halloumi anouar diff

214
N° d’ordre : 2011 EMSE 0595 THÈSE présentée par Anouar HALLOUMI pour obtenir le grade de Docteur de l’École Nationale Supérieure des Mines de Saint -Étienne Spécialité : Science et Génie des Matériaux Modélisation mécanique et thermique du procédé de laminage asymétrique soutenue à Saint-Etienne, le 17/01/2011 Membres du jury Présidente : Brigitte BACROIX Directeur de recherche CNRS, LPMTM, Paris13 Rapporteurs : Patrick DENEUVILLE Eric FELDER Ingénieur de recherche, ALCAN Docteur és-Sciences, Maître de recherche, CEMEF, Mines-ParisTech Examinateur(s) : Edgar RAUCH Jean-Denis MITHIEUX Directeur de recherche CNRS, SIMAP, Grenoble Ingénieur de recherche, ArcelorMittal Stainless Europe Directeur(s) de thèse : Christophe DESRAYAUD Frank MONTHEILLET Maître assistant, ENSMSE, Saint-Etienne Directeur de recherche CNRS, Saint-Etienne tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011

Upload: dsgdfhfdhdffhd

Post on 24-Apr-2015

49 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

N dordre : 2011 EMSE 0595 THSE prsente par Anouar HALLOUMI pour obtenir le grade de Docteur de lcole Nationale Suprieure des Mines de Saint-tienne Spcialit : Science et Gnie des Matriaux Modlisation mcanique et thermique du procd de laminage asymtrique soutenue Saint-Etienne, le 17/01/2011 Membres du jury Prsidente : Brigitte BACROIX Directeur de recherche CNRS, LPMTM, Paris13 Rapporteurs : Patrick DENEUVILLE Eric FELDER Ingnieur de recherche, ALCAN Docteur s-Sciences, Matre de recherche, CEMEF, Mines-ParisTech Examinateur(s) : Edgar RAUCH Jean-Denis MITHIEUX Directeur de recherche CNRS, SIMAP, Grenoble Ingnieur de recherche, ArcelorMittal Stainless Europe Directeur(s) de thse : Christophe DESRAYAUD Frank MONTHEILLET Matre assistant, ENSMSE, Saint-Etienne Directeur de recherche CNRS, Saint-Etienne tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Spcialits doctorales : Responsables : SCIENCES ET GENIE DES MATERIAUX MECANIQUE ET INGENIERIE GENIE DES PROCEDES SCIENCES DE LA TERRE SCIENCES ET GENIE DE LENVIRONNEMENT MATHEMATIQUES APPLIQUEES INFORMATIQUE IMAGE, VISION, SIGNAL GENIE INDUSTRIEL MICROELECTRONIQUE J. DRIVER Directeur de recherche Centre SMS A. VAUTRIN Professeur Centre SMS G. THOMAS Professeur Centre SPIN B. GUY Matre de recherche Centre SPIN J. BOURGOIS Professeur Centre SITE E. TOUBOUL Ingnieur Centre G2I O. BOISSIER Professeur Centre G2I JC. PINOLI Professeur Centre CIS P. BURLAT Professeur Centre G2I Ph. COLLOT Professeur Centre CMP Enseignants-chercheurs et chercheurs autoriss diriger des thses de doctorat (titulaires dun doctorat dtat ou dune HDR) AVRIL BATTON-HUBERT BENABEN BERNACHE-ASSOLANT BIGOT BILAL BOISSIER BOUCHER BOUDAREL BOURGOIS BRODHAG BURLAT COLLOT COURNIL DAUZERE-PERES DARRIEULAT DECHOMETS DESRAYAUD DELAFOSSE DOLGUI DRAPIER DRIVER FEILLET FOREST FORMISYN FORTUNIER FRACZKIEWICZ GARCIA GIRARDOT GOEURIOT GRAILLOT GROSSEAU GRUY GUY GUYONNET HERRI INAL KLCKER LAFOREST LERICHE LI LONDICHE MALLIARAS MOLIMARD MONTHEILLET PERIER-CAMBY PIJOLAT PIJOLAT PINOLI STOLARZ SZAFNICKI THOMAS TRIA VALDIVIESO VAUTRIN VIRICELLE WOLSKI XIE Stphane Mireille Patrick Didier Jean-Pierre Essad Olivier Xavier Marie-Reine Jacques Christian Patrick Philippe Michel Stphane Michel Roland Christophe David Alexandre Sylvain Julian Dominique Bernard Pascal Roland Anna Daniel Jean-Jacques Dominique Didier Philippe Frdric Bernard Ren Jean-Michel Karim Helmut Valrie Rodolphe Jean-Michel Henry George Grgory Jrme Frank Laurent Christophe Michle Jean-Charles Jacques Konrad Grard Assia Franois Alain Jean-Paul Krzysztof Xiaolan MA MA PR 1 PR 0 MR DR PR 1 MA PR 2 PR 0 DR PR 2 PR 1 PR 0 PR 1 IGM PR 1 MA PR 1 PR 1 PR 2 DR 0 PR 2 PR 1 PR 1 PR 1 DR MR MR MR DR MR MR MR DR PR 2 PR 2 DR CR CR CNRS EC (CCI MP) MR PR 1 MA DR 1 CNRS PR 2 PR 1 PR 1 PR 0 CR MR PR 0 MA PR 0 MR DR PR 1 Mcanique & Ingnierie Sciences & Gnie de l'Environnement Sciences & Gnie des Matriaux Gnie des Procds Gnie des Procds Sciences de la Terre Informatique Gnie Industriel Gnie Industriel Sciences & Gnie de l'Environnement Sciences & Gnie de l'Environnement Gnie industriel Microlectronique Gnie des Procds Gnie industriel Sciences & Gnie des Matriaux Sciences & Gnie de l'Environnement Mcanique & Ingnierie Sciences & Gnie des Matriaux Gnie Industriel Mcanique & Ingnierie Sciences & Gnie des Matriaux Gnie Industriel Sciences & Gnie des Matriaux Sciences & Gnie de l'Environnement Sciences & Gnie des Matriaux Sciences & Gnie des Matriaux Gnie des Procds Informatique Sciences & Gnie des Matriaux Sciences & Gnie de l'Environnement Gnie des Procds Gnie des Procds Sciences de la Terre Gnie des Procds Gnie des Procds Microlectronique Sciences & Gnie des Matriaux Sciences & Gnie de l'Environnement Mcanique et Ingnierie Microlectronique Sciences & Gnie de l'Environnement Microlectronique Mcanique et Ingnierie Sciences & Gnie des Matriaux Gnie des Procds Gnie des Procds Gnie des Procds Image, Vision, Signal Sciences & Gnie des Matriaux Sciences & Gnie de l'Environnement Gnie des Procds Microlectronique Sciences & Gnie des Matriaux Mcanique & Ingnierie Gnie des procds Sciences & Gnie des Matriaux Gnie industriel CIS SITE CMP CIS SPIN SPIN G2I G2I DF SITE SITE G2I CMP SPIN CMP SMS SITE SMS SMS G2I SMS SMS CMP CIS SITE SMS SMS SPIN G2I SMS SITE SPIN SPIN SPIN SPIN SPIN CMP SMS SITE SMS CMP SITE CMP SMS SMS SPIN SPIN SPIN CIS SMS SITE SPIN CMP SMS SMS SPIN SMS CIS Glossaire : Centres : PR 0 PR 1 PR 2 MA(MDC) DR Ing. MR(DR2) CR EC IGM Professeur classe exceptionnelle Professeur 1re catgorie Professeur 2me catgorie Matre assistant Directeur de recherche Ingnieur Matre de recherche Charg de recherche Enseignant-chercheur Ingnieur gnral des mines SMS SPIN SITE G2I CMP CIS Sciences des Matriaux et des Structures Sciences des Processus Industriels et Naturels Sciences Information et Technologies pour lEnvironnement Gnie Industriel et Informatique Centre de Microlectronique de Provence Centre Ingnierie et Sant Dernire mise jour le : 9 mars 2010 tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Remerciements A la fin de ces trois annes de travaux, il me reste le plus agrable faire : remercier les personnes qui ont contribu mindiquer les questions essentielles, les directions prendre, ventuellement les destinations atteindre, mais aussi celles que jai eu le plaisir de ctoyer quotidiennement. Je souhaite tout dabord exprimer ma reconnaissance Frank Montheillet et Christophe Desrayaud mes directeurs de thse, qui ont bien voulu maccorder leur confiance pour effectuer ces travaux. Ils se sont montrs, chacun sa manire, soucieux du bon droulement de ceux-ci et ont toujours t disponibles pour en discuter. Sans leurs encouragements, ces travaux auraient t sans doute moins aboutis. Je tiens galement remercier Eric Felder, de CEMEF Mines ParisTech, et Patrick Deneuville, de ALCAN, qui ont accept dtre les rapporteurs de cette thse, ainsi que les autres membres du jury, Brigitte Bacroix, de LPMTM, Paris13 Jean-Denis Mithieux, de ArcelorMittal Stainless Europe et Edgar Rauch, de SIMAP, Grenoble qui a bien voulu assurer la prsidence du jury ; je len remercie. David Piot sest intress ces travaux tout au long de leur droulement. Quil trouve mes sincres remerciements pour ses conseils aviss, ses apprciations et son encadrement pour la partie texture. Parmi toutes les personnes avec jai eu loccasion de discuter de manire informelle au cours de ces annes, je tiens adresser des remerciements particuliers Michel Darrieulat et Cdric Bosch. Par ailleurs, je ne remercierai jamais assez . A mes parents, Sans qui je ne serai pas l aujourdhui. Tout ce que jai accompli dans ma vie, cest grce Allah et vous, votre soutien, votre amour et vos sacrifices. Merci infiniment A mon oncle Taieb, Tu es mon exemple de courage, tes encouragements incessants me donnent des ailes. Merci beaucoup A mes grand-parents Votre soutien et votre amour font ma force. Vous avez toujours veill sur moi et mavez toujours conseill. Merci pour votre amour ternel A mes surs A mes surs pour leur prsence et leur soutien. Ainsi que pour les petits anges un gros bisou tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011A toute ma famille Pour toute ma famille, qui ma soutenu sans faillir pendant ces trois annes, et tout le long de ma thse. Un grand merci A toute ma belle famille Je rserve un remerciement tout spcial toute ma belle famille, qui ma soutenu le long des derniers moments. Et a Sarrourti qui ma apport encore bien plus, je lui tmoigne ici ma profonde gratitude. Ces annes stphanoises resteront un priode heureuse sur le plan personnel, notamment grce au groupe damis avec qui jai partag de trs bons moments mon arriv : Walid, Quentin, Nabil, Olivier, Adeline, ... auxquels se sont joints au fur et mesure des annes Fethi, Yamin, Nedjoua, Christophe, Mlanie, JB, Grgoire, et tous les autres sans oubli toute lquipe de Nature Orientation Saint-Etienne. Toutes ces personnes mont enrichi. Merci enfin tous ceux que jai peut-tre oubli en esprant quils ne men tiendront pas rigueur. tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011 iii Table des matires Table de matires iii Table des figures et des tableaux vi Notations xiv Introduction gnrale xv I. Synthse bibliographique..... 1 I.1 Procd du laminage asymtrique (ASR) .. 3 I.1.1 Prsentation du procd 3 I.1.2 Laminage froid et Laminage chaud ......... 4 I.1.3 Aspect mtallurgique.. 6 I.1.4 Dfauts de laminage ...... 8 I.2 Modlisation numrique de laminage : mthodes de calcul . 10 I.2.1 Mthode de lnergie de dformation ... 10 I.2.2 Mthode des tranches .... 10 I.2.3 Mthode de la borne suprieure .... 11 I.2.4 Mthode des lignes dcoulement . 12 I.2.5 Prise en compte des aspects thermiques .... 13 I.2.6 Mthode des diffrences finies .. 15 I.2.7 Mthode des lments finis ... 18 I.3 Modlisations et tudes exprimentales du laminage asymtrique ..... 20 I.3.1 Modlisations mcanique .. 20 I.3.2 Modlisation thermique . 25 I.3.3 Etudes exprimentales ... 26 I.4 Texture du laminage .... 28 I.4.1 Gnralits . 28 I.4.2 Reprsentation et Simulations des textures de laminage .. 28 I.4.3 Investigations des textures de laminage .... 32 Conclusions du chapitre I .. 37 tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011 iv II. Modlisation mcanique 39 II.1 Mthode du champ uniforme .... 41 II.1.1 Gomtrie et cinmatique ......... 41 II.1.2 Dformations et vitesses de dformation .. 43 II.1.3 Puissance dissipe . 45 II.1.4 Couples de laminage . 47 II.1.5 Rsultats ........ 48 II.2 Mthode des trajectoires (lignes dcoulement) ... 56 II.2.1 Gomtrie du modle . 56 II.2.2 Hypothses. 