнвестор має вибрати одну з цих трьох можливостей.1. Запишiть рiвняння вартостей для грошових потокiв, з яких визнач-

те вiдповiднi вiдсотковi ставки.

45

2. Припустимо, що iнвестор вибрав першу можливiсть i через трироки вiн вкладає отриману суму ще на два роки пiд певний вiдсоток.Яким має бути цей вiдсоток, щоб пiсля цих двох рокiв вiн отримав1 550 грн?

3. Припустимо, що iнвестор вибрав другу можливiсть, i через п’ятьрокiв за отриману суму вiн купує чотирирiчний ануїтет з виплатами по425 грн на початку кожного року. Для якої рiчної вiдсоткової ставкипораховано цей ануїтет?

1.6.6. Iнвестор має вибрати перед першою виплатою один з двохварiантiв вкладення коштiв:

платити по 100 грн на початку кожного року, зробивши всього 10 ви-плат, i отримати через 10 рокiв суму в 1 700 грн;

платити по 100 грн на початку кожного року, зробивши всього 15 ви-плат, i отримати через 15 рокiв суму в 3 200 грн;

1. Обчислiть рiчну вiдсоткову ставку для кожного варiанту.2. Припустимо, що iнвестор вибрав перший варiант. Отримавши через

10 рокiв належну йому суму, вiн вiдразу вносить її на 5 рокiв на депо-зит з фiксованою рiчною вiдсотковою ставкою. Крiм того, на початкукожного з цих 5 рокiв вiн вносить на рахунок по 100 грн з тiєю самоювiдсотковою ставкою. Якою має бути вiдсоткова ставка, щоб наприкiнцi15-го року iнвестор мав на рахунку 3 200 грн?

1.6.7. Iнвестицiйний план передбачає внесення платежiв розмiрому 1 000 грн на початку кожного року протягом десяти рокiв, а потiмотримання десяти щорiчних виплат розмiром у 2 000 грн, причому першавиплата робиться через рiк пiсля внесення останнього платежу. Визначтерiчну вiдсоткову ставку, що вiдповiдає вказаному iнвестицiйному плану.

1.6.8. У гiрничому iнвестицiйному проектi iнвестор має внести певнусуму для початку видобування сировини в даний момент часу, черездва роки деяку суму витратити на облаштування територiї виробленоїкопальнi, а прибуток отримує через рiк пiсля початкового внеску. Чомудорiвнює рiчна вiдсоткова ставка, що вiдповiдає двом вказаним нижченаборам виплат? (Визначити всi можливi значення.)

Проект Початковийвнесок, млн грн

Внесок через2 роки, млн грн

Прибуток черезрiк, млн грн

а 10 11,55 21,5б 10 10,395 20,4

1.6.9. 1. Виробник iграшок пропонує продаж залишкiв своєї проду-кцiї за будь-яким з двох варiантiв:

заплатити зараз суму на 30 % нижче вiд звичайної цiни;заплатити через 6 мiсяцiв суму на 25 % нижче вiд звичайної цiни.

46

Визначте ефективну рiчну дисконтну ставку в першому варiантi упорiвняннi з другим, i ефективну рiчну вiдсоткову ставку в другомуварiантi у порiвняннi з першим.

2. Нехай у другому варiантi пропонуються iншi умови — заплатитичерез 3 мiсяцi суму на 27,5 % нижче вiд звичайної цiни. Перший ва-рiант залишається без змiн. Як змiниться для другого варiанту рiчнадисконтна ставка у порiвняннi з першим?

1.6.10. Iнвестор платитиме по 100 грн на початку кожного року про-тягом 20 рокiв i через 20 рокiв пiсля першого внеску отримає накопиченусуму. Протягом перших п’яти рокiв банкiвський вiдсоток дорiвнює 8 %на рiк, протягом наступних семи — 6 %, в останнi вiсiм рокiв — 5 %.Обчислiть розмiр накопиченої суми та рiчний банкiвський вiдсоток длявсiєї операцiї.


1.6.1. З рiвняння вартостей одержимо

500 000 + 200 000(1 + i)−2 = 1000 000(1 + i)−5.

Розглянемо функцiю f (i) = 5+2(1+ i)−2 − 10(1 + i)−5. Для неї f (0,08) == −0,09 < 0, f (0,09) = 0,18 > 0. Також f неспадна на множинi реальноможливих значень i (наприклад, для 0 ≤ i ≤ 1). Тому з точнiстю доодного вiдсотка i = 8 %.

1.6.2. З рiвностi 100 000(1 + i)7/12 = 110 000 обчислюємо: а) i == 0,1775;

б) d = i/(1 + i) = 0,1507;в) δ = ln(1 + i) = 0,1634.Друга виплата пiдприємця

100 000(1 + i)13/12 − 50 000(1 + i)1/2 = 65107,45 грн.

1.6.3. Спочатку припустимо, що числа x1, x2, . . . , xn цiлi. Викори-стовуючи нерiвнiсть Кошi, одержимо

e−δT =x1e

−δt1 + x2e−δt2 + . . . + xne

−δtn

x1 + x2 + . . . + xn>

>(e−x1δt1 · e−x2δt2 · · · · · e−xnδtn

)1/(x1+x2+...+xn) = e−δt∗ .

Якщо числа x1, x2, . . . , xn рацiональнi, зведемо розв’язання до розгляну-того випадку шляхом введення досить дрiбної грошової одиницi. Якщоx1, x2, . . . , xn не всi рацiональнi, використаємо рацiональнi наближеннята граничний перехiд.

1.6.4. Прирiвнюючи коефiцiєнти, отриманi за допомогою дисконтноговiдсотка d, в момент часу t та з дисконтним комерцiйним вiдсотком D,

47

маємо (1− d)t = 1−Dt, звiдки d = 1− (1−Dt)1/t. Крiм того, ln(1− d) == [ln(1− Dt)] /t. Для похiдної правої частини по t отримуємо спiввiдно-шення

−Dt/(1 − Dt) − ln(1 − Dt)t2

< 0 ⇔ − ln(1 − Dt) <Dt

1 − Dt⇔

⇔ ln(

1 +Dt

1 − Dt

)<

Dt

1 − Dt,

де остання нерiвнiсть є наслiдком нерiвностi ln(1 + x) < x, x 6= 0. Томупри зростаннi t ln(1 − d) спадатиме, а d є зростаючою функцiєю вiд t.

1.6.5. 1. Для першої можливостi 1,330 = 1000(1 + i)3, i = 0,0997,для другої 1,550 = 1000(1 + i)5, i = 0,0916. Для третьої можливостi зрiвняння вартостей одержимо

1 000 = 425[(1 + i)−5 + (1 + i)−6 + (1 + i)−7 + (1 + i)−8

].

У правiй частинi спадна функцiя вiд i, тому рiвнiсть може мати не бiль-ше одного кореня. Послiдовними наближеннями визначимо i = 0,084.

2. З рiвностi 1 330(1 + i)2 = 1550 одержимо i = 0,0795.3. Маємо рiвнiсть

1 550 = 425[1 + (1 + i)−1 + (1 + i)−2 + (1 + i)−3

].

Права частина спадає за i. Послiдовними наближеннями визначимо при-близне значення i = 0,065.

1.6.6. 1. Рiвняння вартостей для першого варiанту на кiнець 10-гороку1 700 = 100

[(1 + i) + (1 + i)2 + . . . + (1 + i)10] = 100(1 + i)[(1 + i)10 − 1]/i.

У правiй частинi зростаюча функцiя вiд i. Послiдовними наближеннямивизначимо приблизне значення i = 0,095.

Рiвняння вартостей для другого варiанту на кiнець 15-го року

3 200 = 100[(1 + i) + (1 + i)2 + . . . + (1 + i)15

]= 100(1 + i)[(1 + i)15 − 1]/i.

Визначимо приблизне значення i = 0,09.2. Рiвняння вартостей грошових потокiв на кiнець 15-го року

3 200 = 1 700(1 + i)5 + 100[(1 + i) + (1 + i)2 + . . . + (1 + i)5

]=

= 1700(1 + i)5 + 100(1 + i)(1 + i)5 − 1

i.

Приблизне значення i = 0,085.1.6.7. Рiвняння вартостей на момент початку внескiв

1 000(1 + ν+ . . . + ν9

)= 2000

(ν10 + ν11 + . . . + ν19

).

Звiдси 1 = 2ν10, ν = 0,933, i = 0,0718.

48

1.6.8. Для першого проекту запишемо рiвняння вартостей на часпершої iнвестицiї i одержимо 10 = 21,5ν − 11,55ν2, звiдки ν = 22/23,1або ν = 21/23,1, i вiдповiдно i = 0,05 або i = 0,1.

Для другого проекту одержимо 10 = 20,4ν − 10,395ν2, звiдки ν == 21/20,79 або ν = 19,8/20,79. Перше значення ν > 1 неможливе. Длядругого значення маємо i = 0,05.

1.6.9. 1. Нехай запланована цiна дорiвнює X. Маємо 0,7X = 0,75 ×× (1 − d)1/2X. Тодi d = 12,89 %, i = 14,8 %.

2. Зараз 0,7X = (1 − d)1/40,725X. Звiдси d = 13,1 %, тобто маємовiдсоток вищий, нiж у попереднiй пропозицiї.

1.6.10. Накопичена сума дорiвнює

100(1,085 + 1,084 + . . . + 1,08

)1,067 · 1,058+

+100(1,067 + 1,066 + . . . + 1,06

)1,058+

+100(1,058 + 1,057 + . . . + 1,05

)= 3724,77 грн.

Для шуканого вiдсотка i маємо рiвнiсть

100..s20| = 100(1 + i)

[(1 + i)20 − 1

]

i= 3724,77.

У лiвiй частинi рiвностi маємо неспадну функцiю вiд i; вiдповiдне єди-не i визначимо послiдовними наближеннями, тобто i = 5,6 %.

1.7. ВИПЛАТА БОРГУ


Нехай у момент часу t = 0 взято в борг суму X. Для поверненняборгу в моменти часу t1, t2, . . . , tn виплачуються суми C1, C2, . . . , Cn

вiдповiдно. Тодi має виконуватись рiвнiсть

X = C1νt1 + C2ν

t2 + . . . + Cnνtn .

Ставка вiдсотка, при якiй лiвi i правi частини однаковi, називаєтьсярiчною фактичною вартiстю кредиту (РФВ, annual percentage rate ofreturn, APR), її значення заокруглюють до десятих частин вiдсотка уменший бiк (наприклад, 1,283 % заокруглюють до 1,2 %). Якщо це рiв-няння задовольняють декiлька значень вiдсоткової ставки, рiчною фа-ктичною вартiстю кредиту називається найменше додатне з цих значень.

Пiсля виплати в момент tk сума несплаченого боргу дорiвнюватиме

Lk = Ck+1νtk+1−tk + Ck+2ν

tk+2−tk + . . . + Cnνtn−tk .

49

Вiдсоткова складова виплати в момент tk+1 дорiвнює величинi вiдсотка,нарахованого за час tk+1 − tk на суму Lk. Тому вона становитиме

bk =[(1 + i)tk+1−tk − 1

]Lk.

Капiтальна складова вiдповiдної виплати йде власне на погашення боргуi дорiвнює Ck+1 − bk.

Припустимо, що борг розмiром P повертається рiвними частинами(P + D)/n iз заборгованiстю протягом n рокiв, i боржник хоче повер-нути борг завчасно, за t рокiв до закiнчення кредиту. Тодi вiн не маєсплачувати вiдсоткiв за користування кредитом, i, в чому неважко пере-свiдчитися, справедлива вiдсоткова компенсацiя (interest redemption) зараннє повернення становить kD, де

k =t − at|

n − an|

,

причому вiдсоткова ставка, що застосовується при пiдрахунку, дорiвнюєРФВ кредиту.

Але нерiдко для пiдрахування вiдсоткової компенсацiї використову-ється iнша формула, так зване правило 78, що полягає в наступному:борг умовно роздiляють на однаковi частини, з яких n частин у першомуплатежi, n − 1 — у другому, i так далi (для рiчної позики i щомiсячнихвиплат буде якраз 1+2+ · · ·+12 = 78 частин, звiдси походить назва цьо-го правила). Тодi вiдсоткова компенсацiя за раннє повернення дорiвнюєk′D, де

k′ =t(t + 1)n(n + 1)

.

Можна пересвiдчитися, що при цьому k′ < k, тобто кредитор перебуває вкращому становищi. Зважаючи на те, що раннє повернення вiдбуваєтьсязавжди за iнiцiативою боржника, таку схему не вважають несправедли-вою i широко застосовують. З iншого боку, рiзниця мiж k i k′ звичайноневелика. Якщо повернення позики вiдбувається мiж датами платежiв,iнодi використовують змiнену версiю правила 78, за якою, якщо залиша-ються t платежiв, компенсацiя становить k′′D, де

k′′ =(t − α)(t − α+ 1)

n(n + 1), t > α

i k′′ = 0 при t ≤ α. Звичайно α покладають рiвним 1, 2 або 3.Якщо позика повертається за допомогою єдиного платежу розмiром

P + D через n рокiв, i боржник хоче повернути її завчасно, за t рокiв достроку, то справедлива сума, яку вiн має повернути, є P(1 + D/P)1−t/n.Але на практицi, як i для випадку кiлькох платежiв, звичайно викори-стовують пропорцiйне нарахування вiдсотка, тобто компенсацiя за раннє

50

повернення дорiвнює tD/n. З метою врахувати операцiйнi витрати, не-рiдко використовують запiзнення (lag) дати повернення, тобто операцiязавчасного повернення вважається такою, що її здiйснено через мiсяцьабо два, i замiсть компенсацiї tD/n боржник отримує компенсацiю t′D/nз t′ < t.

Задачi

1.7.1. Нехай людина бере кредит розмiром L, який треба повернутичерез n мiсяцiв, сплачуючи суму A наприкiнцi кожного мiсяця. Вiдсо-ткова ставка дорiвнює i % на мiсяць, вiдсотки нараховуються щомiсяця.

1. Чому дорiвнює A у термiнах L, n та i?2. Пiсля того, як наприкiнцi j-го мiсяця зроблено платiж, чому дорiв-

нює розмiр боргу? (Визначити вартiсть наприкiнцi j-го мiсяця.)3. Який розмiр виплати протягом j-го мiсяця вiдповiдає вiдсоткам, а

який — основному боргу? (Це важливо, оскiльки деякi контракти дозво-ляють дострокову виплату кредиту, а тодi вiдсоткова частина вилучає-ться.)

1.7.2. Банк надає деякому iндивiдууму кредит у 100 000 грн. Кредитиповертаються щомiсячними однаковими внесками протягом 25 рокiв (iззаборгованiстю). Частковi внески такi, що iндивiдуум виплачує вiдсоткиз ефективною ставкою 5 % рiчних за кредит.

Визначте:а) суму часткового внеску;б) борг за капiталом через 12 рокiв, вiдразу ж пiсля сплати чергового

внеску;в) розподiл 145-го внеску мiж основним капiталом i вiдсотками.1.7.3. 1. Доведiть, що вартiсть спадної послiдовностi виплат трива-

лiстю n рокiв дорiвнює

(Da)n| =n − an|

i,

якщо наприкiнцi кожного k-го року виплачується сума n − k + 1.2. Банк надає кредит, який повертатиметься частковими внесками, що

сплачуватимуться кожного року iз заборгованiстю. Перший частковийвнесок становитиме 20 грн, другий — 19 грн, зменшуючись на одиницюв рiк до кiнця 10-го року, пiсля чого виплати припиняться. Вiдсотковаставка, якою керується кредитор, становить 6 % рiчних.

Пiдрахуйте:а) суму кредиту;б) вiдсоткову та капiтальну складовi першої виплати;в) складову капiталу в сумi, сплаченiй наприкiнцi восьмого року.

51

1.7.4. Кредит у 10 000 грн було надано 1 квiтня 1994 року. Боргвиплачується щомiсяця iз заборгованiстю впродовж 15 рокiв. Сума що-мiсячної виплати збiльшилася на 10 грн пiсля 5 рокiв i ще на 10 грнпiсля 10 рокiв, i пiдрахована за рiчною номiнальною ставкою вiдсотка8 %, що конвертується щоквартально.

1. Пiдрахуйте початкове значення щомiсячної виплати.2. Визначте капiтальну складову суми, сплаченої 1 травня 1994 року.3. Пiдрахуйте суму кредиту, що залишиться несплаченою пiсля що-

мiсячної виплати, очiкуваної 1 квiтня 2002 року.4. Згiдно з новою умовою надання грошей у борг, пiсля того як 1 квiт-

ня 2002 року виплату буде зроблено, наступнi виплати будуть фiксованоївеличини i сплачуватимуться кожного 1 квiтня, остаточна виплата вiдбу-деться 1 квiтня 2006 року. Пiдрахуйте суму нової рiчної виплати, якщовiдсоткова ставка залишається незмiнною.

1.7.5. Кредит розмiром у 80 000 грн виплачується протягом 25 рокiводнаковими щомiсячними частковими внесками iз заборгованiстю за ка-пiталом i вiдсотками. Погашення пiдраховуються з використанням ефек-тивної вiдсоткової ставки 8 % рiчних.

1. Пiдрахуйте:а) капiтальну складову першого мiсячного часткового внеску;б) загальну суму вiдсоткових складових виплат за останнi 6 рокiв;в) виплату за вiдсотками в останньому щомiсячному платежi.2. Пояснiть, як змiниться (збiльшиться чи зменшиться) вiдповiдь в

пунктi 1б), якщо згiдно з початковими умовам займу, виплати здiйсню-ватимуться рiдше, нiж щомiсяця.

1.7.6. Кредит пiдлягає погашенню за допомогою спадного ануїтету,що виплачується щорiчно iз заборгованiстю протягом 20 рокiв. Виплатанаприкiнцi першого року становить 6 000 грн i наступнi виплати зменшу-ються на 200 грн щороку. Виплати розрахованi за ефективною ставкою9 % рiчних.

1. Пiдрахуйте початкову суму кредиту.2. Побудуйте схеми виплат протягом восьмого року (пiсля сьомої ви-

плати) i дев’ятого, показавши несплачений капiтал на початку року, вiд-соткову i капiтальну складовi виплати у кожному з цих рокiв.

3. Вiдразу ж пiсля дев’ятої виплати вiдсоткiв i капiталу вiдсотковаставка несплаченого кредиту знизиться до 7 % рiчних. Пiдрахуйте сумудесятої виплати, якщо наступнi платежi продовжують зменшуватися на200 грн щороку, i кредит все одно буде виплачено через 20 рокiв.

1.7.7. Особа купує автомобiль за 15 000 грн. Для цiєї покупки вонабере кредит, за яким має сплачувати авансом 24 мiсячних внески. Рiчнаефективна ставка вiдсотка становить 12,36 %. Визначте розмiр незмiнноївiдсоткової ставки за цим кредитом.

52

1.7.8. Кредит розмiром у 20 000 грн пiдлягає погашенню за допомо-гою ануїтету, що виплачується однаковими виплатами що три мiсяцi iззаборгованiстю протягом 20 рокiв. Виплати розраховано за ефективноюставкою 10 % рiчних.

Обчислiть:а) розмiр щоквартальної виплати;б) капiтальну та вiдсоткову складовi в 25-й виплатi.1.7.9. Позику було взято 1 вересня 1998 року i виплачено наступним

зростаючим ануїтетом. Першу виплату було зроблено 1 липня 1999 року,i вона дорiвнювала 1 000 грн. Потiм виплати робилися кожного 1 листо-пада, 1 березня та 1 липня до 1 березня 2004 року включно. Кожнавиплата на 5 % перевищувала попередню. Рiчна ефективна вiдсотковаставка протягом всього перiоду становила 6 %.

1. Покажiть, що розмiр позики дорiвнював 17 692 грн (заокругленодо гривень).

2. Обчислiть капiтальну складову у виплатi 1 липня 1999 року.3. Обчислiть капiтальну та вiдсоткову складовi у сьомiй виплатi.1.7.10. 1. Позику, взяту на 20 рокiв, повертають щорiчними виплата-

ми по 1 000 грн iз заборгованiстю. Рiчна вiдсоткова ставка дорiвнює 5 %за першi 10 рокiв i 7 % за наступнi 10 рокiв. Покажiть, що розмiр по-зики дорiвнює 12 033,60 грн. (У пiдрахунках можливi незначнi похибкизаокруглення.)

2. Нижче наведено фiнансовi данi для k-го року повернення позики.Залишок боргу на початок k-го року: 8 790,48 грн.Вiдсоткова складова k-ї виплати: 439,52 грн.Капiтальна складова k-ї виплати: 560,48 грн.Визначте k.3. На початку 11-го року було узгоджено, що рiчна вiдсоткова став-

ка 5 % залишиться надалi незмiнною. Також не змiниться розмiр i часщорiчних виплат, при цьому можуть зменшитися тривалiсть поверненняборгу та розмiр останньої виплати.

Визначте:а) на скiльки рокiв зменшиться тривалiсть повернення боргу;б) розмiр останньої виплати;в) на скiльки загалом зменшиться сума вiдсоткових складових усiх

виплат завдяки узгодженостi про незмiннiсть вiдсоткової ставки.1.7.11. 1. Доведiть рiвнiсть

(Ia)n| =

..an| − nνn

i.

Кредит має сплачуватися у виглядi зростаючого щорiчного ануїтету ззаборгованiстю впродовж 15 рокiв.

53

Виплата наприкiнцi першого року становить 3 000 грн i подальшi пла-тежi збiльшуватимуться на 200 грн щороку. Виплати будуть пiдрахованiза ефективною ставкою вiдсотка 8 % рiчних.

2. Пiдрахуйте початковий розмiр кредиту.3. Дайте розклад на капiтальну та вiдсоткову складовi виплати за

дев’ятий рiк (пiсля восьмої виплати) i десятий рiк, показавши заборго-ванiсть за капiталом на початку кожного року.

4. Вiдразу ж пiсля десятої виплати за вiдсотками i за капiталом вiд-соткову ставку на кредит, що залишився, знижено до 6 % рiчних.

Пiдрахуйте суму 11-ї виплати, якщо наступнi виплати продовжуютьзбiльшуватися на 200 грн щороку, i кредит сплачуватиметься протягомтих самих 15 рокiв вiд початку.

1.7.12. Банк надає деякому iндивiдууму кредит у 100 000 грн з фi-ксованим вiдсотком на 25 рокiв. Для погашення боргу на початку ко-жного мiсяця виплачуються однаковi внески, розрахованi з ефективноюставкою 6 % рiчних.

Через 10 рокiв боржник має можливiсть повернути будь-яку частинуневиплаченого боргу i взяти новий кредит, що дорiвнює невиплаченомузалишку початкового боргу (за умови, що вiдсоток за цей кредит на15 рокiв буде на той момент менший за 6 % рiчних). Новий борг такожповертатиметься однаковими внесками на початку кожного мiсяця.

1. Пiдрахуйте суму часткового внеску початкового кредиту.2. Визначте капiтальну i вiдсоткову складовi 25-го внеску.3. Боржник використовує можливiсть викупу частини боргу через

10 рокiв. Вiдсоткова ставка на подальшi 15 рокiв дорiвнюватиме 2 %рiчних. Початковий борг виплачується повнiстю i береться нова позикана 15 рокiв у розмiрi, що дорiвнює капiтальнiй складовiй початковогоборгу, яка залишилася на той момент.

Визначте:а) розмiр щомiсячної виплати, що йде на погашення нового боргу;б) iз розрахунку 2 % рiчних вартiсть на момент взяття нової позики

суми, яку заощадить боржник, якщо вiн використає можливiсть викупу.1.7.13. Особа позичає у банку 100 000 грн у виглядi 25-рiчної iпотеки

з фiксованим вiдсотком. Позику повертають за допомогою щомiсячнихвнескiв авансом. Розмiр внескiв визначено iз використанням ефективноїставки 6 % на рiк. Пiсля 10 рокiв боржник має право повернути зали-шок боргу, взявши новий кредит, що дорiвнює цьому залишку, якщо нацей час ефективна вiдсоткова ставка за 15-рiчними кредитами менша за6 %. Нова позика також повертатиметься у виглядi щомiсячних внескiвавансом.

1. Пiдрахуйте розмiр щомiсячних внескiв за початковим кредитом.2. Обчислiть капiтальну i вiдсоткову складовi у 25-му внеску.

54

3. Боржник використовує своє право на повернення боргу через 10 ро-кiв. На цей час (ефективна) вiдсоткова ставка за 15-рiчними кредитамивпала до 2 %. Перший борг повертається за допомогою нової 15-рiчноїпозики, що дорiвнює залишку першого боргу.

Визначте:а) розмiр щомiсячного внеску для нової позики;б) акумульоване значення заощадженої суми внескiв за ставки 2 %.1.7.14. Телевiзор вартiстю 200 грн придбають у кредит, за яким

протягом року щотижня сплачується 4 грн iз заборгованiстю. ВизначтеРФВ.

1.7.15. (Декiлька коренiв рiвняння для РФВ.)1 квiтня фермер дає заставу 100 грн кредитнiй компанiї, щоб узяти вподальшому позику на збирання врожаю. 1 липня вiн позичає 1 760 грн,якi повертаються за допомогою двох платежiв — 605 грн 1 жовтня i1 331 грн 1 сiчня наступного року. Пiдрахуйте РФВ кредиту.

Зауваження. Вважайте всi тримiсячнi перiоди такими, що маютьоднакову тривалiсть.

1.7.16. (Рахунок, що змiнюється вiд дебету до кредиту i навпаки.)Банк стягує 1,5 % на мiсяць за овердрафт рахунку, бiльший вiд 1 000 грнi 1 % на мiсяць за овердрафт, менший вiд 1 000 грн. Стягування вiдсоткавiдбувається наприкiнцi мiсяця.

1 сiчня клiєнт банку, який не має анi кредиту, анi дебету, позичив2 000 грн у банку.

1. Якою має бути сума виплати наприкiнцi кожного мiсяця, щоб цейрахунок був нульовим 1 сiчня наступного року? (Ви маєте припускати,що нiяких iнших операцiй з рахунком клiєнт не робить.)

2. Якщо цей клiєнт вирiшив провести зазначенi виплати, якою є РФВоперацiї?

1.7.17. Позику розмiром у 1 000 грн повертають 60 щомiсячнимивиплатами розмiром 27,92 грн iз заборгованiстю. Визначте РФВ позики.

1.7.18. Позику розмiром у 1 000 грн буде повернуто за допомогоющомiсячних виплат 48 грн iз заборгованiстю протягом трьох рокiв. Бор-жник вирiшує повернути борг завчасно, пiсля 30-го мiсяця (тобто зали-шається шiсть платежiв). Визначте вiдсоткову компенсацiю за модифi-кованим правилом 78, в якому α = 2, i суму, що сплатить боржник.

1.7.19. Покупець автомобiля позичає 5 000 грн, що буде повернуто24 щомiсячними платежами iз запiзненням, порахованими з незмiнноювiдсотковою ставкою 10 % рiчних.

1. Пiдрахуйте розмiр щомiсячного платежу i РФВ кредиту.2. Вiдразу пiсля 12-го платежу боржник повертає залишок боргу.

Кредитор визначає суму, що має сплатити боржник, за (можливо, моди-

55

фiкованим) правилом 78. Визначте цю суму i рiчний дохiд кредитора завсiма операцiями, якщо в модифiкованому правилi 78: а) α = 0; б) α = 2.

1.7.20. Розглянемо позику розмiром P, що повертається n рiвнимивнесками m разiв на рiк iз заборгованiстю. Нехай плата за користуванняпозикою дорiвнює D. Покажiть, що РФВ кредиту приблизно дорiвнює2D/[P(n + 1)/n + D(n − 3m + 2)/(3m)].

1.7.21. Фiнансова компанiя позичає клiєнту 1 200 грн, якi буде повер-нуто шiстьма щомiсячними внесками, порахованими за незмiнною вiдсот-ковою ставкою 2 % на мiсяць.

1. Пiдрахуйте розмiр щомiсячного внеску i ефективну вiдсотковуставку i на мiсяць.

2. Наведiть таблицю залишкiв боргу пiсля кожного мiсяця якщо:а) нараховуються складнi вiдсотки за ставкою i % на мiсяць;б) вiдсотки нараховуються за арифметичною прогресiєю, визначеною

правилом 78.1.7.22. 15 квiтня особа позичила 2 000 грн i зiбралася повернути їх

єдиним платежем у 2 200 грн через рiк. Насправдi, 17 липня 2001 рокуборжник повнiстю повертає борг. Визначте суму, яку має сплатити бор-жник, i РФВ всiєї операцiї, якщо вiдсоткова компенсацiя розраховуєтьсяза пропорцiйною схемою, та

а) немає запiзнення дати сплати;б) дату сплати запiзнюють на два мiсяцi.1.7.23. 3 сiчня особа позичила 160 грн, якi має повернути 3 жовтня

цього самого року єдиною виплатою розмiром 185 грн. 14 травня особазавчасно повертає борг, вiдсоткову компенсацiю визначають за пропор-цiйною схемою iз двомiсячним запiзненням дати сплати.

Визначте:а) РФВ позики за укладеним договором;б) суму, що її сплатить боржник при завчасному поверненнi i РФВ

повної операцiї.1.7.24. Борг розмiром 100 000 грн буде погашено через 10 рокiв за до-

помогою щомiсячного ануїтету iз заборгованiстю. Величину щомiсячноївиплати розраховують на основi вiдсоткової ставки 1 %.

1. Визначити щомiсячну виплату.2. Визначити сумарнi виплати за капiталом i за вiдсотками, зробленi:а) протягом першого року;б) протягом останнього року.3. Пiсля якої щомiсячної виплати залишок боргу вперше не переви-

щуватиме 5 000 грн?4. Для якої щомiсячної виплати частина виплати за капiталом вперше

перевищить виплати за вiдсотком?

56


1.7.1. 1. A = Li/[1 − (1 + i)−n]. 2. A = L

[1−(1+i)j−n

]/[1 − (1 + i)−n].

3. Вiдсоткам вiдповiдає виплата Li[1− (1 + i)j−n−1 ][1− (1 + i)−n ]−1

, по-

гашенню основного боргу — Li(1 + i)j−n−1[1 − (1 + i)−n ]−1

.1.7.2. У випадку а) i = 0,05, ν = 0,9524. Якщо частковi внески

дорiвнюють X, то має мiсце рiвнiсть

100 000 = X(ν1/12 + ν2/12 + ν3/12 + . . . + ν25

)= Xν1/12 1 − ν25

1 − ν1/12.

Звiдси X = 578,14 грн;у випадку б) борг за капiталом через 12 рокiв

X(ν1/12 + ν2/12 + ν3/12 + . . . + ν13) = 578,14ν1/12 1 − ν13

1 − ν1/12= 66 650 грн;

у випадку в) 145-та виплата — перший внесок пiсля 12 рокiв виплат.Ми знаємо з випадку б) залишок боргу за капiталом. Тому вiдсотковаскладова вiдповiдного платежу

66 650i(12)

12= 66,650

[(1 + i)1/12 − 1

]= 271,54 грн.

Капiтальна складова

578,14 − 271,54 = 306,60 грн.

1.7.3. 1. З означення спадної послiдовностi виплат тривалiстю n ро-кiв, використовуючи результат задачi 1.5.7, дiстанемо

(Da)n| = (n + 1)an| − (Ia)n| =n − an|

i.

2. Згiдно з умовою, i = 0,06, ν = 0,9434, при цьому: а) шуканавеличина дорiвнює

20ν+ 19ν2 + . . . + 12ν9 + 11ν10 = (Da)10| + 10(ν+ ν2 + . . . + ν10) =

=10i

+(10 − 1

i

) (ν + ν2 + . . . + ν10) = 117,6 грн;

б) вiдсоткова складова дорiвнює 0,06 · 117,6 = 7,056 грн. Звiдси скла-дова капiталу: 20 − 7,056 = 12,944 грн;

в) сума, що її залишилося повернути пiсля виплати наприкiнцi 7-гороку, дорiвнює L7 = 13ν+12ν2+11ν3, наприкiнцi 8-го — L8 = 12ν+11ν2.Шукана капiтальна складова — L7 − L8 = ν+ ν2 + 11ν3 = 11,069 грн.

1.7.4. 1. За умовою i(4) = 0,08, звiдки i =[1 + i(4)/4

]4 − 1 = 0,08243,ν = 0,92385. Позначимо через X розмiр першої виплати. Тодi пiсля 5 ро-

57

кiв виплат внески становитимуть X + 10, пiсля 10 рокiв — X + 20, i мимаємо рiвнiсть

10 000 = X(ν1/12 + ν2/12 + ν3/12 + . . . + ν5

)=

= (X + 10)(ν61/12 + ν62/12 + ν63/12 + . . . + ν10) =

= (X + 20)(ν121/12 + ν122/12 + ν123/12 + . . . + ν15) = 104,975X + 779,586.

Звiдси X = 87,835 грн.2. На 1 травня 1994 року залишається несплаченою сума в 10 000 грн.

Плата за вiдсотками за мiсяць становить[(1 + i)1/12 − 1

]10 000 =

(1,021/3 − 1

)10 000 = 66,227 грн.

Тому капiтальна складова дорiвнює 87,835 − 66,227 = 21,608 грн.3. Для знайденого X = 87,835 грн ще протягом 2 рокiв треба буде

виплачувати суму X + 10, i ще потiм 5 рокiв — X + 20. Невиплаченачастина кредиту становитиме

(X + 10)(ν1/12 + ν2/12 + ν3/12 + . . . + ν2) =

= (X + 20)(ν25/12 + ν26/12 + ν27/12 + . . . + ν7

)= 6709,07 грн.

4. Несплаченою залишиться сума в 6 709,07 грн. Позначимо через Yрозмiр рiчної виплати i одержимо рiвнiсть

6 709,07 = Y(ν+ ν2 + ν3 + ν4

)= 4,895Y , Y = 2036,58 грн.

1.7.5. 1. За умовою i = 0,08, ν = 0,9259, при цьому: а) позначиморозмiр щомiсячної виплати через X i одержимо рiвнiсть

80 000 = X(ν1/12 + ν2/12 + . . . + ν25), X = 602,73 грн.

Тут вiдсоткова складова за один мiсяць

80 000[(1 + i)1/12 − 1

]= 514,72 грн.

Тому капiтальна складова602,73 − 514,72 = 88,01 грн;

б) загальна сума виплат за останнi 6 рокiв, пiдрахована на моментзакiнчення 19 рокiв виплат, становитиме

X(ν1/12 + ν2/12 + . . . + ν6) = 34645,14 грн.

Якщо додамо всi суми виплат за 6 рокiв, отримаємо 72X = 43396,56.З цiєї суми вiдсоткова складова дорiвнює

43 396,56 − 34 645,14 = 8751,42 грн;в) вiдсоткова складова останньої щомiсячної виплати дорiвнює X(1−

− ν1/12) = 3,85 грн.2. У даному випадку виплати робитимуться рiдше, частини вiдпо-

вiдних сум грошей повертатимуться пiзнiше, тому загальна вiдсотковаскладова збiльшиться.

58

1.7.6. 1. Наприкiнцi k-го року виплата становитиме 6 200 − 200k.Також маємо i = 0,09, ν = 0,9174. Сума кредиту

6 000ν + 5800ν2 + 5600ν3 + . . . + 2,200ν20 = 2000(ν+ ν2 + . . . + ν20)+

+200(20ν + 19ν2 + . . . + ν20) = 42 415,88 грн.

Тут ми використали те, що, згiдно з пунктом 1 задачi 1.7.3,

nν+ (n − 1)ν2 + (n − 2)ν3 + . . . + νn =(n − ν− ν2 − · · · − νn

)/i.

2. Вiдразу пiсля сьомої виплати сума, яку ще треба буде виплатити,дорiвнює

4 600ν + 4400ν2 + . . . + 2 200ν13 = 2000(ν+ ν2 + . . . + ν13

)+

+200(13ν + 12ν2 + . . . + ν13

)= 27 225,13 грн.

Тут у пiдрахунках ми використали результат пункту 1 задачi 7.3. Томувiдсоткова складова восьмої виплати дорiвнюватиме 0,09 · 27 225,13 == 2450,26 грн. Загальний розмiр восьмої виплати cтановить 4 600 грн,тому її капiтальна складова є 4 600 − 2 450,26 = 2149,74 грн.

Вiдразу пiсля восьмої виплати несплаченим залишиться капiтал роз-мiром 27 225,13 − 2 149,74 = 25 075,39 грн. Вiдсоткова складова дев’ятоївиплати дорiвнюватиме 0,09 · 25 075,39 = 2256,79 грн. Загальна величи-на дев’ятої виплати дорiвнює 4,400 грн, тому її капiтальна складова —4400 − 2 256,79 = 2143,21 грн.

3. Пiсля дев’ятої виплати несплачена сума капiталу дорiвнюватиме25 075,39 − 2 143,21 = 22 932,18 грн. Зараз i = 0,07, ν = 0,9346. Позна-чимо розмiр десятої виплати через X, i одержимо рiвнiсть

22 932,18 = Xν + (X − 200)ν2 + (X − 400)ν3 + . . . + (X − 2 000)ν11 =

= Xa11| − 200ν(Ia)10| = 7,4987X − 6 493,30.

Звiдси X = 3924,08 грн. (Тут ми використали пункт 1 задачi 1.5.7.)1.7.7. Спершу потрiбно обчислити виплати. Нехай розмiр щорiчної

виплати дорiвнює X. Тодi 15 000 = X..a(12)

2|= ia2|/d

(12), звiдки X = 8367,29.

Загальна плата за користування кредитом у цi два роки дорiвнює 2 ××8 367,29−15 000 = 1734,58. Тому незмiнна ставка 1 734,58/(2·15 000) == 5,782 %.

1.7.8. За умовою i = 0,1, ν = 0,909091, при цьому: а) якщо частковiвнески дорiвнюють X, то має мiсце рiвнiсть

20 000 = X(ν1/4 + ν2/4 + ν3/4 + . . . + ν20

)= Xν1/4 1 − ν20

1 − ν1/4.

Звiдси X = 566,48 грн;

59

б) 25-та виплата — перший внесок пiсля 6 рокiв виплат. Борг закапiталом через 6 рокiв

X(ν1/4 + ν2/4 + ν3/4 + . . . + ν14

)= 566,48ν1/4 1 − ν14

1 − ν1/4= 17 305,77 грн.

Тому вiдсоткова складова за вiдповiднi три мiсяцi

17 305,77i(4)

4= 17 305,77

[(1 + i)1/4 − 1

]= 417,31 грн.

Складова капiталу

566,48 − 417,31 = 149,17 грн.

1.7.9. 1. Кожну k-ту виплату було зроблено через 10+4(k−1) мiсяцiвпiсля взяття позики, вона дорiвнює 1,05k−1 · 1 000, i її ми враховуємо здисконтним множником 1,06−[10+4(k−1)]/12. Тому сума позики

1 000 · 1,06−5/6(1 +

1,051,061/3

+1,052

1,062/3+ . . . +

1,0514

1,0614/3

)= 17 691,77 грн.

Якщо заокруглити до гривень, то ми отримаємо 17 692 грн.2. Зараз i = 0,06. За 10 мiсяцiв виплата вiдсотка за користування

позикою[(1 + i)10/12 − 1

]17 691,77 = 880,27 грн.

Тому капiтальна складова першої виплати

1 000 − 880,27 = 119,73 грн.

3. Сьома виплата становитиме 1 000 · 1,056 = 1340,10 грн. Невипла-чена сума боргу вiдразу пiсля шостої виплати дорiвнюватиме

1 000 ·1,056 ·1,06−1/3(1+

1,051,061/3

+1,052

1,062/3+. . .+

1,058

1,068/3

)= 13 341,57 грн.

За чотири наступнi мiсяцi виплата вiдсотка за користування позикою[(1 + i)4/12 − 1

]13 341,57 = 261,67 грн,

що i дає вiдсоткову складову сьомої виплати. Капiтальна складова цiєївиплати

1 340,10 − 261,67 = 1078,43 грн.

1.7.10. 1. Всi обчислення провадитемо у тисячах гривень. Маємоν1 = 1/1,05 = 0,952381, ν2 = 1/1,07 = 0,934579, розмiр позики

(ν1 + ν2

1 + . . . + ν101

)+ ν10

1

(ν2 + ν2

2 + . . . + ν102

)= 12033,60.

60

2. Вiдмiтимо, що 439,52/8 790,48 = 0,05, тому k ≤ 10. Маємо рiвнiсть

8,79048 =(ν1 + ν2

1 + . . . + ν11−k1

)+ ν11−k

1

(ν2 + ν2

2 + . . . + ν102

)=

= ν11 − ν11−k

1

1 − ν1+ ν11−k

1 ν21 − ν10

2

1 − ν2= 20

(1 − ν11−k

1

)+ 7,023581ν11−k

1 ,

ν11−k1 = 0,863838, k = 8.

3. Результати будуть такi: а), б) позначимо через Y розмiр останньоївиплати.

Припустимо, що повернення позики в нових умовах триватиме також20 рокiв. Тодi

12,03360 =(ν1 + ν2

1 + . . . + ν191

)+Yν20

1 ,

Звiдси Y = −0,13723, що неможливо.Припустимо, що повернення позики триватиме 19 рокiв. Тодi

12,03360 =(ν1 + ν2

1 + . . . + ν181

)+Yν19

1 , Y = 0,86930.

Тому час повернення позики скоротиться на один рiк, розмiр остан-ньої виплати дорiвнює 869,30 грн;

в) за старих умов повернення позики сума вiдсоткових складовихвсiх виплат дорiвнюватиме 20 000 − 12 033,60 = 7966,40 грн. За новихумов для повернення позики було зроблено 18 виплат по 1 000 грн таодна виплата 869,30 грн. Тому сума вiдсоткових складових тут дорiвнює18 869,30 − 12 033,60 = 6835,70 грн. Вiдсотковi виплати зменшились на7 966,40 − 6 835,70 = 1130,70 грн.

1.7.12. 1. Маємо ν = 1/1,06 = 0,943396. Нехай розмiр щомiсячноївиплати за позикою дорiвнює X. Тодi

X(1 + ν1/12 + . . . + ν299/12) = 100 000 грн,

звiдки

X = 100 0001 − ν1/12

1 − ν25= 631,54676 грн.

2. Пiсля двох рокiв виплат залишок боргу на наступнi 13 рокiв до-рiвнюватиме

X(1 + ν1/12 + . . . + ν275/12) = 631,54676

1 − ν23

1 − ν1/12= 96 245,296 грн.

Вiдсоткова складова

96 245,296(1 − ν1/12) = 466,20955 грн.

Звiдси капiтальна складова 631,54676 − 466,20955 = 165,33721.

61

3. Результати будуть такi: а) залишок боргу через 10 рокiв дорiвню-ватиме

X(1 + ν1/12 + . . . + ν179/12

)= 631,54676

1 − ν15

1 − ν1/12= 75975,737 грн.

Тепер маємо ν = 1/1,02 = 0,98039. Нехай розмiр нової щомiсячноївиплати за позикою дорiвнює Y . Тодi

Y(1 + ν1/12 + . . . + ν179/12

)= 75975,737 грн,

звiдки

Y = 75975,7371 − ν1/12

1 − ν15= 487,47233 грн;

б) щомiсяця буде заощаджено 631,54676−487,47233 = 144,07443 грн.За 15 рокiв при ν = 1/1,02 накопичиться сума

144,07443(1 + ν1/12 + . . . + ν179/12

)= 22454,938 грн.

1.7.11. 1. Див задачу 1.5.7.2. Виплати за кредитом утворюють арифметичну прогресiю. Тому при

ставцi 8 % початковий розмiр кредиту

200(Ia)15| + 2800a15| = 200

..a15| − 15ν15

0,08+ 2 800 · 8,5595 =

= 2001,08 · 8,5595 − 15 · 0,31524

0,08+ 23 966,6 = 35 355,76.

3. Виплата наприкiнцi 8-го року дорiвнює 4 400 грн. Тому заборгова-нiсть на початку 9-го року становить

200(Ia)7| + 4400a7| = 200

..a7| − 7ν7

0,08+ 4 400 · 5,2604 =

= 2001,08 · 5,2604 − 7 · 0,58349

0,08+ 23 145,76 = 26 754,36.

Вiдсоткова складова виплати за боргом за 9-й рiк становить 26 754,36 ×× 0,08 = 2140,35. Капiтальна складова дорiвнює 4 600 − 2 140,35 == 2459,65. Заборгованiсть на початку 10-го року 26 754,36 − 2 459,65 == 24294,71, вiдсоткова складова виплат за 10-й рiк 24 294,71 · 0,08 == 1943,58, капiтальна складова 4 800 − 1 943,58 = 2856,42.

4. Заборгованiсть на початок 11-го року — 24294,71 − 2 856,42 == 21438,29. Нехай X — виплата за 11-й рiк, тодi при ставцi 6 %

200(Ia)5| + (X − 200)a5| = 21 438,29,

(Ia)5| =1,06 · 4,2124 − 5ν5

0,06= 12,1476.

62

Звiдси

200(12,1476 − 4,2124) + X · 4,2124 = 21 438,29,

отже, X = 4712,57.1.7.13. 1. Щомiсячним внеском є X/12, де

X..a(12)

25| 6% = 100 000,i

d(12)= 1,032211, a25| = 12,7834,

звiдки X = 7578,533 i X/12 = 631,544.2. Залишок боргу через 2 роки становить X

..a(12)

23| 6% = 96245,132. Вiд-

соткова складова платежу дорiвнює (d(12)/12) ·96 245,132 = 466,21. Томукапiтальною складовою є 631,544 − 466,21 = 165,334.

3. Результати будуть такi: a) залишок боргу дорiвнює

X..a(12)

15| 6% = 7578,533 · 1,032211 · 9,7122 = 75 975,094.

Новий розмiр щомiсячного внеску — Y/12, де Y..a(12)

15| 2% = 75975,094.

Звiдси Y = 5849,599, Y/12 = 487,4666;б) заощаджена сума дорiвнює 7 578,533 − 5 849,599 = 1728,934 що-

року. Тому акумульоване значення заощадженої суми (на момент взяттядругого кредиту) — 1728,934

..a(12)

15| 2% = 22455,54.

Зауваження: розв’язання також вважається правильним, якщо аку-мульоване значення правильно пiдраховане в якийсь iнший момент часу(наприклад, наприкiнцi цього 25-рiчного перiоду).

1.7.14. РФВ визначимо з рiвняння 200 = 208a(52)1|

, тобто a(52)1|

=

= 0,96154. При i = 8 % i i = 8,1 % маємо значення a(52)1|

вiдповiдно

0,96178 i 0,96133. Враховуючи, що РФВ заокруглюють у менший бiк додесятих частин вiдсотка, маємо, що РФВ дорiвнює 8 %.

1.7.15. Вимiрюючи час у кварталах з ефективною ставкою j на квар-тал, маємо

−100(1 + j)3 + 1760(1 + j)2 − 605(1 + j) − 1 331 ⇔⇔ [10(1 + j)− 11][10(1 + j)2 − 165(1 + j) − 121] = 0,

звiдки j = 1, 16,203 або −1,703. Маємо кiлька розв’язкiв, найменшийдодатний з них дорiвнює 0,1, тому РФВ дорiвнює (1+0,1)4−1 = 0,464 == 46,4 %.

1.7.16. 1. Нехай P — розмiр щомiсячного платежу. Вимiрюємо час умiсяцях i вважаємо, що пiсля n-ї виплати залишок боргу став меншим,нiж 1 000 грн. Вiдразу пiсля n-ї виплати залишком боргу є Ln, де

Lt = 2000(1,015)t − Pst|, 0 ≤ t ≤ n.

63

У подальшому ставка вiдсотка дорiвнює 1 %. З того, що борг буде по-вернуто з останнiм платежем, випливає

Ln(1,01)12−n − Ps12−n| = 0,

тобто

[2 000(1,015)n − Psn|](1,01)12−n − Ps12−n| = 0.

Розв’язок даного рiвняння можна пiдiбрати, а саме: при n = 7 маємо P == 182,29, L6 = 1051,30, L7 = 884,78, що узгоджується з умовою. Такимчином, розмiр кожного внеску — 182,29 грн.

2. РФВ визначимо з рiвняння 2 000 = 182,29 · 12a(12)1|

, тобто a(12)1|

=

= 0,91429. Значення a(12)1|

при i = 18,2 % i i = 18,3 % дорiвнюють

вiдповiдно 0,91447 i 0,91406, звiдки РФВ — 18,2 %.1.7.17. РФВ визначимо з рiвняння 1 000 = 27,92·12a(12)

5|, тобто a(12)

5|=

= 2,98472. Значення a(12)5|

при i = 25 % i i = 25,1 % дорiвнюють вiдпо-

вiдно 2,98505 i 2,98005, звiдки РФВ — 25 %.1.7.18. Плата за користування кредитом дорiвнює 36 · 48 − 1 000 =

= 728 грн. Вiдсоткова компенсацiя розраховується з двомiсячним запiз-ненням, тому її розмiр

728(6 − 2)(7 − 2)

36 · 37 = 10,93 грн.

Сума при завчасному поверненнi боргу — 6 · 48 − 10,93 = 277,07 грн.1.7.19. 1. Плата за користування кредитом дорiвнює 2 · 0,1 · 5 000 =

= 1000 грн, тобто загальна сума платежiв — 6 000 грн, тому коженщомiсячний платiж дорiвнює 250 грн. РФВ визначимо з рiвняння 5 000 == 3000a(12)

2|, тобто a(12)

2|= 1,6667. Значення a(12)

2|при i = 19,7 % i i =

= 19,8 % дорiвнюють вiдповiдно 1,6673 i 1,6659, звiдки РФВ є 19,7 %.2. Залишаються 12 платежiв, при цьому: а) сума компенсацiї 1 000 ×

× 12 · 13/(24 · 25) = 260, тобто сума, потрiбна для повернення боргу —12 · 250 − 260 = 2740 грн. Дохiд i задовольняє рiвняння

5 000 − 3 000a(20)1|

− 2 740ν = 0.

Тому i = 0,2016 = 20,16 % (РФВ дорiвнює 20,1 %);б) компенсацiя дорiвнює 1000 · 10 · 11/(24 · 25) = 183,33, тобто су-

ма, потрiбна для повернення боргу — 2816,67 грн. Дохiд i задовольняєрiвняння

5 000 − 3 000a(20)1|

− 2 618,67ν = 0.

Тому i = 0,2222 = 22,22 % (РФВ дорiвнює 22,2 %).

64

1.7.20. Тривалiсть позики є n/m рокiв, i за незмiнної ставки вiдсоткаF на рiк плата за користування кредитом дорiвнює D = PFn/m, звiдкиF = mD/(nP). РФВ визначається з рiвняння

P = mP(1/n + F/m)a(m)n/m|

,

яке можна переписати у виглядi

m[(1 + i)1/m − 1] = (m/n + F)[1− (1 + i)−n/m].

Розвинемо обидвi частини в ряд i знехтуємо степенями i бiльшими за 4i членами Fik, k ≥ 3 (Fi3 має той самий порядок малостi, що й i4). Пiсляспрощень маємо наближену рiвнiсть

−nF

m+ i

(n + 1)2m

+n(n + m)

2m2 Fi − (n + 1)(n + 3m − 1)6m2 i2 = 0.

Перше наближення отримуємо, нехтуючи членами з i2 i Fi: i = 2F ×× n/(n + 1). (Звернiть увагу, що для великих n це близько до 2F , що єiнтуїтивно зрозумiлим: “в середньому” залишком боргу є його половина,а вiдсоток F нараховується на весь борг.)

Запишемо

i[ (n + 1)

2m+

n(n + m)2m2

F − (n + 1)(n + 3m − 1)6m2

i]

=nF

mi пiдставимо в дужках замiсть i його перше наближення. Отримаємодруге наближення

i =2F

n + 1n

+ Fn − 3m + 2

3m

.

Пiдставляючи F = mD/(nP), дiстанемо потрiбну наближену рiвнiсть.1.7.21. 1. Плата за користування кредитом дорiвнює 6 · 0,02 · 1 200 =

= 144 грн, тому щомiсячний платiж становить (1 200+144)/6 = 224 грн.Ефективна ставка вiдсотку на мiсяць визначається з рiвностi 1 200 == 224a6|, звiдки i = 0,03337 = 3,337 %.

2. Таблиця має вигляд: а)

мiсяця

Залишок боргу напочатку мiсяця

Вiдсотковаскладова

Капiтальнаскладова

Залишок боргунаприкiнцi мiсяця

1 1 200 40,05 183,95 1 016,052 1 016,05 33,91 190,09 825,963 825,96 27,56 196,44 629,524 629,52 21,01 202,99 426,535 426,53 14,23 209,77 216,766 216,76 7,24 216,76 0

65

б) схема правила 78: плата за користування кредитом дiлиться на1 + . . . + 6 = 21 “частини” вiдсотка, кожна з яких дорiвнює 144/21 == 6,857143 грн.

мiсяця

Залишок

боргу

на початку

мiсяця

Кiлькiсть

частин

вiдсотка

Вiдсоткова

складова

Капiтальна

складова

Залишок

боргу

наприкiнцi

мiсяця

1 1 200 6 41,14 182,86 1 017,142 1 017,14 5 34,29 189,71 827,433 827,43 4 27,43 196,57 630,864 630,86 3 20,7 203,43 427,435 427,43 2 13,71 210,29 217,146 217,14 1 6,86 217,14 0

1.7.22. Спочатку термiн позики був 365 днiв, а плата за користуванняпозикою — 200 грн, тому:

а) борг сплачується на 272 днi ранiше зазначеного термiну. Вiдсотко-ва компенсацiя дорiвнює (272/365) · 200 = 149,04, тому сума, яку маєсплатити боржник, — 2200 − 149,04 = 2050,96. Рiвняння на РФВ —2000(1 + i)93/365 = 2050,96, з якого i = 0,10379, тобто РФВ — 10,3 %;

б) при пiдрахунку компенсацiї кредитор встановлює дату розрахункуна 17 вересня, це 210 днiв до зазначеного термiну. Тому компенсацiядорiвнює (210/365)200 = 115,07, а сума, яку має сплатити боржник, —2200−115,07 = 2084,93. Рiвняння на РФВ — 2000(1+i)93/365 = 2084,93,з якого i = 0,1773, тобто РФВ дорiвнює 17,7 %.

1.7.23. Спочатку термiн позики був 273 днi, а плата за користуванняпозикою — 25 грн, тому:

а) РФВ = 21,4 % визначається з рiвняння 160(1 + i)273/365 = 185;б) при пiдрахунку компенсацiї кредитор встановлює дату розрахунку

на 14 липня, це 81 день до зазначеного термiну. Тому компенсацiя дорiв-нює (80/273)25 = 7,42, а сума, яку має сплатити боржник, 185 − 7,42 == 177,58 грн. Фактично ж борг повернуто 14 травня, через 131 деньпiсля взяття позики. Тому РФВ задовольняє рiвняння 160(1 + i)131/365 == 177,58, з якого i = 0,33704, тобто РФВ дорiвнює 33,7 %.

1.7.24. Виберемо мiсяць як одиницю часу i покладемо i = 0,01.1. Оскiльки виплата боргу вiдбувається протягом 120 мiсяцiв одна-

ковими виплатами у X грн, нам треба обчислити a14|(1 − ν120)/i == 69,700522. Тому Xa120| = X · 69,700522 = 10 000, звiдки X = 143,47.При цьому повна рiчна виплата протягом кожного року дорiвнює 12X == 1721,64 грн.

2. Результати будуть такi: а) загальна сума боргу за капiталом, щозалишиться пiсля першого року (тобто вiдразу пiсля 12-ї виплати) — зна-

66

чення на цей момент усiх наступних виплат, тобто Xa108| = 9448,62 грн.Це означає, що капiтал, виплачений протягом першого року, дорiвнює10 000 − 9 448,62 = 551,38 грн, а вiдсотки, виплаченi протягом першогороку, дорiвнюють 12 · 143,47− 551,38 = 1721,64− 551,38 = 1170,26 грн;

б) капiтал, виплачений за останнiй рiк – це просто борг за капiта-лом, що залишився через 9 рокiв, i вiн дорiвнює Xa12| = 143,47a12| == 1614,77 грн. Тому вiдсотки, виплаченi за останнiй рiк, дорiвнюють143,47 · 12 − 1 614,77 = 1721,64 − 1 614,77 = 106,87 грн.

3. Пiсля t-ї щомiсячної виплати залишок боргу за капiталом дорiвнюєXa120−t| = 143,47a120−t|. Розглянемо рiвняння 143,47a120−t| = 5000, тобтоa120−t| = 34,850 при ставцi 1%. Оскiльки a43| = 34,8100, а a44| = 35,4555,борг за капiталом вперше стає меншим, нiж 5000, коли 120 − t = 43,тобто t = 77.

4. Виплата боргу за капiталом за 1-й мiсяць дорiвнює X − 0,01 ×× 10 000 = 143,47 − 100 = 43,47. Послiдовнi виплати капiталу утворю-ють геометричну прогресiю зi знаменником 1 + i = 1,01, тобто випла-та капiталу за t-й мiсяць дорiвнює 43,47(1,01)t−1. Треба обчислити, вякий момент вперше ця виплата перевищить половину щомiсячної ви-плати. Таким чином, ми шукаємо найменше цiле t, для якого викона-но нерiвнiсть 43,47(1,01)t−1 > 143,47/2, або (1,01)t−1 > 1,6502, звiдкиt − 1 > ln 1,6502/ln 1,01 = 50,34. Отже, t = 52.

1.8. ОЦIНКА IНВЕСТИЦIЙНИХ ПРОЕКТIВ


Розглянемо iнвестицiйний проект на iнтервалi часу (0, T ). Нехай при-бутки вiд проекту складаються з надходжень Ct1 ,Ct2 , . . . ,Ctn у моментиt1, t2, . . . , tn, вiдповiдно, та неперервного грошового потоку з iнтенсивнi-стю ρ(t) (величини Cti , ρ можуть бути i вiд’ємними). Тодi чиста зведенавартiсть проекту дорiвнює

n∑

i=1

Ctiνti +

w T

0ρ(t)νt dt.

Значення i, при якому чиста зведена вартiсть проекту дорiвнює нулю,називається внутрiшньою нормою прибутку проекту. (Нагадаємо, що ν == 1/(1 + i), i = (1 − ν)/ν.)

Нехай у моменти часу 0 i T вартiсть деякого фонду дорiвнює F0 i FT

вiдповiдно, прибуток вiд проекту складається з грошових надходжень

67

розмiром Ct1 , Ct2 , . . . Ctn у моменти t1, t2, . . . , tn вiдповiдно. Тодi нормоюприбутку, зваженою грошима, називається значення i, що задовольняєрiвняння

F0(1 + i)T + Ct1(1 + i)T−t1 + . . . + Ctn(1 + i)T−tn = FT .

Через Ft1−, Ft2−, . . . , Ftn− позначимо вартiсть фонду безпосередньоперед моментами часу t1, t2, . . . , tn вiдповiдно. Рiчною нормою прибут-ку, зваженою часом, називається значення i, що задовольняє рiвняння

(1 + i)T =Ft1−

F0 + C0· Ft2−

Ft1− + Ct1

· Ft3−

Ft2− + Ct2

· · · · · FT

Ftn− + Ctn

.

Якщо задано розбиття iнтервалу часу (0, T ) на k пiдiнтервалiв (0, s1),(s1, s2), (sk−1, T ), то зв’язана внутрiшня норма прибутку визначаєтьсятак. На всiх пiдiнтервалах визначимо ефективнi рiчнi вiдсотковi ставкиi1, i2, . . . , ik. Шукана ставка i визначається з рiвностi

(1 + i)T = (1 + i1)s1(1 + i2)s2−s1 . . . (1 + ik)T−sk−1 .

Задачi

1.8.1. Бiзнесмен розмiрковує над iнвестицiєю, яка вимагає початко-вих витрат у 60 000 грн i подальших витрат у 25 000 грн через вiсiммiсяцiв. Починаючи з двох рокiв пiсля початкових витрат дохiд над-ходитиме неперервно протягом чотирьох рокiв зi ставкою 5 000 грн зарiк, збiльшуючись до 9 000 грн за рiк протягом наступних 4 рокiв, по-тiм до 13 000 грн за рiк у наступнi 4 роки i так далi, до призупиненняпотокiв платежiв, пiсля того, як дохiд буде отримано впродовж 20 рокiв(22 роки пiсля початкових витрат). У момент, коли дохiд призупиниться,iнвестицiї можуть бути проданi за 50 000 грн.

Пiдрахуйте чисту зведену вартiсть проекту з ефективною ставкою9 % рiчних.

1.8.2. Компанiя погодилася побудувати та експлуатувати мiст. Вонаiнвестуватиме 10 млн грн за рiк впродовж перших двох рокiв проекту,причому iнвестування буде неперервним впродовж цього перiоду. Пiз-нiше мiст почне працювати, i компанiя отримуватиме платежi наприкiн-цi кожного року, перший платiж вiдбудеться наприкiнцi третього рокупроекту. Сума платежу наприкiнцi третього року становитеме 8 млн грн,знижуючись на 0,5 млн грн кожного наступного року до рiчної суми, щостановить 3 млн грн, пiсля чого рiчне зниження буде 1 млн грн. Коливиплата знизиться до нуля, матерiальну участь компанiї в проектi будеприпинено.

Пiдрахуйте чисту зведену вартiсть проекту за ефективною ставкою10 % рiчних.

68

1.8.3. 1. Для iнвестицiйного проекту дайте означення:а) дисконтованого перiоду повернення платежiв;б) перiоду повернення платежiв.2. Пояснiть, чому обидва перiоди (дисконтований перiод повернення

платежiв i перiод повернення платежiв) є гiршими критерiями, нiж чи-ста зведена вартiсть, для визначення того, чи слiд iнвестувати в данийпроект.

3. Консорцiум iнвесторiв розглядає можливiсть iнвестування в спор-тивний проект. Проект вважатимуть життєздатним, якщо вiн має дода-тну чисту сучасну вартiсть при ефективнiй вiдсотковiй ставцi 10 % зарiк. Консорцiум передбачає, що проект супроводжуватимуть такi потокиготiвки (всi суми в сотнях мiльйонiв гривень):

Витрати

Початковi на будiв-ництво

Будуть вкладенi неперервно з одиничною швид-кiстю протягом 5 рокiв, починаючи з 1 сiчня2006 року

Поточнi Будуть вкладенi неперервно з одиничною швид-кiстю протягом 3 мiсяцiв, починаючи з 1 сiчня2011 року

Вартiсть заявки 0,2 буде вкладено 1 сiчня 2004 року

Доходи

Продаж прав на те-левiзiйне мовлення

Надходитимуть неперервно зi швидкiстю 0,3 нарiк протягом трьох мiсяцiв, починаючи з 1 сiчня2011 року

Iншi вiд продажу,маркетинговихправ, квиткiв

Надходитимуть у серединi кожного року з 2004по 2015 рiк включно. Дохiд з цього джерела по-чне надходити зi швидкiстю 0,1 на рiк i збiльшу-ватиметься щороку на 0,1, включаючи 2011 рiк.У 2012 роцi очiкується такий самий дохiд, як iв 2011 роцi. Пiсля 2012 року очiкується падiннядоходу на 0,2 за рiк до 2015, i пiсля цього рокуне буде доходiв з цього джерела

Вiд продажу ста-дiону та iншихiнфраструктур

Будуть отриманi на 1 сiчня 2015 року

Визначте цiну продажу стадiону та iнших iнфраструктур, якi забез-печать життєздатнiсть проекту.

1.8.4. 1. Iнвестор вирiшує, чи потрiбно вкладати iнвестицiї в про-ект. Пояснiть, чому дисконтований перiод повернення платежiв є гiршимкритерiєм, нiж чиста зведена вартiсть у припущеннi, що iнвестор необмежений у капiталi.

69

Iнвестор розглядає два проекти: A i B. Проект A передбачає iнвес-тицiю в розмiрi 1 млн грн на самому початку. Єдиний дохiд буде випла-чено у розмiрi 3,5 млн грн через десять рокiв. Проект B також передба-чає iнвестицiю в розмiрi 1 млн грн на самому початку. Дохiд вiд цьогопроекту надходитиме неперервно. Протягом першого року iнтенсивнiстьплатежу становитиме 0,08 млн грн, протягом другого року 0,09 млн грн,протягом третього року 0,10 млн грн, зi ставкою, що збiльшується на0,01 млн грн щороку, починаючи з цього моменту до кiнця десятогороку, пiсля чого надходження припиняться.

2. Пiдрахуйте чисту зведену вартiсть обох iнвестицiйних проектiв зефективною вiдсотковою ставкою 4 % рiчних.

3. Покажiть, що дисконтований перiод повернення платежiв за про-ектом А бiльший, нiж за проектом В (без додаткових обчислень).

4. Для обґрунтування Вашої вiдповiдi у пунктi 1 пояснiть, який про-ект для iнвестора з необмеженим капiталом є бiльш прийнятним i чому.

1.8.5. Пiдприємець, що займається автомобiлями, розробляє нову мо-дель машини, яку вироблятиме з 1 сiчня 2002 року протягом шести рокiвдо 31 грудня 2007. Вартiсть розробки становитиме 33 млн грн, з яких18 млн грн буде внесено 1 сiчня 2000 року, 10 млн грн 1 липня 2000 рокуi 5 млн грн 1 сiчня 2001 року.

Собiвартiсть кожної машини буде внесено на початку вiдповiдного ка-лендарного року, i вона становитиме 9 000 грн протягом 2002 року. Цiнупродажу кожної машини буде отримано наприкiнцi календарного рокувиробництва. Собiвартiсть продукцiї i цiна продажу збiльшуватимутьсяна 5 % кожного 1 сiчня, перше збiльшення вiдбудеться 1 сiчня 2003 ро-ку. Також припускається, що 5 000 машин вироблятиметься щороку iщо всi вони продадуться. Цiна продажу кожної машини, яку виробленов 2002 роцi, становить 12 100 грн.

1. Пiдрахуйте дисконтований перiод погашення платежiв з ефектив-ною вiдсотковою ставкою 9 % за рiк.

2. Не проводячи будь-яких наступних обчислень, пояснiть, чи будедисконтований перiод погашення платежiв бiльше, дорiвнювати або мен-ше перiоду, пiдрахованого у пунктi 1, якщо ефективна ставка вiдсоткабуде значно менше, нiж 9 % за рiк.

1.8.6. Iнвестицiйний проект складається з наступних грошових по-токiв. З початку кожного з перших трьох рокiв 180 000 грн буде iнве-стовано в проект. З початку першого року до кiнця 25-го року чистийдохiд надходитиме неперервно. Початкова iнтенсивнiсть виплат чисто-го доходу дорiвнює 25 000 грн за рiк. Iнтенсивнiсть виплат зростатименеперервно зi швидкiстю 6 % на рiк.

1. Пiдрахуйте чисту зведену вартiсть проекту при ефективнiй вiдсот-ковiй ставцi 7 % рiчних.

70

2. Пiдрахуйте дисконтований перiод виплат за проектом при ефектив-нiй вiдсотковiй ставцi 7 % рiчних.

3. Пiдрахуйте рiчну ефективну ставку зростання чистого доходу, якапотрiбна для того, щоб проект мав нульову зведену вартiсть з ефектив-ною вiдсотковою ставкою 7 % рiчних.

1.8.7. Iнвестор позичив 120 000 грн, причому щорiчна ефективна вiд-соткова ставка дорiвнює 7 %. За цi грошi вiн придбав ануїтет розмiром14 000 грн на рiк, що виплачуються щопiвроку iз заборгованiстю про-тягом 25 рокiв. Як тiльки позику буде виплачено, вiд виплат ануїтетуiнвестор може отримувати дохiд з рiчною ставкою 5 %.

1. Визначте дисконтований перiод повернення платежiв.2. Визначте прибуток iнвестора до кiнця термiну ануїтету.1.8.8. На 1 сiчня 2001 року в фондi накопичено суму в 120 000 грн

1 листопада 2001 року фонд отримав надходження 20 000 грн у чистомувиглядi, потiм 1 травня 2002 року фонд отримав 48 000 грн у чистомувиглядi. Безпосередньо перед надходженням першої суми в фондi було137 000 грн, а безпосередньо перед надходженням другої суми фонд мав173 000 грн. На 31 грудня 2002 року в фондi було 205 000 грн.

1. Обчислiть рiчну ефективну зважену часом норму прибутку, щовiдповiдає прибуткам фонду за перiод з 1 сiчня 2001 року до 31 грудня2002 року.

2. Проаналiзуйте вiдноснi сильнi та слабкi сторони використання зва-женої часом вiдсоткової норми прибутку у порiвняннi зi зваженою гро-шима нормою прибутку, коли порiвнюються переваги двох iнвестицiйнихпроектiв за один перiод.

1.8.9. Нижче надано iнформацiю щодо iнвестицiйних капiталовкла-день (всi суми в сотнях мiльйонiв гривень):

Календарний рiк 2000 2001 2002

Вартiсть фонду на 1 сiчня до потоку готiвки 100 80 200Чистий потiк готiвки, отриманий на 1 сiчня 20 30 10Вартiсть фонду на 31 грудня 80 200 200

Пiдрахуйте ефективну рiчну норму прибутку, зважену часом, за трироки.

1.8.10. Iнвестор обмiрковує два iнвестицiйних проекти, А та B. Вобох витрати становлять 1 млн грн. За проектом А буде отримано єди-ний платiж розмiром 1,7 млн грн через вiсiм рокiв. За проектом B будеотримано суму в 1 млн грн через 8 рокiв, 321 тис. грн через 9 рокiв,229 тис. грн через 10 рокiв i 245 тис. грн через 11 рокiв.

1. Визначте ставку вiдсотка i1, за якої чистi сучаснi значення обохпроектiв однаковi.

71

2. За допомогою загальних мiркувань або обчислень покажiть, що завiдсоткової ставки i2 < i1 чисте сучасне значення для проекту B будевищим, нiж для A.

1.8.11. Iнформацiю про пенсiйний фонд подано в таблицi нижче (су-ми наведено в тисячах гривень).

Пiдрахуйте рiчну зважену часом норму прибутку, отриманого фондомза перiод з 1 сiчня 1997 року по 1 сiчня 2000 року.

Кален-дарнийрiк

Вартiстьфонду на1 сiчня

Вартiсть фондуна 30 червня

Чистий потiк готiвки,отриманий на 1 липня

1997 180 212 251998 261 230 181999 273 295 162000 309 — —

1.8.12. Нижче надано iнформацiю, що стосується iнвестицiйногофонду (суми наведено в мiльйонах гривень):

Календарний рiк 1997 1998 1999 2000

Вартiсть фонду на 30 червня — 460 500 650Грошовi надходження, отриманi 1 липня — 50 40 60Вартiсть фонду на 31 грудня 400 550 600 X

Якщо норма прибутку, зважена часом, що її зароблено фондом про-тягом перiоду з 31 грудня 1997 року по 31 грудня 2000 року, становить11 % рiчних, пiдрахуйте X, вартiсть фондiв на 31 грудня 2000 року.

1.8.13. Компанiя швидкого приготування їжi планує вiдкрити новуторговельну точку. Початкова вартiсть проекту дорiвнює 1 000 000 грн.Очiкується, що вартiсть оренди розмiром у 40 000 грн рiчних сплачу-ватиметься iнвестором щоквартально авансом впродовж десяти рокiв,збiльшуючись пiсля десяти рокiв до 48 000 грн рiчних. Чистий дохiд(дохiд мiнус iншi витрати, не враховуючи орендну плату) вiд цiєї комер-цiйної справи очiкується розмiром 100 000 грн впродовж першого рокуi 200 000 грн впродовж другого року. Очiкується, що з цього моментучистий дохiд зростатиме на 3 % рiчних, тобто становитиме 206 000 грнтретього року, 212 180 грн четвертого року i так далi. Доходи надходи-тимуть неперервно впродовж кожного року. Через двадцать рокiв пiсляпочатку проекту дохiд i витрати призупиняться i проект в подальшомуне матиме цiнностi. Пiдрахуйте внутрiшню норму прибутку вiд проекту.

1.8.14. Пенсiйний фонд має активи, що разом становлять 40 млн грнна 1 сiчня 2000 року. Чистий дохiд розмiром у 4 млн грн буде отримано1 сiчня 2001 року i дохiд розмiром у 2 млн грн — 1 липня 2001 року.

72

Вартiсть фонду становить:43 млн грн на 31 грудня 2000 року;49 млн грн на 30 червня 2001 року;53 млн грн на 31 грудня 2001 року.1. Пiдрахуйте за перiод з 1 сiчня 2000 року по 31 грудня 2001 року,

до четвертої значущої цифри:а) рiчну зважену часом норму прибутку;б) зв’язану внутрiшню норму прибутку, при цьому треба використати

пiдiнтервали завдовжки в календарний рiк.2. Вкажiть як у загальному, так i в даному частковому випадку, ко-

ли зв’язана внутрiшня норма прибутку буде такою самою, як i зваженачасом норма прибутку.

1.8.15. Вартiсть iнвестицiйного фонду на 31 грудня 2001 року ста-новила 2,2 млн грн, а на 31 грудня 2004 року — 4,2 млн грн. Такожвiдомо, що 31 грудня 2003 року було отримано грошове надходженняв розмiрi 1,44 млн грн. Норма прибутку, зважена грошима, та нормаприбутку, зважена часом, за перiод з 31 грудня 2001 року по 31 грудня2004 року однаковi (з точнiстю до двох значущих цифр). Визначте вар-тiсть фонду на момент часу безпосередньо перед отриманням грошовогонадходження 31 грудня 2003 року.

1.8.16. Технологiчна компанiя готується виробляти новий чiп в пе-рiод з 1 сiчня 2008 року по 31 грудня 2020 року. Iнвестицiї в це ви-робництво складаються з 6 млн грн, що вносяться 1 сiчня 2006 року,та 12 млн грн, що вносяться неперервно протягом 2007 року. 1 сiчня2008 року можна буде починати виробництво чiпа, передбачається, щоприбуток надходитиме однаковими частинами наприкiнцi кожного пiв-рiччя, 5 млн грн на рiк.

