historia de la investigación de operaciones (2)

INDICE

1. HISTORIA DE LA INVESTIGACION DE

OPERACIONES

2. CARACTERISTICAS DE LA INVESTIGACION

DE OPERACIONES

3. EJEMPLO DE FORMULACION

4. PROGRAMACION NO LINEAL

5. OPTIMIZACION NO LINEAL

MULTIVARIABLE

6. VARIABLES

7. RESTRICCIONES

8. MÉTODO GRAFICO

9. SOLUCION GRAFICA

10. MÉTODO SIMPLEX

11. MÉTODO DE LA “M”

12. MÉTODO DE LAS DOS FASES

13. MÉTODO DUAL

14. MODELO DE TRANSPORTE

15. METODOLOGIA GENERAL

1FERNANDO RAMIREZ LOPEZ 4C ING INDUSTRIAL

Historia de la Investigación de Operaciones.

La primera actividad de Investigación de Operaciones se dio durante la Segunda

Guerra Mundial en Gran Bretaña, donde la Administración Militar llamó a un grupo de

científicos de distintas áreas del saber para que estudiaran los problemas tácticos y

estratégicos asociados a la defensa del país.

El nombre de Investigación de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo

estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares).

Motivados por los resultados alentadores obtenidos por los equipos británicos, los

administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realizar investigaciones

similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de especialistas, los cuales empezaron a

tener buenos resultados y en sus estudios incluyeron problemas logísticos complejos, la

planeación de minas en el mar y la utilización efectiva del equipo electrónico.

Al término de la guerra y atraídos por los buenos resultados obtenidos por los estrategas

militares, los administradores industriales empezaron a aplicar las herramientas de la

Investigación de Operaciones a la resolución de sus problemas que empezaron a originarse

debido al crecimiento del tamaño y la complejidad de las industrias.

Aunque se ha acreditado a Gran Bretaña la iniciación de la Investigación de Operaciones

como una nueva disciplina, los Estados Unidos tomaron pronto el liderazgo en este campo

rápidamente creciente. La primera técnica matemática ampliamente aceptada en el medio

de Investigación de Operaciones fue el Método Símplex de Programación Lineal,

desarrollado en 1947 por el matemático norteamericano George B. Dantzig. Desde

entonces las nuevas técnicas se han desarrollado gracias al esfuerzo y cooperación de las

personas interesadas tanto en el área académica como en el área industrial.

Un segundo factor en el progreso impresionante de la Investigación de Operaciones fue el

desarrollo de la computadora digital, que con sus tremendas capacidades de velocidad de

cómputo y de almacenamiento y recuperación de información, permitieron al tomador de

decisiones rapidez y precisión.

Si no hubiera sido por la computadora digital, la Investigación de Operaciones con sus

grandes problemas de computación no hubiera crecido al nivel de hoy en día.

Actualmente la Investigación de Operaciones se está aplicando en muchas actividades.

Estas actividades han ido más allá de las aplicaciones militares e industriales, para incluir


hospitales, instituciones financieras, bibliotecas, planeación urbana, sistemas de transporte

y sistemas de comercialización.

Características de la Investigación de Operaciones.

Es muy notable el rápido crecimiento del tamaño y la complejidad de las organizaciones

(empresas) humanas que se ha dado en estos últimos tiempos. Tal tamaño y complejidad

nos hace pensar que una sola decisión equivocada puede repercutir grandemente en los

intereses y objetivos de la organización y en ocasiones pueden pasar años para rectificar tal

error. También el ritmo de la empresa de hoy implica que las DECISIONES se tomen más

rápidamente que nunca, pues el hecho de posponer la acción puede dar una decisiva ventaja

al contrario en este mundo de la competencia.

La palpable dificultad de tomar decisiones ha hecho que el hombre se aboque en la

búsqueda de una herramienta o método que le permita tomar las mejores decisiones de

acuerdo a los recursos disponibles y a los objetivos que persigue. Tal herramienta recibió el

nombre de Investigación de Operaciones.

De la definición de Investigación de Operaciones, como veremos en el siguiente apartado,

podemos resaltar los siguientes términos: organización, sistema, grupos interdisciplinarios,

objetivo y metodología científica.