56 II.2.3 Equations des trajectoires... 57 II.2.4 Domaine de validit de a...... 60 II.2.5 Organigramme 62 II.2.6 Champ des vitesses. 63 II.2.7 Diffrentes grandeurs mcaniques..... 64 II.2.8 Puissance dissipe.. 65 II.2.9 Rsultats et interprtation.. 67 II.3 Mthode des lments finis ... 84 II.3.1 Description du laminoir. 84 II.3.2 Maillage de la tle.. 84 II.3.3 Gestion des contacts et de la tribologie.. 85 II.3.4 Conditions aux limites 86 II.3.5 Etapes de calculs.... 87 II.3.6 Quelques rsultats.. 87 Conclusions du chapitre II 92 III. Modlisation thermique ... 95 III.1 Equation de la chaleur . 96 III.2 Modlisation par diffrence finies ... 99 III.2.1 Introduction ... 99 III.2.2 Le maillage 99 III.2.3 Les conditions aux limites . 100 III.2.4 Discrtisation . 104 III.2.5 Rsolution du systme 109 III.2.6 Affinement des calculs de drive partielle... 110 III.3 Modlisation par lments finis 112 III.3.1 Introduction ... 112 III.3.2 Paramtres thermiques .. 112 III.3.3 Rhologie .. 113 III.3.4 Paramtres mcaniques . 113 III.3.5 Mise en place du programme . 114 tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011 v III.4 Rsultats et interprtations . 115 III.4.1 Champ de temprature sans prise en compte du frottement .. 116 III.4.2 Champ de temprature avec prise en compte du frottement . 118 Conclusions du chapitre III ... 119 IV. Exploitation du modle .... 121 IV.1 Influence des diffrents paramtres de laminage . 123 IV.1.1 Influence des rayons des cylindres 1R et 2R 123 IV.1.2 Influence des coefficients de frottement 1m et 2m ...... 125 IV.1.3 Influence du rapport de rduction r ... 129 IV.1.4 Influence de lpaisseur de la tle lentre eh 133 IV.1.5 Influence de lcrouissage n . 135 IV.2 Cumul de passes ... 138 IV.2.1 Les rotations de la tle .. 138 IV.2.2 Cumul de deux passes ... 139 IV.2.3 Dformations . 143 IV.3 Texture de laminage 146 IV.3.1 Principe de la mthode .. 146 IV.3.2 Simulation de la texture de laminage asymtrique 147 IV.3.3 Comparaison avec Robert [2005] .. 155 Conclusions chapitre IV 160 V. Conclusions gnrale ... 161 Annexes .. 165 A. Projection strographique et figures de ples . 166 B. Angles dEuler .. 168 C. Calcul de la longueur de lentrefer 170 D. Estimation de la dformation quivalente en laminage asymtrique 172 E. Exemples de trajectoires pour diffrentes valeurs de a... 176 F. Courbes iso-valeurs de ,xx xye e et e . 177 G. Mthode du simplexe (polygone) . 179 H. Calcul complet de la temprature . 181 I. Efforts et couples calculs avec Abaqus ... 184 J. Tenseur gradient des vitesses de dformation .. 185 K. Cumul de deux passes ... 186 Rfrences bibliographiques . 188 tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011 vi Table des figures et des tableaux - Figure I.1.1 La gomtrie du laminage asymtrique 3 - Figure I.1.2 Schma dune cage quarto de laminage 4 - Figure I.1.3 Train de laminage 5 - Figure I.1.4 Recristallisation dynamique au cours du laminage chaud 5 - Figure I.1.5 Cintique de recristallisation statique 7 - Figure I.1.6 Principales interactions multiphysiques lors de la dformation chaud 9 - Figure I.2.1 Bilan des forces sur une tranche 11 - Tableau I.1 coefficient de Taylor Quinney pour diffrents matriaux [Baque, 1973] 14 - Figure I.2.2 Principe des diffrences finies 16 - Figure I.3.1 Confrontation des efforts de laminage calcul aux rsultats exprimentaux [HWANG et al., 1995]. 20 - Figure I.3.2 Contraintes de cisaillement interne pour diffrents rapports de vitesses [TZOU et HWANG 1994] 21 - Figure I.3.3 (a) Efforts et (b) couples de laminage pour diffrents rapport de rduction 21 - Figure I.3.4 Relation entre met m 22 - Figure I.3.5 Variation du coefficient de frottement men fonction : (a) rapports des vitesses (b) rapports de rductions 22 - Figure I.3.6 Variation des efforts de laminage en fonction des rapports des vitesses pour diffrentes valeurs de r 23 - Figure I.3.7 Courbes iso-valeurs de 11h s pour (a) 0.2 r (b) 0.6 r 23 - Figure I.3.8 : courbure de la tle en fonction du rapport de rduction 24 - Figure I.3.9 (a) Efforts (b) Couples de laminage en fonction du rapport des vitesses 24 - Figure I.3.10 Efforts et couples de laminage en fonction du rapport des vitesses 25 - Figure I.3.11 Comparaison de leffort de laminage entre un modle analytique et des rsultats exprimentaux 26 - Figure I.3.12: Comparaison de la courbure de la tle entre un modle analytique et les rsultats exprimentaux 27 - Figure I.4.1 Numrotation des axes 29 tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011 vii - Figure I.4.2 Exemple figure de ples (111) et (100) pour un alliage daluminium lamin par laminage asymtrique [Jin et Lloyd, 2005] 29 - Figure I.4.3 Exemple de fonction des orientations cristallines pour le laminage chaud dun alliage daluminium. Coupes 2 = Cste 30 - Tableau I.2 Exemples de composantes idales utilises pour le calcul des fractions volumiques et leurs angles dEuler, dans un alliage CFC lamin chaud. 31 - Figure I.4.4 Reprsentation schmatique dune demi bande de laminage, du cylindre du laminoir, de la longueur cl . 33 - Figure II.1.1 Reprsentation schmatique de la gomtrie du laminage asymtrique 42 - Figure II.1.2 Influence du rapport de vitesse de rotation sur la dformation normale, le cisaillement, et la dformation quivalente de von Mises pour les deux rapports de rduction : (a) r = 0,1 ( = 1,11), (b) r = 0,2 ( = 1,25). 48 - Figure II.1.3 Influence du rapport des vitesses de rotation des cylindres sur les diffrentes composantes de la puissance dissipe : plastique PW , frottement 1 2 F FW etW , et sur la discontinuit DW 49 - Figure II.1.4 Influence du rapport des vitesses de rotation des cylindres sur la vitesse d'entre de la tle eu , et les vitesses de la matire en contact avec les cylindres suprieur et infrieur 1u et 2u , respectivement. Les vitesses tangentielles extrieures des cylindres 1 1R et 2 2R sont galement reprsentes ;(a) 0.1 r (b) 0.2 r 50 - Figure II.1.5 Influence du coefficient de frottement m sur la vitesse d'entre pour deux degrs d'asymtrie ; (a) 0.6rV (b) 0.8rV 51 - Figure II.1.6 Influence du rapport des vitesses de rotation sur les deux couples de laminage C1 et C2 pour le laminage asymtrique (a) dune tle mince (he = 0,5 mm), et (b) d'une tle paisse (he = 10 mm). Trois sries de rsultats sont confrontes : les rsultats du modle actuel (cercles), en supposant que 2 2 eu R (triangles), et le modle de Tzou (losanges). Le couple total 1 2C C C est aussi reprsent. 54 tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011 viii - Figure II.1.7 Influence du rapport des vitesses de rotation Vr sur le couple moyen. Trois sries de rsultats pour diffrentes valeurs de r sont compares avec ceux de Farhat-Nia et al. [2006]. 55 - Figure II.2.1 Gomtrie du modle de la mthode des lignes dcoulement 56 - Figure II.2.2 Allure de la fonction parabolique 0( )sy f y 58 - Figure II.2.3 Influence de a sur les trajectoires pour 0.2 r 61 - Figure II.2.4 Puissances en fonction de rV pour un rapport de rduction 0.1 r : (a) mthode des trajectoires ; (b) mthode du champ uniforme 68 - Figure II.2.5 Vitesses en fonction de rV pour un rapport de rduction 0.1 r : (a) mthode des trajectoires ; (b) mthode du champ uniforme 68 - Figure II.2.6 Puissances en fonction de rV pour un rapport de rduction 0.2 r : (a) mthode des trajectoires ; (b) mthode du champ uniforme 69 - Figure II.2.7 Vitesses en fonction de rV pour un rapport de rduction 0.2 r : (a) mthode des trajectoires ; (b) mthode du champ uniforme 69 - Figure II.2.8 Graphe des puissances et des vitesses calcules par la mthode des trajectoires 1 2 1 eR = 100 mm; R = 100 mm; = 15 tr/min ; h = 10mm; 1 2m = m = 1; = 1.25 (r = 0.2) l 70 - Figure II.2.9 Vitesses de dformation xxe , xye et dformation gnralise 0.13 ;rV 2( =2 tr/min) 72 - Figure II.2.10 Vitesses de dformation xxe , xye et dformation gnralise 0.87 ;rV 2( =13tr/min) 73 - Figure II.2.11 Dformations en fonction de rV 74 - Figure II.2.12 Couples exercs par les cylindres 75 - Figure II.2.13 Influence du rapport des vitesses de rotation sur les deux couples de laminage C1 et C2 pour : (a) l'ASR dune tle mince (he = 0,5 mm), et (b) l'ASR d'une tle d'paisseur (he = 10 mm). Trois sries de rsultats sont confront : les rsultats du modle de champ uniforme (cercles), le modle de Tzou [1994] (losanges), et le modle des trajectoires (triangles). 76 - Figure II.2.14 Effort de laminage en fonction de rV 78 - Figure II.2.15 Positions des points neutres en fonction de rV 79 tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011 ix - Figure II.2.16 Schma de calcul du rayon de courbure 79 - Figure II.2.17 Inclinaison de droites initialement verticales 80 - Figure II.2.18 Influence du rapport des vitesses sur la courbure la tle : (a) angles dinclinaison des droites ; (b) rayons de courbure 81 - Figure II.2.19 Variation de g et appg suivant lpaisseur de la tle 82 - Figure II.2.20 Relation entre g et appg 82 - Figure II.2.21 Variation de e enx L 83 - Figure II.3.1 Maillage de la tle 85 - Figure II.3.2 Relation entre m et mdaprs Tzou (1997) 86 - Figure II.3.3 Contraintes de Von Mises 88 - Figure II.3.4 Contraintes de Cisaillement 88 - Figure II.3.5. Angle de courbure de la tle 89 - Figure II.3.6 Courbure le la tle 90 - Figure II.3.7 Courbure le la tle 91 - Figure III.2.1 Reprsentation schmatique du maillage 99 - Figure III.2.2 Reprsentation schmatique des indices du maillage 100 - Figure III.2.3 Schmatisation des conditions aux limites 101 - Figure III.2.4 Diffusion de la chaleur dans un corps massif semi-infini partir de la surface 102 - Tableau III.1 Energie dactivation apparente en ( / ) kJ mole [Montheillet, 2006] 105 - Figure III.2.5 Reprsentation schmatique des indices du maillage 110 - Figure III.2.6 les nuds de calcul ; (a) calcul plus proche de la ralit (b) calcul approch 111 - Figure III.3.1 Maillage de la tle 113 - Figure III.3.2 Champ de temprature en ngligeant le frottement (Vr=0.3) (a) Elments finis (b) Diffrences finies 117 - Figure III.3.3 Champ de temprature avec prise en compte du frottement (Vr=0.3) (a) Elments finis (b) Diffrences finies 118 - Figure IV.1.1 Influence de 2R sur : (a) la puissance dissipe ; (b) les vitesses 124 - Figure IV.1.2 Influence de 2R sur la courbure de la tle 125 - Figure IV.1.3 Influence de 2m sur : (a) la puissance dissipe ; (b) les vitesses 125 tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011 x - Figure IV.1.4 Efforts de laminage : (a) 1 1 m (b) 1 2m m m(laminage symtrique) 126 - Figure IV.1.5 Couples de laminage pour 0.3rV : (a) 1 1 m ; (b) 1 2m m m 127 - Figure IV.1.6 Influence de m sur la vitesse dentre ( 0.3rV ) 127 - Figure IV.1.7 Influence