1. Обчислiть дисконтований перiод повернення платежiв при значеннiрiчної ефективної ставки 9 %.

2. Без додаткових обчислень пояснiть, чи буде дисконтований перiодповернення платежiв бiльшим, меншим чи рiвним за значення, обчиле-не у пунктi 1, якщо значення рiчної ефективної ставки стане iстотнобiльшим за 9 %.


1.8.1. Тут ν = 1/1,09 = 0,917431. Шукана зведена вартiсть, тис. грн:

−60 − 25ν2/3 +w 6

25νt dt +

w 10

69νt dt +

w 14

1013νt dt =

=w 18

1417νt dt +

w 22

1821νt dt + 50ν22 = 7,154485.

73

1.8.2. Тут ν = 1/1,1 = 0,909091. Шукана вартiсть, млн грн:

−w 2

010νt dt + 8ν3 + 7,5ν4 + . . . + 3ν13 + 2ν14 + ν15 = 14,591694.

1.8.3. 1. Для iнвестицiйного перiоду: а) дисконтований перiод повер-нення платежiв — перший момент часу, коли чиста зведена вартiстьгрошового потоку iнвестицiйного проекту стає невiд’ємною; б) перiодповернення платежiв — перший момент часу, коли загальний розмiр над-ходжень вiд iнвестицiї стає не меншою за загальнi витрати (при цьомуне враховуються час витрат та отримання надходжень).

2. Дисконтований перiод повернення платежiв вказує лише на пев-ний момент, у який повернуться затраченi на той час кошти, але недає можливостi оцiнити прибутковiсть iнвестицiї в цiлому. Ще меншiнформативним є перiод повернення платежiв, в пiдрахунку якого не ви-користовується час витрат та доходiв. Можливi випадки iнвестицiй, прияких дисконтований перiод повернення платежiв та перiод поверненняплатежiв меншi за тривалiсть проекту, але чиста зведена вартiсть iнве-стицiї — вiд’ємна.

3. Визначимо вартiсть всiх наступних затрат та доходiв, пiдраховануна 1 сiчня 2004 року (в сотнях мiльйонiв гривень), при цьому ν == 1/1,1 = 0,909091.

Вартiсть заявки: 0,2.Початковi витрати на будiвництво (почнуться через 2 роки i тривати-

муть 5 рокiв): w 7

2νt dt = (ν7 − ν2)/lnν = 3,287038.

Поточнi витрати (почнуться через 7 рокiв i триватимуть квартал):w 7,25

7νt dt = (ν7,25 − ν7)/lnν = 0,126773.

Надходження вiд продажу прав на телевiзiйне мовлення (почнутьсячерез 7 рокiв i триватимуть квартал):w 7,25

70,3νt dt = 0,038032.

Вартiсть iнших доходiв становить:0,1ν1/2 + 0,2ν3/2 + . . . + 0,8ν15/2 = 2,240633 (за 2004–2011 роки),

0,8ν17/2 + 0,6ν19/2 + 0,4ν21/2 + 0,2ν23/2 = 0,812332 (за 2012–2015 роки).Нехай стадiон буде продано за суму в X грн (продаж вiдбудеться

через 11 рокiв). Щоб проект був життєздатним, потрiбне виконання не-рiвностi

0,2 + 3,287038 + 0,126773 ≤ 0,038032 + 2,240633 + 0,812332 + ν11X,звiдки X ≥ 1,491649. Тому найменша можлива цiна продажу дорiвнює149,1649 млн грн.

74

1.8.4. 1. Див. розв’язання пункту 2 задачi 1.8.3.2. Маємо ν = 1/1,04 = 0,961538. Чиста зведена вартiсть проекту A

дорiвнює (в мiльйонах гривень) −1 + 3,5ν10 = 1,364475, проекту B

−1 +w 1

00,08νt dt +

w 2

10,09νt dt + . . . +

w 10

90,17νt dt = 0,00731.

3. Оскiльки чиста зведена вартiсть проекту B додатна, грошi надхо-дять неперервно, то дисконтований перiод повернення платежiв меншийвiд десяти рокiв. Для проекту A до кiнця десятого року загальний зведе-ний прибуток буде вiд’ємним, i тому вiдповiдний дисконтований перiоддорiвнює десяти рокам.

4. Очевидно, що проект A привабливiший для iнвестора, нiж про-ект B, оскiльки має значно бiльшу чисту зведену вартiсть. При цьомудисконтований перiод повернення платежiв для проекту A бiльший.

1.8.5. 1. Маємо ν = 1/1,09 = 0,917431. У 2002 роцi собiвартiсть всiхмашин становитиме 5 000 · 9 = 45 000 тис. грн, цiна їхнього продажу —5000 · 12,1 = 60 500 тис. грн, i цi значення збiльшуватимуться на 5 %щороку. Чиста зведена вартiсть проекту на 1 сiчня 2000 року за 3 ≤≤ T ≤ 8 рокiв становитиме, млн грн:

−18 − 10ν1/2 − 5ν+(60,5ν3 − 45ν2

) [1 + 1,05ν + . . . + (1,05ν)T−3

].

Поступово обчислюючи значення цього виразу для T = 3, T = 4 i т. д.,перше невiд’ємне значення отримаємо при T = 6. Тобто вказаний перiодбуде наприкiнцi 2006 року.

2. При значному зменшеннi вiдсоткової ставки дисконтований перi-од повернення платежiв скоротиться. Адже основнi затрати припадаютьна початок проекту, доходи очiкуються пiзнiше. При зменшеннi ставкимайбутнi доходи будуть бiльш вагомими в пiдрахунку чистої зведеноївартостi проекту, i ця вартiсть ранiше буде невiд’ємною.

1.8.6. 1. Маємо ν = 1/1,07 = 0,934579, зробимо всi пiдрахункив тисячах гривень. Iнтенсивнiсть виплат у момент часу t становитиме25(1,06)t . Тодi чиста зведена вартiсть проекту

−180(1 + ν+ ν2) +w 25

025(1,06)tνt dt = 51,61779.

Шукана вартiсть становить 51,617,79 грн.2. Потрiбно визначити таке τ > 2, що зведена вартiсть всiх грошових

потокiв, здiйснених до моменту τ, дорiвнюватиме нулю, тобто

−180(1 + ν+ ν2) +w τ

025(1,06)tνt dt = 0.

Отримуємо рiвняння

25(1,06/1,07)τ − 1

ln(1,06/1,07)= 505,44327,

звiдки τ = 22,42049 рокiв.

75

3. Потрiбно визначити таке α, що

−180(1 + ν+ ν2) +w 25

025(1 + α)tνt dt = 0.

Отримуємо

−180(1 + ν + ν2) + 25[(1 + α)ν]25 − 1

ln[(1 + α)ν]= 0.

Поступово пiдбираємо потрiбне значення. При α = 0,05 лiва частинаостанньої рiвностi дорiвнює −7,169427, при α = 0,06 — 51,617793. Шу-кане значення α можна оцiнити методом лiнiйної iнтерполяцiї

α− 0,05α− 0,06

≈ −7,16942751,617793

,

звiдки α ≈ 0,0512 = 5,12 %.1.8.7. 1. Маємо ν = 1/1,07 = 0,934579. Всi розрахунки робитимемо

у тисячах гривень. Визначимо час t, потрiбний для повернення позики.Беремо найменше t, що задовольняє нерiвнiсть

−120 + 7(ν1/2 + ν + ν3/2 + . . . + νt

)≥ 0, 7ν1/2 1 − νt

1 − ν1/2≥ 120.

Отримуємо, що t ≥ 13,17256. Оскiльки 2t має бути цiлим числом, тошуканий дисконтований перiод повернення платежiв t = 13,5 року.

2. Порахуємо вартiсть отриманого прибутку наприкiнцi 25-го року.Перший дохiд iнвестор отримає в момент часу t = 13,5 року, вiн дорiв-нюватиме

(1,07)13,5[− 120 + 7

(ν1/2 + ν+ ν3/2 + . . . + ν13,5)] =

= (1,07)13,5(− 120 + 7ν1/2 1 − ν13,5

1 − ν1/2

)= 4,55735.

Тому загальний дохiд наприкiнцi 25-го року4,55735(1,05)11,5 + 7

[(1,05)11 + (1,05)10,5 + . . . + 1

]=

= 7,987103 + 71,0511,5 − 11,051/2 − 1

= 221,31036,

тобто вiн становить 221 310,36 грн.1.8.8. 1. Для визначення зваженої часом рiчної норми прибутку i

маємо рiвнiсть

(1 + i)2 =137120

173137 + 20

205173 + 48

,

звiдки i = 0,080249 = 8,0249 %.2. Зважена часом норма прибутку є бiльш iнформативною, оскiльки,

крiм чистих грошових надходжень, враховує i змiну вартостi фондiв ком-панiї. Це дає можливiсть оцiнити якiсть менеджменту компанiї протягомперiоду часу, що розглядається.

76

Певний недолiк використання зваженої часом ставки полягає в тому,що для її визначення потрiбно бiльше iнформацiї, нiж для ставки, зва-женої грошима. Потрiбно знати вартiсть фондiв не тiльки на початку танаприкiнцi термiну, але i в деякi промiжнi моменти.

1.8.9. З визначення зваженої часом рiчної норми прибутку отримуємо

(1 + i)3 =80

100 + 20200

80 + 30200

200 + 20,

звiдки i = 0,0049024 = 0,49024 %.1.8.10. 1. Чистi сучаснi вартостi проектiв однаковi, якщо

1,7ν8 = ν8 + 0,321ν9 + 0,229ν10 + 0,245ν11,тобто якщо 0,7 = 0,321ν + 0,229ν2 + 0,245ν3. Права частина зростає заν, i при i = 7 % маємо рiвнiсть. Тобто шукана ставка дорiвнює i1 = 7 %.

2. Загальнi мiркування: проект B бiльш тривалий за А, тому чиста су-часна вартiсть B зростає швидше при спаданнi i, тобто при i2 < i1 чистесучасне значення буде вище, нiж для A. Iнакше, можно скористатисятим, що в останньому рiвняннi з попереднього пункту права частиназростає при спаданнi i в той час, як лiва частина залишається незмiн-ною. Тому при i2 < i1 чисте сучасне значення проекту B буде бiльшимза сучасне значення А.

1.8.11. Шукана норма прибутку i визначається з рiвностi

(1 + i)3 =212180

230212 + 25

295230 + 18

309295 + 16

,

звiдки i = 0,105445 = 10,5445 %.1.8.12. Використовуючи означення зваженої часом норми прибутку

для i = 0,11 та даних задачi, отримуємо рiвняння

1,113 =460400

500460 + 50

650500 + 40

X

650 + 60.

Звiдси X = 715,501 млн грн.1.8.13. Чиста зведена вартiсть проекту, млн грн:

X = −1 − 0,01(1 + ν1/4 + . . . + ν39/4

)− 0,012ν10

(1 + ν1/4 + . . . + ν39/4

)+

+w 1

00,1νt dt +

w 2

10,2νt dt + 1,03

w 3

20,2νt dt+

+1,032w 4

30,2νt dt + · · · + 1,0318

w 20

190,2νt dt =

= −1 −(0,01 + 0,012ν10) 1 − ν10

1 − ν1/4+ν− 1lnν

[0,1 + 0,2ν

1 − (1,03ν)19

1 − 1,03ν

].

Далi пiдставляємо ν = 1/(1 + i) i пiдбираємо приблизно значення i, дляякого X = 0. При i = 0,15 X = 0,172845, при i = 0,20 X = −0,116815.Бачимо, що X змiнює знак мiж двома взятими значеннями. На малому

77

iнтервалi можемо вважати, що X приблизно лiнiйно залежить вiд i. Iзспiввiдношення

i − 0,15i − 0,20

≈ 0,172845−0,116815

обчислимо i ≈ 0,18 = 18 %.Зауваження. У данiй задачi ми не обґрунтували, що обчислене i є

єдиним можливим.1.8.14. 1. Результати будуть такi: а) для знаходження зваженої часом

рiчної норми прибутку i маємо рiвнiсть

(1 + i)2 =4340

4943 + 4

5349 + 2

,

звiдки i = 0,07921 = 7,921 %;б) весь iнтервал часу вiд 1 сiчня 2000 року до 31 грудня 2001 року

розбито на два пiдiнтервали тривалiстю по одному року. Норму прибуткуi1 для першого пiдiнтервалу визначимо з рiвностi 40(1 + i) = 43, звiдкиi = 0,075. Для другого пiдiнтервалу i2 обчислюємо з рiвняння

43(1 + i2) + 4(1 + i2) + 2(1 + i2)1/2 = 53.Для невiдомої x = (1 + i2)1/2 отримуємо квадратне рiвняння, додатнимрозв’язком якого є x = 1,04085. Звiдси i2 = 0,083368. Iз спiввiдношення(1 + i)2 = (1 + i1)(1 + i2) одержуємо, що шукане значення i = 0,07918(або i = 7,918 %).

2. Вказанi ставки будуть однаковими, якщо, наприклад, межi пiдiн-тервалiв у пiдрахунку зв’язаної внутрiшньої норми прибутку збiгатиму-ться з моментами грошових надходжень у пiдрахунку зваженої часомнорми прибутку. В даному випадку треба брати три пiдiнтервали: вiд01.01.2000 до 01.01.2001, вiд 01.01.2001 до 01.07.2001 та вiд 01.07.2001до 31.12.2001.

1.8.15. Використовуючи означення норми прибутку, зваженої гроши-ма, та данi задачi, отримуємо рiвняння

2,2(1 + i)3 + 1,44(1 + i) = 4,2,

розв’язок якого з точнiстю до двох значущих цифр i = 6,60 % можнапiдiбрати. Використовуючи обчислене значення як норму прибутку, зва-жену часом, для шуканої вартостi фонду F отримуємо рiвнiсть:

1,0663 =F

2,24,2

F + 1,44.

Тому F = 2,5 млн грн.1.8.16. 1. Всi пiдрахунки провадитимемо в мiльйонах гривень на

момент 1 сiчня 2006 року при ν = 1/1,09 = 0,917431. Вартiсть iнвестицiй

9 + 12w 2

1νt dt = 19,54814.

78

Пiсля k надходжень прибутку iнвестор поверне собi

2,5[ν5/2 + ν3 + . . . + ν(k+4)/2] = 2,5

ν5/2

ν1/2 − 1

(νk/2 − 1

).

При k = 12 вартiсть повернутої суми дорiвнює 19,294157, при k = 13 —20,495909. Тому саме 13-те надходження прибутку повертає iнвесторувкладенi кошти. Дисконтований перiод повернення платежiв дорiвнює8,5 року.

2. Всi прибутки iнвестицiйного проекту надходять пiсля iнвестицiй.При збiльшеннi вiдсоткової ставки вартiсть прибуткiв зменшиться знач-нiше за вартiсть iнвестицiй. Дисконтований перiод повернення платежiвзбiльшиться.

1.9. СПОСОБИ IНВЕСТУВАННЯ


Урядова облiгацiя (government bond) — облiгацiя, що випускаєтьсяурядом або урядовою органiзацiєю. Її можна погасити за номiналом, та-кож вище або нижче номiналу. Ставка виплачуваного вiдсотка є фiксо-ваною. Дата повернення вартостi облiгацiї може бути невизначеною.

Урядовий вексель (government bill) випускається на короткий термiнз метою задовольнити термiновi потреби держави в грошах. Погашаєть-ся за номiналом без виплат за купонами. Урядовi облiгацiї та векселiабсолютно захищенi державою i дуже високолiквiднi. Часто використо-вуються як еталонна безризикова короткотривала iнвестицiя.

Корпоративна облiгацiя (corporate bond) менш захищена, нiж уря-дова. Рiвень захисту залежить вiд виду облiгацiї, компанiї, що її випу-скала i строку дiї. Корпоративна облiгацiя менш лiквiдна, нiж урядова,тому що обсяги випуску таких облiгацiй набагато меншi.

Боргова облiгацiя (debenture stock) — боргове зобов’язання загаль-ного характеру, є частиною боргового капiталу компанiї. Вона бiльшризикова за урядову облiгацiю i, як правило, менш лiквiдна. Дохiд iнве-стора вищий, нiж за урядовою облiгацiєю. Видається на досить довгийстрок. Вiдсоток фiксовано.

Незабезпечена облiгацiя (unsecured loan stock) видається певноюкомпанiєю i не захищена вiд ризику збиткiв. Прибуток вищий за борговуоблiгацiю.

Єврооблiгацiя (eurobond) — одна з форм довгострокової позики, щополягає у виданнi облiгацiї, за якою регулярно сплачуються вiдсотки,а потiм вiдбувається погашення за номiналом. Єврооблiгацiї видаютьсявеликими компанiями, урядовими або мiжнародними органiзацiями i роз-

79

повсюджуються поза межами країни, у валютi якої їх деномiновано. До-хiд залежить вiд того, яка органiзацiя видала облiгацiю, але, як правило,вiн нижчий вiд доходу за незахищеними облiгацiями.

Депозитний сертифiкат (certificate of deposit) — документ, що за-свiдчує наявнiсть грошей на депозитi. Видається банком або будiвельноюкомпанiєю. Термiн погашення депозитного сертифiкату — вiд 28 днiв до6 мiсяцiв. Вiдсоток сплачується в момент погашення. Мiра захищеностiта лiквiдностi залежить вiд банку або компанiї, що видає сертифiкат.Iснує чималий вторинний ринок вторинних сертифiкатiв на депозити.

Привiлейована акцiя (preference stock) має характеристики, ближчiдо незабезпечених облiгацiй, нiж до звичайних акцiй. Основна рiзницямiж звичайними i привiлейованими акцiями полягає в тому, що фiксова-на сума дивiдендiв за останнiми виплачується майже завжди. Власникипривiлейованих акцiй зберiгають право голосу навiть у випадку, колидивiденди не сплачуються. Якщо компанiя має борг за привiлейованимиакцiями, вона не сплачує дивiдендiв за звичайними. Дохiд за привiле-йованими акцiями менший, нiж за звичайними, бо вони менш ризиковi.Лiквiднiсть їх є подiбною до лiквiдностi незахищених облiгацiй.

Власнiсть (property) може бути об’єктом iнвестування, це, напри-клад, заводи, магазини тощо. Дохiд вiд iнвестицiй у власнiсть склада-ється з виплати ренти та коштiв, що можуть надiйти вiд її продажу.Iнвестицiї у власнiсть, як правило, бiльшi, нiж в акцiї, тому менш гнуч-кi. Власнiсть важко оцiнити, бо вона є унiкальною. Оцiнка власностiдорого коштує. Дохiд вiд її продажу є невизначеним. Витрати на ку-пiвлю i продаж вищi, нiж для акцiй. Власнiсть у деякi перiоди можебути нiчиєю, тодi i доходiв вiд неї нема. Лiквiднiсть власностi невелика.Доходи вiд iнвестування у власнiсть вищi, нiж в акцiї, причому вонизростають з часом.

Дериватив, або похiдний цiнний папiр (derivative) — фiнансовий iн-струмент, вартiсть якого залежить вiд вартостi iншого первинного папе-ру. Опишемо наступнi деривативи.

Ф’ючерс (future) — контракт (угода ) мiж двома сторонами, якийполягає в тому, що фiксований актив буде продано у деякий момент умайбутньому за фiксованою цiною. Ф’ючерси подiляються на 4 основнiкатегорiї: ф’ючерси на облiгацiю, ф’ючерси на короткостроковi вiдсотковiставки, ф’ючерси на бiржовi iндекси, ф’ючерси на валюту.

Опцiон (option) — дериватив, що дає iнвестору право, але не зобо-в’язує його, купити або продати фiксований актив за фiксованою цiноюу фiксований момент часу в майбутньому. Бувають опцiони купiвлi таопцiони продажу. Опцiон Американського типу можна подати до вико-нання в будь-який момент вiд 0 до T , де T — кiнцева дата виконання.Опцiон Європейського типу має фiксовану дату виконання.

80

Своп (swap) — угода мiж двома сторонами, за якою вони погоджу-ються обмiнятися серiєю виплат за формулою, обумовленою в моментпiдписання угоди. Найбiльш поширена форма — своп на вiдсоткову став-ку, в якому одна сторона погоджується виплатити iншiй деяку кiлькiстьфiксованих сум у фiксованi моменти часу. Натомiсть, iнша сторона по-годжується зробити певну кiлькiсть виплат невизначеного обсягу, зале-жного вiд рiвня вiдсоткової ставки. Фiксованi виплати можна трактуватияк вiдсотковi виплати за депозитом з фiксованим вiдсотком, а змiннi ви-плати — як виплати за тим самим депозитом, але з плаваючою ставкою.Бувають також валютнi свопи. Кожний учасник свопу зазнає два видиризику. Ринковий ризик (market risk) полягає у тому, що ринковi умовизмiняться так, що сучасне значення чистих витрат, зумовлених прое-ктом, зросте. Ринковий ризик треба намагатися хеджувати, включаючийого в компенсацiйну угоду. Кредитний ризик (credit risk) полягає у то-му, що партнер може збанкрутувати i буде не в змозi зробити виплатиза контрактом.

Конвертованi активи (convertible assets) — як правило, незахищенiоблiгацiї або привiлейованi акцiї, якi конвертуються у звичайнi акцiї тi-єї самої компанiї. За конвертованими активами сплачується фiксованийвiдсоток. Дата конвертування може бути фiксованою або, за виборомвласника активу, одною з множини фiксованих дат. Дохiд за конверто-ваними активами, як правило, нижчий, нiж за звичайними акцiями, алевищий, нiж за привiлейованими акцiями або незахищеними облiгацiя-ми. Конвертованi активи зазнають менших змiн у цiнi. Вони обiцяютьiнвестору менший ризик з потенцiйно високими прибутками. “Платою”за це є менший поточний дохiд.

Задачi

1.9.1. 1. Визначте характеристики урядових iндексованих облiгацiй.2. Пояснiть, чому бiльшостi iндексованих облiгацiй на практицi при-

таманний iнфляцiйний ризик.1.9.2. З’ясуйте основнi розбiжностi мiж привiлейованою та звичай-

ною акцiями.1.9.3. Опишiть основнi ознаки i ризиковi характеристики урядової

облiгацiї.1.9.4. Дайте означення депозитного сертифiката.1.9.5. Якi грошовi потоки беруть участь у “вiдсотковому свопi”?1.9.6. Що таке “валютний своп”?1.9.7. Деяка компанiя випускає незабезпеченi акцiї i незахищенi бор-

говi акцiї. Опишiть рiзницю мiж цими двома типами активiв.

81

1.9.8. Страхова компанiя має пасиви, для погашення яких буде зроб-лено серiю готiвкових виплат, i цi виплати розтягнуто на найближчi10 рокiв. Всi iнвестицiї компанiї мiстяться в готiвцi. Опишiть формусвоп-контракту з фiксованим вiдсотком, що мiг би допомогти страховiйкомпанiї iмунiзувати її заборгованостi.


1.9.1. 1. Облiгацiю видає уряд i виплати робить вiн же. Виплати закупонами залежать вiд iндексу iнфляцiї (як правило, вiн обчислюєтьсяз затримкою). В зв’язку з цим облiгацiя є захищеною вiд iнфляцiї.

2. Виплати за бiльшiстю з указаних облiгацiй залежать вiд iндексуiнфляцiї, обчисленого iз деякою затримкою в часi. Тому є розбiжнiстьмiж моментом, на який обраховується iндекс iнфляцiї, потрiбний длявиплати за облiгацiєю, i датою самої виплати. Якщо iнфляцiя мiж ци-ми датами насправдi вища, нiж очiкувалось, фактична вартiсть виплатизменшиться.

1.9.2. Дивiденди за привiлейованою акцiєю є фiксованими, а за зви-чайною сплачуються залежно вiд прибуткiв компанiї, згiдно з рiшеннямради директорiв. Дивiденди за привiлейованою акцiєю сплачуються впершу чергу; нiяких дивiдендiв за звичайними акцiями не сплачується,поки є борги за привiлейованими акцiями. Власники привiлейованихакцiй мають переваги у прийняттi рiшень радою директорiв.

1.9.3. Урядовi облiгацiї є короткотривалими цiнними паперами, якiвипускаються урядом з метою провести короткотривале iнвестування абовiддати борги. Їх продають за дисконтованою цiною (нижче номiналу) iвикуповують за номiналом; за ними не сплачують купонiв. Як правило,вони перераховуються у внутрiшнiй валютi, хоча випускатися можуть iв iноземнiй. Дохiд за урядовими облiгацiями обраховується за простоювiдсотковою ставкою, що вiдповiдає їх строку дiї, наприклад, тримiсячнаурядова облiгацiя може мати вiдсоткову ставку в розмiрi 2 %. Це озна-чає, що початковий внесок буде на 2 % менший, нiж остаточна виплатачерез три мiсяцi. Урядовi облiгацiї є захищеними i високолiквiдними, не-зважаючи на те, що їхнi котирування на бiржi не встановлено. Їх частовикористовують як еталонну безризикову короткострокову iнвестицiю.

1.9.4. Депозитний сертифiкат засвiдчує, що певну суму грошей по-кладено на депозит. Цi сертифiкати видаються банками або будiвельни-ми компанiями. Строк виконання може коливатися вiд 28 днiв до 6 мi-сяцiв. Вiдсотки сплачуються в момент погашення. Мiра захищеностi талiквiдностi залежить вiд банку, який видав сертифiкат. Iснує чималийвторинний ринок депозитних сертифiкатiв.

82

1.9.5. Одна зi сторiн погоджується виплачувати вiдсотки за плаваю-чою ставкою, а одержувати виплати за фiксованою ставкою, iнша сторонапогоджується виплачувати за постiйною ставкою, а одержувати платежiза плаваючою ставкою. Фiксованi виплати вiдбуваються в узгодженi мо-менти часу з постiйною ставкою, а змiннi виплати пов’язуються з рiвнемкороткострокової вiдсоткової ставки.

1.9.6. Валютний своп — угода про те, що у встановленi моментичасу даний грошовий потiк в однiй валютi буде конвертовано у грошовийпотiк в iншiй валютi.

1.9.7. Боргова акцiя — частина боргового капiталу компанiї. Термiн“борговий капiтал”, як правило, стосується довгострокових позик, а некороткострокових. Компанiя, що випустила борговi акцiї, дотримуєтьсяпевних форм захисту їхнiх власникiв. Як правило, цей захист полягаєу заставi лiквiдних активiв компанiї. Незабезпеченi акцiї не мають ви-значених активiв, що їм вiдповiдають, i їхнi власники займають своємiсце серед iнших незахищених кредиторiв. Доходи тут встановлюютьсявищими, нiж за борговими акцiями через вищий ризик дефолту.

1.9.8. Придбання довготривалого свопу з фiксованим вiдсотком длясплати плаваючого вiдсотку i отримання фiксованого дасть можливiстькомпанiї отримувати платежi з фiксованим вiдсотком для iмунiзацiї спла-ти за зобов’язанням. Зобов’язання сплачувати за плаваючим вiдсоткомможна виконати з прибуткiв вiд iнвестицiй, що зробленi страховою ком-панiєю.

1.10. ВИКОРИСТАННЯ СКЛАДНИХ ВIДСОТКIВУ ПIДРАХУНКУ ПРИБУТКУТА ЕФЕКТИВНОЇ ВIДСОТКОВОЇ СТАВКИ


Норма грошового прибутку, або внутрiшня норма прибутку —ставка дисконтування, яка прирiвнює початкове iнвестування до сумиусiх дисконтованих надходжень за iнвестицiєю. Якщо i — норма гро-шового прибутку, то вiдповiдний дисконтний множник ν = 1/(1 + i)визначається з рiвняння

P =n∑

k=1

Xkνtk ,

де P — початкове iнвестування; Xk — надходження за iнвестицiєю вмомент tk. Це рiвняння звичайно розв’язується наближено: вибираються

83

два достатньо близькi значення i1 та i2 норми прибутку, для одногозяких значення правої частини менше за P, для iншого — бiльше, тодiнаближене значення

i = i1 + (P − P1)i2 − i1P2 − P1

.

Реальна норма прибутку обчислюється з урахуванням сталої iнфляцiїr = (1 + i)/(1 + ξ) − 1, де i — норма грошового прибутку; ξ — рiвеньiнфляцiї.

Надходження iнвестора зазвичай обкладаються податками, якi подi-ляються на податок на прибуток (прибутковий податок, income tax) i по-даток на прирiст капiталу (capital gains tax). Податку на прибуток пiдля-гають регулярнi вiдсотковi виплати (купоннi виплати, виплати вiдсоткiвза позикою, дивiдендiв, тощо). Натомiсть податок на прирiст капiталусплачується не бiльш одного разу для кожного контракту — оподаткову-ється рiзниця мiж виплатою при погашеннi акцiї чи iншого активу та їїцiною (якщо ця рiзниця додатна).

Корисною при розглядi оподаткування може бути формула Мейкема,що полягає в наступному. Нехай вiдсотковi виплати за позикою здiй-снюються p разiв на рiк iз заборгованiстю, а саму позику буде повернутопiсля n (не обов’язково цiле число, але кратне 1/p) рокiв виплатою роз-мiром C. Якщо податок на прибуток iнвестора дорiвнює t1, податок наприрiст капiталу вiдсутнiй, рiчнi вiдсотковi виплати становлять g, а ефе-ктивним чистим (без податкiв) рiчним доходом iнвестора є i, то цiна, якумає сплатити iнвестор у день вiдсоткової виплати (якої вiн не отримає),дорiвнює

P = K + (C − K)g(1− t1)

i(p),

де K = Cνn — сучасна вартiсть капiтальної виплати; g (1 − t1) (C −− K)/i(p) — сучасна вартiсть вiдсоткових виплат.

Зауважимо, що формула Мейкема залишається вiрною, якщо позикаповертається кiлькома виплатами, що здiйснюються в моменти вiдсотко-вих виплат (вiдразу пiсля останнiх). З формули Мейкема, зокрема, ви-пливає, що прирiст капiталу буде в тому i тiльки в тому випадку, колиg(1 − t1) < i(p). При цьому цiнний папiр найвигiднiше для позичальникапогашати в останнiй можливий момент (якщо вiн має можливiсть виби-рати дату погашення). Якщо g(1− t1) ≥ i(p), то немає приросту капiталу(вiдповiдно й податок на прирiст капiталу не сплачується), а цiннийпапiр найвигiднiше погашати при першiй нагодi.

Зауважимо також, що, взагалi кажучи, формула Мейкема не є вiр-ною, якщо позичання або капiтальна виплата здiйснюється не в моментвiдсоткової виплати.

84

Задачi

1.10.1. Iнвестор заплатив 500 грн у момент t = 0 i 200 грн два рокипотому. Одержить вiн 1 000 грн через 5 рокiв. Визначити внутрiшнюнорму прибутку вiд цiєї операцiї.

1.10.2. Особа, що позичила 3 000 грн у борг, погодилась сплатитицей борг 15 рiчними виплатами по 500 грн, причому першу виплату будездiйснено через 5 рокiв. Визначити внутрiшню норму прибутку вiд цiєїоперацiї.

1.10.3. Звичайна акцiя приносить щорiчний дохiд у дивiдендах. Пер-ший дивiденд очiкується розмiром 5 коп за акцiю i його виплатять черезтри мiсяцi. Очiкується, що наступнi дивiденди зростуть зi ставкою, щостановить 4 % за рiк у складних вiдсотках, i що iнфляцiя буде 1,5 %рiчних. Цiна акцiї 1 грн 25 коп i дивiденди очiкуються довiчно. Пiдра-хуйте ефективну реальну рiчну норму прибутку iнвестора, що придбавакцiю.

1.10.4. 1. Опишiть характернi ризики випущених урядом облiгацiй зфiксованим вiдсотком.

2. За урядовою облiгацiєю купони виплачуються наприкiнцi кожно-го року в кiлькостi 8 % номiнальної вартостi облiгацiї. Через 5 рокiвзроблять виплату за капiталом в обсязi половини номiнальної вартостiоблiгацiї негайно пiсля оплати купона. Капiтал повертатимуть за номi-нальною цiною. Пiсля закiнчення 5-го року купони платитимуть тiлькиза ту частину (основного) капiталу, що ще не повернуто. Наприкiнцi10-го року весь капiтал, що залишився, буде повернуто. Пiдрахуйте цiнупокупки облiгацiї номiналом у 100 грн на момент випуску, що забезпе-чує покупцевi ефективну чисту норму прибутку 6 % на рiк. Покупецьплатить податок за ставкою 30 % тiльки за виплати за купонами.

1.10.5. Припустимо, що постiйний рiвень iнфляцiї становить 2,5 %на рiк. Iнвестор купив державну iндексовану облiгацiю за цiною, щозабезпечує реальну рiчну ефективну норму прибутку 2 %. Облiгацiюзгодом буде погашено. Пояснiть, чому реальний дохiд при погашеннiзнижуватиметься, якщо постiйна iнфляцiя буде вище, нiж 2,5 % на рiк.

1.10.6. Iнвестор придбав облiгацiю через три мiсяцi пiсля випуску.Облiгацiю буде погашено за номiнальною цiною через 10 рокiв пiслявипуску i за нею виплачуються купони у розмiрi 6 % рiчних щорiчно ззаборгованiстю. Iнвестор виплачує 25 % податку як на прибуток, так i наприрiст капiталу (за вiдсутностi пiльги на податок з приводу iндексацiї).

1. Пiдрахуйте цiну, за якою придбано облiгацiю в 100 грн номiналу,якщо ефективна норма прибутку дорiвнює 8 % рiчних.

2. Ефективна норма прибутку, яка очiкується iнвестором вiд облiгацiї,становить 3 % на рiк. Пiдрахуйте щорiчну iнфляцiю, яку очiкує iнвестор.

85

1.10.7. Iнвестор придбав облiгацiю номiналом 100 грн з термiном по-гашення 20 рокiв. Облiгацiя погашається за номiналом i приносить дохiдбрутто 6 %. Наприкiнцi кожного року сплачуються купони розмiром 5 %.Доходи iнвестора не оподатковуються.

1. Пiдрахуйте цiну, сплачену при покупцi облiгацiї.2. Через десять рокiв, вiдразу пiсля сплати купона, iнвестор продає

облiгацiю iншому iнвестору. Той iнвестор сплачує податок на прибутокi податок на прирiст капiталу за ставкою 30 %. Другий iнвестор купуєоблiгацiю за цiною, що забезпечує отримання реальної норми прибутку6,5 % рiчних. Пiдрахуйте:

а) цiну, сплачену другим iнвестором;б) ефективну рiчну норму прибутку першого iнвестора за перiод во-

лодiння ним облiгацiєю.1.10.8. 15 березня 1996 року уряд країни випустив iндексованi облi-

гацiї строком на 6 рокiв. Купони мають виплачуватися наприкiнцi ко-жного пiврiччя i рiчна номiнальна ставка купона становить 3 %. Вiдсо-тковi i капiтальнi виплати iндексуються з урахуванням iндексу iнфляцiїiз запiзненням у часi на 8 мiсяцiв.

Iнвестор, доходи якого не оподатковуються, купив акцiю за 111 грн,при номiнальнiй вартостi 100 грн, 16 вересня 1999 року, вiдразу пiслятого, як купон був виплачений.

Дано наступнi значення iндексу iнфляцiї:

Дата Iндекс iнфляцiї

Липень 1995 110,5Березень 1996 112,1Липень 1999 126,7Вересень 1999 127,4

1. Пiдрахуйте суму купона, який виплачується за акцiю номiналом у100 грн 15 березня 2000 року.

2. Пiдрахуйте ефективний рiчний реальний прибуток iнвестора на16 вересня 1999 року. Вважайте, що iндекс iнфляцiї зростатиме постiйновiд його значення на вересень 1999 року з ефективною ставкою в 4 %рiчних.

3. Без подальших обчислень пояснiть, якою буде Ваша вiдповiдь напитання пункту 2, якщо iндекс iнфляцiї за липень 1995 року буде вищимза 110,5.

1.10.9. Iнвестор придбав акцiю в момент випуску за цiною 96 грн за100 грн номiналу. Купони з рiчною ставкою 4 % сплачуються наприкiнцiкожного року. Облiгацiю буде викуплено за номiналом через 20 рокiвпiсля дати випуску. Пiдрахуйте дохiд брутто вiд облiгацiї.

86

1.10.10. За звичайною акцiєю щороку сплачуються дивiденди. На-ступний дивiденд буде 10 грн за акцiю i буде сплачений через 9 мiсяцiв.Очiкується, що наступнi дивiденди зростатимуть зi ставкою 5 % рiчних,i що iнфляцiя становитиме 3 % за рiк. Цiна акцiї дорiвнює 250 грн тадивiденди сплачуватимуться довiчно.

Пiдрахуйте очiкувану ефективну реальну норму прибутку за рiк дляiнвестора, який придбав акцiю.

1.10.11. За облiгацiєю купон розмiром 7 % рiчних виплачується що-пiвроку, 1 квiтня i 1 жовтня. Облiгацiю буде викуплено за номiналомв один iз днiв 1 квiтня мiж 1 квiтня 2004 року i 1 квiтня 2010 рокувключно на розсуд її власника.

1 липня 1991 року iнвестор придбав облiгацiї номiнальною вартiстю10 000 грн за цiною, яка дає чистий прибуток 6 % ефективних рiчнихпри сплатi податку в розмiрi 25 % на купонну виплату.

1 квiтня 1999 року iнвестор продав облiгацiю за цiною, що дала чи-стий прибуток 5 % рiчних, iншому покупцевi, який також оподатковує-ться за ставкою 25 % на виплати по купонах.

1. Пiдрахуйте цiну, за якою перший iнвестор придбав облiгацiю.2. Пiдрахуйте цiну, за якою перший iнвестор продав облiгацiю.1.10.12. 1 червня 2000 року уряд випустив iндексованi облiгацiї, якi

будуть викупленi 1 червня 2002 року. Кожна облiгацiя має номiнальнурiчну купонну ставку 3 %, що буде виплачуватись наприкiнцi щопiвроку,номiнальна цiна викупу дорiвнює 100 грн. Кожна купонна виплата тацiна викупу iндексуються вiдповiдно до зростання iндексу роздрiбнихцiн, починаючи з 6 мiсяцiв перед випуском облiгацiї до 6 мiсяцiв передмоментом виплати.

Значення iндексу роздрiбних цiн наведено нижче.

Дата Iндекс цiн

Грудень 1999 100Червень 2000 102Грудень 2000 107Червень 2001 111Грудень 2001 113Червень 2002 118

1. Iнвестор придбав облiгацiї номiнальною вартiстю 100 000 грн у мо-мент випуску i тримає їх до погашення. Цiна продажу в момент випускудорiвнювала 94 грн за 100 грн номiналу облiгацiї. Обчислiть чистийгрошовий потiк, який отримає вiд цiєї iнвестицiї iнвестор.

2. Iнвестор має сплатити прибутковий податок у розмiрi 25 % таподаток на прирiст капiталу у розмiрi 35 %. При пiдрахунку приростукапiталу, що обкладається вiдповiдним податком, цiна, сплачена за iн-

87

вестицiю, iндексується у вiдповiдностi з тим, як зрiс iндекс роздрiбнихцiн мiж мiсяцем, коли iнвестицiю було придбано i мiсяцем, коли облiгацiїбуло викуплено.

Обчислiть:а) розмiр податку на прирiст капiталу, яку має сплатити iнвестор за

цю iнвестицiю;б) рiчний чистий ефективний прибуток, що отримав iнвестор вiд цих

облiгацiй.1.10.13. Iнвестор придбав тримiсячну облiгацiю казначейства номi-

налом у 100 грн за 91 грн. Через мiсяць вiн продав облiгацiю другомуiнвестору за цiною 93,90 грн. Другий iнвестор тримав облiгацiю до за-кiнчення термiну дiї, коли її було погашено за номiналом. Визначте, якийз iнвесторiв має бiльшу рiчну ефективну норму прибутку.

1.10.14. Нехай у країнi прибутковий податок i податок на прирiсткапiталу виплачуються 1 квiтня кожного року вiдповiдно до прибутку запопереднi 12 мiсяцiв.

Облiгацiї з фiксованим вiдсотком випущено 1 сiчня 2003 року i будевикуплено через 25 рокiв за 110 % вiд номiналу. Купоннi виплати станов-лять 8 % на рiк i виплачуються наприкiнцi кожного пiврiччя. Iнвестор,що має сплачувати прибутковий податок у розмiрi 25 % та податок наприбуток капiталу у розмiрi 30 %, за 9 000 грн, придбав облiгацiї номi-налом 10 000 грн.

1. Припускаючи розмiр iнфляцiї 3 % на рiк протягом всього часудiї облiгацiї, обчислiть реальний чистий прибуток iнвестора, якщо вiнтримає всi свої облiгацiї до часу викупу.

2. Без будь-яких подальших обчислень пояснiть, як i чому змiнитьсяВаша вiдповiдь на пункт 1, якщо податки виплачуватимуться 1 червнязамiсть 1 квiтня.

1.10.15. За звичайною акцiєю сплачуються рiчнi дивiденди, причомунаступний дивiденд, що має бути сплаченим через 10 мiсяцiв, очiкуєтьсярозмiром у 5 коп. З цього моменту дивiденди зростають на 3 % щороку.Iнфляцiя становитиме 2 % на рiк впродовж всього перiоду. Пiдрахуйтевартiсть акцiї, якщо припускається, що реальний прибуток буде 2,5 %рiчних, конвертованих щопiвроку.

1.10.16. За цiнним папером виплачуються купони з фiксованим вiд-сотком 8 % рiчних щопiвроку 1 сiчня та 1 липня. Цiнний папiр можнапогасити за номiналом на яке-небудь 1 сiчня мiж 1 сiчня 2006 року та1 сiчня 2011 року включно за вибором його власника.

Iнвестор придбав цей цiнний папiр 1 сiчня 2001 року вiдразу ж пiслясплати купона, за цiною, яка дала йому чистий дохiд як мiнiмум 5 %рiчних. Iнвестор сплачує прибутковий податок 40 % i податок в 30 %на прирiст капиталу. 1 сiчня 2003 року вiдразу ж пiсля виплати купона

88

iнвестор продав право на володiння папером фонду, який не сплачуєподаткiв, за цiною, що дає фонду дохiд принаймнi 7 % рiчних.

Пiдрахуйте:а) цiну за 100 грн номiналу, за якою iнвестор придбав цiнний папiр;б) цiну за 100 грн номiналу, за якою iнвестор продав цiнний папiр;в) чистий прибуток за рiк, що конвертується щопiвроку, який iнве-

стор дiйсно отримав за два роки, коли вiн володiв цiнним папером.1.10.17. 1. Опишiть характеристики звичайних акцiй.2. Очiкувана прибутковiсть за дивiдендами для звичайної акцiї ви-

значається як вiдношення розмiру наступного очiкуваного дивiденда допоточної цiни акцiї. Для певної акцiї чистий ефективний прибуток очiку-ється у розмiрi 5 % на рiк. Очiкуваний рiвень iнфляцiї становить 2 % нарiк. Також очiкується, що дивiденди зростатимуть на 3 % кожного року.Дивiденди сплачуватимуться щомiсячно i першi дивiденди буде сплаченочерез 6 мiсяцiв. Порахуйте очiкувану прибутковiсть за дивiдендами дляцiєї акцiї.

1.10.18. Цiнний папiр з фiксованим вiдсотком, за яким щопiврокусплачуються купони у розмiрi 4 % на рiк i який погашається за 110 %номiналу через 20 рокiв пiсля випуску, було випущено 1 сiчня даногороку. Iнвестор, що сплачує податки на прибуток i на прирiст капiталу урозмiрi 25 % кожний, придбає цiнний папiр у день випуску. Податок наприбуток за купонами сплачується наприкiнцi року. Податок на прирiсткапiталу сплачується при погашеннi.

Пiдрахуйте:а) цiну (у вiдсотках вiд номiналу), сплачену iнвестором, якщо його

ефективний чистий прибуток становить 6 % на рiк;б) тривалiсть чистих прибуткiв для iнвестора, який сплачує прибутко-

вий податок у розмiрi 25 %, але не сплачує податок на прирiст капiталу,якщо ефективна норма прибутку iнвестора 6 % на рiк.

1.10.19. Кредит розмiром у 100 000 грн надається пiд 7 % рiчних, якiсплачуються iз заборгованiстю раз у пiвроку. Кредит буде сплачено роз-мiром 110 грн за 100 грн номiналу в деякий момент мiж 10 та 15 рокамипiсля дати випуску, причому дату виплати вибирає боржник.

Iнвестор, який зобов’язаний сплачувати податок на прибуток у розмiрi25 % i податок на прирiст капiталу в розмiрi 30 %, бажає придбативесь кредит у момент випуску за цiною, яка гарантує чистий реальнийприбуток принаймнi 5 % рiчних.

1. Визначте, чи дiйсно iнвестор отримає прирiст капiталу, якщо iнве-стицiя перебуває в його розпорядженнi до сплати.

2. Пояснiть, як Ваша вiдповiдь на питання пункту 1 вплине на при-пущення, зробленi при пiдрахунку цiни, сплаченої iнвестором.

3. Пiдрахуйте максимальну цiну, яку сплатить iнвестор.

89

1.10.20. Позику номiналом 1 650 000 грн буде видано у виглядi облi-гацiй номiналом 100 грн з щопiврiчними вiдсотковими виплатами заставкою 5,5 % рiчних.

Позику буде повернуто у розмiрi 110 % номiналу, перше погашення1 000 облiгацiй вiдбудеться через 5 рокiв. Кожного наступного року пi-сля цього кiлькiсть облiгацiй, що погашаються, зростатиме на 100, доповного повернення позики. Облiгацiї в кожному погашеннi вибираютьсяза допомогою лотереї.

1. Синдикат, що сплачує прибутковий податок у розмiрi 25 %, збира-ється придбати всю позику у день випуску. Яку цiну вiн має сплатити,щоб отримати чистий ефективний прибуток 4 % на рiк?

2. Iнвестор, що сплачує прибутковий податок у розмiрi 30 %, придбаводну облiгацiю у день випуску за 107 грн. Яка ймовiрнiсть того, що вiнотримає чистий ефективний рiчний дохiд на рiвнi принаймнi 4 %?

1.10.21. За позикою номiналом 100 000 грн наприкiнцi кожного квар-талу сплачуються купони за рiчною ставкою 5 %. Позику має бути по-вернуто у розмiрi 103 % номiналу в момент купонної виплати мiж 15та 20 роками вiд взяття позики включно. Право вибору часу поверненняпозики належить боржнику. Iнвестор, що сплачує податок на прибуток урозмiрi 20 % i податок на прирiст капiталу у розмiрi 25 %, хоче придба-ти позику. Пiдрахуйте, яку цiну має сплатити iнвестор, щоб забезпечитичистий ефективний прибуток розмiром принаймнi 4 % рiчних.

1.10.22. За довiчним цiнним папером вiдсотки розмiром 1,75 грн на100 грн номiнальної вартостi сплачуються щороку 1 червня i 1 грудня.Пiдрахуйте рiчний ефективний прибуток iнвестора, що не сплачує пода-ткiв, якщо вiн придбав 100 грн номiналу даного цiнного паперу 14 серп-ня 1984 року за цiною 35,125 грн.

1.10.23. За позикою номiналом 1 000 000 грн вiдсотки сплачуютьсящоквартально за купонною ставкою 8 % рiчних. Наприкiнцi 15-го i ко-жного з дев’яти наступних рокiв погашається 75 000 грн номiналу пози-ки. Решту позики буде повернуто наприкiнцi 25-го року.

Iнвестор, що сплачує податковий прибуток у розмiрi 30 %, бажаєпридбати позику в день випуску за цiною, що гарантує рiчний чистийефективний прибуток 7 %. Визначте цiну, яку вiн має сплатити, якщо:

а) погашення вiдбувається у розмiрi 110 % номiналу;б) погашення t-го року вiдбувається у розмiрi (125 − t) % номiналу.1.10.24. Позику номiналом 300 000 грн, що складається з облiга-

цiй номiналом 100 грн, буде повернуто 30 щорiчними погашеннями по100 облiгацiй, перше погашення буде зроблено через рiк пiсля випуску.Вiдсотки сплачуватимуться щоквартально iз заборгованiстю за ставкою8 % на рiк. Погашення вiдбуватиметься за номiналом для перших 15 ро-кiв, i за 120 % номiналу пiсля цього.

90

Iнвестор, який сплачує прибутковий податок у розмiрi 40 %, придбаєпозику у день випуску за цiною, що забезпечує йому чистий ефективнийприбуток у розмiрi 7 % на рiк.

Яку цiну iнвестор сплатить за кожну облiгацiю?1.10.25. За борговою акцiєю сплачуються вiдсотки за ставкою 11 %

рiчних 15 травня i 15 листопада кожного року, а всю позику буде повер-нуто за номiналом в одну з цих дат 2018 року або в якийсь з наступнихрокiв.

Iнвестор, що сплачує прибутковий податок у розмiрi 50 %, придбавчастину цiєї позики 15 листопада 1986 року, вiдразу пiсля виплати вiд-соткiв.

Визначте найбiльшу цiну у вiдсотках номiналу, яку вiн мiг сплатити,щоб отримати рiчний ефективний чистий прибуток у розмiрi: а) 4 %;б) 7 %. Припускаючи в обох випадках, що вiн сплатив дану цiну, визнач-те найбiльший можливий чистий прибуток, який вiн може отримати.

1.10.26. За певною борговою акцiєю номiналом 175 млн грн вiдсоткисплачувалися iз заборгованiстю за ставкою 3 % на рiк 16 сiчня, 16 квiт-ня, 16 липня i 16 жовтня кожного року. Акцiю було видано 16 квiтня1870 року у виглядi облiгацiй номiналом 100 грн i погашено за наступ-ним графiком:

Перiод Погашений номiнал,

млн грн

1879–1907 11908–1925 21926–1938 31939–1945 41946–1950 51951–1953 6

Акцiї для погашення вибиралися у цей перiод за допомогою лотереїщороку 16 квiтня.

1. Визначте цiну 100 грн номiналу залишку позики на 16 квiтня1915 року за ефективної рiчної вiдсоткової ставки 3,5 %.

2. Визначте ймовiрнiсть того, що покупець, що придбав за цiєю цi-ною одну облiгацiю даної акцiї 16 квiтня 1915 року, отримає рiчнийефективний прибуток 5 %. (Вiдсотки у день придбання не сплачуються.)

1.10.27. Позику номiналом 10 000 грн випущено у виглядi облiгацiйномiналом у 100 грн, за якими вiдсотки сплачуються щоквартально iззаборгованiстю за ставкою 4,5 % на рiк. Десять облiгацiй погашаютьсянаприкiнцi кожного з наступних рокiв до повного повернення позики.Наприкiнцi n-го року облiгацiї погашаються за цiною Rn = 100 + n2/10.Визначте цiну, яку сплатить iнвестор за всю позику, щоб отримати рiч-ний ефективний прибуток 7 %. (Податками знехтувати.)

91

1.10.28. 1 квiтня 1986 року уряд певної країни видав двi iндексованiоблiгацiї термiном на 20 i 30 рокiв. За кожною облiгацiєю купони спла-чуються щопiвроку за ставкою 3 %. I вiдсотковi, i капiтальнi виплатиiндексуються iз запiзненням на 8 мiсяцiв.

Значення iндексу в серпнi 1985 року було 187,52, а в момент випускуоблiгацiй останнє вiдоме значення iндексу стосувалося лютого 1986 рокуi дорiвнювало 192,1.

Цiна випуску облiгацiй була такою, що при неперервному зростаннiiндексу цiн за ефективною ставкою 6 % на рiк покупець кожної облiга-цiї мiг отримати реальний прибуток на рiвнi 3 % рiчних, конвертованихщопiвроку (реальний прибуток пiдраховується iз врахуванням вказаногозростання iндексу цiн).

1. Покажiть, що цiни облiгацiй були однаковi i визначте їхню цiну вмомент випуску.

2. Покажiть, що якщо iндекс цiн зростатиме неперервно з iнтенсив-нiстю 4 % рiчних, то реальний прибуток за 20-рiчною облiгацiєю будебiльшим, нiж за 30-рiчну; якщо ж iнтенсивнiсть зростання iндексу —8 % рiчних, то все навпаки.

1.10.29. 14 серпня 1984 року ринкова цiна iндексованої облiгацiї каз-начейства була 85,625 % номiналу. Облiгацiя погашається за номiналом16 квiтня 2020 року, а вiдсотки сплачуються 16 квiтня i 16 жовтнякожного року за ставкою 2,5 % рiчних. Вiдсотки i капiтальнi виплатиiндексуються за допомогою IРЦ (iндексу роздрiбних цiн) iз запiзненняму 8 мiсяцiв. Облiгацiю випущено у жовтнi 1983 року. Значення IРЦ улютому 1983 року (тобто “базисне” на 14 серпня) дорiвнювало 327,3, улютому 1984 року — 344, на 14 серпня 1984 року останнiм вiдомим булозначення 351,9 за червень 1984 року.

1. Визначте вiдсоткову виплату на 100 одиниць номiналу у жовтнi1984 року.

2. 14 серпня 1984 року iнвестор, прибутки якого не оподатковують,пiдраховує реальний ефективний прибуток, який вiн отримає вiд придба-ння облiгацiї, припускаючи, що IРЦ зростатиме неперервно вiд остан-нього вiдомого значення з ефективною ставкою 10 % на рiк. Яке значеннявiн отримає?

1.10.30. Позику номiналом 50 000 грн випустять у виглядi облiгацiйномiналом 100 грн з щорiчними виплатами iз заборгованiстю розмiром6 % на рiк. Наприкiнцi кожного з наступних 20 рокiв 10 облiгацiй по-гасять за номiналом, наприкiнцi кожного з 20 рокiв потому погасять ще15 облiгацiй.

Кожного року облiгацiї, що пiдлягають погашенню, вибираються задопомогою лотереї. В день випуску iнвестор купив одну облiгацiю за125 грн.

92

1. Визначте ймовiрнiсть того, що ефективний рiчний прибуток, отри-маний iнвестором, буде: а) мiж 3 % та 5 %; б) вiд’ємним.

2. Визначте рiчний прибуток, отриманий iнвестором, якщо облiгацiюпогасять через чотири роки.

1.10.31. 31 грудня 1981 року було випущено позику, що буде повер-нуто сталим ануїтетом, сплачуваним щоквартально протягом 12 рокiв востаннiй день березня, червня, вересня i грудня. Значення ануїтету булопiдраховане за вiдсоткової ставки 12 % рiчних, конвертованої щоквар-тально. Сума вiдсоткiв, сплачених у 1985 роцi, дорiвнювала 6 374,41 грн.31 грудня 1985 року iнвестор, що сплачує прибутковий податок у розмiрi40 % на вiдсоткову складову кожної виплати, викупив цю позику.

Визначте цiну, сплачену iнвестором, якщо його чистий ефективнийприбуток дорiвнює: а) 8 % на рiк; б) 8 % на рiк, конвертованих що-пiвроку.

1.10.32. Позика розмiром 100 000 грн повертається за допомогою ста-лого ануїтету, що сплачується наприкiнцi кожного четвертого року з на-ступних 40 рокiв. Розмiр виплат розраховано за вiдсоткової ставки 4 %на рiк.

Iнвестор, який сплачує прибутковий податок на вiдсоткову складовуу розмiрi 50 % протягом перших 16 рокiв i 25 % пiсля цього, придбаєвсю позику в момент випуску, щоб отримати чистий ефективний рiчнийприбуток на рiвнi 4 % рiчних. Визначте цiну, яку вiн сплатить.

1.10.33. Позику номiналом у 30 000 грн буде повернуто трьома пла-тежами по 10 000 грн, наприкiнцi 8, 16 та 24-го рокiв. Вiдсотки сплачу-ватимуться щорiчно iз заборгованiстю зi ставкою 6 % на рiк протягомперших 8 рокiв, 4 % протягом наступних 8 рокiв i 2 % в останнi 8 рокiв.

Iнвестор, що сплачує прибутковий податок на вiдсотковi виплати урозмiрi 30 % протягом 12 рокiв i 50 % пiсля цього, сплачує 26 000 грн завсю позику у момент випуску. Пiдрахуйте чисту ефективну рiчну нормуприбутку iнвестора.

1.10.34. Позика в 100 000 грн повертається протягом 15 рокiв задопомогою сталого ануїтету, що сплачується щомiсяця iз заборгованi-стю. Розмiр виплат розраховано за вiдсоткової ставки 16 % на рiк, щоконвертується щоквартально.

Iнвестор, який сплачує прибутковий податок 80 % на вiдсоткову скла-дову кожного платежу, бажає придбати всю позику в момент випуску iпiдраховує, що для того, щоб отримати чистий ефективний прибуток урозмiрi 5 % на рiк вiд своєї iнвестицiї, вiн повинен сплатити 86 467 грнза позику. Насправдi вiн сплачує 88 000 грн.

1. Визначте розмiр щомiсячної виплати за ануїтетом.2. Визначте чистий ефективний прибуток, який отримає iнвестор.

93

1.10.35. За позикою номiналом 80 000 грн вiдсотки сплачуватимутьсящоквартально за ставкою 10 % рiчних. Наприкiнцi другого, четвертого,шостого та восьмого рокiв частину позики номiналом 2 000 грн будепогашено премiєю, яка пропорцiйна часу, що минув з дати випуску.

Iнвестор, який сплачує прибутковий податок на вiдсотковi виплати нарiвнi 40 % протягом 5 рокiв i 50 % пiсля цього строку, пiдраховує, щодля того, щоб отримати чистий ефективний прибуток вiд своєї iнвестицiїрозмiром 7 % на рiк, вiн повинен запропонувати цiну 7 880,5 грн за всюпозику.

Визначте цiну погашення позики.1.10.36. Позика в 100 000 грн повертатиметься протягом 15 рокiв за

допомогою сталого щорiчного ануїтету. Розмiр виплат розраховується заефективної вiдсоткової ставки 8 % рiчних.

Iнвестор, який сплачує прибутковий податок 40 % на вiдсоткову скла-дову кожного платежу, бажає придбати всю позику в день випуску.

Визначте цiну, яку вiн повинен заплатити, щоб досягти чистого ефек-тивного щорiчного прибутку у розмiрi: а) 7 %; б) 8 %.

1.10.37. За позикою вiдсотки розмiром 10 % сплачуються щорiчноiз заборгованiстю. Позика повертається за номiналом в одну з наступ-них п’яти рiчниць випуску. Через п’ять мiсяцiв пiсля випуску iнвесторпридбає частину позики за 102 % номiнальної цiни.

Покажiть, що, незважаючи на формулу Мейкема (невiрну, якщо кон-тракт укладено не у момент вiдсоткової виплати), прибуток iнвесторабуде максимальним при погашеннi позики в останнiй момент.


1.10.1. Виберемо рiк як одиницю часу. Якщо i — шукана внутрiшнянорма прибутку, то для неї має мiсце рiвняння 1000(1 + i)−5 = 500 ++ 200(1 + i)−2. Це рiвняння має єдиний корiнь, оскiльки його можнапереписати у виглядi 1000 = 500(1 + i)5 + 200(1 + i)3, а права частинаостаннього рiвняння монотонно зростає за i.

Тепер перепишемо рiвняння у виглядi f (i) = −500 − 200(1 + i)−2 ++ 1000(1 + i)−5. Оскiльки f (0,08) = 9,115, f (0,09) = −18,405, то i зна-ходиться мiж 8 % та 9 % на рiк. Апроксимацiя за допомогою лiнiйноїiнтерполяцiї дає 0,08 + (0,09 − 0,08) 9,115−0

9,115−(−18,405) = 0,0833, тобто 8,33 %на рiк.

1.10.2. Рiвняння, що визначає норму прибутку, має вигляд 3 000 == 500(ν5+ν6+. . .+ν19) = 500(a19|−a4|), де ν = 1/(1+i), i — шукана став-ка прибутку. Права частина рiвняння спадає, тому рiвняння має єдинийрозв’язок. При i = 8 % права частина дорiвнює 500(9,6036 − 3,3121) =

94

= 3145,75 > 3000, а при i = 9 % — 500(8,9501 − 3,2397) = 2855,20 << 3000. Шукаємо i методом лiнiйної iнтерполяцiї

0,08 + (0,09 − 0,08)3 145,75 − 3 000

3 145,75 − 2 855,20= 0,08502.

Отже, i = 8,5 %.1.10.3. Позначимо шукану норму прибутку i, ν = 1/(1+i) — дисконт-

ний множник, одержимо рiвняння на реальну норму прибутку

125 =5 ν1/4

1,0151/4+

5ν5/4 · 1,041,0155/4

+5ν9/4 · 1,042

1,0159/4+ · · · =

=5ν1/4

1,0151/4

(1 +

ν · 1,041,015

+ν · 1,042

1,0152+ . . .

)=

= 4,98142ν1/4( 1

1 − 1,02463ν

)= 4,98142(1 + i)3/4i − 0,02463.

При i = 6 % права частина дорiвнює 147,129, при i = 7 % вона дорiвнює115,511, тобто потрiбне нам значення 125 досягатиметься приблизно вточцi

0,7 −( 125 − 115,511

147,129 − 115,511

)0,01 = 0,067,

отже, значення реальної ефективної норми прибутку приблизно дорiвнює6,7 % на рiк.

1.10.4. 1. Загальна безпека при випуску державою з гарним рейтин-гом; низька волатильнiсть прибуткiв порiвняно з iншими видами iнвес-тицiй; забезпечують сталий прибуток до моменту погашення; можутьбути ризиковi в реальному численнi.

2. Отримана через 5 рокiв частина доходу за облiгацiєю номiналому 100 грн на момент придбання складається iз дисконтованих виплат закупонами у першi 5 рокiв i дисконтованої виплати у 50 грн i становитьпри ефективнiй ставцi 6 %

0,7 · 4a5| +50

1,065= 0,7 · 4 · 4,21236 + 50 · 0,74726 = 49,1576.

Отримана через 10 рокiв частина доходу

0,7 · 4a10| +50

1,0610= 0,7 · 4 · 7,36009 + 50 · 0,558395 = 48,5280.

Отже, цiна покупки облiгацiї становить49,1576 + 48,5280 = 97,6856.

1.10.5. У такому випадку облiгацiя мала б затримку в iндексацiї. Цеозначає, що виплати пiзнiше реагують на змiни цiн, тобто iнвестор неотримає компенсацiю за весь промiжок часу мiж датою покупки i датоюпогашення.

95

1.10.6. 1. З нерiвностi i > (1 − t1)g (0,08 > 0,75 · 0,06) випливає, щоє прирiст капiталу. Нехай цiною облiгацiї номiналом 100 грн у моменткупiвлi є P, тодi цiна в момент випуску є ν1/4P, отже,

P =[6a10| · 0,75 + 100ν10 − 0,25(100 − P)ν10](1,08)1/4

(перший доданок — дивiденди з урахуванням податку на прибуток; дру-гий — виплата при погашеннi; третiй — податок на прирiст капiталу).Враховуючи, що a10| = 6,71008, ν = 0,463193 при ставцi 8 %, маємо

P = 30,78195 + 47,21912 − 11,80478 + 0,11805P,звiдки

0,88195P = 66,19629,отже, P = 75,06 грн.

2. Шуканий рiвень iнфляцiї ξ має задовольняти рiвнiсть (1+ξ)1,03 == 1,08, звiдки ξ = 4,854 %.

1.10.7. 1. Цiна облiгацiї складається з дисконтованих виплат за ку-понами i дисконтованої виплати при погашеннi, тобто дорiвнює

5a20| + 100ν20 = 5 · 11,4699 + 100 · 0,311805 = 88,53.

2. За пiдрахунками: a) цiна акцiї становить з урахуванням податкiвP = 0,7 · 5a10| + 100ν10 − 0,3(100 − P)ν10 = 0,35a10| + 70ν10 − 0,3ν10P,

звiдки

P =0,35a10| + 70ν10

1 + 0,3ν10.

При вiдсотковiй ставцi 6,5 % маємо a10| = 7,18883, ν10 = 0,53273, звiдкиP = 74,33161;

б) маємо88,53 = 5a10| + 74,33161ν10.

Оцiнимо норму прибутку (виходячи з того, що a10| ≈ 10/(1 + 10i), ν10 ≈1/(1 + 10i)):[

588,53

− (88,53 − 74,33161)/1088,53

]100 % = 4,04401 %.

Цiна при i = 4 % становить 90,76994, тобто норма прибутку має бутинижча. При i = 4,5 % цiна становить 87,4279. Методом лiнiйної iнтер-поляцiї визначимо наближене значення норми прибутку:

i = − 88,53 − 87,427990,76994 − 87,4279

0,005 + 0,045 = 0,04335.

1.10.8. 1. Позначимо значення iндексу в липнi t-го року через It.Сума купона становить (враховуючи 8-мiсячне запiзнення iндексацiї)

0,03 · 1002

I1999

I1995= 1,72 грн на облiгацiю номiналом 100 грн.

96

2. Розв’язувати задачу можна рiзними шляхами. Один з них такий.Вимiрюватимемо час t пiврiччями, починаючи з 16 вересня 1999 року

i позначимо через i реальний прибуток за пiврiччя. Покладемо (1 + r) == (1,04)1/2, нульовим мiсяцем назвемо вересень 1999 року. Тодi Q(t) == Q(0)(1 + r)t є згiдно з умовою прогнозованим значенням iндексу вмомент t, Q(0) = 127,4. Перша виплата за купоном у момент t = 1дорiвнює 1,72 згiдно з попереднiм пунктом, i Q(1) = Q(0)(1 + r). Дляt ≥ 2 t-ту виплату буде отримано в мiсяць з номером 6t, i її значеннядорiвнює

1,5(1 + r)(6t−8)/6

110,5Q(0) = 1,5Q(0)

(1 + r)(t−4/3)

110,5.

Цю суму буде отримано в момент t, коли iндекс iнфляцiї становитимеQ(t). Виплати при погашеннi вiдбудуться у момент t = 5 разом з остан-ньою виплатою за купоном; сума цих виплат дорiвнюватиме

100Q(0)(1 + r)(5−3/4)

110,5,

а значення iндексу — Q(0)(1 + r)5.Таким чином, реальна ефективна пiврiчна норма прибутку iнвестора

визначається з рiвняння

111,0 =1,721 + r

ν+5∑

t=1

1,5Q(0)(1 + r)(t−4/3)

110,5(1 + r)tνt +

100Q(0)(1 + r)(5−3/4)

110,5(1 + r)5ν5. (1)

Пiдставляючи i = 2 % та i = 1,5 %, отримаємо вiдповiдно 109,67 та112,32 у правiй частинi. За допомогою лiнiйної iнтерполяцiї маємо на-ближене значення пiврiчної норми прибутку iнвестора

i = 0,02 − 111 − 109,67112,32 − 109,67

0,005 = 0,01749,

тому рiчна норма прибутку становить 3,53 %.3. З рiвняння (1), якби iндекс цiн був бiльший за 110,5, то права

частина була б менша за 111,0 при i = 1,749 % на пiврiччя. Тому реаль-ний прибуток i мав би бути меншим за 1,749 % на пiврiччя для правоїчастини 111,0. Отже, реальний прибуток спадає.

1.10.9. Маємо рiвняння

96 = 4a20| + 100ν20.

При i = 4 % права частина дорiвнює 100, при i = 4,5 % вона дорiвнює93,4961. Iнтерполюючи, маємо

i = 0,04 + 0,005100 − 96

100 − 93,4961= 4,3 %.

97

1.10.10. Складаємо рiвняння для ефективної реальної рiчної нормиприбутку:

250 =10ν3/4

1,033/4+

10(1,05)ν7/4

1,037/4+

10(1,05)2ν11/4

1,0311/4+ . . . ,

звiдки 250 = 254,854ν + 9,78075ν3/4. Реальний прибуток має бути при-близно 6 % (прибуток по дивiдендах+ зростання дивiдендiв− iнфляцiя).Для значення i = 6 % лiва частина дорiвнює 249,791, для i = 5,5 % —250,9639. Iнтерполюючи, маємо наближене значення

− 250 − 249,791250,9636 − 249,791

0,005 + 6,0 = 5,91.

1.10.11. 1. Маємо 1 + i = 1,06 = [1 + i(2)/2]2 ⇒ i(2) = 5,91 % > g(1 −− t1) = 7 %(1 − 0,25) = 5,25 %, тобто є прирiст капiталу, тому можнавважати, що облiгацiю буде погашено в кiнцевий момент.

На 100 грн номiнальної вартостi цiна на 1 квiтня 1991 року

P′ = 0,75a(2)19|

+ 100ν19 =

= 5,25 · 1,014782 · 11,1581 + 100 · 0,33051 = 92,497.

Тому на 1 липня 1991 року цiна за облiгацiю номiнальною вартiстю100 грн дорiвнює P = 92,497 · (1,06)3/12 = 93,854, а за 10 000 грн —9385,40 грн.

2. Зараз i(2) = 4,94 % < 5,25 %, тому немає приросту капiталу, i облi-гацiю можна вважати погашеною за першої можливостi (тобто 1 квiтня2004 року). На 100 грн номiнальної вартостi

P = 0,75 · 7a(2)5|

= 101,364.

Тому цiною облiгацiй номiнальною вартiстю 10 000 грн є 10 136,40 грн.1.10.12. 1. Нехай час вимiрюється пiврiччями. Виплата за купоном у

момент t, t ≥ 1, становить

0,015 · 100 000(1,015)t−1 It−1

100,

де It — iндекс цiн у момент t. Виплата при погашеннi — 100 000I5/100 == 113 000. Отже, можемо скласти таблицю потоку платежiв.

Дата Грошовий потiк Пояснення

1 червня 2000 року − 94 000 Придбання облiгацiї1 грудня 2000 року 1 530 Купон1 червня 2001 року 1 605 Те саме1 грудня 2001 року 1 695 »1 червня 2002 року 1 695 »Те саме +113 000 Виплата при погашеннi

98

2. Результати обчислень: a) iндексована цiна покупки облiгацiї дорiв-нює 94 000 · 118/102 = 108 745. Отже, прирiст капiталу становить 4 255,тому податок 4 255 · 0,35 = 1489;

б) рiчний прибуток задовольняє рiвняння

94 000 = 0,75(1 530ν1/2+1605ν+1665ν3/2+1695ν2

)+ (113 000 −1 489)ν2.

Приблизно це рiвняння можна переписати як

94 000 = 4871ν + 111 511ν2,

звiдки ν = 0,8965 i i ≈ 11,5 %. Пiдставляючи значення 11 % i 12 %,методом лiнiйної iнтерполяцiї визначимо i ≈ 11,47 %.

1.10.13. Потрiбно порiвняти числа (93,9/91)2 i 100/93,9. Друге числобiльше, тому норма прибутку другого iнвестора вища.

1.10.14. 1. Нехай i — норма грошового прибутку. Тодi

9 900 = 800a(2)25|

+ 11 000ν25 − 200ν1/4a25| − 0,3 · 11 000 · 9 900ν25 14 =

= 800a(2)25|

+ 11 000ν25 − 200ν1/4a25| − 330ν25 14 .

Маємо

a(2)25|

≈ a25| ≈25

1 + 25i, ν25 ≈ 1

1 + 25i, ν1/4 ≈ 1,

i в першому наближеннi

i ≈ 600 + (11 000 − 330 − 990)/259,900

= 6,4 %.

При i = 7 % права частина дорiвнює 9 158,61, при i = 6 % — 10 345,41,тому наближено

i = 0,07 − 9 900 − 9 158,6110 345,41 − 9 158,61

0,01 = 0,0638,

тобто норма грошового прибутку є 6,38 % на рiк. Тодi реальний прибутокr = 1,0638/1,03 − 1 = 3,28 % на рiк.

2. Якщо податок сплачується на два мiсяцi пiзнiше (тобто 1 черв-ня, а не 1 квiтня), то видатки iнвестора затримуються, отже, реальнийприбуток зростає i буде вищим за 3,28 % на рiк.

1.10.15. Рiчна норма грошового прибутку

i = (1,0125)2(1,02) − 1 = 4,5659 %.

Тодi вартiсть акцiї, коп,

5[ν

1012 + 1,03ν1 10

12 + (1,03)2ν2 1012 + . . .

]= 5ν5/6 1

1 − 1,03ν= 321,69.

99

1.10.16. Для випадку а) маємо g(1 − t1) = 0,08 · 0,6 = 0,048 < i(2)5 % == 0,04939, тому є прирiст капiталу, отже, можна вважати, що облiгацiюбуде погашено якомога пiзнiше. Маємо

P = 0,6 · 8a(2)10|

+ 100ν10 − 0,3(100 − P)ν10;

P = 4,8 · 1,012348 · 7,7217 + 100 · 0,61391 − 30 · 0,61391 + 0,3P · 0,61391;

P =98,9128 − 18,4173

1 − 0,184173= 98,67;

для випадку б) g = 0,08 > i(2)7 % = 0,068816, тому можна вважати, щооблiгацiю буде погашено якомога ранiше. Маємо

P′ = 8a(2)3|

+ 100ν3 = 8 · 1,017204 · 2,6243 + 100 · 0,81630 = 102,99;

для випадку в) податок на прирiст капiталу становить

0,3(102,99 − 98,67) = 1,30.

Тому (ми працюємо по пiвроку)

98,67 = 0,6 · 4a4| + 0,6(102,99 − 1,30)ν4 = 2,4a4| + 101,69ν4.

При i = 3 % права частина дорiвнює 99,272, при i = 4 % — 95,636, томунаближено

i = 0,03 +99,272 − 98,67099,272 − 95,636

0,01 = 3,166 %.

Отже, рiчна ставка дорiвнює 2 · 3,166 % = 6,332 %, конвертованих що-пiвроку.

