Mtodo de Gauss-SeidelAguirre KevinJcome SebastinReal MelissaDepartamento de Ciencias exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas-ESPESangolqui, Ecuadorsebas-10-jacome@hotmail.commereal95@gmail.comkandres3@hotmail.com.ar

Resumen.- Este documento es una gua para los estudiantes o personas que quieran conocer sobre el mtodo de Gauss-Seidel. Su definicin, teoremas y para su mejor comprensin contiene ejemplos de cmo aplicar el mtodo de la Gauss-Seidel.

Abstract.- This document is a guide for students or people who want to know about the method of Gauss-Seidel. Its definition, theorems and for its better understanding contains examples of how to apply the method of Gauss-Seidel.

I. INTRODUCCIONSe dar a conocer cmo fue que descubrieron de cmo utilizar el mtodo de Gauss-Seidel por medio de un ejercicio de electrnica.Se realizan los respectivos ejercicios para la compresin del usuario sobre el mtodo de Gauss-Seidel.

II. HISTORIAEste mtodo se basa en la aproximacin iterativa propuesta por Seidel en 1874 en la Academia de Ciencias de Munich, para la aplicacin al problema del flujo de potencia.

Fig.1 Ejercicio propuesto por SeidelLa ecuacin anterior es el corazn del algoritmo iterativo. La iteracin comienza con una estimacin de las magnitudes y ngulos de todas las barras del sistema, y se van recalculando las tensiones utilizando los mejores valores disponibles. Esto es, para calcular la tensin Vk se utilizan los ya actualizados, y los ...n del paso anterior. El mtodo tiene una convergencia extremadamente lenta pero segura (excepto para problemas mal condicionados, o sin convergencia posible).III. MODELAMIENTO PREVIOLa potencia:A partir de las corrientes de lnea y tensiones en las barras de potencia aparente se puede calcular fcilmente como

O separando inmediatamente

IV. METODO DE GAUSS SEIDELEl mtodo de Gauss-Seidel pertenece a la familia de los mtodos iterativos utilizados para obtener la o las races de una funcin cualquiera, especialmente en forma de matrices de n ecuaciones [A]{X}={B}

Si los elementos de la diagonal de la matriz que se est solucionando no son todos cero la 1era se resuelve para x1, la 2da para x2 y la tercera para x3, y la ensima para xn para obtener:

V. TEOREMAConsiderar un sistema de n ecuaciones con n incgnitas, es decir, se tiene una matriz de coeficientes A cuadrada. Si el valor absoluto del elemento de la diagonal de cada rengln de A es ms grande que la suma de los valores absolutos de los otros elementos de tal rengln entonces el sistema tiene una solucin nica. El mtodo iterativo de Gauss-Seidel converger a la solucin sin importar los valores iniciales.As es como empieza el proceso iterativo suponiendo que los valores iniciales de x son cero. Luego al obtener el primer x1 se evala en (2) junto con el valor previo de x3 y de igual forma se procede en (3) con el x2 calculado y el x1 previo, para finalmente volver a (1) bajo la misma frmula, haciendo converger el sistema.

VI. CRITERIO DE CONVERGENCIAEste criterio no solo se aplica a las ecuaciones lineales que se resuelven con el mtodo de Gauss-Seidel sino tambin para el mtodo iterativo del punto fijo y el mtodo de Jacobi . Por tanto, al aplicar este criterio sobre las ecuaciones de Gauss-Seidel y evaluando con respecto a cada una de las incgnitas, obtenemos la expresin siguiente:

El valor absoluto de las pendientes en la ecuacin, debe ser menor que la unidad para asegurar la convergencia.

Es decir, el elemento diagonal debe ser mayor que el elemento fuera de la diagonal para cada regln de ecuaciones. La generalizacin del criterio anterior para un sistema de n ecuaciones es:

VII. EJEMPLOS DE CONVERGENCIAIteraciones utilizando las siguientes ecuaciones sin ordenar.

Tabla 1. Divergencia seidel

Fig.2 Divergencia de SeidelEn resumen. El mtodo de Gauss-Seidel est basado en el concepto de punto fijo, es decir ( xi = gi (x), i = 1.. n), para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para garantizar la convergencia se debe de cumplir que el sistema tenga una diagonal dominante, es decir que se cumpla la desigualdad dada abajo; si se cambia el orden de las ecuaciones puede haber divergencia.