de m ( 1 2m m m) sur la courbure de la tle 128 - Figure IV.1.8 Influence des coefficients de frottement sur la courbure de la tle 129 - Figure IV.1.9 Influence des coefficients de frottement sur la courbure de la tle 129 - Figure IV.1.10 Influence de r sur : (a) la puissance dissipe ; (b) les vitesses 130 - Figure IV.1.11 Influence de r sur : (a) l'effort de laminage ; (b) les couples de laminage 131 - Figure IV.1.12 Inclinaison de droites initialement verticales : (a) marquages : (b) rsultats Zuo et al., [2008] 132 - Figure IV.1.13 Influence de r sur linclinaison de droites initialement verticales 132 - Figure IV.1.14 Influence de eh sur : (a) la puissance dissipe ; (b) les vitesses 133 - Figure IV.1.15 Influence de eh sur : (a) l'effort de laminage ; (b) les couples de laminage 134 - Figure IV.1.16 Influence de eh sur linclinaison de droites initialement verticales 134 - Figure IV.1.17 Variation du paramtre du champ a en fonction de n pour 0.3rV 135 - Figure IV.1.18 Influence de n sur : (a) l'effort de laminage ; (b) les couples de laminage 136 - Figure IV.1.19 Influence de n sur linclinaison de droites initialement verticales 137 - Figure IV.2.1 Schmatisation des diffrentes rotations possibles entre deux passes 139 - Figure IV.2.2 Variation suivant l'paisseur de la tle ; (a) de la dformation yye (b) du cisaillement xye pour le chemin (a) 140 - Figure IV.2.3 Variation de e suivant l'paisseur de la tle pour le chemin (a) 141 tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011 xi - Figure IV.2.4 Variations suivant l'paisseur de la tle (a) de la dformation yye ; (b) du cisaillement xye pour le chemin (b) 141 - Figure IV.2.5 Variation de e suivant l'paisseur de la tle pour le chemin (b) 142 - Figure IV.2.6 Variations suivant l'paisseur de la tle (a) de la dformation yye ; (b) du cisaillement xye dans le cas symtrique 143 - Figure IV.2.7 Variation de e suivant l'paisseur de la tle dans le cas symtrique 143 - Figure IV.2.8 Variations de e suivant l'paisseur de la tle pour les trois chemins de laminage 144 - Figure IV.2.9 Variations de e suivant l'paisseur de la tle pour un mme rapport de rduction pour les deux passes (triangles), et des rapports de rduction diffrents (losanges) 145 - Figure IV.3.1 Gradient des vitesses pour la trajectoire 0 0.5mm y en fonction de la position x 147 - Figure IV.3.2 Variations de 13e et 13w pour la trajectoire 0 0.5mm y en fonction de la position x 148 - Figure IV.3.3 Composantes du tenseur gradient des vitesses dans lpaisseur : (a) 13d ; (b) 31d (les carrs correspondent la trajectoire y0 = 0) 149 - Figure IV.3.4 Composante 11d du tenseur gradient des vitesses dans lpaisseur (les carrs correspondent la trajectoire y0 = 0) 149 - Figure IV.3.5 Evolution de la composante 13e du tenseur vitesse de dformation dans lpaisseur 150 - Figure IV.3.6 Evolution des vitesses de rotation 13w dans lpaisseur 150 - Figure IV.3.7 Figures de ples {111} et {100} aprs une passe de laminage pour les profondeurs 0 6 y mm, 0 0 y , 0 6 y mm 152 - Figure IV.3.8 Variation de eenx Lsuivant lpaisseur 153 - Figure IV.3.9 Figures de ples {111} et {100} la mi-paisseur ( 0 0 y ) ; volution de la texture au cours de cinq passes de laminage. 154 - Figure IV.3.10 Rapport de rduction au cours de chaque passe 155 tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011 xii - Figure IV.3.11 Comparaison pour la composante xV des vitesses entre les rsultats de la prsente tude (points bleus) et ceux de Robert [2005], (pour la passe 4 de la gamme A ? et pour diffrentes profondeurs, nud 1 mi-paisseur et nud 12 la surface) 156 - Figure IV.3.12 Gradient des vitesses pour la trajectoire situe 60% de la mi-paisseur, en fonction de la positionx , pour la passe 10 156 - Figure IV.3.13 Figures de ples {111} et {100} 60%de la mi-paisseur aprs 20 passes de laminage symtrique : (a) notre simulation ; (b) mesures par RX [Robert, 2005] 157 - Figure IV.3.14 Mesures de Robert des ODF 60%de la mi-paisseur aprs 20 passes de laminage symtrique 158 - Figure IV.3.15 Calcul des ODF 60%de la mi-paisseur aprs 20 passes de laminage symtrique, l'aide du prsent modle 159 - Figure IV.4.1 Influence de quelques paramtres sur la courbure de la tle 160 - Figure A.1 Description d'une orientation par une figure de ples : principe de construction d'une figure de ples {100} : (a) Intersection de la direction avec la sphre de rfrence. (b) Projection strographique sur le plan quatorial. (c) Figure de ples {100}. 166 - Figure B.1 Description d'une orientation par les angles d'Euler dfinis selon la convention de Bunge ( 1 2, , j f j ). 168 - Figure C.1 Reprsentation schmatique d'une passe de laminage asymtrique, et dfinition des paramtres gomtriques associs. 170 - Figure D.1 Schma de la dformation d'un lment de matire en compression plane-cisaillement simple 172 - Figure D.2 Evolution du cisaillement apparent en fonction du rapport de rduction, suivant la relation (D.12) (lignes continues) et la relation de Gracio et al. [2010] (traits interrompus), pour a = 0,5 (violet) et a = 1 (noir). 174 - Figure E.1 Trajectoires pour diffrentes valeurs de a 176 - Figure F.1 Vitesses de dformation xxe , xye et dformation gnralise 2=9 tr/min 177 - Figure F.2 Vitesses de dformation xxe , xye et dformation gnralise 2=15tr/min (cas symtrique) 178 - Tableau G.1 Mthode du simplexe [Press et al., 1986] 180 tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011 xiii - Figure H.1 Reprsentation schmatique des indices du maillage 181 - Figure I.1 : Efforts et couples de laminage 184 - Figure J.1 det L pour 2 3 /min tr 185 - Figure K.1 Variations de yye suivant l'paisseur de la tle pour les trois chemins de laminage 186 - Figure K.2 Variations de xye suivant l'paisseur de la tle pour les trois chemins de laminage 187 tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011 xiv Notations 1, 2 Indices respectifs des moitis suprieure et infrieure du systme 1 2, R R Rayons des cylindres suprieur et infrieur 1 2, m m Coefficients de frottement de Tresca respectivement suprieur et infrieur m Coefficient de frottement de Coulomb r Rapport de rduction 2 eh Epaisseur de la tle lentre 2 sh Epaisseur de la tle la sortie L Longueur de lemprise 1 2, h h Tranches dpaisseur de la tle lentre, respectivement suprieure et infrieure, relatives un repre centr sur la mi-paisseur de la tle la sortie ( 1 2 2 eh h h ) 1 2, Vitesses angulaires des cylindres suprieur et infrieur ,x yV V Vitesses de la matire en tout point , ,xx yy xye e e Vitesses de dformation e e Vitesses de dformation gnralise et dformation quivalente (von Mises) 0s Contrainte dcoulement , , ,D P FiW W W W Puissances dissipes, respectivement totale, sur la discontinuit, dans lcoulement et par frottement 1 2, ,eu u u Vitesses de la matire respectivement lentre, la sortie en contact avec le cylindre suprieur et la sortie en contact avec le cylindre infrieur a Paramtre du champ T Temprature , q b Angles associs la courbure de la tle 0, sy y Ordonnes des trajectoires respectivement lentre et la sortie de la cage de laminage 1 2, C C Couples de laminage exercs par les cylindres F Effort de laminage tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011 xv Introduction gnrale Dans tous les domaines de lindustrie, la notion de mise en forme des matriaux intervient soit en amont, en aval ou en cours de production. Lobjectif premier est de confrer une pice mtallique des dimensions situes dans une fourchette de tolrances donnes ainsi que des caractristiques demploi, notamment mcaniques, prcises. Parmi les techniques de formage les plus rpandues dans lindustrie on trouve le laminage. Cette opration de mise en forme par dformation plastique, destine rduire la section dun produit de grande longueur, s'effectue par passage de celui-ci entre deux ou plusieurs cylindres tournant autour de leur axe ; cest la rotation des outils qui entrane le produit dans lemprise par lintermdiaire du frottement. Le laminage engendre un gradient de dformation suivant lpaisseur de la tle. Le cisaillement est plus ou moins intense en surface, mais nul mi-paisseur de la tle. Lhtrognit des grandeurs mcaniques induit une htrognit de la texture et de la microstructure des produits lamins. Ces problmes dhtrognit et danisotropie de proprits mcaniques des matriaux ayant subi une grande dformation plastique ainsi que diffrents traitements thermiques ont une importance cruciale au niveau industriel. Le principal dveloppement attendu est alors de pouvoir prvoir, voire de contrler, les caractristiques mcaniques et leurs variations dans lpaisseur de la tle. En effet, commercialement, cest la limite basse des caractristiques mcaniques des pices qui dtermine la valeur retenue la vente et qui sert de rfrence au dimensionnement des structures. Surtout, il est indispensable didentifier, dans tout le processus qui mne du matriau de coule la pice finale, les tapes qui sont dterminantes dans lapparition et/ou le contrle des htrognits. La connaissance des conditions de dveloppement des htrognits des grandeurs mcanique et de texture est donc primordiale ainsi que la mise au point dune procdure numrique permettant de les prdire. Le procd de mise en forme quon a tudi dans ce travail est le laminage asymtrique ; il permet de rduire lpaisseur dune tle (ou dun produit) par passage entre deux cylindres qui nont pas les mmes diamtres (asymtrie gomtrique) ou/et ne tournent pas a la mme vitesse (asymtrie cinmatique) ou/et nont pas les mmes tats des surfaces ou/et ou de temprature diffrente. Lasymtrie peut aussi tre engendre par une asymtrie dans les proprits de la tle lentr comme : un gradient de temprature entre le haut et le bas ou une diffrence des paramtres rhologiques de cette dernire. Notre travail s'est inscrit dans le cadre dun programme ANR dont lobjectif global tait de dvelopper un outil permettant de crer de nouvelles microstructures, de les caractriser et de calculer les proprits mcaniques caractristiques de ces microstructures. Ce projet, appel MICA a t lanc sous le titre : Microstructures Innovantes pour Caractristiques Amliores. Loutil retenu est un laminoir pilote, capable d'effectuer du laminage asymtrique, procd mis au point pour la premire fois par Sachs et Klinger en 1947, diffrentes tempratures, et est oprationnel sur deux sites (Villetaneuse et Grenoble) qui sont nos partenaires dans le projet depuis janvier 2008, dans une version froid uniquement. tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011 xvi Les microstructures cibles en priorit taient dune part celles issues dun processus de laminage asymtrique. Dans la