1.10.17. 1. Суттєвими є такi характеристики:

• акцiї випускаються комерцiйними пiдприємствами i iншими юри-дичними особами;

• власники акцiй отримують дивiденди з прибуткiв пiдприємства пi-сля дотримання решти зобов’язань;

• до доходу, крiм отриманих дивiдендiв, додається будь-яке зростан-ня (або вiднiмається будь-яке зменшення) ринкової цiни акцiї;

• бiльш ризиковi за корпоративнi облiгацiї, виданi тим же пiдприєм-ством;

• з усiх видiв фiнансiв компанiї мають найнижчий ранг;• компанiя не має жодних зобов’язань щодо сплати дивiдендiв;• початковий дохiд звичайно низький, але зростає з часом;• дату викупу (погашення) не зафiксовано;• до акцiї додається право голосу;• лiквiднiсть залежить вiд розмiру компанiї.

100

2. Нехай нинiшня цiна — P, а перший очiкуваний дивiденд — d.Маємо

P =dν0,5

1,020,5+

d(1,03)ν1,5

1,021,5+

d(1,03)2ν2,5

1,022,5+ . . . =

1,020,5dν0,5

1,02 − 1,03ν= 25,2426d.

Звiдси очiкувана прибутковiсть за дивiдендами дорiвнює 1/25,2426 == 0,03962, або 3,962 %.

1.10.18. Пiдрахуємо: а) шукану цiну

V = 4a(2)20|

+ 110ν20 − 0,25(110 −V )ν20 − 0,25 · 4a20|.

При ставцi 6 %V = 4 ·1,014782 ·11,47+110 ·0,31180−0,25(110−V )0,31180−0,25 ·4 ·11,47,звiдки V = 65,9524;

б) тривалiсть чистих платежiв; простiше працювати у термiнах пiврiчз вiдсотковою ставкою 2,9563 %. Чисельник у формулi для тривалостiвиплат брутто дорiвнює40∑

t=1

2tνt + 110 · 40ν40 − 0,25 · 420∑

k=1

2kν2k = 1,5(Ia)40| + 40ν40 − 2(Ia)20|5 %.

Маємо (Ia)40| = (..a40|−40ν40)/0,029563 = 388,828. Звiдси шуканий вираз

для чистих виплат дорiвнює 2149,598. Далi

(Ia)20|5 % = (..a20|5 % − 20ν20

5 %)/0,05 = 98,69942.

Таким чином, шуканий чисельник у формулi для тривалостi дорiвнює1952,199. Знаменник у цiй формулi дорiвнює 2

..a40|2,9563 % +110ν40

2,9563 % −− ..

a20|5 % = 69,38589. Звiдси тривалiстю є 1952,199/69,38589 = 28,136пiврiччя, або 14,068 року.

1.10.19. 1. У стандартних позначеннях маємо[1 + i(2)/2

]2= 1,05 ⇒ i(2) = 4,939 %,

g(1 − t1) =0,071,10

· 0,75 = 0,0477 < 0,04939,

тому є прирiст капiталу.2. З того, що є прирiст капiталу, випливає, що борг буде найменш

вигiдним для iнвестора, якщо боржник зробить виплати в останнiй мож-ливий момент. Тому для пiдрахунку мiнiмального доходу ми змушенiвважати, що погашення вiдбувається через 15 рокiв пiсля пiдписанняугоди.

3. Якщо A — цiна 100 грн кредиту, то

A = 100 · 0,07 · 0,75a(2)15|

+ [110 − 0,3(110 − A)]ν15 =

= 100 · 0,07 · 0,75 · 1,012348 · 10,3797 + [110 − 0,3(110 − A)]0,48102.

101

Тодi

A =55,1663 + 37,03851 − 0,3 · 0,48102 = 107,75.

1.10.20. 1. Нехай кiлькiсть розiграшiв дорiвнює m. Маємоm∑

t=1

(900 + 100t) = 900m + 50m(m + 1) = 16 500,

звiдки m = 11. Тобто розiграшi вiдбуваються в моменти 5,6,7, . . . ,15.Далi, C = 1,1 · 1 650 000 = 1815 000, g = 0,055/1,1 = 0,05, p = 2,

i = 0,04. Сучасна вартiсть капiтальних виплат

K =11∑

t=1

(900+100t)110ν4+t = 900 ·110ν4a11| +11000ν4(Ia)11| = 1203 394,

i цiна позики за формулою Мейкема —

K +0,05 · 0,75

0,04(2)(1 815 000−K) = 1 784 452 грн, або108,03 грн за облiгацiю.

2. Оскiльки сплачена цiна менша за 110 грн, то прибуток зменшу-ється iз збiльшенням часу до погашення. При погашеннi через n рокiврiвняння вартостi має вигляд

107 = 0,7 · 5,5a(2)n|

+ 110νn.

Пiдставивши i = 4 %, пiсля елементарних перетворень дiстанемо νn4 % =

= 0,7656. Але ν64 % > 0,7656 > ν7

4 %, тобто прибуток буде не менше 4 %,якщо час до погашення не бiльший шести рокiв, тобто для перших двохрозiграшiв. Тому шукана ймовiрнiсть дорiвнює (1000 + 1100)/16 500 == 0,1273.

1.10.21. (1 + i(4)/4)4 = 1,04 ⇒ i(4) = 0,039414; g(1 − t1) = 0,05 ·0,80/1,03 = 0,038835. Отже, є прирiст капiталу i ми можемо вважати,що борг повертається в останнiй момент, тодi дохiд мiнiмальний. Нехайцiна дорiвнює P, тодi

P = 100 000 · 0,05 · 0,80a(4)20|

+ [103 000 − 0,25 · (103 000 − P)]ν20,

звiдки

P =4000a(4)

20|+ 77 250ν20

1 − 0,25ν20= 102 072,25.

1.10.22. Промiжок часу мiж 14 серпня 1984 року та 1 грудня 1984 ро-ку є 109 днiв, мiж 1 червня та 1 грудня — 183 днi. Визначимо t == 109/183. Прибуток за пiвроку i є розв’язком рiвняння вартостi 1,75(1++i)1−t/i = 35,125, з якого i = 0,05083. Рiчний прибуток тодi (1+i)2−1 == 0,1042 = 10,42 %. Вiдповiдне номiнальне значення, конвертоване що-пiвроку, дорiвнює 2 · 0,05083 = 0,10166 = 10,166 %.

102

1.10.23. Вимiрюватимемо грошi тисячами гривень. У випадку а) упозначеннях теоретичної частини C = 1000 тис грн, g = 0,08/1,1, p = 4.Тодi, оскiльки 250 одиниць номiналу буде повернуто наприкiнцi 25-гороку, маємо при ставцi 7 %

K = 1,1[75(a24| − a14|) + 250ν25] = 275,3875.

Тодi за формулою Мейкема цiна дорiвнює

P = 275,3875 +0,08 · 0,7

1,1 · 0,07(4)(1 100 − 275,3875) = 890,626 тис грн;

у випадку б) припустимо, що цiна дорiвнює P′. Тодi за вiдсотковоїставки 7 %

P′ = P − P′′ = P − 75 · 0,01(ν16 + 2ν17 + . . . + 9ν24) − 250 · 0,1ν25 =

= P − 0,750(Ia)9| − 25ν25 = P − 12,668 = 877,958 тис грн,

де P′′ — сучасне значення рiзницi цiн при погашеннi у пунктах 1 i 2.1.10.24. Вимiрюватимемо час роками, а грошi — тисячами гривень.

Спочатку припустимо, що погашення вiдбувається за номiналом, потiмми вiдкоригуємо результати вiдповiдним чином. У позначеннях теорети-чної частини маємо C = 300, K = 10a30| = 124,0904 за вiдсоткової ставки7 %. Тодi за формулою Мейкема сучасна вартiсть позики

K +0,08 · 0,60,07(4)

(300 − K) = 247,836.

Додаємо тепер сучасну вартiсть рiзницi мiж цiною при погашеннi таномiналом, тобто

2(a30| − a15|) = 6,602,

звiдки маємо повну вартiсть 254,548, тобто одна акцiя коштує 84,81 %.1.10.25. У випадку а) за грошову одиницю вiзьмемо 100 грн номi-

налу. Маємо C = 100, p = 2, g = 0,11, t1 = 0,5. Оскiльки g1(1 − t1) == 0,55 > 0,04(2) = 0,044, то ми припускаємо, що борг буде сплаченийякнайшвидше. Таким чином, ми маємо при ставцi 4 % K = 100ν31,5 == 29,0703, тому цiна за формулою Мейкема

K +0,0550,044

(C − K) = 127,564 грн.

Чистий прибуток iнвестора буде найбiльшим, якщо акцiю не погасятьнiколи. Тодi чистий ефективний прибуток i — розв’язок рiвняння

127,564 = 5,5a(2)∞|i %

,

звiдки i(2) = 0,043116, тому i = 4,358 %;

103

у випадку б) маємо g(1 − t1) = 0,55 < 0,07(2) = 0,071225, тому вва-жаємо, що позику не буде повернуто нiколи. Тодi цiна при ставцi 4 %дорiвнює 5,5a(2)

∞|= 79,923 грн.

Чистий прибуток буде найбiльшим, якщо акцiю погашено якнайшвид-ше, тобто 25 травня 2018 року. Чистий прибуток — розв’язок рiвняння

79,923 = 5,5a(2)31,5|

+ 100ν31,5.

Розв’язуючи його наближено, маємо i = 7,23 %.1.10.26. 1. Всi розрахунки провадитемо у мiльйонах гривень. Но-

мiнал залишку боргу на 16 квiтня 1915 року пiсля сплати вiдсоткiвстановить 130, а значення майбутнiх капiтальних виплат у цей момент

2a10| + 3ν10a13| + 4ν23a7| + 5ν30a5| + 6ν35a3| = 62,717.

За формулою Мейкема значення залишку боргу

K +0,03

0,035(4)(130 − K) = 121,14.

Тому цiна за100 грн номiналу на 16 квiтня 1915 року дорiвнює 93,18 грн.2. Прибуток iнвестора при погашеннi через n рокiв визначається як

розв’язок рiвняння 93,18 = 3a(4)n|

+ 100νn. Оскiльки цiна акцiї нижча

за номiнал, то прибуток зменшуються, якщо час до погашення зростає.Тобто нам потрiбно визначити таке n, що прибуток бiльший за 0,05 припогашеннi через n рокiв i менший вiд 0,05 через n+1 рокiв. При i = 0,05рiвняння вартостi можна перетворити:

νn0,05 =

93,18 · 0,05(4) − 3100 · 0,05(4) − 3

= 0,8246.

Через те, що ν30,05 > 0,8246 > ν4

0,05, прибуток буде на рiвнi принаймнi5 % лише для перших трьох рокiв. Iмовiрнiсть того, що облiгацiю будепогашено у цi роки, дорiвнює (2 + 2 + 2)/130 = 0,0462.

1.10.27. Спочатку оцiнимо вартiсть позики за припущенням погаше-ння за номiналом, потiм додамо рiзницю. Маємо при ставцi 7 %

K = 1000a10| = 7023,58,

i сучасна вартiсть позики за формулою Мейкема

K +0,0450,07(4)

(10 000 − K) = 8 986,51.

Сучасне значення рiзницi мiж цiнами погашення i номiналом дорiвнює10∑

k=1

k2νk =2(Ia)10| − a10| − 100ν11

1 − ν = 228,44.

Тодi цiна всiєї позики 8986,51 + 228,44 = 9214,95 грн.

104

1.10.28. 1. Нехай I0 = 187,52 — значення iндексу у серпнi 1985 року,I1 = 192,1 — значення iндексу у лютому 1986 року, а r позначає ставкузростання iндексу, тодi за пiвроку iндекс збiльшиться у (1 + r)1/2 разiв.Вимiрюватимемо час пiврiччями вiд дати випуску, i нехай Q0 — значенняiндексу в момент випуску.

Розглянемо облiгацiю з термiном n. Нехай цiна випуску становитьP % вiд номiналу. Припустимо, що придбано 100 грн номiналу облiгацiї.Покупець має вiд’ємний грошовий потiк P у момент 0.

7 жовтня 1986 року, коли значення iндексу дорiвнює Q0(1 + r)1/2,покупець отримає вiдсотки, iндексованi вiдношенням значення iндексуу лютому 1986 року до значення у серпнi 1985 року, тобто розмiром1,5I1/I0, 7 квiтня 1987 року вiн отримає вiдсотки, iндексованi вiдношен-ням значення iндексу у серпнi 1986 року до значення у серпнi 1985 року,тобто 1,5(1+ r)1/2I1/I0. Продовжуючи цi мiркування, одержимо, що iнве-стор у момент t ≤ n, при значеннi iндексу Q0(1 + r)t/2, отримає вiдсоткирозмiром 1,5(1 + r)(t−1)/2I1/I0. Iндексоване значення капiтальної випла-ти у момент n дорiвнює 100(1 + r)(n−1)/2I1/I0. Таким чином, ефективнувiдсоткову ставку можна отримати з рiвняння

− P

Q0+

n∑

t=1

I1I0

1,5(1 + r)(t−1)/2νt

Q0(1 + r)−t/2+

I1I0

100(1 + r)(n−1)/2νn

Q0(1 + r)−n/2= 0,

звiдки

P =I1

(1 + r)1/2I0(1,5an| + 100νn).

Для реального прибутку 3 % рiчних, конвертованих щопiвроку, i == 0,015, тому маємо

P =I1

(1 + r)1/2I0100

для будь-якого n. Оскiльки за припущенням r = 0,06, цiна кожної акцiїпри випуску дорiвнює

192,10 · 1001,061/2187,52

= 99,5 %.

2. Складаємо рiвняння на реальний прибуток, використовуючи ре-зультат пункту 1:

1,5an| + 100νn =99,50(1 + r)1/2187,52

192,10.

При r = 0,04 права частина цього рiвняння дорiвнює 99,05, що меншеза 100, тому облiгацiя з меншим термiном дає вищий прибуток. Приr = 0,08 права частина дорiвнює 100,94 > 100, i все навпаки, що й по-трiбно довести. (При r = 0,04 реальний прибуток для 40-рiчної облiгацiї

105

дорiвнює 1,5319 %, для 60-рiчної — 1,5242 %, при r = 0,08 — 1,4688 %i 1,4763 % вiдповiдно.)

1.10.29. 1. Позначимо It значення IРЦ у лютому t-го року. Вiдсотковавиплата на 100 грн номiналу у жовтнi 1984 року дорiвнює

1,25I1984

I1983= 1,25

344327,3

= 1,3137 грн.

2. Нехай r — пiврiчне зростання iндексу цiн за припущенням (тоб-то (1 + r)2 = 1,1). Вимiрюємо час по пiвроку з 14 серпня 1984 року.Зауважимо, що при цьому перiод з 14 серпня 1984 року до 16 жовтня1984 року становить f = 63/183.

Нехай значення iндексу в момент 0 — Q0. Покупець акцiї одержить72 вiдсотковi виплати, i j-та з них вiдбудеться в момент (j − 1 + f ), колизначення iндексу становитиме Q0(1 + r)j−1+f . Перша вiдсоткова випла-та дорiвнюватиме 1,3137 грн, j-ту, що вiдбудеться у (6j − 2)-му мiсяцi(рахуючи вiд серпня 1984 року), буде проiндексовано значенням IРЦ у(6j − 10)-му мiсяцi. Тодi значення цiєї виплати дорiвнюватиме

1,25I0(1 + r)(6j−10)/6

Ib= 1,25

I0(1 + r)j−10/6

Ib.

Беручи до уваги те, що значення виплати при погашеннi також прив’я-зано до IРЦ, iнвестор пiдрахував свiй реальний прибуток з рiвняння

0 =−85,625

Q0+

1,3137νf

Q0(1 + r)f+

72∑

j=2

1,25I0(1 + r)j−10/6

Ib

νj−1+f

Q0(1 + r)j−1+f+

+ 100I0(1 + r)72−10/6

Ib

ν71+f

Q0(1 + r)71+f,

звiдки

85,625 = νf[1,3137(1 + r)−f +

I0Ib

(1 + r)−f−2/3(1,25a71| + 100ν71)].

Пiдставляючи всi значення з умови, маємо i = 0,01665, звiдки (1 + i)2 == 1,0336, тобто шукане значення прибутку — 3,36 %.

1.10.30. 1. Оскiльки цiна за облiгацiю бiльша за 100 грн i меншавiд 150 грн, то прибуток in при погашеннi у рiк n зростає для n ≤ 20 iспадає для 21 ≤ n ≤ 40. Прибуток in знаходимо, розв’язавши рiвняннявартостi 125 = 100νn + 6an| при n ≤ 20 або рiвняння 125 = 150νn + 6an|

при 21 ≤ n ≤ 40.Мiркування будуть наступнi: a) неважко переконатися, що i9 < 0,03

i i10 > 0,03, отже, при 10 ≤ n ≤ 20 in > 3%, а при 1 ≤ n ≤ 9 in > 3%.Також зрозумiло, що з першого рiвняння випливає, що in < 5% приn ≤ 20.

106

Далi визначимо, що i36 > 0,05 i i37 < 0,05. Таким чином, маємо in << 5 % при 37 ≤ n ≤ 40, in > 5% при 21 ≤ n ≤ 36. З другого рiвняння,очевидно, in > 3 % при 21 ≤ n ≤ 40. Отже, прибуток лежатиме в межахвiд 3 % до 5 % тодi i лише тодi, коли 10 ≤ n ≤ 20 або 37 ≤ n ≤ 40.Ймовiрнiсть цього дорiвнює (10 · 11 + 4 · 15)/(10 · 20 + 20 · 15) = 0,34;

б) оскiльки in > 3 % при 21 ≤ n ≤ 40, ми повиннi розглядати лишеn ≤ 20. Очевидно, що i4 < 0 i i5 > 0. Отже, прибуток вiд’ємний тодi i ли-ше тодi, коли n ≤ 4. Ймовiрнiсть погашення протягом перших чотирьохрокiв дорiвнює 10 · 4/500 = 0,08.

2. Розв’яжемо перше рiвняння при n = 4, тобто 125 = 100ν4 + 6a4|,отримаємо i = −0,0022 = −0,22 %.

1.10.31. Вимiрюватимемо час кварталами. Нехай L — розмiр позики.Згiдно зi схемою повернення позики, 1985 року повернення капiталудорiвнює L(a36| − a32|)/a48| при вiдсотковiй ставцi 3 %, тому вiдсотковаскладова виплати 4L

a48|

− L

a48|

(a36| − a32|) = 0,101181L.

Прирiвнюючи останнiй вираз до 6 374,41, маємо L = 63000. Звiдси зали-шок боргу на момент придбання дорiвнює L

a48|a32| за вiдсоткової ставки

3 %, тобто 50 837,35 грн, а розмiр щоквартальної виплати — L/a48| == 2493,4 грн.

У випадку 1 чистий прибуток за квартал становить 2 %. Ми оцiнюємочистий розмiр платежiв, що залишаються, за цiєї вiдсоткової ставки. Завiдсутностi податку значення цих платежiв дорiвнює A = 2493,4a32| == 58515,95, тому значення капiтальних виплат ми можемо обчислити зформули Мейкема, а саме:

58 515,95 = K +0,030,02

(50 837,35 − K)

(тут 50 837,35 — залишок боргу в момент придбання позики). ЗвiдсиK = 35480,16, а цiна, яку сплатив iнвестор, дорiвнює

K +0,03 · 0,6

0,02(50 837,35 − K) = 49 302.

У випадку 2 чистий прибуток за квартал дорiвнює 0,08(4)/4. Пов-торюючи мiркування попереднього пункту за цiєї вiдсоткової ставки,отримаємо, що iнвестор сплатив 49 735 грн.

1.10.32. Вимiрюватимемо час по 4 роки. Нехай X — розмiр кожноївиплати. Маємо рiвняння Xa10| = 100 000 за ефективної вiдсоткової став-

ки J за 4 роки, тобто 1 + J = (1,04)4. Звiдси

X =100 000[(1,04)4 − 1]

1 − (1,04)−40= 21 454,6.

107

Капiтальнi складовi виплат у моменти 1, 2, . . . , 10 дорiвнюють, вiдповiд-но, Xν10

J , Xν9J , . . . , Xν. Тодi повернення капiталу становить

K = X(ν10J ν

40,04 + ν9

Jν80,04 + . . . + νJν

400,04) =

= X(ν400,04ν

40,04 + ν36

0,04ν80,04 + . . . + ν4

0,04ν400,04) = 10Xν44

0,04 = 38 199,1.

Припускаючи, що прибутковий податок дорiвнює 25 %, отримаємо суча-сне значення ануїтету за формулою Мейкема:

K + 0,75(100 000 − K) = 84 549,8.

Пiдрахуємо тепер значення додаткових податкових платежiв у першi16 рокiв. Вiдсотковi складовi платежiв у цi роки дорiвнюють X(1− ν10

J ),X(1− ν9

J ), X(1 − ν8J ), X(1 − ν7

J ), тому сучасне значення додаткових пода-ткових виплат становить

0,25X[(1 − ν10J )ν4

0,04 + (1 − ν9J )ν

80,04 + (1 − ν8

J )ν120,04 + (1 − ν7

J )ν160,04] =

= 0,25X[(ν40,04 + ν8

0,04 + ν120,04 + ν16

0,04) − 4ν440,04] = 10 897,9.

Тому цiна, сплачена за позику, 84 549,8 − 10 897,9 = 73 651,9.1.10.33. Нехай i — чистий рiчний прибуток. Сучасне значення капi-

тальних виплат при ставцi i

K = 10000(ν8 + ν16 + ν24).

Сучасне значення вiдсоткових виплат без податкiв

I = 30 000 · 0,06 · 0,7a8| + 20 000 · 0,04 · 0,7(a12| − a8|)+

+20 000 · 0,04 · 0,5(a16| − a12|) + 10 000 · 0,02 · 0,5(a24| − a16|) =

= 700a8| + 160a12| + 300a16| + 100a24|.

Значення i визначимо з рiвняння 26 000 = K+ I . Наближено розв’язуючийого, одержуємо i = 4,63 %.

1.10.34. 1. Нехай розмiр щомiсячного внеску дорiвнює X. Вимiрюючичас кварталами, одержуємо 3Xa(3)

60|= 100 000 при ставцi 4 %, звiдки X =

= 1454,17.2. Вимiрюватимемо час мiсяцями. Вiдсоткова ставка j = 0,04(3)/3 =

= 0,013159. Зауважимо, що вiдсотки, якi сплачуються наприкiнцi мiся-ця, дорiвнюють залишку боргу на початку мiсяця, помноженому на j.

Чистий прибуток дещо менший вiд 5 % на рiк. Оцiнимо позику призначеннi прибутку 4,5 % на рiк: сучасне значення ануїтету (без ураху-вання податкiв) дорiвнює Xa180| при ставцi 0,045(12)/12, тобто 191 240.З формули Мейкема значення капiтальних виплат K можна обчислити зрiвняння

191 240 = K +0,013159

0,045(12)/12(100 000 − K),

108

звiдки K = 64645. Тодi чисте (без податкiв) значення ануїтету

K +0,2 · 0,0131590,045(12)/12

(100 000 − K) = 89 964.

При значеннi чистого прибутку 5 % права частина дорiвнює 86 467 заумовою задачi. Iнтерполюючи, маємо, що чистий рiчний прибуток при-близно дорiвнює 4,78 %.

1.10.35. Нехай у 2k-й рiк цiна погашення дорiвнює 100+kλ вiдсоткiвномiналу. Оцiнимо спочатку позику за умови погашення за номiналом iоподаткування на рiвнi 50 %, а потiм вiдкоригуємо результат. За цихприпущень при ставцi 7 %

K = 2000(ν2 + ν4 + ν6 + ν8) = 5 769,37.

З формули Мейкема чисте значення позики

K +0,1 · 0,50,07(4)

(8 000 − K) = 7 403,91.

Сучасне значення “надлишку” податку у першi 5 рокiв

20[a(4)2|

+ a(4)4|

+ 2a(4)5|

] = 274,85,

а надлишок премiй при погашеннi20λ(ν2 + 2ν4 + 3ν6 + 4ν8) = 134,562λ.

Звiдси маємо рiвняння7 403,91 + 274,85 + 134,562λ = 7880,95,

з якого λ = 1,5. Тодi цiна погашення позики у 2, 4, 6 i 8-й роки дорiвнюєвiдповiдно 101,5, 103, 104,5 i 106 %.

1.10.36. Для випадку 1 вiдразу помiтимо, що розмiр кожного плате-жу 100 000/a15|8 % = 11682,95. Сучасне значення цих виплат без ураху-вання податкiв при ставцi 7 % 11 682,95a15|7 % = 106 407. Якщо капi-тальна складова цих виплат дорiвнює K, то за формулою Мейкема

K +0,070,08

(100 000 − K) = 106 407.

Звiдси K = 55149, а цiна, яку потрiбно сплатити,

K +0,08 · 0,06

0,07(100 000 − K) = 85 904 грн.

Зауваження. Це значення можна визначити i як K + 0,6(106 407 − K).Для випадку 2, оскiльки g = i, формулу Мейкема для визначення K

застосовувати не можна. Але K можна обчислити безпосередньо:

K = 11862,95(ν150,08ν0,08 + ν14

0,08ν20,08 + · · · + ν0,08ν

150,08) = 51 152,08.

Тодi цiна, яку потрiбно сплатити за позику,K + 0,6(100 000 − K) = 80 461 грн.

109

1.10.37. Вимiрюємо час роками з моменту випуску. Iнвестор придбаєпозику в момент 1/2. Якщо позику буде повернуто в момент n, рiчнийприбуток i задовольняє рiвняння

102 = (1 + i)1/2(100νn + 10an|).

Наближено розв’язуючи, отримаємо такi значення i:n 1 2 3 4 5i 0,163 0,122 0,1138 0,1103 0,1084

Найменший прибуток буде при поверненнi позики через п’ять рокiвпiсля випуску. Тобто, хоча цiна при погашеннi менша за цiну покупки,раннє погашення веде до бiльшого прибутку. Це вiдбувається через те,що перiод до першої вiдсоткової виплати досить малий.

1.11. ВИЗНАЧЕННЯ ЦIНИ ФОРВАРДНИХ КОНТРАКТIВЗА ПРИПУЩЕННЯ ВIДСУТНОСТI АРБIТРАЖУ


Форвардний контракт — угода мiж двома сторонами, за якої однасторона погоджується придбати в iншої зазначену кiлькiсть активу зазазначеною цiною (цiною при доставцi) у зазначений момент часу. Iнве-стор, що погоджується продати актив, займає “форвардну коротку пози-цiю” за цим активом, а покупець — “форвардну довгу позицiю”. Цiна придоставцi на момент укладання форвардного контракту дорiвнює форвар-днiй цiнi, що котирується. Припущення про безарбiтражнiсть, або вiд-сутнiсть арбiтражу, означає, що iнвестор не може досягти прибутку безризику для себе. Якщо не сказано супротивне, припускають, що фор-вардний контракт є безкоштовним. За такого припущення, якщо сучаснацiна активу дорiвнює P, а безризикова вiдсоткова ставка i, то безарбi-тражна форвардна цiна дорiвнює ft = P(1 + i)t, де t — час виконанняконтракту. Якщо за активом сплачуються дивiденди розмiром Xi у мо-мент часу ti < t, то значення дивiдендiв на момент виконання контрактувiднiмається вiд форвардної цiни. У такому разi форвардна цiна

ft = P(1 + i)t −n∑

i=1

(1 + i)t−tiXi = (1 + i)t(

P −n∑

i=1

νtiXi

).

Другий вираз у цiй формулi природно iнтерпретувати як перераховануна момент t сучасну вартiсть грошового потоку до моменту t. Якщофорвардний контракт не є безкоштовним, його вартiсть за припущеннявiдсутностi арбiтражу дорiвнює дисконтованiй рiзницi мiж котируваннямфорвардної цiни активу i безарбiтражною форвардною цiною.

110

Задачi

1.11.1. Актив має поточну цiну 1,20 грн. У випадку, коли безризи-кова ставка вiдсотка дорiвнює 5 % рiчних i припускається безарбiтра-жнiсть, пiдрахуйте форвардну цiну, яку буде виплачено через 91 день.

1.11.2. Цiна акцiї становить 80 грн. Безризикова вiдсоткова ставкастановить 5 % на рiк i сплачується щоквартально. З урахуванням без-арбiтражностi i того, що за акцiєю не буде виплачуватися нiякий дохiд,пiдрахуйте форвардну цiну акцiї через один квартал.

1.11.3. Iнвестор уклав довгостроковий форвардний контракт на акцiю7 рокiв тому назад i контракт буде виконано через 3 роки. Цiна за100 грн номiналу за акцiю становила 96 грн сiм рокiв тому i заразстановить 148 грн. Безризикова ставка вiдсотка дорiвнює 4 % рiчних начас контракту. Пiдрахуйте вартiсть контракту на даний момент, якщо зацiнним папером буде виплачено єдиний купон вартiстю в 7 грн через двароки i це вiдомо з самого початку. Вам потрiбно припустити вiдсутнiстьарбiтражу.

1.11.4. Актив має поточну цiну 100 грн. Дохiд у розмiрi 5 грн будевиплачено через 20 днiв. Безризикова рiчна вiдсоткова ставка 6 % кон-вертується щопiвроку. Припускаючи безарбiтражнiсть угоди, пiдрахуйтефорвардну цiну, яку буде сплачено через 40 днiв.

1.11.5. Десятимiсячний форвардний контракт на акцiю випущено1 березня 2002 року на акцiю цiною в 12 грн. Дивiденди розмiром у1,50 грн за акцiю очiкуються 1 червня, 1 вересня та 1 грудня 2002 ро-ку. Пiдрахуйте форвардну цiну, якщо вiдсутнiй арбiтраж i безризиковавiдсоткова ставка дорiвнює 6 % рiчних, конвертованих щопiвроку.

1.11.6. Тримiсячний форвардний контракт було укладено 1 лютого2001 року на акцiю цiною 150 грн. Дивiденди виплачуються неперервноi становлять 3 % рiчних. Крiм того, очiкується, що спецiальний дивiдендрозмiром 30 грн на акцiю буде виплачено 1 квiтня 2001 року.

Припускаючи безризикову iнтенсивнiсть вiдсотка в 5 % рiчних i вiд-сутнiсть арбiтражу, пiдрахуйте форвардну цiну акцiї за контрактом.

1.11.7. Семимiсячний форвардний контракт було випущено 1 сiчня2000 року на акцiю цiною в 60 грн за штуку. Дивiденди розмiром 2 грнна акцiю очiкуються пiсля трьох i шести мiсяцiв.

Припускаючи безризикову iнтенсивнiсть вiдсотка 7 % за рiк i вiдсут-нiсть арбiтражу, пiдрахуйте форвардну цiну.

1.11.8. Деяка компанiя випустила акцiї як частини трирiчного фор-вардного контракту. Поточна риночна вартiсть однiєї акцiї дорiвнює4,50 грн, i дивiденд 0,20 грн на кожну акцiю було тiльки що випла-чено. У подальшому планується, що дивiденди виплачуватимуться що-квартально, зростатимуть на 1 % кожного кварталу першi два роки i на

111

1,5 % щокварталу в останнiй рiк (тут вiдсотки складнi). Припускаючибезризикову iнтенсивнiсть вiдсотка 5 % за рiк i вiдсутнiсть арбiтражу,пiдрахуйте форвардну цiну.

1.11.9. Форвардний контракт термiном на один рiк укладено 1 квiтня2003 року на акцiю цiною в 600 грн на той момент. Дивiденди по 30 грнна акцiю очiкуються 30 вересня 2003 року i 31 березня 2004 року. Пiврi-чна i рiчна ефективнi спотовi безризиковi вiдсотковi ставки дорiвнюють4 % i 4,5 % рiчних на 1 квiтня 2003 року. Розрахуйте форвардну цiнуконтракту, припускаючи безарбiтражнiсть угоди.

1.11.10. Цiна облiгацiї становить 95 грн за 100 грн номiнальної вар-тостi. За облiгацiєю щопiвроку сплачуються купони за рiчною ставкою5 %, термiн обiгу становить 5 рокiв. Iнвестор займає коротку позицiюу форвардному контрактi на 1 000 000 грн номiналу за цiєю облiгацiєю,з цiною при доставцi 98 грн за 100 грн номiнальної вартостi, контрактзакiнчується через рiк, вiдразу пiсля вiдповiдної купонної виплати. Без-ризиковi ставки вiдсотку на пiвроку i на рiк становлять вiдповiдно 4,6 %та 5,2 % рiчних при неперервному дисконтуваннi. Обчислiть вартiстьцього контракту для iнвестора у припущеннi вiдсутностi арбiтражу.


1.11.1. Рiзниця мiж володiнням активом i володiнням форвардом по-лягає у тому, що в другому випадку суму, що дорiвнює вартостi активу,можна iнвестувати за безризиковою ставкою, отже, форвардна цiна

f91 = 1,2 · (1,05)91/365 = 1,2147.1.11.2. Цiна становить 80 · 1,0125 = 81 грн.1.11.3. Форвардна цiна при укладаннi угоди: 96(1,04)10 − 7 · 1,04 =

= 134,82. Форвардна цiна, яка має бути зараз: 148(1,04)3 − 7 · 1,04 == 159,20. Отже, сучасна вартiсть контракту (159,20− 134,82)ν3 = 21,67.

Зауваження. Вартiсть можна було порахувати i безпосередньо як148 − 96(1,04)7 = 21,67, у цьому випадку виплата за купоном не маєжодного значення.

1.11.4. Форвардна цiнаf40 = 100(1,03)40/182,5 − 5(1,03)20/182,5 = 95,64475 грн.

1.11.5. Сучасна вартiсть дивiдендiв I = 1,5(ν1/4 + ν1/2 + ν3/4). Ефе-ктивна ставка становить i = (1,03)2 − 1, тобто i % = 6,09 %, томуI = 4,3693. Отже, форвардна цiна F = (12 − 4,3693)(1,0609)10/12 == 8,0160 грн.

1.11.6. З урахуванням неперервного надходження дивiдендiв i непе-рервної ставки форвардна цiна

150e(0,05−0,03)/4 − 30e0,05/12 = 120,63 грн.

112

1.11.7. Сучасна вартiсть дивiдендiв

I = 2(e−0,07·0,25 + e−0,07·0,5) = 3,8965, T − t =712

= 0,58333.

Тому форвардна цiна

F = (60 − 3,8965)e0,07·0,58333 = 58,44 грн.

1.11.8. Сучасна вартiсть дивiдендiв, коп:

I = 20[1,01e−0,05/4 + 1,012e−0,05/2 + . . . + 1,018e−0,1 +

+ 1,018(1,015e−0,05/4 + 1,0152e−0,05/2 + 1,0153e−0,05·3/4 + 1,0154e−0,05)]

=

= 20 · 1,01e−0,05 1 −(1,01e−0,05/4

)8

1 − 1,01e−0,05/4+

+ 20 · 1,018e−0,051,0151 −

(1,015e−0,05/4

)4

1 − 1,015e−0,05/4= 237,031.

Тодi форвардна цiна акцiї

(4,50 − 2,37031)e0,15 = 2,474 грн.

1.11.9. Сучасна вартiсть дивiдендiв

0,3ν1/24 % + 0,3ν4,5 %(0,980581 + 0,956938) = 0,581256.

Тому форвардна цiна

F = (6 − 0,581256)1,045 = 5,66259.

1.11.10. Сучасна вартiсть купонних виплат

I = 2,5(e−0,046·0,5 + e−0,052·1) = 4,81648.

Тому дисконтоване значення безарбiтражної форвардної цiни дорiвнює95 − 4,81648 = 90,18352. Отже, вартiсть контракту на 100 грн номiналу98e−0,052 − 90,18352 = 2,85701 грн. Таким чином, вартiсть вказаногоконтракту 28 570,1 грн.

1.12. ЧАСОВА СТРУКТУРА ВIДСОТКОВОЇ СТАВКИ


Одинична облiгацiя з нульовим купоном i термiном погашення n рокiвє угодою виплатити 1 грн наприкiнцi n-го року без виплати купонiв.Позначимо через Pn цiну випуску цiєї облiгацiї; n-рiчною дискретноюспотовою вiдсотковою ставкою назвемо таку вiдсоткову ставку yn, щоPn = (1 + yn)

−n.

113

Довiльну iнвестицiю з фiксованим вiдсотком можна розглядати яккомбiнацiю облiгацiй з нульовим купоном. Наприклад, облiгацiю, щовиплачує наприкiнцi кожного року купони на суму D протягом n ро-кiв i з сумою погашення R наприкiнцi n-го року, можна розглядати яккомбiнацiю n облiгацiй з нульовим купоном з сумою погашення D i зтермiнами погашення вiдповiдно в 1, 2, . . ., n рокiв плюс облiгацiя знульовим купоном з сумою погашення R i з термiном погашення n рокiв.Позначимо νyt

= (1 + yt)−1, тодi сучасна вартiсть облiгацiї дорiвнює

A = D(P1 + . . . + Pn) + RPn = D(νy1+ ν2

y2+ . . . + νn

yn) + Rνn

yn.

Дискретна форвардна ставка ft,r — рiчна вiдсоткова ставка, якуузгоджено в початковий момент часу t = 0 i яка стосується iнвестицiї,що буде зроблено в момент часу t > 0 на термiн у r рокiв. Таким чином,якщо в нульовий момент часу iнвестор погодився iнвестувати капiтал Cу момент t на r рокiв, то накопичена в момент t + r сума дорiвнюватимеC(1+ ft,r)r . Маємо спiввiдношення (1+yt)

t(1+ ft,r)r = (1+yt+r)t+r = P−1

t+r .Отже, (1 + ft,r)r = Pt/Pt+r. Одноперiодну форвардну ставку позначимоft = ft,1, тодi (1 + yt)

t = (1 + f0)(1 + f1) . . . (1 + ft−1).Неперервна t-рiчна спотова вiдсоткова ставка Yt визначається iз

спiввiдношення Pt = e−Ytt, звiдки Yt = −(lnPt)/t. Iз означення випливає,що (1 + yt)

t = eYtt.Неперервна форвардна ставка Ft,r — iнтенсивнiсть вiдсотка, еквi-

валентна рiчнiй дискретнiй форварднiй ставцi ft,r , тобто (1 + ft,r)r == eFt,rr . Звiдси ft,r = eFt,r − 1. Мають мiсце спiввiдношення eYtteFt,rr == e(t+r)Yt+r ⇒ Ft,r = 1

r [(t + r)Yt+r − tYt]. Оскiльки Yt = −(lnPt)/t, то Ft,r == ln(Pt/Pt+r)/r.

Миттєва форвардна ставка Ft визначається як Ft = limr→0

Ft,r . Отже,

Ft = limr→0

1r

ln (Pt/Pt+r) = − d

dtlnPt ⇒ Pt = exp

−

w t

0Fsds

.

Номiнальний n-рiчний дохiд ycn — розмiр купонних виплат за облi-гацiєю номiналом у 1 грн термiном на n рокiв з цiною в 1 грн. Такимчином, має мiсце спiввiдношення 1 = ycn(νy1 + ν2

y2+ . . . + νn

yn) + νn

yn, де

νyt= (1 + yt)

−1.Нехай Ctk, k = 1, . . ., n, — грошовий потiк i нехай A — сучасна

вартiсть цього грошового потоку вiдносно ставки доходностi до погашен-ня i. Тодi A =

∑nk=1 Ctkν

tki , де νi = 1

1+i . Волатильнiстю v називають такумiру змiни сучасної вартостi A вiдносно i:

v = − 1A

d

diA =

∑nk=1 Ctk tkν

tk+1i∑n

k=1 Ctkνtki

.

114

Дисконтованим середнiм часом, або тривалiстю, грошового потоку нази-вається величина

τ =

∑nk=1 Ctk tkν

tki∑n

k=1 Ctkνtki

.

Таким чином, τ = (1+ i)v. Дисконтований середнiй час для облiгацiї, ви-даної на n рокiв з рiчними купонними виплатами D i з сумою погашенняR, дорiвнює

τ =D(Ia)n| + Rnνn

Dan| + Rνn.

Опуклiсть c грошового потоку визначається як

c =1A

d2

di2A =

∑nk=1 Ctk tk(tk + 1)νtk+2

i∑nk=1 Ctkν

tki

.

Нехай деякий фонд має грошовий потiк по активах Atk i грошовийпотiк по зобов’язаннях (пасивах) Ltk. Позначимо через VA, VL сучаснувартiсть грошових потокiв за активами i пасивами вiдповiдно. НехайvA, vL — волатильностi, а cA, cL — опуклостi вiдповiдних грошових по-токiв. При вiдсотковiй ставцi i0 фонд iмунiзовано вiдносно малих змiнε вiдсоткової ставки тодi i тiльки тодi, коли VA(i0) = VL(i0) i VA(i0 ++ ε) ≥ VL(i0 + ε). Умови iмунiзацiї Редiнгтона: VA(i0) = VL(i0), vA(i0) == vL(i0), cA(i0) > cL(i0).

Задачi

1.12.1. 1. Нехай Ctk — значення грошового потоку в моменти часуtk, k = 1, 2, . . . ,n:

а) дати означення волатильностi грошового потоку i вивести формулудля волатильностi у термiнах tk,Ctk i ν;

б) дати означення опуклостi грошового потоку i вивести формулу дляопуклостi у термiнах tk,Ctk i ν.

2. Боргову облiгацiю випущено 1 березня 2005 року, щорiчнi купоннiвиплати наприкiнцi кожного року дорiвнюють 8 % рiчних. Облiгацiюбуде погашено за номiналом через 10 рокiв:

а) показати, що волатильнiсть цiєї облiгацiї на 1 березня 2005 рокупри ефективнiй рiчнiй вiдсотковiй ставцi 8 % дорiвнює 6,71;

б) 1 березня 2005 року iнвестор має зобов’язання на 100 000 грн,якi вiн повинен виплатити через 7,247 року. Обчислити волатильнiстьi опуклiсть цих зобов’язань 1 березня 2005 року за ефективної рiчноївiдсоткової ставки 8 %;

115

в) 1 березня 2005 року iнвестор вирiшує iнвестувати суму, еквiва-лентну сучаснiй вартостi зобов’язань, у боргову облiгацiю. Сучасна вар-тiсть зобов’язань i цiна облiгацiї обчислюються при ефективнiй рiчнiйвiдсотковiй ставцi 8 %. Вважаючи, що опуклiсть облiгацiї на 1 бере-зня 2005 року дорiвнює 60,53, з’ясувати, чи буде iнвестор iмунiзованийвiдносно малих змiн вiдсоткової ставки.

3. Обчислiть рiзницю сучасних вартостей активiв i зобов’язань iнвес-тора на 1 березня 2005 року, якщо зразу пiсля купiвлi облiгацiї позикиефективна вiдсоткова ставка зросла до рiчних.

1.12.2. Однорiчна форвардна ставка ft для t = 0, 1, 2 дорiвнює вiдпо-вiдно f0 = 0,06, f1 = 0,065, f2 = 0,07. Який номiнальний дохiд 3-рiчноїоблiгацiї?

1.12.3. 1. Iнвестор купив облiгацiю з купонами в 10 % на рiк, якiвиплачуються наприкiнцi кожного пiврiччя. Облiгацiю буде погашеночерез 20 рокiв сумою в 110 грн. З купонних виплат береться податокрозмiром 25 %:

а) покажiть, що цiна облiгацiї при ефективнiй вiдсотковiй ставцi 10 %рiчних дорiвнює 81,76 грн;

б) обчислiть волатильнiсть облiгацiї при 10 % рiчних.2. Iнвестор має два платiжних зобов’язання. Сучасна вартiсть зобо-

в’язань при ефективнiй вiдсотковiй ставцi 10 % рiчних дорiвнює сучаснiйвартостi облiгацiї з купонами, яку купив iнвестор. Виплати по обох зо-бов’язаннях однаковi. Друге платiжне зобов’язання має бути погашеночерез 10 рокiв:

а) покажiть, що при термiнi погашення для першого зобов’язання в9,61 рокiв волатильнiсть зобов’язань дорiвнюватиме волатильностi об-лiгацiї;

б) обчислiть опуклiсть зобов’язань;в) вiдомо, що опуклiсть облiгацiї дорiвнює 318,413. Чи буде iнвестор

iмунiзований вiдносно малих змiн вiдсоткової ставки?1.12.4. Задано наступнi n-рiчнi спотовi ставки в момент часу t = 0:

y1 = 4 %, y2 = 5 %, y3 = 6 %, y4 = 7 %, y5 = 7,5 %, y6 = 8 %.1. Дайте означення n-рiчної спотової ставки.2. Обчислiть дворiчну форвардну вiдсоткову ставку в момент t = 3.3. Обчислiть значення шестирiчного номiнального доходу в момент

t = 0.1.12.5. Позначимо через ft,n n-рiчну форвардну ставку операцiй, що

починаються в момент часу t i закiнчуються в момент часу t + n. За-дано f0,1 = 6 %, f0,2 = 6,5 %, f1,2 = 6,6 % рiчних. Визначити 3-рiчнийномiнальний дохiд yc3.

1.12.6. Iнвестор зобов’язаний виплатити загальну суму в 20 000 грнчерез 15 рокiв, а також забезпечити виплати за ануїтетом, за яким ви-

116

плачуються 5 000 грн рiчних авансом щопiвроку протягом 25 рокiв iвиплати починаються через 10 рокiв вiд нинiшнього часу. Iнвестор маєкапiтал, що дорiвнює сучаснiй вартостi цих двох зобов’язань за ефектив-ної рiчної вiдсоткової ставки 7 %. Iнвестор хоче iмунiзувати свої фондивiдносно малих змiн вiдсоткової ставки iнвестуванням наявних коштiву двi облiгацiї з нульовим купоном X i Y . Цiна облiгацiй визначаєтьсярiчною ефективною вiдсотковою ставкою 7 %. Iнвестор вкладає в облi-гацiю X суму, яка забезпечить 25 000 грн при погашеннi через 10 рокiв.Залишок наявних коштiв iнвестор вкладає в Y .

1. Обчислити суму грошей, iнвестовану в облiгацiю Y .2. Визначити термiн погашення облiгацiї Y i суму погашення.3. Без обчислень визначити умови iмунiзацiї фондiв iнвестора.1.12.7. Задано спотовi вiдсотковi ставки y1 = 7 %, y2 = 6 %, y3 =

= 5,5 % рiчних. Чому дорiвнює 2-рiчна форвардна вiдсоткова ставка змоменту часу t = 1?

1.12.8. 1. Нехай Ctk — грошовий потiк у моменти часу tk, k = 1, . . . ,n i V — сучасна вартiсть цих платежiв при ефективнiй вiдсотковiй ставцii. Таким чином, V =

∑nk=1 Ctk(1 + i)−tk . Дайте означення:

а) дисконтованого середнього часу τ цих грошових потокiв у термiнахtk, Ctk , ν, ν = 1/(1 + i);

б) волатильностi v грошового потоку в термiнах V i покажiть, щоτ = (1 + i)v.

2. Фонд має забезпечити виплати за ануїтетом, за яким виплачується60 000 грн щорiчно iз заборгованiстю протягом 9 рокiв i з сумою погаше-ння 750 000 грн через 10 рокiв. Фонд має кошти, що дорiвнюють суча-снiй вартостi зобов’язань при 7 % рiчних ефективної вiдсоткової ставки.Менеджер фонду має бажання iнвестувати цi кошти у двi облiгацiї знульовими купонами: облiгацiю A, що погашається через 5 рокiв i облi-гацiю Б, що погашається через 20 рокiв. Менеджер хоче, щоб активи iзобов’язання мали однакову волатильнiсть. Якi суми менеджер повиненiнвестувати в кожну з облiгацiй?

3. За яких додаткових умов фонд буде iмунiзований вiдносно малихзмiн вiдсоткової ставки?

1.12.9. У момент часу t = 0 задано спотовi вiдсотковi ставки y1 == 4,5 %, y2 = 5 %, y3 = 5,5 % рiчних. Чому дорiвнює дворiчна форварднавiдсоткова ставка з моменту часу t = 1?

1.12.10. Нехай ft,r — форвардна ставка, що застосовується за перiодвiд t до t + r, yt є спотовою ставкою за перiод вiд 0 до t. Дохiд бруттовiд однорiчної облiгацiї з 6 %-ним купоном становить 6 % рiчних; дохiдбрутто вiд дворiчної облiгацiї з 6 %-ним щорiчним купоном становить6,3 % рiчних; i дохiд брутто вiд трирiчної облiгацiї з 6 %-ним рiчним

117

купоном становить 6,6 % рiчних. Всi облiгацiї погашаються за номiналомчерез один рiк пiсля наступної виплати за купоном.

1. Припускаючи безарбiтражнiсть, пiдрахуйте:а) y1, y2, y3;б) f0,1, f1,1, f2,1.2. Пояснiть, чому форварднi ставки збiльшуються з часом швидше,

нiж спотовi.1.12.11. 1. Змiнний ануїтет, що пiдлягає виплатi iз заборгованiстю

протягом n рокiв, є таким, що виплата наприкiнцi року t становить t2.Покажiть, що його сучасна вартiсть дорiвнює

2(Ia)n| − an| − n2νn+1

1 − ν .

2. Пенсiйний фонд має сплатити за своїми пасивами 100 000 грн на-прикiнцi першого року, 105 000 грн наприкiнцi двох рокiв, i так да-лi, сума збiльшуватиметься на 5 000 грн щороку, тобто дорiвнюватиме195 000 грн наприкiнцi 20 рокiв, i це буде остання виплата. Фонд оцiнюєцi виплати за ставки 7 % рiчних. Це є також вiдсоткова ставка, за якоюпiдраховано поточну цiну всiх облiгацiй.

Фонд вкладає суму, що дорiвнює сучаснiй вартостi цих пасивiв, удва активи: облiгацiю A з нульовим купоном, що погашається через25 рокiв та облiгацiю Б з фiксованим вiдсотком, що погашається заномiналом через 12 рокiв, за якою виплачується щорiчно купон 8 %рiчних iз заборгованiстю. Пiдрахуйте:

а) сучасну вартiсть i тривалiсть пасивiв;б) суму готiвки, яку потрiбно буде iнвестувати в кожен актив, щоб

тривалiсть активiв дорiвнювала тривалостi пасивiв.1.12.12. Пенсiйний фонд зробить виплати розмiром 100 000 грн на-

прикiнцi кожного з наступних 5 рокiв. Вiн хоче iмунiзувати цi пасивиiнвестуванням у двi безкупоннi облiгацiї, якi погашаються через 5 рокiвi через рiк, вiдповiдно; ставка становить 5 % рiчних.

1. Покажiть, що:а) сучасна вартiсть пасивiв становить 432 950 грн;б) тривалiсть пасивiв становить 2,9 року.2. Пiдрахуйте номiнальну вартiсть двох безкупонних облiгацiй, якi

будуть придбанi, якщо пенсiйний фонд хоче зрiвняти сучасну вартiсть iтривалiсть активiв i пасивiв.

3. Пiдрахуйте опуклiсть активiв.4. Вiдомо, що опуклiсть пасивiв дорiвнює cL(0,05) = 12,08. Чи вико-

нуються умови iмунiзацiї за Редiнгтоном?1.12.13. Задано n-рiчну спотову ставку вiдсотка

yn = 0,04 +n

1000, n = 1, 2, 3.

118

1. Пiдрахуйте вiдповiднi однорiчнi форварднi ставки, якi застосовую-ться в моменти t = 1 i t = 2.

2. Припускаючи, що купон i капiтальнi виплати можуть бути дис-контованi з використанням однакових дисконтних множникiв, i що немаєарбiтражу, пiдрахуйте:

а) цiну в момент t = 0 за 100 грн номiналу облiгацiї, за якою випла-чуються щорiчнi купони в 3 % iз заборгованiстю, i яка погашається заставкою 110 % через 3 роки;

б) дворiчний номiнальний дохiд.1.12.14. 1. Iнвестування приносить щорiчний дохiд у 1 млн грн, який

виплачується наприкiнцi кожного року протягом наступних 10 рокiв. По-гашення капiталу не вiдбувається. Якщо ставка вiдсотка становить 7 %рiчних, покажiть, що дисконтований середнiй час iнвестицiї становить4,946 року.

2. Iнвестицiйна компанiя має 7 млн грн пасивiв, якi слiд вiдшкоду-вати через 5 рокiв i 8 млн грн пасивiв, якi потрiбно вiдшкодувати через8 рокiв. Компанiя володiє двома iнвестицiями A i Б. Iнвестицiя А —iнвестицiя, яку описано в пунктi 1, а iнвестицiя Б є облiгацiєю з нульо-вим купоном, за якою виплачується X грн наприкiнцi n рокiв (де n необов’язково цiле).

Вiдсоткова ставка становить 7 % рiчних. Визначити, чи дiйсно ве-личини X i n можна обрати так, щоб вони гарантували iнвестицiйнiйкомпанiї iмунiзацiю вiдносно малих змiн у вiдсотковiй ставцi.

Вiдомо, що∑10

t=1 t2νt = 228,451 при i = 7 %.1.12.15. Рiчна ефективна форвардна ставка, що застосовується за

перiод вiд t до t + r, визначається як ft,r , де t та r вимiрюються в роках.При даних значеннях f0,1 = 8 %, f1,1 = 7 %, f2,1 = 6 % и f3,1 = 5 %пiдрахуйте дохiд брутто в момент випуску чотирирiчної облiгацiї, щопогашається за номiналом, i за якою виплачується щорiчно 5 %-нийкупон iз заборгованiстю.

1.12.16. 1. Нехай грошовi надходження вiдбуватимуться у дискретнiмоменти часу. Визначимо волатильнiсть як пропорцiйну змiну сучасногозначення потоку платежiв на одиницю змiни iнтенсивностi вiдсотка прималих змiнах iнтенсивностi вiдсотка.

Доведiть, що при такому означеннi дисконтований середнiй час дорiв-нює волатильностi.

2. Якщо волатильнiсть визначається тепер як пропорцiйна змiна су-часного значення потоку платежiв на одиницю змiни рiчної ефективноїставки вiдсотка для маленької змiни в рiчнiй ефективнiй ставцi вiдсотка,визначте взаємозв’язок мiж дисконтованим середнiм часом та волатиль-нiстю.

119

3. Компанiя зi страхування життя керує невеликим ануїтетним фон-дом. Очiкується, що з фонду зроблять виплати в розмiрi 1 млн грннаприкiнцi кожного з наступних 10 рокiв, i розмiром 1,5 млн грн напри-кiнцi кожного з 10 рокiв потому. Активи компанiї розмiщено у двохоблiгацiях. Першою є облiгацiя з нульовим купоном, яку буде погашенов 10-рiчний перiод. Другою є облiгацiя, за якою сплачується кожногороку купон g % рiчних iз заборгованiстю, i яку погасять за номiналомчерез 19 рокiв. Було придбано 10 млн грн номiналу облiгацiї з нульовимкупоном.

Визначте номiнальну вартiсть облiгацiї з купоном, яку буде придбано,i ставку купона, яку буде отримано вiд цiєї облiгацiї, якщо страховакомпанiя прирiвняла сучасну вартiсть i дисконтований середнiй час їїактивiв та пасивiв за ефективною ставкою 5 % рiчних.

4. Якщо сучасна вартiсть i дисконтований середнiй час активiв тапасивiв прирiвнюються, задайте третю умову, яка є достатньою для iму-нiзацiї страхової компанiї вiдносно малих змiн у вiдсотковiй ставцi.

1.12.17. Форвардна ставка з моменту t − 1 до моменту t, ft−1,t, маєтакi значення: f0,1 = 4,0 %, f1,2 = 4,5 %, f2,3 = 4,8 %.

Припускаючи вiдсутнiсть арбiтражу, пiдрахуйте:а) цiну трирiчної облiгацiї номiнальною вартiстю 100 грн, за якою

виплачується щорiчний купон розмiром у 5 % iз заборгованiстю i якупогашають за номiналом точно через три роки;

б) дохiд брутто вiд облiгацiї.1.12.18. Є три облiгацiї, за якими сплачуються рiчнi купони в 7 % iз

заборгованiстю i якi погашають по 105 грн на 100 грн номiналу в одно-,дво- та трирiчний перiод вiдповiдно. Цiна кожної облiгацiї становить98 грн за 100 грн номiналу.

1. Визначте дохiд брутто вiд трирiчної облiгацiї.2. Пiдрахуйте всi можливi спотовi ставки, враховуючи надану iнфор-

мацiю.1.12.19. Компанiя має сплачувати за зобов’язаннями 1000 + 400t грн

наприкiнцi року t, для t = 5, 10, 15, 20, 25. Вона оцiнює цi пасиви,припускаючи, що в майбутньому постiйна ефективна вiдсоткова ставкастановитиме 7 % рiчних.

Сума, що дорiвнює загальнiй сучаснiй вартостi пасивiв, вiдразу ж iн-вестується в двi облiгацiї: облiгацiю А, за якою сплачуються кожногороку купони розмiром 5 % рiчних iз заборгованiстю, i яку гасять через26 рокiв за номiнальною цiною, та облiгацiю Б, за якою сплачуються ко-жного року купони розмiром 4 % рiчних iз заборгованiстю, i яку гасятьчерез 32 роки за номiнальною цiною. Дохiд брутто при виплатi за дво-ма облiгацiями такий самий, як i той, що використовується при оцiнцiпасивiв. Пiдрахуйте:

120

а) сучасну вартiсть пасивiв;б) дисконтований середнiй час пасивiв;в) номiнальну вартiсть кожної облiгацiї за умови, що тривалостi акти-

вiв i пасивiв однаковi.1.12.20. Особа iнвестує в ринок, на якому дiє велика кiлькiсть спо-

тових i форвардних ставок.Якщо в момент t = 0 вона вкладає 1 000 грн на два роки, то отримає

1 118 грн у момент t = 2. Iнакше, якщо в момент t = 0 вона погоджуєтьсяiнвестувати 1 000 грн у момент t = 1 на два роки, то вона отримає1 140 грн у момент t = 3. Але, якщо в момент t = 0 вона погоджуєтьсяiнвестувати 1 000 грн у момент t = 1 на один рiк, вона отримає 1 058 грнв момент t = 2. Пiдрахуйте:

а) однорiчну, дворiчну та трирiчну спотовi ставки в момент t = 0,враховуючи заданi ставки;

б) трирiчний номiнальний дохiд у момент t = 0 на цьому ринку.1.12.21. Нова група менеджменту розглядає справи фiнансової ком-

панiї. Вона з’ясувала, що компанiя має пасиви 15 млн грн, якi потрiб-но виплатити через 13 рокiв, i 10 млн грн, якi потрiбно виплатити че-рез 25 рокiв. Активи складаються з двох облiгацiй з нульовим купо-ном, за одною сплачується 12,425 млн грн через 12 рокiв, за iншою —12,946 млн грн через 24 роки. Поточна ефективна вiдсоткова ставка ста-новить 8 % рiчних. Визначте, чи виконуються необхiднi умови iмунiзацiїфiнансової компанiї вiдносно малих змiн у вiдсотковiй ставцi.

1.12.22. Iнтенсивнiсть вiдсотка δ(t) є функцiєю часу i задається фор-мулою δ(t) = 0,04 + 0,001t, де t — кiлькiсть рокiв.

1. Пiдрахуйте накопичену вартiсть одиничної суми грошей:а) з моменту t = 0 до моменту t = 8;б) з моменту t = 0 до моменту t = 9;в) з моменту t = 8 до моменту t = 9.2. Використовуючи результати з пункту 1, або iншим способом, пiдра-

хуйте восьмирiчну спотову вiдсоткову ставку з моменту t = 0 до моментуt = 8, дев’ятирiчну спотову вiдсоткову ставку з моменту t = 0 до момен-ту t = 9 та f8,1, де f8,1 — форвардна вiдсоткова ставка з моменту t = 8на 1 рiк.

1.12.23. Страхова компанiя має портфель ануїтетних контрактiв, вiд-повiдно до яких очiкується виплата 1 млн грн наприкiнцi кожного знаступних 20 рокiв i 0,5 млн грн наприкiнцi кожного року протягомнаступних 20 рокiв, тобто починаючи з 21-го року. За урядовою облi-гацiєю з найбiльшою тривалiстю, в яку компанiя може iнвестувати своїфонди, виплачується купон у 10 % рiчних iз заборгованiстю, i облiгацiюпогашають за номiнальною цiною через 15 рокiв. Норма прибутку при

121

погашеннi урядової облiгацiї становить 6 % за рiк, i купонну виплатущойно було зроблено.

1. Пiдрахуйте тривалiсть пасивiв страхової компанiї при ефективнiйставцi 6 % за рiк.

2. Дайте вiдповiдь на завдання пункту 1, якщо усi фонди страховихкомпанiй iнвестуються в урядову облiгацiю з найбiльшою тривалiстю.

3. Пояснiть, чому страхова компанiя не може iмунiзувати свої пасиви,купуючи урядову облiгацiю. Без додаткових обчислень вкажiть, за якихобставин компанiя може мати збитки, якщо змiни вiдсоткової ставкибудуть рiвномiрними. Пояснiть причину втрат.

1.12.24. 1. Пояснiть:а) що мається на увазi пiд “теорiєю очiкування”, що пояснює форму

графiка кривої доходу;б) як “теорiю очiкування” можна модифiкувати, використовуючи тео-

рiї “переваги лiквiдностi” i “сегментацiї ринку”.2. Однорiчнi вiдсотковi ставки зараз дорiвнюють 10 %, очiкується,

що вони будуть 9 % через рiк, 8 % через два роки, 7 % через три ро-ки i потiм залишаться на цьому рiвнi. Якщо доходи за облiгацiями збудь-яким термiном погашення лише вiдбивають очiкування майбутнiхкороткострокових вiдсоткових ставок, пiдрахуйте дохiд брутто за одно-рiчною, трирiчною, п’ятирiчною i десятирiчною облiгацiями з нульовимкупоном.

1.12.25. Дворiчна облiгацiя iз фiксованим вiдсотком, з купонами у8 % рiчних, якi виплачуються iз заборгованiстю, погашається по 98 %вiд номiналу. В момент часу t = 0 ця облiгацiя має цiну 105,4 грнза 100 грн номiналу, а дворiчний номiнальний дохiд дорiвнює 4,15 %.Обчислити однорiчну та дворiчнi спотовi вiдсотковi ставки.

1.12.26. Страхова компанiя має пасиви розмiром 10 млн грн, що слiдвiдшкодувати через 10 рокiв, 20 млн грн пасивiв, якi потрiбно вiдшкоду-вати через 15 рокiв, а також двi облiгацiї з нульовим купоном, за одноюз яких буде виплачено 7,404 млн грн через два роки, а за iншою —31,834 млн грн через 25 рокiв. Ефективна вiдсоткова ставка становить7 % рiчних.

1. Показати, що для цiєї компанiї виконуються двi першi умови Ре-дiнгтона для iмунiзацiї вiдносно малих змiн вiдсоткової ставки.

2. Через сучасну вартiсть визначити прибуток або втрати, якi компа-нiя матиме, якщо вiдсоткова ставка вiдразу зросте до 7,5 % рiчних.

3. Пояснiть, як можна було в пунктi 2 без обчислень передбачити,прибуток чи втрати матиме компанiя.

1.12.27. Позначимо через ft,1 однорiчну форвардну вiдсоткову ставку,застосовану в момент часу t. При ft,1 = 4 % обчислити неперервну фор-вардну вiдсоткову ставку Ft,1, яка застосовується в той самий перiод.

122

1.12.28. Страхова кампанiя має неперервний потiк платежiв за зо-бов’язаннями протягом наступних 20 рокiв. Виплати здiйснюються по10 млн грн щороку. Обчислити тривалiсть (дисконтований середнiй час)цього неперервного потоку платежiв при ефективнiй вiдсотковiй ставцi4 % рiчних.

1.12.29. На ринку цiнних паперiв дiють такi цiни на безкупоннi облi-гацiї, що погашаються за номiналом: на однорiчнi — 97, на дворiчнi —93, на трирiчнi — 88, на чотирирiчнi — 83.

1. Припускаючи, що арбiтраж вiдсутнiй, обчислити:а) yt, t = 1, 2, 3, 4, де yt — t-рiчна спотова вiдсоткова ставка;б) норму прибутку чотирирiчної облiгацiї, що погашається за номiна-

лом i за якою виплачуються 4 % купони iз заборгованiстю.2. Пояснiть чому чотирирiчна спотова ставка бiльша, нiж норма при-

бутку облiгацiї з пункту 1б), що погашається за номiналом i має 4 %-нийкупон, який виплачується iз заборгованiстю.

3. Використовуючи теорiю “переваги лiквiдностi”, пояснiть поведiн-ку кривої доходу, визначеної спотовими вiдсотковими ставками, обчис-леними в пунктi 1a), якщо майбутнi короткостроковi вiдсотковi ставкиочiкуються сталими.

1.12.30. 1. Доведiть, що

(Ia)n| =

..an| − nνn

i.

2. За урядовою облiгацiєю раз у пiвроку виплачується купон iз забор-гованiстю розмiром 10 грн на рiк. Облiгацiю буде погашено за номiналомчерез 10 рокiв. Дохiд брутто за облiгацiєю становить 6 % рiчних, i спла-чується щопiвроку. Обчислiть тривалiсть облiгацiї в роках.

3. Пояснiть, чому тривалiсть облiгацiї бiльша, якщо купонна виплата8 грн на рiк замiсть 10 грн на рiк.

1.12.31. При довiчному ануїтетi щорiчнi купони виплачують iз за-боргованiстю. Показати, що волатильнiсть довiчного ануїтету дорiвнює1/i, де i — вiдсоткова ставка.

1.12.32. 1. Пiдрахуйте дисконтований середнiй час наступного пото-ку платежiв: 100 грн, що сплачуються зараз, 230 грн через п’ять рокiв,600 грн через десять рокiв, якщо ефективна рiчна вiдсоткова ставка ста-новить: а) 5 %; б) 15 %.

2. Iнвестор придбав ануїтет, за яким надходять щорiчнi платежi iззаборгованiстю протягом 20 рокiв. Перший платiж дорiвнює 1 000 грн.За вiдсоткової ставки 8 % рiчних пiдрахуйте дисконтований середнiйчас ануїтету, за умови, що: а) виплати незмiннi; б) виплати щорокузростають на 100 грн; в) виплати щороку зростають на 8 %; г) виплатищороку зростають на 10 %.

123

1.12.33. 1. За даної вiдсоткової ставки один грошовий потiк має су-часну вартiсть V1 i тривалiсть t1; iнший — V2 i t2. Покажiть, що, якщоV1 + V2 6= 0, то за такої ж вiдсоткової ставки тривалiсть об’єднаногопотоку платежiв дорiвнює

V1t1 +V2t2V1 +V2

.

Узагальнiть твердження на n потокiв платежiв.2. Iнвестор отримав ануїтет, за яким протягом 10 рокiв здiйснюються

виплати розмiром 10 000 грн наприкiнцi кожного року. Iнвестор зобов’я-заний зробити два платежi розмiром 30 000 грн, перший через 5 рокiв,другий через 10 рокiв пiсля першого.

За вiдсоткової ставки 10 % рiчних:а) пiдрахуйте сучасну вартiсть i тривалiсть виплат, отриманих iнвес-

тором, i платежiв, зроблених ним;б) використовуючи результат пункту 1 або iншим шляхом обчислiть

тривалiсть чистих потокiв платежiв iнвестора.1.12.34. 1. За особливим ануїтетом наприкiнцi t-го року виплачу-

ється сума (n − t + 1)t = (n + 1)t − t2. Доведiть, що сучасна вартiстьануїтету

(n + 1)(Ia)n| −2(Ia)n| − an| − n2νn+1

1 − ν .

Обчислiть значення даного виразу за рiчної ставки 9 % i n = 9.2. Страхова компанiя випускає тiльки полiси повернення капiталу

iз строком дiї 10 рокiв. Страховi премiї сплачуються авансом щороку.Витратами компанiї можна знехтувати. Визначте за ефективної вiдсот-кової ставки 9 % рiчних:

а) тривалiсть майбутнiх грошових надходжень за випущеним 1 сi-чня 1985 року пакетом полiсiв з рiчними премiями у розмiрi 20 000 грнвiдразу пiсля отримання перших премiй 1 сiчня 1985 року;

б) тривалiсть надходжень за пакетами полiсiв, що випускалися воднаковiй кiлькостi 1 сiчня кожного року з 1976 по 1985 включно, змоменту вiдразу пiсля надходження премiй за 1 сiчня 1985 року.

1.12.35. (Час, за який волатильнiсть досягає максимуму.)За акцiєю з фiксованим вiдсотком 5 % рiчних вiдсотки сплачуються

неперервно. Акцiя погашається за номiналом через n (не обов’язковоцiле число) рокiв.

1. За умови сталої рiчної iнтенсивностi вiдсотку 0,07, визначте вола-тильнiсть акцiї при n = 20 та n = 60.

2. Волатильнiсть v за сталої iнтенсивностi вiдсотку δ є функцiєю вiдn. Якщо δ = 0,07, при якому значеннi n волатильнiсть найбiльша i яке їїмаксимальне значення?

124

1.12.36. Аналiтик оцiнює двi компанiї “Альфа” i “Бета”. “Альфа”сподiвається виплатити свiй перший рiчний дивiденд через шiсть рокiв.Припускається, що дивiденди становитимуть 6 грн за акцiю. Щорiчнi ди-вiденди буде збiльшено на 10 % на рiк протягом наступних шести рокiв.Припускається, що дивiденди зростатимуть на 3 % на рiк, починаючи зцього моменту i без обмеження в часi.

“Бета” виплатить рiчний дивiденд 4 грн за акцiю через один рiк. Очi-кується, що щорiчнi дивiденди зростатимуть з цього моменту на 0,5 %рiчних без обмеження в часi. Аналiтик оцiнює дивiденди по обох акцiяхз вiдсотковою ставкою 6 % за рiк.

1. Пiдрахуйте сучасну вартiсть: a) акцiй “Альфа”; б) акцiй “Бета”.2. Спостерiгаючи загальне пiдвищення вiдсоткових ставок, аналiтик

вирiшив вважати, що ефективна вiдсоткова ставка дорiвнює 7 % на рiк.Покажiть, що у вiдсотковому вiдношеннi вартiсть “Альфа” падає силь-

нiше, нiж вартiсть “Бета”.Пояснiть вашу вiдповiдь до пункту 2 у термiнах тривалостi.1.12.37. Ринковi цiни акцiй з фiксованим вiдсотком визначаються

за сталої iнтенсивностi вiдсотка 5 % на рiк. Iнвестор, що зобов’язанийповернути 100 000 грн через п’ять рокiв, має грошову сумму, що дорiв-нює сучаснiй вартостi такого зобов’язання. Вiн бажає вкласти цi грошiв акцiї з фiксованим вiдсотком, за якими вiдсотковi виплати надходятьнеперервно i якi погашаються за номiналом. Термiн дiї акцiї може бутивибрано iнвестором, i цей термiн може не бути цiлим числом. Iнвесторхоче, щоб дисконтований середнiй час зобов’язання дорiвнював дискон-тованому середньому часу активiв, якi вiн придбає, за сталої iнтенсив-ностi вiдсотка 5 % рiчних.

1. Покажiть, що у випадку, коли вiдсотки за акцiєю сплачуються зiнтенсивнiстю k вiдсоткiв рiчних, термiн дiї акцiї дорiвнюватиме томузначенню n, для якого

e0,05n =25 + 15k + n(k − 5)

15k,

i визначте це значення для: а) k = 5; б) k = 10.2. Припустимо, що акцiя має iнтенсивнiсть купонних виплат 10 %, i

вона має термiн дiї, обчислений у пунктi 1. Доведiть, що iнвестор, якийпридбає цю акцiю, iмунiзований вiдносно малих змiн в iнтенсивностiвiдсотка. Якою буде сучасна вартiсть його доходу, якщо iнтенсивнiстьвiдсотка раптово змiниться до: а) 5,5 %; б) 4,5 % i залишиться сталоюна цьому рiвнi?

1.12.38. 1. Компанiя зобов’язана зробити чотири платежi з п’ятирi-чним перiодом, перший платiж через п’ять рокiв. Розмiр t-го платежудорiвнює 1000 + 100t грн. Компанiя оцiнює цi зобов’язання при ефек-

125

тивнiй рiчнiй вiдсотковiй ставцi 5 %. За цих умов визначте сучаснувартiсть i дисконтований середнiй час даних зобов’язань.

2. Суму, що дорiвнює сумарнiй сучаснiй вартостi цих зобов’язань (заефективної рiчної ставки 5 %) негайно iнвестуєть у двi щойно випущенiпозики, одна з яких погашається через 10 рокiв, iнша — через 30 рокiв.За кожною позикою наприкiнцi кожного року сплачується рента 5 %.Обидвi позики випущенi i погашаються за номiналом. Виявилося, щоза рiчної ефективної ставки вiдсотка 5 % дисконтований середнiй часвиплат за позиками дорiвнює дисконтованому середньому часу платежiвз пункту 1. Визначте суму, iнвестовану в кожну позику.

1.12.39. У певнiй країнi iнвестори можуть торгувати облiгацiями знульовим купоном з будь-яким термiном дiї. Облiгацiї не оподатковую-ться, погашаються за номiналом, i оцiнюються за незмiнною неперерв-ною iнтенсивнiстю вiдсотка.

Iнвестор зобов’язаний повернути 1 000 000 грн через 10 рокiв i маєгрошову суму, що дорiвнює сучаснiй вартостi цього боргу за сталої рi-чної iнтенсивностi вiдсотка δ0. Покажiть, що, придбавши певну комбiна-цiю п’яти- i п’ятнадцятирiчних облiгацiй з нульовим купоном, iнвесторможе бути впевненим у прибутку незалежно вiд будь-якої змiни у ста-лiй iнтенсивностi вiдсотка, яка використовується ринком для оцiнюва-ння облiгацiй. Припускаючи, що δ0 = 0,05, i iнвестор придбав потрiбнiкiлькостi облiгацiй, пiдрахуйте прибуток iнвестора, якщо iнтенсивнiстьвiдсотка змiнюється на: а) 0,07; б) 0,03.