Adems, se destaca que para mejorar la convergencia, se usan tcnicas como:Utilizacin de los clculos previos asumiendo una mejor aproximacin que el vector de condiciones iniciales. ( Gauss-Seidel ).Un factor de ponderacin para reducir el error residual ( Relajacin )

VIII. ERRORES DE GAUSS SEIDELVentajasEspacio: convenientes para matrices cuadradasTiempo: menor nmero de operacionesDesventajasVelocidad: convergencia lentaConvergencia: no siempre se obtiene la solucin en un nmero finito de pasos

IX. ANALISIS DE ERROR

X. DIAGRAMA DE FLUJO

Fig.3 Diagrama de flujoXI. PROBLEMASProblema 1Una compaa minera extrae mineral de dos minas, las cuales contienen para la mina 1 el 1% de plomo, proveniente de la galena, y 2% de hierro, que se extrae de la hematites; para la mina 2 el 2% de plomo y el 5% de hierro. Qu cantidad de mineral se deber extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de plomo y 9 toneladas de hierro?A partir de las condiciones establecidas en el problema se disean las siguientes ecuaciones:0.01x+0.02y=40.02x+0.05y=9Donde x: porcentaje de plomo. y: porcentaje de hierro.Para la resolucin del sistema de ecuaciones conformado, se utiliz el programa diseado en MatLab; los resultados se presentan a continuacin.

Fig.4 Grafico en R2 del ejercicio

Tabla 2 Primer ejercicioRespuesta: De la mina 1 se deben extraer 199.35 toneladas de mineral aproximadamente y de la mina 2 se debe realizar la extraccin de 100.26 toneladas de mineral aproximadamente.

Problema 2Los lados de un tringulo miden 26, 28 y 34cm. Con centro en cada vrtice se dibujan tres circunferencias tangentes entre s dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.

Fig.5 Grafica de las circunferenciasConociendo los parmetros establecidos en el enunciado del problema se pueden establecer las siguientes ecuaciones, con la finalidad de resolver la problemtica planteada.

Tabla 3 Segundo Ejercicio

Fig.6 Grafica en R3 de los planos

Problema 3En el circuito de la figura determinar: a) La corriente que atraviesa cada una de las mallas que conforma el circuito elctrico.b) La cada de tensin en la resistencia 5.Utilizar el mtodo de Gauss-Seidel para resolver los sistemas de ecuaciones lineales.

Fig.7 Circuito equivalenteAl aplicar la ley de Kirchoff de las tensiones en cada una de las mallas que conforman el circuito se obtienen las siguientes cuatro ecuaciones.

Para la resolucin del sistema de ecuaciones conformado, se utiliz el programa diseado en MatLab; los resultados se presentan a continuacin.

Tabla 4. Tercer ejercicioa) Las corrientes que recorren el circuitos son:

b)

Fig.8 Simulacin del circuitoXII. DESVENTAJASMuy largo y tedioso, no siempre converge a la solucin, repetitivo. El mtodo Montante consiste en ir pivoteando en la diagonal principal. Se comienza en el extremo superior izquierdo; el rengln donde est el pivote va a ser el rengln base de todo el sistema, y la columna donde est el pivote va a ser la columna base; con respecto a ese rengln y esa columna donde est el pivote se forman determinantes de dos por dos. Es necesario notar que se trabaja slo con enteros; si apareciera alguna fraccin, hay un error, y el Mtodo Montante resolvi con nmeros enteros el sistema de ecuaciones lineales XIII. CONCLUCIONESUn mtodo iterativo es un mtodo que progresivamente va calculando aproximaciones a la solucin de un problema.

XIV. BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS[1]Garcia J. 2006. Algebra Lineal de Joe Fred Garcia[2] Steven Chapra, Raymond Canale. Mtodos numricos para ingenieros, cuarta edicin, 2003. pp 301-313, 320-321, 344-346.[3]The Jacobi Method, marzo 2004. (disponible en http:/www.netlib2.cs.utk.edu/linalg/html_templates/node12.html)[4] The Gauss_Seidel Method, marzo 2004. (disponible en http:/www.netlib2.cs.utk.edu/linalg/html_templates/node14.html)[5] The Successive Overrelaxation Method, marzo 2004. (disponible en http:/www.netlib2.cs.utk.edu/linalg/html_templates/node15.html).

AcomodadasConvergencia SeidelX1X20.000.009.000.009.0014.3820.7714.3820.774.4312.624.4312.6211.3218.2611.3218.266.5514.366.5514.369.8517.069.8517.067.5615.197.5615.199.1516.489.1516.488.0515.598.0515.598.81Convergencia JacobiX1X20.000.009.0022.0027.0014.3820.77-0.858.314.4312.6214.9721.2511.3218.264.0212.296.5514.3611.6018.499.8517.066.3514.207.5615.199.9917.179.1516.487.4715.118.05

Acomodadas

X2X1X2Convergencia Seidel

Sin acomodar

X2X1X2Convergencia Jacobi

Divergencia SeidelX1X20.000.0026.000.0026.0020.781.4420.781.44-9.2336.91-9.2336.9134.12-14.3234.12-14.32-28.5059.68-28.5059.6861.95-47.2161.95-47.21-68.70107.19-68.70107.19120.01-115.83120.01-115.83-152.57Divergencia JacobiX1X20.000.0026.00-11.0039.0020.781.4436.67-17.33-9.2336.91-32.1964.0434.12-14.3267.27-53.50-28.5059.68-76.39

X2X1X2Divergencia Seidel

X2X1X2Divergencia Jacobi