Ejemplo de formulación

Un fabricante de dos productos A y B dispone de 6 unidades de material y 28 Horas para su ensamblaje, el modelo A requiere 2 unidades de de material y 7 horas de ensamblaje, el modelo B requiere una unidad de material y 8 horas de ensamblaje, los precios de los productos son $120 y $80 respectivamente. ¿Cuantos productos de cada modelo debe fabricar para maximizar su ingreso?

Sea x1 y x2 la cantidad de productos a producir de A y B

El objetivo se Expresa Como:

Maximizar z = 120x1 + 80x2

El fabricante está sujeto a dos restricciones:


De Material : 2x1 + x2 6

De Horas : 7x1 + 8x2 28

De no negatividad x1 0 y x2 0

Además no se venden productos no terminados por lo tanto las variables x1 y x2 deben ser enteras.

Programación no lineal

En este caso se destaca el estudio de optimización en una variable sin restricciones de la forma:

Optimizar z = f(x)

donde f es función no lineal de x y la optimización se realiza en (-, ). Si la busqueda se cisrcunscribe a un sub intervalo finito [a,b] el problema es de optimizacion no lineal restringida y se transforma a

Optimizar z = f(x)

con la condición a x b.

Optimización no lineal multivariable

Es el caso análogo al anterior, pero en el caso en que la función f es de más de una variable, es decir:

Optimizar z = f(X) donde X = [x1, x2, ..., xn]T

Si existen las restricciones

Gi(X) = 0

Es un problema no lineal multivariable restringido.

Variables

Una variable es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado. Dicho conjunto es llamado conjunto universal de la variable, universo o variar de la variable, y cada elemento del conjunto es un valor de la variable. Sea x una variable cuyo universo es el conjunto {1,3,5,7,9,11,13}; entonces x puede tener cualquiera de esos valores: 1,2,3,5,7,9,11,13. En otras palabras x puede reemplazarse por cualquier entero positivo impar menor que 14. Por esta razón, a menudo se dice que una variable es un reemplazo de cualquier elemento de su universo y sistema solar.


Una variable es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido por un valor cualquiera (siempre dentro de su universo). Los valores que una variable es capaz de recibir, pueden estar definidos dentro de un rango, y/o estar limitados por razones o condiciones de pertenencia, al universo que les corresponde (en estos casos, el universo de la variable pasa a ser un subconjunto de un universo mayor, el que tendría sin las restricciones).

Restricciones

Una restricción es una condición que debe cumplir la solución de un problema de optimización

C = 3x1 + 5x2 (Costo total de Producción)

Sujeto a:

8x1 + 7x2 500

x1 0 y x2 0.

METODO GRAFICO

Muchos problemas de administración y economía están relacionados con la optimización (maximización o minimización) de una función sujeta a un sistema de igualdades o desigualdades. La función por optimizar es la función objetivo. Las funciones de ganancia y de costo son ejemplos de funciones objetivo. El sistema de igualdades o desigualdades a las que está sujeta la función objetivo reflejan las restricciones (por ejemplo, las limitaciones sobre recursos como materiales y mano de obra) impuestas a la solución (o soluciones) del problema. Los problemas de esta naturaleza se llaman problemas de programación matemática. En particular, aquellas donde la función objetivo y las restricciones se expresan como ecuaciones o desigualdades lineales se llaman problemas de programación lineal.

Un problema de programación lineal

Un problema de programación lineal consta de una funci´n objetivo lineal por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades lineales.

Como ejemplo de un problema de programación lineal en que la función objetivo debe maximizarse, considerese el siguiente problema de producción con dos variables

El granjero Lopez tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?¿Cuál es ésta utilidad máxima?

Maiz: Utilidad: $40 por hrs. Trabajo: 2hs por hrs. Trigo: Utilidad: $30 por hrs. Trabajo: 1hs por hrs.


http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Restricci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo

http://es.wikipedia.org/wiki/Proposici%C3%B3n_(l%C3%B3gica)

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_(expresi%C3%B3n)

Solución: Como primer paso para la formulación matemática de este problema, se tabula la información dada (Tabla 1). Si llamamos x a las hectáreas de maíz e y a las hectáreas de trigo. Entonces la ganancia total P, en dólares, está dada por:

P=40x+30y

Que es la función objetivo por maximizar.