1.12.40. Страхова компанiя зобов’язана повернути 100 000 грн че-рез вiсiм рокiв. Компанiя має суму, що дорiвнює сучасної вартостi цьогоборгу при сталiй рiчнiй iнтенсивностi вiдсотка 5 % (яка також використо-вується для визначення ринкових цiн цiнних паперiв), i хоче iнвестуватицю суму в таку комбiнацiю цiнних паперiв:

облiгацiй з нульовим купоном, що погашаються за номiналом через20 рокiв,

депозитiв на дуже короткий термiн (якi можуть розглядатися як го-тiвка, на яку сплачується рента).

1. Компанiя хоче, щоб тривалiсть активiв дорiвнювала тривалостi па-сивiв. Визначте кiлькiсть, iнвестовану в кожний з цiнних паперiв.

2. Припустимо, що iнвестицiї, про якi йдеться у пунктi 1, зроблено.Визначте сучасну вартiсть прибутку органiзацiї (тобто рiзницю мiж су-часними вартостями активiв i пасивiв), якщо iнтенсивнiсть вiдсотка єнасправдi: а) 2 %; б) 3 %.

1.12.41. Страхова компанiя щойно випустила 15-рiчний полiс повер-нення капiталу з єдиною премiєю i страховою сумою 10 000. Розмiр пре-мiї пiдраховано у припущеннi, що iнтенсивнiсть вiдсотка стала i стано-вить δ(t) = ln 1,08. Витрати не враховуються.

126

Компанiя iнвестує частину страхової премiї у 20-рiчну облiгацiю знульовим купоном, яка погашається за номiналом, цiна облiгацiї ви-значається iз вказаної iнтенсивностi вiдсотка; решту страхової премiїкомпанiя вкладає в готiвку. При цьому тривалiсть пасивiв виявляєтьсярiвною тривалостi активiв.

1. Обчислiть розмiр премiї i номiнальну вартiсть придбаної акцiї.2. Негайно пiсля iнвестицiї страхової компанiї ринковi фактори змi-

нюють вiдсоткову ставку. Пiдрахуйте сучасну вартiсть прибутку абовтрат компанiї, якщо майбутнi грошовi потоки дисконтуються зi сталоюрiчною iнтенсивнiстю вiдсотка: а) δ(t) = ln 1,05; б) δ(t) = ln 1,1; в) δ(t) —лiнiйна функцiя, причому δ(0) = 1,05, δ(20) = ln 1,1.

1.12.42. (Повна iмунiзацiя.)Нехай δ та S — вiдомi додатнi числа, i також вiдомi два з чотирьох

додатних чисел a, A, b, B. Розглянемо систему рiвнянь для двох не-вiдомих чисел:

Aeδa + Be−δb = S,

Aaeδa = Bbe−δb.

1. Покажiть, що для заданої пари чисел:а) a, b;б) B, b (причому Be−δb < S);в) A, a (Aeδa < S);г) A, b (A < S)

iснує єдина пара невiдомих параметрiв, що задовольняє дану систему.2. Нехай δ = 0,05 i S = 1. Покажiть, що при a = 15 i B = 0,98 iснує

двi рiзнi пари додатних чисел (b,A), що задовольняють дану систему.


1.12.1. 1. Характеристики грошового потоку: а) волатильнiсть

v = − 1A

d

diA =

∑nk=1 Ctk tkν

tk+1i∑n

k=1 Ctkνtki

,

де A =∑n

k=1 Ctkνtki — сучасна вартiсть грошового потоку Ctk; k =

= 1, . . . ,n; νi = 1/1 + i;б) опуклiсть

c =1A

d2

di2A =

∑nk=1 Ctk tk(tk + 1)νtk+2

i∑nk=1 Ctkν

tki

.

127

2. У випадку а) нехай N — номiнал облiгацiї, тодi її волатильнiсть

v(0,08) =N[0,08ν(Ia)10| + 10ν11]

N[0,08a10| + ν10]

=ν[i(Ia)10| + 10ν10]

[ia10| + ν10]

= ν..a10| = 6,71,

де i = 0,08; ν = (1 + i)−1;б) волатильнiсть i опуклiсть дорiвнюють

v(0,08) =100 000 · 7,247(1 + 0,08)−8,247

100 000(1 + 0,08)−7,247 =7,2471,08

= 6,71,

c(0,08) =100 000 · 7,247 · 8,247(1 + 0,08)−9,247

100 000(1 + 0,08)−7,247= 51,240;

в) з умови задачi маємо VA(i0) = VL(i0) = 100 000 · (1,08)−7,247 == 57250, а iз пунктiв 2a) i 2б) vA(i0) = vL(i0) = 6,71, де i0 = 8 %,VA(i0), VL(i0) — вiдповiдно сучасна вартiсть облiгацiї позики i зобов’яза-ння, а vA(i0), vL(i0) — вiдповiдно волатильнiсть облiгацiї позики i зобо-в’язання. За умовою задачi та за пунктом 2б) має мiсце спiввiдношенняcA(i0) = 60,53 > 51,24 = cL(i0). Отже, виконуються умови iмунiзацiїРедiнгтона. Тому iнвестор iмунiзований вiдносно малих змiн вiдсотковоїставки.

3. VL(0,085) = 100 000 · (1,085)−7,247 = 55366, VA(0,085) = 57 250 ×× (0,08a10| + ν

10)i=0,085 = 55371, VA(0,085) −VL(0,085) = 5.1.12.2. Нехай yn — n-рiчна спотова вiдсоткова ставка, тодi n-рiчний

номiнальний дохiд ycn визначається iз спiввiдношення 1 = ycn(νy1 ++ ν2

y2+ . . . + νn

yn) + 1νn

yn, де νyt

= (1 + yt)−1. Маємо y1 = f0, (1 + y2)2 =

= (1 + f0)(1 + f1), (1 + y3)3 = (1 + f0)(1 + f1)(1 + f2). Звiдси yc3 = 6,478 %.1.12.3. 1. Характеристики облiгацiї: а) цiна VA(0,1) = 10 · 0,75a(2)

20|+

+ 110ν20 = 81,761, де ν = (1 + i)−1; i = 0,1;б) волатильнiсть

v(0,1) =12 · 10 · 0,75

∑40k=1

k2ν

k2 +1 + 20 · 110ν21

VA(0,1)=

=5 · 7,5ν2

(∑40k=1 ν

k/2)′ν

+ 2200ν21

81,761=

5 · 7,5ν2(ν1/2−ν41/2

1−ν1/2

)′ν

+ 2200ν21

81,761=

=37,5ν2 1−41ν20+40ν41/2

2ν1/2(1−ν1/2)2 + 2200ν21

81,761= 8,91.

2. Позначимо через C суму, яку потрiбно сплатити за кожним iз зобо-в’язань, тодi: а) сучасна вартiсть зобов’язань дорiвнює VL(0,1) = C(ν10 ++νt), де t — термiн погашення першого зобов’язання. Iз пункту 1a маємоVA(0,1) = 81,761, тому C(ν10+νt) = VA(0,1) = 81,761. Звiдси при t = 9,61

128

одержимо C = 104,063. Волатильнiсть зобов’язань

vL(0,1) =10Cν11 + 9,61Cν10,61

81,761= 8,91;

б) опуклiсть зобов’язань

cL(0,1) =104,06381,761

(9,61 · 10,61ν11,61 + 10 · 11ν12) = 87,526;

в) iнвестор iмунiзований вiдносно малих змiн вiдсоткової ставки, бовиконуються умови Редiнгтона.

1.12.4. 1. Див. теоретичну частину.2. (1+f3,2)2 = (1 + y3+2)

3+2/(1 + y3)3 = (1 + y5)5/1,063 = 1,2054. Звiдсиf3,2 = 9,79 %.

3. Нехай yc6 — 6-рiчний номiнальний дохiд у момент t = 0. Тодi 1 == yc6[1/1,04+1/(1,05)2 +1/(1,06)3 +1/(1,07)4 +1/(1,075)5 +1/(1,08)6]++ 1/(1,08)6. Звiдси yc6 = 7,71 %.

1.12.5. За означенням 1 = yc3(νy1+ν2

y2+ν3

y3)+ν3

y3, де νy

k= (1+yk)

−1,yk — k-рiчна спотова вiдсоткова ставка. Маємо f0,1 = y1, f0,2 = y2, (1 ++ y3)3 = (1 + y1)(1 + f1,2)2 = (1 + 0,06)(1 + 0,066)2 = 1,20454. Отже,yc3 = 6,395 % рiчних.

1.12.6. 1. Сучасна вартiсть зобов’язань iнвестора дорiвнює VL(0,07) == VL1(0,07) +VL2(0,07) = 20 000ν15 + 5000 10|

..a(2)

25|= 20000(1 + 0,07)−15 +

+ 5000ν10..a(2)25|

= 7248,92 + 5000(1 + 0,07)−10ia(2)25|

/d(2) = 38415,72 грн.

Позначимо через Y i t вiдповiдно суму погашення i термiн погашенняоблiгацiї Y . Сучасна вартiсть активiв дорiвнює VA(0,07) = VX(0,07) ++VY (0,07) = 25 000ν10 + Yνt. Iз умови задачi VY = VX = 38415,72 грн.Тому сума, iнвестована в облiгацiю Y , Yνt = 38415,72 − 25 000(1 ++ 0,07)−10 = 25706,99 грн.

2. Iз умов Редiнгтона випливає, що для iмунiзацiї фонду iнвесторавiдносно малих змiн вiдсоткової ставки мають збiгатися волатильностiактивiв i зобов’язань, vA = vL. Оскiльки VA = VL, то звiдси випливає, щомає виконуватись рiвнiсть

∑tkLtkν

tk+1 =∑

sjAsjνsj+1, де Ltk — грошова

виплата за зобов’язанням в момент часу tk, Asj — грошова виплата за

129

активом у момент часу sj. Маємо

∑tkLtkν

tk+1 = 15 · 20 000ν16 +5000

2

69∑

k=20

k

2νk/2+1 =

= 300 000ν16 + 2500ν2( 69∑

k=20

νk/2)′

ν

= 300 000ν16 + 2500ν2(ν10 − ν35

1 − ν1/2

)′

ν=

= 101 620,37 + 2 500ν2ν9(20 − 19ν1/2 − 70ν25 + 69ν51/2)

2(1 − ν1/2)2= 651 695,433.

Далi, для активiв маємо∑sjAsjν

sj+1 = 25 000 ·10ν11 +Ytνt+1 = 250 000ν11+tν(Yνt) = 651 695,433.

Звiдси t = 22,18 року. Але Yν22,18 = 25706,99, тому Y = 115 303,41 грн.3. Для iмунiзацiї фонду iнвестора вiдносно малих змiн вiдсоткової

ставки потрiбно, щоб опуклiсть активiв була бiльшою за опуклiсть зобо-в’язань.

1.12.7. Оскiльки (1 + y3)3 = (1 + y1)(1 + f1,2)2, то f1,2 = 4,76 %.1.12.8. 1. Дамо означення: а) тривалiсть

τ =

∑nk=1 tkCtkν

tk

∑nk=1 Ctkν

tk=

1V

n∑

k=1

tkCtkνtk ;

б) волатильнiсть

v = − 1V

d

diV = − 1

V

d

di

n∑

k=1

Ctk(1 + i)−tk = − 1V

n∑

k=1

(−tk)Ctk(1 + i)−tk−1 = ντ.

Отже, τ = v/ν = (1 + i)v.2. Нехай A i B — суми, за якими погашають облiгацiї A i Б вiд-

повiдно. Сучасна вартiсть зобов’язань дорiвнює VL(0,07) = 600 000a9| +

+ 750 000ν10 = 772 174 грн. Сучасна вартiсть активiв VA(0,07) = Aν5 ++ Bν20. Тому Aν5 + Bν20 = 772 174, ν = 1/1,07. Iз рiвностi волатильно-стей випливає (5Aν6+20Bν21)/VA(0,07) = (600 000

∑9k=1 kνk+1+750 000×

× 10ν11)/VL(0,07), звiдки 5Aν6 + 20Bν21 = 600 000ν(Ia)9| + 750 000ν11 =

= 5226 130. Позначимо шуканi суми iнвестицiй в облiгацiї x = Aν5,y = Bν20. Маємо систему рiвнянь x+y = 772 174, 5x+20y = 5226 130×× 1,07. Розв’язавши цю систему рiвнянь, одержимо x = 656 768 грн,y = 115 406 грн.

1.12.9. Оскiльки (1 + y3)3 = (1 + y1)(1 + f1,2)2, то f1,2 = 6,004 %.1.12.10. 1. Результати будуть такi: а) нехай Vn — цiна n-рiчної облi-

гацiї при ефективнiй вiдсотковiй ставцi i, а Nn — номiнал n-рiчної облi-гацiї. Тодi Vn = 0,06Nn(νi +ν2

i +. . .+νni )+Nnν

ni = 0,06Nn(νy1 +ν2

y2+. . .+

130

+ νnyn

) + Nnνnyn

, де νi = 1/(1 + i), νyt= 1/(1 + yy), yt — t-рiчна спотова

ставка. З цiєї рiвностi одержимо систему рiвнянь

0,06ν0,06 + ν0,06 = 0,06νy1 + νy1 ,

0,06(ν0,063 + ν20,063) + ν2

0,063 = 0,06(νy1 + ν2y2) + ν2

y2,

0,06(ν0,066 + ν20,066 + ν3

0,066) + ν30,066 = 0,06(νy1 + ν2

y2+ ν3

y3) + ν3

y3.

Звiдси, використавши спiввiдношення yt = 1/νyt− 1, маємо y1 = 0,06,

y2 = 0,06309, y3 = 0,06619;б) f0,1 = y1 = 6 %, (1 + y2)2 = (1 + y1)(1 + f1,1) ⇒ f1,1 = 6,619 %,

(1 + y3)3 = (1 + y2)2(1 + f2,1) ⇒ f2,1 = 7,259 %.2. Оскiльки (1 + ym+n)

m+n = (1 + ym)m(1 + fm,n)n, то 1 + ym+n = (1 ++ym)m/(m+n)(1+ fm,n)n/(m+n) i при зростаннi 1+ fm,n по n, величина 1+ym+n

може зростати по n, але повiльнiше, бо n/(n + m) < 1.1.12.11. 1. Сучасна вартiсть такого ануїтету V =

∑nk=1 k2νk. Оскiльки

(Ia)n| =∑n

k=1 kνk, an| =∑n

k=1 νk, то V (1−ν) =

∑nk=1 k2νk−

∑nk=1 k2νk+1 =

=∑n

k=1[k2−(k−1)2]νk−n2νn+1 = 2

∑nk=1 kνk−

∑nk=1 ν

k−n2νn+1 = 2(Ia)n|−− an| − n2νn+1.

2. Результати будуть такi: а) сучасна вартiсть пасивiв VL(0,07) ==

∑20k=1(95 000 + 5000k)νk = 95000a20| + 5000(Ia)20| = 1446 940 грн.

Тривалiсть, або дисконтований середнiй час, пасивiв

τL(0,07) =

∑20k=1(95 000 + 5 000k)kνk

VL(0,07)=

5 000VL(0,07)

[19(Ia)20| +

20∑

k=1

k2νk]

=

=5000

VL(0,07)

[19(Ia)20| +

2(Ia)20| − a20| − 202ν21

1 − ν]

= 9,43 року;

б) нехай A i B — номiнальна вартiсть активiв A i Б вiдповiдно. Три-валiсть активiв за ефективної вiдсоткової ставки 7 %

τA(0,07) =1

VA(0,07)

(25Aν25 + 0,08B

12∑

k=1

kνk + 12Bν12).

Iз умови задачi випливає, що τA(0,07) = τL(0,07) = 9,43. Сучасна вар-тiсть активiв VA(0,07) = Aν25 + 0,08B

∑12k=1 ν

k + Bν12 = VL(0,07) == 1446 940. Iз одержаної системи рiвнянь знаходимо A = 1249 270 грн,B = 534 270 грн. Тому суми, iнвестованi в активи, дорiвнюють для A:Aν25 = 98440 грн, для Б: VA(0,07) − Aν25 = 1348 500 грн.

1.12.12. 1. Пiдрахуємо:а) сучасну вартiсть пасивiв VL(0,05) = 100 000a5| = 432 950 грн;б) тривалiсть τL(0,05) = 100 000(Ia)5|/VL(0,05) = 1256 640/432 950 =

= 2,9 року;

131

2. Позначимо номiнальну вартiсть п’ятирiчної облiгацiї через X, аоднорiчної — через Y . Тодi з умов рiвностi сучасної вартостi i трива-лостi активiв i пасивiв одержимо систему рiвнянь VA(0,05) = Xν5 ++ Yν = 432 950, τA(0,05) =

(5Xν5 +Yν

)/VA(0,05) = 2,9. Звiдси X =

= 262 815,89 грн, Y = 238 375,8 грн.

3. cA(0,05) =(5 · 6ν7 + 2Yν3

)/VA(0,05) = 13,89.

4. Оскiльки VA = VL, τL = τA, то vL = vA, тому що τ = (1 + i)v. ДалicA > cL, отже, виконуються умови iмунiзацiї Редiнгтона.

1.12.13. 1. Iз системи (1 + y1)(1 + f1,1) = (1 + y2)2, (1 + y2)

2(1 + f2,1) == (1 + y3)

3 визначаємо f1,1 = 4,3 %, f2,1 = 4,5 %.

2. Пiдрахуємо: а) цiна за 100 грн номiналу 3-рiчної облiгацiї P == 3(νy1

+ ν2y2

+ ν3y3) + 110ν3

y3, де νyn

= (1 + yn)−1. Тому P = 105,24 грн;

б) номiнальний дохiд yc2 визначаємо з умови 1 = yc2(νy1+ ν2

y2) + ν2

y2,

yc2 = 4,198 %.

1.12.14. 1. τ(0,07) = (Ia)10|/a10| = 4,946 року.

2. Перевiримо виконання умов iмунiзацiї за Редiнгтоном: VA = VL,vA = vL, cA > cL. За одиницю капiталу вiзьмемо мiльйон гривень. ТодiVA(0,07) = a10| + Xνn, VL(0,07) = 7ν5 + 8ν8 = 9,6469. Звiдси Xνn =

= 2,6234. За умови VA = VL маємо vA = vL ⇔ (Ia)10| + nXνn = 5 · 7ν5 +

+ 8 · 8ν8 ⇒ nXνn = 27,4638. Таким чином, n = 10,4689, X = 5,3269.При виконаннi умов VA = VL i vA = vL маємо, що cA > cL ⇔

∑10t=1 t2νt +

+n2Xνn > 52 ·7ν5+82 ·8ν8 = 422,761. Пiдставимо знайденi значення n, X iодержимо

∑10t=1 t2νt+n2Xνn = 228,451+(10,4689)2 ·5,3269(0,9346)10,4689 =

= 515,966 > 422,761. Тому умови iмунiзацiї за Редiнгтоном виконано.

1.12.15. Нехай i — дохiд брутто за облiгацiєю, тодi для сучасноївартостi облiгацiї маємо рiвнiсть 5(νi + ν2

i + ν3i + ν4

i ) + 100ν4i = 5(νy1

++ ν2

y2+ ν3

y3+ ν4

y4) + 100ν4

y4, де νi = (1 + i)−1, νyt

= (1 + yt)−1, yt —

t-рiчна спотова ставка. Iз системи рiвнянь y1 = f0,1, (1 + y2)2 = (1 +

+ y1)(1 + f1,1), (1 + y3)3 = (1 + y2)

2(1 + f2,1), (1 + y4)4 = (1 + y3)

3(1 + f3,1)одержимо νy1

= 1/1,08 = 0,925926, ν2y2

= 0,925926(1/1,07) = 0,86535,

ν3y3

= 0,86535(1/1,06) = 0,81637, ν4y4

= 0,81637(1/1,05) = 0,77749. Таким

чином, маємо рiвняння 5(νi + ν2i + ν3

i + ν4i ) + 100ν4

i = 94,6747. Звiдсиνi = 0,93847 i i = (1/νi) − 1 = 0,06556. Отже, i = 6,556 %.

1.12.16. 1. Нехай Ctk — потiк платежiв у моменти часу tk, k == 1, . . . ,n, а V (δ), τ(δ), v(δ) — вiдповiдно сучасна вартiсть, дисконтова-ний середнiй час i волатильнiсть цього потоку платежiв при iнтенсивно-

132

стi вiдсотка δ. Маємо

V (δ) =n∑

k=1

Ctke−δtk , τ(δ) =

n∑

k=1

tkCtke−δtk/V (δ),

v(δ) = lim∆δ→0

V (δ) −V (δ+ ∆δ)∆δ

1V (δ)

= −V ′(δ)V (δ)

=n∑

k=1

tkCtke−δtk/V (δ) = τ(δ).

2. Нехай V , τ, v — вiдповiдно сучасна вартiсть, дисконтований серед-нiй час i волатильнiсть цього потоку платежiв при вiдсотковiй ставцi i.Тодi νi = 1/(1 + i), V =

∑nk=1 Ctkν

tki , τ =

∑nk=1 tkCtkν

tki /V ,

v = lim∆i→0

V −V (i + ∆i)∆i

1V

= −∂V

∂i

1V

=n∑

k=1

tkCtkνtk+1i /V = τ/(1 + i).

3. Позначимо через X номiнал облiгацiї з купонами, а через g купоннуставку цiєї облiгацiї. За грошову одиницю вiзьмемо 1 млн грн. Тодi привiдсотковiй ставцi 5 % сучасна вартiсть i дисконтований середнiй часпасивiв дорiвнюють: VL(0,05) = a10|(1 + 1,5ν10) = 14,832448,

τL(0,05) =1

VL(0,05)

(Ia)10| + 1,5

[(Ia)20| − (Ia)10|

]= 146,739045/VL(0,05).

При вiдсотковiй ставцi 5 % сучасна вартiсть i дисконтований середнiйчас активiв дорiвнюють, вiдповiдно, VA(0,05) = 10ν10 + gXa19| + Xν19,

τA(0,05) = [102ν10 + gX(Ia)10| + 19Xν19]/VA(0,05). Iз системи рiвняньVA(0,05) = VL(0,05), τA(0,05) = τL(0,05) визначимо X = 2652008 грн,g = 0,2385 = 23,85 %.

4. Для iмунiзацiї фонду потрiбно додатково, щоб опуклiсть активiвбула бiльшою за опуклiсть пасивiв.

1.12.17. Пiдрахуємо: а) iз спiввiдношень (1 + yt)t = (1 + yt−1)

t−1(1 +

+ft−1,t) i νyk= 1/(1+yk) маємо νk

yk= 1/

∏kt=1(1+ft−1,t). Тому сучасна вар-

тiсть трирiчної облiгацiї з 5 %-ними купонами дорiвнює V = 5(νy1+ν2

y2+

+ν3y3)+100ν3

y3= 5/1,04+5/(1,04 · 1,045)+(100 + 5)/(1,04 · 1,045 · 1,048) =

= 101,597 грн;б) нехай i — дохiд брутто вiд облiгацiї, тодi для сучасної вартостi

облiгацiї маємо рiвнiсть V = 5(νi + ν2i + ν3

i ) + 100ν3i = 101,597, де νi =

= 1/(1 + i). Звiдси νi = 0,957672, отже, i = 1/νi − 1 = 0,0441988.1.12.18. 1. Нехай i — дохiд брутто вiд трирiчної облiгацiї, тодi для

сучасної вартостi облiгацiї маємо рiвнiсть 98 = 7(νi + ν2i + ν3

i ) + 105ν3i ,

де νi = 1/(1 + i). Звiдси νi = 0,914786, отже, i = 1/νi − 1 = 0,0931518.

133

2. Спотовi вiдсотковi ставки yk, k = 1, 2, 3 знаходимо iз системирiвнянь

7νy1+ 105νy1

= 98,

7(νy1+ ν2

y2) + 105ν2

y2= 98,

7(νy1+ ν2

y2+ ν3

y3) + 100ν3

y3= 98.

Маємо y1 = 14,286 %, y2 = 10,41 %, y3 = 9,148 %.1.12.19. Пiдрахуємо: а) маємо ν = 1/1,07 = 0,9346. Сучасна вартiсть

пасивiв при 7 %-нiй ефективнiй рiчнiй вiдсотковiй ставцi VL(0,07) == 1000

∑t(1+0,4t)νt = 1000(3ν5+5ν10+7ν15+9ν20+11ν25) = 11 570,34;

б) тривалiсть пасивiв τL(0,07) = 1000∑

t t (1 + 0,4t)νt/VL(0,07) == 14,8097 року;

в) нехай X i Y — номiнали облiгацiй А i Б вiдповiдно. Тодi iз рiвностiсучасної вартостi i дисконтованого середнього часу для активiв i пасивiводержимо рiвняння VA = VL ⇒ 0,05Xa26| + Xν26 + 0,04Ya32| + Yν32 == 11570,34 ⇒ 0,76349X+0,6206Y = 11570,34 i τA = τL ⇒ X[0,05(Ia)26|+

+ 26ν26] + Y [0,05(Ia)32| + 32ν32] = 14,8097VL ⇒ 10,3175X + 9,3061Y == 171 353. Звiдси X = 1900 грн, Y = 16307 грн.

1.12.20. Результати будуть такi: а) нехай yt — t-рiчна спотова вiд-соткова ставка. Iз умови задачi маємо 1 000(1 + y2)2 = 1,118, 1 000(1 ++ f1,2)2 = 1140, 1 000(1 + f1,1) = 1,058. Крiм того, (1 + y2)2 = (1 + y1)(1 ++ f1,1), (1 + y3)3 = (1 + y1)(1 + f1,2)2. Звiдси y1 = 5,671 %, y2 = 5,7355 %,y3 = 6,4029 %;

б) трирiчний номiнальний дохiд yc3 визначимо iз спiввiдношення 1 == yc3(νy1 + ν2

y2+ ν3

y3) + ν3

y3. Одержимо yc3 = 6,3605 %.

1.12.21. Перевiримо умови iмунiзацiї VA(i0) = VL(i0), vA(i0) = vL(i0),cA(i0) > cL(i0). Маємо ν = 1/1,008 = 0,9259, VA(0,08) = 12,425ν12 ++ 12,946ν24 = 6,9757, VL(0,08) = 15ν13 + 10ν25 = 6,9757 ⇒ VA = VL;(VA)′i = −(12,425 ·12ν13 +12,946 ·24ν25) = −100,19, (VL)′i = −(15 ·13ν14 ++ 10 · 25ν26) = −100,19 ⇒ vA = vL. (VA)′′ii = 12,425 · 12 · 13ν14 + 12,946 ×× 24 · 25ν26 = 1710,11, (VL)′′ii = 15 · 13 · 14ν15 + 10 · 25 · 26ν27 = 1674,32,звiдки cA > cL.

1.12.22. 1. Позначимо через A(t1,t2) накопичену вартiсть iнвести-цiї однiєї грошової одиницi з моменту часу t1 до моменту часу t2 ≥t1. Оскiльки A(t1,t2) = exp

r t2t1δ(t) dt i A(t1,t3) = A(t1,t2)A(t2,t3) для

t3 ≥ t2 ≥ t1, то: а) A(0,8) = exp r 8

0 (0,04 + 0,001t) dt

= exp0,04 · 8 ++0,001 · 64/2 = e0,352 = 1,4219; б) A(0,9) = exp0,04 · 9+0,001 · 81/2 == e0,4005 = 1,4926; в) A(8,9) = A(0,9)/A(0,8) = 1,0497.

134

2. Нехай yt — t-рiчна спотова вiдсоткова ставка. Тодi (1 + y8)8 == A(0,8), (1 + y9)9 = A(0,9), (1 + y9)9 = (1 + y8)8(1 + f8,1). Звiдси y8 == 4,498 %, y9 = 4,5505 %, f8,1 = 4,97 %.

1.12.23. 1. Вiзьмемо 1 млн грн за грошову одиницю. Тодi трива-лiсть, або дисконтований середнiй час, пасивiв при ефективнiй вiдсотко-вiй ставцi 6 %:

τL(0,06) =(Ia)20| + 0,5

[(Ia)40| − (Ia)20|

]

a20| + 0,5[a40| − a20|

] =(Ia)40| + (Ia)20|

a40| + a20|

=

=299,703526,5162

= 11,30266 року.

2. Тривалiсть активiв при ефективнiй вiдсотковiй ставцi 6 %:

τA(0,06) =10(Ia)15| + 100 · 15ν15

10a15| + 100ν15= 9,3524 року.

3. Оскiльки τL > τA ⇒ vL > vA, то не виконуються умови iмунi-зацiї фондiв компанiї вiдносно малих змiн вiдсоткової ставки. Маємоспiввiдношення τ = (1 + i)v, де v – це волатильнiсть грошового по-току; i — ефективна вiдсоткова ставка. Нехай V — сучасна вартiстьгрошового потоку, тодi V (i + ε) ≈ V (1 − εv). Якщо ε < 0, то VL(i ++ ε) ≈ VL(1 − εvL) > VA(1 − εvA) ≈ VA(i + ε), тому що VL = VA i vL > vA.Отже, при зменшеннi ефективної вiдсоткової ставки компанiя матимезбитки.

1.12.24. 1. Пояснимо: а) “теорiя очiкування” базується на тому, щодоходнiсть облiгацiй визначається очiкуванням (оцiнкою, прогнозом) iн-вестора майбутнiх значень короткострокових вiдсоткових ставок. Очi-кування падiння вiдсоткових ставок робить короткостроковi iнвестицiїменш привабливими нiж довгостроковi. За цих умов доходнiсть корот-кострокових iнвестицiй зростає, а доходнiсть довгострокових спадає, iкрива доходу спадає за часом до погашення. Очiкування зростання вiд-соткової ставки спричинює протилежнi результати i крива доходу зростаєу часi до моменту погашення;

б) у рамках теорiї “переваги лiквiдностi” потрiбно брати до уваги, щонесхильний до ризику iнвестор вимагатиме компенсацiї (у виглядi ви-щої доходностi) за бiльший ризик втрат при довгострокових iнвестицiях.А тому, враховуючи “перевагу лiквiдностi”, доходнiсть довгостроковихоблiгацiй буде вищою, нiж доходнiсть цих облiгацiй у рамках “теорiїочiкування”. При модифiкацiї кривої доходу, яка враховує “сегментацiюринку”, потрiбно брати до уваги вплив попиту i пропозицiї на облiгацiїз рiзними термiнами до погашення у даному сегментi ринку.

135

2. Маємо очiкуванi однорiчнi форварднi ставки f0 = 10 %, f1 = 9 %,f2 = 8 %, fk = 7 %, k = 3, 4, . . .. Нехай yt — дохiд брутто вiд t-рiчноїоблiгацiї з нульовим купоном. Тодi (1 + yt)

t =∏t

k=1(1 + fk−1). Звiдсиy1 = 10 %, y3 = 8,997 %, y5 = 8,194 %, y10 = 7,595 %.

1.12.25. Нехай yt — t-рiчна спотова вiдсоткова ставка, yct — t-рiчнийномiнальний дохiд, νyt

= 1/(1 + yt). Тодi iз умов задачi маємо системурiвнянь

yc2 = 0,0415,

1 = yc2(νy1 + ν2y2) + ν2

y2,

105,4 = 8(νy1 + ν2y2) + 98ν2

y2.

Звiдси νy1 = 0,959598, νy2 = 0,960165, отже, y1 = 4,21 %, y2 = 4,149 %.1.12.26. 1. Працюватимемо у млн грн. Маємо VL(0,07) = 10ν10 +

+ 20ν15 = 12,332, VA(0,07) = 7,404ν2 + 31,834ν25 = 12,332, τL(0,07) ==

(10 · 10ν10 + 20 · 15ν15

)/VL = 12,939, τA(0,07) =

(7,404 · 2ν2 + 31,834 ×

× 25ν25)/VA = 12,939. Таким чином, VL(0,07) = VA(0,07), τL(0,07) =

= τA(0,07) i двi першi умови iмунiзацiї за Редiнгтоном виконуються.2. VL(0,075) = 10(1/1,075)10 + 20(1/1,075)15 = 11,611, VA(0,075) =

= 7,404(1/1,075)2 + 31,834(1/1,075)25 = 11,627. Компанiя буде мати при-буток VA(0,075) −VL(0,075) = 0,016 млн грн.

3. Вiдхилення термiнiв погашення вiдносно дисконтованого середньо-го часу бiльшi для активiв компанiї, нiж для пасивiв. Тому виконувати-меться третя умова iмунiзацiї за Редiнгтоном, отже, компанiя одержитьприбуток при малих змiнах вiдсоткової ставки.

1.12.27. 1 + ft,1 = eFt,1 ⇒ Ft,1 = ln(1 + ft,1) = ln 1,04 = 0,039.1.12.28. Для неперервних платежiв дисконтований середнiй час гро-

шового потоку

τ(0,04) =10

r 200 tνt dt

10r 200 νt dt

=Ia20|

a20|

=

(a20| − 20ν20

)/δ

a20|

= 8,71,

бо Ia20| = (1 − ν20)/δ, δ = − ln(ν), ν = 1/1,04 = 0,9615.1.12.29. 1. За вiдсутностi арбiтражу: а) з умов задачi одержимо си-

стему рiвнянь 97 = 100/(1 + y1), 93 = 100/(1 + y2)2, 88 = 100/(1 + y3)3,83 = 100/(1 + y4)4. Звiдси y1 = 3,0928 %, y2 = 3,6952 %, y3 = 4,3532 %,y4 = 4,7684 %;

б) нехай i — норма прибутку чотирирiчної облiгацiї, що погашаєтьсяза номiналом, з 4 %-ними купонами, якi виплачуються iз заборгованiстю.

136

Тодi

4[

1(1 + i)

+1

(1 + i)2+

1(1 + i)3

+1

(1 + i)4

]+

100(1 + i)4

=

= 4[

1(1 + y1)

+1

(1 + y2)2+

1(1 + y3)3

+1

(1 + y4)4

]+

100(1 + y4)4

.

Використавши рiвняння з пункту 1a), дiстанемо

4[

1(1 + i)

+1

(1 + i)2+

1(1 + i)3

+1

(1 + i)4

]+

100(1 + i)4

=

= 4(0,97 + 0,93 + 0,88 + 0,83) + 83.

Звiдси i = 4,717 %.2. Облiгацiю, за якою сплачується купон, можна уявляти як складену

з чотирьох облiгацiй з нульовим купоном, що погашаються в моментичасу 1, 2, 3, 4. Тi облiгацiї, що погашаються ранiше, мають норму при-бутку меншу за чотирирiчну спотову ставку, а норма прибутку облiгацiїз купоном є опуклою комбiнацiєю чотирьох спотових ставок.

3. Згiдно з теорiєю “переваги лiквiдностi”, короткостроковi облiгацiїмають забезпечувати меншу норму прибутку, нiж довгостроковi, томущо iнвестори цiнують лiквiднiсть i нижчий капiтальний ризик. Томукрива доходу спрямована вгору при сталих очiкуваних короткостроковихставках так само, як крива доходу в пунктi 1.

1.12.30. 1. Див. розв’язок задачi 1.5.7.2. Вимiрюємо час пiврiччями. Тодi цiна облiгацiї дорiвнює (норма

прибутку становить 3 %)

P = 50a20| + 100ν20 = 129,755.

Визначимо чисельник у формулi для тривалостi:

20∑

t=1

tCtνt = 5

20∑

t=1

tνt + 20 · 100ν20 = 5(Ia)20| + 2000ν20;

(Ia)20| =

..a20| − 20ν20

0,03=

1,03 · 14,87747 − 20 · 0,5536760,03

= 141,6758,

тобто вiн дорiвнює 1815,731. Тривалiсть у пiврiччях 1815,731/129,755 == 13,994, тому тривалiсть в роках дорiвнює 6,997 ≈ 7 рокiв.

3. Якщо зменшити купоннi виплати, то в облiгацiї моменти до пога-шення будуть зваженi меншими вагами, тобто вага моменту погашеннязросте, отже, тривалiсть збiльшиться.

137

1.12.31. Нехай D — сума, що сплачується за купоном. Волатильнiстьv i тривалiсть τ зв’язанi спiввiдношенням τ = (1 + i)v. Маємо

τ =D∑∞

t=1 tνt

D∑∞

t=1 νt

=ν∑∞

t=1 tνt−1

1/i= iν

d

dν

( ∞∑

t=0

νt

)=

=i

1 + i

d

dν

( 11 − ν

)=

i

1 + i

1(1 − ν)2 =

i

1 + i

(1 + i)2

i2=

1 + i

i.

Отже, v = 1/i.1.12.32. 1. Дисконтований середнiй час становить

100 · 0ν0 + 230 · 5ν5 + 600 · 13ν13

100ν0 + 230ν5 + 600ν13,

що дорiвнює: а) 8,42 року, якщо i = 5 %; б) 5,9 року, якщо i = 15 %.2. Дисконтований середнiй час: a) для незмiнних виплат

1000(ν + 2ν2 + . . . + 20ν20)1000(ν+ ν2 + . . . + ν20)

=(Ia)20|

a20|

= 8,04 року;

б) для виплат, якi утворюють арифметичну прогресiю,

1000(ν+ 1,1 · 2ν2 + 1,2 · 3ν2 + . . . + 2,9 · 20ν20)1000(ν + 1,1ν2 + 1,2ν2 + . . . + 2,9ν20)

=9(Ia)20| +

∑20t=1 t2νt

9a20| + (Ia)20|

.

Згiдно iз задачею 12.11,∑20

t=1 t2νt =[2(Ia)20| − a20| − n2ν21

]/(1− ν), звiд-

ки, пiдставляючи i = 8 %, встановимо, що ДСЧ = 9,78 року;в) для виплат, якi утворюють геометричну прогресiю iз знаменником

1 + i,1000(ν + 1,08 · 2ν2 + 1,082 · 3ν3 + . . . + 1,0819 · 20ν20)

ν + 1,08 · ν2 + 1,082 · ν3 + . . . + 1,0819 · ν20 =

=ν(1 + 2 + . . . + 20)

20ν= 10,5 року.

г) для виплат, якi утворюють геометричну прогресiю iз знаменником,що не дорiвнює 1 + i,

∑20t=1 1000t(1,1)t−1νt

∑20t=1 1000(1,1)t−1νt

=

∑20t=1 tθt−1

∑20t=1 θ

t−1=

(Ia)j20|

aj

20|

,

де θ = 1,1/1,08 = 1/(1 + j). Таким чином, ДСЧ = 11,11 року.1.12.33. 1. Маємо за означенням

t1 =F1

V1; t2 =

F2

V2,

де F1, F2 — чисельники дробiв в означеннi ДСЧ для першого та другогопотокiв вiдповiдно (це може бути

∑xisiν

si для окремих платежiв, або

138

rx(s)s ds для неперервного потоку, або комбiнацiя таких виразiв). Звiдси

при V1 +V2 =/ 0

V1t1 +V2t2 = F1 + F2 ⇒ V1t1 +V2t2V1 +V2

=F1 + F2

V1 +V2.

Надходження за об’єднаним потоком у кожний момент часу дорiвнюєсумi надходжень за кожним з цих потокiв, отже, знаменник дробу вформулi для ДСЧ об’єднаного потоку дорiвнює F1 + F2, звiдки випливаєпотрiбне нам твердження.

Для n потокiв за допомогою аналогiчних мiркувань (або за допомогоюiндукцiї) маємо при

∑nj=1Vj =/ 0

t =

∑nj=1Vjtj∑nj=1Vj

.

2. Пiдрахуємо: а) для виплат iнвестору V1 = 10000a10| = 61445,67,

t1 = (Ia)10|/a10| = 4,725. Для платежiв iнвестора V2 = −30 000(ν5+ν15) =

= −25 809,4, t2 = (5ν5 +15ν15)(ν5 +ν15) = 7,783 (значення V2 вiдповiдаєвитратам iнвестора, тому воно вiд’ємне);

б) з пункту 1 маємо t = (V1t1 +V2t2)(V1 +V2) = 2,511.1.12.34. 1. Сучасна вартiсть ануїтету

n∑

t=1

[(n + 1)t − t2]νt = (n + 1)(Ia)n| − X,

де X =∑n

t=1 t2νt. Використовуючи результат задачi 1.5.7, вiдразу маємопотрiбну рiвнiсть. При n = 9 i i = 0,09 сучасна вартiсть цього ануїтетудорiвнює 109,162.

2. За ефективної вiдсоткової ставки 9 % рiчних: а) сучасна вартiстьзагальної суми надходжень за полiсами, що випущенi 1 сiчня 1985 року,20 000

..s9%

10|= 331 206. Вiдразу пiсля виплати премiї 1 сiчня 1985 року

тривалiсть майбутнiх потокiв∑9

t=1 20 000tνt − 331 206 · 10ν10

∑9t=1 20 000νt − 331 20610ν10

=20 000(Ia)9| − 3 312 060ν10

20 000a9| − 331 206ν10= 43,39;

б) для полiсiв, випущених у 1976–1985 роки включно, дисконтованийсереднiй час майбутнiх потокiв платежiв пiсля 1 сiчня 1985 року

20 000∑9

t=1(10 − t)tνt − 331 206∑10

t=1 tνt

20 000∑9

t=1(10 − t)νt − 331 206∑10

t=1 νt

=

=20 000 · 109 162 − 331 206(Ia)10|ν

10

20 000(10a9| − (Ia)9|) − 331 206a10|

= 5,5.

Зауваження. Значення 109 162 пораховано в пунктi 1.

139

1.12.35. 1. Розглянемо акцiю номiналом 1 грн. Доходом є 5 коп нарiк, що сплачуються неперервно до погашення акцiї через n рокiв. Во-латильнiсть дорiвнює

0,05ν(I a)n| + nνn+1

0,05an|

при iнтенсивностi вiдсотка 0,07. Враховуючи, що при iнтенсивностi вiд-сотка δ виконується (Ia)n| = (an| − nδn)/δ, встановлюємо, що волатиль-нiсть дорiвнює 10,808 при n = 20 i 13,375 при n = 60.

2. Волатильнiсть буде максимальною, коли 0,05(n − an|) + 0,07an| =

= 0,07/(0,07 − 0,05), тобто коли 0,05n + 0,02(1 − e−0,07n)/0,07 = 3,5. На-ближено розв’язуючи, отримаємо n = 64,35.

При такому значеннi n i iнтенсивностi вiдсотка 0,07 волатильнiстьдорiвнює 13,379.

1.12.36. Значення акцiй компанiї “Альфа”

VA = 6ν6 + 6 · 1,1ν7 + 6 · 1,12ν8 + . . . + 6 · 1,16ν12+

+6 · 1,16 · 1,03ν13 + 6 · 1,16 · 1,032ν14 + · · · =

= 6ν6 1 − 1,17ν7

1 − 1,1ν+ 6 · 1,16 · 1,03ν13 1

1 − 1,03ν.

Пiдставляючи ν = 1/1,06 = 0,943396, маємо VA = 214,543.Значення акцiй компанiї “Бета”

VB = 4ν + 4(1,005)ν2 + 4(1,005)2ν3 + . . . =4ν

1 − 1,005ν= 72,277.

2. Пiдставимо тепер у наведенi вище формули ν = 1/1,07 = 0,93458 iодержимо VA = 151,981, VB = 61,538. Вiдсотковi змiни цiн акцiй:

151,981 − 214,543214,543

100 % = −29,16 %

для “Альфа” i

61,538 − 72,72772,727

100 % = −15,38 %

для “Бета”. Отже, вiдсоткове падiння вартостi акцiй “Бета” менше, нiж“Альфа”. Це пояснюється тим, що виплати дивiденду за акцiями “Аль-фа” здiйснюються в середньому набагато пiзнiше. Отже, їх тривалiсть, атому i волатильнiсть вiдносно змiни вiдсоткової ставки, вища.

1.12.37. 1. Розглянемо iнвестицiю в акцiю номiналом 100 грн з тер-мiном погашення n рокiв. Дисконтований середнiй час надходжень за

140

акцiєюk(Ia)n| + 100ne−δn

kan| + 100e−δn=

k[(1 − νn)/0,05 − nνn] + 100nνn

k(1 − νn)/0,05 + 100νn=

=20k + [(5 − k)n − 20k]νn

k + (5 − k)νn,

де ν = e−0,05. Прирiвнюючи це до 5, отримуємо [25+15k+n(k− 5)]νn == 15k, звiдки негайно випливає потрiбне рiвняння. Для випадку а) приk = 5 маємо рiвняння e0,05n = 4/3, звiдки n = 5,75364; для випадку б)при k = 10 маємо рiвняння e0,05n = (35 + n)/30, приблизний розв’язокякого n = 6,481.

2. Тривалостi активiв i пасивiв iнвестора однаковi. З того, що роз-кид пасивiв навколо тривалостi нульовий, а розкид активiв додатний,випливає, що iнвестор iмунiзований вiдносно малих змiн iнтенсивностiвiдсотка. Цiна акцiї з 10 %-ним купоном i з термiном погашення 6,481,дорiвнює (у вiдсотках вiд номiналу)

10a6,481| + 100ν6,481 = 127,68.

Iнвестована сума є 100 000e−0,25 = 77880. Тодi за будь-якої iнтенсивно-стi вiдсотка сучасна вартiсть доходу iнвестора

VA −VL =77 880127,68

(10a6,481| + 100ν6,481

)− 100 000ν5.

Це значення дорiвнює: а) 2,26 грн при δ = 0,055; б) 2,35 грн при δ == 0,045.

1.12.38. 1. Сучасна вартiсть

V =4∑

t=1

(1000 + 100t)ν5t = 2751,54 грн;

тривалiсть∑4

t=1 5t(1000 + 100t)ν5t

V=

31 6092751,54

= 11,4877 року.

2. Припустимо, що суми, iнвестованi в 10-рiчну i 30-рiчну акцiю,дорiвнюють A i B вiдповiдно. Тодi з пункту 1 A+B = 2751,54. Грошовийпотiк за 10-рiчною акцiєю має сучасну вартiсть V1 = A(0,05a10| + ν10) iтривалiсть

t1 =0,05(Ia)10| + 10ν10

0,05a10| + ν10 .

За вiдсоткової ставки 5 % на рiк цi значення дорiвнюють V1 = A i t1 == 8,10782 року. Аналогiчно, для 30-рiчної акцiї сучасна вартiсть V2 = Bi тривалiсть 16,14107 року.

141

Використовуючи результат задачi 1.12.34, пiдрахуємо тривалiсть над-ходжень за обома акцiями:

t =A · 8,10782 + B · 16,14107

A+ B= 16,14107 − 0,00291955A.

Прирiвнюючи цей вираз до 11,4877, визначимо A = 1593,87 грн, B == 1157,67 грн.

1.12.39. Припустимо, що iнвестор купує п’ятирiчнi акцiї номiнальноївартостi A i 15-рiчнi номiналом B. Для повної iмунiзацiї необхiдно, щоб(обчислюємо значення в момент t = 10)

Ae5δ0 + Be−5δ0 = 1000 000 i 5Ae5δ0 = 5Be−5δ0 ,

звiдки A = 500 000e−5δ0 , B = 500 000e5δ0 .Тепер припустимо, що δ0 = 0,05. Тодi A = 389 400, B = 642 013, тобто

iнвестор має придбати 389 400 грн номiнальної вартостi першої акцiї i642 013 грн другої (для обох цiна 303 265 грн). Загальна iнвестованасума, 606 530 грн, дорiвнює сучасному значенню позики.

Рiзниця активiв i пасивiв за iнтенсивностi вiдсотка δ

VA −VL = 389 400e−5δ + 642 013e−15δ − 1 000 000e−10δ.

Тодi: а) при δ = 0,07 сучасна вартiсть доходу 2 485 грн; б) при δ = 0,03 —3707 грн.

1.12.40. 1. Сума, яку має компанiя для iнвестування, становить зараз100 000ν8 за iнтенсивностi вiдсотка 5 %, тобто 67 032. Помiтимо, що цiна20-рiчної акцiї номiналом 1 становить ν20 = 0,367879.

Припустимо, що компанiя купує акцiї номiнальної вартостi X (за цi-ною 0,367879X). Це означає, що сума (67 032 − 0,367879X) зберiгаєтьсяв готiвцi, що має нульову тривалiсть. Скориставшись результатом зада-чi 1.12.34, пiдрахуємо дисконтований середнiй час активiв компанiї:

0,367879X · 20 + (67 032 − 0,367879X) · 00,367879X + (67 032 − 0,367879X)

=7,357580X

67 032.

Прирiвнюючи до 8 (тривалостi пасивiв), маємо X = 72885. Отже, компа-нiя має придбати 20-рiчнi акцiї номiналом 72 885 грн за цiною 26 813 грнi зберiгати 40 219 грн готiвкою.

2. За iнтенсивностi вiдсотка δ на рiк рiзниця мiж активами i пасивамикомпанiї

VA −VL = 72885e−20δ + 40219 − 100 000e−8δ.Сучасна вартiсть прибутку: a) 1 556 грн при δ = 0,03; б) 1 071 грн приδ = 0,07.

1.12.41. 1. Розмiр єдиної премiї 10 000ν15 = 3152,42 грн. Нехай при-дбано 20-рiчнi акцiї номiнальної вартостi X за цiною Xν20 = 0,214548X.

142

Щоб дисконтованi середнi часи активiв i пасивiв були однаковi, потрiбно(див. задачу 1.12.34), щоб

0,214548X · 20 + (3152,42 − 0,214548X) · 03152,42

= 15.

Звiдси X = 11020. Отже, компанiя має придбати 20-рiчнi акцiї номiна-лом 11 020 грн за цiною 2364,32 грн, i зберiгати 788,10 грн готiвкою.

2. Для випадку а)

VA −VL = 788,10 + 11 020ν20 − 10 000ν15,тобто за вiдсоткової ставки 5 % дохiд дорiвнює 131,25 грн;

для випадку б), аналогiчно, за вiдсоткової ставки 10 % дохiд дорiвнює32,24 грн;

для випадку в) при 0 ≤ t ≤ 20

δ(t) = ln 1,05 +t

20(ln 1,1 − ln 1,05).

Звiдси, якщо дисконтний множник

ν(t) = exp−w t

0δ(s)ds,

то ν(15) = 0,370268 i ν(20) = 0,23669. Отже,VA −VL = 788,10 + 11 020ν(20) − 10 000ν(15) = −306,26,

тобто втрати дорiвнюють 306,26 грн.1.12.42. 1. Для випадку a) Aaeδa = Bbe−δb = b (S − Aeδa) ⇒ A =

= bS/[(a + b)eδa], Bbe−δb = Aaeδa = a(S − Be−δb) ⇒ B = aSeδb/(a + b);для випадку б) Bbe−δb = Aaeδa = a(S − Be−δb), звiдки дiстанемо

a = Bbe−δb/(S − Be−δb). Знаючи a, визначимо A = (S − Be−δb)e−δa;для випадку в) Aaeδa = Bbe−δb = b(S − Aeδa), b = Aaeδa/(S − Aeδa).

Знаючи b, визначимо B = (S − Aeδa)eδb;для випадку г) S−Aeδa = Be−δb = Aaeδa/b ⇒ (a+b)eδa = bS/A, тобто

f (a) = bS/A, де f (x) = (x + b)eδx. Помiтимо, що функцiя f (x) зростаєпри x ≥ 0 i прямує до ∞, коли x → ∞. З iншого боку, f (0) = b < bS

A .Таким чином, iснує єдине додатне значення x, таке, що f (x) = bS/A.Знайшовши a, обчислимо B = Aaeδ(a+b)/b.

2. S − Be−δb = Aeδa = Bbe−δb/a ⇒ (a + b)e−δb = aS/B, тобто g(b) == aS/B, де g(x) = (a + x)e−δx. Якщо δa < 1, то максимальне значенняg(x) досягається в точцi x = 1/δ − a i дорiвнює (δe1−δa)−1. Якщо дода-тково a < aS/B < (δe1−δa)−1, тобто якщо aδe1−δa < B/S < 1, то є двадодатних значення x, для яких g(x) = aS/B.

При δ = 0,05, S = 1, a = 15, B = 0,98 зазначенi вище умови виконано.Розв’язками (b,A) є (1,489885, 0,042679), (8,976051, 0,176843).

143

1.13. СТОХАСТИЧНI МОДЕЛI ВIДСОТКОВОЇ СТАВКИ


Нехай it — прибуток, одержаний у момент t вiд iнвестування однiєїгрошової одиницi в момент t − 1, t = 1, 2, . . . ,n. Припустимо, що грошiiнвестуються лише на початку кожного перiоду. Позначимо через Ft су-му, накопичену на момент t всiма коштами, iнвестованими до моментуt, i через Pt позначимо капiтал, iнвестований у момент часу t. Тодi Ft == (1 + it)(Ft−1 + Pt−1), t = 1, 2, . . . ,n. Якщо Sn — сума, накопичена намомент t = n iнвестицiєю однiєї грошової одиницi в момент t = 0, тоSn =

∏nt=1(1 + it). Аналогiчно, ряд iнвестицiй однiєї грошової одиницi в

моменти t = 0, 1, . . . ,n − 1 накопичить у момент t = n суму

An =n∑

k=1

n∏

t=k

(1 + it).

Вважаючи i1, . . . ,in незалежними випадковими величинами, одержимовираз для k-го моменту E[Sk

n] =∏n

t=1 E[(1 + it)k], k ∈ N. Для An маєморекурентне спiввiдношення An = (1+ in)(1+An−1). Звiдси E[Ak

n] = E[(1++ in)k]E[(1 + An−1)k]. Позначимо E[it] = j, тодi E[Sn] = (1 + j)n i

E[An] =..sn| = (1 + j)n + (1 + j)n−1 + . . . + (1 + j).

Якщо випадкова величина lnξ має нормальний розподiл N(µ, σ2),то говорять, що випадкова величина ξ має логнормальний розподiл зпараметрами µ i σ2. Якщо 1 + it, t = 1, . . . ,n, — незалежнi однаково роз-подiленi випадковi величини з логнормальним розподiлом з параметрамиµ i σ2, то випадкова величина Sn =

∏nt=1(1 + it) матиме логнормальний

розподiл з параметрами nµ i nσ2. Аналогiчно, сучасна вартiсть Vn ==

∏nt=1(1 + it)−1 капiталу в одну грошову одиницю наприкiнцi n-го року

має логнормальний розподiл з параметрами −nµ i nσ2.

Задачi

1.13.1. Iнвестицiйний банк моделює очiкуванi характеристики своїхактивiв на п’ятиденний перiод. За цей перiод дохiд банкiвського порт-феля цiнних паперiв i має середнє значення 0,15 % i стандартне вiдхи-лення 0,3 %, 1+ i має логнормальний розподiл. Визначити таке значенняj, що Pi ≥ j = 0,9.

1.13.2. Кожного року t дохiд it iнвестицiйного фонду має середнєзначення jt i стандартне вiдхилення st. Доходи за рiзнi роки незалежнi.

144

Значення, накопичене одиничною iнвестицiєю у момент 0 за n рокiв,дорiвнює Sn.

1. Визначте формулу для середнього значення i стандартного вiдхи-лення Sn, якщо jt = j i st = s для всiх рокiв t.

2. Пiдрахуйте:а) середнє значення суми S8, якщо j = 0,06;б) стандартне вiдхилення S8, якщо j = 0,06 i s = 0,08.1.13.3. Тисячу гривень iнвестують на 10 рокiв. Дохiд за будь-який

рiк становитиме 4 % з iмовiрнiстю 0,4; 6 % з iмовiрнiстю 0,2 i 8 % зiмовiрнiстю 0,4 i буде незалежним вiд доходу в кожному iншому роцi.

1. Пiдрахуйте:а) середнє накопичення наприкiнцi 10 рокiв;б) стандартне вiдхилення накопичень наприкiнцi 10 рокiв.2. Не проводячи будь-яких подальших обчислень, пояснiть, як Вашi

вiдповiдi у пунктах 1а) i 1б) змiняться, якщо:а) вiдсотковий дохiд набуває значень 5, 6 та 7 % замiсть 4, 6 та 8 %

рiчних з вiдповiдними ймовiрностями;б) iнвестицiї здiйснюватимуться протягом 12 рокiв замiсть 10 рокiв.1.13.4. Десять тисяч гривень iнвестовано на банкiвський рахунок, за

яким сплачуються вiдсотки наприкiнцi кожного року. Ставка вiдсоткафiксується випадковим чином на початку кожного року i залишаєтьсябез змiн до початку наступного року. Вiдсоткова ставка, що застосову-ється в якомусь одному роцi, є незалежною вiд ставки, що застосову-ється в якомусь iншому роцi.

Впродовж першого року ефективна рiчна ставка вiдсотка була 3, 4або 6 % з однаковою ймовiрнiстю.

Впродовж другого року ефективна рiчна ставка вiдсотка буде або 5 %з iмовiрнiстю 0,7, або 4 % з iмовiрнiстю 0,3.

1. Припускаючи, що вiдсотковий дохiд завжди реiнвестується в ра-хунок, пiдрахуйте середнє значення накопиченої суми на банкiвськомурахунку наприкiнцi двох рокiв.

2. Пiдрахуйте дисперсiю накопиченої суми на банкiвському рахункунаприкiнцi двох рокiв.

1.13.5. Величина 1 + it має логнормальний розподiл, де it — вiд-соткова ставка за один перiод, що починається в момент t. Параметрирозподiлу мають такi значення: µ = 0,06 та σ2 = 0,0009.

Пiдрахуйте довжину iнтерквартиля для величини, накопиченої на100 одиниць за вказаний перiод, що почався в момент t.

1.13.6. Компанiя прийняла таку iнвестицiйну стратегiю, що очiкува-на щорiчна ефективна норма прибутку вiд iнвестицiй становить 7 % iстандартне вiдхилення надходжень становить 9 %.

145

Щорiчнi надходження є незалежними i 1 + it є логнормально роз-подiленими, де it є доходом за t-й рiк. Компанiя отримала премiю в1 000 грн i виплатить власниковi страхового полiса 1 400 грн через де-сять рокiв.

1. Пiдрахуйте математичне сподiвання i стандартне вiдхилення нако-пичення iнвестицiї розмiром у 1 000 грн через 10 рокiв.

2. Пiдрахуйте ймовiрнiсть, з якою накопичення iнвестицiй буде через10 рокiв менше 50 % їхньої очiкуваної вартостi.

3. Компанiя iнвестує 1 200 грн з метою покрити свої пасиви через10 рокiв.

Пiдрахуйте ймовiрнiсть того, що 1 200 грн будуть недостатнi для по-криття пасивiв.

1.13.7. Рiчнi доходи вiд приватного фонду є незалежними й однаковорозподiленими. Щороку розподiл 1 + it є логнормальним з параметрамиµ = 0,07 i σ2 = 0,006, де it — рiчний дохiд фонду у перiод вiд t − 1 до t.

1. Визначте середнє накопичення за 10 рокiв iнвестицiй у фонд роз-мiром у 20 000 грн наприкiнцi кожного з наступних 10 рокiв, разом з150 000 грн, iнвестованими вiдразу ж.

2. Визначте розмiр одноразового внеску, який буде iнвестовано в фонднегайно i який дасть накопичення принаймнi 600 000 грн у десятирiчнiйперiод з iмовiрнiстю 0,99.

1.13.8. Страхова компанiя пiдраховує одноразову премiю за контрак-том, за яким буде виплачено 10 000 грн через 10 рокiв, як сучасну вар-тiсть сплаченого доходу з очiкуваною вiдсотковою ставкою, що заробля-ється її фондами. Рiчна ефективна вiдсоткова ставка в наступнi 10 рокiвстановитиме 7, 8 або 10 % з iмовiрнiстю 0,3, 0,5 та 0,2 вiдповiдно. Пiд-рахуйте:

а) одноразову премiю;б) очiкуваний прибуток наприкiнцi дiї контракту.1.13.9. Iнвестицiйний банк моделює очiкуване середнє значення сво-

їх активiв через 5 днiв. За цей перiод дохiд вiд банкiвського портфеляi має середнє значення 0,1 % та стандартне вiдхилення 0,2 %, 1 + i маєлогнормальний розподiл.

Пiдрахуйте значення j таке, що ймовiрнiсть того, що i менше абодорiвнює j, дорiвнює 0,05.

1.13.10. У кожному роцi ставка вiдсотка за капiталом страхової ком-панiї не залежить вiд вiдсоткової ставки за всi попереднi роки.

У кожному роцi величина 1 + it, де it є ставкою вiдсотка, яку отри-мано в t-му роцi, має логнормальний розподiл.

Середнє значення i стандартне вiдхилення it становить 0,07 i 0,20вiдповiдно.

1. Визначте параметри µ i σ2 логнормального розподiлу (1 + it).

146

2. Визначте:а) розподiл накопичення S15 одиничної суми грошей через 15 рокiв;б) iмовiрнiсть того, що S15 > 2,5.1.13.11. 1 сiчня 2003 року за номiнальну цiну в 100 000 грн приватна

особа придбала облiгацiю, яку буде викуплено через чотири роки за105 % номiналу, i при цьому виплачують купони в розмiрi 4 % на рiкнаприкiнцi кожного року.

Менеджер по iнвестицiях планує вкладати купоннi виплати в банкiв-ський рахунок, поки облiгацiю не буде викуплено. Припускається, щовiдсоток, за яким вкладатимуться купоннi виплати, є випадковою ве-личиною, i цi випадковi величини для будь-яких двох рiзних рокiв єнезалежними.

Вивiвши потрiбнi формули, обчислiть середнє значення всiєї накопи-ченої на 31 грудня 2006 року суми, якщо рiчна ефективна ставка маєсереднє значення (математичне сподiвання) 5,5 % у 2004 роцi, 6 % у2005 роцi та 4,5 % у 2006 роцi.

1.13.12. Рiчнi вiдсотковi ставки it доходу страхової компанiї незале-жнi, однаково розподiленi для рiзних рокiв t = 1, 2, . . . ,n, причому 1+ itмає логнормальний розподiл з параметрами µ = 0,075, σ2 = 0,00064.Визначте ймовiрнiсть того, що разова iнвестицiя в 2 000 грн накопичитьчерез 10 рокiв бiльше нiж 4500 грн.

1.13.13. Рiчнi вiдсотковi ставки за внески в iнвестицiйний фонд єтакими незалежними однаково розподiленими випадковими величинами,що їхнi рiчнi множники накопичення мають логнормальний розподiл зсереднiм 1,04 та дисперсiєю 0,02.

1. Iнвестор повинен через п’ять рокiв виплатити 5 000 грн. Обчи-слiть суму, яку треба iнвестувати у фонд зараз, щоб з iмовiрнiстю 0,99через п’ять рокiв отримати вiд фонду суму, достатню для вказаного пла-тежу.

2. Прокоментуйте одержаний у пунктi 1 результат.1.13.14. Одну грошову одиницю буде iнвестовано на три роки пiд

ефективну рiчну вiдсоткову ставку 6 % з iмовiрнiстю 0,4, або пiд 5 % зiмовiрнiстю 0,6. Вiдсоткову ставку, яку вибрано на початку, залишаютьбез змiн протягом усiх трьох рокiв. Визначити математичне сподiвання iстандартне вiдхилення накопиченої суми.

1.13.15. Нехай it — рiчна вiдсоткова ставка в перiод з t − 1 до t.Кожного року it може набувати значень 8, 4 i 2 % з iмовiрностями 0,625,0,25 i 0,125 вiдповiдно. Значення вiдсоткової ставки кожного року незалежать вiд значень у попереднi роки. Нехай S3 — сума, яку накопиченоiнвестицiєю в 1 грн за 3 роки. Визначити математичне сподiвання iстандартне вiдхилення S3.

147

1.13.16. Нехай it позначає рiчну ефективну вiдсоткову ставку за пе-рiод з t до t + 1, i для t = 0, 1, . . .

i0 = 0,06; it+1 =

it + 0,02 з iмовiрнiстю 0,25,

it з iмовiрнiстю 0,5,

it − 0,02 з iмовiрнiстю 0,25.

Визначити ймовiрнiсть того, що iнвестицiя в 1 грн у момент t = 0 при-несе накопичений капiтал, бiльший за 1,2 грн, у момент часу t = 3.

1.13.17. Очiкувана ефективна норма прибутку iнвестицiй у страховукомпанiю дорiвнює 6 % на рiк, а стандартне вiдхилення рiчних прибу-ткiв становить 8 %. Випадковi величини 1 + it незалежнi i логнормальнорозподiленi, де it — прибуток у t-му роцi.

1. Обчислiть очiкуване значення суми, накопиченої iнвестицiєю у1 млн грн за 10 рокiв.

2. Визначте ймовiрнiсть того, що накопичене значення виявиться мен-шим за 90 % очiкуваного.

1.13.18. Нехай it — рiчна вiдсоткова ставка в перiод з t − 1 до t.Припустимо, що 1 + it має логнормальний розподiл. Математичне спо-дiвання i стандартне вiдхилення it дорiвнюють, вiдповiдно, 5 % i 11 %.Визначити параметри розподiлу 1 + it i обчислити ймовiрнiсть того, що4 % ≤ it ≤ 7 %.

1.13.19. За полiсом повернення капiталу на 20 000 грн премiї спла-чуються авансом щорiчно протягом 20 рокiв. Премiї буде iнвестовано уфонд, який виплачуватиме постiйний вiдсоток протягом усього перiодудiї полiса. Вiдсоткова ставка буде 3, 6 або 9 % з рiвними ймовiрностями.Витратами можна знехтувати.

1. Визначте очiкуване значення вiдсоткової ставки. Яким має бутирозмiр щорiчної премiї, якщо його порахувати на основi цього середньогозначення?

2. Нехай P — розмiр премiї. Обчислiть:а) (виразiть через P) очiкуване значення прибутку вiд полiса в момент

закiнчення його дiї. За якого P це значення дорiвнює нулю? Пiдрахуйтеце значення для P з пункту 1;

б) очiкуване чисте сучасне значення полiса вiдразу пiсля його прода-жу. Для якого P це значення дорiвнює нулю? Пiдрахуйте це значеннядля P з пункту 1.

1.13.20. Доходи вiд активiв компанiї в рiзнi роки є незалежними iоднаково розподiленими випадковими величинами. Нехай є полiс повер-нення капiталу на 1 000 грн з єдиною премiєю розмiром P i термiном10 рокiв. Нехай також i позначає дохiд на одиницю капiталу в будь-який з цих рокiв. Витратами можна знехтувати.

148

1. Доведiть, що:а) очiкуване значення накопиченого доходу наприкiнцi термiну дiї

полiса дорiвнюєP(1 + E[i])10 − 1 000

i визначте (виразiть через P) стандартне вiдхилення накопиченого дохо-ду;

б) очiкуване чисте сучасне значення полiса вiдразу пiсля продажудорiвнює

P − 1 000(E[ 11 + i

])10,

а стандартне вiдхилення для цього значення

1 000(

E[ 1(1 + i)2

])10−(E[ 11 + i

])201/2

.

2. Для кожної з трьох наведених нижче моделей розподiлу i визначтеP, за якого очiкуване значення накопиченого доходу в кiнцевий моментдорiвнює нулю, та пiдрахуйте для цього значення P стандартне вiдхиле-ння накопиченого доходу. Для кожної з моделей знайдiть також P, дляякого математичне сподiвання чистого сучасного значення полiса вiдра-зу пiсля випуску нульове i пiдрахуйте стандартне вiдхилення чистогосучасного значення:

а) i набуває значень 0,02, 0,04 або 0,06 з рiвними ймовiрностями;б) i рiвномiрно розподiлена на вiдрiзку [0,02, 0,06];в) i має трикутний розподiл на вiдрiзку [0,02, 0,06] (тобто щiльнiсть

її розподiлу f (x) = 2 500(0,03 − |x − 0,03|), x ∈ [0,02, 0,06], f (x) = 0,x /∈ [0,02, 0,06]).

1.13.21. Дохiд i компанiї щороку з однаковими ймовiрностями можедорiвнювати 3, 6 або 9 %. Доходи в рiзнi роки є незалежними.

1. Доведiть, що E[i] = 0,06, D[i] = 0,0006.2. З пункту 1 або iншим шляхом виведiть формули для E[Sn] i D[Sn],

математичного сподiвання та дисперсiї суми, накопиченої за n рокiв по-чатковою iнвестицiєю розмiром 1 грн. Обчислiть цi значення при n = 5,10, 15, 20 рокiв.

3. Нехай An — випадкова величина, що дорiвнює сумi, накопиченiйза n рокiв щорiчними iнвестицiями розмiром 1 грн. Визначте вираз дляE[An]. Обчислiть стандартне вiдхилення An для n = 1, 2, . . . , 15.

4. Для n = 5, 10, 15 визначте вiдношення стандартного вiдхиленняAn до його математичного сподiвання. Прокоментуйте вiдповiдi.

1.13.22. Щороку дохiд компанiї може бути 2, 4 або 7 % з iмовiрно-стями 0,3, 0,5 та 0,2 вiдповiдно i доходи в рiзнi роки незалежнi.

1. Обчислiть середнє значення i стандартне вiдхилення значення, на-копиченого початковою iнвестицiєю в 1 000 грн за 15 рокiв.

149

2. Обчислiть середнє значення i стандартне вiдхилення значення, на-копиченого щорiчними iнвестицiями розмiром 100 грн за 15 рокiв.

1.13.23. Рiчний дохiд страхової компанiї щороку за першим припу-щенням має рiвномiрний розподiл на [0,03, 0,09], за другим припущен-ням — трикутний розподiл на [0,03, 0,09].

1. За кожного припущення обчислiть середнє значення i стандартневiдхилення рiчного доходу компанiї та ймовiрнiсть того, що цей дохiдмiж 5 % та 7 %.

2. Для полiсiв повернення капiталу з єдиною виплатою в 1 грн тащорiчними премiями в 1 грн строком 5, 10 i 15 рокiв пiдрахуйте середнєзначення та стандартне вiдхилення накопиченої суми наприкiнцi термiнудiї за кожного припущення. Доходи в рiзнi роки є незалежними.

Порiвняйте результати для даних припущень.1.13.24. Доходи на активи компанiї в рiзнi роки є незалежними i

щороку розподiл 1 + i є логнормальним з середнiм 0,06 та дисперсiєю0,0003.

1. Визначте параметри µ та σ2 цього логнормального розподiлу.2. Нехай S15 — сума, накопичена початковою iнвестицiєю розмiром

1 грн за 15 рокiв. Доведiть, що S15 має логнормальний розподiл з па-раметрами 0,872025 та 0,063282. З цього, використовуючи стандартнiвластивостi логнормального розподiлу, виведiть, що E[S15] = 2,3965 таE[S2

15] = 5,7665. Перевiрте, що D[S15] = 0,023.3. Визначте E[S15] та D[S15] безпосередньо з умови i порiвняйте зi

значеннями, обчисленими в пунктi 2.4. Визначте ймовiрнiсть того, що сума, накопичена початковою iнве-

стицiєю у 1 000 грн за 15 рокiв: а) бiльша за 2 100 грн; б) менша вiд2 700 грн.

1.13.25. Портфель iнвестора складається iз звичайних акцiй на суму100 000 грн, причому процес

X(t) = ln(P(t))− 100 000,

де P(t) — ринкова вартiсть портфеля в момент t, є броунiвським рухомз µ = 0,05 та σ = 0,15. Пiдрахуйте ймовiрнiсть того, що в певниймомент t протягом наступних десяти рокiв P(t) < 90 000. Визначте такожiмовiрнiсть того, що P(t) ≥ 90 000 для всiх t.

1.13.26. Доходи на активи компанiї в рiзнi роки незалежнi i однаковорозподiленi. Щороку 1 + i має логнормальний розподiл з параметрами µта σ2. Нехай Vn — сучасне значення одиничної виплати через n рокiв.

1. Доведiть, що Vn має логнормальний розподiл i визначте параметрицього розподiлу.

2. У припущеннi, що дохiд щороку має середнє 0,08 i стандартневiдхилення 0,05, визначте для n = 5, 10, 15 та 20 математичне сподi-

150

вання та стандартне вiдхилення сучасного значення виплати розмiром1 000 грн через n рокiв.

1.13.27. (Залежнi доходи.)Щойно завершеного року дохiд вiд активiв компанiї становив 6 %.

Для кожного t дохiд it t-го року з рiвними ймовiрностями може дорiв-нювати

0,02 + k(it − 0,06), 0,06 + k(it − 0,06) або 0,1 + k(it − 0,06),

де k — вiдома стала.1. Визначте математичнi сподiвання i1 та i2.2. Нехай 1 грн iнвестовано зараз, i S — накопичена за два роки сума.

Покажiть, що:а) E[S] = 1,062 + 0,0032k/3,б) D[S] = 10−8(2158336 + 2157312k + 1079168k2)/9.


1.13.1. Обчислимо E[1 + i] = expµ + σ2/2 = 1,0015, D[1 + i] == exp2µ + σ2

(eσ

2 − 1)

= (0,003)2. Звiдси σ2 = 8,973 · 10−6, µ == 0,0014944. Отже, ln(1+i) має нормальний розподiл N(0,0014944,8,973·10−6). Таким чином, умова Pi ≥ j = 0,9 рiвносильна

P

ln(1 + i) − 0,0014944√8,973 · 10−6

< x

= 0,1, де x =

ln(1 + j) − 0,0014944√8,973 · 10−6

.

З таблиць стандартного нормального розподiлу x = −1,28155. Звiдсиj = −0,0023445.

1.13.2. 1. Iз незалежностi доходiв it для рiзних рокiв маємо E[Sn] == (1+j)n, E[S2

n] =∏n

t=1 E[(1+it)2] =∏n

t=1(1+2j+E[i2t ]) = (1+2j+j2+s2)n.Отже, D[Sn] = E[S2

n] − (E[Sn])2 = (1 + 2j + j2 + s2)n − (1 + j)2n.

