HYDRAULIQUERafic YOUNES, 2005/2006www.ryounes.net

PLAN Rappel M.D.F. Ecoulement de Poiseulle Nombre de Reynolds Thorie de la similitude Pertes de charges linaires Pertes de charges singulires

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Rappel M.D.F.Statique des fluides : ( p) + g = 0Fluide incompressible ( = Cte) et (g = Cte)

p( z ) + g z = p0 + g z0

pa h

P(z) g

Si p0 est la pression laltitude z0 :z Liquide

Rappel M.D.F. Forces Hydrodynamiques:

d F = p n dSS

Pousse dArchimde :

= g V

Force oppose au poids du fluide dplac

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Rappel M.D.F.quation de continuit:Fluide incompressible : coulement monodirectionnel :

div (V ) = 0

V1 A1 = V2 A2 V2

A1

V1

A2

Bilan dynamique des Fluides parfaits:

Rappel M.D.F.Bilan dynamique des Fluides parfaitsEquation dEuler

d (V ) 1 = grad ( p ) + g dt

Equation de Bernoulli Bernoulli avec Machine hydraulique

p V2 + + g z = Cte 2

p1 V12 p V2 + + g z1 = 2 + 2 + g z 2 + W12 2 2W > 0 Machine gnratrice W < 0 Machine receptrice

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Rappel M.D.F.Bilan dynamique des Fluides RelsEquation Navier-Stockes

d (V ) 1 = grad ( p ) + 2 V + g dt

Viscosit dynamique / cinmatiqueSi e = R1 R2, on montre que : Or :

F V = S e

V = R1

et

C = F

=

C e 2 R R1 h 2 2

[] = M L-1 T-1 : kg m-1 s-1

Rappel M.D.F.Viscosit cinmatique :

=

[] = L2 T-1 : m2 s-1

Variation de la viscosit avec la temprature Cas des Gaz : Cas des Fluides :

K T = 0 1 + CTK et C sont des constantes

Log ( ) = Log ( 0 ) e

T T 0

m

Variation de la viscosit avec la pression

p = a p0

p

1 0

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Ecoulement de Poiseuille

Hypothses : conduit cylindrique de diamtre D. On tudie lcoulement permanent dun fluide incompressible visqueux. Lcoulement est suivant z. (u = v = 0); lcoulement est axiale symtrique w = w(z,r);

Bilan dynamique :

d (V ) 1 = grad ( p ) + 2 V + g dt

Equation de continuit :

div V = 0

()

Ecoulement de PoiseuilleDirection axiale :

2 w 1 w 1 2 w 2 w w v w w p w +u + + w = + 2 + + + r r r 2 2 z 2 z z r r t r

Direction tangentielle : 2 v 1 v 1 2 v 2 v 2 u v 1 p v v v v u v v = + 2 + + + + +u + +w + r r r r r 2 2 z 2 r 2 r 2 r r z t r Direction radiale :

2u 1 u 1 2 v 2u u 2 v u p u v u u v 2 + + +u + + = + 2 + r r r 2 2 z 2 r 2 r r r r z r r t

Equation de continuit :

1 (r u ) + 1 v + w = 0 r r r z

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coulement de Poiseuille

coulement de Poiseuille

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Nombre de Reynolds Dfinition: Cest un nombre sans dimension qui permet de fixer les limites dapplication des modles dcoulement admettant un rgime laminaire. Pour une conduite circulaire de diamtre D le nombre de Reynolds scrit : Le nombre de Reynolds est proportionnel au rapport entre les forces dinertie par les forces de viscosit. Remarque : pour un coulement de forme quelconque, on remplace le diamtre D de la conduite par une grandeur caractristique de lcoulement (largeur dun canal, envergure dun profil daile..)

Nombre de ReynoldsLaminaire

Re < 2000 Transition Turbulent

2000 < Re < 3000

Re > 3000

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Nombre de ReynoldsCas de l'coulement de Poiseuille La vitesse moyenne s'crit : La variation lmentaire de charge sur un lment de ligne de courant est gale :

Lintrt de cette criture est de mettre en vidence des nombres sans dimension : Nombre de Reynolds

Coefficient de perte de charge Le coefficient de perte de charge linaire dans cette expression est valide uniquement pour les coulements laminaires.