littrature, divers auteurs considrent quune opration de laminage asymtrique permettrait dimposer de plus amples cisaillements, susceptibles damliorer les caractristiques de la tle lamine (avec si possible fragmentation des grains). Dautre part les microstructures complexes rencontres dans les matriaux multiphass, pour lesquels le contrle de la microstructure passe par une meilleure comprhension des mcanismes de transformation de phase lors de traitements thermomcaniques. Nous nous sommes concentrs dans ce travail sur la modlisation mcanique et thermique de ce nouveau procd, tandis que les microstructures ont t tudies Paris et Grenoble. La prsente tude concerne lanalyse mcanique et thermique du laminage asymtrique. Nous nous sommes intresss en particulier la distribution des dformations, et notamment du cisaillement, dans lpaisseur de la tle. Cette thse est divise en quatre chapitres, eux mme subdiviss en sections. Aprs une synthse bibliographique concernant les laminages symtrique et asymtrique, les mthodes de calculs gnralement utilises, ainsi que divers travaux scientifiques concernant ce procd et la prvision de texture associe, (chapitre I), le chapitre II expose en dtail les trois mthodes utilises ici pour la modlisation mcanique, les grandeurs que l'on peut prdire, les limites des diffrents modles, ainsi que les confrontations des rsultats des trois modles entre eux. Dans le chapitre III, on prsente la modlisation thermique du procd de laminage asymtrique par diffrences finies et lments finis et les rsultats obtenus sont compars. Enfin au chapitre IV, nous validons les modles et nous les exploitons, notamment la mthode variationnelle utilisant les lignes dcoulement. Il est subdivis en trois parties consacres respectivement l'influence des paramtres de laminage, l'tude du cumul de deux passes et une premire prvision de la texture. tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 1 Chapitre I Synthse bibliographique Sommaire Introduction -------------------------------------------------------------------------------------------- 3 I.1 Procd du laminage asymtrique (ASR) ----------------------------------------------- 3 I.1.1 Prsentation du procd ------------------------------------------------------------------- 3 I.1.2 Laminage froid et Laminage chaud -------------------------------------------------- 4 I.1.2.a Le rchauffage ------------------------------------------------------------------------ 6 I.1.2.b Le laminage --------------------------------------------------------------------------- 6 I.1.3 Aspect mtallurgique ---------------------------------------------------------------------- 6 I.1.3.a Ecrouissage et restauration du mtal pendant la dformation ------------------ 6 I.1.3.b Recristallisation statique------------------------------------------------------------- 7 I.1.3.c Recristallisation dynamique -------------------------------------------------------- 7 I.1.4 Dfauts de laminage ------------------------------------------------------------------------ 8 I.1.4.a Dfauts gomtriques ---------------------------------------------------------------- 8 I.1.4.b Dfauts mtallurgiques et microstructuraux -------------------------------------- 8 I.1.4.c Dfauts de surface -------------------------------------------------------------------- 9 I.2 Modlisation numrique de laminage : mthodes de calcul ----------------------- 10 I.2.1 Mthode de lnergie de dformation -------------------------------------------------- 10 I.2.2 Mthode des tranches --------------------------------------------------------------------- 10 I.2.3 Mthode de la borne suprieure --------------------------------------------------------- 11 I.2.4 Mthode des lignes dcoulement ------------------------------------------------------- 12 I.2.5 Prise en compte des aspects thermiques ------------------------------------------------ 13 I.2.5.a Les sources de chaleur surfacique ------------------------------------------------ 13 I.2.5.b Chaleur dissipe par la dformation plastique ---------------------------------- 14 I.2.5.c Effets du milieu environnant ------------------------------------------------------- 15 I.2.6 Mthode des diffrences finies ---------------------------------------------------------- 15 I.2.6.a Mailler le domaine ------------------------------------------------------------------ 16 I.2.6.b Discrtisation ------------------------------------------------------------------------- 16 I.2.6.c Conditions aux limites -------------------------------------------------------------- 17 I.2.6.d Rsoudre le systme ---------------------------------------------------------------- 17 I.2.7 Mthode des lments finis -------------------------------------------------------------- 18 I.3 Modlisations et tudes exprimentales du laminage asymtrique --------------- 20 I.3.1 Modlisations mcanique ---------------------------------------------------------------- 20 I.3.1.a Modlisations analytique ----------------------------------------------------------- 20 I.3.1.b Modlisations par lments finis -------------------------------------------------- 23 I.3.2 Modlisation thermique ------------------------------------------------------------------ 25 I.3.3 Etudes exprimentales -------------------------------------------------------------------- 26 tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 2 I.4 Texture du laminage ------------------------------------------------------------------------ 28 I.4.1 Gnralits ---------------------------------------------------------------------------------- 28 I.4.2 Reprsentation et Simulations des textures de laminage ---------------------------- 28 I.4.2.a Conventions et reprsentations ------------------------------------------------------- 28 I.4.2.b Simulations des textures de dformation -------------------------------------------- 32 I.4.3 Investigations des textures de laminage ------------------------------------------------ 32 Conclusions du chapitre I -------------------------------------------------------------------------- 37 tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 3 Introduction Cette partie a pour but de rappeler les notions utiles la comprhension et la modlisation du procd de laminage et de classer les divers travaux qui ont t raliss sur le laminage asymtrique, objet principal de ltude. Lide du procd du laminage asymtrique est relativement ancienne, mais les recherches intenses pour la comprhension du phnomne ne sont pas nombreuses. La premire partie rappellera quelques gnralits sur le procd de laminage et en particulier le laminage asymtrique, ainsi que les mthodes de calcul les plus utilises pour la modlisation des procds de mise en forme des alliages mtalliques. Par la suite la classification de diffrentes tudes sera ralise, suivant la mthode de modlisation utilise (Analytique, EF) ainsi que la prsentation de quelques travaux exprimentaux raliss dans le domaine, peu nombreux du fait que le dispositif exprimental nest pas courant. Finalement, une synthse est effectue, de quelques travaux qui tudient la texture dveloppe par, une ou plusieurs passes, de laminage asymtrique et leur comparaison aux textures de rfrence en laminage. I.1 Procd du laminage asymtrique (ASR) I.1.1 Prsentation du procd Chacun peut dfinir le laminage en fonction de ce quil cherche : Le laminage est une opration de mise en forme par dformation plastique, destine rduire la section dun produit de grande longueur, par passage entre deux ou plusieurs outils tournant autour de leur axe ; cest la rotation des outils qui entrane le produit dans lemprise par lintermdiaire du frottement. Cest la dfinition du gnraliste. R1R2xy2he2hFO1O2.. Figure I.1.1 La gomtrie du laminage asymtrique Dun point de vue mtallurgique, cest obtenir des caractristiques mcaniques ou mtallurgiques suprieures ; lopration prcdente, qui peut tre la coule, ne donnant pas satisfaction sur ce point. Dans le cas du laminage chaud, les structures de solidification sont tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 4 dtruites ou au moins modifies. Les soufflures sont crases, allonges et mme souvent ressoudes. Dun point de vue mcanique, on met en uvre des forces, des puissances, des masses, des organes souvent importants, pour lobtention de la gomtrie adquate pour le produit final. Le procd de laminage asymtrique permet de rduire lpaisseur dune tle (ou dun produit) par passage entre deux cylindres qui nont pas les mmes diamtres (asymtrie gomtrique) ou/et ne tournent pas a la mme vitesse (asymtrie cinmatique) ou/et nont pas les mmes tats des surfaces ou/et ou de temprature diffrente. Lasymtrie peut aussi tre engendre par une asymtrie dans les proprits de la tle lentr comme : un gradient de temprature entre le haut et le bas ou une diffrence des paramtres rhologiques de cette dernire. I.1.2 Laminage froid et Laminage chaud Le laminage chaud simpose pour deux raisons capitales [Bataille, 2003] et [Montmitonnet ,2002]: la premire est que la rsistance chaud du mtal dcrot trs rapidement avec la temprature. La seconde est dordre mtallurgique. Le laminage froid provoque un crouissage du mtal. Le laminage ne peut se poursuivre au-del de la limite de rupture, par ailleurs lcrouissage peut entraner un dpassement des capacits de puissance du systme de laminage froid. En pratique, les premires sries de rductions commencent chaud afin datteindre facilement de fortes dformations du matriau et dajuster les proprits mtallurgiques du produit. Le passage froid est ensuite ncessaire pour obtenir les caractristiques gomtriques et mcaniques adquates, ainsi quun bon tat de surface. Figure I.1.2 Schma dune cage quarto de laminage Les cages des laminoirs sont gnralement quarto , composes de deux cylindres de travail de faible diamtre (de lordre de 10 cm), assurant le laminage, et de deux cylindres tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 5 dappui de diamtre plus grand, comme schmatis sur la Figure I.1.2. Diffrents actionneurs de la cage (vis de serrage, vrins, etc.) permettent de rgler lpaisseur correcte en sortie demprise. Le laminage froid est gnralement ralis sur laminoirs rversibles multicylindres, o plusieurs cages se succdent, on parlera d'un train de laminage (figure I.1.3). Deux bobineuses sont disposes de chaque ct des cages pour assurer la traction et contre-traction de la bande. Le laminage seffectue sous film dhuile minrale afin de faciliter lcoulement du mtal, liminer la chaleur produite par le laminage et lubrifier les quipements internes de la cage de laminage. Figure I.1.3 Train de laminage A froid, un traitement thermique