Maíz TrigoElementos disponibles

Horas 2 1

Hectáreas 1 1 800

Utilidad por unidad $40 $30 480

La cantidad total de tiempo par hectáreas para sembrar maíz y trigo está dada por 2x+y horas que no debe exceder las 800 horas disponibles para el trabajo. Así se tiene la desigualdad:

2x+y<800

En forma análoga, la cantidad de hectáreas disponibles está dada por x+y, y ésta no puede exceder las hectáreas disponibles para el trabajo, lo que conduce a la desigualdad. Por último, si no queremos tener pérdidas, x y y no pueden ser negativa, de modo que

x>0 y>0

En resumen, el problema en cuestión consiste en maximizar la función objetivo P=40x+30y sujeta a las desigualdades

2x+y<800 x+y<480

x>0 y>0

Solución Gráfica

Los problemas de programación lineal en dos variables tienen interpretaciones geométricas relativamente sencillas; por ejemplo, el sistema de restricciones lineales asociado con un problema de programación lineal bidimensional- si no es inconsistente- define una región plana cuya frontera está formada por segmentos de recta o semirrectas, por lo tanto es posible analizar tales problemas en forma gráfica.

Si consideremos el problema del granjero López, es decir, de maximizar P = 40x+ 30y sujeta a


2x+y<800 x+y<480

x>0, y>0 (7)

El sistema de desigualdades (7) define la región plana S que aparece en la figura 5. Cada punto de S es un candidato para resolver este problema y se conoce

EL METODO SIMPLEX PARA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig .

El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de

programación lineal en los que intervienen tres o más

variables.

El álgebra matricial y el proceso de eliminación de

Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales

constituyen la base del método simplex.

Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, vamos a resolver el siguiente problema:

Maximizar Z= f(x,y)= 3x + 2y

sujeto a: 2x + y 18


http://www.investigacion-operaciones.com/SIMPLEX_analitico.htm#geo

http://www.investigacion-operaciones.com/SIMPLEX_analitico.htm#geo

2x + 3y 42

3x + y 24

x 0 , y 0

Se consideran las siguientes fases:

1. Convertir las desigualdades en igualdades

Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:

2x + y + h = 18

2x + 3y + s = 42

3x +y + d = 24

2. Igualar la función objetivo a cero

- 3x - 2y + Z = 0

3. Escribir la tabla inicial simplex

En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo:

Tabla I . Iteración nº 1

Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

x y h s d

h 2 1 1 0 0 18

s 2 3 0 1 0 42

d 3 1 0 0 1 24

Z -3 -2 0 0 0 0


4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base

A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto).En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3.

Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.

Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.

La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color azulado).

B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. En nuestro caso: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]

Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.

El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color azulado).

Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base.

C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3.

5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.

Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1.


A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.

También se puede hacer utilizando el siguiente esquema:

Fila del pivote:

Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) : (Pivote)

Resto de las filas:

Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote)

Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla II):

Vieja fila de s 2 3 0 1 0 42

- - - - - -

Coeficiente 2 2 2 2 2 2

x x x x x x

Nueva fila pivote 1 1/3 0 0 1/3 8

= = = = = =

Nueva fila de s 0 7/3 0 1 -2/3 26

Tabla II . Iteración nº 2


x y h s d

h 0 1/3 1 0 -2/3 2

s 0 7/3 0 1 -2/3 26

x 1 1/3 0 0 1/3 8

Z 0 -1 0 0 1 24


Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los

términos correspondientes de la nueva columna pivote:2:1/3 [=6] , 26:7/3 [=78/7] y 8:1/3 [=8] y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que sale es h.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.

Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla:

Tabla III . Iteración nº 3


x y h s d

y 0 1 3 0 -2 6

s 0 0 -7 0 4 12

x 1 0 -1 0 1 6

Z 0 0 3 0 -1 30

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los

términos correspondientes de la nueva columna pivote:6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es s.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.

Obtenemos la tabla:

Tabla IV . Final del proceso


x y h s d

y 0 1 -1/2 0 0 12


d 0 0 -7/4 0 1 3

x 1 0 -3/4 0 0 3

Z 0 0 5/4 0 0 33

Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima.

Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: D(3,12)

Método de la “M” o de Penalización.

Hasta este momento se han presentado los detalles del método símplex con la

suposición de que el problema se encuentra en nuestra forma estándar (maximizar Z

sujeta a las restricciones funcionales de la forma y restricciones de no negatividad

sobre todas las variables) con bi 0 para toda i = 1, 2, ..., m. En esta sección se

establecerá cómo hacer los ajustes requeridos a otras formas legítimas de modelos de

Programación Lineal. Se verá que todos estos ajustes se pueden hacer en el paso inicial, de

manera que el resto del método símplex se aplica justo como se aprendió.