Thorie de la similitude Faire l'inventaire des forces en jeux tablir une liste des grandeurs dites "actives" Choisir les grandeurs fondamentales Former les groupements sans dimensions ou groupement Formuler la loi reliant les diffrents groupements

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Thorie de la similitudeTHEOREME

n grandeurs physiques Gi :

F (G1 , G2 ,..., Gi ,...Gn ) = 0

p le nombre de grandeurs fondamentales indpendantes :

F 1 , 2 ,..., i ,... n p = 0 p = ( 1 , 2 ,..., i ,... n p 1 )

(

)

Thorie de la similitudeGROUPEMENTS SANS DIMENSIONS

Grandeur mcanique G dans le systme (M,L,T) : Masse : MConvention : Longueur : L Temps : T

[G ] = M L T Force : Pression :

[ F ] = [ m ] = MLT 2

[ p] =

F 1 2 = ML T S

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Thorie de la similitudeExemple :

G = F (F1 , F2 , F3 )

[G ] = F1x F2y F3z

[G ] = F1x F2y F3z [G ] = M L T

[ F1 ] = M a11 La12 T a13 a a a [ F2 ] = M 21 L 22 T 23 a31 a32 a33 [ F3 ] = M L T

a11 x + a21 y + a31 z = a12 x + a22 y + a32 z = a x + a y + a z = 23 33 13

Thorie de la similitudep1 + gz1Pertes de charge dans une conduite

Lp2 + gz2

D

,Grandeurs actives :Gomtriques : Physiques : D, , L

,

g et z

^ Cinmatiques et dynamiques: U, p

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Thorie de la similitudeOn suppose que : p = k D x Ly U z Nous avons 5 paramtres et 3 units fondamentales (kg, m,s); lanalyse dimensionnelle donne :^

kg1 m-2 s-2 = mx my mz s-z kg m-3 kg m s m kg1 m-2 s-2 = kg+ mx+y+z-3-+ s-z- kg1 m-2 s-2 = kg+ mx+y+z-3-+ s-z- 1 = + -2 = x+y+z-3-+ -2 = -z- =1- z=2- x=-y-1

Thorie de la similitude p = k D y 1 Ly U 2 1 L p = k D 1 U 2 1 U D D D L y^

p = k U 2

L D

L f , , U D D D

U2 L p = f Re, 2 D DFin de lanalyse dimensionnelle. Seule lexprience peut permettre de formuler la loi.

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Pertes de charge linaires Lexprience de Nikurads a pour but de dterminer linfluence de la rugosit des parois sur le coefficient de perte de charge linaire. Les parois dune conduite sont rendues artificiellement rugueuses en y collant des grains de sable calibrs. En changeant la taille des grains on change la rugosit. On trace log en fonction de log Re. On appelle la taille moyenne des grains colls et D le diamtre de la conduite. / D est la rugosit relative. On remarque: 1- la rugosit na pas dinfluence en rgime laminaire et le nombre de Reynolds critique Rc est indpendant de la rugosit. 2- quand R > Rc la perte de charge dpend fortement de /D ou du nombre de Reynolds. 3- quand R >>> Rc la perte de charge ne dpend pas du nombre de Reynolds, elle ne dpend que de / D.

Pertes de charge linaires Le coefficient de perte de charge est donn par : Rgime laminaire R < 2000 :

=

64 Re

Rgime turbulent lisse R > 2000 et /D < 1/30:

= 0.316 Re 0.25

= 079

D

Rgime turbulent Re >>> 2000 :1 2.51 = 2 log + Re 3.71 D

Il existe dautres expressions des coefficients de pertes de charge, Par exemple pour les coulements turbulents, on peut utiliser la formule de Colebrook et White.

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Pertes de charge linaires Diagramme de Moody En pratique, on utilise des abaques appeles diagramme de Moody qui reprsentent le coefficient de perte de charge en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosit relative :

Pertes de charge singulireslargissement brusque : 2 A1 = 1 A 2

U2 p = 2

Rtrcissement brusque :

Diaphragme mince dans un tube :

Divergent Conique :2

A = 1 A 2

2

A1 1 A 2

2

D2 = C d 2 1 c

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Pertes de charge singuliresp = Coude arrondi :

U2 2Bifurcation angles vifs :

Coude angle vif :

Bifurcation arrondi :

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