hugues ott maître de conférences à l’iut robert schuman

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MOUVEMENT D’UNE PARTICULE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman Université de Strasbourg Département Chimie

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Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman Université de Strasbourg Département Chimie. z. a 0. y. q. O. x. Conditions initiales :. le champ magnétique B est uniforme dirigé suivant Oz. à t = 0 , la particule est en O x 0 = y 0 = z 0 = 0. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman

MOUVEMENT D’UNE PARTICULE DANS UN CHAMP

MAGNETIQUEHugues OttMaître de Conférences à l’IUT Robert

Schuman Université de Strasbourg Département

Chimie

Page 2: Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman

O

x

y

z

B

0v

• à t = 0 , la particule est en O x0 = y0 = z0 = 0

• le champ magnétique B est uniforme dirigé suivant Oz

• le vecteur vitesse initiale

– fait un angle a0 avec Oz

– est dans le plan Oxz

q

Conditions initiales :

Particule dans un champ magnétique

Page 3: Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman

dt

vdm

)Bv.(q

amF

v).Bv.(q

v.dt

vdm

2vdt

d

2

1m

Ctev2

Ctevv 0

Multiplions par v les deux membres

0

u'.u

v,vcos.v.v

v.vv.v

Vecteur perpendiculaire à v

et à B

'u.u22

1

'2u2

1

Théorème du centre d’inertie :

Particule dans un champ magnétique

Page 4: Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman

B).Bv.(q

B.dt

vdm

amF

B.vdt

dm

dt

vdm)Bv.(q

0Cte

CteB.v

Ctecos.B.v

Multiplions par B les deux membres

0

Champ uniforme

Vitesse constante

Champ uniforme

Théorème du centre d’inertie :

Vecteur perpendiculaire à v et à B

Particule dans un champ magnétique

Page 5: Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman

OMdt

dv k.zj.yi.xOM

Vecteur vitesse

:

k.zj.yi.xdt

dv

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxv

kzjyixv

i.xdt

d j.y

dt

d k.z

dt

d

dt

idxi

dt

dx

dt

jdyj

dt

dy

dt

kdzk

dt

dz

x y z

Particule dans un champ magnétique

Page 6: Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman

Produit vectoriel

1er vecteur

2e vecteur

Produitvectorie

l

Direction Sens

ji

perpendiculaire à jeti

Règle de la main droite

1

Norme

ji

)j,isin(j.i

1

ji

j

k

k

ki

k-j

j

kj

k

i

i

ii

kkjj

0

Oj

k

i

i

O

j

O

i

O

)i,isin(.i.i

2

1

ji

1 01ii

0Particule dans un champ

magnétique

Page 7: Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman

amF

dt

vdm)Bv.(q

)kzjyix(q

.m

kiBx(q

kBix(q

)k.zj.yi.x.(m

)k.zj.yi.x.(m

m.(Ý Ý x .r i Ý Ý y .

r j Ý Ý z .

r k )

ixmiByq

jymjBxq

k.z0

ym

qBx

xm

Bqy

0z

Théorème du centre d’inertie

j

jBx(q

i

0

iBy

)0

yx

xy

0z m

qB

On pose

kzjyixv

le champ magnétique B est uniforme dirigé suivant Oz

)kB(

)k.zj.yi.x(

kzjyixvdt

d

kBjy

)kBkz

kjBy

)kkBz

Particule dans un champ magnétique

Page 8: Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman

yx xy 0z

tcos.vz 00

Mouvement uniforme le long du champ magnétique

Par intégrationCte 00 cos.v z

O

x

y

z

B

0v

qPar intégration

Vitesse selon l ’axe Oz

Particule dans un champ magnétique

Page 9: Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman

la solution est de la forme 

xy 0xx 2

)tsin(Ax

0x Conditions initiales 

0tà x cos.A

0

00 sin.vA

tsinsin.v

x 00

yx xy 0z

tcos.vz 00 Par intégration

xx 2

Equation différentielle 2e degré

sin.A

00 sin.v

tsinsin.v

y 00

Par intégration

y

Condition initiale 

0tà 0y Ctesin.v 00

Cte

)1t(cossin.v

y 00

O

x

y

z

Br

0vq

A

0t

dériver

)tcos(Ax

0t

)tcos(Ax

00 sinv

)tcos(Cte

0t

00 sin.v

ytcos

00 sin.v

00 sinv )1t(cos 00 sinv

Particule dans un champ magnétique

Page 10: Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman

2

002 sin.vyx

tcossin.vsin.v

y 0000

222 RRyx

00 sin.v

R

La trajectoire, dans le plan Oxy perpendiculaire à B, est un cercle de rayon R et de centre C (xC=0 et yC=-R )

0000 sin.v

tcossin.v

y

On développe

tsinsin.v

x 22

002

tcossin.vsin.v

y 22

00

2

00

On pose

tcostsinsin.v 22

2

00

On élève les 2 membres au carré

On élève les 2 membres au carré

On somme les 2 expressions

tsinsin.v

x 00

)1t(cos

sin.vy 00

Mouvement

uniforme suivant Oz

tcos.vz 00

12

00 sin.v

Particule dans un champ magnétique

Page 11: Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman

MOUVEMENT HELICOIDAL

Période du mouvement hélicoïdal

qB

m2

00 sin.v

R2

y0xplanvitesse

parcouruecetandisT

00 sin.vR

2

La vitesse de la particule n’intervient pas directement dans l’expression de la période.

Mouvement circulaire dans le plan Oxy perpendiculaire à B

Mouvement uniforme suivant Oz le long du

champ B

Nature du mouvement

O

x

y

z

Br

0vq

m

qB

La circonférence décrit par la particule est appelée circonférence de Larmor (physicien anglais).La fréquence est dite fréquence de Larmor.

00 sin.v

tcos.vz 00 222 RRyx

Particule dans un champ magnétique

Page 12: Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman

Le pas de l’hélice

Si 0 = / 2

qB

m2

00 sin.vR

T.zh

tcos.vz 00

00 cos.vz

Trajectoire = Cercle

qB

v.mR 0

m

qB

Distance parcourue par la particule dans la direction du champ lorsqu’elle effectue un tour complet sur la

circonférence.

qB

.m.2cosvh 00

Période

0h qB

v.m 0

0v

=0=1

(Vitesse selon Oz) . (Période)

2T

Particule dans un champ magnétique

Page 13: Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman

Expression de la vitesse v0

00 sin.vR

00 cosv2

h

2h

222 hR4

2R

2222

220 hR4

4v

2220 hR4

m.2

B.qv

22R4

022

0

2

sinv2

022

0

2

cosv2

20

2

v2

0v

022

0

2

sin.v1

022

0

2

sin.v2

022

0

2

cosv2

222 hR42

)cos(sin 02

02

1

Particule dans un champ magnétique

Page 14: Hugues Ott Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman

Déplacement d’une particule dans un champ non uniforme

B.q

sin.v.mR 00

qB

cosv.m.2h 00

CteB.cos.v 00

Dans un champ croissant

Application : la ceinture de radiation de Van Allen.

Rayon de l’hélice Pas de l’hélice Vitesse selon B

La composante de la vitesse parallèle au champ décroît et va s’annuler si le champ s’étend suffisamment le pas de l’hélice décroît au fur et à mesure que la particule se déplace vers les champs croissants

la particule est obligée de revenir en arrière

B augmente

diminueB augmente

diminue

diminueB

augmentediminue

Le rayon de l ’hélice diminue

Particule dans un champ magnétique