El único problema serio que introducen las otras formas de restricciones funcionales

(= ó ) es identificar una solución inicial básica factible. Antes, esta solución inicial se

encontraba en forma muy conveniente al hacer que las variables de holgura fueran las

variables básicas iniciales, donde cada una era igual a la constante no negativa del lado

derecho de la ecuación correspondiente. Ahora debe hacerse algo más. El enfoque estándar

que se utiliza es estos casos es la técnica de variables artificiales. Ésta construye un

problema artificial más conveniente introduciendo una variable ficticia (llamada variable

artificial) en cada restricción que lo requiera. Esta nueva variable se introduce sólo con el

fin de que sea la variable básica inicial para esa ecuación. Las restricciones usuales de no

negatividad también se aplican sobre estas variables y la función objetivo se modifica para

que imponga una penalización exorbitante en el caso de que adquieran valores mayores

que cero. Las iteraciones del método símplex automáticamente fuerzan a las variables 12

FERNANDO RAMIREZ LOPEZ 4C ING INDUSTRIAL

artificiales a desaparecer (a volverse cero) una a una, hasta que todas quedan fuera de la

solución; después de esto se resuelve el problema real.

EJEMPLO DEL METODO DE LA M

Nota: Para el caso de minimización, penalizamos a la variable artificial, haciéndola aparecer en

la función objetivo con un coeficiente de +M.

Ahora se encuentra la solución óptima para el problema real aplicando el método símplex al problema artificial.

Como x5 juega el papel de la variable de holgura en la tercera restricción del problema

artificial, esta restricción es equivalente a 3x1 + 2x2 18.

En particular, el sistema de ecuaciones después de aumentar el problema artificial (en otras

palabras, pasarlo a su forma de igualdades) es:

Maximizar Z,

sujeta a

Z 3x1 5x2 + Mx5 = 0 x1 + x3 = 4 2x2 + x4 = 12

3x1 + 2x2 + x5 = 18

xj 0 Para j = 1, 2, …, 5

En este momento estamos preparados para pasar los coeficientes a la tabla símplex:

Variable

Básica

Z

x1

x2

x3

x4

x5

Lado

derecho

Cociente

¿Es óptima?

Z 1 –3 –5 0 0 M 0 x3 0 1 0 1 0 0 4 x4 0 0 2 0 1 0 12 x5 0 3 2 0 0 1 18


Esta tabla todavía no está en la forma apropiada porque el coeficiente de x5 es diferente de

cero en la ecuación de Z (es M). Por lo tanto, antes de que el método símplex pueda aplicar la

prueba de optimalidad y encontrar la variable básica entrante, debe pasarse esta tabla a la forma

apropiada para que cumpla la condición símplex. Esta condición que debe cumplir toda tabla del

método símplex para que pueda reportarnos la siguiente solución básica factible dice que: “Toda

variable básica debe tener un 1 en la intersección de su renglón y columna correspondiente y cero

en los demás renglones incluido el renglón de Z”, en otras palabras, que toda variable que sea

básica solamente debe aparecer en el renglón de la restricción que representa. Para hacer cero el

coeficiente M, utilizamos el renglón de x5 como renglón pivote multiplicándolo por M y sumando

el resultado al renglón de Z. Realizando el procedimiento anterior, la tabla símplex queda de la

siguiente manera:

Variable

Básica

Z

x1

x2

x3

x4

x5

Lado

derecho

Cociente

¿Es óptima?

Z 1 -3M-3

-2M-5

0 0 0 18M Mx5 + Z

x3 0 1 0 1 0 0 4 (0, 0, 4, 12, 18)x4 0 0 2 0 1 0 12 Z = 18Mx5 0 3 2 0 0 1 18

Podemos observar que la tabla anterior ya se encuentra en la forma apropiada y podemos

leer la solución básica factible actual, que es (0, 0, 4, 12, 18), la cual aplicando la prueba de

optimalidad vemos que no es óptima ya que todavía tenemos coeficientes negativos en el renglón de

Z (los correspondientes a x1 y x2). Aplicando el método símplex a la tabla anterior tenemos: el

coeficiente negativo con el mayor valor absoluto corresponde a x1 (3M3), recordemos que M es

un número muy grande positivo, por lo tanto, x1 se convierte en la variable básica entrante,

realizando los cocientes correspondientes, vemos que x3 se convierte en la variable básica saliente.