2. Маємо: а) E[S8] = (1 + 0,06)8 = 1,59; б) σ =√

D[S8] = 0,34.1.13.3. 1. За умовою: а) обчислимо j = E[it] = 0,04 · 0,4 + 0,06 · 0,2 +

+ 0,08 · 0,4 = 0,06. Середнє накопичення за 10 рокiв суми в 1 000 грндорiвнює (див. задачу 1.13.2): E[1 000S10] = 1 000E[S10] = 1 000(1+j)10 == 1790,85;

б) s2 = D[it] = E[i2t ] − (E[it])2 = 0,00032. Дисперсiя накопичення за

10 рокiв iз суми 1 000 грн дорiвнює (див. задачу 1.13.2) D[1 000S10] == 10002D[S10] = 1 0002[(1 + j)2 + s2]10 − (1 + j)20 = 9145,6, стандартневiдхилення σ =

√D[1 000S10] = 95,63.

2. Вiдповiдi змiняться так: а) оскiльки j не змiнилось за рахуноктого, що 0,4(0,04 + 0,08) = 0,4(0,05 + 0,07), то середнє накопиченняне змiниться. Вiдхилення доходу вiд середнього значення зменшилось

151

вiдносно пункту 1а), тому стандартне вiдхилення накопиченої суми будеменшим нiж у пунктi 1б);

б) iз формули E[Sn] = (1 + j)n випливає, що iз збiльшенням термiнунакопичення n збiльшується математичне сподiвання накопиченої суми.Тому 1 000E[S12] > 1 000E[S10]. При бiльшому часi накопичення можливiбiльшi вiдхилення накопиченої суми вiд середнього значення. Дiйсно,розглянемо функцiю

f (t) =[(1 + j)2 + s2

]t

− (1 + j)2t ≥ 0, t ≥ 0.

Маємо

f ′(t) =[(1 + j)2 + s2

]t

ln[(1 + j)2 + s2

]− (1 + j)2t ln(1 + j)2 ≥ 0.

Тому функцiя f (t) зростає i D[S12] = f (12) > f (10) = D[S10].1.13.4. 1. Нехай i1 i i2 — вiдсотковi ставки в перший i другий рiк,

вiдповiдно. Iз незалежностi i1 i i2 випливає, що E[10 000S2] = 1 000E[(1++ i1)(1+ i2)] = 10 000(1+ j1)(1+ j2), де j1 = E[i1] = (0,03+0,04+0,06)/3 == 0,043333, j2 = E[i2] = 0,7 · 0,05 + 0,3 · 0,04 = 0,047. Тому E[10 000S2] == 10000(1,043333)(1,047) = 10 923,7.

2. D[10 000S2] = 108D[S2] = 108(E[S22] − (E[S2])2). Iз незалежностi i1

i i2 випливає, що E[S22] = (1 + j1 + E[i21])(1 + j2 + E[i22]); E[i21] = (0,032 +

+0,042 +0,062)/3 = 0,002033; E[i22] = 0,7 · (0,05)2 +0,3 · (0,04)2 = 0,00223.Звiдси E[S2

2] = 1,193465 i D[10 000S2] = 108(1,193465 − (1,09237)2) == 19278.

1.13.5. Нехай F(x) — функцiя розподiлу, тодi нижнiм квартилем x1/4називається розв’язок рiвняння F(x) = 1/4, верхнiм квартилем x3/4 —розв’язок рiвняння F(x) = 3/4, а довжина iнтерквартиля визначаєтьсяяк IQR = x3/4 − x1/4. Для нормального розподiлу N(0, 1) x1/4 = −x3/4 == −0,674. Випадкова величина [ln(1 + it) − 0,06]/

√0,0009 має розподiл

N(0, 1). Тому для накопиченої суми 100(1 + it) одержимо

P100(1 + it) < x = P

ln(1 + it) − 0,060,03

<ln(x/100) − 0,06

0,03

,

звiдки ln(x1/4/100

)= −0,674 · 0,03 + 0,06 = 0,03978, ln

(x3/4/100

)=

= 0,674 · 0,03 + 0,06 = 0,08022. Отже, x1/4 = 104,058, x3/4 = 108,353 iIQR = 4,295.

1.13.6. 1. E[it] = 0,07, D[it] = 0,092, E[i2t ] = 0,072 + 0,092. Iз неза-лежностi it для рiзних рокiв випливає, що E[S10] =

∏10t=1(1 + E[it]) =

= (1 + 0,07)10 = 1,96715; E[S210] =

∏10t=1(1 + E[it])2 =

(E[1 + 2it + i2t ]

)10=

= (1 + 2 · 0,07 + 0,092 + 0,072)10 = 1,15310; D[S10] = E[S210] − (E[S10])2 =

= 1,15310 − 1,0710 = 0,282657. Для накопичень на 1 000 грн обчислимоE[1 000S10] = 1 967,15 грн, D[1 000S10] = 282 657, σ = 531,65 грн.

152

2. Потрiбно обчислити ймовiрнiсть P1 000S10 < 0,5E[1 000S10] == PS10 < 0,983575. Оскiльки ln(1 + it) має нормальний розподiл зпараметрами µ i σ2, то ln(S10) має розподiл N(10µ, 10σ2). Визначимопараметри µ i σ2 з умов E[1 + it] = expµ + σ2/2 = 1,07, D[1 + it] =

= exp2µ+ σ2(eσ

2− 1)

= 0,092. Одержимо µ = 0,064134, σ2 = 0,00705.

Тодi

PS10 < 0,983575 = P

lnS10 − 10µ√10σ2

<ln 0,983575 − 0,64134√

0,0705

=

= PZ < −2,4778 = 0,00661,де Z ∼ N(0, 1).

3. Потрiбна ймовiрнiстьP1 200S10 < 1400 = PS10 < 1,1667 =

= P

lnS10 − 0,64134√0,0705

<ln 1,1667 − 0,64134√

0,0705

= PZ <−1,8349 = 0,0333.

1.13.7. 1. Обчислимо ln(1 + it) ∼ N(µ, σ2), µ = 0,07, σ2 = 0,006.Позначимо j = E[it], тодi iз спiввiдношення E[1 + it] = 1 + j = expµ ++σ2/2 одержимо j = exp0,07+0,003−1 = 0,0757305. Позначимо черезXn накопичення на кiнець n-го року щорiчних iнвестицiй в одну грошовуодиницю, що робляться iз заборгованiстю. Тодi Xn = 1+

∑nk=2

∏nt=k(1+it).

Середнє накопичення за 10 рокiв з потоку платежiв, заданого в задачi,дорiвнює 150 000E[S10]+20 000E[X10] = 150 000(1+j)10+20000[(1+j)9+

+ (1 + j)8 + . . . + 1] = 150 000(1 + j)10 + 2000 (1+j)10−1(1+j)−1 = 595 183,99.

2. Позначимо шукану суму через C. Тодi PCS10 ≥ 6 · 105 = 0,99 ⇒⇒ PCS10 < 6 · 105 = 0,01. Випадкова величина (lnS10 − 10µ)/

√10σ2

має стандартний нормальний розподiл N(0, 1), тому iз спiввiдношення

P

lnS10 − 10µ√10σ2

<ln(6 · 105/C) − 10µ√

10σ2

= 0,01

i таблиць одержимо [ln(6 · 105/C) − 0,7]/√

0,06 = −2,326. Таким чином,C = 526 726,25 грн.

1.13.8. За результатами обчислень: а) середня вiдсоткова ставка до-рiвнює E[i] = 0,07 · 0,3 + 0,08 · 0,5 + 0,1 · 0,2 = 0,081. Сучасна вартiсть10 000 грн дорiвнює X = 10000(1 + 0,081)−10 = 4589,26 грн;

б) очiкуваний прибуток дорiвнює 4 589,26[0,3 ·(1,07)10 +0,5 ·(1,08)10 ++ 0,2 · (1,1)10] − 10 000 = 42,94 грн.

1.13.9. Обчислимо E[i] = 0,001, D[i] = (0,002)2, ln(1 + i) ∼ N(µ, σ2).Параметри µ, σ2 знаходимо з умов E[1 + i] = expµ + σ2/2 = 1,001,D[1 + i] = exp2µ + σ2(eσ2 − 1) = (0,002)2. Отже, µ = 0,0009975, σ2 == 3,992 · 10−6. Тому

153

Pi ≤ j = P

ln(1 + i) − µσ

≤ ln(1 + j) − µσ

=

= P

Z ≤ ln(1 + j) − 9,975 · 10−4

√3,992 · 10−6

= 0,05,

де Z має стандартний нормальний розподiл. Iз таблиць нормальногорозподiлу [ln(1 + j) − 9,975 · 10−4]/

√3,992 · 10−6 = −1,645. Звiдси j =

= −2,287 · 10−3.1.13.10. 1. З умов задачi E[it] = 0,07, D[it] = 0,22 = 0,04, ln(1 + it) ∼

∼ N(µ, σ2). Параметри µ,σ2 знаходимо з умов E[1+ i] = expµ+σ2/2 == 1,07, D[1 + i] = exp2µ + σ2(eσ2 − 1) = 0,04. Звiдси µ = 0,05049,σ2 = 0,0343411.

2. а) S15 =∏15

t=1(1 + it) ⇒ lnS15 =∑15

t=1 ln(1 + it). Оскiльки ln(1 + it)незалежнi для рiзних рокiв i мають нормальний розподiл N(µ, σ2), тоlnS15 ∼ N(15µ, 15σ2) i таким чином S15 має логнормальний розподiл зпараметрами 15µ = 0,75735, 15σ2 = 0,5151165.

б) PS15 > 2,5 = 1 − PS15 ≤ 2,5 = 1 − P[lnS15 − 15µ]/

√15σ2 ≤

≤ [ln 2,5 − 0,75735]/√

0,5151165

= 1 − PZ ≤ 0,221454 = 0,412, деZ ∼ N(0, 1).

1.13.11. Нехай A — накопичена сума. Купоннi виплати C = 100 000×× 0,04 = 4000 грн. З умов задачi середнi ефективнi рiчнi вiдсотковiставки дорiвнюють E[i1] = 0,055, E[i2] = 0,06, E[i3] = 0,045. Враховуючинезалежнiсть вiдсоткових ставок i1, i2, i3 одержимо середнє значеннянакопиченої суми E[A] = 105 000+4000+4000E[(1+ i1)(1+ i2)(1+ i3)++ (1 + i2)(1 + i3) + (1 + i3)] = 109 000 + 4000[(1 + 0,055)(1 + 0,06)(1 ++ 0,045) + (1 + 0,06)(1 + 0,045) + (1 + 0,045)] = 122 290 грн.

1.13.12. Накопичення за 10 рокiв на iнвестицiю в 2 000 грн дорiвню-ють 2 000S10. Оскiльки lnS10 =

∑10t=1 ln(1 + it) ∼ N(10µ, 10σ2), то

P 2 000S10 ≥ 4 500 = P S10 ≥ 2,25 =

= P

lnS10 − 0,750,08

≥ ln 2,25 − 0,750,08

= PZ ≥ 0,7616 = 0,22315,

де Z ∼ N(0,1).1.13.13. 1. Позначимо через it рiчну вiдсоткову ставку, що дiє в

перiод з t − 1 до t. Тодi рiчний множник накопичення дорiвнює 1 + it. Зумов задачi ln(1+ it) ∼ N(µ, σ2), E[1+ it] = 1,04, D[1+ it] = D[it] = 0,02.Параметри µ, σ2 знаходимо з умов E[1 + i] = expµ + σ2/2 = 1,04,D[1 + i] = exp2µ + σ2(eσ2 − 1) = 0,02. Одержимо, що µ = 0,03006,σ2 = 0,018. Нехай X — iнвестована сума, тодi накопичена за 5 рокiвсума дорiвнює XS5 = X

∏5t=1(1 + it). Iз незалежностi it для рiзних рокiв

154

i умови ln(1 + it) ∼ N(µ, σ2) випливає, що lnS5 має розподiл∑5

t=1 ln(1 ++ it) ∼ N(5µ, 5σ2). Маємо

PXS5 ≥ 5 000 = P

lnS5 − 5µ√5σ2

≥ ln (5 000/X) − 5µ√5σ2

=

= 1 − P

Z <ln (5 000/X) − 0,1503

0,3

= 0,99,

де Z має стандартний нормальний розподiл. Iз таблиць нормального роз-подiлу [ln (5 000/X) − 0,1503]/0,3 = −2,3263 i X = 8644,59 грн.

2. Значна сума iнвестування пояснюється великим значенням диспер-сiї рiчної вiдсоткової ставки, i, як наслiдок, великим ризиком зменшенняiнвестицiї за 5 рокiв.

1.13.14. Нехай C – це накопичена сума. Тодi E[C] = 0,4(1 + 0,06)3 ++ 0,6(1 + 0,05)3 = 1,17098, E[C2] = 0,4(1 + 0,06)6 + 0,6(1 + 0,05)6 == 1,371465, D[C] = E[C2] − (E[C])2 = 0,01646.

1.13.15. E[it] = 0,08 ·0,625+0,04 ·0,25+0,02 ·0,125 = 0,0625, E[i2t ] == 0,00445, E[S3] = E[

∏3t=1(1+ it)] = (1+E[it])3 = (1,0625)3 = 1,1995 грн,

E[S23] = E[

∏3t=1(1+it)2] = (1+2E[it]+E[i2t ])

3 = (1+2·0,0625+0,00445)3 == 1,440792. Тому D[S3] = E[S2

3]−(E[S3])2 = 0,002 i σ =√

D[S3] = 0,045.1.13.16. Маємо накопичений капiтал S3 =

∏2t=0(1 + it). Накопичений

капiтал буде бiльшим за 1,2 грн, якщо хоча б одна рiчна ефективнавiдсоткова ставка дорiвнюватиме 0,08. Тому PS3 > 1,2 = PS3 = 1,06××1,06 ·1,08+PS3 = 1,06 ·1,08 ·1,06+PS3 = 1,06 ·1,08 ·1,08+PS3 == 1,06 · 1,08 · 1,1 = 0,375.

1.13.17. 1. За умовою (1+it) ∼ LN(µ, σ2), причому E[1+it] = expµ++ σ2/2, D[1 + it] = exp2µ+ σ2(exp(σ2)− 1) = 0,06. Звiдси маємо σ2 == (0,08/1,06)2 = 0,0056798, µ = ln 1,06 − 0,0056798/2 = 0,055429. Далiln(1 + it) ∼ N(µ,σ2), тому

lnS10 = ln(1+ i1) . . . (1+ i10) = ln(1+ i1)+ . . .+ ln(1+ i10) ∼ N(10µ, 10σ2),

де S10 — значення суми, накопиченої за 10 рокiв одиничною iнвести-цiєю. Тому S10 ∼ LN(0,55429, 0,056798) i E[S10] = exp0,056798 ++ 0,55429/2 = 1,790848, тобто вiдповiдь — 1790 848 грн.

2. Потрiбно визначити ймовiрнiсть PS10 < 1,61172 = PlnS10 << ln 1,61172, де ln(S10) ∼ N(0,55429, 0,056798), тобто ймовiрнiсть

PZ <

ln 1,61172 − 0,554290,238323

= PZ < −0,32304,

де Z = (lnS10 − 0,55429)/0,238323 ∼ N(0, 1). Цю ймовiрнiсть можназнайти в таблицi значень стандартної нормальної функцiї розподiлу:PZ < −0,32304 = 1 −Φ(0,32304) = 0,373.

155

1.13.18. З умов задачi обчислимо ln(1 + it) ∼ N(µ, σ2), E[it] = 0,05,D[it] = 0,112 = 0,0121. В свою чергу, параметри µ, σ2 визначимо з умовE[1+it] = expµ+σ2/2 = 1,05, D[1+it] = exp2µ+σ2(eσ2−1) = 0,0121.Одержимо µ = 0,043, σ2 = 0,0109,

P0,04 ≤ it ≤ 0,07 = P

ln 1,04 − µσ

≤ ln(1 + it) − µσ

≤ ln 1,07 − µσ

=

= P−0,039 ≤ Z ≤ 0,233 = 0,10766,

де Z ∼ N(0, 1).1.13.19. 1. E[i] = (0,03 + 0,06 + 0,09)/3 = 0,06. Якщо рiчну премiю

пiдраховувати за цiєї вiдсоткової ставки, вона становитиме 10 000/..s20| =

= 256,46 грн.2. За результатами обчислень: а) очiкуване значення накопичення13P

..s20|0,03 +

13P

..s20|0,06 +

13P

..s20|0,09 − 10 000 = 40,81125P − 10 000.

Воно дорiвнює нулю при P = 245,04, а при P = 256,46 очiкуванимдоходом буде 466,45 грн;

б) математичне сподiвання чистого сучасного значення полiса передсплатою першої премiї

13(P

..a20|0,03 − 10 000ν20

0,03) +13(P

..a20|0,06 − 10 000ν20

0,06)+

+13(P

..a20|0,09 − 10 000ν20

0,09) = 12,47734P − 3479,7.

Воно дорiвнює нулю при P = 278,88 i −276,76 грн при P = 256,46.1.13.20. 1. За результатами обчислень: а) накопичений до кiнця тер-

мiну дiї полiса дохiд θ = PS10−1 000 = P∏10

t=1(1+it)−1 000, тому за раху-нок незалежностi i однакової розподiленостi E[θ] = P(1 + E[i])10 − 1000.Далi, позначивши j := E[i], s2 := D[i], маємо, використовуючи те, щоD[X] = E[X2] − (E[X])2 i D[X + const] = D[X] (σ — стандартне вiдхиле-ння):

σ[θ] = Pσ[S10] = P[(1 + j)2 + s2]10 − (1 + j)20

1/2;

б) чисте сучасне значення полiса вiдразу пiсля продажу ϕ = P −− 1 000

∏10t=1(1 + it)−1, тому за рахунок незалежностi i однакової розпо-

дiленостi E[ϕ] = P − 1000E[(1 + i)−1]

10. Далi

σ[ϕ] = 1000σ[(P −ϕ)/1000] = 1000σ[ 20∏

t=1

(1 + it)−1].

Знову, використовуючи формулу D[X] = E[X2] − (E[X])2, а також одна-кову розподiленiсть i незалежнiсть, маємо потрiбну формулу.

156

2. Потрiбно перевiрити такi рiвностi для кожної з даних моделей:а) модель 1: j = E[i] = 0,04. s2 = D[i] = [(−0,02)2 +(0)2+(0,02)2]/3 =

= 8·10−4/3, E[(1+i)−1] = [(1,02)−1+(1,04)−1+(1,06)−1]/3 = 0,96177561.Таким чином,

E[(1 + i)−1]

10= 0,67723223, E[(1 + i)−2] = [(1,02)−2 +

+ (1,04)−2 + (1,06)−2]/3 = 0,92524048 iE[(1 + i)−2]

10= 0,45977594;

б) модель 2: j = E[i] = 0,04. s2 = D[i] = 4 · 10−4/3,

E[(1 + i)−1] =w 0,06

0,02

11 + x

25dx = 0,96165701

i, таким чином,E[(1 + i)−1]

10= 0,67639761,

E[(1 + i)−2] =w 0,06

0,02

1(1 + x)2

25dx = 0,92489826,

отже,E[(1 + i)−2]

10= 0,45807831.

в) модель 3: j = E[i] = 0,04. s2 = D[i] = 2 · 10−4/3. Зауважимо, щощiльнiсть розподiлу величини i

f (x) =

2500(x − 0,02), якщо 0,02 ≤ x < 0,04;

2500(0,06 − x), якщо 0,04 ≤ x ≤ 0,06.

Тодi

E[(1 + i)−1] =w 0,06

0,02

11 + x

f (x)dx = 0,96159748,

отже,E[(1 + i)−1]

)10 = 0,6759789,

E[(1 + i)−2] =w 0,06

0,02

1(1 + x)2

f (x)dx = 0,92472815,

E[(1 + i)−2]

10= 0,45723639.

Порiвнюючи з результатами пункту 1, складемо таку таблицю:

МодельЗначення PPP,для якогоE[θ] = 0E[θ] = 0E[θ] = 0

Вiдповiднезначенняσ[θ]σ[θ]σ[θ]

Значення PPP, дляякого E[ϕ] = 0E[ϕ] = 0E[ϕ] = 0

Вiдповiднезначенняσ[ϕ]σ[ϕ]σ[ϕ]

1 675,56 49,68 677,23 33,652 675,56 35,12 676,4 23,763 675,56 24,83 675,98 17

1.13.21. 1. j = E[i] = [0,03 + 0,06 + 0,09]/3 = 0,06, s2 = D[i] == [(−0,03)2 + (0)2 + (0,03)2]/3 = 0,0006.

157

2. З попереднього маємо, що E[Sn] = 1,06n, D[Sn] = 1,1242n − 1,062n.Це дає такi значення:

nnn 5 10 15 20

E[Sn] 1,33823 1,79085 2,39656 3,20714σ[Sn] 0,06919 0,13102 0,21489 0,33228

3. Маємо, що E[An] =..sn|0,06. Оскiльки A2

n = (1 +2in + i2n)(1+ 2An−1 +

+ A2n−1), то, обчисливши математичне сподiвання, отримаємо при n ≥ 2

E[A2n] = (1 + 2j + j2 + s2)(1 + 2

..sn−1| + E[A2

n−1]). Складемо таку таблицю:

nnn σ[An]σ[An]σ[An] nnn σ[An]σ[An]σ[An] nnn σ[An]σ[An]σ[An]

1 0,02449 6 0,28093 11 0,802842 0,05675 7 0,36194 12 0,946243 0,09850 8 0,45392 13 1,104764 0,14963 9 0,55755 14 1,279485 0,21032 10 0,67358 15 1,47155

4.nnn 5 10 15

σ[An]/E[An] 0,0352 0,0482 0,0596

Зауважимо, що оскiльки n зростає, то значення стандартного вiдхи-лення зростає вiдповiдно до значення математичного сподiвання.

1.13.22. 1. j = E[i] = 0,3·0,02+0,5·0,04+0,2·0,07 = 0,04, s2 = D[i] == 0,3(−0,02)2+0,5·02+0,2(0,03)2 = 0,0003. Тодi математичне сподiваннядоходу, накопиченого початковою iнвестицiєю розмiром 1000 грн, дорiв-нює 1000E[S15] = 1000(1,04)15 = 1800,94, а його стандартне вiдхилен-ня — 1000σ[S15] = 1000(1,081915 − 1,0430)1/2 = 116,28.

2. Математичне сподiвання — 100E[A15] = 100..s15|4 % = 2082,45,

стандартне вiдхилення—100σ[A15] = 86,87 (див. пункт 3 задачi 1.13.21).1.13.23. 1. Для рiвномiрного розподiлу j = E[i] = 0,06, s2 = D[i] =

= 0,0003, s = 0,017321, P[0,05 < i < 0,07] = (0,07 − 0,05)/(0,09 − 0,03) == 1/3.

Для трикутного розподiлу j = E[i] = 0,06, s2 = D[i] = 0,00015,s = 0,01225. Щоб порахувати потрiбну ймовiрнiсть, зауважимо, щоP[i < 0,05] = P[i > 0,07] =

[(0,05 − 0,03)/(0,06 − 0,03)

]2/2 = 2/9, звiдки

P[0,05 < i < 0,07] = 5/9.2. Використовуючи результати попереднього пункту, пiдрахуємо по-

трiбнi величини i запишемо їх у таблицю.

nnnE[Sn]E[Sn]E[Sn] σ[Sn]σ[Sn]σ[Sn] E[An]E[An]E[An] σ[An]σ[An]σ[An]

Обидвi моделi Рiвномiрний Трикутний Обидвi моделi Рiвномiрний Трикутний

5 1,33823 0,04891 0,03458 5,97532 0,14870 0,1051410 1,79085 0,09259 0,06545 13,97164 0,47615 0,3366315 2,39656 0,15181 0,10729 24,67253 1,04000 0,73520

158

Вiдзначимо, що для трикутного розподiлу стандартнi вiдхилення прибли-зно на третину меншi, нiж для рiвномiрного розподiлу. Це вiдображуєменшу мiнливiсть ставки для трикутного розподiлу.

1.13.24. 1. Маємо в наших позначеннях j = 0,06 i s2 = 0,0003. Тодiз того, що 1 + j = exp(µ+ 1

2σ2), s2 = exp(2µ+ σ2)[exp(σ2) − 1], маємо

σ2 = ln[1 +

( s

1 + j

)2]= 0,000267, µ = ln

1 + j√1 +

(s

1+j

)2= 0,058135.

2. З того, що 1+ it ∼ LN(0,058135, 0,000267), маємо S15 ∼ LN(µ′, σ′),де µ′ = 15 · 0,058135 = 0,872025, (σ′)2 = 15 · 0,000267 = 0,063282. Далi,E[S15] = exp(µ′+ 1

2σ′2) = 2,396544, E[(S15)2] = exp(2µ′+2σ′2) = 5,766469.

Звiдси D[S15] = 5,766469 − (2,396544)2 = 0,023.4. Маємо: a) S15 < 2,1 ⇔ lnS15 < ln 2,1 = 0,741937. Оскiльки lnS15

має нормальний N(0,872025, 0,063282), потрiбна ймовiрнiсть

Φ(0,741937 − 0,872025

0,06328

)= Φ(−2,0557) = 0,0199

(Φ — стандартна нормальна функцiя розподiлу, її значення можна вiд-шукати у таблицях);

б) S15 > 2,7 ⇔ lnS15 > ln 2,7 = 0,993252. Тому потрiбна ймовiрнiсть

1 −Φ(0,993252 − 0,872025

0,06328

)= 1 −Φ(1,9157) = 0,0277.

1.13.25. Нехай M(t) — ринкова вартiсть портфеля в момент t, тобтомаємо X(t) = ln(M(t)/100 000). Вiдомо, що ймовiрнiсть того, що бро-унiвський рух зi зсувом µ i дисперсiєю σ2 на промiжку [0,n] набудезначення, меншого за дане −ξ, ξ > 0, наближено дорiвнює

Pn = Φ(−ξ− µn

σ√

n

)+ exp

(−2µξσ2

)Φ(−ξ+ µn

σ√

n

).

У нашому випадку M(t) < 90 000 ⇔ X(t) < −0,10536, тобто ξ = 0,10536.Пiдставляючи це разом з µ та σ у написану вище формулу, маємо P10 == 0,6. Iмовiрнiсть того, що ринкова вартiсть нiколи не буде нижче, нiж90 000, дорiвнює

1 − P∞ = 1 − exp−2 · 0,05 · 0,10536

0,152

= 0,3739.

1.13.26. 1. Vn =∏n

t=1(1 + it)−1. Звiдси

lnVn = −n∑

t=1

ln(1 + it),

тобто lnVn є сумою незалежних нормально розподiлених випадковихвеличин з параметрами −µ та σ2. Тодi lnVn є нормально розподiле-

159

ною випадковою величиною з параметрами −nµ та nσ2, отже, Vn ∼∼ LN(−nµ, nσ2).

2. Маємо E[i] = 0,08, D[i] = 0,0025. Звiдси (див. задачу 1.13.24)µ = 0,07589052, σ2 = 0,0214105. Нехай µ′ = −nµ, σ′2 = nσ2. Тодi

E[Vn] = expµ′ +

12σ′2

=

[exp

− µ+

12σ2

]n

;

E[(Vn)2] = exp2µ′ + 2σ′2 =[exp−µ+ σ2

]2n.

Використовуючи два останнiх рiвняння, запишемо шуканi значення втаблицю:

nnn 1000E[Vn]1000E[Vn]1000E[Vn] 1000σ[Vn]1000σ[Vn]1000σ[Vn]

5 687,91 71,3710 473,22 69,9215 325,53 58,8120 223,93 46,84

1.13.27. 1. Маємо i0 = 0,06. Тому i1 з однаковими ймовiрностямиможе дорiвнювати 0,02, 0,06 або 0,1. Легко бачити, що E[i2 | i1 = α] == 0,06 + k(α− 0,06). Тодi

E[i2] =13(0,06 − 0,04k) +

130,06 +

13(0,06 + 0,04k) = 0,06.

(Значення E[i2] можна було порахувати i безпосередньо, виписавши всiдев’ять можливих значень i2.)

2. У випадку а) маємо E[S | i1 = α] = E[(1+ i1)(1+ i2) | i1 = α] = (1++ α)[1,06 + k(α− 0,06)]. Тому

E[S] =13

[1,02(1,06−0,04k)]+[1,062]+[1,1(1,06+0,04k)]

= 1,062+

0,32300

k;

у випадку б), як i в попередньому, можемо записати

E[S2 | i1 = α] = (1 + α)2E[(1 + i2) | i1 = α] =(1 + α)2

3×

×[1,02 + k(α− 0,06)]2 + [1,06 + k(α− 0,06)]2 + [1,1 + k(α− 0,06)]2

=

= (1 + α2)[3,374

3+ 2,12k(α− 0,06) + k2(α− 0,06)2

].

Звiдси

E[S2] =13

[1,022

(3,3743

− 0,04 · 2,12k + 0,042k2)+ 1,062

(3,3743

)+

+1,062(3,374

3+ 0,04 · 2,12k + 0,042k2

)]=

=19(11,383876 + 0,04314624k + 0,01080192k2).

Пiдраховуючи D[S] як E[S2] − (E[S])2, вiдразу одержимо потрiбну рiв-нiсть.

160

Роздiл IIФiнансова математика

2.1. АРБIТРАЖ ТА IНШI ЕКОНОМIЧНI МОЖЛИВОСТIВ ОДНОПЕРIОДНIЙ МОДЕЛI


При побудовi одноперiодної моделi фiнансового ринку використовую-ться такi поняття:

Початковий момент часу t = 0 i кiнцевий момент часу t = 1, зможливiстю торгувати i витрачати у цi два моменти часу.

Скiнченний простiр можливих станiв фiнансового ринку

Ω = ω1, . . . , ωM, M ∈ N.

Iмовiрнiсна мiра P на Ω, iз P(ω) > 0, ∀ω ∈ Ω.Банкiвський рахунок (безризиковий актив) B = B(t) | t = 0, 1,

B(0) = 1, B(1) = 1 + r, де r = B(1) − B(0) ≥ 0 — вiдсоткова ставка, якаможе бути випадковою величиною.

Цiновий процес S = S(t)| t = 0, 1, S(t) = (S1(t), . . . ,SN (t)), N ∈ N,де Sn(t) ≥ 0 — цiна n-го ризикового активу (акцiї) у момент часу t.Вважаємо, що S(0) = (π1, . . . ,πN ) — вiдомий невипадковий вектор, аS(1) — випадковий вектор, значення якого стає вiдомим лише в моментчасу t = 1.

Стратегiю, або портфель, iнвестора позначають ξ = (ξ0, ξ1, . . . , ξN ),де ξ0 — кiлькiсть грошей, покладених на банкiвський рахунок у почат-ковий момент часу, а ξn, 1 ≤ n ≤ N , — кiлькiсть n-го ризикового активу(наприклад, пакет акцiй), яку iнвестор придбав у початковий моментчасу t = 0. Величини ξn, 0 ≤ n ≤ N можуть набувати як невiд’ємних,так i вiд’ємних значень. При цьому вiд’ємнi значення означають позику,взяття (купiвлю) активiв у борг, а для 1 ≤ n ≤ N — продаж активiв, безфактичного володiння ними (так званий короткий продаж).

Капiтал iнвестора V = V (t)| t = 0, 1 дорiвнює V (t) = ξ0B(t) ++∑N

n=1 ξnSn(t), t = 0, 1.Прибуток дорiвнює G = ξ0r +

∑Nn=1 ξn∆Sn, де ∆Sn = Sn(1) − Sn(0) =

= Sn(1) − πn.Дисконтований цiновий процес визначається як S∗ = S∗(t)| t =

= 0, 1, де S∗(t) = S(t)/B(t).

161

Дисконтований капiтал дорiвнює V ∗(t) = ξ0 +∑N

n=1 ξnS∗n(t), а дис-

контований прибуток визначається як G∗ =∑N

n=1 ξn ∆S∗n , де ∆S∗

n == S∗(1) − S∗(0).

Модель акцiї називається бiномною, якщо Ω = ω1, ω2, S(1) == S(0)d на ω1, S(1) = S(0)u на ω2, причому, як правило, 0 < d < 1(акцiя падає), u > 1 (акцiя пiдвищується). При цьому вiдсоткова ставкастала й дорiвнює r ≥ 0, P(ω1) = p > 0, P(ω2) = q := 1 − p > 0.

Задачi

2.1.1. Показати, що V (1) = V (0) + G, V ∗(t) = V (t)/B(t), t = 0, 1,V ∗(1) = V ∗(0) + G∗.

2.1.2. Нехай M = 2, N = 1, r = 1/9, S(0) = 5, S(1,ω1) = 20/3,S(1,ω2) = 40/9.

1. Обчислити B(1), S∗(1, ω1), S∗(1, ω2).2. Виразити V (1), G, V ∗(1) та G∗ через ξ0 i ξ1 для ω = ω1, ω2.2.1.3. Виконати попереднє завдання за тих самих умов, але при M =

= 3 та S(1,ω3) = 10/3. Пiдрахувати S∗(1,ω3) та виразити V (1), G, V ∗(1)i G∗ через ξ0 i ξ1 для ω = ω3.

2.1.4. Нехай M = 3, r = 1/9,

nnn Sn(0)Sn(0)Sn(0)Sn(1)Sn(1)Sn(1)

ω1ω1ω1 ω2ω2ω2 ω3ω3ω3

1 5 20/3 20/3 40/92 10 40/3 80/9 80/9

Визначити S∗n(0), S∗

n (1, ω) при ω = ω1, ω2, ω3 i виразити V (1), G, V ∗(1)i G∗ через ξ0, ξ1, ξ2 для ω = ω1, ω2, ω3.

2.1.5. Нехай в умовах попередньої задачi M = 4, S1(1, ω4) = 20/9,S2(1, ω4) = 40/3. Обчислити S∗

n (1, ω4) та виразити V (1), G, V ∗(1) i G∗

через ξ0, ξ1, ξ2 для ω = ω4.2.1.6. Стратегiя ξ називається домiнантою, або домiнантною страте-

гiєю, якщо iснує стратегiя ξ така, що V (0) = V (0) i V (1, ω) > V (1, ω),∀ω ∈ Ω. Довести: домiнанта iснує тодi й лише тодi, коли iснує такастратегiя ξ, що V (0) = 0 i V (1, ω) > 0, ∀ω ∈ Ω.

2.1.7. Довести: домiнанта iснує тодi й лише тодi, коли iснує такастратегiя ξ, що V (0) < 0 i V (1, ω) ≥ 0, ∀ω ∈ Ω.

2.1.8. Лiнiйною цiновою мiрою називається невiд’ємний вектор ~p == p(ω1), . . . , p(ωM) такий, що для кожної стратегiї ξ

V ∗(0) =∑

ω∈Ω

p(ω)V∗(1, ω).

162

Довести, що вектор ~p є лiнiйною цiновою мiрою тодi й тiльки тодi,коли вiн є ймовiрнiсною мiрою на Ω, яка задовольняє умову S∗

n(0) ==

∑ω∈Ω p(ω)S∗

n(1, ω), n = 1,N .2.1.9. Довести: лiнiйна цiнова мiра iснує тодi й тiльки тодi, коли

немає домiнантної стратегiї.2.1.10. Говорять, що має мiсце закон однiєї цiни, якщо не iснує двох

стратегiй, скажiмо ξ та ξ таких, що V (1, ω) = V (1, ω), ∀ω ∈ Ω, алеV (0) > V (0). Довести: якщо домiнантної стратегiї не iснує, то має мiсцезакон однiєї цiни. Навести приклад, коли має мiсце закон однiєї цiни,але iснує домiнантна стратегiя.

2.1.11. Нехай M = 2, N = 1, r = 1, S1(0) = 10, S1(1, ω1) == S1(1, ω2) = 12. Показати, що закон однiєї цiни порушено.

2.1.12. Нехай M = 2, N = 1, r = 1, S1(0) = 10, S1(1, ω1) = 8,S1(1, ω2) = 12. Показати, що закон однiєї цiни має мiсце, але iснуєдомiнантна стратегiя.

2.1.13. Нехай M = 3, r = 0,



1 4 8 6 32 7 10 8 4

Показати, що закон однiєї цiни виконано, але iснує домiнантна стратегiя.2.1.14. Арбiтражна можливiсть — така стратегiя ξ, для якої:а) V (0) = 0;б) V (1,ω) ≥ 0, ∀ω ∈ Ω;в) E[V (1)] =

∑Mi=1 P(ωi)V (1,ωi) > 0.

Довести: якщо iснує домiнантна стратегiя, то iснує й арбiтражна мо-жливiсть, але не обов’язково навпаки.

2.1.15. Нехай M = 2, N = 1, r = 0, S1(0) = 10, S1(1, ω1) = 12,S1(1, ω2) = 10. Показати, що домiнанти не iснує, але iснує арбiтражнаможливiсть.

2.1.16. Довести, що арбiтражна можливiсть еквiвалентна будь-якiйз таких сукупностей умов:

а) V ∗(0) = 0, V ∗(1, ω) ≥ 0, ∀ω ∈ Ω, E[V ∗(1)] > 0;б) G∗(ω) ≥ 0, ∀ω ∈ Ω, E[G∗] > 0.2.1.17. Iмовiрнiсна мiра P∗ на Ω називається нейтральною до ризику,

якщо: P∗(ω) > 0, ∀ω ∈ Ω; EP∗[∆S∗n] =

∑Mi=1 P∗(ωi)∆S∗

n(ωi) = 0, n = 1,N .1. Визначити P∗ (якщо вона iснує) у задачi 2.1.2.2. Показати, що для моделi в задачi 2.1.3 нейтральнi до ризику ймо-

вiрнiснi мiри мають вигляд P∗ = (λ, 2 − 3λ, 2λ− 1), 1/2 < λ < 2/3.3. Чи iснує P∗ у задачi 2.1.4?

163

2.1.18. За означенням показати, що в умовах задачi 2.1.2 не iснуєарбiтражної можливостi.

2.1.19. Показати, що в задачi 2.1.4 домiнантних стратегiй нема, алеарбiтражна можливiсть iснує.

2.1.20. Позначимо W = ~x ∈ RM : ~x = G∗ для деякої стратегiї ξ,

W⊥ = ~y ∈ RM : ~y · ~x = 0, ∀~x ∈ W, A = ~x ∈ R

M : ~x ≥ 0, ~x =/ 0.Зауважимо, що умова вiдсутностi арбiтражу має вигляд W ∩ A = ∅, анейтральна до ризику ймовiрнiсна мiра P∗ належить W⊥.

1. Визначити W ∩ A у задачi 2.1.4.2. Визначити W , W⊥ у задачах 2.1.2, 2.1.3, 2.1.5.3. Довести, що W та W⊥ — лiнiйнi пiдпростори R

M.2.1.21. Визначити або всi мiри, нейтральнi до ризику, або всi арбi-

тражнi можливостi в задачi 2.1.5.2.1.22. Нехай M = 2, N = 1, r ≥ 0, S(0) = 1, S(1,ω1) = a, S(1,ω2) =

= b, де a > b > 0 (частковий випадок бiномної моделi). Для яких значеньa, b та r iснує мiра, нейтральна до ризику? Визначити цю мiру. Дляiнших значень параметрiв описати множину всiх арбiтражних можливо-стей.

2.1.23. Нехай A — (M + 1) × (M + 2N)-матриця

0 0 . . . 0 0 1 1 . . . 1∆S∗

1 (ω1) −∆S∗1 (ω1) . . . ∆S∗

N (ω1) −∆S∗N (ω1) −1 0 . . . 0

∆S∗1 (ω2) −∆S∗

1 (ω2) . . . ∆S∗N (ω2) −∆S∗

N (ω2) 0 −1 . . . 0...

... . . ....

......

.... . .

...∆S∗

1 (ωM) −∆S∗1 (ωM) . . . ∆S∗

N (ωM) −∆S∗N (ωM) 0 0 . . . −1

i нехай ~b = (1,0, . . . ,0)T ∈ RM+1. Довести, що система A~x = ~b, ~x ≥ 0,

~x ∈ RM+2N має розв’язок тодi й тiльки тодi, коли iснує арбiтражна мож-

ливiсть.2.1.24. Лема Фаркаша стверджує, що для даної m×n-матрицi A i m-

вимiрного вектора ~b справедливо одне з двох: або система A~x = ~b, ~x ≥ 0,~x ∈ R

n має розв’язок, або система нерiвностей ~yA ≤ 0, ~y · ~b > 0, ~y ∈ Rm

має розв’язок. Використати це твердження i результат попередньої задачiдля доведення такого твердження: якщо арбiтражної можливостi нема,то iснує нейтральна до ризику ймовiрнiсна мiра.


2.1.2. 1. B(1) = B(0)+r = 1+19

=109

; S∗(1, ω1) =S(1, ω1)

B(1)=

20/310/9

=

= 6; S∗(1, ω2) =S(1, ω2)

B(1)=

40/910/9

= 4.

164

2. V (1, ω1) = ξ0B(1) + ξ1S(1, ω1) =109ξ0 +

203ξ1; G(ω1) = ξ0r +

+ ξ1∆S(ω1) =19ξ0 +

53ξ1; V (1, ω2) = ξ0B(1)+ ξ1S(1, ω2) =

109ξ0 +

409ξ1;

G(ω2) = ξ0r+ξ1∆S(ω2) =19ξ0−

59ξ1; V ∗(1, ω1) = ξ0+ξ1S

∗(1, ω1) = ξ0+

+6ξ1, G∗(ω1) = ξ1∆S∗(ω1) = ξ1; V ∗(1, ω2) = ξ0 +ξ1S∗(1, ω2) = ξ0 +4ξ1;

G∗(ω2) = ξ1∆S∗(ω2) = −ξ1.

2.1.3. S∗(1, ω3) = 3; V (1, ω3) =109ξ0 +

103ξ1; G(ω3) =

19ξ0 −

53ξ1;

V ∗(1, ω3) = ξ0 + 3ξ1; G∗(ω3) = −2ξ1.

2.1.4. S∗1 (0) = 5; S∗

2 (0) = 10; S∗1 (1, ω1) = 6; S∗

1 (1, ω2) = 6; S∗1 (1, ω3) =

= 4; S∗2 (1, ω1) = 12; S∗

2 (1, ω2) = 8; S∗2 (1, ω3) = 8; V (1, ω1) =

109ξ0 +

+203ξ1+

403ξ2; G(ω1) =

19ξ0+

53ξ1+

103ξ2; V (1, ω2) =

109ξ0+

203ξ1+

809ξ2;

G(ω2) =19ξ0 +

53ξ1 − 10

9ξ2; V (1, ω3) =

109ξ0 +

409ξ1 +

809ξ2; G(ω3) =

=19ξ0 − 5

9ξ1 − 10

9ξ2; V ∗(1, ω1) = ξ0 + 6ξ1 + 12ξ2; G∗(ω1) = ξ1 + 2ξ2;

V ∗(1, ω2) = ξ0 +6ξ1 +8ξ2; G∗(ω2) = ξ1 −2ξ2; V ∗(1, ω3) = ξ0 +4ξ1 +8ξ2;G∗(ω3) = −ξ1 − 2ξ2.

2.1.5. S∗1 (1, ω4) = 2; S∗

2 (1, ω4) = 12; V (1, ω4) =109ξ0 +

209ξ1 +

+403ξ2; G(ω4) =

19ξ0 − 25

9ξ1 +

103ξ2; V ∗(1, ω4) = ξ0 + 2ξ1 + 12ξ2;

G∗(ω4) = −3ξ1 + 2ξ2.

2.1.6. Необхiднiсть. Нехай ξ — домiнанта, i нехай стратегiя ξ така,що V (0) = V (0) i V (1, ω) > V (1, ω), ∀ω ∈ Ω. Розглянемо стратегiюξ = ξ− ξ. Тодi V (0) = V (0)−V (0) = 0 i V (1, ω) = V (1, ω)−V (1, ω) > 0.

Достатнiсть. Якщо ξ така стратегiя, що V (0) = 0 i V (1, ω) > 0,∀ω ∈ Ω, то вона буде домiнантою, бо домiнує нульову стратегiю ξ = 0.

2.1.7. Необхiднiсть. Якщо iснує домiнанта, то з попередньої задачiвипливає, що iснує така стратегiя ξ, що V (0) = 0 i V (1, ω) > 0, ∀ω ∈ Ω.Отже, V ∗(0) = 0; V ∗(1, ω) > 0, ∀ω ∈ Ω, тобто G∗(ω) > 0, ∀ω ∈ Ω.Побудуємо нову стратегiю ξ: ξn = ξn, n = 1,N i ξ0 = −

∑Nn=1 ξnS

∗n (0)− δ,

де δ = minω∈Ω G∗(ω) > 0. Тодi V ∗(0) = ξ0 +∑N

n=1 ξnS∗n (0) = −δ < 0 i

V ∗(1, ω) = V ∗(0) + G∗(ω) = −δ +∑N

n=1 ξn∆S∗n (ω) = −δ + G∗(ω) ≥ 0,

∀ω ∈ Ω. Оскiльки B(t) > 0, то побудована стратегiя задовольняє умовузадачi.

165

Достатнiсть. Нехай iснує домiнанта, тобто стратегiя ξ, для якоїV (0) < 0 i V (1, ω) ≥ 0, ∀ω ∈ Ω. Тодi V ∗(0) < 0 i V ∗(1, ω) ≥ 0,∀ω ∈ Ω, отже, G∗(ω) = V ∗(1, ω) − V ∗(0) > 0, ∀ω ∈ Ω. Побудуємостратегiю ξ: ξn = ξn, n = 1,N i ξ0 = −

∑Nn=1 ξnS

∗n(0). Тодi V ∗(0) = ξ0 +

+∑N

n=1 ξnS∗n (0) = 0 i V ∗(1, ω) = V ∗(0) + G∗(ω) =

∑Nn=1 ξn∆S∗

n(ω) == G∗(ω) > 0, ∀ω ∈ Ω. Оскiльки B(t) > 0, то побудована стратегiязадовольняє умову попередньої задачi, тобто iснує домiнантна стратегiя.

2.1.9. Розглянути первинну

(0, . . . ,0) · (p(ω1), . . . , p(ωM)) → max ,M∑

i=1

p(ωi)S∗n(1, ωi) = S∗

n (0), n = 1,N ,

M∑

i=1

p(ωi) = 1, p(ωi) ≥ 0, i = 1,M,

та дуальну

ξ0 +N∑

n=1

ξnS∗n (0) → min ,

ξ0 +N∑

n=1

ξnS∗n (1, ωi) ≥ 0, i = 1,M

задачi лiнiйного програмування i використати дуальну теорему лiнiйногопрограмування: якщо одна з цих двох задач лiнiйного програмуваннямає розв’язок, то й друга задача має розв’язок, при цьому екстремальнiзначення цiльових функцiй (тобто тих функцiй, якi максимiзуються тамiнiмiзуються) у них однаковi.

2.1.10. Доведення вказаного твердження провести вiд супротивного.Для побудови прикладу перевiрити, що в моделi з M = 2, N = 1, r = 1,S1(0) = 10, S1(1, ω1) = 12, S1(1, ω2) = 8 виконується закон однiєї цiнита iснує домiнантна стратегiя.

2.1.13. Домiнантна стратегiя ξ = (3, 1, − 1).2.1.15. Показати, що iснує лiнiйна цiнова мiра, але стратегiя ξ =

= (−10, 1) є арбiтражною можливiстю.2.1.17. 1. P∗ = (1/2, 1/2).2. Для визначення P∗ = P∗(ω1), P∗(ω2), P∗(ω3) маємо систему

6P∗(ω1) + 4P∗(ω2) + 3P∗(ω3) = 5,

P∗(ω1) + P∗(ω2) + P∗(ω3) = 1,

P∗(ωi) > 0, i = 1, 2, 3.

Звiдси одержуємо P∗ = (λ, 2 − 3λ, 2λ− 1), 1/2 < λ < 2/3.

166

2.1.19. Арбiтражна можливiсть ξ = (0, 2, − 1).2.1.20. 1. Маємо S∗

1 (1, ω1) = 6; S∗1 (1, ω2) = 6; S∗

1 (1, ω3) = 4;S∗

2 (1, ω1) = 12; S∗2 (1, ω2) = 8; S∗

1 (1, ω3) = 8; ∆S∗1 (ω1) = 1; ∆S∗

1 (ω2) = 1;∆S∗

1 (ω3) = −1; ∆S∗2 (ω1) = 2; ∆S∗

2 (ω2) = −2; ∆S∗2 (ω3) = −2. Тому W =

= x ∈ R3 : x1 = ξ1 + 2ξ2, x2 = ξ1 − 2ξ2, x3 = −ξ1 − 2ξ2, ∀ξ1, ξ2 ∈ R

1.Звiдси випливає, що W = x ∈ R

3 : x1 + x3 = 0, i тому W ∩ A == x ∈ R

3 : x1 = x3 = 0, x2 > 0 =/ ∅. Таким чином, iснує арбiтражнаможливiсть.

2. У задачi 2.1.2: W = x ∈ R2 : x1 = −x2, W⊥ = y ∈ R

2 : y1 = y2.У задачi 2.1.3: W = x ∈ R

3 : x1 + x2 = 0, 2x1 + x3 = 0, W⊥ == y ∈ R

3 : y1 − y2 − 2y3 = 0.У задачi 2.1.5: W = x ∈ R

4 : x1 + x3 = 0, x1 + 2x2 + x4 = 0,W⊥ = y ∈ R

4 : 2y1 − y2 − 2y3 = 0, y2 − 2y4 = 0.2.1.21. Оскiльки W ∩ A = ∅, то арбiтражної можливостi не iснує.

P∗ =(

1 − λ2

, λ,1 − 2λ

2,λ

2

), 0 < λ < 1/2.

2.1.22. Для b < r < a iснує нейтральна до ризику мiра

P∗ =(

r − b

a − b,

a − r

a − b

).

Покладаючи G∗ = (a/(1 + r) − ξ1, b/(1 + r) − ξ1), маємо арбiтражну мо-жливiсть при a ≤ r для всiх ξ1 < 0, а при b ≥ r для всiх ξ1 > 0.

2.1.23. Необхiднiсть. Нехай (x1, x2, . . . , x2N+M) — розв’язок системиA~x = ~b, ~x ≥ 0. Поклавши ξn = x2n−1 − x2n, n = 1, . . . ,N , одержимо iзсистеми, що G∗ ≥ 0, E[G∗] > 0. Звiдси випливає iснування арбiтражноїможливостi.

Достатнiсть. Якщо ξ = (ξ1, . . . ,ξN ) — арбiтражна можливiсть, то

G∗(ωi) =N∑

n=1

ξn∆S∗n (ωi) ≥ 0, i = 1, . . . ,M, E[G∗] > 0.

Позначимо∑M

i=1 G∗(ωi) = δ > 0 i покладемо x2n−1 = x2n = 0, якщоξn = 0; x2n−1 = ξn/δ, x2n = 0, якщо ξn > 0; x2n−1 = 0, x2n = −ξn/δ, якщоξn < 0, n = 1, . . . ,N ; x2N+i =

∑Nn=1∆S∗

n(ωi)(x2n−1 − x2n), i = 1, . . . ,M. Тодi(x1,x2, . . . ,x2N+M) задовольняє систему A~x = ~b, ~x ≥ 0.

2.1.24. Якщо вiдсутня арбiтражна можливiсть, то за попередньоюзадачею не має розв’язку система A~x = ~b, ~x ≥ 0. З леми Фаркашавипливає iснування розв’язку ~y = (y0, y1, . . . , yM) системи ~y A ≤ 0, ~y · ~b >0. Звiдси маємо нерiвностi

∑Mi=1 yi∆S∗

n(ωi) ≤ 0, −∑M

i=1 yi∆S∗n(ωi) ≤ 0,

n = 1, . . . ,N , y0−yi ≤ 0, i = 1, . . . ,M, y0 > 0. Поклавши P∗i = yi/

∑Mk=1 yk,

i = 1, . . . ,M, одержимо нейтральну до ризику ймовiрнiсну мiру.

167

2.2. СПРАВЕДЛИВА ЦIНА ПЛАТIЖНИХ ЗОБОВ’ЯЗАНЬ,ПОВНОТА РИНКУ, ДОХОДНIСТЬ АКЦIЙ, ПРЕМIЯ ЗА РИЗИК


Платiжне зобов’язання X(ω), ω ∈ Ω, — випадкова величина, яказадана на просторi станiв ринку Ω. Вважаємо, що Ω = ω1, . . . ,ωM.Платiжне зобов’язання X(ω) називається досяжним або ринковим, якщоiснує така стратегiя ξ, що V (1, ω) = ξ0B(1) +

∑Nn=1 ξnSn(1, ω) = X(ω),

∀ω ∈ Ω. Ця стратегiя ξ називається породжувальною (реплiкантною)стратегiєю для платiжного зобов’язання X(ω). Якщо всi платiжнi зо-бов’язання на ринку досяжнi, то ринок називається повним. Ринок бу-де повним тодi й тiльки тодi, коли iснує єдина нейтральна до ризи-ку мiра P∗(ω),ω ∈ Ω. За умови вiдсутностi арбiтражу справедливацiна π(X) досяжного платiжного зобов’язання X(ω) дорiвнює π(X) == V (0) = ξ0B(0) +

∑Nn=1 ξnSn(0), де ξ — породжувальний портфель

для X(ω). За вiдсутностi арбiтражу iснує нейтральна до ризику мiраP∗ i справедлива цiна досяжного платiжного зобов’язання X(ω) дорiв-нює π(X) = EP∗[X/B(1)]. Якщо вiдсутнiй арбiтраж, то необхiдною йдостатньою умовою досяжностi платiжного зобов’язання X(ω) є неза-лежнiсть вiд P∗ величини EP∗[X/B(1)]. Якщо платiжне зобов’язанняX(ω) недосяжне, то для його справедливої цiни π(X) має мiсце оцiн-ка π−(X) ≤ π(X) ≤ π+(X), де π−(X) = infP∗∈M EP∗[X/B(1)], π+(X) == supP∗∈M EP∗[X/B(1)], M — множина всiх нейтральних до ризику ймо-вiрнiсних мiр.

Задачi

2.2.1. Нехай M = 2, N = 1, P(ω1) = p, P(ω2) = 1 − p, S(1, ω1) == dS0, S(1, ω2) = uS0, 0 < d < 1 < u. Опцiоном купiвлi називаєтьсяплатiжне зобов’язання C(ω) = [S(1, ω)−K]+ = max0, S(1, ω)−K, якенадає право власнику цього опцiону придбати в момент t = 1 акцiю зацiною виконання (страйковою цiною) K. Опцiоном продажу називаєтьсяплатiжне зобов’язання P(ω) = [K − S(1, ω)]+ = max0, K − S(1, ω),яке надає право власнику цього опцiону продати в момент t = 1 акцiюза цiною виконання (страйковою цiною) K. Припустимо, що для опцiонукупiвлi dS0 < K < uS0, 1 + r > d, r — вiдсоткова ставка безризиковогоактиву.

1. Визначити, за яких спiввiдношень мiж u, d, r та p модель є безар-бiтражною (порiвняти iз задачею 14.22).

168

2. За умов безарбiтражностi визначити єдину мiру, нейтральну доризику.

3. Довести, що

π(C) =1

1 + r

(1 + r − d

u − d

)(uS0 − K).

2.2.2. Волатильнiстю акцiї називається величина σ =√

D[S(1)/S(0)].1. Довести, що в бiномнiй моделi σ2 = (u−d)2p(1−p), тобто σ зростає

разом з u − d.2. Пересвiдчитись на наступному прикладi, що справедлива цiна опцiо-

ну купiвлi не обов’язково зростає з волатильнiстю. А саме, покласти r == 0, S0 = K = 1, визначити π(C) як функцiю u та d i покласти u = 1.05,d = 0,95 та u = 1,01, d = 0,81. Показати, що волатильнiсть бiльша вдругому випадку, а π(C) — менша.

2.2.3. Нехай M = 2, N = 1, r = 1/9, S(0) = 5, S(1, ω1) = 20/3,S(1, ω2) = 40/9. Визначити породжувальну стратегiю для платiжногозобов’язання X(ω1) = 7, X(ω2) = 2 i справедливу цiну π(X):

а) з використанням породжувальної стратегiї;б) з використанням нейтральної до ризику мiри.2.2.4. Нехай M = 3, N = 2, r = 1/3,



1 4,25 8 6 32 5,5 10 8 4

Визначити породжувальну стратегiю для такого платiжного зобов’я-зання: X(ω1) = 5, X(ω2) = 12, X(ω3) = 2. Пiдрахувати справедливуцiну π(X):

а) з використанням породжувальної стратегiї;б) з використанням нейтральної до ризику мiри.2.2.5. В умовах задачi 2.2.3 визначити справедливу цiну опцiонiв

купiвлi й продажу з цiною виконання K = 5. Визначити породжувальнiстратегiї.

2.2.6. Побудувати графiки виплат, як функцiї цiни акцiї S, за такимицiнними паперами:

а) одну акцiю продано, два опцiони купiвлi куплено, у всiх страйковацiна K (ця комбiнацiя називається стреддлом, або стелажем);

б) куплено один опцiон купiвлi й один опцiон продажу зi страйковимицiнами K (перевiрити, чи це також стреддл);

в) куплено один опцiон продажу та два опцiони купiвлi зi страйкови-ми цiнами K (ця комбiнацiя називається стрепом);

г) куплено один опцiон купiвлi та два опцiони продажу зi страйкови-ми цiнами K (це стрiп);

169

д) куплено один опцiон купiвлi зi страйком K1 i один опцiон продажузi страйком K2. Розглянути випадки K1 > K2 (це стренгл), K1 = K2 таK1 < K2;

е) куплено те саме, що i в пунктi д), але ще продано один опцiонпродажу й один опцiон купiвлi, обидва зi страйком K (якщо K1 < K < K2,то це спред “метелик”);

є) куплено один опцiон купiвлi зi страйковою цiною K1 i продано одинопцiон купiвлi зi страйковою цiною K2, K1 < K2 (це спред бика, бикє символом гри на пiдвищення; iнвестор застосовує спред бика, якщосподiвається на пiдвищення цiн акцiй);

ж) куплено й продано те ж саме, що i в пунктi є), але K1 > K2 (цеспред ведмедя, ведмiдь є символом гри на пониження; iнвестор застосо-вує спред ведмедя, якщо сподiвається на зниження курсу акцiй).

2.2.7. Нехай M = 3, N = 1, r = 1/2, S(0) = 14/3, S(1, ω1) = 3,S(1, ω2) = 9, S(1, ω3) = 6. Визначити нейтральну до ризику ймовiрнiснумiру. Чи будуть досяжними опцiони купiвлi iз цiною виконання K = 5;K = 3? Для досяжного платiжного зобов’язання визначити його цiну, адля недосяжного — оцiнити його цiну.

2.2.8. Нехай M = 3, N = 1, r = 1/9, S(0) = 5, S(1, ω1) = 20/3,S(1, ω2) = 40/9, S(1, ω3) = 10/3.

1. Описати множину всiх досяжних платiжних зобов’язань X(ω).2. За яких значень цiни виконання K буде досяжним опцiон купiвлi

C(ω) = [S(1, ω) − K]+ = max0, S(1, ω) − K?3. За яких значень цiни виконання K буде досяжним опцiон продажу

P(ω) = [K − S(1, ω)]+ = max0, K − S(1, ω)?2.2.9. (Паритет купiвлi-продажу.)Нехай невипадкова вiдсоткова ставка дорiвнює r ≥ 0, а π(C) i π(P) —

цiни опцiонiв купiвлi й продажу зi страйковою цiною K. Показати, щоопцiони купiвлi i продажу досяжнi або недосяжнi одночасно i при дося-жностi має мiсце спiввiдношення π(C) − π(P) = S(0) − K/(1 + r).

2.2.10. Нехай M = 2, N = 1, невипадкова вiдсоткова ставка r ∈ [0,1),S(0) = 100, S(1, ω1) = 200, S(1, ω2) = 50. Показати, що коли цiна π(C)опцiону купiвлi iз страйковою цiною K = 150 задовольняє умову π(C) <(50 + 100r)/[3(1 + r)], то покупець опцiону може одержати гарантованийдодатний прибуток.

2.2.11. Нехай у моделi M станiв ринку, N = 1, S(0) = s0, S(1, ωi) == si, i = 1, . . . ,M, вiдсоткова ставка r ≥ 0 невипадкова. Яка справедливацiна опцiону купiвлi iз страйковою цiною K < mini si?

2.2.12. Нехай π(C) — справедлива цiна опцiону купiвлi, а π(P) – цесправедлива цiна опцiону продажу зi страйковою цiною K. Показати, щоπ(C) ≤ S(0) i π(P) ≤ K, де S(0) — цiна ризикового активу в початковиймомент часу.

170

2.2.13. Визначимо M × (N + 1)-матрицю A:

A =

B(1, ω1) S1(1, ω1) . . . SN (1, ω1)B(1, ω2) S1(1, ω2) . . . SN (1, ω2)

......

. . ....

B(1, ωM) S1(1, ωk) . . . SN (1, ωM)

.

Нехай ~ξ = (ξ0,ξ1, . . . ,ξN )T , ~X = (X1, . . . ,XM)T .1. Довести, що ринок буде повним тодi й тiльки тодi, коли систе-

ма A~ξ = ~X має розв’язок для будь-якого ~X. Показати, що для цьогонеобхiдно й достатньо, щоб rankA = M.

2. Показати, що ринок з M = 2, N = 1, r = 1/9, S(0) = 5, S(1, ω1) == 20/3, S(1, ω2) = 40/9 повний.

2.2.14. Нехай M = 2, N = 2, r = 1/9, S1(0) = 5, S1(1, ω1) = 20/3,S1(1, ω2) = 40/9, S2(0) = 54, S2(1, ω1) = 70, S2(1, ω2) = 50.

1. Показати, що P∗ = (1/2,1/2) є нейтральною до ризику мiрою.2. Виписати матрицю A i показати, що модель є повною, хоча активи

лiнiйно залежнi. Визначити цю лiнiйну залежнiсть.2.2.15. Нехай M = 3, N = 1, r = 1/9, S(0) = 5, S(1, ω1) = 20/3,

S(1, ω2) = 40/9, S(1, ω3) = 10/3. Нагадаємо, що в цiй моделi мiри,нейтральнi до ризику, мають вигляд

P∗ = (λ, 2− 3λ, 2λ− 1),де параметр λ ∈ (1/2, 2/3).

1. Обчислити EP∗[X/B(1)] для платiжного зобов’язання X(ω) = (X1,X2,X3).

2. Описати множину всiх досяжних платiжних зобов’язань X(ω) == (X1,X2,X3). Порiвняти iз задачею 2.2.8.

3. Показати, що платiжне зобов’язання X = (30, 20, 10) недосяжне.2.2.16. Нехай M = 4,r = 1/9, а також маємо такi данi:


ω1ω1ω1 ω2ω2ω2 ω3ω3ω3 ω4ω4ω4

1 5 20/3 20/3 40/9 20/92 10 40/3 80/9 80/9 40/3

1. Показати, що нейтральнi до ризику мiри мають виглядP∗ =

((1 − λ)/2, λ, (1 − 2λ)/2, λ/2

), 0 < λ < 1/2.

2. Описати множину всiх досяжних платiжних зобов’язань.3. Визначити для X = (40, 30, 20, 10) значення π−(X) i π+(X).2.2.17. Нехай M = 4, r = 1/3, N = 2, а також маємо такi данi:


ω1ω1ω1 ω2ω2ω2 ω3ω3ω3 ω4ω4ω4

1 63/16 8 6 3 42 81/16 10 8 4 5

171

1. Показати, що нейтральнi до ризику мiри мають вигляд

P∗ =((3− 4λ)/8, (1 + 4λ)/8, (1 − 2λ)/2, λ

), 0 < λ < 1/2.

2. Описати множину всiх досяжних платiжних зобов’язань.3. Визначити для X = (16, 8, 2, 6) справедливу цiну.2.2.18. Нехай M = 4, r = 1/5, N = 1, S(0) = 55/4, S(1, ω1) = 6,

S(1, ω2) = 12, S(1, ω3) = 30, S(1, ω4) = 18.1. Описати множину всiх нейтральних до ризику мiр.2. Описати множину всiх досяжних платiжних зобов’язань.3. Для X = (12, 16, 28, 20) визначити π(X), а для Y = (12, 8, 32, 22)

визначити π−(Y ), π+(Y ).2.2.19. Випадкова величина

Rn(ω) =Sn(1, ω) − Sn(0)

Sn(0)

для n = 1, . . . ,N називається доходнiстю n-ї акцiї, а

R0(ω) =B(1, ω) − B(0)

B(0)= r(ω)

називається доходнiстю облiгацiї (банкiвського рахунку).1. Показати, що прибуток G(ω) портфеля ξ дорiвнює

G(ω) = ξ0B(0)R0 +N∑

n=1

ξnSn(0)Rn(ω).

2. Показати, що ∆S∗(ω) = Sn(0)[Rn(ω) − R0(ω)]/[B(0)(1 + R0(ω))].3. Вивести з попереднього, що мiра P∗ буде нейтральною до ризику

тодi й тiльки тодi, коли EP∗ [Rn(ω) − R0(ω)/1 + R0(ω)] = 0, ∀n.4. Довести, що при невипадковому R0 = r попереднє спiввiдношення

еквiвалентне EP∗[Rn] = r, ∀n.2.2.20. Число Rn = E[Rn] називається середньою доходнiстю n-го

активу. Нехай вiдсоткова ставка r невипадкова, тодi число Rn − r єпремiєю за ризик n-го ризикового активу. Випадкова величина L(ω) == P∗(ω)/P(ω) — цiнова щiльнiсть станiв фiнансового ринку.

1. Довести, що Rn − r = −cov(Rn,L), n = 1, . . . ,N .2. Доходнiсть капiталу визначається як

R(ω) =V (1, ω) −V (0)

V (0).

Довести, що

R =ξ0

V (0)r +

N∑

n=1

ξnSn(0)V (0)

Rn.

172

3. Число R = E[R] називається середньою доходнiстю портфеля, ачисло R − r — премiєю за ризик портфеля ξ. Показати, що R − r == −cov(R,L).

2.2.21. Дисконтованою доходнiстю ризикового активу називаєтьсявипадкова величина

R∗n (ω) =

S∗n (1, ω) − S∗

n (0)S∗

n (0), n = 1, . . . ,N .

Довести, що :

а) G∗ =N∑

n=1

ξnS∗n (0)R∗

n ;

б) R∗n =

Rn − R0

1 + R0;

в) строго додатна ймовiрнiсна мiра P∗(ω), ω ∈ Ω буде нейтральноюдо ризику тодi й тiльки тодi, коли EP∗[R∗

n ] = 0, n = 1, . . . ,N .2.2.22. Нехай N = 1, M = 3, r = 0, S(0) = 10, S(1) = 20, 15 та 7,5.1. Визначити систему рiвнянь для мiр, нейтральних до ризику. Дове-

сти, що всi розв’язки цiєї системи мають вигляд P∗ =(λ, (1−5λ)/3, (2+

+ 2λ)/3), 0 < λ < 1/5.

2. Довести, що платiжне зобов’язання X = (X1, X2, X3) буде досяж-ним тодi й тiльки тодi, коли 3X1 − 5X2 + 2X3 = 0.


2.2.2. 2. У першому випадку π(C) = 0,025, σ2 = 0,1p(1− p); у друго-му — π(C) = 0,0095, σ2 = 0,2p(1 − p).

2.2.3. Породжувальний портфель ξ = (−7,2; 2,25) визначається iзсистеми

ξ0B(1) + ξ1S(1, ω1) = X(ω1),

ξ0B(1) + ξ1S(1, ω2) = X(ω2),⇔

109ξ0 +

203ξ1 = 7,

109ξ0 +

409ξ1 = 2.

Нейтральна до ризику мiра P∗ = (0,5; 0,5).Справедлива цiна: а) π(C) = V (0) = 1 · (−7,2) + 5 · 2,25 = 4,05;

б) π(X) = EP∗[X/B(1)] = 9(0,5 · 7 + 0,5 · 2)/10 = 4,05.2.2.4. Породжувальний портфель ξ = (−6;−24; 20,5). Нейтральна до

ризику мiра P∗ = (1/3; 1/3; 1/3). Справедлива цiна π(X) = 4,75.2.2.5. π(C) = 0,75, ξ = (−3; 0,75), π(P) = 0,25, ξ′ = (1, 5;−0,25).2.2.7. Нейтральна до ризику мiра P∗ = (p; 1/3 + p; 2/3 − 2p), p ∈

(0, 1/3), C(ω) = [S(1, ω)− 5]+ = (0; 4; 1); EP∗[C/B(1)] = 4(1 + p)/3, томупри цiнi виконання K = 5 опцiон купiвлi недосяжний, 4/3 ≤ π(C) ≤

173

≤ 16/9; C1(ω) = [S(1, ω) − 3]+ = (0; 6; 3); EP∗[C1/B(1)] = 8/3, томуопцiон купiвлi при цiнi виконання K = 3 досяжний, π(C1) = 8/3.

2.2.8. 1. Множина досяжних платiжних зобов’язань має вигляд X == (3x − 2y, x, y).

2. Опцiон купiвлi буде досяжним при K ∈ [0; 10/3] ∪ [20/3;+∞).3. Опцiон продажу буде досяжним при K ∈ [0; 10/3] ∪ [20/3;+∞).2.2.9. Нехай опцiон купiвлi C(ω) = [S(1, ω) − K]+ досяжний. Тодi

iснує така стратегiя ξ = (ξ0,ξ1), що

ξ0(1 + r) + ξ1S(1, ω) =

S(1, ω) − K, S(1, ω) ≥ K,0, S(1, ω) < K,

⇔

⇔ ξ0(1 + r) + ξ1S(1, ω) + K − S(1, ω) =

0, S(1, ω) ≥ K,K − S(1, ω), S(1, ω) < K,

⇔

⇔(ξ0 +

K

1 + r

)(1 + r) + (ξ1 − 1)S(1, ω) = [K − S(1, ω)]+ = P(ω).

Тому опцiон продажу P(ω) теж досяжний. Нехай обидва опцiони дося-жнi, тодi π(C) = ξ0 + ξ1S(0), π(P) = ξ0 + K/(1 + r) + (ξ1 − 1)S(0). Звiдсиπ(C) − π(P) = S(0) − K/(1 + r).

2.2.10. У данiй моделi iснує єдина нейтральна до ризику мiра P∗ == ((1 + 2r)/3,(2− 2r)/3), тому опцiон буде досяжним i справедлива цiнаопцiону купiвлi дорiвнюватиме

π(C) = EP∗

[S(1) − K]+/B(1)

=

50(1 + 2r)3(1 + r)

.

Якщо цiна опцiону π < π(C), то застосувавши стратегiю −ξ, де ξ —породжувальна стратегiя для даного опцiону, i купивши опцiон за цiноюπ, покупець одержить гарантований прибуток π(C) − π > 0.

2.2.11. В умовах задачi для того, щоб опцiон був досяжним, необхi-дно й достатньо, щоб iснував розв’язок ξ = (ξ0,ξ1) системи рiвнянь

ξ0(1 + r) + ξ1si = si − K, i = 1, . . . ,M.Звiдси одержуємо породжувальну стратегiю ξ0 = −K/(1 + r), ξ1 = 1.Таким чином, справедлива цiна даного опцiону купiвлi дорiвнює π(C) == −K/(1 + r) + S(0).

2.2.12. Якщо π(C) > S(0), то продавець опцiону купiвлi в моментt = 0 продає опцiон i за цiною S(0) купує акцiю. Тому в момент часуt = 1 продавець може виконати свої зобов’язання щодо опцiону купiвлiпри будь-якому станi ринку i будь-якiй страйковiй цiнi. При цьому вiнодержить гарантований прибуток π(C) − S(0) > 0. Якщо π(P) > K, топродавець продає опцiон продажу за цiною π(P) i в момент часу t = 1має можливiсть купити акцiю за страйковою цiною K < π(P) у випадкупред’явлення опцiону. При цьому вiн одержить гарантований прибутокπ(P) − K > 0.

174

2.2.13. 1. Нехай ~X ∈ RM — платiжне зобов’язання. Тодi ~X можна

подати у виглядi лiнiйної комбiнацiї стовпчикiв матрицi A тодi й тiлькитодi, коли серед них є M лiнiйно незалежних. Таким чином, rankA = M.

2. Матриця

A =[

10/9 20/310/9 40/9

]

має ранг rankA = 2, отже, ринок повний.2.2.14. 1. Перевiримо умову S∗

n (0) = EP∗[S∗n (1, ω)], n = 1, 2. Маємо

5 = (6 + 4)/2, 54 = (63 + 45)/2. Отже, P∗ = (1/2,1/2) — нейтральна доризику мiра.

2. Матриця

A =[

10/9 20/3 40/910/9 70 50

]

має ранг rankA = 2, тому модель повна за попередньою задачею.2.2.15. 1. EP∗[X | B(1)] = 0,9[λ(X1 − 3X2 + 2X3) + 2X2 − X3].2. Усi досяжнi платiжнi зобов’язання задовольняють умову X1 = 3X2−

− 2X3.2.2.16. 1. Треба перевiрити умову S∗

n (0) = EP∗[S∗n(1, ω)], n = 1, 2.

2. Досяжнi платiжнi зобов’язання задовольняють умову X1 − X4 == 2(X2 − X3).

3. π−(X) = 24,75, π+(X) = 27.2.2.17. 1. Треба перевiрити умову S∗

n (0) = EP∗[S∗n(1, ω)], n = 1, 2.

2. Досяжнi платiжнi зобов’язання задовольняють умову X1 − X2 == 2(X4 − X3).