peut tre fait pour restaurer la structure et viter la rupture par endommagement. Au contraire pendant le laminage chaud, la recristallisation dynamique seffectue au cours de la dformation tant que la temprature du produit le permet (figure I.1.4). Le laminage froid nest ncessaire gnralement que pour obtenir des tolrances serres, et un bon tat de surface. Dun point de vue pratique, la diffrence entre le procd chaud et le procd froid tient donc surtout la diffrence des gomtries des produits quils traitent. En loccurrence, plus pais pour les laminages chaud et plus minces pour les laminages froid. Figure I.1.4 Recristallisation dynamique au cours du laminage chaud tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 6 Les diffrentes tapes du laminage chaud sont : I.1.2.a Le rchauffage Le rchauffage des aciers au carbone et des aciers microallis comporte trois objectifs principaux : Le premier, dordre mcanique, est simplement de porter le mtal une temprature suffisante pour diminuer les efforts de formage, accrotre la ductilit de lacier de faon pouvoir lui appliquer des dformations importantes, et de finir le laminage dans le domaine austnitique. Le second objectif, qui est plutt une consquence favorable du premier, est de se placer dans le domaine austnitique avec, pour consquences, deffacer partiellement la structure trs grossire issue de la solidification et de rduire les gradients de composition dus au phnomne de sgrgation. Enfin, lobjectif essentiel de cette phase de rchauffage est la remise en solution des prcipits apparus au cours de la solidification, en premier lieu parce quils sont trop gros, et donc pas assez nombreux pour contribuer au durcissement de lacier temprature ambiante, et parce que les lments tels que le niobium, le titane ou le vanadium jouent un rle trs important sur lvolution de la structure au cours du laminage et de la transformation allotropique ? lorsquils sont en solution solide [Fabrgue, 2000]. I.1.2.b Le laminage Dun point de vue mtallurgique, le laminage apparat comme une succession de dformations (des passes) qui vont engendrer un crouissage (et restauration ventuellement) du mtal, et de temps dattente (les inters passes) pendant lesquels la structure de lacier pourra voluer. Le laminage asymtrique a le mme aspect opratoire que le laminage classique sauf que les rayons, les vitesses et les rugosits des cylindres peuvent tre diffrentes (Figure I.1.1). I.1.3 Aspect mtallurgique I.1.3.a Ecrouissage et restauration du mtal pendant la dformation La dformation lastique de tout matriau cristallin se produit par distorsion rversible de son rseau. La dformation plastique se produit alors par ruptures et reconstructions des liaisons mtalliques qui assurent la continuit du rseau cristallin, phnomnes ncessitant en thorie une nergie considrable. La prsence des dislocations et leur dplacement suivant des plans privilgis vont permettre de raliser les ruptures et reconstructions des liaisons, non pas simultanment mais de faon discrte, rduisant ainsi de faon considrable lnergie stocke sous forme de dislocations. Dans le prsent travail nous traitons la dformation plastique, dans ce cadre le nombre de dislocations va rapidement crotre ce qui va conduire au durcissement de lacier, et est couramment appel : Phnomne dcrouissage. A la cration de ces dislocations vont tre opposs diffrents mcanismes conduisant leur limination et donc ladoucissement du matriau ; ce sont les phnomnes de restauration et recristallisation. tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 7 Il est galement ncessaire de distinguer ladoucissement qui se produit simultanment la dformation, cest la restauration ou recristallisation dynamique, de celui qui intervient aprs la dformation, cest la restauration et recristallisation statique ou post-dynamique. I.1.3.b Recristallisation statique Comme il a dj t voqu ci dessus, la recristallisation procde par germination et croissance de nouveaux grains. La recristallisation complte est atteinte lorsque les grains crouis ont t intgralement limins et remplacs par des grains exempts dcrouissage. La recristallisation statique se produisant aprs larrt de la dformation, sa cintique est de ce fait exprime en fonction du temps ; elle prsente une allure spcifique (figure I.1.5) qui est bien traduite par une loi de type Avrami [Fabrgue, 2000] : ( ) 1 exp( )nFRt kt (I.1) FR: fraction de recristallisation statique ;t : temps ; k et n : deux constantes caractrisant la cintique. ( 2 5) n Figure I.1.5 Cintique de recristallisation statique I.1.3.c Recristallisation dynamique Comme pour la recristallisation statique, la recristallisation dynamique en phase austnitique procde par germination et croissance de nouveaux grains. La premire spcificit de la recristallisation dynamique rside dans le fait que lenvironnement du nouveau grain recristallis continue de scrouir avec le ralentissement de sa croissance. La tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 8 recristallisation dynamique conduit donc un affinement trs important de la structure, au moins jusqu larrt de la dformation. La seconde spcificit du phnomne est que la structure peut recristalliser plusieurs fois de suite au cours de la dformation. Contrairement au cas de la recristallisation statique, lavance de la recristallisation dynamique ne dpend pas du temps mais de la dformation applique. Les cintiques sont galement exprimes sous la forme dune loi dAvrami o le paramtre temps est remplac par le paramtre dformation [Fabrgue, 2000]. ( ) 1 exp( )nFRt ke (I.2) I.1.4 Dfauts de laminage I.1.4.a Dfauts gomtriques Les machines et les outils (cylindres, cages) ne sont pas infiniment rigides, se dforment, et cdent lastiquement sous les efforts appliqus. Cela perturbe aussi la gomtrie des produits, crant des problmes de profil et de planit des produits plats. Des problmes de rglage des outils de production peuvent avoir des consquences du mme ordre. Des dfauts gomtriques peuvent apparatre la suite de la dformation locale du rouleau en contact avec la tle dans lemprise [Fabrgue, 2000] : Les contraintes de pression dans le contact sont relaxe par llargissement de la tle qui est fort si les rapports paisseur/largeur et paisseur/longueur de contact sont grands (cest le cas du laminage chaud ). Cet largissement est faible car inhib par le frottement des outils dans le cas du laminage froid; les contraintes de contact, donc les dformations des cylindres, seront trs fortes si on lamine des produits minces parce que les effets du frottement seront exacerbs par le grand rapport surface/volume. Le rle des efforts de tension et contre tension imposes par les moteurs de bobinage est dans ce cas primordial pour minimiser ces dfauts. A ces dfauts dorigine mcaniques se superposent des dformations dorigine thermiques, lies la dilatation, qui conduit une htrognit du diamtre du cylindre le long de son axe. Ces dilatations peuvent entraner des htrognits dpaisseur des produits finaux. I.1.4.b Dfauts mtallurgiques et microstructuraux Les dfauts microstructuraux sont trs dpendants de lalliage considr. Ce sont des tailles de grains htrognes, des textures cristallographiques mal orientes, des inclusions non mtalliques, des porosits, des fissures. Certains de ces dfauts sont hrits des structures de coule [Farhi, 1989]. Les discontinuits (porosits, fissures et criques), qui relvent des phnomnes et mcanismes dendommagement des matriaux, sont engendres par la conjugaison dtats de contrainte de tension et de lexistence dhtrognits : do un couplage mcanique/mtallurgie lchelle microscopique [Montheillet et al. 1998]. De plus les paramtres de structure granulaire et de texture voluent autant par la dformation elle-mme que lors des recristallisations induites par la dformation chaud (recristallisation dynamique) ou lors des traitements thermiques (recristallisation statique). Leur prvision passe par lutilisation des modles de mtallurgie physique appropris, eux-mmes coupls la thermomcanique [Bunge et al. 1997]. tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 9 I.1.4.c Dfauts de surface Parmi les dfauts de surface se distinguent les dfauts de type chimique comme la corrosion, incrustation doxyde, pollutions par les lubrifiants ou des dfauts de rugosits. Ce dernier cas est trs directement contrl par la mcanique du contact produit-cylindre [Montmitonnet ,2002]. Des microfissures peuvent provenir de contraintes de traction superficielle, des porosits peuvent tre la consquence du pigeage de lubrifiants (poches dhuile) ou de phnomnes de corrosion, du rebouchage incomplet de trous initiaux induits par un dcapage par exemple. Pour minimiser ces dformations ou corriger ces dfauts, on peut recourir des actionneurs de profil, en pratique des vrins dquilibrage du cylindre de travail ou de cambrage des cylindres dappui. Le pilotage de ces actionneurs nest toutefois pas ais. Dautres techniques de correction peuvent tre utilises : la translation des cylindres de travail (roll shifting) [Berger, 87], le refroidissement ou la lubrification diffrentielle, ou encore le dsaxement des cylindres haut / bas (pair-cross)Touts ces problmes de gomtrie ne seront pas pris en compte dans notre modlisation. Et pour conclure, on peut rsumer les principales interactions, mtallurgiques, thermiques et mcaniques par le schma si dessous (figure I.1.6) : C1C2ForceForce McaniqueThermiqueMtallurgie Inpact de la microstructuresur les proprits mcaniquesInfuence de la dformation sur la microstructureEnergie de dformationThermosensibilit des paramtres de la loi de comportementChaleur latente de transformation Influence sur les mcanismes microstructuraux:restauration,recristallisation,transformation de phase... Figure I.1.6 Principales interactions multiphysiques lors de la dformation chaud tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 10 I.2 Modlisation numrique de laminage : mthodes de calcul Le choix de la mthode de modlisation du procd de laminage, dpend de la nature du problme traiter (laminage chaud, froid avec ou sans bobinage), des questions poses et des rsultats recherchs. Dans cette partie on va prsenter les principales mthodes de calcul, les avantages, les inconvnients et les lments de choix. Nous justifierons ensuite les mthodes que nous allons choisir pour la partie modlisation. I.2.1 Mthode de lnergie de dformation La mthode se rsume en deux simplifications (hypothses) et une formule : pour tout le volume dform plastiquement V on choisit : - Une vitesse de dformation uniforme e . - Une valeur uniforme de la contrainte dcoulement 0s . - La