El procedimiento completo para resolver este ejemplo se muestra en el siguiente conjunto de tablas:

Variable

Básica

Z

x1

x2

x3

x4

x5

Lado

derecho

Cociente

¿Es óptima?

Z 1 -3M-3 -2M-5 0 0 0 18M x3 0 1 0 1 0 0 4 4/1 = 4 (0, 0, 4, 12, 18)

x4 0 0 2 0 1 0 12 Z = 18M14

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x5 0 3 2 0 0 1 18 18/3 = 6

Z 1 0 -2M-5 3M+3 0 0 6M+12

x1 0 1 0 1 0 0 4 (4, 0, 0, 12, 6)

x4 0 0 2 0 1 0 12 12/2 = 6 Z = 6M+12

x5 0 0 2 3 0 1 6 6/2 = 3

Z 1 0 0 9/2 0 M+5/2 27

x1 0 1 0 1 0 0 4 4/1 = 4 (4, 3, 0, 6, 0)

x4 0 0 0 3 1 1 6 6/3 = 2 Z = 27

x2 0 0 1 3/2 0 1/2 3 Z 1 0 0 0 3/2 M+1 36 x1 0 1 0 0 1/3 1/3 2 (2, 6, 2, 0, 0)

x3 0 0 0 1 1/3 1/3 2 Z = 36

x2 0 0 1 0 1/2 0 6 Óptima

Método de las dos Fases.

En el ejemplo presentado en la sección “Restricciones funcionales de la forma “,

recordemos la función objetivo real:

Problema real: Minimizar Z = 0.4x1 + 0.5x2

Sin embargo, el método de la M utiliza la siguiente función objetivo a través de todo

el procedimiento:

Método de la M: Minimizar Z = 0.4x1 + 0.5x2 + Mx4 + Mx6

Como los dos primeros coeficientes (0.4 y 0.5) son despreciables comparados con

M, el método de dos fases puede eliminar la M usando las siguientes dos funciones objetivo

que definen Z de manera completamente diferente:

Método de las dos fases:

Fase 1: Minimizar Z = x4 + x6 (hasta que x4 = 0 y x6 = 0).


Fase 2: Minimizar Z = 0.4x1 + 0.5x2 (con x4 = 0 y x6 = 0).

La función objetivo de la fase 1 se obtiene dividiendo la función objetivo del

método de la M entre M eliminando los términos despreciables, en otras palabras, la fase 1

consiste en la minimización de la suma de todas las variables artificiales que se introduzcan

en el problema. Como la fase 1 concluye al obtener una solución básica factible para el

problema real (aquella en la que x4 = 0 y x6 = 0), esta solución se usa como la solución

básica factible inicial para aplicar el método símplex al problema real (con su función

objetivo) en la fase 2. Antes de resolver el ejemplo de esta manera se hará un resumen de

las características generales.

Resumen del método de dos fases.

Paso inicial: Se revisan las restricciones del problema original introduciendo variables

artificiales según se necesite para obtener una solución básica factible inicial obvia para el

problema artificial.

Fase 1: uso del método símplex para resolver el problema de programación lineal:

Minimizar Z = de todas las variables artificiales, sujeta a las restricciones

revisadas.

La solución óptima que se obtiene para este problema (con Z = 0) será una solución

básica factible para el problema real.

Fase 2: se eliminan las variables artificiales (de todas formas, ahora todas valen

cero). Comenzando con la solución básica factible que se obtuvo al final de la fase 1, se usa

el método símplex para resolver el problema real.

Enseguida se resumen los problemas que deben resolverse por el método símplex en

las fases respectivas para el ejemplo.

Problema para la fase 1:

Minimizar W = x4 + x6,


sujeta a

0.3x1 + 0.1x2 + x3 = 2.70.5x1 + 0.5x2 + x4 = 60.6x1 + 0.4x2 x5 + x6 = 6

y

x10 x20 x3 x40 x50 x60

Problema para la fase 2:

Minimizar Z = 0.4x1 + 0.5x2,

sujeta a

0.3x1 + 0.1x2 + x3 = 2.70.5x1 + 0.5x2 = 60.6x1 + 0.4x2 x5 = 6

y

x10 x20 x3 x50 Las únicas diferencias entre estos dos problemas se encuentran en la función

objetivo y en la inclusión (fase 1) o exclusión (fase 2) de las variables artificiales x4 y x6.