3. π(X) = 7,2.2.2.18. 1. Нейтральнi до ризику мiри мають вигляд

P∗ =12λ + 4µ− 3

4,7 − 16λ− 8µ

4, λ, µ

,

де 12λ + 4µ > 3, 16λ + 8µ < 7, λ > 0, µ > 0.2. Досяжнi платiжнi зобов’язання мають вигляд

X = (X1,X2, 4X2 − 3X1, 2X2 − X1).3. π(X) = 95/6, π−(Y ) = 35/3, π+(Y ) = 415/24.2.2.20. 1. cov(Rn,L) = E[RnL] − E[Rn]E[L] = EP∗[Rn] − Rn = r − Rn.3. Потрiбне спiввiдношення випливає iз рiвностi, одержаної в пун-

ктi 2, i того, що EP∗[Rn] = r.

175

2.3. НАЙПРОСТIШI ПРИКЛАДИ ОБЧИСЛЕННЯВАРТОСТI ЦIННИХ ПАПЕРIВ ЗА ВIДСУТНОСТI АРБIТРАЖУ


Розглянемо такий приклад: нехай у момент t = 0 акцiя коштує100 грн, i в момент t = 1 вона може коштувати 50 грн або 200 грн.Нехай покупець купив за цiною π(C)y право придбати в момент t = 1y акцiй за цiною 150 грн (тобто придбав опцiон купiвлi). Вiн такожпридбав x акцiй у момент 0. Таким чином, у момент 0 вiн витративπ(C)y + 100x грн, x, y ∈ R. Ця сума еквiвалентна величинi [π(C)y ++ 100x](1 + r) на момент t = 1, де r позначає вiдсоткову ставку дляданого iнтервалу часу.

Якщо в момент t = 1 акцiя коштуватиме 50 грн, то покупцю не будесенсу використовувати свiй опцiон, i його капiтал становитиме 50x грн.Якщо в момент t = 1 акцiя коштуватиме 200 грн, то на купiвлi й мит-тєвому перепродажу кожної з y акцiй покупець заробить 50 грн, i йогозагальний капiтал дорiвнюватиме 200x + 50y грн. Якщо ми хочемо, щобприбуток покупця не залежав вiд випадковостей, то покладемо 50x == 200x+50y ⇔ y = −3x. Тодi загальний прибуток покупця вiд описанихдiй становитиме

50x − [π(C)y + 100x](1 + r) = 50x − [−3xπ(C) + 100x](1 + r) =

= (1 + r)x[3π(C) − 100 + 50(1 + r)−1] .

Якщо π(C) >[100 − 50(1 + r)−1

]/3, то при x > 0 i y = −3x покупець

матиме гарантований прибуток. Якщо π(C) <[100 − 50(1 + r)−1

]/3, то

покупець матиме прибуток при x < 0 i y = −3x. Тому єдина цiна опцiону,що виключає можливiсть арбiтражу,

π(C) =[100 − 50(1 + r)−1

]/3.

У задачах цього роздiлу використовуються такi позначення:S — цiна цiнного паперу (акцiї) у момент t = 0;K — цiна на цiнний папiр (акцiю), закладена в опцiон купiвлi або

продажу (страйкова цiна);T — момент часу, в який цiнний папiр подається до виконання;π(C) — цiна опцiону купiвлi на право придбати в момент T за цiною

K цiнний папiр (акцiю), чия цiна в момент t = 0 дорiвнює S;π(P) — цiна опцiону продажу на право продати в момент T за цiною

K цiнний папiр (акцiю), чия цiна в момент t = 0 дорiвнює S.В усiх задачах припускатимемо, що арбiтраж вiдсутнiй.

176

Задачi

2.3.1. Нехай у момент t = 0 акцiя коштує 20 грн, а в момент T == 1 вона може коштувати 10 грн або 30 грн. Покупець може купити зацiною π(C)y право придбати в момент T = 1 y акцiй за цiною 20 грн.Вiн також може придбати x акцiй у момент 0.

1. Виразити цiну вказаної трансакцiї в момент t = 0 як функцiю x, yта π(C).

2. Виразити через x та y вартiсть утвореного портфеля в моментT = 1 (з урахуванням миттєвого перепродажу акцiй, якщо цiна акцiїдорiвнюватиме 30 грн).

3. Виразити y через x за умови, що вартiсть утвореного портфеля вмомент T = 1 не залежить вiд випадку.

4. Визначити цiну зробленої трансакцiї в момент T = 1, якщо вiдсот-кова ставка за даний перiод часу дорiвнює r.

5. Визначити одержаний прибуток, якщо цiна утвореного портфеляне залежить вiд випадку.

6. Визначити цiну опцiону за умови вiдсутностi арбiтражу, тобто увипадку нульового прибутку.

2.3.2. Нехай вiдомо, що цiна деякого цiнного паперу в момент T = 1може набути значення S(ωi), i = 1, . . . , M, вiдсоткова ставка за данийперiод часу дорiвнює r. Якою має бути цiна опцiону на право купитицей папiр, якщо страйкова цiна дорiвнює K, причому

K < min1≤i≤M

S(ωi)?

2.3.3. Нехай π(C) — цiна опцiону купiвлi на право купiвлi активу,чия цiна в даний момент часу дорiвнює S. Показати, що π(C) ≤ S.

2.3.4. Яка з наведених нерiвностей є вiрною:а) π(P) ≤ S;б) π(P) ≤ K?2.3.5. Нехай вiдсотки нараховуються неперервно з вiдсотковою став-

кою r, T — час виконання.1. Довести, що π(P) ≥ Ke−rT − S.2. Довести, що π(C) ≥ S − Ke−rT .2.3.6. Нехай вiдсотки нараховуються неперервно з вiдсотковою став-

кою r, T — час виконання, K — страйкова цiна у всiх вказаних в умовiопцiонах.

1. Показати, що продаж акцiї, продаж опцiону продажу й купiвляодного опцiону купiвлi дає безризиковий прибуток (арбiтраж), якщо S ++ π(P) − π(C) > Ke−rT .

2. Показати, що купiвля акцiї, купiвля опцiону продажу та продажопцiону купiвлi дає арбiтраж, якщо S + π(P) − π(C) < Ke−rT .

177

2.3.7. Нехай вiдсотки нараховуються неперервно з вiдсотковою став-кою r, T — час виконання, K — страйкова цiна в опцiонах. Довести, щоза вiдсутностi арбiтражу

S + π(P) − π(C) = Ke−rT .

2.3.8. Якщо акцiя коштує S безпосередньо перед тим, як за неювиплачується дивiденд d (тобто кожному власнику виплачується d наодну акцiю), якою має бути її цiна безпосередньо пiсля того, як дивiдендвиплачено?

2.3.9. Нехай вартiсть певного цiнного паперу (наприклад, акцiї) умомент часу t дорiвнює S(t). Усi опцiони, якi розглядаються в задачi,мають час виконання T i страйкову цiну K (якщо не вказано iнше).Вiдсоткова ставка у перiод мiж придбанням опцiонiв та їх виконаннямдорiвнює r i нараховується неперервно. Визначити капiтал у момент Tiнвестора, який у момент t:

а) має один опцiон купiвлi й один — продажу;б) має один опцiон купiвлi зi страйковою цiною K1 i продає один

опцiон продажу зi страйковою цiною K2;в) має два опцiони купiвлi й продає одну акцiю;г) має одну акцiю й продає один опцiон купiвлi.2.3.10. 1. Нехай у момент t = 0 акцiя коштує 100 грн, а в момент

t = 1 вона може коштувати 50, 100 або 200 грн з iмовiрностями p50,p100 та p200 вiдповiдно. Нехай страйкова цiна опцiону купiвлi дорiвнює150 грн, цiна самого опцiону π(C), банкiвський вiдсоток r = 0.

Визначити:а) середнє значення E[Gs] прибутку вiд купiвлi однiєї акцiї;б) середнє значення E[Go] прибутку вiд купiвлi одного опцiону;в) спiввiдношення мiж π(C), p50, p200, якщо достатньою умовою вiд-

сутностi арбiтражу є виконання рiвностi E[Gs] = E[Go] = 0.2. Перевiрити, чи p200 ≤ 1/3 i вивести звiдси, що при виконаннi ви-

щевказаної достатньої умови вiдсутностi арбiтражу π(C) ≤ 50/3.2.3.11. Нехай у момент t = 0 акцiя коштує 20 грн, а в момент t = 1

вона може коштувати 10, 20 або 30 грн з iмовiрностями p10, p20 та p30вiдповiдно. Нехай страйкова цiна опцiону купiвлi дорiвнює 15 грн, цiнасамого опцiону π(C), банкiвський вiдсоток r = 0.

Визначити:а) середнє значення E[Gs] прибутку вiд купiвлi однiєї акцiї;б) середнє значення E[Go] прибутку вiд купiвлi одного опцiону;в) спiввiдношення мiж π(C), p10, p30, якщо достатньою умовою вiдсу-

тностi арбiтражу є виконання рiвностi E[Gs] = E[Go] = 0.2. Перевiрити, чи p30 ≤ 1/2 i вивести звiдси, що при виконаннi вище-

вказаної достатньої умови вiдсутностi арбiтражу 5 ≤ π(C) ≤ 7,5.

178


2.3.1. 1. π(C)y + 20x. 2. 10x, якщо цiна акцiї становитиме 10 грн, i30x + 10y, якщо цiна акцiї становитиме 30 грн. 3. y = −2x. 4. (π(C)y ++ 20x)(1 + r). 5. (1 + r)x

[2π(C) − 20 + 10(1 + r)−1

]. 6. π(C) = 10 −

− 5(1 + r)−1.2.3.2. Нехай покупець у момент t = 0 придбав x акцiй та y опцiонiв.

Тодi його прибуток у момент T = 1 становитиме

[S(ω) − K] y + S(ω)x − [π(C)y + Sx](1 + r) =

= [S(ω) − K − π(C)(1 + r)] y + [S(ω) − S(1 + r)]x.Якщо y = −x, прибуток становитиме [K + π(C)(1 + r)− S(1 + r)]x, то-му при π(C) 6= S − K/(1 + r) ми маємо можливiсть арбiтражу. Отже,справедлива цiна опцiону π(C) = S − K/(1 + r). При цьому прибутокпокупця дорiвнює (x + y) [S(ω) − S(1 + r)], i для вiдсутностi арбiтражуще потрiбне виконання нерiвностi

min1≤i≤M

S(ωi) < S(1 + r) < max1≤i≤M

S(ωi).

2.3.3. Нехай π(C) > S. Тодi в час t = 0 можна взяти позику S,придбати акцiю, продати опцiон на купiвлю цiєї акцiї, тут же повернутипозику i залишити собi π(C) − S > 0 i акцiю. Якщо в час t = 1 опцiонбуде пред’явлено до виконання, ми продаємо акцiю, отримуючи деякустрайкову цiну. У будь-якому випадку ми маємо арбiтраж.

2.3.4. Нерiвнiсть а) є невiрною. Нехай акцiя коштує 1 грн i в моментчасу t = 0 (тобто S = 1 грн), i в момент часу t = 1. Тодi право продатиїї за цiною K = 3 грн має коштувати P = 2 грн. Нерiвнiсть π(P) ≤ S невиконується.

Нерiвнiсть б) є вiрною. Нехай π(P) > K. Тодi в час t = 0 за сумуπ(P) ми можемо продати право продажу акцiї. Якщо цей опцiон будепред’явлено до виконання, ми в час t = 1 будемо мати суму π(P)(1 ++ r)−K та акцiю, iнакше — π(P)(1+ r). У будь-якому випадку ми маємоарбiтраж.

2.3.5.1. Припустимо, що π(P) < Ke−rT − S ⇔ [π(P) + S]erT < K.У момент t = 0 можна взяти грошову позику π(P) + S, за S придба-ти акцiю й за π(P) — опцiон зi страйковою цiною K. У момент T мипродаємо акцiю за цiною K (або навiть вище, якщо цiна на ринку будебiльшою за K) i повертаємо [π(P)+S]ert як погашення грошової позики.Так ми будемо мати гарантований прибуток, розмiр якого не менший заK − [π(P) + S]erT > 0.

2. Припустимо, що π(C) < S − Ke−rT ⇔ [S − π(C)]erT > K. У моментt = 0 можна коротко продати акцiю за S i за π(C) придбати опцiон зiстрайковою цiною K. У момент T ми матимемо суму [S − π(C)]erT , мо-

179

жемо придбати акцiю за цiною K (або навiть нижче, якщо цiна на ринкубуде меншою за K) i повернути позику. Ми матимемо гарантований при-буток не менший за [S − π(C)]erT − K > 0.

2.3.6. Позначимо через S(t) ринкову вартiсть акцiї в момент t.1. У момент t = 0 проведемо вказанi в умовi дiї i матимемо суму

S + π(P) − π(C), яку покладемо в банк, одержуючи в момент t = T су-му [S + π(P) − π(C)]erT . Якщо S(T ) ≥ K, використаємо опцiон купiвлi,купимо акцiю за K i повернемо позику. Можливе пред’явлення до ви-конання опцiону продажу не завдасть нам збиткiв. Якщо S(T ) < K, тоза пред’явленим опцiоном продажу ми будемо вимушенi купити акцiюза K, i цiєю акцiєю повернемо позику. Опцiон купiвлi використовуватине будемо. В обох випадках маємо додатний прибуток, не менший за[S + π(P) − π(C)]erT − K > 0.

2. У момент t = 0 позичимо суму S + π(P)−π(C) i проведемо вказанiв умовi дiї. Якщо S(T ) < K, то використаємо опцiон продажу, продамоакцiю за K i повернемо позику розмiром [S + π(P) − π(C)]erT . Можли-ве пред’явлення до виконання опцiону купiвлi не завдасть нам збиткiв.Якщо S(T ) ≥ K, то за пред’явленим опцiоном купiвлi ми будемо виму-шенi продати акцiю за K, опцiон купiвлi використовувати не будемо iтакож повернемо позику розмiром [S +π(P)−π(C)]erT . В обох випадкахмаємо прибуток принаймнi K − [S + π(P) − π(C)]erT > 0.

2.3.7. Твердження є наслiдком задачi 2.3.6.2.3.8. Позначимо цiну акцiї пiсля виплати дивiдендiв через Sd. Цiни

S i Sd — фактично цiни на двi рiзнi акцiї, що iснують одночасно. ЯкщоS < Sd +d, то ми можемо взяти позику S, купити акцiю до виплати дивi-дендiв за цiною S, потiм отримати дивiденди, пiсля цього продати акцiюза цiною Sd i отримати прибуток Sd + d − S > 0. Якщо S > Sd + d, томи можемо коротко продати акцiю (тобто продати без фактичного воло-дiння) за цiною S, сплатити дивiденди d, пiсля цього викупити акцiю зацiною Sd. Отриманий прибуток S−Sd−d > 0. Отже, за умови вiдсутностiарбiтражу, S = Sd + d.

2.3.9. а) [(S(T ) − K]+ + [K − S(T )]+ = |S(T ) − K|;б) [S(T ) − K1]

+ + π(P)er(T−t) − [K2 − S(T )]+;в) 2 [S(T ) − K]+ + S(t)er(T−t);г) S(T )IS(T ) < K + KIS(T ) > K + π(C)er(T−t).

2.3.10. 1. Маємо: а) E[Gs] = 100p200−50p50; б) E[Go] = 50p200−π(C);в) p200 = p50/2, π(C) = 50p200.

2. p200 ≤ 1/3, оскiльки p200 + p50 = 3p200 ≤ 1.2.3.11. 1. Маємо: а) E[Gs] = 10p30 − 10p10; б) E[Go] = 15p30 + 5p20 −

π(C); в) p10 = p30, π(C) = 5 + 5p30.2. p30 ≤ 1/2, оскiльки p10 + p30 = 2p30 ≤ 1.

180

2.4. БАГАТОПЕРIОДНI МОДЕЛI В МЕЖАХ IГОР I ЗАКЛАДIВ.АРБIТРАЖНА ТЕОРЕМА ДЛЯ IГОР ТА ЇЇ НАСЛIДКИ


Нехай n, m ∈ N, ci, bj та aij, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m — фiксованi ста-лi. Первинною лiнiйною програмою називається задача вибору значеньx1, . . . , xn, для яких

n∑

i=1

cixi → max за обмеженьn∑

i=1

aijxi ≤ bj, 1 ≤ j ≤ m.

Дуальною до первинної лiнiйної програми є задача вибору значеньy1, . . . , ym, для яких

m∑

j=1

bjyj → min за обмеженьm∑

j=1

aijyj = ci, yj ≥ 0,

де 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Лiнiйна програма називається допустимою,якщо iснують набори чисел (x1, . . . , xn для первинної лiнiйної програмиабо y1, . . . , ym для дуальної), що задовольняють обмеження.

Дуальна теорема лiнiйного програмування. Якщо первинна й ду-альна лiнiйнi програми є допустимими, то вони обидвi мають оптимальнiрозв’язки, i максимальне значення первинної програми дорiвнює мiнi-мальному значенню дуальної. Якщо одна з програм є недопустимою, тоiнша не має оптимального розв’язку.

Задачi

2.4.1. (Арбiтражна теорема.)Розглянемо експеримент iз m можливими результатами 1, 2, . . . ,m

i припустимо, що можна побитися об n закладiв вiдносно результатiвексперименту. Нехай ri(j) — прибуток на одиничну ставку закладу зномером i за умови, що результат експерименту дорiвнює j (тобто наставку x прибуток дорiвнює xri(j)). Нехай стратегiя ставок має вигляд~x = (x1, . . . , xn). Прибуток вiд стратегiї ~x за умови, що результатомексперименту є j, дорiвнює

∑ni=1 xiri(j). Позначимо через xn+1 суму, яку

гравець може виграти напевно. Поставимо задачу:

xn+1 → max за обмеженьn∑

i=1

xiri(j) ≥ xn+1, 1 ≤ j ≤ m.

1. Покласти aij := −ri(j), 1 ≤ i ≤ n, a(n+1)j = 1 i переписати первиннузадачу у виглядi: вибрати x1, . . . , xn так, щоб

xn+1 → max за обмеженьn+1∑

i=1

aijxi ≤ 0, 1 ≤ j ≤ m.

181

2. Перевiрити, чи можна дуальну лiнiйну програму записати у ви-глядi: вибрати y1, . . ., ym так, щоб 0 → min за обмежень

∑mj=1 aijyj =

= 0, 1 ≤ i ≤ n,∑m

j=1 a(n+1)jyj = 1, yj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ m.3. Переписати дуальну лiнiйну програму у виглядi: вибрати y1, . . ., ym

так, щоб 0 → min за обмежень∑m

j=1 ri(j)yj = 0, 1 ≤ i ≤ n,∑m

j=1 yj = 1,yj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ m.

4. Показати, що дуальна програма є допустимою (i мiнiмальне її зна-чення дорiвнює нулю) тодi й тiльки тодi, коли iснує ймовiрнiсний вектор(y1, . . . , ym), при якому всi заклади мають нульовий середнiй прибуток.

5. Перевiрити, чи є допустимою первинна лiнiйна програма.6. Вивести з дуальної теореми лiнiйного програмування твердження:

якщо дуальна лiнiйна програма також є допустимою, то максимальнезначення первинної дорiвнює нулю, тобто напевного виграшу немає.

7. Вивести з дуальної теореми лiнiйного програмування тверджен-ня: якщо дуальна лiнiйна програма є недопустимою, то первинна не маєрозв’язку. Вивести звiдси iснування набору ставок, чий мiнiмальний при-буток буде додатним. Показати, що при цьому значення xn+1 у первиннiйпрограмi є необмеженим.

8. За пунктами 1–7 довести, що завжди має мiсце рiвно одна з двохтаких можливостей:

а) iснує такий iмовiрнiсний вектор ~p = (p1, . . . , pm), що∑m

j=1pjri(j) == 0, 1 ≤ i ≤ n;

б) iснує стратегiя ставок ~x = (x1, . . . , xn), для якої∑n

i=1 xiri(j) > 0для всiх j = 1, . . . , m.

Тобто: або iснує ймовiрнiсний вектор, при якому всi заклади маютьнульовий середнiй прибуток, або iснує стратегiя ставок, яка завжди даєдодатний виграш (арбiтражна теорема).

2.4.2. (Багатоперiодна бiномна модель.)Розглянемо сценарiй змiни цiни акцiї, який мiстить n перiодiв, по-

значимо через S(i) цiну даної акцiї в i-му перiодi. Вiдсоткова ставкадорiвнює r у будь-якому перiодi. Нехай d < 1 + r < u, i в i-му перi-одi значення S(i) дорiвнює або uS(i − 1) (збiльшується), або dS(i − 1)(зменшується).

Нехай Xi = 1, якщо S(i) = uS(i−1), i Xi = 0, якщо S(i) = dS(i−1). То-дi кожний сценарiй ототожнюється з деяким вектором ~x = (x1, . . . , xn),xi ∈ 0, 1, складеним iз значень випадкових величин Xi.

1. За припущення вiдсутностi арбiтражу (тобто рiвностi нулю мак-симального гарантованого прибутку) використати арбiтражну теорему(п. 8 задачi 2.4.1) i одержати iснування такого набору ймовiрностейP X1 = x1, . . . , Xn = xn , xi ∈ 0, 1, що робить всi можливi iгри закцiями справедливими.

182

2. Розглянути таку гру: спочатку вибираємо номер i (i = 1, . . . , n)i вектор ~x = (x1, . . . , xn) з нулiв та одиниць. Тепер спостерiгаємо запершими i − 1 перiодами. Якщо Xj = xj для всiх j = 1, . . . , i − 1, токупуємо одну акцiю й продаємо її в наступний перiод. Показати, щоочiкуваний прибуток вiд такої гри

α[p(1 + r)−1uS(i − 1) + (1− p)(1 + r)−1dS(i − 1) − S(i − 1)

],

де α = P X1 = x1, . . . , Xi−1 = xi−1; p = PXi = 1

∣∣ X1 = x1, . . . ,Xi−1 == xi−1

. Визначити p з умови вiдсутностi арбiтражу.

3. Використовуючи одержане значення p, довести, що єдиний розпо-дiл iмовiрностей, який робить всi iгри справедливими, вiдповiдає неза-лежним однаково розподiленим випадковим величинам Xi, i = 1, . . . ,n, зрозподiлом

P Xi = 1 = p =1 + r − d

u − d= 1 − P Xi = 0 , i = 1, . . . , n.

4. Показати, що S(n) = uY dn−YS(0), де Y =∑n

i=1 Xi.5. Розглянути опцiон купiвлi акцiї в момент t = n зi страйковою цiною

K i показати, що майбутнє значення виграшу вiд володiння опцiоном,пiдраховане в момент t = 0, дорiвнює (1 + r)−n [S(n) − K]+. Визначитисправедливу цiну опцiону (бiномна формула Блека – Шоулса).

2.4.3. Нехай експеримент має m результатiв 1, 2, . . . , m, а закладполягає в тому, що результат експерименту дорiвнює i. Прибуток вiд та-кого закладу часто виражають у термiнах шансiв, тобто заклад вартiстю1 або дає суму (шанс) oi, якщо експеримент закiнчився результатом i,або −1 у протилежному випадку.

1. Нехай шанси дорiвнюють o1, . . . ,om. Показати, що за умови вiдсу-тностi арбiтражу iснує такий iмовiрнiсний розподiл ~p = (p1, . . . ,pm), щодля кожного i = 1, . . . , m має мiсце рiвнiсть 0 = E~p [ri(X)] = oipi−(1−pi),де ri(X) — величина виграшу в i-му закладi, X — результат експеримен-ту. Визначити звiдси pi.

2. Використовуючи пункт 1, вивести необхiдну умову арбiтражу втермiнах oi, i = 1, . . . , m.

3. Довести, що система шансiв

Результатексперименту

Шанс

1 12 23 3

є арбiтражною. Визначити явно вигляд арбiтражу, тобто один з можли-вих платежiв за кожний заклад, який дає позитивний виграш при ко-жному результатi експерименту.

183

2.4.4. Нехай експеримент має чотири результати й таблиця першихтрьох шансiв має вигляд


Шанс

1 22 33 4

Визначити o4 за умови вiдсутностi арбiтражу.2.4.5. 1. Нехай експеримент має таку таблицю шансiв:


Шанс

1 12 23 5

Чи можливий арбiтраж у цiй моделi?2. Нехай в умовах того самого експерименту можна побитися об за-

клад про те, що результат буде i або j для будь-якої пари i =/ j. Якимимають бути три вiдповiдних шанси, щоб уникнути арбiтражу?

3. Вiдповiсти на питання 1, якщо o1 = o2 = o3 = 2.2.4.6. Показати, що в умовах задачi 2.4.3, якщо

∑mi=1(1 + oi)−1 6= 1,

то схема закладу

xj =(1 + oj)−1

1 −∑m

i=1(1 + oi)−1, j = 1, . . . , m,

обов’язково дає виграш, що дорiвнює 1.2.4.7. Нехай число перiодiв n = 2, u = 2, d = 1/2. Початкова цiна

акцiї S(0) = 100, K = 150. Визначити справедливу цiну вiдповiдногоопцiону купiвлi.

2.4.8. 1. Довести, що справедлива цiна опцiону продажу лежить умежах max

[0, (1 + r)−nK − S(0)

]≤ π(P) ≤ (1+ r)−nK, де r — вiдсоткова

ставка; n — кiлькiсть перiодiв; K — страйкова цiна; S(0) — початковацiна акцiї.

2. Довести, що цiна вiдповiдного опцiону купiвлi лежить у межахmax[0,S(0) − (1 + r)−nK] ≤ π(C) ≤ S(0).

2.4.9. Облiгацiя та акцiя мають початковi цiни B(0) = S(0) = 1.У момент t = 1 S(1) = 2 або S(1) = 0,5. Визначити справедливу цiнугри, при якiй одинична сума сплачується, якщо акцiя пiдвищується.

184


2.4.1. План розв’язання подано в умовi.2.4.2. План розв’язання подано в умовi. Справедлива цiна опцiону

π(C) = (1+ r)−nE[S(0)uYdn−Y −K]+

, де математичне сподiвання взято

для ймовiрностей P Xi = 1 = p = (1 + r − d)/(u − d).2.4.3. 1. Використати арбiтражну теорему, пункт 8 задачi 2.4.1. Зараз

pi = (1 + oi)−1.2. Для вiдсутностi арбiтражу потрiбно, щоб

∑mi=1(1 + oi)−1 = 1.

3. При ставцi (−1) на результат експерименту 1, (−0,7) — на резуль-тат експерименту 2 i (−0,5) — на результат експерименту 3 при всiхрезультатах виграш гравця дорiвнюватиме 0,1 або 0,2.

2.4.4. Використовуючи результат пункту 2 задачi 2.4.3, отримуємо,що o4 = 47/13.

2.4.5. 1. Нi, оскiльки∑m

i=1(1 + oi)−1 = 1.2. Позначимо через oij шанс для результату експерименту i або j.

Аналогiчно до пункту 1 задачi 2.4.3 з арбiтражної теореми отримуємо,що за вiдсутностi арбiтражу pi + pj = (1 + oij)−1. Необхiдною умовоювiдсутностi арбiтражу буде рiвнiсть

∑1≤i,j≤m(1 + oij)−1 = 2. Наприклад,

можна взяти o12 = o23 = o31 = 1/2.3. Арбiтраж неможливий.2.4.6. Якщо результатом експерименту є k, то виграш становитиме

ok(1 + ok)−1

1 −∑mi=1(1 + oi)−1

−∑

j 6=k

(1 + oj)−1

1 −∑mi=1(1 + oi)−1

= 1.

2.4.7. Нехай p — iмовiрнiсть пiдвищення цiни в одному перiодi. ТодiS(2) дорiвнює 400, 100, або 25 з iмовiрностями p2, 2p(1 − p) та (1 − p)2

вiдповiдно, [S(2) − K]+ дорiвнює 250 або 0 з iмовiрностями p2 та 1 − p2

вiдповiдно. Тому справедлива цiна опцiону дорiвнюєC = (1 + r)−2E

[S(2) − K]+

= (1 + r)−2250p2,

де p = (1 + r − d)/(u − d) = 1/3 + 2r/3.2.4.8. Скористатись умовою безарбiтражностi ринку.2.4.9. Якщо купити портфель, що складається з 2/3 акцiї, i взяти

в борг 1/3 облiгацiї, то цiна цього портфеля в момент t = 0 дорiвнює2/3 · 1 − 1/3 · 1 = 1/3. Якщо акцiя пiдвищується, то вартiсть портфеля2/3 · 2 − 1/3 · 1 = 1. Якщо акцiя падає, то вартiсть портфеля 2/3 · 0,5 −− 1/3 · 1 = 0. Цей портфель вiдтворює виплату гри, отже, цiна гри маєдорiвнювати цiнi портфеля, тобто 1/3.

185

2.5. МАРТИНГАЛИ ТА МАРТИНГАЛЬНI ПЕРЕТВОРЕННЯЗ ДИСКРЕТНИМ ЧАСОМ. МОМЕНТИ ЗУПИНКИ


Нехай (Ω,F , P) — iмовiрнiсний простiр, t ∈ T = 0, 1, . . . ,T, Ft,t ∈ T — потiк σ-алгебр, тобто F0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ FT ⊂ F (потiк σ-алгебрще називають фiльтрацiєю).

Випадковий процес X(t), Ft, t ∈ T називається мартингалом (вiд-повiдно субмартингалом, супермартингалом), якщо E[|X(t)|] < ∞, t ∈ T,та E[X(t)|Fs] = X(s) (вiдповiдно E[X(t)|Fs] ≥ X(s), E[X(t)|Fs] ≤ X(s)),0 ≤ s ≤ t ≤ T , s, t ∈ T.

Мартингальна властивiсть легко поширюється на процеси виглядуX(n), Fn, n ≥ 1, а також на процеси з неперервним часом: процесX(t),Ft, t ≥ 0 називається мартингалом (субмартингалом, супермар-тингалом), якщо E[|X(t)|] < ∞, t ∈ T, та ∀s ≤ t E[X(t)|Fs] = X(s), (вiд-повiдно ≥ X(s), ≤ X(s)).

Мiра P∗ ∼ P називається мартингальною, якщо вiдносно неї дис-контований процес цiн є мартингалом (детальнiше див. роздiли 19, 20).

Випадковий процес A(t), Ft, t ∈ T \ 0 називається передбачува-ним, якщо A(t) є Ft−1-вимiрним ∀t ∈ T \ 0.

Задачi

2.5.1. Довести: якщо X(t), Ft, t ∈ T — мартингал, то E[X(t)] == E[X(0)].

2.5.2. Довести: сума двох мартингалiв є мартингалом.2.5.3. Нехай X(t),Ft,t ∈ T — мартингал, ξ(t), Ft, t ∈ T \ 0 —

обмежений передбачуваний процес. Довести, що мартингальне перетво-рення M(0) = 0, . . . ,M(t) =

∑tk=1 ξ(k)∆X(k), t ∈ T \ 0, є мартингалом

вiдносно потоку Ft, t ∈ T (тут ∆X(k) = X(k) − X(k − 1)).2.5.4. Довести твердження: iнтегровний випадковий процес X(t), Ft,

t ∈ T є мартингалом тодi й тiльки тодi, коли для будь-якого обмеже-ного передбачуваного процесу ξ(t), Ft, t ∈ T \ 0 має мiсце рiвнiстьE[∑n

k=1 ξ(k)∆X(k)]= 0.

2.5.5. Довести еквiвалентнiсть тверджень:а) X(t),Ft, t ∈ T — мартингал;б) X(t) = E[X(T )|Ft], t ∈ T;в) E[∆X(t + 1)|Ft] = 0, t = 0, 1, . . . ,T − 1.2.5.6. Нехай ρ = (ρt, t ∈ T = 0, 1, . . . ,T) — послiдовнiсть незале-

жних однаково розподiлених випадкових величин, що набувають двох

186

значення b i a з iмовiрностями p i q, вiдповiдно, E[ρ0] = r, причому−1 < a < r < b.

1. Перевiрити, що p = (r − a)/(b − a).2. Встановити, що випадковий процес m(t) =

∑tk=0(ρk−r) є мартинга-

лом вiдносно потоку σ-алгебр Ft = σρ0, . . . ,ρt (так званий “базисний”мартингал).

3. Довести, що кожний мартингал X(t),Ft,t ∈ T з E[X(t)] = 0 допу-скає такий розклад за “базисним” мартингалом: X(t) =

∑tk=0 αk∆mk,

де α0 = 0, αk — Fk−1-вимiрнi, k ≥ 1, (F0 = ∅,Ω), ∆mk = ρk − r.2.5.7. Нехай Z(t), Ft, t ∈ T — додатний iнтегровний випадковий

процес. Побудуємо випадковий процес U(t), Ft, t ∈ T за допомогою“оберненої iндукцiї”:

U (T) = Z(T ),

U (T − 1) = maxZ(T − 1),

11 + r

EP∗[U (T)|FT−1],

· · ·U (t) = max

Z(t),

11 + r

EP∗[U(t + 1)|Ft], 0 ≤ t < T ,

r ≥ 0 — вiдсоткова ставка; P∗ — еквiвалентна мiра. Довести: процесU(t), Ft, t ∈ T є P∗-супермартингалом, де U(t) = (1 + r)−tU(t). До-вести також, що це найменший P∗-супермартингал, який домiнує процесZ(t) = (1 + r)−tZ(t). Процес U(t) називається обвiдною Снелла процесуZ(t); U(t) — дисконтована цiна Американського опцiону купiвлi, якщоZ(T ) = [S(T ) − K]+.

2.5.8. Функцiя τ : Ω → T ∪ +∞ називається моментом зупинки,якщо подiя τ = t ∈ Ft для t ∈ T.

1. Перевiрити, що стала функцiя τ = t є моментом зупинки дляфiксованого t ∈ T.

2. Нехай τ i σ — два моменти зупинки. Довести, що τ ∧ σ, τ ∨ σ,τ+ σ — моменти зупинки.

3. Нехай Y (t), Ft, t ∈ T — випадковий процес, τ(ω) = inft ≥ 0 :Y (t,ω) ≥ c, c ∈ R — фiксований рiвень. Довести, що τ — моментзупинки.

2.5.9. Нехай σ, τ : Ω → T — моменти зупинки; σ-алгеброю подiй домоменту τ називається Fτ := A ∈ F : A∩ τ = t ∈ Ft, ∀t ∈ T.

1. Нехай подiя A ∈ Fσ. Довести, що A∩σ ≤ τ i A∩σ = τ належатьдо Fτ.

2. Нехай σ ≤ τ. Довести, що Fσ ⊆ Fτ.3. Довести, що подiї σ < τ, σ = τ i σ > τ належать як до Fσ,

так i до Fτ.4. Довести, що Fσ∧τ ⊆ Fσ ⊆ Fσ∨τ.

187

2.5.10. Для випадкового процесу Y (t), Ft, t ∈ T та моменту зупин-ки τ визначимо зупинений процес Y τ: Y τ(t,ω) = Y (t ∧ τ(ω),ω), ω ∈ Ω,t ∈ T. Нехай тепер X(t), Ft, t ∈ T — iнтегровний процес. Довести, щонаступнi умови є еквiвалентними:

а) X є мартингалом;б) для будь-якого моменту зупинки τ процес Xτ є мартингалом;в) E[Xτ(T )] = E[X(0)] для будь-якого моменту зупинки τ.2.5.11. Нехай Mt, t ∈ T — мартингал, а τ — момент зупинки вiдносно

фiльтрацiї Ft, t ∈ T.1. Довести, що

E[Mτ1 τ > s | Fs] = Ms1 τ > s .2. Довести, що для s ≤ t, s, t ∈ T

E[Mτ∧t1 τ > s | Fs] = Ms1 τ > s .2.5.12. Нехай Y (t),Ft, t ∈ T — iнтегровний випадковий процес.

Тодi iснує єдиний розклад Y = M−A, де M — мартингал, A(0) = 0, A —передбачуваний процес (розклад Дуба – Мейєра процесу Y ).

2.5.13. Нехай iмовiрнiсть того, що випаде герб, p ∈ (0,1) . НехайY (t) — кiлькiсть гербiв, що випали в результатi t незалежних пiдки-дань, X(t) = Y (t)− pt, Ft — σ-алгебра, породжена спостереженнями за tпiдкиданнями монети. Довести, що X(t), Ft, t ∈ T — мартингал.

2.5.14. Використовуючи розклад Дуба – Мейєра, довести таке тверд-ження. Нехай U (t), Ft, t ∈ T — iнтегровний процес, тодi наступнiтвердження є еквiвалентними:

а) U є P-супермартингалом;б) для будь-якого моменту зупинки τ зупинений процес Uτ є P-су-

пермартингалом;в) процес A в розкладi Дуба–Мейєра не спадає за t.2.5.15. Нехай ящик мiстить a чорних i b бiлих куль. Послiдовно нав-

мання виймають одну кулю, потiм повертають її назад з додаваннямd куль того ж кольору. Позначимо через X(n), n ≥ 1 вiдношеннякiлькостi бiлих куль до загальної кiлькостi куль у ящику пiсля n-говиймання кулi й повернення її в ящик разом iз d кулями вiдповiдногокольору, X(0) = b/(a + b). Показати, що X(n), n ≥ 1 — мартингал.

2.5.16. Нехай Ynn≥1 — послiдовнiсть дiйсних випадкових величин,заданих на Ω,F ,P, що мають спiльну строго додатну щiльнiсть роз-подiлу pn(x1, . . . ,xn), i нехай qn(x1, . . . ,xn) — iнша щiльнiсть iмовiрностейвiдносно мiри Лебега в (Rn,B(Rn)),n ≥ 1. Розглянемо вiдношення вiро-гiдностi

X(n,ω) :=qn(Y1(ω), . . . ,Yn(ω))pn(Y1(ω), . . . ,Yn(ω))

, n ≥ 1.

Довести, що X(n), Fn, n ≥ 1 — мартингал, де Fn = σY1, . . . ,Yn.188

2.5.17. Нехай ξn,n ≥ 1 — незалежнi iнтегровнi випадковi величини,E[ξn] = 0, n ≥ 1. Показати, що для кожного k ≥ 1 послiдовнiсть

X(k)(n) =∑

1≤i1<...<ik≤n

ξi1 . . .ξik ,n ≥ k,

утворює мартингал.2.5.18. Нехай ξn,n ≥ 1 — iнтегровнi випадковi величини, i

E[ξn+1|ξ1, . . . ,ξn] =ξ1 + . . . + ξn

n=: X(n).

Довести, що X(n),n ≥ 1 — мартингал.2.5.19. Нехай ξn, n ≥ 1 — незалежнi бернуллiйовi величини з

Pξn = 1 = p, Pξn = −1 = q, p+q = 1, p > 0, q > 0, Sn = ξ1 +. . .+ξn.Довести, що X(n) := (q/p)Sn — мартингал вiдносно Fn = σξ1, . . . ,ξn.

2.5.20. 1. Нехай ξn, n ≥ 1 — незалежнi iнтегровнi випадковi ве-личини, E[ξn] = 1, X(0) := 1, X(n) := ξ1 · · · ξn,n ≥ 1. Покажiть, щоX(n),Fn,n ≥ 1 — мартингал, де Fn = σξ1, . . . ,ξn.

2. Нехай ξn, n ≥ 1 — такi незалежнi однаково розподiленi випадковiвеличини, що Φ(λ) := E[expλξn] < ∞, λ ∈ R. Покажiть, що

X(n) := expλ

n∑

i=1

ξi

Φ(λ)−n

є мартингалом.3. Нехай у пунктi 2 iснує таке λ0 6= 0, що Φ(λ0) = 1. Покажiть, що

тодi X(n) := expλ0∑n

i=1 ξi — мартингал.2.5.21. Нехай ν — момент зупинки вiдносно фiльтрацiї Fn, 0 ≤ n ≤

≤ N. Позначимо Fν = A ∈ FN : A∩ ν = n ∈ Fn, 0 ≤ n ≤ N .1. Показати, що Fν — σ-алгебра.2. Показати, що випадкова величина ν є Fν-вимiрною.3. Нехай X — iнтегрована випадкова величина. Довести рiвнiсть

E[X|Fν] =N∑

j=0

1ν=jE[X|Fj].

2.5.22. Нехай ν i τ — моменти зупинки вiдносно фiльтрацiї Fn,0 ≤ n ≤ N, τ ≥ ν.

1. Показати, що Fν ⊂ Fτ.2. За тих же припущень показати, що Mν = E[Mτ|Fν], де Mn, 0 ≤

≤ n ≤ N — мартингал.2.5.23. Розглянемо таку гру: гравець програє 1 гривню з iмовiрнiстю

α, виграє 1 гривню з iмовiрнiстю β i виграє 2 гривнi з iмовiрнiстю γ.Нехай гравець ставить 1 гривню в кожному раундi, i нехай ξk — виграш(або програш) у k-му раундi. Визначити таке x 6= 1, що X(n) = xSn —мартингал, де Sn =

∑ni=1 ξi.

189


2.5.1–2.5.5. Розв’язуються безпосередньо з використанням означен-ня мартингалу.

2.5.6. 1, 2. Розв’язуються безпосередньо за допомогою означення мар-тингалу.

3. Використати такий факт: оскiльки X(k) є Fk-вимiрною випадковоювеличиною, то iснує функцiя fk(x1, . . . ,xk), xi = a або b така, що X(k,ω) == fk

(ρ0(ω), . . . ,ρk(ω)

), ω ∈ Ω.

2.5.7–2.5.15. Розв’язання спирається безпосередньо на вiдповiднi оз-начення.

2.5.16. Використати той факт, що щiльнiсть Yn при вiдомих Y1, . . .,Yn−1 дорiвнює pn/pn−1.

2.5.23. Звести задачу до кубiчного рiвняння, яке, очевидно, має ко-рiнь x = 1.

2.6. ЗАГАЛЬНА ТЕОРIЯ БАГАТОПЕРIОДНИХ МОДЕЛЕЙ


При побудовi багатоперiодної моделi фiнансового ринку використову-ються такi поняття:

• моменти часу t = 0, . . . ,T з можливiстю торгувати та витрачати уцi моменти часу;

• скiнченний простiр можливих станiв фiнансового ринку

Ω = ω1, . . . ,ωM, M ∈ N;

• iмовiрнiсна мiра P на Ω, з P(ω) > 0,∀ω ∈ Ω;• потiк σ-алгебр (фiльтрацiя) F = Ft, t = 0, . . . ,T, де Ft — σ-

алгебра пiдмножин Ω, Ft ⊆ Ft+1, ∀t. Можна вважати, що F0 == ∅,Ω, FT = 2Ω. Алгебра Ft мiстить усю iнформацiю про станфiнансового ринку до моменту t включно;

• процес банкiвського рахунку (облiгацiя) B = B(t), t = 0, . . . ,T,B(0) = 1, B(t) = [1 + r(t)]B(t − 1) > 0, де r(t) — вiдсоткова став-ка на промiжку часу [t − 1,t), яка може бути випадковою вели-чиною. Процес банкiвського рахунку Bt, Ft, t = 0, . . . ,T є Ft-узгодженим;

• процес змiни цiн акцiй (ризикових активiв) S(t) = (S1(t), . . . ,SN (t)),N ∈ N, де Sn(t) ≥ 0 — цiна n-го ризикового активу (акцiї) у моментчасу t. Процес Sn(t), n = 1, . . . ,N є Ft-узгодженим;

190

• дисконтований цiновий процес

S∗(t) =(

1,S1(t)B(t)

, . . . ,SN (t)B(t)

);

• стратегiя, або портфель, iнвестора — векторний випадковий процес

ξ(t) =(ξ0(t),ξ1(t), . . . ,ξN (t)

), t = 1, . . . ,T ,

кожна компонента якого є F-передбачуваним процесом, тобто ξn(t)є Ft−1-вимiрною випадковою величиною. При цьому ξn(t), n ≥ 1 —кiлькiсть вiдповiдних цiнних паперiв, якими iнвестор володiє вiдмоменту t − 1 до моменту t, а ξ0(t)B(t − 1) — сума грошей, покла-дених на банкiвський рахунок у момент часу t − 1.

Величини ξn(t), n ≥ 0 можуть набувати як невiд’ємних, так i вiд’єм-них значень. Вiд’ємне значення ξ0(t) трактується як взяття грошей убанку в борг, а вiд’ємне значення ξn(t) означає кiлькiсть акцiй n-готипу, яку було продано без фактичного володiння — швидкий продаж(short selling).

Задачi

2.6.1. Сукупнiсть множин A1, . . . ,An називають розбиттям Ω, якщо:а) Ai ∩ Aj = ∅, ∀i =/ j; б)

⋃ni=1 Ai = Ω.

Непорожня множина A ⊂ Ω називається атомом алгебри F , якщо:а) A ∈ F ; б) iз того, що B ∈ F , B 6= ∅ i B ⊂ A, випливає, що B = A.

1. Довести, що для скiнченної алгебри F множина всiх атомiв Fутворює розбиття Ω i що найменша алгебра, яка мiстить усi атоми F ,збiгається з F .

2. Довести, що F-вимiрна випадкова величина набуває сталих зна-чень на атомах алгебри F .

2.6.2. Нехай M = 8,T = 3 i нехайω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,ω7,ω8

—

сукупнiсть усiх атомiв алгебри F1.1. Описати алгебру F1.2. Показати, що множиною всiх атомiв алгебри F2 можуть бути мно-

жиниω1,ω2, ω3,ω4, ω5,ω6, ω7,ω8

або

ω1, ω2,ω3,ω4,

ω5,ω6,ω7,ω8, але не може бути

ω1,ω2,ω3,ω4,ω5, ω6,ω7,ω8

.

3. Нехай

X(ω) =

6, ω = ω1,ω2,ω3,ω4,8, ω = ω5,ω6,ω7,ω8,

Y (ω) =

2, ω = ω1,ω3,ω5,ω7,3, ω = ω2,ω4,ω6,ω8.

Показати, що X(ω) є F1-вимiрною, а Y (ω) — невимiрною.2.6.3. Нехай M = 8,T = 3, F0 = ∅,Ω, F1 =

∅,Ω, ω1,ω2,ω3,ω4,

ω5,ω6,ω7,ω8.

191

1. Описати стратегiю ξ(1).2. Показати, що для кожного n = 0, . . . ,N у момент t = 2 iнвестор по-

винен вибрати одне стале значення для ξn(2,ω) при ω ∈ ω1,ω2,ω3,ω4i друге стале значення при ω ∈ ω5,ω6,ω7,ω8.

2.6.4. Нехай M = 4, T = 2, N = 1, змiни цiни акцiї задано таблицею

ωkωkωk t = 0t = 0t = 0 t = 1t = 1t = 1 t = 2t = 2t = 2

ω1 S(0) = 5 S(1) = 8 S(2) = 9ω2 S(0) = 5 S(1) = 8 S(2) = 6ω3 S(0) = 5 S(1) = 4 S(2) = 6ω4 S(0) = 5 S(1) = 4 S(2) = 3

1. Позначимо через V (t) вартiсть портфеля iнвестора в момент t

V (t) =

ξ0(1)B(0) +

∑Nn=1 ξn(1)Sn(0), t = 0,

ξ0(t)B(t) +∑N

n=1 ξn(t)Sn(t), t ≥ 1.

Припустимо, що вiдсоткова ставка r ≥ 0 — стала, B(t) = (1 + r)t. Вира-зити V (t), t = 0,1,2 через ξ(t), t = 1,2 при кожному ωk, k = 1, . . . , 4.

2. Позначимо через G(t) процес прибутку портфеля

G(t) =t∑

u=1

ξ0(u)∆B(u) +N∑

n=1

t∑

u=1

ξn(u)∆Sn(u), t ≥ 1,

де ∆B(t) = B(t) − B(t − 1), ∆Sn(t) = Sn(t) − Sn(t − 1). Виразити G(t),t = 1, 2 через ξ(t), t = 1, 2 при кожному ωk, k = 1, . . . , 4.

2.6.5. Стратегiя ξ(t) називається самофiнансованою, якщо

V (t) = ξ0(t + 1)B(t) +N∑

n=1

ξn(t + 1)Sn(t), t = 1, . . . ,T − 1.

1. Показати, що стратегiя самофiнансована тодi й тiльки тодi, колиV (t) = V (0) + G(t), t = 1, . . . ,T .

2. В умовах задачi 2.6.4 показати, що для самофiнансованої стратегiї

V (1,ω) =

(1 + r)ξ0(1) + 8ξ1(1), ω1,ω2,

(1 + r)ξ0(1) + 4ξ1(1), ω3,ω4,=

(1 + r)ξ0(2) + 8ξ1(2), ω1,ω2,

(1 + r)ξ0(2) + 4ξ1(2), ω3,ω4.

2.6.6. Дисконтованi цiни акцiй визначаються як S∗n (t) = Sn(t)/B(t),

t = 0, 1, . . . ,T ; n = 1, . . . ,N . Дисконтований капiтал визначається як

V ∗(t) =

ξ0(1) +

∑Nn=1 ξn(1)S∗

n(0), t = 0,ξ0(t) +

∑Nn=1 ξn(t)S∗

n(t), t = 1, . . . ,T .

Дисконтований процес прибуткiв визначається як

G∗(t) =N∑

n=1

t∑

u=1

ξn(u)∆S∗n(u), t = 1, . . . ,T , де ∆S∗

n (u) = S∗n (u) − S∗

n (u − 1).

192

1. Перевiрити спiввiдношення V ∗(t) = V (t)/B(t), t = 0, 1, . . . ,T .2. Довести, що стратегiя ξ(t) самофiнансована тодi й тiльки тодi, коли

V ∗(t) = V ∗(0) + G∗(t), t = 1, 2, . . . ,T .2.6.7. Процес доходностi Rn(t), t = 0,1, . . . ,T , для n-го ризикового

активу визначається формулою

Rn(0) = 0, ∆Rn(t) =∆Sn(t)/Sn(t − 1), Sn(t − 1) > 0,0, Sn(t − 1) = 0,

t = 1, . . . ,T .

Процес доходностi R0(t), t = 0, 1, . . . ,T банкiвського рахунку визна-чається аналогiчно R0(0) = 0, ∆R0(t) = r(t), t = 1, . . . ,T , де r(t) = [B(t)−− B(t − 1)]/B(t − 1) — вiдсоткова ставка на промiжку часу [t − 1, t).

1. Показати, що ∆Rn(t) ≥ −1, i що ∆Rn(t) > −1, t = 1, . . . ,T тодi йтiльки тодi, коли Sn(t) > 0, t = 0,1, . . . ,T .

2. Перевiрити рiвнiсть Sn(t) = Sn(0) +∑t

u=1 Sn(u − 1)∆Rn(u), t == 1, . . . ,T .

3. Перевiрити рiвнiсть Sn(t) = Sn(0)∏t

u=1 [1 + ∆Rn(u)] , t = 1, . . . ,T .2.6.8. Визначимо процес доходностi для дисконтованих цiн ризикових

активiв

R∗n (0) = 0, ∆R∗

n (t) =

∆S∗

n (t)/S∗n (t − 1), S∗

n (t − 1) > 0,

0, S∗n (t − 1) = 0,

t = 1, . . . ,T .

1. Перевiрити спiввiдношення

∆S∗n (t) = S∗

n (t − 1)[∆Rn(t) − ∆R0(t)

1 + ∆R0(t)

], t = 1, . . . ,T , n = 1, . . . ,N .

Звiдси одержимо рiвнiсть ∆R∗n (t) = [∆Rn(t) − ∆R0(t)]/[1 + ∆R0(t)].

2. Перевiрити рiвнiсть

S∗n (t) = S∗

n(0)t∏

u=1

[1 + ∆R∗n (u)] , t = 1, . . . ,T .

2.6.9. Показати, що в умовах задачi 2.6.4 R1(1, ω1) = R1(1, ω2) == 0,6, R1(1, ω3) = R1(1, ω4) = −0,2, R1(2, ω1) = 0,725, R1(2, ω2) == 0,35, R1(2, ω3) = 0,3, R1(2, ω4) = −0,45. Який процес доходностi R∗

1 (t)вiдповiдає процесу дисконтованої цiни S∗

1 (t) у випадку, коли вiдсотковаставка стала й дорiвнює r > 0?

2.6.10. Арбiтражна можливiсть для багатоперiодної моделi ринку ви-значається як така самофiнансована стратегiя ξ(t), для якої

V (0) = 0; V (T ,ω) ≥ 0 P-м.н. (майже напевно); E[V (T )] > 0.Довести, що самофiнансована стратегiя ξ(t) визначає арбiтражну мо-жливiсть, якщо виконується одна iз сукупностей умов:

а) V ∗(0) = 0; V ∗(T ,ω) ≥ 0, P-м.н.; E[V ∗(T )] > 0;б) G∗(T ,ω) ≥ 0, P-м.н.; E[G∗(T )] > 0.

193

2.6.11. 1. Нехай у задачi 2.6.4 B(t) = 1, t = 0, 1, 2. Довести, щоарбiтражу не iснує.

2. Нехай у задачi 2.6.4 B(t) = (1+r)t, t = 0, 1, 2, r ≥ 0,125. Розглянемотаку стратегiю: маючи нульовий початковий капiтал, нiчого не робимов момент t = 0 i в момент t = 1, якщо S(1) = 4. Однак, якщо S(1) == 8, то в момент t = 1 застосовуємо швидкий продаж однiєї акцiї, тобтоξ1(2) = −1 i iнвестуємо 8 грошових одиниць в облiгацiю, тобто ξ0(2) == 8/(1 + r). Довести, що дана стратегiя є арбiтражною.

2.6.12. Iмовiрнiсна мiра P∗(ω) > 0, ω ∈ Ω називається мартингаль-ною, якщо дисконтованi процеси цiн S∗

n(t), t = 0, 1, . . . ,T, n = 1, . . . ,Nє мартингалами вiдносно цiєї мiри, тобто EP∗[S∗

n(t + 1)|Ft] = S∗n(t), n =

= 1, . . . ,N , t = 0, . . . ,T − 1. Показати, що ймовiрнiсна мiра P∗(ω) > 0буде мартингальною тодi й тiльки тодi, коли вона задовольняє спiввiд-ношення

EP∗

[B(t)

Sn(t + s)B(t + s)

| Ft

]= Sn(t), t, s ≥ 0, n = 1, . . . ,N .

2.6.13. Нехай у задачi 2.6.4 B(t) = (1 + r)t, t = 0, 1, 2, де r ≥ 0 —стала.

1. Використовуючи спiввiдношення EP∗ [B(t)Sn(t + s)/B(t + s)|Ft] == Sn(t), t, s ≥ 0, n = 1, . . . ,N , де P∗ — мартингальна мiра, довестирiвностi:t = 0, s = 1 : 5(1 + r) = 8[P∗(ω1) + P∗(ω2)] + 4[P∗(ω3) + P∗(ω4)];t = 0, s = 2 : 5(1 + r)2 = 9P∗(ω1) + 6[P∗(ω2) + P∗(ω3)] + 3P∗(ω4);t = 1, s = 1 : 8(1 + r) = [9P∗(ω1) + 6P∗(ω2)]/[P∗(ω1) + P∗(ω2)];t = 1, s = 1 : 4(1 + r) = [6P∗(ω3) + 3P∗(ω4)]/[P∗(ω3) + P∗(ω4)].

2. Визначити ймовiрнiсну мiру P∗, що задовольняє рiвняння пункту 1.3. Довести, що при 0 ≤ r < 1/8 маємо P∗(ω) > 0,∀ω ∈ Ω, тобто мiра

P∗ — мартингальна.4. При r ≥ 1/8 побудувати арбiтражну стратегiю.2.6.14. Довести, що вiдносно мартингальної мiри P∗ дисконтований

капiтал V ∗(t), t = 0, . . . ,T буде мартингалом для будь-якої самофiнансо-ваної стратегiї.

2.6.15. Довести, що строго додатна ймовiрнiсна мiра P∗(ω),ω ∈ Ωбуде мартингальною тодi й тiльки тодi, коли при кожному n = 1, . . . ,Nпроцес R∗

n (t), t = 0,1, . . . ,T буде мартингалом вiдносно мiри P∗.2.6.16. Розглянемо двоперiодну модель з M = 5, r = 0 i однiєю акцi-

єю S(0) = 6, S(1, ω) = (5,5,5,7,7), S(2,ω) = (3,4,8,6,8). Припустимо, щофiльтрацiя породжується процесом S(t,ω). Довести, що сiм’я мартин-гальних мiр має виглядP∗ ∈ R

5 : P∗1 = q, P∗

2 =3 − 10q

8, P∗

3 =1 + 2q

8, P∗

4 = P∗5 =

14, 0 < q <

310

.

194

2.6.17. Нехай Ω = ω1,ω2,ω3,ω4, r = 0, T = 2, цiна акцiй така:S(0) = 5, S(1, ωi) = 8, i = 1,2, S(1, ωi) = 4, i = 3,4; S(2,ω1) = 9,S(2,ωi) = 6, i = 2,3, S(2,ω4) = 3. Визначити мартингальну мiру P∗.

2.6.18. Нехай P∗ ∼ P, P∗ > 0— iмовiрнiсна мiра, X(T ) = P∗(ω)/P(ω).Покладемо X(t) = E[X(T )|Ft], t = 0,1, . . . ,T − 1.

1. Показати, що X(t) > 0 i X(0) = 1.2. Нехай Y (t), t = 0, 1, . . . ,T — випадковий процес. Показати,

що Y — мартингал вiдносно мiри P∗ тодi й тiльки тодi, коли процесX(t)Y (t), t = 0,1, . . . ,T — мартингал вiдносно мiри P.

2.6.19. 1. Довести: якщо iснує мартингальна мiра, то iснує стро-го додатний Ft-адаптований дiйсний процес Z = Z(t), t = 0,1, . . . ,Tтакий, що Z(0) = 1 i всi процеси B(t)Z(t), S1(t)Z(t), . . ., SN (t)Z(t) ємартингалами вiдносно мiри P.

2. Довести, що з iснування такого процесу Z випливає iснуваннямартингальної мiри P∗. Визначити P∗ через Z (процес Z називаєтьсяцiновим дефлятором).


2.6.1. 1. Показати, що сукупнiсть усiх можливих об’єднань атомiвалгебри F утворює найменшу алгебру, яка мiстить усi цi атоми.

2. Нехай A — атом алгебри F . Якщо B = ω| ξ(ω) = c,ω ∈ A, тоB = A.

2.6.2. 1. F1 = ∅,Ω,ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,ω7,ω8.2. Оскiльки F1 ⊆ F2, то кожен атом алгебри F1 є об’єднанням атомiв

алгебри F2.3. Використати означення F1-вимiрностi та результат пункту 1.2.6.3. Оскiльки ξn(t) є Ft−1-вимiрною випадковою величиною, то з

пункту 2 задачi 2.6.1 випливає, що для кожного n = 0, . . . ,N ξn(1, ω)має однакове значення для всiх ω ∈ Ω, а ξn(2,ω) набуває сталих значеньна атомах ω1,ω2,ω3,ω4, ω5,ω6,ω7,ω8 алгебри F1.

2.6.4. 1. V (0,ωk) = ξ0(1) + 5ξ1(1), M = 1, . . . ,4,

V (1, ω) =

(1 + r)ξ0(1) + 8ξ1(1), ω = ω1,ω2,

(1 + r)ξ0(1) + 4ξ1(1), ω = ω3,ω4;

V (2,ω) =

(1 + r)2ξ0(1) + 9ξ1(1), ω = ω1,

(1 + r)2ξ0(1) + 6ξ1(1), ω = ω2,ω3,

(1 + r)2ξ0(1) + 3ξ1(1), ω = ω4.

195

2. G(1, ω) =

rξ0(1) + 3ξ1(1), ω = ω1,ω2,rξ0(1) − ξ1(1), ω = ω3,ω4;

G(2,ω) =

rξ0(1) + r(1 + r)ξ0(2) + 3ξ1(1) + ξ1(2), ω = ω1,

rξ0(1) + r(1 + r)ξ0(2) + 3ξ1(1) − 2ξ1(2), ω = ω2,

rξ0(1) + r(1 + r)ξ0(2) − ξ1(1) + 2ξ1(2), ω = ω3,

rξ0(1) + r(1 + r)ξ0(2) − ξ1(1) − ξ1(2), ω = ω4.

2.6.5. 1. Необхiднiсть. Нехай ξ(t) — самофiнансована стратегiя. Тодi

[ξ0(t + 1) − ξ0(t)]B(t) +N∑

n=1

[ξn(t + 1) − ξn(t)]Sn(t) = 0, t = 1, . . . ,T − 1.

Звiдси V (t) −V (t − 1) = G(t) −G(t − 1), t = 1, . . . ,T i

V (t) = V (0)+t∑

u=1

[V (u)−V (u−1)] = V (0)+t∑

u=1

[G(u)−G(u−1)] = V (0)+G(t).

Достатнiсть. Нехай V (t) = V (0) + G(t), тодi V (t) −V (t − 1) = G(t) −−G(t − 1), t = 1, . . . ,T i

V (t) −V (t − 1) = ξ0(t)∆B(t) +N∑

n=1

ξn(t)∆Sn(t)+

+[ξ0(t) − ξ0(t − 1)]B(t − 1) +N∑

n=1

[ξn(t) − ξn(t − 1)]Sn(t − 1) =

= G(t) −G(t − 1) + ∆ξ0(t)B(t − 1) +N∑

n=1

∆ξn(t)Sn(t − 1).

Таким чином,

[ξ0(t + 1) − ξ0(t)]B(t) +N∑

n=1

[ξn(t + 1) − ξn(t)]Sn(t) = 0, t = 1, . . . ,T − 1

i стратегiя ξ(t) є самофiнансованою.2. Рiвнiсть двох вартостей портфеля випливає з того, що стратегiя є

самофiнансованою.2.6.6. 1. Рiвнiсть випливає безпосередньо з означень V (t) i V ∗(t).2. V ∗(t) = V ∗(0)+G∗(t), t ≥ 1 ⇔V ∗(t+1)−V∗(t) = G∗(t+1)−G∗(t), t ≥

≥ 1 ⇔V ∗(t) = V ∗(t+1)−G∗(t+1)+G∗(t), t ≥ 1 ⇔V (t)/B(t) = ξ0(t+1)++∑N

n=1 ξn(t+1)S∗n(t+1)−

∑Nn=1 ξn(t+1)∆S∗

n(t+1) = ξ0(t+1)+∑N

n=1 ξn(t++ 1)S∗

n (t), t ≥ 1 ⇔V (t) = ξ0(t + 1)B(t) +∑N

n=1 ξn(t + 1)Sn(t), t ≥ 1.

196

2.6.8. 1. Оскiльки Sn(t) = Sn(t − 1)[1 + ∆Rn(t)] i B(t) = B(t − 1)[1 ++ ∆R0(t)], то

∆S∗n (t) =

Sn(t)B(t)

− S∗n (t − 1) =

Sn(t − 1)[1 + ∆Rn(t)]B(t − 1)(1 + ∆R0(t))

− S∗n (t − 1) =

= S∗n (t − 1)

1 + ∆Rn(t)1 + ∆R0(t)

− S∗n (t − 1) = S∗

n (t − 1)∆Rn(t) − ∆R0(t)

1 + ∆R0(t).

2.6.9. Маємо Rn(0) = 0, Rn(t) =∑t

u=1 ∆Rn(u), t ≥ 1. Тому

R1(1, ω) = ∆R1(1, ω) =S1(1, ω) − S1(0)

S1(0)=

0,6, ω = ω1,ω2,

−0,2, ω = ω3,ω4;

∆R1(2,ω) =S1(2,ω) − S1(1, ω)

S1(1, ω)=

0,125, ω = ω1,

−0,25, ω = ω2,

0,5, ω = ω3,

−0,25, ω = ω4;

R1(2,ω) = R1(1, ω) + ∆R1(2,ω) =

0,725, ω = ω1,

0,35, ω = ω2,

0,3, ω = ω3,

−0,45, ω = ω4.

Використаємо спiввiдношення R∗n(0) = 0, R∗

n (t) =∑t

u=1 ∆R∗n(u), t ≥ 1,

∆R∗n (t) =

∆Rn(t) − r

1 + r. Одержимо

R∗1 (1, ω) = ∆R∗

1 (1, ω) =∆R1(1, ω) − r

1 + r=

0,6 − r

1 + r, ω = ω1,ω2,

−0,2 − r

1 + r, ω = ω3,ω4;

∆R∗1 (2,ω) = (∆R1(2,ω) − r)/(1 + r) =

(0,125 − r)/(1 + r), ω = ω1,

(−0,25 − r)/(1 + r), ω = ω2,

(0,5 − r)/(1 + r), ω = ω3,

(−0,25 − r)/(1 + r), ω = ω4;

R∗1 (2,ω) = R∗

1 (1, ω) + ∆R∗1 (2,ω) =

(0,725 − 2r)/(1 + r), ω = ω1,

(0,35 − 2r)/(1 + r), ω = ω2,

(0,3 − 2r)/(1 + r), ω = ω3,

(−0,45 − 2r)/(1 + r), ω = ω4.

2.6.10. Використати спiввiдношення V ∗(t, ω) = V (t, ω)/B(t, ω), t == 1, . . . ,T , ∀ω ∈ Ω, V ∗(t,ω) = V ∗(0) + G∗(t,ω), t = 1, . . . ,T , ∀ω ∈ Ω,B(t,ω) > 0, t = 1, . . . ,T , ∀ω ∈ Ω.

197

2.6.11. 2. Показати, що в момент t = 2 вартiсть портфеля дорiвнює

V (2,ω) =

(1 + r)2ξ0(2) + 9ξ1(2) = 8(1 + r)− 9 ≥ 0, ω = ω1,

(1 + r)2ξ0(2) + 6ξ1(2) = 8(1 + r)− 6 > 0, ω = ω2,

(1 + r)2ξ0(2) + 6ξ1(2) = 0, ω = ω3,

(1 + r)2ξ0(2) + 3ξ1(2) = 0, ω = ω4.

2.6.12. Використати означення мартингалу i властивiсть умовногоматематичного сподiвання E[E[X|F ′]|F] = E[X|F], якщо F ⊆ F ′.

2.6.13. 2. P∗(ω1) = [(1+5r)(2+8r)]/12, P∗(ω2) = [(1+5r)(1−8r)]/12,P∗(ω3) = [(3− 5r)(1 + 4r)]/12, P∗(ω4) = [(3− 5r)(2− 4r)]/12.

4. Арбiтражна можливiсть задана у пунктi 2 задачi 2.6.11.2.6.14. З означення мартингальної мiри P∗ випливає, щ EP∗[∆S∗

n(t ++ 1)|Ft] = 0, t ≥ 0, n = 1, . . . ,N . Для самофiнансованої стратегiї ξ(t)

V ∗(t + 1) = V ∗(0) + G∗(t + 1) = V ∗(0) +N∑

n=1

t+1∑

u=1

ξn(u)∆S∗n(u).

Тому

EP∗[V ∗(t + 1)|Ft] = V ∗(0) +N∑

n=1

t∑

u=1

ξn(u)∆S∗n (u) +

+N∑

n=1

ξn(t + 1)EP∗[∆S∗n (t + 1)/Ft] = V ∗(t).

2.6.15. Доведення випливає з того факту, що строго додатна ймовiр-нiсна мiра P∗ мартингальна тодi й тiльки тодi, коли EP∗[∆S∗

n(t +1)|Ft] == 0, n = 1, . . . ,N , t = 0, . . . ,T , та зi спiввiдношення ∆S∗

n (t + 1) = S∗n(t) ×

× ∆R∗n (t + 1).

2.6.16. Мiра P∗ = (P∗1 , P

∗2 , P

∗3 , P

∗4 , P

∗5), P∗

i > 0, i = 1, . . . ,5 є розв’язкомсистеми рiвнянь

P∗1 + P∗

2 + P∗3 + P∗

4 + P∗5 = 1,

5(P∗1 + P∗

2 + P∗3) + 7(P∗

4 + P∗5) = 6,

3P∗1 + 4P∗

2 + 8P∗3 = 5(P∗

1 + P∗2 + P∗

3),

6P∗4 + 8P∗

5 = 7(P∗4 + P∗

5).

2.6.17. Єдина мартингальна мiра P∗ = (1/6, 1/12, 1/4, 1/2).2.6.18. 1. Оскiльки P∗ ∼ P i P∗(ω) > 0, ∀ω ∈ Ω то P(ω) > 0, ∀ω ∈ Ω

i тому X(T ,ω) > 0, ∀ω ∈ Ω. З означення умовного математичного сподi-вання й теореми Радона–Нiкодима випливає, що X(t) = E[X(T )|Ft] > 0,∀ω ∈ Ω. Крiм того, F0 = ∅,Ω, тому будь-яка випадкова величина буденезалежна вiд F0, i за властивiстю умовного математичного сподiванняX(0) = E[X(T )|F0] = E[X(T )] =

∑Ki=1

[P∗(ωi)/P(ωi)

]P(ωi) = 1.

198

2. Оскiльки X(t) Ft-узгоджений, то X(t)Y (t) буде Ft-узгодженим тодiй тiльки тодi, коли Y (t) буде Ft-узгодженим. Позначимо Et[·] = E[·|Ft].Процес XY — мартингал вiдносно мiри P, якщо ∀t = 0, . . . ,T

X(t)Y (t) = Et[X(T )Y (T )] ⇔ Y (t)Et[X(T )] = Et[X(T )Y (T)] ⇔⇔ E[X(T)Y (t)1A] = E[X(T )Y (T)1A] ∀A ∈ Ft ⇔

⇔ E[(P∗/P)Y (t)1A] = E[(P∗/P)Y (T )1A] ∀A ∈ Ft ⇔⇔ EP∗[Y (t)1A] = EP∗[Y (T)1A] ∀A ∈ Ft ⇔

⇔ EP∗[Y (t)|Ft] = EP∗[Y (T)|Ft] ⇔ Y (t) = EP∗[Y (T)|Ft],а це означає, що Y — мартингал вiдносно мiри P∗.

2.6.19. 1. Нехай P∗ — мартингальна мiра. Визначимо процес X(t) так:X(T ,ω) = P∗(ω)/P(ω), X(t) = E[X(T )|Ft]. Оскiльки S∗

n (t) = Sn(t)/B(t) —мартингал вiдносно мiри P∗, то iз задачi 2.6.18 випливає, що X(t)S∗

n (t) —мартингал вiдносно мiри P. Покладемо Z(t) = X(t)/B(t). Тодi процесиSn(t)Z(t), n = 1, . . . ,N i Z(t)B(t) = X(t) будуть мартингалами вiдносномiри P. Крiм того, Z(0) = X(0)/B(0) = X(0) = E[P∗/P] = 1.

2. Нехай процес Z(t) задовольняє умови задачi. Покладемо X(t) == B(t)Z(t), P∗(ω) = X(T )P(ω). Iз властивостей Z(t) випливає, що X(t) ємартингалом вiдносно мiри P. Маємо P∗(ω) > 0,∀ω ∈ Ω,

∑Ki=1 P∗(ωi) =

= E[B(T )Z(T )] = B(0)Z(0) = 1. Таким чином, P∗ — строго додатнаймовiрнiсна мiра. X(T ) = P∗(ω)/P(ω) i X(t) = B(t)Z(t) — мартингалвiдносно мiри P, тому X(t) = E[X(T )|Ft]. Iз властивостей процесу Z(t)випливає, що S∗

n(t)X(t) = Sn(t)Z(t) — мартингал вiдносно мiри P, а томуiз задачi 2.6.18 маємо, що S∗

n (t) — мартингал вiдносно P∗.

2.7. ЄВРОПЕЙСЬКI ПЛАТIЖНI ЗОБОВ’ЯЗАННЯВ БАГАТОПЕРIОДНIЙ МОДЕЛI


Платiжне зобов’язання Європейського типу X(ω), ω ∈ Ω — невiд’єм-на випадкова величина, яка задана на просторi станiв ринку Ω i визна-чає платежi в момент часу T . Платiжне зобов’язання X(ω) називаєтьсядосяжним або ринковим, якщо iснує самофiнансована стратегiя ξ, дляякої

V (T ,ω) = ξ0(T )B(T ) +N∑

n=1

ξn(T )Sn(T ,ω) = X(ω) ∀ω ∈ Ω.

Ця стратегiя ξ називається породжувальною (реплiкантною) стратегiєюдля платiжного зобов’язання X(ω). Якщо всi платiжнi зобов’язання на

199

ринку досяжнi, то ринок називається повним. Ринок буде повним тодiй тiльки тодi, коли iснує єдина мартингальна мiра P∗(ω), ω ∈ Ω. Заумови вiдсутностi арбiтражу справедлива вартiсть досяжного платiжногозобов’язання X(ω) у момент часу t дорiвнює

V (t) = ξ0(t)B(t) +N∑

n=1

ξn(t)Sn(t),

де ξ — породжувальний портфель для X(ω). За вiдсутностi арбiтражуiснує нейтральна до ризику мiра P∗ i має мiсце спiввiдношення V ∗(t) == V (t)/B(t) = EP∗ [X/B(T )|Ft] . Якщо вiдсутнiй арбiтраж, то необхiдноюй достатньою умовою досяжностi платiжного зобов’язання X(ω) є неза-лежнiсть вiд P∗ величини EP∗[X/B(T )].

Задачi

2.7.1. Нехай на ринку є одна акцiя, цiна якої при t = 0,1,2 i рiзнихстанах ринку задана в таблицi:

ωkωkωk S(0)S(0)S(0) S(1)S(1)S(1) S(2)S(2)S(2)

ω1 5 8 9ω2 5 8 6ω3 5 4 6ω4 5 4 3

1. Визначити, якого значення набувають опцiони купiвлi й продажу iзстрайковою цiною K = 5 у момент часу t = 2 для всiх можливих станiвринку.

2. Визначити, якого значення набуває Азiйський опцiон купiвлi

Ca =

[1

T + 1

T∑

t=0

S(t) − K

]+

iз страйковою цiною K = 5 у момент часу t = 2 для всiх можливихстанiв ринку.