puissance de dformation plastique scrit : 0 iW V s e Lavantage de cette mthode est quelle fournit trs rapidement un ordre de grandeur des efforts moteurs et de lnergie mise en jeu dans le procd. Cependant la premire hypothse nest gnralement pas vrifie et surtout dans notre cas o les gradients de vitesse de dformation jouent un rle trs important. Cette mthode ne fait pas intervenir : - La forme des outils. - La nature des contacts mtal-outil. Enfin elle nglige deux formes de travaux dissips : - Le travail de frottement. - Le travail de dformation redondant (htrognit de la dformation). Les valeurs obtenues pour la force et le travail sont donc des valeurs approches par dfaut qui ne peuvent tre quun premier ordre de grandeur. I.2.2 Mthode des tranches Lobjectif de la mthode des tranches est de calculer, en tenant compte des frottements, une valeur approche des efforts moteurs et de la distribution de pression au contact des outils. Cette mthode consiste : - dcouper par la pense le matriau en tranches verticales infiniment minces. - Faire le bilan de lensemble des forces appliques une tranche et en dduire lquation dquilibre. - Une hypothse sur le modle de frottement donne la valeur de la cission en fonction de la contrainte normale. - Le critre de plasticit est crit dans le cadre de lhypothse de linvariance des contraintes principales dans une tranche. Il permet de trouver une relation entre les contraintes principales. - Lapplication de la loi dcoulement au mode simplifi de dformation donne une relation entre les contraintes. tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 11 - Lquation dquilibre se ramne alors une quation diffrentielle pour les contraintes principales ; une condition la limite permet dobtenir par intgration la distribution des contraintes. - Les efforts moteurs se calculent alors par intgration des contraintes sur les surfaces de contact. R1R2xy2he2hFP1P2t1t2ox+doxoxto1to2ti1ti2 Figure I.2.1 Bilan des forces sur une tranche Lintrt de la mthode des tranches est de prendre en compte le frottement du matriau sur les outillages, or les simplifications ncessaires aboutissent une contradiction de base : On tient compte des frottements sur une tranche au niveau global des efforts exercs sur la tranche mais non au niveau local de la distribution des contraintes dans la tranche (absence de cisaillement). Donc les rsultats de la mthode des tranches seront dautant meilleurs que le travail de frottement sera grand par rapport au travail de dformation, donc que la surface frottante sera grande par rapport la surface libre. Ces modles sont donc plus pertinents pour le laminage des tles minces avec des grands diamtres de cylindres. De plus, cette mthode ne permet pas de prvoir les gradients des grandeurs mcaniques suivant lpaisseur de la tle. I.2.3 Mthode de la borne suprieure La mthode de la borne suprieure est un outil de calcul des procds de mise en forme qui se classe parmi les mthodes dencadrement. Car, rsoudre un problme de mise en forme, cest dabord obtenir une valeur approche des principales grandeurs (couples de laminage, force de poinonnage, etc.). Par ailleurs, il est souhaitable dobtenir ces informations au moyen de calculs relativement simples. Le calcul algbrique est principalement utilis. Le principe gnral de la mthode qui dcoule du sens physique de la mthode ; Pour rendre compte des dplacements imposs la matire par les outillages, on invente un champ tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 12 dcoulement qui dissipe une certaine puissance par dformation et frottement. Mais lcoulement normal, plus conome, dissipe moins dnergie , comporte toujours les tapes suivantes : a. Calcul de la puissance des forces motrices extrieures Les forces motrices extrieures sexercent par lintermdiaire doutils se dplaant (rotation des cylindres, translation dune matrice, ). La puissance de ces forces extrieurs se met sous la forme du produit de deux grandeurs ; "la force" par "la vitesse de dplacement". Pour le laminage, cest le couple multipli par la vitesse angulaire. b. Calcul approch de la puissance dissipe par dformation plastique Supposer un champ de vitesses incompressiblesu ,qui vrifie les conditions aux limites sur les vitesses, et destin approcher lcoulement rel de la matire. Calcul de la puissance dissipe par unit de volume 0 vW s e , en tout point o la vitesse est continue. Calcul de la puissance dissipe par unit de surface 03sW us, en tout point des surfaces de discontinuit. Par la suite, intgrer vW dans tout le volume et sW sur toutes les surfaces de discontinuit. La somme donne la puissance totale dissipe par dformation plastique PW . c. Calcul approch de la puissance dissipe par frottement Aux interfaces outil-matire, on calcule la puissance dissip par unit de surface 03fW m usd . u d : La vitesse relative de loutil et de la matire dans son mouvement fictif. Intgration de fW sur les interfaces qui donne FW . d. Et finalement le bilant approch de lnergie E P FW W W (I.3) Le membre droite est calcul. Le membre de gauche contient la grandeur technologiquement inconnue (exemples : paramtres du champ, vitesse dentre de la tle, ), dont lintgration de (I.3) fournit lapproximation par excs. I.2.4 Mthode des lignes dcoulement La dtermination des vitesses de dformation et des contraintes dans un coulement par cette mthode sappuie sur la donne exprimentale du champ de vitesses, ou encore (comme nous le ferons par la suite) dun champ de vitesse suppos a priori. La mthode des lignes dcoulement nest valable que pour les coulements stationnaires de corps rigide plastiques et viscoplastiques, ce qui est bien vrifi dans notre cas. En rgime stationnaire, cette mthode est appele aussi mthode des trajectoires. Pour un tel coulement, on peut photographier au cours de lopration, les dformes des lignes initialement parallles la direction de lcoulement. Ces dformations sont les lignes dcoulement (confondues avec les trajectoires puisque le problme est stationnaire) et tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 13 leur connaissance jointe lincompressibilit plastique permet de dterminer le champ de vitesse et de dterminer toutes les grandeurs cherches. Lenchanement des calculs est synthtis dans lorganigramme ci-dessous (paragraphe II.2.5). Pour rsumer, on peut dire que les mthodes des tranches et dencadrement sont des mthodes prdictives et globales - prdictives car fondes sur des schmatisations a priori du procd, schmatisations guides par le sens physique de lingnieur. - globales par les rsultats quelles fournissent : encadrement de la charge, allure gnrale de lcoulement, valeur moyenne des contraintes. A linverse, les Mthodes variationnelles fondes sur linterprtation de lexprience ou limagination du champ des vitesses, permettent datteindre des grandeurs locales lies au procd de dformation : vitesses de dformation et contraintes locales par exemple. I.2.5 Prise en compte des aspects thermiques Dune manire gnrale, lensemble des travaux de modlisation thermique, sappuient sur lquation classique de conservation de lnergie, dite " quation de la chaleur " qui scrit sous sa forme la plus gnrale comme suit : . ( )p p volTC C v gradT div gradT wtr r l (I.4) T dsigne le champ de temprature r la masse volumique exprim en 3. kg m pC la capacit calorifique exprime en 1 1. . J kg K l la conductivit thermique exprime en 1 1. . W m K v Le champ de vitesses matriel volw reprsente des ventuelles sources volumiques de chaleurs Le terme convectif . v gradT doit tre pris en compte dans les calculs eulriens qui peuvent savrer intressants pour le laminage o la matire scoule travers les rouleaux dont le centre reste une position fixe. Gnralement , r pC et l sont considre comme des constantes bien quelles soient dpendantes de la temprature. I.2.5.a Les sources de chaleur surfacique Les sources de chaleurs sont plus particulirement considres comme des flux de chaleur imposs de type Fourier. Elles sont souvent localises linterface outil/matire et on les formalise comme suit : . dgradT n l (I.5) O dest le flux de chaleur surfacique impos et n , la normale extrieure la matire sur la surface de contacte. d peut alors reprsenter plusieurs phnomnes selon les auteurs. tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 14 Flux surfacique : Il peut reprsenter le flux surfacique comme une partie de lnergie de frottement. La chaleur libre par frottement entre les cylindres et la tle se partage la fois dans la matire et dans les outils. Donc mme si le modle ne considre pas les cylindres, un coefficient de partage doit tre introduit afin de quantifier la quantit de chaleur se propageant uniquement dans la tle. Pour cela, [Baque et al., 1973] introduisent leffusivit, Pe C r l et donc la condition aux limites devient : d matirematire cylindreee e (I.6) Cette expression du coefficient de partage a t tablie dans le cadre dun problme thermique unidimensionnel pour deux corps semi-infinis dont les proprits thermiques sont constantes. Cette expression peut alors donner une valeur indicative du coefficient dchange entre loutil et les plaques. I.2.5.b Chaleur dissipe par la dformation plastique On supposant que la contrainte dcoulement 0s est constante pendant la dformation et e est la dformation subie par un lment de matire de volumeV . Lnergie de dformation plastique dissipe dans la matire est 0 V s e . A cette dissipation correspond un accroissement dnergie interne. Soit r sa masse volumique et c la chaleur massique. On constate quune fraction seulement de la puissance de dformation sert lchauffement de la matire. Le reste va servir comme nergie dcrouissage. Lexpression de lnergie plastique transforme en chaleur est donne par la relation : 0dvolW s e (I.7) O d peut tre assimil au coefficient de Taylor-Quinney. Il est en gnral voisin de 0.9 (voir tableau I.1). En outre, pour la majorit des mtaux, on ne connat pas sa valeur exacte. Mtal d Cuivre Aluminium Acier doux 0.92 0.92 0.87 Tableau I.1 coefficient de Taylor Quinney pour diffrents matriaux [Baque et al., 1973] Ltablissement de cette source de chaleur ncessite aussi de coupler le modle thermique au modle mcanique, afin dobtenir les champs de vitesses de dformation et de contraintes. tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 15 I.2.5.c Effets du milieu environnant Ce paragraphe est consacr aux conditions aux limites reprsentant les interactions entre la tle et le milieu extrieur. Les surfaces en contact avec lair ambiant, ont des conditions au limite de type convection naturelle, modlises par un coefficient dchange : . ( ) gradT n h T T l (I.8) Les surfaces en contact avec lair ambiant ont un coefficient dchange, indpendant de la temprature, reportes de 2 110 . . W m K et 2 130 . . W m K suivant les auteurs, pour une valeur T de20 C . Il est aussi possible dinclure dans ces conditions des changes thermiques par rayonnement : 4 4) . . (T T Tn es l (I.9) O s est la constante de Stefan ( 8 4 25.67.10 . . s W K m ) et e lmissivit de la tle. On nglige ces changes dans nos calculs. I.2.6 Mthode des diffrences finies Si on sintresse uniquement la modlisation thermique on peut utiliser la mthode des diffrences finies en tenant compte le cas chant du champ de vitesse subi par le matriau, dans le terme de drive particulaire de la temprature. Lquation de la chaleur dans le cas gnrale scrit : 0( ) ( ) dc vgrad T T r l s e (I.10) Quon peut lcrire sous cette forme : 2 2/ , ,2 2/ ,, / ,/ ,0. .xi j i jyi ji j i ji jdTv x T TT v x yyc r l s e (I.11) Le principe de cette mthode pour la rsolution de cette EDP est prsent ci-dessous. 