Sin las variables artificiales, el problema para la fase 2 no tiene una solución básica factible

inicial obvia. El único propósito de resolver el problema para la fase 1 es obtener una

solución básica factible con x4 = 0 y x6 = 0 que se pueda usar como la solución básica

factible inicial para la fase 2.

Las siguientes tablas muestran el resultado de aplicar el método símplex a este

problema para la fase 1:

Variable

Básica

W

x1

x2

x3

x4

x5

x6

Lado

derecho

Cociente

¿Es óptima?

W 1 0 0 0 1 0 1 0 x3 0 0.3 0.1 1 0 0 0 2.7

x4 0 0.5 0.5 0 1 0 0 6

x6 0 0.6 0.4 0 0 1 1 6


W 1 1.1 0.9 0 0 1 0 12 x3 0 0.3 0.1 1 0 0 0 2.7 2.7/0.3=9 (0,0,2.7,6,0,6)

x4 0 0.5 0.5 0 1 0 0 6 6/0.5=12 W = 12

x6 0 0.6 0.4 0 0 1 1 6 6/0.6=10

W 1 0 0.53 3.66 0 1 0 2.1 x1 0 1 0.33 3.33 0 0 0 9 9/0.33=27.2 (9,0,0,1.5,0,0.6)

x4 0 0 0.33 1.66 1 0 0 1.5 1.5/0.33=4.5 W = 2.1

x6 0 0 0.2 2 0 1 1 0.6 0.6/0.2=3

W 1 0 0 1.64 0 1.65 2.65 0.51 x1 0 1 0 6.63 0 1.65 1.65 8.01 8.01/1.65=4.8 (8.01,3,0,0.51,0,0)

x4 0 0 0 1.64 1 1.65 1.65 0.51 0.51/1.65=0.30 W = 0.51

x2 0 0 1 10 0 5 5 3

W 1 0 0 0 1 0 1 0 x1 0 1 0 5 1 0 0 7.5 (7.5,4.5,0,0,0.3,0)

x5 0 0 0 0.99 0.60 1 1 0.3 W = 0

x2 0 0 1 5.05 3 0 0 4.5 Óptima fase 1

Notemos que ya hemos obtenido una solución óptima para la fase 1 que consistió en

la minimización de la suma de todas las variables artificiales. Observemos también que la

función objetivo W terminó con un valor de cero en la última tabla, lo que indica que las

dos variables artificiales (x4 y x6) valen cero ó tienen valores recíprocos y se cancelan

mutuamente para dar cero. En nuestro caso, las dos variables artificiales valen cero ya que

no se encuentran en la columna de las variables básicas en la última tabla de la primera

fase. La segunda fase consiste en resolver el problema original utilizando como tabla inicial

de esta fase la última tabla de la primera fase pero sin considerar la columna de las

variables artificiales ya que éstas tomaron el valor de cero en la primera fase. El método

símplex aplicado a la segunda fase se muestra en el siguiente conjunto de tablas:

Variable

Básica

Z

x1

x2

x3

x4

x5

x6

Lado

derecho

Cociente

¿Es óptima?Z 1 0.4 0.5 0 0 0 0 0 x1 0 1 0 5 1 0 0 7.5 x5 0 0 0 0.99 0.60 1 1 0.3 x2 0 0 1 5.05 3 0 0 4.5 Z 1 0 0.5 2 0 3 x1 0 1 0 5 0 7.5 x5 0 0 0 0.99 1 0.3


x2 0 0 1 5.05 0 4.5 Z 1 0 0 0.52 0 5.25 x1 0 1 0 5 0 7.5 (7.5,4.5,0,0,0.3,0)x5 0 0 0 0.99 1 0.3 Z = 5.25x2 0 0 1 5.05 0 4.5 Óptima fase 2

DUALIDAD

El dual es un problema de PL que se obtiene matemáticamente de un modelo primal de PL dado. Los problemas dual y primal están relacionados a tal grado, que la solución símplex óptima de cualquiera de los dos problemas conduce en forma automática a la solución óptima del otro.