2.7.2. Нехай в умовах задачi 2.7.1 r = 0, мартингальна мiра P∗ == (1/6, 1/12, 1/4, 1/2). Припустимо, що опцiон купiвлi є досяжним, C —його значення в момент t = 2.

1. Пiдрахувати V (0) = EP∗[C].2. Пiдрахувати V (1) = EP∗[C|S(1) = 8] для сценарiїв ω1 i ω2.3. Пiдрахувати V (1) = EP∗[C|S(1) = 4] для сценарiїв ω3 i ω4.4. Зробити вiдповiднi пiдрахунки для опцiону продажу.2.7.3. В умовах задачi 2.7.1 при r = 0 визначити двома способами са-

мофiнансовану стратегiю, що породжує опцiон купiвлi, i пересвiдчитись,що вiн справдi є досяжним.

200

I спосiб. Якщо вже вiдомий капiтал V , то треба розв’язати системулiнiйних рiвнянь

V (t) = ξ0(t)B(t) +N∑

n=1

ξn(t)Sn(t), t = 1, . . . ,T , ω ∈ Ω,

ураховуючи те, що стратегiя ξ передбачувана.II спосiб. Якщо вiдоме тiльки значення X(ω) платiжного зобов’язан-

ня, то враховуючи, що X(ω) = V (T ,ω), i рухаючись у “зворотному часi”вiд t = T до t = 0, одночасно визначаємо V i ξ. Таким чином, спочаткурозв’язуємо систему

X(ω) = ξ0(T ,ω)B(T ) +N∑

n=1

ξn(T ,ω)Sn(T ,ω), ω ∈ Ω.

При цьому враховуємо, що ξ(t) — передбачуваний процес, тобто ξ(t)є Ft−1-вимiрним, отже, набуває сталих значень на атомах алгебри Ft−1(див. п. 2 задачi 2.6.1 ). Визначимо ξ(T ,ω), використаємо самофiнансо-ванiсть стратегiї й обчислимо

V (T − 1) = ξ0(T ,ω)B(T − 1) +N∑

n=1

ξn(T ,ω)Sn(T − 1,ω), ω ∈ Ω.

Потiм визначимо ξ(T − 1) iз системи

V (T − 1) = ξ0(T − 1,ω)B(T − 1) +N∑

n=1

ξn(T − 1,ω)Sn(T − 1,ω), ω ∈ Ω,

а далi повторюємо наведенi дiї до повного визначення стратегiї.2.7.4. У бiномнiй моделi ринку цiна акцiї S1(t), S1(0) = s у кожен

момент часу випадково змiнюється в u або d разiв, причому 0 < d << 1 + r < u. Розглянемо зобов’язання X = Φ(S1(T )). Нехай kt — кiль-кiсть моментiв часу, в якi акцiя зростала в цiнi (тобто S1(t) = suktdt−kt).Значення портфеля V (t,ω) = V (t,kt(ω)) пiдрахуємо рекурентно:

v(T ,k) = Φ(sukdT−k

),

v(t,k) =1

1 + r

[puv(t + 1,k + 1) + pdv(t + 1,k)

], 0 ≤ k ≤ t,

де мартингальнi ймовiрностi pd = (u−1−r)/(u−d); pu = (1+r−d)/(u−d)(див. задачу 2.1.22). Визначимо також

x0(t,k) =1

1 + r

uvt(k)− dv(t,k + 1)u − d

, 0 ≤ k ≤ t − 1,

x1(t,k) =1

sukdt−1−k

v(t,k + 1) − v(t,k)u − d

, 0 ≤ k ≤ t − 1,

i ξi(t,ω) = xi(t,kt(ω)), i = 0,1.

201

1. Доведiть, що cтратегiя ξ = (ξ0,ξ1) самофiнансована i породжуєзобов’язання X.

2. Доведiть, що безарбiтражна цiна зобов’язання X у момент t дорiв-нює V (t,ω). Зокрема, безарбiтражна цiна зобов’язання в момент t = 0визначається рiвнiстю

V (0) = v0(0) =1

(1 + r)T

T∑

k=0

Cknpk

upT−kd Φ

(sukdT−k

).

2.7.5. Ураховуючи, що дисконтований капiтал V ∗(t) є мартингаломвiдносно мартингальної мiри P∗, розв’язати таку задачу. Нехай заданоопцiон вибору, коли покупець купує в момент t = 0 право вибиратиу фiксований момент 0 < t < T мiж опцiоном купiвлi з цiною C(t) iопцiоном продажу з цiною P(t) залежно вiд того, яка цiна бiльша, аякщо цiни однаковi, вибирає опцiон купiвлi. Страйкова цiна K i датавиконання T однакова для обох опцiонiв.

1. Довести, що вiдповiдне платiжне зобов’язання дорiвнює

[S(T) − K]+1C(t) ≥ P(t) + [K − S(T)]+1C(t) < P(t) =

= [S(T) − K]+ + [K − S(T)]1C(t) < P(t).2. Нехай вiдсоткова ставка r > 0 стала. Використовуючи спiввiдноше-

ння паритету купiвлi й продажу P(t) = C(t)+K(1+ r)t−T −S(t), довести,що подiї C(t) < P(t) i S(t) < K(1 + r)t−T збiгаються.


EP∗

[(K − S(T))1C(t) < P(t)

B(T)

]=

= EP∗

[1S(t) < K(1 + r)t−TK(1 + r)t−T − S(t)(1 + r)t

],

де права частина — цiна в момент t = 0 звичайного опцiону продажу зiстрайковою цiною K(1 + r)t−T та датою виконання t.

2.7.6. В задачi 2.7.1 з r = 0 визначити цiну i породжувальну стра-тегiю для опцiону з пiслядiєю C(ω) = max0, S(0) − 7, S(1, ω) − 7,S(2, ω) − 7.

2.7.7. В умовах задачi 2.7.1 з r = 0, K = 5 i t = 1 визначити цiнуопцiону вибору C0.

2.7.8. Обчислити значення V (0) та породжувальнi стратегiї в умовахзадачi 2.7.1 iз r = 0 для:

а) опцiону купiвлi зi страйковою цiною K = 7;б) опцiону продажу зi страйковою цiною K = 7;в) Азiйського опцiону продажу зi страйковою цiною K = 7;г) опцiону вибору зi страйковою цiною K = 7 i моментом вибору t = 1.

202

2.7.9. Нехай M = 9, N = 2, T = 2, r = 0, еволюцiї цiн акцiй заданов таблицi:

ωkωkωk t = 0t = 0t = 0 t = 1t = 1t = 1 t = 2t = 2t = 2

ω1 S1(0) = 7, S2(0) = 6 S1(1) = 8, S2(1) = 5 S1(2) = 7, S2(2) = 7ω2 S1(0) = 7, S2(0) = 6 S1(1) = 8, S2(1) = 5 S1(2) = 9, S2(2) = 5ω3 S1(0) = 7, S2(0) = 6 S1(1) = 8, S2(1) = 5 S1(2) = 8, S2(2) = 3ω4 S1(0) = 7, S2(0) = 6 S1(1) = 7, S2(1) = 8 S1(2) = 6, S2(2) = 8ω5 S1(0) = 7, S2(0) = 6 S1(1) = 7, S2(1) = 8 S1(2) = 6, S2(2) = 9ω6 S1(0) = 7, S2(0) = 6 S1(1) = 7, S2(1) = 8 S1(2) = 10, S2(2) = 7ω7 S1(0) = 7, S2(0) = 6 S1(1) = 6, S2(1) = 5 S1(2) = 3, S2(2) = 8ω8 S1(0) = 7, S2(0) = 6 S1(1) = 6, S2(1) = 5 S1(2) = 6, S2(2) = 3ω9 S1(0) = 7, S2(0) = 6 S1(1) = 6, S2(1) = 5 S1(2) = 9, S2(2) = 6

1. Визначити, яких значень набуває опцiон X = [S1(2) + S2(2) − 13]+

при всiх можливих станах ринку.2. Визначити мартингальну мiру P∗ i перевiрити, чи є досяжним за-

даний опцiон. Визначити його справедливу цiну при t = 0.2.7.10. В умовах задачi 2.7.9 обчислити справедливу цiну в момент

часу t = 0 i визначити породжувальну стратегiю для таких опцiонiв:а) опцiон купiвлi (S1 + S2 − K)+ з K = 13, T = 2;б) опцiон продажу [K − (S1 + S2)]+ з K = 13, T = 2;в) опцiон maxE,S1,S2 з K = 6, T = 2;г) опцiон купiвлi (maxS1,S2 − K)+ з K = 6, T = 2;д) Азiйський опцiон купiвлi на S1(2) + S2(2) з K = 13.2.7.11. Нехай π(C) i π(P) — справедлива цiна в момент t = 0 Єв-

ропейського опцiону купiвлi C i Європейського опцiону продажу P зоднiєю страйковою цiною K та однаковою датою погашення T на одну йту саму акцiю S. Припустимо, що iснує мартингальна мiра P∗.

1. Довести, що має мiсце спiввiдношення паритету цiн опцiонiв ку-пiвлi та продажу

π(P) = π(C) + EP∗

[K

B(T)

]− S(0)

тодi, коли обидва опцiони є досяжними.2. Довести, що якщо облiгацiя B невипадкова, то C досяжний тодi й

тiльки тодi, коли P досяжний.3. Нехай облiгацiя B випадкова та передбачувана. Перевiрити, що в

наступнiй моделi P i стала K є недосяжними, а C досяжний. У моделiT = 2, M = 6, N = 1, S(0) = 40, атоми алгебри F1: ω1,ω2, ω3,ω4,ω5,ω6, K = 43 48

109 . Цiни акцiї наведено в таблицi.

203

ωkωkωk t = 1t = 1t = 1 t = 2t = 2t = 2

ω1 B(1) = 11/10, S(1) = 45 B(2) = 154/125, S(2) = 55ω2 B(1) = 11/10, S(1) = 45 B(2) = 154/125, S(2) = 40ω3 B(1) = 11/10, S(1) = 40 B(2) = 121/100, S(2) = 50ω4 B(1) = 11/10, S(1) = 40 B(2) = 121/100, S(2) = 35ω5 B(1) = 11/10, S(1) = 35 B(2) = 297/250, S(2) = 40ω6 B(1) = 11/10, S(1) = 35 B(2) = 297/250, S(2) = 30

2.7.12. Визначити справедливу цiну Європейського опцiону продажу,розрахованого на 6 мiсяцiв, якщо цiна акцiї змiнюється за законом S(k++ 1) = S(k)u або S(k + 1) = S(k)d, u = expσ

√k/n, d = 1/u, модель

вважається безарбiтражною, σ = 0,3 (волатильнiсть акцiї), r = 0,1, K == 100, S(0) = 105.

2.7.13. Якою буде справедлива цiна Європейського опцiону купiвлi,якщо страйкова цiна дорiвнює нулю?

2.7.14. Як поводитиме себе справедлива цiна Європейського опцiонукупiвлi у загальнiй бiномнiй моделi, якщо кiлькiсть перiодiв прямувати-ме до нескiнченностi, а сам перiод не зменшуватиметься?


2.7.1. 1. C = [S(T ) − K]+ = (4,1,1,0), P = [K − S(T )]+ = (0,0,0,2).2. Ca = (7/3,4/3,0,0).2.7.2. 1. V (0) = 1.

2. V (1) = 41/6

1/6 + 1/12+ 1

1/121/6 + 1/12

= 3, ω = ω1,ω2.

3. V (1) = 11/4

1/4 + 1/2+ 0

1/21/4 + 1/2

=13, ω = ω3,ω4.

4. V (0) = 1, V (1) = 0 при ω = ω1,ω2, V (1) = 4/3, при ω = ω3,ω4.2.7.3. I спосiб. Використавши задачу 2.7.1 i F1-вимiрнiсть ξ(2), одер-

жимо систему рiвнянь

V (2,ω1) = 4 = ξ0(2,ω1) + 9ξ1(2,ω1),

V (2,ω2) = 1 = ξ0(2,ω2) + 6ξ1(2,ω2),

V (2,ω3) = 1 = ξ0(2,ω3) + 6ξ1(2,ω3),

V (2,ω4) = 0 = ξ0(2,ω4) + 3ξ1(2,ω4),

ξ0(2,ω1) = ξ0(2,ω2), ξ0(2,ω3) = ξ0(2,ω4),

ξ1(2,ω1) = ξ1(2,ω2), ξ1(2,ω3) = ξ1(2,ω4).

(1)

Звiдси маємо ξ0(2, ω1) = ξ0(2, ω2) = −5, ξ0(2, ω3) = ξ0(2, ω4) = −1,ξ1(2, ω1) = ξ1(2, ω2) = 1, ξ1(2, ω3) = ξ1(2, ω4) = 1/3. Використавши

204

задачу 2.7.2 i F0-вимiрнiсть ξ(1), одержимо систему рiвнянь

V (1, ω) = 3 = ξ0(1, ω) + 8ξ1(1, ω), ω = ω1,ω2,

V (1, ω) = 1/3 = ξ0(1, ω) + 4ξ1(1, ω), ω = ω3,ω4,

ξ0(1, ω1) = ξ0(1, ω2) = ξ0(1, ω3) = ξ0(1, ω4),

ξ1(1, ω1) = ξ1(1, ω2) = ξ1(1, ω3) = ξ1(1, ω4).

(2)

Звiдси маємо ξ0(1, ω) = −7/3, ξ1(1, ω) = 2/3, ∀ω ∈ Ω.II спосiб. Iз системи (1) одержимо рiвностi ξ0(2, ω1) = ξ0(2, ω2) =

= −5, ξ0(2, ω3) = ξ0(2, ω4) = −1, ξ1(2, ω1) = ξ1(2, ω2) = 1, ξ1(2, ω3) == ξ1(2, ω4) = 1/3. Використавши самофiнансованiсть стратегiї, обчис-лимо V (1, ω) = ξ0(2, ω) + 8ξ(2, ω) = −5 + 8 · 1 = 3, ω = ω1 = ω2,V (1, ω) = ξ0(2, ω) + 4ξ(2, ω) = −1 + 4 · (1/3) = 1/3, ω = ω3 = ω4. Iзсистеми (2) одержимо ξ0(1, ω) = −7/3, ξ1(1, ω) = 2/3, ∀ω ∈ Ω.

2.7.4. Твердження легко довести за допомогою iндукцiї (крок iнду-кцiї — задача 2.1.22).

2.7.5. 3. Перетворимо лiву частину:

EP∗

[1C(t) < P(t)K − S(T)B(T)

]=

= EP∗

[EP∗

[1C(t) < P(t)K − S(T)B(T)

|Ft

]]=

= EP∗

[1C(t) < P(t)EP∗

[K − S(T)

B(T)|Ft

]]=

= EP∗

[1C(t) < P(t)

K

(1 + r)T− EP∗[S∗(T)|Ft]

]=

= EP∗

[1S(t) < K(1 + r)t−TK(1 + r)t−T − S(t)(1 + r)t

].

2.7.6. C(ω) = (2, 1, 0, 0); ξ0(1,ω) = −5/3, ξ1(1,ω) = 5/12, ∀ω ∈ Ω;ξ0(2,ω) = −1, ξ1(2,ω) = 1/3, ω = ω1,ω2; ξ0(2,ω) = 0, ξ1(2,ω) = 0,ω = ω3,ω4; V (0) = 5/12.

2.7.7. Цiна опцiону дорiвнює C0 = 416

+ 1112

+ 014

+ 212

=74.

2.7.8. а) X = (2, 0, 0, 0); ξ0(1,ω) = −4/3, ξ1(1,ω) = 1/3, ∀ω ∈ Ω;ξ0(2,ω) = −4, ξ1(2,ω) = 2/3, ω = ω1,ω2; ξ0(2,ω) = 0, ξ1(2,ω) = 0,ω = ω3,ω4; V (0) = 1/3;

б) X = (0, 1, 1, 4); ξ0(1,ω) = 17/3, ξ1(1,ω) = −2/3,∀ω ∈ Ω; ξ0(2,ω) == 3, ξ1(2,ω) = −1/3, ω = ω1,ω2; ξ0(2,ω) = 7, ξ1(2,ω) = −1, ω == ω3,ω4; V (0) = 7/3;

205

в) X = (0, 2/3, 2, 3); ξ0(1,ω) = 46/9, ξ1(1,ω) = −11/18, ∀ω ∈ Ω;ξ0(2,ω) = 2, ξ1(2,ω) = −2/9, ω = ω1,ω2; ξ0(2,ω) = 4, ξ1(2,ω) = −1/3,ω = ω3,ω4; V (0) = 37/18;

г) X = (2, 0, 1, 4); ξ0(1,ω) = 14/3, ξ1(1,ω) = −5/12, ∀ω ∈ Ω;ξ0(2,ω) = −4, ξ1(2,ω) = 2/3, ω = ω1,ω2; ξ0(2,ω) = 7, ξ1(2,ω) = −1,ω = ω3,ω4; V (0) = 31/12.

2.7.9. 1. X = (1, 1, 0, 1, 2, 4, 0, 0, 2).2. Мартингальну мiру визначають iз системи рiвнянь

p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 + p7 + p8 + p9 = 1,7p1 + 9p2 + 8p3 + 6p4 + 6p5 + 10p6 + 3p7 + 6p8 + 9p9 = 7,7p1 + 5p2 + 3p3 + 8p4 + 9p5 + 7p6 + 8p7 + 3p8 + 6p9 = 6,8(p1 + p2 + p3) + 7(p4 + p5 + p6) + 6(p7 + p8 + p9) = 7,5(p1 + p2 + p3) + 8(p4 + p5 + p6) + 5(p7 + p8 + p9) = 6,7p1 + 9p2 + 8p3 = 8(p1 + p2 + p3),7p1 + 5p2 + 3p3 = 5(p1 + p2 + p3),6p4 + 6p5 + 10p6 = 7(p4 + p5 + p6),8p4 + 9p5 + 7p6 = 8(p4 + p5 + p6).

Розв’язок P∗ = (1/9, 1/9, 1/9, 1/6, 1/12, 1/12, 1/12, 1/6, 1/12) єдиний, то-му ринок повний i заданий опцiон є досяжним, V (0) = 19/18.

2.7.10. а) X = (1, 1, 0, 1, 2, 4, 0, 0, 2); V (0) = 19/18;

ξ(1,ω) =(− 85/36, 1/12, 17/36

)∀ω ∈ Ω,

ξ(2,ω) =

(−11/3, 1/3, 1/3) , ω = ω1,ω2,ω3,

(−13, 1, 1) , ω = ω4,ω5,ω6,

(−13/4, 5/12, 1/4) , ω = ω7,ω8,ω9;

б) X = (0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 4, 0); V (0) = 19/18;

ξ(1,ω) =(383/36, − 11/12, − 19/36

)∀ω ∈ Ω,

ξ(2,ω) =

(28/3, − 2/3, − 2/3) , ω = ω1,ω2,ω3,

(0, 0, 0) , ω = ω4,ω5,ω6,

(39/4, − 7/12, − 3/4) , ω = ω7,ω8,ω9;

в) X = (7, 9, 8, 8, 9, 10, 8, 6, 9); V (0) = 8;

ξ(1,ω) =(25/8, 3/8, 3/8

)∀ω ∈ Ω,

ξ(2,ω) =

(0, 1, 0) , ω = ω1,ω2,ω3,

(−9/2, 3/4, 1) , ω = ω4,ω5,ω6,

(15/8, 3/8, 5/8) , ω = ω7,ω8,ω9;

206

г) X = (1, 3, 2, 2, 3, 4, 2, 0, 3); V (0) = 2;ξ(1,ω) =

(− 23/8, 3/8, 3/8

)∀ω ∈ Ω,

ξ(2,ω) =

(−6, 1, 0) , ω = ω1,ω2,ω3,

(−21/2, 3/4, 1) , ω = ω4,ω5,ω6,

(−33/8, 3/8, 5/8) , ω = ω7,ω8,ω9;

д) X = (1/3, 1/3, 0, 1, 4/3, 2, 0, 0, 0); V (0) = 14/27;ξ(1,ω) =

(− 73/27, 1/9, 11/27

)∀ω ∈ Ω,

ξ(2,ω) =

(−11/9, 1/9, 1/9) , ω = ω1,ω2,ω3,

(−11/3, 1/3, 1/3) , ω = ω4,ω5,ω6,

(0, 0, 0) , ω = ω7,ω8,ω9.

2.7.11. 1. Нехай ξ — породжувальна стратегiя для C, η — поро-джувальна стратегiя для P, а ζ — породжувальна стратегiя для S(T ).Розглянемо стратегiю ξ ≡ η−ξ+ζ. Їй вiдповiдає капiтал у момент t = T ,що дорiвнює [K−S(T )]+− [S(T )−K]+ +S(T ) = K, а в момент часу t = 0дiстанемо π(P) − π(C) + S(0) = EP∗[K/B(T )].

2. Нехай процес B невипадковий i C має породжувальну стратегiю ξ.Позначимо через ξK стратегiю, що породжує в момент часу t = T капiталK, ζ — стратегiя, що породжує капiтал S(T ). Тодi стратегiя η ≡ ξ+ξK−ζпороджує P. I навпаки, якщо η породжує P, то стратегiя ξ ≡ η− ξK + ζпороджує C.

3. Розглянемо платiжне зобов’язання X = (x1, x2, x3, x4, x5, x6) та одер-жимо умову досяжностi

52x1 + 23x2

84− 2

6x3 + 4x4

11+

39x5 + 11x6

54= 0.

В умовах задачi маємо

C =(1260

109, 0,

715109

, 0, 0, 0), P =

(0,

375109

, 0,920109

,375109

,1465109

).

Бачимо, що опцiон купiвлi задовольняє умову досяжностi, а опцiон про-дажу — нi.

2.7.12–2.7.13. Скористатися пунктом 3 задачi 2.4.2.2.7.14. Це може бути 0, S або S/2 залежно вiд значень коефiцiєнтiв.

207

2.8. АМЕРИКАНСЬКI ОПЦIОНИ З ДИСКРЕТНИМ ЧАСОМ


Нехай T > 0, час t належить множинi T = [0,T ] ∩ Z+ (дискретний

час) або T = [0,T ] (неперервний час). Позначимо через F = Ft, t ∈ Tдеяку фiльтрацiю (потiк σ-алгебр), що задовольняє умови Fs ⊂ Ft ⊂ F ,s < t, s, t ∈ T, i Ft =

⋂s∈T:s>t Fs (для неперервного часу). Моментом зу-

пинки називається будь-яка випадкова величина τ, яка набуває значеньз множини T, причому подiя τ ≤ t належить Ft для всiх t ∈ T.

Американським опцiоном купiвлi називається цiнний папiр, якийможна виконати в будь-який момент зупинки τ ∈ T, при цьому виплатадорiвнюватиме [S(τ)−K]+, де S(t) — цiна в момент t акцiї, на яку укла-дено опцiон. Аналогiчно визначається Американський опцiон продажу.Стратегiї покупця та продавця Американського опцiону рiзнi: покупецьхоче подати опцiон до виконання в той момент τ, коли середнє значен-ня виплати є найбiльшим, тобто визначити maxE[(S(τ) − K)+], де maxбереться по множинi моментiв зупинки τ ∈ T; продавець бажає так по-будувати свою стратегiю, щоб мати можливiсть виконати опцiон, у якийби момент часу покупець не подав його до виконання. Далi в задачахрозглядаємо лише Американськi опцiони з дискретним часом.

Задачi

2.8.1. Позначимо через V (t) i Z(t), t ∈ T, цiну, яку має сплатитипокупець Європейського та Американського опцiону, вiдповiдно, якщовiн купує його в момент t, на одну i ту ж акцiю. Довести, що Z(t) ≥V (t).

2.8.2. Розглянемо Американський опцiон, який має виплати Y (t),t ∈ T. Нехай Європейський опцiон у момент T має таку ж виплатуY (T ). Довести: якщо V (t) ≥ Y (t) для всiх t ∈ T i всiх ω ∈ Ω, тоV (t) = Z(t) i оптимальним для покупця є чекання до моменту T , щобвиконати опцiон.

2.8.3. Розглянемо умову задачi 2.7.1, i нехай Y (t) = [S(t) − 5]+. Дляданої задачi r = 0, T = 2, T = 0, 1, 2.

1. Використовуючи розв’язок задачi 2.7.2, довести, що V (t) ≥ Y (t) дляt = 0, 1, 2 i всiх ω ∈ Ω.

2. Використовуючи результат задачi 2.8.1, довести, що V (t) = Z(t).2.8.4. Нехай цiна акцiї змiнюється так: S(0) — деяке задане число,

S(t + 1) =

uS(t) з iмовiрнiстю p,dS(t) з iмовiрнiстю 1 − p,

де ud = 1, u > 1, d < 1 (бiномна модель).

208

1. Визначити цiну акцiї в момент k, якщо i разiв вона пiдвищувалася,k − i разiв падала.

2. Позначимо через Vk(i) виплату Американського опцiону продажуна акцiю S зi страйковою цiною K у момент k за умови, що цiна акцiїпiдвищувалася i разiв. Показати, що

VT (i) =[K − uidT−iS(0)

]+.

3. Показати, що коли опцiон виконано в момент k “у грошах”, i прицьому акцiя зростала i разiв, то виплата дорiвнює K − uidk−iS(0).

4. Якщо опцiон не виконано в момент k, то в момент k + 1 цiна акцiїстановитиме або ui+1dk−iS(0) (з iмовiрнiстю p), або uidk−i+1S(0) (з iмо-вiрнiстю 1−p). Якщо це ui+1dk−iS(0), то показати, що очiкувана виплатав момент k вiд опцiону, виконаного в момент k + 1 — Vk+1(i + 1)/(1 + r);довести, що в протилежному випадку це Vk+1(i)/(1 + r). Вивести звiдси,що очiкувана виплата в момент k за опцiоном, виконаним у момент k+1,дорiвнюватиме

11 + r

Vk+1(i + 1)p +1

1 + rVk+1(i)(1− p).

5. Вивести з пункту 4, що

Vk(i) = maxK−uidk−iS(0),

11 + r

[pVk+1(i + 1)+(1−p)Vk+1(i)

], 0 ≤ i ≤ k.

6. Нехай S(0) = 9, T = 5, K = 10, r = 6 %, u = 1,0694, d = 0,9351.Обчислити цiну (Vk(i), 0 ≤ k ≤ 5, 0 ≤ i ≤ k) Американського опцiонупродажу.

2.8.5. Нехай r = 0, H(t) = Y (t)/B(t), t ∈ T — послiдовнiсть дискон-тованих виплат Американського опцiону. Визначимо випадковий процесZ(t) за допомогою рiвностей

Z(t) =

H(T ), t = T ,

maxH(t), E[Z(t + 1)|Ft], 0 ≤ t ≤ T − 1.

1. Довести, що Z(t) — супермартингал.2. Довести, що Z(t) ≥ H(t), t ∈ T.3. Нехай U (t) — iнший супермартингал, що мажорує Y (t): U(t) ≥

≥ Y (t), t ∈ T. Довести, що U(t) ≥ Z(t), t ∈ T.Випадковий процес Z(t) називається обвiдною Снелла для процесу

H(t) (порiвняйте iз задачею 18.7).2.8.6. 1. Довести, що обвiдна Снелла Z(t) процесу H(t) задовольняє

Z(t) = maxt≤τ≤Tτ — м.з.

EP∗[H(τ)|Ft],

де P∗ — мартингальна мiра (“м.з.” означає “момент зупинки”).

209

2. Довести, що момент зупинки

τ(t) = mins ≥ t : Z(s) = Y (s)/B(s)максимiзує праву частину рiвностi з пункту 1.

3. Довести, що момент зупинки

τ(0) = mins ≥ 0 : Z(s) = Y (s)/B(s)є оптимальним для покупця Американського опцiону в тому розумiннi,що EP∗[H(τ(0))] = max0≤τ≤T EP∗[H(τ)].

2.8.7. Обчислити обвiдну Снелла для задачi 2.8.3 i визначити опти-мальний момент зупинки.

2.8.8. Для моделi iз задачi 2.8.3 обчислити цiну в момент t = 0Американського опцiону продажу зi страйковою цiною K = 6. Визначитиоптимальний момент зупинки.

2.8.9. Американський опцiон називається досяжним, якщо для будь-якого моменту зупинки 0 ≤ τ ≤ T iснує така самофiнансована стратегiя,що вiдповiдний портфель V задовольняє V (τ) = Y (τ). Нехай Американ-ський опцiон є досяжним, i випадковий процес H = Y /B є субмартин-галом вiдносно деякої мартингальної мiри P∗. Довести, що оптимальниймомент зупинки — τ = T , а цiна цього Американського опцiону дорiвнюєцiнi Європейського опцiону X = Y (T ).

2.8.10. Розглянемо бiномну модель акцiї з T = 4, S0 = 20, u == 1,2214, d = 1/u = 0,8187, r = 3,82%. Обчислити цiну в момент t = 0Американського опцiону продажу зi страйковою цiною K = 18. Якиймомент зупинки є оптимальним?

2.8.11. Розглянемо Американський опцiон купiвлi, який можна ви-конати в будь-який момент t ∈ T, але якщо вiн виконується в моментy ∈ T, то страйкова цiна дорiвнює Keky, k — фiксоване число, тобтовиплата в момент y дорiвнює

[S(y)− ekyK

]+. Довести, що при k ≤ r,

де r — вiдсоткова ставка, опцiон не буде поданий до виконання ранiшемоменту t = T .

2.8.12. Розглянемо бiномну модель акцiї, що задається формуламиSn+1 = Snd з iмовiрнiстю 1−p або Sn+1 = Snu з iмовiрнiстю p, 0 < d < 1++ r < u, r — вiдсоткова ставка, 0 ≤ n ≤ N − 1. Позначимо через πn(P,x)цiну в момент n Американського опцiону продажу з датою виконання N ,страйковою цiною K i початковою цiною акцiї S0 = x.


πN (P, x) = (K−x)+, πn(P, x) = max[(K − x)+,

f (n + 1, x)1 + r

], 0 ≤ n ≤ N −1,

де

f (n + 1, x) = (1 − p)πn+1(P, xd

)+ pπn+1

(P, xu

), P = p∗ =

1 + r − d

u − d.

210

2. Довести, що π0(P, x) можна подати у виглядiπ0(P,x) = sup

τ≤Nτ — м.з.

EP∗[(1 + r)−τ(K − xVτ)+],

де Vn, 0 ≤ n ≤ N — послiдовнiсть випадкових величин, що задаєтьсяформулами V0 = 1, Vn =

∏ni=1 ui, де ui — деякi випадковi величини.

Задати спiльний розподiл ui вiдносно мiри P∗.3. Одержати з пункту 2, що функцiя π0(P, x) опукла вниз i спадна.4. Нехай d < 1. Довести, що iснує дiйсне число x∗ ∈ [0,K] таке, що

для x ≤ x∗ π0(P, x) = (K− x)+, а для x ∈(x∗,K/dN

)π0(P, x) > (K− x)+.


2.8.1. Завжди можна вiдкласти виконання Американського опцiонудо моменту T .

2.8.2. Якщо покупець придбав Американський опцiон i V (t) ≥ Y (t),то нерозумно виконувати його у момент t < T i одержати Y (t), оскiлькиможна в цей момент гарантувати собi натомiсть виплату V (t). Напри-клад, можна продати Європейський опцiон або зайняти коротку позицiювiдносно портфеля, що хеджує такий опцiон. Отже, треба чекати домоменту T , а це означає, що цiни обох опцiонiв однаковi.

2.8.5. Пункти 1 i 2 очевиднi. Пункт 3 доводиться за iндукцiєю.2.8.6. Доводиться з використанням теореми Дуба.2.8.8. Мартингальнi ймовiрностi P∗ = (1/6, 1/12, 1/4, 1/2). Запишемо

значення Y (t) = [6 − S(t)]+:

ωkωkωk Y (0)Y (0)Y (0) Y (1)Y (1)Y (1) Y (2)Y (2)Y (2)

ω1 1 0 0ω2 1 0 0ω3 1 2 0ω4 1 2 3

Використовуючи задачу 2.8.5, одержимо

Z(2) = Y (2) = (0, 0, 0, 3),

Z(1) = Y (1) ∨ EP∗[Z(2)|F1] = (0, 0, 2, 2),

Z(0) = Y (0) ∨ EP∗[Z(1)|F0] = (3/2, 3/2, 3/2, 3/2).

Отже, справедлива цiна платiжного зобов’язання — 3/2, а оптимальниймомент зупинки — τ(0) = min

s ≥ 0|Z(s) = Y (s)

≡ 1.

2.8.9. Якщо Y/B — субмартингал, то за теоремою Дуба про випад-кову зупинку EP∗[Yτ/Bτ] ≤ EP∗[YT/BT ], отже, max0≤τ≤T EP∗[Yτ/Bτ] == EP∗[YT/BT ], а це цiна вiдповiдного Європейського опцiону, що подає-

211

ться до виконання в момент τ = T . Оскiльки опцiон досяжний, то iснуєстратегiя, яка хеджує цей опцiон, тобто стратегiя, капiтал якої в моментT дорiвнює значенню опцiону.

2.8.10. Розв’язок повторює мiркування задачi 2.8.8. Спочатку рахує-мо значення Y (t) i H(t) для всiх (шiстнадцяти) сценарiїв ринку. Мартин-гальну мiру обчислюють iз задачi 2.1.22. Пiсля цього визначимо обвiднуСнелла. Цiна опцiону дорiвнює значенню обвiдної в момент t = 0 —1,18, а оптимальний момент зупинки — перший момент, коли обвiднаСнелла дорiвнює дисконтованому значенню опцiону продажу, τ(0) = 2,якщо цiна при t = 1, 2 зросла або якщо цiна при t = 1, 2 впала, τ(0) == 3, якщо в один з моментiв t = 1, 2 цiна зросла, в iнший — впала, а вмомент t = 3 цiна зросла, i τ(0) = 4 в iнших випадках.

2.9. БРОУНIВСЬКИЙ РУХ,ГЕОМЕТРИЧНИЙ БРОУНIВСЬКИЙ РУХ,МАРТИНГАЛИ З НЕПЕРЕРВНИМ ЧАСОМ


Вiнерiвським процесом, або броунiвським рухом, називається ви-падковий процес W = W (t), t ≥ 0, що задовольняє умови: а) W (0) == 0 м.н.; б) процес W має незалежнi прирости; в) випадковi величиниW (t)−W (s) мають гауссiв (нормальний) розподiл з середнiм 0 i диспер-сiєю t− s . Це визначення еквiвалентне такому: 1′) W = W (t), t ≥ 0 —гауссiв процес; 2′) E[W (t)] = 0, t ≥ 0; 3′) E[W (t)W (s)] = t ∧ s, t, s ≥ 0.

Вiнерiвським процесом зi зсувом називається процесWµ(t) := W (t) + µt.

Цiкавою властивiстю вiнерiвського процесу є те, що його траєкторiїз iмовiрнiстю 1 неперервнi та нiде не диференцiйованi.

Випадковий процес W (t) = W 1(t), . . . ,Wm(t), t ≥ 0 називаєтьсяm-вимiрним вiнерiвським процесом, якщо його компоненти — незалежнiмiж собою вiнерiвськi процеси. При цьому коварiацiйна матриця процесуW дорiвнює

E[(W (t) −W (s))(W (t) −W (s))∗] = (t − s)I ,

де I — одинична матриця розмiрнiстю m × m, 0 ≤ s ≤ t, ∗ — знактранспонування.

Геометричним броунiвським рухом називається випадковий процес

S(t) = S(0) expσW (t) + µt, σ,µ,S0 ∈ R, t ≥ 0.

212

Параметр µ називається зсувом, σ — волатильнiстю. Геометричний бро-унiвський рух моделює змiну цiни акцiї, i параметр σ тодi називаєтьсяволатильнiстю акцiї.

Задачi

2.9.1. Нехай W (t), t ≥ 0 — вiнерiвський процес. Довести, що такiпроцеси теж є вiнерiвськими:

а) W (1)(t) := −W (t);б) W (2)(t) := tW (1/t), t > 0, W (2)(0) = 0;в) W (3)(t) := W (t + a) −W (t), де a > 0 — фiксоване;г) W (4)(t) := W (T ) −W (T − t), 0 ≤ t ≤ T , T > 0;д) W (5)(t) := a−1W (a2t), де a > 0 — фiксоване (властивiсть автомо-

дельностi).2.9.2. Нехай Wµ(t), t ≥ 0 — вiнерiвський процес зi зсувом.1. Визначити розподiл випадкової величини Wµ(t1) +Wµ(t2), t1 < t2.2. Визначити E[Wµ(t1)Wµ(t2)], E[Wµ(t1)Wµ(t2)Wµ(t3)].2.9.3. Процесом Орнштейна–Уленбека з параметрами α,β (α > 0,

β ∈ R) називається випадковий процес V (t) = exp−βtW (αe2βt), t ∈ R,де W (t), t ≥ 0 — вiнерiвський процес. Довести, що V (t) — гауссiвпроцес i визначити його коварiацiйну функцiю.

2.9.4. Нехай S(t) = S(0) expσW (t) + µt — геометричний броунiв-ський рух.

1. Визначити розподiл S(t).2. Довести, що ES(t) = S(0) exp(µ+ σ2/2)t.3. Визначити DS(t).4. При якому спiввiдношеннi мiж µ i σ процес St буде мартингалом?5. Нехай µ = 0,01, σ = 0,2, S(0) = 100. Визначити величини E[S(10)],

PS(10) > 100, PS(10) < 110.2.9.5. Геометричний броунiвський рух

S(t) = S(0) expσW (t) +

(µ− 1

2σ2

)t

називають цiною акцiї за Блеком–Шоулсом.1. Довести, що для всiх t, s ≥ 0 : E [S(t + s)/S(t)|Ft] = eµs, де Ft =

= σW (u), u ≤ t.2. Довести, що цiна акцiї за Блеком–Шоулсом є мартингалом тодi i

тiльки тодi, коли µ = 0.2.9.6. Нехай W — m-вимiрний випадковий процес, узгоджений з

фiльтрацiєю Ft, t ≥ 0. Довести, що W буде m-вимiрним вiнерiвськимпроцесом тодi й тiльки тодi, коли вiн задовольняє такi умови:

а) W (0) = 0;

213

б) W — неперервний квадратично iнтегрований мартингал вiдноснофiльтрацiї Ft, t ≥ 0;

в) для 0 ≤ s ≤ t

E[(

W (t) −W (s))(

W (t) −W (s))∗|Fs

]= (t − s)I ,

де I — одинична матриця розмiрнiстю m × m.2.9.7. Нехай W — двовимiрний вiнерiвський процес, Z(t) = AW (t),

де матриця

A =

√

1+ρ2

√1−ρ

2√1+ρ

2 −√

1−ρ2

,

де ρ — стала, −1 ≤ ρ ≤ 1. Процес Z(t) називається двовимiрним коре-льованим вiнерiвським процесом.

1. Визначити координати у векторному зображеннi Z(t) =[Z1(t)Z2(t)

].

2. Визначити вектор математичних сподiвань Z(t) i коварiацiйну ма-трицю приростiв E(Z(t) − Z(s))(Z(t) − Z(s))∗.

3. Визначити матрицю A−1 i подати W у виглядi W = A−1Z.4. Нехай σ1,σ2 > 0. Знайти таку сталу c, щоб одновимiрний процес

W (t) = c[−σ1Z1(t) + σ2Z

2(t)]був стандартним вiнерiвським процесом.

2.9.8. Довести посилений закон великих чисел для вiнерiвського про-цесу: W (t)/t → 0, t → ∞, з iмовiрнiстю 1.

2.9.9. Нехай τ — момент зупинки вiдносно фiльтрацiї Ft, t ≥ 0,W (t), Ft, t ≥ 0 — вiнерiвський процес. Довести, що W (t ∧ τ), Ft,t ≥ 0 — мартингал.

2.9.10. Нехай Z — випадкова величина, що має стандартний нор-мальний розподiл. Довести, що процес X(t) =

√tZ має тi ж одновимiрнi

розподiли, що й вiнерiвський процес, але не є вiнерiвським.2.9.11. Нехай W (t) i W (t) — два незалежних вiнерiвських процеси,

α2 + β2 = 1. Довести, що процес X(t) := αW (t) + βW (t) — вiнерiвський.2.9.12. Довести, що випадковий процес X(t) = W (t) + γt буде мар-

тингалом тодi й тiльки тодi, коли γ = 0.2.9.13. Нехай X — випадкова величина, що задовольняє E

[|X|

]< ∞.

Довести, що процес M(t), визначений рiвнiстю M(t) = E[X | Ft], t ∈ T, ємартингалом.

2.9.14. Нехай Mt, t ≥ 0 — мартингал, причому E[M2t ] < ∞ для всiх

t ≥ 0 (такi мартингали називають квадратично iнтегрованими). Довести,що для всiх s ≤ t

E[(Mt − Ms)2 | Fs] = E[M2t − M2

s | Fs].

214

2.9.15. Нехай Xt, t ≥ 0 — процес Левi (процес з незалежнимистацiонарними приростами), який є квадратично iнтегрованим i має ну-льове початкове значення. Припустимо також, що функцiя ϕ(t) := E[X2

t ]є неперервною на R+. Довести, що E[Xt] = ct i D[Xt] = c′t, де c i c′ —двi сталi.

2.9.16. Нехай Ft, t ∈ R+ — деяка фiльтрацiя на ймовiрнiсному

просторi (Ω,F ,P), τ — момент зупинки вiдносно цiєї фiльтрацiї,

Fτ = A ∈ F | ∀t ∈ R+ A∩ τ ≤ t ∈ Ft.

Довести, що:а) Fτ — σ-алгебра;б) момент зупинки τ є Fτ-вимiрним;в) якщо τ i ν — два моменти зупинки, τ ≤ ν, то Fτ ⊂ Fν.2.9.17. Нехай τ — момент зупинки, Xt, Ft, t ∈ R — випадковий

процес, узгоджений з фiльтрацiєю Ft, t ∈ R+. Довести, що:

а) якщо процес X є неперервним, то

Xt(ω) = limn→∞

∞∑

n=0

1[ kn , k+1

n

)(t)X kn(ω);

б) процес Xτt = Xτ1τ≤t є Ft-узгодженим, а величина Xτ є Fτ-ви-

мiрною.


2.9.1. Показати, що вказанi процеси задовольняють означення вiне-рiвського процесу.

2.9.2. Скористатися тим, що значення вiнерiвського процесу в рiзнiмоменти часу мають гауссiв розподiл.

2.9.4. 4. При µ+ σ2/2 = 0.2.9.5. Скористатись задачею 21.4.2.9.8. Використати посилений закон великих чисел для незалежних

випадкових величин з нульовим середнiм.2.9.9. Скористатися результатом задачi 2.5.10.2.9.11. Визначити одновимiрнi розподiли процесу й довести незалеж-

нiсть приростiв.

215

2.10. СТОХАСТИЧНИЙ IНТЕГРАЛ, ФОРМУЛА IТО,СТОХАСТИЧНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ


Нехай W (t),FWt , t ≥ 0 — вiнерiвський процес, g(t),FW

t , t ≥ 0 —iнший випадковий процес. Процес g належить до класу L2[a, b], якщоr b

aE [g2(s)] ds < ∞; g належить до класу L2, якщо вiн належить до

L2[0, t] для всiх t ≥ 0. Нехай g ∈ L2[a, b] i є простою, тобто g(s) = g(tk),s ∈ [tk,tk+1), a = t0 < t1 < . . . < tn = b. Тодi

w b

ag(s)dW (s) :=

n−1∑

k=0

g(tk)[W (tk+1) −W (tk)].

Для g ∈ L2[a, b] iснує така послiдовнiсть простих процесiв gn ∈ L2[a, b],що E

r b

a[g(s) − gn(s)]2ds → 0, n → ∞. Тодi

w b

ag(s)dW (s) := l.i.m.

w b

agn(s)dW (s),

де l.i.m. — границя в середньому квадратичному.Нехай процес X можна подати у виглядi

X(t) =w t

0µ(s)ds +

w t

0σ(s)dW (s).

Кажуть, що процес X(t) має стохастичний диференцiал

dX(t) := µ(t)dt + σ(t)dW (t).

Нехай для випадкових функцiй f (t,ω), Ft, t ≥ 0 i g(t,ω), Ft, t ≥ 0виконується

w t

0E[f 2(s)]ds < ∞ i P

w t

0|g(s)|ds < ∞

= 1, t ≥ 0,

процес X(t),Ft, t ≥ 0 має стохастичний диференцiал вигляду dX(t) == f (t) dW (t) + g(t) dt, де W (t),Ft, t ≥ 0 — вiнерiвський процес. Не-хай також невипадкова функцiя F : [0,∞) × R → R належить до класуC1([0,∞)) × C2(R). Тодi процес Y (t) = F(t,X(t)),Ft, t ≥ 0 має стоха-стичний диференцiал

dY (t) =∂F(t,X(t))

∂tdt +

∂F(t,X(t))∂x

dX(t) +12∂2F(t,X(t))

∂x2[dX(t)]2,

де [dX(t)]2 визначається за правилом “оперування з диференцiалами”:

dt · dt = dt · dW (t) = dW (t) · dt = 0, dW (t) · dW (t) = dt.

216

Формула для стохастичного диференцiалу Y (t) називається формулоюIто, вона є стохастичним аналогом формули диференцiювання складноїфункцiї. В iнтегральнiй формi: для всiх t ≥ 0 P-м.н. (майже напевно,тобто з iмовiрнiстю 1)

F(t,X(t)) = F(0,X(0)) +w t

0f (s)

∂F(s,X(s))∂x

dW (s)+

+w t

0

[∂F(s,X(s))

∂t+ g(s)

∂F(s,X(s))∂x

+12f 2(s)

∂2F(s,X(s))∂x2

]ds.

Багатовимiрний варiант формули Iто виглядає так: нехай кожна ком-понента векторного випадкового процесу X(t) = (X1(t), . . . ,Xm(t)) маєстохастичний диференцiал dXi(t) = µi(t)dt + σi(t)dWi(t), причому вiне-рiвськi процеси Wi(t) корельованi таким чином: 〈Wi,Wj〉 =

r t

0 ρij(s)ds;невипадкова функцiя F(t,x) : [0,∞) × R

m → R, F ∈ C1([0,∞)) × C2(Rm).Тодi

F(t,X(t)) = F(0,X(0)) +w t

0

[∂F(s,X(s))∂t

+m∑

i=1

µi(s)∂F(s,X(s))

∂xi

]ds+

+w t

0

m∑

i=1

σi(s)∂F(s,X(s))

∂xidWi(s) +

12

w t

0

m∑

i,j=1

σi(s)σj(s)ρij(s)∂2F(s,X(s))

∂xi∂xjds.

Формулу Iто неважко узагальнити i на випадок, коли функцiя F век-торна.

Стохастичним диференцiальним рiвнянням називається рiвняння ви-гляду

dX(t) = b(t,X(t))dt + σ(t,X(t))dW (t), 0 ≤ t ≤ T ,X(0) = ξ,

де ξ — F0-вимiрна випадкова величина. Стохастичне диференцiальнерiвняння формально можна записати у виглядi стохастичного iнтеграль-ного рiвняння

X(t) = ξ+w t

0b(s,X(s))ds +

w t

0σ(s,X(s))dW (s), 0 ≤ t ≤ T .

При цьому вважаємо, що iнтеграли в правiй частинi визначенi. Якщовиконуються умови Лiпшиця й лiнiйного зростання:

|b(t,x) − b(t,y)| + |σ(t,x) − σ(t,y)| ≤ L|x − y|, t ∈ [0,T ], x, y ∈ R;

|b(t,x)|2 + |σ(t,x)|2 ≤ L(1 + x2), t ∈ [0,T ], x ∈ R,де L > 0 — деяка стала, то стохастичне диференцiальне рiвняння маєєдиний сильний розв’язок, тобто iснує єдиний Ft-вимiрний випадковийпроцес X(t), який перетворює це рiвняння на тотожнiсть.

217

Задачi

2.10.1. Обчислитиr t

0 [W (s)]kdW (s), k ∈ N.2.10.2. Визначити E[W (t)]2k методом математичної iндукцiї.2.10.3. Визначити E[eαW (t)].2.10.4. Нехай невипадкова функцiя σ ∈ L2[0,t]. Довести, що стоха-

стичний iнтеграл X(t) =r t

0 σ(s)dW (s) має нормальний розподiл, визна-чити середнє та дисперсiю. Довести, що

E[eiuX(t)] = exp

− u2

w t

0σ2(s)ds/2

.

2.10.5. Визначити стохастичний диференцiал dZ(t), якщо:а) Z(t) = eαt;б) Z(t) =

r t

0 g(s)dW (s);в) Z(t) = eαW (t);г) Z(t) = expαX(t), якщо процес X має стохастичний диференцiал

dX(t) = µdt + σdW (t), µ ∈ R, σ > 0;д) Z(t) = X2(t), якщо dX(t) = αX(t)dt + σX(t)dW (t);е) Z(t) = X−1(t), якщо dX(t) = αX(t)dt + σX(t)dW (t);є) Z(t) = Xn(t),n ∈ N, якщо X(t) — той самий, що i в пунктах д), е).2.10.6. Нехай X(t) — додатний процес, що допускає стохастичний

диференцiал dX(t) = X(t)[αdt + β dW (t)]. Довести, що d lnX(t) = (α−− β2/2)dt + β dW (t), t ≥ 0.

2.10.7. Довести для h ∈ C1([0,∞)) формулу iнтегрування частинами:w t

0h(s)dW (s) = h(t)W (t) −

w t

0h′(s)W (s) ds.

2.10.8. Нехай випадковi процеси X(t) та Y (t) мають стохастичнi ди-ференцiали dX(t) = adt + b dW (t), dY (t) = αdt + β dW (t). Довести, щоd(X ·Y )(t) = X(t) dY (t)+Y (t) dX(t)+dX(t)dY (t) = [αX(t)+aY (t)+bβ]dt++ [βX(t) + bY (t)]dW (t).

2.10.9. Нехай випадковi процеси X(t) та Y (t) мають стохастичнi ди-ференцiали dX(t) = adt+b dW (t), dY (t) = Y (t)[αdt+β dW (t)]. Довести,що d [1/Y (t)] = Y (t)−1[(−α+β2)dt−β dW (t)], d [X(t)/Y (t)] = Y (t)−1[a−− αX(t) − (b − βX(t))β]dt + [b − βX(t)]dW (t).

2.10.10. Нехай S(t) i B(t) — цiни акцiї i облiгацiї вiдповiдно, dS(t) == S(t)(µdt +σ dW (t)), dB(t) = rB(t) dt. Довести, що цiна акцiй, дискон-тована одиницею грошового ринку — цiною облiгацiї, має стохастичнийдиференцiал d [S(t)/B(t)] = [S(t)/B(t)] [(µ− r)dt + σ dW (t)].

2.10.11. Довести, щоr t

0 (t − s)dW (s) =r t

0 W (s) ds P-м.н., t ≥ 0.2.10.12. Нехай випадковий процес X має стохастичний диференцiал

dX(t) = αX(t)dt + σ(t)dW (t), де α ∈ R, σ ∈ L2. Визначити середнєm(t) := E[X(t)].

218

2.10.13. Нехай f (t,ω),Ft, t ≥ 0 така, щоr t

0 E[f 2(s,ω)]ds < ∞, t ≥ 0,

X(t) = exp w t

0f (s,ω)dW (s) −

w t

0f 2(s,ω)ds/2

, t ≥ 0.

Довести, що dX(t) = X(t)f (t,ω)dW (t).2.10.14. Нехай Z(t) = expαt+βW (t). Визначити стохастичне дифе-

ренцiальне рiвняння, єдиним розв’язком якого є Z(t). Чому цей розв’язоксправдi єдиний?

2.10.15. Нехай випадковий процес X має стохастичний диференцiалdX(t) = µ(t)dt + σ(t)dW (t), причому µ ∈ L1([0,∞)), σ ∈ L2, µ(t) ≥ 0 длявсiх t ≥ 0. Довести, що X — субмартингал.

2.10.16. Мета даного прикладу — обґрунтувати формальну рiвнiстьdW1(t)dW2(t) = 0 для незалежних вiнерiвських процесiв W1 i W2. Нехайдля n ≥ 1 ti = it/n, 0 ≤ i ≤ n — рiвномiрне розбиття вiдрiзку [0, t],∆Wi(tk) = Wi(tk) −Wi(tk−1), i = 1,2. Визначимо

Qn =n∑

k=1

∆W1(tk)∆W2(tk).

Доведiть, що E[Qn] = 0, D[Qn] → 0 i виведiть звiдси, що границя всередньому квадратичному l.i.mn→∞Qn = 0.

2.10.17. Функцiя h(x1, . . . ,xm) : Rm → R називається гармонiйною,

якщо вона задовольняє умову∑m

i=1 ∂2h/∂x2

i = 0, i субгармонiйною, якщо∑mi=1 ∂

2h/∂x2i ≥ 0 на R

m. Нехай W — m-вимiрний вiнерiвський процес,X(t) := h(W1(t), . . . ,Wm(t)). Довести, що X — мартингал (субмартингал),якщо функцiя h — гармонiйна (субгармонiйна).

2.10.18. Нехай W — m-вимiрний вiнерiвський процес, || · || — евклi-дова норма в R

m. Довести, що ||W (t)||,Ft, t ≥ 0 — субмартингал.2.10.19. Нехай X(t) = σW (t) + µt, Ra = inft : X(t) = a. Довести,

що при γ > 0, σ 6= 0 i a < 0 PRa < ∞ ≤ e2µa/σ2.

2.10.20. Довести, що процес X(t) = X0 exp(r − σ2/2)t + σW (t)

є

розв’язком стохастичного диференцiального рiвняння dX(t) = rX(t)dt ++ σX(t)dW (t), t ≥ 0.

2.10.21. Довести, що процес

X(t) = α(1 − t/T ) + βt/T + (T − t)w t

0

dW (s)T − s

, 0 ≤ t ≤ T ,

є розв’язком стохастичного диференцiального рiвняння

dX(t) =β− X(t)T − t

dt + dW (t), t ∈ [0,T ], X(0) = α.

Довести, що X(t) → β м.н. при t → T−. Тобто процес X(t) — броу-нiвський мiст над вiдрiзком [0,T ] iз закрiпленими кiнцями X(0) = α iX(T ) = β. Стандартний броунiвський мiст одержимо при таких значен-нях параметрiв: T = 1, α = β = 0.

219

2.10.22. Нехай процеси X i Y для x0, y0 ∈ R є розв’язками такоїсистеми стохастичних диференцiальних рiвнянь:

dX = αXdt −YdW, X(0) = x0,dY = αYdt + XdW , Y (0) = y0.

1. Довести, що процес R(t) = X2(t) +Y 2(t) є невипадковим.2. Визначити E[X(t)], E[Y (t)].2.10.23. (Процес Орнштейна – Уленбека.)Доведiть, що розв’язком одновимiрного стохастичного диференцiаль-

ного рiвняння dX(t) = aX(t)dt + σdW (t) є

X(t) = eαtx0 + σw t

0eα(t−s)dW (s).

2.10.24. (Формула Фейнмана–Каца.)Доведiть, що розв’язок наступної граничної задачi

∂F

∂t+ µ(t,x)

∂F

∂x+

12σ2(t,x)

∂2F

∂x2 + r(t,x)F = 0, F(T ,x) = Φ(x)

допускає стохастичне подання вигляду

F(t,x) = E[Φ(X(T )) exp

w T

tr(s,X(s))ds

∣∣∣X(t) = x

],

де X — розв’язок стохастичного диференцiального рiвняння

dX(t) = µ(t,X(t))dt + σ(t,X(t))dW (t).

2.10.25. (Теорема Гiрсанова для сталого коефiцiєнта зсуву).Нехай Wt, Ft, t ∈ T — стандартний вiнерiвський процес, коефiцiєнт

µ ∈ R \ 0. Покладемо Lt = exp−µWt − µ2t/2

.

1. Показати, що Lt,Ft,t ∈ T — мартингал з E[Lt] = 1.2. Нехай Pt — мiра, породжена процесом Lt. Довести, що звуження

PT на Ft збiгається з Pt.3. Нехай Z — FT -вимiрна обмежена випадкова величина. Показати,

що E[Z|Ft] = E[ZLT |Ft]/Lt.4. Покладемо Wt = µt+Wt, t ∈ T. Показати, що ∀u ∈ R i ∀s, t ∈ T, s ≤ t

EPT[eiu(Wt−Ws)/Fs] = eu2(t−s)/2. Вивести звiдси, що Wt, Ft, PT , t ∈ T —

стандартний вiнерiвський процес.2.10.26. Нехай X задовольняє стохастичне диференцiальне рiвняння

dX(t) = [µX(t) + µ′]dt + [σX(t) + σ′]dW (t),

де µ,µ′,σ,σ′ ⊂ R\0. Нехай також S(t) = exp(µ− σ2/2)t + σW (t)

.

1. Вивести стохастичне диференцiальне рiвняння для S−1(t).2. Довести, що

d[X(t)S−1(t)] = S−1(t)[(µ− σσ′)dt + σ′dW (t)

].

3. Визначити явний вигляд процесу X(t).

220


2.10.1. Застосувати формулу Iто до X(t) = W (t) та F(x) = xk+1.2.10.2. Застосувати формулу Iто до X(t) = W (t) та F(x) = x2k.2.10.3. Застосувати формулу Iто до X(t) = W (t) та F(x) = eαx.2.10.4. Розглянути цей стохастичний iнтеграл як границю iнтеграль-

них сум.2.10.5–2.10.6. Безпосереднє застосування формули Iто.2.10.7. Подати стохастичний iнтеграл у лiвiй частинi як границю

iнтегральних сум.2.10.8. Застосувати багатовимiрний варiант формули Iто до F(x) =

= x1x2, m = 2, X1(t) = X(t), X2(t) = Y (t).2.10.9. Використати результат задачi 2.10.8.2.10.10. Використати результат задачi 2.10.9.2.10.11. Використати результат задачi 2.10.7.2.10.12. Довести, що E[

r t

0 σ(s)dW (s)] = 0.

2.10.13. Застосувати формулу Iто до X(t) =r t

0 f (s,ω)dW (s).2.10.14. Застосувати формулу Iто до X(t) = αt + βW (t) i F(x) = ex,

потiм перевiрити умови iснування та єдиностi розв’язку.2.10.15. Розв’язання випливає безпосередньо з означення субмартин-

гала.2.10.16. З незалежностi легко маємо E[Qn] = 0. Далi,

D[Qn] = E[Q2n] = E

[n∑

k=1

n∑

i=1

∆W1(tk)∆W1(ti)∆W2(tk)∆W2(ti)

]=

=n∑

k=1

E[∆W 2

1 (tk)∆W 22 (tk)

]=

n∑

k=1

E[∆W 21 (tk)]E[∆W 2

2 (tk)] =n∑

k=1

1n2

=1n→ 0.

Звiдси очевидно, що l.i.mn→∞Qn → 0.2.10.17. За формулою Iто

dX(t) =m∑

i=1

∂h

∂xidWi(t) +

12

m∑

i,j=1

∂2h

∂xi∂xjdWi(t)dWj(t).

Оскiльки вiнерiвськi процеси Wi та Wj незалежнi при i 6= j, то за попе-редньою задачею dWi(t)dWj(t) = dt · 1i = j. Отже,

X(t) =w t

0

m∑

i=1

∂h

∂xidWi(u) +

12

w t

0

m∑

i,j=1

∂2h

∂xi∂xjdu + h(0, . . . ,0).

Далi треба проаналiзувати умовнi математичнi сподiвання E [X(t)|Fs]для 0 ≤ s ≤ t.

2.10.18. Використати попередню задачу.

221

2.10.20. Застосувати формулу Iто до X(t) = (r − σ2/2)t + σW (t) iF(x) = ex.

2.10.21. Визначити стохастичний диференцiал dX(t), використовую-чи формулу Iто.

2.10.22. Застосувати формулу Iто до процесiв X1(t) = X(t), X2(t) == Y (t) та F(x) = x2

1 + x22 .

2.10.24. Припустiть, що F — розв’язок вказаної граничної задачi,запишiть формулу Iто для F(s,X(s)) exp

−

r T

tr(s,X(s))ds

вiд точки t

до точки T , помножте на exp r T

tr(s,X(s))ds

i вiзьмiть математичне

сподiвання за умови X(t) = x.2.10.25. Схему доведення наведено в умовi.2.10.26. 1. Застосувати формулу Iто для F(x) = 1/x.2. Застосувати формулу Iто для добутку.3. Зiнтегрувати рiвняння для X(t)S−1(t) i помножити на S(t). (Порiв-

няйте з розв’язанням за методом варiацiї сталих.)

2.11. ФОРМУЛА ТА РIВНЯННЯ БЛЕКА – ШОУЛСА


Нехай фiнансовий ринок складається з двох активiв, цiни яких змi-нюються в неперервному часi за формулами: B(t) = exp rt (цiна облiга-цiї), S(t) = S0 exp

(µ− σ2/2

)t + σW (t)

(цiна акцiї), t ≥ 0. Розглянемо

Європейський опцiон купiвлi зi страйковою цiною K i датою виконанняT , виплата якого дорiвнює h(ST ) = (ST − K)+. Позначимо через C(S,t)безарбiтражну (справедливу) цiну цього опцiону в момент t за умо-ви, що цiна акцiї дорiвнює S. (C(S,t) називають цiновою функцiєю, аΠ(t) = C(S(t),t)) — цiновим процесом.) Тодi функцiя C(S,t) задовольняєрiвняння Блека – Шоулса

∂C

∂t+

12σ2S2 ∂

2C

∂S2 + rS∂C

∂S− rC = 0

з граничними умовами C(0,t) = 0, C(S,T ) = (S − K)+. Розв’язок цьогорiвняння має вигляд

C(S,t) = SΦ(dt1) − Ke−r(T−t)Φ(dt

2) (формула Блека – Шоулса),

де Φ(x) =r x

−∞e−

u22 du/

√2π — функцiя стандартного нормального розпо-

дiлу;

dt1 =

ln SK +

(r + 1

2σ2)(T − t)

σ√

T − t; dt

2 =ln S

K +(r − 1

2σ2)(T − t)

σ√

T − t.

222

Зокрема, при t = 0 одержуємо формулу Блека – Шоулса для безарбiт-ражної (справедливої) цiни опцiону купiвлi в початковiй момент часу

π(h(ST )) := C(S,0) = SΦ(d01) − Ke−rTΦ(d0

2).

Якщо портфель iнвестора складається з одного опцiону купiвлi йакцiй у кiлькостi (−∆), то його вартiсть дорiвнює Π = C−∆·S, змiна цiєївартостi за один крок — dΠ = dC−∆·dS, а з мiркувань безарбiтражностiвона дорiвнює dΠ = rΠdt. Звiдси

Π =1r

(∂C

∂t+

12σ2S2 ∂

2C

∂S2

).

Величини ∆ = ∂Π/∂S, Γ = ∂2Π/∂S2, θ = −∂Π/∂t, ρ = ∂Π/∂r та V == ∂Π/∂σ називаються вiдповiдно дельтою, гаммою, тетою, ро та вегоюопцiону, а в цiлому — грецькими символами (Greeks).

Для цiн опцiонiв купiвлi та продажу, C(S,t) та P(S,t) вiдповiдно, маємiсце спiввiдношення пут-колл паритету: C(S,t)−P(S,t) = S−Ee−r(T−t).

Розглянемо акцiю, за якою виплачуються дивiденди. Припустимо, щодивiденди виплачуються з постiйною швидкiстю, пропорцiональною цiнiакцiї, так що власник at одиниць акцiй, t ∈ [α,β], одержить дивiдендикiлькiстю

rDw β

αatStdt.

При цьому коефiцiєнт rD називається доходом за дивiдендами (dividendyield). Якщо C(S,t) — цiна опцiону купiвлi на акцiю з виплатою дивi-дендiв, то C(S,t) задовольняє модифiковане рiвняння Блека – Шоулса

∂C

∂t+

12σ2S2 ∂

2C

∂S2+ (r − rD)S

∂C

∂S− rC = 0.

Задачi

2.11.1. Нехай ринок безарбiтражний, дивiденди за акцiями не спла-чуються, C = C(S,t) — цiна Європейського опцiону купiвлi в момент tза умови, що цiна акцiї дорiвнює S. Довести такi нерiвностi:

а) C(S, t) ≤ S;б) C(S, t) ≥ S − Ke−r(T−t);в) якщо два опцiони купiвлi у всьому однаковi, але мають страйковi

цiни K1 i K2, то 0 ≤ C(S, t;K1) −C(S, t;K2) ≤ K2 − K1;г) якщо два опцiони купiвлi у всьому однаковi, але мають дати вико-

нання T1 < T2, то C(S, t;T1) ≤ C(S, t;T2).2.11.2. Показати, що функцiї C(S, t) = AS, C(S, t) = Aert, де A –

довiльна стала, є розв’язками рiвняння Блека – Шоулса.

223

2.11.3. Визначити самостiйно розв’язок рiвняння Блека – Шоулса задопомогою таких крокiв.

1. Зробити замiну S = Kex, t = T − 2τ/σ2, C = Kv(x,τ) i звестирiвняння Блека – Шоулса до вигляду

∂v

∂τ=

∂2v

∂x2 + (k − 1)∂v

∂x− kv,

де k = 2r/σ2. Нова гранична умова v(x,0) = (ex − 1)+.2. Покласти v(x,τ) = eαx+βτu(x,τ) з невизначеними коефiцiєнтами α

i β. Одержати рiвняння для v, покласти в ньому β = α2 + (k − 1)α − k,2α + (k − 1) = 0 i звести рiвняння для u до вигляду ∂u/∂τ = ∂2u/∂x2,x ∈ R, τ > 0 (дифузiйне рiвняння), причому

u(x,0) = u0(x) = maxe(k+1)x/2 − e(k−1)x/2, 0

,

v(x,τ) = exp−(k − 1)x/2 − (k + 1)2/4τ

u(x,τ).

Показати, що функцiя

u(x,τ) =1

2√πτ

wR

u0(s)e−(x−s)2

4τ ds

є єдиним розв’язком дифузiйного рiвняння (задачi Кошi) з початковоюумовою u(x, 0) = u0(x).

3. Оберненою замiною одержати формулу Блека – Шоулса.2.11.4. Портфель iнвестора, який складається з одного опцiону ку-

пiвлi й (−∆) акцiй, має вартiсть Π = C−∆·S, де C – виплата за опцiоном.Нехай цiна акцiї сьогоднi 100 грн, а завтра вона дорiвнюватиме 101 грнз iмовiрнiстю p або 99 грн з iмовiрнiстю 1 − p. Страйкова цiна дорiвнює100 грн.

1. За допомогою наведеної вище формули для портфеля визначити C.Вважати, що r = 0.

2. Зробити те саме для опцiону все-або-нiчого, що має виплату H(S−− K), де H(x) = 1x ≥ 0 – функцiя Хевiсайда.

2.11.5. Визначити розв’язок крайової задачi ∂u/∂t = ∂2u/∂x2, x ∈ R,t > 0, з початковою умовою u(x,0) = H(x), де H(x) = 1x ≥ 0 —функцiя Хевiсайда.

2.11.6. Нехай u(x,τ) задовольняє рiвняння ∂u/∂τ = ∂2u/∂x2, x > 0,τ > 0, з крайовими умовами u(x,0) = u0(x), x > 0, u(0,τ) = 0, τ > 0.Визначити нову функцiю v(x,τ) вiддзеркаленням вздовж осi x = 0 так,щоб v(x,τ) = u(x,τ), x > 0, v(x,τ) = −u(−x,τ), x < 0, v(x,τ) = 0, x = 0.Використовуючи формулу iз пункту 2 задачi 2.11.3, показати, що

u(x,τ) =1

2√πτ

w ∞

0u0(s)

(e−

(x−s)2

4τ − e−(x+s)2

4τ

)ds.

Функцiя в дужках — функцiя Грiна для початкової крайової задачi.Розв’язок u(x,τ) використовується в теорiї бар’єрних опцiонiв.

224

2.11.7. 1. Використовуючи задачу 2.11.3, пiдiбрати замiну змiнних iзвести рiвняння

∂u

∂τ=

∂2u

∂x2 + a∂u

∂x+ bu, a, b ∈ R

до дифузiйного.2. Зробити замiну часу i звести рiвняння

c(τ)∂u

∂τ=

∂2u

∂x2 , c(τ) > 0, τ > 0

до дифузiйного.3. Припустимо, що σ2(t) i r(t) у рiвняннi Блека – Шоулса є функцiями

вiд t, але r(t)/σ2(t) не залежить вiд t. Записати формулу Блека – Шоулсадля цього випадку.

2.11.8. Припустимо, що в рiвняннi Блека – Шоулса r(t) i σ2(t) —вiдомi невипадковi функцiї вiд t. Показати, що наступнi дiї зводять рiв-няння Блека – Шоулса до дифузiйного.

1. Покласти S = Kex, C = Kv, t = T − t′ i одержати рiвняння∂v

∂t′=

12σ2(t′)

∂2v

∂x2 +[r(t′) − 1

2σ2(t′)

]∂v∂x

− r(t′)v.

2. Зробити замiну часу τ(t′) =r t′

012σ

2(s)ds i одержати рiвняння

∂v

∂τ=

∂2v

∂x2+ a(τ)

∂v

∂x− b(τ)v,

де a(τ) = 2r/σ2 − 1, b(τ) = 2r/σ2.3. Показати, що загальний розв’язок диференцiального рiвняння з

частинними похiдними першого порядку, яке має вигляд∂v

∂τ= a(τ)

∂v

∂x− b(τ)v,

дорiвнює v(x,τ) = F(x + A(τ))e−B(τ), де dA/dτ = a(τ), dB/dτ = b(τ),F(·) — довiльна функцiя.

4. Довести, що розв’язок одержаного в пунктi 2 рiвняння з частинни-ми похiдними другого порядку має вигляд

v(x,τ) = e−B(τ)V (x,τ),де x = x + A(τ), A(τ) — з пункту 3; B(τ)– деяка функцiя вiд τ, а V —розв’язок дифузiйного рiвняння ∂V/dτ = ∂2V/∂x2.

5. Перетворити початковi данi вiдповiдно до замiн змiнних.2.11.9. Нехай C(S, t) i P(S, t) — цiни в момент t Європейських опцiо-

нiв купiвлi та продажу з тiєю самою страйковою цiною й датою вико-нання.

1. Довести, що P i C − P задовольняють рiвняння Блека – Шоулса,причому для C −P особливо проста гранична умова: C(S,T )−P(S,T ) == S − K.

225

2. Вивести iз спiввiдношення пут-колл паритету, що S − Ke−r(T−t)

також є розв’язком рiвняння Блека – Шоулса з тiєю самою граничноюумовою.

2.11.10. Використайте точний розв’язок дифузiйного рiвняння, щобвизначити цiну Блека – Шоулса P(S, t) опцiону продажу з P(S,T ) == (K − S)+, без використання пут-колл паритету.

2.11.11. 1. Показати, що у випадку, коли початкове значення крайо-вої задачi для рiвняння теплопровiдностi додатне, то i u(x,τ) > 0,τ > 0.

2. Вивести звiдси, що для будь-якого опцiону, виплата якого додатна,цiна теж додатна, якщо вона задовольняє рiвняння Блека – Шоулса.

2.11.12. Визначити цiну опцiону з виплатою H(K − S), H – функцiяХевiсайда (опцiон нiчого-або-все).

2.11.13. Європейський опцiон купiвлi типу акцiя-або-нiчого має ви-плату S, якщо в момент T маємо S > K, i нульову виплату, якщо S ≤ K.Визначити його цiну.

2.11.14. Яка ймовiрнiсть того, що Європейський опцiон купiвлi будевиконаний (виконаний у грошах)?

2.11.15. Визначити цiну Європейського опцiону купiвлi на акцiю здивiдендами, якщо дохiд за дивiдендами дорiвнює rD на iнтервалi [0,T ].

2.11.16. Яким буде спiввiдношення пут-колл паритету для опцiонiвна акцiю з дивiдендами?

2.11.17. Визначити дельту опцiону на акцiю з доходом за дивiденда-ми rD.

2.11.18. Визначити справедливу цiну опцiону з виплатою f (S(T )),функцiя f ∈ C1(R).

2.11.19. Визначити ∆, Γ , θ, ρ i V опцiонiв купiвлi та продажу.2.11.20. Нехай в моделi Блека – Шоулса платiжне зобов’язання має

вигляд X = Φ(S(T )), Π(t) — вiдповiдний цiновий процес.1. Доведiть, що вiдносно мартингальної мiри Q процес Π(t) має мит-

тєву норму прибутку r, тобто стохастичний диференцiал Π(t) має вигляд

dΠ(t) = rΠ(t)dt + g(t)dW (t).

2. Покажiть, що Z(t) = Π(t)/B(t) — локальний мартингал вiдносномiри Q. Також доведiть, що стохастичний диференцiал Z вiдносно Q маєвигляд

dZ(t) = Z(t)σZ(t)dW (t).

2.11.21. На ринку Блека – Шоулса компанiя “F&H” випустила цiн-ний папiр “Золотий логарифм” (скорочено ЗЛО). Власник ЗЛО(T ) з тер-мiном дiї T в момент часу T одержує lnS(T ) (якщо S(T ) < 1, то вла-сник сплачує вiдповiдну суму компанiї “F&H”). Визначте цiновий процесдля ЗЛО(T ).

226


2.11.1. I спосiб. Довести, що при виконаннi протилежних нерiвностейможливий арбiтраж.

II спосiб. Безпосередньо скористатися виглядом розв’язку рiвнянняБлека – Шоулса.