0 120 T f surT T surTg surn OAyAxyxI1 I2ni i+1 i-1jj+1j-1 Figure I.2.2 Principe des diffrences finies tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 16 I.2.6.a Mailler le domaine Un maillage est un ensemble de points du domaine de dfinition sur lequel on va appliquer la mthode des diffrences finies (Figure I.2.2). Pour une application dfinie sur un segment (dimension 1), on ajoutera en gnral les deux extrmits du segment ; pour un maillage en dimension suprieure, on sera amen choisir, ventuellement, des points du contour du domaine de dfinition. I.2.6.b Discrtisation Pour calculer ( ) njT , on utilise les points situs de part et dautre de jx .Considrons les dveloppements en sries de Taylor autour de x, de la fonctionT : ' ( ) 11 1' ( ) 22 2( ) ( ) . ( ) ... ( )!( ) ( ) . ( ) ... ( 1) ( )!nnnn nhT x h T x h T x T xnhT x h T x h T x T xn (I.12) Soit , ( , )i j i jT T x y Pour ix x et jy y , on obtient partir du dveloppement prcdent lordre 2 : 1, 1,,, 1 , 1,2.2.i j i ji ji j i ji jT TTx xT TTy y (I.13) En additionnant les dveloppements en sries de Taylor des fonctions 1( ) T x h et 2( ) T x h lordre 2, on obtient : 21, , 1,2 2,2, 1 , , 12 2,2.2.i j i j i ji ji j i j i ji jT T TTx xT T TTy y (I.14) Et finalement 21, 1, 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1, 2. 4. .i j i j i j i j i i i ji jT T T T T TTy x y x x y (I.15) tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 17 I.2.6.c Conditions aux limites En gnral, on impose sur le contour (en tout point), des conditions aux limites de type Dirichlet ou Neumann. En mathmatiques, une condition aux limites de Dirichlet est impose une quation diffrentielle (ED) ou une quation aux drives partielles (EDP) lorsque l'on spcifie les valeurs que la solution doit vrifier sur les frontires/limites du domaine. Cest la valeur de T dans notre cas. Cependant, une condition aux limites de Neumann (nomme d'aprs Carl Neumann) est impose ED ou EDP lorsque l'on spcifie les valeurs des drives que la solution doit vrifier sur les frontires/limites du domaine. Soit le gradient de T dans notre exemple. I.2.6.d Rsoudre le systme Pour rsoudre ces quations, on est en gnral amen rsoudre des systmes dquations de tailles consquentes. La mthode utilise pour la rsolution de ce systme va jouer un rle trs important sur le temps de calcul. Il y a plusieurs mthodes de rsolution des systmes. Pour les systmes linaires, on utilise les mthodes directes ; qui sont des mthodes dans lesquelles la solution est obtenue de faon exacte (, aux erreurs darrondis machine prs) en un nombre fini doprations. Le prototype de mthode directe est la mthode du pivot de Gauss. Et des mthodes itratives ; le vecteur solution du systme est obtenu comme limite, quand elle existe, dune suite itrative de vecteurs dfinie par une rcurrence linaire. Parmi les itratives on cite la mthode de Jacobi et la mthode de Gauss-Seidel ou de relaxation. Parmi les mthodes de rsolution des systmes non linaire, on mentionne la mthode de Newton-Raphson. Pour conclure : Les avantages de la mthode des diffrences finies : - grande simplicit dcriture ; - faible cot de calcul. Les inconvnients de la mthode des diffrences finies : - limitation de la gomtrie des domaines de calculs ; - difficults de prise en compte des conditions aux limites ; - en gnral, absence de rsultats de majoration derreurs. tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 18 I.2.7 Mthode des lments finis La mthode des lments finis consiste rechercher une solution approche de la solution exacte sous la forme d'un champ ( , ) F M t dfini par morceaux sur des sous domaines de . Les n sous domaines idoivent tre tels que 1ni i jiet i j O i dsigne l'intrieur de i. Autrement dit, les isont une partition de . Les champs ( , )if M t , dfinis sur chaque sous domaines sont des champs choisis parmi une famille arbitraire de champs (gnralement polynmiaux). La famille de champs locaux est appele espace des fonctions d'interpolation de l'lment. La famille de champs globaux ( , ) F M t , obtenus par juxtaposition des champs locaux est appele espace des fonctions d'interpolation du domaine . Le champ dans chaque sous domaine iest dtermin par un nombre fini de valeurs du champ (ou de valeurs de ses drives) en des points choisis arbitrairement dans le sous domaine, et appels nuds. Le champ local est une interpolation entre les valeurs aux nuds. Le sous domaine muni de son interpolation est appel lment. Chercher une solution par lments finis consiste donc dterminer quel champ local on attribue chaque sous domaine pour que le champ global ( , ) F M t obtenu par juxtaposition de ces champs locaux soit proche de la solution du problme. Parmi les contraintes qu'on impose la solution approche cherche, il y a souvent au moins une continuit simple la frontire entre les sous domaines. La qualit de la solution approche dpend de la division en sous domaines (nombre et dimensions des sous domaines), du choix de la famille de champs locaux dans chaque sous domaine, et des conditions de continuit qu'on impose aux frontires des sous domaines. Une fois ces choix faits, il reste rechercher, une combinaison de champs locaux qui satisfait approximativement les quations. Pour rsoudre un problme par la mthode des lments finis, on procde donc par tapes successives : 1. On se pose un problme physique sous la forme d'une quation diffrentielle ou aux drivs partielles satisfaire en tout point d'un domaine , avec des conditions aux limites sur le bord ncessaires et suffisantes pour que la solution soit unique. 2. On construit une formulation intgrale du systme diffrentiel rsoudre et de ses conditions aux limites : C'est la formulation variationnelle du problme. 3. On divise en sous domaines : C'est le maillage. Les sous domaines sont appels mailles. 4. On choisit la famille de champ locaux, c'est dire la fois la position des nuds dans les sous domaines et les polynmes (ou autres fonctions) qui dfinissent le champ local en fonction des valeurs aux nuds (et ventuellement des drives). La maille complte par ces informations est alors appele lment. 5. On ramne le problme un problme discret : C'est la discrtisation. En effet, toute solution approche est compltement dtermine par les valeurs aux nuds des lments. Il suffit donc de trouver les valeurs attribuer aux nuds pour dcrire une solution approche. Le problme fondamental de la mthode des lments finis peut se rsumer en deux questions : Comment choisir le problme discret dont la solution est "proche" de la solution exacte? Quelle signification donner au mot "proche"? tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 19 Les tapes 1, 2, 3, 4 et 5 sont souvent rassembles sous le nom de prtraitement. 6. On rsout le problme discret: C'est la rsolution 7. On peut alors construire la solution approche partir des valeurs trouves aux nuds et en dduire d'autres grandeurs: C'est le post-traitement. 8. On visualise et on exploite la solution pour juger de sa qualit numrique et juger si elle satisfait les critres du cahier des charges : C'est l'exploitation des rsultats. Pour rsumer : Les avantages de la mthode des lments finis : - traitement possible de gomtries complexes ; - dtermination plus naturelle des conditions aux limites ; - possibilit de dmonstrations mathmatiques de convergence et de majoration derreurs. Les inconvnients de la mthode des lments finis : - complexit de mise en oeuvre ; - cot en temps de calcul et en mmoire. tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 20 I.3 Modlisations et tudes exprimentales du laminage asymtrique Dans cette partie, une investigation de la littrature a pour but de rappeler et de classer les divers travaux qui ont t raliss sur le laminage asymtrique. Ils sont groups suivant la formulation choisie: modlisation analytique ou semi-analytique, modlisation par la mthode des diffrences ou lments finis et finalement quelques tudes exprimentales. I.3.1 Modlisations mcanique I.3.1.a Modlisations analytique Ce procd, a t mis au point pour la premire fois par Sachs et Klinger en 1947. Ils se sont concentrs sur les mcanismes de la roue motrice (un cylindre est libre en rotation, entrain par la tle). Ils ont modlis le laminage asymtrique par la mthode des tranches. Ils ont une rgion dite de cisaillement, o les forces de friction des deux roues motrices agissent sur la tle dans deux directions opposes. La courbure dveloppe la sortie serait due cette rgion. Leur modle est dvelopp par Holbrook et Zorowski [1966], o on introduit la non symtrie de la distribution de la pression sur les cylindres. Ce modle permet de prdire la courbure de la tle la sortie de la cage de laminage. Figure I.3.1 Confrontation des efforts de laminage calculs aux rsultats exprimentaux [Hwang et al., 1995]. Un modle analytique a t propos par Hwang et al [1995] pour du laminage asymtrique froid avec les hypothses ordinaires ; des cylindres indformables, le matriau de la tle a un comportement parfaitement plastique, la dformation est plane et la tle sort avec une vitesse uniforme. Le frottement est de type Tresca avec 1 m . Les auteurs ont utilis la mthode de flux et la mthode de la borne suprieure pour tudier lcoulement plastique des tles sandwich dans lemprise. Leur modle est confront avecsuccs des rsultats exprimentaux (efforts de laminage Figure I.3.1, courbure de la tle, et puissance de laminage). La mthode des tranches est la plus utilise pour la modlisation analytique du laminage classique ou asymtrique. Hwang et Tzou [1994] ont exploit cette mthode, comme plusieurs autres travaux, pour modliser le procd du laminage