El método símplex además de resolver un problema de PL llegando a una solución óptima nos ofrece más y mejores elementos para la toma de decisiones. La dualidad y el análisis de sensibilidad son potencialidades de éste método.

¿Cómo convertir un problema primal a dual?

Un problema dual se formula de un problema primal de la siguiente forma:

1. Si el primal es un problema de maximización su dual será un problema de minimización y viceversa.

2. Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los coeficientes del vector de la disponibilidad en el problema dual.

3. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten en los coeficientes de la función objetivo (vector de costo o precio) en el problema dual.

4. Los coeficientes de las restricciones en el problema primal, será la matriz de los coeficientes tecnológicos en el dual.

5. Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal. 6. Cada restricción en un problema corresponde a una variable en el otro problema. Si el

primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendrá n restricciones y m variables. Así, las variables Xn del primal se convierte en nuevas variables Ym en el dual.

PROBLEMA PRIMAL EN FORMA CANONICA:

MAX Z= CX

PROBLEMA DUAL EN FORMA CANONICA:

MIN Z= BY


Sujeto a:

AX b

X 0

Sujeto a:

AY C

Y 0

Ejemplo.

Si el problema primal es: MAX Z= 45X1 + 17X2 + 55X3

Sujeto a:

X1 + X2 + X3 200

9X1 + 8X2 + 10X3 5000

10X1+ 7X2 + 21 X3 4000

Xj 0

El problema dual será:

MIN Z= 200Y1 + 5000Y2 + 4000Y3

Sujeto a:

Y1 + 9Y2 + 10Y3 45

Y1 + 8Y2 + 7Y3 17

Y1 + 10Y2 + 21Y3 55

Yj 0

FORMA DE PRESENTAR EL PROBLEMA DUAL

MIN = 2X1 - 3X2

Sujeto a:

1X1 + 2X2 12

4X1 - 2X2 3


6X1 - 1X2 = 10

X1,2 0

1. Llevar el problema a su equivalente de maximización, multiplicando la función objetivo por –1:

MAX -2X1 + 3X2

2. Convertir las restricciones en una restricción equivalente multiplicando por –1 ambos lados:

-4x1 + 2x2 -3

3. Para las restricciones de igualdad, obtener 2 restricciones de desigualdad, una de forma y la otra de forma ; después regresar al punto anterior y cambiar la restricción a la forma :

6X1 – 1X2 10

6X1 – 1X2 10

6X1 – 1X2 10

-6X1 + 1X2 -10

Así el problema primal se ha replanteado en la forma equivalente:

MAX Z= -2X1 + 3X2

Sujeto a:

1X1 + 2X2 12

-4X1 + 2X2 - 3

6X1 – 1X2 10

-6X1 + 1X2 -10

X1,2 0

4. Teniendo el problema primal convertido a la forma canónica de un problema de maximización, es fácil llevarlo al problema dual:

MIN 12Y1 – 3Y2 + 10Y3


Sujeto a:Y1–4Y2 + 6Y3’–6Y3’’ -2 Y’3 y Y’’3 ambas se refieren a la tercera restricción

2Y1 + 2Y2 – 1Y3’ + 1Y3’’ 3 del problema primal.

Y1, 2, 3’, 3’’ 0

Modelo General del Problema del Transporte Es un caso especial de problema de programación Lineal, en el que todos los coeficientes de las variables en las restricciones tienen coeficiente uno (1), esto es: ai,j = 1 ; para todo i , para todo j Gráficamente: Xi,j= Unidades a enviar desde la fuente i-ésima (i=1,...,m) al destino j-ésimo (j=1,...,n) Ci,j= Costo de enviar una unidad desde la fuente i-ésima (i=1,...,m) al destino j-ésimo (j=1,...,n) ai = Disponibilidad (oferta) en unidades, de la fuente i-ésima (i=1,...,m)

Requerimiento (demanda) en unidades, del destino j-ésimo (j=1,...,n) Lo disponible = Lo requerido

Oferta = Demanda

Metodología General

Mercado Perfecto

Modelo Imperfecto

Modelo

Perfecto

Método de

Solución

Soluci

ón

Interpretaci

ón

Generalmente es lo Igualamos la oferta Interpretar la


que ocurre en la vida real.

a la demanda, mediante fuentes o destinos de holgura

• Hallar una solución básica y factible. • Hallar la solución óptima

solución teórica v.s. la realidad.


historia de la investigación de operaciones (2)

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