2.11.2. Пiдставити вказанi функцiї в рiвняння Блека–Шоулcа.2.11.4. Значення портфеля дорiвнює Π = C − ∆ · S. Якщо акцiя пiд-

вищується, то dS = +1 i C = (101 − 100)+ = 1, а якщо акцiя падає, тоdS = −1 i C = (101−100)+ = 0. Тому змiна вартостi портфеля становитьdΠ = dC −∆ ·dS = 1−C −∆, якщо акцiя пiдвищується, i dΠ = 0−C +∆якщо акцiя падає. Оскiльки r = 0, то dΠ = r dt = 0. Тому ∆ = C = 1/2.

2.11.5. Скористатися формулою пункту 2 задачi 2.11.1.2.11.7. 3. Пiдiбрати замiну часу таким чином, щоб звести рiвняння

до дифузiйного, а потiм скористатися звичайною формулою Блека – Шо-улса, або скористатися задачею 2.11.8.

2.11.12, 2.11.13. Скористатися формулою пункту 2 задачi 2.11.1.2.11.14. Це ймовiрнiсть того, що S ≥ K i розподiл lnS є гауссовим.2.11.16. Розв’язати рiвняння Блека – Шоулса для C − P (з дивiден-

дами), використовуючи крайову умову C(S,T ) − P(S,T ) = S − K.2.11.20. Скористайтеся рiвнянням у частинних похiдних на вiдповiд-

ну цiнову функцiю i тим, що вiдносно мiри Q акцiя S(t) має миттєвунорму прибутку r.

2.11.21. Π(t) = lnS(t) + (r − σ2/2)(T − t).

2.12. ФIНАНСОВI РИНКИ З НЕПЕРЕРВНИМ ЧАСОМ


Нехай час t ∈ T, де T = R+ або T = [0,T ] i задано фiльтрацiюF = Ft, t ∈ T. Розглядається фiнансовий ринок з облiгацiєю B(t) таакцiєю S(t), узгодженими з фiльтрацiєю.

Портфелем називається пара випадкових процесiв ϕ(t) та ψ(t), деϕ(t) — кiлькiсть акцiй; ψ(t) — кiлькiсть облiгацiй. Процес ψ(t) вважає-мо F -узгодженим, процес ϕ(t) — F -передбачуваним, тобто ϕ(t) узгодже-ний з iнформацiєю, що надiйшла строго до моменту t (точне означенняпередбачуваного процесу мiститься, наприклад, у [11], усi неперервнiабо неперервнi злiва процеси є передбачуваними).

Капiтал iнвестора, що вiдповiдає такому портфелю, дорiвнює V (t) == ϕ(t)S(t) + ψ(t)B(t). Портфель (ϕ(t),ψ(t)) називається самофiнансова-

227

ним, якщо dV (t) = ϕ(t) dS(t) + ψ(t) dB(t) (тобто змiна портфеля вiдбу-вається лише за рахунок змiни цiни акцiї та облiгацiї, без зовнiшньогонадходження або вiдрахування капiталу).

Нехай T = [0,T ], X — FT -вимiрна випадкова величина (платiжнезобов’язання). Самофiнансований портфель називається породжуваль-ним для X, якщо V (T) = ϕ(T )S(T ) + ψ(T )B(T ) = X. Iмовiрнiсна мiраP∗ ∼ P називається мартингальною, якщо дисконтований цiновий про-цес B−1(t)S(t) є P∗-мартингалом. Iснування мiри P∗ еквiвалентне безар-бiтражностi ринку, її єдинiсть еквiвалентна його повнотi. Повнота ринкуозначає, що кожне FT -вимiрне iнтегровне платiжне зобов’язання X єдосяжним, тобто для нього iснує породжувальний портфель.

Задачi

2.12.1. Згiдно з моделлю Башельє, цiна акцiї змiнюється за закономS(t) = σW (t) + µt, σ 6= 0, µ ∈ R — сталi, W (t) — вiнерiвський процес.Довести, що для всiх T > 0, σ 6= 0, µ ∈ R iмовiрнiсть того, що цiна акцiїS(T ) вiд’ємна, є додатною (це є незручнiстю у використаннi вказаноїмоделi).

2.12.2. Цiна акцiї задовольняє стохастичне диференцiальне рiвнянняdS(t) = S(t) [σ(t)dW (t) + µ(t)dt] , S(0) = 1,

де σ(t), µ(t) – обмеженi неперервнi невипадковi функцiї. Визначитирозв’язок цього лiнiйного рiвняння й довести, що така цiна акцiї є не-вiд’ємною.

2.12.3. Нехай S(t) – цiна акцiї iз задачi 2.12.1, B(t) = exprt (цiнаакцiї, процес з нульовою волатильнiстю). Довести, що

d (B(t)S(t)) = B(t)dS(t) + S(t)dB(t).2.12.4. Нехай S(t) = W (t) (вiнерiвський процес), B(t) = 1 для всiх t.1. Описати самофiнансованi портфелi.2. Чи є портфелi: а) ϕ(t) = ψ(t) = 1; б) ϕ(t) = 2W (t), ψ(t) = −t −

W 2(t) самофiнансованими?2.12.5. Розглянемо дисконтований капiтал E(t) = ϕ(t)Z(t) +ψ(t), де

Z(t) = B−1(t)S(t). Довести, що портфель (ϕ,ψ) самофiнансований тодi йлише тодi, коли dE(t) = ϕ(t)dZ(t).

2.12.6. Нехай випадковий процес X(t) — номiнальний прибуток,dX(t) = X(t) [αdt + σ dW (t)] ,

випадковий процес Y (t) описує iнфляцiю, dY (t) = Y (t) [γdt + δdV (t)],де V (t) — незалежний вiд W (t) вiнерiвський процес. Вивести стохастич-не диференцiальне рiвняння для реального прибутку Z(t) = X(t)/Y (t).

2.12.7. Нехай на ринку фiгурує акцiя S(t) = S(0) expσW (t) + µt таоблiгацiя B(t) = exprt. Довести: ринок безарбiтражний, i для кожного

228

невiд’ємного iнтегровного FT -вимiрного зобов’язання X iснує породжу-вальний портфель (ϕ(t),ψ(t)), а справедлива цiна X дорiвнює

π(X)(t) = B(t) EP∗

[B−1(T )X|Ft

]= e−r(T−t)EP∗[X|Ft] ,

де P∗ – еквiвалентна мартингальна мiра, вiдносно якої дисконтованийпроцес B−1(t)S(t) є мартингалом. Ця модель ринку називається моделлюБлека – Шоулса.

2.12.8. Застосуйте задачу 2.12.7 для доведення формули Блека –Шоулса (див. роздiл 24).

2.12.9. В умовах задачi 2.12.6 вивести стохастичне диференцiальнерiвняння для процесу U(t) = X(t)Y (t). Якщо X(t) описує динамiку цiниакцiї в гривнях, а Y (t) — курс долара до гривнi, то U(t) описує цiнуакцiї в доларах.

2.12.10. У межах моделi Блека – Шоулса розглянемо Європейськеплатiжне зобов’язання вигляду

H =

K, якщо S(T ) ≤ A,

K + A− S(T), якщо A < S(T ) < K + A,

K, якщо S(T ) > K + A.

Дата виконання H дорiвнює T . Визначити портфель, що складаєтьсяз облiгацiй, акцiй та Європейського опцiону купiвлi, постiйний у часi,який породжує H . Визначити справедливу цiну H .

2.12.11. В умовах задачi 2.12.10 розглянемо спред бика (див. зада-чу 2.2.6)

H =

B, якщо S(T) ≤ B,

S(T ), якщо A ≤ S(T ) ≤ B,

A, якщо S(T) < A,

причому A < B. Визначити постiйний у часi породжувальний портфель iсправедливу цiну H .


2.12.1. Використати те, що випадкова величина S(T ) — гауссова прикожному T > 0.

2.12.2. Розглянути процес

S(t) = 1 +w t

0σ(s)dW (s) +

w t

0

[µ(s) − 1

2σ2(s)

]ds

i за формулою Iто довести, що вiн є шуканим.2.12.3. Скористатися формулою Iто для добутку двох процесiв.

229

2.12.4, 2.12.5. Безпосередньо перевiрити означення самофiнансова-ностi.

2.12.6. dZ(t) = Z(t)[(α− γ+ δ2)dt + σ dW (t) − δdV (t)

].

2.12.7. За допомогою формули Iто побудувати мартингальну мiруP∗. Покласти E(t) = EP∗

[B−1(T )X|Ft

], довести, що iснує передбачу-

ваний процес ϕ(t) такий, що dE(t) = ϕ(t)dS(t), i покласти ψ(t) == E(t) − ϕ(t)S(t). Для доведення iснування ϕ використати теорему прозображення мартингалiв (див., наприклад, [5]).

2.12.9. dU(t) = U (t) [(α+ γ)dt + σ dW (t) + δdV (t)] .2.12.10. Запишемо H у виглядi H = K·1−[S(T )−A]++[S(T )−A−K]+.

Тому портфель складається з K облiгацiй вартiстю 1, короткої позицiї заопцiоном [S(T ) − A]+ (тобто цей опцiон треба продати) i довгої позицiїза опцiоном [S(T ) − A − K]+ (тобто цей опцiон треба купити). Звiдсисправедлива цiна H у момент t дорiвнює

π(H) = Ke−r(T−t) − π([S(T ) − A]+

)+ π

([S(T ) − A− K]+

),

де справедливi цiни вказаних опцiонiв визначаються формулою Блека –Шоулса.

2.13. ФУНКЦIЯ КОРИСНОСТI У ФIНАНСОВИХ ЗАДАЧАХ


Функцiя корисностi u(x) : R+ → R вибирається так, щоб u′(x) ≥0, u′′(x) ≤ 0. Часто використовують логарифмiчну функцiю корисно-стi u(x) = ln x, x > 0, або показникову u(x) = 1 − e−bx, b > 0. Якщоодна iнвестицiя дасть випадковий прибуток X, а iнша — Y , i при цьомуE[u(X)] > E[u(Y )], то iнвестор має вибрати першу iнвестицiю.

Проблема вибору портфеля полягає в такому: нехай додатну суму wтреба iнвестувати в n цiнних паперiв. Якщо в i-й цiнний папiр iнвесту-ється в момент t = 0 сума a, то в момент t = 1 вiдповiдний капiталдорiвнює aXi, де Xi — невiд’ємна випадкова величина (тобто вважаємо,що вартiсть i-го цiнного паперу в час t = 0 дорiвнює одиницi, у час t = 1становить Xi). Для оцiнки прибутковостi iнвестицiї в цей цiнний папiрвикористовують розмiр вiдносного прибутку Ri таку, що

a =aXi

1 + Ri⇔ Ri = Xi − 1.

Нехай iнвестицiя в i-й цiнний папiр дорiвнює wi, тодi капiтал у мо-мент t = 1 дорiвнює W =

∑ni=1 wiXi. Вектор (w1, . . . ,wn) називають

портфелем. Проблема вибору оптимального портфеля формулюється так:

230

вибрати w1, . . . ,wn так, щоб

wi ≥ 0, i = 1, . . . ,n, W =n∑

i=1

wiXi, E[u(W ) ] → max ,

де u(x) — функцiя корисностi iнвестора (нерiвностi wi ≥ 0 iнколи замi-нюють на умову wi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n).

У задачах цього параграфа використовуються такi позначення:w — розмiр капiталу iнвестора в момент t = 0 (стартовий капiтал);W — розмiр капiталу iнвестора в момент t = 1.Коли вартiсть цiнного паперу не обов’язково є одиницею в нульовий

момент часу, застосовуватимуться такi позначення:Si(t) — вартiсть i-го цiнного паперу (активу) в момент t, 1 ≤ i ≤ n;B(t) — вартiсть банкiвської облiгацiї в час t, B(0) = 1, r = B(1) − 1;ξi ∈ R — кiлькiсть i-го цiнного паперу в портфелi iнвестора, 1 ≤ i ≤ n;ξ0 ∈ R — кiлькiсть банкiвських облiгацiй у портфелi iнвестора;S∗

i (t) = Si(t)/B(t) — дисконтована цiна i-го цiнного паперу;∆S∗

i (1) = S∗i (1) − S∗

i (0) — прирiст дисконтованої цiни i-го активу;M — кiлькiсть можливих значень вартостi цiнних паперiв у час t = 1.

Задачi

2.13.1. Нехай функцiя корисностi дорiвнює u(x) = ln x, x > 0. Iн-вестор з капiталом x може iнвестувати будь-яку суму y ∈ [0, x). Якщоiнвестовано суму y, то ця сума виграється або програється з iмовiрно-стями p i 1 − p вiдповiдно.

1. Яка сума iнвестицiї максимiзує очiкувану кориснiсть при p > 1/2?2. Показати, що при p ≤ 1/2 оптимальна iнвестицiя є нульовою.2.13.2. Нехай в умовах задачi 2.13.1 iнвестор може покласти в банк

з вiдсотковою ставкою r ∈ [0, 2) те, що не iнвестовано. З того, що iнвес-товане, повертається 3y або 0 з iмовiрностями p та 1 − p вiдповiдно.Визначити оптимальну iнвестицiю.

2.13.3. Нехай u(x) = 1 − e−bx, b > 0, wi — iнвестицiя в i-й цiннийпапiр, Xi — невiд’ємнi випадковi величини, W =

∑ni=1 wiXi — нормально

розподiлена величина.1. Виразити E[u(W )] через E[W ] та D[W ].2. Розглянемо вiдносний прибуток Ri = Xi − 1. Виразити E[W ] та

D[W ] через wi, ri = E[Ri], v2i = D[Ri] та c(i, j) = cov(Ri, Rj).

2.13.4. Нехай в умовах задачi 2.13.3 iнвестор має суму в 100 грн,n = 2, r1 = 0,15, r2 = 0,18, v1 = 0,2, v2 = 0,25, c(1, 2) = ρv1v2, u(x) == 1 − e−0,005x.

1. Нехай ρ = −0,4. Визначити оптимальний портфель.2. Нехай ρ = 0. Визначити оптимальний портфель.

231

2.13.5. Нехай в умовах задачi 2.13.3 n = 2, r1 = r2.1. Використовуючи пункт 1 задачi 2.13.3, показати, що оптимальний

портфель мiнiмiзує D[W ].2. Нехай w — початковий капiтал, його частина iнвестується в пер-

ший цiнний папiр. Виразити D[W ] через α, w, v1, v2, c = c(1, 2).3. Обчислити значення α, яке дає оптимальний портфель.4. Визначити α, якщо R1 i R2 незалежнi.5. Нехай v1 = 0,2, v2 = 0,4, ρ = 0,3. Обчислити α.6. Довести, що у випадку довiльного n > 1, r1 = r2 . . . = rn, незалеж-

них у сукупностi Ri, 1 ≤ i ≤ n, буде

αi =1/v2

i∑nj=1 1/v2

j

,

де vi = αiw.2.13.6. Розглянемо припущення: u ∈ C2(D(u)), u(x) i u′′(x) не спада-

ють по x на D(u), u(x) опукла вгору (D(u) позначає область визначенняфункцiї u).

1. Перевiрити виконання цього припущення для u(x) = xa, a ∈ (0,1);u(x) = 1 − e−bx, b > 0; u(x) = ln x, x > 0.

2. За формулою Тейлора визначити наближений вираз для u(W ):

u(W ) ≈ u(µ) + u′(µ)(W − µ) +12u′′(µ)(W − µ)2, де µ = E[W ].

3. Довести наближену рiвнiсть

E[u(W )] ≈ u(µ) + u′′(µ)v2

2, де v2 = D[W ].

4. Перевiрити, що при виконаннi припущення задачi наближений ви-раз, який треба максимiзувати, успадковує звичайнi властивостi очiку-ваної корисностi E[u(W )], а саме, зростає за E[W ] i спадає за D[W ].

2.13.7. Нехай u(x) = xa, 0 < a < 1, або u(x) = ln x, x > 0. До-вести, що iснує вектор

(α∗

1 , . . . , α∗n

), α∗

i ≥ 0,∑n

i=1 α∗n = 1, такий, що

оптимальний портфель для будь-якого w > 0 має вигляд wα∗1 , . . . , wα∗

n

(тобто α∗i не залежать вiд w).

2.13.8. Нехай u(x) = xa, 0 < a < 1, x > 0. Довести попереднє тверд-ження для наближеного виразу u(µ) + u′′(µ)v2/2, де µ = E[W ].

2.13.9. Нехай функцiя корисностi u(x) двiчi неперервно диференцi-йовна на областi визначення. Абсолютним коефiцiєнтом несхильностi доризику Арроу–Пратта називається функцiя a(x) = −u′′(x)/u′(x). Пiдра-хувати a(x) для u(x) = xc, 0 < c < 1; u(x) = 1 − e−bx, b > 0; u(x) == ln x, x > 0.

2.13.10. Нехай розв’язується задача оптимiзацiї портфеля в такiй по-становцi: w ≥ 0 — капiтал у момент t = 0, ~ξ = (ξ0, ξ1, . . . , ξn) ∈ R

n+1 —портфель, W =

∑ni=1 ξiSi(1) + ξ0B(1). Треба максимiзувати E[u(W )] за

232

умови, що стартовий капiтал дорiвнює w. Функцiю u припускаємо ди-ференцiйовною, строго опуклою вгору й строго зростаючою на областiвизначення.

1. Показати, що задача оптимiзацiї еквiвалентна такiй: максимiзувати

E[u(B(1)

w +

n∑

i=1

ξi∆S∗i (1)

)].

2. Використовуючи попереднiй пункт, довести таке твердження: якщорозв’язок проблеми оптимiзацiї iснує, то вiдсутнiй арбiтраж, отже, iснуємiра, нейтральна до ризику.

3. Довести, що коли (~ξ, w) — розв’язок задачi оптимiзацiї, то маємiсце така система з n рiвнянь:

E[B(1)u′(W )∆S∗

i (1)]= 0, i = 1, . . . , n.

4. Iмовiрнiсна мiра P∗, нейтральна до ризику, має задовольняти спiв-вiдношення

0 = EP∗ [∆S∗i (1)] =

∑

ω∈Ω

P∗(ω)∆S∗i (1)(ω), i = 1, . . . , n.

Перевiрити, чи можна покласти

P∗(ω) =P(ω)B(1)(ω)u′(W (ω))

E [B(1)u′(W )], ω ∈ Ω.

5. Нехай B(1)(ω) = 1 + r — невипадкове число. Довести, що прицьому цiнова щiльнiсть

L(ω) :=P∗(ω)P(ω)

=u′(W (ω))E[u′(W )]

.

2.13.11. Нехай n = 1, M = 2, S1(0) = 5, S1(1,ω1) = 20/3, S1(1,ω2) == 40/9. Розв’язати задачу оптимiзацiї портфеля у випадку r = 1/9 iдовiльних значень w ≥ 0 та P(ω1) = p, якщо функцiя корисностi до-рiвнює:

а) u(x) = ln x;б) u(x) = −e−x;в) u(x) = a−1xa, −∞ < a < 1, a 6= 0.2.13.12. Нехай n = 2, M = 3, r = 1/9, дисконтованi цiни акцiй

дорiвнюють

iii S∗i (0)S∗i (0)S∗i (0)

S∗i (1)S∗i (1)S∗i (1)


1 6 6 8 42 10 13 9 8

1. Довести, що iснує єдина ймовiрнiсна мiра, нейтральна до ризику.Визначити її.

233

2. Записати систему рiвнянь з пункту 3 задачi 2.13.10 для u(x) == −e−x. Чи легко розв’язати цю систему, тобто визначити ξ1 та ξ2:а) для мiри P∗; б) для довiльної мiри P?

2.13.13. Нехай модель ринку є безарбiтражною та повною.1. Значення капiталу W , якi є розв’язками задачi оптимiзацiї портфе-

ля, є елементами множиниW(w) = W ∈ R : EP∗ [W /B(1)] = w .

Перевiрити це.2. Перевiрити, що задача 2.13.10 оптимiзацiї портфеля еквiвалентна

такiй задачi: максимiзувати E[u(W )] − λEP∗

[W/B(1)

], де множник Ла-

гранжа λ вибирається так, щоб розв’язок задачi максимiзацiї задоволь-няв рiвнiсть EP∗

[W/B(1)

]= w.

3. Показати, що в термiнах цiнової щiльностi L(ω) := P∗(ω)/P(ω)цiльову функцiю E[u(W )] − λEP∗

[W /B(1)

]можна подати у виглядi

E [u (W ) − λLW /B(1)] =∑

ω

P(ω) [u (W (ω))− λL(ω)W (ω)/B(1,ω)] .

2.13.14. 1. Якщо W максимiзує останнiй вираз iз задачi 2.13.13, тодля кожного ω ∈ Ω u′ (W (ω)) = λL(ω)/B(1)(ω). Довести це.

2. Подати розв’язок одержаного рiвняння у виглядiW (ω) = I (λL(ω)/B(1,ω)) ,

де I — обернена функцiя до u′(x). Довести, що значення λ в попереднiйрiвностi визначається з рiвняння EP∗ [I (λL/B(1)) /B(1)] = w. Зауважимо,що u′(x) спадає; у припущеннi D(u) ⊃ (0, + ∞) довести iснування таєдинiсть розв’язку останнього рiвняння.

2.13.15. Нехай u(x) = −e−x.1. Визначити I (x).2. Знайти розв’язок рiвняння максимiзацiї (пункт 2 задачi 2.13.14).3. Виразити λ через B(1), P∗, w та L.4. Визначити оптимальне значення цiльової функцiї E[u(W )] (див.

задачу 2.13.10).2.13.16. Нехай M = 3, P(ω1) = 1/2, P(ω2) = P(ω3) = 1/4, iншi данi

взято iз задачi 2.13.12, u(x) = −e−x.1. Визначити цiнову щiльнiсть L(ωi).2. Обчислити EP∗ [ln (L/B(1))], оптимальнi значення λ, W i цiльової

функцiї E[u(W )] (тобто виразити їх через w).3. Визначити оптимальну стратегiю ~ξ = (ξ1, ξ2) шляхом розв’язу-

вання системи рiвнянь W /B(1) = w + G∗. Визначити ξ0. Перевiрити, чистратегiя задовольняє систему рiвнянь з пункту 3 задачi 2.13.10.

2.13.17. Нехай u(x) = ln x, x > 0. Показати, що I (x) = 1/x, множникЛагранжа λ = 1/w, оптимальний капiтал W = wB(1)/L, оптимальнезначення цiльової функцiї дорiвнює lnw − E [ln (L/B(1))]. Обчислити цi

234

вирази (записати їх через w) i визначити оптимальну стратегiю для ви-падку n = 1, M = 2, r = 1/9, S(0) = 5, S(1)(ω1) = 20/3, S(1)(ω2) = 40/9,P(ω1) = 3/5.

2.13.18. Нехай u(x) = a−1xa, − ∞ < a < 1, a 6= 0 (iзоеластичнафункцiя корисностi).

1. Показати, що I (x) = x−1/(1−a), множник Лагранжа

λ = w−(1−a)E[(

L/B(1))− a

1−a

]1−a

,

оптимальне значення капiталу

W =w (L/B(1))−

11−a

E[(

L/B(1))− a

1−a

] .

2. Перевiрити, що оптимальне значення цiльової функцiї дорiвнюєE[u(W )] = λw/a.

3. Обчислити всi попереднi значення (через w) та визначити опти-мальну стратегiю для моделi iз задачi 2.13.17.


2.13.1. 1. Нехай iнвестицiя дорiвнює αx, 0 ≤ α < 1, тодi E [u(X)] == ln x + p ln(1 + α) + (1 − p) ln(1 − α). Ця функцiя вiд α досягає свогомаксимуму на [0, 1) при α = 2p − 1.

2. Для p ≤ 1/2 функцiя ln x + p ln(1+α) + (1− p) ln(1−α) спадає приα ∈ [0, 1).

2.13.2. Нехай iнвестицiя дорiвнює αx, 0 ≤ α < 1, тодi

E [u(X)] = p ln [(1 + r)(1− α)x + 3αx] + (1 − p) ln [(1 + r)(1− α)x] =

= ln x + p ln(1 + r + 2α− αr) + (1 − p) ln(1 + r) + (1 − p) ln(1 − α).Ця функцiя вiд α досягає свого максимуму на [0, 1) при α = (3p − 1 −− r)/(2− r) (якщо p > (1 + r)/3) або при α = 0 (якщо p ≤ (1 + r)/3).

2.13.3. 1. Прямим пiдрахунком, використовуючи формулу для мате-матичного сподiвання функцiї вiд випадкової величини та щiльнiсть нор-мального розподiлу, визначимо, що

E[u(W )] = 1 − exp−b E[W ] + b2 D[W ]/2

.

2. E[W ] = w +∑n

i=1 wiri, D[W ] =∑n

i=1 w2i v

2i +

∑1≤i,j≤n, i =/ j wiwjc(i, j),

де w =∑n

i=1 wi.2.13.4. Нехай w1 = y, w2 = 100 − y. Використовуючи результати

задачi 2.13.3, одержуємо наступнi результати.1. 118 − 0,03y − 0,005(0,1425y2 − 16,5y + 625)/2 → max ⇔ y =

= 0,01125/0,0007125 ≈ 15,789.

235

2. 118 − 0,03y − 0,005(0,1025y2 − 12,5y + 625)/2 → max ⇔ y == 0,00125/0,0005125 ≈ 2,439.

2.13.5. 1. Значення E[W ] = w+∑2

i=1 wiri = w(1+ r1) не залежить вiдw1, w2. Щоб отримати найбiльше значення

E[u(W )] = − exp− b E[W ] + b2 D[W ]/2

+ 1,

треба мiнiмiзувати D[W ].2. D[W ] = α2w2v2

1 + (1− α)2w2v22 + 2α(1 − α)w2c.

3. α = (v22 − c)/(v2

1 + v22 − 2c).

4. При c = 0 отримуємо α = v22/(v

21 + v2

2) = v−21 /(v−2

1 + v−22 ).

5. α = 17/19 ≈ 0,895.6. Як у пунктi 1, з рiвностi r1 = . . . = rn отримуємо, що треба мiнiмi-

зувати D[W ] = w2 ∑ni=1 α

2i v

2i за умови

∑ni=1 αi = 1. Розглянемо функцiю

Лагранжа

F(α1, . . . ,αn, λ) = w2n∑

i=1

α2i v

2i − λ

n∑

i=1

αi.

З умови ∂F/∂αi = 0 визначимо, що αi = λ/(2w2v2i ), потiм використовує-

мо рiвнiсть∑n

i=1 αi = 1.2.13.6. 2. Випливає безпосередньо з формули Тейлора.3. Використовуємо, що E[W − µ] = 0, E[(W − µ)2] = DW .4. Випливає з того, що u(x) зростає, а u′′(x) < 0.2.13.7. Маємо

E[W a] = waE[( n∑

i=1

αiXi

)a], E[lnW ] = lnw + E

[ln( n∑

i=1

αiXi

)],

тому значення w не впливає на рiвняння для визначення αi, що макси-мiзують E[u(W )].

2.13.8. E[W ] = wA, D[W ] = w2B, де

A = 1 +n∑

i=1

αiri, B = 1 +n∑

i=1

α2i v

2i +

∑

1≤i,j≤n, i =/ j

αiαjc(i, j).

Оскiльки u′′(x) = a(a − 1)xa−2, то маємо

u (E[W ]) + u′′ (E[W ])D[W ]

2= wa

[Aa + a(a − 1)Aa−2B/2

],

i ми максимiзуємо значення, що не залежить вiд w.2.13.9. Для вказаних функцiй корисностi вiдповiдно маємо a(x) =

= (c − 1)/x, a(x) = −b, a(x) = −1/x.2.13.10. 1. Доведення випливає з рiвностi B(1)

[w+

∑ni=1 ξi∆S∗

i (1)]=

= B(1)[ξ0B(0)+

∑ni=1 ξi

Si(0)+∆S∗

i (1)]

= B(1)[ξ0 +

∑ni=1 ξiS

∗i (1)

]= W .

236

2. Нехай для заданого w портфель ~ξ(0) — розв’язок задачi оптимiзацiї,~ξ(1) — портфель, що дає арбiтраж, ~ξ = ~ξ(0) + ~ξ(1). Тодi

w+n∑

i=1

ξi∆S∗i (1) = w+

n∑

i=1

ξ(0)i ∆S∗

i (1)+n∑

i=1

ξ(1)i ∆S∗

i (1) ≥ w+n∑

i=1

ξ(0)i ∆S∗

i (1),

причому з додатною ймовiрнiстю виконуватиметься строга нерiвнiсть.Оскiльки функцiя u неспадна, а ~ξ(0) — розв’язок задачi оптимiзацiї, ма-ємо суперечнiсть.

3. Функцiя, отримана в пунктi 1, повинна мати нульовi частиннi по-хiднi за кожним ξi, 1 ≤ i ≤ n. Урахувати, що капiтал портфеля W == B(1)

[w +

∑ni=1 ξi∆S∗

i (1)].

4. З рiвностi, отриманої в пунктi 3, випливає, що для такої P∗ вико-нується рiвнiсть

∑ω∈Ω P∗(ω)∆S∗

i (1)(ω) = 0. Також P∗(ω) ≥ 0,∑

ω∈Ω

P∗(ω) = 1.

5. Випливає з пункту 4.2.13.11. У кожному пунктi розв’язуємо задачу p u [10(w + ξ1)/9] +

+ (1 − p)u [10(w − ξ1)/9] → max:а) ξ1 = (2p − 1)w;б) ξ1 = 9[ln p − ln(1 − p)]/20;в) ξ1 = (k − 1)w/(k + 1), де k = [p/(1− p)]1/(1−a).2.13.12. 1. P∗(ωi) = 1/3, i = 1, 2, 3.2. Система рiвнянь має вигляд

0 = 2P(ω2) exp −10(w + 2ξ1 − ξ2)/9−−2P(ω3) exp −10(w − 2ξ1 − 2ξ2)/9 ,

0 = 3P(ω2) exp −10(w + 3ξ2)/9 − P(ω2) exp −10(w + 2ξ1 − ξ2)/9−−2P(ω3) exp −10(w − 2ξ1 − 2ξ2)/9 .

Її розв’язання не є простою задачею.2.13.13. 1. Iснує хоча б одна нейтральна до ризику ймовiрнiсна мiра.

Використовуючи умову нейтральностi з пункту 4 задачi 2.13.10, маємо

EP∗[W/B(1)] =∑

ω∈Ω

P∗(ω)

[w +

n∑

i=1

ξi∆S∗i (1)(ω)

]=

= w +n∑

i=1

ξi

∑

ω∈Ω

P∗(ω)∆S∗i (1)(ω) = w +

n∑

i=1

ξiEP∗ [∆S∗i (1)] = w.

З iншого боку, з повноти ринку випливає, що для будь-якої W ∈ W(w)iснує вiдповiдний портфель.

2. Твердження випливає з теорiї умовних екстремумiв.

237

3. При знаходженнi математичного сподiвання вiдносно нової ймовiр-нiсної мiри ми можемо випадкову величину помножити на щiльнiсть iiнтегрувати вiдносно початкової мiри. Тому маємо

E[u(W )] − λEP∗[W/B(1)] = E[u(W )] − λE[LW/B(1)] =

= E [u(W ) − λLW/B(1)] =∑

ω∈Ω

P(ω) [u(W (ω)) − λL(ω)W (ω)/B(1)(ω)] .

2.13.14. 1. В останнiй сумi пункту 3 задачi 2.13.13 визначаємо най-бiльше значення кожного доданка. Для цього при кожному фiксованомуω беремо похiдну по W , вона має дорiвнювати нулю, i так отримує-мо рiвняння задачi. З повноти ринку випливає, що будь-яка випадковавеличина W (ω) може бути значенням капiталу.

2. Використовуємо, що EP∗[W (ω)] = w. Оскiльки u′(x) спадає, тоI (x) спадає i неперервна. Множина значень I включає всi додатнi числа.Звiдси отримуємо iснування та єдинiсть розв’язку.

2.13.15. 1. I (x) = − ln x.2. W = − ln λ− lnL/B(1).3. З пункту 2 задачi 2.13.14 визначаємо, що

λ = exp−w − EP∗ [lnL/B(1)/B(1)]

EP∗ [1/B(1)]

.

4. З пункту 2 задачi 2.13.14 визначаємо, що

W =w + EP∗ [lnL/B(1)/B(1)]

EP∗ [1/B(1)]− lnL/B(1).

Тому u(W ) = −λL/B(1), E[u(W )] = −λE [L/B(1)] = −λEP∗ [1/B(1)].2.13.16. 1. Оскiльки P∗(ωi) = 1/3, i = 1, 2, 3 (див. пункт 1 зада-

чi 2.13.12), L(ω) = P∗(ω)/P(ω), то L(ω1) = 2/3, L(ω2) = L(ω3) = 4/3.2. Оскiльки B(1) = 10/9, то ми маємо

EP∗ [ln (L/B(1))] =13

[ln(2

3· 910

)+ 2 ln

(43· 910

)]≈ −0,04873,

W (ω) = w(1 + r) + EP∗ [lnL/B(1)] − lnL(ω)/B(1) =

=

(10/9)w + 0,46209, ω = ω1,

(10/9)w − 0,23105, ω = ω2, ω3,

λ = exp (10/9)w + 0,04873 ,

E[u(W )] = −λEP∗ [1/B(1)] = −(9/10)λ.3. Маємо систему з трьох рiвнянь0,41590 = 3ξ1, − 0,20795 = 2ξ1 − ξ2, − 0,20795 = −2ξ1 − 2ξ2,

звiдки ξ1 = −0,03466, ξ2 = 0,13863. Далi знаходимо ξ0 = w−6ξ1−10ξ2 == w − 1,17834. У системi рiвнянь з пункту 3 задачi 2.13.10 для i = 1 та

238

i = 2 вiдповiдно маємо правильнi рiвностi:

2 · 14

exp−(10/9)w + 0,23105 − 2 · 14

exp−(10/9)w + 0,23105 = 0,

3 · 12

exp−(10/9)w − 0,46209 − 14

exp−(10/9)w + 0,23105−

−2 · 14

exp−(10/9)w + 0,23105 = 0.

2.13.17. У вказаному випадку маємоL(ω1) = 5/6, L(ω2) = 5/4,

W (ω) =

4w/3, ω = ω1,8w/9, ω = ω2;

E[u(W )] = lnw + 3/5 ln 4/3 + 2/5 ln 8/9 ≈ lnw + 0,1255,

ξ0 = 0, ξ1 = (1/5)w.(Порiвняйте з вiдповiддю пункту 1 задачi 2.13.11.)

2.13.18. 3. L(ω1) = 5/6, L(ω2) = 5/4,

λ = w−(1−a) (10/9)a3(5/6)−a/1−a

/5 + 2(5/4)−a/1−a

/5−(1−a)

,

W (ω) =

10w3(5/6)−

a1−a

/5 + 2(5/4)−

a1−a

/5−1

(5/6)−1

1−a

/9, ω = ω1,

10w3(5/6)−

a1−a

/5 + 2(5/4)−

a1−a

/5−1

(5/4)−1

1−a

/9, ω = ω2,

E[u(W )] = λw/a,

ξ1 = w[

3(5/6)−a

1−a

/5 + 2(5/4)−

a1−a

/5]−1

(5/6)−1

1−a − 1

=

= w2[1 + (2/3)

11−a

]−1 − 1

, ξ0 = w − 5ξ1.

(Порiвняйте з вiдповiддю пункту 3 задачi 2.13.11.)

239

КОРОТКИЙ АНГЛО-УКРАЇНСЬКИЙ СЛОВНИКФIНАНСОВИХ ТА ЕКОНОМIЧНИХ ТЕРМIНIВ

Account — рахунок.Accumulated amount — накопичена сума.Accumulated value = accumulation — накопичене (акумульоване) зна-

чення, накопичення.Аdverse market movement — несприятливi ринковi змiни (несприятли-

вий рух ринку).Annual effective interest rate — рiчна ефективна вiдсоткова ставка.Annual effective rate of return — рiчна ефективна норма прибутку.Annually — щорiчно.Annuity — ануїтет, рента.Annuity due — ануїтет пренумерандо.Annuity contract — контракт на ануїтет.Arbitrage — арбiтраж.Asset — актив.At issue — в момент випуску.At par — за номiналом.At premium — вище номiналу.At the discretion — на розсуд.Bank account — банкiвський рахунок.Bank interest — банкiвський вiдсоток.Below par — нижче вiд номiналу.Benchmark — вiдмiтка рiвня; зразок; величина, що характеризує рi-

вень.Bond — облiгацiя.Borrower — боржник; той, хто взяв грошi в борг.Bulk — основна маса; бiльша частина.Buy — купувати.

240

Call option — опцiон купiвлi.Capital — капiтал.Capital component — капiтальна складова.Capital gain — прибуток капiталу; капiтальний прибуток; прирiст капi-

талу.Capital gains tax = tax on capital gain — податок на прирiст капiталу,

капiтальний податок.Capital outstanding — борг за капiталом.Capital payment — виплата капiталу.Cash flow — потiк готiвки; грошовий потiк.Cash on deposit — депозитний вклад.Cease — припинити виплати; збанкрутувати.Certificate of deposit — депозитний сертифiкат.Clearing house — рахункова плата.Commence — починати; починатися.Continuous payment streams — неперервнi потоки виплат.Continuously; to be paid continuously — неперервно; виплачуватися не-

перервно.Conventional — домовлений; обумовлений; за домовленням.Convertible — конвертований; сплачуваний.Convertibles = convertible assets — конвертованi активи.Convertible half yearly — сплачуваний щопiвроку.Convertible monthly — сплачуваний щомiсяця.Convexity — опуклiсть.Convexity of assets — опуклiсть активiв.Convexity of liabilities — опуклiсть пасивiв.Corporate bond — корпоративна облiгацiя.Counterparty — сторона (договору).Coupon — купон.Coupon payment — виплата за купонами.Credit risk — кредитний ризик.Credit-worthiness — кредитоздатнiсть.Currency — валюта.Currency swap — валютний своп.Customer — покупець; замовник; користувач.Date of redemption — дата погашення (викупу).Debenture — довгострокова облiгацiя акцiонерного товариства.

241

Debenture stock — боргова облiгацiя.Debt repayment — виплата боргу.Default — дефолт; невиконання платiжних зобов’язань.Default risk — ризик дефолту / невиплати.Deferred annuity — ануїтет постнумерандо.Deferred income tax — вiдстрочений прибутковий податок.Delay in payments — затримка виплат.Delivery price — цiна поставки, цiна при доставцi.Deposit account — депозит; депозитний рахунок.Depreciation / Appreciation in the value — зниження / зростання вар-

тостi.Derivative — дериватив (похiдний цiнний папiр).Discounted mean term (DMT) — дисконтований середнiй час.Discounted payback period (DPP) — дисконтований перiод повернення

платежiв.Discount rate — дисконтна ставка.Discounting function — дисконтна функцiя.Discretion — розсуд; погляд.Disinvest — зменшувати капiталовкладення.Dividend — дивiденд.Dividend growth rate — рiвень зростання дивiдендiв.Dividend payment date — дата виплати дивiдендiв.Dividend yield — дохiд за дивiдендами.Domestic currency — валюта даної країни; мiсцева (внутрiшня) валюта.Due, to be due — бути зобов’язаним виплатити задану суму в заданий

час.Duration — тривалiсть.Duration of assets — тривалiсть активiв.Duration of liabilities — тривалiсть пасивiв.Effective — ефективний, фактичний.Effective duration — ефективна тривалiсть.Effective net rate of return — ефективна чиста норма прибутку.Effective rate of interest — ефективна вiдсоткова ставка.Effective rate of return — ефективна норма прибутку.Effective real rate of return — ефективна реальна норма прибутку.Endowment assurance — страхування iз забезпеченням.Equity = Equity share— акцiя; акцiонерний капiтал; звичайна акцiя.

242

Eurobond — єврооблiгацiя.Excessive demand — великий попит.Ex-dividend — без виплати наступного дивiденду.Expectation = mean value = mean — середнє значення;математичне сподiвання.Expectations theory — теорiя середнiх.Expected performance — очiкуване середнє значення (величина).Expected profit — очiкуваний прибуток.Finance company — фiнансова компанiя.Fixed-interest bond — облiгацiя з фiксованим вiдсотком.Fixed-interest security — цiнний папiр з фiксованим вiдсотком.Fixed rate of interest — фiксована ставка вiдсотка.Flat rate of interest — незмiнна вiдсоткова ставка.Float a loan on a stock exchange — розмiщувати позику на фондовiй

бiржi.Floating rate note — облiгацiя з плаваючою ставкою вiдсотка.Force of interest — iнтенсивнiсть вiдсотка.Forward contract — форвардний контракт.Forward price — форвардна цiна.Forward rate of interest — форвардна вiдсоткова ставка.Further outlay — подальшi витрати.Future short-term interest rate — майбутня короткострокова вiдсоткова

ставка.Futures contact — ф’ючерсна угода.Gap — прогалина; пробiл.Geometric average — геометричне середнє.Government bill — урядовий вексель.Government bond — урядова облiгацiя.Government-issued — виданий урядом (цiнний папiр).Gross income/yield — валовий дохiд.Gross redemption yields — дохiд брутто (до сплати податкiв).Guaranteed return — гарантований дохiд.Hedge market risk — застрахуватись вiд ринкового ризику.High/low inflation — висока/ низька iнфляцiя.High volatility of return — висока мiнливiсть (волатильнiсть) доходу.Highest bidder — особа, яка пропонує найвищу цiну.Highly marketable — високоринковi / лiквiднi.

243

Identification and assessment of risk — визначення i оцiнка ризику.Immediate annuity — ануїтет, що сплачується зараз.Immunisation — iмунiзацiя.Immunise — iмунiзувати.In advance — як аванс, у виглядi авансу.In arrear — як заборгованiсть, iз заборгованiстю.In perpetuity — довiчно, пожиттєво, безстроково.Income — прибуток.Income less running costs — прибуток без поточних витрат.Income tax — прибутковий податок, податок на прибуток.Increasing annuity — зростаючий ануїтет.Indexation — iндексацiя.Indexation lag — затримка в процесi iндексацiї (в порiвняннi зi швид-

кiстю iнфляцiї).Index-linked bond — iндексована облiгацiя.Index-linked security — iндексований цiнний папiр.Inferior — гiрший, поганий.Inflation — iнфляцiя.Inflation index — iндекс iнфляцiї.Inflation protection — захист вiд iнфляцiї.Inflation risk — ризик, пов’язаний з iнфляцiєю.Inflationary pressure — iнфляцiйний тиск.Inflow — надходження (грошей, капiталу тощо).Initial deposit — початковий внесок (депозит).Initial outlay — початковi витрати.Instalment — внесок (разова виплата).Insurance company — страхова компанiя.Interest — вiдсоток.Interest component — вiдсоткова складова.Interest-only loan — позика за вiдсотки.Interest payments — виплата вiдсоткiв.Interest rate — вiдсоткова ставка.Interest rate swap — вiдсотковий своп.Internal rate of return (IRR) — внутрiшня норма прибутку.Inter-quartile range — область значень внутрiшнього квартиля, тобто

симетричний iнтервал, куди N(0,1)-величина потрапляє з iмовiрнiс-тю 1/2.

244

Investment — iнвестицiя.Investment bank — iнвестицiйний банк.Investment fund — iнвестицiйний фонд.Investment grant — iнвестицiйна субсидiя.Investor — iнвестор.Issue price — випускна цiна, тобто цiна, за якою видається папiр.Lag — запiзнення.Law of one price — закон однiєї цiни.Lender — той, хто позичає комусь грошi (кредитор).Level annuity — сталий ануїтет.Level monthly instalments in arrears — однаковi щомiсячнi внески (ви-

плати) iз заборгованiстю.Liability — пасив; заборгованiсть; зобов’язання.Linked internal rate of return (LIRR) — зв’язана внутрiшня норма при-

бутку.Liquidity — лiквiднiсть (показник того, як швидко можна продати акти-

ви i одержати грошi).Liquidity performance — значення перетворення лiквiдностi.Liquidity preference — переваги лiквiдностi (теорiя, що пояснює деякi

форми кривої доходiв).Loan — борг; кредит; позика.Lognormal distribution — логнормальний розподiл.Long forward position — позицiя покупця форвардного контракту.Long party — позицiя покупця (акцiї).Low volatility of return — низька мiнливiсть (волатильнiсть) доходу.Lump sum — загальна сума.Management team — група (команда) менеджерiв.Margin — гарантiйний внесок, маржа (у ф’ючерснiй угодi).Market risk — ринковий ризик.Market segmentation — сегментацiя (розподiл на певнi частини) ринку.Marketability — здатнiсть цiнних паперiв швидко i без проблем прода-

ватися i покупатися, лiквiднiсть.Marketable — здатний швидко продаватися i покупатися, лiквiдний.Maturity — дата подання цiнного паперу до виконання.Mean — середнє. Mean accumulation — середнє накопичення.Mean value — середнє значення.Money rate of return — норма грошового доходу.

245

Money weighted rate of return — норма прибутку, зважена грошима.Mortgage — позика пiд заставу, iпотека.Net amount — чиста кiлькiсть (величина).Net cash flow — чистий грошовий потiк.Net income — чистий прибуток.Net present value — чисте сучасне (теперiшнє) значення (величина).Net return — чистий дохiд.Net revenue — чисте надходження.Net yield — чистий дохiд; дохiд нетто (пiсля урахування виплачених

податкiв).No arbitrage — вiдсутнiсть арбiтражу.Nominal amount = Nominal value — номiнальна кiлькiсть (величина).Nominate the price — визначити цiну.Nominal coupon rate — номiнальна ставка виплати за купоном.Nominal rate of interest — номiнальна вiдсоткова ставка.Nominal rate of interest per unit time — номiнальна вiдсоткова ставка

за одиницю часу.Normal distribution — нормальний розподiл.Note — облiгацiя.Obligation — обов’язок, зобов’язання.Offsetting agreement — компенсацiйна угода.Option — опцiон; вибiр (боржника, коли сплатити борг).Ordinary share — звичайна акцiя.Original amount — початкова величина.Outflow — вiдтiк (грошей, капiталу тощо).Outgo — витрати.Outset/from the outset — початок/ спочатку.Outstanding — несплачений, заборгований?Over the ... year period — через ... рокiв.Overnight — на один день (встановлений на одну добу).Owner of a company — власник компанiї.Ownership (rights) — власнiсть; право власностi.Pattern of income and outgo — структура доходу i витрат.Pay in advance — платити вперед, авансом.Payback period — перiод повернення платежiв.Payment — виплата.Payment stream — потiк платежiв (виплат).

246

Pension fund — пенсiйний фонд.Per annum — на рiк.Percentage — вiдсоткова частина.Perpetual annuity — довiчний ануїтет.Perpetuity — довiчна (пожиттєва) безстрокова виплата.Policyholder — власник полiса.Portfolio — портфель.Preference share = preference stock — привiлейована акцiя (з фiнансо-

вим дивiдендом).Present value — сучасна вартiсть.Price — цiна, вартiсть.Prior charge — переважна виплата (за привiлейованою акцiєю).Prior ranking — переважна категорiя.Probability — ймовiрнiсть.Project income — прибуток вiд проекту.Project outgoing — витрати за проектом.Project revenue — надходження вiд проекту.Purchase price — цiна купiвлi.Purchaser — покупець.Purchasing power — купiвельна спроможнiсть.Put option — опцiон продажу.Quarterly — щоквартально.Raise money — зароблять грошi.Rate of discount — дисконтна (облiкова) ставка.Rate of payment of interest income — ставка виплати вiдсоткового до-

ходу.Rate of payment of the cash flow — ставка виплат грошового потоку.Real rate of return — реальна норма прибутку (з урахуванням iнфляцiї).Real terms — реальнi строки.Redeem — викупати; виплачувати борг; вiдшкодовувати.Redemption (pay off) date — дата виплати (остаточної).Redemption payment — остаточна виплата; викуп.Reduce — зводити, зменшувати.Reinvest — реiнвестувати (повторно iнвестувати).Rent — рента, оренда.Residual profit — залишок вiд доходу; залишковий дохiд.Return — дохiд.

247

Revenue — надходження.Risk characteristic — ризикова характеристика (характеристика цiнного

паперу з точки зору його ризиковостi).Risk-free — безризиковий.Risk-free rate of interest — безризикова ставка вiдсотка.Risky — ризиковий.Rough plot — приблизний графiк (без використання спецiального папе-

ру).Running costs — поточнi витрати.Schedule of repayment — розклад боргу на вiдсоткову i капiтальну ви-

плати.Secure — захищений, надiйний, безпечний (з точки зору фiнансового

ризику).Sell — продавати.Settlement price — розрахункова цiна.Shape — форма, вигляд (кривої, графiка).Share — акцiя (у розумiннi одна акцiя, а не цiнний папiр взагалi).Shareholder/stockholder — власник акцiї.Short forward position — позицiя продавця форвардного контракту.Short party — позицiя продавця (акцiї).Short-dated securities — короткостроковi цiннi папери.Short-term — короткостроковий.Short-term spending — короткостроковi витрати.Simple/compound interest — простий/ складний вiдсоток.Simple rate of discount — проста дисконтна (облiкова) ставка.Single premium — єдина виплата (як правило, у виглядi страхової пре-

мiї).Small changes in the rate of interest — невеликi змiни вiдсоткової

ставки.Split — розщеплення; розподiл (боргу на певнi частини).Spot rate — спот-ставка; спотова ставка.Spot rate of interest — спотова вiдсоткова ставка.Spot risk-free interest rate — спотова безризикова вiдсоткова ставка.Spread — розкид; розсiяння.Standard deviation — стандартне вiдхилення (корiнь iз дисперсiї).Stock exchange — бiржа.Swap = swap contract — своп-контракт; контракт типу своп.

248

Tax — податок.Taxation grant — податкова пiльга.Tax on interest income = income tax — прибутковий податок.Tax-exempt = tax-free — вiльний вiд сплати податкiв.Term assurance — тимчасове страхування.Term to maturity — строк до виконання.Term to redemption — строк до виплат.Time lag — затримка в часi.Time weighted rate of return — норма прибутку, зважена часом.Total amount if interest — сумарна величина вiдсотка.Trade — торгiвля, торгувати.Trading profit — прибуток вiд торгiвлi, продажу.Treasury bill — казначейський вексель.Unit sum of money — одинична сума грошей, грошова одиниця.Unsecured loan stock — незабезпечена облiгацiя.Value of fund — значення (величина) доходу.Variance — дисперсiя.Venture — ризиковане починання; спекуляцiя.Viable project — життєздатний (прибутковий) проект.Volatility — волатильнiсть (мiнливiсть).Voting right — право голосу.Weighted average — зважене середнє.Winding up — лiквiдацiя (компанiї) при банкрутствi.Withdraw the capital — вилучити капiтал.Yield curve — крива доходу.Yield on the transaction — дохiд вiд операцiї.Yield to maturity — дохiд при виконаннi; норма прибутку при погашеннi

облiгацiї; iнодi внутрiшня норма прибутку.Zero-coupon bond — безкупонна облiгацiя (з нульовим купоном).

249

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛIТЕРАТУРИ

1. Бойков А. В. Страхование и актуарные расчеты. — М.: РОХОС, 2004.

2. Буренин А. Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. — М.: Три-вола, 1995.

3. Галиц Л. Финансовая инженерия. Инструменты и способы управления фи-нансовым рынком. — М.: ТВП, Научное издательство, 1998.

4. Голубин А. Ю. Математические модели в теории страхования: Построениеи оптимизация. — М.: АНКИЛ, 2003.

5. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов.Часть I. Дискретное время, Часть II. Непрерывное время/ А. Н. Ширяев,Ю. М. Кабанов, Д. О. Крамков, А. В. Мельников// Теория вероятностейи её применения.— 1994. — Т. 39. — 1. — С. 21–79, 80–129.

6. Мельников А. В. Финансовые рынки, Стохастический анализ и расчетпроизводных ценных бумаг. — М.: ТВП, Научное издательство, 1997.

7. Мельников А. В., Волков С. Н., Нечаев М. Л. Математика финансовыхобязательств. — М.: ГУ ВШЭ, 2001.

8. Теоретико-ймовiрнiснi та статистичнi методи в економетрицi та фiнан-совiй математицi/ M. M. Леоненко, Ю. С. Мiшура, В. М. Пархоменко,М. Й. Ядренко — К.: Iнформтехнiка, 1995.

9. Фалин Г. И., Фалин А. И. Теория риска для актуариев в задачах. — М.:Мир, 2004.

10. Черваньов Д. М., Комашко О. В. Економетрика. Курс лекцiй. — К.: РВЦКIЕМБСС, 1998.

11. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. — М.: Фа-зис, 1998. — Т. 1, 2.

12. Anthony M., Biggs N. Mathematics for economics and finance. Methods andmodelling. — Cambridge: Press Syndicate of the University of Cambridge,1996.

13. Baxter M., Rennie A. Financial calculus: An introduction to derivative pri-cing. — Cambridge: Cambridge University Press, 1996.

14. Campbell J. Y. Lo, A. W., MacKinlay A. C. The econometrics of financialmarkets. — Princeton: Princetion University Press, 1993.

250

15. Chen L. Interest Rate Dynamics (Lecture Notes in Economics and Mathemati-cal Systems, 435). — New York: Springer, 1996.

16. Daykin C. D. Practical Risk Theory for Actuaries. — London: Chapman &Hall, 1996.

17. Duffie D. Dynamic asset pricing theory. — Princeton: Princeton UniversityPress, 1996.

18. Elliott R., Kopp P. E. Mathematics of financial markets. — New York: Spri-nger Finance, 1998.

19. Follmer H., Schied A. Stochastic finance. An introduction in discrete time. —Berlin: de Gruyter, 2002.

20. Gerber H. U. Life Insurance Mathematics. — Berlin: Springer-Verlag, 1997.

21. Karatzas I., Shreve S. E. Methods of mathematical finance. — Berlin:Springer-Verlag, 1998.

22. Kwok Y. K. Mathematical Models of Financial Derivatives. — New York:Springer-Verlag, 1998.

23. Lamberton D., Lapeyre B. Introduction to stochastic calculus applied to fi-nance. — London: Chapman & Hall, 1995.

24. McCutcheon J., Scott W. F. Introduction to the Mathematics of Finance.2 ed. — Oxford: Butterworth-Heinemann, 1989.

25. Musiela M., Rutkowski M. Martingale Methods in financial modelling.Berlin: Springer-Verlag, 1997.

26. Neftci Salih N. An Introduction to the Mathematics of Financial Derivati-ves. — San Diego, CA: Academic Press, 1996.

27. Nielsen L. T. Pricing and hedging of derivative securities. —- Oxford: OxfordUniversity Press, 1999.

28. Ottaviani G. Financial Risk in Insurance. — Berlin: Springer-Verlag, 2000.

29. Pliska S. Introduction to mathematical finance: discrete time models. —Oxford, Basel: Blackwell, 1997.

30. Ross S. M. An introduction to mathematical finance: Options and other topi-cs. — Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

31. Shreve S. Stochastic calculus and finance. — New York: Springer, 2004. —V. I, II.

32. Stochastic processes for insurance and finance./ T. Rolski, H. Schmidli,V. Schmidt, I. Tendels — Chichester: Wiley, 1998.

33. Varian H. R. (ed.) Computational Economics and Finance. Modeling andAnalysis with Mathematica. — New York: Springer, 1996.

34. Wilmott P., Howison S., Dewynne I. The mathematics of financial derivatives,a student introduction. — Cambridge: Cambridge University Press, 1995.

251

Ануїтетнi таблицi

Таблиця значень νn для n = 4,5, . . . ,12

4 5 6 7 8 9 10 11 121 0,9610 0,9515 0,9420 0,9327 0,9235 0,9143 0,9053 0,8963 0,88741,5 0,9422 0,9283 0,9145 0,9010 0,8877 0,8746 0,8617 0,8489 0,83642 0,9238 0,9057 0,8880 0,8706 0,8535 0,8368 0,8203 0,8043 0,78852,5 0,9060 0,8839 0,8623 0,8413 0,8207 0,8007 0,7812 0,7621 0,74363 0,8885 0,8626 0,8375 0,8131 0,7894 0,7664 0,7441 0,7224 0,70143,5 0,8714 0,8420 0,8135 0,7860 0,7594 0,7337 0,7089 0,6849 0,66184 0,8548 0,8219 0,7903 0,7599 0,7307 0,7026 0,6756 0,6496 0,62464,25 0,8466 0,8121 0,7790 0,7473 0,7168 0,6876 0,6595 0,6326 0,60694,5 0,8386 0,8025 0,7679 0,7348 0,7032 0,6729 0,6439 0,6162 0,58974,75 0,8306 0,7929 0,7570 0,7226 0,6899 0,6586 0,6287 0,6002 0,57305 0,8227 0,7835 0,7462 0,7107 0,6768 0,6446 0,6139 0,5847 0,55685,25 0,8149 0,7743 0,7356 0,6989 0,6641 0,6310 0,5995 0,5696 0,54125,5 0,8072 0,7651 0,7252 0,6874 0,6516 0,6176 0,5854 0,5549 0,52605,75 0,7996 0,7561 0,7150 0,6761 0,6394 0,6046 0,5717 0,5406 0,51136 0,7921 0,7473 0,7050 0,6651 0,6274 0,5919 0,5584 0,5268 0,49706,25 0,7847 0,7385 0,6951 0,6542 0,6157 0,5795 0,5454 0,5133 0,48316,5 0,7773 0,7299 0,6853 0,6435 0,6042 0,5674 0,5327 0,5002 0,46976,75 0,7701 0,7214 0,6758 0,6330 0,5930 0,5555 0,5204 0,4875 0,45677 0,7629 0,7130 0,6663 0,6227 0,5820 0,5439 0,5083 0,4751 0,44407,25 0,7558 0,7047 0,6571 0,6127 0,5712 0,5326 0,4966 0,4631 0,43187,5 0,7488 0,6966 0,6480 0,6028 0,5607 0,5216 0,4852 0,4513 0,41997,75 0,7419 0,6885 0,6390 0,5930 0,5504 0,5108 0,4741 0,4400 0,40838 0,7350 0,6806 0,6302 0,5835 0,5403 0,5002 0,4632 0,4289 0,39718,25 0,7283 0,6728 0,6215 0,5741 0,5304 0,4899 0,4526 0,4181 0,38628,5 0,7216 0,6650 0,6129 0,5649 0,5207 0,4799 0,4423 0,4076 0,37578,75 0,7150 0,6574 0,6045 0,5559 0,5112 0,4700 0,4322 0,3974 0,36559 0,7084 0,6499 0,5963 0,5470 0,5019 0,4604 0,4224 0,3875 0,35559,5 0,6956 0,6352 0,5801 0,5298 0,4838 0,4418 0,4035 0,3685 0,336510 0,6830 0,6209 0,5645 0,5132 0,4665 0,4241 0,3855 0,3505 0,318610,5 0,6707 0,6070 0,5493 0,4971 0,4499 0,4071 0,3684 0,3334 0,301811 0,6587 0,5935 0,5346 0,4817 0,4339 0,3909 0,3522 0,3173 0,285811,5 0,6470 0,5803 0,5204 0,4667 0,4186 0,3754 0,3367 0,3020 0,270812 0,6355 0,5674 0,5066 0,4523 0,4039 0,3606 0,3220 0,2875 0,256712,5 0,6243 0,5549 0,4933 0,4385 0,3897 0,3464 0,3079 0,2737 0,243313 0,6133 0,5428 0,4803 0,4251 0,3762 0,3329 0,2946 0,2607 0,230714 0,5921 0,5194 0,4556 0,3996 0,3506 0,3075 0,2697 0,2366 0,207615 0,5718 0,4972 0,4323 0,3759 0,3269 0,2843 0,2472 0,2149 0,186916 0,5523 0,4761 0,4104 0,3538 0,3050 0,2630 0,2267 0,1954 0,168518 0,5158 0,4371 0,3704 0,3139 0,2660 0,2255 0,1911 0,1619 0,137220 0,4823 0,4019 0,3349 0,2791 0,2326 0,1938 0,1615 0,1346 0,1122

252

Таблиця значень νn для n = 13,14, . . . ,40

13 14 15 17 20 25 30 35 401 0,8787 0,8700 0,8613 0,8444 0,8195 0,7798 0,7419 0,7059 0,67171,5 0,8240 0,8118 0,7999 0,7764 0,7425 0,6892 0,6398 0,5939 0,55132 0,7730 0,7579 0,7430 0,7142 0,6730 0,6095 0,5521 0,5000 0,45292,5 0,7254 0,7077 0,6905 0,6572 0,6103 0,5394 0,4767 0,4214 0,37243 0,6810 0,6611 0,6419 0,6050 0,5537 0,4776 0,4120 0,3554 0,30663,5 0,6394 0,6178 0,5969 0,5572 0,5026 0,4231 0,3563 0,3000 0,25264 0,6006 0,5775 0,5553 0,5134 0,4564 0,3751 0,3083 0,2534 0,20834,25 0,5821 0,5584 0,5356 0,4928 0,4350 0,3533 0,2869 0,2330 0,18924,5 0,5643 0,5400 0,5167 0,4732 0,4146 0,3327 0,2670 0,2143 0,17194,75 0,5470 0,5222 0,4985 0,4543 0,3953 0,3134 0,2485 0,1971 0,15635 0,5303 0,5051 0,4810 0,4363 0,3769 0,2953 0,2314 0,1813 0,14205,25 0,5142 0,4885 0,4642 0,4190 0,3594 0,2783 0,2154 0,1668 0,12925,5 0,4986 0,4726 0,4479 0,4024 0,3427 0,2622 0,2006 0,1535 0,11755,75 0,4835 0,4572 0,4323 0,3866 0,3269 0,2472 0,1869 0,1413 0,10696 0,4688 0,4423 0,4173 0,3714 0,3118 0,2330 0,1741 0,1301 0,09726,25 0,4547 0,4280 0,4028 0,3568 0,2975 0,2197 0,1622 0,1198 0,08856,5 0,4410 0,4141 0,3888 0,3428 0,2838 0,2071 0,1512 0,1103 0,08056,75 0,4278 0,4007 0,3754 0,3294 0,2708 0,1953 0,1409 0,1017 0,07337 0,4150 0,3878 0,3624 0,3166 0,2584 0,1842 0,1314 0,0937 0,06687,25 0,4026 0,3754 0,3500 0,3043 0,2466 0,1738 0,1225 0,0863 0,06087,5 0,3906 0,3633 0,3380 0,2925 0,2354 0,1640 0,1142 0,0796 0,05547,75 0,3789 0,3517 0,3264 0,2811 0,2247 0,1547 0,1065 0,0733 0,05058 0,3677 0,3405 0,3152 0,2703 0,2145 0,1460 0,0994 0,0676 0,04608,25 0,3568 0,3296 0,3045 0,2599 0,2049 0,1378 0,0927 0,0624 0,04208,5 0,3463 0,3191 0,2941 0,2499 0,1956 0,1301 0,0865 0,0575 0,03838,75 0,3361 0,3090 0,2842 0,2403 0,1868 0,1228 0,0807 0,0531 0,03499 0,3262 0,2992 0,2745 0,2311 0,1784 0,1160 0,0754 0,0490 0,03189,5 0,3073 0,2807 0,2563 0,2138 0,1628 0,1034 0,0657 0,0417 0,026510 0,2897 0,2633 0,2394 0,1978 0,1486 0,0923 0,0573 0,0356 0,022110,5 0,2731 0,2471 0,2236 0,1832 0,1358 0,0824 0,0500 0,0304 0,018411 0,2575 0,2320 0,2090 0,1696 0,1240 0,0736 0,0437 0,0259 0,015411,5 0,2429 0,2178 0,1954 0,1572 0,1134 0,0658 0,0382 0,0222 0,012912 0,2292 0,2046 0,1827 0,1456 0,1037 0,0588 0,0334 0,0189 0,010712,5 0,2163 0,1922 0,1709 0,1350 0,0948 0,0526 0,0292 0,0162 0,009013 0,2042 0,1807 0,1599 0,1252 0,0868 0,0471 0,0256 0,0139 0,007514 0,1821 0,1597 0,1401 0,1078 0,0728 0,0378 0,0196 0,0102 0,005315 0,1625 0,1413 0,1229 0,0929 0,0611 0,0304 0,0151 0,0075 0,003716 0,1452 0,1252 0,1079 0,0802 0,0514 0,0245 0,0116 0,0055 0,002618 0,1163 0,0985 0,0835 0,0600 0,0365 0,0160 0,0070 0,0030 0,001320 0,0935 0,0779 0,0649 0,0451 0,0261 0,0105 0,0042 0,0017 0,0007

Примiтка: верхнiй рядок — кiлькiсть рокiв n, лiвий рядок — рiчна ефективна вiдсотковаставка. Для знаходження значень, що не наведенi у таблицi, можна використати означенняνn = 1/(1 + i)n або властивiсть степеневої функцiї: νn+m = νnνm.

253

Таблиця значень an| для n = 4,5, . . . ,12

13 14 15 17 20 25 30 35 401 3,9020 4,8534 5,7955 6,7282 7,6517 8,5660 9,4713 10,368 11,2551,5 3,8544 4,7826 5,6972 6,5982 7,4859 8,3605 9,2222 10,071 10,9082 3,8077 4,7135 5,6014 6,4720 7,3255 8,1622 8,9826 9,7868 10,5752,5 3,7620 4,6458 5,5081 6,3494 7,1701 7,9709 8,7521 9,5142 10,2583 3,7171 4,5797 5,4172 6,2303 7,0197 7,7861 8,5302 9,2526 9,95403,5 3,6731 4,5151 5,3286 6,1145 6,8740 7,6077 8,3166 9,0016 9,66334 3,6299 4,4518 5,2421 6,0021 6,7327 7,4353 8,1109 8,7605 9,38514,25 3,6086 4,4207 5,1997 5,9470 6,6638 7,3513 8,0109 8,6435 9,25044,5 3,5875 4,3900 5,1579 5,8927 6,5959 7,2688 7,9127 8,5289 9,11864,75 3,5666 4,3596 5,1165 5,8392 6,5290 7,1876 7,8163 8,4166 8,98965 3,5460 4,3295 5,0757 5,7864 6,4632 7,1078 7,7217 8,3064 8,86335,25 3,5255 4,2997 5,0354 5,7343 6,3984 7,0294 7,6288 8,1984 8,73965,5 3,5052 4,2703 4,9955 5,6830 6,3346 6,9522 7,5376 8,0925 8,61855,75 3,4850 4,2412 4,9562 5,6323 6,2717 6,8763 7,4481 7,9887 8,50006 3,4651 4,2124 4,9173 5,5824 6,2098 6,8017 7,3601 7,8869 8,38386,25 3,4454 4,1839 4,8789 5,5331 6,1488 6,7283 7,2737 7,7870 8,27016,5 3,4258 4,1557 4,8410 5,4845 6,0888 6,6561 7,1888 7,6890 8,15876,75 3,4064 4,1278 4,8036 5,4366 6,0296 6,5851 7,1055 7,5929 8,04967 3,3872 4,1002 4,7665 5,3893 5,9713 6,5152 7,0236 7,4987 7,94277,25 3,3682 4,0729 4,7300 5,3426 5,9139 6,4465 6,9431 7,4062 7,83797,5 3,3493 4,0459 4,6938 5,2966 5,8573 6,3789 6,8641 7,3154 7,73537,75 3,3306 4,0192 4,6582 5,2512 5,8016 6,3124 6,7864 7,2264 7,63478 3,3121 3,9927 4,6229 5,2064 5,7466 6,2469 6,7101 7,1390 7,53618,25 3,2938 3,9665 4,5880 5,1621 5,6925 6,1825 6,6351 7,0532 7,43948,5 3,2756 3,9406 4,5536 5,1185 5,6392 6,1191 6,5613 6,9690 7,34478,75 3,2576 3,9150 4,5196 5,0755 5,5866 6,0567 6,4889 6,8863 7,25189 3,2397 3,8897 4,4859 5,0330 5,5348 5,9952 6,4177 6,8052 7,16079,5 3,2045 3,8397 4,4198 4,9496 5,4334 5,8753 6,2788 6,6473 6,983810 3,1699 3,7908 4,3553 4,8684 5,3349 5,7590 6,1446 6,4951 6,813710,5 3,1359 3,7429 4,2922 4,7893 5,2392 5,6463 6,0148 6,3482 6,650011 3,1024 3,6959 4,2305 4,7122 5,1461 5,5370 5,8892 6,2065 6,492411,5 3,0696 3,6499 4,1703 4,6370 5,0556 5,4311 5,7678 6,0697 6,340612 3,0373 3,6048 4,1114 4,5638 4,9676 5,3282 5,6502 5,9377 6,194412,5 3,0056 3,5606 4,0538 4,4923 4,8820 5,2285 5,5364 5,8102 6,053513 2,9745 3,5172 3,9975 4,4226 4,7988 5,1317 5,4262 5,6869 5,917614 2,9137 3,4331 3,8887 4,2883 4,6389 4,9464 5,2161 5,4527 5,660315 2,8550 3,3522 3,7845 4,1604 4,4873 4,7716 5,0188 5,2337 5,420616 2,7982 3,2743 3,6847 4,0386 4,3436 4,6065 4,8332 5,0286 5,197118 2,6901 3,1272 3,4976 3,8115 4,0776 4,3030 4,4941 4,6560 4,793220 2,5887 2,9906 3,3255 3,6046 3,8372 4,0310 4,1925 4,3271 4,4392

254

Таблиця значень an| для n = 13,14, . . . ,40

13 14 15 17 20 25 30 35 401 12,134 13,004 13,865 15,562 18,046 22,023 25,808 29,409 32,8351,5 11,732 12,543 13,343 14,908 17,169 20,720 24,016 27,076 29,9162 11,348 12,106 12,849 14,292 16,351 19,524 22,397 24,999 27,3562,5 10,983 11,691 12,381 13,712 15,589 18,424 20,930 23,145 25,1033 10,635 11,296 11,938 13,166 14,878 17,413 19,600 21,487 23,1153,5 10,303 10,921 11,517 12,651 14,212 16,482 18,392 20,001 21,3554 9,9856 10,563 11,118 12,166 13,590 15,622 17,292 18,665 19,7934,25 9,8325 10,391 10,927 11,933 13,294 15,217 16,779 18,047 19,0774,5 9,6829 10,223 10,740 11,707 13,008 14,828 16,289 17,461 18,4024,75 9,5366 10,059 10,557 11,488 12,731 14,454 15,820 16,904 17,7635 9,3936 9,8986 10,380 11,274 12,462 14,094 15,373 16,374 17,1595,25 9,2538 9,7423 10,207 11,067 12,202 13,748 14,944 15,870 16,5885,5 9,1171 9,5896 10,038 10,865 11,950 13,414 14,534 15,391 16,0465,75 8,9834 9,4406 9,8729 10,668 11,706 13,093 14,141 14,934 15,5336 8,8527 9,2950 9,7122 10,477 11,470 12,783 13,765 14,498 15,0466,25 8,7248 9,1528 9,5555 10,291 11,241 12,485 13,404 14,083 14,5846,5 8,5997 9,0138 9,4027 10,111 11,019 12,198 13,059 13,687 14,1466,75 8,4774 8,8781 9,2535 9,9346 10,803 11,921 12,727 13,309 13,7287 8,3577 8,7455 9,1079 9,7632 10,594 11,654 12,409 12,948 13,3327,25 8,2405 8,6158 8,9658 9,5964 10,391 11,396 12,104 12,603 12,9547,5 8,1258 8,4892 8,8271 9,4340 10,195 11,147 11,810 12,273 12,5947,75 8,0136 8,3653 8,6917 9,2757 10,004 10,907 11,529 11,957 12,2528 7,9038 8,2442 8,5595 9,1216 9,8181 10,675 11,258 11,655 11,9258,25 7,7962 8,1259 8,4304 8,9715 9,6381 10,451 10,997 11,365 11,6138,5 7,6910 8,0101 8,3042 8,8252 9,4633 10,234 10,747 11,088 11,3158,75 7,5879 7,8969 8,1810 8,6826 9,2935 10,025 10,506 10,822 11,0309 7,4869 7,7862 8,0607 8,5436 9,1285 9,8226 10,274 10,567 10,7579,5 7,2912 7,5719 7,8282 8,2760 8,8124 9,4376 9,8347 10,087 10,24710 7,1034 7,3667 7,6061 8,0216 8,5136 9,0770 9,4269 9,6442 9,779110,5 6,9230 7,1702 7,3938 7,7794 8,2309 8,7390 9,0474 9,2347 9,348311 6,7499 6,9819 7,1909 7,5488 7,9633 8,4217 8,6938 8,8552 8,951111,5 6,5835 6,8013 6,9967 7,3291 7,7098 8,1236 8,3637 8,5030 8,583912 6,4235 6,6282 6,8109 7,1196 7,4694 7,8431 8,0552 8,1755 8,243812,5 6,2698 6,4620 6,6329 6,9198 7,2414 7,5790 7,7664 7,8704 7,928113 6,1218 6,3025 6,4624 6,7291 7,0248 7,3300 7,4957 7,5856 7,634414 5,8424 6,0021 6,1422 6,3729 6,6231 6,8729 7,0027 7,0700 7,105015 5,5831 5,7245 5,8474 6,0472 6,2593 6,4641 6,5660 6,6166 6,641816 5,3423 5,4675 5,5755 5,7487 5,9288 6,0971 6,1772 6,2153 6,233518 4,9095 5,0081 5,0916 5,2223 5,3527 5,4669 5,5168 5,5386 5,548220 4,5327 4,6106 4,6755 4,7746 4,8696 4,9476 4,9789 4,9915 4,9966

Примiтка: верхнiй рядок — кiлькiсть рокiв n, лiвий рядок — рiчна ефективна вiдсотковаставка. Для знаходження значень, що не наведенi у таблицi, можна використати означенняan| = ν + ν2 + · · · + νn або ануїтетнi рiвняння: a

n+1| = ν(1 + an|) та an+m| = an| + νnam|.

255

ЗБiРНИК ЗАДАЧ З ФiНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ...лi розглянуто...

Documents