asymtrique chaud. Ces derniers ont tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 21 pris en compte une diffrence de distribution des pressions entre les cylindres et ont vu leffet des contraintes de cisaillement sur le comportement de la tle. Leur modle prdit les positions des points neutres, les efforts et les couples de laminage, pour 1.02 1.08 Vr. Figure I.3.2 Contraintes de cisaillement interne pour diffrents rapports de vitesses [Tzou et Hwang 1994] Ils concluent partir de la figure I.3.2 que la zone de cisaillement croise slargit avec laugmentation du rapport des vitesses de rotation des cylindres. Leur modle prdit aussi les efforts et les couples de laminage pour diffrents paramtres (Figure I.3.3). Toujours pour 1 1.08 Vr ou une paisseur de la tle a lentre de 1mm. De mme, la mthode des tranches, a t utilise pour modliser le laminage asymtrique par Hwang et Tzou [1994] pour comparer deux modles de frottement : le frottement de Coulomb p t m et le frottement de Tresca mk t . Ces tudes ont permis dtablir une relation entre les coefficients et m. En tenant compte de leffet des vitesses des cylindres, du rapport de rduction, les diamtres des cylindres et des tensions inter cages. Voir Figure I.3.4. Dans cette tude lpaisseur de la tle a lentre est de lordre de 1mm (tle mince). (a) (b) Figure I.3.3 (a) Efforts et (b) couples de laminage pour diffrents rapport de rduction tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 22 Figure I.3.4 Relation entre met m Dans ce travail ont aussi t tudies les relations entre : - les rapports des vitesses et le coefficient de frottement mdune part, - les rapports de rductions et m Elles sont illustres sur les figures I.3.5 (a) et (b). Ces calculs sont faits pour des tles minces (1 ) mm . (a) (b) Figure I.3.5 Variation du coefficient de frottement men fonction : (a) rapports des vitesses (b) rapports de rductions Salimi (2002 et 2004) et son groupe ont tudi le laminage asymtrique par diffrentes mthodes. Ils ont utilis dans ce contexte la mthode des tranches, dans le cadre des dformations planes. Leurs modles prdisent les efforts (Figure I.3.6), les couples et les positions des points neutres. tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 23 Figure I.3.6 Variation des efforts de laminage en fonction des rapports des vitesses pour diffrentes valeurs de r I.3.1.b Modlisations par lments finis Vu la complexit de la modlisation mcanique et thermique du laminage asymtrique, plusieurs chercheurs choisissent la mthode des lments finis (FEM) pour modliser le procd. Richelsen [1997] a tudi le laminage asymtrique par FEM pour un matriau viscoplastique et le cas de la dformation plane. Lauteur tudie linfluence du rapport de rduction et lpaisseur initiale sur la courbure de la tle et la distribution des contraintes (Figure I.3.7). Figure I.3.7 Courbes iso-valeurs de 11s , supinf 1.667mm pour (a) 0.2 r (b) 0.6 r Cette tude permet de conclure que la courbure augmente avec laugmentation de rapport de rduction tant quil est infrieur 30%. Par contre pour un rapport de rduction suprieur 30%, la tle a tendance se redresser. tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 24 Lu et al. [2000] ont ralis une simulation par lments finis du procd du laminage asymtrique. Lhypothse de dformation plane est prise dans leur modle, les cylindres sont rigides. La temprature de la tle est constante durant le laminage. Ils concluent quune augmentation de lpaisseur dentre entrane un redressement de la tle. Une augmentation du rapport de rduction augmente en revanche la courbure de la tle. Linfluence du rapport de rduction est plus importante que celle de lpaisseur dentre. Une augmentation de la moyenne des diamtres des cylindres, a une grande influence sur laugmentation de la courbure de la tle. Cette influence se manifeste plus pour les tles minces que les tles paisses. Figure I.3.8 : courbure de la tle en fonction du rapport de rduction La flexion de la tle dpendant de son paisseur initiale, du rapport de rduction et de la moyenne des diamtres des cylindres, daprs la figure I.3.8, on peut optimiser ces paramtres de telle sorte que la tle sorte horizontale de la cage de laminage. (a) (b) Figure I.3.9 (a) Efforts (b) Couples de laminage en fonction du rapport des vitesses Dans dautres travaux Salimi, Farhat-Nia et Movahhedy [2006] ont tudi le laminage asymtrique par la mthode des lments finis, avec une formulation ALE (Arbitrairement tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 25 Lagrangien-Eulrien). Un matriau isotrope crouissable est utilis. Cette approche prvoit la courbure dveloppe la sortie due la diffrence de ltat des surfaces des cylindres. Et les efforts et les couples en fonction du rapport des vitesses (1 1.08) Vr (Figure I.3.9). Figure I.3.10 Efforts et couples de laminage en fonction du rapport des vitess es Une analyse numrique en trois dimensions est conduite par Akbari et al. [2007]. Linfluence de divers paramtres a t tudie par une simulation numrique sur ABAQUS explicite. Ils ont considr un matriau qui suit la loi de Hollomon, des cylidres rgides, une combinaison entre le frottement de Coulomb et celui de Tresca min( , ) p mk t m . Avec3k s, leurs rsultats des couples et des efforts sont reprsents sur la figure I.3.10 pour un laminage quasi-symtrique (1 1.12) Vr. De manire gnrale, il est important de remarquer que tous les modles prsents ici sont valables pour le cas des tles minces, ou pour un rapport des vitesses de rotation proche du cas de laminage symtrique. Si on ne respecte pas ces hypothses fondamentales, ou si on sloigne de ces conditions, les rsultats doivent tre considrs avec prudence. I.3.2 Modlisation thermique Bien que la majorit des tudes sur le laminage asymtrique soient ralises en isotherme pour dcrire une asymtrie mcanique on relve des analyses lments finis dont Lenard et al. [1994], du laminage, rendu asymtrique du fait dune distribution dsquilibre de la temprature suivant lpaisseur de la tle. Dvoikin et al. [1995] ont tudi, par lments finis, linfluence de lasymtrie due une diffrence des tempratures des cylindres suprieur et infrieur sur la distribution des contraintes dans la cage de laminage. Ils ont conclu que la tle se courbe de cot du cylindre le moins chaud. tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 26 I.3.3 Etudes exprimentales Une tude exprimentale devient dautant laborieuse que le nombre des paramtres qui entrent en jeux est plus grand. Ce qui est le cas du laminage asymtrique. Autant, la non disponibilit des dispositifs exprimentaux ou le cot de les mettre en place, limite encore les tudes exprimentales pour ce procd. Les premires tudes exprimentales du laminage asymtrique sont reportes dans les travaux de Oekmarev et Nefedou [1956] qui ont fait des essais sur le plomb, lacier et laluminium, puis suivis des tudes de Boxton et Browning [1972] qui ont lamin des bandes de pte. Ces deux travaux exprimentaux avaient confirm que le laminage asymtrique est un moyen de rduire leffort de laminage et que sous des conditions de laminage une rduction de leffort et du couple de laminage de 40% est possible. Ghobrial [1989] a utilis la mthode exprimentale pour tudier la dispersion des contraintes sur larc du contact. Il a conclu que lasymtrie due la diffrence des diamtres des cylindres na pas un grand effet sur la largeur de la zone de cisaillement crois. Et la position du pic de leffort normal sur le cylindre de plus petit diamtre ne concide pas ncessairement avec la position du point neutre. Paralllement au modle analytique fait par Hwang et al. [1995], une tude exprimentale tait conduite sur lAluminium, le cuivre et un acier doux. Et la comparaison des rsultats entre le modle analytique et lexprimental tait examine. Hwang et Tzou [1997] ont dvelopp leurs ancien modle pour un modle de laminage asymtrique chaud et froid par la mme mthode (mthode des tranches). Le frottement entre la tle et le cylindre est de type Tresca. Une srie dessais de laminage froid de laluminium ont t faits et les efforts ont t mesurs. Leur modle peut estimer le coefficient de frottement une fois que le glissement est mesur. Ce coefficient est utilis pour calculer analytiquement leffort de laminage et le comparer avec lexprimental. Les hypothses du premier modle Hwang et Tzou [1995] sont conserves pour ce modle. Figure I.3.11 Comparaison de leffort de laminage entre un modle analytique et des rsultats exprimentaux tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 27 Les grandeurs mesures exprimentalement sont pratiquement celles quon mesure pour le laminage symtrique. Cest le cas des efforts de laminage par exemple. Dautres grandeurs comme les couples sur les cylindres, leurs tempratures sont mesures indpendamment pour le cylindre suprieur et infrieur contrairement au laminage classique. Enfin on doit mesurer la courbure de la tle la sortie de la cage de laminage et la dforme dun segment de droite initialement parallle la direction normale. Dans tous ces travaux, la comparaison entre les modles (analytiques ou par lments finis) et les rsultats exprimentaux montrent une diffrence sensible. Sur les courbes qui reprsentent les efforts de laminages, les valeurs calcules analytiquement sont suprieures aux valeurs de mesures exprimentales. Cette diffrence est dautant plus importante que la tle est plus paisse. Tous les auteurs dfendent lide que cette diffrence est due la non prise en compte (sous estim) du cisaillement suivant lpaisseur de la tle. Figure I.3.12: Comparaison de la courbure de la tle entre un modle analytique et les rsultats exprimentaux tel-00609219, version 1 - 18 Jul 2011Chapitre I. Synthse bibliographique 28 I.4 Texture du laminage I.4.1 Gnralits Les problmes dhtrognits et danisotropie de proprits mcaniques des matriaux ayant subi une grande dformation plastique ainsi que diffrents traitements thermiques ont une importance cruciale au niveau industriel. En ce qui concerne leurs causes dapparition, plusieurs domaines entrent en jeu [Solas, 1997] : - Les htrognits de dformation. - Microscopiques consquence dun adoucissement local intragranulaire (bandes de glissement). - Msoscopiques dues aux proprits mtallurgiques du matriau et la prsence de zones dures et de zones molles (grains restaurs ou recristalliss, bandes de cisaillement,). - Macroscopiques dues au processus de dformation lui-mme (phnomnes de friction, gradient de temprature, procd, etc.). - Lhtrognit des traitements thermiques entrepris suite cette dformation et rgissant certaines des proprits mtallurgiques du matriau (essentiellemen